finan.wiskunde-2019.book Page i Friday, September 6, 2019 11:36 AM
FinanciĂŤle wiskunde met uitwerking in Excel
finan.wiskunde-2019.book Page ii Friday, September 6, 2019 11:36 AM
finan.wiskunde-2019.book Page iii Friday, September 6, 2019 11:36 AM
FINANCIËLE WISKUNDE met uitwerking in Excel
Christa Sys Karine Van Biesen
finan.wiskunde-2019.book Page iv Friday, September 6, 2019 11:36 AM
©
Uitgeverij Academia Press Ampla House Coupure Rechts 88 9000 Gent België www.academiapress.be
Uitgeverij Academia Press maakt deel uit van Lannoo Uitgeverij, de boeken- en multimediadivisie van Uitgeverij Lannoo nv.
Christa Sys & Karine Van Biesen Financiële wiskunde — met uitwerking in Excel Gent, Academia Press, 2019, XIII + 287 pp.
Opmaak: punctilio.be
ISBN: 978 94 014 6129 0 D/2019/45/240 NUR 785
Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of vermenigvuldigd door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke andere wijze dan ook, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
finan.wiskunde-2019.book Page i Friday, September 6, 2019 11:36 AM
I
Woord vooraf Inleiding Uitblijvende oplossingen voor de Amerikaans-Chinese handelsoorlog, andere geopolitieke spanningen, de daling van de macro-economische vertrouwensindicatoren, laag groeipotentieel voor de Belgische economie, lage inflatie of zelfs deflatie, historisch laag blijvende spaarpercentages, 30% roerende voorheffing, eerder wispelturigheid op de financiële markten, … zijn slechts enkele voorbeelden die duiden op nog altijd uitdagende financiële tijden. Een (internet)zichtrekening kiezen, spaargeld beleggen, andere beleggingsproducten overwegen, een hypothecaire of andere lening afsluiten, een aankoop financieren, een levensverzekering afsluiten, … In het dagelijks leven brengen deze beslissingen u in contact met financiële berekeningen. In dit handboek, bedoeld voor studenten uit het Hoger Onderwijs, wordt deze materie uitgewerkt. De digitalisering van de banken brengt ook de ontwikkeling van financiële apps met zich mee. Om de beste apps te herkennen is achterliggende theoretische kennis belangrijk. We kozen voor concrete toepassingen en hebben de bewijsvoering tot een minimum beperkt. Enkele voorbeelden: • Na mijn afstuderen wil ik onmiddellijk een auto kopen. Hoeveel moet ik maandelijks sparen? • Hoeveel kan ik lenen als ik, gedurende 25 jaar, maximaal 800 EUR per maand kan terugbetalen? • Kies ik voor een levensverzekering bij leven of bij overlijden? En… hoe wordt de premie berekend? • Welke investering is het meest rendabel voor mijn onderneming? Welke berekeningen moet ik uitvoeren? Banken en verzekeringsmaatschappijen plaatsen op hun websites simulatieprogramma’s voor hun courante producten. Deze programma’s laten enkel de resultaten zien van de berekeningen onder de randvoorwaarden die in het programma opgenomen zijn. De webpagina wikifin.be werkt op dezelfde wijze en bevat heel wat boeiende informatie. Wij willen in dit handboek inzicht verschaffen in de berekeningen achter deze simulaties en in de impact van de randvoorwaarden. Opnieuw worden de recente wijzigingen in de wetgeving zoveel mogelijk meegenomen in de jaarlijkse actualisatie. Op de docentensite van de uitgeverij wordt extra online materiaal ter beschikking gesteld met tal van voorbeelden, uitgewerkt in Excel. Handboek en onlinemateriaal Het handboek is opgebouwd uit 5 delen. Het eerste deel over intrestberekening vormt het fundament omdat alle financiële berekeningen in essentie berekeningen met intrest zijn. Hier komen zowel de enkelvoudige als de samengestelde intrest alsook het disconto aan bod evenals de voornaamste toepassingen. Ook WOORD VOORAF
finan.wiskunde-2019.book Page ii Friday, September 6, 2019 11:36 AM
II gelijkwaardige intrest komt hier ter sprake. Vervolgens worden in het deel annuïteiten de theoretische grondslagen voor de vele vormen van financiering met leningen gelegd die in het derde deel besproken worden. Daarna worden elementaire begrippen van levensverzekeringswiskunde behandeld. Hier worden intrestrekening en kansberekening gecombineerd. Voor studenten uit de richting verzekeringen is dit niet meer dan een eerste kennismaking, voor de anderen verschaft het een elementair inzicht in deze materie. Deel 5, het onlinemateriaal, kan beschouwd worden als een samenvatting van de diverse concrete toepassingen van financiële wiskunde. Er wordt enkel met Excel gewerkt. De wiskundige verantwoording wordt gemakkelijk teruggevonden omdat de volgorde van het handboek is aangehouden. Het onlinemateriaal is terug te vinden op www.ecampuslearn.com via de unieke code in het colofon of op te vragen via info@academiapress.be. Docenten kunnen zich registreren via docenten.academiapress.be. Het spreekwoord “Oefening baart kunst” is voor deze materie zeer zeker van toepassing. Daarom werden er talrijke oefeningen opgenomen. Naast de wiskundige opfrissing bevatten de bijlagen een oefeningenmix. Aan de hand van deze oefeningen kunnen studenten hun competenties met betrekking tot financiële wiskunde testen, al dan niet ter voorbereiding van een examen. De student kan het formularium en een rekenmachine gebruiken of kiezen voor een rekenbladprogramma. Leertraject Het handboek is opgebouwd volgens onderstaand leertraject:
Enkelvoudige intrest
Samengestelde intrest Samengestelde disconto
Enkelvoudige disconto
Annuïteiten
Leningen
– –
Levensverzekeringswiskunde
Oefeningen per hoofdstuk Mix van oefeningen
De combinatie handboek en onlinemateriaal maakt het mogelijk de leerstof aan te passen aan de specifieke omstandigheden van een opleiding, leertraject of actuele gebeurtenis. Het kan ook gebruikt worden in het kader van afstandsWOORD VOORAF
finan.wiskunde-2019.book Page iii Friday, September 6, 2019 11:36 AM
III leren. Hiervoor kan, op vraag van de betrokken docent, extra materiaal ter beschikking worden gesteld. Woord van dank De auteurs willen de medewerkers van Academia Press alsook de vormgever danken voor de fijne samenwerking. Ook dank aan tal van docenten in andere hogescholen en opleidingsinstituten voor de opbouwende bemerkingen. Zij delen duidelijk ons enthousiasme om te komen tot een degelijk, praktisch en vlot leesbaar handboek en dat doet deugd! De auteurs van voorliggende editie engageren zich om de praktijkgerichtheid te waarborgen, de tekst up to date te houden en het onlinemateriaal steeds verder uit te werken. Ondanks grote zorg besteed aan de redactie, correctie en lay-out kunnen er toch nog onnauwkeurigheden aan onze aandacht ontsnapt zijn. We zouden dan ook de gebruikers dankbaar zijn voor hun suggesties en constructieve opmerkingen. De auteurs: Christa Sys Karine Van Biesen Gent, Juli 2019
WOORD VOORAF
finan.wiskunde-2019.book Page iv Friday, September 6, 2019 11:36 AM
finan.wiskunde-2019.book Page v Friday, September 6, 2019 11:36 AM
V
Inhoudstafel WOORD VOORAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
DEEL 1
INTRESTBEREKENING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Hoofdstuk 1
Inleidende begrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1
Kapitaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3
Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rente-, intrest- en discontobedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rentevoet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soorten rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 4 4
1.3
Rentefactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Nettorendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5
ReĂŤel nettorendement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6
Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Enkelvoudige intrest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1
Omschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Gebruik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3 2.3.1 2.3.2
Intrest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 8
2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3
Slotwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafische voorstelling van de slotwaarde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 9 9 10
2.5
Afgeleide formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.6
Uitgewerkte voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.7
Verankering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.8 2.8.1 2.8.2 2.8.3 2.8.4
Belangrijke toepassingen met enkelvoudige intrest. . . . . . . . . . . . . . Zichtrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spaar- en termijnrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kasbon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Promessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 13 16 25 28
Samengestelde intrest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1
Omschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3
Slotwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekeningswijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gemengde intrestberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cijfervoorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 31 32 33
3.3 3.3.1
Beginwaarde of contante waarde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 41
Hoofdstuk 2
Hoofdstuk 3
INHOUDSTAFEL
finan.wiskunde-2019.book Page vi Friday, September 6, 2019 11:36 AM
VI 3.3.2
Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.4
De totale intrest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.5 3.5.1 3.5.2
Afgeleide formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bepaling van i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bepaling van n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43 43 44
3.6
Verankering van kennis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
De gelijkwaardige of equivalente rentevoet . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Probleemstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gelijkwaardige rentevoet of equivalente rentevoet. . . Werkelijke, effectieve of reĂŤle rentevoet (r of WR). . . Evenredige of nominale rentevoet . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
48 48 50 50
4.3
Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.4
Schematisch overzicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.5
Rentekracht, rente-intensiteit of onmiddellijke rentevoet d . . . . . . .
52
4.6
Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Discontoberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.1
Omschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.2
Symbolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Disconto op enkelvoudige intrest . . . . . . . . . . . . . . . Enkelvoudig handelsdisconto . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enkelvoudig rationeel disconto . . . . . . . . . . . . . . . . Cijfervoorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
55 55 56 56
Afgeleide formules met excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3
Disconto op samengestelde intrest . . . . . . . . . . . . . . . . . Samengesteld handelsdisconto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samengesteld rationeel disconto . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cijfervoorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
59 59 59 60
5.6 5.6.1 5.6.2
Leningen met vooraf betaalbare rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leningen met vooraf betaalbare enkelvoudige intrest . . . . . . . . . . . . Leningen met vooraf betaalbare samengestelde intrest . . . . . . . . . . .
60 60 61
Het centraliseren van schulden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
6.1
Omschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
6.2 6.2.1 6.2.2
De bepaalde vervaldag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bepaalde vervaldag met enkelvoudige intrest. . . . . . . . . . . . . . . . . . Bepaalde vervaldag met samengestelde intrest . . . . . . . . . . . . . . . .
63 63 64
6.3 6.3.1 6.3.2
De gemiddelde vervaldag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gemiddelde vervaldag met enkelvoudige intrest . . . . . . . . . . . . . . . . Gemiddelde vervaldag met samengestelde intrest. . . . . . . . . . . . . . .
65 65 66
OEFENINGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Hoofdstuk 4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3
Hoofdstuk 5
5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.4
Hoofdstuk 6
INHOUDSTAFEL
... ... ... ...
... ... ... ...
.... .... .... ....
.... .... .... .... .... .... .... ....
... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
finan.wiskunde-2019.book Page vii Friday, September 6, 2019 11:36 AM
VII DEEL 2
ANNUÏTEITEN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Hoofdstuk 1
Inleidende begrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
1.1
Etymologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
1.2
Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5
Soorten annuïteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gelijkblijvende en veranderende annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tijdelijke en eeuwigdurende annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Postnumerando en prenumerando annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dadelijk ingaande en uitgestelde annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79 79 79 79 79 80
1.4
Symbolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
De slotwaarde van een dadelijk ingaande, enkelvoudige, tijdelijke en gelijkblijvende annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
2.1
Begripsbepaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4
Slotwaarde van deze postnumerando annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algemene formule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betekenis en waarde van sn i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uitgewerkt cijfervoorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81 81 82 82 82
2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4
Slotwaarde van deze prenumerando annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algemene formule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betekenis en waarde van s+nù i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uitgewerkt cijfervoorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84 84 84 85 85
De aanvangswaarde van een dadelijk ingaande, enkelvoudige, tijdelijke en gelijkblijvende annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
De aanvangswaarde, beginwaarde of contante waarde van een annuïteit
86
3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4
Aanvangswaarde van deze postnumerando annuïteit . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algemene formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betekenis en waarde van anù i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uitgewerkt cijfervoorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86 86 87 88 88
3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4
Aanvangswaarde van deze prenumerando annuïteit . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algemene formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betekenis en waarde van änù i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uitgewerkt cijfervoorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89 89 90 90 90
3.4
Verankering van de verworven kennis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
De waarde van een uitgestelde annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.1
Begripsomschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.2
De beginwaarde van een uitgestelde, gelijkblijvende, tijdelijke postnumerando annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Hoofdstuk 2
Hoofdstuk 3 3.1
Hoofdstuk 4
INHOUDSTAFEL
finan.wiskunde-2019.book Page viii Friday, September 6, 2019 11:36 AM
VIII 4.3
Beginwaarde van een uitgestelde, gelijkblijvende, tijdelijke prenumerando annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Waarde van een annuïteit op een willekeurig tijdstip . . . . . . . . . .
94
5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3
Waarde T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T1 op basis van de beginwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T1 op basis van de eindwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T1 op basis van 2 annuïteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94 94 94 94
5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3
Waarde van T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T2 op basis van de beginwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T2 op basis van de eindwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T2 op basis van 2 annuïteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95 95 95 95
5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3
Waarde van T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T3 op basis van de beginwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T3 op basis van de eindwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T3 op basis van 2 annuïteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95 95 95 95
Algemene en gefractioneerde annuïteiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
6.1
Omschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
6.2 6.2.1 6.2.2
Eindwaarde van een gefractioneerde postnumerando annuïteit. . . . . . Voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98 98 98
6.3 6.3.1 6.3.2
Eindwaarde van een gefractioneerde prenumerando annuïteit . . . . . . Voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99 99 99
6.4 6.4.1 6.4.2
Beginwaarde van een gefractioneerde postnumerando annuïteit . . . . . Voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99 99 99
6.5 6.5.1 6.5.2
Beginwaarde van een gefractioneerde prenumerando annuïteit . . . . . Voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100 100 100
6.6
Berekening van de termijn van de gewone annuïteit die de gefractioneerde vervangt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
Berekening van de nominale termijn van een gefractioneerde annuïteit die een gewone annuïteit vervangt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
6.8
Overgang naar algemene annuïteit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
6.9
Fractionering en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
Veranderende postnumerando annuïteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4
De termijnen vormen een rekenkundige rij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekening van de beginwaarde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekening van de eindwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102 102 103 103 104
7.2 7.2.1
De termijnen vormen een meetkundige rij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104 104
Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 6
6.7
Hoofdstuk 7
INHOUDSTAFEL
finan.wiskunde-2019.book Page ix Friday, September 6, 2019 11:36 AM
IX 7.2.2 7.2.3 7.2.4
Voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekening van de beginwaarde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekening van de eindwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104 104 105
Perpetuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
8.1
Begripsomschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
8.2
Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
8.3
Uitgewerkt voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
8.4
Toepassing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
Centralisatie van annuïteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4
Bepaalde vervaldag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begrip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109 109 109 109 110
9.2 9.2.1 9.2.2 9.2.3
Gemiddelde vervaldag . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begrip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
111 111 111 111
Afgeleide formules van annuïteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
10.1 10.1.1 10.1.2 10.1.3 10.1.4 10.1.5 10.1.6 10.1.7 10.1.8
Berekening van a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de eindwaarde postnumerando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de eindwaarde prenumerando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de eindwaarde postnumerando gefractioneerd . . . . . . . . . . . . . . Uit de eindwaarde prenumerando gefractioneerd . . . . . . . . . . . . . . . Uit de beginwaarde postnumerando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de beginwaarde prenumerando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de beginwaarde gefractioneerd postnumerando. . . . . . . . . . . . . . Uit de beginwaarde gefractioneerd prenumerando . . . . . . . . . . . . . .
113 113 114 115 116 117 118 119 120
10.2 10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4 10.2.5 10.2.6 10.2.7 10.2.8
Berekening van n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de eindwaarde postnumerando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de eindwaarde prenumerando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de eindwaarde postnumerando gefractioneerd . . . . . . . . . . . . . . Uit de eindwaarde prenumerando gefractioneerd . . . . . . . . . . . . . . . Uit de beginwaarde postnumerando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de beginwaarde prenumerando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de beginwaarde postnumerando en gefractioneerd. . . . . . . . . . . . Uit de beginwaarde prenumerando gefractioneerd . . . . . . . . . . . . . .
121 121 125 127 129 131 133 133 135
10.3 10.3.1 10.3.2 10.3.3 10.3.4 10.3.5 10.3.6 10.3.7
Berekening van i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de eindwaarde postnumerando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit de eindwaarde prenumerando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit een gefractioneerde postnumerando eindwaarde . . . . . . . . . . . . . Uit een gefractioneerde prenumerando eindwaarde . . . . . . . . . . . . . Uit een gewone postnumerando beginwaarde. . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit een gewone prenumerando beginwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uit een gefractioneerde postnumerando beginwaarde . . . . . . . . . . . .
135 135 136 137 137 137 137 137
Hoofdstuk 8
Hoofdstuk 9
Hoofdstuk 10
INHOUDSTAFEL
.... .... .... ....
... ... ... ...
.... .... .... ....
... ... ... ...
finan.wiskunde-2019.book Page x Friday, September 6, 2019 11:36 AM
X 10.3.8
Uit een gefractioneerde prenumerando beginwaarde. . . . . . . . . . . . .
137
10.4
Formules in Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
10.5
Financiële planning / Vermogensopbouw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
OEFENINGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
DEEL 3
LENINGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
Hoofdstuk 1
Leningen op vaste termijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
1.1
Begripsomschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
1.2 1.2.1 1.2.2
Vervroegde terugbetaling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vervroegde terugbetaling met eenmalige betaling van rente. . . . . . . . Vervroegde terugbetaling met periodieke rentebetaling. . . . . . . . . . .
150 150 150
1.3
Voorbeeld met enkelvoudige intrest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
1.4
Voorbeeld met samengestelde intrest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
Annuïteitsleningen met vaste termijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
2.1
Begripsomschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
2.2
Soorten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
2.3
Algemene formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
2.4
Afgelost bedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
2.5
Af te lossen bedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
2.6
Aflossing van een vaste annuïteitslening via de methode van de constante aflossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154 155
2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4
Aflossing van een vaste annuïteitslening volgens de methode van de progressieve aflossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Willekeurig jaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156 157 158 160 162
2.8 2.8.1 2.8.2 2.8.3
Vervroegde aflossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Annuïteit constant en kortere looptijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Looptijd constant en annuïteit verlaagd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld — mensualiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
164 165 165 165
2.9 2.9.1 2.9.2
Vaste of variabele rentevoet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vaste rentevoet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variabele rentevoet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167 167 167
2.10 2.10.1 2.10.2
Afkopen van een bestaande lening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situatieschets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168 168 168
2.11 2.11.1 2.11.2 2.11.3
Vervangen van een lening door een lening met een lagere intrestvoet . Situatieschets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168 168 169 170
Hoofdstuk 2
2.6.1 2.7
INHOUDSTAFEL
finan.wiskunde-2019.book Page xi Friday, September 6, 2019 11:36 AM
XI Hoofdstuk 3
Annuïteitsleningen met veranderlijke termijnen en constante kapitaalaflossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
3.1
Begripsomschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
3.2
Voorbeeld en delgingstabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
Hoofdstuk 4
Simulatie woonkrediet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
Hoofdstuk 5
Consumentenkrediet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
5.1
Omschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
5.2
Berekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
5.3
Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
5.4
Simulatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
Niet gereglementeerde leningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
6.1
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3
Investeringskrediet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begripsomschrijving. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld – gelijke kapitaalaflossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld – gelijke termijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196 196 197 198
6.3 6.3.1 6.3.2
Leasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Theoretisch kader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198 198 199
De obligatielening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
7.1
Begrip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4
Soorten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Naargelang de emissieprijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Naargelang de aflossingswaarde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Naargelang de rentevoet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Naargelang het tijdstip van aflossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201 202 202 202 202
7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3
Uitgifte- c.q. koopprijs en actuarieel rendement van een obligatie . . . Ineens aflosbare obligatieleningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obligaties aflosbaar met constante annuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obligaties aflosbaar met constante aflossing . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203 203 208 209
7.4
Vanuit de praktijk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
Interessante websites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
OEFENINGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
DEEL 4
ELEMENTAIRE LEVENSVERZEKERINGSWISKUNDE . . . . . . . . . . . . . . .
217
Hoofdstuk 1
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
1.1
Situering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
1.2
Partijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
Hoofdstuk 6
Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 8
INHOUDSTAFEL
finan.wiskunde-2019.book Page xii Friday, September 6, 2019 11:36 AM
XII 1.3
Premie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
1.4
Soorten levensverzekeringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
1.5
Sterftetafels/overlevingstafels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
1.6
Commutatietekens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
1.7
Premiereserve of wiskundige reserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
Verzekering bij leven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
2.1
Omschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
2.2
Verzekering van een kapitaal bij leven of uitgesteld kapitaal zonder tegenverzekering (UKZT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
Hoofdstuk 2
2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8
Hoofdstuk 3
Verzekering van lijfrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nettokoopsom van een dadelijk ingaande, gelijkblijvende levenslange jaarlijkse postnumerando lijfrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nettokoopsom van een dadelijk ingaande, gelijkblijvende levenslange jaarlijkse prenumerando lijfrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nettokoopsom van een uitgestelde, gelijkblijvende, levenslange jaarlijkse postnumerando lijfrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nettokoopsom van een uitgestelde, gelijkblijvende, levenslange jaarlijkse prenumerando lijfrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nettokoopsom van een dadelijk ingaande, gelijkblijvende, tijdelijke, jaarlijkse postnumerando lijfrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nettokoopsom van een dadelijk ingaande, gelijkblijvende, tijdelijke, jaarlijkse prenumerando lijfrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nettokoopsom van een uitgestelde, gelijkblijvende, tijdelijke, jaarlijkse postnumerando lijfrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nettokoopsom van een uitgestelde, gelijke, tijdelijke, jaarlijkse prenumerando lijfrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232 232 233 234 234 235 235 236 236
Verzekering bij overlijden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
3.1
Omschrijvingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
3.2
Nettokoopsom bij een dadelijk ingaande levenslange overlijdensverzekering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
3.3
Nettokoopsom bij een uitgestelde levenslange overlijdensverzekering .
238
3.4
Dadelijk ingaande tijdelijke overlijdensverzekering . . . . . . . . . . . . .
239
3.5
Schuldsaldoverzekering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
De gemengde levensverzekering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
4.1
Omschrijvingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
4.2
Berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
Jaarpremies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
5.1
Omschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
5.2 5.2.1 5.2.2
Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De nettojaarpremie voor de verzekering van een uitgesteld kapitaal . . De nettojaarpremie voor een uitgestelde gelijke levenslange postnumerando jaarlijkse lijfrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244 244
Hoofdstuk 4
Hoofdstuk 5
INHOUDSTAFEL
245
finan.wiskunde-2019.book Page xiii Friday, September 6, 2019 11:36 AM
XIII 5.2.3
De netto tijdelijke jaarpremie voor een levenslange overlijdensverzekering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De nettojaarpremie voor een tijdelijke overlijdensverzekering . . . . . . De nettojaarpremie voor een gemengde levensverzekering. . . . . . . . .
245 245 246
OEFENINGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
DEEL 5
FINANCIËLE BEREKENINGEN ONLINE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
Hoofdstuk 1
Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
Hoofdstuk 2
Inhoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
BIJLAGEN
Bijlage 1Meest gebruikte formules en symbolen . . . . . . . . . . . . . .
261
Bijlage 2
Wiskundige opfrissing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
Bijlage 3
Werken met machten en logaritmen: extra voorbeelden en oefeningen . . . . . . . . .
271
Bijlage 4
Oefeningenmix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
Bijlage 5
Herhalingsvragen: begrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
BIBLIOGRAFIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
DE AUTEURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
287
5.2.4 5.2.5
INHOUDSTAFEL
finan.wiskunde-2019.book Page xiv Friday, September 6, 2019 11:36 AM
finan.wiskunde-2019.book Page 1 Friday, September 6, 2019 11:36 AM
Deel 1
INTRESTBEREKENING Hoofdstuk 1.
Inleidende begrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Hoofdstuk 2.
Enkelvoudige intrest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Hoofdstuk 3.
Samengestelde intrest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Hoofdstuk 4.
De gelijkwaardige of equivalente rentevoet . . . . . . . . . . . . . . .
46
Hoofdstuk 5.
Discontoberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Hoofdstuk 6.
Het centraliseren van schulden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
finan.wiskunde-2019.book Page 2 Friday, September 6, 2019 11:36 AM