BOOST  JE BREIN
BOOST  JE BREIN IVAN MOSCOVICH SAMENGESTELD DOOR HAL ROBINSON
100 BREINBREKERS EN PUZZELS DIE JE NIEUWSGIERIGHEID STIMULEREN
www.lannoo.com Registreer u op onze website en we sturen u regelmatig een nieuwsbrief met informatie over nieuwe boeken en met interessante, exclusieve aanbiedingen.
VERTALING Fred Hendriks VORMGEVING Keppie & Keppie FOTO'S Alle illustraties zijn afkomstig uit de collectie van Ivan Moscovich behalve de foto op pagina 65: iStock/EVAfotografie
Copyright © 2019 Ivan Moscovich © Nederlandse editie: Uitgeverij Lannoo, Tielt, 2019 D/2019/45/471 – NUR 440 – ISBN 978 94 014 6001 9 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand en/of openbaar gemaakt in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch of op enige andere manier zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
INHOUD WELKOM!
6
HOOFDSTUK 1 OORDELEND VERMOGEN 9 HOOFDSTUK 2 FOCUS 19 HOOFDSTUK 3 EEN ANDERE BENADERING 29 HOOFDSTUK 4 SPELEN MET TAAL 39 HOOFDSTUK 5 STRATEGIE 47 HOOFDSTUK 6 REFLECTIE 57 HOOFDSTUK 7 LATERAAL DENKEN 67 HOOFDSTUK 8 HELDERHEID 75 HOOFDSTUK 9 LEF 85 HOOFDSTUK 10 ONDERZOEK 95
OPLOSSINGEN 105 BRONNEN VAN CREATIVITEIT 128
WELKOM! Tegenwoordig word je op je werk misschien minder gewaardeerd om wát je weet dan om je vermogen om goed te denken. Iedereen kan op een website feiten opzoeken en daarom is het des te belangrijker dat je die feiten goed weet te gebruiken. Ook in het dagelijks leven hebben we al onze scherpzinnigheid en geestelijke vaardigheden nodig om problemen op te lossen en goede besluiten te nemen, vooral gezien het ‘fake news’ en de ‘alternatieve feiten’ waarmee we tegenwoordig om de oren geslagen worden. Problemen oplossen en besluiten nemen zijn vandaag de dag wezenlijke aspecten van creativiteit. De intrigerende puzzels en spelletjes die ik in dit boek heb verzameld, zijn primair bedoeld om deze aspecten van het creatief denken te ontwikkelen. Ik noem ze breinbrekers. Of het nu gaat om een puzzel, een raadsel, een illusie, een gedachte-experiment of een 3D-constructie, mijn breinbrekers willen je in een geestestoestand brengen waarin denken, spelen en problemen oplossen gezamenlijk je brein een boost geven. Het is natuurlijk belangrijk dat je het ook préttig vindt om jezelf te verbeteren. Puzzels zijn leuk en kunnen ontworpen worden om specifieke manieren van denken te verfijnen. En dat is precies wat ik met de puzzels en opdrachten in de Boost je brein-boeken heb gedaan. Ik wil je een leuke manier aanbieden om je denken aan te scherpen. Ik wil je laten 6 WELKOM!
zien dat je kunt veranderen, je laten geloven dat je jezelf een weg naar een mooiere toekomst kunt denken. In de eerste plaats wil ik mijn vriend en inspiratiebron wijlen Martin Gardner bedanken voor alles. Zijn werk, persoonlijkheid en vriendschap hebben mij bezield sinds ik hem in de jaren vijftig heb ontmoet, nadat ik zijn eerste column ‘Mathematical Games’ in Scientific American had gelezen. Zijn enorme inspanningen om de recreatieve wiskunde, en wiskunde in het algemeen, te populariseren zijn de voedingsbodem geweest voor een creatieve omgeving en het bijbehorende plezier. Zonder hem zouden er minder International Puzzle Parties en wiskundetentoonstellingen zijn geweest, en zeker niet de ongeëvenaarde Gatherings for Gardner. In de loop der jaren heb ik via deze conventies van gelijkgestemde zielen ‘Martin’s People’ ontmoet, een diverse en uiterst creatieve groep wiskundigen, wetenschappers, puzzelverzamelaars, goochelaars en uitvinders, die zich verenigd weten door hun fascinatie voor de inventiviteit van denkspellen en hun liefde voor recreatieve wiskunde. Deze mensen zijn niet alleen kostbare vrienden geworden, maar hebben me ook talloze uren plezier en intellectuele verrijking geboden. Mijn waardering en dank gaat naar hen allen uit en ik hoop dat ze dit naar waarde weten te schatten, ook al zal ik hier slechts enkelen van hen noemen:
Paul Erdös, mijn beroemde familielid, die het vuur deed ontvonken; David Singmaster, met wie ik over een heel bijzonder puzzelmuseum heb gedroomd; Ewan Stewart voor zijn hulp in het begin; John Horton Conway, Solomon Golomb, Frank Harary, Raymond Smullyan, Edward de Bono, Richard Gregory, Victor Serebriakoff, Nick Baxter; Greg Frederickson voor zijn prachtige analyses; Al Seckel, Jacques Haubrich, Lee Sallows, Jerry Slocom, Nob Yoshigahara, James Dalgety, Mel Stover; Mark Setteducati, Bob Neale, Tim Rowett, Scott Morris, Will Shortz, Bill Ritchie, Richard Hess en vele, vele anderen. Ik ben bijzondere dank verschuldigd aan het werk van talrijke puzzelpioniers als Sam Loyd en Henry Dudeney, wier boeken mij zo geïnspireerd hebben. De warmste dank gaat ook uit naar Matthias Lannoo, Katrien Van Oost en hun geweldige collega’s bij Uitgeverij Lannoo, die met hun geloof in en enthousiasme voor de reeks Boost je brein een reeds lang bestaan-
de ambitie hebben vervuld: aantonen dat er een band bestaat tussen breinbrekers en creativiteit, de vaardigheid die zo belangrijk is voor onze toekomst. Ten slotte wil ik mijn vriend en medewerker Hal Robinson bedanken voor zijn bijdragen. Hij heeft de diepgravende en inzichtrijke tekst over creativiteit verzorgd, samen met zijn creatieve collega’s Charles Phillips en Melanie Frances.
Ivan Moscovich
WELKOM! 7
1
HOOFDSTUK
OORDELEND VERMOGEN
WELKE IDEEËN WERK JE UIT EN WELKE NIET? Volgens het creativiteitsmodel van de psycholoog Dean Simonton doorloopt ons mentale proces twee fasen. Eerst genereren en combineren we ideeën ‘blind’, oftewel onbewust. Dan verwerken we deze ideeën bewust terwijl we hun kwaliteit beoordelen en we ze bijschaven. Het oordelend vermogen is een essentiële kwaliteit bij creativiteit: hiermee bepaal je welke ideeën je oppikt en welke je verwerpt en hoe je ontluikende ideeën uitwerkt. Het vormt de basis voor je creatieve besluitvorming. Hoe ontwikkel je je oordelend vermogen? In een betoog over hoe je vrij en creatief moet leven in de moderne wereld presenteren Harvard-professor Michel Puett en schrijver Christine Gross-Loh in hun boek The Path uit 2016 inzichten uit de oud-Chinese filosofie. Ze spreken over het Chinese woord xin, dat bij de filosoof Mencius (372389 v.Chr.) zowel ‘hart’ als ‘geest’ betekent, en omschrijven Mencius’ benadering als ‘je cognitieve en emotionele kanten integreren’. ‘Signaleer je emotionele reacties en probeer ze ten goede te veranderen.’ Cultiveer van dag tot dag in kleine dingen ‘de innerlijke goedheid die alle mensen gemeen hebben’, aldus Mencius. Puett en Gross-Loh benadrukken dat de wereld veranderlijk en grillig is. Het is moeilijk creatieve besluiten te nemen voor de lange termijn. Net als Mencius vinden zij dat 10 HOOFDSTUK 1 OORDELEND VERMOGEN
je te werk moet gaan als een boer: zie je besluiten als een veld waarop je gewassen wilt telen, ‘doe het grondwerk voor groei en werk met wat je hebt’. Door je denken te integreren, op je innerlijke kwaliteit te vertrouwen en te werken met wat je hebt, kun je dus je oordelend vermogen ontwikkelen. Een andere manier om je oordelend vermogen te ontwikkelen is door oefening. Malcolm Gladwell heeft in zijn boek Outliers uit 2008 gezegd: ‘10.000 uur is het magische getal voor grootsheid.’ Je moet veel oefenen om grootsheid te bereiken, op allerlei terreinen. Academicus J.R. Hayes gaat zelfs nog verder: in een studie van klassieke muziek concludeerde hij in 1989 dat 73 van 76 grote componisten al tien jaar muziek componeerden voordat ze een meesterwerk schreven. Hoezo wordt je creatieve oordelend vermogen versterkt door oefenen? Als je meer vertrouwd bent met een bepaald gebied, ontdek je sneller patronen, waardoor je denken verbetert. Ook biedt oefening je de kans een probleem zodanig te heroverwegen dat je het kunt oplossen: soms hoef je een probleem alleen maar in een nieuw kader te plaatsen om een oplossing te vinden. Uit onderzoeken blijkt ook dat je na veel oefening de overeenkomsten tussen mislukkingen gaat zien; daarna kun je deze elementen bij het zoeken naar een oplossing elimineren.
5
ALIENS OP AARDE! Hij zegt dathe hijis He says an alien alienis. een
No,he alien, Nee, hijisisnot geenan alien. heHij is isaeen human mens
VERRASSENDE MIEREN? 6
I am Ik ben een alien. an alien
2
ANT PROCESSIONS -page ALIEN 263
WORLD
1- The firstbetc 1- Not surprising there are two instances of D-2, Alarm! Er zijn 24 aliens op aarde geland. Dennis E. Shasha22 (geb. 1955), eenbecause hoogleraar 2- Surprising procession for, if he is an alien, 3- Not surprising - because there are two instances of D=2, b is a human, he can't Ze zijn allemaal identiek maar willen graag computerwetenschappen aan de- because NewthereYork 4- Not surprising are two instance of D=4 be 1 1 (2) is telling the truth 5- Surprising. 2 6- Not surprising there results are two instances a di in oftwo communiceren. Om zich van elkaar te on- 3 4 University, definieerde een reeks- because symbolen egg Alien-Alien-Human derscheiden hebben ze hun haar, ogen, neus als ‘verrassend’ als geen 2 symbolen x en y Conclusion: There is en mond in verschillende combinaties van twee (of meer) keer in een ordening voorALIENS ROBO 4 kleuren een komen waarbij x met dezelfde afstand aan y ALIEN WORLD geverfd. Ieder van hen draagt Puzzle 1 ALIENS - ROBOTS and NUMBERS The totals o The population of the world in 2999 is Puzzle 1 Did I tell you about the mutant aliens who knew only deel (1 letter) van de boodschap van hun voorafgaat. In onze puzzel zijn de symbolen : dominated by aliens and consists of either aliens or four digits 1,2,3 and 4? Puzzle 2 humans, often in alien disguises. The aliens are How many onetwothree-, and four digit numbers could they leider. Met behulp van de kleurentabel kun eieren die door mieren naar hun nest worThe total incapable of telling a lie, and humans are all equally make using only these four digits digit numbers is: je deofboodschap den gedragen. Nr. digits 3 is 1,2,and niet verrassend omdat 3 + 32 + incapable telling the truth. ontcijferen. The one at rightHoe (1), luidt Puzzle die 2 - My toy robot could display only three identifies himself to the one in the middle (2), who 3. Using these three digits, he could display up to three digit Puzzle 3 2 2's, gevallen waarbij een rode mier met tellsboodschap? to the one on the right (3): "He says he is an numbers composed ofer1's, and 3's inzijn a row. How many 22 alien". "No, he is not an alien - he is a human" - different numbers can he display? 2 = een afstand 2 voorafgaat aan een blauwe answers (3) Can you tell, who are in majority in the Puzzle 3 - What is the smallest and largest number the toy 222; group - aliens or humans? 22 robot could display using threeWelke two's andvan nothing mier. deelse? andere rijen zijn verras2 = Powers send en welke niet? Using powe 2
1
A
-
O
5 6
D
L
E
7
N
8 9 10 11
I
U
A
N
-
-
12 13 14 15 16 17 18
-
W
E
O
22
2 = 2x2x2x2x2
OGEN EYES
MOND MOUTH
3 4
I
Raising a n itself as many times
1
2
S
E
NEUS NOSE
HAREN HAIR
22
R
19 20
2
ALIENS LANDING
Finally, 24 aliens just landed on Earth. They are all identical. In order to be 3 distinguished by the earth people they painted their hair, eyes, nose and mouth in four colors in different combinations. Each of them 4 carries part of the message in English (one letter), which can be in succession decoded using the color chart provided by their leader5(on the right). What is the encrypted message?
L
O
N
21
R
D
L
J
24
1
TIJD
2
ANT PROCESSIONS -
VOLTOOID 00:00
-
A
O
6 L
UITDAGING
N
J
22 23
E
ALIENS Take us
UITDAGING
Dennis E. Shasha, a professor of computer science at the New York University, defined a sequence of symbols as being "surprising", if there are no two symbols x and y, such that there are two or more pairs of occurences of the two symbols where x precedes y by the same distance. For example, processions number 3 is not surprising since there are two occurences of the symbols x and y where x precedes y by two symbols. In our puzzles, the symbols are ants carrying eggs of different colors. Can you tell which of the six ant processions are surprising and which are not?
VOLTOOID TIJD
E
00:00
HOOFDSTUK 1 OORDELEND VERMOGEN 11
MOORDENDE KATTEN Het meer dan 5 meter lange Rhind-papyrus dateert uit het Egyptische Middenrijk (ca. 1650 v.Chr.) en wordt bewaard in het British Museum in Londen. De rol is een van de oudst bekende wiskundedocumenten. Het heeft zijn naam ontleend aan de Schotse antiquair Alexander Henry Rhind, die het in 1858 in Egypte heeft gekocht; na zijn dood hebben zijn erven het aan het museum geschonken. CATS MICE WHEAT Het Rhind-papyrus is HOUSE onze belangrijkste bron van kennis van de oud-Egyptische wiskunde. Het werd door een kopiist, Ahmes, in hiëratisch schrift overgeschreven van een verloren gegaan ouder document.
Het bevat 84 wiskundige problemen plus hun oplossingen op het gebied van rekenkunde, oppervlaktemeting en lineaire vergelijkingen. Het toont ook aan hoe sterk de vroeg-Egyptische wiskunde gebaseerd was op raadsels. Probleem 79, de Moordende katten (‘huis-katten-muizen-tarwe’), is een terecht beroemd geworden klassieker. Het staat ook bekend als het Ahmes-raadsel. Het is waarschijnlijk een van de oudste raadsels die verband houden met de combinatoriek. (Een ander oud voorbeeld heeft misschien gestaan in de oud-Chinese I Tjing of Boek van Verandering uit de 9de eeuw HOUSE CATS MICE WHEAT Ahmes' puzzle v.Chr.) In moordende katten zijn er zeven huizen met elk zeven katten. Elke kat doodt zeven muizen. Elke muis zou zeven tarwearen hebben gegeten. Elke aar zou zeven mini-eenheden bloem hebben opgeleverd. Hoeveel eenheden bloem hebben de katten gered?
Ahmes' puzzle 16807 unit measures of flour: 7 x 7 x 7 x 7 x 7 The ancient Egyptians pushed mathematics to a very advanced level. The Ahmes' puzzle may be the world's oldest mathematical puzzle, found in the ancient Egyptian 'Rhind Papyrus'., written by the scribe Ahmes (c.1650 BC). A great number of the variations of the same puzzle can be found in recreational math literature. .The solution is the sum of geometric progression of five terms, of which the first term is 7, and the multiplier is also 7: houses 7; cats 49; mice 343; ears 2401; grains 16807 Ahmes' puzzle has inspired many variations among them the St. Ives riddle. Leonardo of Pisa (Fibonacci) in 1202, published the rhyme in his book Liber Abaci, though it is unclear how did he get access to the Rhynd papyrus at that time?
16807 unit measures of flour: 7x7x7x7x7 The ancient Egyptians pushed mathematics to a very advanced level. The Ahmes' puzzle may be the world's oldest mathematical puzzle, found in the ancient Egyptian 'Rhind Papyrus'., written by the scribe Ahmes (c.1650 BC). A great number of the variations of the same puzzle can be found in recreational math literature. .The solution is the sum of geometric progression of five terms, of which the first term is 7, and the multiplier is also 7: houses 7 cats 49 mice 343 ears 2401 grains 16807 Ahmes' puzzle has inspired many variations among them the St. Ives riddle.
RHIND PAPYRUS The Rhind papyrus, sometimes called the Ahmes' papyrus a scroll of 6 meters long kept today on the British Museum is one of the oldest mathematics documents found. It is our main source of knowledge of Egyptian mathematics. It contains a collection of 84 mathematical problems and their solutions, devoted to arithmetics, calculation of areas, and the resolution of "linear equations". It is also a convincing document indicating how much of the early Egyptian mathematics was based on puzzle problems. Its problem 79, the "House-Cats-Mice-Wheat" puzzle is a classic which became famous. It indicates some notion about application of geometrical progressions, and is also probably one of the earliest puzzles connected with combinatorics (the earlier may have been the Chinese I Ching).
RHIND PAPYRUS The Rhind papyrus, sometimes called the Ahmes' papyrus a scroll of 6 meters long kept today on the British Museum is one of the oldest mathematics documents found. It is our main source of knowledge of Egyptian mathematics. It contains a collection of 84 mathematical problems and their solutions, devoted to arithmetic, calculation of areas, and the resolution of "linear equations". It is also a convincing document indicating how much of the early Egyptian mathematics was based on puzzle problems.Its problem 79, the "House-Cats-Mice-Wheat" puzzle is a classic which became famous. It indicates some notion about application of geometrical progressions, and is also probably one of the earliest puzzles connected with combinatorics (the earlier may have been the Chinese I Ching).
3 12 HOOFDSTUK 1 OORDELEND VERMOGEN
UITDAGING VOLTOOID TIJD
00:00
GENERAAL SCHREEUWLELIJK In elk van 11 rode vakken bevindt zich een BONUS: Daarna wil de generaal zijn mannen identiek aantal soldaten, x. Als je hun leider, zodanig opstellen in 8 rijen van 8 man per generaal Schreeuwlelijk, aan het totaal rij dat hij zelf een plaats kan innemen op toevoegt, kun je de soldaten opstellen als eenzelfde afstand van elke rij. Hoe kun je één perfect vierkant. Wat is het minimum 8 rijen soldaten opstellen volgens de orders aantal soldaten in elk vak en het aantal van de generaal en hoeveel soldaten heb soldaten in de carréopstelling (met generaal je nodig om de bevelen van de generaal te Schreeuwlelijk)? kunnen opvolgen? squares to infinity - fibonacci number - tessellation - plane - perfect square - spiral - dudeney - consecutive squares - minimal squares to infinitysquares - fibonacci tessellation - plane- tessellation - perfect square - spiral - dudeney squares - minimal -squares - minimal to number infinity -- fibonacci number - plane perfect square- -consecutive - dudeney - consecutive squares to infinity - fibonacci number - tessellation - plane - perfect square -- spiral - dudeney -spiral consecutive squares - minimal -
x
x x
x x
xx
x
xx
x x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
y
2
4
y
GENE
2
genera est nu 9 to c for a shown
UITDAGING VOLTOOID TIJD
00:00
HOOFDSTUK 1 OORDELEND VERMOGEN 13
HOLLE KUBUS
LIJNTJES TREKKEN
Je kijkt vanuit verschillende richtingen in een holle kubus. Op de bodem van de kubus zit een gekleurd raster (7 x 7) met een afbeelding. Je ziet telkens slechts een deel van het patroon. Vanuit de 6 kijkrichtingen krijg je echter genoeg informatie om de hele afbeelding te reconstrueren in het lege raster onderaan de bladzijde. Wat is die afbeelding?
Probeer elk van de onderstaande patronen na te tekenen zonder je pen van het papier te halen. Je mag een reeds getrokken lijn kruisen, maar je mag niet 2 keer dezelfde lijn tekenen. Welke 2 patronen kun je niet op deze manier natekenen?
14.7
1 3
1 3
2
2
5 6
4 5
4
9
7
6
HOLLOW CUBE 2
10
11
8
POSSIBLE-IMPOSSIBLE TRACES Euler's Problem
Imagine putting your pen anywhere you want to start tracing in each pattern. Try to trace the whole pattern along the lines without taking your pen off the paper, and without leaving the white outlines. The lines you trace may cross but they are not allowed to be retraced. Which are the two impossible to trace patterns?
5
UITDAGING VOLTOOID TIJD
00:00
14 HOOFDSTUK 1 OORDELEND VERMOGEN
6
UITDAGING VOLTOOID TIJD
00:00
MÖBIUS De 19de-eeuwse Duitse wiskundige August Möbius (1790-1868) ontdekte dat je een oppervlak kunt maken met slechts één kant en één rand, en die dus, anders dan een cilinder, torus of bol, geen binnen- of buitenkant heeft. Het klinkt ingewikkeld, maar het is doodsimpel: om zo’n möbiusband te maken neem je een strook papier, draai je het ene uiteinde een halve slag en plak je de uiteinden aan elkaar. Het papier heeft natuurlijk een bepaalde dikte, maar die negeren we.
De möbiusband vormt de basis van veel topologische structuren en raadsels. Wat gebeurt er bijvoorbeeld als je een möbiusband precies in het midden doorknipt? En wat als je een möbiusband vlak langs de rand doorknipt? Wat gebeurt er met jou en je horloge als je over een möbiusband loopt en bij het vertrekpunt uitkomt?
Een strook die wordt vastgelijmd als een cilinder.
MÖBIUSBAND IN HET MIDDEN DOORGEKNIPT
Knip een möbiusband langs de rode lijn door tot aan het begin. Wat is het resultaat?
Een strook die wordt vastgelijmd na een halve draai: een möbiusband.
MÖBIUSBAND LANGS DE RAND DOORGEKNIPT
Knip een möbiusband door langs de groene lijn, vlak bij de rand. Wat is het resultaat?
MO
REIZEN OVER EEN MÖBIUSBAND
Wat gebeurt er met jou en je horloge als je over een möbiusband loopt en terugkomt bij het begin? Probeer het eens!
MOBIUS BAND A Beautiful and Mysterious Object with a Twist
7
the with
TR BA
UITDAGING VOLTOOID TIJD
MO
00:00
The nineteenth-century German mathematician A.F. Mobius (1790-1868) discovered that it was possible to make a surface that has only one side and one edge and has no "inside" and "outside", unlike a cylinder, torus or a sphere. HOOFDSTUK 1 OORDELEND VERMOGEN 15 Although such an object seems impossible to imagine, making a Mobius strip is very simple: take a strip of ordinary paper and give one end a twist, then glue the two ends together. Of course the paper has a certain thickness
brin Th No ban
DE TRAP VAN MARCO Vanaf de bovenste verdieping van zijn woonUITDAGING toren kijkt computerkunstenaar Marco op de wenteltrap neer. Geïnspireerd door het spel VOLTOOID van licht en schaduw maakt hij deze geoTIJD metrische veelhoekpuzzel. Wat is de relatie tussen het totaal van"de rode en groene Everything should be made as simple as possible, but not simpler. " -Albert Einstein gebieden van het gele veelvlak?
8
16 HOOFDSTUK 1 OORDELEND VERMOGEN
14.7
00:00
CIRKELOMTREKKEN VAN DE ROZET
WEERBERICHT
De omtrekken van diverse cirkels met dezelfde straal lopen door het middelpunt van een tweemaal zo grote cirkel, waardoor gele, groene en blauwe rozetten zijn ontstaan. Welke omtrek is groter: de omtrekken van de rozetten die zijn gevormd door de gekleurde lijnen of de omtrek van de grote rode cirkel?
WEIGHING - THREE WEIGHTS
You have three identical boxes of different weights. With one set of scales, how many weighings will you need to arrange the three boxes from the lightest to the heaviest?
Op vrijdagochtend heeft Juliëtte een sollicitatiegesprek voor een baan als weervrouw bij een regionale omroep. De omroepmanager Stanley Q. Brick vraagt haar: ‘Welke van de volgende weersvoorspellingen zijn waar? Welke zijn gebaseerd op bijgeloof?’ 1 De kans is groter dat je gewrichten pijnlijker zijn voor een storm. 2 Kikkers kwaken meer voor een storm. 3 Een kring om de maan duidt op regen. 4 Vogels en vleermuizen vliegen lager voor een storm. 5 Krekels kunnen je zeggen hoe warm het is. 6 Touwen gaan strakker staan voor een storm. 14.7 7 Vissen komen voor een storm naar het WEIGHING - COINS 14.7 You have two groups of coins. 21 identical gold coins 14.7 oppervlak. and a group of 8 bronze coins. In each group one is slightly 8 ‘Zingende’ telefoondraden duiden op een heavier than the rest, With one balance scale, how many weigings will you weersverandering. need to identify the heavier coin?
ROSETTE CIRCUMFERENCE The perimeter of the rosettes is exactly equal to the big circumference. No matter how the smaller circles are arranged within the large circle (so long as they pass through the centre) nor on how many smaller circles are there.
ROSETTES AND CIRCUMFERENCE
9
WEFA'S DISSECTION
Ten circles of the same radius are drawn through the center of a circle twice as big, forming rosettes (yellow, green, blue). Which of the perimeters is greater - the perimeters of the rosettes formed by colored lines or the circumference of the big red circle?
UITDAGING Can you dissect
three identical squares that can be reassembled to make one big square?' Posed by Abdul VOLTOOID Wefa in the 10-th century, this is one of the oldest dissection transformation TIJD 00:00 puzzles. His beautiful solution had 9 pieces, can you solve it? Note: The minimal solution for this problem is with 5 pieces.
WEATHER PREDICTION
10
Do you agree to all following weather predictions or do you think some UITDAGING of them are just based on superstition? 1- Your joints are more likely to ache before a storm? 2- Frogs croak more before a storm? VOLTOOID 3- A ring around the moon means rain? 4-Birds and bats fly lower before a storm? TIJD by listenng to00:00 5- You can tell temperature a cricket 6- Ropes tighten up before a storm? 7- Fish come to the surface before a storm? 8- ‘Singing’ telephone wires signal a change in the weather? HOOFDSTUK 1 OORDELEND VERMOGEN 17
OPLOSSINGEN
Raising a number to a power simply means multiplying it with itself as many times as indicated by the power so: 22
2 = 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 4,194,304
1
3
Leid ons naar jouw leider.
E
L
I
O
N
N
-
2
A
O
E
-
S
A
J
L
D
R
U
I
W
D
E
R
ALIENS LANDING Take us to your leaders
1 Niet-verrassend, want er zijn twee gevallen van A = 2, tussen de rode en blauwe eieren (A = 2 is een afstand van twee plekken.) 2 Verrassend. 3 Niet-verrassend, want er zijn twee gevallen van A = 2, tussen een rood en een blauw ei. 4 Niet-verrassend, want er zijn twee gevallen van A = 4, tussen een rood en een geel ei. 5 Verrassend. 6 Niet-verrassend, want er zijn twee gevallen van A = 1 tussen een rood en een blauw ei.
106 OPLOSSINGEN
16.807 eenheden bloem: 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 16.807. De oplossing is de som van een geometrische progressie van vijf termen waarvan de eerste 7 is en de vermenigvuldiger ook 7 is: 7 huizen, 49 katten, 343 muizen, 2401 aren, 16.807 eenheden bloem. Het Ahmes-raadsel is de inspiratiebron geweest voor allerlei varianten. De Italiaanse wiskundige Leonardo van Pisa (Fibonacci) publiceerde een versie in Liber Abaci (Boek over algebra), hetzelfde boek dat de Arabische cijfers in Europa heeft geïntroduceerd. Fibonacci voegde er nog een macht van 7 aan toe: 7 tot de macht 6. 7 oude vrouwen reizen naar Rome. Ze hebben ieder 7 ezels, elke ezel draagt 7 zakken, elke zak bevat 7 broden, voor elk brood zijn er 7 messen en voor elk mes zijn er 7 scheden. Hoeveel scheden zijn er? 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 137.256. Dan is er nog een 18de-eeuwse versie over een man die door Cornwall reist. ‘Op weg naar St Ives kwam ik een man tegen met 7 vrouwen. Iedere vrouw had 7 zakken, elke zak had 7 katten, elke kat had 7 kittens. Kittens, katten, zakken, vrouwen. Hoeveel waren er op weg naar St Ives?’ Het leuke van deze versie is dat het een strikvraag is. Als de vragensteller naar St Ives gaat, gaan de man en zijn vrouwen in de andere richting, weg van St Ives. Het antwoord op de vraag ‘Hoeveel waren er op weg naar St Ives?’ luidt dus 1.
s the mallst be uired s, as
4
6
Het totale aantal soldaten plus de generaal moet een tweede macht zijn. Het kleinste aantal soldaten in elke groep moet 9 zijn. Zo krijg je het eerste tweedemachtsgetal dat je nodig hebt voor een opstelling van 10 x 10 soldaten, zoals getoond.
De patronen 4 en 5 kun je niet natekenen. Om te bepalen of je dergelijke patronen kunt natekenen moet je kijken hoeveel lijnen bij elk kruispunt samenkomen. Als er meer dan 2 kruisingen zijn vanwaar een oneven aantal lijnen vertrekt, kun je het patroon niet volgens deze regels natekenen. Als er 2 kruisingen met oneven lijnen zijn, is het een grensgeval: je moet deze 2 punten dan als begin- en eindpunt nemen. Om bijvoorbeeld patroon 7 te tekenen moet je in de linker of rechter benedenhoek beginnen en respectievelijkxeins),de rechter of linker beneo (red b t ic a l denhoek eindigen. n e id 1 1 n
de generaal
BONUS: In de getoonde opstelling gebruikt GENERAL'S ARRAY 1 hij 56 soldaten. The total number of soldiers plus the general must be a square number. The smallest number of soldiers in each group must be 9 to create the first square number required , oxes) of soldiers, as for a 10-by-10 square (red barray al ic t n shown on11the right n id e is a there
L'S ERA GEN 2 Y r ARRA A n o t h e l enera g e th time
5 GENERAL'S ARRAY 2 Zoals getoond. Tsjilp, tsjilp.
7
there
is a
MÖBIUSBAND IN HET MIDDEN DOORGEKNIPT 1 stuk, 2 randen, dubbele draai, dubbele L'S ERA lengte. GEN 2 Y r ARRA A n o t h e ral e n e the g time MÖBIUSBAND LANGS
DE RAND DOORGEKNIPT 2 met elkaar verbonden banden: 1 möbiusGENERAL'S ARRAY 2 band van dezelfde lengte en 1 tweede band, tweemaal zo lang met 2 volledige draaien. REIZEN OVER EEN MÖBIUSBAND Met je horloge bewandel je een pad dat je terug naar het beginpunt brengt, maar dan gespiegeld. De möbiusband is een niet-oriënteerbaar oppervlak. Niet-oriënteerbaarheid is een unieke eigenschap van de möbiusband.
OPLOSSINGEN 107
8
14.7 14.7 14.7
De groene driehoeken hebben samen een groter oppervlak dan de rode driehoeken bij elkaar, in een verhouding van 17:19. De puzzel is gebaseerd op de stelling van Cavalieri: twee of meer driehoeken met een gemeenschappelijke basis en een gelijke hoogte hebben dezelfde oppervlakte. Bonaventura Cavalieri (1598-1647), een Italiaanse wiskundige aan de Universiteit van Bologna, 10 ROSETTE CIRCUMFERENCE The perimeter of the rosettes is exactly equal to the big circumference. bewees deze stelling voor driehoeken, maar Ze zijn allemaal waar: No matter how the smaller circles are arranged within the large circle (so long as they pass through the centre) nor on ze geldt ook voor parallellogrammen. Cava1 Een regenstorm ontstaat bij een lage how many smaller circles are there. lieri bewees de stelling voor 2 dimensies. De luchtdruk. Als de luchtdruk op je lichaam GREEN RING 3-dimensionale versie van de stelling werd laag is, zetten de gassen in je gewrichten ROSETTES CIRCUMFERENCE The total ofAND green triangles has a bigger area than the red ones in a 9 relationship. The puzzle is based on Cavalieri's theorem: two or later door anderen bewezen, maar staat ook uit en veroorzaken pijn. angles with a common base and equal altitudes have equal areas. bekend als de stelling van Cavalieri. 2 Voor een storm is de lucht vaak vochtig. Hij onderhield een correspondentie met Kikkers moeten hun huid vochtig houden de Italiaanse astronoom-natuurkundige en bij vochtige lucht kunnen ze langer op Galileo Galilei, die hem had aanbevolen voor het droge blijven en langer kwaken. het professoraat in Bologna met de woorden: 3 In hoge cirruswolken die aan een regen‘Sinds Archimedes heeft waarschijnlijk niefront voorafgaan, vormen zich ijskristalCAVALIERI'S THEOREM Bonaventure (1598-1647), an Italian mathematician, at mand zich zoCavalieri grondig in de wetenschap van len. De kristallen breken het licht van de the University of Bologna proved this theorem for triangles. de geometrie verdiept.’ maan en vormen een kring. Two or more triangles with a common base and equal altitudes have equal areas 4 De oren van vogels en vleermuizen zijn gevoelig voor luchtdrukveranderingen. De h lage druk van een stormfront doet pijn als ze hoger vliegen, waar de luchtdruk nog a a a a lager is. The same is true for parallelograms. Cavalieri proved the validity of the theorem for two dimensions. The three-dimensional version of the5 Koudbloedige krekels tsjirpen meer naartheorem 9 was later proved by others, but is is still known today as Cavalieri's mate het warmer wordt. Tel het aantal theorem. (see: Sphere Volume, proven by Cavalieri's theorem). tsjirps dat een krekel in 25 seconden De omtrek van elke rozet is gelijk aan die maakt, deel dat door 3 en tel er 4 bij op: van de grote cirkel, ongeacht hoe de kleinere dit is de temperatuur in graden Celsius. cirkels binnen de grote cirkel zijn geordend 6 Door de stijgende luchtvochtigheid (zolang ze maar door het middelpunt lopen) nemen touwen meer vocht uit de lucht of hoeveel kleinere cirkels er zijn. op, waardoor knopen strakker worden/ krimpen. Ten circles of the same radius are drawn through the center of a circle twice as big, forming rosettes (yellow, green, blue). Which of the perimeters is greater - the perimeters of the rosettes formed by colored lines or the circumference of the big red circle?
108 OPLOSSINGEN