Issuu

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: Estàtica i Dinàmica

Antonio Sanchis Sabater Albert Marín Sanchis Professors Titulars de l’Universitat Politècnica de Valéncia Departament de Física Aplicada Escola Tècnica Superior d’Ingeniers Industrials

Copyright ® 2015 Todos los derechos reservados. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética, o cualquier almacenamiento de información y sistema de recuperación sin permiso escrito de los autores y del editor. En caso de erratas y actualizaciones, la Editorial Tirant lo Blanch publicará la pertinente corrección en la página web www.tirant.com (www.tirant.com).

Si tiene alguna queja o sugerencia, envíenos un mail a: atencioncliente@tirant.com. En caso de no ser atendida su sugerencia, por favor, lea nuestro Procedimiento de quejas en: www.tirant.net/index.php/empresa/politicas-de-empresa

Antonio Sanchis Sabater Albert Marín Sanchis

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: Estàtica i Dinàmica

Professors Titulars de l’Universitat Politècnica de Valéncia Departament de Física Aplcada Escola Tècnica Superior d’Ingeniers Industrials

PRESENTACIÓ En este llibre es recopilen i resolen, els problemes que els seus autors han propost en els exàmens de l'assignatura Fonaments Físics de l'Ingenieria I, de la titulació d'Ingenier Industrial de l'Escola Tècnica Superior d'Ingeniers Industrials de Valéncia, durant els cursos 1998-99 al 2006-07. Els problemes s’han classificat per capítuls, en funció de la seua temàtica, i alguns d’ells figuren en varis, segons lo que es demane en els seus apartats. Al principi de cada capítuls, s'expon una metodologia que intenta sistematisar la resolució de problemes del tema correspondent, i que serà l’amprada en el desenroll posterior, fugint aixina de l’idea feliç, i sense oblidar els conceptes teòrics sobre els que se sustenten. Confiem, per fi, que el seu contingut siga útil als nostres alumnes, i a tot aquell que intente comprendre millor l’aplicació pràctica dels conceptes teòrics de la Física, que seran la base del desenroll posterior de moltes de les assignatures de les carreres d’Ingenieria. En eixa voluntat ho hem fet. Valéncia, juliol 2007 Els Autors

AGRAÏMENT Els autors volem agrair molt especialment al nostre amic Joan Carles Micó Ruiz, professor del Departament de Matemàtica Aplicada, la seua desinteressada colaboració en la confecció d'este text.

TEMA 1 PROBLEMES D’ESTÀTICA DEL SÒLIT

TEMA 1. PROBLEMES D’ESTÀTICA DEL SÒLIT

Pautes a seguir per a la resolució de problemes d’estàtica dels sistemes. Els problemes en qué es pretenga obtindre la posició d'equilibri del sistema, es poden resoldre seguint dos métodos, el denominat de les reaccions i el dels treballs virtuals. Si el sistema és conservatiu, este últim té una variant, basant-se en les energies potencials, que denominarem método del potencial. Aquells en qué es pretenga obtindre forces de reacció normals que actuen sobre el sistema, es resoldran preferentment pel método de reaccions, perque per a aplicar el método dels treballs virtuals al càlcul d’este tipo de forces, és necessari realisar moviments virtuals no compatibles en els enllaços, afegint al sistema graus de llibertat que realment no té. Esta aplicació no es vorà en cap dels eixemples ací exposts. Per a resoldre els problemes per cadascú dels tres métodos se seguiran els passos següents: 1. Método de les reaccions 1.A. En primer lloc es dibuixa un esquema per a cadascú dels distints elements o sòlits del sistema. 1.B. Seguidament es representen, per a cada element les forces que actuen sobre ell. Per a no oblidar-nos de cap d’elles podem seguir el següent orde 1.B.a. En primer lloc es representen les forces i moments exteriors directament aplicats sobre el sòlit (el pes, per eixemple) 1.B.b. Seguidament les forces i moments exteriors al sistema, que provenen de les reaccions d’enllaç que actuen sobre el sòlit. 1.B.c. Finalment les forces i moments interiors al sistema que són exteriors a cada element. És dir, aquelles que s'exercixquen entre si els sòlits que formen el sistema. Han de representar-se en els dos sòlits que interactuen, de manera que tinguen el mateix mòdul i direcció, i sentits oposts per a cadascú d'ells. 1.C. Per a cada element es plantejaran les equacions d’equilibri, es dir, igualar a zero la resultant i el moment resultant respecte a qualsevol punt de l’espai, de les accions exteriors que actuen sobre l’element. Estes equacions seran escalars a l’anular cada component d’abdós vectors. 1.D. Per últim es resol el sistema, obtenint-se les incògnites desijades. 2. Método dels treballs virtuals 2.A. En primer lloc es realisen tres passos inicials, que, independentment del orde, són: 2.A.a. Es tria l’orige i els eixos coordenats. 2.A.b. Es trien les coordenades generalisades. És convenient que siguen independents, encara que a vegades no és possible, i unes atres, segons la complexitat del sistema, pot ser útil utilisar alguna coordenada auxiliar

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: ESTÀTICA I DINÀMICA

2.A.c. Es representen les forces exteriors directament aplicades sobre el sistema, aixina com les forces de roçament i els moments de resistència al rodament i al pivotament. En cas d'existir algun moment, se substituirà per dos forces situades en un pla perpendicular al moment, sobre direccions paraleles i sentits oposts, de manera que els seus mòduls, iguals, seran el quocient entre el mòdul del moment i la distància entre les dos llínees 2.B. Una vegada realisats els passos inicials, s’expressen les forces en el sistema de referència triat. 2.C. S'expressa en el sistema de referència triat, els vectors posició dels punts del sistema on hi ha aplicada alguna de les forces representades, en funció de les coordenades generalisades triades 2.D. S'obté la derivada absoluta de cada vector posició respecte a cada coordenada generalisada independent. Esta operació la realisarem de manera distinta segons les coordenades triades siguen independents o no: 2.D.a. Si són independents, les derivades absolutes coincidixen en les parcials, per tant obtindrem les derivades parcials de cada vector de posició respecte cada coordenada generalisada:

   ri d ri  j  1, k  d qj qj

2.D.b. Si no són independents, les derivades absolutes respecte les independents s’obtindran sumant a les derivades parcials obtingudes com en l’apartat anterior, l’aportació de les dependents, segons la regla de la cadena:    m r  ri  qr d ri  i   j  1, k Si qr  qr q1 , ..., qk  : d q j  q j r  k 1  qr  q j



2.E. Es multiplica escalarment cada força, per cadascuna de les derivades del vector posició del punt on està aplicada, obtingudes en l'apartat anterior 2.F. Se sumen els productes anteriors que corresponguen a cada coordenada generalisada independent. 2.G. S'igualen a zero cadascuna de les sumes (hi haurà tantes sumes i, per tant, equacions, com a coordenades generalisades). 2.H. Es resol el sistema 3. Método del potencial 3.A. En primer lloc es comprovarà que el sistema és conservatiu, és dir, que ho són totes les forces i moments que actuen sobre el mateix 3.B. Es realisen dos passos inicials, que independentment de l'orde, són: 3.B.a. Es trien les coordenades generalisades. És convenient que siguen independents, encara que a vegades no és possible, i atres, segons la complexitat del sistema, pot ser útil utilisar alguna coordenada auxiliar.

TEMA 1. PROBLEMES D’ESTÀTICA DEL SÒLIT

3.B.b. Es representen les forces exteriors directament aplicades sobre el sistema. En cas d'existir algun moment, se substituirà per dos forces situades en un pla perpendicular al moment, sobre direccions paraleles i sentits oposts, de manera que els seus mòduls, iguals, seran el quocient entre el mòdul del moment i la distància entre les dos llínees d'acció. 3.C. Una vegada realisats els passos inicials, es calcula el potencial de cada força en funció de les coordenades generalisades. Si hi ha algun moll és convenient calcular, com a funció potencial de les forces que exercix sobre el sistema, l'energia almagasenada pel moll. Si no es coneix la funció potencial, hi haurà que calcular-la seguint u d'estos dos métodos: 3.C.a. Es fixa una posició del sistema (un valor de les coordenades) com a  orige de potencial. De la definició F   gradV s'obté V per integració entre l'orige i la posició que ocupa la força. 3.C.b. Es fixa una posició del sistema (un valor de les coordenades) com a orige de potencial. Es calcula el treball realisat per la força per a anar des de la posició d'orige, a la posició que ocupa. El potencial és el treball calculat canviat de signe. 3.D. Es determina el potencial del sistema sumant els potencials calculats. 3.E. S'obté les derivades absolutes del potencial del sistema respecte a cada coordenada generalisada independent. Esta operació la realisarem de manera distinta segons les coordenades triades siguen independents o no: 3.E.a. Si són independents, les derivades absolutes coincidixen en les parcials, per tant obtindrem les derivades parcials del potencial respecte cada coordenada generalisada: d U U  j  1, k  d qj qj 3.E.b. Si no són independents, les derivades absolutes respecte les independents s'obtindran sumant a les derivades parcials obtingudes com en l'apartat anterior, l'aportació de les dependents, segons la regla de la cadena: Si qr  qr q1 , ..., qk  :



m d U U  U  qr    j  1, k d q j  q j r  k 1  qr  q j

3.F. Es resol el sistema, en el que hi haurà tantes equacions com a coordenades independents, i es determinen els valors d'estes, que definiran la posició d'equilibri. 3.G. Si el sistema només té una coordenada generalisada i es vol estudiar l'estabilitat de les distintes posicions d'equilibri, es realisaran els passos següents: 3.G.a. Es troba la segona derivada del potencial respecte a cada coordenada generalisada independent, dos vegades

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: ESTÀTICA I DINÀMICA

3.G.b. Es calcula el valor d'esta segona derivada per a cada valor de la posició d'equilibri, obtingut en 3F. Valors positius indiquen posicions d'equilibri estables; valors negatius, equilibris inestables.

TEMA 1. PROBLEMES D’ESTÀTICA DEL SÒLIT

Problema 1 (problema d’examen de 24 de giner de 2000 propost per A. Marín) L’estructura ABCD de la figura, de massa total 5m, està formada per 3 barres homogénees, de llongituts l, 2l i 2l respectivament, soldades en ànguls rectes. L’extrem A es troba 2.l recolzat sobre un sol horisontal en qué B C hi ha un coeficient de roçament , mentres que l'extrem D ho està sobre una pendent, inclinada 45º sobre l l'horisontal, sense roçament. Si l'estructura es troba en equilibri 2.l  mantenint la barra BC horisontal, calcular: A a) Posició del Centre de Gravetat de '=0 l’estructura 45º b) Valor mínim del coeficient de roçament  D c) Si el coeficient de roçament val =0'75, calcular quina és la màxima distància del punt B a qué pot colocarse una massa puntual m sobre la barra BC per a que l'equilibri es mantinga. a) En primer lloc fixem el sistema de referència. Fixem l'orige de coordenades en el vèrtiç del sol, l’eix OX horisontal cap a la dreta, i l'eix OY vertical, cap amunt Descomponem el sistema en les tres barres homogénees, i denominem Element 1 a la barra AB, Element 2 a la barra BC, i Element 3 a la barra CD. Com les barres són homogénees, el centre geomètric coincidirà en el centre de masses, i este en el de gravetat, per lo qual determinarem el centre geomètric, i com la figura és plana, no caldrà determinar la component zG, que serà zero.

2.l

C y

A 

2.l

'=0

45º D

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: ESTÀTICA I DINÀMICA

Element

1 2 3

l 2.l 2.l



xG =

M 1y

M 1x

yG =

Introduïm en la taula les coordenades dels centres de cada element Element

-l

2 3

2.l 2.l

0 l



xG =

Per tant el centre de gravetat serà:

M 1y

M 1x

l 2 l 0

yG =

TEMA 1. PROBLEMES D’ESTÀTICA DEL SÒLIT

Element

M 1x

-l

-l2

2 3

2.l 2.l

0 l

0 2.l2



M 1y

l 2 l 0

l2 2 2.l2 0 5.l 2 2

5.l

5.l 2 2

l2 xG =

l 5

l = 2

yG =

5.l

b) Determinem l'equilibri pel método de les reaccions. Com només tenim un sòlit, representem les forces que actuen sobre ell Plantegem les equacions d'equilibri

    FX  0  N D . cos 45  Fr R0   F y  0  V A  N D .sen45  5.m.g l l M O  0   M O Fi z  0  N D .  5.m.g.  V A .l cos 45 5





obtenint-se:

per tant

Com no esvara

 Fr  m g  V A  cos2 45  5  sen45 cos 45  V A  m g 1  sen45 cos 45   Fr  2 m g  V A  3 m g

1'

2'

1'

2'

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: ESTÀTICA I DINÀMICA

Fr   .V A  2.m.g  .3.m.g    D'on el valor mínim del coeficient de roçament =0’67

2 3

c) Resolem anàlogament el problema pel método de les reaccions, afegint la força correspondent al pes de la massa colocada, i l'esquema queda: Plantegem les equacions d'equilibri

   F X  0  N D . cos 45  Fr R0  F y  0  V A  N D .sen45  6.m.g

MO  0 



 M F  O

ND.

i z

0



l l  m.g.x  5.m.g.  V A .l cos 45 5

obtenint-se:   x  N D  m.g 1    VA . cos 45 l   

per tant:

Com no esvara

   x  2  Fr  m g 1    V A  cos 45   l    x  6  1   sen45 cos 45   l V A  m g 1  sen45 cos 45 

 xmg   Fr   7  l  3    x  V A  11   m g l 3  

Fr   V A



4' 5'

5 x l 7

4' 5'

TEMA 1. PROBLEMES D’ESTÀTICA DEL SÒLIT

Problema 2 (problema d’examen de 7 de juliol de 1999 propost per A. Sanchis) El sistema de la figura està format per dos barres AB i BC, abdós de massa despreciable i llongitut L=0’3 m, articulades entre si pel seu extrem comú, B. L'extrem A està articulat a un punt fix, mentres que el C s'articula a un pistó que pot B L L moure's en l'horisontal que passa per A. Sobre el pistó  F actua una força horisontal C F=7975 cos N en el sentit A indicat en la figura; i en B se subjecta una càrrega de pes P P. Despreciant tot roçament, es demana: 1º Per mig del principi dels treballs virtuals, calcular el valor de P en funció de l'àngul  d'equilibri indicat en la figura. 2º Calcular el valor de P, en funció de l'àngul  d'equilibri, per consideracions energètiques. 3º Calcular el valor de P que fa que =10º siga una posició d'equilibri. 4º En el valor de P calculat en l'apartat anterior, obtindre les tres posicions d'equilibri existents en l'interval [-90º, 90º], i estudiar l'estabilitat de cadascuna d'elles. 5º Per a la posició d'equilibri =10º, determinar el vector reacció que s'exercix sobre la barra AB en l'articulació A. 1) Triem com a orige del sistema de coordenades el punt A, per ser fix; l'eix AX horisontal cap a la dreta, i l'eix AY vertical cap amunt. Com el sistema té un grau de llibertat, es tria com a coordenada generalisada l'àngul . Representem les forces exteriors directament aplicades Y

 X

 FB   P. j   I els seus vectors posició son: rB  L. cos .i  sen . j els derivem respecte a la coordenada generalisada:

Estes forces, aplicades en B i C, valen:





 FC   F .i

 rC  2.L.cos .i

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: ESTÀTICA I DINÀMICA

  d rB  L. sen .i  cos . j  d

 d rC  2.Lsen .i d

Es multipliquen escalarment les derivades per les forces i se sumen. A l'igualar a zero esta suma s'obté l'equació d'equilibri  P.L cos  2.F .L.sen  0  P  2.F . tan   2.F0 .sen

En l’aplicació numèrica s’obté:

P  2  7975 .sen  15950 .sen N

2) Es tria com a coordenada generalisada l'àngul . Com les forces que actuen són, el pes P i la força F, que només depén de ; el sistema és conservatiu. Determinem el potencial de F:  Integrant el gradient:  V1  F0 . cos   x   V1  V1  V1    V1   .k   0  .j  .i  FC   F .i   grad V1   z   y y  x V1    0  z

1

2 3

De les equacions (2) i (3) es deduïx que el potencial només depén de x, per això la derivada parcial serà total, obtinguem una primitiva de la funció. F0 . cos  



dV1  V1  F0 . cos  .dx  2.L.F0 . cos  .sen .d  L.F0 cos 2   C dx

Donat que: x  2.L. cos   dx  2.L.d cos    2.L.sen .d  Considerant l’orige del potencial en la posició    C  0 2 V1  L.F0 .cos2   Calculant el treball:

    dU1  dW1   FC  dr   F0 cos i   dx i   F0 cos dx

x  2.L. cos  per tant

dx  2.L.sen .d  dU1  2 F0 L sen cos d

 cos2   2 U1   dU1    2 F0 L sen cos d  2 F0 L     F0 L cos  2    /2 0 U1



Com la força aplicada en B és un pes, el seu potencial serà l’energia potencial gravitatòria, en orige en l’horisontal que passa per A:

TEMA 1. PROBLEMES D’ESTÀTICA DEL SÒLIT

V2  L.P.sen



En açò el potencial del sistema és:

V  V1  V2  L. F0 . cos2   P.sen



Derivem el potencial respecte a la coordenada generalisada i l’igualem a zero dV  L 2.F0 .sen . cos   P. cos   d

dV  0  2.F0 .sen . cos   P. cos   P  2.F0 .sen d

En l’aplicació numèrica s’obté: 3) P  15950 .sen  2770 N

P  2  7975 .sen  15950 .sen N

4) De l’equació d’equilibri dels apartats anteriors, s’obtenen les següents solucions:     90º  cos  0      90º 2.F0 .sen . cos  P. cos    P  2.F .sen  sen  P    10º 0  2.F0 

Per a estudiar l’estabilitat, derivem novament el potencial obtingut en l'apartat 2:

 dV  d  d V  d   d L 2.F0 .sen . cos   P. cos    L. 2.F . sen 2  cos 2   P.sen  0 d d d 2









Que per a les posicions d'equilibri val: a.  = 90º

d 2V  L2 F0  P   3954 J  0 : d 2

Equilibri estable

b.  = -90º

d 2V  L2 F0  P   5616 J  0 : d 2

Equilibri estable

c.  = 10º

d 2V   L2 F0 cos 20 º   Psen10 º   4640 '7 J  0 : d 2

Equilibri inestable

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: ESTÀTICA I DINÀMICA

5) Y VA

B VC HA  X

Per a determinar la reacció en A utilisem el método de les reaccions. Representem l’esquema de les accions exteriors i plantegem les equacions d’equilibri

 

  FX  0  H A  F R0  Fy  0  V A  VC  P MC  0  M C Fi z  0  P.L. cos   2.LV A cos 





1  3 V A  P 2  2 3 1 H A  F  F0 cos 

En l’apartat anterior hem obtingut que: P  2 F0 .sen , per tant:









      RA  H A .i  VA . j  F0 cos .i  sen . j  7975. 0'985.i  0'177. j N

Hem de fer notar ací que, com mostra la figura, la reacció en A té la direcció de la barra. Açò és una conseqüència de que entre A i B no hi ha cap força aplicada, ni tan sols el pes de la barra, que es considera despreciable, puix eixa és Y B VC l’única forma que el moment de les RA=F0 forces actuants sobre la barra C HA  X s’anule en B. F A

TEMA 1. PROBLEMES D’ESTÀTICA DEL SÒLIT

Problema 3 (problema d’examen de 5 de maig de 2000 propost per A. Sanchis) El mecanisme de la figura de massa despreciable està compost per una barra AB de A K=1400 N/m llongitut 0'6 m soldada a un disc de D C radi 0'3 m, que pot girar lliurement  0'6 m 0'3 m al voltant del seu centre fix B. Del 0'3 m centre geomètric de la barra AB, B P punt C, s'unix una corda CD que pot enrollar-se al voltant del disc. A l'extrem D del cordó, s'unix un moll de constant elàstica K=1400 N.m-1 subjecte a una paret vertical en un punt fix, que dista 0'3 m respecte a l'horisontal que passa per B, quedant sempre en posició horisontal i trobant-se sense deformació quan l’àngul  de la figura és nul. De l'extrem A de la barra penja un platet, es demana determinar:  pel método de les reaccions: a) Pes P que caldrà situar en el platet per a que en l'equilibri l'àngul  siga de 30º. b) Per a tal pes P, determinar les reaccions en l'articulació B.  pel método dels treballs virtuals, supost P el determinat en l'apartat a) c) Valors de l'àngul  en les posicions d'equilibri.  per consideracions energètiques, supost P el calculat en a) d) Valors de l'àngul  en les posicions d'equilibri. e) Estudiar l'estabilitat de les distintes posicions d'equilibri. a) Per a este método, si agafem com a sistema el format pel disc i la barra, haurem de considerar les accions que sobre el disc fa la corda existent sobre ell. Estes accions són la força de moll aplicada en C, i les que actuen sobre la superfície que, com no hi ha roçament, són perpendiculars al disc i són les responsables de que la corda es corbe. Per a evitar tindre que considerar estes accions, especialment les perpendiculars, podem asumir que el sistema que anem a estudiar és el format pel disc, la barra i el tros de corda existent sobre el disc. En açò, la força exterior que actua sobre este sistema, és la del moll situada en el punt més alt del disc, puix la que actua en C i les perpendiculars, passen a ser forces internes del sistema. Este raonament també es pot entendre veent que l’equilibri del tros de corda sobre el disc obliga a que la suma de la força del moll

RESOLUCIÓ SISTEMÀTICA D’EIXERCICIS DE FÍSICA: ESTÀTICA I DINÀMICA

aplicada en C més les perpendiculars, siga, en signe canviat, la força del moll aplicada en el punt més alt, i, per tant, es puga substituir unes per l’atra. Com el moll està sense deformació quan =0, el moll es trobarà estirat i la seua acció va cap a la dreta. Aixina, les forces que actuen sobre el sistema són les que representem. Plantegem les condicions d’equilibri:



   FX  0  H B  Fm  0 R0  Fy  0  V B  P    M B Fi z  0  P.L.sen  R.Fm M B  0 







1 2 3

Com la llongitut que s’estira el moll és la de l’arc, Rθ: Fm=K R , i el sistema queda:

  FX  0  H B   K R    R0    Fy  0  VB  P  2 M B  0   M B Fi z  0  P L sen  K R 

De l’equació (3)

1

2 3



 6   70 N

0'32 R2  6  1400 PK 0'6 sen  L sen

b) De les equacions (1) i (2) es té:

   H B   K R   1400 0'3  70 N 6   VB  P  70 N 

El signe negatiu de la component horisontal significa que du el sentit contrari al representat, es dir, cap a l’esquerra. c) Com el punt B és fix, es tria com a orige de coordenades, en l'eix BX horisontal cap a la dreta, i el BY, vertical cap amunt. Al tindre el sistema un grau de llibertat, es tria  com a coordenada generalisada Per a este método, no resulta convenient considerar la força del moll aplicada en el punt més alt del disc, perque aixina seria molt complicat obtindre el seu vector de posició en funció de . Hem de colocar, per tant, esta força en C, i considerar les accions existents entre la corda i la superfície del disc. Ara be, estes últimes accions, al no existir roçament, són perpendiculars al disc (radials) i els seus desplaçaments al girar el disc, tangencials i, per tant, perpendiculars ad elles, sent els seus treballs virtuals, nuls.