ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Métodos analíticos y numéricos VOLUMEN I
S2(x)
S8(x)
π
π
−π
π
π
−π
−π
−π
S (x)
S (x)
16
40
π
π
−π
π −π
−π
π −π
Néstor Thome Coppo Depto. de Matemética Aplicada UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALENCIA
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´
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´ ANALISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES M´etodos anal´ıticos y num´ericos Volumen I ´stor Thome Coppo Autor: Ne Departamento de Matem´ atica Aplicada Universitat Polit` ecnica de Val` encia
´ PROLOGO
Tras perfilar los resultados de un proceso de convergencia educativo a nivel europeo que tiene como objetivo facilitar un efectivo intercambio de titulados as´ı como adaptar el contenido de los estudios universitarios a las demandas sociales, actualmente est´an en marcha los planes de estudio correspondientes. La nueva definici´on de cr´editos a trav´es del Sistema de Transferencia de Cr´editos Europeos (European Credits Transfer System ECTS) creado por la Comisi´on Europea llev´o al autor a plantear un libro destinado a los alumnos de Matem´aticas III de la Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Telecomunicaci´on de la Universitat Polit`ecnica de Val`encia. Teniendo en cuenta la limitaci´on de cr´editos y la materia que debe ser incluida, se han debido abordar los temas de manera introductoria y muchas veces sin una justificaci´on exhaustiva sino m´as bien dar a conocer las t´ecnicas de resoluci´on b´asicas. La metodolog´ıa consiste en guiar al alumno para la obtenci´on de los objetivos que debe alcanzar a lo largo de su carrera tomando este parte activa durante el proceso. El libro contiene los resultados te´oricos b´asicos y una serie de ejercicios que conducen a la fijaci´on de cada concepto. Se proponen ejercicios en los que se integran diferentes conceptos, se los relaciona y se aumenta el grado de dificultad de manera
ii
progresiva. Tambi´en se dan las soluciones de los mismos y comentarios que conducen a su obtenci´on. Se da una amplia lista de problemas que permitir´an afianzar los conocimientos de la asignatura y prepararse para los temas propios de la carrera. Algunos problemas son originales y otros han sido planteados usando como base los textos indicados en la bibliograf´ıa. El temario aqu´ı tratado se imparte en la mayor´ıa de las carreras t´ecnicas de Ingenier´ıa, como as´ı tambi´en en las Licenciaturas en Matem´aticas y F´ısica, entre otras. Concretamente, los temas que se abordan son los siguientes: An´alisis de Fourier. Ecuaciones Diferenciales Parciales. M´etodos Num´ericos. Para una mejor estructuraci´on del mismo, se ha dividido en tres vol´ umenes. El primero contiene An´alisis de Fourier y Ecuaciones Diferenciales Parciales, considerando el caso de dominios finitos. El segundo incluye la continuaci´on de Ecuaciones Diferenciales Parciales poniendo ´enfasis en el m´etodo de las transformadas integrales para la resoluci´on de las mismas y en la soluci´on de d’Alembert de la ecuaci´on de onda. El tercero trata M´etodos Num´ericos para resolver Ecuaciones en Derivadas Parciales e Integrales Dobles repasando los casos de funciones de una variable. Se pretende que los tres vol´ umenes sirvan para ser utilizados como complemento a las clases. Esto permitir´a utilizar metodolog´ıas activas, y poner en com´ un el proceso de elaboraci´on de las ideas que ayudar´an a la formaci´on del alumno y le proveer´a de una metodolog´ıa que podr´a aplicar en su futuro profesional. Agradezco que cualquier sugerencia o errata sea enviada al correo electr´onico njthome@mat.upv.es.
El autor III
CAP´ITULO
1
Series de Fourier
1.1.
Series de Fourier
El objetivo de este tema es estudiar el an´alisis de Fourier de una funci´on que, b´asicamente, consiste en responder a dos cuestiones: dada una funci´on, c´omo encontrar su desarrollo en serie de Fourier y, dada una serie de Fourier, c´omo encontrar su funci´on suma. En ingenier´ıa, el primer proceso se llama an´alisis y el segundo s´ıntesis.
1.1.1.
Funciones continuas a trozos y peri´ odicas
Ser´an necesarios algunos conceptos de funciones de una variable que se introducen a continuaci´on. Definici´ on 1.1 La funci´ on f : [a, b] → R se llama continua a trozos en [a, b] si: (a) [a, b] puede dividirse en un n´ umero finito de intervalos (abiertos) en los que f es continua,
1
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
(b) existen (finitos) los l´ımites laterales de f en cada punto de la partici´ on. Es decir, existen a = x1 < x2 < . . . < xn = b tales que (a) f es continua en cada subintervalo ]xi , xi+1 [, i = 1, 2, . . . , n − 1, (b) existen f (xi +) = l´ım f (xi + h)
para cada i = 1, 2, . . . , n − 1,
h→0+
y f (xi −) = l´ım f (xi − h) h→0+
para cada i = 2, 3, . . . , n.
A continuaci´on se indican algunas propiedades de las funciones continuas a trozos. Propiedad 1.1 El producto de dos funciones continuas a trozos es una funci´ on continua a trozos. Propiedad 1.2 La composici´ on de dos funciones continuas a trozos es una funci´ on continua a trozos. La siguiente propiedad muestra la relaci´on entre la continuadad a trozos y la integrabilidad de una funci´on. Propiedad 1.3 Si f : [a, b] → R es continua a trozos en [a, b] entonces f es acotada e integrable en [a, b]. El an´alisis de series de Fourier que se desarrollar´a en este cap´ıtulo corresponder´a a funciones peri´odicas. Las funciones en general (no necesariamente peri´odicas) se estudiar´an m´as adelante mediante la (integral y la) transformada de Fourier. Definici´ on 1.2 Una funci´ on f : R → R se llama p-peri´ odica si existe un n´ umero positivo p tal que f (x + p) = f (x), 2
∀x ∈ R.
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
El valor p se llama per´ıodo y el valor m´ as peque˜ no de p en esas condiciones se llama per´ıodo fundamental. Algunas de sus propiedades son las siguientes. Propiedad 1.4 (a) Si f : R → R es una funci´ on p-peri´ odica entonces f (x + np) = f (x),
∀x ∈ R,
∀n ∈ Z.
(b) Si f1 , . . . , fk son funciones p-peri´ odicas y c1 , . . . , ck ∈ R entonces c1 f1 +· · ·+ck fk es una funci´ on p-peri´ odica. Las funciones mostradas en la Figura 1.1 son 2π-peri´odicas. sen(x)
sen(2 x)
sen(3 x)
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−1
−1
−1 2π
0
2π
0
cos(x)
cos(2 x)
cos(3 x)
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−1
−1 2π
0
2π
0
−1 2π
0
0
Figura 1.1: sen(2x) es π-peri´odica y cos(3x) es
2π
2π odica. 3 -peri´
Para integrar una funci´on p-peri´odica ser´a posible utilizar cualquier intervalo de longitud p. Propiedad 1.5 Si f : R → R es una funci´ on continua a trozos y p-peri´ odica entonces
Z
α+p
f (x) dx = α
Z
p
f (x) dx = 0
3
Z
p 2
− p2
f (x) dx para todo α ∈ R .
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
Aplicaci´ on: Si f : R → R es una funci´on continua a trozos y 2L-peri´odica entonces
y
Z
2L
f (x) sen 0
Z
2L
f (x) cos 0
para todo n ∈ N.
1.1.2.
nπx L
nπx L
dx =
dx =
Z Z
f (x) sen
nπx
dx
f (x) cos
nπx
dx
L −L L −L
L
L
Conjuntos ortogonales
Tambi´en ser´an necesarias algunas propiedades de las funciones trigonom´etricas. Propiedad 1.6 Sean m, n dos n´ umeros enteros no negativos. Entonces (a) si m 6= n se tiene que Z
π
cos(mx) cos(nx) dx = −π
(b)
Z
Z
π
sen(mx) sen(nx) dx = 0. −π
π
cos(mx) sen(nx) dx = 0. −π
(c) si n > 0 se tiene que Z
π
cos2 (nx) dx =
−π
Z
π
sen2 (nx) dx = π.
−π
Demostraci´ on. Para demostrar las propiedades indicadas pueden usarse las siguientes identidades trigonom´etricas: (a) 1 [cos(u + v) + cos(u − v)], ∀u, v ∈ R, 2 1 sen(u) sen(v) = [cos(u − v) − cos(u + v)], ∀u, v ∈ R, 2 cos(u) cos(v) =
4
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
(b) sen(u) cos(v) =
1 [sen(u + v) + sen(u − v)], ∀u, v ∈ R, 2
(c) 1 cos2 (u) = [1 + cos(2u)] 2
1 sen2 (u) = [1 − cos(2u)], ∀u ∈ R. 2
y
M´as propiedades de las funciones trigonom´etricas son las siguientes. Propiedad 1.7 Se cumplen las siguientes identidades trigonom´etricas. (a) sen(u ± v) = sen(u) cos(v) ± cos(u) sen(v), ∀u, v ∈ R. (b) cos(u ± v) = cos(u) cos(v) ∓ sen(u) sen(v), ∀u, v ∈ R. Para todo n, k ∈ Z son v´ alidos los tres apartados siguientes: (c) sen(nπ) = 0 y cos(nπ) = (−1)n . 0, n par 0, n par π (d) sen n 2 = . = (−1) n+3 (−1)k+1 , n = 2k − 1 2 , n impar π
(e) cos n 2
(−1) n2 , n par (−1)k , n = 2k . = = 0, n impar 0, n impar
Al escribir un vector en un espacio eucl´ıdeo (por ejemplo R3 ) como combinaci´on lineal de los vectores de una base los escalares tienen una expresi´on sencilla si la base elegida es ortogonal. La misma idea se utilizar´a en este caso y por ello es necesario recordar el concepto de conjuntos ortogonales de funciones. Definici´ on 1.3 Un conjunto de funciones integrables de valores reales {ϕ0 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . } 5
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
se llama ortogonal en el intervalo [a, b] si el producto interior de cada par de funciones distintas se anula, es decir, si hϕm , ϕn i =
Z
b
ϕm (x)ϕn (x) dx = 0,
para todo m 6= n.
a
Ejemplo 1.1 La sucesi´ on de funciones 1, cos(x), sen(x), cos(2x), sen(2x), . . . , cos(nx), sen(nx), . . . es un conjunto ortogonal en el intervalo [−π, π] y se llama sistema trigonom´etrico. En la Figura 1.2 se puede apreciar la geometr´ıa de la ortogonalidad de funciones. Al multiplicar punto a punto las funciones se obtiene otra funci´on y su a´rea entre la curva y el eje X (por encima y debajo) se debe compensar de modo que se anule. 1
1 es ortogonal a cos(x)
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1 −4 1
−2
0
2
−1 −4
4
sen(2x) es ortogonal a cos(2x)
1
0.5
−2
0
2
4
sen(2x) es ortogonal a cos(3x)
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1 −4
sen(x) es ortogonal a cos(x)
−2
0
2
−1 −4
4
−2
0
2
4
Figura 1.2: ϕi es ortogonal a ϕj . Su producto est´a pintado en azul.
As´ı como los vectores de R3 , por ejemplo, fueron normalizados dividi´endolos por su m´odulo, aqu´ı se proceder´a de la misma manera para obtener funciones de norma 1. Definici´ on 1.4 La norma de los elementos del sistema de funciones integrables
6
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
{ϕ0 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . } en el intervalo [a, b] se define mediante el n´ umero s Z b p kϕn k2 = hϕn , ϕn i = [ϕn (x)]2 dx. a
Ejemplo 1.2 La sucesi´ on de funciones 1 cos(x) sen(x) cos(2x) sen(2x) cos(nx) sen(nx) √ , √ , √ , √ , √ ,..., √ , √ ,... π π π π π π 2π es un conjunto ortonormal en el intervalo [−π, π]. Se trata del sistema trigonom´etrico normalizado. Una observaci´on importante es que vectores ortogonales no nulos son siempre linealmente independientes.
1.2.
Series de Fourier - Convergencia en media cuadr´ atica
El pr´oximo objetivo es introducir el concepto de serie de Fourier en el intervalo [−π, π] para luego extenderlo a un intervalo gen´erico. Una serie de Fourier es una serie trigonom´etrica del tipo α0 + α1 cos x + β1 sen x + α2 cos 2x + β2 sen 2x + . . . 2 con αn , βn ∈ R. Dada una funci´on f : R → R continua a trozos en [−π, π] y 2π-peri´odica, en la serie de Fourier asociada a f los coeficientes αn , βn estar´an especificados por unos an , bn concretos y la relaci´on entre la funci´on f y su serie de Fourier se escribir´a: f (x) ∼
∞
a0 X + (an cos nx + bn sen nx) 2 n=1
Se observa que no se ha escrito una igualdad sino que el s´ımbolo ∼ indica que la funci´on f tiene asociada esa serie. M´as adelante, al estudiar la convergencia de la serie, se indicar´a si es posible escribir la igualdad o bien en qu´e puntos se puede hacer y en cu´ales no es posible. 7
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
1.2.1.
Definici´ on de serie de Fourier en [−π, π]
Definici´ on 1.5 Sea f : R → R una funci´ on continua a trozos en [−π, π] y 2πperi´ odica. Los coeficientes de la serie de Fourier ∞
a0 X + (an cos nx + bn sen nx) SFf (x) = 2
(1.1)
n=1
de la funci´ on f en [−π, π] son Z 1 π an = f (x) cos nx dx, π −π 1 bn = π
Z
n = 0, 1, 2, 3, . . .
π
f (x) sen nx dx,
n = 1, 2, 3, . . .
−π
Las sucesiones dadas por an y bn se conocen como las f´ormulas de Euler para los coeficientes de Fourier. Es importante prestar atenci´on a que el sub´ındice empieza en n = 0 para los an y en n = 1 para los bn . Nota 1.1 Cuando f se considera definida en [−π, π], podr´ıa no estarlo en un n´ umero finito de puntos de dicho intervalo. Ejemplo 1.3 Se considera la funci´ on dada por −π, si −π < x < 0, f (x) = x, si 0 6 x 6 π,
con f (x + 2π) = f (x) en el resto. Su desarrollo en serie de Fourier es +∞ π X (−1)n − 1 1 − 2(−1)n f (x) ∼ − + cos(nx) + sen(nx) 4 n2 π n n=1
donde la sucesi´ on de sumas parciales de dicha serie viene dada por n π X (−1)k − 1 1 − 2(−1)k Sn (x) = − + cos(kx) + sen(kx) , 4 k2 π k k=1
para cada n ∈ {1, 2, 3, . . . }. En la Figura 1.3 se representan gr´ aficamente la funci´ on f junto a las sumas parciales de los n primeros t´erminos de la serie (1.1) para diferentes valores de n. 8
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
S (x)
S (x)
π
π
2
8
−π
π
π
−π
−π
−π
S (x)
S (x)
16
40
π
π
−π
−π
π −π
π −π
Figura 1.3: Gr´aficas de S2 (x), S8 (x), S16 (x) y S40 (x).
Ejemplo 1.4 Se considera la funci´ on dada por 0, si −π 6 x < 0, f (x) = π − x, si 0 6 x 6 π,
con f (x + 2π) = f (x) en el resto. Su desarrollo en serie de Fourier es: +∞ π X 1 − (−1)n 1 f (x) ∼ + cos(nx) + sen(nx) . 4 n2 π n n=1
En la Figura 1.4 se representan gr´ aficamente la funci´ on f junto a las sumas parciales de los n primeros t´erminos de la serie (1.1) para diferentes valores de n.
1.2.2.
Cambio de escala
Si bien la serie de Fourier se introdujo para una funci´on 2π-peri´odica en el intervalo [−π, π], la idea es trabajar en el intervalo [−L, L] para que sea m´as c´omodo operar en lo que queda. Se realizar´a, por tanto, un cambio de escala (o cambio de variable) en la serie de Fourier de [−π, π] a [−L, L] para dar su representaci´on en [−L, L].
9
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
S (x)
S (x)
8
3
π
0
π
−π
0
π
0
−π
S (x)
π
S (x)
16
32
π
π
0
0
0
−π
0
π
0
−π
π
Figura 1.4: Gr´aficas de S3 (x), S8 (x), S16 (x) y S32 (x).
Teorema 1.1 Sea f : R → R una funci´ on continua a trozos en [−L, L] (L > 0) y 2L-peri´ odica. La serie de Fourier de f en [−L, L] es nπx a0 X nπx an cos f (x) ∼ + + bn sen 2 L L ∞
n=1
donde an =
1 L
Z
y 1 bn = L
L
f (x) cos −L
Z
nπx dx, L
L
f (x) sen −L
nπx dx, L
n = 0, 1, 2, 3, . . .
n = 1, 2, 3, . . .
Nota 1.2 Cuando f se considera definida en [−L, L], podr´ıa no estarlo en un n´ umero finito de puntos de dicho intervalo.
1.2.3.
Error cuadr´ atico medio
Se observa en los ejemplos anteriores que a medida que n aumenta, la sucesi´on de funciones en senos y cosenos se acercan cada vez m´as a la propia funci´on en casi
10
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
todos sus puntos. Este acercamiento se llama convergencia en media cuadr´atica y a continuaci´on se indica de manera m´as precisa. Teorema 1.2 Sea f : R → R una funci´ on continua a trozos en [−L, L] y 2Lperi´ odica y sea n kπx kπx a0 X + + bk sen ak cos Sn (f )(x) = , 2 L L k=1
n∈N
la n-´esima suma parcial de la serie de Fourier de f en [−L, L]. Entonces l´ım kf − Sn (f )k2 = 0,
n→∞
es decir l´ım
Z
L
n→∞ −L
[f (x) − Sn (f )(x)]2 dx = 0 .
La expresi´on [f (x)−Sn (f )(x)]2 representa el (cuadrado del) a´rea que se genera entre cada t´ermino de la sucesi´on de funciones en senos y cosenos y la propia funci´on. A medida que n crece, esas a´reas tienden a cero. Sin embargo, no en todo punto se cumple que la sucesi´on de funciones se acerca cada vez m´as al valor de la funci´on en el propio punto. Pueden haber puntos en los que las diferencias anteriores permanecen mayores que un valor peque˜ no. M´as adelante se ver´a que esto ocurre en los puntos donde la funci´on tiene discontinuidades de salto (finito) y se conoce como fen´omeno de Gibbs. La aproximaci´on analizada en el teorema anterior permite definir el error que se comete al aproximar la funci´on f dada por la suma parcial n-´esima. Para sumar todas las a´reas (en lugar de considerar a´reas con signo) se han elevado al cuadrado y para conseguir un error medio se divide por la longitud 2L del intervalo a estudiar. Definici´ on 1.6 Sea f : R → R una funci´ on continua a trozos en [−L, L] y 2Lperi´ odica y sea n kπx kπx a0 X + + bk sen ak cos , Sn (f )(x) = 2 L L k=1
11
n∈N
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
la n-´esima suma parcial de la serie de Fourier de f en [−L, L]. Se llama error cuadr´ atico medio En de la suma parcial Sn (f ) relativo a f a En2
1 = 2L
Z
L −L
[f (x) − Sn (f )(x)]2 dx .
La geometr´ıa del error cuadr´atico medio se aprecia en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.5 Sea
−π, f (x) = x,
si x ∈] − π, 0[, si x ∈ [0, π],
con f (x + 2π) = f (x) en el resto. En la Figura 1.5 se observa en color azul el error cometido al aproximar la funci´ on f por la suma parcial de la serie de Fourier S 2 . 2
[f(x) − S2(x) ]
12 10 8
π
∫−π[f(x)−S2(x)]2 dx
6 4 2
f(x)
0 f(x)
−2 −4 −4
−3
−2
S2(x) −1
0
1
2
3
4
Figura 1.5: Geometr´ıa del error cuadr´atico.
1.2.4.
El problema de los m´ınimos cuadrados
A continuaci´on se plantea el conocido problema de los m´ınimos cuadrados para el caso de funciones. Sea f : R → R continua a trozos en [−L, L] y 2L-peri´odica. De entre todos los
12
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
polinomios trigonom´etricos de orden n n kπx kπx α0 X αk cos , + + βk sen Sn (αk , βk ) = 2 L L k=1
n∈N
se trata de hallar los coeficientes αk , βk del polinomio que tiene m´ınimo error medio cuadr´atico δn2
1 = 2L
Z
L −L
[f (x) − Sn (αk , βk )]2 dx .
Su soluci´on la da el polinomio trigonom´etrico cuyos coeficientes coinciden con los coeficientes de Fourier, es decir, αk = a k
1.2.5.
βk = bk ,
para todo k.
Identidad de Parseval y Lema de Riemann-Lebesgue
La igualdad o identidad de Parseval puede verse como una extensi´on del Teorema de Pit´agoras a un espacio de funciones. Teorema 1.3 (Identidad de Parseval) Sea f : R → R es una funci´ on continua a trozos en [−L, L] y 2L-peri´ odica con desarrollo de Fourier f (x) ∼
a0 X nπx nπx an cos . + + bn sen 2 L L ∞
n=1
Entonces ∞
a20 X 2 1 + (an + b2n ) = 2 L n=1
Z
L
[f (x)]2 dx .
−L
En series num´ericas se estudi´o que si una serie es convergente entonces su t´ermino general debe tender a cero. Del teorema anterior se deduce que las series de Fourier se comportan de la misma manera, es decir, los coeficientes an y bn deben tender a cero, en caso contrario, no es posible obtener convergencia. Este hecho se expresa en el siguiente resultado que se conoce con el nombre de Lema de Riemann-Lebesgue. 13
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
Lema 1.1 (Lema de Riemann-Lebesgue) Sea f : R → R es una funci´ on continua a trozos en [−L, L] y 2L-peri´ odica con desarrollo de Fourier nπx a0 X nπx an cos f (x) ∼ . + + bn sen 2 L L ∞
n=1
Entonces l´ım an = 0
y
n→∞
l´ım bn = 0 .
n→∞
Ejemplo 1.6 Sea 0, f (x) = 1,
si − 2 6 x < −1 o ´ 1 < x 6 2, si − 1 6 x 6 1,
con f (x + 4) = f (x) en el resto. El desarrollo en serie de Fourier es +∞ h 1 2 X (−1)k+1 π i f (x) ∼ + cos (2k − 1) x . 2 π 2k − 1 2 k=1
En este caso, en la Figura 1.6 se aprecia la gr´ afica de S3 como suma de los 3 primeros arm´ onicos, es decir S3 (x) = 1er arm´ onico + 2do arm´ onico + 3er arm´ onico.
En este ejemplo es f´ acil comprobar el Lema de Riemann-Lebesgue pues nπ 2 =0 sen n→+∞ nπ 2
l´ım an = l´ım
n→+∞
(por tratarse de una funci´ on acotada por otra que tiende a 0) y l´ım bn = l´ım 0 = 0.
n→+∞
n→+∞
Aplicando la identidad de Parseval se llega a +∞ X
n=1
1 π2 = . 2 (2n − 1) 8
En la Figura 1.7 se aprecian algunas sumas parciales de la serie de Fourier de f . 14
Cap´ıtulo 1. Series de Fourier
1 e r a r m o´ n i c o
2
S3(x)
1.2
1 1
0 −1 −2
−1
0 2 d o a r m o´ n i c o
1
2
−1
0 3 e r a r m o´ n i c o
1
2
0.5 0 −0.5 −2 0.2
0
0 −0.2 −2
−1
0
1
−0.2 −2
2
−1
0 x
1
2
Figura 1.6: Gr´afica de S3 (x).
1.2.6.
Serie de Fourier en senos y en cosenos
El hecho de que la funci´on coseno sea par y la funci´on seno sea impar, dar´a ciertas simetr´ıas a la serie de Fourier. Se recuerda el concepto de paridad de una funci´on. Definici´ on 1.7 Sea f : [−a, a] → R con a > 0 o infinito. La funci´ on f se llama par si f (−x) = f (x) para todo x ∈ [−a, a]. impar si f (−x) = −f (x) para todo x ∈ [−a, a]. Las funciones pares tienen simetr´ıa con respecto al eje Y y las funciones impares tienen simetr´ıa respecto al origen de coordenadas. Algunas propiedades de estas funciones que resultar´an u ´tiles a la hora de resolver integrales son las siguientes. Propiedad 1.8 (a) El producto de dos funciones pares (impares) es par. (b) El producto de una funci´ on par por una impar es impar.
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