ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Métodos analíticos y numéricos VOLUMEN II
¿?
EDP en x y t
F
x
Transformada
w
Solución u(x, t)
F -1
(t parámetro)
Transformada inversa
EDO en t Resolver (w parámetro)
x
w
(t parámetro)
Solución û(w,t) de la EDO
Néstor Thome Coppo Depto. de Matemética Aplicada UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALENCIA
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© TIRANT LO BLANCH EDITA: TIRANT LO BLANCH VALENCIA TELFS.: 96/361 00 48 - 50 Email: tlb@tirant.com www.tirant.com ISBN:978-84-9086-949-9 MAQUETA:
´
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´ ANALISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES M´etodos anal´ıticos y num´ericos Volumen II ´stor Thome Coppo Autor: Ne Departamento de Matem´ atica Aplicada Universidad Polit´ ecnica de Valencia
´ PROLOGO
Tras perfilar los resultados de un proceso de convergencia educativo a nivel europeo que tiene como objetivo facilitar un efectivo intercambio de titulados as´ı como adaptar el contenido de los estudios universitarios a las demandas sociales, actualmente est´an en marcha los planes de estudio correspondientes. La nueva definici´on de cr´editos a trav´es del Sistema de Transferencia de Cr´editos Europeos (European Credits Transfer System ECTS) creado por la Comisi´on Europea llev´o al autor a plantear un libro destinado a los alumnos de Matem´aticas III de la Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Telecomunicaci´on de la Universitat Polit`ecnica de Val`encia. Teniendo en cuenta la limitaci´on de cr´editos y la materia que debe ser incluida, se han debido abordar los temas de manera introductoria y muchas veces sin una justificaci´on exhaustiva sino m´as bien dar a conocer las t´ecnicas de resoluci´on b´asicas. La metodolog´ıa consiste en guiar al alumno para la obtenci´on de los objetivos que debe alcanzar a lo largo de su carrera tomando este parte activa durante el proceso. El libro contiene los resultados te´oricos b´asicos y una serie de ejercicios que conducen a la fijaci´on de cada concepto. Se proponen ejercicios en los que se integran diferentes conceptos, se los relaciona y se aumenta el grado de dificultad de manera
ii
progresiva. Tambi´en se dan las soluciones de los mismos y comentarios que conducen a su obtenci´on. Se da una amplia lista de problemas que permitir´an afianzar los conocimientos de la asignatura y prepararse para los temas propios de la carrera. Algunos problemas son originales y otros han sido planteados usando como base los textos indicados en la bibliograf´ıa. El temario aqu´ı tratado se imparte en la mayor´ıa de las carreras t´ecnicas de Ingenier´ıa, como as´ı tambi´en en las Licenciaturas en Matem´aticas y F´ısica, entre otras. Concretamente, los temas que se abordan son los siguientes: An´alisis de Fourier. Ecuaciones Diferenciales Parciales. M´etodos Num´ericos. Para una mejor estructuraci´on del mismo, se ha dividido en tres vol´ umenes. El primero contiene An´alisis de Fourier y Ecuaciones Diferenciales Parciales, considerando el caso de dominios finitos. El segundo incluye la continuaci´on de Ecuaciones Diferenciales Parciales poniendo ´enfasis en el m´etodo de las transformadas integrales para la resoluci´on de las mismas y en la soluci´on de d’Alembert de la ecuaci´on de onda. El tercero trata M´etodos Num´ericos para resolver Ecuaciones en Derivadas Parciales e Integrales Dobles repasando los casos de funciones de una variable. Se pretende que los tres vol´ umenes sirvan para ser utilizados como complemento a las clases. Esto permitir´a utilizar metodolog´ıas activas, y poner en com´ un el proceso de elaboraci´on de las ideas que ayudar´an a la formaci´on del alumno y le proveer´a de una metodolog´ıa que podr´a aplicar en su futuro profesional. Agradezco que cualquier sugerencia o errata sea enviada al correo electr´onico njthome@mat.upv.es.
El autor III
CAP´ITULO
1
Ecuaci´on de onda: soluci´on de d’Alembert
1.1.
La cuerda de longitud infinita
El primer paso ser´a encontrar la soluci´on de d’Alembert para la ecuaci´on de onda de una cuerda de longitud infinita. Es decir, se considera el problema de la cuerda ilimitada, en primer lugar se ver´a el caso homog´eneo: utt − c2 uxx = 0,
x ∈ R, t > 0
(c > 0)
Tras intentar resolver la EDP de primer orden: ∂ ∂ ∂u ∂u 2 0 = utt − c uxx = −c +c = rt − crx ∂t ∂x ∂t ∂x | {z } =:r
y
2
0 = utt − c uxx =
∂ ∂ +c ∂t ∂x
∂u ∂u −c = st + csx ∂t ∂x | {z } =:s
1
(1.1)
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
parece l´ogico plantearse el cambio de variables: r = x + ct,
s = x − ct .
Realizando el cambio de variables r = x + ct y s = x − ct en la soluci´on de la EDP se tiene que u(x, t) = u
r+s r−s , 2 2c
=: v(r, s)
y sustituyendo en (1.1) las derivadas ut = c(vr − vs ),
utt = c2 (vrr − 2vrs + vss )
ux = v r + v s ,
uxx = vrr + 2vrs + vss
resulta vrs (r, s) = 0. Integrando esta u ´ltima EDP primero con respecto a s y luego con respecto a r se tiene: v(r, s) =
Z
ϕ(r) ˜ dr + ψ(s) = ϕ(r) + ψ(s)
para cualquier par de funciones ϕ(r) y ψ(s) suficientemente diferenciables. RESUMEN: Soluci´on de d’Alembert. La soluci´on general de la ecuaci´on de onda ilimitada utt − c2 uxx = 0,
x ∈ R, t > 0
(c > 0)
es u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct) , para ϕ y ψ arbitrarias y suficientemente diferenciables.
Interpretaci´ on f´ısica En este punto es f´acil realizar una interpretaci´on f´ısica de la ecuaci´on de onda. Como la soluci´on general de d’Alembert de utt − c2 uxx = 0, x ∈ R, t > 0, es la 2
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
superposici´on de dos ondas u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct), la soluci´on u1 (x, t) = ϕ(x + ct) representa una onda que se propaga en el tiempo en el sentido negativo del eje X a una velocidad c y la soluci´on u2 (x, t) = ψ(x − ct) representa una onda que se propaga en el tiempo en el sentido positivo del eje X a una velocidad c.
1.2.
Problema de la cuerda ilimitada con condiciones iniciales
Es evidente que si se a˜ naden condiciones iniciales al problema de la cuerda ilimitada anterior se obtendr´a alguna relaci´on entre las funciones ϕ y ψ. Se plantea entonces el problema: u − c2 uxx = 0, tt
x ∈ R,
u(x, 0) = f (x),
x∈R
ut (x, 0) = g(x),
x ∈ R.
t>0
Derivando u(x, t) = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct) con respecto a t se tiene ut (x, t) = cϕ0 (x + ct) − cψ 0 (x − ct), donde ϕ0 =
dϕ dr
y ψ0 =
dψ ds
denotan las derivadas con respecto a r y s, respectiva-
mente. Luego, f (x) = u(x, 0) = ϕ(x) + ψ(x), 3
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
g(x) = ut (x, 0) = cϕ0 (x) − cψ 0 (x) = c[ϕ(x) − ψ(x)]0 . Integrando en [x0 , x] la segunda igualdad se llega a Z x Z 1 x [ϕ(`) − ψ(`)]0 d` = ϕ(x) − ψ(x) − (ϕ(x0 ) − ψ(x0 )). g(`) d` = | {z } c x0 x0 =:k
Resolviendo el sistema lineal
ϕ(x) + ψ(x) = f (x) Z 1 x g(`) d` ϕ(x) − ψ(x) = k + c x0 en las inc´ognitas ϕ y ψ se tiene 1 ϕ(x) = f (x) + k + 2 1 ψ(x) = f (x) − k − 2
y as´ı
1 c 1 c
Z
x
g(`) d` , x0
Z
x x0
g(`) d` ,
u(x, t) = = ϕ(x + ct) + ψ(x − ct) Z Z 1 1 x+ct 1 x−ct 1 = f (x + ct) + k + f (x − ct) − k − g(`) d` + g(`) d` 2 c x0 2 c x0 Z 1 x+ct 1 g(`) d`. [f (x + ct) + f (x − ct)] + = 2 2c x−ct RESUMEN: Problema de la cuerda ilimitada (caso homog´eneo) con condiciones iniciales. La soluci´on de d’Alembert del problema 2 utt − c uxx = 0, es
x ∈ R,
u(x, 0) = f (x),
x∈R
ut (x, 0) = g(x),
x∈R
1 1 u(x, t) = [f (x + ct) + f (x − ct)] + 2 2c siempre que f ∈ C2 y g ∈ C1 . 4
t>0 (1.2)
Z
x+ct
g(`) d` x−ct
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
Nota 1.1 Cuando las condiciones acerca de la derivabilidad de f y g no se cumplen, a´ un se pueden buscar soluciones llamadas d´ebiles. Ejemplo 1.1 (Problema de la cuerda ilimitada) Se trata de resolver el problema de valores iniciales: u − c2 uxx = 0, tt u(x, 0) = x, ut (x, 0) = sen(x),
x ∈ R,
t>0
x∈R x∈R
La soluci´on de d’Alembert de este problema es Z 1 x+ct 1 [(x + ct) + (x − ct)] + sen(`) d` u(x, t) = 2 2c x−ct 11 [cos(x + ct) − cos(x − ct)] = x− c2 1 = x + sen(x) sen(ct). c Esta soluci´on se puede apreciar en la Figura 1.1 para c = 1. Es f´acil comprobar que la soluci´on encontrada satisface tanto la EDP como las condiciones iniciales. u(x,t) = x+sin(x) sin(t)
15 10 5 0 −5 −10 −15 40
35
30
25
10 5
20
15
10
0 5
−5 −10
0
t
x
Figura 1.1: Soluci´on de la ecuaci´on de onda de una cuerda ilimitada
5
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
Ejemplo 1.2 (Cuerda ilimitada y ondas viajeras) Al resolver el problema de valores iniciales: u − c2 uxx = 0, tt 1 u(x, 0) = 1+x 2, ut (x, 0) = 0,
x ∈ R,
t>0
x∈R x ∈ R,
la soluci´on de d’Alembert para c = 1 es u(x, t) = =
Z 1 1 x+ct g(`) d` [f (x + ct) + f (x − ct)] + 2 2c x−ct 1 1 1 . + 2 1 + (x + t)2 1 + (x − t)2
¿Qu´e ocurre a medida que t aumenta? En las Figuras 1.2, 1.3 y 1.4 se observan los casos correspondientes a t = 0, t = 1 y t = 3, respectivamente. Si t = 0 se tiene la gr´afica de u(x, 0) = f (x). Si t = 1 se tiene la gr´afica de
2
u(x, 0)
t=0
1 0.5 0
−1 −6
−3
−1
0 x
1
3
Figura 1.2: t = 0
u(x, 1) =
1 1 1 1 + . 2 2 1 + (x + 1) 2 1 + (x − 1)2 | {z } | {z } u1 (x,1)
u2 (x,1)
Finalmente, para t = 3 se tiene la gr´afica de 6
6
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
2
u(x, 1)
t=1
1
u1 (x, 1)
0.5 0
u2 (x, 1) −1 −6
−3
−1
0 x
1
3
6
Figura 1.3: t = 1
u(x, 3) =
1 1 1 1 + . 2 1 + (x + 3)2 2 1 + (x − 3)2 | {z } | {z } u1 (x,3)
u2 (x,3)
Para diferentes valores de t de manera simult´anea 1 1 1 u(x, t) = + 2 1 + (x + t)2 1 + (x − t)2 su gr´afica se puede apreciar en la Figura 1.5.
1.3.
Problema de la cuerda ilimitada: caso no homog´ eneo
El problema de la cuerda ilimitada para una ecuaci´on de onda homog´enea con condiciones iniciales fue resuelto en (1.2). Ahora se aborda el caso de una EDP no homog´enea. La soluci´on de d’Alembert del problema u − c2 uxx = F (x, t), tt
x ∈ R,
u(x, 0) = f (x),
x∈R
ut (x, 0) = g(x),
x ∈ R.
7
t>0
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
2
t=3
u(x, 3) 1
u1 (x, 3)
0.5 0
u2 (x, 3) −1 −6
−3
−1
0 x
1
3
6
Figura 1.4: t = 3
es u(x, t) =
1 f (x + ct) + f (x − ct) + 2 2c
Z
x+ct
g(`) d` + x−ct
1 2c
Z tZ 0
x+c(t−τ )
F (`, τ ) d` dτ x−c(t−τ )
2 siempre que f ∈ C2 , g ∈ C1 y F, ∂F ∂x ∈ C(Ω), Ω = {(x, t) ∈ R : t > 0}.
Nota 1.2 Usando la regla de Leibniz se puede demostrar que el tercer t´ermino satisface el mismo problema para f = g ≡ 0. La linealidad y la soluci´ on del problema homog´eneo previamente encontrada dan la soluci´ on de este caso. Ejemplo 1.3 (Problema no homog´ eneo de la cuerda ilimitada) Se trata de resolver el problema no homog´eneo de valores iniciales: u − c2 uxx = 1, x ∈ R, tt
u(x, 0) = x,
t>0
x∈R
ut (x, 0) = sen(x),
x ∈ R.
La soluci´on de d’Alembert de este problema es Z Z Z 1 t x+(t−τ ) 1 1 x+t sen(s) ds + 1 ds dτ u(x, t) = [(x + t) + (x − t)] + 2 2 x−t 2 0 x−(t−τ ) 8
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
1.5 1 0.5 0 10 8 6 4 2 −8
0
t
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
x
Figura 1.5: Ondas viajeras
= x + sen(x) sen(t) +
t2 . 2
En la Figura 1.6 se aprecia este resultado.
1.4.
Ondas viajeras, dependencia e influencia de la soluci´ on
Dependencia e influencia de la soluci´ on en un punto Sean x0 ∈ R y t0 > 0. Conociendo el valor de: f en los puntos x0 + ct0 y x0 − ct0 , g en el intervalo [x0 − ct0 , x0 + ct0 ], F en el tri´angulo de v´ertices (x0 − ct0 , 0),(x0 + ct0 , 0) y (x0 , t0 ) se conoce la soluci´on u(x0 , t0 ) =
1 1 [f (x0 + ct0 ) + f (x0 − ct0 )] + 2 2c 9
Z
x0 +ct0
g(`) d` + x0 −ct0
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
2
x+sin(x) sin(t)+t /2
40 30 20 10 0 −10 −20 15
10
5
0
−5
−10
−15
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t
Figura 1.6: Problema de onda no homog´eneo
1 + 2c
Z
t0 0
Z
x0 +c(t0 −τ )
F (`, τ ) d` dτ.
x0 −c(t0 −τ )
Esto lleva a la siguiente definici´on. Definici´ on 1.1 (Dominio de dependencia) Se llama dominio de dependencia del punto (x0 , t0 ) al tri´ angulo determinado por el segmento [x0 − ct0 , x0 + ct0 ] sobre el eje X y las coordenadas caracter´ısticas por (x0 , t0 ) que son las dos rectas de ecuaci´ on x + ct = x0 + ct0 y x − ct = x0 − ct0 . Por otro lado, el valor de: f en x0 interviene en el valor de la soluci´on sobre los puntos que est´an en las rectas x − ct = x0 y x + ct = x0 , g en x0 interviene en el valor de la soluci´on sobre los puntos que est´an en la regi´on x − ct < x0 < x + ct (llamada cono de luz). Esta observaci´on conduce a la siguiente definici´on. Definici´ on 1.2 (Regi´ on de influencia de (x0 , t0 )) Se dice que un punto (x, t) est´ a en la regi´ on de influencia del punto (x0 , t0 ) para t > t0 si y s´ olo si (x0 , t0 ) 10
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
est´ a en el dominio de dependencia de (x, t). Geom´etricamente, es el cono determinado por las dos caracter´ısticas por (x0 , t0 ) con t > t0 .
1.5.
La cuerda de longitud finita
Hasta ahora en este cap´ıtulo se ha estudiado la soluci´on de d’Alembert de la ecuaci´on de onda considerando una cuerda de longitud infinita. Ahora se considerar´a el caso de la cuerda finita. Se plantea el problema utt − c2 uxx u(x, 0) ut (x, 0) u(0, t) u(L, t)
= 0,
0 < x < L,
= f (x),
06x6L
= g(x),
06x6L
= 0,
t>0
= 0,
t > 0.
t>0
Se resolver´a mediante el m´etodo de las im´agenes que consiste en usar reflexiones
para expresar el problema dado en un dominio finito como el de una cuerda de longitud infinita cuya soluci´on es conocida. Se resuelve el problema de la cuerda infinita y luego se particulariza al caso del dominio finito. Para ello, sean F y G las extensiones impares al intervalo [−L, L] y luego 2L-peri´odicas a R de las funciones f y g, respectivamente. Con esta condici´on se cumplir´a que u(0, t) = 0 y u(L, t) = 0, para todo t > 0. Tambi´en, se debe recordar que al resolver el problema de la cuerda finita por el m´etodo de separaci´on de variables se obtuvieron funciones propias en senos. Nota 1.3 Observar que f (0) = f (L), F es impar en x = L (es decir, F (L − x) = −F (L + x), para toda x) y G tambi´en es impar en x = L.
11
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
Ahora se debe resolver el problema 2 utt − c uxx = 0,
x ∈ R,
u(x, 0) = F (x),
x∈R
ut (x, 0) = G(x),
x ∈ R.
t>0
que tiene soluci´on conocida 1 1 u(x, t) = [F (x + ct) + F (x − ct)] + 2 2c
Z
x+ct
G(`) d` x−ct
que tambi´en satisface las condiciones de frontera u(0, t) = 0 y u(L, t) = 0 para t > 0 (por ser F y G impares en x = 0 y en x = L). RESUMEN: Soluci´on de d’Alembert de la ecuaci´on de onda homog´enea en un dominio finito.
es
La soluci´on de la ecuaci´on de onda para utt − c2 uxx = 0, u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), u(0, t) = 0, u(L, t) = 0,
una cuerda finita 0 < x < L,
t>0
06x6L 06x6L t>0 t>0
1 1 u(x, t) = [F (x + ct) + F (x − ct)] + 2 2c
Z
x+ct
G(`) d` , x−ct
donde F y G son las extensiones impares a [−L, L] y 2L-peri´odicas a R de f y g, respectivamente. Ejemplo 1.4 (Cuerda finita y ondas viajeras) Sean 3 0 6 x 6 13 10 x, , g(x) = 0, f (x) = 3 (1 − x), 1 6 x 6 1 20 3
c=
1 . π
En las siguientes gr´aficas se observan tres vistas diferentes de las caracter´ısticas x + ct = x0 + ct0 y x − ct = x0 − ct0 en el punto (x0 , t0 ) = ( 13 , 0) que son: x+
1 1 t= , π 3
x− 12
1 1 t= . π 3
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
En rojo se marca la trayectoria de las ondas desde su inicio hasta recorrer el primer rect´angulo. Observar c´omo se reflejan ambas al chocar con los bordes x = 0 y x = 1 y cambian de signo al continuar viajando. Su representaci´on se puede apreciar en las Figuras 1.7 y 1.8. u(x, t) 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 −0.02 −0.04 −0.06 −0.08 −0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8
6
5
4
3
2
1
0 1
x
10
9
8
7
t
Figura 1.7: Cuerda finita y ondas viajeras
u(x, t)
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 −0.02 −0.04
1 0.8
−0.06
0.6
−0.08
0.4 −0.1
0.2 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
t
Figura 1.8: Cuerda finita y ondas viajeras
13
0
x
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
1.6.
EJERCICIOS PROPUESTOS
(1) Se tratar´an nuevamente los problemas P1 , P2 y P considerados en el ejercicio (3) de la p´agina 100 del Volumen 1. A partir de la soluci´on obtenida por el m´etodo de separaci´on de variables y usando identidades trigonom´etricas demostrar que (a) la soluci´on del problema P1 se puede escribir como u(x, t) =
1 [F (x + ct) + F (x − ct)] 2
donde F es la extensi´on impar 2L-peri´odica de f . (b) la soluci´on del problema P2 se puede escribir como 1 u(x, t) = 2c
Z
x+ct
G(s) ds x−ct
donde G es la extensi´on impar 2L-peri´odica de g. Concluir que la soluci´on del problema P se puede escribir en forma cerrada como u(x, t) =
1 1 [F (x + ct) + F (x − ct)] + 2 2c
Z
x+ct
G(s) ds , x−ct
soluci´on debida a D’Alembert. (2) Encontrar la soluci´on del problema de onda homog´eneo infinito siguiente: u − uxx = 0, x ∈ R, t>0 tt
u(x, 0) = ex ,
ut (x, 0) = sen(x),
(3) Encontrar la soluci´on del problema de onda u − uxx = 4xt, tt u(x, 0) = ex , u (x, 0) = sen(x), t
14
x∈R
x ∈ R.
no homog´eneo infinito siguiente: x ∈ R, x∈R x ∈ R.
t>0
Cap´ıtulo 1. Ecuaci´ on de onda: soluci´ on de d’Alembert
(4) Hallar el valor de u( 34 , 2) aplicando la f´ormula de d’Alembert correspondiente al caso homog´eneo finito: utt − c2 uxx u(x, 0) ut (x, 0) u(0, t) u(1, t)
= 0,
0 < x < 1,
= x(1 − x),
06x61
= x2 (1 − x),
06x61
= 0,
t>0
= 0,
t > 0.
15
t>0