Toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs
Jan Blankespoor Kees de Joode Aad Sluijter
6 e druk
Activeer jouw
lesmateriaal
1. Ga naar nt2.thiememeulenhoff.nl
2. Volg de stappen op de website
3. Gebruik de activeringscode hieronder
• De code is 365 dagen geldig na activatie
• Je kunt de code één keer gebruiken
Licentiecode
Lukt activeren niet?
Ga naar thiememeulenhoff.nl/login voor uitleg en veelgestelde vragen.
Toegepaste wiskunde
voor het hoger onderwijs
Deel 2
drs. J.H. Blankespoor
drs. C. de Joode
ir. A. Sluijter
Zesde, herziene druk
COLOFON
Auteurs
drs. J.H. Blankespoor
drs. C. de Joode
ir. A. Sluijter
Opmaak binnenwerk
Crius Group
Opmaak omslag
Crius Group
Rekenredactie
F. te Molder
Taalredactie
Tekstbureau Kroeze
Basisontwerp omslag
OudZuid ontwerp, uitvoering
ThiemeMeulenhoff
Tekeningen
TiekstraMedia, Groningen
Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd.
ClimatePartner
certified product climate-id.com/YI43H3
CO2 measure reduce contribute
Over ThiemeMeulenhoff
ThiemeMeulenhoff is een educatieve uitgeverij die zich inzet voor het voortgezet onderwijs en beroepsonderwijs. De mensen van ThiemeMeulenhoff zijn er voor onderwijsprofessionals – met ervaring, expertise en doeltreffende leermiddelen. Ontwikkeld in doorlopende samenwerking met de mensen in het onderwijs om samen het onderwijs nog beter te maken.
We ontwikkelen lesmethodes die goed te combineren zijn met andere leermiddelen, naar eigen inzicht aan te passen en bewezen effectief zijn. En natuurlijk worden al onze lesmethodes zo duurzaam mogelijk geproduceerd.
Zo bouwen we samen met de mensen in het onderwijs aan een mooie toekomst voor de volgende generatie.
Samen leren vernieuwen.
www.thiememeulenhoff.nl
ISBN 978 90 06 60029 2 Editie 1, Druk 6, Oplage 1, 2026
© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2026
Alle rechten voorbehouden. Tekst- en datamining, AI-training en vergelijkbare technologieën niet toegestaan. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.
De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
2.9.1
2.9.3
3.7 Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonalisering
3.7.1
4.1 Functies van meerdere variabelen en oppervlakken in de ruimte
4.1.2 Platte vlakken
4.1.3 Tweedegraadsoppervlakken
4.1.4 Het domein van een functie van meerdere variabelen
4.2 Partiële afgeleiden van de eerste orde, meetkundige betekenis en raakvlakken
4.2.1 Partiële afgeleiden van de eerste orde
4.2.2 Meetkundige betekenis van de partiële afgeleiden van een functie van twee variabelen
4.2.3 Raakvlak aan de grafiek van een functie van twee variabelen
4.3 De totale differentiaal en foutenrekening
4.3.1 De totale differentiaal
4.3.2 Toepassingen van de totale differentiaal in de foutenrekening
4.4 De afgeleide van een samengestelde functie, de totale afgeleide
4.5 Impliciet differentiëren
4.6 Partiële afgeleiden van hogere orde
4.7
5.1
5.2 Gebiedsbeschrijvingen
5.2.1
5.3 De herhaalde integraal in rechthoekscoördinaten
5.4 De herhaalde integraal in poolcoördinaten
5.5 Toepassingen van herhaalde integralen
5.5.1
5.5.2
5.6
5.8
6.2 Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde
6.2.1 Oplossingen en oplossingskrommen
6.2.2 Meetkundige betekenis van een differentiaalvergelijking
6.2.3 Differentiaalvergelijkingen met te scheiden variabelen
6.3 Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde
6.3.1 Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde met niet-constante coëfficiënt 223
6.3.2 Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten 227
6.4 Praktische toepassingen van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde 238
6.4.1 De afkoelingswet van Newton 238
6.4.2 De absorptiewet van Lambert
6.4.3 Elektrische RL - en RC- netwerken 240
6.5 Lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten
6.5.1 Homogene, lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten
6.5.2 Inhomogene, lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten
6.6 Praktische toepassingen differentiaalvergelijkingen van de tweede orde
246
246
252
262
6.6.1 Harmonische trillingen 262
6.6.2 Massa-veersystemen. 263
6.6.3 Elektrische netwerken
266
6.7 Lineaire differentiaalvergelijkingen van hogere orde met constante coëfficiënten 269
6.7.1 Homogene, lineaire hogere orde differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten
269
6.7.2 Inhomogene, lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten 271
6.8 Stelsels differentiaalvergelijkingen en eigenwaarden 273
6.9
numeriek oplossen van differentiaalvergelijkingen
6.9.1 De methode van Euler
7 De Laplace transformatie
7.1 Definitie van de Laplacetransformatie
7.2 Eigenschappen en standaardgetransformeerden
7.3.2 Inverse transformatie van verschoven functies
7.3.3 Inverse transformatie via breuksplitsen
7.4 Differentiatie- en integratiestellingen
7.5 Oplossen van differentiaalvergelijkingen
7.5.1 Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten
7.5.2 Oplossen van stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen
7.6 Bijzondere functies; verschuiven in het tijddomein
7.6.1 De functie
7.6.2
7.6.4 De inverse Laplacegetransformeerde van vormen met e-machten
8.4
8.5
8.6
8.7
9.1
9.1.3
9.1.4
9.1.5
9.2
9.3
9.3.2
Voorwoord
Deel 2 van de serie Toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs bevat onderwerpen die in de meeste hbo-opleidingen in de sector techniek na de propedeuse behandeld worden. Bij opleidingen van technische universiteiten worden deze onderwerpen meestal in de propedeuse aangeboden.
Ten opzichte van de vorige (vijfde) druk van deel 2 is er het volgende gewijzigd. Hoofdstuk 8 (Rijen en reeksen) is verplaatst naar de huidige (zevende) druk van deel 1. Deel 2 is met twee hoofdstukken uitgebreid: hoofdstuk 8 over de z-transformatie en hoofdstuk 9 over de Fouriertheorie. De onderwerpen uit deze hoofdstukken stonden voorheen in deel 3 en zijn inhoudelijk grondig herzien. In de vorige druk was het onderwerp Laplacetransformatie, dat ook in deel 3 stond, al verplaatst naar deel 2. Alle onderwerpen van deel 3 zijn nu opgenomen in deel 2, waardoor deel 3 overbodig is geworden.
De onderwerpen in de overige hoofdstukken (1 tot en met 7) zijn gelijk gebleven. Wel is de opzet soms gewijzigd en zijn paragrafen samengevoegd. Ook zijn voorbeelden en opgaven toegevoegd en wordt het berekenen van de particuliere oplossing van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten anders aangepakt.
Voor alle hoofdstukken geldt dat de student met veel voorbeelden door de stof wordt geleid. Hierdoor is genoeg materiaal aanwezig om de stof te gaan beheersen en om de opgaven te kunnen maken. Op deze manier worden het inzicht en de routine in wiskundige concepten vergroot. Bij het oplossen van de aangeboden toepassingen kunnen de verkregen kennis en vaardigheden gebruikt worden.
In de digitale leeromgeving eDition is aanvullend studiemateriaal (extra vraagstukken, een aantal uitwerkingen en een overzicht van formules) te vinden. Hoewel er in deze zesde druk geen aandacht meer besteed wordt aan het computeralgebrasysteem
Maple, zijn de betreffende teksten uit de 5e druk nog wel beschikbaar in eDition. Ook is daar een korte cursus Maple (klassieke versie) te vinden.
Voor studenten en docenten die reeds de vijfde druk van dit boek gebruikten, is het goed om te weten dat de paragraafindeling soms gewijzigd is en er opgaven bij zijn gekomen. Hierdoor kan de nummering van de opgaven veranderd zijn.
Amersfoort, januari 2026
De auteurs
Bij hoofdstuk 1
Dit hoofdstuk gaat over vectoren. Een vector is een wiskundige grootheid met één of meer kentallen (ook wel componenten genoemd). De kentallen zijn meestal reële getallen.
Een vector kan in een plat vlak (de tweedimensionale ruimte) of de ruimte (ook wel: driedimensionale ruimte) worden voorgesteld als een lijnstuk met een richting. De lengte van het lijnstuk stelt de grootte van de vector voor. De richting kan worden uitgedrukt in de hoek(en) die de vector met de coördinaatassen maakt.
Met een aantal speciale regels kan met vectoren worden gerekend. Deze regels kunnen in veel toepassingen van nut zijn. In de twee- of driedimensionale ruimte kunnen deze regels ook meetkundig worden geïllustreerd. Vectoren zijn in de mechanica onmisbaar voor het analyseren van constructies en bewegingen. In de elektrotechniek kunnen netwerken met behulp van vectorrekening worden doorgerekend. Bovendien vormen vectoren een belangrijke opstap naar de matrixrekening (zie hoofdstuk 3 van dit boek). Ook in hoofdstuk 2 zien we overeenkomsten met de vectorrekening.
Hoofdstuk 1 bevat de volgende onderwerpen.
• plaatsvectoren in het platte vlak en de ruimte
• plaatsvectoren in de n-dimensionale ruimte
• optellen en aftrekken van vectoren
• scalairen en vectoren
• eenheidsvectoren en nulvectoren
• inwendig product van twee vectoren
• toepassingen van het inwendig product
• projecties
• uitwendig product
• toepassingen van het uitwendig product
Vectoren 1
1.1 Inleiding
Veel natuurkundige grootheden zijn al volledig bepaald als de grootte ervan met de eenheid gegeven is. Dergelijke grootheden worden scalaire grootheden of kortweg scalairen genoemd. Voorbeelden van zulke grootheden zijn lengte, oppervlakte, temperatuur, tijd en druk.
Andere grootheden, zoals kracht, snelheid, impuls, moment van een kracht en magnetische fluxdichtheid, hebben zowel een grootte als een richting. Deze grootheden kunnen worden voorgesteld door vectoren
Een vector is een gericht lijnstuk met een bepaalde lengte, getekend als een pijl. Een vector wordt bepaald door het beginpunt en het eindpunt van het gerichte lijnstuk. In figuur 1.1 is P het beginpunt en Q het eindpunt van de vector. Deze vector wordt aangegeven met ⟶ PQ
Figuur 1.1 Q
Vectoren kunnen worden onderscheiden in drie categorieën.
1 Vectoren met een vast beginpunt: dit zijn de plaatsvectoren
2 Vectoren die verplaatst mogen worden langs de lijn waarop de vector ligt (deze lijn heet de drager van de vector).
3 Vectoren zonder vast beginpunt en vaste drager: dit zijn de vrije vectoren
Voorbeelden van vectoren die langs de drager verplaatst mogen worden, zijn de krachten die op een voorwerp werken, zoals in staticaberekeningen. Zo maakt het voor het externe effect van de kracht op het voorwerp in figuur 1.2 niet uit of de kracht → F in punt B of in punt A aangrijpt. Voor de interne effecten van de kracht op het voorwerp, zoals de door de kracht veroorzaakte spanningen in het materiaal, maakt het echter wel uit waar de kracht aangrijpt. We zullen later in dit hoofdstuk ook voorbeelden geven van vrije vectoren.
De vectortheorie wordt in dit hoofdstuk behandeld voor plaatsvectoren. Deze theorie geldt echter ook voor vectoren in de andere twee categorieën.
Figuur 1.2 A B F F
1.2 Plaatsvectoren
1.2.1 Plaatsvectoren in het platte vlak
In het platte vlak gaan we uit van het bekende xy-assenstelsel. In figuur 1.3 wordt de vector ⟶ OA bepaald door beginpunt O en zijn eindpunt A = (a1,a2). In het vervolg wordt ⟶ OA aangeduid met a (dezelfde letter als het eindpunt A). De lijn door O en A heet de drager van a. De vector kan op twee manieren worden genoteerd:
a = (a1 a2): a als kolomvector
a = (a1,a2): a als rijvector
Figuur 1.3
y
De getallen a1 en a2 heten de kentallen, of ook wel coördinaten of componenten van de vector.
In dit boek wordt de voorkeur gegeven aan de notatie van vectoren als kolomvectoren; de berekeningen nemen dan meer ruimte in beslag, maar zijn overzichtelijker.
De verzameling van alle vectoren (a1 a2), met a1,a2 ∈ ℝ, noemen we de tweedimensionale vectorruimte ℝ 2. Er geldt dus:
ℝ 2 = {(a1 a2)|a1,a2 ∈ ℝ} (1.1)
De lengte van a, notatie |a|, is de lengte van het lijnstuk OA
Deze lengte is als volgt te berekenen (met de stelling van Pythagoras):
|a| = √ a1 2 + a2 2 (1.2)
De hoek φ die de vector maakt met de positieve x-as geeft de richting van de vector aan. Er geldt tan φ = a2 a1 . Voor een vector in het eerste en vierde kwadrant geldt dan φ = arctan( a2 a1 ). Voor een vector in het tweede of derde kwadrant kunnen we de hoek niet direct via de ‘arctan’ berekenen, omdat de arctangens altijd een hoek tussen 1 2 π en 1 2 π radialen levert.
Opdracht
Bereken de lengte van de vector a = ( 3 4) en de hoek die a maakt met de positieve x-as.
1.2.2 Plaatsvectoren in de ruimte
Een vector in de ruimte kan worden vastgelegd met behulp van drie onderling loodrechte assen. Dit zijn de x-as, de y-as en de z-as, die elkaar in de oorsprong O snijden (zie figuur 1.4a). Het assenstelsel in figuur 1.4a is een voorbeeld van een rechtsdraaiend assenstelsel. Dit houdt in dat als we de vingers van de rechterhand draaien van de positieve x-as naar de positieve y-as, de duim in de richting van de positieve z-as wijst.
We hebben nu (zie figuur 1.4b):
waarbij
Figuur 1.4a
Figuur 1.4b
3 de kentallen zijn van de vector a.
De driedimensionale vectorruimte ℝ 3 wordt gedefinieerd door:
De lengte van de vector a wordt berekend door tweemaal de stelling van Pythagoras toe te passen. Eerst wordt OB berekend: OB = √ a1 2 + a2 2 , en vervolgens OA volgens
OA 2 = OB 2 + a32, zodat voor de lengte van a geldt:
De richting van de vector in figuur 1.4b wordt bepaald door de hoeken φx, φy en φz , die de vector maakt met respectievelijk de positieve x-as, de positieve y-as en de positieve z-as. Er geldt:
Hieruit zijn de hoeken φ
, φy en φz te berekenen.
Opdracht
Gegeven is de vector b = ( 4 1 3). Bereken de lengte van → b en de hoeken die → b maakt met de positieve x-as, de positieve y-as en de positieve z-as.
1.2.3 Plaatsvectoren in ℝ n
De n-dimensionale vectorruimte ℝ n wordt als volgt gedefinieerd: ℝ
Deze ℝ n kunnen we voor n ≥ 4 niet meer meetkundig voorstellen. Een vector in ℝ n kan worden gebruikt om een aantal variabelen tegelijk aan te duiden. Zo wordt met de vector x =
de verzameling variabelen x1,x2,… , x10 aangegeven. Hierop komen we uitgebreid terug bij het oplossen van stelsels vergelijkingen (paragraaf 3.2).
Voor de lengte van de n-dimensionale vector a geldt:
|a| = √ a1 2 + a2 2 + + a n 2 (1.6)
Twee vectoren a en b zijn gelijk, notatie a = b, als ze hetzelfde aantal kentallen hebben en alle overeenkomstige kentallen gelijk zijn.
1.2.4 Optellen en scalair vermenigvuldigen
De optelling van twee vectoren in ℝ 2 wordt gedefinieerd door:
De optelling wordt dus coördinaatsgewijs uitgevoerd.
In ℝ 3 wordt de optelling op overeenkomstige wijze gedefinieerd door:
Figuur 1.5a
Parallellogramconstructie
Figuur 1.5b
Kop-aanstaartmethode
De optelling kan grafisch in het platte vlak en in de ruimte worden bepaald met behulp van de zogeheten parallellogramconstructie. In figuur 1.5a is dit uitgevoerd in het platte vlak. De optelling kan ook bepaald worden met de ‘kop-aan-staartmethode’ (figuur 1.5b). Hierbij wordt het beginpunt (de staart) van de evenwijdig verschoven vector b verbonden met het eindpunt (de kop) van a. Het resultaat is in beide gevallen dezelfde somvector.
In ℝ 2 wordt scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd door:
Het getal λ heet een scalar of scalair.
Voor λ ≠ 0 hebben de vectoren a en λa dezelfde drager.
In ℝ 3 is de scalaire vermenigvuldiging op dezelfde manier gedefinieerd als in ℝ 2:
=
In ℝ n is de optelling van twee vectoren op overeenkomstige wijze gedefinieerd als in ℝ 2 en ℝ 3:
De scalaire vermenigvuldiging in ℝ n is ook op overeenkomstige wijze gedefinieerd als in ℝ 2 en ℝ 3:
Voorbeeld 1 Als
Deze drie vectoren liggen op dezelfde drager.
, zie figuur 1.6.
Figuur 1.6
Figuur 1.7a
Parallellogramconstructie van het verschil
Figuur 1.7b Kop-aanstaartmethode van het verschil
Voor het verschil van twee vectoren a en → b , notatie a →
, geldt
). Ook het verschil kan in het platte vlak en in de ruimte grafisch bepaald worden met behulp van de parallellogramconstructie. In figuur 1.7a is deze constructie uitgevoerd in het platte vlak. In figuur 1.7b is de verschilvector bepaald met de ‘kop-aan-staartmethode’.
Opdracht
en construeer
1.2.5 Eenheidsvectoren en nulvectoren
Onder een eenheidsvector verstaan we een vector met lengte 1.
In ℝ 2 zijn e 1 = (1 0) en e 2 = (0 1) de eenheidsvectoren, die respectievelijk langs de x-as en y-as liggen. Dit zijn niet de enige eenheidsvectoren in ℝ 2. Ook bijvoorbeeld
heeft lengte 1.
We kunnen elke vector a = (a1 a2) uitdrukken in een eenheidsvector. Deze eenheidsvector berekenen we door de lengte van a te berekenen (|a| = √ a1 2 + a2 2 ) en vervolgens de factor 1 |a| ervoor te zetten. We noemen dit proces normeren. De genormeer-
de a e van a = (a1 a2) is dus a e = 1 |a| a. Dit is een eenheidsvector, want de lengte is 1. We kunnen ook schrijven: a = |a| a e . Hiermee is a uitgedrukt in de eenheidsvector die dezelfde richting heeft als a.
Elke vector a = (a1 a2) is ook te schrijven als een zogeheten lineaire combinatie van de eenheidsvectoren e 1 = (1 0) en e 2 = (0 1) a = (
Zo kunnen we bijvoorbeeld voor a = (5 2) ook schrijven als
Een vector noteren als een lineaire combinatie van de standaard eenheidsvectoren wordt vaak gebruikt in vakken waar de vectorrekening wordt toegepast. Voorbeeld 3
Het berekenen kan ook met kolomvectoren.
Analoog zijn in ℝ 3 de vectoren e 1 = (1 0 0), e 2 = (0 1 0) en e 3 = (0 0 1) de eenheidsvectoren, die respectievelijk langs de x-as, de y-as en de z-as liggen.
Elke vector a = (a1 a2 a3) kan geschreven worden als a = a1 e 1 + a2 e 2 + a3 e 3
Ook hier geldt: de genormeerde a e van a = (a1 a2 a3) is de eenheidsvector a e = 1 |a| a en er geldt a = |a| ⋅ a e .
In ℝ n zijn de vectoren e 1 =
Als
als
eenheidsvectoren.
De vector → 0 = (0 0) heet de nulvector in ℝ 2. In ℝ n is de nulvector → 0 = ⎛ ⎜
Opgaven bij 1.2
1 Gegeven de vectoren a = ( 1 2 1), → b = (0 1 4) en c = ( 1 5 0). Bereken: a a + → b en → b + a d |a → b | en |a| | → b | b (a + → b ) + c en a + (
en
2 Gegeven de vectoren → a = (2 1), → b = ( 1 2) en c = ( 0 1).
a Construeer (grafisch) de vectoren a + → b 2 → c en a → b + 2c.
b Controleer via berekeningen het resultaat van vraag 2a.
.
3 Gegeven zijn de vectoren (a 6) en (2 a). Bereken voor welke waarde(n) van a deze vectoren dezelfde drager hebben.
4 Gegeven de vectoren a = ( 1 3 4) en → b = ( 2 2 5).
a Bereken de hoeken die a maakt met de positieve x-, y- en z-as.
b Bereken de hoeken die → b maakt met de positieve x-, y- en z-as.
c Bereken de genormeerde van a en van → b .
Voorbeeld 4
5
Gegeven de vectoren a = 3 e 1 + 5 e 2 5 e 3, b = 5 e 1 3 e 2 + 2 e 3 en c = 8 e 1 + e 2 + 3 e 3.
Bereken:
1.3 Het inwendig product van twee vectoren
1.3.1 Definitie van het inwendig product
Het inwendig product van de vectoren a en → b in ℝ n, notatie a · b (een dikke punt, niet te verwarren met het vermenigvuldigingsteken voor reële getallen, de gewone punt), wordt als volgt gedefinieerd:
Het inwendig product van twee vectoren is een getal (scalar)! Het inwendig product wordt daarom ook wel het scalair product genoemd. Kiezen we → b = a, dan gaat formule (1.14) over in:
zodat de lengte van a ook met behulp van een inwendig product kan worden bepaald: |a| = √ a · a
Bereken het inwendig product van a = ( 2 5 1) en → b = ( 1 0 6)
Opdracht
Bereken
1.3.2 Eigenschappen van het inwendig product
Het inwendig product van vectoren bezit eigenschappen die overeenkomen met eigenschappen van het product van getallen.
Voor de vectoren a, → b en c in ℝ n en scalar k ∈ ℝ geldt:
Opdracht
Toon formule (1.16) en formule (1.17) aan voor vectoren in ℝ 2 .
Voorbeeld 5
Gegeven zijn de vectoren a = (1 2), → b = (2 3) en c = (3 4)
Bereken (a + → b ) c
We kunnen deze berekening op twee manieren uitvoeren: 1 Eerst a + → b = (3 5) en vervolgens (
1.3.3 Meetkundige betekenis van het inwendig product
In figuur 1.8 is φ de hoek tussen a en → b in ℝ 2. Voor de hoek φ in radialen geldt 0 ≤ φ ≤ π en voor de hoek φ in graden geldt 0° ≤ φ ≤ 180°. We zullen zien dat we met behulp van een inwendig product de hoek φ kunnen berekenen.
Figuur 1.8
y-as
Hieruit volgt:
Dit is een tweede manier om een inwendig product te berekenen. De ingesloten hoek tussen de vectoren a en → b moet dan wel bekend zijn.
Voorbeeld 6
In ℝ n, waarbij n ≥ 4, is de hoek tussen twee vectoren niet meer voor te stellen. We kunnen het begrip hoek wel uitbreiden voor ℝ n, waarbij n ≥ 4, door formule (1.19) als definitie te nemen. We gaan hierop niet verder in.
Bereken de hoek tussen a = (1 2 0) en → b = ( 3 2 1).
Er volgt voor de hoek φ
Opdracht
Bereken de hoek tussen de vectoren u = ( 2 1 3) en v = ( 1 2 1).
In het platte vlak en in de ruimte staan twee vectoren a en → b , beide niet de nulvector zijnde, loodrecht op elkaar, notatie a ⊥ → b , als voor de hoek φ tussen a en → b geldt dat φ = 1 2 π ofwel φ = 90°. Dan is cos φ = 0, zodat a → b = |a|| → b |cos φ = 0
Is omgekeerd a → b = 0, terwijl a ≠ → 0 en b ≠ 0, dan volgt uit a → b = |a|| → b |cos φ dat cos φ = 0, dus φ = 1 2 π ofwel φ = 90°; dit betekent dat a ⊥ → b .
In ℝ 2 en ℝ 3 geldt dus voor → a en → b , waarbij a ≠ → 0 en → b ≠ → 0: a ⊥ → b ⇔ a → b = 0 (1.21)
Als twee vectoren a en → b loodrecht op elkaar staan, dan heten a en → b orthogonaal
Opdracht
Onderzoek of de vectoren a = ( 1 2 5) en → b = ( 2 4 3) loodrecht op elkaar staan.
Toepassingen van het inwendig product vinden we vooral in de natuurkunde. Zo is in figuur 1.9 de arbeid W, die een constante kracht → F verricht op een deeltje, waarvan de verplaatsing gegeven wordt door de vector → s gelijk aan: W = → F → s
Figuur 1.9 s F
De serie Toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs is geschikt voor alle opleidingen waar wiskundige vaardigheden een belangrijke plaats innemen. De nadruk ligt op het trainen van vaardigheden van de wiskunde. De student past de wiskundige vaardigheden zoveel mogelijk toe in praktische situaties.
Deze serie kent de volgende indeling:
z Het Basisboek behandelt het basisniveau wiskunde en is geschikt als voorbereiding op een technische studie voor studenten met een mbo-opleiding of een havo/vwo-opleiding zonder wiskunde B. Tevens is het geschikt voor opleidingen waarin een basisniveau voor wiskunde voldoende is.
z Deel 1 behandelt de gehele propedeusewiskunde van de meeste techniekopleidingen in het hoger onderwijs.
z Deel 2 is vooral bedoeld voor techniekopleidingen in het hbo, die ook ná de propedeuse wiskundeonderwijs aanbieden én voor studenten in de propedeusefase van een technische universiteit.
DEEL 2
Dit deel van de serie behandelt de onderwerpen vector- en matrixrekening, complexe getallen, functies van meerdere variabelen, meervoudige integratie en differentiaalvergelijkingen. Ook zijn er hoofdstukken opgenomen over de Laplacetransformatie, de z-transformatie en de Fouriertheorie. De theorie wordt uitgelegd en aan de hand van voorbeelden en opgaven worden inzichten en vaardigheden geoefend en verdiept. Formele bewijzen worden nauwelijks gegeven. De opgedane kennis, vaardigheden en inzichten worden gebruikt in toepassingsvraagstukken.
In de digitale leeromgeving eDition vindt de student aanvullend materiaal, zoals extra oefenmateriaal en uitwerkingen van een aantal opgaven.
Dit boek is een belangrijk hulpmiddel voor iedere student die wiskundige concepten en vaardigheden op een praktische manier wil leren begrijpen en toepassen.
Jan Blankespoor
Kees de Joode
Aad Sluijter