Issuu

BASISBOEK

V WO 4

Dit is het beoordelingsmateriaal van de nieuwe editie van Systematische Natuurkunde. Aan de hand van twee hoofdstukken krijgt u een goed beeld van deze nieuwe editie en de verschillen met de vorige. Zo is op een aantal plaatsen de uitleg toegankelijker gemaakt voor de leerling, zijn er opgaven toegevoegd en verbeterd qua opbouw, en heeft de vwo-stof meer diepgang gekregen. Daarnaast blijven de sterke punten van Systematische Natuurkunde behouden: heldere structuur, systematische aanpak van vraagstukken en uitstekende voorbereiding op het examen. Bij deze editie zijn er meer mogelijkheden voor differentiatie door middel van een interactieve leeromgeving. In de leeromgeving vindt u startvragen, oefenopgaven en een zelftoets. Als docent kunt u de resultaten van uw leerlingen volgen. Al het materiaal voor leerjaar vier (havo en vwo) is beschikbaar vanaf schooljaar 2018-2019. Meer zien? In de proeflicentie van onze digitale leeromgeving eDition kunt u alvast een gedeelte van het nieuwe, digitale materiaal zien. In de loop van het voorjaar 2018 worden aanvullende hoofdstukken gepubliceerd. Activeer uw proeflicentie vandaag nog via www.thiememeulenhoff.nl/systematischenatuurkunde

COLOFON

Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff ontwikkelt zich van educatieve uitgeverij tot een learning design company. We brengen con-

Beeldresearch Verbaal Visuele Communicatie BV, Velp Technische illustraties Jeannette Steenmeijer / Verbaal Visuele Communicatie BV, Velp Vormgeving basisontwerp Studio Bassa, Culemborg Vormgeving en opmaak Crius Group

tent, leerontwerp en technologie samen. Met onze groeiende expertise, ervaring en leeroplossingen zijn we een partner voor scholen bij het vernieuwen en verbeteren

BASISBOEK

van onderwijs. Zo kunnen we samen beter recht doen aan de verschillen tussen lerenden en scholen en ervoor zorgen dat leren steeds persoonlijker, effectiever en efficiënter wordt. Samen leren vernieuwen. www.thiememeulenhoff.nl Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17

René de Jong Arjan Keurentjes Evert-jan Nijhof Bastiaan Vinke Mark Bosman Michel Philippens Mariska van Rijsbergen Hein Vink

Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus

Eindredactie Harrie Ottink

3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Eindredactie Digitaal Evert-jan Nijhof

V WO 4

Inhoud Werken met Systematische Natuurkunde 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Basisvaardigheden

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Grootheden en eenheden Werken met machten van 10 Werken met eenheden Meetonzekerheid en significante cijfers Van meting naar diagram Diagrammen: van kromme naar rechte Examenbepalingen Afsluiting

Beweging

6.1 6.2 6.3 6.4

Onderzoek naar bewegingen Eenparig rechtlijnige beweging Snelheid in een (plaats, tijd)-diagram Versnelde beweging Gebruik van diagrammen Numerieke rekenmethode Afsluiting Krachten Krachten en hun eigenschappen Krachten samenstellen Krachten ontbinden Krachten in evenwicht De eerste wet van Newton De tweede wet van Newton De derde wet van Newton Een beweging modelleren met krachten Afsluiting Eigenschappen van stoffen en materialen Optische eigenschappen Temperatuur, warmte en uitzetten Transport van warmte Soortelijke warmte Algemene gaswet Krachten in materialen Afsluiting

99 100 110 116 124 131 138 145 152 161

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Elektrische systemen Elektrische stroom en spanning Weerstand en geleiding Serie- en parallelschakelingen Gemengde schakelingen Elektrische componenten Energie in huis De huisinstallatie Afsluiting Onderzoeken en ontwerpen Onderzoeken en ontwerpen Onderzoeken Ontwerpen Afsluiting Cirkelbewegingen

295

Eenparige cirkelbeweging Middelpuntzoekende kracht Gravitatiekracht Model van de beweging van planeten en satellieten Afsluiting

296 300 305 310 316

3 Krachten Deze bergbeklimster bedwingt een rots. Soms hangt haar hele gewicht aan haar vingertoppen. Voor de veiligheid zit ze vast aan een touw. De grote krachten vergen het uiterste van de klimster en haar materiaal. In dit hoofdstuk lees je over eigenschappen van krachten. Ook wordt duidelijk wat het resultaat is van een combinatie van krachten. Tot slot bekijk je hoe je krachten kunt opnemen in een numeriek model voor een beweging.

Het meisje staat op een plank

In figuur 3.3 is de kracht die de plank uitoefent op het meisje aangegeven met een pijl. Aan die pijl kun je drie dingen zien: de lengte, de richting en de plaats waar de pijl begint.

boven een sloot. Dankzij de plank valt ze niet in de sloot. Op het meisje werken verschillende

De lengte van de pijl geeft de grootte van de kracht Figuur 3.3 aan. Hoe langer de pijl, des te groter is de kracht. Bij het tekenen kies je hoeveel newton je weergeeft met 1 cm. Dit heet de krachtenschaal. Met behulp van die schaal en de lengte van een pijl bepaal je de grootte van de kracht.

krachten. Welke krachten zijn dat?

Voorbeeld In figuur 3.3 is de krachtenschaal 1 cm ≙ 4,0⋅10 2 N. Bepaal de grootte van de kracht. Figuur 3.1

3.1

Krachten en hun eigenschappen

Eigenschappen van krachten startvragen

In figuur 3.1 zie je een meisje op een plank staan. De plank is doorgebogen doordat het meisje kracht uitoefent op de plank. Dit komt doordat ze omlaag wordt getrokken door de aantrekkingskracht van de aarde. Toch valt ze niet in het water, want de plank oefent ook een kracht uit op haar. Op het meisje werken dus twee krachten: ▪▪ De aantrekkingskracht van de aarde trekt haar omlaag. ▪▪ De kracht van de plank duwt haar omhoog. Een kracht wordt uitgeoefend door een voorwerp op een ander voorwerp. In figuur 3.1 zijn de ‘voorwerpen’ de plank, het meisje en de aarde. Krachten kun je niet zien. Het gevolg van een kracht is vaak wel zichtbaar, bijvoorbeeld het doorbuigen van de plank. Kracht is een grootheid. Dat betekent dat je de grootte van een kracht kunt meten. Op school gebruik je daarvoor vaak een veerunster Dat is een krachtmeter met een veer. Zie figuur 3.2. Een kracht geef je aan met de letter F. De eenheid van kracht is newton met symbool N. Figuur 3.2

10 0

h o ofdstuk 3

Uitwerking De lengte van de pijl in figuur 3.3 is 1,5 cm. Dus de kracht die de plank uitoefent op het meisje is gelijk aan 1,5 × 4,0⋅102 = 6,0⋅102 N. De pijl in figuur 3.3 geeft ook aan in welke richting de kracht werkt. Een grootheid die behalve een grootte ook een richting heeft, noem je een vector. Met een pijltje boven de letter laat je zien dat kracht een vector is: F⃗. Behalve de grootte en de richting geeft de pijl de plaats aan waar de kracht op het voorwerp werkt. Deze plaats noem je het aangrijpingspunt . De pijl begint in het aangrijpingspunt. In figuur 3.3 is een streeplijn door de pijl getekend. Dit is de werklijn van de kracht. Om het gevolg van een kracht te beredeneren, mag je in een tekening een kracht verschuiven. Dit mag alleen als de beweging van het voorwerp rechtlijnig is. Je moet de grootte en de richting van de kracht wel gelijk houden bij het verschuiven. Verschuif je een kracht langs zijn werklijn dan verandert het gevolg van de kracht niet. Als in figuur 3.4a het blok over de vloer schuift door kracht FA, dan gebeurt dat ook door kracht FB in figuur 3.4b. Verschuif je een kracht evenwijdig aan zijn werklijn, dan kan het gevolg wel veranderen. Als je bovenaan een blok een kracht Figuur 3.4 uitoefent, is de kans groot dat je het blok omduwt in plaats van verschuift. Zie figuur 3.4c. Wordt het blok niet omgeduwd, dan is het gevolg van de kracht hetzelfde als in figuur 3.4a en 3.4b.

Krachten

101

Zwaartekracht

Spankracht

De aarde oefent kracht uit op ieder voorwerp dat zich op aarde of in de buurt van de aarde bevindt. Deze kracht heet zwaartekracht . De zwaartekracht is recht evenredig met de massa van het voorwerp. De evenredigheidsconstante heet de valversnelling of de gravitatieversnelling g. De grootte van de zwaartekracht bereken je met: Fzw = m ⋅ g

▪▪ ▪▪ ▪▪

Schepen liggen met dikke touwen aan de kade vast. Zie figuur 3.7. De touwen houden het schip op zijn plaats. Dat gebeurt echter alleen als de touwen gespannen zijn. Een gespannen touw oefent spankracht Fspan uit op het voorwerp waar het aan vastzit. Die plaats is ook het aangrijpingspunt van de spankracht. In figuur 3.8 zijn twee spankrachten getekend, omdat het touw kracht uitoefent op het schip én op de kade. Je ziet dat de spankracht is gericht van het ene aangrijpingspunt naar het andere aangrijpingspunt. De grootte van de spankracht is afhankelijk van hoe hard aan het touw wordt getrokken. Hoe strakker het touw wordt gespannen, des te groter is de spankracht in het touw.

Fzw is de zwaartekracht in N. m is de massa van het voorwerp in kg. g is de valversnelling in m s−2.

Gegevens over de waarde van g vind je in BINAS tabellen 7, 30B en 31. Uit tabel 30B volgt dat de afgeronde waarde van g in de buurt van de aarde gelijk is aan 9,8 m s−2. Bevindt een voorwerp zich op grote afstand van de aarde, dan geldt de formule Fzw = m ⋅ g wel, maar de waarde van g is dan veel kleiner dan 9,8 m s−2. In hoofdstuk 7 lees je hoe de waarde van g afhangt van de afstand tussen een voorwerp en de aarde. De zwaartekracht is naar het middelpunt van de aarde gericht. Op ieder deeltje van een voorwerp werkt de zwaartekracht. De zwaartekracht op het hele voorwerp is de som van al die krachten. Het aangrijpingspunt van die zwaartekracht op het voorwerp noem je het zwaartepunt van het voorwerp. Dit geef je aan met de letter Z. In figuur 3.5 zie je een jongen op een heuvel liggen. Punt Z is zijn zwaartepunt. De pijl geeft de zwaartekracht aan die op de jongen werkt.

Figuur 3.7

Veerkracht Figuur 3.5

Normaalkracht De plank ondersteunt het meisje van figuur 3.1. De kracht die een ondersteunend vlak uitoefent op een voorwerp, noem je de normaalkracht Fn. In figuur 3.6 is de normaalkracht op de liggende jongen getekend.

h o ofdstuk 3

In een balpen zit een veer die ervoor zorgt dat je de stift naar binnen en naar buiten kunt bewegen. Met een ingedrukte veer kun je de stift van de pen wegschieten. Hoe verder je de veer indrukt, des te groter is de veerkracht, en des te verder schiet de stift weg. Een veer oefent kracht uit als hij wordt vervormd. De veerkracht is recht evenredig met de uitrekking, dat is de afstand waarover de veer vervormt. Dat geldt zowel bij het induwen als het uitrekken van de veer. De evenredigheidsconstante is de veerconstante van de veer. De grootte van de veerkracht bereken je met:

Figuur 3.6

De richting van de normaalkracht is altijd loodrecht op het ondersteunend vlak. Het aangrijpingspunt is de plaats waar het ondersteunend vlak het voorwerp raakt. Is die plaats geen punt maar een vlak, dan teken je het aangrijpingspunt van de normaalkracht in het midden van het contactoppervlak. De grootte van de normaalkracht hangt af van de situatie. Ligt een voorwerp op een horizontaal vlak, dan is de normaalkracht gelijk aan de zwaartekracht. In figuur 3.6 ligt de jongen op een helling, waardoor de normaalkracht kleiner is dan de zwaartekracht.

10 2

Figuur 3.8

Fveer = C ⋅ u

▪▪ ▪▪ ▪▪

Fveer is de veerkracht in N. C is de veerconstante in N m−1. u is de uitrekking in m.

De veerconstante hangt af van het type veer. Bij een stugge veer moet je een grote kracht uitoefenen om de veer een beetje in te duwen of uit te rekken. Zo’n veer heeft een grote veerconstante. Een slappe veer heeft juist een kleine veerconstante.

Krachten

103

Uitwerking a Fveer = C ⋅ u Fveer = 1,9 N u = 6,5 cm = 6,5⋅10 −2 m 1,9 = C × 6,5⋅10 −2 C = 29,2 N m−1 Afgerond: 29 N m−1. b Een slappere veer heeft een kleinere C. Gebruik je in Fveer = C ⋅ u dezelfde waarde voor Fveer en een kleinere waarde voor C, dan is de uitrekking u groter. De richting van de veerkracht is tegengesteld aan de richting van de vervorming. Als je een veer uitrekt, werkt op elk uiteinde een veerkracht richting het midden van de veer. En als je de veer indrukt, is de veerkracht naar buiten gericht. Het aangrijpingspunt is de plaats waar de veer en het voorwerp elkaar raken. In figuur 3.9 zie je een gedeelte van een pen met daarin een veer en een stift. In figuur 3.9b is de veer ingedrukt. De veer oefent nu twee krachten uit: een omhoog gerichte kracht op de stift en een omlaag gerichte kracht op het omhulsel. De veer is ingedrukt, dus wijzen de veerkrachten van elkaar af.

bewegingsrichting van het voorwerp. Het aangrijpingspunt is de plaats waar de twee voorwerpen elkaar raken, of het midden van het contactoppervlak. Als je een kast wilt verschuiven, merk je dat je met een bepaalde kracht moet duwen voordat de kast begint te bewegen. Figuur 3.10 laat het verloop van de grootte van de schuifwrijvingskracht zien bij toenemende duwkracht. Zolang de kast niet beweegt, is de schuifwrijvingskracht even groot als de duwkracht. Is de kast eenmaal in beweging, dan is de schuifwrijvingskracht constant en maximaal. Uit figuur 3.10 volgt dat de kast gaat bewegen als de duwkracht groter is dan 800 N.

Fw,max

Fw,schuif (N)

Voorbeeld Arjan hangt een blokje aan veerunster A. De veer rekt 6,5 cm uit. De veerunster wijst 1,9 N aan. a Bereken de veerconstante van de veer. Daarna hangt Arjan het blokje aan veerunster B met een slappere veer. b Beredeneer of de uitrekking van de veer in veerunster B groter of kleiner is dan die in veerunster A.

Fduw (N) Figuur 3.10

Blijkbaar is er een maximale schuifwrijvingskracht. Deze maximale waarde hangt af van de ruwheid van de contactoppervlakken en van de kracht waarmee het voorwerp tegen de ondergrond wordt geduwd. Een kast schuift gemakkelijker over een gladde vloer dan over vloerbedekking, en een lichte kast verschuif je gemakkelijker dan een zware kast. Voor de maximale schuifwrijvingskracht geldt: Fw,schuif,max = f ⋅ Fn

Ook bij het doorbuigen van de plank in figuur 3.1 spreek je van veerkracht. Hoe groter de massa van het meisje is, des te meer buigt de plank door. De normaalkracht op het meisje is dus de veerkracht van de plank op het meisje. Sta je op de grond, dan is de aarde een klein beetje ingedrukt. Ook dan is de normaalkracht dus een soort veerkracht.

▪▪ ▪▪ ▪▪

Fw,schuif,max is de maximale schuifwrijvingskracht in N. f is de wrijvingscoëfficiënt. Fn is de normaalkracht in N.

Zoals je ziet heeft de wrijvingscoëfficiënt geen eenheid. De reden is dat links en rechts van het =-teken dezelfde grootheid staat. Figuur 3.9

Schuifwrijvingskracht Voorwerpen die bewegen of waarop een kracht wordt uitgeoefend om ze in beweging te brengen, ondervinden meestal een tegenwerkende kracht. Als twee voorwerpen met hun contactoppervlakken langs elkaar bewegen, is er schuifwrijvingskracht Fw,schuif . De richting van de schuifwrijvingskracht is altijd tegengesteld aan de

10 4

h o ofdstuk 3

Dansers dragen vaak schoenen met een leren zool. De wrijvingscoëfficiënt tussen leer en hout is 0,35. Dat betekent dat een schoen met een leren contactoppervlak over hout schuift als de horizontale kracht op die schoen groter is dan 35% van de normaalkracht. Draagt de danser een schoen met rubberen zool, dan schuift dat minder gemakkelijk. De wrijvingscoëfficiënt tussen een rubberen zool en hout is veel groter dan 0,35.

Krachten

105

Opmerkingen 1 De luchtweerstandscoëfficiënt is een maat voor de stroomlijn. Hoe kleiner de luchtweerstandscoëfficiënt, des te beter is de stroomlijn. Zie BINAS tabel 28A. Hoe beter de stroomlijn, hoe gemakkelijker de lucht langs een voorwerp stroomt. 2 Evenals de rolweerstandscoëfficiënt heeft de luchtweerstandscoëfficiënt geen eenheid. In opgave 1 leid je dat af.

Weerstandskrachten Ook op rollende voorwerpen werkt een tegenwerkende kracht: de rolweerstandskracht Fw,rol. In figuur 3.11 zie je de rolweerstandskracht op het voorwiel van een fiets die naar rechts beweegt. De grootte van de rolweerstandskracht hangt af van de kracht waarmee het rollende voorwerp tegen de ondergrond wordt geduwd en van de vervormbaarheid van de contactoppervlakken. Fietsen gaat gemakkelijker met harde banden dan met zachte. En over hard asfalt fiets je gemakkelijker dan door mul zand.

Opgaven 1

Een wielrenner bereikt een grotere maximale snelheid als de rolweerstandskracht en de luchtweerstandskracht zo klein mogelijk zijn. Een mecanicien zorgt ervoor dat de fiets van een wielrenner in perfecte staat is. a Noem twee manieren waarop de mecanicien de rolweerstand van de fiets zo klein mogelijk kan maken. Voor de luchtweerstandskracht geldt Fw,lucht = __12 cw ⋅ ρ ⋅ A ⋅ v 2. b Toon met behulp van deze formule aan dat cw geen eenheid heeft. Een wielrenner levert een bepaalde fietskracht tijdens een onderzoek naar de juiste houding op de fiets. Als hij in een gebogen houding gaat zitten, heeft dit uiteindelijk invloed op drie grootheden in de vergelijking voor de luchtweerstandskracht. c Leg dit uit.

Een blokje met een massa van 142 gram hangt aan een veer. Zie figuur 3.13. De veer is 11,3 cm uitgerekt. Op het blokje werken de veerkracht en de zwaartekracht. Deze twee krachten zijn aan elkaar gelijk. a Teken de krachten die op het blokje werken. b Bereken de veerconstante van de veer. Geef je antwoord in N m−1.

Figuur 3.11

Een voorwerp dat door de lucht beweegt, ondervindt luchtweerstandskracht Fw,lucht. Ook dit is een tegenwerkende kracht. Als je met grote snelheid fietst, voel je meer tegenwind dan als je langzaam fietst. Door je voorover te buigen zorg je voor een betere stroomlijn én een kleiner frontaal oppervlak. Hierdoor heb je minder last van tegenwind. Bij een wielrenner is de grootte van het frontale oppervlak gelijk aan de oppervlakte die je ziet als je van voren naar de wielrenner kijkt. Zie figuur 3.12.

▶▪tekenblad

Figuur 3.12

De luchtweerstandskracht hangt dus af van de hoeveelheid lucht die per tijdseenheid tegen een voorwerp botst. Die hoeveelheid lucht is op zijn beurt afhankelijk van de dichtheid van de lucht. Wanneer wielrenners een poging doen om het werelduurrecord te verbeteren, doen zij dat op een wielerbaan op grote hoogte, bijvoorbeeld die in Mexico-Stad. Daar is de dichtheid van de lucht kleiner dan op zeeniveau. Voor de luchtweerstandskracht geldt:

Fw,lucht = __12 CW ⋅ ρ ⋅ A ⋅ v 2

▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪

Fw,lucht is de luchtweerstandskracht in N. cw is de luchtweerstandscoëfficiënt. ρ is de dichtheid van de lucht in kg m−3. A is de frontale oppervlakte in m 2. v is de snelheid in m s−1.

Z Figuur 3.13

10 6

h o ofdstuk 3

Figuur 3.14

In figuur 3.14 zie je drie veerunsters. Zet de veerunsters op volgorde van oplopende veerconstante.

Krachten

107

In figuur 3.15a zie je twee veren naast elkaar hangen. De veren zijn van ongelijke lengte. Veer B is 8,0 cm langer dan veer A. Van dit systeem is een (F,u)-diagram gemaakt. Zie figuur 3.15b. De uitrekking u is de uitrekking van veer A. Neem aan dat je de duwkracht van veer B op het plankje kunt verwaarlozen. a Leg uit waardoor de grafiek steiler loopt vanaf u = 8,0 cm. b Toon aan dat de veerconstante van veer A gelijk is aan 38 N m−1. c Bepaal de grootte van de veerconstante van veer B.

Bij een noodstop is de remkracht maximaal en blokkeren de remmen. De rolweerstandskracht is dan 0 N en op de wielen werkt de schuifweerstandskracht. In figuur 3.17 is de remafstand uitgezet tegen de snelheid bij verschillende omstandigheden. Een automobilist maakt een noodstop op een droog wegdek. De remkracht is dan 6,0 kN en de remweg van de auto is dan 30 m. De massa van de auto is 7,2⋅102 kg. a Toon aan dat bij een droog wegdek de schuifwrijvingscoëfficiënt gelijk is aan 0,85. Bij hevige regen blijkt de grootte van de schuifwrijvingscoëfficiënt 33% lager te zijn dan bij een droog wegdek. Je rijdt dan met een kleinere snelheid, zodat de remweg bij een noodstop nog steeds 30 m is. b Bepaal de snelheid waarmee de automobilist dan rijdt. 2 kN

4 kN srem (m)

60 6 kN 40 20 0

In figuur 3.16a ligt een blok op een tafel. De pijl van de zwaartekracht is 2,4 cm lang. De krachtenschaal is 1 cm ≙ 500 N. a Bereken de massa van het blok. b Teken in figuur 3.16a de normaalkracht op het blok. In figuur 3.16b ligt het blok op een helling. c Teken in figuur 3.16b de zwaartekracht en de normaalkracht op het blok. Laat in de tekening zien of een kracht groter dan, kleiner dan of gelijk is aan die in figuur 3.16a. Op het blok in figuur 3.16b werkt nog een kracht. d Teken deze kracht. Zet bij de pijl het symbool van de kracht. Je hoeft alleen maar te letten op het aangrijpingspunt en de richting van deze kracht.

Figuur 3.16

10 8

h o ofdstuk 3

40 50 v (km h-1)

100

Figuur 3.17

Figuur 3.15 ▶▪tekenblad

Mylo heeft een blokje en een plaat die beide gemaakt zijn van plexiglas. De massa van het blokje is 250 g en de massa van de plaat is 2,0 kg. Hij onderzoekt hoe de schuifwrijvingskracht van het blokje op de plaat afhangt van de trekkracht. Hij doet twee proeven. De resultaten van proef 1 zijn verwerkt in het diagram van figuur 3.18. a Beschrijf hoe Mylo aan de meetpunten in het diagram is gekomen. Beantwoord daartoe de volgende vragen: ▪▪ Beschrijf hoe Mylo de proef heeft uitgevoerd. ▪▪ Geef aan waardoor de meting van een trekkracht een punt in het diagram oplevert. Uit figuur 3.18 volgt dat de maximale schuifwrijvingskracht gelijk is aan 2,2 N. b Leg uit hoe Mylo de maximale schuifFiguur 3.18 wrijvingskracht proefondervindelijk heeft vastgesteld. c Bepaal de schuifwrijvingscoëfficiënt tussen plexiglas en plexiglas. Voor proef 2 kantelt Mylo het blokje. Hierdoor verandert alleen de oppervlakte van de onderkant van het blokje. Deze oppervlakte is de helft van die bij proef 1. Vervolgens voert Mylo proef 2 uit op dezelfde manier als proef 1. d Leg uit of de meetresultaten bij proef 2 hetzelfde zijn als bij proef 1. Krachten

109

Twee honden worden samen

precies dezelfde kant op. Elke hond

Je mag zelf kiezen welke richting je de positieve richting noemt. Meestal is dit de richting van de grootste kracht. Voor de resulterende kracht die Robert en Max uitoefenen op het touw geldt: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ Robert + F⃗ Max

oefent kracht uit op de hand van

Fres = FRobert + FMax

het meisje. Hoe bepaal je de kracht

Fres = 650 + 640 = 1290 N De richting van de resulterende kracht is naar links.

uitgelaten, maar ze willen niet

die de honden samen uitoefenen?

In figuur 3.21 zie je Robert en Max weer aan het touw trekken. Dit keer trekken ze in tegengestelde richtingen. Voor de resulterende kracht die Robert en Max uitoefenen op het touw geldt:

Figuur 3.19

3.2

F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ Robert + F⃗ Max

Krachten samenstellen

Fres = FRobert − FMax

Resulterende kracht

Figuur 3.21

Fres = 650 − 640 = 10 N Omdat Robert harder trekt dan Max, is de richting van de resulterende kracht naar links. Als de werklijnen evenwijdig lopen, bepaal je de resulterende kracht ook op deze manier. Je mag de krachten dan verschuiven totdat de werklijnen samenvallen. Krachten in dezelfde richting tel je bij elkaar op. Krachten in tegengestelde richting trek je van elkaar af.

In figuur 3.19 oefent elke hond een kracht uit op de hand van het meisje. Je mag die twee krachten vervangen door één kracht: de resulterende kracht Fres. Het vervangen van twee krachten door één kracht noem je het samenstellen van krachten. Wil je krachten samenstellen, dan kijk je eerst of de werklijnen van die krachten samenvallen of dat ze een hoek met elkaar maken.

De werklijnen vallen samen In figuur 3.20 zie je twee touwtrekkers, Robert en Max. Beiden oefenen kracht uit op het touw. Robert trekt met een kracht van 650 N en Max met een kracht van 640 N. De krachten hebben niet hetzelfde aangrijpingspunt, maar werken wel in dezelfde richting en langs dezelfde werklijn.

h o ofdstuk 3

Figuur 3.20

Bij het bepalen van de resulterende kracht houd je rekening met de richting waarin een kracht werkt. Wiskundig geef je dit weer met F⃗ res = ∑F⃗ i . i ∑ is het sommatieteken. De letter i staat voor index. Daarmee wordt de naam van elke kracht bedoeld. ∑F⃗ i betekent dat je alle krachten bij elkaar optelt en dat je rekei ning houdt met de richting waarin een kracht werkt.

11 0

Figuur 3.22

De werklijnen maken een hoek In figuur 3.19 trekken de honden niet dezelfde kant op: de werklijnen maken een hoek. Je mag de krachten dan niet zomaar bij elkaar optellen om de resulterende kracht te berekenen. In figuur 3.22a zijn de krachten op schaal getekend.

Krachten

111

Voorbeeld De krachten F1 en F2 in figuur 3.23 zijn 39 N en 54 N. a Bereken de grootte van de resulterende kracht. b Bereken de richting van de resulterende kracht ten opzichte van de horizontaal.

De resulterende kracht construeer je op de volgende manier: ▪▪ Teken door de pijlpunt van F een streeplijn evenwijdig aan F . Zie figuur 3.22b. B A ▪▪ Teken door de pijlpunt van F een streeplijn evenwijdig aan F . A B ▪▪ Teken de pijl van de resulterende kracht vanuit het aangrijpingspunt naar het snijpunt van de twee streeplijnen. Zie figuur 3.22c. De twee pijlen van FA en FB vormen samen met de streeplijnen een parallellogram. Zie figuur 3.22b. Deze methode voor het samenstellen van de resulterende kracht heet daarom de parallellogrammethode. De grootte en de richting van de resulterende kracht bepaal je met behulp van de figuur.

Uitwerking a Zijde BC is even lang als zijde AD, dus geldt voor de resulterende kracht:

Voorbeeld Hond Asia trekt met een kracht FA, die gelijk is aan 38 N. Hond Bo trekt met een kracht FB, die gelijk is aan 51 N. Deze krachten zijn in figuur 3.22 op schaal getekend. a Toon aan dat figuur 3.22 is getekend met krachtenschaal 1 cm ≙ 15 N. b Bepaal de grootte van de resulterende kracht. c Bepaal de hoek die Fres maakt met FA.

2 Fres = F12 + F22 2 Fres = 39 2 + 54 2

Fres = 66,7 N Afgerond: Fres = 67 N. b De richting van de resulterende kracht bereken je met de cosinus, sinus of tangens. Zo geldt in figuur 3.23 voor de tangens van hoek α:

Uitwerking a De lengte van pijl FB = 3,4 cm en de kracht is 51 N. Dus 1 cm komt overeen 51 = 15 N oftewel 1 cm ≙ 15 N. met ___ 3,4 b In figuur 3.22c is de pijl van de resulterende kracht 4,7 cm lang. De kracht Fres is dan 4,7 × 15 = 71 N. c De hoek meet je in figuur 3.22c. De hoek tussen de resulterende kracht en FA is 44°. Opmerkingen 1 De parallellogrammethode pas je toe op krachten die hetzelfde aangrijpingspunt hebben. Is dat niet het geval, dan verschuif je eerst een van de twee krachten langs of evenwijdig aan zijn werklijn totdat de aangrijpingspunten wel samenvallen. 2 De resulterende kracht van drie krachten bepaal je in stappen. Eerst construeer je de resulterende kracht van de krachten F1 en F2. Deze resulterende kracht noem je Fres,12. Vervolgens construeer je de resulterende kracht van Fres,12 en de derde kracht. Dit komt in opgave 12 aan bod.

F tan(α) = __1 F2 39 = 0,722 tan(α) = __ 54 α = 35,8° Afgerond: α = 36°. Opmerking Als twee krachten loodrecht op elkaar staan, hoef je geen tekening op schaal te maken. Je maakt dan alleen een schets om een goed beeld te krijgen van de situatie. Opgaven 9

De werklijnen staan loodrecht op elkaar In figuur 3.23 staan twee krachten loodrecht op elkaar. Het parallellogram is nu een rechthoek. In dat geval kun je de grootte van de resulterende kracht berekenen met de stelling van Pythagoras. De schuine zijde van driehoek ABC in figuur 3.23 stelt de resulterende kracht voor. De hoek bereken je met een goniometrische formule.

11 2

h o ofdstuk 3

Figuur 3.23

Donald laat zijn honden Pluto en Loebas uit. Hij houdt de riemen in één hand. Pluto oefent een kracht van 50 N uit, Loebas een kracht van 80 N. a Bereken de resulterende kracht die de honden op Donald uitoefenen als: I Pluto en Loebas dezelfde richting op willen; II Pluto en Loebas in tegengestelde richtingen willen. b Bereken de resulterende kracht die de honden op Donald uitoefenen als de hoek tussen de riemen 90° is. In de situatie van vraag b kun je de richting van de resulterende kracht berekenen met een goniometrische formule. c Bereken de hoek tussen de resulterende kracht en de kracht in de riem van Loebas.

Krachten

113

▶▪tekenblad

10 In figuur 3.24 zijn de krachten F1 en F2 op schaal getekend. Kracht F1 = 35 N. a Bepaal de resulterende kracht. b Bepaal de hoek tussen de resulterende kracht en F1.

14 In figuur 3.27 zie je een bord aan twee touwen hangen. De spankracht in elk touw is gelijk aan 1,6 N. Bepaal de resulterende spankracht op het bord.

11 Mickey laat Rakker en Lady uit. Hij houdt de riemen in één hand. Rakker Figuur 3.24 trekt met een kracht van 44 N en Lady met een kracht van 66 N. De hoek tussen de riemen is 55°. De kracht van Rakker kun je tekenen met een pijl van 4,0 cm. a Teken de twee krachten op schaal. b Bepaal door middel van constructie de resulterende kracht. De honden lopen vervolgens een andere kant op. De hoek tussen de riemen wordt dan 125°. De kracht van Rakker blijft 44 N en de kracht van Lady blijft 66 N. c Leg uit of de resulterende kracht nu groter of kleiner is dan bij vraag b. Maak hierbij gebruik van een schets. ▶▪tekenblad

12 In figuur 3.25 zijn drie krachten getekend. De grootte van F1 is 35 N. a Bepaal de grootte van de resulterende kracht. b Bepaal de hoek die de resulterende kracht maakt met F3.

Figuur 3.25

Figuur 3.26

13 Een lamp hangt met twee draden aan een plafond. Zie figuur 3.26. De spankracht in draad LB is 25 N. De spankracht Fspan,B is al op schaal getekend. De resulterende kracht van de spankracht in draad L A en draad LB ligt op de werklijn van de zwaartekracht van de lamp. Bepaal de resulterende kracht van deze twee spankrachten.

11 4

h o ofdstuk 3

▶▪tekenblad

Figuur 3.27

15 In figuur 3.28 zie je twee situaties met dezelfde krachten: F1 = 30 N en F2 = 40 N. a Schets in elke situatie de resulterende kracht. Met ‘schets’ wordt bedoeld dat je gebruikmaakt van de parallellogrammethode, maar dat je geen geodriehoek of liniaal gebruikt. Figuur 3.28 is niet op schaal. Maar je kunt in elke situatie Figuur 3.28 wel de resulterende kracht berekenen. Dit komt doordat je in elke schets een hoek van 90° kunt aanwijzen. In figuur 3.28a is de hoek tussen F1 en F2 gelijk aan 90°. b Bereken de resulterende kracht in figuur 3.28a. In figuur 3.28b is de hoek tussen de resulterende kracht en F1 gelijk aan 90°. c Bereken de resulterende kracht in figuur 3.28b. In figuur 3.29 is een derde situatie van de twee krachten getekend. Met behulp van de parallellogrammethode is de resulterende kracht in de figuur getekend. De verbindingslijn van F1 met F2 is ook een diagonaal in het parallellogram. Deze lijn maakt een hoek van 90° met F1. Figuur 3.29 d Bereken de grootte van de resulterende kracht in figuur 3.29. Hint: In een parallellogram delen de diagonalen elkaar doormidden. In de situatie van figuur 3.29 kun je de richting van de resulterende kracht met een goniometrische formule berekenen. e Bereken de hoek tussen de resulterende kracht en F1.

Krachten

115

De skiër beweegt langs de helling naar beneden door de zwaartekracht. Hoe steiler de helling, des te sneller gaat hij naar beneden. Waardoor is het effect van de zwaartekracht groter als de helling steiler is? Figuur 3.31

Ontbinden in loodrechte componenten Figuur 3.30

3.3

Krachten ontbinden

Componenten van een kracht Een skiër beweegt evenwijdig aan een helling naar beneden. De zwaartekracht op de skiër werkt in een andere richting, namelijk naar het middelpunt van de aarde. Toch gaat de skiër dankzij de zwaartekracht steeds sneller naar beneden. De zwaartekracht heeft dus een gevolg in de bewegingsrichting van de skiër. Je kunt de zwaartekracht op de skiër vervangen door een kracht in de bewegingsrichting en een kracht loodrecht daarop. Dit noem je het ontbinden van een kracht . De resulterende kracht van deze twee krachten is dan gelijk aan de zwaartekracht. Bij de skiër ontbind je dus de zwaartekracht in twee componenten: één langs de helling en één loodrecht op de helling.

Omgekeerde parallellogrammethode In figuur 3.19 op pagina 110 trekken de twee honden aan hun riemen. In elke riem werkt een eigen spankracht. De twee spankrachten samen zorgen voor de resulterende trekkracht op het meisje. Als je de resulterende kracht weet, en de richtingen waarin de honden trekken, dan construeer je de krachten in die riemen met de omgekeerde parallellogrammethode. In figuur 3.31a zijn de trekkracht en de werklijnen van de spankrachten getekend. De kracht Ftrek is de resulterende kracht van de twee spankrachten. Je construeert de twee spankrachten in de riemen als volgt: ▪▪ Teken door de pijlpunt van de trekkracht twee streeplijnen, evenwijdig aan de werklijnen van de twee spankrachten. Zie figuur 3.31b. ▪▪ Teken vanuit het aangrijpingspunt twee pijlen over de werklijnen tot aan de snijpunten met de streeplijn, zoals in figuur 3.31c. 11 6

h o ofdstuk 3

In figuur 3.32 trekt een man met een touw een vrachtwagen voort. Het touw maakt een hoek met de richting waarin de man beweegt. Je ontbindt zijn trekkracht in twee componenten: een horizontale en een verticale component. Zie figuur 3.33. Alleen de component in horizontale richting zorgt ervoor dat de vrachtwagen vooruit gaat bewegen. De hoek tussen de componenten van de trekkracht is 90°. Je kunt in dat geval de grootte van de componenten van de trekkracht berekenen. Voorbeeld De man in figuur 3.32 trekt met een trekkracht Ftrek van 1,3∙103 N aan het touw. De hoek die het touw maakt met de horizontaal is 20°. In figuur 3.33 is de trekkracht ontbonden in een kracht evenwijdig aan de horizontaal en in een kracht loodrecht daarop. a Bereken de grootte van F//. b Bereken de grootte van F ⊥.

Figuur 3.32

, Figuur 3.33

Krachten

117

Uitwerking Uit figuur 3.33 volgt:

Ftrek,// cos(α) = ___ Ftrek Ftrek,// cos(20° ) = _______ 1,3⋅10 3 Ftrek,// = 1,22∙103 N Afgerond: Ftrek,// = 1,2∙103 N.

Figuur 3.33

Omdat pijl Ftrek,⊥ even lang is als zijde BC, geldt: Ftrek,⊥ sin(α) = ___ Ftrek Ftrek,⊥ sin(20° ) = _______ 1,3⋅10 3 Ftrek,⊥ = 4,44⋅102 N Afgerond: Ftrek,⊥ = 4,4⋅102 N.

Ontbinden van de zwaartekracht op een helling Een koffer staat op een helling. Zie figuur 3.34a. Punt Z is het zwaartepunt. In figuur 3.34b is een pijl voor de zwaartekracht getekend. Op de koffer werkt ook de schuifwrijvingskracht. De koffer glijdt niet naar beneden als de maximale schuifwrijvingskracht groter is dan het gevolg van de zwaartekracht evenwijdig aan de helling. Om dit gevolg te bepalen, ontbind je de zwaartekracht in twee componenten die loodrecht op elkaar staan. De eerste component Fzw,// teken je evenwijdig aan de helling. De tweede component Fzw,⊥ staat daar loodrecht op: ▪▪ Teken vanuit Z de werklijnen van de twee componenten, evenwijdig aan de helling en loodrecht op de helling. Zie figuur 3.34b. ▪▪ Teken vanuit de pijlpunt van de zwaartekracht streeplijnen evenwijdig aan iedere werklijn. ▪▪ Teken vanuit het aangrijpingspunt Z pijlen over de werklijnen tot aan de snijpunten. Zie figuur 3.34c.

De lengte van de pijl van de zwaartekracht mag je zelf bepalen. Als je zelf de lengte van een pijl mag kiezen, maak de pijl dan minstens enkele centimeters lang. Dan is de tekening overzichtelijk en kun je nauwkeurig meten. De grootte van de componenten bepaal je met behulp van de krachtenschaal. Is een tekening op schaal gegeven, dan volgt de krachtenschaal uit de massa van het voorwerp en de lengte van de pijl. Voorbeeld De massa van de koffer in figuur 3.34a is 15,9 kg. De maximale schuifwrijvingskracht op de koffer is 70 N. a Toon aan dat in de krachtenschaal 1 cm ≙ 40 N. b Toon aan dat de koffer niet naar beneden glijdt. Uitwerking a Fzw = m ⋅ g met m = 15,9 kg en g = 9,8 m s−2. Fzw = 15,9 × 9,81 = 156 N. De lengte van de pijl van de zwaartekracht in figuur 3.34b is 3,9 cm. 156 = 40 en dus 1 cm ≙ 40 N. Dus de krachtenschaal is ____ 3,9 b De pijl Fzw,// heeft een lengte van 1,6 cm. Hieruit volgt Fzw,// = 1,6 × 40 = 64 N. Dit is kleiner dan de maximale schuifwrijvingskracht. De koffer glijdt dus niet naar beneden.

Berekenen van de componenten van de zwaartekracht op een helling Als je de hellingshoek en de massa weet, kun je de componenten van de zwaartekracht op een helling ook berekenen. Dat is mogelijk doordat je in figuur 3.34c twee hoeken kunt aanwijzen die gelijk zijn aan de hellingshoek. Zie figuur 3.35a. De hellingshoek α is dus gelijk aan de hoek ingesloten tussen Fzw en F zw,⊥. In een parallellogram kun je Z-hoeken aanwijzen. Daarom is de hoek ingesloten tussen Fzw en F zw,⊥ gelijk aan de hoek ingesloten tussen Fzw en de streeplijn links. De hellingshoek α is dus gelijk aan de hoek ingesloten tussen Fzw en Fzw,⊥. Dat kun je als volgt bewijzen. Zie figuur 3.35b op pagina 120.

Figuur 3.35a

Figuur 3.34

11 8

h o ofdstuk 3

Krachten

119

▪▪

Opgaven

De blauwe driehoek in figuur 3.35b iseen rechthoekige hoek omdat Fzw loodrecht staat op de horizontale lijn. Dus geldt α + β = 90°. Fzw,// en de helling vormen F-hoeken met Fzw. De ingesloten hoeken zijn aan elkaar gelijk en aangegeven met β. Fzw,// en Fzw,⊥ vormen bij punt Z een rechte hoek. Dus de twee hoeken bij punt Z zijn samen ook 90°. Als de ene hoek gelijk is aan β, dan is de andere gelijkα .

Voorbeeld De massa van de koffer in figuur 3.35b is 15,9 kg. De hellingshoek is 25°. a Bereken de grootte van Fzw,// . b Bereken de grootte van Fzw,⊥.

▶▪tekenblad

Figuur 3.36

Figuur 3.35b ▶▪tekenblad

Uitwerking a Voor de component Fzw,// geldt: Fzw,// sin(α) = ____ Fzw

16 In figuur 3.36 zie je de resulterende kracht en de werklijnen van spankrachten. De resulterende kracht is gelijk aan 1,0⋅103 N. Bepaal voor beide figuren de spankracht langs werklijn 1.

17 In figuur 3.37 a t/m c is de getekende kracht 40 N. a Schets in onderstaande figuren de componenten van de gegeven kracht in de richting van de streeplijnen. b Bereken van iedere figuur de grootte van de component langs werklijn 1.

Fzw,// sin(25° ) = ____ 156 Fzw,// = 65,9 N Afgerond: Fzw,// = 66 N.

37º

30º

b Voor de component Fzw, ⊥ geldt: Fzw,⊥ cos(α) = _____ Fzw Fzw,⊥ cos(25°) = _____ 156 Fzw, ⊥ = 141 N Afgerond: Fzw, ⊥ = 1,4∙102 N. Opmerking In bovenstaande voorbeelden staat er de ene keer ‘bepaal’ en de andere keer ‘bereken’. Staat in de vraag ‘bepaal’, dan teken je de krachten op schaal zoals in figuur 3.34. Je kunt dan de grootte van de componenten bepalen als je de massa van de koffer en de krachtenschaal weet. Staat er in de vraag ‘bereken’, dan hoef je de krachten in figuur 3.34 niet op schaal te tekenen. Je hebt dan voldoende aan een schets. Om de krachten te berekenen, moet je dan behalve de massa van de koffer ook de hellingshoek weten. Dan kun je met behulp van goniometrische formules de componenten berekenen. 12 0

h o ofdstuk 3

63º

Figuur 3.37

18 Karel laat twee honden uit. De honden oefenen een resulterende kracht van 120 N uit op Karel. De riem van de ene hond maakt een hoek van 25° met de resulterende kracht. De riem van de andere hond maakt een hoek van 40° met de resulterende kracht. a Maak een tekening op schaal van de resulterende kracht en teken de werklijnen van de spankrachten. b Construeer de spankrachten. c Bepaal in elke riem de spankracht.

Krachten

121

▶▪tekenblad

19 In figuur 3.38 zijn de werklijnen van de componenten van Fres getekend. De werklijnen staan loodrecht op elkaar. Fres = 92 N. a Toon aan dat F2 gelijk is aan 80 N. b Bereken de hoek tussen F2 en Fres.

a Construeer in figuur 3.41a de spankrachten in het sleeptouw. Door het sleeptouw langer of korter te maken, verandert de hoek tussen de werklijnen van de spankrachten. Blijft de trekkracht hetzelfde, dan veranderen de spankrachten in het sleeptouw. b Construeer in de figuren 3.41b en 3.41c de spankrachten in het sleeptouw. c Beschrijf het verband tussen de grootte van de spankrachten en de hoek tussen de spankrachten. d Is het sleeptouw in figuur 3.41c langer of korter dan in figuur 3.41a? Licht je antwoord toe.

a Figuur 3.38

Figuur 3.39 Figuur 3.41

▶▪tekenblad

20 De steilste skipiste in de Alpen is de Langer Zug in Oostenrijk met een hellingshoek van 55°. Harry Egger heeft op deze helling een snelheid van 248 km h−1 gehaald. Figuur 3.39 is een tekening op schaal. Z is het zwaartepunt van de skiër. Egger heeft een massa van 105 kg. a Bepaal de grootte van de componenten. b Bereken hoeveel procent de component langs de helling afneemt als de hoek van 55° naar 20° verandert. 21 Een zeilboot wordt gesleept door een motorboot. Het sleeptouw is op twee punten aan de motorboot vastgemaakt, zoals je ziet in figuur 3.40. In figuur 3.41a is deze situatie op schaal getekend. De pijl stelt de sleepkracht op de zeilboot voor. De streeplijnen zijn de werklijnen van de spankrachten in het sleeptouw.

▶▪tekenblad

22 Een auto die vastzit in de modder, kun je lostrekken met behulp van een andere auto. Als er een boom in de buurt staat, kun je die benutten om de auto gemakkelijker los te trekken. Die situatie zie je in figuur 3.42, waarbij auto B wordt losgetrokken door auto A. Zolang auto B nog niet begint te bewegen, zijn de spankrachten in elk van de twee touwdelen gelijk aan de trekkracht FB op auto B. 1F __ 2 A = cos(70° ). Voor de trekkracht FA die auto A uitoefent geldt dan: ___ FB a Toon dit aan. Als auto B door het trekken een stuk naar rechts is opgeschoven, maar nog steeds vastzit in de modder, werkt deze methode niet meer zo goed als in het begin. b Leg met behulp van de formule uit waardoor de methode dan minder goed werkt.

Figuur 3.40 Figuur 3.42

12 2

h o ofdstuk 3

Krachten

123

De schommel met het kind wordt

De werkwijze is als volgt: Maak een tekening op schaal van de twee bekende krachten FA en FB. Zie figuur 3.45a. ▪▪ Construeer de resulterende kracht van F en F . Dat is gedaan in figuur 3.45b. A B ▪▪ Teken de derde kracht F . De derde kracht zorgt voor evenwicht. Hij moet de trek resulterende kracht FAB dus opheffen. De pijl is daarom net zo lang als die van de resulterende kracht, maar hij wijst in tegengestelde richting. In figuur 3.45c is deze kracht met een blauwe pijl aangegeven. ▪▪

op zijn plaats gehouden door de grote zus. Welke krachten werken er op de schommel? Hoe groot is de kracht die de zus daarvoor uitoefent?

FPO SN_V_BB_H_ B

Figuur 3.43

3.4

B A

Krachten in evenwicht

Twee krachten in evenwicht Als Robert en Max even hard trekken aan het touw van figuur 3.44, komt het touw niet in beweging.

trek

Figuur 3.45

Figuur 3.44

Aan de krachtpijlen zie je dat de twee krachten even groot zijn en tegengesteld gericht. De twee krachten heffen elkaar op, want de som van de krachten is 0 N. Als de resulterende kracht 0 N is, is er een evenwicht van krachten. Ook drie krachten waarvan de werklijnen een hoek maken met elkaar, kunnen elkaar opheffen.

Drie-krachtenevenwicht met twee bekende krachten In figuur 3.19 op pagina 110 trekken twee honden in verschillende richtingen aan de riemen. Zij oefenen daarbij kracht uit op het knooppunt van de riemen. Het meisje dat de honden uitlaat, oefent ook kracht uit op dat knooppunt. Met haar trekkracht houdt ze de krachten in evenwicht. De grootte en richting van die trekkracht Ftrek kun je bepalen als de grootte en de richting van de krachten die de honden uitoefenen bekend zijn. Je gebruikt daarvoor een krachtentekening. 12 4

h o ofdstuk 3

In figuur 3.45c gaan de werklijnen van de drie krachten door één punt. Dit geldt altijd bij een evenwicht van drie krachten waarbij de werklijnen een hoek maken met elkaar. Dus als drie krachten in evenwicht zijn, is de resulterende kracht 0 N en gaan de werklijnen door één punt.

Drie-krachtenevenwicht met een bekende kracht: de bergbeklimster In figuur 3.46a zie je een bergbeklimster. Zij hangt aan een touw en staat met haar voeten tegen een rotswand. Op de klimster werken drie krachten: ▪▪ de zwaartekracht F waarvan de grootte en richting bekend zijn; zw ▪▪ de spankracht van het touw F waarvan de richting bekend is; span ▪▪ de kracht die de rots uitoefent. Deze laatste wordt aangeduid met F en heeft als rots aangrijpingspunt R.

Krachten

125

De klimster beweegt niet, dus de drie krachten die op haar werken zijn in evenwicht. Hun werklijnen gaan dus door één punt. In figuur 3.46a is dat punt Z. Frots is gericht op het zwaartepunt Z van de klimster. De twee onbekende krachten Fspan en Frots bepaal je als volgt: ▪▪ Teken de twee werklijnen van F en Frots. De werklijn van Fspan gaat door Z in het span verlengde van het touw. De werklijn van Frots gaat door R en Z. Zie figuur 3.46b. ▪▪ Ontbind F in twee componenten. Gebruik hiervoor de werklijnen van F en zw span Frots. Zie figuur 3.46c. ▪▪ Teken vanuit Z de krachtenpijlen van F en Frots tegengesteld aan en even groot span als de componenten van de zwaartekracht. Zie figuur 3.46d. De spankracht Fspan is even groot als de component Fzw,1 van de zwaartekracht, maar werkt in tegengestelde richting. Die twee krachten zijn dus in evenwicht. Dit geldt ook voor de kracht Frots en de component Fzw,2. De kracht Frots in figuur 3.46d is getekend met het aangrijpingspunt in Z. In werkelijkheid grijpt Frots echter aan in punt R. In de tekening is die kracht dus verschoven langs zijn werklijn.

Drie-krachtenevenwicht met een bekende kracht: de schommel ▶▪practicum Krachten in evenwicht

In figuur 3.43 op pagina 124 werken drie krachten op het plankje van de schommel: de zwaartekracht waarvan de grootte bekend is, de spankracht van het ophangtouw en de trekkracht van de grote zus. De schommel beweegt niet, dus deze krachten zijn in evenwicht. De twee onbekende krachten, de trekkracht en de spankracht, kun je bepalen op een vergelijkbare manier als in figuur 3.46. Maar er is ook een andere methode. Je bepaalt dan eerst de resulterende kracht van de twee onbekende krachten. Vervolgens ontbind je deze resulterende kracht in twee componenten op de werklijnen van de ontbrekende krachten. Dit gaat als volgt: ▪▪ Teken de werklijnen van de spankracht en de trekkracht. De werklijn van de spankracht valt samen met de richting van het touw. De werklijn van de trekkracht is in figuur 3.47a gegeven. ▪▪ Teken de kracht die de zwaartekracht opheft. De pijl van die kracht is tegengesteld aan en even lang als de pijl van de zwaartekracht. Zie figuur 3.47b. Dit is de resulterende kracht van de trekkracht en de spankracht. ▪▪ Ontbind de resulterende kracht in twee componenten. De ene component is de trekkracht en de andere component is de spankracht. Zie figuur 3.47c.

d Figuur 3.47

Bij de methode ‘bergbeklimster’ ontbind je eerst de zwaartekracht en vervolgens teken je de twee onbekende krachten. Bij de methode ‘schommel’ teken je eerst de resulterende kracht van de twee onbekende krachten en daarna ga je die kracht ontbinden. Welke methode je kiest, maakt voor het resultaat niet uit. Denk eraan dat elke methode begint met het tekenen van de werklijnen van de onbekende krachten.

Figuur 3.46

12 6

h o ofdstuk 3

Krachten

127

Opgaven ▶▪tekenblad

▶▪tekenblad

23 In figuur 3.48 zijn twee krachten op schaal getekend. F2 is gelijk aan 5,0 N. De twee krachten zijn in evenwicht met een derde kracht. a Construeer de derde kracht. b Bepaal de grootte van de derde kracht.

26 Paulien klimt via een touw van de ene toren naar de andere toren. Op een gegeven moment hangt ze stil. Haar massa is 50,5 kg. Figuur 3.52 toont de situatie. De pijl voor de zwaartekracht is getekend. De resulterende kracht op Paulien is 0 N. a Toon aan dat voor de krachtenschaal geldt: 1 cm ≙ 1,5⋅10 2 N. b Bepaal door constructie de grootte van de spankracht links en de grootte van de spankracht rechts in het touw.

24 Het voorbeeld van de bergbeklimster kun je ook oplossen met de methode die beschreven is bij de schommel. 2 a Construeer in figuur 3.49 Fkabel en Frots met de methode ‘schommel’. Figuur 3.48 Ook het voorbeeld met de schommel kun je op een tweede manier oplossen. Je gebruikt dan de methode die beschreven is bij de bergbeklimster. b Construeer in figuur 3.50 Ftrek en Fspan met de methode ‘bergbeklimster’.

Figuur 3.52

27 Karlijn, Catootje en Jeroen trekken met zijn drieën aan een pop. Hun krachten zijn in evenwicht. De hoek tussen de krachten van Karlijn en Catootje is 90°. De kracht van Karlijn is 97 N groot. Catootje trekt met een kracht van 58 N. a Maak een tekening op schaal. b Bepaal met een constructie de grootte van de kracht van Jeroen. c Bepaal de hoek tussen de kracht van Jeroen en de kracht van Karlijn. Figuur 3.49

▶▪tekenblad

12 8

Figuur 3.50

25 Arja spant in een draadraam drie touwtjes, zoals in figuur 3.51 is getekend. De krachtmeter geeft de spankracht in touwtje a aan. Die kracht is 4,2 N. De krachten op het knooppunt P zijn in evenwicht. a Teken in figuur 3.51 de spankracht in touwtje a met een pijl van 4,2 cm. b Construeer de spankrachten in de touwtjes b en c. c Bepaal de spankrachten in de touwtjes b en c. Geef je antwoorden in twee significante cijfers.

h o ofdstuk 3

28 De krachtmeter in figuur 3.53 wijst 15 N aan. De veerunster maakt een hoek van 90° met de spankracht. Op het knooppunt werken drie krachten: de veerkracht, de spankracht en zwaartekracht. Voer de volgende opdrachten uit: ▪▪ Maak een schets waarin de drie krachten in evenwicht zijn. ▪▪ Bereken de massa van het blokje. Figuur 3.51 Figuur 3.53

Krachten

129

▶▪tekenblad ▶▪hulpblad

29 In figuur 3.54 zie je twee keer een schommel met daarop een kind. In figuur 3.54a trekt opa de schommel uit het midden. In figuur 3.54b trekt Fynn de schommel uit het midden. In beide figuren is de werklijn van de trekkracht aangegeven. Opa en Fynn trekken de schommel even ver opzij. Laat met behulp van een constructie zien wie de grootste trekkracht uitoefent.

De speedboot heeft een motor om vooruit te komen. De motor zorgt voor een voorwaartse kracht op de boot. Het water remt de boot af en zorgt voor een tegenwerkende kracht. Wanneer is de snelheid van de boot constant?

Figuur 3.56

3.5 a

Gevolg van krachten

Figuur 3.54

▶▪tekenblad ▶▪hulpblad

De eerste wet van Newton

30 Kevin trekt met een touw een Ftrek vrachtwagen met constante snelheid voort. Dat betekent Fw dat de resulterende kracht 0 N = 15º is. Het touw maakt een hoek van 15° met het horizontale Figuur 3.55 vlak. Zie figuur 3.55. De massa van de vrachtwagen is 5,5∙103 kg. De totale tegenwerkende kracht Fwop de vrachtwagen is 1,9 kN. a Toon met een berekening aan dat de trekkracht gelijk is aan 2,0 kN. De tegenwerkende kracht is de som van de luchtweerstandskracht en de rolweerstandskracht. Hoe groter de hoek van de trekkracht met het horizontale vlak, des te kleiner is de rolweerstandskracht. b Leg uit dat de rolweerstandskracht afhangt van de hoek tussen de trekkracht en het horizontale vlak. 31 Een koffer met een massa van 22,4 kg staat op een helling. De helling maakt een hoek van 25° met de horizontaal. Op de koffer werken drie krachten: de zwaartekracht, de normaalkracht en de schuifwrijvingskracht. De drie krachten zijn in evenwicht. a Maak een schets van de situatie. b Bereken de grootte van de normaalkracht. c Bereken de grootte van de schuifwrijvingskracht.

Op een voorwerp werken vaak meerdere krachten. Het gevolg van deze krachten samen bepaal je met de resulterende kracht Fres. Een voorwerp waarop een of meerdere krachten werken, kan: ▪▪ vervormen Als je in een stuk kneedgum knijpt of aan een spiraalveer trekt, verandert de vorm van het voorwerp. ▪▪ op zijn plaats blijven Op een schilderij dat aan de muur hangt, oefenen de spijker en de aarde kracht uit. Het effect is dat het schilderij op zijn plaats blijft. ▪▪ met constante snelheid voortbewegen of van snelheid veranderen Rijd je op een fiets, dan zorg jij voor een voorwaartse kracht. Tegelijkertijd werken er weerstandskrachten op jou en de fiets. Het effect is dat de snelheid toeneemt, afneemt of gelijk blijft. ▪▪ van richting veranderen Komt er plotseling een windvlaag, dan kan de richting waarin je fietst veranderen, terwijl je met dezelfde snelheid blijft fietsen

Eerste wet van Newton Figuur 3.57 is een tekening van een varende motorboot. Op de boot werken niet alleen krachten in horizontale richting, maar ook in verticale richting. In verticale richting verplaatst de boot zich nauwelijks. De krachten in verticale richting zijn dan met elkaar in evenwicht. De krachten in horizontale richting bepalen wat er met de snelheid van de boot gebeurt.

oefenreeks A

13 0

h o ofdstuk 3

Krachten

131

In figuur 3.57 zijn de twee horizontale krachten getekend: de voorwaartse kracht Fvoor van de motor en de wrijvingskracht Fw van het water. Samen geven ze een resulterende kracht in horizontale richting: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ voor + F⃗ w i

v (m s-1)

Fres = Fvoor − Fw

Figuur 3.57

Figuur 3.58

In figuur 3.58 zie je het (v,t)-diagram van de boot, terwijl deze in een rechte lijn vaart. Er zijn vier tijdsintervallen aangegeven. Bij elke interval kun je iets zeggen over de beweging van de boot en de resulterende kracht in horizontale richting. In interval I is de boot in rust. De resulterende kracht is dan 0 N. De grootte én richting van de snelheid veranderen dan niet. In interval II versnelt de boot. Deze versnelling wordt veroorzaakt door een resulterende kracht in de richting van de beweging. In interval III verandert de snelheid niet van grootte én niet van richting. Ook nu is de resulterende kracht 0 N. De voorwaartse kracht is dan even groot als de wrijvingskracht. In interval IV vertraagt de boot. De vertraging wordt veroorzaakt door een resulterende kracht tegengesteld aan de bewegingsrichting. De situaties in de intervallen I en III zijn voorbeelden van de eerste wet van Newton. Als op een voorwerp geen resulterende kracht werkt, beweegt het voorwerp eenparig rechtlijnig of het voorwerp is in rust. De omgekeerde redenering geldt ook. Als een voorwerp met constante snelheid langs een rechte lijn beweegt of in rust is, is de resulterende kracht op dat voorwerp gelijk aan 0 N. Als de boot in rust is of met constante snelheid vaart, geldt in horizontale richting: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ voor + F⃗ w = 0 N i

Fvoor − Fw = 0 N Fvoor = Fw In de intervallen II en IV verandert de snelheid. Uit de eerste wet van Newton volgt dat de resulterende kracht dan ongelijk is aan nul. Hierover lees je meer in de volgende paragraaf.

13 2

h o ofdstuk 3

De eerste wet van Newton in de praktijk Constante snelheid op horizontale weg Een bouwvakker verplaatst stenen met een kruiwagen. Zie figuur 3.59. Op de kruiwagen met stenen werken de zwaartekracht, de normaalkracht, de duwkracht en de rolweerstandskracht. Omdat de snelheid klein is, kun je de luchtweerstandskracht verwaarlozen. Beweegt de kruiwagen met stenen op horizontaal terrein, dan is de normaal- Figuur 3.59 kracht gelijk aan de zwaartekracht. In de bewegingsrichting geldt dus: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ duw + F⃗ w,rol. i

Beweegt de kruiwagen met constante snelheid, dan is de resulterende kracht 0 N. Voorbeeld 1 In figuur 3.59 beweegt de kruiwagen met constante snelheid door mul zand. Daarbij ondervindt de kruiwagen op het horizontale terrein een rolweerstandskracht van 60 N. Bereken de grootte van de duwkracht van de bouwvakker op de kruiwagen. Uitwerking Omdat de kruiwagen met constante snelheid beweegt, geldt volgens de eerste wet van Newton: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ duw + F⃗ w,rol = 0 N i

Fduw − Fw,rol = 0 N met Fw,rol = 60 N Fduw = 60 N

In rust op een helling Tijdens de lunchpauze staat de kruiwagen op een helling. Zie figuur 3.60. Op de kruiwagen werkt de zwaartekracht in verticale richting naar de aarde. Bovendien werken op het wiel en op elke poot een normaalkracht loodrecht op de helling omhoog én een wrijvingskracht langs de helling omhoog. De normaalkrachten werken in dezelfde richting; die stel je samen tot één normaalkracht Fn. Ook de wrijvingskrachten mag je samenvoegen tot één kracht Fw. Voor het overzicht laat je die twee krachten in het zwaartepunt van de kruiwagen aangrijFiguur 3.60 pen. Omdat de grootte van Fn en Fw niet bekend zijn, kun je in punt Z alleen de werklijnen van deze krachten tekenen.

Krachten

133

Op de kruiwagen werken nu drie krachten: Fzw, Fn en Fw. De kruiwagen is in rust, dus volgens de eerste wet van Newton is de resulterende kracht 0 N. De situatie in figuur 3.60 is een drie-krachtenevenwicht met als bekende kracht Fzw. Om de grootte van de normaalkracht en de wrijvingskracht te bepalen, ga je als volgt te werk: ▪▪ Ontbind de zwaartekracht in twee componenten: een in de richting van de werklijn van Fw en een in de richting van de werklijn van Fn. ▪▪ Teken de pijlen voor F en F met dezelfde lengte als de componenten van de w n zwaartekracht, maar in tegengestelde richting. Zie figuur 3.61. Als figuur 3.61 op schaal is, kun je de grootte van Fw en Fn bepalen met behulp van de lengte van een pijl en de krachtenschaal. Omdat de componenten van de zwaartekracht loodrecht op elkaar staan, kun je Fw en Fn ook berekenen. Voorbeeld 2 De kruiwagen met stenen heeft een massa van 155 kg. De hellingshoek is 13°. a Bereken de normaalkracht. b Bereken de wrijvingskracht.

Fn − Fzw,⊥ = 0 N

Figuur 3.61

Fn = Fzw,⊥ De zwaartekracht is Fzw = m ⋅ g = 155 × 9,81 = 1,52⋅103 N. In deze situatie vormen Fzw en Fzw,⊥ de zijden van een rechthoekige driehoek. De hoek tussen Fzw en Fzw,⊥ is gelijk aan de hellingshoek en dus gelijk aan 13°. Er geldt: Fzw, ⊥ cos (13° ) = _____ Fzw Fn = Fzw,⊥ = Fzw ⋅ cos (13°) Fn = 1,52⋅103 × cos (13°) Fn = 1,44⋅103 N Afgerond: Fn = 1,5⋅103 N. b Op dezelfde manier leid je af dat in de richting langs de helling geldt: Fw = Fzw,//

Fzw,// sin (13° ) = ____ Fzw Fw = Fzw,// = Fzw ⋅ sin (13°) Fw = 1,52⋅103 × sin (13°) Fw = 342 N Afgerond: Fw = 3,4∙102 N. 13 4

h o ofdstuk 3

Na de lunchpauze duwt de bouwvakker de kruiwagen met een constante snelheid langs de helling omhoog. Op de kruiwagen werken nu de normaalkracht, de zwaartekracht, de rolweerstandskracht en de duwkracht van de bouwvakker. De duwkracht van de bouwvakker werkt evenwijdig aan de helling omhoog. Om de duwkracht van de bouwvakker te berekenen, kijk je alleen naar de krachten evenwijdig aan de helling. Die krachten zijn de rolweerstandskracht, de component van de zwaartekracht langs de helling en de duwkracht van de bouwvakker.

Figuur 3.62

Voorbeeld 3 De bouwvakker duwt de kruiwagen met constante snelheid langs de helling omhoog. De rolweerstand is in deze situatie 43 N. Bereken de grootte van de duwkracht van de bouwvakker evenwijdig aan de helling.

Uitwerking a In de richting loodrecht op de helling geldt: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ n + F⃗ zw,⊥ = 0 N

Constante snelheid op een helling

Uitwerking Om overzicht over de situatie te krijgen, geef je in een tekening eerst de richting van die krachten aan. In figuur 3.62 zijn de krachten, niet op schaal, getekend. De kruiwagen gaat omhoog, dus de richting van de rolweerstandskracht is langs de helling omlaag. De snelheid is constant, dus de resulterende kracht op de kruiwagen is 0 N. Er geldt: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ duw + F⃗ zw,// + F⃗ w = 0 N i

Fduw − Fzw,// − Fw = 0 N Fduw = Fzw// + Frol Uit voorbeeld 2 bleek dat de component Fzw,// = 342 N. De duwkracht van de man is dus gelijk aan: Fduw = 342 + 43 = 385 N Afgerond: Fduw = 3,9∙102 N

Krachten

135

Opgaven

35 Een blokje van 125 gram ligt op een plank. Zie figuur 3.65. Als de hoek α groter is dan 25°, glijdt het blokje naar beneden. Jos concludeert daaruit dat bij α = 25° de maximale waarde van de schuifwrijvingskracht gelijk is aan de component van de zwaartekracht langs de helling. Figuur 3.65 a Leg uit dat dit klopt. b Bereken de schuifwrijvingscoëfficiënt. Jos onderzoekt of de maximale schuifwrijvingskracht bij een hoek van 15° kleiner of groter is dan bij een hoek van 25°. Bij een hoek van 15° trekt hij met een krachtmeter aan het blokje. Hij houdt de krachtmeter evenwijdig aan het hellend vlak. Als het blokje met een constante snelheid beweegt, leest hij de krachtmeter af. c Is de kracht die Jos afleest groter dan, kleiner dan of gelijk aan de maximale schuifwrijvingskracht bij 25°? Licht je antwoord toe.

32 Hierna is een aantal situaties beschreven. a Schrijf van iedere situatie op wat het gevolg van de krachtwerking is. b Leg bij iedere situatie uit of de eerste wet van Newton van toepassing is. I Een fietser rijdt zonder te trappen een heuvel op. II Peter houdt een glas boven de grond. III Peter laat het glas los. IV Het glas valt op de grond in stukken. V Een speelgoedtrein rijdt met constante snelheid door een bocht. ▶▪tekenblad

33 Twee sleepboten trekken een vrachtschip de haven binnen. In figuur 3.63 zijn de krachten van de sleepboten en de wrijvingskracht op schaal getekend. Bepaal met een constructie of het vrachtschip eenparig rechtlijnig beweegt.

▶▪tekenblad

Figuur 3.63 ▶▪hulpblad

13 6

34 Jonas trekt aan een slee van 4,5 kg met daarop zijn kleine zusje van 35,2 kg. Het touw waarmee Jonas trekt, maakt een hoek van 38,0° met de horizontale as. In figuur 3.64 zie je een schets van de situatie. De schuifwrijvingscoëfficiënt bedraagt 0,32. a Toon door een berekening aan dat de normaalkracht gelijk is aan 3,34∙102 N. b Beweegt de slee met een constante snelheid? Licht je antwoord toe met een berekening.

h o ofdstuk 3

▶▪hulpblad

Figuur 3.64

36 In figuur 3.66 wordt een boot via een helling uit het water getrokken. De massa van de boot is 5,5⋅103 kg. De boot beweegt met constante snelheid langs de helling omhoog. De schuifwrijvingskracht die de helling uitoefent, bedraagt 6,2 kN. a Toon aan dat de spankracht in de kabel gelijk is aan 26 kN. Je laat de boot de volgende dag weer met een constante snelheid naar bene- Figuur 3.64 den glijden. b Leg uit of de spankracht in de kabel kleiner dan, groter dan of even groot is als 26 kN. 37 Tijdens een parachutesprong werken de zwaartekracht en de luchtweerstandskracht. Je begint met een vrije val. Na korte tijd val je met een constante snelheid naar de aarde. Je massa mét parachute bedraagt 75 kg. a Bepaal de grootte en de richting van de krachten op het moment dat je snelheid constant is. Als de parachute opengaat, wordt de luchtweerstandskracht ineens veel groter en rem je sterk af. b Leg uit dat direct na het openen van de parachute niet meer voldaan wordt aan de eerste wet van Newton. Na korte tijd krijg je weer een constante snelheid. c Wanneer is bij constante snelheid de luchtweerstandskracht het grootst: bij de val met geopende parachute of bij de vrije val met ongeopende parachute? Geef een toelichting op je antwoord.

Krachten

137

In figuur 3.69 zie je het verband tussen die versnelling en de resulterende kracht op de boot aan het begin van interval II. Je ziet dat de versnelling twee keer zo groot is als de resulterende kracht twee keer zo groot is. Het verband tussen de resulterende kracht en de versnelling is dus recht evenredig.

jongen langzaam; onderaan heeft hij een grotere snelheid. Op de jongen werkt een aantal krachten. Welk verband bestaat er tussen

0,6 0,4 a (m s-2)

Bovenaan de glijbaan beweegt de

0,2 0 0

die krachten en de verandering

1 103 •

2 103 •

3 103 •

4 103 •

(N)

van de snelheid?

Figuur 3.69

Verband tussen resulterende kracht en massa Figuur 3.67

3.6

De tweede wet van Newton

In figuur 3.70 zie je een auto en een winkelwagentje. Je krijgt het winkelwagentje gemakkelijk in beweging. Om de auto dezelfde versnelling te geven als het winkelwagentje moet je een veel grotere kracht uitoefenen. Dit komt doordat de auto een grotere massa heeft dan het winkelwagentje.

v (m s-1)

In figuur 3.68 zie je nogmaals het (v,t)diagram van de boot uit paragraaf 3.5. De tijdsintervallen I en III zijn in paragraaf 3.5 behandeld. Als de resulterende kracht 0 N is, verandert de snelheid niet.

Snelheidsverandering als gevolg van resulterende kracht

In de tijdsintervallen II en IV verandert de snelheid van de boot wel. De resulterende kracht op de boot is dan niet gelijk aan 0 N. De snelheid in tijdsinterval II neemt toe. Figuur 3.68 De richting van de resulterende kracht is dan dezelfde als de richting waarin de boot beweegt. In tijdsinterval IV neemt de snelheid van de boot af. De richting van de resulterende kracht is dan tegengesteld aan de bewegingsrichting van de boot.

Verband tussen resulterende kracht en versnelling ▶▪applet Tweede wet van Newton

13 8

De snelheidsverandering per seconde noem je de versnelling. De versnellingen in periode II en IV zijn niet constant. Dit kun je zien door de raaklijn aan de grafieklijn in het (v,t)-diagram van figuur 3.68 te tekenen. Aan het begin van periode II neemt de versnelling toe. In het midden van periode II is de grafiek een rechte lijn. Dan is de versnelling constant. Aan het eind neemt de versnelling af tot nul. De snelheid is dan constant.

h o ofdstuk 3

Figuur 3.70

Figuur 3.71

Het diagram van figuur 3.71 geeft het verband tussen de massa van een voorwerp en de resulterende kracht op dat voorwerp, als je de versnelling constant houdt. Ook het verband tussen de resulterende kracht en de massa is dus recht evenredig.

De tweede wet van Newton Er is een verband tussen de resulterende kracht op een voorwerp, de massa van dat voorwerp en de versnelling die dat voorwerp ondervindt. Dit verband wordt weergegeven in de tweede wet van Newton: F⃗ res = ∑F⃗ i = m ⋅ a⃗ i

▪▪ ▪▪ ▪▪

F⃗ res is de resulterende kracht in N. m is de massa in kg. a⃗ is de versnelling in m s−2.

Krachten

139

De versnelling is, evenals kracht, een vector met dezelfde richting als de resulterende kracht. Ga je sneller bewegen, dan wijzen de versnelling en de resulterende kracht in dezelfde richting als de snelheid. Neemt je snelheid af, dan wijzen de versnelling en de resulterende kracht juist in tegengestelde richting van de snelheid.

Traagheid Oefen je op het winkelwagentje en de auto dezelfde kracht uit, dan krijgt het winkelwagentje eerder een snelheid van 10 m s–1 dan de auto. Dit komt doordat de massa van het winkelwagentje veel kleiner is dan de massa van de auto. Je zegt ook wel: ‘massa is traag.’ Dat betekent: hoe groter de massa van een voorwerp is, des te moeilijker is het op gang te brengen en af te remmen. Het is alsof het voorwerp zich verzet tegen een snelheidsverandering. De eerste wet van Newton kun je daarom ook als volgt formuleren. Een voorwerp heeft de neiging de toestand van rust, of de toestand van eenparig bewegen, te handhaven. Deze eigenschap heet de traagheid van het voorwerp.

De tweede wet van newton in de praktijk Versnelde beweging op horizontale weg Als je fietst, werken op jou en je fiets in de horizontale richting de trapkracht, de rolweerstandskracht en de luchtweerstandskracht. Voor de resulterende kracht geldt: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ trap + F⃗ w,rol + F⃗ w,lucht i

Fres = Ftrap − Fw,rol − Fw,lucht Fiets je met constante snelheid, dan geldt Fres = 0 N. Ga je versnellen, dan geldt Fres = m ⋅ a. Tijdens het versnellen is de luchtweerstandskracht niet constant. Deze is namelijk afhankelijk van de snelheid. Δv , dan bereken je dus een gemiddelde resulteBereken je de versnelling met a = ___ Δt rende kracht.

Uitwerking a Voor de resulterende kracht geldt: Fres = m ⋅ a met m = 60 kg. Δv met Δv = v − v a = ___ . eind begin Δt De beginsnelheid is 0 m s−1. 17 = 4,72 m s −1. De eindsnelheid is 17 km h −1 = ___ 3,6 4,72 − 0,00 De versnelling is dan a = ________ = 0,472 m s −2. 10 De resulterende kracht is dan Fres = 65 × 0,472 = 30,68 N. Afgerond: Fres = 31 N. b Voor de resulterende kracht geldt: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ trap + F⃗ w,rol + F⃗ w,lucht met Fres = 31 N. i 31 = Ftrap − Fw,rol − Fw,lucht 31 = 45 − 5 − Fw,lucht Fw,lucht = 9 N

Versnelde beweging op een helling Figuur 3.72 is een tekening van Jelte op de glijbaan. Op Jelte werkt een aantal krachten. De aarde oefent zwaartekracht uit en de glijbaan normaalkracht. De normaalkracht op Jelte staat loodrecht op de glijbaan. De glijbaan oefent ook schuifwrijvingskracht uit op Jelte. Jelte glijdt langs de glijbaan omlaag. De schuifwrijvingskracht werkt dan evenwijdig aan de glijbaan omhoog. In figuur 3.72 is de zwaartekracht getekend en ontbonden in zijn componenten. De beweging van Jelte wordt veroorzaakt door de resulterende kracht evenwijdig aan de glijbaan. Deze resulterende kracht wordt gevormd door de component van de zwaartekracht evenwijdig aan de glijbaan en de schuifwrijvingskracht. Door de lage snelheid mag je de luchtweerstandskracht verwaarlozen. Er geldt: Fres = Fzw,// − Fw,schuif. Weet je de massa, de versnelling en de hoek die de glijbaan maakt met het horizontale vlak, dan kun je niet alleen de resulterende kracht berekenen, maar ook de schuifwrijvingskracht.

Voorbeeld 1 Els stapt op haar fiets en begint te trappen. Na 10 s is haar snelheid 17 km h–1. Els en haar fiets hebben samen een massa van 65 kg. a Toon aan dat in die 10 s de gemiddelde resulterende kracht 31 N is. De gemiddelde trapkracht is 45 N en de rolweerstandskracht is 5 N. b Bereken de gemiddelde luchtweerstandskracht.

Figuur 3.72

14 0

h o ofdstuk 3

Krachten

141

Voorbeeld 2 Jelte heeft een massa van 37 kg en krijgt een versnelling van 4,3 m s−2. De hellingshoek is 42°. Bereken de schuifwrijvingskracht op Jelte.

▶▪tekenblad

Uitwerking Voor de resulterende kracht op Jelte geldt: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ zw,// + F⃗ w,schuif i

Fres = Fzw,// − Fw,schuif

40 Margreet glijdt op haar slee een helling af. Ze heeft een versnelling van 3,0 m s−2. Zie figuur 3.74. De massa van Margreet en haar slee samen is 52 kg. Margreet ondervindt met haar slee een tegenwerkende kracht van 90 N. a Toon aan dat de component van de zwaartekracht evenwijdig aan de helling gelijk is aan 2,1⋅102 N. b Bereken de hellingshoek α .

Fres = m ⋅ a = 37 × 4,3 = 159 N. Voor de component evenwijdig aan de glijbaan geldt: Fzw,// sin (42° ) = ___ Fzw

Figuur 3.74

Fzw = m ⋅ g = 37 × 9,81 = 363 N Fzw,// sin (42° ) = ___ 363 De component Fzw,// is dan 243 N Fres = Fzw,// − Fw,schuif 159 = 243 − Fw,schuif Fw,schuif = 84 N

Opgaven 38 De motor van een motorboot zorgt voor een voorwaartse kracht van 6,01 kN. De wrijvingskracht op de boot bedraagt 658 N. De massa van de boot is 1031 kg. Bereken de versnelling van de boot. ▶▪hulpblad

39 In figuur 3.73 zie je drie keer hetzelfde sleetje met een trekkracht. In alle tekeningen zijn de wrijvingskracht, de trekkracht en de steilheid van het touw aangegeven. Zet de sleetjes in volgorde van toenemende versnelling. Licht, zonder te berekenen, je antwoord toe.

41 Door 4,0 s lang te remmen neemt de snelheid van een auto gelijkmatig af van 86 km h−1 naar 50 km h−1. De totale massa van de auto met inzittende en bagage is 1,2⋅103 kg. Bereken de resulterende kracht op de auto tijdens het remmen. ▶▪hulpblad

42 Shaya en Michael gaan een toertocht maken in een heteluchtballon. Een heteluchtballon is een grote ballon gevuld met lucht met daaronder een mand. In die mand staan Shaya en Michael. Het volume van de ballon is 2700 m3. Vlak voor het opstijgen verwarmt Shaya de lucht in de ballon met een grote gasbrander. Hierdoor zet de lucht uit en ontsnapt gedeeltelijk uit de ballon. Voor de omhooggerichte kracht op de ballon geldt: Fop = (ρ1– ρ2). Vballon ⋅ g ▪▪ F is de omhooggerichte kracht in N. op ▪▪ ρ is de dichtheid van de lucht in de ballon in kg m−3. 1 ▪▪ ρ is de dichtheid van de lucht buiten de ballon in kg m−3. 2 ▪▪ V is het volume van de ballon in m3. ballon ▪▪ g is de valversnelling in m s−2. a Leg uit dat de omhooggerichte kracht groter wordt als Shaya de brander aanzet. Tijdens het opstijgen werken er drie krachten in verticale richting: de zwaartekracht, de omhooggerichte kracht en de luchtweerstandskracht. Tijdens het opstijgen zijn Fop en Fzw constant en geldt Fop − Fzw = 350 N. Na 25 m is de luchtweerstandskracht gelijk aan 350 N. b Schets het verloop van de luchtweerstandskracht als functie van de hoogte van 0 tot 50 m. Licht je antwoord toe. c Leg uit of de verticale snelheid na 30 m toeneemt, afneemt, gelijk blijft of gelijk is aan 0 m s−1.

Figuur 3.73

14 2

h o ofdstuk 3

Krachten

143

▶▪hulpblad

43 Een wagentje A wordt versneld door een blok B met een massa van 10,0 g. Zie figuur 3.75. Het wagentje heeft een massa van 200 g. a Toon aan dat de kracht die het wagentje en het blok versnelt 9,81∙10 −2 N is. b Bereken de versnelling die het wagentje krijgt. De spankracht in het touw is voor en na de katrol dezelfde. c Leg uit of de spankracht in touw tijdens het versnellen groter dan, kleiner dan of even groot is als 9,81∙10 −2 N.

Op de foto zie je twee vrouwen in een kopduel tijdens een voetbalwedstrijd. Krijgt de voetbalster de bal tegen haar hoofd of kopt zij de bal? Wat kun je zeggen over de kracht die het hoofd op de bal uitoefent en de kracht die de bal op het hoofd uitoefent? Figuur 3.78

3.7

Figuur 3.75

44 Figuur 3.76 is een foto van een basejumper. Hij springt vanaf een hoog gebouw. In figuur 3.77 staat het (v,t)-diagram van de sprong. Vlak voor het moment dat hij zijn parachute opent, is de luchtweerstandskracht kleiner dan de zwaartekracht. a Leg uit hoe dit uit het diagram blijkt. b Toon aan dat de versnelling op t = 3,0 s gelijk is aan −6,1 m s−2. De massa van de basejumper inclusief zijn parachute is 82 kg. c Toon aan dat de luchtweerstandskracht op t = 3,0 s gelijk is aan 1,3⋅103 N. De parachute die de basejumper gebruikt, is rechthoekig en is 3,5 m lang en 4,5 m breed. d Bereken de luchtweerstandscoëfficiënt van de parachute.

Krachten in paren Wanneer een voetbalster een bal kopt, dan oefent zij met haar hoofd een kracht uit op de bal. Tegelijkertijd komt de bal tegen haar hoofd aan. De bal oefent dus ook een kracht uit op het hoofd van de voetbalster. Er is dan sprake van wisselwerking tussen twee krachten. Wisselwerking kun je onderzoeken met twee krachtmeters. Je haakt de meters aan elkaar en trekt ze vervolgens een eindje uit elkaar. Zie figuur 3.79. Je ziet dat beide krachtmeters steeds een gelijke kracht aangeven, zelfs als je een grote en een wat kleinere krachtmeter gebruikt. Blijkbaar oefent krachtmeter A een kracht uit op krachtmeter B die even groot is als de kracht die krachtmeter B uitoefent op krachtmeter A. Bovendien geldt dat de richtingen van beide krachten tegengesteld zijn.

v (m s-1)

▶▪tekenblad

De derde wet van Newton

Figuur 3.79 Figuur 3.76

14 4

h o ofdstuk 3

Figuur 3.77

Bij een kopbal is de kracht die de voetbalster op de bal uitoefent even groot als de kracht die de bal op het hoofd van de voetbalster uitoefent. Ze zijn alleen tegengesteld gericht.

Krachten

145

Deze situatie is weergegeven in figuur 3.80. Omdat de twee krachten even groot zijn en een tegengestelde richting hebben, zou je kunnen denken dat ze elkaar opheffen. Maar dat is in figuur 3.80 niet het geval. Dat komt omdat de twee krachten op verschillende voorwerpen werken.

Fhoofd

Fbal

Figuur 3.80

Krachten komen altijd in paren voor. Dat is de derde wet van Newton: oefent een voorwerp A een kracht uit op voorwerp B, dan oefent B gelijktijdig een even grote, maar tegengesteld gerichte kracht uit op A. In formulevorm is de derde wet van Newton: F⃗ AB = − F⃗ BA

▪▪ ▪▪

F⃗ AB is de kracht die A uitoefent op B. F⃗ BA is de kracht die B uitoefent op A.

Er staat een minteken voor F⃗ BA om aan te geven dat de krachten tegengesteld zijn gericht. F⃗ AB wordt vaak de actiekracht genoemd en F⃗ BA de reactiekracht. De woorden actie en reactie zijn eigenlijk ongelukkig gekozen. Ze geven misschien de indruk dat de reactiekracht het gevolg is van de actiekracht. Maar dat klopt niet: beide krachten zijn er tegelijkertijd. Volgens de derde wet van Newton komt een kracht dus nooit alleen voor, maar altijd als een paar. Altijd hoort bij een kracht op het ene voorwerp een even grote, tegengestelde kracht op een ander voorwerp. Voorbeeld 1 Wanneer je met je duim op de punt van een potlood drukt, voel je dat de potloodpunt ook tegen je duim drukt. Voorbeeld 2 De aarde oefent op elk voorwerp een zwaartekracht uit. Laat je een baksteen los, dan trekt de aarde aan de baksteen. Daardoor krijgt de baksteen een versnelling en valt richting de aarde. Volgens de derde wet van Newton trekt de baksteen ook aan de aarde. Deze kracht is even groot als, maar tegengesteld aan de zwaartekracht. De aarde krijgt dus een versnelling richting de baksteen. Deze versnelling is zeer klein, doordat de massa van de aarde veel groter is dan de massa van de baksteen. Je merkt dus niets van de beweging van de aarde richting de baksteen.

14 6

h o ofdstuk 3

Voorbeeld 3 Ook wanneer je loopt geldt de derde wet van Newton. Met je achterste voet zet je je af tegen de vloer. Je oefent daarbij op de vloer een kracht uit die naar achteren is gericht. Zie figuur 3.81. Tegelijkertijd oefent de vloer op je voet een even grote kracht uit die naar voren is gericht. Die kracht is de schuifwrijvingskracht. Zonder deze kracht kun je niet lopen. Op glad ijs kun je moeilijk lopen omdat de schuifwrijvingskracht zeer klein is.

Figuur 3.81

Gewicht, massa en zwaartekracht De woorden ‘gewicht’ en ‘massa’ worden vaak door elkaar gebruikt. Natuurkundig zijn het echter twee verschillende begrippen. Een voorwerp heeft massa vanwege alle atomen waaruit het is opgebouwd. Vervoer je een baksteen van de aarde naar de maan, dan bestaat de baksteen nog steeds uit evenveel atomen. De massa van de baksteen is dus op de maan gelijk aan de massa op de aarde. Ligt een baksteen op tafel, dan werken er twee krachten op: de zwaartekracht en de normaalkracht. Omdat de baksteen stil ligt, zijn deze krachten aan elkaar gelijk en tegengesteld gericht. Deze twee krachten zijn geen krachtenpaar, want ze werken op hetzelfde voorwerp. Volgens de derde wet van Newton is er dus nog een kracht die een krachtenpaar vormt met de normaalkracht. Deze kracht noem je het gewicht Fgew. Gewicht is dus een kracht met als eenheid newton. Het gewicht is de kracht die de baksteen op de tafel uitoefent. Deze kracht is gelijk aan de normaalkracht, maar tegengesteld gericht. In figuur 3.82 zijn de drie krachten getekend.

Figuur 3.82

De kracht die met de zwaartekracht een krachtenpaar vormt, is niet getekend. De kracht die de baksteen uitoefent op de aarde heeft zijn aangrijpingspunt in het midden van de aarde en is naar de baksteen toe gericht. Hangt een baksteen aan een touw, dan vormen het gewicht en de spankracht een krachtenpaar. Omdat het gewicht een krachtenpaar vormt met de spankracht, zijn de spankracht en het gewicht aan elkaar gelijk. Zie figuur 3.83. Op de baksteen werken de spankracht en zwaartekracht. Omdat de baksteen stil hangt, zijn volgens de eerste wet van Newton ook de spankracht en de zwaartekracht aan elkaar gelijk.

Figuur 3.83

Krachten

147

Voorbeeld 4 Op de aarde en op de maan ligt een baksteen van 2,8 kg. De gravitatieversnelling op aarde is gelijk aan 9,81 m s−2. Op de maan is de gravitatieversnelling gelijk aan 1,63 m s−2. Je vergelijkt de massa, de normaalkracht en het gewicht van de baksteen op aarde met die op de maan. Zie tabel 3.1. massa op de maan

(1) massa op de aarde

normaalkracht op de maan (2) normaalkracht op de aarde gewicht op de maan

(3) gewicht op de aarde

Table 3.1

Noteer op de plaatsen (1), (2) en (3) de juiste formulering. Kies hierbij uit: groter dan, kleiner dan of gelijk aan. b Geef een toelichting bij keuze (1). c Geef een toelichting bij keuze (2). d Geef een toelichting bij keuze (3). Uitwerking a (1) gelijk aan (2) kleiner dan (3) kleiner dan b De massa hangt samen met het aantal atomen. Het aantal atomen verandert niet als je met de baksteen van de aarde naar de maan gaat. c De baksteen is in rust. De normaalkracht is dan gelijk aan de zwaartekracht. De zwaartekracht bereken je met Fzw = m ⋅ g. De gravitatieversnelling is op de maan kleiner dan op de aarde, dus is de zwaartekracht op de maan ook kleiner dan op de aarde. d Als de normaalkracht op de maan kleiner is dan op de aarde, dan is het gewicht van de baksteen op de maan ook kleiner dan op de aarde. Dat komt doordat de normaalkracht en het gewicht een krachtenpaar vormen.

Als je in een lift staat die ‘optrekt’ naar boven, voel je je ‘zwaarder worden’. Dat voel je aan je benen. Als de lift boven aankomt en afremt, is de normaalkracht kleiner dan de zwaartekracht. De weegschaal geeft dan een kleiner gewicht aan. Dit effect voel je ook in de lift. Als de kabel breekt waaraan de lift hangt, valt de lift met de valversnelling naar beneden. Dan werkt op jou een resulterende kracht die zorgt voor de valversnelling. Dat is dus de zwaartekracht. Er werkt geen normaalkracht meer op je en de weegschaal geeft geen gewicht aan. Je bent dan gewichtloos. Voorbeeld 5 Meryem hangt in een lift een veerunster op met daaraan een blok. De lift staat stil. Ze leest op de veerunster 1,47 N af. a Toon aan dat de massa van het blok gelijk is aan 0,150 kg. De lift gaat versneld bewegen. De veerunster wijst 1,66 N aan. b Bereken de versnelling waarmee de lift beweegt. c Leg uit of de lift versneld naar boven of naar beneden beweegt. Uitwerking a Op het blok werken twee krachten: de zwaartekracht Fzw en de veerkracht Fveer. Als de lift stil hangt, geldt: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ veer + F⃗ zw = 0 N i

Gewichtloosheid Als je in een lift op een weegschaal staat, werken twee krachten op je: de normaalkracht en de zwaartekracht. Staat de lift stil, dan zijn deze twee krachten volgens de eerste wet van Newton aan elkaar gelijk. Volgens de derde wet van Newton is je gewicht gelijk aan de normaalkracht. In deze situatie is je gewicht dus gelijk aan de zwaartekracht. Zodra de lift versneld naar boven beweegt, ondervind je een resulterende kracht: F⃗ res = ∑F⃗ i = F⃗ n + F⃗ zw = Fn − Fzw. i

Fveer − Fzw = 0 N Fveer = Fzw Fzw = m ⋅ g met Fzw = 1,47 N en g = 9,81 m s−2 1,47 = m × 9,81 m = 0,150 kg F⃗ res = m ⋅ a⃗ = ∑F⃗ i = F⃗ veer + F⃗ zw

Figuur 3.84

Fres = m ⋅ a = Fveer − Fzw 0,150 ⋅ a = 1,66 − 1,47 a = 1,26 m s−2 Afgerond: a = 1,3 m s−2 De veerkracht is groter dan de zwaartekracht. De resulterende kracht wijst dus naar boven. Dat betekent dat de lift versneld naar boven beweegt.

Opmerking De significantie in dit voorbeeld is twee cijfers, omdat het verschil in twee krachten een getal in twee significante cijfers oplevert.

Volgens de tweede wet van Newton is de normaalkracht dan groter dan de zwaartekracht. Zie figuur 3.84. Omdat je gewicht volgens de derde wet van Newton gelijk is aan de normaalkracht, geeft de weegschaal een groter gewicht aan dan de zwaartekracht.

14 8

h o ofdstuk 3

Krachten

149

Opgaven

46 Inez staat in een lift. Haar massa bedraagt 53 kg. De lift heeft een massa van 205 kg. Inez drukt op de knop en de lift gaat omhoog bewegen. Van de beweging van de lift is een (v,t)-diagram gemaakt. Zie figuur 3.86. a Noem drie intervallen waarop F⃗ gew,Inez = F⃗ zw,Inez. b Toon aan dat de versnelling op t = 9,0 s gelijk is aan −1,3 m s−2. c Bereken het gewicht van Inez op tijdstip t = 9,0 s.

▶▪tekenblad ▶▪hulpblad

48 Figuur 3.88 is het (v,t)-diagram van de start van een sprinter. Tijdens de start zet de sprinter zich af tegen het startblok. De massa van de sprinter is 53 kg. a Bepaal de maximale kracht die het startblok op de sprinter uitoefent. Vanaf t = 5,0 s is de snelheid van het lichaam van de sprinter constant. De snelheid van zijn benen is echter niet constant. b Leg aan de hand van de wetten van Newton uit dat de tegenwerkende krachten op Figuur 3.88 de sprinter vanaf t = 5,0 s kleiner zijn dan de schuifwrijvingskracht van de schoenen op de baan. Sporters met kunstbenen zijn in staat om concurrerende tijden neer te zetten. Yuna denkt dat sprinters met kunstbenen minder kracht moeten leveren dan ‘gewone’ sprinters om dezelfde versnelling te krijgen. c Leg uit dat Yuna gelijk heeft. v (m s-1)

▶▪tekenblad

v (m s-1)

45 In figuur 3.85 zie je twee magneten. De bovenste magneet ‘zweeft’ los van de onderste magneet. Dat komt doordat de twee magneten een afstotende magnetische kracht op elkaar uitoefenen. Op de bovenste magneet werkt daarnaast nog een kracht. a Welke kracht is dat? b Wat kun je zeggen over de groottes van de twee krachten op de bovenste? Licht je antwoord toe. De normaalkracht op de onderste magneet is gelijk aan het gewicht dat Figuur 3.85 het bovenliggende voorwerp op het ondersteunende vlak uitoefent. c Leg uit hoe het komt dat deze groter is dan de zwaartekracht op de onderste magneet. Op de onderste magneet werken drie krachten. De krachten zijn in evenwicht. d Geef met een formule het verband tussen de drie krachten weer.

b Toon aan dat de horizontale kracht die de stoelleuning op Jurgen uitoefent gelijk is aan 3,8∙102 N. c Bepaal de totale kracht die de autostoel op Jurgen uitoefent tijdens het optrekken. Later rijdt Jurgen met een constante snelheid op de snelweg. d Leg aan de hand van de wetten van Newton uit dat dan de rolweerstandskracht en de luchtweerstandskracht samen gelijk zijn aan de schuifwrijvingskracht van de banden op de weg.

Figuur 3.86 ▶▪tekenblad

49 Je houdt een baksteen met een massa van 1,7 kg vast. a Bereken het gewicht van de baksteen. Vervolgens gooi je de baksteen recht omhoog. Tijdens het weggooien versnel je de baksteen met 5,0 m s−2. b Bereken de kracht van je hand op de baksteen tijdens het weggooien. c Bereken het gewicht van de baksteen tijdens het weggooien. De volgende vraag gaat over het gewicht van de baksteen als deze de hand verlaten heeft en nog niet de grond geraakt heeft. d Verandert het gewicht van de baksteen tijdens de beweging omhoog en omlaag? Tijdens het contact met de vloer neemt de snelheid van de baksteen af. e Is de kracht die de vloer op de baksteen uitoefent tijdens het afremmen groter dan, kleiner dan of gelijk aan de zwaartekracht op de baksteen? Licht je antwoord toe.

47 Jurgen heeft een massa van 90 kg en zit in zijn auto. Zie figuur 3.87. In deze figuur geeft een dikke stip het aangrijpingspunt weer van de normaalkracht op Jurgen. a Construeer de normaalkracht die de zitting van de autostoel uitoefent op Jurgen als de auto stilstaat. Neem als schaal 1 cm ≙ 200 N. Jurgen geeft vol gas en wordt daardoor tegen de stoelleuning gedrukt. Hij versnelt van 0 tot 100 km h−1 in 6,6 s. Neem aan dat de versnelling eenparig is. Figuur 3.87

15 0

h o ofdstuk 3

Krachten

151

Een skydiver speelt met de

Aan het grafisch symbool bij massa zie je dat de massa een constante is. Het grafisch symbool bij resulterende kracht is een hulpvariabele. De resulterende kracht stel je namelijk samen uit twee andere krachten. De krachten heten nu nog F1 en F2 en zijn volgens het model in figuur 3.90 constanten. Omdat je de versnelling berekent, is dit geen constante meer, maar ook een hulpvariabele.

luchtweerstand: door zich groter en kleiner te maken, ondervindt hij veel of juist weinig luchtweerstand. Zo beweegt hij ten opzichte van zijn

Je ziet op zes plaatsen een vraagteken. Die vraagtekens geven aan dat daar informatie ontbreekt: de definitie is onvolledig. Bij de constante en de toestandsvariabele moet je als definitie de startwaarde invoeren. Bij een hulpvariabele zoals resulterende kracht bestaat de definitie meestal uit een formule. In het symbool bij versnelling staat geen vraagteken, want daar is de formule a = Fres/m al ingevuld.

medespringers. Hoe kun je met een model de valbeweging van een skydiver voorspellen?

Figuur 3.89

3.8

Een beweging modelleren met krachten

Algemeen bewegingsmodel In paragraaf 2.6 zijn het tekstmodel en het grafisch model van een eenparige en een eenparig versnelde beweging besproken. Een versnelling wordt veroorzaakt door een of meer krachten In deze paragraaf lees je hoe je een model uitbreidt tot een algemeen bewegingsmodel. waarin krachten zijn opgenomen. Een voorwerp waarop een of meer krachten werken ondervindt een resulterende kracht. De resulterende kracht en de massa bepalen volgens de tweede van Newton Fres hoe groot de versnelling van het voorwerp is. Er geldt a = ___ m. In figuur 3.90 zie je een algemeen bewegingsmodel waarbij de resulterende kracht wordt berekend uit twee krachten. In tabel 3.2 staat het bijbehorende tekstmodel.

? ? F1 ? Fres ? F2 Figuur 3.90

Voorbeeld 1 Een auto heeft een massa van 800 kg. Tijdens het optrekken is de gemiddelde motorkracht gelijk aan 1,9∙103 N en de rolweerstandskracht is 3∙102 N. De luchtweerstandskracht is in deze situatie verwaarloosbaar. Gebruik je het algemene bewegingsmodel van figuur 3.90, dan ontbreekt dus op zes plaatsen informatie. Geef deze informatie. Uitwerking Zie tabel 3.3 x 0

h o ofdstuk 3

m 800

F1 1,9∙103

F2 3∙102

Aanpassen van een model Een kogeltje valt van een hoogte h. Op het kogeltje werken twee krachten: de zwaartekracht en de luchtweerstandskracht. In het model neem je aan dat de luchtweerstandskracht een constante waarde heeft. Met enkele aanpassingen van het algemene model in figuur 3.90 ontstaat een model waarmee je de valbeweging van kogeltje modelleert. Zie figuur 3.91. In tabel 3.4 staan de modelregels van het tekstmodel.

Modelregels

Startwaarden (SI)

Fres =

F1 =

a = Fres / m

F2 =

Modelregels

v = v + a ∙ dt

Fzw = m ∙ g

x = x + v ∙ dt

t = t + dt

a = Fres / m Fres

dt =

Fres = Fzw – Fw,lucht

Fzw

Fres F1 − F2

Tabel 3.3

v = v + a ∙ dt h = h + v ∙ dt

Tabel 3.2

Fw, lucht Figuur 3.91

15 2

v 0

t = t + dt

Tabel 3.4

Krachten

153

Vergelijk je het grafisch model in figuur 3.91 met die in figuur 3.90 dan zie je dat de constante F1 is veranderd in Fzw en F2 in Fw,lucht. Heb je al een formule voor Fres gedefinieerd, dan hoef je die niet aan te passen, dat gaat automatisch. Het model berekent de zwaartekracht met behulp van de massa en de valversnelling. Daarom is in het grafisch model van figuur 3.91 de Fzw veranderd in een hulpvariabele en is g als constante toegevoegd. Daarna zijn g en m met een relatiepijl verbonden met Fzw. Tot slot is x is veranderd in h, omdat de val een verticale beweging is.

Conditie in een hulpvariabele opnemen Tijdens een val kunnen skydivers hun frontale oppervlakte vergroten door op een bepaalde hoogte hun armen uit te steken. De frontale oppervlakte krijgt dan een grotere waarde. Neem je dat mee in een model, dan moet je in het model een conditie toevoegen die de voorwaarden van de verandering beschrijft. De frontale oppervlakte verandert dan in een hulpvariabele. Het is nu geen constante meer, de waarde verandert immers op een bepaalde hoogte. Daarom voeg je een relatiepijl toe van de hoogte naar de frontale oppervlakte. Zie figuur 3.93.

De luchtweerstandskracht is in de praktijk geen constante doordat hij onder andere 1 c ⋅ ρ ⋅ A ⋅ v 2. afhankelijk is van de snelheid. Er geldt Fw, lucht = __ 2 w Als je hiermee rekening wil houden moet je de modellen aanpassen. Voorbeeld 1 Een skydiver maakt een sprong waarbij zijn frontale oppervlakte hetzelfde blijft. Met enkele aanpassingen van figuur 3.91 en tabel 3.4 ontstaat een model waarmee je de beweging van de skydiver modelleert. a Geef de aanpassing van het grafische model. b Geef de modelregel die je aan het tekstmodel moet toevoegen. c Noem de startwaarden die je moet definiëren.

Fzw

rho

Fres

Fw, lucht

Uitwerking 1 c ⋅ ρ ⋅ A ⋅ v 2. a Zie figuur 3.92. Voor de luchtweerstandskracht geldt: Fw, lucht = __ 2 w Je voegt dus drie constanten toe: de luchtweerstandscoëfficiënt, de luchtdichtheid en de frontale oppervlakte. Deze drie constanten verbind je met een relatiepijl aan de luchtweerstandskracht. De luchtweerstandskracht verander je in een hulpvariabele. Ten slotte is er nog een relatiepijl nodig van de snelheid naar de luchtweerstandskracht, omdat deze afhankelijk is van de snelheid. b Als eerste regel van het tekstmodel voeg je toe: Fw,lucht = 0,5 ⋅Cw ⋅ρ ⋅A ⋅v 2 1 c ⋅ ρ ⋅ A ⋅ v 2. Fw, lucht = __ 2 w c Dat zijn er negen: g; cw; ρ; A; m; v; h; t en dt.

Figuur 3.93

In figuur 3.94 is de conditie ‘armen uitsteken’ beschreven. Je leest de conditie als volgt: als de hoogte groter is dan 3000 m, dan is de frontale oppervlakte gelijk aan 0,9 m 2, anders is de frontale oppervlakte gelijk aan 1,1 m 2.

▶▪tekenblad

Fzw

rho

Fres ▶▪tekenblad

Fw, lucht

Definiëren...

Opgaven

Figuur 3.94

50 In figuur 3.95 is de eerste regel van de conditie ‘armen uitsteken’ gewijzigd in vergelijking met figuur 3.94. Noteer in figuur 3.95 de ontbrekende informatie.

Figuur 3.95

51 Gebruik in Coach het model auto bij het beantwoorden van deze opgave. Een auto rijdt met een snelheid van 60 km h−1 op de invoegstrook van een snelweg. De bestuurder trapt op het gaspedaal, waardoor de motor van de auto een constante kracht van 2,3 kN levert. Voor de luchtweerstandskracht geldt Fw,lucht = 0,90 ⋅ v2. Van deze situatie is een model gemaakt. Het grafisch model zie je in figuur 3.96.

Figuur 3.92

15 4

h o ofdstuk 3

Krachten

155

▶▪tekenblad

Fw, rol

? Fmotor

? Fres

Fw, lucht

? x Figuur 3.96

In het grafisch model staan vijf vraagtekens. a Maak in Coach het model af. Volgens dit model krijgt de auto een snelheid van 170 km h−1. Dat is te hoog. Als de snelheid groter is dan 120 km h−1, geef je geen gas meer en is de motorkracht 0 N. b Pas in Coach het model hierop aan. Figuur 3.97 is je een deel van een (v,t)-diagram van het aanFiguur 3.97 gepaste model. Als je in het model de tijdstap twee keer zo klein maakt, verandert het (v,t)-diagram. c Schets in figuur 3.97 het (v,t)-diagram bij een twee keer zo kleine tijdstap. 52 De luchtdichtheid is op grote hoogte kleiner dan aan het aardoppervlak. Hiermee wordt geen rekening gehouden in het model voor de skydive in figuur 3.92 op pagina 154. a Hoe zie je in figuur 3.92 dat de luchtdichtheid niet verandert in het model? In tabel 3.5 staan de startwaarden van het tekstmodel van de skydiver. Sommige skydivers vallen met hun lichaam verticaal, andere horizontaal. b Bepaal of de skydiver verticaal of horizontaal valt. Dit model houdt geen rekening met de parachute. c Noem de twee startwaarden die veranderen tijdens het openen van de parachute.

Startwaarden (SI) m = 90

53 Gebruik in Coach het model birdman bij het beantwoordenvan deze opgave. Skydivers met een birdmanpak proberen zo lang mogelijk in de lucht te blijven. In afbeelding 3.98 zie je een skydiver in een birdmanpak. De frontale oppervlakte van de skydiver is 1,3 m2. De laagst gemeten eindsnelheid bij het springen met een birdmanpak is 64,8 km h−1. De luchtweerstandscoëfficiënt c w van een birdmanpak is hoger dan die in het model. Je kunt de grootte van de c w bepalen door in het model telFiguur 3.98 kens een andere waarde in te vullen. De waarde waarbij de snelheid het dichtst bij de eindsnelheid komt, is de correcte. De massa van de skydiver is gelijk aan 72 kg. a Bepaal met behulp van het model in Coach c w van het birdmanpak in twee significante cijfers. Je kunt de c w ook berekenen met de gegevens in de opgave . Als de snelheid van de skydiver constant is, geldt m ⋅ g = __12 ⋅ cw ⋅ ρ ⋅ A ⋅ v 2. b Leg uit waarom je dan deze formule mag gebruiken. 54 Gebruik in Coach het model baumgartner bij het beantwoorden van deze opgave. Door vanaf een hoogte van 39 km te springen, lukte het Felix Baumgartner om sneller te vallen dan de geluidssnelheid. De dichtheid van de lucht is op grotere hoogte lager dan die op zeeniveau. Het huidige model houdt hier nog geen rekening mee. Het verband tussen de dichtheid van de lucht en de hoogte is:

()

ρ lucht = 1, 293 ⋅ __12 ▪▪ ▪▪

h ____ 5500

ρlucht is de dichtheid van de lucht in kg m−3. h is de hoogte in m.

In het model moet je drie dingen aanpassen: de constante luchtdichtheid veranderen in een hulpvariabele, de hoogte met een pijl verbinden met de luchtdichtheid en de formule invoeren in de hulpvariabele. Zie figuur 3.99.

g = 9,81 ρ=1,293

Cw = 0,8

Fzw

A = 0,7 v=0

Fres

h = 4500 t=0

Fw, lucht

dt = 0,01 Tabel 3.5

rho Figuur 3.99

15 6

h o ofdstuk 3

Krachten

157

a Maak in Coach in het model de luchtdichtheid afhankelijk van de hoogte. Met het model kun je de maximale snelheid van Baumgartner bepalen. Je moet dan de volgende gegevens in het model verwerken: ▪▪ De sprong begint op 39 km hoogte. ▪▪ De massa van Baumgartner met zijn bepakking is 120 kg. ▪▪ De luchtweerstandscoëfficiënt is 0,80. ▪▪ De frontale oppervlakte is 0,75 m 2. b Wat is volgens het model de maximale snelheid die Baumgartner zal bereiken? Om veilig te landen, opent Baumgartner zijn parachute op een hoogte van 1,5 km. De luchtweerstandscoëfficiënt is dan 0,90 en zijn frontale oppervlakte is 4,8 m 2. Deze condities zijn nog niet aan het model toegevoegd. c Pas in Coach het model hierop aan. Met dit model laat je Coach het (a,t)-diagram van figuur 3.100 tekenen.

Figuur 3.100

d Geef in figuur 3.100 de volgende tijdstippen aan en licht je antwoorden toe: ▪▪ tijdstip waarop de maximale snelheid wordt bereikt; ▪▪ tijdstip waarop de luchtweerstandskracht het grootst is; ▪▪ tijdstip waarop de parachute wordt geopend; ▪▪ tijdstip waarop de daalsnelheid een constante waarde heeft bereikt. De maximale kracht die Baumgarnter ondervindt tijdens het openen van de parachute, is volgens het model zeer groot. e Beschrijf hoe je met het model de maximale kracht kunt bepalen. De maximale kracht die uit het model volgt, is veel groter dan in werkelijkheid. f Leg uit waardoor de maximale kracht volgens het model veel groter is dan in werkelijkheid.

55 In het Tikibad in cabine Wassenaar staat de A attractie X-stream. In luik klapt weg figuur 3.101 zijn de voornaamste onderdelen van M de X-stream in een schematische tekening B aangegeven. De X-stream werkt als volgt. Een persoon staat in een cabine op een luik. Het C D luik klapt weg en de persoon valt naar beneden Figuur 3.101 door een buis die via een bocht in een horizontaal stuk eindigt. De positie van de persoon in de cabine is aangegeven met de letter A. Het begin van het gebogen stuk is aangegeven met de letter B. Bij punt C begint het horizontale stuk. A In de opgave wordt de luchtweerstandshoek kracht verwaarloosd. Tijdens de beweging in de buis komt de persoon niet los van de buis. Hierdoor ondervindt de persoon een schuifB wrijvingskracht. Deze kan verminderd worden door meer water van bovenaf in de buis te laten stromen. De snelheid waarmee de persoon in punt C C D aankomt, hangt onder andere af van de schuifwrijvingskracht en de steilheid van de Figuur 3.102 stukken AB en BC. Om de invloed hiervan te onderzoeken wordt een sterk vereenvoudigd model gemaakt, waarbij de baan wordt verdeeld in drie rechte gedeelten. De steilheid hangt af van de hoek met de horizontaal. Zie figuur 3.102. In figuur 3.103 en tabel 3.6 staat het model.

sAB

sBC sAC

s Fvooruit

hoek

Fres Fw

k Figuur 3.103

15 8

h o ofdstuk 3

Krachten

159

Modelregels

Startwaarden (SI)

sAC = sAB + sBC

hoek = 1,3

als sAC > s > sAB dan hoek = 1,3/2 eindals

sAB = 2,00

als s > sAC dan hoek = 0 eindals

sBC = 7,00

Fvooruit = ………..

s=0

Fw = k ∙ m ∙ g ∙ cos(hoek)

v=0

Fres = Fvooruit − Fw

t=0

a = Fres/m

dt = 0,001

v = v + a ∙ dt

m = 70

s = s + v ∙ dt

g = 9,81

t = t + dt

k = 0,21

3.9

Afsluiting

Samenvatting In dit hoofdstuk heb je kennisgemaakt met een aantal krachten. Iedere kracht heeft een grootte, een richting, een aangrijpingspunt en een werklijn. Je mag een kracht langs zijn werklijn verschuiven. Het gevolg van de kracht blijft dan hetzelfde. Als er twee of meer krachten werken op hetzelfde voorwerp, kun je alle krachten samenstellen tot één resulterende kracht. De resulterende kracht heeft hetzelfde gevolg als de afzonderlijke krachten samen. Omgekeerd kun je een kracht ontbinden in twee componenten.

als t > 2,5 dan stop eindals Tabel 3.6

In het model geldt: ▪▪ s is de afgelegde weg langs een deel van de buis, ▪▪ de startwaarde van de hoek van buisdeel sAB is 1,3 rad. Dit is gelijk aan 75°. In het model ontbreekt de formule voor Fvooruit. a Leid met behulp van de figuren 3.102 en 3.103 de formule voor Fvooruit af. Wijzig je de waarde voor k dan betekent dat er meer of minder water door de buis stroomt. b Leg uit of een grotere waarde van k betekent dat ‘er meer water door de buis stroomt’ of dat ‘er minder water door de buis stroomt’. Een belangrijke eis voor de X-stream is dat de persoon op het horizontale stuk (van buisdeel CD) op tijd tot stilstand komt. Dit kan door er voor te zorgen dat in buisdeel CD een diepe laag water staat. De persoon remt dan door dit water. De remkracht kan vergroot worden door het water dieper te maken. Neem aan dat de extra remkracht evenredig is met het kwadraat van de snelheid. Neem voor de evenredigheidsconstante voor de extra remkracht de waarde 17. Houd je rekening met de extra remkracht dan moet je het model uitbreiden. c Breid het tekstmodel uit door de volgende opdrachten uit te voeren: ▪▪ Pas een modelregel aan. ▪▪ Voeg een startwaarde toe. ▪▪ Voeg een stopconditie toe.

In een tekening op schaal kun je de grootte van een kracht bepalen met behulp van metingen en de krachtenschaal. Als in de tekening een hoek van 90° te zien is, kun je de grootte van een kracht berekenen door gebruik te maken van de stelling van Pythagoras, de sinus, cosinus of tangens. Krachten zijn in evenwicht als de resulterende kracht gelijk is aan 0 N. Bij twee krachten betekent dit dat de krachten even groot zijn en in tegengestelde richting werken. Zijn drie krachten in evenwicht, dan is de resulterende kracht van twee krachten even groot als en tegengesteld gericht aan de derde kracht. Volgens de eerste wet van Newton werkt er geen resulterende kracht op een voorwerp als dat voorwerp in rust is of met constante snelheid beweegt. De tweede wet van Newton geeft het verband tussen de resulterende kracht op een voorwerp, de massa van het voorwerp en de versnelling van dat voorwerp. De derde wet van Newton geeft aan dat elke kracht behoort tot een krachtenpaar. Beide krachten werken op verschillende voorwerpen en zijn even groot, maar de richting is tegengesteld. Het gewicht van een voorwerp is de kracht van dat voorwerp op een ondersteunend vlak of de kracht van dat voorwerp op een touw of veer. Een modelleerprogramma kan de invloed van krachten op een beweging doorrekenen. Het programma berekent eerst de resulterende kracht op een voorwerp. Vervolgens berekent het met de tweede wet van Newton de versnelling.

oefenreeks B

16 0

h o ofdstuk 3

Krachten

161

Op een gegeven moment is de versnelling van de balk gelijk aan 1,8 m s−2. De massa van de balk bedraagt 420 kg. b Bereken de grootte van de spankracht in de hijskabel op dat moment. Later hangt de balk stil aan twee kabels. Zie figuur 3.106. c Bepaal door middel van een constructie de spankracht in kabel a en kabel c.

Gegevens die betrekking hebben op dit hoofdstuk De formules die in dit hoofdstuk besproken zijn, staan hieronder bij elkaar. zwaartekracht

Fzw = m ∙ g

veerkracht

Fveer = C ∙ u

maximale schuifwrijvingskracht

Fw,schuif,max = f ∙ Fn

luchtweerstandskracht

Fw,lucht = cw ∙ ρ ∙ A ∙ v2 __›

Fres =

tweede wet van Newton

__›

Figuur 3.106 ▶▪tekenblad

De formules kun je terugvinden in BINAS in tabel 35A Mechanica. In BINAS tabellen 7 en 30B vind je gegevens over de valversnelling op aarde. In BINAS tabel 31 staan gegevens over de gravitatieversnelling op andere planeten.

57 Lees het volgende artikel.

▶▪hulpblad

De ‘Buckeye Bullet’ is met bijna 500 km h−1 houder van het snelheidsrecord voor elektrische auto’s. De wagen is gebouwd door studenten van de universiteit van Ohio (VS) en heeft een massa van 1740 kg. De recordrace werd gereden op een zoutvlakte in de staat Utah. Daar is een speciaal parcours uitgezet om snelheidsrecords te vestigen. Dit parcours is 7 mijl lang. Het eerste stuk (Versnellen) is om op te trekken. Op het tweede stuk (Timed Miles) wordt gemeten en het laatste stuk (Remmen) is om af te remmen. 1 mijl komt overeen met 1609,344 meter.

Opgaven ▶▪tekenblad

∑ F› = m ∙ a›

FAB = – FBA

derde wet van Newton

56 Een hijskraan tilt een ijzeren balk op. Zie figuur 3.104. De balk hangt aan een kabel die door een elektromotor omhoog wordt getrokken. Als de spankracht in de kabel te groot is, kan de kabel breken. In de eerste fase van het hijsen verandert de snelheid. In figuur 3.105 staan de (v,t)-grafieken van twee manieren van hijsen. a Leg uit welke manier je moet toepassen om te voorkomen dat de kabel breekt.

Figuur 3.107

Figuur 3.108

Op de zoutvlakte hebben de banden minder grip dan op een gewone weg. Bij te fel optrekken kunnen de wielen daardoor slippen en mislukt de recordpoging. Voor auto’s als de Buckeye Bullet geldt op de zoutvlakte de vuistregel: ‘de voortstuwende kracht die de motoren via de wielen op de zoutvlakte kunnen uitoefenen, is maximaal __13 van het gewicht van de auto’. Figuur 3.104

16 2

h o ofdstuk 3

Figuur 3.105

Krachten

163

v (m s-1)

Het verloop van de recordrace is vastgelegd met behulp van sensoren en een computer in de auto. Figuur 3.109 toont het (v,t)-diagram. a Ga na of de vuistregel bij deze recordpoging geldt.

Figuur 3.109

In figuur 3.10 staat het verloop van de motorkracht tegen de tijd weergegeven. Ook zie je het verloop van de luchtweerstandskracht Flucht. De rolweerstand van de auto mag worden verwaarloosd. Het parcours op de zoutvlakte is voor de Buckeye Bullet te kort om zijn (theoretische) maximumsnelheid te bereiken. Op het tijdstip t = 90 s is de Buckeye Bullet immers nog steeds aan het versnellen. De formule voor luchtweerstandskracht kun je vereenvoudigen tot Flucht = k ⋅ v2. Hierin is k een constante.

Saturnus is een van de grootste planeten in ons zonnestelsel. Het meest spectaculair is het ringenstelsel. Die ringen van Saturnus bestaan uit bevroren water, rotsen en stofdeeltjes die in cirkelvormige banen rondom de planeet bewegen. In dit hoofdstuk lees je wat nodig is om een cirkelbeweging te maken. Met die kennis kun je een model maken die de beweging van een satelliet om de aarde beschrijft.

Figuur 3.110

b Toon aan met behulp van de figuren 3.109 en 3.110 dat k gelijk is aan 0,10. c Bepaal de (theoretische) maximale snelheid van de Buckeye Bullet. Tijdens het remmen wordt de bestuurder door zijn gordels tegengehouden. De bestuurder heeft een massa van 65 kg. d Bepaal de maximale grootte van de kracht waarmee de gordels de bestuurder tegenhouden. e Bepaal de remafstand van de Buckeye Bullet. zelftoets

16 4

h o ofdstuk 3

7 Cirkelbewegingen

Een slijptol gebruik je om metaal te

De afstand die je aflegt in T is gelijk aan de omtrek van de cirkel, 2πr. Voor de baansnelheid geldt:

schuren of te slijpen. De schijf draait

____ vbaan = _s = 2πr t T

daarbij met hoge snelheid rond. Elk punt op de schijf van de slijptol voert

▪▪

een eenparige cirkelbeweging uit.

▪▪ ▪▪

Wat is een eenparige cirkelbeweging? Waarom vliegen de

v baan is de baansnelheid in m s−1. r is de baanstraal in m. T is de omlooptijd in s.

vonken in rechte lijn weg?

Voorbeeld In figuur 7.2 is de straal van de cirkelbeweging van het kind 1,8 m. De omlooptijd is 2,8 s. Bereken de baansnelheid.

Figuur 7.1

Uitwerking

7.1

___ met r = 1,8 m en T = 2,8 s vbaan = 2πr T

Eenparige cirkelbeweging

2π × 1,8 vbaan = _______ = 4,03 m s −1 2,8

Omlooptijd en baansnelheid startvragen

Een kind op een draaimolen, een satelliet in een baan om de aarde en de ijsblokken in de ringen rond Saturnus zijn allemaal voorbeelden van cirkelbewegingen. De afstand van het zwaartepunt van het voorwerp tot het middelpunt van de cirkel heet de baanstraal met symbool r. Zie figuur 7.2. In figuur 7.2 is de positie van een kind op een draaimolen getekend na steeds hetzelfde tijdsinterval. De afstand langs de cirkel tussen twee opeenvolgende posities is constant. Het kind beweegt dus met een constante snelheid langs de cirkelbaan. Zo’n beweging noem je een eenparige cirkelbeweging. De snelheid waarmee een voorwerp in een cirkelbaan beweegt, noem je de baansnelheid met symbool v baan. De richting van de snelheid komt overeen met de raaklijn aan de baan. De richting verandert dus steeds, zoals je ziet in figuur 7.2. De tijd die het kost om de cirkel helemaal af te leggen, noem je de omlooptijd T.

29 6

Afgerond: vbaan = 4,0 m s −1.

h o ofdstuk 7

Bij een eenparige rechtlijnige beweging zijn zowel de grootte als de richting van de snelheid constant. Bij een eenparige cirkelbeweging is de grootte van de snelheid wel constant, maar de richting valt samen met de raaklijn aan de cirkel. De richting van de snelheid staat dus loodrecht op de baanstraal. Tijdens het slijpen met een slijptol vliegen stukjes gloeiend ijzer weg van de rand van de slijpschijf. Zie figuur 7.1. De vonken bewegen in rechte lijnen die samenvallen met de raaklijnen aan de slijptol. Ze geven dus de richting aan van de baansnelheid van een deeltje dat loskomt van de rand van de slijptol.

Frequentie Bij een eenparige cirkelbeweging is de omlooptijd constant. In een bepaalde tijd vinden steeds evenveel omlopen plaats. Het aantal omlopen per seconde noem je de frequentie met symbool f. De eenheid ervan is hertz (Hz). Er geldt: 1 f = __ T ▪▪ ▪▪

Figuur 7.2

f is de frequentie in Hz. T is de omlooptijd in s.

Opmerking In de techniek kom je vaak de grootheid toerental tegen. Dit is het aantal omwentelingen dat een voorwerp maakt in één minuut. In het Engels wordt het toerental uitgedrukt in RPM (revolutions per minute). Cirkelbewegingen

297

Opgaven 1

▶▪werkblad

De trommel van een wasmachine heeft een diameter van 60 cm en draait in 10 s honderdveertig keer rond. Een druppel bevindt zich op de wand van de trommel. Bereken: a de omlooptijd; b de baansnelheid; c de afstand die de druppel aflegt in één minuut; d het toerental.

In figuur 7.3 zie je een cd met twee punten. Neem aan dat de cd tijdens één omloop een eenparige cirkelbeweging uitvoert. a Beredeneer of de baansnelheid van punt P groter dan, kleiner dan of gelijk is aan die van punt Q. Natuurkundigen gebruiken bij cirkelbewegingen de hoeksnelheid in plaats van de baansnelheid. De hoeksnelheid is een maat voor het aantal graden dat een punt per seconde draait ten opzichte van zijn beginpositie. b Beredeneer of de hoeksnelheid van punt P groter dan, kleiner dan of gelijk is aan die van punt Q. Bij het afspelen van een cd verandert de snelheid waarmee de cd ronddraait, zodat de laser steeds met dezelfde snelheid het spoor van de cd aftast. De laser tast een cd van binnen naar buiten af. c Leg uit of de frequentie van de cd toeneemt of afneemt tijdens het afspelen.

Hanneke en Roel zitten naast elkaar in een draaimolen. Hanneke zit op 2,7 m van de

▶▪hulpblad

Een satelliet beweegt op 200 km hoogte in een cirkelvormige baan om de aarde. De omlooptijd van de satelliet is 88 min. a Toon aan dat de straal van de cirkelbaan van de satelliet gelijk is aan 6,6·103 km. b Bereken de baansnelheid van de satelliet.

Een wit balletje ligt in een vakje van de schaal van een roulette. Terwijl de schaal met constante snelheid ronddraait, maak je een filmpje met je telefoon. De telefoon maakt dertig beelden per seconde. Figuur 7.5 toont het spoor van het balletje op een beeld van de rouletteschaal. De beweging van de rouletteschaal is op de foto dus niet zichtbaar. Bepaal de baansnelheid van het balletje.

▶▪werkblad

Figuur 7.5

Figuur 7.3

Figuur 7.4

draaias en Roel zit op 1,8 m van de draaias. Ze draaien in 5,2 s één ronde. a Bereken de baansnelheid van Hanneke. Roel gooit tijdens het draaien een snoepje in de richting van Hanneke, maar Hanneke vangt dit niet. Het snoepje komt namelijk niet recht op haar af. b Teken in figuur 7.4 of het snoepje voor of achter Hanneke terechtkomt. Licht je antwoord toe.

29 8

h o ofdstuk 7

Kampala (K), de hoofdstad van Oeganda, ligt op de evenaar. Pal ten noorden van Kampala, op 60° noorderbreedte, ligt de Russische stad SintPetersburg (P). In figuur 7.6 is de plaats van beide steden te zien op de wereldbol. De stralen van hun cirkelbanen zijn met een pijl aangegeven. a Toon aan dat de stralen van de cirkelbanen die K en P doorlopen zich verhouden als 2 : 1. b Bereken de verhouding van de baansnelheden van K en P.

Figuur 7.6

Cirkelbewegingen

299

Om een bocht te maken zet de schaatser zich af op het ijs. Gaat hij met een te grote snelheid de bocht in, dan vliegt hij eruit. Wat hebben snelheid en kracht met elkaar te maken bij het schaatsen van een bocht?

Figuur 7.7

Figuur 7.8

7.2

Middelpuntzoekende kracht

Kracht bij eenparige cirkelbewegingen

__›

Δv . In hoofdstuk 3 is de tweede wet van Newton gedefinieerd door Fres = m ∙ a met a = ___ Δt Hierin is Δv de snelheidsverandering. Snelheid is een vector. Zowel de grootte als de richting van de snelheid kan dus veranderen. Bij eenparige cirkelbewegingen verandert de grootte van de snelheid niet, maar de richting wel. Vanwege deze snelheidsverandering kun je zeggen dat een voorwerp dat een eenparige cirkelbeweging uitvoert aan het versnellen is. Dan werkt er volgens de tweede wet van Newton een resulterende kracht op het voorwerp. Die resulterende kracht noem je de middelpuntzoekende kracht. Die heet zo omdat de resulterende kracht bij een eenparige cirkelbeweging naar het middelpunt van de cirkel is gericht.

De zwaartekracht en de normaalkracht op de schaatser zijn in figuur 7.8 even groot en staan loodrecht op het vlak van de beweging. Deze twee krachten zijn in evenwicht met elkaar. De resulterende kracht in deze situatie is de kracht Fw,schuif. Is Fw,schuif steeds naar hetzelfde punt gericht, dan rijdt de schaatser een eenparige cirkelbeweging. De schuifwrijvingskracht is dan de middelpuntzoekende kracht. Als de schaatser dezelfde bocht rijdt met een grotere snelheid, dan moet hij zich krachtiger afzetten om de bocht door te komen. De schuifwrijvingskracht is dan groter. Dus de middelpuntzoekende kracht is dus groter als de snelheid groter is. Is zijn afzet niet krachtig genoeg, dan vliegt hij uit de bocht. Dit betekent dat de baanstraal groter is naarmate de afzet kleiner is. De middelpuntzoekende kracht is kleiner als de baanstraal groter is. Volgens de tweede wet van Newton is de middelpuntzoekende kracht bovendien recht evenredig met de massa. Voor de grootte van de middelpuntzoekende kracht geldt: m∙v Fmpz = ______ r 2

Grootte van middelpuntzoekende kracht In figuur 7.8 zie je een schaatser in een bocht. Als hij schaatst met constante baansnelheid, is hij toch aan het versnellen, omdat de richting van zijn snelheid verandert. Op de schaatser werkt dus een resulterende kracht. Als je de tegenwerkende krachten van de lucht en het ijs verwaarloost, werken tijdens het schaatsen van een bocht drie krachten op de schaatser. In figuur 7.8 zijn deze drie krachten getekend: de zwaartekracht Fzw, de normaalkracht Fn en de kracht Fw,schuif. Deze laatste kracht ontstaat doordat de schaatser zich afzet tegen het ijs. Volgens de derde wet van Newton oefent het ijs dan een even grote, maar tegengestelde kracht uit op de schaatser.

30 0

h o ofdstuk 7

▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪

Fmpz is de middelpuntzoekende kracht in N. m is de massa in kg. v is de baansnelheid in m s−1. r is de baanstraal in m.

Bij een eenparige cirkelbeweging werkt er een resulterende kracht die gericht is naar het middelpunt van de cirkel. Dat kan één kracht zijn, zoals de schuifwrijvingskracht bij de schaatser, maar ook de resultante van twee of meer krachten. Je zegt dan dat die krachten de middelpuntzoekende kracht leveren.

Cirkelbewegingen

301

Voorbeelden Een satelliet beweegt in een nagenoeg cirkelvormige baan om de aarde. De aantrekkingskracht tussen de aarde en de satelliet levert de middelpuntzoekende kracht. Deze kracht heet de gravitatiekracht. In de volgende paragraaf wordt deze kracht besproken. Een auto in een horizontale bocht legt een deel van een cirkelbaan af. Op de banden van de auto werkt dan een zijwaarts gerichte schuifwrijvingskracht. Figuur 7.9a is een vooraanzicht en figuur 7.9b een bovenaanzicht. De schuifwrijvingskracht levert de middelpuntzoekende kracht. Ligt er olie in de bocht, dan is de schuifwrijvingskracht kleiner dan de benodigde middelpuntzoekende kracht. Past de bestuurder de snelheid niet aan, dan rijdt de auto een bocht met een te grote baanstraal en vliegt dus uit de bocht.

▶▪hulpblad

De maan beschrijft een (bijna) cirkelvormige baan om de aarde. In BINAS tabel 31 staan gegevens waarmee je de baansnelheid van de maan om de aarde kunt berekenen. a Toon aan dat de baansnelheid van de maan om de aarde gelijk is aan 1023 m s−1. b Bereken de grootte van de middelpuntzoekende kracht die de aarde op de maan uitoefent.

10 Een stuk wasgoed in een centrifuge draait met een toerental van 1200 omwentelingen per minuut. De diameter van de trommel van de centrifuge is 50 cm. De massa van het natte wasgoed is 7,0 kg. Het zwaartepunt van de was ligt bij aanvang van het centrifugeren op 6 cm van de trommelwand. a Laat met een eenhedenbeschouwing zien dat de eenheid van Fmpz gelijk is aan newton. b Bereken de middelpuntzoekende kracht die op het wasgoed werkt. De massa van het natte wasgoed neemt voortdurend af. Het zwaartepunt van het wasgoed komt steeds dichter bij de trommelwand te liggen. Daardoor neemt de baansnelheid van het wasgoed toe. c Leg dit uit. Op basis van bovenstaande gegevens kun je niet beredeneren of de middelpuntzoekende kracht verandert tijdens het centrifugeren. d Leg dit uit.

Figuur 7.9

Opgaven 7

In elk van de volgende situaties zorgt een kracht voor de vereiste middelpuntzoekende kracht. Geef telkens de naam van die kracht. a Een elektron draait om een atoomkern. b De maan draait om de aarde. c Een stuk wasgoed draait rond in de centrifuge van een wasmachine. d Een fietser slaat rechtsaf op een horizontaal wegdek.

In figuur 7.10 zie je een bovenaanzicht van een kogelslingeraar die zijn kogel tegen de klok in ronddraait. Hij laat de kogel los in punt P. Leg uit welke van de getekende banen de kogel volgt.

11 Tijdens de vlucht werkt op een vliegtuig een omhoog gerichte kracht die de liftkracht Flift wordt genoemd. Blijft het vliegtuig op dezelfde hoogte, dan is de liftkracht gelijk aan de zwaartekracht. Om een bocht te maken laat de piloot het vliegtuig een beetje overhellen naar één kant. Hierbij verandert de grootte van de liftkracht niet. Zie figuur 7.11 voor een vooraanzicht. Als de piloot daarbij verder niets aanpast, gebeuren er twee dingen met het vliegtuig: ▪▪ het maakt een bocht; ▪▪ het verliest hoogte. Geef voor beide effecten een natuurkundige verklaring. Figuur 7.11

Figuur 7.10

30 2

h o ofdstuk 7

Cirkelbewegingen

303

12 Als op een voorwerp een resulterende kracht werkt, krijgt het voorwerp een versnelling. a Leg uit dat voor de grootte van de middelpuntzoekende versnelling geldt: v ampz = ___ r 2

De maan beweegt rond de aarde in een (bijna) cirkelvormige baan. De gravitatiekracht zorgt voor de

Twee leerlingen bekijken de formule voor de middelpuntzoekende versnelling. Loes zegt: ‘Als de omlooptijd constant blijft en de baanstraal wordt twee keer zo groot, dan wordt de middelpuntzoekende versnelling twee keer zo klein.’ Fleur zegt: ‘Nee, als de omlooptijd constant blijft en de baanstraal wordt twee keer zo groot, dan wordt de middelpuntzoekende versnelling juist ook twee keer zo groot.’ b Leg uit wie er gelijk heeft. 13 Helle voert een experiment uit. Aan een touwtje met een lengte van 75 cm maakt ze een blokje vast. Dit blokje laat ze ronddraaien in een horizontaal vlak. Zie figuur 7.12a.

middelpuntzoekende kracht. Welke grootheden bepalen de grootte van de gravitatiekracht?

Figuur 7.13

7.3

Gravitatiekracht

Gravitatiewet van Newton

Figuur 7.12

De straal van de cirkel die het blokje maakt is 42 cm. De massa van het blokje is 50 g. Een omloop duurt 1,59 s. a Toon aan dat Fmpz = 0,33 N. Op het blokje werken twee krachten: de zwaartekracht en de spankracht. De resultante van deze twee krachten is geconstrueerd in figuur 7.12b. Je ziet in figuur 7.12b ook dat de spankracht groter is dan de zwaartekracht. Is het blokje in rust, dan is de spankracht gelijk aan de zwaartekracht. b Leg uit dat de spankracht toeneemt als Helle het blokje laat ronddraaien. De resulterende kracht Fres werkt als middelpuntzoekende kracht. c Toon met behulp van figuur 7.12b aan dat Fres = 0,33 N.

In 1687 publiceerde Newton zijn gravitatiewet. Deze wet beschrijft de gravitatiewisselwerking tussen twee voorwerpen. De kracht tussen twee voorwerpen heet de gravitatiekracht met symbool Fg. Newton stelde dat de kracht tussen de aarde en de zon dezelfde soort kracht is als de zwaartekracht die de aarde uitoefent op een voorwerp. In figuur 7.14 is de gravitatiekracht tussen twee bolvormige voorwerpen aangegeven. De zwaartepunten vallen samen met de middelpunten. Voor de gravitatiekracht tussen de twee voorwerpen geldt dat: ▪▪ de werklijn samenvalt met de lijn door de twee zwaartepunten; ▪▪ de grootte recht evenredig is met beide massa’s; ▪▪ de grootte omgekeerd kwadratisch evenredig is met de afstand tussen de zwaartepunten. Figuur 7.14 De gravitatiewet luidt in formulevorm: m∙M Fg = G ∙ ______ r2 ▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪

G is de gravitatieconstante in N m 2 kg−2. m is de massa in kg. M is de massa in kg. r is de afstand tussen de zwaartepunten in m.

oefenreeks A

30 4

h o ofdstuk 7

Cirkelbewegingen

305

De valversnelling g hangt dus alleen af van de massa van de aarde en de afstand tot het middelpunt van de aarde. Een vergelijkbare formule geldt voor de valversnelling in de buurt van andere planeten.

Pas in 1798 is experimenteel de waarde van de gravitatieconstante bepaald: G = 6,67·10 −11 N m 2 kg−2. Deze waarde staat in BINAS tabel 7. De gravitatieconstante heeft een zeer kleine waarde. Daardoor is de gravitatiekracht klein, tenzij een van de massa’s een zeer grote waarde heeft in vergelijking met de afstand. Dat is het geval bij de gravitatiekracht van hemellichamen. Gegevens hierover vind je in BINAS tabel 31.

Als je op de aarde staat, dan is de afstand r tussen jou en het middelpunt van de aarde gelijk aan de straal van de aarde. Bevind je je op een bepaalde hoogte boven de aarde, dan moet je met deze hoogte rekening houden.

Voorbeeld Bol A heeft een massa van 3,0 kg en bol B een massa van 5,0 kg. De zwaartepunten van deze bollen bevinden zich op 30 cm van elkaar. a Bereken de gravitatiekracht die de bollen op elkaar uitoefenen. De kracht die de aarde uitoefent op een bol kun je berekenen met de formule voor de zwaartekracht, maar ook met de formule voor de gravitatiekracht. Voor bol A geldt Fzw = m ∙ g = 3,0 × 9,81 = 29 N. b Toon aan dat voor de gravitatiekracht tussen de aarde en bol A ook geldt: Fg = 29 N. Uitwerking m ∙ M met G = 6,67·10 −11 N m 2 kg−2 a Fg = G ∙ ______ r2 m = 3,0 kg en M = 5,0 kg r = 30 cm = 30·10 −2 m 3,0 × 5,0 Fg = 6,67∙10-11 × ________ -2 2 (30∙10 ) Fg = 1,11·10 −8 N Afgerond: 1,1·10 −8 N. m ∙ M met G = 6,67·10 −11 N m 2 kg−2 b Fg = G ∙ ______ r2 m = 3,0 kg en M = 5,972·1024 kg r = 6,371·106 m 3,0 × 5,972∙1024 Fg = 6,67∙10-11 × ________ 2 (6,371∙106) Fg = 29,4 N Afgerond: Fg = 29 N.

Voorbeeld In 2012 sprong Felix Baumgartner op 39 km hoogte uit een luchtballon. Bereken de valversnelling op deze hoogte. Uitwerking Maarde g = G · _____ met G = 6,67·10 −11 N m 2 kg−2 r2 Maarde = 5,972·1024 kg r = raarde + h r = 6,371·106 + 39·103 m 5,972∙1024 (6371∙10 + 39∙10 )

g = 6,67∙10-11 × ________________ 3 3 2 g = 9,69 ms-2 De valversnelling is op 39 km hoogte bijna 9% kleiner dan op het aardoppervlak.

De beweging van planeten Elke planeet in ons zonnestelsel draait om de zon met een vaste omlooptijd. De planeten beschrijven ellipsvormige banen die bijna cirkelvormig zijn. Daarom mag je planeetbanen opvatten als cirkels met als middelpunt het midden van de zon. Er is dus een resulterende kracht op de planeet die de middelpuntzoekende kracht levert, en die middelpuntzoekende kracht is gelijk aan de gravitatiekracht. Met dit gegeven en de formule voor de baansnelheid leid je twee verbanden af.

Valversnelling De kracht die de aarde op een voorwerp uitoefent, kun je beschrijven met Fzw = m · g. Deze formule geldt alleen als het voorwerp in de buurt van de aarde is. Als je de kracht van de aarde op de maan wilt berekenen, gebruik je de formule voor de gravitatiekracht. Deze formule geldt in alle situaties, zoals bleek in het voorbeeld. In de buurt van de aarde leveren de formule voor de zwaartekracht en de formule voor de gravitatiekracht hetzelfde resultaat op. Dan geldt dus: Fzw = Fg

m ∙ Maarde m ∙ g = G ∙ _________ r2 M aarde ______ g=G∙ r2

30 6

h o ofdstuk 7

De baansnelheid van een planeet om de zon hangt alleen af van de massa van de zon en de afstand tussen de middelpunten van de planeet en de zon. Afleiding Fmpz = Fg

m·M r2

m · v = G · ________ zon _____ 2

Mzon v 2 = G ∙ ____ r

Cirkelbewegingen

307

De omlooptijd T van een planeet om de zon hangt alleen af van de afstand tot de zon en niet van de massa van de planeet. Ook geldt: de omlooptijd is groter naarmate de afstand groter is. Dat zie je ook in BINAS tabel 31. Afleiding 2πr en past die toe in de formule Je gebruikt de formule voor de baansnelheid: v = ___ T die je je hiervoor hebt afgeleid Mzon 2 2πr ___ = G ∙ ____ r T 4π 2 · r 2 = G ∙ M zon ______ ____ r T2 4π 2 ∙ r 3 T 2 =________ G ∙ M zon

( )

16 In 1798 slaagde de Britse natuur- en scheikundige Henry Cavendish erin de wisselwerking tussen twee loden bollen te meten. Bol A had een diameter van 5,0 cm en bol B had een diameter van 30,0 cm. a Toon aan dat de massa’s van de bollen 0,74 kg en 160 kg zijn. b Bereken de gravitatiekracht tussen de bollen als de afstand tussen hun middelpunten 45,0 cm is. ▶▪hulpblad

_________

√

Geostationaire en polaire satellieten De meeste satellieten voor weersvoorspelling of spionage beschrijven polaire banen. Een baan is polair als deze over de Noordpool en de Zuidpool gaat. Zie figuur 7.15a. Omdat de aarde om haar as draait, ziet een polaire satelliet tijdens een omloop telkens een ander deel van de aarde. De afstand van een polaire satelliet tot de aarde ligt tussen 300 en a b 1000 km. De orde van grootte van de 2 omlooptijd is dan 10 minuten. Figuur 7.15 Satellieten voor communicatie beschrijven vrijwel altijd geostationaire banen. Geostationair wil zeggen dat de satelliet stilstaat ten opzichte van het aardoppervlak. De satelliet bevindt zich dan altijd op dezelfde plaats en hoogte boven de evenaar. Zie figuur 7.15b. De omlooptijd van een geostationaire satelliet is gelijk aan de omlooptijd van de aarde, dus 24 uur. De afstand van de satelliet tot het aardoppervlak is ongeveer 3,6·104 km. Opgaven Maarde 14 Voor de valversnelling op aarde geldt: g = G · _____ 2 r aarde a Toon aan dat de eenheid van G gelijk is aan N m 2 kg−2. De berekende waarde van g is de waarde op de evenaar. Bij de polen is de aarde afgeplat. b Leg uit of de waarde van g daar groter of kleiner is dan de waarde op de evenaar. Een vergelijkbare formule geldt voor de valversnelling op andere hemellichamen. Een planeet heeft een diameter van 10 000 km. De valversnelling is 8 m s−2. c Bereken de massa van deze planeet. 15 a Bereken de gravitatiekracht die de zon uitoefent op de aarde. b Leg uit hoe groot de gravitatiekracht is die de aarde uitoefent op de zon.

30 8

h o ofdstuk 7

17 Twee satellieten met een even grote massa doorlopen elk een cirkelvormige baan om de aarde. Hun baanstralen verhouden zich als 4 : 1. a Bepaal de verhouding van de gravitatiekrachten die de satellieten van de aarde ondervinden. b Leid met behulp van formules in BINAS af dat voor de baansnelheid geldt: G · Maarde v = ________ r

Bepaal de verhouding van: c de baansnelheden van de twee satellieten; d de omlooptijden van de twee satellieten. ▶▪hulpblad

18 Bij de eenparige cirkelbeweging van een satelliet rond de aarde is de gravitatiekracht de middelpuntzoekende kracht. a Leid met behulp van formules in BINAS af dat voor de beweging van satellieten rond de aarde geldt: G·M 4π 2

r = _________ aarde __ 3

Deze formule staat bekend als de derde wet van Kepler. b Bereken de hoogte waarop een geostationaire satelliet rond de aarde beweegt. 19 De afstand tussen ons zonnestelsel en het centrum van de Melkweg is 25 000 lichtjaar. Sterrenkundigen hebben bepaald dat de baansnelheid waarmee ons zonnestelsel om het centrum van de Melkweg beweegt 230 km s−1 is. In deze opgave mag je aannemen dat het zonnestelsel daarbij een eenparige cirkelbeweging uitvoert. a Bereken de omlooptijd van ons zonnestelsel. Geef je antwoord in jaren. Ons zonnestelsel is ongeveer vijf miljard jaar geleden gevormd. b Bereken het aantal omwentelingen dat het zonnestelsel in die tijd heeft uitgevoerd. De gravitatiekracht op ons zonnestelsel is de resulterende kracht van de gravitatiekrachten van alle sterren in de Melkweg. Het grootste deel van de massa van deze sterren is geconcentreerd in het midden van de Melkweg. c Bereken de massa die geconcentreerd moet zitten in het midden van de Melkweg om deze cirkelbeweging mogelijk te maken. Neem aan dat de zon eenzelfde massa heeft als de gemiddelde ster in onze Melkweg. d Bereken hoeveel sterren er in de Melkweg zouden moeten zitten om jouw antwoord bij c mogelijk te maken.

Cirkelbewegingen

309

Een satelliet beschrijft een cirkelvormige baan rond de aarde. Bij elke cirkelvormige baan hoort een bepaalde omloopsnelheid. Verandert

Gravitatiekracht in een bewegingsmodel In een model met gravitatiekracht van de aarde werk je in een loodrecht assenstelsel met als oorsprong het midden van de aarde. Zie figuur 7.18. Richtingen omhoog en naar rechts krijgen hierin een positief teken.

de vorm van de baan als de satelliet een andere omloopsnelheid krijgt?

Figuur 7.16

7.4

Model van de beweging van planeten en satellieten

Gravitatiekracht Satellieten bewegen op een relatief grote afstand van de aarde. Ze ondervinden daar nauwelijks of geen invloed van de aardse atmosfeer. In een rekenmodel mag je daarom de luchtweerstand buiten beschouwing laten. Op een satelliet die zonder stuwkracht om de aarde draait, werkt alleen de gravitatiekracht Fg. Je mag aannemen dat de satelliet beweegt in een vlak dat door het middelpunt van de aarde gaat. Hierbij is Fg steeds naar het middelpunt van de aarde gericht. Zie figuur 7.17.

Figuur 7.18

Omdat de massa van de aarde en van de satelliet constanten zijn, is de gravitatiekracht alleen afhankelijk van de baanstraal r van de satelliet. Uit figuur 7.18 volgt dat ________ de waarde van r berekend uit de waarden van x en y. Er geldt: r = √(x 2 + y 2) . Deze formule komt overeen met de eerste modelregel van het tekstmodel in tabel 7.1. In het grafisch model zie je daarom een relatiepijl van x en van y naar r. In figuur 7.18 is Fg ontbonden in Fg,x en Fg,y. Voor de component Fg,x geldt Fg,x = –Fg ∙ __xr . Deze formule leid je af met behulp van figuur 7.18. Je ziet dat driehoek ABC gelijkvormig is met driehoek PQC. Verder geldt –Fg,x x = ____ AB = x, BC = y en AC = r. Dus er geldt __ . Het minteken is nodig omdat Fg,x naar r Fg links is gericht. Hieruit volgt Fg,x = –Fg ∙ __xr .

Figuur 7.17

31 0

h o ofdstuk 7

Omdat Fg,x afhangt van x, r en Fg zie je in het grafisch model relatiepijlen van x, r en Fg naar Fg,x.

Cirkelbewegingen

311

Modelregels

Startwaarden (SI)

r = sqrt(x^2+y^2)

G = 6,67E−11

Fg = G ∙ m ∙ M / r^2

M = 5,98E24

Fgx = − Fg ∙ x /r

Ra = 6,5E6

ax = Fgx / m

m = 1,0E3

vx = vx + ax ∙ dt

dt = 10

x = x + vx ∙ dt

t=0

Fgy = − Fg ∙ y /r

x=0

ay = Fgy / m

y = 1,0E7

vy = vy + ay ∙ dt

vx = 6,5E3

y = y + vy ∙ dt

vy = 0

als r < Ra dan stop eindals t = t + dt Tabel 7.1

Figuur 7.20

Beweegt de satelliet zich veel verder van het middelpunt van de aarde, dan is de baan ellipsvormig. Dit komt doordat een beweging alleen voor een bepaalde combinatie van straal en omlooptijd een eenparige cirkelbeweging is. Is dat niet meer het geval, dan is de baan een ellips of een hyperbool. Zie figuur 7.21 waarin punt P zich op 40∙107 m van de aarde bevindt. Door deze schaal is de aarde niet groter dan een punt in de oorsprong van het assenstelsel.

Figuur 7.19

Banen van de satelliet In figuur 7.20 zie je op schaal de banen van een satelliet die zich in punt P bevindt op een afstand van 1,0·107 m van het middelpunt van de aarde. De beginsnelheid in P is in de positieve richting evenwijdig aan de x-as. Als de snelheid te laag is, stort de satelliet op de aarde. Dat is het geval bij de snelheden 5,0 en 5,5 km/s.

31 2

h o ofdstuk 7

Figuur 7.21

Cirkelbewegingen

313

Opgaven ________

20 In tabel 7.1 zie je dat voor r geldt : r = √(x 2 + y 2) . a Leg uit dat dit de formule is om r te berekenen. y Bij Fgy staat: Fgy = −Fg ∙ __r . b Leg uit dat dit de formule is om Fgy te berekenen. c Open het model satelliet_rond_de_aarde en bepaal met behulp van een diagram hoe groot de omlooptijd van de satelliet is. Bij de startwaarde vx = 6,3·103 m s−1 is de baan van deze satelliet cirkelvormig. De satelliet wordt vervolgens vervangen door een satelliet met een twee keer zo grote massa. d Leg uit hoe de baan van de satelliet er dan uitziet. Ga hierbij in op de vorm en de baansnelheid. e Onderzoek met het model of je antwoord op vraag d juist is. Als de snelheid van de satelliet groter is dan 6,3·103 m s−1 wordt de baan ellipsvormig. Vanaf een bepaalde snelheid komt de satelliet zelfs buiten de invloed van de gravitatiekracht van de aarde. f Onderzoek vanaf welke snelheid dat het geval is. Geef je antwoord in één significant cijfer. ▶▪werkblad

21 De aarde draait in 365 dagen om de zon. a Toon aan dat de baansnelheid van de aarde gelijk is aan 2,98·104 m s−1. In figuur 7.22 zie je een gedeelte van het model aarde_rond_de_zon. In dit model ontbreken vier relatiepijlen: ▪▪ een naar ax ▪▪ een naar ay ▪▪ twee naar F g b Voeg deze relatiepijlen toe aan figuur 7.22.

Open het model aarde_rond_de_zon. Je ziet dan dat het model nog precies gelijk is aan het model satelliet_rond_de_aarde. Als je in het modelvenster de naam Msatelliet wijzigt in Maarde en de naam Maarde wijzigt in Mzon, dan veranderen die namen ook in de formules. Je moet dan nog de massa’s aanpassen. Daarnaast moet je de waarden van twee toestandsvariabelen aanpassen. c Leg uit waarom vx = 29 800 m s−1 en y = 0,1496·1012 m. Start je nu het model, dan komt er geen cirkelbaan uit. Dit heeft te maken met de stapgrootte en tot welke tijdsduur Coach moet doorrekenen. Voor een volledige cirkel moet de tijdsduur minstens een jaar zijn. Voor een juiste cirkelbaan neem je voor de tijdstap het 107e deel van de omlooptijd. d Ga met het model na dat de aarde rond de zon een cirkelvormige baan uitvoert. 22 In een vereenvoudigd model van een waterstofatoom is de beweging van een elektron om de kern een eenparige cirkelbeweging. De middelpuntzoekende kracht wordt geleverd door de coulombkracht FC. Dit is de aantrekkende kracht tussen twee geladen deeltjes waarvoor geldt: Q·q FC = f · ____ r2 ▪▪ f is een constante (9,0·109). ▪▪ Q is de grootte van de lading van het proton in coulomb (1,6·10 −19 C). ▪▪ q is de grootte van de lading van het elektron in coulomb (1,6·10 −19 C). ▪▪ r is de afstand tussen de twee ladingen in meters (5,3·10 −11 m). a Leid de eenheid van de constante f af. b Laat zien dat de omlooptijd van een elektron om de kern gelijk is aan 1,5·10 −16 s. De formule voor de coulombkracht is vergelijkbaar met de formule voor de gravitatiekracht. Het model voor de beweging van een elektron om de kern van een waterstofatoom leid je af uit het model satelliet_rond_de_aarde. In het model waterstofatoom zie je daarom het model van de gravitatiekracht. c Open het model waterstofatoom en pas het model aan. d Onderzoek bij welke snelheid het elektron een cirkelvormige baan uitvoert. oefenreeks B

Figuur 7.22

31 4

h o ofdstuk 7

Cirkelbewegingen

315

7.5

Afsluiting

Opgaven

Samenvatting

▶▪tekenblad

Een eenparige cirkelbeweging is een beweging waarbij een voorwerp met constante snelheid een cirkelbaan volgt. Belangrijk hierbij zijn de grootheden baanstraal, omlooptijd en baansnelheid. Omdat de beweging niet rechtlijnig is, is er een resulterende kracht nodig. Deze resulterende kracht heet de middelpuntzoekende kracht en is gericht naar het middelpunt van de baan. Voorwerpen oefenen een aantrekkende kracht op elkaar uit. Deze kracht noem je de gravitatiekracht. Bij de eenparige cirkelbeweging van planeten en satellieten treedt de gravitatiekracht op als middelpuntzoekende kracht. Zwaartekracht en gravitatiekracht zijn verschillende benamingen voor dezelfde soort kracht. De formule voor de zwaartekracht gebruik je alleen in de buurt van de aarde. De formule voor de gravitatiekracht is een algemene formule die op elke afstand van de aarde geldig is. De valversnelling op een planeet hangt af van de massa van de planeet en de straal van de planeet. In een numeriek model simuleer je de beweging van satellieten rond de aarde of planeten rond de zon.

Gegevens die betrekking hebben op dit hoofdstuk

23 In het pretpark Walibi World staat een attractie met de naam G-Force. Zie figuur 7.23. De attractie ontleent zijn naam aan de vaktaal van straaljagerpiloten. De afgebeelde schuitjes draaien met grote snelheid rond en gaan ondersteboven door het hoogste punt. De G-Force is gedefinieerd als de verhouding van de kracht van de stoel op de piloot en de zwaartekracht die op zijn lichaam werkt: Fstoel G-Force = ____ Fzw a Bepaal de eenheid van de G-Force. Figuur 7.23

Jo zit in een van de stoeltjes en voert een nagenoeg verticale cirkelbeweging uit met een constante snelheid. Tijdens deze beweging wordt de kracht Fstoel gemeten die het stoeltje op Jo uitoefent. In figuur 7.24 is Fstoel voor een aantal rondjes weergegeven als functie van de tijd. De massa van Jo bedraagt 65 kg.

De formules die in dit hoofdstuk besproken zijn, staan hieronder bij elkaar. baansnelheid middelpuntzoekende kracht gravitatiekracht

___ vbaan = 2πr T m ∙ v2 Fmpz = ______ r

m∙M Fg = G · ______ r2

Een deel van de formules vind je in BINAS tabel 35A Mechanica. In BINAS tabellen 31 en 32 staan gegevens over sterren en planeten.

Figuur 7.24

b Bepaal de maximale waarde van de G-Force die Jo ondervindt. Het zwaartepunt van Jo beschrijft een cirkelbaan met een straal van 7,9 m. c Toon aan dat Jo ronddraait met een snelheid van 11 m s-1.

31 6

h o ofdstuk 7

Cirkelbewegingen

317

Omdat Jo een eenparige cirkelbeweging uitvoert, moet er een constante middelpuntzoekende kracht op hem werken. d Bereken de benodigde middelpuntzoekende kracht op Jo. In het hoogste en in het laagste punt is de middelpuntzoekende kracht de resultante van de zwaartekracht Fzw en de kracht Fstoel. In figuur 7.25a is de situatie getekend als Jo zich in het onderste punt bevindt. De krachten Fzw en Fstoel zijn op schaal getekend. In figuur 7.25b is de situatie getekend als Jo zich in het bovenste punt bevindt. In deze figuur is echter alleen Fzw getekend. e Teken in figuur 7.25a de middelpuntzoekende kracht Fzw die op Jo werkt. f Teken in figuur 7.25b de kracht Fstoel die in het bovenste punt op Jo werkt. Let daarbij op de Figuur 7.25 grootte en de richting. ▶▪tekenblad ▶▪hulpblad

24 De Europese ruimtevaartorganisatie ESA heeft al enkele malen een Ariane-5-raket gelanceerd. Door het uitstoten van verbrandingsgassen wordt de raket voortgestuwd. a Leg dit uit met een natuurkundige wet. De beweging tijdens de start van de Ariane-5-raket wordt onderzocht aan de hand van een video-opname. Van de eerste 100 s is een (v,t)-grafiek gemaakt. Zie figuur 7.26. De totale massa van de Ariane-5-raket bij de start is 7,14·105 kg. b Bepaal aan de hand van figuur 7.27 de stuwkracht Fstuw die de Ariane-5-raket ondervindt op t = 0 s.

Voor grotere hoogten geldt voor de gravitatiekracht: R Fg = m ∙ g ∙ _______ (R + h) 2 ▪▪ R is de straal van de aarde in m. ▪▪ h is de hoogte boven de aarde in m. ▪▪ g is de valversnelling op het aardoppervlak in m s–1. c Leid deze formule af. Bij de beweging van de Ariane-5-raket speelt de luchtweerstandskracht op de raket ook een rol. In figuur 7.27 is het verloop van de luchtweerstandskracht Fw tegen de hoogte h weergegeven. 2

Figuur 7.27

d Leg uit waardoor Fw eerst toeneemt en dan weer afneemt. De voortstuwingskracht Fstuw die op de Ariane-5-raket werkt is constant. De versnelling van de Ariane-5-raket blijkt niet constant te zijn. Voor deze versnelling geldt: Fstuw − Fg − Fw a = ___________ m e

Leg uit of de versnelling op 100 km hoogte groter of kleiner is dan op 40 km. zelftoets

Figuur 7.26

31 8

h o ofdstuk 7

Cirkelbewegingen

319