Rekenen is een menselijke activiteit die niet los staat van de realiteit. Daarom bieden wij in deze methode Rekenen, een hele opgave rekenactiviteiten aan die betrekking hebben op verschijnselen in de wereld om ons heen.
Op de website www.rekeneneenheleopgave.nl zijn voor beide delen toetsen en strategiekaarten opgenomen, waar in het boek naar verwezen wordt. Dit boek is uitermate geschikt voor leerkrachten (in opleiding), remedial teachers en anderen die kinderen in hun rekenontwikkeling willen ondersteunen. Maar ook voor de groep rekenspecialisten en docenten in het voortgezet onderwijs, die rekenen als vak gaan onderwijzen, is dit boek een verrijking.
Deel 1
Joep van Vugt en Anneke Wรถsten
In het tweede deel, dat een vervolg is op dit deel, komen moeilijker zaken aan de orde (zoals getallen boven de 100) en is er aandacht voor het begrip dyscalculie, dat een steeds belangrijkere rol in het onderwijs speelt.
Rekenen: een hele opgave
Deel 1
In dit eerste deel krijgt het rekenen van jonge kinderen alle aandacht, samen met het rekenen tot 100, het signaleren en diagnosticeren van rekenproblemen en de behandeling ervan. Actuele ontwikkelingen als het verschenen protocol ERWD en de publicaties van de commissie Meijerink zijn verwerkt in deze herziening. Relevante onderdelen van de kennisbasis zijn gedekt.
R Rekenen
Deel 1
R Rekenen: een hele opgave
Rekenen: een hele opgave
Joep van Vugt en Anneke Wรถsten
136 Omslag Rekenen een hele opgave, deel 1.indd 1
22-05-13 08:57
Rekenen: een hele opgave Deel 1
Joep van Vugt en Anneke Wรถsten
136 Titelpagina Rekenen een hele opgave, deel 1.indd 1
22-05-13 09:48
COLOFON
Over ThiemeMeulenhoff
redactie Bataille Tekst Etc., Utrecht
ThiemeMeulenhoff is dé educatieve mediaspecialist en levert educatieve oplossingen voor het Primair Onderwijs, Voortgezet Onderwijs, Middelbaar Beroepsonderwijs en Hoger Onderwijs. Deze oplossingen worden ontwikkeld in nauwe samenwerking met de onderwijsmarkt en dragen bij aan verbeterde leeropbrengsten en individuele talentontwikkeling.
art direction Ineke de Graaff, Amsterdam opmaak binnenwerk Imago Mediabuilders, Amersfoort
ThiemeMeulenhoff haalt het beste uit élke student. ontwerp omslag en binnenwerk Studio Fraaj, Rotterdam beeld omslag Bade creatieve communicatie, Baarn
Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze educatieve oplossingen: www.thiememeulenhoff.nl of via de Klantenservice 088 800 20 16
illustraties hoofdstukopeningen Cor den Dulk
ISBN 978 90 06 95530 9 Tweede druk, eerste oplage, 2013
overige illustraties Georgien Overwater Richard Flohr
© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2013 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
Deze uitgave is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw voor het gebruikte papier op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.
Inhoud Woord vooraf 9 1 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.5 1.5.1 1.5.2 1.6 1.7 1.8 1.8.1 1.8.2 1.8.3 1.9 1.9.1 1.9.2
Algemene theorie van het rekenonderwijs 12 De rekendidactiek 12 Realistisch rekenen 14 Modellen en schema’s 15 Reflectie 15 Discussie 16 Interactie 16 Voorbereidend, aanvankelijk en voortgezet rekenen 16 Voorbereidend rekenen (ontluikende gecijferdheid) 17 Aanvankelijk rekenen 17 Voortgezet rekenen 17 Rekentaal 20 Contexten 20 Thuistaal versus schooltaal 21 Symbolen 21 Redeneren 22 Woordenschat 22 Anderstaligheid 23 Tweetaligheid 23 Rekenervaringen 24 Rekenproblemen 25 Rekenzorg 27 Handelingen 35 Zes eigenschappen van een handeling 36 Drie niveaus bij het leren van denkhandelingen 39 Oriëntatie 41 Instructie 42 Instructiemodel van Gelderblom 43 Directe instructiemodel 44
2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5 2.5.6 2.5.7 2.5.8 2.5.9 2.5.10 2.5.11 2.5.12 2.5.13 2.5.14 2.5.15 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4
Opsporen van rekenproblemen 51 Hoe herken je rekenproblemen (signaleren)? 51 Signaleren tijdens instructie en verwerking 52 Afstemmen van instructie 53 Kwaliteit van instructie 54 Toetsen 56 Methodegebonden toetsen 56 Niet-methodegebonden toetsen 56 Niet-genormeerde niet-methodegebonden toetsen 58 Afname van toetsen 60 Foutenanalyse 60 Kijkwijzers 62 De teller 62 De onzekere rekenaar 63 De niet tot automatiseren komende rekenaar 63 De slordige, onnauwkeurige rekenaar 64 De rekenaar die veel denkfouten maakt 64 Het probleem nader in kaart gebracht (diagnosticeren) 65 Leerlijnen 66 Strategieën 67 Het diagnostisch gesprek 72 Observeren 72 Observatiemoment 73 Observeren van handelingen 73 Verborgen handelingen 74 Observeren van strategieën 74 Observeren van aandacht 75 Vragen stellen 75 Open en gesloten vragen 76 Doorvragen 77 Suggestieve vragen 77 Variëren van opgaven 78 Hulp bieden 79 Vormen van hulp 79 Beheersen van opgaven en handelingen 86 Conclusies trekken 87 Hoe bied je hulp (handelingsplanning)? 88 Doelstellingen 89 Materialen en leerinhouden 90 Instructie 91 Het handelingsplan 92 Algemeen deel van het handelingsplan 93 Specifiek deel van het handelingsplan 93 Betrokkenheid 94 Evalueren 94
3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.7 3.7.1 3.7.2 3.8 3.8.1 3.8.2 3.8.3
Voorbereidend rekenen 95 Voorschoolse ontwikkeling 96 Kleine hoeveelheden herkennen 96 Akoestisch tellen 97 Asynchroon en synchroon tellen 97 Resultatief tellen 97 Representeren van getallen 97 Vergelijken 98 Observatielijst ontluikende gecijferdheid 98 Voorbereidend rekenen in de kleutergroepen 99 Betekenisvolle situaties en uitdagende leermomenten 99 Spontane en geplande leermomenten 101 Getalbegrip 102 Vergelijken 102 Telwoorden gebruiken 103 ClassiďŹ ceren, seriĂŤren en correspondentie leggen 103 Samenhang tussen verschillende vaardigheden 103 Synchroon tellen, resultatief tellen en verkort tellen 103 Leerdoelen 104 Leerlijnen TAL-team 104 Belang van tellen 105 Omgaan met verschillende ontwikkelingsniveaus tijdens de rekenles 108 Van concreet naar meer formeel 108 Verschillen tussen kinderen 108 Kleuters met rekenproblemen 110 Betrokkenheid 110 Informatieverwerking 110 Uitval op verschillende aspecten 111 Hoe herken je problemen (signaleren)? 111 Leerlingvolgsystemen 111 Landelijk genormeerde toetsen 112 Analyse van een toets 113 Diagnosticeren 114 Richtlijnen voor observatie van kleuters 114 Toetsen als uitgangspunt voor diagnostisch gesprek 116 Hulp bieden 117 Keuze van de leerstof 118 RemediĂŤrend materiaal 119 De computer als hulpmiddel 120
4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.1.7 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5 4.6.6 4.6.7 4.7 4.7.1 4.7.2 4.7.3 4.7.4 4.7.5 4.7.6 4.7.7
Aanvankelijk rekenen 122 Rekenen tot 20 123 Handelend rekenen 123 Tellen en getallenlijn 126 Getalbeelden 127 Splitsen 131 Automatiseren 132 Memoriseren 132 De betekenis van de symbolen +, – en = 134 Leerdoelen 135 Omgaan met verschillende rekenniveaus in de groep 137 Basisstof, extra stof en herhalingsstof 138 Voorinstructie en verlengde instructie 138 Differentiatie naar hoeveelheid 138 Tempodifferentiatie 139 Verschillende eisen aan beheersing leerstof 139 CoÜperatief leren 139 Klassenorganisatie 139 Problemen tijdens aanvankelijk rekenen 142 Leren memoriseren 143 Leren structureren; het actualiseren van de voorkennis 144 Gebruik van de juiste strategie 144 Hoe herken je problemen (signaleren en analyseren)? 145 Signaleren en analyseren tijdens de rekenles 145 Analyse van gemaakt werk 145 Signaleringstoetsen 146 Methode- en niet-methodegebonden toetsen 146 Diagnostiek 148 Diagnostisch gesprek 150 Kwaliteit van handelingen 151 Toetsen 153 Optellen tot 10 154 Aftellen tot 10 159 Overbruggen van het tiental (optellen) 160 Overbruggen van het tiental (aftellen) 162 Hulp bieden 164 Hulp vanuit de methode 164 Algemene aanwijzingen voor hulp bij tellen: Met sprongen vooruit 165 Algemene aanwijzingen voor hulp bij rekenen: manipulerend bezig zijn 166 Automatiseringsprogramma’s voor sommen tot 10 167 Aandachtspunten bij automatiseren en memoriseren 168 Algemene aanwijzingen voor hulp bij rekenen 170 De computer als hulpmiddel 171
5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.5 5.5.1 5.5.2
Voortgezet rekenen 174 Rekenen tot 100 174 Leerdoelen en uitbreiding 175 Hoe herken je problemen (signaleren)? 178 Diagnostiek 181 Optellen tot 100 181 Aftellen tot 100 184 Vermenigvuldigen 186 Delen 195 Hulp bieden 200 Hulp bij rekenen tot 100 202 RemediĂŤrende materialen 204
Literatuur 205 Over de auteurs 210 Register 211
Binnen het onderwijs zullen er altijd kinderen zijn met rekenproblemen. Het hangt van het gegeven onderwijs en de gegeven hulp af, in hoeverre deze kinderen daar veel hinder van ondervinden. Wie oog heeft voor de verschillen tussen kinderen, zal proberen het onderwijs af te stemmen op het ontwikkelingsniveau en de instructiebehoefte van het individuele kind. Hierdoor krijgt elk kind de kans zich op zijn eigen manier competent te voelen, zich te ontwikkelen en zijn kennis en vaardigheden te vergroten. Dit boek is bedoeld als handboek voor leerkrachten (in opleiding), remedial teachers en anderen die kinderen willen ondersteunen bij hun rekenontwikkeling. Daarbij hebben we het individuele kind in beeld en niet de groep waarin een kind zit. We leggen ook de nadruk op het optimaliseren van het onderwijs voor het individuele kind. Deel 1 van Rekenen: een hele opgave is zowel een leidraad bij het voorkomen en signaleren van rekenproblemen als een hulpmiddel bij het diagnosticeren en het geven van hulp aan kinderen met rekenproblemen. Daarom biedt het boek naast een theoretische basis vooral veel praktische richtlijnen en adviezen. In de eerste twee hoofdstukken gaan we uitgebreid in op algemene theorieĂŤn over het huidige rekenonderwijs, op problemen die kinderen kunnen ondervinden bij (leren) rekenen en op mogelijkheden tot diagnostisering van deze problemen. De volgende drie hoofdstukken zijn meer gericht op de praktijk van respectievelijk rekenonderwijs bij kleuters, aanvankelijk rekenen en voortgezet rekenen tot 100. Elk hoofdstuk begint met een beknopte beschrijving van de reguliere ontwikkeling, waarna we uitgebreider ingaan op de vraag, wat een leerkracht kan doen met kinderen bij wie deze ontwikkeling stagneert. We hebben ons bewust beperkt tot getallen en bewerkingen; vaardigheden die in de praktijk het grootste deel van het rekenonderwijs innemen en op zichzelf al een breed onderwerp vormen. Tijd, geld en meten hebben we buiten be-
9
schouwing gelaten. Deze onderwerpen komen in deel 2 van Rekenen: een hele opgave aan bod. In het gepresenteerde onderzoeksmateriaal hebben we informatie uit de Kwantiwijzer voor leerkrachten (Van den Berg et al., 1992) soms letterlijk, vaak geparafraseerd en herhaaldelijk naar de intentie opgenomen. Het grootste deel van dit materiaal is ook te vinden en downloaden op de website bij dit boek: www.rekeneneenheleopgave.nl. Daar vindt u ook gebruiksmaterialen en achtergrondinformatie. In deze tweede druk hebben we uiteraard ook recente ontwikkelingen opgenomen, waarbij het Protocol Ernstige RekenWiskundeproblemen en Dyscalculie BaO/SBO/SO (Van Groenestijn et al., 2011) een leidende rol speelt. Ongetwijfeld geven andere boeken een veel uitvoeriger beschrijving van (delen van) de rekenontwikkeling bij kinderen. Ook zijn er diverse uitgebreidere materialen op de markt voor de remediëring van rekenproblemen. In dit boek hebben wij theorie en praktisch materiaal overzichtelijk bij elkaar gebracht. De afgelopen jaren hebben ons verschillende reacties bereikt naar aanleiding van de eerste druk van Rekenen: een hele opgave uit 2004. In deze nieuwe versie hebben we zoveel mogelijk van deze reacties verwerkt.
Joep van Vugt Anneke Wösten ’s-Hertogenbosch / Utrecht, voorjaar 2013
10
Voor alle kinderen die rekenen soms erg ingewikkeld vinden, en alle leerkrachten die alles uit de kast halen om deze kinderen te helpen.
De symbolen × en : In plaats van de symbolen × en : prefereren wij de symbolen * en /. Zoals in 8 * 7 = 56 en 54 / 9 = 6. Het is eigenlijk vreemd dat we bij rekenen × en : gebruiken, terwijl we in de toepassing de symbolen * en / gebruiken, zoals in computerprogramma’s als Excel, bij rekenmachines en op het (rechtergedeelte van het) toetsenbord. Het gebruik van / bij delen heeft daarnaast als voordeel dat de relatie tussen delen en breuken meteen vanaf het begin aanwezig is. 6 / 2 = 3, zoals ook 6 halven samen 3 delen zijn. En bij 1 / 3 krijgt ieder een derde. Maar omdat het gebruik van de symbolen × en : in de rekenmethoden gangbaar is, sluiten we ons hier in dit boek bij aan. Beide notaties komen dan voor in het boek.
11
Na een korte historische schets zetten we in dit eerste hoofdstuk een aantal begrippen op een rij. We gaan vervolgens in op de relatie tussen taal en rekenen, en vooral op de rol die taal speelt in de ontwikkeling van het rekenen. Ook gaan we na hoe je rekenproblemen kunt voorkomen door de inzet van diagnostisch onderwijs, het directe instructiemodel en handelingsgericht werken. Dit hoofdstuk kan veel herkenning oproepen, vooral bij lezers die recentelijk de lerarenopleiding volgden en daarin kennismaakten met de didactiek van het realistisch rekenen. Zij kunnen de in dit hoofdstuk gegeven informatie beschouwen als een opfrisser.
1.1 De rekendidactiek Als we de vele onderzoeken mogen geloven, lijkt er door de jaren heen veel veranderd te zijn in de rekendidactiek. Een blik in een groep aan het begin van de negentiende eeuw lijkt echter in sommige opzichten veel op wat we in het onderwijs van vandaag aantreffen:
12
Bron: De Moor, 1999, p. 24.
De ontwikkelingen in het hedendaagse rekenonderwijs zijn terug te voeren naar de renaissance en volgen elkaar pas na 1970 snel op. De eerste helft van de jaren zeventig van de vorige eeuw kende twee benaderingen in de rekendidactiek en -methodiek: een wiskundige, gericht op inzicht in wiskundige structuren, en een meer traditionele, gericht op de vaardigheden die het mechanistisch rekenen voor ogen heeft. Vanaf 1975 zien we dat een meer realistische rekentraditie ontstaat, naast een meer mechanistische rekentraditie, waarin rekenen bestaat uit het niet-inzichtelijk oefenen. Dit gebeurt onder invloed van het Instituut Onderzoek Wiskunde Onderwijs (IOWO), afdeling Wiskobas van de Universiteit Utrecht. Deze traditie lijkt zich inmiddels verspreid te hebben over het gehele onderwijs. Hoewel we op het moment van schrijven van dit boek (begin 2013) ook zien dat het onderwijs weer teruggrijpt naar het traditionele rekenen. Dit is wellicht ingegeven door allerlei onderwijsstatistieken en artikelen in landelijke dagbladen die laten zien dat ons rekenonderwijs devalueert. In deze traditionele aanpak kiest men voor systematisch opgebouwde oefeningen van standaardrekenregels voor op- en aftellen, vermenigvuldigen en delen. Al doende gaat een kind begrijpen waarom die rekenregels altijd tot het goede antwoord leiden, krijgt het goed inzicht in het decimale getallenstelsel en ontwikkelt het een groot zelfvertrouwen. Ook besteedt men aandacht aan realistische opgaven en oefenen de kinderen intensief met alle typen vragen uit de Citotoets. Men veronderstelt dat een kind op basis van verworven inzicht in het rekenen met hele getallen, kommagetallen en breuken, snel ziet hoe het een som ‘handiger’ kan uitrekenen. Dit biedt dan weer grote voordelen bij de ‘handig rekenen’-vragen uit de Citotoets. Vanuit de traditionele rekenaanpak geeft men aan dat een kind weet dat het élke som kan uitrekenen met de standaardrekenmethoden. Hierdoor ontstaat veel zelfvertrouwen bij het kind en worden de Citovragen eenvoudiger. Deze standaardrekenregels – die je goed moet begrijpen en kunnen toepassen – kun je vervolgens in het vervolgonderwijs gebruiken bij het ‘rekenen met letters’. Je oefent eerst veel eenvoudige en gelijksoortige opgaven om routine op te bouwen. Daarna pas je de verworven kennis toe in eenvoudige contexten. Hierna volgt herhaling en pas dan ga je aan het werk met complexere opgaven en toepassingen. Deze werkwijze is ook sterk gebaseerd op het me-
1 Algemene theorie van het rekenonderwijs
‘De kinderen deden allen hun eigen werkjes en de meester riep ze om beurten bij zich om ze te overhoren. Het opzeggen van letters, cijfers, stukjes tekst, catechismus, alles werd van buiten geleerd. Het schijnt in veel van die scholen zo’n chaos geweest te zijn dat je aan het geschreeuw al van verre kon horen waar de school stond. Niet alleen om een betere orde in de scholen te bewerkstellen, maar ook om het feitelijk onderwijs efficiënter te laten verlopen, heeft de overheid toen het klassikaal systeem ingevoerd. Tegelijk ook werd een soort onderwijs gepropageerd dat zich meer op de ontwikkeling van de verstandelijke vermogens moest richten.’
13
moriseren van rekenfeiten (bijvoorbeeld de tafelproducten). Het automatiseren van rekenrecepten (bijvoorbeeld optellen onder elkaar) gebeurt geleidelijk (Van de Craats, 1995). Ons inziens hoeven de traditionele en meer realistische aanpak elkaar niet te bijten. Wij vinden het belangrijk dat (leren) rekenen plaatsvindt in de werkelijkheid. Dat men vanuit concrete situaties naar een steeds hogere mate van abstractie komt, tot op formeel niveau. Als kinderen vastlopen, kan de leerkracht overstappen op een meer sturende instructie. Ongeacht welke didactiek men kiest, het kunnen toepassen van kennis in reële situaties blijft een aandachtspunt. Waarbij een reële situatie meer omvat dan het kunnen maken van Cito-opgaven alleen. Het Protocol Ernstige RekenWiskundeproblemen en Dyscalculie BaO/SBO/SO (ERWD) gaat ervan uit dat het ‘begrijpen van rekenwiskundige concepten het fundament is van een goede rekenwiskundige ontwikkeling’ (Van Groenestijn et al., 2011, p. 32) en dat kinderen leren rekenen binnen betekenisvolle contexten: ‘Contexten helpen leerlingen om betekenis te verlenen aan het abstracte rekenen’ (Van Groenestijn et al., 2011, p. 48). In het dagelijks leven krijgen rekenfeiten pas betekenis in een functionele situatie: 5 krijgt pas betekenis als je de 5 voorziet van een realiteit: 5 euro’s, 5 rode auto’s of 5 bossen rozen (hoe abstract is een 5 op je rapport; wat zegt die over je kwaliteiten?). Het getal zelf is een abstractie die pas in een reële context betekenis krijgt. De rekenontwikkeling doorloopt een proces, van informeel handelen via perceptueel handelen (door middel van voorstellen en schematiseren) naar formeel handelen. In dit handelen ontwikkelen kinderen eigen oplossingsprocedures, door zelf ‘actief, productief en constructief’ te werken (Van Groenestijn et al., 2011, p. 48) met basisbewerkingen en algoritmes (een reeks instructies om vanaf een beginpunt een bepaald doel te bereiken). Ook hier blijft de toepassing van de basisbewerkingen en algoritmes in het dagelijks leven, maar ook in ‘verhaaltjessommen’, een vaardigheid waar men binnen het onderwijs specifiek aandacht aan moet besteden.
1.2 Realistisch rekenen Realistisch rekenen vindt plaats op basis van de zogenoemde reconstructiedidactiek: je zet kinderen aan tot het zelf ontdekken en zich eigen maken van bestaande rekenkundige kennis. Dit in tegenstelling tot de reproductiedidactiek, waarin kinderen leren rekenen door voor- en nadoen. Bij de vorming van rekenbegrippen en de toepassing ervan maak je gebruik van de betekenisvolle realiteit van kinderen. Je werkt vanuit contexten. Bij rekenen gaat het om het verwerven van inzicht en een actieve inbreng van kinderen. Ook onderwerpen als grafieken, statistiek en meetkunde krijgen een plaats. Hierdoor ontstaat houvast bij het inoefenen van kale sommen. Bovendien vindt de toepassing
14
uiteindelijk toch in de realiteit plaats. Contextopgaven hebben een wezenlijke betekenis: de contexten hebben te maken met de ervarings- en belevingswereld van kinderen (de alledaagse of fantasiewerkelijkheid). De kinderen construeren zelf de rekenwerkelijkheid die nodig is om de problemen die zich in een situatie voordoen het hoofd te bieden, al dan niet onder (bege)leiding van hun leerkracht.
Een belangrijk onderdeel van het realistisch rekenen is het gebruik van modellen en schema’s die een brug slaan van het reële contextprobleem naar de rekentaal met abstracte symbolen. Modellen zijn instrumenten om de werkelijkheid te ordenen en te structureren (plattegrond, honderdveld, tabellen, papieren abacus, bus- en roostermodel). Daarnaast maken we gebruik van structuurmateriaal met de tien- of de vijfstructuur (rekenrek en getallenlijn). Kinderen bedenken zelf oplossingsprocedures voor een probleem. Inzichtelijk rekenen neemt de plaats in van trucmatig cijferen: het hoe en waarom van de receptmatige handeling staat voorop. Vanuit de oriëntatie op en de uitvoering van een concrete handeling komt een kind via schematisering tot ‘het product’ (progressieve schematisering).
1.2.2 Reflectie Realistisch rekenen nodigt uit tot reflectie. Reflectie bevordert het leren; louter en alleen handelen leidt nauwelijks tot leereffecten. Door oplossingsprocedures en -resultaten met elkaar te vergelijken, krijgen kinderen meer inzicht in hun eigen handelen en vergroten ze hun kennis en vaardigheden. Als kleuters bijvoorbeeld kralen rijgen en ze niet even stilstaan bij het handelen zelf – bij wat ze doen – leren ze niet dat het handig is om goed op de patronen te letten. Reflecteren is nodig om samen te komen tot een aanpakstrategie. Het realistisch rekenonderwijs benadert de gehanteerde begrippen op een veelzijdige wijze, ervan uitgaande dat een begrip meestal diverse kanten heeft. Zo is een breuk bijvoorbeeld een verdeelopdracht en het resultaat van verdelen. Maar een breuk is ook een verhouding, een kans, een vergrotingsfactor, een meetresultaat, een punt op de getallenlijn en een rekengetal. Een ander voorbeeld is het getalbegrip dat gebaseerd is op de gedachte dat je aan een getal een aantal-, volgorde-, meet- en rekenaspect kunt onderscheiden. Tijdens reflectiemomenten vergelijken kinderen hun oplossingswijze met elkaar en bespreken ze de kwaliteit ervan. Ze gaan daarbij vooral na, welke van de gebruikte strategieën te verkorten zijn en daarmee het predicaat ‘handig rekenen’ krijgen. Realistisch rekenen vraagt er ook om dat kinderen zelf opgaven bedenken. Hierdoor gaan kinderen reflecteren op het eigen leerproces. Bovendien leidt dit soort opdrachten tot een grotere betrokkenheid.
1 Algemene theorie van het rekenonderwijs
1.2.1 Modellen en schema’s
15
1.2.3 Discussie Tijdens realistisch rekenen discussiĂŤren kinderen over oplossingen, oplossingsaanpakken (processen) en zelfs over betekenissen. Binnen het realistisch rekenonderwijs staat interactie centraal: er is sprake van een actieve inbreng van de kinderen, overleg, samenwerking, discussie en nabespreking. Interactie vraagt om overtuigingskracht, waarvoor goede argumenten en heldere redeneringen de basis vormen. Maar het vraagt ook en vooral om inleving in en bespreking van elkaars oplossingswijzen, zodat beide zich gezamenlijk ontwikkelen en een hoger niveau bereiken. In de mechanistische traditie was de leerkracht de expert (autoriteit) op het gebied van de leerstof en ging men ervan uit dat kinderen alles nog moesten leren.
1.2.4 Interactie Kinderen rekenen op verschillende wijzen. Gebruik van goed structuurmateriaal laat een exibele aanpak toe. Leren rekenen gebeurt ook in interactie met anderen. Door interactie leer je je denken en handelen te verwoorden, leer je te praten over rekenhandelingen. Samen met anderen zoek je steeds handigere oplossingen en ontwikkel je denkschema’s. Je denkt mee met elkaars oplossingen, probeert mee te gaan in elkaars denkspoor om zo een niveauverhoging te realiseren in het denken van alle betrokkenen. Naast samenwerking vormt ook individueel werken een basis voor het didactisch handelen van de leerkracht. Gevarieerd oefenen (automatiseren en memoriseren) staat centraal. Je leert tafels niet door de rijtjes op te zeggen, maar door te werken met steun- of ankerpunten die je in een 100-veld inkleurt, puzzels, tafelspelletjes, tabellen, cijferraadsels, doolhoven, enzovoort. Er is aandacht voor directe toepassingen: gevarieerd oefenen, beoefenen (in de fase van het automatiseren) of gericht inoefenen. Het gaat erom dat kinderen vlot en goed kunnen omgaan met rekenopgaven, op basis van inzicht en begrip. Tot slot van deze paragraaf merken we op dat realistisch rekenen een duidelijke structuur vertoont en een grote samenhang kent met andere leerstofonderdelen. Door de structuur kun je dingen gemakkelijker onthouden dan in een situatie waarin je louter losse feiten leert.
1.3 Voorbereidend, aanvankelijk en voortgezet rekenen In deze paragraaf bespreken we het onderscheid tussen voorbereidend, aanvankelijk en voortgezet rekenen.
16
1.3.1 Voorbereidend rekenen (ontluikende gecijferdheid)
1.3.2 Aanvankelijk rekenen Aanvankelijk rekenen sluit aan op voorbereidend rekenen. Het richt zich op de beheersing van de basisvaardigheden op- en aftellen, vermenigvuldigen en delen. Aanvankelijk rekenen houdt zich vooral bezig met op- en aftellen tot 20, overbruggen van het tiental, verkennen van het rekenkundig begrip ‘is gelijk aan’ (één-één-relatie), tellen met grotere sprongen op de getallenlijn (2 en meer) en ontdekken van regelmatigheden hierin, herhaald op- en aftellen, verkennen van de getallenrij tot 100, exploreren van eenheden en tientallen en verkennen van eenvoudige meet-, tijd- en geldbegrippen. Vanaf groep 3 leren kinderen eerder opgedane ervaringen beschrijven in een formele symbolentaal. Tijdens het aanvankelijk rekenen leg je voortdurend een relatie tussen eigen ervaringen en de formele rekentaal. Het is dan belangrijk dat de leerkracht kinderen regelmatig in staat stelt een rijk scala aan ervaringen op te doen, ze te laten spelen of experimenteren, hun ervaringen te verrijken. Een overhaaste start met het aanvankelijk en intentioneel – doelgericht, door de leerkracht gestuurde – rekenonderwijs belemmert de ontwikkeling.
1 Algemene theorie van het rekenonderwijs
Voorbereidend rekenen richt zich op het verwerven van getalbegrip, classificeren, heen-en-terugtellen tot 20, verkennen van rekenkundige begrippen (veel, weinig, meer, minder, enzovoort), leren van basisvaardigheden voor meten (vormen, eigenschappen, vergelijken, ordenen), meten en tijd (tijdsverloop, synchroniteit, enzovoort) en operaties (erbij doen, samenvoegen, weghalen, telkens wegnemen). Het is hierbij niet noodzakelijk dat een kind deze rekenactiviteiten direct met volledig begrip van hoeveelheid kan uitvoeren en kwantificeren. Voorbereidend rekenen speelt zich vooral af in groep 1 en 2 van het basisonderwijs en gaat geleidelijk over in het aanvankelijk rekenonderwijs. Voorbereidend rekenen vormt de basis van alle rekenen. Veel rekenproblemen zijn terug te voeren op onvoldoende ontwikkelde voorbereidende rekenvaardigheden (Geary, 1990; Van Luit, 1987). ‘Ongeveer een kwart van de kinderen halverwege groep 2 blijkt voorbereidende rekenvaardigheden, zoals classificeren, seriëren, corresponderen, maar ook telvaardigheden, zoals het synchroon en het resultatief tellen, niet of niet juist toe te passen. Halverwege geldt dat nog altijd voor ruim 10% van de kinderen’ (Van de Rijt et al., 1995, p. 219233).
1.3.3 Voortgezet rekenen In groep 4 gaat aanvankelijk rekenen over in voortgezet rekenen. Voortgezet rekenen richt zich vooral op rekenen boven 20. Doel hiervan is het verwerven van de benodigde vaardigheden voor cijferen, verhoudingen en procenten, breuken en kommagetallen, meten en meetkunde. Het gaat hierbij om een
17
uitbreiding met nieuwe onderwerpen en om een verdieping van de basisvaardigheden. In deel 2 van Rekenen: een hele opgave (Van Vugt en WĂśsten, 2011) komen deze thema’s uitgebreid aan de orde. In de voorbije jaren is veel nationaal en internationaal onderzoek uitgevoerd naar de kwaliteit van het Nederlandse reken- en wiskundeonderwijs. Op grond van deze onderzoeken mag je concluderen dat er (over de gehele breedte genomen) geen reden is om aan te nemen dat de kwaliteit van het Nederlandse reken- en wiskundeonderwijs beneden de maat is. Iets wat je van een ontwikkeld land ook niet zou mogen verwachten. Het onderwijs in rekenen en wiskunde wil kennis, inzicht en vaardigheden ontwikkelen. Hierin is een drietal componenten te onderscheiden (Meijerink et al., 2008): 1 Paraat hebben van feiten en begrippen, routines, technieken, vaardigheden. 2 Functioneel gebruiken en toepassen van kennis binnen en buiten school. 3 Weten waarom, begrijpen en verklaren van concepten en methoden, formaliseren, abstraheren en generaliseren, blijk geven van overzicht. Eenmaal verworven basiskennis en vaardigheden moet je natuurlijk onderhouden, zodat ze beschikbaar blijven voor functioneel gebruik of voor verdere verbreding of verdieping van je begrippenkader. Meijerink et al. (2008) tonen aan dat de leerlijnen rekenen en wiskunde die in het primair onderwijs zijn aangebracht, stoppen als kinderen naar het voortgezet en middelbaar beroepsonderwijs gaan. Daarom hebben Meijerink et al. (2008) referentieniveaus vastgesteld, die zijn gebaseerd op de drie componenten paraat hebben, functioneel gebruiken en weten waarom. Deze referentieniveaus zijn beschreven in vier subdomeinen (samenhangende netwerken van rekenfeiten, begrippen en rekenoperaties): Getallen, Verhoudingen, Meten en Meetkunde en Verbanden. De referentieniveaus beschrijven de gewenste opbrengsten van onderwijs in termen van wat kinderen moeten kennen en kunnen, waarbij men onderscheid maakt tussen typen kennis en vaardigheden met bijpassende beheersingsniveaus (ďŹ guur 1.1). De referentieniveaus zijn beschreven voor de leeftijden twaalf, zestien en omstreeks achttien jaar. Ze bestaan ieder uit vier niveaus waarin we twee kwaliteiten onderscheiden: een fundamentele kwaliteit (1F, 2F en 3F) en een streefkwaliteit (1S, 2S en 3S). Tussen de niveaus in het referentiekader is sprake van overgangen (drempels): cesuren in de ontwikkeling van kinderen die ontstaan door overstappen die kinderen maken binnen het onderwijssysteem. De streefkwaliteit is de eerstvolgende fundamentele kwaliteit in het referentiekader. Een fundamentele kwaliteit is het niveau van een vaardigheid zoals ten minste 75% van de kinderen die nu waarschijnlijk beheerst.
18
Naast de toetsbare componenten kennis en vaardigheden zijn er ook andere aspecten van belang in goed onderwijs: ■ leren reflecteren op eigen kennis en aanpak; ■ ontwikkelen van zelfvertrouwen en van een positieve houding ten aanzien van het leren van rekenen en wiskunde. Op de basisschool houdt het onderwijs zich vooral bezig met de subdomeinen Getallen en Meten en Meetkunde. Het basisonderwijs maakt een begin met de opbouw van het subdomein Verhoudingen en biedt mogelijk een eerste aanzet voor het subdomein Verbanden (bestuderen van grafieken en diagrammen en ontdekken en voortzetten van een regelmaat in patronen van stippen of blokjes of van getalpatronen of het generaliseren naar een woordformule (informele algebra)). In het subdomein Getallen gaat het om drie soorten getallen (geheel, decimaal, breuken), om de operaties op- en aftellen, vermenigvuldigen en delen en om het gebruiken van getallen in praktische situaties. Al vanaf 2006 bestaan voor het basisonderwijs de volgende kerndoelen voor het domein Getallen: ■ Doorzien van de structuur van en samenhang tussen aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen en er in praktische situaties mee rekenen. ■ Uit het hoofd uitvoeren van basisbewerkingen met gehele getallen tot 100 en snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij op- en aftellen tot 20 en de tafels van vermenigvuldiging van buiten gekend zijn (gememoriseerd). ■ Schattend kunnen tellen en rekenen. ■ Handig kunnen op- en aftellen, vermenigvuldigen en delen. ■ Schriftelijk kunnen op- en aftellen, vermenigvuldigen en delen volgens meer of minder verkorte standaardprocedures. ■ De rekenmachine met inzicht kunnen gebruiken.
1 Algemene theorie van het rekenonderwijs
1.1 Referentieniveaus rekenonderwijs. (Bron: Bron: Meijerink et al., 2008.)
19
In deel 2 van Rekenen: een hele opgave (Van Vugt en Wösten, 2011) gaan we hierop verder in, omdat het in dat deel van een grotere relevantie is.
1.4 Rekentaal Taal speelt een belangrijke rol bij het leren rekenen. Rekenen is een eigen manier van uitdrukken, een eigen taal. Rekenen kun je dan ook zien als het leren van een tweede (of derde) taal. Tijdens het rekenen komen kinderen in aanraking met een nieuwe manier van uitdrukken. Ze leren de formele uitdrukkingswijze te gebruiken die bij rekenen hoort. De rekentaal heeft eigen termen en uitdrukkingen, eigen regels en symbolen en is een andere taal dan de spreek- en schrijftaal. Rekenen vraagt van kinderen dat ze die rekentaal beheersen, dat ze er de realiteit om zich heen mee kunnen ordenen en beschrijven met behulp van verschillende begrippen. De formele taal van het rekenen is voor veel kinderen onbekend. Als kind leer je al jong verschillende algemene hoeveelheidsbegrippen (veel, weinig, alles), relaties tussen hoeveelheidsbegrippen (meer, minder, over, te kort, evenveel) en handelingen met aantallen (wegnemen, nog een pakken, erbij doen). Maar ondanks deze kennis hebben kinderen soms geen idee wat de bedoeling is van in schooltaal geformuleerde rekenopdrachten. Hierbij helpt ons taalgebruik soms ook niet. Vroeger bracht of haalde je geld van een bank. Maar welke bank heeft nog het woord ‘bank’ in zijn naam? En wat doe je als je vader thuis zegt dat hij € 5.000 op de bank heeft staan als hij net een nieuwe bank heeft gekocht waar je lekker op kunt zitten? Daarnaast leer je als kind ook een aantal specifieke termen in versjes en liedjes (‘Heb je wel gehoord van de zeven de zeven?’), namen van concrete hoeveelheden (twee ogen, twee handjes, één koekje – en wat doe je dan met ‘één paar’?) en kwantificeringen van handelingen (ik zeg het maar één keer, ik heb je nu driemaal gewaarschuwd). Het kunnen omzetten van logische relaties in rekentaal en het kunnen afzien van de concrete werkelijkheid, en omgekeerd, de concrete werkelijkheid kunnen vertalen naar abstracties (formaliseren), vereist veel aandacht in het proces van leren rekenen (Ruijssenaars et al., 2006).
1.4.1 Contexten Taalgebruik, betekenis en context hebben alles met elkaar te maken. Er is sprake van betekenisverlening binnen een context. Een goede context staat aan de basis van het leren rekenen en helpt kinderen structuren te ontdekken en richting te geven aan het rekenproces. Zo nodigt de context van de campingbaas die 74 plaatsen heeft waarvan de eerste 67 al gevuld zijn, uit tot verder tellen van 67 naar 74 wanneer je de vraag stelt, hoeveel plekken hij nog vrij heeft. De contexten of verhaaltjessommen waarbij kinderen een opgave uit een tekst moeten destilleren, zoals de opgaven uit de Citotoets, staan juist meer
20
1.4.2 Thuistaal versus schooltaal De rekentaal kent woorden die je ook thuis en op straat gebruikt. Hierdoor is het soms lastig te begrijpen wat iemand precies bedoelt. Als iemand zegt: ‘Je moet een grote vent zijn,’ dan legt hij een (oneigenlijke) verbinding tussen de begrippen ‘groot’, ‘volwassen’ en ‘stoer’, en niet met de lengte, waar het woord ‘groot’ ook betrekking op heeft. Een Marokkaans kind zal een dergelijke zin mogelijk nóg anders interpreteren, omdat ‘moet’ in de eigen taal ‘dood’ of ‘sterf’ betekent (in verwijtende zin), en dat kan toch geenszins de bedoeling zijn van de spreker. Ook zijn er woorden, zowel thuis als op school, die pas betekenis krijgen in een bepaalde context: ‘Je bent groot voor je leeftijd, en toch ben je klein.’ Rekenen is voor kinderen een nieuwe manier van werken met aantallen, met inbegrip van een nieuwe manier van uitdrukken, met nieuwe termen en symbolen. Het probleem voor leerkrachten is hoe zij kinderen kunnen helpen om hun concrete ervaringen met hoeveelheden en aantallen te verbinden met deze nieuwe taal van het rekenen. Woorden als ‘groot’, ‘klein’, ‘ver’ en ‘laat’ hebben op school vaak een speciale en eigen betekenis. Ze zijn verbonden met afspraken in de klas en met materialen. Als je als leerkracht op school alleen in schooltaal denkt en spreekt, dan houd je onvoldoende rekening met de thuistaal.
1 Algemene theorie van het rekenonderwijs
aan het eind van het leerproces. In dit geval moeten kinderen zelf herkennen welke geleerde vaardigheden zij moeten toepassen en is er dan ook sprake van toepassingsopgaven. Tijdens het rekenen proberen we alledaagse situaties te ‘vertalen’ in rekentaal, waarbij we rekening moeten houden met de regels van het rekenen. Zonder context heeft rekentaal geen inhoud. Kinderen leren de rekentaal vanuit veelbetekenende situaties. De betekenis die kinderen aan woorden geven, vormt de basis voor het leren van de rekentaal. Kinderen brengen hun gedachten onder woorden, proberen groepsgenoten en de leerkracht te begrijpen, maken kritische opmerkingen over elkaar en onthouden wat ze leren. Met hulp van de volwassene groeit de omvang van de rekentaal, met name in precisie en rijkdom. De leerkracht vult deze taal aan en leert de kinderen zo de formele rekentaal.
1.4.3 Symbolen Het komt ook voor dat kinderen op school woordbetekenissen leren die je bijna alleen op school gebruikt: ‘Begin maar voor aan de regel,’ of ‘8 is groter dan 4.’ Op school maak je afspraken over het gebruik van symbolen. We kunnen kinderen helpen bij het leren van die symbolentaal, door na te gaan hoe kinderen uit zichzelf aantallen symboliseren nog voordat ze kennismaken met de afspraken die in de rekenles gelden. Een leerkracht gaat echter niet altijd even zorgvuldig na of kinderen de betekenis van symbolen een plaats
21