Newton 5 vwo - hoofdstuk 7

NATUURKUNDE

Inhoud

9.4

9.5

9.6

10 Zonnestelsel

Cirkelbaan

11

Wiskunde

Werken met Newton

1.2 Spanning en stroomsterkte

Starten met het hoofdstuk

• Je start met een Introductie op de onderwerpen in het hoofdstuk.

• Maak online de Startvragen. Met deze vragen verken je de onderwerpen die in het hoofdstuk aan bod komen. Ook fris je op wat je al weet over het onderwerp.

Werken met de paragrafen

• De paragrafen zijn opgebouwd volgens het principe: Ontdekken, Begrijpen en Beheersen

• Bij Begrijpen en Beheersen horen opgaven. Deze opgaven zijn ingedeeld op drie niveaus: Basis ( ), Kern en Pittig ( ). Basis-opgaven helpen je als je het lastig vindt, Kern-opgaven moet je kunnen maken voor een voldoende, Pittig-opgaven vragen van je dat je de stof echt goed begrijpt.

BEGRIJPEN

ONTDEKKEN

• Met behulp van de introductietekst, onderwerpvragen en soms een experiment of werkblad ontdek je waar de paragraaf over gaat.

• De leerdoelen geven aan wat je gaat leren.

BEGRIJPEN

• Alle leerstof wordt in begrijpelijke taal aan je uitgelegd. Belangrijke begrippen herken je aan de blauwe kleur

• Contexten herken je aan de grijze achtergrond. Deze bevatten informatie die verder gaat dan de examenstof.

• De opgaven in Begrijpen helpen je om de leerstof goed te begrijpen voordat je bij Beheersen aan de slag gaat met formules en berekeningen.

• Je kunt deze opgaven ook online maken, zodat je snel kunt nakijken en waar nodig feedback kunt krijgen.

zijn

drie batterijen moeten zó

BEHEERSEN

• De leerstof van Begrijpen wordt verder uitgebreid, zodat je ermee kunt redeneren en rekenen.

• De formules herken je aan de lichtpaarse achtergrond.

• In de voorbeeldopgaven leer je hoe je een opgave op een gestructureerde manier aanpakt.

• De opgaven zijn gericht op redeneren en rekenen. De eindantwoorden van rekenopgaven vind je achter in je boek.

• Met de eerste opgave van Beheersen, de Korte check, controleer je of je de leerstof tot dan toe begrijpt. Met de laatste opgave van Beheersen, de Leerdoelenopgave, kun je bepalen of je de leerdoelen al voldoende beheerst.

batterijen en de lampjes schematisch getekend.

elkaar verbonden worden dat de spanning tussen de pluspool en de minpool van de spanningsbron (de punten P en Q) 4 5 V is. Teken in figuur 66 de verbindingsdraden tussen de batterijen. b Teken in dezelfde figuur hoe de drie lampjes op de punten P en Q van de spanningsbron zijn aangesloten. Drie volle batterijen kunnen in totaal 50 kJ elektrische energie leveren. Als de drie lampjes branden, levert de spanningsbron een stroom 0 028 A Bereken hoeveel uur de koplamp kan branden. Een van de lampjes gaat kapot.

Leg uit of de stroom door de spanningsbron dan kleiner of groter wordt of gelijk blijft. 99 Rijnmondcentrale De elektriciteitscentrale van EPNL bij Rotterdam heeft een gemiddeld vermogen van 410 MW. Een huishouden verbruikt gemiddeld 2600 kWh elektrische energie per jaar.

• Als je nog meer wilt oefenen, dan kan dat online met Verder oefenen.

Verdiepen

• Verdiepen biedt extra uitdaging aan het einde van het hoofdstuk.

• In je boek vind je theorie met opdrachten die dieper op de stof ingaan. Online vind je aanvullende onderzoeks- of ontwerpopdrachten.

• Je kunt kiezen uit meerdere onderwerpen. Kies wat je leuk vindt of wat past bij je toekomstige studierichting.

• De stof van Verdiepen is geen verplichte examenstof. Hij biedt je wel extra inzicht en oefening, die je goed kunt gebruiken voor het examen.

Afsluiten

• Maak een samenvatting van het hoofdstuk om te zorgen dat je de geleerde stof goed onthoudt. Er zijn verschillende manieren om de leerstof voor jezelf samen te vatten. Probeer uit wat het best bij jou past.

• Maak de online zelftoets om je kennis te testen van dit hoofdstuk.

• Vul de online zelfevaluatie in om te reflecteren op hoe het werken met het hoofdstuk ging.

• Maak de eindopgaven om jezelf te testen op (weg naar het) examenniveau.

Wat vind je online?

Alle leerstof die je nodig hebt vind je in dit boek. De leerstof uit het boek is ook online beschikbaar, net zoals de opgaven van Begrijpen. Je krijgt dan direct feedback bij je antwoorden. Online zijn er nog extra onderdelen. In het boek staat dan een verwijzing.

‣ Introductie (met Startvragen)

‣ Per paragraaf:

• Leerdoelen

• Opdrachten (Begrijpen en Verder oefenen)

• Theorie

‣ Zelftoets en evaluatie

‣ Downloads:

• Onderzoeks- en ontwerpopdrachten

• Extra samenvatopdrachten

Verwijzingen in het boek

In het boek tref je verwijzingen aan:

Verwijst naar een onderdeel dat online beschikbaar is.

Verwijst naar een experiment dat op de docentensite beschikbaar is. Je docent bepaalt wanneer en op welke manier je een experiment aangeboden krijgt.

Verwijst naar een werkblad. Dit is een extra opdracht of een activiteit die goed past bij de betreffende leerstof.

7 Muziekinstrumenten

Trillingen en golven

Introductie

Bij dit hoofdstuk hoort ook een opgavenplanner. Vraag je docent of jullie deze gebruiken.

Introductie

De stem van een vriend of vriendin, het gekraak van iemand die chips eet, de mooiste muziek, je hoort het allemaal doordat lucht je trommelvliezen laat trillen.

Bij piano’s, gitaren, violen en andere snaarinstrumenten ontstaat het geluid doordat een snaar in trilling wordt gebracht. Een klankkast versterkt de geluidsgolven (a).

Bij golven op zee wordt een trilling van het wateroppervlak doorgegeven. Maar bij de zee doet zich iets bijzonders voor. Vlak voordat golven de kust bereiken, worden ze hoger en breken ze (b).

Golfbewegingen komen ook voor bij constructies. Ingenieurs die bruggen ontwerpen moeten ervoor zorgen dat het brugdek niet wild gaat schommelen door de wind. Op de plek waar deze brug ligt is lang geleden een brug ingestort door zo’n schommelbeweging (c).

STARTVRAGEN

in de online startvragen verken je de onderwerpen die in dit hoofdstuk aan bod komen.

Ook herhaal je wat je al hebt geleerd over geluid. de online feedback en theorie helpen je om die kennis weer snel bij te spijkeren.

7.1 Geluid, trillingen en zuivere tonen

ONT d E kk EN

Bij een concert staat het geluid vaak hard. Je voelt de lage tonen als een trilling in je hele lichaam. Vooral harde hoge geluiden kunnen pijnlijk zijn voor je oren. Soms is geluid helemaal niet prettig, dan heb je geen zin in alle geluid om je heen. Fijn als je dan een koptelefoon met je eigen muziek hebt. Nog relaxter is het als deze koptelefoon noisecancelling heeft waardoor je de geluiden van buitenaf nauwelijks meer hoort.

Je kunt vast het geluid van een trompet onderscheiden van dat van een elektrische gitaar, ook al is het geluid even hard en is de toonhoogte gelijk. Geluid kan dus hoog of laag zijn, of hard of zacht. Daarnaast heeft geluid nog andere eigenschappen die je kunt horen of met metingen zichtbaar kunt maken.

Experiment 1 Geluidsbronnen trillen

In deze paragraaf leer je over trillingen. Het gaat over de eigenschappen van geluid en van geluidsbronnen zoals muziekinstrumenten. Een gewicht dat aan een veer trilt blijkt een goed model te zijn voor veel trillingsbronnen.

Na deze paragraaf kun je antwoord geven op vragen als:

▸ Hoe kan het dat iemand een glas stuk kan zingen?

▸ Hoe werkt een noisecancelling koptelefoon?

▸ Hoe gaat een pianostemmer te werk?

LEERDOELEN

De volgende leerdoelen staan hierbij centraal:

▸ Je kunt de begrippen amplitude, frequentie, resonantie en zuivere toon toepassen om hoorbare eigenschappen van geluid te verklaren.

▸ Je kunt de amplitude, de periode, de gereduceerde fase en het faseverschil bepalen uit een oscillogram.

▸ Je kunt rekenen en redeneren met periode, frequentie, gereduceerde fase en faseverschil.

▸ Je kunt rekenen en redeneren met de eigentrilling van een massa-veersysteem.

▸ Je kunt rekenen en redeneren met de formules die een harmonische trilling beschrijven en aan de hand van een numeriek model de koppeling leggen met de voorwaarde voor deze harmonische trilling.

BEGRijpEN

Hard en zacht, hoog en laag

Een stemvork blijft een tijdje geluid geven nadat je hem hebt aangeslagen (zie figuur 2).

De benen bewegen dan naar elkaar toe en van elkaar af, zoals weergegeven in figuur 3.

Daardoor wordt de lucht afwisselend naar opzij weggeduwd en ook weer terug ‘gezogen’.

Deze trillingen van de lucht worden met de snelheid van ongeveer 340 m s 1 doorgegeven naar je oor of een microfoon. De toonhoogte van het geluid is gelijk aan de frequentie f, het aantal trillingen per seconde, met als eenheid hertz (Hz = s 1). Hoe hoger de frequentie is, hoe hoger de toon. Vaak staat de frequentie ook in de stemvork gegraveerd, bijvoorbeeld 440 Hz voor de toon a1.

Een stemvork trilt altijd met dezelfde frequentie. De frequentie van deze eigentrilling noem je de eigenfrequentie van de stemvork. Veel gitaristen stemmen hun snaren met behulp van een app. Deze bepaalt met de microfoon van hun telefoon de trillingstijd van een geluid en berekent hiermee de frequentie van de toon.

Een eenmaal aangeslagen stemvork of snaar gaat steeds zachter klinken, maar de toonhoogte blijft gelijk. De maximale uitwijking van de trilling in de stemvork of snaar wordt dan steeds kleiner. De geluidssterkte hangt dus af van de maximale uitwijking, de amplitude, van de trillingen.

Resonantie

Van een stemvork die je in je hand houdt, klinkt het geluid heel zacht. Een stemvork op een klankkast klinkt veel luider. Dan laat de stemvork ook het hout van de klankkast trillen en dat zorgt ervoor dat de lucht in de klankkast mee gaat trillen en versterkt door de opening in de klankkast naar buiten komt. Het meetrillen met een bron heet resonantie. De meeste snaarinstrumenten hebben een klankkast onder of achter de snaren.

Zet twee identieke stemvorken met klankkasten vlak bij elkaar, sla één ervan aan en stop hem vervolgens met je hand. Je hoort dan de andere stemvork nog geluid geven. De andere stemvork is dus (via de lucht) mee gaan trillen, zonder dat je hem hebt aangeslagen. Bij twee verschillende stemvorken treedt geen resonantie op. De frequenties van beide stemvorken moeten hetzelfde zijn om te kunnen resoneren.

Geluid in beeld

Het geluid dat een muziekinstrument maakt kun je ‘zichtbaar’ maken met behulp van een microfoon en een oscilloscoop of een computer. Het beeld van de registratie van een trilling heet een oscillogram. Je kunt dit zien als een u,t-diagram van de trilling, omdat het op elk tijdstip t de uitwijking u van het membraan in de microfoon weergeeft. De uitwijking is in dit geval de afstand van het membraan van de microfoon tot het midden van de beweging. Omdat de microfoon het signaal omzet naar een elektrisch signaal, wordt de uitwijking in een oscillogram meestal gegeven in volt, zoals in figuur 4. Bij beide oscillogrammen in figuur 4 zie je dat het patroon zich telkens herhaalt. De patronen verschillen wel. Het oscillogram van een stemvork (figuur 4a) is een mooie sinuslijn met voor elke trilling één vaste tijdsduur, de periode of trillingstijd (T). Zo’n toon heet een zuivere toon. In figuur 4b zie je een samengestelde toon. Dit zijn in feite meerdere tonen door elkaar. De trillingstijd is hier de periode waarin het patroon zich herhaalt.

Figuur 4 Oscillogram van een zuivere toon (a) en een gitaarsnaar (b)

Een geluidsbron die een zuivere toon geeft, voert een harmonische trilling uit. Dat is een trilling met één frequentie en een sinuslijn als oscillogram. Een zuivere toon kun je ook maken met een toongenerator en een luidspreker. Met de opstelling van figuur 5 kun je horen en zien dat de toonhoogte toeneemt als de periode afneemt. En dat de geluidssterkte toeneemt als de amplitude toeneemt.

Figuur 5 Meten met een toongenerator

Het geluid van een muziekinstrument is zelden een harmonische trilling. De trilling is soms heel complex (figuur 4b). Toch kun je de periode eenvoudig aflezen door te kijken naar de tijd waarin het patroon zich steeds herhaalt.

Je hoort duidelijk verschil tussen de complexe klank van een muziekinstrument en de harmonische toon van een stemvork, ook al hebben ze dezelfde frequentie. Dit is het verschil in klankkleur

Cardiogram

Het hart pompt het bloed rond door je lichaam. De frequentie waarmee dat gebeurt, je hartslag, is afhankelijk van de inspanning die je pleegt.

Het is belangrijk dat de spieren in de verschillende onderdelen van het hart in de juiste volgorde samentrekken en ontspannen. In een cardiogram (figuur 6) kan de arts de elektrische activiteit van de hartspier aflezen.

→

Figuur 6 Cardiogram

PACEMAKER

Bij sommige hartpatiënten wordt het hart ‘elektrisch geholpen’ met een pacemaker. In een pacemaker zit een chip die de amplitude en de duur van elk onderdeel van de hartslag meet. Zo nodig geeft de pacemaker via elektrodes in het hart elektrische prikkels af op de juiste plaatsen, met de juiste frequentie, op de juiste momenten en met de juiste amplitude.

Toonhoogte van een snaar

Bij het stemmen van een snaarinstrument (figuur 7) verander je de toonhoogte door de snaar meer of minder strak te spannen. Hoe groter de spankracht, hoe hoger de frequentie is waarmee de snaar trilt en dus hoe hoger de toon.

Een snaarinstrument, zoals een gitaar of viool, heeft dikke en dunne snaren. Dikke snaren zijn zwaarder dan dunne, waardoor ze minder snel trillen en dus lagere tonen geven.

Massa-veersysteem

Bij een massa-veersysteem gaat een massa die aan een veer is verbonden een harmonische trilling uitvoeren als je de massa uit zijn evenwichtsstand trekt en dan loslaat. Zie figuur 8. Het u,t-diagram is een sinuslijn.

8 Een karretje aan een veer is een massa-veersysteem.

9 Een wipkip is ook een massaveersysteem.

Als de kogel in figuur 10 stil blijft hangen, zijn de veerkracht en de zwaartekracht in evenwicht. Dat is de evenwichtsstand. Als je de kogel een eindje naar beneden trekt (of optilt) en dan loslaat, gaat hij op en neer trillen. Dat noemen we de eigentrilling van het massa-veersysteem.

10 Een massa-veersysteem in beweging

Een grotere massa is moeilijker op gang te brengen en ook moeilijker af te remmen, de frequentie is dan lager. Een stuggere veer zorgt op elk moment voor een grotere versnelling en een grotere vertraging en daardoor voor een hogere frequentie. Een stuggere veer heeft een grotere veerconstante

De periode van de trilling van een harmonisch trillend massa-veersysteem verandert niet als de amplitude verandert.

Gereduceerde fase van een trilling

In de techniek en natuurkunde werken veel apparaten met trillingen, zoals radio’s, lasers en meetinstrumenten. Om zulke systemen goed te laten samenwerken, moeten hun trillingen op elkaar afgestemd zijn. Het aantal trillingen dat een punt, zoals de kogel in figuur 10, heeft gemaakt, geteld vanaf een positieve doorgang door de evenwichtsstand, noem je de fase. Het begrip fase kun je gebruiken om aan te geven hoe trillingen zich tot elkaar verhouden. Omdat een trilling na één fase weer in precies dezelfde toestand is, wordt het aantal hele trillingen weggelaten. Dit noem je de gereduceerde fase φ

In figuur 11 is in een u,t-diagram de gereduceerde fase van een trilling weergegeven. Het is gebruikelijk om de gereduceerde fase als breuk te noteren. Er is geen eenheid.

Figuur 11 Een u,t-diagram met gereduceerde fase op verschillende tijdstippen

Experiment 2 Geluid ‘bekijken’

Experiment 3 Resonantie met twee gelijke stemvorken

ONTHOUDEN

▸ Begrippen: stemvork, frequentie, eigentrilling, eigenfrequentie, uitwijking, amplitude, resonantie, oscillogram, u,t-diagram, periode, zuivere toon, harmonische trilling, toongenerator, cardiogram, massa-veersysteem, veerconstante, gereduceerde fase.

▸ De toonhoogte is hetzelfde als de frequentie, het aantal trillingen per seconde, van de geluidsbron.

▸ De geluidssterkte wordt bepaald door de amplitude, de maximale uitwijking, van de trillingen die in de lucht worden doorgegeven.

▸ Een klankkast versterkt het geluid, doordat de lucht in de klankkast mee gaat trillen. Dit is een vorm van resonantie.

▸ Een stemvork of snaar kan een andere stemvork of snaar laten resoneren, als die dezelfde eigenfrequentie heeft.

▸ Een oscillogram laat geluidstrillingen zien. In een u,t-diagram kun je de amplitude, de periode en de gereduceerde fase op een tijdstip aflezen.

▸ Bij een zuivere toon is het oscillogram een sinuslijn. Bij een zuivere toon trilt de bron harmonisch, zoals een stemvork.

▸ Een toongenerator is een apparaat dat een elektrisch signaal afgeeft waarvan je de frequentie en amplitude kunt instellen. Met een toongenerator en een luidspreker kun je zuivere tonen maken met elke gewenste frequentie en amplitude.

▸ Elk muziekinstrument heeft een andere klankkleur. Je kunt verschillen in klankkleur herkennen aan verschillen in vorm van het oscillogram.

▸ Een massa-veersysteem voert een harmonische trilling uit: de eigentrilling. Het oscillogram is een sinuslijn.

▸ De eigenfrequentie is de frequentie van de eigentrilling. Deze wordt bij een massaveersysteem bepaald door de trillende massa en de veerconstante van de veer die de massa laat trillen.

▸ De toonhoogte van een snaar hangt af van de spankracht in de snaar en van de massa van de snaar (bij gelijke lengte).

▸ De fase is het aantal trillingen dat een punt heeft gemaakt, geteld vanaf een positieve doorgang door de evenwichtsstand. Bij de gereduceerde fase laat je het aantal hele trillingen weg.

Maak deze opgaven online of uit je boek. Online zijn de opgaven meer gesloten. Je kunt daardoor direct nakijken en je krijgt feedback.

1 Stellingen

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken.

1 Bij een stemvork trilt alleen de lucht in de klankkast, de klankkast zelf trilt niet.

2 De amplitude van de trilling is de afstand tussen de twee uiterste standen.

3 Een zuivere toon heeft slechts één frequentie.

4 De toonhoogte van een snaar kun je veranderen door de snaarspanning te veranderen.

5 Als twee voorwerpen dezelfde eigenfrequentie hebben, kan er resonantie optreden.

6 Aan een oscillogram kun je zien of een trilling harmonisch is.

7 In een u,t-diagram kun je de frequentie aflezen.

8 Een stemvork maakt een samengestelde toon.

9 Als een trillend punt van boven naar beneden door de evenwichtsstand gaat, is de gereduceerde fase 1 2.

2 Toonhoogte en geluidssterkte

Met muziekinstrumenten kun je allerlei tonen produceren: hard of zacht en hoog of laag.

a Beschrijf het verschil in een oscillogram tussen een hoge toon en een lage toon.

b Beschrijf het verschil in een oscillogram tussen een harde toon en een zachte toon.

3 Snaren van een gitaar

Een gitaar heeft zes kunststof snaren die allemaal even lang zijn, maar niet allemaal even dik. Als je de snaren een voor een tokkelt, hoor je verschillende tonen.

a Leg uit of de dikste snaar bij de laagste toon hoort of bij de hoogste.

b Hoe verander je de toonhoogte van een snaar bij het stemmen?

c Hoe verander je de toonhoogte van een snaar bij het bespelen van een gitaar?

4 Vier oscillogrammen

In figuur 12 zie je de oscillogrammen van vier verschillende geluidstrillingen. De schaalverdeling langs de assen (horizontaal de tijd, verticaal de uitwijking van de trilling) is steeds hetzelfde.

Figuur 12

a Leg uit hoe je kunt zien dat het allemaal zuivere tonen zijn.

b Welke trilling heeft de grootste amplitude? Welke de kleinste?

c Welke trilling heeft de grootste frequentie? Welke de kleinste?

5 Vijf verschillende geluidsbronnen

In figuur 13 zie je de oscillogrammen van vijf verschillende geluidsbronnen.

Figuur 13

a Geef aan welk oscillogram een harmonische trilling weergeeft.

b Bij welk oscillogram hoor je geen toon?

c Hoeveel periodes zie je in oscillogram a?

6 Stemvork met gewichtje

De toonhoogte van een stemvork kun je aanpassen door een gewichtje aan een van de benen vast te maken.

a Leg uit waardoor de toon dan lager wordt.

In figuur 14 zie je twee metalen stemvorken. De onderste stemvork produceert een hogere toon, terwijl de benen een grotere massa hebben dan die van de bovenste stemvork.

b Leg uit hoe dat kan.

c 128 Hz

c₁ 256 Hz

Figuur 14

7 Periode van een massa-veersysteem

De periode van een trillend voorwerp hangt af van de massa en van de stugheid van de veer.

a Is de periode groter of kleiner als de massa groter is?

b Is de periode groter of kleiner als de veer stugger is?

8 Fase van een trilling

In figuur 15 is het u,t-diagram van een trilling weergegeven. tijd t → A

Figuur 15

Bepaal de gereduceerde fase van de punten A, B, C, D, E en F.

9 Cardiogram en pacemaker

Lees de context Pacemaker.

In figuur 16 zie je een cardiogram. De hartslag (frequentie) wordt genoteerd in slagen (beats) per minuut (bpm). Δt = 1 s

Figuur 16

a Hoe zie je in figuur 16 dat de hartslag afneemt?

b Bepaal de kleinste en de grootste waarde van de hartslag in figuur 16.

Sommige pacemakers grijpen in wanneer de periode meer dan 20% groter is dan die van de vorige drie hartslagen.

c Leg met een berekening uit of de pacemaker zal ingrijpen bij het cardiogram van figuur 16.

BEHEER s EN

Periode aflezen

In een oscillogram kun je de periode (of trillingstijd) T aflezen op de tijdas. Bij een harmonische trilling is dat de duur van één enkele complete sinus. Bij een oscilloscoopbeeld staat er geen tijd op de horizontale as. De tijdschaal is hier hoeveel tijd één hokje voorstelt. In figuur 17 is dat 0,50 ms

In figuur 17 zie je dat één trilling 4,0 hokjes duurt, dus T = 4,0 × 0,50 = 2,0 ms

Frequentie en periode

Figuur 17 De tijdschaal is 0,50 ms/hokje.

De frequentie is het aantal trillingen dat in één seconde past. Voor het verband tussen de periode en de frequentie geldt:

f is de frequentie (in Hz = s 1)

T is de periode of trillingstijd (in s)

VOORBEELDOPGAVE 1

In figuur 18 zie je een oscillogram dat is gemaakt met een microfoon die is aangesloten op een computer.

a Bepaal de periode van de geluidstrilling b Bereken de frequentie van deze toon.

Figuur 18 Oscillogram met tijdas

Antwoord a

GEGEVEN het oscillogram van figuur 18

GEVRAAG d T = ? s

U i TWER ki NG

• Het is nauwkeuriger om de tijd af te lezen van meerdere hele trillingen en dan te delen door het aantal periodes.

• Kies twee tijdstippen in het oscillogram waartussen een geheel aantal periodes ligt en die nauwkeurig af te lezen zijn: 0,8 ms en 9,7 ms

• Tel het aantal periodes tussen 0,8 ms en 9,7 ms: dit zijn vier periodes.

• Bereken de periode van één trilling en rond af: T = 9,7 0,8 4 = 2,23 ms = 2,2 ·10 3 s

Antwoord b

U i TWER ki NG

• Bereken de frequentie van de toon met f = 1 T Vul in en rond af: f = 1 2,23 ·10 3 = 4,5 ·10 2 Hz

Massa-veersysteem

De periode van een massa-veersysteem hangt af van de massa en van de veerconstante. Daarvoor geldt:

T = 2π √ m C

T is de periode (in s)

m is de massa (in kg)

C is de veerconstante (in N m 1)

De veerconstante C geeft de ‘stugheid’ van de veer aan volgens F v = C · u, waarbij F v de veerkracht is (in N) en u de uitrekking (of indrukking) van de veer (in m).

VOORBEELDOPGAVE 2

Onbelast is een veer 25,0 cm lang. Er wordt een kogel van 400 g aan de veer gehangen waardoor deze uitrekt tot 30,0 cm. Vervolgens wordt de kogel iets naar beneden getrokken en losgelaten.

Bereken met welke frequentie de kogel op en neer gaat trillen.

GEGEVEN ℓ0 = 25,0 cm ; ℓ = 30,0 cm ; m = 400 g = 0,400 kg ; het massa-veersysteem wordt in trilling gebracht

GEVRAAG d f = ? Hz

U i TWER ki NG

• De frequentie f bereken je met f = 1 T en de periode T met T = 2π √ m C . De massa die gaat trillen, is bekend. De veerconstante moet uitgerekend worden.

• De veerconstante bereken je met F v = C u. Daarin is F v de kracht die de veer uitrekt tot de evenwichtsstand en u de uitrekking die de veer dan krijgt.

• Bereken de kracht die de veer uitrekt tot de evenwichtsstand met F v = F z = m · g

Vul in: F v = 0,400 × 9,81 = 3,924 N

• Bereken de uitrekking van de veer met u = ℓ ℓ0

• Schrijf de formule met de veerconstante om en vul in: C = F v u = 3,92 0,050 = 78,5 N m 1

• Bereken de periode van de trilling.

Vul in: T = 2π √ 0,400 78,5 = 0,449 s

• Bereken de frequentie.

Vul in en rond af: f = 1 0,449 = 2,2 Hz

Een liniaal en een gitaarsnaar zijn ook voorbeelden van massa-veersystemen. De eigenfrequentie van een liniaal kun je veranderen door het trillende deel korter of langer te maken (zie figuur 19). Je verandert dan de massa en ook de veerconstante. Iets dergelijks gebeurt ook bij een gitaar. Wanneer je met je vinger de snaar vastklemt, wordt de trillende massa kleiner en de veerconstante groter. De frequentie wordt dan groter en de toon dus hoger (zie figuur 20).

19 Bij een kortere liniaal is de

en de veerconstante

Uitwijking en snelheid

Het oscillogram van een harmonische trilling, zoals een trillend massa-veersysteem, is een sinuslijn. De uitwijking is een sinusfunctie van de tijd met als formule:

u = A  sin​(2π T t)

u is de uitwijking uit de evenwichtsstand (in m)

A is de amplitude (in m)

t is de tijd (in s)

T is de periode (in s)

Let op: Bij het berekenen van de sinus moet de rekenmachine op radialen zijn ingesteld en niet op graden.

In het hoofdstuk Sport en verkeer - Bewegingen heb je geleerd dat de steilheid van een x,t-grafiek de snelheid v voorstelt. Je kunt de snelheid van een trillend voorwerp dus bepalen door een raaklijn te tekenen in het u,t-diagram. In figuur 21 is de maximale snelheid van een trillend voorwerp met behulp van een raaklijn weergegeven.

Figuur 21 De snelheid is maximaal bij het passeren van de evenwichtsstand.

Als je de amplitude en de trillingstijd weet, kun je de maximale snelheid van een harmonisch trillend voorwerp ook berekenen. De snelheid als functie van de tijd v(t) is de afgeleide van de plaatsfunctie x(t) of u(t).

De afgeleide van de functie u(t) = A sin(2π T t) is v(t) = A 2π T cos(2π T t) (zie de paragraaf over de afgeleide in het hoofdstuk Vaardigheden van 5 vwo). Dus geldt voor de maximale snelheid: v max = 2πA  T

De snelheid van een harmonisch trillend systeem is maximaal bij het passeren van de evenwichtsstand.

v max is de grootte van de snelheid door de evenwichtsstand (in m s 1)

A is de amplitude (in m)

T is de periode (in s)

Werkblad 1 projectie van een cirkelbeweging

VOORBEELDOPGAVE 3

Op een luchtkussenbaan glijdt een wagentje zonder wrijving heen en weer tussen twee gespannen veren. Zie figuur 22. In rust bevindt de stip S op het wagentje zich precies boven het midden M van de baan. Met videometing is de positie en de snelheid van het wagentje vastgelegd, nadat het eerder een eindje naar links was getrokken en losgelaten.

Op t = 0 is de stip de eerste keer het punt M gepasseerd naar rechts met een snelheid van 0,58 m s 1

Op t = 2,10 s komt het wagentje voor de tweede keer langs M, nu naar links.

S M

Figuur 22 Trillend voorwerp op een luchtkussenbaan

a Bereken de amplitude van de trilling van het wagentje op de baan.

b Bereken waar (de stip S op) het wagentje zich bevindt op t = 4,85 s

Antwoord a

GEGEVEN v max = 0,58 m s 1 ; t = 2,10 s voor 1 2 trilling

GEVRAAG d A = ? m

U i TWER ki NG

• Om de formule van v max te gebruiken is de trillingstijd T nodig.

• Bereken de trillingstijd T. Een halve periode duurt 2,10 s, dus T = 2 × 2,10 = 4,20 s

• Bereken de amplitude met v max = 2πA T

• Schrijf om, vul in en rond af: A = T · v max 2π = 4,20 × 0,58 2π = 0,388 = 0,39 m

Antwoord b

GEGEVEN t = 4,85 s ; A = 0,388 m ; T = 4,20 s

GEVRAAG d u = ? m

U i TWER ki NG

• Bereken de uitwijking met u = A sin(2π T t)

Vul in en rond af: u = 0,388 × sin( 2π 4,20 × 4,85) = 0,32 m

(Bij de berekening is de rekenmachine op radialen gezet.)

Faseverschil

Twee trillingen met dezelfde periode kunnen in fase of in tegenfase zijn. Trillingen die in fase zijn, bewegen tegelijk in dezelfde richting, zoals in figuur 23a. Dan is het faseverschil ​∆ φ = 0

Trillingen die in tegenfase zijn, bewegen steeds in tegengestelde richting. Dan is het faseverschil ​∆ φ = 1 2 . Zie figuur 23b. t u t u a b

Figuur 23 Twee harmonische trillingen in fase (a) en in tegenfase (b)

Het faseverschil ​∆ φ tussen de twee trillingen bepaal je door het tijdsverschil ​∆ t (tussen de tijdstippen waarop de twee trillingen door de evenwichtsstand gaan) te vergelijken met de periode T Zie figuur 24. Het faseverschil noteer je, net als de gereduceerde fase, als een breuk tussen de 0 en de 1.

Je berekent het faseverschil met de formule:

Figuur 24 Twee harmonische trillingen met een faseverschil

is het faseverschil tussen twee trillingen (een getal tussen 0 en 1, zonder eenheid)

∆ t is het tijdsverschil tussen de tijdstippen waarop de twee trillingen door de evenwichtsstand gaan (in s) T is de periode (in s)

NOISECANCELLING

Als je ongestoord muziek wilt luisteren, kun je met sommige koptelefoons het achtergrondgeluid wegfilteren. De elektronica verschuift de fase van dit geluid met precies 1 2 en stuurt dit samen met de muziek naar de luidspreker van de koptelefoon. Doordat dit geluid precies in tegenfase is, wordt het achtergrondgeluid gedempt. Dit werkt het beste bij achtergrondgeluid waar een ‘vast patroon’ in zit.

ZWEVING EN FASEVERSCHILLEN

Figuur 25 Met noisecancelling filter je storende geluiden weg.

Als twee identieke stemvorken op klankkasten worden geplaatst, kun je de frequentie van een van de stemvorken iets aanpassen met een speciaal klemmetje. Als nu beide stemvorken worden aangeslagen, hoor je het geluid afwisselend aanzwellen en afnemen. Dit heet zweven van geluid. De toonhoogte blijft gelijk, maar de geluidssterkte varieert periodiek. Zie figuur 26 en 27. Deze zwevingsfrequentie neemt af naarmate het verschil tussen de frequenties van de beide stemvorken kleiner is.

laten zwevingen horen.

Figuur 27 Een oscillogram van een zweving

Het zweven kun je als volgt verklaren: uit twee verschillende bronnen komen geluidstrillingen bij je oor. Als die trillingen bij aankomst in fase lopen, versterken ze elkaar. Maar als de aankomende trillingen bij je oor uit fase lopen, werken ze elkaar tegen. Doordat de frequenties van de bronnen niet precies gelijk zijn, verandert in fase telkens in uit fase en omgekeerd. Hoe minder de frequenties van de stemvorken van elkaar verschillen, hoe langer de zwevingperiode is, de tijd tussen twee geluidsmaxima. Een pianostemmer gebruikt zwevingen bij het stemmen van de piano.

Model voor een harmonische trilling

In het hoofdstuk Vaardigheden van 4 vwo heb je geleerd hoe je een beweging kunt simuleren met een rekenmodel. De basis voor een bewegingsmodel bestaat steeds uit dezelfde modelregels die de relaties tussen de resulterende kracht, de versnelling, de snelheid en de positie weergeven. Zie figuur 28.

Verband Formules Modelregels

resulterende kracht geeft een versnelling F res = m · a a = F res m

versnelling verandert de snelheid

snelheid verandert de positie

Figuur 28 Modelregels in een model voor bewegingen

Bij elke trilling is er een kracht die naar de evenwichtsstand is gericht. Maar een trilling is alleen harmonisch als die terugdrijvende kracht evenredig is met de uitwijking uit de evenwichtsstand:

F res is de grootte van de resulterende kracht op de trillende massa (in N) C is de veerconstante (in N m 1) u is de uitwijking uit de evenwichtsstand (in m)

De pijlen boven F res en u in de formule geven aan dat het bij kracht en uitwijking om vectoren gaat, dus dat ze een grootte en een richting hebben. Het minteken geeft aan dat de terugdrijvende kracht en de uitwijking altijd tegengesteld gericht zijn. Dit geldt op elk moment en is de basisvergelijking voor het rekenmodel van een harmonische trilling. Zie figuur 29 en 30.

(m)

startwaarden

Modelregels

Figuur 29 Rekenmodel van een harmonische trilling

(kg)

(m s 1)

(m s 2)

res (N)

(N m 1)

Figuur 30 Grafisch model voor een harmonische trilling

De uitkomst van de modelberekening laat een u,t-diagram zien dat theoretisch een sinusfunctie is. In figuur 31 is met behulp van een functiefit een sinusfunctie getekend (rood) door de zwarte blokjes (model).

Figuur 31 Het u,t-diagram van de modelberekening met functiefit

ONTHOUDEN

▸ Begrip: faseverschil.

▸ De tijdschaal van een oscillogram is de tijdsduur die één hokje voorstelt in horizontale richting.

▸ Bij een massa-veersysteem hangt de periode af van de massa en van de veerconstante.

▸ Een harmonische trilling kun je beschrijven met een sinusfunctie en simuleren met een rekenmodel.

▸ De snelheid van een harmonisch trillend systeem is maximaal bij het passeren van de evenwichtsstand.

▸ Twee trillingen zijn in fase als ze precies tegelijk door de evenwichtsstand omhoog bewegen. Het gereduceerde faseverschil is dan 0.

▸ Twee trillingen zijn in tegenfase als ze steeds in tegengestelde richting bewegen. Het gereduceerde faseverschil is dan 1 2

Experiment 4 Trillende liniaal

Experiment 5 Gedempte trilling

O p GAVEN

10 Korte check

Beantwoord de volgende vragen als herhaling van Begrijpen en start van Beheersen.

a Leg uit wat resonantie is.

b Hoe kun je aan het oscillogram zien of er een zuivere toon wordt gemeten?

c Hoe kun je bij een complexe trilling de trillingstijd aflezen in een oscillogram?

d Waarom kun je het beste de tijd aflezen van zo veel mogelijk trillingen als je de trillingstijd uit een oscillogram wilt bepalen?

e T = 1,0 ms, dan is f =​ Hz

f Hoe noem je het oscillogram dat wordt gemaakt van de elektrische activiteit van de hartspier?

g Op welke momenten heeft een massa die aan een veer hangt en op en neer beweegt de grootste snelheid?

h Van welke twee grootheden hangt de trillingstijd van een massa-veersysteem af?

i Schrijf de formule van het massa-veersysteem op zonder wortelteken:

T 2 =​

j Een harmonische trilling ontstaat als de resulterende kracht evenredig is met de

Twee trillingen zijn in tegenfase met elkaar. Op een bepaald moment is de uitwijking van de ene trilling maximaal omhoog.

k Hoe groot is de uitwijking van de andere trilling dan?

11 Oscillogram van een zuivere toon

In figuur 32 zie je het oscillogram van een zuivere toon. Horizontaal is de schaal 0,50 ms/hokje, verticaal 2,0 V/hokje.

a Bepaal zo nauwkeurig mogelijk de frequentie van de trilling. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.

b Bepaal de amplitude van de trilling.

12 A-snaar

Figuur 32

De a-snaar van een gitaar moet trillen met een frequentie van 110 Hz. De toon van die snaar wordt opgenomen (zie figuur 33). t (ms)

Figuur 33

a Leg uit of deze a-snaar een zuivere toon produceert.

b Bereken bij f = 110 Hz de tijdsduur voor vijf trillingen.

c Leg uit dat deze snaar te laag gestemd is.

d Bepaal zo nauwkeurig mogelijk de frequentie waarmee de a-snaar trilt.

13 Functies van harmonische trillingen

In figuur 34 zie je de oscillogrammen van vier verschillende trillingen. De instelling van de oscilloscoop staat bij elk oscillogram vermeld, in (m)V/hokje en in ms/hokje.

14

Instelling:

• tijdbasis 0,20 ms/hokje

• verticaal 2,0 V/hokje

Instelling:

• tijdbasis 0,50 ms/hokje

• verticaal 2,0 V/hokje

Instelling:

• tijdbasis 20 ms/hokje

• verticaal 200 mV/hokje

Figuur 34

Instelling:

• tijdbasis 5,0 ms/hokje

• verticaal 10 mV/hokje

a Bepaal bij trilling a de periode en de amplitude (in volt).

b Laat zien of leg uit dat voor trilling b geldt: U =  4,0 · sin( 2π 0,00048 · t)

c Voor welke trilling geldt: U = 0,024 cos( 2π 0,038 t)? Leg uit.

Massa-veersysteem

In het diagram van figuur 35 zie je het verband tussen de veerkracht F v en de uitrekking u van een veer.

a Bepaal de veerconstante C van de veer.

Aan deze veer wordt een massa van 50 g gehangen. Vervolgens laat men de massa op en neer trillen.

b Bereken de frequentie waarmee dit massa-veersysteem trilt.

Daarna past men de massa aan, zodat de frequentie 2,0 Hz wordt.

c Leg uit of de massa daarvoor groter of kleiner is gemaakt.

d Bereken bij welke massa de frequentie 2,0 Hz is. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.

Figuur 35

15 Blokje aan veer

Aan een spiraalveer hangt een aluminium blokje. Het blokje wordt in trilling gebracht. Geef in de volgende situaties aan hoe de frequentie waarmee het blokje trilt verandert.

1 De beginuitwijking wordt groter gemaakt.

2 De veer wordt vervangen door een stuggere veer.

3 Het aluminium blokje wordt vervangen door een blokje van staal met dezelfde afmetingen.

16 Twee stemvorken

Twee verschillende stemvorken hebben even dikke en brede benen, maar verschillen in lengte. Ze zijn van hetzelfde metaal gemaakt.

Leg uit dat de eigenfrequentie van de stemvork met de langste benen kleiner is dan de eigenfrequentie van de andere stemvork.

17 Wipkip

Als een kind van 20 kg op een wipkip gaat zitten, wordt de veer 1,5 cm ingedrukt.

a Bereken de periode waarmee het kind op de wipkip op en neer wipt.

b Leg uit dat de periode twee keer zo groot is als een man van 80 kg op deze wipkip op en neer gaat.

De wipkip is gemaakt om naar voren en naar achteren te bewegen. Bij een kind van 40 kg duurt een beweging van de achterste naar de voorste positie 1,1 s

c Bereken de veerconstante bij deze beweging.

18 Trillingen uit fase

In figuur 36 zie je twee verschillende trillingen. Bij de bovenste trilling geldt f = 5,5 Hz, bij de onderste f = 5,0 Hz

Figuur 36

a Leg uit hoe je aan de figuur ziet dat de trillingen in fase zijn op t = 0 en t = 2,0 s. Hoe groot is op dat moment de gereduceerde fase van de trillingen?

b Hoe zie je aan de figuur dat de trillingen in tegenfase zijn op t = 1,0 s?

c Op welk ander tijdstip zijn beide trillingen ook in tegenfase?

Hoe groot is op dat moment de gereduceerde fase van elk van de twee trillingen?

d Geef aan hoe groot het faseverschil is op t = 1,5 s.

19 Gitaarsnaar

Een gitaarsnaar met een massa van 30 g trilt met een frequentie van 330 Hz. Zo’n trillende snaar is een massa-veersysteem.

a Laat met een berekening zien dat de veerconstante van de snaar 1,3 10 5 N m 1 is.

Als de snaar halverwege wordt ingeklemd, wordt de massa twee keer zo klein en de veerconstante twee keer zo groot.

b Laat met een berekening zien dat de frequentie dan verdubbelt (precies een octaaf hoger).

20 Videometing van massa-veersysteem

Met behulp van videometen wordt de beweging van een massa-veersysteem vastgelegd.

Een functiefit geeft als resultaat: u = a sin(b t) met a = 2,0 cm en b = 1,5

a Wat is de eenheid van b?

b Hoe groot is de amplitude van deze trilling?

c Bereken de trillingstijd van deze trilling.

21 Faseverschil

In figuur 37 zie je het u,t-diagram van een voorwerp dat harmonisch trilt.

Figuur 37

a Leg uit dat voor deze trilling geldt: u = 3,0 · sin( 2π 1,6 · t)

b Controleer met een berekening dat de uitwijking nul is op t1 = 1,6 s en t5 = 4,0 s.

c Bereken met de formule de uitwijking op t2 = 2,3 s en t3 = 2,8 s

d Bepaal met behulp van een raaklijn de maximale snelheid van het voorwerp.

e Controleer je antwoord op vraag d met behulp van de formule v max = 2πA T

f Bepaal de gereduceerde fase op t1 en t3

g Bepaal het faseverschil tussen t1 en t3 met ​∆ φ = ∆ t T

h Bepaal het faseverschil tussen t4 en t2

22 Eenheden controleren

Toon aan dat in de formule T = 2π √ m C de eenheden links en rechts van het =-teken gelijk zijn.

23 Noisecancelling

Lees de context Noisecancelling

Fabrikanten combineren passieve en actieve technieken om ongewenst omgevingsgeluid tegen te gaan.

a Leg uit dat de techniek van noisecancelling beter werkt bij het bestrijden van geluid met een vaste frequentie, zoals de bromtoon in een vliegtuig.

De werking en effectiviteit van de technieken hangt sterk af van de bouw en prijsklasse van de koptelefoon. Bij Feedforward Active Noisecancelling vangt een microfoon aan de buitenkant van de koptelefoon het geluid op en genereert antigeluid. Bij Feedback Active Noisecancelling meet een microfoon het geluid aan de binnenkant zoals je het zelf hoort.

De duurdere modellen combineren beide technieken. Goedkopere modellen gebruiken alleen de feedforward-techniek.

b Leg uit waarom de feedback-techniek niet voldoende is om plotseling omgevingsgeluid, zoals klappen of stemmen, weg te filteren.

24 Zweving

Lees de context Zweving en faseverschillen.

Door het aanbrengen van het gewichtje op de linker stemvork in figuur 26 is de frequentie van beide stemvorken niet exact gelijk.

a Leg uit hoe het komt dat het geluid dat van beide stemvorken komt afwisselend hard en zacht klinkt en geef aan hoe dit verschijnsel heet.

De frequentie van de rechter stemvork in figuur 26 is 400 Hz. In figuur 27 staat het oscillogram van de zweving die beide stemvorken produceren.

b Laat aan de hand van figuur 27 zien dat één hokje op de horizontale as overeenkomt met 7,4 ms.

c Bepaal de frequentie van de zweving.

25 Model van een trilling

Gegeven is het model van een trilling in figuur 38. Alle waarden zijn gegeven in standaardeenheden.

a Bereken de versnelling a op t = 0

b Bereken de snelheid v na de eerste tijdstap.

c Bereken de uitwijking u na de eerste tijdstap.

d Bereken de trillingstijd.

e Zal dit model een nauwkeurig u,t-diagram kunnen tekenen? Leg uit.

startwaarden Modelregels

m = 0,15

C = 20

u = 0,05

v = 0 t = 0

= 0,1

Figuur 38

26

Model van een gedempte trilling

In figuur 39 zie je het resultaat van een rekenmodel voor een harmonische trilling. Eronder staan de modelregels. De trillende massa is 88 g.

Figuur 39

a Bepaal met behulp van het diagram de waarde van de veerconstante C.

b Geef aan welke startwaarden zijn gebruikt voor u en v.

Dit model geldt voor een ongedempte trilling. In werkelijkheid is er sprake van luchtweerstand, waarvoor geldt: F w,l = k · v 2

Modelregels

F res = C u

a = F res m

v = v + a ∆ t

u = u + v · ∆ t

t = t + ∆ t

c Leg uit dat in deze formule nog geen rekening is gehouden met de richting van de snelheid (positief of negatief).

Als het model uitgebreid wordt met luchtweerstand, worden de eerste twee modelregels als volgt vervangen:

Modelregels

F v = C · u als v < 0 dan

F w l = k · v 2 anders

F w l = F res = F v + F w,l a = F res m

d Vul de modelregel aan, zodat er een gedempte trilling ontstaat:

F w,l =​

27

Leerdoelen

Beheers je de leerdoelen al?

Geef jezelf een score op een schaal van 1 tot 4. Gebruik de opgave(n) tussen haakjes om jezelf te beoordelen.

Leerdoelen score

Hoorbare eigenschappen van geluid

1 Je kunt de begrippen amplitude, frequentie, resonantie en zuivere toon toepassen om hoorbare eigenschappen van geluid te verklaren. (5, 6)

Trillingen

2 Je kunt de amplitude, de periode, de gereduceerde fase en het faseverschil bepalen uit een oscillogram. (12, 18)

3 Je kunt rekenen en redeneren met periode, frequentie, gereduceerde fase en faseverschil: f = 1 T en ∆ φ = ∆ t T (9, 21)

4 Je kunt rekenen en redeneren met de eigentrilling van een massaveersysteem: T = 2π √ m C (14, 15, 17)

5 Je kunt rekenen en redeneren met de formules die een harmonische trilling beschrijven: u = A · sin(2π T · t) en v max = 2πA T en aan de hand van een numeriek model de koppeling leggen met de voorwaarde voor deze harmonische trilling: ⟶ F res = C → u (13, 25)

Verder oefenen Online kun je verder oefenen met de leerstof van deze paragraaf.

Lopende golven

ONT d E kk EN

Golven in de zee ontstaan door de wind die de bovenste laag water in beweging brengt. De snelheid waarmee die golven naar de kust toe gaan is bij een diepe zee constant. Bij de kust verandert de snelheid van de golven, waardoor het water zich ophoopt tot soms perfecte surfgolven. Uiteindelijk breken de golven bij het strand.

Experiment 6 Golven in een touw

In deze paragraaf leer je over lopende golven. Ook geluid is een lopende golf. Je hoort hierdoor bijvoorbeeld het geluid van een sirene op een auto veranderen als de auto jou passeert. Na deze paragraaf kun je antwoord geven op vragen als:

▸ Hoe ontstaat branding in de zee?

▸ Hoe kun je horen dat de geluidssnelheid voor alle hoorbare frequenties gelijk is?

▸ kun je horen hoe hard een racewagen voorbijrijdt?

LEERDOELEN

De volgende leerdoelen staan hierbij centraal:

▸ Je kunt uitleggen wat een golf is en of een golf longitudinaal of transversaal is.

▸ Je kunt rekenen en redeneren met golfsnelheid, golflengte, frequentie, gereduceerde fase en faseverschil van een lopende golf.

▸ Je kunt uit een u,x-diagram de golflengte, amplitude en gereduceerde fase van een lopende golf aflezen en bepalen hoe groot het faseverschil tussen twee punten is.

▸ Je kunt uitleggen hoe de waargenomen golflengte en frequentie van een golf veranderen als bron en ontvanger ten opzichte van elkaar bewegen.

BEGRijpEN

Trilling wordt doorgegeven

Bij een luidspreker trilt de conus naar voren en achteren, zie figuur 41. Daardoor wordt de lucht bij de conus afwisselend een beetje samengeperst (een verdichting) en uit elkaar getrokken (een verdunning). Deze trilling wordt via de lucht doorgegeven. Er loopt dan een geluidsgolf door de lucht. Geluid is dus een golfverschijnsel. De snelheid waarmee deze trillingen worden doorgegeven is de golfsnelheid v (ook wel voortplantingssnelheid genoemd). De golfsnelheid van geluid, de geluidssnelheid, is afhankelijk van de temperatuur van de lucht. Bij 20 °C is de geluidssnelheid 343 m s 1

Een geluidsgolf kun je niet zien. De golven die ontstaan op het wateroppervlak nadat je bijvoorbeeld een steen in het water hebt gegooid zijn wel goed zichtbaar. Omdat golven een bepaalde kant op bewegen, noem je het lopende golven. Elke hele trilling van de bron zorgt voor één hele golf. De afstand die een golf in één periode aflegt is de golflengte λ (de Griekse letter lambda). Bij een golf op het water is de golflengte de afstand tussen twee toppen (of twee dalen), zie figuur 42. Bij een geluidsgolf is het de afstand tussen twee verdichtingen (of twee verdunningen), zie figuur 43.

(golflengte) (golfsnelheid)

42 Watergolf die naar rechts beweegt geluidsgolven

43 Lopende geluidsgolf permanente magneet elektrische signalen spoel

Transversale en longitudinale golf

Met een lange veer kun je twee verschillende soorten golven maken (zie figuur 44). Als je het uiteinde heen en weer beweegt in de lengterichting van de veer, krijg je verdichtingen en verdunningen, net als bij geluid. Een golf waarbij de trilling in dezelfde richting is als de voortplanting van de golf, is een longitudinale golf (figuur 44a).

Je kunt het uiteinde van een lange veer ook dwars heen en weer bewegen. Je krijgt dan een golf waarbij de windingen van de veer heen en weer bewegen, dwars op de voortplantingsrichting van de golf: een transversale golf (figuur 44b). Golven op het wateroppervlak zijn transversale golven.

voortplantingsrichting

voortplantingsrichting

beweging veer

longitudinale golf

beweging veer a b

Figuur 44 Twee soorten golven

transversale golf

In een gas, zoals lucht, zijn alleen longitudinale golven mogelijk. Dat komt doordat de luchtdeeltjes niet aan elkaar vastzitten, ze kunnen alleen tegen elkaar duwen. Een luchttrilling wordt dus alleen doorgegeven in dezelfde richting als waarin de lucht trilt. Bij water zijn transversale golven alleen aan het wateroppervlak mogelijk (zie figuur 45). Onder water komen, net als in lucht, alleen longitudinale golven voor, omdat de trillingen door onderlinge botsingen worden doorgegeven. Dit geldt voor alle vloeistoffen en gassen.

In vaste stoffen zijn longitudinale én transversale golven mogelijk, doordat de deeltjes van een vaste stof stevig aan elkaar vastzitten. De trillingen worden via die onderlinge krachten doorgegeven. Hoe harder de stof is, hoe sneller de trillingen worden doorgegeven.

Golfsnelheid en golflengte

De golflengte hangt af van de frequentie van de trilling en van de golfsnelheid. Een grotere frequentie van de bron zorgt voor kortere golven, en een grotere golfsnelheid zorgt juist voor langere golven. De golflengte is omgekeerd evenredig met de frequentie en evenredig met de golfsnelheid. Aan het strand zie je bijvoorbeeld dat de golven korter worden naarmate ze dichter bij het strand komen. Dat komt doordat in ondiep water de golfsnelheid kleiner is.

In lucht is de golfsnelheid (geluidssnelheid) vrijwel constant. De geluidssnelheid is alleen iets hoger als de temperatuur van de lucht hoger is. De geluidssnelheid is ook gelijk voor alle golflengtes. Gelukkig, zo bereiken de hoge en lage tonen van muziek tegelijk je oren.

Dopplereffect

De toonhoogte van de sirene van een brandweerauto lijkt te veranderen als de brandweerauto je passeert. Bij nadering hoor je een hogere toon, bij wegrijden hoor je een lagere toon.

Dit verschijnsel noem je het dopplereffect. Het dopplereffect treedt op als de geluidsbron en de waarnemer ten opzichte van elkaar bewegen.

Als bron en waarnemer stilstaan, zullen waarnemer A en B (figuur 47) beiden dezelfde toonhoogte horen. Wanneer de bron beweegt (figuur 48), worden de geluidsgolven aan de ene kant samengedrukt, en aan de andere kant uitgerekt. De golflengte is dan voor waarnemer B kleiner (hogere toon) en voor waarnemer A groter (lagere toon).

46 Muurschildering over Buys Ballots controle van het dopplereffect

Als de geluidsbron je passeert, hoor je dus eerst een hogere toon, en vlak na het passeren een lagere toon. Dat valt vooral op bij een auto met sirene en een racewagen.

golflengte

stilstaande geluidsbron

Figuur 47 De geluidsbron staat stil. A en B horen dezelfde toon.

langere golflengte

kortere golflengte

bewegende geluidsbron

Figuur 48 De geluidsbron beweegt. B hoort een hogere toon en A een lagere toon.

ZEEGOLVEN EN BRANDING

Bij zeegolven die het strand naderen neemt de golfsnelheid af doordat het ondieper wordt. De golven worden dan korter, en de golfhoogte neemt toe. Het water in de golf wordt als het ware in elkaar gedrukt, doordat de voorkant van de golf langzamer beweegt dan de achterkant. Uiteindelijk worden de golven zo hoog dat ze omvallen en er branding ontstaat (zie figuur 49).

In diep water is de richting van de zeegolven gelijk aan de richting van de wind die de golven maakt. Op zee lopen de golven dus niet altijd in dezelfde richting. Toch komen golven altijd bijna evenwijdig op het strand aan. Ook dat komt doordat de golfsnelheid afneemt als het water ondieper wordt (zie figuur 50).

Gereduceerde fase bij golven

Bij golven op een wateroppervlak of bij transversale golven in bijvoorbeeld een veer, trillen alle punten na elkaar op en neer dwars op de voortplantingsrichting. Bij elke golftop is de uitwijking van het betreffende punt maximaal. Dat punt heeft dan een kwart trilling gehad sinds de laatste positieve doorgang door de evenwichtstand. We zeggen dat het trillende punt dan een gereduceerde fase 1 4 heeft. In de praktijk zeggen we kortweg: de fase is 1 4. In figuur 51 zie je dat bij de eerstvolgende doorgang door de evenwichtstand de fase 1 2 is en bij een golfdal 3 4. In een u,x-diagram neemt de fase dus toe van rechts naar links, terwijl in een u,t-diagram de fase toeneemt van links naar rechts.

Figuur 51 De fasen in een golf

Licht

Licht is ook een golfverschijnsel, net alle andere soorten elektromagnetische straling: radiogolven, microgolven, infraroodstraling, uv-straling, röntgenstraling en gammastraling. Al deze elektromagnetische golven bewegen met dezelfde snelheid, de lichtsnelheid c = 3,00 ·10 8 m s 1. Doordat deze snelheid zo enorm is, merk je in het gewone leven niet dat licht tijd nodig heeft om zich te verspreiden.

Experiment 7 Geluidssnelheid meten

Experiment 8 Zwevingen van geluid bij twee stemvorken

ONTHOUDEN

▸ Begrippen: geluidsgolf, golfverschijnsel, golfsnelheid, voorplantingssnelheid, geluidssnelheid, lopende golven, golflengte, longitudinale golf, transversale golf, dopplereffect, lichtsnelheid.

▸ Bij een geluidsgolf in lucht worden de trillingen doorgegeven door luchtlaagjes die elkaar vooruit en achteruit duwen.

▸ De snelheid waarmee de trillingen worden doorgegeven is de golfsnelheid v.

▸ De golflengte λ is de afstand tussen twee opeenvolgende identieke punten in de golf, bijvoorbeeld tussen de middens van twee verdichtingen.

▸ Bij een longitudinale golf is de trillingsrichting in dezelfde richting als de bewegingsrichting van de golf.

▸ Bij een transversale golf is de trillingsrichting loodrecht op de bewegingsrichting van de golf.

▸ In een gas en in een vloeistof zijn alleen longitudinale golven mogelijk.

▸ In vaste stoffen zijn zowel transversale als longitudinale golven mogelijk.

▸ De golflengte is evenredig met de golfsnelheid en omgekeerd evenredig met de frequentie.

▸ Door het dopplereffect is de waargenomen frequentie groter als bron en waarnemer naar elkaar toe bewegen en kleiner als zij van elkaar af bewegen.

▸ In een lopende golf heeft de ‘kop van de golf’ fase nul.

▸ Alle elektromagnetische golven bewegen met dezelfde snelheid: de lichtsnelheid.

O p GAVEN

Maak deze opgaven online of uit je boek.

28 Stellingen

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken.

1 De ‘wave’ in een stadion is een transversale golf.

2 Een geluidsgolf is een longitudinale golf.

3 Golven aan het wateroppervlak zijn longitudinale golven.

4 Geluid onder water is een longitudinale golf.

5 Bij een longitudinale golf gaan de trillende punten naar voren en naar achteren (in de richting waarin de golf beweegt).

6 Bij een hoge frequentie hoort een kleine golflengte.

7 Bij een grote golfsnelheid hoort een grote golflengte.

8 De sirene van een naderende brandweerauto klinkt lager dan de sirene van een brandweerauto die van je wegrijdt.

9 Als een trillend punt op een koord van boven naar beneden door de evenwichtsstand gaat is de gereduceerde fase 1 2

10 Als de frequentie die een waarnemer hoort lager is dan de door de bron uitgezonden frequentie, dan bewegen de waarnemer en de bron van elkaar af.

29 Geluidsgolven

Bij een golf worden trillingen doorgegeven.

a In welke richting is de trilling bij een geluidsgolf: in de richting waarin het geluid beweegt of loodrecht daarop?

b Leg uit waardoor geluid zich niet in vacuüm kan voortplanten.

In vaste stoffen zijn zowel longitudinale golven als transversale golven mogelijk. Een geluidsgolf in een stof is een longitudinale golf met een vaste snelheid.

c Leg uit dat de geluidssnelheid in zachte materialen (zoals rubber) kleiner is dan in harde materialen (zoals ijzer).

30 Golflengte opmeten

Bij golven op zee zie je toppen en dalen.

Figuur 52

a Geef in figuur 52 aan hoe je bij deze transversale golf één golflengte opmeet.

In een lange veer kun je longitudinale golven opwekken.

b Geef in figuur 53 aan hoe je bij deze longitudinale golf één golflengte opmeet.

31 Branding

Lees de context Zeegolven en branding.

Aan het strand zie je dat de golflengte van aankomende golven kleiner wordt naarmate ze dichter bij het strand komen.

a Komt dat doordat de frequentie verandert of doordat de golfsnelheid verandert?

b Leg uit of de golfsnelheid in ondiep water groter of kleiner is dan in diep water.

c Leg uit waardoor in de branding de golven ‘omslaan’.

32 Heiblok

De klap van een vallend heiblok op een betonnen heipaal veroorzaakt lopende golven in de grond, in de lucht en in de heipaal. Zie figuur 54.

a Zijn die golven in de lucht transversale en/of longitudinale golven?

b Zijn die golven in de heipaal transversale en/of longitudinale golven?

De geluidssnelheid in beton is groter dan die in lucht.

c Leg uit of de golflengte in de heipaal groter of kleiner is dan in lucht.

33 Brandweer

Tim woont op 100 m van een brandweerkazerne. Als de brandweer uitrukt, versnelt de brandweerauto tot deze ongeveer bij het huis van Tim is en rijdt dan met constante snelheid voorbij.

Beschrijf hoe de toon en de geluidssterkte van de brandweersirene voor Tim veranderen tijdens het uitrukken van de brandweer.

34 Sirene van een ambulance

In figuur 55 zie je hoe de geluidsgolven van de sirene van een stilstaande ambulance zich verspreiden.

Figuur 55

a Schets de geluidsgolven als de ambulance met grote snelheid naar voren rijdt. De ambulance gaat nog sneller rijden.

b Beschrijf wat er verandert aan de golflengte van de geluidsgolven die zich voor de ambulance bevinden.

c Beschrijf wat er verandert aan de golflengte van de geluidsgolven die zich achter de ambulance bevinden.

BEHEERsEN

Rekenen met golfsnelheid

Afstand of tijd kun je berekenen met de snelheid: s = v · t. Deze formule kun je ook gebruiken bij het rekenen met de golfsnelheid.

Een voorbeeld van rekenen met de golfsnelheid zijn de parkeersensoren van een auto. Deze sensoren zenden ultrasone geluidsgolven uit. Als deze golven worden teruggekaatst door een voorwerp, registreert de sensor deze echo. Uit de tijdsduur tussen zenden en ontvangen berekent de sensor de afstand tot het voorwerp.

Foto van een lopende golf

Een lopende transversale golf in bijvoorbeeld een koord kun je weergeven in een u,x-diagram. De grafiek kun je vergelijken met een foto van het koord op een bepaald tijdstip. Je kunt er de amplitude en de golflengte van de golf in aflezen. In figuur 56 zie je drie u,x-diagrammen op drie opeenvolgende tijdstippen. Uit het tijdsverschil tussen twee u,x-diagrammen is de golfsnelheid te bepalen.

tijdstip t = 0,30 s

tijdstip t = 0,70 s tijdstip t = 1,10 s

Figuur 56 Lopende transversale golf

Let op: Een u,x-diagram lijkt op een oscillogram, maar is dat niet. Een oscillogram of u,t-diagram geeft de trilling van één punt weer, terwijl een u,x-diagram de positie van een groot aantal punten op één tijdstip weergeeft (als een ‘foto’ van de golf op dat tijdstip).

In figuur 57 zie je het u,t-diagram van het punt P in figuur 56. Vanaf t = 0,30 s begint punt P omhoog te bewegen. Op t = 0,70 s heeft punt P precies één hele trilling uitgevoerd.

In een u,t-diagram kun je de trillingstijd aflezen, in een u,x-diagram de golflengte.

Figuur 57 Het u,t-diagram van punt P in de lopende golf

Golflengte en golfsnelheid

Eén hele trilling van de bron veroorzaakt één hele golf. In één periode T heeft de voorkant van die golf dan één golflengte λ afgelegd met snelheid v. Voor die afstand geldt dus: λ = v · T

Je kunt deze formule combineren met T = 1 f . Je krijgt dan λ = v · (1 f ) dus λ = v f of v =

v is de golfsnelheid (in m s 1) f is de frequentie van de trilling die doorgegeven wordt (in Hz = s 1) λ is de golflengte (in m)

Deze formule geldt voor alle soorten golven, dus ook voor longitudinale golven (zoals geluidsgolven). Je kunt de voortplantingssnelheid van geluid in verschillende stoffen en bij verschillende temperaturen opzoeken in het informatieboek. Voor alle elektromagnetische straling geldt dat deze zich voortplant met de lichtsnelheid (c = 3,00 ·10 8 m s 1). Een nauwkeurigere waarde voor de lichtsnelheid kun je vinden in het informatieboek.

VOORBEELDOPGAVE 4

In figuur 56 zie je drie u,x-diagrammen van een golfbeweging. De schaal van de tekening is 1 : 12,5.

a Bereken met behulp van de bovenste twee diagrammen de golfsnelheid van deze golf.

b Bereken de maximale snelheid van punt P als dit beweegt met een amplitude van 1,5 cm

Antwoord a

GEGEVEN de bovenste twee u,x-diagrammen van figuur 56

GEVRAAG d v = ? m s 1

U i TWER ki NG

• De golfsnelheid bereken je met v = f · λ en de frequentie bereken je met f = 1 T . De golflengte en de periode bepaal je uit de u,x-diagrammen.

• Meet in de u,x-diagrammen de golflengte en gebruik de schaal om de werkelijke golflengte te berekenen: 1,6 cm dus λ = 1,6 × 12,5 = 20 cm = 0,20 m

• Merk op dat er tussen het eerste en het tweede u,x-diagram één hele golflengte bij is gekomen.

• Bepaal de periode van de golf uit het verschil tussen de tijden van de eerste twee u,x-diagrammen: T = 0,70 0,30 = 0,40 s

• Bereken de frequentie.

Vul in: f = 1 0,40 = 2,50 Hz

• Bereken de golfsnelheid.

Vul in en rond af: v =

Antwoord b

GEGEVEN A = 1,5 cm ; T = 0,40 s

GEVRAAG d v max = ? m s 1

U i TWER ki NG

• Elk punt op de golf voert een trilling uit.

• Bereken de maximale snelheid van een trilling met v max = 2πA T Vul in en rond af: v

Faseverschillen bij een lopende golf

Bij het passeren van een reeks golven voeren alle stukjes van een koord, een veer of een wateroppervlak na elkaar dezelfde beweging uit. Omdat de fase van elk punt met dezelfde frequentie verandert, blijft het faseverschil tussen twee punten constant. Zie figuur 58.

Figuur 58 Twee momentopnames van een lopende (transversale) golf

Voor het faseverschil tussen twee punten geldt:

φ is het faseverschil tussen twee punten van het koord (een getal tussen 0 en 1, zonder eenheid)

∆ x is de afstand tussen die twee punten (in m)

λ is de golflengte (in m)

Als de punten één golflengte uit elkaar liggen, trillen ze gelijk. Hun faseverschil is dan 0 (of 1).

AARDBEVINGSGOLVEN

Een aardbeving ontstaat door een plotselinge beweging in de aarde. Het kunnen aardplaten zijn die langs elkaar schieten of instortingen van aardlagen boven bijvoorbeeld een leeg aardgasveld. Er ontstaat dan een trilling van een paar Hz die meestal enige seconden duurt. Heel zware aardbevingen kunnen een paar minuten duren. De golven die hierdoor in de aarde ontstaan zijn zowel longitudinaal, waardoor de aarde heen en weer schudt, als transversaal, waardoor de aarde op en neer beweegt. Deze golven worden gemeten door seismische stations overal op aarde. Omdat de snelheid van de longitudinale golven groter is dan die van de transversale golven, komen deze eerder aan in het meetstation. Uit het tijdsverschil kan de afstand tot de bron berekend worden. Een u,t-diagram van de trillende aardbodem wordt een seismogram genoemd.

In figuur 59 zie je het seismogram van de verwoestende aardbeving in Marokko die plaatsvond op 8 september 2023 om 22:11 uur. Je ziet dat de longitudinale golven het eerst werden gemeten. Deze meting vond plaats in Spanje.

longitudinale golven

transversale golven

Figuur 59 Seismogram

ONTHOUDEN

▸ Begrippen: echo, u,x-diagram.

▸ Echo is teruggekaatst geluid. Ultrasoonsensoren gebruiken echo om afstand te meten.

▸ De golfsnelheid van licht en andere elektromagnetische golven is de lichtsnelheid c

▸ Een u,x-diagram is de weergave van een lopende golf op een bepaald tijdstip.

▸ Uit een u,x-diagram kun je de amplitude, de golflengte en de fase aflezen.

▸ Het faseverschil tussen verschillende punten in een golf blijft gelijk.

O p GAVEN

35 Korte check

Beantwoord de volgende vragen als herhaling van Begrijpen en start van Beheersen.

a Met welke snelheid plant elektromagnetische straling zich voort?

b Welke grootheid stelt de Griekse letter λ voor?

c Wat is het verschil tussen een transversale en een longitudinale golf?

d Leg met een formule uit of de golflengte groter of kleiner wordt als de golfsnelheid toeneemt (bij constante frequentie).

e Leg met een formule uit of de golflengte groter of kleiner wordt als de frequentie toeneemt (bij constante golfsnelheid).

f Tussen welke twee punten kun je bij een longitudinale golf de golflengte meten?

g Kun je in een u,x-diagram de trillingstijd aflezen?

Zo ja, geef aan hoe je dat doet. Zo nee, leg uit waarom niet.

h Kun je in een u,x-diagram de golflengte aflezen?

Zo ja, geef aan hoe je dat doet. Zo nee, leg uit waarom niet.

i Kun je in een u,x-diagram de fase van een punt aflezen?

36 Golven in een koord

Een trillingsbron veroorzaakt lopende transversale golven in een koord. De golfsnelheid is 10 m s 1, de golflengte is 2,5 m en de amplitude is 8,0 cm

a Bereken de frequentie en de periode van de trillingsbron. Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.

b Laat met een berekening zien dat geldt: v = λ T

c Bereken de maximale snelheid van een punt van het koord.

d Leg uit wat het verschil is tussen de maximale snelheid van een punt op het koord en de golfsnelheid.

37 Lopende golf

In figuur 60 is een naar rechts lopende golf getekend op twee tijdstippen.

a Hoeveel trillingen heeft het punt P uitgevoerd tussen het bovenste en het onderste diagram?

De tijd tussen het bovenste en het onderste diagram is 1,5 s

b Bereken de periode en de frequentie.

De schaal van de tekening is 1 : 100.

c Laat zien dat je nu op twee manieren de golfsnelheid kunt bepalen.

38 Transversale golf

In figuur 61 zie je het u,x-diagram van een transversale golf in een koord De golven lopen naar rechts.

Figuur 61

a Leg uit dat de gereduceerde fase van de punten G en O nul is.

b Van welke punten is de gereduceerde fase 1 2 ?

c Van welke punten is de gereduceerde fase 3 4 ?

d Welk(e) punt(en) trillen in fase met A?

e Welk(e) punt(en) trillen in tegenfase met A?

f Geef aan hoe groot het faseverschil is tussen A en O.

g Schets in figuur 61 de stand van het koord een kwart periode later.

39 Golf op twee tijdstippen

In figuur 62 zie je het u,x-diagram van een transversale golfbeweging in een koord op twee tijdstippen t: t1 = 12,0 s en t2 = 12,5 s. In die tijd is de voorkant van de golf 16,5 cm naar rechts verschoven.

a Bereken met deze gegevens de golfsnelheid.

De breedte van het diagram komt overeen met 50 cm in werkelijkheid.

b Bepaal uit de figuur de golflengte.

c Bereken de frequentie van de trilling.

d Bepaal het faseverschil van het linker punt van het koord tussen t1 en t2

Hoe zie je dat faseverschil in figuur 62?

40 Hoorbaar geluid

t1 = 12,0 s

t2 = 12,5 s u →

x →

→ u → Figuur 62

Geluid kun je in het algemeen horen als de frequentie ervan ligt tussen 20 Hz en 20 kHz.

a Bereken tussen welke waarden de golflengtes van hoorbare geluidsgolven in lucht liggen bij een temperatuur van 20 °C. Zoek in het informatieboek de geluidssnelheid in lucht op.

b Leg uit of de golflengte groter of kleiner wordt als de temperatuur toeneemt.

In water van 20 °C heeft een toon een golflengte van 2,0 m.

c Kun je deze toon horen? Bereken daarvoor eerst de frequentie.

41 Toonhoogte van een sirene

De sirene van een ambulance zendt geluidsgolven uit met een frequentie van 440 Hz. De voortplantingssnelheid van het geluid in lucht is 343 m s 1 .

a Bereken de golflengte van de geluidsgolven die de stilstaande ambulance produceert. Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.

b Bereken de periode T van het geluid dat de stilstaande ambulance produceert.

Even verderop staat Asude. De ambulance beweegt nu met een snelheid van 30 m s 1 richting Asude.

c Bereken de afstand die de ambulance aflegt gedurende één periode (1 T).

De golflengte van het geluid is ‘samengedrukt’ met de afstand die de ambulance heeft afgelegd tijdens één periode.

d Bereken de frequentie van het geluid dat Asude hoort van de naderende ambulance. De ambulance is Asude gepasseerd en beweegt nu met een snelheid van 30 m s 1 weg van haar.

e Bereken de hoogte van de toon die Asude nu hoort.

42 Radiogolven

Voor telecommunicatie worden radiogolven gebruikt. Bij een wifi-kanaal is de frequentie 2412 MHz.

a Hoe groot is de voortplantingssnelheid bij deze vorm van informatieoverdracht?

b Bereken de golflengte van het wifi-kanaal.

De afstand tussen de aarde en Mars is minimaal 7,8 ·10 10 m. Stel dat er mensen op Mars zouden zijn.

c Bereken hoeveel tijd er minstens zit tussen het uitzenden van een radiosignaal naar Mars en het ontvangen van een antwoord.

43 Dobbers

In een sloot drijven twee dobbers A en B, op 60 cm van elkaar (zie figuur 63).

De golven in de sloot bewegen naar rechts. Daardoor gaan de dobbers met een frequentie van 2,0 Hz op en neer.

a Leg uit hoe groot het faseverschil tussen de twee dobbers is.

b Bereken de golflengte.

c Bereken de golfsnelheid v van deze watergolven.

De amplitude van dobber A is 4,0 cm.

d Bereken de maximale snelheid van dobber A.

44 Faseverschil

In figuur 64 is een gedeelte weergegeven van een golf die naar rechts beweegt. De golfsnelheid is 1,8 m s 1

a Leg uit dat op het moment van de tekening punt B naar beneden beweegt.

b Leg uit dat voor het faseverschil tussen A en B geldt: ​∆ φ = 5 8

c Bereken de golflengte en de frequentie.

64

45 Vleermuizen

Vleermuizen gebruiken hun oren om insecten (hun voedsel) te ‘zien’. Ze zenden korte geluidspulsen uit. De uitgezonden geluidspulsen kaatsen terug tegen het insect. De ontvangen echo geeft informatie over waar het insect zich bevindt.

Als het insect kleiner is dan de golflengte van het geluid, ‘ziet’ de vleermuis het niet. In dat geval ‘spoelt’ het geluid om het insect heen, en wordt het niet teruggekaatst.

De afmeting van een insect is ongeveer 3 mm

a Bereken welke frequentie het door de vleermuis uitgezonden ‘geluid’ minstens moet hebben om het insect te kunnen ‘zien’.

Waarom minstens?

Het door de vleermuis uitgezonden geluid wordt ultrasoon geluid genoemd.

b Verklaar deze naam.

c Leg uit waarom de vleermuis geluidspulsen uitzendt en geen continu geluid.

d Geef aan hoe de vleermuis de afstand tot het insect kan inschatten.

46 Gasbeving in Wirdum

Lees de context Aardbevingsgolven.

In 2022 was er een aardbeving in het Groningse Wirdum. De frequentie van deze aardbeving was 2,3 Hz. De beving ontstond op een diepte van 3,0 km. De beving werd in De Bilt door het KNMI gemeten, op een afstand van 174 km. De aardbeving veroorzaakte twee soorten golven: longitudinale golven met een golfsnelheid van 6,0 km s 1 en transversale golven met een snelheid van 3,5 km s 1

a Bereken de golflengte voor de transversale en voor de longitudinale golf.

b Bereken voor beide golven hoelang het duurde totdat bij het KNMI de trilling werd gemeten.

De tijdsduur tussen de ontvangst van de longitudinale golf en de transversale golf bij het KNMI is ​∆ t en de afstand tussen het epicentrum van de aardbeving en het KNMI is s.

c Leid af dat de relatie tussen ​∆ t en s wordt gegeven door: ​∆ t = s( 1 3,5 10 3 1 6,0 10 3)

d Leg uit dat met de metingen van één seismisch station niet kan worden bepaald waar de aardbeving plaatsvond.

e Leg uit dat er minstens drie seismische stations nodig zijn om precies te bepalen waar de aardbeving plaatsvond.

Bij het KNMI worden ook aardbevingen waargenomen die aan de andere kant van de aarde plaatsvinden. Een deel van de trillingen van deze aardbevingen gaat dwars door de aarde, waar het gesteente vloeibaar is.

f Leg uit welke van de twee soorten golven ook via de kortste route, dwars door aarde, kan gaan.

47 Golf in een touw

Het linkeruiteinde A van een touw begint op t = 0 s met trillen. Er ontstaat een naar rechts lopende golf met een snelheid van 20 m s 1. Zie figuur 65. Van punt P op dit touw is een u,t-diagram gemaakt. Zie figuur 66.

A P

Figuur 65

Figuur 66

a Hoelang duurt het voordat punt P begint met trillen?

b Leg uit of punt A bij de start vanuit de evenwichtsstand omhoog of omlaag is gegaan.

c Bepaal de frequentie van de golf.

d Bepaal de golflengte van de golf.

e Schets de stand van het touw op tijdstip t = 0,40 s en geef punt P in deze tekening aan.

48 Leerdoelen

Beheers je de leerdoelen al?

Geef jezelf een score op een schaal van 1 tot 4. Gebruik de opgave(n) tussen haakjes om jezelf te beoordelen.

Leerdoelen score soorten golven

1 Je kunt uitleggen wat een golf is en of een golf longitudinaal of transversaal is. (30, 32)

Golfsnelheid en golflengte

2 Je kunt rekenen en redeneren met golfsnelheid, golflengte, frequentie, gereduceerde fase en faseverschil van een lopende golf: v = f λ en ∆ φ = ∆ x λ (37, 42, 43)

3 Je kunt uit een u,x-diagram de golflengte, amplitude en gereduceerde fase van een lopende golf aflezen en bepalen hoe groot het faseverschil tussen twee punten is. (38, 39, 44)

4 Je kunt uitleggen hoe de waargenomen golflengte en frequentie van een golf veranderen als bron en ontvanger ten opzichte van elkaar bewegen. (33, 34)

Verder oefenen Online kun je verder oefenen met de leerstof van deze en eerdere paragrafen. 2 2 0

◯◯◯◯

◯◯◯◯

◯◯◯◯

7.3 Staande golven

ONT d E kk EN

Muziekinstrumenten hebben allemaal hun eigen klank. Een blokfluit klinkt anders dan een gitaar of een trombone, ook al wordt dezelfde melodie gespeeld.

Op een gitaar trilt een snaar heen en weer, in een blokfluit en een trombone trilt de lucht op en neer. De geluidsgolven die een muziekinstrument produceert, komen van de trillingen van de snaren van een snaarinstrument en van de lucht in een blaasinstrument.

Figuur 67

In deze paragraaf leer je hoe in muziekinstrumenten tonen ontstaan. Bij snaarinstrumenten gaat dat op een iets andere manier dan bij blaasinstrumenten, maar de principes zijn gelijk.

Na deze paragraaf kun je antwoord geven op vragen als:

▸ Hoe komt het dat je een hogere toon krijgt als je te hard blaast op een blokfluit?

▸ Hoe komt het dat je een lagere toon krijgt als je een trombone ‘uitschuift’?

▸ Hoe komt het dat elk muziekinstrument een andere klankkleur heeft?

LEERDOELEN

De volgende leerdoelen staan hierbij centraal:

▸ Je kunt bij een snaar en een open buis aangeven waar knopen en buiken ontstaan bij de grondtoon en bij boventonen en hoe groot de golflengte is.

▸ Je kunt bij een eenzijdig gesloten buis aangeven waar knopen en buiken ontstaan bij de grondtoon en bij boventonen en hoe groot de golflengte is.

▸ Je kunt rekenen en redeneren met de frequentie, de golflengte en de golfsnelheid van een staande golf.

BEGRijpEN

Fluitslang

Een fluitslang is een simpele geribbelde slang met twee open uiteinden. Als je de slang rondzwaait zoals in figuur 68, klinkt er bij een bepaalde snelheid een fluittoon. Ga je steeds sneller rondzwaaien, dan hoor je steeds hogere tonen. Deze verschillende tonen hebben vaste frequenties. Met een fluitslang kun je zo enkele tonen van een toonladder ‘spelen’. Het geluid ontstaat doordat wervelingen aan het rondzwaaiende uiteinde van de slang de lucht laten trillen. De lucht in de slang gaat meetrillen, net als de lucht in een klankkast van een stemvork. Kennelijk kan de lucht in de slang op verschillende manieren meetrillen: de slang heeft meerdere eigenfrequenties. De hogere frequenties heten boventonen De toon van de laagste eigenfrequentie is de grondtoon. (Bij een fluitslang lukt het vaak niet de grondtoon te laten klinken. De zwaaisnelheid die hoort bij de laagste eigenfrequentie is zo klein dat er dan te weinig luchtwervelingen optreden.)

Staande golven in een snaarinstrument

De verschillende eigenfrequenties van een snaar of koord kun je zichtbaar maken met een trillingsbron, zoals in figuur 69. Als de bron met een eigenfrequentie trilt, gaat het koord meetrillen (resonantie). Er ontstaat dan een staande golf in het koord. Die staande golf wordt veroorzaakt doordat de golf heen en weer kaatst door het koord.

Er zijn punten waar het koord niet beweegt: aan de twee uiteinden en in het midden. Zo’n plaats heet een knoop (K). Aan de twee uiteinden van de snaar zitten knopen, doordat de snaar daar ingeklemd zit. In het midden tussen twee knopen is de amplitude van de beweging het grootst. Zo’n plaats heet een buik (B).

Ook als je een snaar aanslaat, bijvoorbeeld op een gitaar, ontstaan er staande golven. Meestal is dat niet alleen de grondtoon, maar ook enkele boventonen. Zie figuur 70. De gestippelde lijnen geven de stand van de snaar op verschillende tijdstippen weer. Er zijn drie verschillende golven getekend die alle drie passen in de snaar. De bovenste tekening is de staande golf die hoort bij de grondtoon. Hier is de golflengte het grootst en de frequentie dus het kleinst. De grondtoon is de laagste toon van de snaar. Daaronder staan twee tekeningen van boventonen.

eerste boventoon tweede boventoon grondtoon

Figuur 70 Grondtoon en boventonen in snaar

Resonantie in een blaasinstrument

Bij een blaasinstrument wordt de lucht in het instrument in trilling gebracht door het aanblazen van het instrument door de muzikant. Een blaasinstrument bestaat uit een buis met daarin een luchtkolom, die kan resoneren met zijn eigenfrequenties.

Net als bij een snaar ontstaan door het aanblazen staande golven in de luchtkolom: zowel de grondtoon als enkele boventonen. En net als bij een snaar ontstaan die staande golven door het heen en weer kaatsen van geluidsgolven. De snelheid van die geluidsgolven is gelijk aan de geluidsnelheid.

In figuur 71a zie je hoe de lucht trilt in een open buis. Bij de uiteinden trilt de lucht heen en weer met de grootste amplitude. Daar ontstaat altijd een buik (B). In het midden van de buis beweegt de lucht niet. Daar ontstaat een knoop (K).

In figuur 71b zie je het bewegingspatroon van de eerste boventoon van een open buis. Bij de open uiteinden en ook in het midden van de buis bevindt zich een buik. In figuur 71c zie je het bewegingspatroon van de lucht bij de tweede boventoon in zo’n open buis.

Figuur 71 Resonanties in een open buis

Als je rustig op een blaasinstrument blaast, hoor je vooral de grondtoon. Door harder of anders te blazen verdwijnt de grondtoon en hoor je vooral de eerste boventoon, of de tweede boventoon. Sommige trompisten kunnen tot de twaalfde boventoon spelen.

RUBENS FLAME TUBE

Een mooie manier om staande geluidsgolven in een buis zichtbaar te maken is met de Rubens flame tube. In figuur 72 zie je een tekening en een foto van de opstelling. Aan het ene einde van de afgesloten buis wordt een brandbaar gas naar binnen gebracht, dat door kleine gaatjes aan de bovenkant van de buis naar buiten komt. Aan het andere einde van de buis is een luidspreker bevestigd die aangesloten is op een toongenerator. Bij de juiste frequentie ontstaat een staande golf van het gas in de buis. Waar een knoop ontstaat is de gasdruk het hoogst. Daardoor komt er bij de knopen van de staande golf meer gas naar buiten en op andere plaatsen minder. Dit zie je aan de hoogte van de vlammen in figuur 72.

metalen buis met gaatjes

rubber membraan

Figuur 72 Rubens flame tube

De klankkast van een stemvork is een eenzijdig gesloten buis. De lucht in deze kast resoneert longitudinaal met een knoop bij het dichte uiteinde en een buik bij het open uiteinde. Zie figuur 73.

Staande golven in een trillende lat

Een eenzijdig ingeklemde soepele lat kan transversaal resoneren met altijd een knoop bij het ingeklemde uiteinde en een buik bij het losse uiteinde. Ook hier zijn boventonen mogelijk. Zie figuur 74. In figuur 75 zie je een vingerpiano, een toepassing van eenzijdig ingeklemde staafjes in een muziekinstrument.

INTERFERENTIE: UITDOVING EN VERSTERKING

Een staande golf is een voorbeeld van interferentie. Een staande golf ontstaat doordat een lopende golf botst met het ingeklemde uiteinde van de snaar. De golf keert om, en de fase verschuift met precies 1 2. In een snaar weerkaatsen de golven aan de twee uiteinden. De heen en weer kaatsende golven zorgen op sommige plekken voor versterking (de trillingen zijn in fase) en op andere plekken voor uitdoving (de trillingen zijn in tegenfase). We noemen dit constructieve en destructieve interferentie. Het ontstaan van knopen en buiken is een kenmerkend gevolg van interferentie.

In figuur 76 zie je hoe uit twee golven die in tegengestelde richtingen bewegen een staande golf kan ontstaan. De rode punten in de figuur zijn de knopen van de staande golf. De afstand tussen twee knopen is steeds een halve golflengte. In figuur a doven ze elkaar vrijwel uit, in figuur b versterken ze elkaar (niet maximaal). Merk op dat de rode knooppunten steeds op dezelfde plek blijven.

Figuur 76 Interferentie van twee golven

Klankkleur van een instrument

Een stemvork op een passende klankkast geeft een zuivere toon, dus met één frequentie. De toon van een instrument is een samengestelde toon. De laagste frequentie hoort bij de grondtoon. Bijna elk muziekinstrument heeft een eigen klankkleur, doordat er tegelijk ook boventonen klinken. In figuur 77 zie je bijvoorbeeld het oscillogram van een toon van een klarinet. Het is de kunst om het instrument zo te bespelen dat er een goede mix van frequenties ontstaat en daarmee een mooie klank.

DE VORM VAN DE KLANKKAST

Met de zes snaren van een gitaar kun je veel verschillende tonen produceren. Al die verschillende tonen met hun boventonen worden versterkt door de klankkast. De klankkast is dus zo gebouwd dat een groot aantal tonen en boventonen versterkt worden. Bij violen is de bouw van de klankkast zo belangrijk dat de beste violen zeer veel geld waard zijn.

De klankkast van een stemvork is zeer simpel, een rechthoekige doos. Deze klankkast hoeft slechts één toon te versterken, en dat lukt het best met een simpele vorm.

78 Snaarinstrumenten hebben een klankkast

Experiment 9 Fluitslang en slinky

Experiment 10 proef van kundt

ONTHOUDEN

▸ Begrippen: boventoon, grondtoon, staande golf, knoop, buik, open buis, eenzijdig gesloten buis, samengestelde toon.

▸ In een aangeslagen snaar en in de luchtkolom van een blaasinstrument kunnen meerdere staande golven met verschillende frequenties tegelijk optreden: de grondtoon (laagste frequentie) en de boventonen (hogere frequenties).

▸ Een staande golf bestaat uit (onzichtbaar) heen en weer lopende golven met een golflengte die past bij een eigenfrequentie. In een staande golf zijn er opeenvolgend knopen en buiken.

▸ Bij een trillende snaar bevinden zich bij de uiteinden knopen en daartussen één buik of meerdere buiken en knopen.

▸ Bij resonantie in een open buis trilt de lucht bij de uiteinden maximaal heen en weer, daar bevinden zich buiken. Daartussen bevindt zich één knoop of meerdere knopen en buiken.

▸ In een eenzijdig gesloten buis (of een trillend latje) ontstaan staande golven met aan het dichte uiteinde een knoop en aan het open uiteinde een buik.

▸ De combinatie van grondtoon en boventonen zorgt voor de klankkleur van een toon.

O p GAVEN

Maak deze opgaven online of uit je boek.

49 Stellingen

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken.

1 Bij een staande golf in een luchtkolom trilt de lucht tussen twee knopen heen en weer in de lengterichting van de kolom.

2 Bij de grondtoon van een snaar trillen alle deeltjes tussen de twee ingeklemde uiteinden van de snaar tegelijk op en neer.

3 De grondtoon van een fluitslang verandert geleidelijk van hoogte als je de slang sneller ronddraait.

4 Een staande golf in een buis laat slechts één van de eigenfrequenties van de lucht in de buis horen.

5 Een staande golf in een snaar heeft altijd minstens twee knopen.

6 Het oscillogram van het geluid van een muziekinstrument wordt gevormd door de boventonen.

50 Blaasinstrumenten

Bij blaasinstrumenten, zoals een fluit, een trombone en een didgeridoo, wordt de lucht in het instrument in trilling gebracht door te blazen.

a Leg uit of de toon van een trombone hoger of lager wordt als het instrument wordt uitgeschoven.

b Leg uit waardoor de toon van een blokfluit lager wordt als je meer openingen afsluit.

Een didgeridoo (figuur 79) is een lange buis zonder gaten met twee open uiteindes. Een didgeridoo kun je niet ‘overblazen’: het is niet mogelijk om een hogere toon te maken door met meer kracht te blazen.

Figuur 79

c Leg uit waardoor je met een didgeridoo maar één toon kunt maken.

51 Staande golven in een snaar

Bij staande golven in een snaar ontstaat bij elk uiteinde een knoop (zie figuur 70).

a Leg uit dat bij de grondtoon de lengte van de snaar gelijk is aan een halve golflengte.

b Hoeveel halve golven zie je bij de 1ste boventoon? En bij de 3de boventoon?

c Leg uit dat de golflengte bij de 2de boventoon drie keer zo klein is als bij de grondtoon.

d Hoeveel keer zo klein of groot is de frequentie bij de 2de boventoon, vergeleken met de grondtoon?

52 Staande golven in een buis

Bij staande golven in een open buis zijn er knopen en buiken.

a Leg uit of er bij de uiteinden van een open buis een buik of een knoop is.

b Leg uit dat bij de 1ste boventoon in een open buis de lengte van de buis gelijk is aan de golflengte.

c Leg uit of de golflengte bij de 2de boventoon groter of kleiner is dan bij de 1ste boventoon.

d Hoeveel keer zo klein of groot is de frequentie bij de 2de boventoon, vergeleken met de grondtoon?

Een eenzijdig gesloten buis resoneert in de grondtoon.

e Leg uit waarom er dan een kwart golflengte in de buis staat.

53 Fluitslang

Als je een fluitslang ronddraait, kun je bij bepaalde snelheden een toon horen. Bij elke toon trilt de lucht in de fluitslang op een andere manier.

a Wat is de trillingsbron van de trilling van de lucht in de buis?

b Leg uit waardoor de toonhoogte verspringt naar de volgende frequentie als je de slang sneller laat rondzwaaien, in plaats van geleidelijk hoger te worden.

c Leg uit waardoor je geen toon hoort bij tussenliggende snelheden.

d Leg uit of de golflengte van de staande golf in de slang groter of kleiner wordt als je de slang sneller ronddraait.

54 Boventonen bij een fluitslang

De fluitslang heeft twee open uiteinden (zie figuur 68).

a Schets in een tekening waar de knopen en buiken liggen bij de grondtoon.

b Hoeveel buiken zijn er bij de 1ste boventoon? En bij de 3de boventoon?

c Wanneer is de golflengte gelijk aan de lengte van de buis: bij de grondtoon, bij de 1ste boventoon of bij een andere boventoon?

Als je de fluitslang korter maakt, hoor je andere tonen.

d Zijn de golflengtes dan groter of kleiner geworden? Leg uit.

e Zijn de tonen dan hoger of lager geworden? Leg uit.

55 Rubens flame tube

Lees de context Rubens flame tube

Met de Rubens flame tube kunnen de plaatsen van knopen en buiken in een buis zichtbaar gemaakt worden. De buis heeft twee dichte uiteinden.

a Is er bij een dicht uiteinde een knoop of een buik?

b Leg uit dat de vlammetjes alleen bij bepaalde tonen een golfpatroon laten zien.

De vlammen blijken het hoogst te zijn op de plekken waar de staande golf in de buis een knoop heeft.

c Leg uit of de afstand tussen twee toppen van de vlammen gelijk is aan een halve of een hele golflengte.

d Zijn er meer golven te zien in de vlammetjes bij een hoge of bij een lage toon? Leg uit.

56 Warmblazen

Tijdens het bespelen van een blaasinstrument neemt de temperatuur van de luchtkolom in het instrument toe.

a Zoek in het informatieboek op of de geluidssnelheid dan toeneemt of afneemt.

b Leg uit welke invloed dit heeft op de frequenties van de grondtoon en de boventonen.

Figuur 80

De muzikant kan het instrument stemmen door het mondstuk te verschuiven. Dat is de reden dat een blokfluit uit twee of drie delen bestaat, zie figuur 80.

c Leg uit of het instrument na het inspelen langer of korter gemaakt moet worden om dezelfde toon te produceren als voor het inspelen.

57 Staande golf in een koord

In figuur 81 zie je een staande golfbeweging in een koord. Punt C bevindt zich op dit moment in de uiterste stand.

a Leg uit dat de punten B, C en D in fase trillen.

b Geef aan welke andere punten in fase met B, C en D trillen.

c Geef aan welke punten in tegenfase met B, C en D trillen.

Figuur 81

d Geef aan welke punten de knopen en welke punten de buiken zijn.

e Leg uit of deze trilling de 1ste, 2de of 3de boventoon van het koord is.

f Teken in figuur 81 de stand van het koord 1 8 periode later.

58 Klankkast

Lees de context De vorm van de klankkast

Een elektrische gitaar heeft geen klankkast nodig, een akoestische gitaar wel.

Figuur 82

a Leg uit waarom een akoestische gitaar een klankkast nodig heeft.

b Leg uit waarom de klankkast van een cello veel groter is dan de klankkast van een viool.

c Leg uit waardoor een banjo een andere klank heeft dan een gitaar.

59 Interferentie

Lees de context Interferentie: uitdoving en versterking.

In figuur 83 zie je twee golven in een snaar. De rode golf beweegt naar rechts, de blauwe golf beweegt naar links. Beide golven hebben dezelfde golfsnelheid van 54 cm s 1

Figuur 83

a Teken in figuur 83 de optelsom van beide golven.

De golven bewegen nog een stukje verder.

b Hoeveel cm moeten beide golven zich verplaatsen zodat er destructieve interferentie plaatsvindt?

Maak een schets van deze situatie.

c Na hoeveel tijd vindt dit plaats?

Doordat de rode en blauwe golf tegelijkertijd door de snaar bewegen, ontstaat er een staande golf.

d Op welke posities bevinden zich de knopen? En waar bevinden zich de buiken?

60 Verhoudingen van tonen

In een open buis en in een eenzijdig gesloten buis ontstaat een 2de boventoon.

Vul de zinnen aan.

a Bij de 2de boventoon in de open buis is de lengte van de buis gelijk aan

b Bij de 2de boventoon in de open buis is de frequentie keer zo hoog als bij de grondtoon.

c Bij de 2de boventoon in de eenzijdig gesloten buis is de lengte van de buis gelijk aan

d Bij de 2de boventoon in de eenzijdig gesloten buis is de frequentie keer zo hoog als bij de grondtoon.

BEHEER s EN

Knopen en buiken tekenen

In een snaar, in een luchtkolom en bij een eenzijdig ingeklemde lat zijn meerdere staande golven mogelijk. Om uit te zoeken welke golven in de snaar of buis passen, teken je een patroon van knopen en buiken. Bij een luchtkolom maakt het daarbij uit of deze open is of eenzijdig gesloten.

Snaar en open buis

In figuur 84 zie je links de knopen en buiken in een snaar bij de grondtoon en de eerste twee boventonen. Aan de twee uiteinden van de snaar zit steeds een knoop. Bij de grondtoon (n = 1) past er een halve golf tussen de uiteinden van de snaar, bij elke volgende boventoon past op de lengte van de snaar een halve golf meer. De frequentie van de 1ste boventoon (waarvoor geldt dat n = 2) is het dubbele van die van de grondtoon. In figuur 84 zie je rechts de knopen en buiken in een open buis, bij de grondtoon en de eerste twee boventonen. Bij een open uiteinde zit altijd een buik. De grondtoon bestaat dus ook uit een halve golf en bij elke volgende boventoon komt er ook hier een halve golf bij.

Figuur 84 Grondtoon en boventonen bij een snaar en een open buis

De patronen van de snaar en de open buis zijn bijna gelijk, alleen zijn de knopen en buiken omgewisseld. De afstand tussen een knoop en een buik is steeds 1 4 λ. Bij de grondtoon past er dus een halve golflengte in de snaar of in de buis. Bij de 1ste boventoon is de lengte van de snaar of de buis gelijk aan een hele golflengte. Bij de 2de boventoon is de lengte van de snaar of de buis gelijk aan 3 2 golflengte, enzovoort. Voor de toon van een snaar en een open buis geldt dus de formule:

ℓ = n 1 2 λ

ℓ is de lengte van de snaar of de open buis (in m) n is het nummer van de toon (met n = 1 bij de grondtoon, n = 2 bij de 1ste boventoon, n = 3 bij de 2de boventoon enzovoort)

λ is de golflengte (in m)

Doordat een staande golf ontstaat door golven die met de golfsnelheid door de snaar of de buis lopen, kun je de frequentie berekenen met de formule voor de golfsnelheid: v

VOORBEELDOPGAVE 5

Een orgelpijp met twee open uiteinden heeft een lengte van 90 cm. De geluidssnelheid v = 343 m s 1

a Bereken de frequentie van de grondtoon b Bereken de frequentie van de 12de boventoon.

Antwoord a

GEGEVEN ℓ = 90 cm = 0,90 m ; v = 343 m s 1

GEVRAAG d f = ? Hz (van de grondtoon)

U i TWER ki NG

• De frequentie bereken je met de formule voor de golfsnelheid: v = f · λ

• Maak een schets van de grondtoon in de buis en bepaal daarmee hoeveel golflengtes in de buis passen, zie figuur 85. Bij de grondtoon is dat een halve golflengte, want de buis is aan beide kanten open.

• Bereken de golflengte met ℓ = 1 2 λ

• Schrijf om en vul in: λ = 2 ℓ = 2 × 0,90 = 1,80 m

Figuur 85

• Schrijf de formule voor de golfsnelheid om, vul in en rond af: f = v λ = 343 1,80 = 1,9 ·10 2 Hz

Antwoord b

GEGEVEN ℓ = 90 cm = 0,90 m ; v = 343 m s 1

GEVRAAG d f = ? Hz (van de 12de boventoon)

U i TWER ki NG

• De frequentie bereken je met de formule voor de golfsnelheid: v = f λ

• Het lukt nu niet om een goede schets te maken. Bereken daarom de golflengte met de formule ℓ = n 1 2 λ waarbij geldt dat n = 13 voor de 12de boventoon.

• Schrijf om en vul in: λ = ℓ n · 1 2 = 0,90 13 · 1 2 = 0,138 m

• Schrijf de formule voor de golfsnelheid om, vul in en rond af: f = v λ = 343 0,138 = 2,5 ·10 3 Hz

Trillende lat en eenzijdig gesloten buis

In figuur 86a zie je een transversale staande golf in een eenzijdig ingeklemde lat. Bij het ingeklemde uiteinde kan de lat niet trillen, daar zit een knoop. En bij het losse uiteinde zwiept de lat door, daar bevindt zich een buik. De grondtoon bestaat dus uit een kwart golf. Ook hier komt er bij elke boventoon een halve golf bij. In figuur 86b zie je een klankkast met een longitudinale staande golf. Bij het dichte uiteinde kan de lucht niet vooruit of achteruit, daar zit een knoop. En bij het open uiteinde bevindt zich een buik. De grondtoon bestaat dus uit een kwart golf. Ook hier komt er bij elke boventoon een halve golf bij.

86 Knoop en buik aan de uiteinden

In figuur 87 zie je hoe de knopen en buiken zorgen voor de grondtoon (n = 1) en boventonen als de grondtoon een kwart golf is. Links bij een transversale golf in een koord met een vast en een los uiteinde en rechts bij een eenzijdig gesloten buis.

Figuur 87 Grondtoon en boventonen bij koord en eenzijdig gesloten buis

De afstand tussen een knoop en een buik is steeds 1 4 λ. Bij de grondtoon past er dus een 1 4 golflengte in de eenzijdig gesloten buis. Bij de 1ste boventoon is de lengte van de buis dus gelijk aan 3 4 golflengte. Bij de 2de boventoon is de lengte van de buis gelijk aan 5 4 golflengte, enzovoort. Voor de toon van een eenzijdig gesloten buis geldt dus de formule:

ℓ = ​(2n − 1) 1 4 λ

ℓ is de lengte van de eenzijdig gesloten buis (in m) n is het nummer van de toon (met n = 1 bij de grondtoon, n = 2 bij de 1ste boventoon, n = 3 bij de 2de boventoon enzovoort) λ is de golflengte (in m)

VOORBEELDOPGAVE 6

Een luchtkolom in een eenzijdig gesloten buis van 57 cm resoneert bij 440 Hz. De geluidssnelheid v = 343 m s 1 .

a Laat aan de hand van een berekening zien welke (boven)toon dit is.

b Maak een schets van de knopen en buiken van deze toon en bereken de plaats van de buiken in de luchtkolom.

Antwoord a

GEGEVEN ℓ = 57 cm = 0,57 m ; v = 343 m s 1

GEVRAAG d n = ?​

U i TWER ki NG

• Het nummer van de toon vind je met ℓ = (2n 1) · 1 4 λ, de golflengte bereken je met v = f · λ

• Schrijf om en vul in: λ = v f = 343 440 = 0,7795 m

• Bereken het nummer van de toon.

Vul in, los op en rond af op een geheel getal: 0,57 = (2n 1) · 1 4 × 0,7795 → 0,57 = (2n 1) · 0,1949 → 0,57 0,1949 = (2n 1) → 2,92 = 2n 1 → n = 2 Dus het is de 1ste boventoon.

Antwoord b

GEGEVEN ℓ = 57 cm = 0,57 m ; λ = 0,7795 m ; de luchtkolom resoneert bij de eerste boventoon

GEVRAAG d een schets van de knopen en buiken en de exacte plaats van de buiken

U i TWER ki NG

• Bij de 1ste boventoon zijn er twee knopen en twee buiken te zien in de eenzijdig gesloten buis, zie figuur 88.

Er is een buik op 1 4 λ en een buik op 3 4 λ vanaf het gesloten uiteinde van de buis.

B K B K

Figuur 88

• Bereken de plaats van de eerste buik: 1 4 λ = 1 4 × 0,7795 = 0,195 = 19,5 cm vanaf het gesloten uiteinde

• Bereken de plaats van de tweede buik: 3 4 λ = 3 4 × 0,7795 = 0,585 = 58,5 cm vanaf het gesloten uiteinde. Deze buik ligt dus ongeveer 1,5 cm buiten de buis.

Frequenties van boventonen

Bij de eerste boventoon van een snaarinstrument is de golflengte twee keer zo klein als bij de grondtoon. Uit de formule v = f · λ volgt dan dat de frequentie twee keer zo groot is, want de golfsnelheid is hetzelfde. Volgens dezelfde redenering is de frequentie van de 2de boventoon drie keer zo groot als die van de grondtoon.

Bij de 1ste boventoon van een eenzijdig gesloten buis of een trillende lat is de golflengte drie keer zo klein als bij de grondtoon. De frequentie is dan drie keer zo hoog. De frequentie van de 2de boventoon is vijf keer zo hoog als die van de grondtoon. Uit de opeenvolging van boventonen kun je dan bepalen welk soort staande golf van toepassing is.

Frequentiespectrum

Elk muziekinstrument heeft een eigen klank, ook als de grondtoon gelijk is. Het zijn de boventonen die het verschil maken.

In het oscillogram van een snaar in figuur 89 kun je zien dat de grondtoon en de 1ste boventoon (links) een samengestelde toon opleveren (rechts).

grondtoon n = 1

boventoon n = 2

Figuur 89 Links de grondtoon en 1ste boventoon, rechts de samengestelde toon

Uit welke boventonen een samengestelde toon bestaat, zie je in een diagram van de amplitude tegen de frequentie, een frequentiespectrum. Uit een oscillogram kan een computerprogramma, bijvoorbeeld Signaalanalyse van Coach, zo’n frequentiespectrum berekenen. Zie figuur 90. Je ziet dan welke frequenties in het signaal voorkomen en hoe groot de amplitudes zijn van die verschillende boventonen.

n = 1 n = 2

frequentie f →

Figuur 90 Het frequentiespectrum van de samengestelde toon

VOORBEELDOPGAVE 7

Op een blaasinstrument wordt een lage noot gespeeld. In figuur 91 zie je links het oscillogram en rechts het frequentiespectrum.

Leg uit hoe je kunt zien dat het om een eenzijdig gesloten buis gaat.

Figuur 91 Oscillogram en frequentiespectrum

Antwoord

Uit het frequentiespectrum blijkt dat de grondtoon een frequentie heeft van ongeveer 0,09 kHz. De 1ste boventoon heeft een frequentie van ongeveer 0,27 kHz De frequentie van de 1ste boventoon is dus drie keer zo groot als de frequentie van de grondtoon. Dat betekent dat de golflengte van de 1ste boventoon drie keer zo klein is als de golflengte van de grondtoon en daaraan zie je dat het om een eenzijdig gesloten buis gaat.

ONTHOUDEN

▸ Begrip: frequentiespectrum.

▸ Bij een staande golf in een open buis en in een snaar bestaat de grondtoon uit een halve golf.

▸ Bij een staande golf in een eenzijdig ingeklemde lat en in een eenzijdig gesloten buis bestaat de grondtoon uit een kwart golf.

▸ In alle gevallen komt er bij elke hogere boventoon een halve golf bij.

▸ Bij staande golven reken je met de golfsnelheid van de lopende golven.

O p GAVEN

61 Korte check

Beantwoord de volgende vragen als herhaling van Begrijpen en start van Beheersen.

a Leg uit hoe de snaar trilt bij een knoop en bij een buik. Gebruik daarbij het begrip amplitude.

b Waardoor zit aan beide uiteinden van een snaar altijd een knoop?

De orgelpijpen voor hoge tonen zijn aan beide kanten open.

c Ontstaat op deze plaatsen een knoop of een buik?

Als je op een blaasinstrument met meer kracht blaast, hoor je een hogere toon.

d Hoe noem je zo’n toon?

e Wat is de verhouding tussen de golflengte van de grondtoon en de lengte van een open buis?

f Wat is de verhouding tussen de golflengte van de grondtoon en de lengte van een eenzijdig ingeklemde lat?

g Welke golfsnelheid is nodig om te rekenen met de tonen van een blaasinstrument?

Een snaar trilt in de eerste boventoon.

h Trillen de twee buiken ten opzichte van elkaar in fase of in tegenfase?

62 Frequenties van een snaar

De frequentie van de grondtoon van een snaar is 110 Hz. De golfsnelheid in de snaar is 220 m s 1 .

a Bereken de golflengte. Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.

b Bereken de lengte van de snaar.

c Leg uit dat de 1ste boventoon een frequentie van 220 Hz heeft.

d Hoe groot zijn de frequenties van de 2de en 3de boventoon?

63 Gitaar en trombone

Bij een gitaarsnaar wordt de toon hoger als de snaar korter wordt gemaakt door deze ergens vast te drukken met een vinger (figuur 92).

a Leg met behulp van een formule uit dat de frequentie (van de grondtoon) omgekeerd evenredig is met de lengte van de snaar.

b Leg uit of de toon van een trombone hoger of lager wordt als het instrument wordt ingeschoven.

Figuur 92

c Is de frequentie (van de grondtoon) bij een trombone omgekeerd evenredig met de lengte van de luchtkolom in het instrument? Leg uit.

Als je een gitaarsnaar strakker spant, wordt de toon hoger.

d Leg uit wat er dan verandert, de golfsnelheid of de golflengte. Wordt die groter of kleiner?

64 Open buis

In figuur 93 zie je een open buis. De geluidssnelheid is 343 m s 1 .

a Leg uit dat bij deze buis de golflengte van de grondtoon 3,0 m is.

b Bereken de frequentie van de grondtoon van deze buis.

Figuur 93

c Bereken de frequentie van de 1ste en de 2de boventoon.

d Bereken de golflengte en frequentie van de 9de boventoon.

65 Eenzijdig gesloten buis

In figuur 94 zie je een eenzijdig gesloten buis.

De geluidssnelheid is 343 m s 1

a Bereken bij deze buis de golflengte van de grondtoon.

b Bereken de frequentie van de grondtoon van deze buis.

Figuur 94

c Bereken de frequentie van de 1ste en de 2de boventoon.

d Bereken de golflengte en frequentie van de 8ste boventoon.

66 Tonen van een fluitslang

De laagste toon die je kunt maken door een fluitslang met een lengte van 92,0 cm rond te zwaaien, blijkt 373 Hz te zijn.

a Laat met een berekening zien dat deze toon niet de grondtoon van de fluitslang is, maar de 1ste boventoon.

b Bereken de frequentie van de grondtoon en van de 2de boventoon van deze fluitslang. Noteer je antwoorden in drie significante cijfers.

c Wat geldt er voor de golflengte en de frequentie van de 2de boventoon?

Bij de 2de boventoon is de golflengte 2 | 3 | 5 keer zo klein | groot en de frequentie 2 | 3 | 5 keer zo klein | groot als bij de grondtoon.

67 Knopen en buiken in een snaar

De 2de boventoon van een snaar heeft een frequentie van 500 Hz. De lengte van de snaar is 1,20 m

a Teken de knopen en buiken van de snaar bij de grondtoon en bij de 2de boventoon.

b Laat zien dat de golflengte van de 2de boventoon 80,0 cm is.

c Bereken de golfsnelheid in de snaar.

d Bereken de frequentie van de grondtoon en van de 1ste boventoon.

68 Mondharmonica

Een mondharmonica heeft achter elk gaatje een metalen lipje dat aan één kant vastzit. Als een speler lucht door een gaatje blaast, trilt het lipje in de grondtoon. Als het lipje van figuur 95 in de grondtoon trilt, ontstaat een toon van 392 Hz. Behalve in de grondtoon gaat het lipje ook trillen in de 1ste boventoon.

a Teken de posities van de knopen en buiken in het lipje bij de grondtoon en bij de 1ste boventoon.

b Bereken de golfsnelheid in het metalen lipje. Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.

c Bereken de frequentie van de 1ste boventoon.

95

69 Frequentiespectrum viool en piano

In figuur 96 zie je het frequentiespectrum van een toon van een viool (links) en van een piano (rechts). De frequentie van de grondtoon g is gelijk.

Figuur 96

a Leg uit of op beide instrumenten dezelfde muzieknoot gespeeld wordt. b Leg uit waardoor de klank(kleur) van beide instrumenten verschillend is.

70 Xylofoon

Een xylofoon bestaat uit een metalen frame waarop hardhouten klankstaven liggen. De klankstaven brengen een toon voort als je er met een xylofoonstok op slaat. Onder de klankstaven hangen resonantiebuizen die het geluid versterken. Zie figuur 97. Een van de klankstaven steunt op de plaatsen P en Q op het frame. Zie figuur 98. Wanneer de klankstaaf in het midden wordt aangeslagen, ontstaat in de staaf een staande transversale golf met knopen in de punten P en Q. De lengte PQ is 19,5 cm

Deze klankstaaf brengt bij kamertemperatuur een toon voort met een frequentie van 440 Hz

a Bereken de voortplantingssnelheid van de transversale golven in deze staaf. De resonantiebuizen die onder de klankstaven hangen, zijn aan de bovenkant open en aan de onderkant gesloten. Zie figuur 99. Na het aanslaan van een klankstaaf ontstaat in de lucht van de bijbehorende resonantiebuis een staande longitudinale golf met 1,3 cm boven de buis een buik. De frequentie van de grondtoon van de resonantiebuis is gelijk aan de frequentie van de klankstaaf. De temperatuur is 20 °C. b Bereken de lengte van de resonantiebuis die onder de klankstaaf van 440 Hz hangt.

97 19,5 cm

Q

98

99

71 Besklarinet

Een besklarinet is een houten blaasinstrument met een lengte van 68 cm, zie figuur 100. Aan het mondstuk van de klarinet zit een riet dat bij het aanblazen van de klarinet gaat trillen. Deze trilling brengt de luchtkolom in het middenstuk van de klarinet in een staande golfbeweging. In de klarinet zitten gaten.

Door een of meer van deze gaten te sluiten, kunnen verschillende tonen worden gemaakt.

Jelte plaatst voor een proef een microfoon bij het open uiteinde (de beker) van de klarinet.

In figuur 101 is het uitgangssignaal van de microfoon weergegeven als functie van de tijd bij de laagste toon van de klarinet, waarbij alle gaten dicht waren. De temperatuur van de klarinet was 20 °C.

Figuur 100

Figuur 101

a Bepaal uit het U,t-diagram van figuur 101 de frequentie van de gemeten grondtoon. Noteer je antwoord in drie significante cijfers.

Jelte wil bepalen of de klarinet kan worden gezien als een open luchtkolom of als een luchtkolom die eenzijdig gesloten is.

b Bereken de golflengte van het geluid en bepaal wat voor soort luchtkolom het best past bij deze meting aan de klarinet.

De volgende dag worden dezelfde metingen herhaald. Nu blijkt dat de frequentie van de grondtoon van de klarinet 10 Hz lager is dan de frequentie die hoort bij figuur 101. Jelte vraagt zich af of dit verschil veroorzaakt wordt door het temperatuurverschil tussen de twee meetdagen.

c Bereken hoe groot het temperatuurverschil moet zijn om een verschil van 10 Hz te kunnen meten.

72 Leerdoelen

Beheers je de leerdoelen al?

Geef jezelf een score op een schaal van 1 tot 4. Gebruik de opgave(n) tussen haakjes om jezelf te beoordelen.

Leerdoelen score

knopen en buiken bij staande golven

1 Je kunt bij een snaar en een open buis aangeven waar knopen en buiken ontstaan bij de grondtoon en bij boventonen en hoe groot de golflengte is: ℓ = n · 1 2 λ (52, 57, 66)

2 Je kunt bij een eenzijdig gesloten buis aangeven waar knopen en buiken ontstaan bij de grondtoon en bij boventonen en hoe groot de golflengte is: ℓ = (2n 1) · 1 4 λ (52, 68) ◯◯◯◯

3 Je kunt rekenen en redeneren met de frequentie, de golflengte en de golfsnelheid van een staande golf: v = f λ (56, 67, 69)

Verder oefenen Online kun je verder oefenen met de leerstof van deze en eerdere paragrafen.

7.4 Verdiepen

Kies een of meer onderwerpen van Verdiepen. Lees de theorie en maak de bijbehorende opgaven. Bij sommige onderwerpen is er een aparte onderzoeks- of ontwerpopdracht.

Frequentieanalyse

Welke boventonen meeklinken en hoe luid zie je in een diagram van de amplitude tegen de frequentie. Een computerprogramma kan zo’n frequentiespectrum berekenen uit een oscillogram van een groot aantal periodes. Je ziet dan welke frequenties in het signaal voorkomen en hoe groot de amplitudes zijn van die verschillende boventonen. Het is ook mogelijk om een frequentieanalyse uit te voeren op andere geluidsbronnen, bijvoorbeeld je stemgeluid. Een computer kan daardoor woorden leren herkennen en gesproken tekst omzetten in geschreven tekst.

Stemgeluid bevat veel verschillende frequenties met verschillende amplitudes en al die frequenties hebben ook nog eens een faseverschuiving ten opzichte van elkaar. De klanken volgen elkaar ook heel snel op.

Begin 19e eeuw heeft de Franse wiskundige Jean-Baptiste Fourier een methode ontwikkeld om een periodiek signaal te beschrijven als een optelsom van sinus- en cosinusfuncties. Hoe meer functies worden opgeteld, hoe beter de benadering wordt van het signaal, zie figuur 102. In de bovenste grafiek is de functie u(t) = 1 2 + 2 π sin(t) weergegeven. In de grafiek daaronder is de functie u(

) + 2 3π sin(3t) weergegeven. In de onderste grafiek zie je de grafiek van de functie u(t) = 1 2 + 2 π sin(t) + 2 3π sin(3t) + 2 5π sin(5t).

Figuur 102 De optelsom van meerdere sinusfuncties benadert het bloksignaal.

Hoe meer termen de optelsom bevat, hoe nauwkeuriger een signaal kan worden benaderd. De reeks kun je dan wiskundig beschrijven als:

u(t) = 1 2 + 2 π ∑ n=1 ∞ 1 2n 1 sin((2n 1)t)

Een dergelijke reeks wordt een fourierreeks genoemd.

73 Blokfunctie

Onderstaande fourierreeks beschrijft een bloksignaal waarvan de eerste drie termen in figuur 102 zijn weergegeven:

u(t) = 1 2 + 2 π ∑ n 1 ∞ 1 2n 1 sin((2n 1)t)

a Teken het signaal in een u,t-diagram voor de eerste 12 s Tip: Als je een grafische rekenmachine gebruikt, kun je de eerste vier termen gebruiken om een blokfunctie te plotten op het schermpje.

b Omschrijf dit signaal als stuksgewijs gedefinieerde functie, zoals: u(t) = {1 voor 0 voor …

74 Boventonen in fourierreeks

Van een snaar wordt een eenvoudig frequentiespectrum gemaakt, zie figuur 103.

Figuur 103

a Stel een sinusfunctie op voor de grondtoon.

Omdat de amplitude voor de boventonen kleiner wordt, moet in de fourierreeks voor elke boventoon deze amplitude apart gegeven worden. Voor de amplitude van de grondtoon geldt A1 = 1.

b Bepaal uit figuur 103 de coëfficiënten van alle amplitudes en vul de tabel verder in.

c Stel een fourierreeks op van het gehele frequentiespectrum.

Begin met: u(t) =∑ n=1 n 4 A n · …​

Onderzoeksopdracht Bij dit onderwerp hoort de onderzoeksopdracht Frequentiespectra. Deze vind je online onder Downloads. In deze opdracht ga je de frequentiespectra van muziekinstrumenten onderzoeken.

Resonantie en demping

Bij resonantie kan de trillingsenergie snel toenemen (zie figuur 104), maar alleen als er voortdurend van buitenaf energie wordt toegevoerd. Meestal is er wrijving waardoor trillingsenergie verloren gaat. Dat heet demping. Bij een trillend systeem met demping neemt de amplitude niet verder toe wanneer het verlies van energie door demping per periode even groot is geworden als de toegevoerde energie.

Figuur 104 Het u,t-diagram van een resonerende trilling zonder demping

Als het toegevoerde vermogen groot is en de demping klein, kan een trillend systeem door resonantie zelfs kapot gaan. Het kristallen wijnglas van figuur 105 is met een toongenerator en luidspreker kapot getrild. Dat is gelukt met voldoende vermogen uit de luidspreker en met precies de eigenfrequentie van het wijnglas. De bovenrand vervormt dan van ovaal via cirkel naar ovaal en weer terug (zie figuur 106) totdat het wijnglas breekt.

Figuur 105 Door resonantie geknapt

Figuur 106 Bovenaanzicht van een zingend wijnglas, overdreven getekend

Grote bouwwerken, zoals bruggen en gebouwen, kunnen ook resonantie-effecten vertonen. Meestal is de wind de oorzaak van het trillen. Als de trillingen, veroorzaakt door de juiste windsnelheid, precies passen bij de eigenfrequentie van een brug, dan gaat de brug heftig bewegen. Er kunnen dan scheurtjes ontstaan in de constructie van de brug. De voorganger van de Tacoma-brug, zie de foto bij de introductie van dit hoofdstuk, is in 1940 zelfs ingestort. Tegenwoordig worden ontwerpen met behulp van computermodellen getest en als schaalmodel in een windtunnel geplaatst voordat ze in het echt worden gebouwd. Maar zelfs dat voorkomt niet alle problemen. In 1996 werd duidelijk dat de tuien van de Erasmusbrug bij bepaalde windsnelheden begonnen te slingeren. Er zijn toen dempers aangebracht om deze trillingen te voorkomen (zie figuur 107).

Figuur 107 De dempers op de tuien van de

75 Wijnglas

Om een wijnglas te laten knappen met behulp van een toongenerator en een luidspreker, moet de luidspreker vanaf de zijkant op het glas gericht worden. Leg uit dat er op die manier ‘steeds op het juiste moment een kracht in de juiste richting’ kan worden uitgeoefend.

Onderzoeksopdracht Bij dit onderwerp hoort de onderzoeksopdracht Demping. Deze vind je online onder Downloads. In deze opdracht ga je met behulp van een model de dempingsfactor van een trilling onderzoeken.

7.5 Afsluiten

Je bent aan het einde gekomen van dit hoofdstuk. Ga na of je de theorie beheerst met behulp van de samenvattingen, zelftoets en/of eindopgaven. Ook kun je met de zelfevaluatie terugkijken op dit hoofdstuk.

76 Samenvatten met vragen

Maak een samenvatting met behulp van de volgende vragen.

a Wat is de toonhoogte van een trilling?

b Wanneer hoor je een trilling als een zuivere toon?

c Wat is de functie van een klankkast?

d Waarin verschilt een samengestelde toon van een zuivere toon?

e Welke grootheden bepalen de frequentie van een trillend massa-veersysteem?

f Welke grootheden bepalen de maximale snelheid van een harmonische trilling?

g Welke grootheden bepalen de toonhoogte van een snaar?

h Wat bepaalt de toonhoogte van een blaasinstrument?

i Wanneer treedt resonantie op?

j Wat versta je onder de gereduceerde fase bij een harmonische trilling?

k Hoe bepaal je nauwkeurig de periode van een geluidsbron in een oscillogram?

l Welke formule geldt voor de periode van een massa-veersysteem?

m Welke formule geldt voor de maximale snelheid in een harmonische trilling?

n Hoe plant geluid zich voort door een stof?

o Wat is de golflengte van een golf?

p Hoe verandert de toonhoogte van een naderende of een zich verwijderende bron door het dopplereffect?

q Omschrijf het verschil tussen een transversale en een longitudinale golf.

r Welke formule beschrijft het verband tussen golflengte en frequentie bij een golf?

s Welke formule beschrijft het verband tussen het faseverschil, de afstand tussen twee punten en de golflengte van een golf?

t Hoe ontstaat de klankkleur van een muziekinstrument?

u Waaraan herken je een staande golf?

v Waar liggen knopen en buiken bij de grondtoon:

• in een snaar?

• in een open buis?

• in een eenzijdig gesloten buis?

77 Samenvatten met tabellen

Maak een samenvatting met behulp van de Begrippentabel en Formuletabel.

Deze vind je online onder Downloads.

78 Samenvatten met een begrippenweb

Maak een samenvatting met behulp van het Begrippenweb.

Dit vind je online onder Downloads.

Zelftoets en zelfevaluatie Test je kennis van het hele hoofdstuk met de online zelftoets. Reflecteer op hoe het werken aan dit hoofdstuk ging met de online zelfevaluatie.

EiNdOpGAVEN

79 Trillende metalen strip

Een metalen strip is aan één uiteinde ingeklemd.

Aan het vrije uiteinde van de strip wordt een as met schroefdraad bevestigd, zoals in figuur 108.

De strip wordt in trilling gebracht door het vrije uiteinde een zetje te geven. De trillende massa van strip plus schroefas is 15 g.

Op de schroefas worden vervolgens metalen ringen vastgeschroefd. Daardoor verandert de trillingstijd T van het systeem. De meetresultaten van de massa van de ringen m r en de periode T staan in de tabel van figuur 109.

a Bereken aan de hand van de eerste meting (zonder ringen) de veerconstante van dit massa-veersysteem.

Bij drie ringen is de totale trillende massa vijf keer zo groot als zonder ringen, maar de trillingstijd is niet vijf keer zo groot geworden.

b Bereken met welke factor de trillingstijd is toegenomen.

108

109

c Leg uit dat die factor in overeenstemming is met de theorie. Om het verband tussen de trillingstijd en de totale massa te onderzoeken, wordt coördinatentransformatie toegepast. Langs de verticale as wordt de trillingstijd T uitgezet.

d Leg uit welke grootheid dan langs de horizontale as moet worden uitgezet.

80 Sopraansaxofoon

Mauro onderzoekt de toonvorming van een sopraansaxofoon. Zie figuur 110.

Bij het open uiteinde zal wel een buik zijn, maar hoe zit het bij het mondstuk? Is dat een gesloten uiteinde of toch niet (helemaal)? Hij overweegt twee mogelijkheden:

A Een sopraansaxofoon is een eenzijdig gesloten buis.

B Een sopraansaxofoon is een open buis.

Om deze mogelijkheden te onderzoeken, registreert hij de toon met alle kleppen dicht.

Zie figuur 111. De sopraansaxofoon is 66 cm lang.

a Toon aan dat geen van beide hypotheses bevestigd wordt door de gegevens van figuur 111 in combinatie met de lengte van de sopraansaxofoon.

110

111

Om nog op een andere manier de mogelijkheden te testen, kijkt Mauro naar de boventonen. In figuur 112 zijn de frequenties van een toon van de saxofoon weergegeven.

b Leg aan de hand van figuur 112 uit dat mogelijkheid B het meest gesteund wordt. Het lijkt erop dat mogelijkheid B klopt, maar de grondfrequentie klopt niet. Daarom gaat Mauro verder zoeken en vindt hij een theorie die zegt dat een saxofoon een conische buis heeft. Dat wil zeggen dat de buis een deel van een kegel is. Zie figuur 113.

Deze figuur is op schaal. Voor de grondtoon van een conische buis geldt:

λ = 2 · ℓak Hierin is λ de golflengte van de grondtoon (in m) en ℓak de akoestische lengte van de conische buis (in m). Deze akoestische lengte kan verkregen worden door de lengte van de buis te bepalen tot het denkbeeldige punt waar de diameter van de buis gelijk is aan nul.

c Laat zien of uit metingen van figuur 113 blijkt dat een sopraansaxofoon een ‘conische buis’ is.

81 Springdrum

Een ‘springdrum’ is een muziekinstrument bestaande uit drie delen: een holle koker, een vel en een lange spiraalveer. Door de koker met de hand te schudden, geeft de springdrum geluid. Sandra doet onderzoek naar de springdrum en legt het geluid van het instrument vast met een microfoon en een computer. Dit levert het oscillogram van figuur 114 op. Daaruit volgt dat de grondfrequentie van dit geluid 3,0 ·10 2 Hz is.

a Toon dat aan.

Sandra ziet dat tijdens het schudden van de springdrum een transversale staande golf ontstaat in de spiraalveer. Zie figuur 115. De veer heeft een massa van 15 g, is 46 cm lang en heeft een veerconstante van 128 N m 1

In de tekening zijn de uiterste standen van de veer schematisch weergegeven.

De snelheid van de transversale golf in de veer bedraagt 2,0 m s 1. Haar hypothese is nu dat de trilfrequentie van de veer gelijk is aan de grondfrequentie van het geluid dat de springdrum voortbrengt.

112

113

114

115

b Maak met behulp van figuur 115 een schatting van de golflengte in de veer en toon daarmee aan dat de hypothese van Sandra onjuist is.

Het blijkt dus dat de schudfrequentie (die de veer in trilling brengt) niet gelijk is aan de grondfrequentie van het geluid. Sandra bedenkt dat er tijdens het schudden van de koker ook een longitudinale golf in de veer ontstaat. Ze denkt dat deze longitudinale golf het vel van de drum in trilling brengt.

c Geef een argument waarom het logischer is dat een longitudinale golf in de veer het vel in trilling brengt, dan een transversale golf.

In de veer ontstaan meerdere longitudinale golven overeenkomend met de grondtoon en een aantal boventonen. We gaan ervan uit dat bij het vel een knoop zit. Een van de boventonen in de veer komt overeen met de grondtoon van 300 Hz van de luchtkolom in de koker. Voor de golfsnelheid van een longitudinale golf in een veer geldt:

vL = ℓ · √ C m

Hierin is: vL de golfsnelheid (in m s 1), ℓ de lengte van de veer (in m), C de veerconstante (in N m 1) en m de massa van de veer (in kg).

d Bereken met behulp van deze gegevens welke boventoon (1ste, 2de, enzovoort) van de longitudinale golf overeenkomt met de grondtoon van 300 Hz van de luchtkolom in de koker.

82 Bepaling van de geluidssnelheid

In figuur 116 is schematisch een bron weergegeven die geluidsgolven uitzendt. In dezelfde figuur zie je de verdichtingen en verdunningen die zich naar rechts verplaatsen.

In de punten P en Q wordt het geluid waargenomen met behulp van twee microfoons.

Figuur 116

a Leg aan de hand van figuur 116 uit dat het faseverschil tussen P en Q groter is dan 1,0.

In figuur 117 zie je een oscilloscoopbeeld van de signalen van P en Q. De tijdbasis van de oscilloscoop is ingesteld op 0,5 ms/hokje.

b Bepaal de periode van het geluid. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.

c Beschrijf hoe je aan het oscilloscoopbeeld kunt zien dat voor het faseverschil tussen de twee signalen geldt: ​∆ φ = 1 4

d Leg uit of de microfoon in P aangesloten is op kanaal 1 of op kanaal 2.

Figuur 117

Deze opstelling wordt gebruikt om de geluidssnelheid in koolzuurgas (CO2) te meten.

De afstand tussen P en Q is nu 1,19 m. De frequentie van de geluidsbron is regelbaar. Bij verschillende frequenties wordt het faseverschil tussen P en Q bepaald. Zie figuur 118.

Figuur 118

e Leg uit waardoor het faseverschil toeneemt als de frequentie groter wordt. f Bepaal de geluidssnelheid in het koolzuurgas.

Kies daartoe een geschikt punt in figuur 118, en bepaal voor dat punt het faseverschil. Noteer je antwoord in drie significante cijfers.

De bron wordt op een karretje gezet en beweegt met een bepaalde snelheid in de richting van de punten P en Q.

g Beschrijf hoe het geluid dat wordt waargenomen in de punten P en Q verandert.