Issuu

examen bundel examenbundel.nl

examenbundel 2020 2021

examenbundel vwo Nederlands vwo Engels vwo Duits vwo Frans vwo Economie vwo Bedrijfseconomie vwo Maatschappijwetenschappen vwo Geschiedenis vwo Aardrijkskunde vwo Wiskunde A vwo Wiskunde B vwo Wiskunde C vwo Scheikunde vwo Biologie vwo Natuurkunde

samengevat vwo Economie vwo Bedrijfseconomie vwo Maatschappijwetenschappen vwo Geschiedenis vwo Aardrijkskunde vwo Wiskunde A

Meer dan alleen oefenexamens

Tips, tricks en informatie die jou helpen bij het slagen voor je eindexamen vind je op examenbundel.nl! Nog meer kans op slagen? Volg ons ook op social media. #geenexamenstress

vwo Wiskunde B vwo Wiskunde C vwo Scheikunde vwo Biologie vwo Natuurkunde

examenidioom + examenbundel + samengevat + zeker slagen! = #geenexamenstress

2020 2021

Wiskunde A

havo/vwo Rekenen 3F/4F

vwo

havo/vwo Nederlands 3F/4F

vwo

Wiskunde A

examenidioom vwo Engels vwo Duits vwo Frans

zeker slagen ! voor vmbo, havo ĂŠn vwo

EB_vwo_wisA_170x240.indd 1

9 789006 781496

3/06/20 08:02

9789006781496_EB_vWiA.indb 8

24/04/20 08:25

examenbundel.nl

examen bundel Meer dan alleen oefenexamens

2020 2021

vwo

9789006781496_EB_vWiA.indb 1

H.R. Goede

Wiskunde A

24/04/20 08:25

Colofon Auteur H.R. Goede Vormgeving binnenwerk Maura van Wermeskerken, Apeldoorn Opmaak Crius Group, Hulshout Redactie Lineke Pijnappels, Tilburg Auteur stappenplan T.H.J. Heutmekers

Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff ontwikkelt zich van educatieve uitgeverij tot een learning design company. We brengen content, leerontwerp en technologie samen. Met onze groeiende expertise, ervaring en leeroplossingen zijn we een partner voor scholen bij het vernieuwen en verbeteren van onderwijs. Zo kunnen we samen beter recht doen aan de verschillen tussen lerenden en scholen en ervoor zorgen dat leren steeds persoonlijker, effectiever en efficiënter wordt. Samen leren vernieuwen. www.thiememeulenhoff.nl

Vormgeving stappenplan OudZuid Ontwerp, Dieren

ISBN 978 90 06 78149 6 Eerste druk, eerste oplage, 2020 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2020 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd. Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

EB_vwo_wisA_Deel1.indd 2

27/05/20 09:59

Voorwoord Met deze examenbundel kun je je goed voorbereiden op het schoolexamen en het centraal examen voor het vak wiskunde A op vwo-niveau. De examenbundel bevat de volgende onderdelen: Oriëntatietoets: Deze bestaat uit vragen over alle onderwerpen die in 2021 centraal geëxamineerd worden. Zo kun je nagaan of je de basisbegrippen van de examenonderwerpen beheerst. De antwoorden vind je op www.examenbundel.nl. Na het invullen van je scores krijg je een handig studieadvies. Deel 1: Hier vind je per examenonderwerp een aantal (bewerkte) examenopgaven met uitwerkingen. In de uitwerkingen staan de antwoorden en de daarbij horende toelichtingen. Bij alle vragen zijn hints gegeven om je, waar nodig, op weg te helpen. Deel 2a: In dit deel staan enkele complete examens met hints en uitwerkingen. Deel 2b: Hierin vind je een stappenplan dat je kan helpen bij het werken met deze examenbundel. Achter in deze bundel vind je tabellen om je ‘cijfer’ te bepalen en een onderwerpregister. Met deze examenbundel kun je oefenen voor het examen in je eigen tijd en in je eigen tempo. Oefenen houdt in dat je eerst probeert een opgave zelf te maken. Lukt dat niet, bekijk dan de hint die bij deze vraag hoort (zie de bladzijde na de opgaven). Pas daarna controleer je jouw antwoorden met de uitwerkingen. Je kunt je vaardigheid om examenopgaven te maken vergroten door het boek samengevat te gebruiken. In dat boek wordt de examenstof per onderwerp overzichtelijk gemaakt en uitgelegd. Ook op www.examenbundel.nl kun je op verschillende manieren oefenen om te kijken of je alle examenstof al beheerst. Voor reacties, zowel van leerlingen als van docenten, houden wij ons graag aanbevolen. Mail naar vo@thiememeulenhoff.nl. Amersfoort, mei 2020

Opmerkingen Het centraal examen vwo wiskunde A 2021 wordt afgenomen op maandag 17 mei tussen 13.30 en 16.30 uur. De makers van de examenbundel en samengevat wensen je daarbij alvast heel veel succes. Op blz. 2 van het examen wordt een lijst van formules afgedrukt. Deze lijst staat achter in deze examenbundel. De overheid stelt regels op die betrekking hebben op specifieke examenonderwerpen, de hulpmiddelen die je tijdens je examen mag gebruiken, duur en datum van je examen, etc. Hoewel deze examenbundel met de grootst mogelijke zorgvuldigheid is samengesteld, kunnen auteur en uitgever geen aansprakelijkheid aanvaarden voor aanwijzingen die betrekking hebben op publicaties van de overheid. Het is altijd raadzaam je docent of onze website www.examenbundel.nl te raadplegen voor actuele informatie die voor jouw examen van belang kan zijn.

EB_vwo_wisA_Deel1.indd 3

27/05/20 09:59

Begin met het stappenplan! Wil je weten hoe je het best leert en oefent met deze examenbundel? Bekijk dan eerst het stappenplan in deel 2b.

EB_vwo_wisA_Deel1.indd 4

27/05/20 09:59

Inhoud 3 Voorwoord 6 Tips

Oriëntatietoets

Examens met uitwerkingen

9 Opgaven

Deel 1

Oefenen op onderwerp

1 Algebraïsche vaardigheden 19 Opgaven 24 Hints - uitwerkingen

2 Telproblemen 31 Opgaven 39 Hints - uitwerkingen

3 L ineaire, kwadratische en machtsfuncties 45 Opgaven 67 Hints - uitwerkingen

4a E xponentiële en logaritmische functies 80 Opgaven 100 Hints - uitwerkingen

Deel 2a

Examen 2017-I 191 Opgaven 200 Hints - uitwerkingen Examen 2017-II 206 Opgaven 215 Hints - uitwerkingen Examen 2018-I 223 Opgaven 233 Hints - uitwerkingen Examen 2018-II 240 Opgaven 248 Hints - uitwerkingen Examen 2019-I 255 Opgaven 264 Hints - uitwerkingen Examen 2019-II 270 Opgaven 280 Hints - uitwerkingen

4b De sinus 112 Opgaven 125 Hints - uitwerkingen

5 Rijen 133 Opgaven 138 Hints - uitwerkingen 6 Verandering en helling 143 Opgaven 151 Hints - uitwerkingen

7 Afgeleide functies 157 Opgaven 166 Hints - uitwerkingen

8 Onderzoeksopgaven 174 Opgaven 182 Hints - uitwerkingen

EB_vwo_wisA_Deel1.indd 5

Deel 2b 287

Stappenplan Bijlagen

Cijferbepaling Onderwerpregister Lijst van formules Examenwerkwoorden Afrondregels

27/05/20 09:59

Tips bij het maken van (examen)opgaven bij exacte vakken Bij het op de juiste manier oplossen van een probleem doorloop je in het algemeen drie stappen: de voorbereiding, de uitvoering en een controle. Het maakt daarbij niet uit of je moet uitzoeken waarom je mobiel het ineens niet meer doet, of dat je een wiskundig vraagstuk moet oplossen. Bij de aanpak van problemen krijgt de uitvoering vaak de meeste aandacht. De voorbereiding is in vele gevallen minimaal en controle blijft meestal achter wege. Toch is het dikwijls een goede voorbereiding die tot de juiste oplossing leidt. En een controle achteraf kan onjuiste antwoorden voorkomen ten gevolge van rekenfouten, verkeerde eenheden of verschrijvingen. In het onderstaande overzicht tref je een aantal suggesties aan die je bij het maken van opgaven van nut kunnen zijn. Een aantal daarvan lijkt heel vanzelfsprekend en waarschijnlijk maak je er, bewust of onbewust, al gebruik van. Andere tips zijn misschien minder bekend. Geef ze eens extra aandacht en kijk of dat je resultaten verbetert. Voorbereiding · Kijk eerst vluchtig alle opgaven door en begin met de opgaven die je vertrouwd voorkomen. · Ga na hoeveel tijd beschikbaar is per opgave. Probeer te voorkomen dat je te lang bezig blijft met dezelfde vragen en daardoor weinig punten scoort. · Lees de tekst van de gekozen opgave rustig en nauwkeurig. Onderstreep of markeer hierbij aanwijzingen, begrippen, formules, getallen e.d. die van belang kunnen zijn. Deze informatie is dan bij het beantwoorden van de vragen snel terug te vinden. · Als de tekst van een opgave je onbekend voorkomt, kunnen de vragen die erbij horen je toch vaak op een idee brengen. · Lees elke vraag nauwkeurig en ga na welke informatie je nodig denkt te hebben om de vraag te kunnen beantwoorden. Zoek deze gegevens op in de tekst van de opgave of in andere beschikbare bronnen (zoals het Binas Informatieboek). Slechts in een beperkt aantal gevallen zul je uitsluitend met parate kennis het antwoord moeten geven. · Bepaal welke tussenstappen je bij de beantwoording van de vraag zult moeten maken. Deze worden bepaald door het ‘gat’ dat er zit tussen de gegevens en het gevraagde. Je kunt daarbij zowel van de gegevens als van het gevraagde uitgaan. · Begin pas aan de uitvoering, wanneer je de aanpak van het vraagstuk overziet. Uitvoering · Reserveer op je papier voor elke opgave voldoende ruimte. Je werk wordt daardoor overzichtelijker en je kunt je antwoord makkelijker aanvullen. · Schrijf alle tussenstappen op, zodat zichtbaar wordt hoe je tot je antwoord bent gekomen. · Indien om uitleg wordt gevraagd, mag die niet ontbreken. · Schrijf bij twijfel altijd iets op (behalve als je zelf al kunt beoordelen dat je antwoord nergens op slaat). In een onvolledig antwoord kan een simpele omrekening tussen eenheden toch een punt opleveren. Controle · Lees de vraag nog eens over. Is hij volledig beantwoord? · Vind je het gevonden antwoord zinnig (klopt b.v. de orde van grootte)? Zo niet, probeer je denk- of rekenfout op te sporen of maak daarover ten minste een opmerking. · Is de juiste eenheid vermeld? · Is de afronding van een verkregen waarde in overeenstemming met de vraag stelling? Let op het juiste aantal cijfers achter de komma. 6

9789006781496_EB_vWiA.indb 6

24/04/20 08:25

De antwoorden vind je op www.examenbundel.nl.

OriĂŤntatietoets

9789006781496_EB_vWiA.indb 7

24/04/20 08:25

9789006781496_EB_vWiA.indb 8

24/04/20 08:25

Oriëntatietoets Lawaaitrauma

■■■■

Als je langdurig harde geluiden hoort, kunnen klachten ontstaan, zoals stress of Lawaaitrauma gehoorbeschadiging. Men spreekt dan van een lawaaitrauma.

In Noorwegen bleek het aantal militairen met een lawaaitrauma tussen 1 januari 1982 Als je langdurig harde geluiden hoort, kunnen klachten ontstaan, zoals stress of en 1 januari 1988 te zijn verdubbeld. gehoorbeschadiging. Men spreekt dan van een lawaaitrauma. Op 1 januari 1982 hadden 4500 van hen een aantoonbaar lawaaitrauma. Neem aan dat het aantal militairen met zo’n trauma in de periode 1982–1988 In Noorwegentoenam. bleek het aantal militairen met een lawaaitrauma tussen 1 januari 1982 exponentieel en 1 januari 1988 te zijn verdubbeld. 1 januari 1982 hadden 4500 een aantoonbaar lawaaitrauma. 5p 1 Op Bereken het aantal militairen datvan op 1hen januari 1985 een lawaaitrauma had. Rond je Neem aanafdat aantal militairen met zo’n trauma in de periode 1982–1988 antwoord ophet honderdtallen. exponentieel toenam. 5 p 17 ■ Bereken het aantal militairen dat rond op 1 januari 1985 een lawaaitrauma had. Rond In de Verenigde Staten heeft men 1990 vastgesteld dat geluidssterktes van je antwoord meer dan af 90 op dBhonderdtallen. (decibel) waaraan iemand langer dan 8 uur per dag (een werkdag) wordt blootgesteld, een lawaaitrauma kunnen opleveren. Terde bescherming van deheeft werknemers is daarom de volgende ingevoerd:van meer In Verenigde Staten men rond 1990 vastgesteld dat norm geluidssterktes – bij voortdurende geluidssterkte van 90dan dB 8bedraagt de maximale werktijd dan 90een dB (decibel) waaraan iemand langer uur per dag (een werkdag) wordt 8 uur; blootgesteld, een lawaaitrauma kunnen opleveren. – bij elke toename de geluidssterkte met 5 de dB volgende moet de maximale werktijd Ter bescherming vanvan de werknemers is daarom norm ingevoerd: gehalveerd worden. – bij een voortdurende geluidssterkte van 90 dB bedraagt de maximale werktijd 8 uur; – bij elke toename van de geluidssterkte met 5 dB moet de maximale werktijd In het assenstelsel van figuur 2 is een lijn getekend. Deze lijn geeft het verband weer gehalveerd worden. tussen de geluidssterkte en de maximaal toegestane werktijd, zoals die gebruikt wordt voor industrielawaai in de VS. Op de horizontale as is een logaritmische In het assenstelsel van figuur 2 is een lijn getekend. Deze lijn geeft het verband weer schaalverdeling gebruikt. tussen de geluidssterkte en en de tmaximaal toegestane werktijd, zoals in die gebruikt wordt L is de geluidssterkte in dB is de maximaal toegestane werktijd uren. voor industrielawaai in de VS. L is de1geluidssterkte in dB en t is de maximaal toegestane werktijd in uren. figuur figuur 2

L 120 (in dB) 115

kans op lawaaitrauma lawaaitrauma kans op

110 105 100 95

toegestane lawaaibelasting

90 0 0,2

18 ■

0,5

6 8 10 t (in uren)

De norm isis sinds sinds enkele enkele jaren jarenstrenger strengerdan dande denorm normvan vande deVS: VS: De Europese norm –– bijbijeen eenvoortdurende voortdurendegeluidssterkte geluidssterkte van van 80 80dB dB bedraagt bedraagt de de maximale maximale werktijd werktijd 8 uur; 8 uur; – bij elke toename van de geluidssterkte met 3 dB moet de maximale werktijd – gehalveerd bij elke toename van de geluidssterkte met 3 dB moet de maximale werktijd worden. gehalveerd worden. Op de bijlage bij vraag 18 is de lijn van figuur 2, behorend bij de norm van de VS, nogmaals in een assenstelsel getekend. Teken in dit assenstelsel de lijn die bij de Europese norm hoort. De formule die hoort bij de in figuur 2 getekende lijn is L = –16,6 ⋅ log(t) + 105. © ThiemeMeulenhoff

In Amerika en Europa staan twee fabrieken met voor de werknemers precies dezelfde geluidssterkte. In de Amerikaanse fabriek mag men vanwege de geluidssterkte maximaal 6 uur per dag werken. 9789006781496_EB_vWiA.indb 9

24/04/20 08:25

13.30 – 16.30 uur

Naam ............................................................... Examenbundel 2020 | 2021

Oriëntatietoets Vraag 18

figuur 2

120

geluidssterkte L (in dB) 110

100

80 0

0,25

0,5

2 4 8 maximaal toegestane werktijd t (in uren)

In figuur 2 is de lijn van figuur 1, behorend bij de norm van de VS, nogmaals in een assenstelsel getekend. Ook hier is op de horizontale as een logaritmische schaalverdeling gebruikt. 2 Teken in dit assenstelsel de lijn die bij de Europese norm hoort. De formule die hoort bij de in figuur 1 getekende lijn is L = –16,6 · log(t) + 105.

100016

18A

9789006781496_EB_vWiA.indb 10

24/04/20 08:25

Wiskunde A vwo

Oriëntatietoets

Kavels In polders wordt het overtollige water afgevoerd via sloten. Deze monden uit in tochten, dat zijn bredere sloten die het water verder afvoeren. Bij de inrichting van de landbouwgebieden in de IJsselmeerpolders heeft men een regelmatig patroon aangehouden. De sloten staan loodrecht op de tochten. Midden tussen twee tochten loopt steeds een weg. Hierdoor wordt het land verdeeld in rechthoeken. Zo’n rechthoek noemt men een kavel. Een landbouwbedrijf beslaat doorgaans één of meer kavels. In figuur 1 zijn tien kavels te zien. figuur 1

Bij het ontwerpen van de inrichting van deze polders heeft men zich de vraag gesteld: ‘Wat zijn gunstige afmetingen voor een kavel?’ Grote kavels vergen minder investeringen en onderhoudskosten voor wegen, sloten en tochten. Bovendien ontstaan dan efficiënt te bewerken akkers. Echter, een grote kavelbreedte levert hoge drainagekosten op en een grote kavellengte veroorzaakt hoge kosten voor het vervoer van mensen en materieel. Onder bepaalde aannamen kwamen de ontwerpers tot het volgende verband tussen de lengte (L) en de breedte (B) van een kavel, en de totale kosten (K) per hectare: K =

18547 ______ L

5279 _____

   + 56,6L +   B    + 90,8B

K in euro’s L en B in hectometers, 1 hectometer (hm) = 100 meter

In Oostelijk Flevoland is gekozen voor standaardkavels van 30 hectare (= 30 hm2). Zo’n kavel zou bijvoorbeeld 6 hm lang en 5 hm breed kunnen zijn, of 10 hm lang en 3 hm breed. In het tweede geval zijn de totale kosten per hectare minder dan in het eerste geval. 4 Bereken hoeveel procent de totale kosten per hectare in het tweede geval minder zijn dan die in het eerste geval. 5 Leid uit de gegeven formule af dat voor kavels van 30 hectare bij benadering geldt: K =

21271 ______ L

   + 232,6L

9789006781496_EB_vWiA.indb 11

24/04/20 08:25

Examenbundel 2020 | 2021

Oriëntatietoets

In figuur 2 is voor een aantal kaveloppervlakten het verband weergegeven tussen de kavellengte L en de totale kosten per hectare K. figuur 2

Voor kavels van 30 hectare is in figuur 2 af te lezen dat K minimaal is bij een kavellengte van iets minder dan 10 hm. Uitgaande van de formule van vraag 5 kan deze kavellengte met behulp van differentiëren worden berekend. 6 Bereken met behulp van differentiëren deze kavellengte. Rond het antwoord af op gehele meters. Iemand suggereert het volgende als vuistregel: als je bij een gegeven oppervlakte de lengte drie keer zo groot kiest als de breedte dan zijn de totale kosten per hectare vrijwel minimaal. Uit het bovenstaande is af te leiden dat dit klopt voor kavels van 30 hectare. 7 Bereken welke waarde van L deze vuistregel bij kavels van 20 hectare oplevert en ga na of bij deze waarde de totale kosten per hectare volgens figuur 2 inderdaad vrijwel minimaal zijn.

9789006781496_EB_vWiA.indb 12

24/04/20 08:25

Brug Brug Brug Wiskunde A vwo Oriëntatietoets Op de foto zie je de Enneüs Heermabrug in Amsterdam. De brug bestaat

uit golvende bogen: een verticaal geplaatste middenboog en twee schuin Op de foto zie je de Enneüs Heermabrug in Amsterdam. De brug bestaat geplaatste bogen. Het wegdek isinmet hangstangen brug opgehangen Opgolvende de foto buitenste zie je de een Enneüs Heermabrug Brug uit bogen: verticaal geplaatste Amsterdam. middenboogDe en tweebestaat schuin aan deze bogen. uit golvende bogen: een verticaal geplaatste middenboog en opgehangen twee schuin geplaatste buitenste bogen. Het wegdek is met hangstangen Op de foto zie je de Enneüs Heermabrug in Amsterdam. De brug bestaat uit golvende geplaatste buitenste bogen. Het wegdek is met hangstangen opgehangen aan deze bogen. bogen: eenbogen. verticaal geplaatste middenboog en twee schuin geplaatste buitenste foto aan deze bogen. Het wegdek is met hangstangen opgehangen aan deze bogen.

foto foto

In onderstaande figuur 1 zie je een model van deze brug. De golvende middenboog is met een sinusoïde weergegeven, de waterspiegel met een In onderstaandefiguur figuur 1 zie je een model van brug. deze De brug. De golvende In 1 zie je een model van deze golvende middenboog is rechte lijn en het wegdek met heel licht gebogen lijn. In onderstaande onderstaande figuur 1sinusoïde zie jeeen een model van deze brug. De golvende middenboog is met een weergegeven, de waterspiegel met een met een sinusoïde weergegeven, de waterspiegel met een rechte lijn en het wegdek middenboog is met een sinusoïde weergegeven, de waterspiegel met een rechte lijn en het wegdek met een heel licht gebogen lijn. met een1heel licht gebogen lijn. figuur rechte lijn en het wegdek met een heel licht gebogen lijn. figuur figuur 1 1 figuur 1 P P P 12 m 12 m

wegdek

A B waterspiegel A B

wegdek wegdek

C C

Q Q 12 m

waterspiegel waterspiegel 230 m

12 m

m 230aangegeven: m In12figuur 1 zijn tevens enkele maten de brug is in totaal 12 m 230 m 230 meter lang. De sinusoïde is links en rechts met een stippellijn In figuur 1 zijn tevens enkele maten aangegeven: de brug is in totaal voortgezet: op 12 m afstand de uiteinden van de brug bevindt zich In figuur 1 lang. zijn tevens enkelevan maten deeen brug is in totaal 230 meter De enkele sinusoïde is aangegeven: linksaangegeven: en rechts met stippellijn In figuur 1 zijn tevens maten de brug is in totaal 230 meter lang. een laagste punt. De hoogste punten van de boog bevinden zich op 26 m 230sinusoïde meter lang. sinusoïde iseen links en rechts met voortgezet: op 12De men afstand van de stippellijn uiteinden van deeen brug bevindt zichvan de De is links rechts met voortgezet: opstippellijn 12 m afstand boven de waterspiegel en het laagste punt op 3 meter. voortgezet: mbevindt afstand van delaagste uiteinden van de brugpunten bevindt uiteinden vanop de 12 brug zich een punt. De hoogste de boog een laagste punt. De hoogste punten van de boog bevinden zich van opzich 26 m een laagste punt. De hoogste punten van de boog bevinden zich op 26 m bevinden zich op 26 m boven de waterspiegel en het laagste punt op 3 meter. boven de waterspiegel en het laagste punt op 3 meter. Voor dede sinusoïde van figuur kunnenpunt we een boven waterspiegel en het1laagste op 3formule meter. opstellen van de vorm y  a  b sin( c ( x  d )) . Als we in de figuur als x-as de van waterspiegel Voor de sinusoïde van figuur 1 kunnen we een formule opstellen de vorm Voor de sinusoïde van figuur 1 kunnen we een formule opstellen van de y = a + bsin(c(x – d)) . Als we in de figuur als x-as de waterspiegel nemen en de nemen en de y -as door het midden van de brug laten gaan (zie figuur 2),y-as Voor de sinusoïde van figuur 1 kunnen we een formule opstellen van de vorm y  a  b sin(c( x  d )) . Als we in de figuur als x-as de waterspiegel door het midden van de brug laten gaan (zie figuur 2), wordt deze formule: wordt  11,5sin(0,061( x  als 25,75)) x en y in vorm deze y a formule:  b sin(c( xy d14,5 )) . Als we in de figuur x-as met de waterspiegel midden dey brug laten gaan (zie figuur 2), nemen de y-as door het y = 14,5en + 11,5sin(0,061(x – 25,75)) metvan x en in meters. meters. nemen en de y -as door het midden van de brug laten gaan (zie wordt deze formule: y  14,5  11,5sin(0,061( x  25,75)) met x enfiguur y in 2), wordt deze formule: y  14,5  11,5sin(0,061( x  25,75)) met x en y in figuur 2 meters. figuur 2 meters.

figuur 2 figuur 2

y y

waterspiegel

x 8 Licht toe hoe je met behulp van de gegeven maten de waarden voor a, b, cwaterspiegel en d in deze formule kunt berekenen. VW-1024-f-13-1-o 6 / 15 lees verder ►►► 4p

VW-1024-f-13-1-o VW-1024-f-13-1-o

9789006781496_EB_vWiA.indb 13

6 / 15 6 / 15

lees verder ►►► lees verder ►►►

24/04/20 08:25

Examenbundel 2020 | 2021

Oriëntatietoets

We kunnen het assenstelsel ook op een andere manier aanbrengen. Voor de volgende vraag gaan we uit van een assenstelsel waarbij de y-as door het punt P in figuur 1 gaat en de x-as de waterspiegel blijft. In dat geval ziet de formule voor de sinusoïde van figuur 1 er anders uit. 9 Geef een mogelijke formule voor deze situatie. Licht je antwoord toe.

Energiebronnen Energiebronnen Hout was vroeger de belangrijkste energiebron. In het begin van de negentiende Hout was energiebron. In hetovergenomen begin van de negentiende eeuw werdvroeger de rol de vanbelangrijkste de belangrijkste energiebron door kolen. eeuw werd de rol van de belangrijkste energiebron kolen. De laatste jaren is het De laatste jaren is het aandeel van olieovergenomen en gas in hetdoor totale energieverbruik steeds aandeelgeworden. van olie en gas in het totale energieverbruik steeds groter geworden. groter ’ besteden de de schrijvers Th.Th. v.d.v.d. Klundert In het het boek boek ’Energie, In ‘Energie, een eeneconomisch economischperspectief perspectief ’ besteden schrijvers en H. Peer aandacht aan de ontwikkeling van energiebronnen. Zij gebruiken daarbij de Klundert en H. Peer aandacht aan de ontwikkeling van energiebronnen. Zij gebruiken variabele voor het aandeel vanaandeel een energiebron dat zichzoals in de dat loopzich vanindede tijd daarbij def variabele f voor het van een zoals energiebron loop ontwikkeld heeft ten opzichte vanopzichte het totale energieverbruik. Dit aandeel fDit is een getal f van de tijd ontwikkeld heeft ten van het totale energieverbruik. aandeel waarvoor geldt dat 0 < f < 1. Hierbij betekent f = 0 dat deze energiebron helemaal niet is een getal waarvoor geldt dat 0 ≤ f ≤ 1. Hierbij betekent f = 0 dat deze energiebron gebruikt wordt en f = 1 dat uitsluitend van deze energiebron gebruik gemaakt wordt. helemaal niet gebruikt wordt en f = 1 dat uitsluitend van deze energiebron gebruik f gemaakt wordt. uit te zetten In het boek staat een afbeelding zoals in figuur 2. Door niet f maar f en f f maar ____ In het boek staat een afbeelding zoals in de figuur hieronder. Door1 −niet   1 –  f   bovendien op de verticale as een aangepaste schaalverdeling te gebruiken, worden de uit te zetten en bovendien op de verticale as een aangepaste schaalverdeling te meeste grafieken rechte lijnen. Figuur 2 staat ook op de bijlage. gebruiken, worden de meeste grafieken rechte lijnen. 102

figuur 2

f 1-f 101

kolen 100

olie gas

10-1

hout 10-2 1850

kernenergie 1900

1950

2000 jaar

In welk jaar leverde hout 50% van het totale energieverbruik? Licht je antwoord toe. 10 In welk jaar leverde hout 50% van het totale energieverbruik? Licht je antwoord toe.

Met figuur hebbendede auteurs informatie willen geven over belang Met de figuur 2 hebben auteurs informatie willen geven over hethet belang vanvan verschillende verschillende energiebronnen door de jaren heen. Opvallend is dat daarbij f niet f maar wordt energiebronnen door de jaren heen. Opvallend is dat daarbij niet f maar f ____ 1− f   1 –  f  wordt gebruikt. f gebruikt. Dat kan omdat bij elke waarde van precies één waarde van f hoort. Immers, 1− f f als f toeneemt van 0 tot 1, dan stijgt voortdurend. 1− f 14 © ThiemeMeulenhoff f 6 Toon die laatste bewering aan met behulp van de afgeleide van . 1− f

9789006781496_EB_vWiA.indb 14

24/04/20 08:25

Wiskunde A vwo

Oriëntatietoets

f ____

Dat kan omdat bij elke waarde van  1 –  f  precies één waarde van f hoort. Immers, als f ____

f toeneemt van 0 tot 1, dan stijgt  1 –  f  voortdurend. 4p

f ____

11 Toon die laatste bewering aan met behulp van de afgeleide van  1 –  f  .

Persoonlijke lening Iemand heeft bij een bank een persoonlijke lening afgesloten van € 80 000,–. Voor rente en aflossing betaalt hij aan het eind van elke maand een vast bedrag, namelijk € 720,–. De bank brengt hem 0,7% rente per maand over het restant van de lening in rekening. L0 is het beginbedrag: € 80 000,–. Lt is het restant van de lening direct na het einde van de t e maand. Lt berekent men als volgt: Eerst wordt het restant aan het eind van de vorige maand (Lt–1) vermeerderd met de verschuldigde rente en daarna wordt de € 720,– er van af getrokken. Er wordt bij alle bedragen gerekend in euro’s. Het model dat hier bij hoort, ziet er dus als volgt uit: Lt = 1,007 · Lt–1 – 720 L0 = 80 000 In de tabel kun je voor de eerste paar maanden zien hoe groot het restant van de lening is aan het eind van elke maand.

Lt 3p

t=0

t=1

t=2

t=3

t=4

80 000,-

79 840,-

79 678,88

79 516,63

79 353,25

12 Bereken L6. Het maandbedrag van € 720,– bestaat voor een deel uit de verschuldigde rente en voor een deel uit aflossing. Met behulp van de tabel kunnen we bijvoorbeeld nagaan dat aan het einde van de eerste maand € 160,– van de lening is afgelost. De maandelijkse aflossing aan het einde van de t e maand geven we aan met At. Dus we hebben de volgende formule: At = 720 – 0,007 · Lt–1 Door deze aflossing wordt het restant van de lening elke maand kleiner. In formulevorm: Lt = Lt–1 – At Met behulp van de tabel kun je nagaan dat A1 = 160. Doordat het restant van de lening, en dus ook de verschuldigde rente, steeds kleiner wordt, wordt de aflossing steeds groter. Dit kan beschreven worden met de volgende formule: At+1 = 1,007 · At

13 Toon met behulp van het voorgaande aan dat deze formule juist is.

9789006781496_EB_vWiA.indb 15

24/04/20 08:25

Examenbundel 2020 | 2021

Oriëntatietoets

Op een bepaald moment is het restant van de lening plus de rente daarover € 720,– of minder. Dit vormt dan het laatste maandbedrag, en daarmee is de lening afgelost. 14 Toon aan dat de lening na 216 maanden is afgelost.

Quadominos Het spel Quadominos bestaat uit vierkante stenen. Zie foto 1. Op elke steen staan vier cijfers, één cijfer bij elke hoek. Dit cijfer kan zijn een 0, 1, 2, 3, 4 of 5. Doel van het spel is zoveel mogelijk stenen passend aan te leggen. In foto 2 zie je daar een voorbeeld van. foto 1 foto 2

Alle stenen zijn verschillend. Alle mogelijke combinaties van cijfers komen voor, behalve één: er is geen steen met de cijfers 0, 2, 4 en 5. Je kunt de stenen in vijf soorten verdelen: – stenen met vier dezelfde cijfers, bijvoorbeeld 3-3-3-3 – stenen met precies drie dezelfde cijfers, bijvoorbeeld 3-3-3-4 in foto 1 (links) – stenen met twee keer twee dezelfde cijfers, bijvoorbeeld 0-0-2-2 in foto 1 – stenen met twee dezelfde en daarnaast twee verschillende cijfers, bijvoorbeeld 1-1-0-2 in foto 1 (boven) – stenen met vier verschillende cijfers, bijvoorbeeld 1-2-3-5 in foto 1 (boven). Van elke combinatie van vier toegestane cijfers zit er in het spel slechts één steen. Er zit bijvoorbeeld dus maar precies één steen in met de cijfers 1-1-0-2. 8p

15 Onderzoek hoeveel stenen er in totaal zijn bij het spel Quadominos.

9789006781496_EB_vWiA.indb 16

24/04/20 08:25

Deel 1

Oefenen op onderwerp

9789006781496_EB_vWiA.indb 17

24/04/20 08:25

9789006781496_EB_vWiA.indb 18

24/04/20 08:25

1 Algebraïsche vaardigheden Lineair

1 Stel de vergelijking op van de lijn door de punten (–3, 14) en (5, 2).

2 In de grafiek hieronder is een aantal meetgegevens weergegeven. De punten liggen bij benadering op een rechte lijn. 12 N 11 10 9 8 7 2

18 t

Stel de vergelijking op van de lijn die zo goed mogelijk bij de getekende puntengrafiek hoort.

3 Er bestaat een lineair verband tussen x en y in de volgende tabel: x

244

258,8

281

Stel een formule op voor y.

x – 3 ____

4 Bereken exact de oplossing van:   4    + 2 = 3x

9789006781496_EB_vWiA.indb 19

24/04/20 08:25

Examenbundel 2020 | 2021

Oefenen op onderwerp

5 Het CBS (Centraal Bureau voor de Statistiek) besteedt elk jaar aandacht aan de verdeling van de inkomens van huishoudens in Nederland. In de tabel is voor het jaar 2004 weergegeven hoeveel huishoudens in een bepaalde inkomensklasse zaten. besteedbaar inkomen in euro’s

aantal huishoudens in duizendtallen

0 – 10 000

490

10 000 – 20 000

2057

20 000 – 30 000

1777

30 000 – 40 000

1309

40 000 – 50 000

687

50 000 – 70 000

460

meer dan 70 000

197

Met behulp van lineair interpoleren kun je een schatting maken van het percentage huishoudens met een besteedbaar inkomen van ten hoogste 27 000 euro. Schat dat percentage huishoudens met behulp van lineair interpoleren.

6 Het aantal leerlingen op het Pythagoraslyceum groeit al langere tijd tamelijk constant. De gegevens over het aantal leerlingen staan in de tabel hieronder. jaartal

2000

2005

2010

2015

aantal leerlingen

1230

1284

1340

1395

a Bereken met behulp van lineair interpoleren het aantal leerlingen in 2008. b Voorspel met behulp van lineair extrapoleren het aantal leerlingen in 2023.

Haakjes 1 __

7 Schrijf zonder haakjes: A =   3   · 2x · (9 – 2x).

8 Gegeven is de formule V = 0,5(x – 7)(x + 2) + 12. Herschrijf de formule in de vorm V = ax  2 + bx + c.

9 Schrijf zonder haakjes: K = 3x (x + 5)  2 – 8x.

Formules omwerken

________ 4 10 Schrijf de formule S =  __   9   · L · M    in de vorm S = a · Lb · Mc.

√

__ 3 P 11 Gegeven is de formule 12 = 40 ·  __   R    .  Herschrijf de formule zo dat je een formule krijgt waarin P wordt uitgedrukt in R.

√

12 De formule y = 8 · (   x    )  Bereken a en b. 100 ____

9789006781496_EB_vWiA.indb 20

0,25

kan worden geschreven in de vorm y = a · xb.

24/04/20 08:25

Wiskunde A vwo

1 Algebraïsche vaardigheden

13 Schrijf y = 0,6  2t in de vorm y = e at.

14 De grafiek van g(x ) = 2   log (8x)kan worden verkregen door een verschuiving van de grafiek van de standaardfunctie f(x ) = 2  log (x). Bereken om welke verschuiving het gaat. y

________ 15 De formule   ______   2    – 0,7 = 0kan worden geschreven als y = a · x. 2

Bereken a.

√ x   + y     

–N 16 De formule N = ln(   12 – t      )kan worden herleid tot t = a + b · c  . Bereken a, b en c.

10 _

17 Er is een verband tussen de vraag naar tarwe en de prijs van tarwe. In het boek ‘Wiskunde voor economie’ wordt daarvoor de volgende prijs-vraag-formule vermeld: ___________ p = 10 √ –    23q + 3800 

Hierin is p de prijs in euro per 1000 kg en q de vraag in 1000 kg per maand. Op een bepaald moment wordt de tarwe verhandeld voor 232 euro per 1000 kg. Bereken, uitgaande van de formule, met hoeveel kg per maand de vraag afneemt als de prijs toeneemt van 232 euro per 1000 kg naar 238 euro per 1000 kg. Rond je antwoord af op tientallen kilo’s.

18 De formule G = 0,037 · t 2,21kan worden herleid tot ln (G ) = a + b · ln (t). Bereken a en b.

19 Schrijf M als functie van V als gegeven is dat V = 3  log (4 – 2M).

20 Schrijf de functie f(x ) = 0,07 · 3 2(x+4)in de vorm f(x ) = b · g x.

21 De formule P = 14 ·  G   – 0,8u   kan worden herleid tot u =         . G

1,25 · (14 · a – PG) _________________

a _

Laat deze herleiding zien. 100 _

... _

  . Herleid deze formule tot R =  V + W      . 1 +   V 

22 Gegeven is de formule R = 100 – 

23 Laat zien dat uit  1 – f     = x volgt f =  x + 1      .

f _

W _

x _

Substitutie

_     en R =√  100 + x  2 .

1000 _

24 Gegeven zijn de formules S =

Toon dan aan dat S geschreven kan worden in de vorm S = 1000 · (100 + x  2 )  –1,5

25 Laat zien dat de formule q = 250v – 1,5625 v  2afgeleid kan worden uit de formules k = 250( 1 –  160     = v · k. ) en q v _

9789006781496_EB_vWiA.indb 21

24/04/20 08:25

Examenbundel 2020 | 2021

Oefenen op onderwerp

26 Gegeven zijn de formules log (L ) = 3,896 + 0,734 · log (K) en log (G ) = – 13,431 + 3,396 · log (L). Stel een formule op waarbij G wordt uitgedrukt in K.

27 Gegeven zijn de formules L · B = 20 en K = 5,6L +  B   + 7,2B   .

4 _

Stel een formule op waarin K wordt uitgedrukt in L.

28 Zwaardere dieren hebben een zwaarder skelet, ook in verhouding. Zo weegt het skelet van een veldmuis (20 gram) nog geen gram (= 5%), en dat van een 4000 kg zware olifant ongeveer 1000 kg (= 25%). Het verband tussen lichaamsgewicht en skeletgewicht van landzoogdieren kan benaderd worden met de formule: S(M ) = 0,0343 · M  1,083 met S het skeletgewicht in gram en M het lichaamsgewicht in gram. a Laat zien hoeveel keer zo groot het skeletgewicht wordt (volgens deze formule) wanneer het lichaamsgewicht 10 maal zo groot wordt. b Maak een formule waarmee je op grond van het lichaamsgewicht M meteen kunt berekenen hoeveel procent het skeletgewicht bedraagt bij deze dieren.

29 Gegeven is de formule G(a ) = 10 · log(   5    )  +  130. Hoe verandert de waarde van G als a tweemaal zo groot wordt? a _

Evenredig

30 Gegeven is de volgende tabel: x

9,2

21,7

28,52

34,1

Laat zien dat x en y recht evenredig zijn en stel hierbij een formule op.

31 Herman fietst elke dag langs dezelfde weg naar school. Voor een natuurkundeproject heeft Herman een aantal dagen nauwkeurig bijgehouden hoe lang hij over deze fietstocht deed en wat zijn gemiddelde snelheid was. In de tabel zie je een paar van zijn resultaten. gemiddelde snelheid (km/uur)

19,8

17,5

20,3

fietstijd (min:sec)

21:13

24:00

20:41

De natuurkundeleraar van Herman beweert dat de gemiddelde snelheid en de gefietste tijd omgekeerd evenredig zijn. Laat zien dat de meetresultaten in de tabel inderdaad in overeenstemming zijn met een omgekeerd evenredig verband.

9789006781496_EB_vWiA.indb 22

24/04/20 08:25

Wiskunde A vwo

1 AlgebraĂŻsche vaardigheden

32 Wanneer een automobilist op de rem trapt, zal de snelheid van de auto afnemen. In de figuur is voor beginsnelheden van 40, 60, 80, 100, 120 en 140 km per uur het verband weergegeven tussen de snelheid van een auto en de afgelegde afstand vanaf het punt waarop begonnen is met remmen. snelheid (in km/u)

160 140 120 100 80 60 40 20 0

50 60 70 80 90 100 afgelegde afstand vanaf het punt van remmen in meters

In de figuur kun je aflezen dat de auto bij een beginsnelheid van 40 km per uur na ongeveer 7,5 m remmen tot stilstand is gekomen. We zeggen dat bij een beginsnelheid van 40 km per uur de remweg 7,5 m bedraagt. Ook voor grotere beginsnelheden kun je de remweg uit de figuur aflezen. Iemand beweert dat de remweg van de auto evenredig is met het kwadraat van de beginsnelheid. Dat betekent dat het verband tussen de beginsnelheid en de remweg wordt gegeven door de volgende formule: remweg = c Âˇ v02 Hierin is v0 de beginsnelheid in km per uur. De remweg is in meter. Het getal c is een constante. Lees in de figuur bij de zes genoemde beginsnelheden de remweg af en laat met behulp daarvan zien dat de remweg inderdaad evenredig is met het kwadraat van de beginsnelheid. Bepaal ook de waarde van de constante c in drie decimalen nauwkeurig.

33 Karpers zijn zoetwatervissen die meer dan een meter lang kunnen worden. Voor volwassen karpers met een lengte tussen 10 en 94 cm geldt: G is evenredig met L3,13 waarin G het gewicht van de karper is in gram en L de lengte in cm. Bereken hoeveel keer zo zwaar een volwassen karper van 94 cm is in vergelijking met een volwassen karper van 10 cm. Rond je antwoord af op honderdtallen.

ÂŠ ThiemeMeulenhoff

9789006781496_EB_vWiA.indb 23

24/04/20 08:25

Examenbundel 2020 | 2021

HINTS

Hints bij hoofdstuk 1 1 Een vergelijking heeft de vorm y = ax + b, waarin a de helling of richtingscoëfficiënt is. 2 Teken een lijn en lees punten af. Verder als de vorige vraag. 3 Onderzoek of de helling tussen de punten (70, 244) en (74; 258,8) gelijk is aan die tussen (74; 258,8) en (80, 281). Gebruik deze helling als richtingscoëfficiënt. A 4  __    = C ⇔ A = B · C (als B ≠ 0) B

5 27 000 ligt in de klasse 20 000 – 30 000. Een deel van de 1777 duizend huishoudens in deze klasse zal minder dan 27 000 euro te besteden hebben. 6 Bereken de toename van het aantal leerlingen per jaar. 7 Haakjes uitwerken. 8 (x + p ) (x + q ) = x 2 + (p + q ) x + pq 9 (x + 5) 2= (x + 5 ) (x + 5)eerst uitwerken. _____ _____ _____ 10 Gebruik de rekenregels √  A · B   =√  A  · √  B ,  _ 3 11 √  A  = B ⇒ A = B  3

__ ___ __ √ A    __   A     = ____   __   en √  A  = A  0,5. B √ B 

√

p p  _ 12   _ ( q    )  =   c    c

13 g  p·q = (  g  p  )  en g  a = b ⇔ a = g   log (b) 14 g log (a )  + g log (b ) = g  log (ab) 15 Herleiden, kwadrateren, herleiden en worteltrekken. 16 a = ln (b ) ⇔ e  a = b en _   1a   = g  –a g 

17 p invullen. Kwadrateren om q te berekenen. g 18  log (a )  + g log (b ) = g  log (ab)en g  log ( a p ) = p · g log (a)

19 g a= b ⇔ a = g log (b) q

20 g p·q= ( g p )  en g p+q= g p · g q p p + qr 21 Eén breuk maken: _  q    +  r =  _   q

22 Vermenigvuldig zowel de teller als de noemer van de samengestelde breuk met V. f 23  ____     = x ⇒ f = x(1 – f ) daarna haakjes uitwerken en f vrijmaken. 1–f

24 Vul de formule van R in in die van S. 25 Vul de formule van k in in die van q. 26 Substitutie, gevolgd door g log (a )  + g log (b ) = g  log (ab)en g  log ( a p ) = p · g log (a). 27 Maak B vrij en vul de gevonden formule in in de formule van K. 28a Vervang M in de formule door 10M en probeer de oorspronkelijke formule terug te vinden. 28b percentage = ___   S   · 100%. M

29 Vervang a in de formule door 2a en probeer de oorspronkelijke formule terug te vinden.

9789006781496_EB_vWiA.indb 24

24/04/20 08:25

Wiskunde A vwo

HINTS

A 30 A en B zijn recht evenredig als A = c · B of  __    = c, waarin c een constante is. B

c 31 A en B zijn omgekeerd evenredig als A · B = c of A =  __    , waarin c een constante is. B

32 Lees bij elke grafiek de beginsnelheid en de remweg af en ga na of c steeds gelijk is.

33 Omdat er om de verhouding van twee gewichten wordt gevraagd, is het niet nodig om de evenredigheidsconstante te kennen.

9789006781496_EB_vWiA.indb 25

24/04/20 08:25

examen bundel examenbundel.nl

examenbundel 2020 2021

samengevat vwo Economie vwo Bedrijfseconomie vwo Maatschappijwetenschappen vwo Geschiedenis vwo Aardrijkskunde vwo Wiskunde A

Meer dan alleen oefenexamens

Tips, tricks en informatie die jou helpen bij het slagen voor je eindexamen vind je op examenbundel.nl! Nog meer kans op slagen? Volg ons ook op social media. #geenexamenstress

vwo Wiskunde B vwo Wiskunde C vwo Scheikunde vwo Biologie vwo Natuurkunde

examenidioom + examenbundel + samengevat + zeker slagen! = #geenexamenstress

2020 2021

Wiskunde A

havo/vwo Rekenen 3F/4F

vwo

havo/vwo Nederlands 3F/4F

vwo

Wiskunde A

examenidioom vwo Engels vwo Duits vwo Frans

zeker slagen ! voor vmbo, havo ĂŠn vwo

EB_vwo_wisA_170x240.indd 1

9 789006 781496

3/06/20 08:02