www.samengevat.nl
samengevat
examenbundels
- stapsgewijs toewerken naar het examenniveau - oefenen met recente examens vmbo k Nederlands vmbo gt Nederlands vmbo k Engels vmbo gt Engels vmbo gt Duits vmbo gt Frans vmbo kgt wiskunde
Meer kans van slagen met de Examenbundel! De Examenbundel bevat oefenÂexamens met uitleg bij de antwoorden, zodat je leert tijdens
vmbo kgt biologie
het oefenen.
vmbo kgt nask 1
De bundel is speciaal samengesteld voor dit
vmbo gt nask 2
schooljaar, dus je oefent altijd de juiste stof.
vmbo kgt aardrijkskunde vmbo kgt economie
Test je kennis met de OriĂŤntatietoets en kijk voor meer tips om te slagen op www.examenbundel.nl.
vmbo kgt geschiedenis Digi-Trainer vmbo-b: Nederlands, Engels, biologie, wiskunde, nask1, economie
Examenbundel + Samengevat = jouw succesformule
vmbo kgt
samengevat
wiskunde
- schematisch overzicht van alle examenstof - beknopte en heldere uitleg - snel en overzichtelijk door te nemen en te herhalen - het perfecte uittreksel
vmbo kgt
wiskunde
Meer kans van slagen met Samengevat! Samengevat biedt je een helder en beknopt overzicht van alle examenstof. Met Samengevat kun je grote hoeveelheden
vmbo kgt biologie 978-90-06-07362-1
stof snel herhalen en overzien. Je krijgt beter
vmbo kgt nask1 978-90-06-07360-7
inzicht in de samenhang van de onderwerpen
vmbo gt nask 2 978-90-06-07361-4 vmbo kgt wiskunde 978-90-06-07365-2 vmbo kgt economie 978-90-06-07363-8
9006073652_omslag_aangepast.indd 1
Kijk voor tips en informatie over je examen op www.examenbundel.nl.
ONDERWIJSPERS
vmbo kgt aardrijkskunde 978-90-06-07364-5
en het onderscheid tussen hoofd- en bijzaken.
10/02/17 09:25
9006073652_bw.indb 1
26/11/14 09:50
www.samengevat.nl
vmbo kgt
wiskunde
F.C. Luijbe
9006073652_bw.indb 1
26/11/14 09:50
Vormgeving:
Criterium, Arnhem
Vrij tekenwerk/cartoons:
Henk Stolker, Breda
Opmaak:
Van Son Media, Son
Technisch tekenwerk: Omslagfoto:
Van Son Media, Son
Martin Hogeboom, Epe
Over ThiemeMeulenhoff
ThiemeMeulenhoff ontwikkelt zich van educatieve uitgeverij tot een learning design company. We brengen content, leerontwerp en technologie samen. Met onze groeiende expertise, erva-
ring en leeroplossingen zijn we een partner voor scholen bij het vernieuwen en verbeteren van
onderwijs. Zo kunnen we samen beter recht doen aan de verschillen tussen lerenden en scholen
en ervoor zorgen dat leren steeds persoonlijker, effectiever en efficiënter wordt. Samen leren vernieuwen. www.thiememeulenhoff.nl ISBN 978 90 06 07365 2
Eerste druk, elfde oplage, 2017 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2007 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in
een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder
voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B
Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro. nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere
compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer
informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.
De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich
alsnog tot de uitgever wenden.
Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd.
Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.
9006073652_voorwerk.indd 2
10/02/17 09:16
Verantwoording In dit boek zijn de leerstof en vaardigheden voor je vmbo-examen kort en systematisch weergegeven. Zowel voor je schoolexamen als voor je eindexamen.
Met deze samenvatting moet je in korte tijd een grote hoeveelheid stof kunnen herhalen. Je krijgt een duidelijk overzicht tussen hoofd- en bijzaken.
Achterin het boek staan een aantal voorbeelden van examenopgaven met een verwijzing naar de verschillende hoofdstukken in dit boek. Daarmee krijg je snel in beeld hoe de examenstof samenhangt.
Samengevat zorgt ervoor dat de stukjes kennis die je de afgelopen jaren hebt opgedaan weer als een puzzel in elkaar passen.
Samengevat is naast iedere methode te gebruiken. Het boek helpt bij het zelfstandig leren. Met de Examenbundel vormt de Samengevat een belangrijke ondersteuning bij de voorbereiding op het eindexamen.
Heb je opmerkingen en vragen, dan kun je die via de website www.samengevat.nl stellen. Zutphen, januari 2007
9006073652_bw.indb 3
26/11/14 09:50
Hoe werk je met deze Samengevat? Zoeken in dit boek
Je vindt in de inhoudsopgave een grove indeling van de stof. Per hoofdstuk hebben we een gedetailleerde inhoudsopgave gemaakt, die je snel binnen een hoofdstuk op de juiste plek brengt. Deze inhoudsopgave staat aan het begin van ieder hoofdstuk.
Als je alleen een onderwerp of begrip zoekt, kun je achterin het register zoeken en op die manier op de juiste plek in het boek terecht komen.
Beschrijving per onderwerp
Het boekje is verdeeld in hoofdstukken. Binnen deze hoofdstukken worden de bijbehorende
onderwerpen kernachtig besproken. Daarbij zijn veel voorbeelden gegeven. Deze voorbeelden hebben een achtergrondkleur, zodat ze goed te onderscheiden zijn van de theorie.
Onderwerpen uitsluitend voor GL en TL leerlingen
GT
Er is een aantal onderwerpen dat alleen door de GT- leerlingen geleerd hoeft te worden. Deze onderwerpen staan met een dunne verticale paarse lijn aangegeven.
Opsommingen
In deze Samengevat staan twee soorten opsommingen.
1. Opsommingen met paarse bolletjes of streepjes. Die geven uitleg, eigenschappen en kenmerken van een bepaald begrip.
2. Opsommingen met nummers. Die geven een stappenplan. (Hoe je bijvoorbeeld een vergelijking moet oplossen of van een tabel naar een grafiek kunt overgaan.)
De auteur en de uitgever wensen je veel succes met de voorbereiding van je eindexamen!
9006073652_bw.indb 4
26/11/14 09:50
Inhoud 1
AlgebraĂŻsche verbanden
2
Rekenen, meten en schatten
24
3
Meetkunde
35
4
Informatieverwerking en statistiek
55
Voorbeelden uit het examen
76
Register
84
Bijlage: overzicht van formules bij het examen
87
9006073652_bw.indb 5
7
26/11/14 09:50
9006073652_bw.indb 1
26/11/14 09:50
1 AlgebraĂŻsche verbanden 1.1
Tabellen maken, aflezen en interpreteren - Tabel
1.2
Grafieken tekenen, aflezen en interpreteren en vergelijken - Verloop van een grafiek - Snijpunt en interpretatie
1.3
Werken met formules - Formule
1.4
Tabel, grafiek of formule met elkaar in verband brengen - Vergelijkingen oplossen met formules (bij lineaire verbanden) - Vergelijkingen oplossen met grafieken (bij alle verbanden) - Vergelijkingen oplossen met inklemmen - Som- en verschilverband: met een grafiek (grafieken zijn gegeven) - Som- en verschilverband: met een tabel (formules zijn bekend) - Som- en verschilverband: formule opstellen (formules zijn bekend)
1.5
Bepaalde standaardverbanden kennen, herkennen en gebruiken - Lineair verband: eigenschappen - Lineair verband: formule - Lineair verband: opstellen van een formule - Machtsverband met exponent 2 (kwadratisch verband) - Machtsverband met exponent 3 - Wortelverband a - Omgekeerd evenredig verband: y = x - Exponentieel verband - Periodiek verband - Recht evenredig verband - Overige verbanden
9006073652_bw.indb 7
26/11/14 09:50
8
1 Algebraïsche verbanden 1.1
Tabellen maken, aflezen en interpreteren Tabel
• Met een tabel krijg je snel een overzicht van het verband tussen variabelen. • Een tabel gebruik je onder andere om verbanden te onderzoeken, om grafieken te tekenen, om snijpunten te bepalen (inklemmen) of als verhoudingstabel. • Uit een tabel kun je een (woord)formule tussen de variabelen afleiden (zie verder bij ‘Verbanden’). De invoervariabele staat dan meestal in de eerste kolom (of rij) en de uitvoervariabele staat dan meestal in de tweede kolom (of rij) (zie ook bij ‘Formule’). voorbeeld
Tijd (invoervariabele)
Kapitaal (uitvoervariabele)
0
500
1
530
2
561,80
3
595,51
Leeftijd (invoervariabele)
2
4
8
10
Lengte (uitvoervariabele)
90
105
132
140
1.2
Grafieken tekenen, aflezen en interpreteren en vergelijken Verloop van een grafiek
• In een globale grafiek zie je de samenhang van twee variabelen zonder dat hun verband precies bekend is. • Als niet elk getal zinvol is, dan bestaat de grafiek uit losse punten. • Bij het tekenen van een grafiek staat de invoervariabele op de horizontale as en de uitvoervariabele op de verticale as. • De schaalverdeling op de assen moet je zo kiezen, dat de afstand tussen twee streepjes een gelijk verschil van getallen voorstelt. • De coördinaten van een punt geef je aan met (a,b). De eerste coördinaat a lees je af op de horizontale as. De tweede coördinaat b lees je af op de verticale as. • Een grafiek kan dalen, constant zijn of stijgen. • Een minimum is een laagste waarde van de uitvoervariabele. Een maximum is een hoogste waarde van de uitvoervariabele.
9006073652_bw.indb 8
26/11/14 09:50
sg vmbo wiskunde 01
wiskunde Algebraïsche verbanden
9
uitvoervariabele
voorbeeld
maximum
daalt
stijgt
minimum
daalt
stijgt
constant
0
invoervariabele
Verloop van een grafiek
Snijpunt en interpretatie
• Twee grafieken kunnen elkaar snijden. De coördinaten van het snijpunt kun je sg vmbo wiskunde 02 aflezen. Met behulp van het snijpunt kun je aangeven op welk interval de ene grafiek hoger ligt dan de andere grafiek.
uitvoervariabele
voorbeeld
grafiek 1 a
8 sg vmbo wiskunde 03 6
a=t+2
a
4 8
grafiek 2
2 6 04
2
4
6
8
a =invoervariabele – 21 t +8
• Het snijpunt is (4,6). 2 • Grafiek 1 ligt hoger dan grafiek 2 als de invoervariabele groter is dan 4. • Grafiek 1 ligt lager dan grafiek 2 als de invoervariabele kleiner is dan 4. 0
2
4
6
t
h 5 9006073652_bw.indb 9
h=2 2t2 + 1
26/11/14 09:50
10 1.3
Werken met formules Formule
• • • • • •
voorbeeld
Een formule is een verband tussen twee variabelen. In een woordformule geef je de variabelen met woorden aan. In een formule geef je de variabelen met een losse letter aan. In een formule noem je de variabelen vaak invoervariabele en uitvoervariabele. De uitvoervariabele heet ook wel functiewaarde. De invoervariabele kies je als eerste en de bijbehorende uitvoervariabele kun je dan berekenen. Gegeven is het volgende lineaire verband (zie ook daar): y = 5x + 7. Bereken bij x = 3 de uitvoervariabele y. Antwoord: y = 5 × 3 + 7 = 15 + 7 = 22. Gegeven is het volgende kwadratische verband (zie ook daar): y = 21 x2 + 5x. Bereken bij x = 2 de uitvoervariabele y. Antwoord: y = 21 (2)2 + 5 × 2 = 21 × 4 + 10 = 12.
1.4 Tabel, grafiek of formule met elkaar in verband brengen Vergelijkingen oplossen met formules (bij lineaire verbanden)
1 Stel de rechterkanten van de formules aan elkaar gelijk. 2 Verplaats de variabelen naar links. 3 Verplaats de getallen naar rechts. 4 Deel links en rechts door het getal vóór de variabele. 5 Controleer de gevonden oplossing in beide formules. voorbeeld
Gegeven zijn de volgende verbanden van tijd t en afstand a. a = 3t + 8 en a = 5t – 7 Bereken de tijd waarvoor de afstand a gelijk is 1 3t + 8 = 5t – 7 aan beide kanten –5t 2 3t – 5t + 8 = 5t – 5t – 7 –2t + 8 = –7 aan beide kanten –8 3 –2t + 8 – 8 = –7 – 8 –2t = –15 deel beide kanten door –2 −15 4 t = −2 = 7,5 5 a = 3 × 7,5 + 8 = 30,5 controle a = 5 × 7,5 – 7 = 30,5 gelijk, t = 7,5 is juist
9006073652_bw.indb 10
26/11/14 09:50
11
wiskunde Algebraïsche verbanden
Vergelijkingen oplossen met grafieken (bij alle verbanden)
1 Lees de invoervariabele van het snijpunt af. Dit is de oplossing. 2 Controleer (indien mogelijk) de afgelezen oplossing in de formules. sg vmbo wiskunde 03 voorbeeld
a=t+2
a 8 6
1
a = – 2 t +8
4 2
0
2
4
6
t
1 In het snijpunt lees je af t = 4 2 Controle: a = 4 + 2 = 6 a = − 21 × 4 + 8 = 6 gelijk, dus t = 4 is juist
Vergelijkingen oplossen met inklemmen
1 Schets of teken de grafi ek. 2 Lees af hoe groot ongeveer de invoervariabele van het snijpunt is. 3 Gebruik deze waarde als startwaarde en bereken de bijbehorende uitvoersg vmbo wiskunde 05 variabelen. 4 Bereken het verschil tussen de bijbehorende uitvoervariabelen. 5 Stop als het verschil klein genoeg is. punt van de 16 somgrafiek6 Het getal dat je dan vindt is een benadering van de oplossing. ( g1 + g2 )
12 g2 g1 +
2
4
8
g2 g1
4
5
x
0
_ 1
2
3
4
x
punt van de verschilgrafiek ( g2 - g1 )
9006073652_bw.indb 11
26/11/14 09:50
12 voorbeeld
1 Grafieken zijn getekend. 2 In het snijpunt kun je zien dat t ligt tussen 21 en 1 3, 4 t h = 2t2 + 1 h = –5t + 5 verschil h
h 5
h=2 2t2 + 1
4
0,5
1,5
2,5
1
0,6
1,72
2
0,28
2
0,7
1,98
1,5
0,48
0,8
2,28
1
1,28
0,9
3
1
h = -5tt + 5
0
1
5 Bij t = 0,6 is het verschil het kleinst. 6 t = 0,6 is een benadering van de oplossing. Voor een nauwkeurigheid met meer decimalen kun je in de tabel doorgaan met t = 0,58; t = 0,59; t = 0,61; t = 0,62; enzovoort.
t
2
Som- en verschilverband: met een grafiek (grafieken zijn gegeven)
1 Kies op de horizontale as een variabele. 2 Lees af of meet de twee bijbehorende uitvoervariabelen. 3 Tel deze twee uitvoervariabelen sg vmbo wiskunde 06 op (of trek ze af). 4 Dit geeft een punt van de somgrafiek (of van de verschilgrafiek). voorbeeld
y u2
y
y
y = hx + b 16
punt van de somgrafiek (f2 + f1)
16 12
u1
12 vu = u2 – u1
vi = i2 – i1
4
0
f2 f1
8
0
9006073652_bw.indb 12
1
i1
2
3
4
dit stuk komt erbij 4
5
f2 f1
8
i2 x
0
dit stuk gaat eraf 1
3 2 x punt van de verschilgrafiek (f2 - f1)
4
5
x
26/11/14 09:50
13
wiskunde Algebraïsche verbanden
Som- en verschilverband: met een tabel (formules zijn bekend)
1 Vul dezelfde invoervariabele bij beide formules in. 2 Tel de bijbehorende uitvoervariabelen op (of trek ze af). 3 Hiermee kun je de som- (of verschil)grafi ek tekenen. voorbeeld
x
formule 1
formule 2 1 x+6 1 2 4
h (somformule) =
h (verschilformule) =
formule 2 + formule 1
formule 2 – formule 1
y = x + 2
y =
2
4
7
11
3
4
6
7,5
13,5
1,5
6
8
8
16
0
Som- en verschilverband: formule opstellen (formules zijn bekend)
1 Schrijf de beide formules in de vorm y = ‘uitdrukking 1’ en y = ‘uitdrukking 2’. 2 Tel de rechterkanten van de beide formules op (of trek ze af). De formule van het somverband is nu y = ‘uitdrukking 1’ + ‘uitdrukking 2’. De formule van het verschilverband is nu y = ‘uitdrukking 2’ – ‘uitdrukking 1’. 3 Vereenvoudig de rechterkant zo veel mogelijk. voorbeeld
1 2 3
9006073652_bw.indb 13
Formule 1 is y = x + 2 Formule 2 is y = 41 x + 6 21 De formule voor het somverband is nu y = (x + 2) + ( 41 x + 6 21 ) De formule voor het verschilverband (formule 2 – formule 1) is nu y = ( 41 x + 6 21 ) – (x + 2) 1 1 Formule somverband is y = 1 4 x + 8 2 Formule verschilverband is y = − 43 x + 4 21
26/11/14 09:50
14 1.5
Bepaalde standaardverbanden kennen, herkennen en gebruiken Lineair verband: eigenschappen
• In een tabel is het verschil van opvolgende uitvoervariabelen steeds een vast getal. voorbeeld
In de tabel staat het verband tussen tijd en afstand
• • • •
+1
+1
+1
tijd
1
2
3
4
afstand
4
7
10
13
+3
+3
+3
De tijd neemt steeds toe met 1 stap. De bijbehorende afstanden nemen steeds toe met 3 stappen. Het verband tussen tijd en afstand is lineair.
De grafi ek van een lineair verband is een rechte lijn. De beginwaarde geeft het snijpunt met de verticale as. Het hellingsgetal is de gemiddelde stijging van de grafi ek. Het hellingsgetal bereken je zo: 1 Kies twee invoervariabelen i1 en i2 2 Bereken het verschil vi = i2 – i1 3 Bepaal de bijbehorende uitvoervariabelen u1 en u2 (uit de tabel of via de grafiek). 4 Bereken het verschil vu = u2 – u1 v u −u 5 Het hellingsgetal is dan vu (= 2 1 ) i i2 − i1
voorbeeld
y 3 2
vu = 3 – 1
1 0 beginwaarde beginw aarde →
vi = 5 – 2 1
2
3
4
5
x
–1
• beginwaarde is ongeveer – 31 • hellingsgetal = 3 − 1 = 23 5−2
9006073652_bw.indb 14
26/11/14 09:50
_ 2 2
4 4
5 5
0 0
x x
1 1
2 2
wiskunde Algebraïsche verbanden
3 4 3 4 punt van de punt van de verschilgrafiek
x x
15
verschilgrafiek ( g 2 - g1 ) ( g2 - g1 )
Lineair verband: formule
• De formule van een lineair verband is y = hx + b, waarbij b de beginwaarde is en h het hellingsgetal. – Als h positief is, dan stijgt de grafiek. – Als h negatief is, dan daalt de grafiek. – Als h groter wordt, dan stijgt de grafiek sneller. – Als b verandert, dan verschuift de grafiek evenwijdig. voorbeeld
8 8
8 8
6 6
6 6
4 4
4 4
y = 2x + 1 y = 2x + 1 t hellingsgetal (2) positief o
hellingsgetal (2) positief t o grafiek stijgt grafiek a stijgt g grafiek stijgt grafiek a stijgt g
2 2 0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
x x
0 0 y y 4 4
8 8 y = 2x + 1 y = 2x + 1 1 2 is groter dan o 2 1 2 is groter dan o 2 grafiek stijgt sneller grafie k stijgt sneller
6 6 4 4
3 3
y = 21 x + 1 y = 21 x + 1 1 1
2 2
3 3
4 4
hellingsgetal (-2) negatief grafiek daalt grafiek daalt
1 1
2 2
3 3
x x
4 4
hellingsgetal ( 21 ) is gelijk hellingsgetal ( 21 ) is gelijk begingetal verschillend begingetal verschillend grafieken evenwijdig grafieken evenwijdig
1
y = 2x + 2 y = 21 x + 2
y = 21 x + 21 y = 21 x + 21
2 2
grafiek stijgt sneller grafie k stijgt sneller
2 2
y = -2x + 7 y = -2x + 7 hellingsgetal (-2) negatief
2 2
y y
0 0
sg vmbo wiskunde 07 sg vmbo wiskunde 07
y y
y y
1 1 x x
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
x x
Lineair verband: opstellen van een formule
1 Ga na of er sprake is van een lineair verband (met de tabel of de grafiek). 2 Bereken het hellingsgetal h. 3 Bepaal de beginwaarde b (uit de tabel of de grafiek). 4 Vul de getallen h en b in de formule y = hx + b in.
sg vmbo wiskunde 09 sg vmbo wiskunde 09
y
9006073652_bw.indb y15
3
y = 3 × ( 21 )t y = 3 × ( 21 )t
y y5
5
4 4 3,5 26/11/14 3,5 3
09:50
www.samengevat.nl
samengevat
examenbundels
- stapsgewijs toewerken naar het examenniveau - oefenen met recente examens vmbo k Nederlands vmbo gt Nederlands vmbo k Engels vmbo gt Engels vmbo gt Duits vmbo gt Frans vmbo kgt wiskunde
Meer kans van slagen met de Examenbundel! De Examenbundel bevat oefenÂexamens met uitleg bij de antwoorden, zodat je leert tijdens
vmbo kgt biologie
het oefenen.
vmbo kgt nask 1
De bundel is speciaal samengesteld voor dit
vmbo gt nask 2
schooljaar, dus je oefent altijd de juiste stof.
vmbo kgt aardrijkskunde vmbo kgt economie
Test je kennis met de OriĂŤntatietoets en kijk voor meer tips om te slagen op www.examenbundel.nl.
vmbo kgt geschiedenis Digi-Trainer vmbo-b: Nederlands, Engels, biologie, wiskunde, nask1, economie
Examenbundel + Samengevat = jouw succesformule
vmbo kgt
samengevat
wiskunde
- schematisch overzicht van alle examenstof - beknopte en heldere uitleg - snel en overzichtelijk door te nemen en te herhalen - het perfecte uittreksel
vmbo kgt
wiskunde
Meer kans van slagen met Samengevat! Samengevat biedt je een helder en beknopt overzicht van alle examenstof. Met Samengevat kun je grote hoeveelheden
vmbo kgt biologie 978-90-06-07362-1
stof snel herhalen en overzien. Je krijgt beter
vmbo kgt nask1 978-90-06-07360-7
inzicht in de samenhang van de onderwerpen
vmbo gt nask 2 978-90-06-07361-4 vmbo kgt wiskunde 978-90-06-07365-2 vmbo kgt economie 978-90-06-07363-8
9006073652_omslag_aangepast.indd 1
Kijk voor tips en informatie over je examen op www.examenbundel.nl.
ONDERWIJSPERS
vmbo kgt aardrijkskunde 978-90-06-07364-5
en het onderscheid tussen hoofd- en bijzaken.
10/02/17 09:25