1 by Орко

O.M. АФАНАСЬЄВА, Я.С. БРОДСЬКИЙ, О.Л. ПАВЛОВ, А.К. СЛІПЕНКО

МАТЕМАТИКА

ББК

22.ІЯ72 74.262.21

А94

Н аукову ек спертизу проводив Ін сти тут матем атики НАН України. П си холого-п едагогічну експертизу п роводив Ін сти тут п едагогіки Н АП Н України.

Експерти: В довен к о В.В.

доц ен т, к а н д и д а т п ед а гогіч н и х н аук К ір ов огр а д сь к ого д е р ж а в ного п ед а гогіч н ого у н ів е р си т е т у ім ен і В ол од и м и р а В и н н и ч ен к а

Д орош ен к о Т.М.

у ч и тел ь С м ілян ської за га л ьн оосвітн ьої ш коли І-ІІІ ст. №7 Ч еркась кої обл. за в ід у в а ч м етод и ч н ого к а бін ету в ід д іл у освіти Д о б р ов ел и ч ів сь к ої р а й он н ої д ер ж а в н ої а д м ін іст р а ц ії К ір ов огр а д сь к ої обл. м е то д и ст м етод и ч н ого к а бін ету в ід д іл у освіти Ів а н ів сь к о ї райд е р ж а д м ін іст р а ц ії Х ер сон сь к ої обл. у ч и т е л ь -м е т о д и с т Л у га н сь к ої сп е ц іа л із о в а н о ї ш кол и № 57

К ал аш н и к О.А. К ал ібер да К.В. Ч ит аева О.В.

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ МОН України Nel77 від 03.03.2010 р.)

Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. А94

М атематика. 10 клас: П ідручник для загальноосвітніх навчальних закла дів. Рівень стандарту. — Тернопіль: Навчальна книга - Богдан, 2010. — 480 с. ISBN 978-966-10-1272-0 П ропонований підручник відповідає програмі з математики для 10-го класу рівня стандарту, рекомендований М іністерством освіти і науки України й пе редбачає готовність учнів до ш ирокого і свідомого застосування математики. Цю орієнтацію забезпечують зм іст курсу, характер викладення навчального матеріалу, добір ілю страцій і приклади застосувань, система вправ і контроль них запитань. Д ля учнів і вчителів загальноосвітніх навчальних закладів. ББК 2 2 . І Я 7 2 Охороняється законом про авторське право. Ж одна частина цього видання не м ож е бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва © ©

ISBN 978-966-10-1272-0

А ф а н а сьєв а О.М., Б р од сь к и й Я.С., П авлов О.Л., С л іп ен к о А.К ., 2010 Н ав ча л ьн а к н и га - Б огдан , м акет, худ ож н є оф ор м л ен н я , 2010

З в ер н ен н я до читача

Дорогий юний друже!

Перед Вами підрз^ник з предмета «Математика». Його голо вне призначення — допомогти Вам систематизувати, розширити й поглибити знання і вміння, які необхідні для математичного мо делювання і дослідження процесів і явищ за допомогою функцій, рівнянь та інших математичних об’єктів, опанувати суміжними предметами (фізика, хімія, біологія тощо). І тим самим упевни тись у могутності математичних методів для пізнання навколиш нього світу, у розв’язанні різних проблем. Підручник для 10 класу складається з чотирьох розділів. Кож ному розділу передує матеріал, що вивчався раніше і необхідний для вивчення цього розділу, його подано у вигляді таблиць. Для забезпечення готовності до вивчення матеріалу розділу наводить ся діагностичний тест. Розділи підручника поділено на параграфи, які, в свою чергу, розчленовані на пункти. До кожного пункту подано контрольні запитання, що мають забезпечити активне засвоєння основних понять і фактів у їхньому взаємозв’язку. Викладення навчального матеріалу у кожному пункті структуроване за рівнями. На першому рівні (його позначено літерою Б) викладаються найголовніші поняття, основні факти теми, хоча, найчастіше, без формальних доведень. Цей матеріал є базою для подальшого вивчення теми, більш ґрунтовного і повного. На другому рівні (його позначено літерою О) наводиться більш повне обґрунтування попереднього матеріалу, його розширення, наводяться приклади його застосування. Матеріал на цих двох рівнях повністю забезпечує оволодіння предметом згідно з вимо гами програми на рівні стандарту. Виклад теоретичного матеріалу супроводжується розв’язанням типових задач відповідного рівня. Початок і кінець доведень твер джень та розв’язань прикладів позначено знаками □ і ■.

З вернення д о читача

Система задач, вправ і контрольних запитань, наведених у підручнику, має три рівні складності: перший рівень складності позначено символом «°», другий не має позначень, третій позна чено символом «*». До загальної системи задач включено вправи на повторення, що мають сприяти готовності опанування наступним матеріалом, збереженню вмінь і навичок, сформованих при вивченні попере дніх розділів. Кожний розділ завершується матеріалом для підготовки до тематичного оцінювання, який складається із запитань для са моконтролю (з відповідями) та зразка тематичної контрольної роботи. Для повторення і систематизації навчального матеріалу розділу наведено відповідні таблиці. Підручник містить вказівки і відповіді до задач, а також пред метний покажчик. Читання книги не є легкою справою. Деякі фрагменти дове день залишені для самостійного опрацювання. Не минайте їх! Щиро бажаємо успіхів! Колектив авторів П означення дл я о р ієн т у в а н н я в н а в ч а л ь н о м у м атеріал і

— дві сходинки засвоєння навчального матеріалу

— зверніть увагу

□ — початок розв’язання задачі, доведення теореми ■ — кінець розв’язання задачі, доведення теореми ° — задачі першого рівня складності * — задачі третього рівня складності [ Q — контрольні запитання

З — існує об’єкт

— графічні вправи; задачі

з! — існує єдиний об’єкт

— вправи для повторення

=ї> — знак логічного сліду

— завдання для самоконтролю ^ 1 — тест для діагностики = — межі для різних типів задач

вання: якш;о ..., то » — рівносильність: тоді і тільки тоді

Вступ

Розвиток суспіл ьства і математика

Однією з характерних особливостей нашого часу є широке засто сування математики у різних галузях діяльності людини. Без мате матики не обійтися при проектуванні та будівництві споруд, вироб ництві приладів та їхніх деталей, важливу роль відіграє ця наука у плануванні господарчої діяльності, керуванні технологічними про цесами, роботою підприємств тощо. Суттєве прискорення процесу математизації науки, техніки, гос подарської діяльності розпочалося в середині XX ст. Воно пов’язане зі створенням електронно-обчислювальних машин, автоматизацією процесів виробництва, новітніми технологіями, істотними змінами у характері праці людини. Математика стала універсальним засобом моделювання та дослі дження навколишнього світу, надійним знаряддям розв’язування практичних задач. Тому вивчення математики, її застосувань є невід’ємною складовою формування світогляду людини та підготов ки сучасного фахівця — кваліфікованого робітника, техніка, інжене ра, економіста топіо. Практика — основне джерело розвитку математики

Очевидно, математика виникла на ранній стадії розвитку люд ства під впливом потреб практики. Розвиток ремесла, землеробства, торгівлі й обміну, навігації, управління державою потребував удо сконалення вимірювань і розрахунків. Неможливо точно відповісти на питання, коли саме було сформовгано перші математичні поняття. Однак є переконливі писемні свідчення (папіруси, глиняні таблички), які підтверджують високий рівень математичних знань у могутніх цивілізацій Стародавнього Сходу — Єгипті та Вавилоні — за три-дві тисячі років до н. е. Того часна математика мала яскраво виражений конкретний характер, її досягнення дійшли до нас у вигляді задач, більшість з яких на

Вступ

лежить до розряду господарських, і їхніх розв’язків. У них йдеться про вимірювання площ і об’ємів, про підрахунки врожаю і величини податку, про обчислення, пов’язані зі сплатою боргів та ін. Приблизно у VII от. до н. е. виникла грецька цивілізація, яка від різнялась від країн Стародавнього Сходу політичним ладом і економі кою. Розквіт науки і мистецтва у Стародавній Греції супроводжував ся плідними теоретичними дослідженнями. Намагання стародавніх греків зрозуміти будову Всесвіту, визначити роль і місце людини у природі та суспільстві привели до утвердження нових форм раціо нального мислення. У математиці ця форма мислення виявлялась у прагненні довести всі твердження, виходячи з невеликої кількості початкових тверджень. До тих часів математика мала «рецептурний» характер. Тож обґрунтування узвичаєних практичних «рецептів» стало одним з основних завдань грецьких математиків. Уже в III ст. до н. е. Евклід створив книгу «Начала», в якій у дедуктивній фор мі виклав основи тогочасної математики. Упродовж двох тисячоліть «Начала» Евкліда вважалися взірцем строгості й істотно впливали на розвиток математики. Втім, аксіоматичний метод, за допомогою якого Евклід виклав основи геометрії, є загальновизнаним при по будові наук, і не тільки математичних. У Стародавній Греції були зроблені відкриття, які на багато століть визначили напрямки розвитку математики. Поряд із досягненнями теоретичного характеру тогочасні вчені мали багато суто практич них здобутків. Найвидатнішим представником прикладної матема тики того часу історики вважають Архімеда (приблизно 287-212 pp. до н. е.). Він був не тільки математиком, а й талановитим інженером. Його праці з обчислення площ і об’ємів стали передвісниками найпо тужніших сучасних методів математики. Останній період розвитку античного суспільства пов’язаний із впливом Римської імперії, де, на відміну від Греції, математикою ці кавились мало. Після прийняття християнства у V ст. н.е. римський імператор Юстиніан навіть заборонив заняття математикою під за грозою смерті. Після занепаду Римської імперії центр математичних досліджень перемістився на Схід. Найбільш значними досягненнями середньовіч ної математики є запровадження в Індії сучасної десяткової позицій ної системи запису чисел, введення від’ємних чисел і нуля, створення арабськими математиками (аль-Караджі, аль-Біруні, аль-Хайамі та ін.) основ алгебри, яка згодом виділилась у самостійний розділ математи ки. Математичні дослідження на Сході мали арифметико-алгебраїчний характер і були більш прикладними, ніж за часи античності. Арабські математики істотно розвинули тригонометрію з огляду на необхідність астрономічних досліджень та потреб навігації.

В ступ

У Т О Й час, як Схід продовжував розвиватись, Західна Європа по ступово занепадала. Феодальні чвари, низький рівень культури і ви робництва аж ніяк не сприяли розвитку науки. Вивчення математи ки в культурних центрах того часу — монастирях — обмежувалось студіюванням арифметики. На початку XII ст. економічне життя Заходу активізується, вста новлюються торговельні зв’язки зі Сходом. Через арабів Європа зна йомиться з працями грецьких вчених, в європейських країнах по жвавлюється інтерес до математики. Кінець середньовіччя (XV-XVI ст.) у Західній Європі характери зується бурхливими змінами, пов’язаними з розпадом феодального суспільства і формуванням ринкових відносин. Розвиток промисло вості, торгівлі, мореплавства, друкарської справи привів до розквіту культури, мистецтва і науки. Математика стає важливим засобом на укового Відродження. В процесі активних занять нею вчені створили сучасну алгебраїчну символіку. Уже в епоху Відродження почалося використання різних машин і ме ханізмів на мануфактурах, у будівництві, гірничій справі тощо. Відтак з’явилися передумови для розвитку теоретичної механіки та вивчення механічного руху. Вчені мусили подбати про створення відповідного ма тематичного апарату. На початку XVII ст. Рене Декарт (1596 -1650) ввів у науковий обіг поняття змінної величини. Відтоді основним об’єктом математики стало поняття функції. Зусиллями Ньютона, Лейбніца, їхніх з^нів і послідовників для вивчення функщональної залежності було розроблено новий математичний апарат. Його застосування при розв’язуванні задач механіки, астрономії та інших наук надовго визна чило подальші шляхи розвитку математики. Розвиток ринкових відносин у XVIII і XIX століттях супроводжу вався перебудовою виробництва з застосуванням парових машин, інших технічних засобів. Розвиток математики у той час був тісно пов’язаний з технічною революцією, вимогами практики. Створення геометричних теорій, розвиток поняття про число, вивчення фзгнкцій стимулювалися необхідністю вирішення науково-технічних проблем в царині кораблебудівництва і мореплавства, балістики, гідротехні ки, геодезії і картографії, астрономії. З часом безпосередній вплив практики на розвиток математики дещо зменшувався. Однак становлення різних природничих і техніч них наук, передусім —фізики, було тісно пов’язане з удосконаленням математичних методів, розширенням сфери їхнього застосування. Таким чином, зв’язок математики з практикою найчастіше здій снюється через природничі і технічні науки. Важливим джерелом розвитку математики є їі внутрішні потреби, спрямовані на систематизацію теорій, їхнє узагальнення, вдоскона лення наукових методів і т.ін.

Вступ

Розвиток математики в XIX ст. визначався як її внутрішніми по требами, так і потребами практики. Яскраві результати були одер жані і на тому, і на іншому шляху. Нерідко абстрактні математичні теорії з часом ставали прикладними. Так, наприклад, неевклідова геометрія, творцями якої були німець К. Ф. Гаусс (1777 - 1855), уго рець Я. Больяй (1802 - 1860) та росіянин М. І. Лобачевський (1792 1856), постала на ґрунті намагань удосконалити «Начала» Евкліда. На початку XX ст. це відкриття стало невід’ємною частиною сучасних фізичних теорій. Ще більшу роль у вивченні навколишнього світу та у суспільстві загалом відіграє математика в XX ст. її можливості істотно зросли внаслідок створення електронно-обчислювальних машин. Сучасний етап розвитку суспільства характеризується значним ростом сфер за стосування математики. Чим же пояснюється розмаїття застосувань математики й універ сальність її методів? По-перше, математика послуговується досить загальними і чіткими об’єктами для описання навколишніх явиш, (геометричні фігури, числа, рівняння, вектори і т. д.). А, по-друге, вченими розроблено низку потужних методів дослі дження математичних об’єктів: метод координат, алгебраїчні мето ди, методи математичного аналізу й ін. Таким чином, математика є зручним і ефективним засобом для описання і дослідження закономірностей реальності. Математичне моделювання

Застосування математики для описання і дослідження процесів та явиш, дійсності ставить нас перед необхідністю знайти відповідь на питання: «А в чому полягає сутність розв’язання прикладної за дачі за допомогою математики?». Власне, про це ми і поговоримо. Усім вам доводилось застосовувати математичні знання для роз рахунку швидкості заповнення басейну, часу виконання роботи та ін. Ці застосування передбачають заміну реальних об’єктів і відно шень між ними математичними об’єктами і відношеннями між ними (функціями, рівняннями, геометричними фігурами). Для цього необхідно передусім виділити суттєві характеристики ре альних об’єктів і відношень між ними, проігнорувавши несуттєві, а тоді — саме їх замінити математичними об’єктами і зв’язками між ними. Процес такого замйцення називають математичним моделюванням. Математичними моделями звичайно називають наближені описання якогось класу явиш; зовнішнього світу, віфажені за допомогою математичних понять і відношень між ними. Розглянемо задачу, яка ілюструє застосування методу математич ного моделювання на практиці.

В ступ

По один бік від шосе знаходяться два населених пунк ти. Де варто збудувати автобусну зупинку? Розв’язання цієї задачі починається із з’ясування того, чим визначається вибір місця для побудови зупинки. Якщо немає ніяких об межень, то природно шосе зобразити прямою І, населені п у Е ш т и — точками А \ В (рис. 1). Залишилось з’ясувати критерій, за яким ви бирається місце для зупинки, яке будемо зо бражати точкою С на прямій І. Якш;о не врахо вувати чисельності населення в пунктах А і В, то зупинка повинна бути розміщеною так, щоб сума відстаней від пунктів А і В до зупинки С була найменшою. Тоді витрати часу на шлях до зупинки будуть найменшими. Таким чином, математичною моделлю даного завдання буде така математична задача. Нехай дано дві точки А і В до один бік від прямої І. Зна йти на прямій таку точку С, щоб сума відстаней від А до С і від В до С була найменшою. Ця задача міститься у багатьох посібниках з геометрії. Вважають, що 11 автором є відомий математик античності Герон Александрійський. Тому іцо задачу називають задачею Герона. Її розв’язання ґрунтується на ідеї симетрії. Побудуємо точку Bj, симетричну точці В відносно прямої І. З’єднаємо точки В^ і А. Тоді точка перетину прямої АВ^ з прямою І буде шуканою. Зверніть увагу на те, що ця точка існує! Дійсно, для довільної точки Cj, яка відрізняється від С, має місце нерівність АС, + С,В ^ АС, + С,В, > АВ, = АС + СВ, = АС + СВ.

Для її доведення ми скористались властивостями симетрії, з яких випливають рівності С,В = С,В,, СВ = СВ,, а також нерівністю три кутника. Отримана нерівність свідчить про те, що точка С є шука ною. Нам залишилось з’ясувати, в якій мірі розв’язок математичної за дачі, яка є моделлю даної задачі, є її розв’язком. Для цього слід уточ нити декілька питань. Чи можна реалізувати розв’язок практично? Якщо відстані незначні, то за допомогою топографічних приладів це зробити неважко. У тому випадку, коли це неможливо зробити, слід продовжити дослідження математичної задачі і навчитись характе ризувати точку С іншими засобами.

1о

Вступ

Але ще важливішими і складнішими є уточнення розв’язку в зв’язку з тим, ш;о чисельність населення в пунктах А і В різна. Вра хування цього фактора значно ускладнює задачу. Ще складнішою стає ситуація, якш,о враховувати й інші природні умови, наприклад, коли навпростець іти неможливо. Врахування всіх факторів майже неможливе у загальному випадку. Але за конкретних умов матема тик завжди побудує математичну модель для цієї задачі і запропонує придатний варіант Гі розв’язання. Підбиваючи підсумки, можна стверджувати, що процес матема тичного моделювання загалом складається з трьох етапів: 1) вибір чи побудова математичної моделі для описання даної задачі; 2) дослідження побудованої моделі, тобто розв’язування математичної задачі; 3) тлумачення результатів дослідження, встановлення відповідності одержаного результату цілям досліджень. При необхідності уточнюється сама математична модель і резуль тати, які з неї випливають. Побудова математичної моделі ґрунтується на абстрагуванні від усіх властивостей об’єкта пізнання, крім кількісних і просторових. При побудові математичної моделі завжди виникає необхідність не хтувати тими чи іншими сторонами реальності. Про якість побудова ної моделі можна судити лише за результатами порівняння дійсності з інформацією, отриманою шляхом дослідження моделі. Таким чи ном, метод математичного моделювання виходить з практики, ство рюючи математичні моделі явищ і процесів, і повертається до неї, щоб обґрунтувати доцільність створення моделі. Підсумок

Основою застосування математики, як уже зазначалось, є процес математичного моделювання. До цієї діяльності Ви готувались, ви вчаючи курс математики в основній школі. Там створювався запас математичних моделей, формувались навички їхньої побудови та до слідження. У даному курсі передбачається систематизащя, поглиблення і роз ширення знань, одержаних в основній школі, а також удосконалення навичок моделювання. Для моделювання реальних об’єктів і відно шень, з якими Ви матимете справу при вивченні інших дисциплін, в майбутній професійній діяльності, необхідно суттєво розширити за соби математичного моделювання і дослідження математичних мо делей, за рахунок уведення нових класів функцій та математичних методів. Дана книга допоможе Вам у досягненні цих цілей.

В ФУНКЦІЇ, ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ Кожній людині постійно доводиться мати справу з різними залежнос тями між величинами. У відповідності з цим вивчення залежностей є осно вним змістом її навчання в школі, а також у вищому навчальному закладі. Щоб переконатись у цьому, досить погортати сторінки підручників з фізи ки, хімії, технічних чи суспільних дисциплін, науково-популярних журналів та інших видань. Із закінченням навчання не зникає потреба враховувати, розглядати і досліджувати різні залежності. Для будівельників важливою є залежність вартості будівництва від його тривалості, залежність якості виконаних робіт від якості будівельних матеріалів. Для підприємств ав томобільного транспорту викликає інтерес залежність витрат палива від якості доріг. Перелік таких прикладів із господарства, побуту, політики тощо можна продовжити. Починаючи з XVII ст. вивчення найважливіших типів залежностей ста ло основним завданням математики. В математику міцно увійшли поняття змінної величини та функції, які стали і залишаються до цього часу по тужними засобами моделювання реальних процесів, а тому й одними з головних об’єктів дослідження. У даному розділі закладено основи для вивчення функціональних залежностей між змінними величинами, виді лено деякі найважливіші класи функцій, вивчаються елементарні методи дослідження функцій, а також продовжується вивчення однієї з найбільш застосовних функцій — степеневої.

Г о т у є м о с ь до вивчення т е м и «функції, їхні властивості та графіки»

Вивчення теми «функції, їхні властивості та графіки» базуєть ся практично на усьому алгебраїчному матеріалі, який вивчався в попередніх класах. Головне призначення цієї теми якраз і по лягає у його повторенні, систематизації і поглибленні. Тому для підготовки до вивчення теми наведено найважливіший матеріал у вигляді таблиць. Числа та обчислення

Таблиця 1 Тема Звичайні дроби

Зміст

Приклади

Додавання і віднімання дробів З 5 1 8 ^ з однаковими знаменниками: 5 6 “ ЗО ЗО а _ а + Ь а Ь_ а -Ь _ 43 _ і ^ с с с ’ с с с Щоб додати або відняти дроби з “ з о “ 3 0 ‘ різними знаменниками, їх спо чатку зводять до спільного зна менника, а потім виконують дію за правилом додавання або віднімання дробів з однакови ми знаменниками. ,, а с ас М нож ення:------ = — . Ь d bd а с а d ad Ділення: — : — = ------ = — . Ь d Ь с be

Г оту єм ось д о в и вч ен н я те м и «ф ун к ц ії, їхні в л а сти в о ст і т а граф іки »

Т ем а

З м іст

Відсотки 1% = 0 , 01 . і пропорції ар р% від числа а дорівнюють ЇОО Якщо р% від числа а дорівнюють Ь, то а = — ■100 . Р

Відсоткове відношення чисел аіЬ дорівнює —•100%. Ь Головна властивість пропорції а : Ь = с : d — ad - be. Вирази та їхні перетворення

Таблиця 2 а^ -Ь^ =(а + Ь){а-Ь),

(a ± b f =

(a ± b f = а® ±За^Ь + ЗаЬ^ ±fe^ а^ +Ь^ =(а + Ь)(а^ -аЬ + Ь^),

±2аЬ + Ь^,

а^ - Ь^ = {а-Ь)(а^ +аЬ + Ь^), ах^ + Ьх + с = а(х -x^){x - х^),

де Xj і Xg - корені рівняння ax^' +Ьх + с = О, а

Функції і графіки

1. Лінійна функція y = kx + Ь. Графік — пряма, не пара лельна осі у. Коефіцієнт k дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі х: k = tg9. 2. Квадратична функ ція у = ах^, а ^ 0. Графік — парабола, вітки якої спрямовані вгору, якщо а > 0, і вниз, якщо а < 0.

*>0

Таблиця З k<0 </, y=k)^ ^=kx+b

г/,

Ь 'Л

Ф1 Ь 0 k

\ Ф хл ^ 0 kЬ \

у ҐС \

и=ах . а>0 /

*к

У=аЛ

а<0

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

3. Обернена пропорційk ність у = — , k Ф 0. X Графік — гіпербола, яка при k > 0 розташована у І і III чвертях, а при k < 0 — у II і IV чвертях.

1 V

/ X

)

у=і

k<0

Ґ у

4. Функція У = у[х. Визначена на проміжку [0; +оо).

у = 4х

с1

Р ІВ Н Я Н Н Я

Таблиця 4 Тип рівняння Лінійне рівняння ах = Ь

Розв’язання Якщо а

0, то X = — . а Якщо а = 0, 6 ^ 0, то рівняння не має коренів. Якщо а = 0, Ь = 0, то будь-яке х е коренем рівняння.

Квадратне рівнян Якщо Z) < 0, то рівняння не має коренів. ня ах^ + Ьх + с = 0, Якщо Z) = 0, то рівняння має один корінь а Ф0, Ь D= — 4ас — його 2а' дискримінант Якщо D > 0, то рівняння має два корені -ь±4В X, „ = ------------. 2а Неповне квадратне ах^ -І- Ьх = 0 або х{ах + Ь) = 0, тоді х^ = 0, рівняння (один 3 ко Ь х ,= --. ефіцієнтів Ьабо с до рівнює 0) ах'^ + с = 0 або . а с с І с Якщо — > 0 , то X, = . — , х„ = - J — . а \ а \ а Q Якщо — < 0 , то рівняння не має коренів. а

Г оту єм ось д о в и вч ен н я те м и «ф ун к ц ії, їхні в л а сти в о ст і та граф іки »

Означення степеня з цілим показником

Таблиця 5 Степінь 3 натуральним п є N, n >1=> а'' = а-а-...-а. показником п разів Степінь 3 нульовим по а° = 1, а казником

= а.

Степінь 3 цілим від’єм а ”" = ^ , а ? ! : 0 , пе N . ним показником Властивості степеня з цілим показником

Таблиця 6 Добуток степенів 3 однаковими основами

■а=' = а ^ * \ х , у є г .

Частка від ділення степенів з однаковими основами

:а^ = a ^ - \ x , y e Z .

Піднесення степеня до степеня Степінь добутку Степінь частки

= a ’^ , x , y e Z . {аЬу = а^- b \ x e Z . Іґ а ]

аX

Ариф метичний квадратний корінь та його властивості

Таблиця 7 Означення Арифметичний квадратний ко рінь 3 добутку Арифметичний квадратний ко рінь 3 дробу Арифметичний квадратний ко рінь 3 квадрата

а > 0 => Та > 0, (лУа) = а а> 0, Ь > 0 ^ уІаЬ = л/а ■Vb.

a > 0 ,6 > 0 = ,p .f, Vo УІЬ = \а\.

Тест для діагностики готовн ості до вивчення т е м и «функції, їхні властивості та графіки»

Обчисліть: - ї ї

А. 2.

Б .— . 27

В.

Г.

Порівняйте без обчислювальних засобів числа а = — і Ь= —. 5 6 А. а <Ь. В. а = Ь. В. а > Ь. Г. Порівняти неможливо. Після підвищення цін на 10% ціна товару дорівнювала 220 грн. Якою була початкова ціна цього товару ? А. 242 грн. Б. 200 грн. В. 198 грн. Г. 180 грн. х -х Обчисліть значення виразу при х = — 2 А, -3^/5 . Б. - 2V5 . в . 2л/5 . Г. 3^/5. Скоротіть дріб А.

а+2

а-2

Б. а

а -2

В. а - 2 .

Г.

2 -а

Подайте вираз

А. Б. а^о. В. а\ Г. а». Серед наведених точок укажіть точку, через яку проходить

у вигляді степеня числа а.

графік функції у = — . X

А. (-1; -2).

Б. (-1; 2).

В.

h -i'

г.

Т ест д ля д іа гн о сти к и г о т о в н о с т і д о вивчен ня тем и

На рисунку зображено графік функції ... А. j = x + l . Б. >' = j c - l . 'R.y = - x ~ l . Г. з/ = -л: + 1.

Графік функції у =

зображено на рисунку ... В. У.

г.

О 10. Яка з наведених функцій є оберненою пропорційністю? А. у = 2х.

Г. у = лІ^.

S — відстань від пункту А до туриста у момент часу t. Скільки часу рухав ся турист до привалу? A. 2 год. Б. З год. B. 1,5 год. Г. 1 год.

12. Із формули

vt = — + 1 виразіть залежність часу t > О від шляху s.

2s-2 2s + 2 2 s -l А. t = Г. t = Б. t = В. t = 2s - 2 V V V 13. Скільки коренів має рівняння Зх^—5х + 2 —О? А. Жодного. Б. Один. В. Два. Г. Більше від двох. г, > • • „ [2х + 1 > 0, 14. гозв яжіть систему нерівностей ■ 1-д:>0.

А. 15.

в.

Б.

Знайдіть область визначення виразу \jl-2x . 1

В. л: > 2 . А. х > ~ . Б. X < - . 2 2 16. Розв’яжіть нерівність: х^ < 4 . A. (2; +<»). Б. (-2; 2). B . ( -о о ; -2 )и (2 ; + о о ). Г. ( -о о ; 2).

Г, X < 2 .

Числові м нож ини

Поняття числа є основним для всієї математики. Із її розвитком розвивалось та збагачувалось і поняття числа. У цьому параграфі зроблено огляд основних число вих систем, які вивчались раніше, докладніше розгляда ються множини раціональних і дійсних чисел. 1. Множина раціональних чисел

•

1^™

Уявлення про числа формувались поступово під впливом вимог практичної діяльності. З давніх часів числа вживались: а) при лічбі; б) при вимірю ванні величин. Вивчення математики ви починали з натуральних чисел, тобто з чисел 1, 2, З, 4, 5, ..., які використовувались при лічбі. При додаванні і множенні натуральних чисел завжди отримують на туральні числа. Але різниця і частка від ділення натуральних чи сел можуть не бути натуральними числами. Якщо приєднати до натуральних чисел від’ємні числа і нуль, то множина натуральних чисел розширюється до множини ці лих чисел. Від’ємні цілі числа разом з натуральними дозволяють характеризувати зміну численності множини без вказівки на на прямок зміни. Наприклад, якщо кількість виробів, виготовлених робітником за зміну, змінилась на -t-20, то це означає, що вона збільшилась на 20, а якщо на -2 0 , то — зменшилась. Те саме сто сується запису розміру прибутку і збитку, температури повітря, швидкості руху за течією і проти течії річки тощо. Для будь-яких цілих чисел їхня різниця є цілим числом. Однак частка від ділен ня двох цілих чисел може не бути цілим числом. Дробові числа з’явились як результат вимірювання. Нехай по трібно виміряти довжину класної дошки. Припустимо, що метр у

Числ ов і м н ож и ни ___________________________________________________________________________^

довжині класної дошки уклався один раз і залишилася остача, менша від метра. У такому разі поділяємо метр, наприклад, на 10 рівних частин, вимірюємо остачу десятими долями метра і знахо димо, що остача містить 7 десятих частин метра. Отримали дробо7 ве число 1— . Цілі числа разом з дробовими утворюють множи ну раціональних чисел. При виконанні чотирьох арифметичних дій (окрім ділення на 0) над раціональними числами завжди отримують раціональні числа. Кожне раціональне число можна , т подати у вигляді звичайного дробу — , де m — ціле число, п — нап туральне. Множину натуральних чисел зазвичай позначають літерою N, множину цілих чисел — Z, множину раціональних чисел — Q. Кожне раціональне число можна подати також у вигляді де сяткового дробу, скінченного або нескінченного. Наприклад, 1

- = 0,125; 2— = 2 -----= 2,28; - = 0,1111.... 8 25 100 9 Останній десятковий дріб є періодичним з періодом 1 і його за писують так: 0,(1), читається; «нуль цілих і один у періоді». •

Різні нескінченні десяткові дроби зображають різні раціональні числа. Виняток складають дроби з періоJ jljl дом 9, які можна вважати іншим записом дробів з пе------------------ ріодом 0:1,(9) = 1,999... = 2,000... = 2; 0,3(9) = 0,3999... = = 0,4000... = 0,4. Для нескінченних десяткових дробів з періодом 9, як правило, застосовують запис дробами з періодом 0. Якш,о ототожни ти періодичні дроби з періодом 9 з відповідними періодичними дро бами з періодом о, то між раціональними числами і десятковими пе ріодичними дробами існуватиме взаємно однозначна відповідність. ^

Теорема

1. К ож н е р ац іон ал ьн е чи сл о — м ож н а зобр а зи -

п ти у вигляді д е ся т к о в о го п ер іод и ч н ого д р обу .

□ Твердження випливає з того, іцо в процесі ділення чисель ника т на знаменник п після виділення цілої частини кожна з остач буде меншою від п, тобто остача може дорівнювати одному з чисел О, 1, 2, ..., п —1. Тому не пізніше, ніж після и-го кроку, якась

Розділ 1. Функцм, їхні властивості та графіки

З остач повториться, і відтак у частці буде повторюватись та сама група цифр. ■ М

Якщо при діленні «куточком» отримують скінченний десятковий дріб, то його завжди можна записати у ви гляді періодичного з періодом, що дорівнює нулю, при писавши справа як десяткові знаки безліч нулів.

Приклад

9 40

З 25

1. Записати числа — і — у вигляді десяткового пе-

ріодичного дробу. □ Маємо: — = 0,225 = 0,225000... = 0,225(0), — = 0,12 = 40 25 = 0 , 12000 ... = 0 , 12(0). ■ Відповідь. 0,225(0); 0,12(0). Зауважимо, що знаменники дробів, що розглядались у прикладі 1, своїми простими множниками мають лише числа 2 і 5: 40 = = 2^ •5, 25 = 5^. Виявляється, що і взагалі, коли знаменник дробу має своїми простими множниками лище числа 2 і 5, то такий дріб перетворюється у скінченний десятковий дріб. Дроби, знаменники яких у своїх розкладах на прості множни ки містять числа, що відрізняються від 2 і 5, перетворюються на нескінченні десяткові дроби. 5 9 5 2 8 —, — ,—,— ,— у вигляді не3 56 6 11 35 скінченного десяткового періодичного дробу. Приклад

2. Записати числа

□ І = 1,6666... = 1,(6); — = 0,160714285714285... = 0,160(714285); З

- = 0,8333... = 0,8(3); — = 0,18181818... = 0,(18); 6

— = 0,2285714285714... = 0,2(285714). ■ 35 Якщо X — від’смне раціональне число, то у вигляді нескінчен ного десяткового дробу подають йому протилежне число і перед одержаним числом ставлять знак «мінус». Правильним є і твердження, обернене до теореми 1. 2. Кожен десятковий періодичний дріб зобра жає певне раціональне число.

Теорема

Ч ислові м н ож и ни

Якщо десятковий дріб має своїм періодом число О, то це твер273 дження є очевидним. Наприклад, 2,73(0) = 2,73000... = 2,73 = У загальному випадку можна скористатися формулою суми не скінченної спадної геометричної прогресії: 1 -9 де Oj — перший член геометричної прогресії, q — її знаменник (\Я\ < !)• П р и к л а д 3. Записати у вигляді звичайного дробу періодичний дріб: 1) 3,(7); 2) 1,5(38).

□ 1) Запишемо періодичний десятковий дріб без дужок: 3,7777... . Подамо одержаний дріб у вигляді суми цілої частини, десятих, сотих і т. д. часток: 7 7 7 3,7777... = 3 + — + — + — ^ + ... . 10

100

7 7 7 — + ----- + -------- + ...

ТТ

Доданки суми

100

1000

. . . є членами нескінченної

7 . спадної геометричної прогресії з першим членом Oj = — 1 зна менником Я = ^

(І9І < !)•

За формулою суми нескінченної спадної геометричної прогресії, маємо: Т_ Т_ _Т_ _ 7 _ 10 7 1 0 ’^,100"^1000"^'"“ ^ _ J _ “ 9 ■ 10

Отже, 3,(7) = З - . 9 2)

1,5(38) = 1,5383838... = l + A + _g g _+ 10

^ 0,038 1 -0 ,0 1

^ ^ 5 ^ 38 "^10 "^990

Відповідь. 1 )3 ^ ;

1000

+ 100000

^ ^ 5-99 + 38 ^433 ^ 990 “ 9 90 ’ " 2) 1^

+А + 10

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

Контрольні запитання

1°. Чи правильно, що: а) кожне ціле число є натуральним; б) кожне ціле число є раціональним? 2°. Яка множина доповнює множину цілих чисел до множини ра ціональних чисел? 3°. Чому дорівнює період десяткового дробу 49,35727272...? 4°. Які з наступних звичайних дробів перетворюються у скінчен^ З 7 5 7 11 З 21 2 7 „ ні десяткові дроби: — , — , - , — , — , — , — , — , ----- ? 16 49 6 50 15 25 80 21 125 5. Скільки цифр має період зображення раціонального числа ^

у вигляді нескінченного десяткового дробу? 2. Множина дійсних чисел

Для точного вимірювання довжин відрізків раціо нальних чисел не вистачає. Наприклад, не існує раціонального числа, яке б дорівнювало довжині гіпотенузи рівнобедреного прямокутного трикутника, якщо до

ііБ

вжина його катета є одиницею виміру ( УІ2 не є раціональним чис лом!). У множині раціональних чисел не будь-яке рівняння виду X- = а має розв’язок. Наприклад, рівняння = 2 у множині раціо нальних чисел не має розв’язків, бо не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2. Потрібно розширити множину раціо нальних чисел. Нові числа можна ввести, розглядаючи нескінченні неперіо дичні десяткові дроби. у попередньому пункті було показано, що будь-яке раціональ не число можна записати у вигляді періодичного десяткового дро бу і кожен десятковий періодичний дріб є раціональним числом. Якщо ж нескінченний десятковий дріб не є періодичним, то він не є раціональним числом. Наприклад, дріб 0,12345678910111213..., у якому після коми стоять усі натуральні числа, — неперіодич ний, а тому він не зображає жодного раціонального числа. Даний дріб є ірраціональним числом. Ірраціональним числом називається нескінченний десятковий неперіодичний дріб.

Ч ислові м н ож и ни

Приклади ірраціональних чисел: 0,35355355535555... (після першої трійки — одна п’ятірка, після другої — дві і т. д.), V2 = = 1,41421356..., п = 3,1415926535... (відношення довжини кола до діаметра). Ірраціональні числа х і j , записані у вигляді нескінченних де сяткових дробів, порівнюються за тими самими правилами, ш,о і скінченні десяткові дроби: якщо ціла частина числа х менша від цілої частини числа j , то х < у. Якщо цілі частини двох чисел рів ні, то для їхнього порівняння доводиться звертатись до їхніх дро бових частин. Наприклад, 12,72241... < 12,72250..., оскільки у цих чисел рівні цілі частини і перші три десяткові знаки після коми, а четвертий знак після коми у лівого числа менший: 4 < 5. Раціональні та ірраціональні числа утворюють множину дій сних чисел. Цю множину позначають буквою R. Кожне дійсне число зображається у вигляді десяткового дробу (скінченного чи нескінченного). Дійсні числа можна додавати, віднімати, множити і ділити (за умови, що дільник відмінний від нуля), причому дії над дійсними числами мають ті самі властивості, що і дії над раціональними чис лами. У прикладних задачах при виконанні дій над дійсними чис лами їх замінюють раціональними наближеними значеннями. П р и к л а д 4. Дві матеріальні точки обертаються по колах з ра діусами З м і 4 м. Кожна з них за 1 с робить один оберт. Яку за гальну відстань вони разом подолають за 1 с? Обчислення вико нати з точністю до 1 м.

□ Загальна відстань дорівнює сумі довжин двох кіл, описаних даними матеріальними точками за 1 с. Оскільки довжина кола обчислюється за формулою І = 2%R, де Д — радіус кола, І — його довжина, то можна обчислити довжину кожного кола (при обчис ленні зберігаємо один додатковий десятковий знак): = 2л: •З = = 6л « 6 ■3,1 = 18,6 (м), = 2ті ■4 = 8л » 8 •3,1 = 24,8 (м). Загальна ж відстань дорівнює Zj » 18,6 -і- 24,8 = 43,4 (м). Округливши результат до 1 м, дістанемо: 1^ + 43 (м). ■ Відповідь. 43 м. Геометрично дійсні числа зображаються за допомогою точок координатної прямої, тобто прямої з вибраними початком ко ординат, додатним напрямом відліку та одиницею масштабу.

Розділ 1. ФункцГі, їхні властивості та графіки

Основна

властивість

дійсним

чисел.

Кожному дійсному числу відповідає єдина точка коор динатної прямої, і навпаки, кожній точці координатної прямої відповідає єдине дійсне число. Враховуючи цю відповідність, часто не відрізняють число та точку, що його зображає. Наприклад, кажуть «точка 5», «точка 2», «точка X» і позначають відповідну точку координатної прямої чис лом «5», «2», «X». Координатну пряму називають також числовою віссю. Те, що точка А мас координату х, записують; А{х). Зазвичай координатну пряму розмішують горизонтально, до датний напрям обирають зліва направо, початок координат по значають буквою О. При цьому, якщо а < Ь, то точка а міститься на числовій осі лівіще від точки Ь (рис. 2, а); якщо ж а > 6, то точка а міститься правіще від точки Ь (рис. 2, б). О

Приклад

1 а)

Ь О

б)

Рис. 2

5. На координатній прямій зобразити точки за їхні 1

ми координатами: А ( - 2 ) ;Б

;С

■,0{0,ЗУ,Е(42). '2) □ Точку А(-2) отримаємо, якщо на координатній прямій від кладемо у від’ємному напрямі дві одиниці масщтабу (рис. 3). Точ^2 ^ ку В можна побудувати, якщо поділити одиницю масщтабу на три рівні частини. Точки С

; D (0,3) будуються аналогічно

(одиниця масщтабу поділяється відповідно на дві і десять рівних частин). Для зображення точки Е^УІ2^ можна скористатись на ближеним значенням \І2 , наприклад, 1,4. ■ 1

'2)

А {-2 )

-1

£1(0,3)

Ш)

Рис. З Геометричне тлумачення дійсних чисел дозволяє наочно ввес ти поняття модуля числа.

Ч и сл ові мн ож и ни

Відстань від початку координат О до точки х нази вається модулем числа х і позначається х . З означення випливає, що при х > О відстань від О до х дорів нює X, тобто модулем невід’ємного числа є саме це число. Якщо ж X < О, то відстань від О до х дорівнює - х, тобто модулем від’ємного числа є протилежне до нього число. Отже X,

я к щ о х > 0 ,

|д;| = -X ,

якщ о X

< о,

т о б т о в и р а з д л я м о д у л я д ій с н о г о ч и с л а зб і

гається з означенням модуля раціонального числа. Наприклад 3| = 3 ,| -5 | = 5 ,

Гг1 - V 2 = V 2 - 1 ,

fx -1 , якщ о Х >1, х -1

= 1 -х , якщ о х < 1.

На координатній прямій також зображають числові проміжки: відрізки, інтервали, напівінтервали. Далі наведено їхній запис за допомогою дужок, нерівностей, а на рис. 4 — їхнє зображення на координатній прямій. ^///////////^ (відрізок) а<х<Ь [а; Ь] Ь X ^//////////^ (напівінтервал) а < х <Ь (а; Ь] а Ь X ^///////////^ (а ; Ь) (інтервал) а < х <Ь (-о о ;

а)

-со < X < а

(-о о ;

а]

-о о <

X<а

[а;

+оо)

а < X < +00

(а;

+оо)

а < X < +00

( а - є , а + є)

////////////////(^ ► а X

а-є<х<а +е

^///////////////^ а

(нескінченний інтервал) (нескінченний напівінтервал) (нескінченний напівінтервал) (нескінченний інтервал)

а -г

а+є х

(окіл точки а з радіусом є)

Рис. 4 Належність кінцевої точки проміжку позначається на коорди натній прямій замальованим кружечком. Незамальований кру жечок означає, що точка не належить проміжку, тобто є «виколо тою». Число Ь - а е довжиною кожного з проміжків [а; 6], [а; Ь),

Розділ 1. Функції, їхні властивості та графіки

(а; Ь], (а; Ь). Проміжок (а - е, а + є) називається околож точки а з радіусом є > 0. Точка а є серединою цього проміжку, його довжина дорівнює 2є. Поняття модуля дійсного числа, його геометричне тлумачення широко застосовується при розв’язанні різноманітних задач. 3. Відстань між точками координатної прямої дорівнює модулю різниці чисел, що відповідають їм.

Теорема

□ Нехай дано точки А{х^, В(х^). Треба довести, що АВ = |х^Доведення теореми зводиться до розгляду різних випадків роз міщення точок і В(х^) на координатній прямій. Якщо > О, Xj < О, (рис. 5, а), то АВ = АО + ОВ = + ( - х^) = х^ - х^ = |х^ - xj. Якщо Xj < О, Xg < О, |xj < Іх^І, тобто точка А розташована ближче до точки О, ніж точка В (рис. 5, б), то АВ = ВО - ОА - -х^ - (-х^) = = х^ - х^ - |Xj - х^І- Аналогічно розглядаються інші випадки. Ми довели, що модуль різниці двох чисел дорівнює відстані між точ ками, якими зображаються дані числа. ■ Користуючись поняттям модуля, легко записати деякі геомеВ

а)

Хг

Хі

D C5 Рис.

б)

тричні твердження в алгебраїчній формі. Наприклад, «відстань від точки X до точки 1 дорівнює 2» означає, що |х - 1|= 2, а «від стань від точки X до точки —1 менша ніж З» — х -н1 <3. Геометричним змістом модуля зручно користуватись при розв’язанні найпростіших рівнянь та нерівностей, які містять ви рази з модулями. Приклад

6. Розв’язати рівняння х -ь2 = 1.

□ Перепишемо дане рівняння у вигляді х - ( - 2 ) = 1 . Геометрично воно означає,

, , , , -3 -2 -1 0

що відстань від шуканої точки х до точки —2 дорівнює 1. Відкладаючи на коорди-

Рис. 6

, 1

, ^

Ч и сл ові м н ож и ни

натній прямій (рис. 6) від точки -2 по обидва боки від неї відрізки завдовжки 1, одержимо: = -З, =-1. ■ Відповідь. -3 ; -1. Приклад

7. Розв’язати нерівність: 1) |x-5 <3; 2) |х+2|> 1.

□ 1) Геометричний зміст завдання полягає у тому, щоб знайти множину точок 0 2 5 X, які віддалені від точки 5 на відстань, ^ не більшу, ніж 3. Зобразимо ці точки на рисунку (рис. 7). Запишемо відмічені точки у вигляді проміжку: [2; 8]. Розв’язком нерівності є точки відрізка [2; 8]. 2) Нерівність можна переписати у тако му вигляді: |х - ( - 2)1 > 1. Потрібно знайти множину точок X, які віддалені від точки —2 на відстань, п;о перевищує 1. Зобрази® мо ці точки на рисунку (рис. 8). Розв’язком нерівності є точки множини (-оо; -3 )и (-1 ; -і-оо). ■ Відповідь. 1) [2; 8]; 2) (-оо; -3 )и (-1 ; -і-оо).

Контрольні запитання 1°. Серед наведених чисел вкажіть натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні: (-3)^; (-3)^; 3,14; л; V w ; 4 ^ ; —; - ; 1,0(56). З З 2°. Які числа задовольняють рівняння: а) |x| = 4; б) |х| = 0; в) |ж|= -4 ? 3°. Які з наступних чисел можна подати у вигляді періодичних десяткових дробів, а які — у вигляді нескінченних неперіо дичних десяткових дробів: — ; л/З; —; >/?; - л/б? 11 8 17 4°. Чи може добуток раціональних чисел бути ірраціональним числом? 5. Чи може добуток ірраціональних чисел бути раціональним числом? 6. Яка з рівностей х = х чи х\ = -х е правильною, якш;о: l ) x = V 2 -l;

2 )x = S - 2 ;

3 ) х = з 7 3 -2 Т 7 ;

= З л/2-275?

Р о з д іл і. Функції, їхні властивості та графіки

ІШІ Задачі 1°. Подайте число у вигляді нескінченного десяткового дробу: 2)1;

3 ,-| ;

Подайте число у вигляді звичайного дробу: 1°)0,27; 2)0,2222...; 3) 2,(31); 3°. Порівняйте числа:

4 ,1

3)^.^; 4 )0 ,5 8 і ^ . 315 305 7 7 4 6 12 Виконайте дії і запишіть результат у вигляді скінченного або нескінченного десяткового дробу: 1 )| .| ;

2 )1 .0 ,2 5 ;

3) А . 3,15;

4) 1 : 3 , 2 .

Дано два раціональних числа: 1) 0,53 і 0,64;

4)3,4(52).

2) -0,03 і 0,03; 3) 0,3462 і 0,3463;

4) - і - . З 7 Вкажіть принаймні одне раціональне число, яке міститься поміж ними. Назвіть декілька додатних значень змінної а, при яких зна

чення виразу 4а є: 1) ірраціональним числом; 2) раціональним числом. 7°. На рис. 9 зображено числові множини. Запишіть задані мно жини у вигляді числових проміжків. б*///////////// /7/4____ Q-///////6____ _______________ ,____ ,_^ -5 -3 -2 -1 0 2 3 4 ^ Рис. 9 8°. Зобразіть на координатній прямій числові множини: 1) (3; 4); 2) [- 2; 1); 3) [-2; -1 ]; 4) ( - о о ; - 2 ] ; 5) [і;+ «)). 9°. Зобразіть на координатній прямій множину точок, координа ти яких задовольняють умову: 1) К х < 2 ; 2) 1 < х < 3 ; 3 ) - К х < 1 ; 4 ) х > 4 ; 5 )х < -3 . 10°. Як записати у вигляді нерівності з модулем нерівність: 1) -2 < X < 2; 2) -1 < X < 3; 3) - 5 < х < З? 11.

Дано точки А(3) і В(5). Знайдіть координати точки: 1) симетричної точці А відносно B\ 2) симетричної середині відрізка АВ відносно точки В.

Ч и сл ові м н ож ини

12. Для кожного з наступних інтервалів укажіть його довжину і координату його середини: 1) (1,3; 2,56); 2) (-ті; 2п); 3) (-2,13; 2,15). 13. Зобразіть на координатній прямій множину точок, координа ти яких задовольняють умову: 1) |х| = 3; 2) |л:|< 3; 3) |x| > 3; 4) |л:|> -3; 5) \х < -3 . 14. Знайдіть \х , якщо: 14 х = -------^ ^; 1) 8 9

л: = 2 ,(2 5 і)-2 ,2 5 (і).

= 4 - З уі 2 ;

= 3 -n /8 ;

15. Обчисліть значення виразу: 1) |-а|-2|б|, якщо о = -1 ,6 = - 2 ; 2)

-1-|-За| + 4|Ь| 2|а| + |б|

, якщо а = -4 ,6 = о .

16. Розв’яжіть рівняння: 1)|2х + і| = 3 ; 2)|2-4х| = 1; 17. Розв’яжіть нерівність: 1) |х + 3| > 2;

3) |2х-5| = - 2 ; 4) |х + 2| = х + 2 .

2) |4х -і| < 1;

18*. Порівняйте значення виразів: 1) |а| і а; 2) -|а| і а;

3) \х-2\<1-у/ 2. 3) |а2| і а\

^ В п р а в и для повторення 19.

Запишіть у вигляді звичайного дробу: 1) 6%;

2) 18%;

3 )|о/„;

4) 3 -% ; 5) 1 1 2 -% ; 6) 350%. 4 2 20. Виразіть у відсотках: 1) 0,08; 2) 0,6; 3) 2; 4) 3,2; 5) 0,0043. 21. На скільки відсотків збільшиться площа круга, якщо його ра діус збільшити на 20%? 22. Богдан і Грицько грали в одній баскетбольній команді. Бог дан за гру 20 разів кидав м’яч у кошик, при цьому 15 разів його кидки були вл5^ними. Гриць зробив 25 кидків, з яких 18 виявились влучними. Хто з них був влучнішим у цій грі?

зо

Розділ 1. Функції, їхні властивості та графіки

П ід с у м о к О сновні поняття

Геометрична інтерпретація, приклади

Означення

Застосування

Ірраціональним чис 0,35355355535555..., Ірраціональні чис лом називається не V2 = 1,41421356..., ла дають можли скінченний десятковий 71= 3,1415926535... . вість вимірювати неперіодичний дріб. довжини відрізків, несумірних з оди ничним відрізком. Відстань від початку координат О до точки X називається моду лем числа X і познача ється X

Поняття модуля числа дозволяє за писувати за допо могою виразів вза ємне розміщення точок на коорди натній прямій.

|х|

X \х\

Головні твердження

Зміст твердження

Приклади

Кожне раціональне число — можна зоп бразити у вигляді десяткового періодич ного дробу.

- = 1,6666... = 1,(6).

Кожен десятковий періодичний дріб зо бражає певне раціональне число.

3,(7) = 3^. У

Кожному дійсному числу відповідає єди на точка координатної прямої, і навпаки, 0 кожній точці координатної прямої відпо відає єдине дійсне число. Відстань між точками координатної пря мої дорівнює модулю різниці чисел, що відповідають їм.

1 Л(1,5)

Б О X,

А 1

АВ=Іх,-х,1

Обчислення і розрахунки

Одним з головних завдань курсу математики є форму вання міцних обчислювальних навичок. Даний параграф присвячено їхньому збереженню і вдосконаленню. 1. Обчислення з дійсними числами

У молодших класах ви виконували обчислення усно, письмово, за допомогою обчислювальних за собів. Значне місце займали обчислення за форму лами. Такі обчислення виконувались як на уроках алгебри, так і на уроках геометрії, фізики та інших предметів. Подібна робота буде продовжуватись і розширюватись у старших класах, тому на гадаємо деякі рекомендації, які сприяють спрош;енню обчислень, дають змогу уникнути помилок. 1. Не зловживайте калькулятором. Доцільно деякі обчис лення не дор5^ати калькуляторам, а виконувати усно чи письмо во, ш;о заощаджує час на їхнє виконання. Це стосується дій над звичайними дробами, деяких дій над арифметичними значення ми квадратного кореня тощо. П риклад

1. Обчислити ^І3 + 2\І2 -|V2 - i j .

□ Застосування калькулятора приведе до наближеного ре зультату 0,99999999 і потребує біля 10 операцій. Нескладні пере творення швидко приводять до результату; V3 + 2 V2 - ( л / 2 - і ) =

-(л/2- l ) = ( л / 2 + і ) - ( л / 2 - і ) = 1 . ■

2. Застосовуйте різноманітні окремі прийоми усних обчислень, закони арифметичних дій, різні формули з ал гебри тощо.

Розділ 1. ФункцГі, їхні властивості та графіки

Приклад

1) 56 128 •25 = 5 612 800 : 4 = 1 403 200, бо а •25 = (а •100) : 4. Л

2) 2 6 - 8 = 26 + - •8= 26-8 + - - 8 = 208 + 6 = 214. 4 4 4 о 2 С 6^ Гб ^ 3) 2 4 0 - : 15 = 240+ - : 15 = 240:15 + - ; 3 ;5 = 16 + - : 5 = 16 — . 7 35 1 ь J . 4) 612 = (60 + 1)2 = 602 +2.601 + 12 = 3600 + 120 + 1 = 3721. 5) 382 = (40 _ 2)2 = 402 - 2-40-2 + 22 = 1600 - 160 + 4 = 1444. 6) 68-52 = (60 + 8) (60 - 8) = 602 _ 82 = зеоо - 64 = 3536. 7) 302 - 362 = (39 + 36).(39 _ 36) = 75-3 = 225. ( qA ^"'2 q 40 = 2 50 0 - — =24998) 4 9 - - 5 0 - = 5 0 - - ^ 50 + - = 502 7 7 49 7 7 49 67^+53^ 120

(6 7 + 53)(67^-6 7 -5 3 + 53^) _ 120

= (67 - 53)2 = 196. 3. Прогнозуйте наближене значення результату обчис лень. Обчислення бажано починати з грубого наближеного оціню вання шуканого результату, округлюючи усі дані і виконуючи дії усно чи письмово. Приклад

3. Обчислити наближене значення виразу

^0,0045 •7,5132 : (2,0719 ■0,864). □ Знайдемо наближене значення виразу, скориставшись за конами арифметичних дій: ^0,004-8: (2-0,9) = ^0,016: 0,9 = ^0,16 : 9 = 0,4 : З » 0,13. Потім за допомогою калькулятора можна отримати більш точ ний результат 0,137. ■ Подібна «прикидка» суттєво попереджує грубі похибки обчис лень. Іноді її достатньо для розв’язання задачі. Отже, обчислення за допомогою калькуляторів слід поєднувати з усними або пись мовими обчисленнями. 4. Дотримуйтесь порядку виконання дій. При виконанні обчислень слід бути уважними до порядку виконання дій. Пору шення встановленого порядку може призвести до помилок. Приклад

4. Обчислити значення виразу Vv2^ + 30^ .

О бчислен ня і р озр ах у н к и

□ ІН О Д І П О М И Л К О В О добувають квадратний корінь з числа 72^, потім — з числа 30^, додають отримані числа 72 і ЗО і одержу

ють неправильний результат 102. Насправді маємо; л/72^ +30^ = = V5184 + 900 = л/б084 =78. Підкореневий вираз слід сприймати як вираз, що стоїть у дужках. А у дужках спочатку виконують (якщо ці дії є) дії третього ступеня (піднесення до квадрата, добу вання квадратного кореня), далі дії другого ступеня (множення та ділення) і, нарешті, - першого ступеня (додавання і відніман ня). Після цього з отриманого результату добувають квадратний корінь. ■ У розглянутих прикладах ми стикаємось з такою проблемою: скільки знаків залишати в остаточному результаті, щоб точність результату відповідала точності вихідних даних? Відповідь на це запитання потребує розгляду обчислень з наближеними даними. Деякі з цих питань ви розглядали у молодших класах, напри клад, округлення цілих чисел і десяткових дробів. Нагадаємо їх. Якщо десятковий дріб округлюють до певного розря ду, то всі цифри, записані за цим розрядом, заміню ють нулями або відкидають, якщо вони стоять після коми. Якщо першою цифрою за цим розрядом с О, 1, 2, З або 4, то останню залишену цифру не змінюють. Якщо ж першою цифрою за цим розрядом є 5, 6, 7, В або 9, то останню залишену цифру збільшують на 1. Проводячи за цим правилом округлення числа 217,541 до со тих, десятих, одиниць, дістанемо: 217,54; 217,5; 218. При округленні натуральних чисел до деякого розряду або де сяткових дробів до десятків, сотень і т. д. замість наступних за цим розрядом цифр пишуть нулі. Наприклад, 547 » 550 (окрзтлення до десятків), 3542 » 3500 (округлення до сотень), 217,541 « 220 (окру глення до десятків), 217,541 » 200 (округлення до сотень). В остан ніх прикладах за записом наближених чисел неможливо встано вити, чи нулі, що стоять наприкінці числа, показують відсутність одиниць відповідного розряду, чи вони є результатом округлення. Щоб позбавитись такої неоднозначності, домовимось записувати результати округлення за допомогою степенів: 220 = 2,2 •10^; 200 = = 2 •10^. Відтак, запис 200 показує, що число 200 є точним, в ньому кількість одиниць у розрядах одиниць і десятків дорівнює нулю, а

Розділ 1. Функції, їхні властивості та графіки

запис 2 • 10^ — це число є результатом округлення деякого числа до сотень. Ми розглянули один із способів округлення наближених значень. Він є найбільш уживаним. Як у математиці, так і в їі застосуваннях використовують ------------------ три способи округлення: округлення з надлишкож, округлення з недостачею та округлення з наймен шою похибкою. При округленні з надлишком цифру останнього розряду, ш;о зберігається в числі, завжди збільшують на одиницю. Наприклад, при округленні числа 34,27 з надлишком до десятих, одиниць, де сятків дістаємо, відповідно, 34,3; 35; 40. Іноді виникають ситуації, коли округлення можна зробити ті льки з надлишком. Наприклад, якщо хлібина коштує З грн. 45 коп., то при продажі її половини ціну 1 грн. 72,5 коп. округлюють з над лишком. Таким чином, покупець втрачає 0,5 коп. При округленні з недостачею магазин міг би зазнати значних збитків. При округленні з недостачею цифра останнього розряду, який зберігається в числі, залишається незмінною. Так, округлення з недостачею до десятих, одиниць, десятків числа 34,27 відповідно дорівнюють 34,2; 34; ЗО. Наприклад, вимірюючи розміри віконних рам перед склінням, отримані показники варто округляти з недостачею, оскільки при округленні з надлишком шибка може виявитись завеликою. ^

Округлення тільки з недостачею та тільки з надлишком ви користовують нечасто. Той спосіб округлення, який розглядався вище (іноді називають його правилом «п’ятірки»), можна сформу лювати тепер так: якщо цифра першого відкинутого розряду менша від 5, то округлюють з недостачею, якщо ж більша або до рівнює 5 — з надлишком. Цей спосіб є способом округлення з найбільшою точністю. А як оцінити точність наближеного числа, зокрема, точність округлення? Природно точність оцінювати за допомогою відстані між двома числами (точним і наближеним) на координатній пря мій, яка дорівнює, як відомо, модулю різниці цих чисел.

о б ч и сл е н н я і р озр ах у н к и

Число а є наближенням до числа х з точністю h, якщо |х- а| < Л або a - h < х < a + h. У розглянутих прикладах можна вважати, що результати округ лення з надлишком 34,3; 35; 40 числа 34,27 мають відповідно точ ність 0,05; 1; 6, оскільки |34,27 - 34,3| = 0,03 < 0,05; |34,27 - 35| = = 0,73 < 1; |34,27 - 40| = 5,73 < 6. Водночас точність результа тів округлення 34,2; 34; ЗО з недостачею можна вважати та кими, що дорівнюють 0,1; 0,5; 5, бо |34,27 - 34,2| = 0,07 < 0,1; |34,27 - 34| = 0,27 < 0,5; |34,27 - 30| = 4,27 < 5. Якщо знайдено точність h наближення числа а до числа х , то це іноді записують так: X = a ± h .

Наприклад, запис х = 5,984 ± 0,002 означає, що х дорівнює 5,984 з точністю до 0,002, тобто 5,984 - 0.002 < х < 5,984 + 0,002, або 5,982 < х < 5,986. П р и к л а д 5. У кімнатному термометрі верхній кінець стовпчи ка рідини знаходиться між позначками 18°С і 19°С. За наближе не значення температури взяли число 18,5. Оцініть точність на ближення.

□ Стосовно результатів вимірювання кімнатної температури

можна стверджувати, що 1 8 < і < 19. Віднімаючи від обох частин цієї подвійної нерівності наближе не значення 18,5, дістанемо:-0 ,5 < і - 18,5<0,5, тобто

-18,5| < 0,5.

Таким чином, можна вважати, що точність вимірювання темпера тури дорівнює 0,5: h<0, 5. ■ Відповідь, /і <0,5. Якщо узагальнити розглянутий приклад 5, то можна дійти ви сновку, що точність вимірювального приладу встановлюється за ціною поділки пікали. Наприклад, якщо омметр проградуйова ний через 10 кОм, то за допомогою такого приладу можна виміря ти опір з точністю до 5 кОм.

З*

Розділ 1. ФункцГі, їхні властивості та графіки

В . Контрольні запитання 1. 2. 3. 4.

Як скористатися розподільним законом множення відносно до давання для усного обчислення добутку: а) 26 •23; б) 47 •32? Як використати тотожність (10а + Ь)(10а + с) = 100а(а + 1) + 6с при а + Ь = 10 для обчислення добутку: а) 82 •88; б) 9993 •9997? Як скористатися тотожністю (10 + а)(10 + Ь) = 100 + 10(а + Ь) + аЬ для усного обчислення добутку: а) 17 •14; б) 19 •13? Як скористатися формулою для різниці квадратів двох чисел

для обчислення значення виразу: а) л/бЗ^ -28^ ; б) л/85^ -36^ ? Як скористатися формулою квадрата двочлена для обчислен ня: а) 872; g) 922? 6. Нехай X = 7,7 ± 0,3. Чи може точне значення х дорівнювати: а) 7,9; б) 8,01; в) 7,89; г) 8; ґ) 8,3? 7. Яке наближення числа тг = 3,1416 точніше: 3,14 чи 3,15? 8. Як записати, що 17,31 е наближеним значенням числа х з точ ністю до 0,04? 9. Чи є число 8 наближеним значенням числа 8,7 з точністю до: а) 0,5; 6)0,1; в) 0,8; г) 0,75; ґ) 0,6? 10. З якою точністю можна виміряти силу струму за допомогою амперметра, проградуйованого через 2 А? 5.

ііБ

Відсоткові розрахунки

Слово «процент», або «відсоток», походить від латин ського виразу procentum, що означає «замість ста», або «зі ста». Тому цілком природним е означення відсотка, яке відоме ще з 5-го класу.

Відсотком будь-якого числа називається сота час тина цього числа. Із означення відсотка випливає, що це поняття є лише окре мим способом зображення дробів, знаменник яких дорівнює 100. З відсотками пов’язані два типи перетворень, про які йдеться нижче. 1. Подати у вигляді дробу задане число відсотків. Завдання розв’язується приписуванням знаменника 100 до да ного числа відсотків, число відсотків є чисельником. Наприклад, 68% = — = 0,68; 5 -% = ^ = — . 100 4 100 400

О бчислен ня і р озрахун ки ________________________________________

2. Виразити у відсотках звичайний дріб. Для цього звичайний дріб слід перетворити у десятковий з точ ністю до 0,01; цей дріб, помножений на 100, дорівнює кількості 2 відсотків. Наприклад, - » 0,43 = 43%. Сталий знаменник суттєво полегшує можливість порівняння як результатів змінювання різних величин, так і відносної вели чини тих чи інших чисел. Тому відсоткові обчислення широко за стосовуються в реальному житті. На виробництві у відсотках звітують про виконання завдання чи замовлення, виражають зміну продуктивності праці; при об численні складу різних сплавів або розчинів надають відсотковий вміст речовин-компонентів; у метеорології у відсотках виражають вологість повітря. При розробці корисних копалин вміст чистого металу в руді виражається у відсотках від кількості руди; при ви пічці хліба у відсотках вказують припічку, яку одержують під час випікання, і т. ін. Особливо часто відсотками послуговуються при грошових розрахунках. У практичній діяльності розрізняють три типи задач на відсо тки: знаходження відсотків від даного числа, знаходження числа за його відсотком, знаходження відсоткового відношення двох чи сел. 1. Знайти р% від числа а. Задача зводиться до знаходження дробу 1 розв язується множенням а на цей дріб: х =

ар

від числа а .

2. Знайти число, якщо р% від нього дорівнює Ь. Задача зводиться до знаходження числа за даною величиною Ь його дробу

. Задача розв’язується діленням на цей дріб:

Ь-100 X = -------- . Р 3. Знайти, скільки відсотків складає число Ь від числа а. Необхідно виразити у відсотках відношення числа Ь до а: Ь-100„, х = -------- %.

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

^ *mS ^

Як зазначалося вище, особливе місце займають задачі на відсотки, пов’язані з фінансовими операціями. У таких задачах можуть розглядатися такі величини; ---------------------1)початковий капітал (а); 2) відсоткова ставка (р%), або плата за використання грошових коштів; 3) час (О використання коштів; 4) відсоткові гроші (Р), або прибуток від інвестиції; 5) нарош;ений капітал (А): А = а + Р. Розрізняють прості і складні відсоткові ставки. Відсотки нази ваються простими, якш;о відсотки на відсотки не нараховують ся. В іншому випадку відсотки називають складними. Можна виділити такі чотири типи задач на відсоткові обчис лення, пов’язані з фінансовими операціями: 1) задачі на знаходження нарахованих відсоткових грошей; 2) задачі на знаходження відсоткової ставки; 3) задачі на знаходження часу використання коштів; 4) задачі на знаходження початкового капіталу. Знайдемо загальну формулу для відсоткових обчислень, пов’язаних з фінансовими операціями при простих відсотках, ско риставшись наведеними вище позначеннями. За означенням, відсоткова ставка показує, що за одиницю часу (рік, місяць тощо) відсоткові гроші складають

від початково

го капіталу. Отже, початковий капітал а грн. дає за певну одини цю часу а

100

(грн.) відсоткових грошей. За t одиниць часу відсо

ткові гроші, нараховані на той самий капітал і при тій самій відсотковій ставці, зростуть у t разів. Таким чином, Р=

a pt 100

Користуючись цією загальною формулою простих відсотків, можна знайти значення будь-якої з чотирьох величин за даними значеннями трьох інших. Замінивши Р у формулі А - а + Р через apt його значення , дістанемо: 100

А=а +

apt

А = а 1+

Pt 100

Аналогічні задачі виникають і в інших сферах діяльності лю дини.

О бчи слен ня і р озр ахун ки ________________________________________________________

П р и к л а д 6. Продуктивність праці збільшилась на 25%. На скільки відсотків зменшився час, необхідний для виробництва деталі? □ Позначимо початкові продуктивність праці і час, необхідний для виробництва деталі, відповідно через а і Ь. Обсяг роботи до рівнює аЬ. Після підвиш,ення продуктивність праці склала 1,25а. Щоб знайти час х, потрібний для виробництва деталі із збільше ною продуктивністю праці, необхідно обсяг роботи аЬ поділити на продуктивність праці 1,25а. Одержимо: х =

= 0,86, ш,о скла1,25а дає 80% від початкового часу. Отже, час, необхідний для виробни цтва деталі, зменшився на 20%. ■ В ідповідь. На 20%. Щ о б у н и к н ути п ом и л ок п ри р озв ’язанні задач на в ід со тки, н е о б х ід н о з’я сува ти в к ож н ом у о к р е м о м у випадку, щ о б е р еть ся за ціле, за 100%. П р и к л а д 7. Спочатку заробітну платню підвиш^іли на 20%, по тім — на 10%. На скільки відсотків підвишдлась заробітна плат ня у порівнянні з початковою?

□ За 100% береться початкова заробітна платня, позначимо її через а. Після першого підвищення вона зросла на 20% і станови ла а + 0,2а = 1,2а. Друге підвиш,ення склало 10% від підвищеної платні, тобто 10% від 1,2а. Обчислюємо 10% від цієї величини: ~ 100^^ ~ 0,12а . Отже, після другого підвищення заробітна плат ня дорівнювала 1,2а -і- 0,12а = 1,32а. У порівнянні з початковою вона зросла на 0,32а, що від початкової заробітної платні складає ^ і ^ 100% = 32% .И а В ідповідь. На 32%. П р и к л а д 8. Яку суму потрібно інвестувати під прості відсотки при ставці 12% річних, щоб за 5 років накопичити 10 000 грн.?

п лт А 10000 10000 . □ Маємо: а = ----------= ---------------= ---------- = 6250 (грн.). ■ 1+ ^ 1 + 0,12-5 1,6 100

В ідповідь. 6250 грн.

1 Розділ 1. Функцм, їхні властивості та графіки

Нехай банк сплачує прості відсотки за ставкою р% за рік, причо му, п;я ставка діє протягом двох років. Вкладник у початковий час t - О відкриває рахунок з початковим вкладом а грн., який можна поповнити або закрити у будь-який час. Якщо вкладник закриє ра хунок через рік, то, згідно з формулою простих відсотків, він отримує /• \ суму а 1 -ь- Р грн. Якщо вкладник що суму покладе ще на один 100 / \ рік, то наприкшщ другого року вш отримує а fl+ ^ fl+ ^

= а 1+

= а

100

100j 1

100 J

грн. Якщо ж він не буде через

рік забирати суму, яка належить йому, то через два роки після відкриття

рахунку

він

отримує

а 1+

100

грн.,

тобто

на

\2 а

грн. менше, ніж у випадку, описаному вище. Додаткова

100

є вщсотками, які нараховані на відсотки а ■ Р за U oo 100 другий рік. Щоб уникнути зайвого переоформлення внесків і за охотити клієнтів робити довгострокові внески, у комерційній практиці прийнято сплачувати так звані складні відсотки. Нехай вкладник поклав на свій рахунок до банку а грн. Банк нараховує щорічно за схемою складних відсотків р%. Через рік на сума а

рахунку цього вкладника буде а + а- Р = а 1 + Р грн. Через 100 100 / ч / \ / \2 два роки — а + а 'і + ^ ' ■ Р = а грн. Так само 1 100, V 100; 100 lo o j можна з’ясувати, що через три роки на рахунку вкладника буде

грн.

100

А,=а 1 +

100

Через

t років на рахунку вкладника буде

грн.

Вкладник вніс на свій банківський рахунок 1000 грн. Щорічно банк нараховує своїм вкладникам 10% за схе-

П ри к п а д 9.

О бчислен ня і р озр ахун к и

мою складних відсотків. Якою буде сума на рахунку вкладника через три роки? □

За

1000 1 +

отриманою 10

100 ,

формулою,

шукана

сума

становить

= 1000-1,Ґ =1000 1,331= 1331.1

В ідповідь. 1331 грн.

Д Контрольні запитання 1°. у класі 35 з^нів. Спортом займаються 80% школярів. Скільки учнів не займаються спортом? 2°. На уроці відсутні 4 учні, ш;о складає 12,5% від кількості учнів цього класу. Скільки всього учнів у класі? 3°. При випіканні хліба на 5 кг борошна припадає 2 кг припіч ки. Скільки відсотків складає припічка: а) від маси борошна; б) від маси хліба? 4. Кредит видано на 1 рік під 20% річних. Через рік потрібно по вернути 3000 грн. Яку суму видано в кредит? 5. Сторону правильного трикутника збільшили на 20%. На скільки відсотків зросла його плош;а?

Е!1 Задачі 23°. Обчисліть значення виразу без калькулятора. Результат пе ревірте за допомогою калькулятора. 1) 2 - + 3 - - 3 - 6 - 3 3 6 3)

24.

(3V1 8 - 5V2 ) ;

2-Уз 2 + У з. 2 + л/з ^ 2 - Т з ’

12,8:0,64 + 3,05:0,05 3^:і 2_2 З 9

2) з 1 - з ^

6) ^ 2 - 7 3 -V2 + V3.

Обчисліть без обчислювальних засобів: 1°) 87 •93;

2°) 71^;

4 7 5°) 29— ЗО— ; 11

47^ -ь 33^ + 47-33; 240

3°) 48^;

4°) л/34^-30^

6 ) 4 7 -1 ^ , 4 7 . 3 3 ; 80

Р о з д іл і. Функції, їхні властивості та графіки

25. Для фарбування підлоги з розмірами 12,0 м х 4,0 м витратили 5,28 кг фарби. Скільки фарби потрібно для фарбування під логи кімнати з розмірами 5,2 м х 4,6 м? Обчислення проведіть з точністю до 0,1 кг. 26. Довжина футбольного поля дорівнює 110 м, ширина — 75 м. Якою є найбільша відстань між кутовими прапорцями? Об числення проведіть з точністю до 1 м. 27°. Запишіть у вигляді подвійної нерівності: 1 )х = 1 5 ± 0 ,3 ; 2) х = 14,7 ±0,2; 3 )х = 1 0 0 ± 5 ; 4) 5,2+ 0,1. 28°. У відділі технічного контролю (ВТК) заводу вимірюють діаметр вала з точністю до 0,1 мм. Згідно з таблицею допусків, діаметр вала повинен задовольняти умову 167,8 мм < d < 168 мм. Чи за бракує ВТК вал, якщо за результатами вимірювань його діа метр дорівнює: 1) 168,1 мм; 2) 167,6 мм; 3) 168,0 мм; 4) 168,4 мм? 29°. Округліть із заданою точністю: 1) температуру плавлення міді 1083° С до десятків; 2) температуру плавлення вольфраму 3370° С до сотень; 3) питому теплоємність спирту 2,42 кДж/(кг •К) до десятих. 2 2 8 30. Маємо числа: —; З— ; — . Запишіть їх у вигляді десятко7 11 13 вих дробів з точністю до 0,001. 31. Доведіть, ш;о кожне з чисел 0,11 і 0,12 є наближеним значен ням числа — з точністю до 0,01. Яке з них є наближеним зна9 ченням числа — з точністю до 0,005? 9 32°. Ціна товару підвиш;илась на 20%, потім нова ціна зменши лась на 17%. Як у підсумку змінилась ціна відносно початко її? вої.-^ 33°. Три літри 30%-го розчину спирту змішали з 5 літрами 20%-го розчину спирту. Яким стала відсоткова концентрація спирту в утвореному розчині? 34°. Щоб отримати розчин формаліну для консервування препа ратів до 0,5 л 40%-го розчину формаліну додали 9,5 л води. Визначте міцність розчину.

О бч и слен ня і р озр ахун к и _________________________________________________

35. Сплавили 180 г золота 920-ї проби із 100 г 752-ї проби. Якої проби отримали сплав? 36. У місті з населенням 57 100 осіб було проведено медичне об стеження з метою визначення частки людей з певного групою крові. Виявилось, що 18 786, 20 442, 13 247, 4 625 осіб мають відповідно І, II, III, IV групи крові. Який відсоток мешканців міста мають І, II, III, IV групи крові? 37. Маса курячого яйця дорівнює 58 г. Білок складає 55,8% від загальної маси, жовток — 31,9%, шкаралупа — 12,3%. Якою є маса кожної з цих складових? 38. Заробітна платня підвищувалась двічі, причому відсоток під вищення другого разу був удвічі випщй, ніж першого разу. В результаті вона підвипщлась в 1,32 разів. На скільки відсо тків підвищувалась заробітна платня кожного разу? 39. Ціна на товар була підвищена на 25%. На скільки відсотків слід її знизити, щоб одержати початкову ціну? 40. Руда містить 40% домішок, а метал, виплавлений з неї, — 4% домішок. Скільки вийде металу з 24 тонн руди? 41*. Договір передбачає таку схему нарахування простих відсотків за наданий кредит: за перший квартал — 10% щомісяця, за другий і третій квартали — 15% щомісяця, за четвертий квар тал — 20% щомісяця. На скільки відсотків зросте борг за рік? 42*. Населення міста щорічно зростає на 3% у порівнянні з попе реднім роком. На скільки відсотків зросте населення цього міста за 15 років?

Вправи для повторення

43. Функцію задано формулою: у = - х - 4 .

1) Побудуйте її графік. 2) Знайдіть точки його перетину з осями координат. 3) Знайдіть значення функції при х , що дорівнює: —4; 0; 12. 4) При якому значенні х значення функції дорівнює: 1; 0; —7? 44. Побудуйте графіки функцій у = 0,8х - 0,7 і у = -1,5л: + 4,4. Зна йдіть за рисунком координати точок перетину графіків. 45. У яких координатних чвертях міститься графік функції у = kx, якщо k < 0 ; k > О?

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

П ід с у м о к О сновні поняття

Означення

Геометрична інтерпретація, приклади

Застосування

Число а є наближен a-h X a+h ням до числа X з точ Будь-яке число із за ністю h, якщо x - a \ < h штрихованого про або a ~ h < x < a + h. міжку є наближе ним значенням до х з точністю до h.

Оцінювання точ ності округлень, порівняння різних наближень однієї величини.

Відсотком будь-якого 1% = 0,01. числа називається сота частина цього числа.

Для оцінюван ня зміни різних величин; вмісту складових у різ них предметах, колективах; при грошових розра хунках ТОШ.О.

Головні твердження

Якщо цифра першого відкинзтого розряду менша від 5, то округлюють 3 недостачею, якщо ж більша або дорівнює 5 — 3 надлишком.

35,43 » 35,4. 35,47 * 35,5.

Формула складних відсотків

/ А

= 1

\t 1-1--^ 100,

а — початкове значення вели чини. р — відсоток, на який збільшу ється значення величини за одиницю часу. t — кількість одиниць часу, - значення величини через t одиниць часу.

функціональні залежності

Функціональні залежності між величинами можуть за даватися по-різному; за допомогою формул, графіків, таблиць, словесних описів. Вдосконаленню вмінь корис туватися ними, добувати необхідну інформацію присвя чено даний параграф. 1. Поняття функції, способи її задання

Характерною особливістю функціональних залеж ностей е те, що для кожного допустимого значення однієї зі змінних вони однозначно визначають значення другої змінної. Так, для кожного значення t за формулою S = Зі - 1 можна знайти лише одне значення s. Узагальнимо спо чатку те, що вивчалося про функціональні залежності раніше. Нехай задано дві змінні х \ у, \ D — множина значень змін ної X. Залежність між змінними х і у, яка для кожного значення X із D визначає єдине значення у, назива ється функціональною залежністю у від х з областю визначенняD. Змінну X у таких залежностях називатимемо незалежною змінною або аргументом, змінну у — залежною змінною. Функціональні залежності зазвичай називають функціями і по значають латинськими (іноді грецькими) літерами — f, g, F, ф тощо.

Функція — від латинського function — дія, виконання.

Р о з д іл і. Функції, їхні властивості та графіки

Область визначення функції / часто позначають D(J). Значен ня змінної у, яке відповідає х, називають значенням ф ункції f у точці X і позначають f ( x) . Запис «у = /(х)» означає, що задано функцію /. Функціональну залежність змінної у від х іноді запи сують так: у = з'Сх). Множину значень, яких набуває залежна змінна у, якщо х пробігає область визначення функції /, називають множиною значень цієї функції і позначають Eif). фраза «задати функцію у від х» означає сформулювати правило, за допомогою якого для кожного допустимого значення змінної х можна знайти відповідне йому зна чення змінної у. Існують різні способи задання функції. У математиці функціональна залежність найчастіше задається формулами. Як відомо, лінійна функція задається формулою: у = kx + Ь, де k ib —деякі числа, х —аргумент. Наприклад, функції у = 2х —З (тут k = 2,b = -3 ), у - -0 ,5 х + 2 (тут k = -0 ,5 , Ь = 2), j- = 4х (тут k - А, Ь = 0), у —5 (тут k = О, Ь = 5) є лінійними. Квадратична функція задається формулою: у = ах^ + Ьх + с, де а, Ь, с - деякі числа, а О, х - аргумент. Наприклад, функції у = х^, у - Зх^ + 1, у = 2х^ + X - 4 е квадратичними. (Вкажіть для кожної з цих функцій, чому дорівнюють коефіцієнти а, Ь, с.) Обернена пропорційність задається формулою у = —, де X

k^O — деяке число, X — аргумент. Такий спосіб задання функції називається аналітичним. Зауважимо, що не кожна залежність між змінними є функціо нальною залежністю. Наприклад, залежність між змінними у \ х, яка задається рівнянням х'^ + у"^ = 1 , не є функціональною, бо, на приклад, значенню х = 0 відповідають значення у^ - - 1, у^=1. Якщо функція задана формулою, то при відсутності додаткових зауважень чи умов вважають, що її облас тю визначення є всі значення незалежної змінної, при яких ця формула має зміст. її іноді називають природ ною областю визначення функції. Так, лінійна функція у = kx+ Ь, квадратична функція у = ах:^ -іс визначені при всіх значеннях х, тобто D(y) = ( - ^ ; -Ьоо).

+ Ьх +

ф у н кц іон ал ьн і за л еж н ості

Обернена пропорційність у = — визначена при всіх значеннях х, X

окрім л: = о, тобто D(y) = ( - 00; 0)u(0; +00). Природною областю визна чення функції у = yfx є проміжок [О; + со), оскільки добування квадратного кореня з від’ємних чисел неможливе. 0 П р и к л а д 1. Дано функцію у = . Знайти: X

-1

1) область визначення функції; 2) значення функції в точці х = - 2; 3) значення аргументу, за яких функція набуває значення 1. □ 1) Функція визначена при всіх значеннях х, для яких знаменник дробу не дорівнює нулю, тобто при всіх X , окрім ±1. Отже, !)(/■) = ( - « ; - і ) u ( - 1;1) u ( 1;+cxd). З 2) Значення функції в точці х = - 2 дорівнює: j( - 2 ) = ----^----- = ( - 2) —

я ■=

4 -1 3) Щоб знайти значення аргументу, за яких функція набуває З значення 1, розв’яжемо рівняння 1 = —----- . Одержимо: х^ - 1 = З, X

-1

х^ = 4, х^ = -2 , х^ = 2. Отже, у цих точках функція набуває значення 1. ■ Відповідь. 1) ( - o o ;- l) u ( - l ;l ) u ( l ;+ o o ) ; 2) 1; 3) - 2; 2. При розв’язуванні багатьох прикладних задач область визначення функції встановлюють, виходячи з фізичного чи геометричного змісту задачі. Наприклад, якщо розглядати залежність площі квадрата від довжини його сторони х, то областю визначення цієї функції буде інтервал (0; + оо), оскільки довжина сторони квадрата може виражатися тільки додатним числом. У такому разі інколи пишуть: у = х^, х > 0. Зверніть увагу на те, що функції у - х'^ і у = х^, х > О, е різними функціями. У них не тільки не збігаються об ласті визначення, вони також мають різні властивості, у чому переконаємося згодом. У математиці та її застосуваннях дуже поширений графічний спосіб задання функції. Існує багато самописних приладів, які

Розділ 1. ФункцГі, їхні властивості та графіки

викреслюють криві, встановлюючи тим самим залежність між до сліджуваними величинами. Так, сейсмограф записує графік ко ливання земної кори. За цим графіком можна, наприклад, вивча ти силу і характер поштовхів при землетрусі. За допомогою лінії, зображеної на рис. 10, можна для кожного моменту часу О < і < 12 вказати єдине значен ня температури середовища Т, тобто ця лінія задає функціональну залеж 8 1 0 \ !2 /,г о д ність між змінними t\T. Не завжди лінія на координатній Рис. 10 плоїцині визначає деяку функцію. Щоб деяка лінія визначала функціональну залежність у від х, необхідно і достатньо, аби кожна пряма, паралельна осі у, пере тинала цю лінію щонайбільше в одній точці. Так, лінії на рис. 11 визначають функціональні залежності у від х. На рис. 12 е верти кальні прямі, які перетинають лінію в двох точках. Тому відповід ні лінії не визначають функцію у від х. Ук

б)

а) Рис. 12 Приклад

1) 2) 3) 4)

2. Функцію у = f{x) задано графічно (рис. 13). Вкажіть:

її область визначення; її множину значень; значення функції при х - 5; значення аргументу х, при якому функція набуває значення 3. □ 1) Областю визначення функції є відрізок [—2; 5].

ф ун кц іон ал ьн і зал еж н ості

2) Множиною значень функції є відрізок [0; 4]. 3 )/(5 )-4 . 4) Проведемо пряму j = З і знайдемо її точки перетину з гра фіком функції у = Дх) (рис. 14). Це точки з координатами (0; 3) і (4; 3). Отже, значення З функція набуває при х = О і при х = 4.Ш В ідповідь. 1) [-2; 5]; 2) [0; 4]; 3) 4; 4) 0; 4.

П р и к л а д 3. На рис. 15 зображено залежність Щі) кількості деталей, які виготовив робітник, від часу, де ^у днях. 1) Скільки деталей виготовив робітник за перші 10 днів? 2) За які 10 днів — перші чи останні — робітник виготовив більше деталей? 3) За скільки днів робітник виготовив 50 деталей? □ 1) Знайдемо значення функції N(t) при і = 10. Зверніть увагу на масштаб по осі t і осі N. / Маємо: Л^(10) = 40, тобто за перші 10 днів виготов -і лено 40 деталей. 2) За останні десять днів виготовлено N(30) —iV(20) = 80 —60 = 20 деталей, тобто менше, ніж Г' за перші 10 днів. 15 3) Потрібно знайти значення аргументу, за Рис. 15 якого функція набуває значення 50. Проведемо пряму iV= 50 до перетину з графіком функції N = N(t). Одержимо, ш;о 50 деталей робітник виготовив за 15 днів. ■ Відповідь. 1) 40; 2) за перші; 3) 15.

t'-

іf 1-

У розглянутому прикладі функція N(t) визначена для натуральних значень аргументу. Її графік є скінчен ною сукупністю точок. Для наочності вони сполучені відрізками. Такий прийом зображень залежностей бу демо використовувати і в подальшому.

Крім аналітичного і графічного способів задання функцій, за стосовується також табличний спосіб. У фізиці та техніці часто залежності між змінними фіксуються на шкалах вимірювальних приладів. У таких випадках функцію задають у вигляді таблиці, у першому рядку якої містяться всі значення незалежної змінної х^, Xg, Xg..., у другому — відповідні їм значення функції. Найзрз^нішими є таблиці зі сталими різницями -х^, х^-х^,..., причому значення різниці називається кроком таблиці. Для таких та блиць незалежна змінна набуває значень х^, x^+h, X g + 2 h де

Розділ 1. Функци, їхні властивості та графіки

h — крок таблиці. Так, наведена нижче таблиця показує динамі ку зміни обсягу пасажирських перевезень (у млн. людей) у нашій країні, починаючи з 2000 року. 2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

1,16

1,29

1,77

2,37

3,23

3,81

4,35

4,87

6,17

Функціональні залежності широко використовують ся на практиці. Багато процесів і явиш; описуються лінійною функцією. Наприклад, при рівномірному русі пройдений шлях прямо пропорційний часу, тиск газу р при сталому об’ємі прямо пропорційний його темпе ратурі Т : р - с Т (закон Шарля); напруга U в електричному колі зі сталим опором R прямо пропорційна силі струму І \ U - Ш (закон Ома). Залежність сили F, яка діє на пружину, від величини її розтягування має вигляд: F = —kx (закон Гука). Чимало фізичних залежностей виражається за допомогою ква дратичної функції. Наприклад, закон рух тіла вздовж координатної at прямої під дією сталої сили можна подати у вигляді: x = Xg+Vgt + залежність кінетичної енергії тіла W, маса якого дорівнює т, від ти швидкості V виражається формулою; W = Тіла, які кинули горизонтально чи пщ кутом до горизонту, рухатимуться по параболічній траєкторії під дією сили тяжіння (рис. 16, 17).

Обернено пропорційними є: — залежність часу, який витрачається на подолання даного шляху, від швидкості; — залежність між сторонами прямокутника при заданій плошд; — залежність між тиском газу та його об’ємом при сталій тем пературі. П р и к л а д 4. При вільному падінні тіла з початковою швидкіс тю Ug = 10 м/с залежність пройденого шляху від часу виражається

ф ун кц іон ал ьн і за л еж н ості

формулою: S =

, деs — шлях, м; і — час, с; ^ » 10 м/с^ — приА скорення вільного падіння. 1) Який шлях пройде тіло за перші 2 с? 2) За який час тіло пройде 15 м? □ 1) Щоб відповісти на перше запитання, потрібно обчислити значення функції s при f = 2: 1П. 9^ s(2) » 10-2 + ^ ^ ^ = 40(m). 2 2) Щоб відповісти на друге запитання, треба розв’язати ква дратне рівняння: 10t + 5 f =15. Воно має два корені: -З і 1, але умову задачі задовольняє тільки значення t = 1. Отже, тіло подо лає 15 м приблизно за 1 с. ■ Відповідь. 1) 40 м; 2) » 1 с. 5. Деяка маса газу при температурі 20°С мала об’єм 107 см®, а при 40°С об’єм дорівнював 114 см®.

Приклад

1) Виходячи із закону Гей-Люссака, знайти функціональну за лежність об’єму газу від температури. 2) Яким буде об’єм газу при 0°С? □ 1) Згідно із законом Гей-Люссака, об’єм газу V лінійно залежить від температури t\ V - а + bt, а і Ь - деякі числа. Знайдемо ці числа, користуючись умовою задачі. Оскільки У(20) = = 107, У(40) = 114, то маємо систему рівнянь відносно а ї Ь: 107 = а + 206, Звідси: Ь = 0,35, а = 100. Отже, V = 100 + 0,35і. 114 = а + 40Ь. 2) F(0) = 100 + 0,35 •О = 100 (см^). ■ Відповідь. 1) V = 100 + 0,35^; 2) 100 см®.

Контрольні запитання

1°. Які з наступних залежностей є функціональними: а) кожному двоцифровому числу ставиться у відповідність сума його цифр; б) кожному числу, яке не дорівнює нулеві, ставиться у відпо відність обернене до нього число; в) кожному числу ставиться у відповідність ціле число, менше від нього? 4*

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

2°. Яка з ліній, зображених на рис. 18, а) - г), не визначає функ цію у від зс? У

У.

*х

а)

■■

1в)

(5)

■

1г)

Рис. 18 3.

Яким е значення функції у =

2х-1

у точці X = —1; X = О?

У скількох точках функція у = о^ —2х набуває значення 0; -1; -2?

Для якої з наступних функцій: 1) у = —; 2) у = 4 х ; 3) j 4)

;

у = х"^ областю визначення є проміжок (0; +с»)?

Дано функції: 1) з' =

2)У = р З ) у = (1-х ) " ; 4)

= (^yfxj.

а) Яка з них є лінійною; квадратичною; оберненою пропорцій ністю? б) У яких точках квадратична функція набуває значення 1? в) Яка з функцій не набуває значення О? Для графічно заданої функції у = f{x) (рис. 19) знайдіть: а) область визначення; б) множину значень; в) значення функції в точці x - Q \ x - А; г) нулі функції, тобто точки, в яких функція Рис. 19 набуває значення 0. 2. Графік функції

Графічний спосіб задання функції більш наочний у порівнянні з аналітичним. За графіком легко охарактеризувати досліджувану величину. Напри клад, за графіком, зображеним на рис. 10, можна сказати, що температура протягом 12 годин змінювалась від - 1° до + 1°. За графіком видно також, коли температура збільшувалась, коли зменшувалась, а коли залишалась незмінною.

ф ун кц іон ал ьн і зал еж н ості

Тому часто аналітичне задання функції супроводжують гра фіком. У даному пункті розглядаються графіки вже відомих вам функцій і деякі способи побудови графіків. Графік функції у = Длс) — це множина точок коорди натної площини з координатажи (х; /(ж)), де х — до вільне число з області визначення функції. Для побудови графіка функції j =f{x) на площині вводять прямо кутну систему координат і будують точки з координатами (х; Дх)). Абсолютно точно побудувати графік функції неможливо, тому що неможливо точно зобразити навіть одну точку (л:^; Дхд)) на координатній площині, а тим більше, якщо їх без ліч. Тому піц побудовою графіка функції розуміють побу дову рисунка (найчастіше лінії), що відображає головні особливості ідеального графіка. Такі рисунки називають ескізами графіків. Отже, побудувати графік функції — означає побудувати ескіз графіка, тобто відобразити гра фічно всі основні властивості функції. Графіком лінійної функції у = kx + Ь як вам вже відомо, пряма лінія. Для її побудови досить знайти дві точки графіка і через них 1 _ провести пряму. Наприклад, для побудови графіка функції у = 2х + 1 візьмемо точки І перетину прямої з осями координат, тобто точки А(0; 1) і В

1 проведемо через Іі!

г.

й М1

^і 1 7 ^ ,2 т_ 7 і

- --І

її

_і

них пряму (рис. 20). Число k дорівнює тангенсу кута ф нахилу 20 прямої у = k x + Ьдо осі X і називається її кутовим коефіцієнтом.

k=0

у=Ь

- kП Ь

б) Рис. 21

в)

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

На рис. 21, а), б) зображені графіки лінійних функцій залежно віц знака k. Якщо /г = О, то маємо сталу функцію у = Ь, графік якої зображено на рис. 21, в). Приклад

6. Побудувати графік функції:у =|х|.

□ Оскільки 1^1 _ fx, якщо х > 0.

Уі У = \х у

[-Х, якщо X < о, то для невід’ємних значень х графік функції а у =|х| збігається з графіком функції у = х, а Рис. 22 для від’ємних — з графіком функції у = - х (рис. 22). ■ Графіком квадратичної функції у - ах^ + Ьх + с е парабола. її розміщення на координатній п л ощ дт залежить від коефіцієнтів а, Ь, с. Напрям її віток визначається знаком числа а: при а > О вони спрямовані вгору, при а < О — вниз. Вершрша її знаходиться у точці

з абсцисою Хд = ------ . Парабола може не мати спільних точок з віссю 2d

а може мати з нею одну чи дві спільні точки. Це залежить від кіль кості коренів квадратного рівняння ох^ + 6х + с = 0.

Парабола — грецьке яараРоА,гі (parabole) від л:араро^А,єгу (parabollein) — прикладаю, порівнюю. Параболу зазвичай будують за її характерними точками: вер шиною і точками перетину з осями координат. Графіки функцій у = х ^ іу = -х^ зображено на рис. 23, 24. Розглянемо на конкретних прикладах побудову графіків ква дратичної функції.

Рис. 24

ф ун кціон ал ьні зал еж н ості

П р и к л а д 7. Побудувати графік функції: l )y = x^+Qx + S-, 2)з- = -х 2 + 2 х + 3 ; 3) у = 2х^ - 4х + 3. □ 1) Знайдемо абсцису вершини параболи за формулою Ь 6 Хд = - — ■ ^ 0 = Ордината вершини знаходиться обчисАсі А ленням значення квадратичної функції при х^ - - 3\ = у(-3) = = 9 - 18 + 8 = - 1. Отже, координати вершини — (-3; -1 ). Знайдемо абсциси точок перетину графіка з віссю абсцис. Для цього розв’яжемо рівняння: х^+ 6х + 8 = 0 . Одержимо: = - 4; х^ - - 2. Знайдемо точку перетину графіка з віссю у. Для цього обчислимо значення функції у = х^+ &х + S при х = 0: j(0 ) = 8. Графік пере тинає вісь у в точці (0; 8). Вітки параболи спрямовані вгору, адже коефіцієнт при х^ є додатним. Побудуємо графік, враховуючи отримані результати (рис. 25). 2) Вершина параболи знаходиться у точці з координатами (1; 4). Точки перетину параболи з віссю абсцис мають координати (-1 ; 0) і (3; 0). Графік фзшкції перетинає вісь у в точці з координатами (0; 3). Вітки параболи спрямовані вниз. Графік зображено на рис. 26. 3) Вершина параболи знаходиться у точці з координатами (1; 1). Парабола не перетинає вісь х, оскільки рівняння 2х^ - 4х + З = О не має коренів. Парабола перетинає вісь у в точці з координатами (0; 3). Для уточнення положення графіка обчислимо значення функції в точці х = 2\ у{2) = З, тобто парабола проходить через точ ку А з координатами (2; 3). Графік зображено на рис. 27. ■

Графіком оберненої пропорційності у = — е гіпербола, розмі щення якої залежить від знака k (рис. 28, 29).

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

Гіпербола (грецькою утіерРоАлі — hyperbole) — надли шок, перебільшення. Приклад

8. На рис. ЗО зображено графік

оберненої пропорційності. Задати цю залеж ність формулою. □

Г“ |

Графік функції проходить через точку з ко ординатами (—1; 2), тобто справджується рівk кість: 2 = — . Звідси k = —2. ■

Обернена пропорційність задається LU

формулою у = — . Необхідно знайти число k.

ґ і

і '

J‘— -

Т!

0 / і Г 1

1 /

Рис.

зо

2 В ідповідь. у = — . Існують різні способи побудови графіків функцій. Один з них — побудова за точками. Д овіл ьн и й в и бір то ч о к і п об у д ов а гр а ф ік а за ци м и точ кам и м ож е п р и в ести д о су т т єв и х п ом и л ок . Наприклад, щоб побудувати графік функції у = —, складемо X

таблицю її значень. X

-4

------

-3

-2

1 -----

—

2 1

-1

—

1 —

-1

ф у н к ц іон ал ьн і зал еж н ості

Тепер зобразимо відповідні точки на координатній площині і з’єднаємо їх відрізками. Одержимо лінію, зображену на рис. 31. Однак вона зовсім не схожа на справжній графік 3/ = і . Ви його доX

бре знаєте — це гіпербола (див. рис. 28). У чому ж ми припустились помилок? А у тому, що графік функіцї потрібно будувати не за до вільно обраішми точками, а за характ ерним и точками для даної функції.

Найпростіше побудувати графік лінійної функції. Для цього до статньо знайти дві точки, які належать графіку, і через них провести пряму. Характерними точками для квадратичної функції є абсциса верпшни параболи і абсциси точок перетину параболи з осями ко ординат. А для оберненої пропорційності характерною є точка х = 0, у якій її графік «розривається». У подальшому ви познайомитесь із загальними методами знаходження характерних точок. Іншим способом побудови графіка функції є геом ет ричні пере т ворення граф іка. Так, знаючи графік функції у = f (х), можна побудувати графіки функцій у —f + а \у = f {х + Ь), де а \ Ь — деякі числа, за наст5шними правилами. Графік функції у = Дзс) -І- а одержують із графіка функції у = f(x ) паралельним перенесенням уздовж осі у на |а| одиниць: у напрямі осіз', якщо а > О, і у напрямі, протилежному напряму осі у, якщо а < О (рис. 32). Графік функції у = fix + Ь) одержують із графіка функції у = f(x ) паралельним перенесенням уздовж осі X на |Ь |одиниць: у напрямі осі х, якщо 6 < О, і у напрямі, протилежному осі X , якщо Ь > о (рис. 33). Наприклад, графік функції у = х^ - 1 можна одержати пара лельним перенесенням графіка функції у = ос^ на 1 одиницю у

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

і/=/(х) y=f(x)+a (а>0) г/= /(х)

y=f(x)+a (а<0) Рис. 32

Рис. 33

напрямі, протилежному напряму осі у (рис. 34). Графік функції у = { х - 1)^ можна одержати із графіка функції у = х^ паралельним перенесенням останнього на 1 одиницю у напрямі осі х (рис. 35). Приклад

9. Скільки коренів має рівняння х^ = -

х+2 □ Рівняння має стільки коренів, скільки спільних точок мають

графіки функцій у = х^\ у = -----— . Зобразимо графіки цих функх+2

ф у н к ц іон ал ьн і зал еж н ості

цій в одній системі координат. Графік функції у = -

х +2

можна

отримати із графіка функції у = — паралельним перенесенням X останнього вздовж осі х на 2 одиниці вліво (рис. 36). Тоді із рис. 37 видно, що рівняння має один корінь. ■ Відповідь. Один корінь. Тепер нагадаємо, як знаючи графік функції у = Дх), можна побудувати графіки функцій у = kf(x) і у - fimx), де /г і CO— деякі додатні числа. Графік функції у = kf(x) (k > 0) одержують із графіка функції у = f(x) розтягом в k разів від осі х при k > \ (рис. 38) і стиском у — разів до осі х при О < fe < 1 k (рис. 39). Уі‘

,У=їіх) /у = У м

-0 Рис. 39 Приклад

10.

Побудувати графіки функцій у —1,5х^, у = 0,5х^.

□ Графік функції = 1,5х^ одержимо з графіка функції у = розтягом від осі X в 1,5 рази (рис. 40). Графік ф у н к ц і ї = 0,5х^ одер жимо з графіка у = Х^стиском його до осі х в 2 рази (рис. 41). ■

Рис. 41

Розділ 1. ФункцГГ, їхні властивості та графіки

Графік функції З' = Д (а х) (со > 0 ) одержзтоть із графіка функ ції З" =Дх) стиском його до осі З' в со разів при со > 1 (рис. 42) і розтягом в — разів віц осі у при О< ю < 1 (рис. 43). со

Наприклад, графік функції у = у — можна побудувати, розтяг нувши графік функції у = у/х від осі у в З рази (рис. 44). Графік функції у = \/Зх одержимо з графіка функції у = 4х , стиснувши його до осі у утричі (рис. 45).

'II

При побудові графіка функції іноді доводиться виконувати де кілька геометричних перетворень. Приклад

11.

Побудувати графік функції у = 2\х\-1.

□ Побудова виконується у два етапи: 1) графік функції у = |x| розтягується від осі х удвічі (рис. 46);

N■ \

■. V LV.ІN 1 \; -

ч\ Vi

[о

;

j *

Рис. 46

ф у н к ц іон ал ьн і зал еж н ості

2) одержаний графік паралельно переноситься на 1 одиницю у від’ємному напрямі осі у (рис. 47). ■

Д Контрольні запитання 1°. Чи проходить графік функції у = 5х + 2 через точку: а )А (0 ;5 ); б) 5(0; 2); в) С (-1; - 2); г) Д - 1; 3)? 2°. В яких точках пряма у = 1 —4х перетинає осі координат? 3°. Вкажіть декілька точок, через які проходить графік лінійної функції у - - 2 . 4°. Які знаки мають числа k і Ь, якщо графік лінійної функції у = kx+ Ь зображено на рис. 48? 5°. В яких з наступних парабол вітки напрямлені вгору: а) у - \ - х+2х?\ б) J = 5х-Зх^ - 1; в )з'= 1 -л :^ ? 6°. Якою є абсциса вершини параболи: a ) j = 1 - 3 х + 2х^; б) j = -5х^ + х - 2; в) у = (х + 5)(х - 1)? 7°. Якою є обернена пропорційність, графік якої зображенона рис. 49?

8°. У скількох точках перетинаються графіки функцій: 2

б) у = - , у = -х ;

а )у = - , у ^х\ X

в) j = — ,у = х^7

9°. На скільки одиниць і в якому напрямі слід паралельно пере нести гіперболу у = — , щоб отримати гіперболу: X

б) у = - + АІ X х+4 10°. На скільки одиниць і в якому напрямі слід паралельно пе ренести параболу у = х^, щоб її вершина опинилась у точці з координатами: а) ( - 2; 0); б) (0; 2)? а) у =

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

11°. Якою формулою може бути задана ; УІ/. функція, графік якої зображено на рис. 50, якщо його отримано за до- ; помогою геометричних перетворень ! із графіка функції у = \/х ? ^ 12. Для кожної з функцій J = |л: + 3|, у = |х|+ З, = 3|л:| підберіть вцщовцщий графік на рис.51, а)-в).

Рис. 51

ІЗадачі 46. Дано функцію f(x) = ,

- 2 х ~ 3 . Знайдіть:

2°) нулі функції;

3) корені рівняння fix) = f(0). 2х ~і~1 47°. Дано функцію у = -------- . Знайдіть значення аргументу, за х +1 яких функція набуває значення: 1) -2 ; 2) 2; 3) 3. 48. Знайдіть область визначення функції: х^ +4

-4

2-\х

4°) у = V 3-2X ;

49.

Функцію у = fix) задано графічно (рис. 52). 1°) Якою є їі область визначення? 2°) Якою є множина значень функції? 3°) Скільки нулів має функція? 4°) За яких значень х функція набуває додатних (від’ємних) значень?

ф ун кц іон ал ьн і зал еж н ості

5°) Чи є функція парною? Непарною? 6) Чому дорівнює найбільше (найменше) значення функції? 7) Скільки коренів має рівняння fix) = 0,5?

Рис. 53 50. На риє. 53 зображено графіки рухів двох пішоходів назустріч один одному по шосе, яке з’єднує пункти А і В; Sj(i) і sj^t) — відстані від А, відповідно, до першого та другого пішоходів у момент часу t. 1°) Якою є відстань між пунктами? 2°) Скільки кілометрів пройшов перший пішохід за перші дві години? 3) Який з пішоходів до моменту зустрічі подолав більшу від стань? 4) Який з пішоходів прийшов у пункт призначення першим? 51. На рис. 54 наведено графік залежності часу t, який витрачається на шлях з пункту А в пункт В, від швидкості руху V, ш;о представляє собою обернену пропорційність, з якою швидкістю треба рухатися, ш;об дістатися з А в В менш ніж за 2 години? ^ ЗО v, Рис. 54 52°. Побудуйте графік функції: l) j =^

;

2 ) j = -3;

3) j = - - ;

4) у = х^ - Ьх + А\

S) у = -Зх'^ - 2 х + 1; 6) у = х^ - 4х + 4; 7) у = (х + 2)(х - 4). 53. Побудуйте графік функції за допомогою геометричних пере творень: 1°) y = { x - 0 , 5 f ; 2°) у = х^ -0,5; 3) ^ =

4°) у = 4 ^ ;

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

5°)у =^ - 2;

6»)^ = - Ц ; х-З

у = f{x). Побудуйте графік функції: 1°) j = / ( x - l ) ; 2°) у = f i x ) - Іг )у = К2х); 4)у = 2f(x).

= і +3;

7“)

;

у =‘

4 /

0 -1

V2)

..Г 1

1 1

Г-1 І

ґ \2

8°)

‘"■'Т ' -- 1-- ^ /

7 }

! ‘

і' іГ^'. 1 : і

! Рис. 55

55. Знайдіть лінійну функцію, якщо; 1°) її графік проходить через точки А (1; - 1) і В(2; -1 ); 2) її графік складає кут 135° з віссю х і проходить через точку А(0; 2). 56°. Задайте за допомогою формули функції, графіки яких зображено

Рис. 56 57. Напруга в електричному колі рівномірно зростає, тобто ліній но залежить від часу. На початку досліду напруга дорівнюва ла 10 В, а наприкінці досліду, що тривав 5 с, напруга збільши лася у 1,5 разів. 1) Виразіть залежність напруги від часу і побудуйте графік цієї функції. 2) Якою була напруга через З с після початку досліду? 58°. Знайдіть обернену пропорційність, якщо відомо, що її графік проходить через точку А(—1; 3). Побудуйте її графік. 59. Згідно із законом Бойля—Маріотта, тиск р і об’єм газу V пов’я зані формулою р = ^ , де с — деяке число, стале для даної маси і температури газу. Побудуйте графік цієї залежності, якщо при тиску р = 10 Па об’єм газу дорівнює 0,5 л.

ф у н кц іон ал ьн і зал еж н ості

Вправи для повторення 60. Які з наступних пар точок симетричні відносно осі у, а які — відносно початку координат: 1 )Ж 0 ;1 ),5 (1 ;0 ); 2)А (0; 1) , В ( 0; - 1); 3) А(1; 2), 5 (-1 ; 2); 4) А(1; 2), В(-1; -2)? 61. Вкажіть функції, графіки яких симетричні відносно осі у, а яких — відносно початку координат: 1) 3/ = х;

2)у = - х + 1 ;

3) у = х^;

4) у =

5 )у = і .

62. Доведіть, що більшому значенню аргументу відповідає біль ше значення функції: \) у - 2 х + 1\ 2) у = 4х. 63. Чому дорівнює відстань між точками: 1)А{х)ІВ{2)-, 2)А(а)ІБ(-3); 3) А{а) і В(Ь); 4) А{а) і В (-6)?

П ід с у м о к Основні поняття

Означення

Геометрична інтерпрета ція, приклади

Залежність між змінними х і з», яка для кожного значення х\з D визначає єдине значення у, нази вається функціональною залеж ністю у від X 3 областю визначен ня D.

Наприклад, висота від літака до поверхні землі є функцією часу його перебування в по льоті.

Графік функції у = f(x) — це мно жина точок координатної пло щини 3 координатами (х; Дх)), де X — довільне число 3 області ви значення функції.

Часто графіком функції є де яка лінія на плопщні, але не будь-яка лінія є графіком де якої функції.

О сн овн і властивості функцій

Вивчення реальних процесів часто зводиться до до слідження залежностей, які описують ці процеси. Д о слідити функціональну залежність — означає виявити її характерні особливості. Характерними особливостями функції є, наприклад, її зростання чи спадання, парність чи непарність, неперервність. Розгляду цих властивос тей і присвячено даний параграф.

1. Спадання і зростання функцій

Розглянемо функції, графіки яких зображено на рис. 57. Характерною ознакою цих функцій є те, що біль шому значенню аргументу віцповіцае більше зна чення функції. Такі функції називають зростаючими. Зростаючі функції описують процеси і явиш;а, в яких залежна величина збільшується зі зростанням незалежної. Наприклад, температура води з часом збільшується при її нагріванні до мо менту кипіння. Також збільшується з часом швидкість тіла при вільному падінні до моменту падіння.

ііБ

Уі

у у X

в)

Якш,о більшому значенню аргументу відповідає менше значен ня функції, то таку функцію називають спадною (рис. 58).

П гновні в л а сти в о ст і ф ункцій

Процеси і явища, в яких залежна величина зменшується при зростанні незалежної, описуються спадними функціями. Напри клад, зменшується атмосферний тиск при зростанні висоти над рівнем моря, швидкість тіла при гальмуванні. Уі —

б) Рис. 58

в)

Зростаючі чи спадні функції називають монотонними. Монотонний — грецькою novoxovoi!; (monotonos), від \xovot^ (monos) — один, і Tovoi^ ftonos) — натягування, напружен ня — однотонний, однозвучний, одноманітний. Багато функцій не є монотонними. Наприклад, квадратична функ ція у = X? (див. рис. 23) чи обернена пропорційність (пив. рис. 28, 29). Однак, якш,о розглядати функцію у тільки на проміжку ( - с о ; 0], то вона спадає. На проміжку [0; +оо) ця функція зростає. Функція у = fix) називається зростаючою на деякому про міжку, якщо для довільних точок цього проміжку х^ і jc^, таких, що < х^, справдокується нерівність Дх^) < Дх^). Функція у = f(x) називається спадною на деякому про міжку, якщо для довільних точок цього проміжку і х^, таких, що х^ < х^, виконується нерівність f(x^) > f(x^). Встановлення проміжків, на якріх функція зростає чи спадає, є важ ливим завданням у дослідженні цієї функції. Це завдання називають знаходженням проміжків монотон ' Г" 1 і л ності функції. Для функцій, заданих гра фічно, воно розв’язується досить легко. І . Н а рис. 59 зображено гра фік функції у = Дх). З’ясувати, чи є ця функція монотонною. Вказати проміжки зростання і спадання функції. Знайти проміжок, на якому функція набуває ста лого значення. П риклад

б*

і і 1 1

/ 1

І Х

0 / ! _J . . . .

1..

Рис. 59

Розділ 1. Функцм, їхні властивості та графіки

□ Функція не є монотонною. Вона спадає на проміжку [-2; - 1] і зростає на кожному з проміжків [-1; 2] і [4; 6]. Функція зберігає стале значення, що дорівнює З, на проміжку [2; 4]. ■ П р и к л а д 2. На рис. 60 зображено графік швидкості руху авто мобіля. Охарактеризувати його рух.

□ Перші півгодини швидкість руху автомобіля зростала від О км/год до 90 км/год, тобто автомобіль рухався прискорено. Протягом наступних двох годин (на часовому проміжку [0,5; 2,5]) кт/svR він рухався зі сталою швидкістю 90 км/год, тобто рівномірно. Після цього швидкість почала зменшу ватись, і через годину автомобіль t, год зупинився. Всього він рухався Рис. 60 3,5 год. ■ • •9S

Для функцій, заданих аналітично, знаходити проміжки зростання і спадання досить важко. Розв’яжемо цю проблему для вже знайомих вам ------------------ функцій: для лінійної, квадратичної і оберненої пропорційності. У лінійної функції у = kx + Ь коефіцієнт k дорівнює тангенсу кута нахилу її графіка (прямої) до осі х. Якщо /г > О, то tg9 > О і 0° < Ф < 90°. Отже, кут нахилу прямої до осі х е гострим, і лінійна функція зростає (див. рис. 21, а). Якщо k = tgcp < О, то 90° < ф < 180°. Відтак кут нахилу прямої до осі х є тупим, і лінійна функція спадає (цив. рис. 21, б). X —1 Наприклад, лінійна функція у = ------ є зростаючою, оскільки Ш

1 1- х 1 /г = —> О, а лінійна функція у = ------ е спадною, бо k = — < О . 2

Графіком квадратичної функції у = ах^ + Ьх + се парабола, вер шина якої знаходиться у точці з абсцисою

2а

. Якщо а > О, то

квадратична функція спадає на проміжку

2а проміжку

Ь ; -1-00 2а

(рис. 61).

зростає на

Основні в л а сти в о ст і ф ункцій

Якщо а < О, то квадратична функція зростає на проміжку

f —оо;-----Ь’

і спадає на проміжку

2а .

' ----ь ; -1-00 Л (рис. . 2а ’ ) у=ах^+Ьх+с а<0

62). у

Рис. 62 Наприклад, вершина параболи у = х'^ + 2 х - 3 знаходиться 2

у точці з абсцисою л : о = - - = - 1 і а = 1 > 0 . Тому квадратична функ ція у = х? + 2 х -2 , спадає на проміжку (-оо; - 1] і зростає на проміж ку - 1;-(-оо). Ц

Р о з іг н е м о тепер обернену пропорційність. Зверніть увагу на те, що функція у = — не е спадною у своїй обX

ласті визначення (-оо; 0) и ( 0;-юо). Порівняємо, напри клад, значення цієї функції в точках х^ = -\ \ х^ = 1: = 1 > j ( - l ) = -1 , тобто більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Однак, вона спадає на кожному з проміжків (-оо; О) і (О; н-оо).

З '(І )

Згадайте графік функції у = 4 х \ поміркуйте, чи є вона моно тонною.

'^^“'^рольні запитання

1°. Яка з функцій, графіки яких зображено на рис. 63, а)-г), є; 1) зростаючою; 2) спадною? 2°. Які з функцій, графіки яких зображені на рис. 63, а)-г), ма ють проміжки сталості? 3°. Які з функцій, графіки яких зображені на рис. 64, а)-г), зрос тають на проміжку [0; 1]? 4°. Які з настзтших лінійних функцій є зростаючими (спадними): а) у = 1-х-, б)у = х - 1 ; в) у = - 1; г) >>= -2{х + 1)?

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

Рис. 63 у

h а

' 1

в)

1 ^

г)

Рис. 64 5. Відомо, що /(-1 ) = 2, ДО) = 1, Д1) = 3. Чи може функція у - f{x) бути монотонною? 6°. Функція у —/(х) спадає на проміжку [—2; 2]. Порівняйте, якщо це можливо, числа Д—0,5) і Д—1). 7. Яким є проміжок спадання функції: в)

= (х - 1)2?

8°. Яка з наведених функцій зростає на проміжку (0; + оо): 1 ч З в) у = б) у = г) J = - - ? а) 3' = - ; X

Зх’

-Зх

2. Парність і непарність функцій

іБ

Розглядаючи графіки функцій >» = х^ і у = |х| (рис. 65, 66), ми помічаємо, що вони симетричні відносно осі у.

Основні в л а сти в о ст і ф ункцій

Функцію, графік якої симетричний відносно осі у, називають парною. Якщо функція J = f{x) е парною, то її область визначення симетрична відносно початку координат, і в точках х і - х, симет ричних відносно початку координат, функція набуває того самого значення: f{-x) = f(x). Тому можна дати наступне означення пар ної функції. Функція у = f(x) називається парною, якщо-. 1) її область визначення разом з кожною точкою х містить і точку -х ; 2) для кожного х із області визначення функції ви конується рівність: f(-x )= f(x ). Із далого означення і попередніх міркувань випливає твердження: функція є парною тоді і тільки тоді, коли її графік си метричний відносно осі ординат. Графік функції у = — (рис. 67) симеX

тричний відносно початку координат. Такі функції називають непарними. Якщо функція є непарною, то її область визна чення симетрична відносно початку коор динат, і в точках х і - X, симетричних від носно початку координат, функція набуває протилежних значень: /(-х ) = -f(x). Функція у = f(x) називається непарною, якщо-. 1) її область визначення разом з кожною точкою х містить і точку -х ; 2) для кожного х із області визначення функції ви конується рівність: f(-x) =-f(x). 1 ^ Із даного означення і попередніх міркувань випливає твердження: функція є непарною тоді і тільки тоді, коли її графік симетричний відносно початку координат.

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

Виявлення парності чи непарності функції нолегшуе побу дову графіка, зменшує обсяг необхідних досліджень; можна до сліджувати поведінку функції і будувати її графік тільки для невід’ємних значень аргументу, а для від’ємних —скористатись згаданою вище симетрією. Зокрема, якщо парна функція зрос тає на проміжку [а; Ь], а > О, то на проміжку [ - 6; -а ] вона спа дає, і навпаки. Дослідження функції на парність чи непарність проводять встановленням відповідних ознак. Якщо хоча б одна з цих ознак не справджується в кожному означенні, то функція не є ні парною, ані непарною. 3. Дослідити на парність і непарність функцію:

Приклад

2) /(х ) =

3) f{x) = х"-3’ х '-З ’ ' ' ' ' х-3 □ 1) Перевіримо, чи є симетричною область визначення функ ції відносно початку координат. Область визначення функції 1)

містить усі дійсні числа, відмінні від +Vs , тобто вона х '-З симетрична відносно початку координат. Знайдемо вираз для т =

(-х)^ Я-х): Д -х ) = . . Порівняємо його з Дх): Д-х) = (-х )^ -З х '-З = -fix). Отже, Дх) — непарна функція. 2)

Область визначення функції

/(х ) = збігається з об х"-3 ластю визначення функції з попереднього завдання. Справджу ється рівність: / ( - х ) =

(-х)^ (-х )^ -З

х=-3

= fix). Тому дана функція

є парною. 3) Функція /(^ )

---- не є ні парною, ані непарною, оскільки

X —о

її область визначення не є симетричною відносно початку коорди нат: -З входить в область визначення, а З — не входить. ■ Для доведення того, що функція не є парною чи не парною, доцільно діяти наступним чином. 1) Перевірити, чи симетрична область визначення функції відносно початку координат. Якщо вона не

Основні в л а сти в о ст і ф ункцій

симетрична (див. приклад 3. 3)), то функція не є ні парною, ні непар ною. Якщо вона симетрична, то продовжувати дослідження. 2) Підібрати дві точки, симетричні відносно початку коор динат і такі, що f{-x) Фfix) і /(-х ) -Дх). Це і доводить потрібне твердження.

П р и к л а д 4 . Довести, що функція f{x) =

-і- х не є ні парною, ані

непарною. □ Її область визначення симетрична відносно початку коорди нат, але в симетричних точках 1 і -1 вона набуває значень 2 і О, які не є ані рівними, ані протилежними числами. Тому не справ джується ні рівність Д-х) = Дх), ні рівність Д-х) = -Дх) для всіх X із області визначення. Звідси випливає, що функція не є ні парною, ані непарною. ■

Контрольні запитання 1°, Яка з функцій, графіки яких зображено на рис. 68, а)-г), може бути: 1) парною; 2) непарною? г/

б)

а)

Рис. 68 2,

Яку властивість мають усі функції, графіки яких зображено на рис. 69, і не має жодна із функцій, графіки яких зображено на рис. 70? п-п

Рис. 69

Розділ 1. Функцм, їхні властивості та графіки

, ;

1 С

V ' ч І * '

М ■

’ і Тії і ^ 1 ■ ; ■■і ; 1 ■ і- ; /м .!

Уі

■!

т Л\ ■ ‘ 1 *

"1 / ^

і •

;

fVi] І >*!

І і

f t1У і^ . . « 1 .^ ;

‘

Рис. 70 3°. Графіки яких функцій симетричні відносно осі у: а) J = Зх + 1; б)у = -х^; в) = х®; r ) j = |x|;

ґ ) з ' = 1;

х -1 4°. Графіки яких функцій симетричні відносно початку координат: а°)у = 3х\

б°)у = х^+1;

в°) у = X

5. 6. 7.

8. 9.

Відомо, що функція у = f(x) є парною і Д2) = 1. Чому дорівнює / ( - 2)? Відомо, що функція у = Дх) є непарною і Д-3) = 2. Чому дорівнює ДЗ)? Областю визначення парної функції є проміжок а; 4 . Чому дорівнює число а? Функція у = Дх) є парною і зростає на проміжку [1; 2]. Чи є вона зростаючою на проміжку [-2; - 1]? Чи може зростаюча функція бути: а) парною; б) непарною? 3. Неперервність і точки розриву функцій

Познайомимось ще з однією важливою властивістю функції — неперервністю. Цією властивістю ми вже неодноразово користувались. Так, деколи при побудові графіка функції ми знаходили декілька його точок і з’єднували їх лінією. Аналогічно діють, коли будують графік функції, користуючись таблицею її значень. Виникає за питання, чи завжди можна так робити. Виявляється, що насам перед це залежить від того, чи буде функція неперервною або розривною. Розглянемо графіки функцій у = Дх) і у = g{x), зображені на рис. 71 і 72. Графік функції у = Дх) є нерозривною лінією, тобто такою, яку можна накреслити, не відриваючи олівця від аркушу паперу. Гра фік функції у - g(x) такої властивості не має. Він розірваний у точці

О сновні в л а сти в о ст і функцій

з абсцисою X = —0,5. Незамальованим кружечком позначено точку, яка не належить графіку функції у = g(x). Тобто точка з координата ми (-0,5; 1,5) не належить цьому графіку. Водночас графіку функції у = g(x) належить точка з координатами (-0,5; 2): ^(-0,5) = 2. Зверніть увагу на те, що дві точки з однаковими абсцисами не можуть одно часно належати графіку функції у від х.

Якщо функцію задано на деякому проміжку та її графік на ньо му е нерозривною лінією, то функцію називають неперервною на цьому проміжку. Функція у = f(x) (рис. 71) неперервна ‘ 1 і ' і j і і і 1 ^ на проміжку [-2; 3]. Неперервні у своїх об ; ! / / ) і ' і г . ■ V ластях визначення лінійні і квадратичні Тті !І! І "1 ' функції. М О П Про функцію J =^(х) (рис. 72) кажуть, що ;------- 1 точка X = -0 ,5 є її точкою розриву. Напри клад, точка X = О є точкою розриву функцій „ , Рис. 73 1 ^ У = — (див. рис. 67) і ^— (рис. 73). X

Неперервна функція описує процеси, які відбуваються плавно, без «стрибків», тобто коли досліджувана величина за малий про міжок часу змінюється мало. Саме так у звичайних умовах зміню ється довжина шляху, пройденого тілом, швидкість механічного руху, температура тіла при охолодженні. Однак існують процеси, в яких досліджувана величи на змінюється стрибками. Наприклад, так змінюєть ся залежно від часу маса товару т, що залишається в машині, якщо його розвантажують ящиками (рис. 74, а); сума грошей на банківському рахунку залежно від часу, якщо цей рахунок поповнюється, але гроші з цього рахунку не знімаються (рис. 74, б); висота трави

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

на газоні залежно від часу за умови регулярного її підстригання за допомогою газонокосарки (рис. 74, в) тощо. т, кг

а а) Рис. 74

Важливо навчитися працювати з подібними функціями. Поведінка функції в околі точок розриву може 6jTH різною. По-перше, точка розриву може належати області визначення функції, а може і не належати. Так, функція у = графік якої зображено на рис. 72, визначена в точці розриву х = —0,5: ^(—0,5) = 2. Функція X

у = — (див. рис. 73) не визначена в точці х = 0. По-друге, функція X

в точці розриву може мати скінченний стрибок, як, наприклад, X

функція у = — (див. рис. 73), а може мати «нескінченний» стриX

бок, як це у функції у = — (див. рис. 67). X

а іХп Рис. 77

Рис. 78

На рис. 75-78 зображено різні випадки «нескінченних» стриб ків. Ми бачимо, що точки графіків функцій наближаються до пря мої X = Хд, коли аргумент наближається до х^. Пряму х - х ^ у таких

Пгновні в л а сти в о ст і ф ункцій

випадках називають вертикальною асимптотою графіка. Таким чином, гіпербола у = — має вертикальну асимптоту х = 0. Асимптота (грецькою aonxuxvixoq ( asymptotos)) — така, ____________________ що не збігається. __________________ Розглянемо функцію у - f(x), графік якої зображено на рис. 79. Ця функція має дві точки розриву: = 2 і = 3. У точці х^ = 2 функція визначена і /(2) = 3. Точка jCj = З є точкою розриву функції, хоча графік у цій точці не робить «стриб ка». У цій точці функція не визначена. [..

7 ......і

.. 1 Рис. 79

Контрольні запитання На рис. 80 зображено графік функ ції у = g{x). Які з наступних твер джень є правильними? 1) Функція у = g{x) е неперервною. 2) Функція має три точки розриву. 3) Функція не визначена в точках розриву. 4)Ж0) = 3. 5)g(4) = 2. ^ З а д а ч і 64°. Дослідіть функцію на парність і непарність: Х^ 1 ) у = 5х ^ -х; 2) у = х^-S ; 3) у = - — ; X -1 5)

у = |х|-ьх"-4; 6 ) у = 3;

Г4 ) у = ^Іх+1;

1) У = ^^2

65. Доведіть, що функція у = /(х) не є ні парною, ні непарною, якщо; 1) /(х ) = х ' - 3 х " + х - 1 ;

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

66°. На рис. 81, 82 зображено графіки функцій у = ^(х) і Знайдіть для кожної функції: 1) область її визначення; 2) множину її значень; 3) нулі функції та проміжки знакосталості; 4) проміжки зростання, спадання функції. і Vi І 1 1 'П г 1 о __і t ,1/'

= f{x).

1—

1 ■1

-----------------------L- ...[ ;

-З

/І

■

'Г

1 і

ч L

■і»

! - 4

Рис. 81

__ іі

а ..

Рис. 82

67°. На рис. 83 зображено залежність швидкості велосипедиста від часу. 1) Якою була швидкість велоси педиста в момент часу і = 18 хв? 2) В які моменти часу швидкість дорівнювала 5 км/год? 3) Вкажіть проміжки часу, протя гом яких швидкість велосипедиста зростала, спадала, була сталою. 4) Якою була найбільша швид кість велосипедиста? 68°. На рис. 84 зображено залежність об’єму води від її температури. Вка жіть на характерні особливості цієї залежності. 69.

і ......... L і... j J .

Рис. 83

\ 2 t;c

Рис. 84

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції: 1) >>= -х^ + 4х; 2) у = Зх^ - 6х + 4; 3) :у = (х + 1)(х - 2); 4) у = V x +Ї;

5) у = -

6) У - - - 2 . X

О сновні в л а сти в о ст і ф ункцій

70. Побудуйте графік функції у - f(x), яка задовольняє умови: 1°) функція визначена і зростає на проміжку [-2; 2], / ( - 2) = - 1, Д2) = 1;

2°) функція зростає на проміжку (-<о; 2] і спадає на проміжку

[2 ; +00); 3) функція парна і спадає на проміжку [-3; 0]; 4) функція визначена на проміжку [-4; 4], непарна і зростаюча. 71. На рис. 85, а)-в) зображено графіки деяких функцій. Добу дуйте кожний з них (якщо це можливо) до графіка; 1) парної функції; 2) непарної функції.

Рис. 85

72*.Розподіліть графіки, зображені на рис. 86, а)-в), на 2 класи за їхніми характерними ознаками. Опишіть ознаки, за якими класифікація запропонована.

73*. Розподіліть усі функції, графіки яких зображені на рис. 87, а)-д), на З класи за деякою властивістю. Опишіть властивості, спільні для функцій кожного класу. 74°. На рис. 88 зображено графік функції у - g(x).

1) Чи є ця функція неперервною? Якш;о ні, то вкажіть її точки розриву.

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

Рис. 87

2) Чи визначена функція -ій в точках розриву? 3) Укажіть значення функ ції в тих точках розриву, в :■ т яких вона визначена. 4) Скільки нулів має функ Рис. 88 ція? 75. Побудуйте графік деякої функції, яка: 1) в точці X = 1 має розрив, але визначена в цій точці; 2) в точці л: = 1 має розрив і невизначена в цій точці.

^ В п р а в и для повторення 76. Скільки існує квадратних коренів з числа: 1) 36; 2) 0; 3) -3 6 ? 77. Чи має зміст вираз: 1) V-49; 2) ^ ( - 7 f ; 3) 78. Обчисліть: 1) V н 7 + (^/5)^ 2)

79. Винесіть множник з-під знака кореня; 1) л/490; 2) л/і2а^, а < 0. 80. Спростіть вираз: 1) V48 - л/ЗОО -і- VT5; 2)

+24аЬ.

81. Дано функцію f(x) = \Jx + 3. 1) Побудуйте графік функції. 2) Скільки коренів має рівняння: Дх) = 1; f(x) - -1 ; /(х) =

х?

О сновні в л а сти в о ст і ф ункцій

П ід с у м о к О сновні поняття

Означення функція у - f(x) називається зростаючою на деякому про міжку, якщо для довільних точок цього проміжку Xj і Xj, таких, що Xj < Х2, справджу ється нерівність: /(Xj) < /(х^).

Геометрична інтерпретація, приклади У, fix,)

Функція у = Дх) називається парною, якщо: 1) її область визначення ра зом з кожною точкою X міс тить і точку —х; 2) для кожного X із області визначення функції вико нується рівність Д-х) = Дх).

0 Математика, 10 кл.

Опис харак терних особли востей реаль них процесів JCj 'х і явищ; порів няння значень величин. /

Ф}тікція у —Дх) називаєть ся спадною на деякому про міжку, якщо для довільних точок цього проміжку Xj і Xj, таких, що Xj < Xg, виконуєть ся нерівність: /(Xj) > f(x^.

Функція у = Дх) називається непарною, якщо; 1) її область визначення ра зом з кожною точкою X міс тить і точку -х; 2) для кожного X із області ви значення функції виконуєть ся рівність Д-х) = -Дх).

Застосуван ня

Спрощення побудови гра фіків і дослі дження функ цій.

Ill

у курсі алгебри розглядалось поняття квадратного ко реня з невід’ємного числа. У даному параграфі узагаль нимо це поняття, визначивши поняття кореня з довіль ним натуральним показником, більшим від 1.

1. Степеневі функції з натуральними показниками

Раніше ми розглядали функцію у = х^. Її аргумен том є основа степеня, значення функції при кожно му значенні аргументу е другим степенем аргументу. Таку функцію називають степеневою. Показник степеня у даному випадку дорівнює 2. Можна розглядати степеневі функції з показниками, відмінними від 2. Степеневою функцією з натуральним показником будемо називати функцію у = х", де п — натуральне число. Розглянемо спочатку степеневі функпдї з парними натуральними показниками, тобто функції виду у =х^, у =х^, у = х^, ... . Усі функції -L\' І зазначеного виду мають ті самі властивості, що і —^ і — функція у=х^, графік якої зображено на рис. 89. Г/ J ІV « і■ Вони визначені на множині дійсних чисел. Ці 1 ■ :■ функції є парними. Наприклад, для функції J у =х^ маємо: у (- х) = (-хУ = xf^= ;у(х). Аналогічні 1 а: .... ■ обґрунтування можна навести для довільної зазначеної функції. Графіки цих функцій си Рис. 89 метричні відносно осі ординат. Степеневі функції з парними натуральними показниками на бувають невід’ємних значень і мають лише один нуль: х = 0. Тому

Корені ге-го с т е п е н я _____

їхні графіки лежать у верхній півплощині і проходять через поча ток координат. Крім того, графіки усіх зазначених функцій про ходять через точку з координатами (1; 1). функції у - х^, у = у = ... зростають на проміжку [0; + оо) і спадають на проміжку ( - о о ; 0 ] . їхні графіки схожі на графік, зо бражений на рис. 89. Розглянемо тепер степеневі функції з не парними натуральними показниками, відмін ними від 1, тобто функції виду у = X?, у = 0^, у = х', .... Областю визначення цих фзтікцій є множина дійсних чисел. Вони е непарними. Наприклад, для функції у = ос’ маємо: j ( - х) = = {-хУ = - X® = - y(x). Графіки цих функцій си метричні відносно початку координат. 1 Степеневі функції з непарними натураль ними показниками е зростаючими. Вони ма ють лише один нуль: л: = 0. їхні графіки прохо дять через точку з координатами (1; 1) і схожі на графік, зображений на рис. 90. Зокрема, функцію у = х? називають кубіч Рис. 90 ною, а Гї графік - кубічною параболою. П р іїк п а д 1. Графік функції f{x) = х^ + а проходить через точку А(2; 17). 1) Знайти цю функцію, тобто число а. 2) Побудувати її графік. 3) Скільки коренів мас рівняння f(x) = 2; f{x) = - 2? □ 1) Оскільки графік ф5тікції проходить через точку А(2; 17), то координати цієї точки мають задовольняти рівняння f(x) = лґ* + а,

а) Рис. 91

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

тобто має справджуватись рівність 17 = 2^ + а. Звідси одержимо а = 1. Отже, маємо функцію у + 1. 2) Графік функції у = х*+1 можна одержати із графіка функції у = х^ паралельним перенесенням його на 1 одиницю у додатному напрямі осі ординат (рис. 91, а). 3) Необхідно встановити, у скількох точках функція набуває значення 2. Перетнемо графік функції прямою у = 2. Графік перетинається у двох точках (рис. 91,6). Отже, рівняння лґ* + 1 = 2 мас два корені. Рівняння + 1 = -2 коренів не має, бо графік функції у = х*+1 не перетинається прямою j = -2 (рис. 91, в). ■ Багато залежностей між величинами описуються за допомогою степеневих функцій з натуральними показниками. Наприклад, об’єм куба У є степеневою функцією від довжини його ребра а: V = а®; об’єм 4 кулі V є кубічною функцією їі радіуса R: V(R) = —kR^ ; п’ятий член

геометричної прогресії е степеневою функцією від знаменника q: В о ст а н н іх д в ох п ри кл а д ах за л еж н ість м а є вигляд: у = ах", д е X — а ргум ен т, п — н атурал ьн е ч и сл о, а — д ея ке д ій сн е чи сл о. Т акі ф ун к ц ії зазви чай теж н а зи ваю ть степ ен еви м и , як і ф ун к ц ії ви ду у = а(х - Ь)". Розглянемо декілька задач на застосування степеневих функ цій. 2. Вкладник поклав на свій рахунок до банку 1000 грн. Банк нараховує щорічно за схемою складних відсотків р%. Знайти залежність розміру внеску через три роки Sg від р. Прикпад

□ Згідно з формулою складних відсотків, маємо; S3 = 1000 1 +

100 J

Ця залежність S від р є степеневою функцією. В ідповідь. S„ = 1000 1 + Р

100

Корені п-го степ ен я

П р и к л а д 3. Скільки коренів має рівняння a;5 + X - l = 0? □ Переписавши рівняння у вигляді х® = =1 - X, розв’яжемо задачу графічним методом. В одній системі координат побудуємо графіки функцій у = і у = 1 - X. Корені рівняння це абсциси спільних точок графіків функцій. Графіки перетинаються в одній точці (рис. 92). Отже, рівняння має один корінь.■ В ідповідь. Один.

Д і^пнтрольні запитання 1°.

Чи перетинає графік функції y = xt^ пряма: а) X = 0; б) X = 100; в) х = - 1000; г) j = 10; ґ) 3/ = - 1? 2°. Чи перетинає графік функції у = х® пряма: а) X = 0; б) X = 100; в) х = -1000; г) у = 10; і) у = -1 ? 3. Які властивості функцій у - осЧу = ^ г спільними? 4. Скільки коренів має рівняння: а)х" = 2; б)х2 = -3; в)х® = -7; г)хЧ = И ? 5. Дано функції Дх) = х® і g{x) - х^^. Що більше: нуль чи число: а) Д-5) •Я-7); б) /(-1 0 ) - Д-20); в) ^(-10) - ^(-20)? 6. Порівняйте числа: \7 6 б) ;в) а) ; г) v5/ v6 . 2. Поняття кореня п-го степеня

Як відомо, квадратним коренем з числа а назива ють число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно визначається поняття кореня довільного натураль ного степеня п з числа а. Це поняття необхідне для розв’язання багатьох задач, що зводяться до знаходження коренів рівняння X" = а. Наприклад, знаходження сторони куба х за його об’ємом V зводиться до розв’язання рівняння X® = V. Коренем п-го степеня (п є N, п > 1J з числа а назива ється число, п-ий степінь якого дорівнює а.

Розділ 1. ФункцГі, їхні властивості та графіки

Так, коренем четвертого степеня з числа 256 є число 4, а також -4 , бо 4^ = (—4)^ = 256; коренем п’ятого степеня з числа 243 є число З, оскільки З® = 243. Число 5 є коренем третього степеня з числа 125, оскільки 5^ = 125, і коренем четвертого степеня з числа 625, бо 5^ = 625. Корінь третього степеня називають ще кубічним коренем. Мабз^'ь, це пов’язано з тим, що об’єм V куба за його стороною х об числюється за формулою V = o^. Довжина сторони куба є кубічним коренем з його об’єму. Операцію знаходження кореня п.-го степеня з числа а назива ють добуванням кореня п-го степеня з числа а. Корінь п-го степеня визначено лише для натуральних п>2 . В

Зрозуміло, що кореня парного степеня з від’ємного чис ла не існує, бо парний степінь будь-якого дійсного чис ла є додатним числом.

Розглянемо функцію у = я^. Будь-яка пряма у = а перетинає графік цієї функції в єдиній точці (рис. 93). А це означає, що для будь-якого дійсного числа а існує єдине значення х, третій степінь якого дорівнює а. Інакше кажучи, для будь-якого дійсного числа а існує єдине зна чення кореня третього степеня з цього числа. Аналогічно можна дійти загального висно вку. Для довільного дійсного числа а і непар ного числа п існує єдине значення х, д-ий сте пінь якого дорівнює а. Це значення є коренем д-го степеня з числа а. При непарному п його позначають через Va (читають: корінь п-го степеня з числа а).

у.

у=а

■

1 1

І Рис. 93

Наприклад, запис ^ -2 7 означає кубічний корінь з числа -27. З означення кореня випливає, що ^ -2 7 = - З , бо І-ЗУ = -27. Запис ^0,03125 означає корінь п’ятого степеня з числа 0,03125. Його значення дорівнює 0,5, оскільки (0,5)® = = 0,5 •0,5 •0,5 •0,5 •0,5 = 0,03125. За означенням, для довільного числа а справджується рів ність: 2^+1 = а.

Корені n -г о степ ен я

Зауважимо, що при будь-якому натуральному значенні k число + 1 є непарним. Розглянемо тепер функцію у = х!^. Будь- У = х ^ Уі у=а яка пряма у = а при а > О перетинає графік Г цієї функції у двох точках (рис. 94), тобто для будь-якого додатного числа а icHjTOTb два значення х, четвертий степінь яких до ) рівнює а. Інакше кажучи, для будь-якого до 0 1 датного числа а icHjooTb два значення коре Рис. 94 ня четвертого степеня з цього числа. Аналогічно можна дійти загального висновку. Для довільного а > О і парного числа п існз^оть два протилежних числа, п-ий сте пінь яких дорівнює а. При а = О таке число єдине, л: = 0. При а < О таких чисел не існує. При парному п знаком ^ позначають невід’ємний корінь п-го степеня з числа а. Від’ємний корінь п-го степеня із додатного числа а записується так: -V a. За означенням, для довільного невід’ємного числа а справ джується рівність: = а. Наприклад, запис ^729 означає невід’ємний корінь шостого сте пеня із 729. Маємо: ^729 = З, бо число З є невід’ємним і З®= 729. П рикпад

4 . Обчислити:

□ Згідно з означенням кореня м-го степеня, маємо: (л /^ )

2 2 -2 2- 2

20 ■= 5.

В ідповідь. 5. Як відомо, для квадратного кореня знаком л/а по значався невід’ємний корінь з невід’ємного числа а. Тому

= а : адже число |а| є невід’ємним і його

квадрат дорівнює а^. Так само при довільному парному показнику кореня, ш;о дорівнює 2k, знаком степеня з числа а. Тому

ми позначили невід’ємний корінь 2k-ro = |а|.

Розділ 1. Функцм, їхні властивості та графіки

Справді, число \а\є невід’ємним і його 2k-vm стеїгінь дорівнює а^*‘. У цій формулі не можна випускати знак модуля, інакше для від’ємних значень а одержимо неправильні результати. Так, yj{~iy = і /ї = 1. Якщо ж скористатися зазначеною формулою і випус тити знак модуля, одержимо помилковий результат ^ ( - 1)'* = - 1 . Розглянемо тепер корені непарного степеня. При непарному n = 2k+l єдине значення кореня з довільного числа а ми позначали через

%/а . Згідно з означенням, ^

= 5, ^(-5)® = -5, \/а® = а,

= а і т. д. для будь-якого числа а. Таким чином, для коренів непарного степеня справджується формула: 2к+1І2к+1 „ <Іа = а . Наприклад,

= л/з - 2 , але

- 2| = VS- 2 = 2 - \/з,

бо \/з < 2. Приклад

5. Спростити вираз

-І-л/ї? .

□ Згідно з наведеними вище формулами, маємо:

= |x| + X. Якщо X > О, то |д:1 = X і |л:| + л: = л: + X = 2х. Якщо ж х < О, то |х| = -X і |x| + X = -X + X = 0. ■ В ідповідь. 2х, якщо х > 0; О, якщо х < 0. Приклад

6 . Побудувати графік функції

У = Шх - 2 ) \ □

Оскільки ^ ( х - 2) = х - 2

то маємо

функцію у = \х-2\, графік якої можна одер жати із графіка функції у - |х| паралельним перенесенням останнього на 2 одиниці у додатному напрямі осі абсцис (рис. 95). ■

Д і^пнтрольні запитання 1°. Чи правильно, що число -З є коренем четвертого степеня з числа 81? 2°. Чи правильно, що корінь четвертого степеня з числа 81 дорів нює -З ? 3°. Скільки існує коренів п’ятого степеня з числа -1024?

К орені ге-го степ ен я ________________________________________________________________________ М

4°. Скільки Існує коренів четвертого степеня з числа 625? 5°. Які з даних виразів не мають змісту: V-16; ^ -2 7 ; ^(-2)^;

Відомо, що об’єм V кулі обчислюється за формулою У = —

, де

R — радіус кулі. Кубічним коренем з якого числа е радіус кулі, якщо V = 4,5? 7. Чому дорівнює: а) б) ^(-7)®; в) ? 8*. Між якими двома послідовними цілими числами міститься число yJlE? 3.

Ариф метичний корінь л-го степеня та його властивості

^ ■ "1 Вище зазначалось, якщо п — непарне число, то вираз Va має зміст при будь-якому значенні а; якщо

п — парне число, то вираз <Іа має зміст лище при а > О і набуває тільки невід’ємного значення. Вираз у[а при а > О має зміст як при парному п, так і при непар ному п, і значення цього виразу є невід’ємним числом. Його назива ють арифметичним коренем п-го степеня з числа а. Число а назива ється підкореневим виразом, п — показником кореня. Арифметичним коренем п-го степеня із невід’ємного числа а називають невід’ємне число, п-ий степінь якого дорівнює а. Корінь непарного степеня із від’ємного числа можна виразити че рез арифметичний корінь. Наприклад, з означенням, V

~ V8

>оскільки, згідно Взагалі, при довільному до-

датному а і при непарному п справджується рівність ^ —а = —у [ а . Нам уже відомі властивості арифметичного квадратного коре ня. Аналогічні властивості має арифметичний корінь п-го степе ня і при п>2. В л а с т и в і с т ь ! . Якщо а > О і 6 > О, то yfab = л/а ■Vb. Арифметичний корінь п-го степеня з добутку двох невід’ємних чисел дорівнює добутку арифметичних коренів п-го степеня з цих чисел.

Розділ 1. Функци, їхні властивості та графіки

В л а с т и в і с т ь 2. Якщо а > О і Ь > О, то р/^ = Vb Vb Арифметичний корінь п-го степеня з дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює арифметичному кореню п-го степеня із чисельника, поділеному на арифметичний корінь п-го степеня зі знаменника. 7. Обчислити: 1) ^64-729;

Приклад

2) ^8 • ^4; 3) ^ 3 ^ ;

V243 ^

•

□ 1) Згідно з властивістю 1, ^64-729 = %/м •^729 = 2 - 3 = 6. 2)

Застосовуючи властивість 1, матимемо: = 2.

Застосовуючи властивість 4

2, одержимо

^8 - ^ = ^8 -4 = 13 <|з— = 81

256 81

~3“

З'

^4 0 Зас 4) Застосовуючи властивість о2, матимемо:

— ;=^ = я ----V3

= V ^ = 3. Відповідь. 1) 6; 2) 2; 3) 1 - ; 4) 3. З ІІр и к л а д

□

Порівняти значення виразів >/^729 і ^729.

Застосовуючи означення кореня, послідовно матимемо:

7^729 = л/9 = З, ^729 =

= 3. Ми бачимо, що значення цих ви

разів дорівнюють одне одному, тобто 7^729 = л/Т29. ■ Відповідь, -у/^729 = ^729. Аналізуючи останній приклад, можна висловити наступні при пущення. В л а с т и в і с т ь 3. Якщо а > О, то для натуральних п і k, більших від 1, справджується рівність VVa = "Va.

Корені п-го степ ен я __________________________________

В л а с т и в і с т ь 4. Якщо а > О, то для натуральних п, т і k, п > 1, справджується рівність "V a '"* = л[а^. Властивість 4 іноді називають головною властивістю корекя. Її можна сформулювати так; якщо показник кореня і показник степеня підкорене вого виразу помножити або поділити на те саме нату ральне число, то значення кореня не зміниться. Наприклад, ^ =S ; ^ =^ . Властивості 1-4 дають змогу вносити множник під знак ариф метичного кореня і виносити множник з-під знака кореня. Наприклад, розкладаючи підкореневий вираз числа ^48 на прості множники і застосовуючи означення кореня і властивість 1, можна винести множник з-під знака кореня: ^48 = ^2* - З =

2у/з. Виконуючи ці перетворення у зворотному поряд

ку, можна внести множник під знак кореня: 2^

П риклад

= \ /^ ■^3 =

Спростити вираз:

1 ) ^ М + ^ 4 8 - 3 ^ - 3 ^ 3 ; 2 )ч /^ -^ 9 ; □ 1) Виносячи множники з-під перших двох коренів, матимемо: ^ - н ^ 4 8 - 3 ^ - 3 ^ 3 = ^ 2 7 -2 -ь ^ 1 6 * 3 -3 ^ -3 ^ 3 = = ^ - ^ - ь ^ ї б ^ З - 3 ^ - 3 ^ 3 = 3 ^ 2 - ( - 2 ^ 3 - 3 ^ - 3 ^ 3 = -^ 3 . 2) Скориставшись головною властивістю кореня і властивістю 1, одержимо: V 2 7 - W = V ^ -V 3 ^ = V ^ - V 3 = V 2 ^ = V8l = 9. 3) Внесемо множник з під знак арифметичного кореня третьо го степеня: V s W =

Згідно із властивістю З,

Застосовуючи головну властивість кореня, дістане мо:

Отже,

■

Відповідь. 1) -^ 3 ; 2) 9; 3) ^ . Якщо потрібно перемножити або поділити корені з додатних чисел з однаковими показниками, то, згідно із властивостями 1 і 2, достатньо перемножити або поділити їхні підкореневі вирази і записати добуток або частку під знаком кореня з тим самим по казником.

Р о з д іл і. ФункцГі, їхні властивості та графіки

Якщо ж показники коренів, що перемножуються або діляться, різні, то необхідно їх привести до спіль ного показника. Це робиться на підставі головної властивості кореня, тобто кожний показник кореня множиться на підібраний додатковий множник од ночасно з піднесенням підкореневого виразу до того самого степеня. За спільний показник слід взяти най менше спільне кратне показників коренів, що пере множуються або діляться.

П риклад

10. Подати вираз у вигляді кореня з деякого числа:

1 ) ^2 . «/ 5 ; 2 ) ^ . □ 1) Оскільки множники є коренями різних степенів, то при ведемо їх до спільного показника. Найменшим спільним кратним показників З і 4 е число 12. Показники коренів слід помножити на додаткові множники: 12 : З = 4, 12 : 4 = 3. Згідно з головною властивістю кореня, маємо: ^ ■Vs =

Користуючись властивістю 1, перемножимо отримані корені з однаковими показниками: = '^2' -5" = '^2000 . 2) Враховзгючи те, що найменшим спільним кратним показни ків коренів, тобто чисел З і 6, є число 6, то, згідно із головною влас тивістю кореня, матимемо:

VЗ

Відповідь. 1) ^^2000 ; 2) 7 з . 9

Використовувати властивості 1—4 при перетворенні виразів з коренями слід дуже обережно, обов’язково перевіряючи виконання умов, за яких вони справ джуються. У супротивному випадку можна одержа

ти неправильний результат. Наприклад = yfa лише при а > 0. При від’ємних значеннях а ця рівність е неправильною. Щоб пе реконатись у цьому, підставте, наприклад, а = - 1, і подивіться, якого вигляду набуде права частина рівності. Якщо а < О, то для застосування властивості 4 необхідно спо чатку перетворити корінь;

= Ш-а) . Оскільки — а > О, то до

К орені п-го степ ен я

останнього кореня можна застосувати властивість 4:

= ^ { -a f = sTa. Приклад

11. Винести множник з-під знака арифметичного

кореня: 1) у[ба^^ (а>0, Ь> 0); 2) □ 1)

( а>0, Ь< 0).

= а%у[ба^, оскільки а > О, Ь > 0. 2) ки а > 0 ,6 < 0. ■

■л /^ •\[ба^ =

Ьл/баЬ^ = -а^Ь^баЬ^, оскіль

В ідповідь. 1) а%у[ба^; 2) -а^Ь^баЬ^. П р и к л а д 1 2. У виразі bifa внести множник під знак кореня, якщо Ь < 0 . □ Оскільки Ь < О і |Ь = =

, то -Ь =

Таким чином,

■Va = -^Ь'^а , згідно із властивістю 2. ■ В ідповідь. ~^Ь*а .

Упнтрольні запитання

1°. Які З наступних чисел є арифметичними коренями відповід ного степеня: 2°.

а) б) в) г) Як записати корінь тг-го степеня звід’ємного числа через арифметичний корінь того самого степеня: а) ^Аї5; в) Чому дорівнює значення виразу: а°) (

4°.

Чому дорівнює а) ^8-27-125;

в)^ ( - 3 7 f ;

г)

значення виразу: б)

1000• — ■64; ^/

в) ^16-81-10000;

1000 81 27 81 е) д) М625’ (64' ' V 216 0,0256 5°. До якого спільного показника слід звести корені при множен ні або діленні: а) ^ і б) ^ і в) ^2 і г) і г)

■л .•ж

б°) fF -,

т) t p i l

Р о з д іл і. ФункцГі, їхні властивості та графіки

За яких значень букв, що входять до виразів, справджується рівність:

а) =а; б) у[а^ = - а ; 7*. Чи правильною є рівність; а) л/а^ = а\[аЬ;

б)

в) sfa^ = а ; г) \[аЬ = в)

= a^fab;

= оЬл/а ?

І Ш Задачі 82°. Вкажіть проміжки, на яких зростає і на яких спадає функція: 1 ) у = х^; 2 ) у = х^-, = 4 ) у = -х*-, 5 )y = a-xf-, 6 ) y = (x + 2 f . 83. Дослідіть на парність і непарність функцію: Г ) у = х^+2; 2°) у = - х ^ + 2 х ^ - х ; 4г® 3°)з' = ------ ; 4) :У= л : ® +JC+1. х-1 84. Побудуйте графік функції: l “)>- = ( x - 2f ;

2°)у = х^-2-

3)у = {х-ЗУ+2.

85. Скільки розв’язків має рівняння: Г)х^=3-х;

2° ) sf x=x*-

86. Розв’яжіть рівняння: 1)хЗ = 64; 2)^3 = -6 4 ;

3°)x®+l = i ; X 3)

= 625;

= |л:|?

4)х" = -625.

87°. Знайдіть значення виразу: 1)^-^500;

2 )V 3 ^ Vi;

5 ) ^ ;

3) J - 1 — ; V iZo

6) ^0,027-3® ; 7) ^4 8- 27 ;

4) ^3®-4® ; 8) ^162-48.

88°. Подайте вираз у вигляді дробу: 1) ?

V27 89°. Обчисліть: 1) 90.

Ч 2)

і- ’ 3)

:^ ;

4) ^

:з \4

Подайте вираз у вигляді кореня з деякого числа: 1°) фіЕ;

2°) ФІЇО; 3°)

4°)

К орені п-го степ ен я

91. Розв’яжіть рівняння: 1) V ^ -0 ,2 = 0 ; 2) ^ + 3 = 0 ; 3 ) ^ - 2 = 0; 92. Спростіть вираз: 1° ) з Ц ^ ;

4) ^

+ 3 = 0.

2°) ^ / 2 4 ^ ;

3) ^ / ї ^ , а > 0 ; 4 ) ^ 1 ^ , с < 0 .

2°)

93. Скоротіть дріб: а- 8 і Ь

%/?+1 л/а+1 \[а-9у/Ь 94. Винесіть множник з-під знака кореня: 1°)

2°) V i05;

3) ^ /б 4 ^ ;

8а-1

4). 4^ ^ + 2^ + 1 4)

;

5) ^ , а < 0 ; 6) ; 7) V l6a®6" . 95. Внесіть множник під знак кореня: Г )-5^5; 2)Ь^,Ь<0; 96. Спростіть вираз:

3) аЬІІ2,а>0,Ь<0-,

А) Ь іГь.

1°) 2^/5-2^/45 + 2^ /^ ;

2°) ^

3°) 4 ^ + ^ / ї ^ - ^ / Ш - ^ - ,

4°) (n/12 + n/T5 + л/2?): л/Ї5 ;

+V l6 2 -3 ^ -2 ^ ;

( ^ - 3 ^ ) ( ^ + 3^8 + 9 ^ ) ; 6 ) ( # - ^ ) ( V 3 + V27);

7) (V3 -

- 4^3 ;

97. Знайдіть область визначення функції: Г ) у = ІІ5х-15; 2°) у = ^ [ ^ ^ ;3 ° ) 3^= 7 ? ^ ;

4) у = } [ ^ . \Іх + 1

98. Потік рідини через поперечний переріз тр5^и обчислюється за формулою: Q = —------8г|

- ^ , де Q — потік, і? — радіус труби, І —

довжина труби, Р-^-р^ — різниця тисків на кінцях труби, ті — в’язкість рідини. Виразіть радіус труби R через інші змінні. 99. Перший член геометричної прогресії дорівнює 2. Чому дорів нює її знаменник, якщо: 1) сьомий її член дорівнює 1458; 2) добуток 11 шести перших членів дорівнює 728; З*) добірок її перших п членів дорівнює Р ?

Розділ 1. ФункцГі, їхні властивості та графіки

^ В п р а в и для повторення 100.

Побудуйте графік функції:

З х +2’

2) у = 3 ^ ^ - , S) у = х^+2; ' " "■ ’ ' - ’

х-1 4*) у = - ^4х-ї

101. Знайдіть множини значень функцій, заданих у задачі 100. 102. В яких точках графіки функцій, перелічених у задачі 100, перетинають осі координат?

П ід с у м о к О сновні поняття

О значення

П риклади

З а стосува н н я

Коренем п-го степе ^ -2 7 = - 3 ня (п є N, П. > 1) 3 числа а називається Корінь четвертого число, д-ий степінь степеня 3 числа 81 дорівнює 3 або -3. якого дорівнює а.

Операція добування кореня п-го степеня є оберненою для опера ції піднесення до п-го степеня.

Арифметичним ко ренем тг-го степеня із невід’ємного числа а називають невід’ємне число, П-ИЙ СТепІЕП. якого дорівнює а.

Поня'і'і'я арифметич ного кореня приводить до однозначності зна ходження невід’ємного кореня 3 невід’ємного числа. Головні твердження

Арифметичний корінь м-го степеня 3 добут ку двох невід’ємних чисел дорівнює добутку арифметичних коренів п-го степеня з цих чисел. Арифметичний корінь п-го степеня 3 дро бу, чисельник якого невід’ємний, а знамен ник — додатний, дорівнює арифметичному кореню /г-го степеня із чисельника, поділе ному на арифметичний корінь тг-го степеня зі знаменника. Якщо показник кореня і показник степеня підкореневого виразу помножити або поді лити на те саме натуральне число, то зна чення кореня не зміниться.

а > 0, Ь > 0.

[а

yfa

а>0,Ь>0.

=Va'", а > 0.

С те п е н е в і функції з р а ц іо н а л ьн и м и показниками

у цьому параграфі розглядається степінь з дробо вим показником. Це дає змогу досліджувати степеневі функції з довільними раціональними показниками, які знаходять широке застосування. ..•'V

1. Степінь з раціональним показником та його властивості

Із означення арифметичного кореня випливає, що коли т — ціле число, п — натуральне і т ділиться на п, то при а > О справджується рівність:

= а . Наприклад, 35

= 3\бо (з’ ) = 3 “

З іншого боку, 3 " = 3 =. Отже, ^

= 3 ^.

ПІ Цілком природним є бажання формулу va™ =a'^ взяти за озна чення степеня з раціональним показником, тобто для довільних цілих т і натуральних п > 1. Степенем додатного числа а з раціональним показ ником

де т — ціле число, п — натуральне, більше

від одиниці, називається число \fa^. Позначення степеня додатного числа а з раціональним показни ком — звичайне: а " . За означенням, а " = п 27‘ з Ц

■ Так, 8®= ^

= 2;

= 3J - = і . \27' 9

Ум оваа>0 викликана тим, що степені з раціональними по казниками визначені за допомогою операції добування ко реня, яка не завжди виконується для від’ємних чисел.

'J Математика, 10 кл.

Р о з д іл і. Функції, їхні властивості та графіки

Степінь з основою, що дорівнює нулю, визначається лише для т додатного дробового показника. За означенням, О" = О, де т, є N: 03 = 0“'" = О . Степені з раціональними показниками мають ті самі власти вості, що й степені з цілими показниками. Я кщ о р і д — р а ц іон ал ьн і ч и сл а і а — д од а тн е ч и сл о, то сп р а в д ж у ю ть ся сп іввідн ош ен н я : а” а" = ( в л а с т и в і с т ь 1); :а'^ = а”'” ( в л а с т и в і с т ь 2); ( а'’ У = а”” ( в л а с т и в і с т ь

3).

Якщо р — раціональне число, а і Ь — додатні числа, то справджуються співвідношення: {аЬу = а ‘’ ■Ь'’ ( в л а с т и в і с т ь

4);

( в л а с т и в і с т ь 5). [Ь Ь” Із властивості 1 випливає, що для а > О і р є Q виконується рівність: а'’ Справді, а’’ ■а ’’ = = а° = 1. Із властивості З випливає, що для а > 0 , p e Q , ? г є К , м > 1 ви конується рівність; Va^ = a ". За допомогою вказаних властивостей здійснюють обчислення і перетворення виразів, які містять степені з раціональними по казниками. з

3 4

_J_

Наприклад, 81< ; 81^ =8V' ^ = вГ^о = ( з ' р ' > = 3

= 35

Приклад

1. Обчислити: 1

,____ І Л l)V ^ -5 ^ :2 '‘;

193 . «З 2)

, ,2 3) (1-^2°’®) -2^'^

03 □ 1) Скористаємось означенням степеня з дробовим показни ком і властивостями 1 і 2:

2) ком:

Згідно із властивостями 4 і 5 степеня з дробовим показни і

123-63 12-6 = 83 = 2. 1 9 93 3) Скориставшись формулою квадрата суми двох виразів і влас тивостями 1 і З степеня з дробовим показником, одержимо: (і + 2°’5 - 2‘'^ = 1 + 2 ■2°'^ + (2°’®)' - 2'-' = 1 + 2^"°’®+

- 2^■®=

l + 2^’®+2-2^•® =3. ■ В ідповідь. 1) 10; 2) 2; 3) 3. Обчислення степенів із раціональними показни ками зручно виконувати за допомогою калькуля тора. П р и к л а д 2. Населення міста нараховує 225 тисяч мешканців і зростає щорічно на 3% у порівнянні з попереднім роком. Яким стане населення міста через 5 років?

□ Населення міста ш;орічно збільшується в 1,03 рази, і через рік воно нарахов5^атиме 225-1,03 тисяч чоловік. За наступний рік воно знову збільшитьсяв 1,03 рази і дорівнюватиме 225 1,03-1,03 = = 225 •(1,03)® тисяч чоловік. Міркуючи аналогічно, дістанемо, ш;о населення міста через 5 років збільшиться до 225 (1,03)® « 261 ти сячі чоловік. Для обчислень ми скористались калькулятором. ■ В ідповідь. » 261 тис. П р и к л а д 3. Швидкість проникнення води у ґрунт обчислюєть ся за допомогою експериментально встановленої формули: _і

v = lb + bt\ де D— швидкість проникнення води у ґрунт, мм/год; t — час, год. Знайдіть значення v при t = 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2,0; 5,0. □ Для обчислень можна скористатися калькулятором. В ре зультаті дістанемо:

100

Розділ 1. Функції, їхні властивості та графіки

0,1

0,2

0,5

1,0

2,0

5,0

30,8

26,2

22,1

20,0

18,5

17,3

■

Д і^пнтрольні запитання 1.

Як подати степінь з дробовим показником у вигляді кореня; з з _2 Н 1? а) 5^ 72; 4^; 3“’^ IQ-"’"; б) а^; Ь^- с°'^; d m =? Як записати у вигляді степеня з раціональним показником вираз:

а) # ■ ; б) ^ ; в) # Д ; 3°. Які з виразів не мають змісту: а)0^;

б)3«;

в)(-3)°;

г)

а > О;

г) (-3)^;

ґ)

4°. Як подати у вигляді степеня вираз: 2

а) аб ■а 5.

:а*;

в) а

1 1 г) а з- ьз ?

При яких значеннях л: мас зміст вираз: а)

б)

б) л/х;

в)

г) х ґ) лг®; д) 1 Як обчислити значення 157^ на калькуляторі, який виконує тільки чотири арифметичні дії і добування квадратного коре ня? 2. Властивості і графіки степеневих функцій з раціональними показниками

Властивості і графіки степеневих функцій = дс“, де а — деяке раціональне число, залежать віц значень показника степеня а. У § 5 розглядались властивос ті і графіки степеневих функцій з натуральними показниками. Розглянемо тепер степеневі функції з цілими від’ємними показ никами, тобто функції виду у —дг^, у = дг^, у = лг®, у = хг* іт. д. Спо чатку дослідимо функції з непарними від’ємними показниками З» = з /= хЛ = г«, ... . 1 Функція у або у = —, вже вивчалась раніше (див. § 3). X

Вона визначена для всіх х, крім О, є непарною, спадає на кожному з проміжків (-со; 0) і (0; +оо). Її графіком є гіпербола (див. рис. 67).

101

С тепеневі ф ункції з рац іон ал ьн и м и п оказн икам и

функції у у — лг®, ... мають аналогічні властивості, їхні графіки мають вигляд, поді бний до графіка функції у = - .

Тепер розглянемо степеневі функції з пар ними від’ємними показниками, тобто функції виду у - хг^, у - хг\ ... . функція 3/ = хг^, або у = ^ , визначена для всіх х, крім 0. Вона е

— а— Рис. 96

парною, оскільки у{-х) = ——^ = ^ = у(х). Функція набуває доV ^j X датних значень, тобто її графік лежить у верхній півплопщні. Графік функції не перетинає вісь ординат, бо при х = О функція не визначена. Якщо аргумент набуває додатних значень і зростає, то знаменник дробу ^

зростає, а сам дріб спадає. Отже, функція

у = х^ спадає на проміжку (0; +сю). Оскільки ця функція є парною, то вона зростає на проміжку (-со; 0). Її графік зображено на рис. 96. Функції у = хг*, у = л г« , ... мають подібні властивості і графіки. Приклад

4 . Дано функцію /(х ) = ( х - 2)“^.

1) Вказати її область визначення. 2) Побудувати її графік. 3) Чи проходить графік цієї функції через точку А 4) Знайти точки перетину графіка функції з осями координат. 5) Скільки коренів має рівняння /(х ) = 7? 1 □ 1) Функція J = (х - 2 ) = не визначена в точці х = 2, {x-2f тобто її областю визначення є множина (-оо;2) и ( 2;-і-оо). 2) Графік функції можна побудувати із графіка функції у = \ паралельним X перенесенням останнього на 2 одиниці у додатному напрямі осі абсцис (рис. 97). 3) Щоб перевірити, чи проходить граf

фік функції через точку А 5; — , зна9у

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

102

Йдемо значення функції в точці л: = 5: /(5 ) = ( 5 - 2 ) ^ = 4 ^ = —. 9 Отже, графік функції проходить через точку А. 4)

Вісь абсцис графік не перетинав, оскільки дріб -— ( х - 2/

не

дорівнює нулю при жодному значенні X. Щоб знайти точку пере тину графіка з віссю у, знайдемо значення функції при х = 0: ДО) = (О - 2)“2= (-2 ) ^

Отже, графік функції перетинає вісь у в

ТОЧЦІ з координатами 5) Для відповіді на запитання потріб но встановити, у скількох точках функ ція набуває значення 7. Пряма у = 1 перетинає графік функції у двох точках (рис. 98). Відтак у двох точках функція набуває значення 7. Рівняння має два корені. ■

7=7

У= (x- 2f

~~0 Рис. 98

Вище вже відмічалося, що за допомогою степеневих функцій описуються різні процеси і явища. У дея ких випадках показник степеня а не є цілим чис лом. Наприклад, період Т коливання математично, .1 го маятника є пропорційним довжині маятника І у степені —, а 2 саме: Т = 2к

(1-і

, де ^ - прискорення вільного падіння. Якщо газ U розширюється або стискається без теплообміну з навколишнім се-

редовищем, то його тиск Р і об’єм V пов’язані формулою: V = — , де С — деяка стала. Зокрема, для повітря ця формула набуває ви гляду: V = ■3-1.4 . Тому корисно знати властивості степеневих функцій J = х“ , коли показник степеня а не є цілим числом. В

З ал еж но від в л а сти в остей ф ун кц ії ви діл яю ть тр и ви падки: 0 < а < 1, а > 1 і а < 0.

103

Степеневі функції з раціональними показниками

Нехай О < а < 1. Це, наприклад, функція у = . За означенням 1 степеня, =у[х . Властивості і графік функції у = 4х розгляда1 лись у молодших класах. Оскільки вирази і yfx визначені при тих самих значеннях х, а саме при х > О, і набувають при однако вих значеннях X однакових значень, то можна стверджувати, що

Г-

функції J = х^ і у = ^х є рівними. Тому функція J

має ті самі

властивості, що і функція у = у[х,а саме, вона: 1) визначена на проміжку [0; + оо); 2) набуває будь-яких невід’ємних значень; 3) має єдиний нуль х = 0; Ук 4) зростає; 5) є неперервною. Її графік проходить через точки з коор динатами (0; 0) і (1; 1) і має вигляд, як на 1 рис. 99. Функції J = х“ з будь-яким показ- -q ^ ником О < а < 1 мають аналогічні властивос Рис. 99 ті і подібні графіки. Нехай а > 1. Нагадаємо, що а не є цілим числом. Розглянемо, наприклад, функцію у = х^. Згідно з означенням степеня, вона задана на проміжку [0; + оо). Розглядаючи таблицю значень функ ції, можна помітити, що більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Можна припустити, що функція є зрос таючою. Це насправді є так, хоча доведення ми не наводимо у зв’язку з його складністю. 1 1 4 9 4 9 1 1 0 8 27 1 27 8 Графік функції проходить через точки з координатами (0; 0) і (1; 1) і має вигляд, як на рис. 100. Такі самі властивості і подібний графік мають усі степеневі функції з показником, більшим від 1, і таким, що не є цілим числом. І, нарешті, типовий графік степеневої функції з від’ємним по казником, який не є цілим числом, зображено на рис. 101. Опи шіть за графіком основні властивості цих функцій. X

Розділ 1. ФункцГі, їхні властивості та графіки

104

І І Z О

Рис. 100 Приклад

5. Дано функцію у = ( х - 2)1'*.

1) Вказати її область визначення. 2) Побудувати її графік. 3) Визначити кількість коренів рівняння (х - 2)^'* = □ 1) Область визначення функції знаходиться з нерівності л: - 2 > О, тобто D(y) - [2; + оо). 2) Графік даної функції можна одержати паралельним перене сенням графіка функції у = на 2 одиниці у додатному напрямі осі X (рис. 102). 3) Побудуємо на одному рисунку графіки функцій у - (х - 2у-* і у = лг®’* (рис. 103). Графіки мають одну спільну точку, рівняння має один корінь. ■

Рис. 103 П р и к л а д 6. Залежність максимальної інтенсивності опадів від їхньої тривалості в деякій місцевості описана за допомогою фор мули:

/ = 13Д-Г°'“ , де / — максимальна інтенсивність опадів, мм/год; t — тривалість опадів, год. Знайти:

С тепеневі ф ун кції з р ац іон ал ьн и м и п оказн икам и

105

1) максимальну інтенсивність опадів при їхній тривалості: 0,5 год; 1 год; 2 год; 2) при якій тривалості опадів максимальна інтенсивність дорів нюватиме 3,6 мм/год; 3) при якій тривалості опадів вища максимальна інтенсивність: 2 З при = - год чи при к = - год. □ 1) ДО, 5) = 13,1-0,5-°“ «19,3; 7(1) = 13,1 •Г‘’ “ =13,1; Д2) = 13,1 ■2-®'®® » 8,89. 2) Запишемо рівняння, яке необхідно розв’язати для відповіді на запитання: 13,1 і = 3,6. Знайдемо значення виразу з лівої части13 1 13 1 ни, який містить невідому величину: = 3,6; ^ « 3,64; t' 3,6 25

(25*3,64. Оскільки

11 V 4

_ *25 14 _

= t, обидві частини останньої

25 — рівності піднесемо до степеня — : і«(3,64)і4 » 10,0. Отже, трива лість опадів становить приблизно 10 год. 3) 2 13J

Оскільки функція >1

спадна при р < О і

уР

2 З —< —, то

v4.

2 . В ідповідь. 1) »19,3; 13,1; « 8,89; 2) « 10 год.; 3) при t = — інтен3 сивність вища.

Д і^питрольні запитання 1°. Які з наведених фзтікцій невизначені при л: = О і є парними: а ) з' = х"®; б) у = ^ ) у = х ‘^\ г ) у = у/х; ґ) з» = 2°. Які з наведених функцій зростають на проміжку (0; + сю): а)

= х '^ ',

б)

= х~*-,

b )j'

=x^

г)

у = х^;

ґ ) у = - ~ ? X

3°. На якому з рис. 104, а)-г) зображено графік функції:

Рис. 104

На рис. 105 зображено графіки функцій f{x) = x^'^ і g{x) = x~^'^. Скільки коренів має рівняння f{x) = g{x)l 5°. Яке з чисел більше: а) (-15)-“ чи (-12)-4; ^5Л-з чи б) .5, в)

чи v6 y

Чи перетинає графік функції у = x ‘^ пряма; а) J = 0; б) З' = 1; в ) у = - 1; г) х = 0; ґ) х = 1;

д )х =

- 1?

Чи перетинає графік функції у = х^ пряма: а )у = 0; б ) з ' = 1; b ) j = - 1; г ) х = 0; ґ ) х -

1 ;

д ) х = -і?

8. 9.

Яких з наступних значень може набувати функція у = 100;- 2? Яке з чисел більше: / 2.6 ■/ 2,5 V -2,5 ч l\-2.5 (7^ (7^ (2^ f3 — — • — ЧИ ЧИ а) б) — І9 , I5 j І 8»;у V в) (0 ,29 2 )'°' чи (0,293)“‘’''?

10. Чи є функція у = x f зростаючою, або ж спадною, якщо: а)р=1,6; б ) р = 0,9; в )р = - 0 , 7 ? 11. Скільки розв’язків має рівняння: 5

а) =х б) X® = X ®? 12. Якою є множина значень функції: а) у = х^;

Є) у = х

в) у = х^;

г) у = х ®?

: 0;

107

С тепеневі ф ункції з р ац іон ал ьн и м и п оказн икам и

р і Задачі 103°. Обчисліть без використання обчислювальних засобів; з

1)81Ї;

2)325;

5"^ :

;

3) 16'’'^''-0Д25-^

2~^-2^ V

104.

Зобразіть у вигляді степеня: з

Г)

^ -V

20) ^-0,2 . у , 4.

а" \ /

; 7) W

5) 105.

Г _iiVl ЗО) X з

-ПЬЧ

Ь\

Спростіть вираз: 1

зЛ

а 1°) 3°)

2°)

1-а

-1

f ® ^ +1 + 1;

1 2 ' 1 2 2 1^ 4) а^Ь з аЧ^+аЧ~~^

4а- Ь 2а^-Ь^

6) с ' у - " ) ^ ; а® -Ь^ 106. Обчисліть за допомогою калькулятора: 5

1) 3° “®';

2) 2,19^;

3) 0,67‘ “ ; 4) 15,7®;

5) ^8,345 .

107. Чи проходить графік функції f{x) = x^ через точку з коорди натами: 1) (8; 4);

2) (4; 8);

3) (2^2; 2);

4) (2; 2^/2)?

108. Знайдіть точки перетину графіка функції у - f(x) з осями координат, якщо: 1°) у = іх + 2)-і;

2°) у = :г^-1-,

3) f(x) = (х -1 )5 ;

5) fix) = (л: + 1) з ;

6) f{x) = { х - 2) ' з .

fix) = (ж + 2 ) з ;

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

108

109. Знайдіть область визначення функції: 1°)у = ( х- ЗГ;

2°)у = {х-3)-^;

3 ) у = {х + 3)^-,

4 ) y = (x + 3) 5;

5)з' = ( 3 - х ) 4 ;

6) ^ = (5-д:)5.

110. Дано функцію у = х^. 27

1) Знайдіть значення функції в точках

= — , Х2 = (0,5)” .

2) Чи проходить графік функції через точку а | і6;2^ | ; точ ку Б (5 “^;5); точку 3) Чи набуває функція значення 2; —2; О? 4) Побудуйте графік функції і по ньому опишіть її головні влас тивості. Вкажіть область визначення і множину значень. Чи є функція монотонною, парною, непарною, неперервною? 5) Скільки коренів має рівняння = - 1; х'-'^ = 3; = 2 - х? 6) Порівняйте числа

• V4 7) Вкажіть найбільше значення функції на проміжку [8; 27]. 111. Побудуйте схематично графік функції: l ° ) j = (x+l)-2; 2°)у^ог^+1\ 3°)з/ = 2лгЧ-2; 4);у = г ^ - 2 ; і

ь ° ) у = х^-,

6° ) j = x 2;

70) ^ = ^0,1.

9 )j =x^-2;

10)у = (х-2)5;

112. Розмістіть за зростанням числа: 0,6 0,6 0.6 Г2 ^ 2) 5 > 1) ’ ^5, .3 , .5 , 113. Скільки коренів має рівняння: 1) х^+1 = х

8) j ' = (x + 1)5;

11)у = х'«+1.

З*) -х'б =2х-ьЗ? 1 114. Знайдіть степеневу функцію у = ах^, якш,о її графік проходить через точку А(32; 1). На одному рисунку зобразіть 1 графік знайденої функції і графік функції у = х^. 2 ) х ^ = { х + і У;

115. Дано функцію у = 1) Вкажіть її область визначення.

109

С теп еневі ф ун кції з р ац іон ал ьн и м и п оказн икам и

2) Дослідіть її на парність і непарність. 3) Побудуйте її графік, використовуючи графік функції 1 у= 116. Швидкість різання і стійкість різця пов’язані залежністю: 350 V= , де У — швидкість різання, м/хв; Т — стійкість різ ця (час між двома переточками), хв. 1) Знайдіть швидкість різання при Г = 40 хв. 2) Якою буде стійкість різця при швидкості різання 400 м/хв? З*) Знайдіть залежність стійкості різця від швидкості різання. 4*) Чи існує оптимальна швидкість різання, тобто швид кість, для якої стійкість різця найбільша? 117. Об’єм куба дорівнює V. Користуючись степенем з дробовим по казником, виразіть через об’єм V: 1) довжину ребра куба; 2*) плошу S грані куба; З*) плошу поверхні Р куба.

П ід с у м о к О сновне поняття

г Означення

Геометрична інтерпретація, приклади

Степенем додатного чис ла а з раціональним по- 83 = ^ = 2; т казником — , де m — щле п 27^3 = ^27“' = число, п — натуральне, більше від одиниці, нази = •/ ‘ вається число Va'". V27' 9‘

Застосування Узагальнення по няття степеня дає можливість розши рити запас функцій для моделювання реальних процесів.

Головні твердження

а” ■а'' = a ’‘^\a>Q.

: а ’ = а " ' ’ , а > 0.

[а”)" =а^\а>0. = — , а > 0, 6 > 0.

Го т у є м о с ь до те м а т и ч н о г о о ц ін ю в а н н я з тем н «Функції, їх н і властивості та графіки»

Завдання для самоконтролю

1°. Відомо, що крива проходить через точки А (1; 0) і В(1; 1). Чи може ця крива бути графіком деякої функції? 2°. Чи проходить графік функції у = yfx через точку з координа тами (4; -2 )? X —\

3°. Якими е точки перетину графіка функції у = -----

Зл:+ 2

з осями

координат/ Якою є область визначення функції: 04 ^+2 а°) J = - і ---х^+1 х^- 1 5°. Яка з наступних функцій є парною (непарною): &)у- х^ + х\ б)у = Х ^ - 1 - , й в) з/ = + 1- г) + X? 1 6. На рис. 106 зображено графік функції t ' ■ if к І ^г \ 1 0 / \ J = fix). \ / L а°) Якою є область її визначення? \ б°) Чи е функція парною? Непарною? 1 L J І в°) Скільки нулів має функція? Рис. 106 г°) За яких значень х функція набуває у. . додатних (від’ємних) значень? ґ) Чому дорівнює сума довжин усіх проміж S ків спадання функції? д°) Якою є множина значень функції? е°) Чому дорівнює найбільше (найменше) 0 і значення функції? є) Скільки коренів має рівняння f(x) = 1? 7. Чому дорівнює кутовий коефіцієнт пря мої, зображеної на рис. 107? Рис. 107 4.

111

f r Г оту єм о сь д о те м а т и ч н о г о о ц ін ю ва н н я з те м и

Яким є рівняння прямої, зображеної на: а°) рис. 108, а); б°) рис. 108, б); в) рис. 108, в)? І

■ \ 1

ч 1\ і

t-1і

\ х\

L. L.,. 0

б)

а)

35 \ с 1ч

*х'

в)

Р ис. 108

9°. Зростає чи спадає лінійна функція у = -2 (1 - Зх)? 10°. Скільки нулів має функція: а) J = 0,5х^ - X + 1; б) у = 0,5х^ + х - 1; в) у = 0,5х^ - 2х + 2? 11°. Якими є координати вершини параболи: а )у = -(х + 2)2; б) j - 4х + З? 12. Яким є найбільший проміжок, на якому зростає функція: а) у = 2х^ - Зх + 4; б) у = -х^ + 4х - 1? 13. Яким є найменше значення функції у = 2х^ — 8х + 1: а) в об ласті її визначення; б) на проміжку [0; 1]? 14. Якою є множина значень функції: а)у = Зх^ - 6х + 2; б) у = -Зх^ - 6х + 2? 15°. На якому з рис. 109, а)-г) зображено графік функції у = ~Jx + 2 ?

в)

г)

Рис. 109

16°. На якому з рис. 110, а)-г) зображено графік функції з' = х^ + 2? і

1 і 1

i n '

І/

■

)

\і /

1 1

\ - 2 . [ ( 1

б)

21 1 0 1 в)

Рис. 110

г' - :

і 0

г)

її

112

Розділ 1. ФункцГі, їхні властивості та графіки

17°. Скільки коренів четвертого степеня має число: а) 3; б) -З? 18°. Скільки коренів п’ятого степеня має число: а) 3; б) -З? 19°. Який з виразів не має змісту: а)

б) V=2 ;

в)

20. Чи правильно, що: а) = а; б) 21. Чому дорівнює значення виразу: а) ( Щ - ,

б)

г) ( Щ - ,

ґ) ^/Ї2Ї - ^ ;

= а? в)

^ ( - 2) ;

Д)

22. Які з наступних чисел є ірраціональними: а) б) ^9; в) г) ^16; 23. Які з наступних функцій є спадними: б

д)

а) у = х б) у = х 24. Чи є правильною нерівність: а) ( 0 ,5 f" > { 0 , 2 f ;

ґ) і/Ї25;

в) j =

г)

б) (0,5)"^ > (0,2)""^; в) ( 0 , 5 f > ( 0 , 2 f ? q

25°. Обчисліть: 36 ^ • 3^ 8 26. Подайте у вигляді степеня вираз: а)

(o'*) 2;

б)х^: х^;

в)

Відповіді до завдань для саімоконтролю 1. Ні. 2. Ні. 3.

0; - -

; (1;0). 4. а) R-, б) ( -о о ;-і )и ( -1 ;і )и ( і;+ о о ); в) 1 < х < 2 .

5. Парна: б); непарна: г). 6. а) [-2; 5]; б) ні парною, ні непарною; в) 3; г) f(x) > О при X є (-2 ; -1 ) U (3; 5); /(х) < О при х є (-1 ; 3); ґ) 4; д) [-2; 1]; е) 1 і - 2 ; є) 2 7. л/з. 8. а) у = 3; б) у = 2х + 2; в) 3^ = -X + 2. 9. Зростає. 10. а) 0; б) 2; в) 1 11. а) (-2; 0); б) (2; -1 ). 12. а)

— ;+оо

; б) (-® ;2 ]. 13. а) -7 ; б) -5 . 14. а) [-1;+оо)

б) (-® ;5 ]. 15. Рис. 109, б). 16. Рис. 110, в). 17. 1) 2; 2) 0. 18. 1) 1; 2) 1. 19. б) 20. а) Ні; б) так. 21. а) - 2 ; б) - 2 ; в) 3; г) 3; ґ) 11; д) - 8 . 22. а), б), ґ), д). 23. а) і б) 24. а) Так; б) ні; в) так. 25. 0,25. 26. а) а ^ б) х; в) |а|ї

Г оту єм ось д о т е м а т и ч н о г о оц ін ю в а н н я з те м и

113

Зразок контрольної роботи № і

На рис. 111 зображено графік функції у = Дх). Знайдіть: 1°) область визначення функції; 2°) проміжки її зростання і спадання; 3°) найбільше і найменше значення функції; 4°) множину її значень; 5°) кількість коренів рівняння Дх) = 0,5; 6) нулі функції у - Д2х).

Дано функцію f{x) = (х - і ) ^.

1°) Знайдіть область визначення функції. 2°) Яким є її значення в точці х = ^ + 1? 3°) Знайдіть точки перетину графіка функції з осями коордшіат. 4°) Побудуйте її графік. 5) Скільки коренів мас рівняння /(х ) = х^ ? Обчисліть: 1 з оЗ. 1°) 8 з -2 2) 27

Розділ 1. ФункцГі, їхні властивості та графіки

114

Найпростіші властивості функцій Парні і непарні функції

Таблиця 8 Непарні функції

Парні функції

Область визначення функції симетрична відносно початку ко ординат f{-x) - fix) для будь-якого X із об Д-х) = -Дх) для будь-якого X із ласті визначення функції. області визначення функції. Графік функції симетричний Графік функції симетричний відносно осі у. відносно початку координат. У: У=[М

А А,

-а

аX

у=!М ах

М онотонність функцій

Таблиця 9 Монотонні функції Зростаюча

Спадна

Зростаюча функція: ^2 > Хі => Дх^) > fix) (більшому значенню аргумен ту із області визначення функ ції відповідає більше значення функції).

Спадна функція: ^2 > Хі => Дх^) < fix). (більшому значенню аргумен ту із області визначення функ ції відповідає менше значення функції).

У fix,)

у=Пху fix,)

>' 2

Хі

/Ui)

/(^2)

Готуємось д о тем атичного о ц ін ю ва н н я з теми

115

Читання графіка функції

Таблиця 10

Область визначення функції — п р о е к ц і я г р а ф і к а н а в і с ь X.

Нулі функції —

абсц и си точ ок

п е р е т и н у г р а ф ік а ф у н к ц ії з в іс с ю X.

Проміжки функції — ф у н к ц ія

знакосталості п р о м іж к и ,

н абуває додатни х

в і д ’є м н и х з н а ч е н ь .

де або

X j, х^, х^ - н у л і ф у н к ц і ї fix) > О х є

[ а ; х ^ ) и ( х 2 ; Хд)

Ох є

(X ji X 2 ) u ( X g ; b ]

fix ) <

Множина значень функ ції — п р о е к ц і я г р а ф і к а н а в іс ь у.

Проміжки монотонності функції. f i x ) / ' X є [X j,X fix ) \

X є [ a , x j , x є [х^ ,Ь

Розділ 1. функції, їхні властивості та графіки

116

Означення степеня

Таблиця 11 Степінь 3 натуральним п є показником

тг > 1 => а" = а •а • • а. ^ аі = а. празів

Степінь 3 нульовим показником

а° = 1, а

Степінь 3 цілим від’ємним показником

а"" = - \ , а ^0, n s N .

Степінь 3 дробовим показником

І— а" = Va'", а > 0, т є Z, п є N, п > 1.

Властивості степеня з раціональним показникоїм

Таблиця 12 Добуток степенів основами

однаковими

а " - а" = a " " ^ д : , з ' є Q , a > 0 .

Частка від ділення степенів 3 однаковими основами

o' -.а^ =

Піднесення степеня до степеня

у s Q , a > 0.

=a^,x,yeQ,a>0.

Степінь добутку

{abj =а^ ■ b \ x BQ, a , b > 0 . / N X у. = ,X Є Q, a, 6 > 0 . \b) b

Степінь частки

Арифіметичний корінь п-го степеня та його властивості

Таблиця 13 Означення Арифметичний корінь 3

а>0, тгеЛ/; м>1=> Va > 0 , (Va) =а. а > 0 , 6 > 0 ^ ^аЬ = ^ - ^ .

добутку

Арифметичний корінь 3

дробу

Арифметичний корінь 3

а > 0,

п,

k Є N, п, k >

арифметичного кореня

Головна властивість арифметичного кореня

а > 0, п , т, k є N, _. => nklmk sa =<Ja ,

п, т ,

k > 1^

ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН Ми починаємо вивчення геом етрії простору, або стереом етр ії (від грецьких «стхєрєо(^» — просторовий, «цєтрєа» — вимірюю). Виникнувши з потреб практики, постійно розвиваючись, геометрія є однією з найваж ливіш их математичних наук для описання навколиш нього світу. Знання планіметрії, тобто геом етрії площини, недостатньо для моделю вання ре альних о б ’єктів. Разом з тим, при вивченні стереом етрії ми б удем о спи ратись на планіметрію, використовуючи ї ї поняття, факти, методи. Так, метод побудови стереом етрії — аксіоматичний — уже використовувався в планіметрії. Я к і в планіметрії, основними о б ’єктами вивчення будуть гео метричні ф ігури — ідеалізовані образи реальних ф ізичних о б ’єктів. Деякі з цих ф ігур (такі, як точка, пряма, трикутник тощо) вже вивчались у геоме трії, хоча раніш е вони розглядались на площині. З іншими «неплоскими» ф ігурами — такими, як куб, паралелепіпед, куля — ми зустрічались і в математиці, і в інших науках, і у практичній діяльності. Стереометрія ви вчає властивості просторових ф ігур та відношення м іж ними. У цьому розділі ми розглянемо варіанти взаємного розміщ ення пря мих, прямої і площини, двох площин. О соблива увага буде приділена від ношенню паралельності між прямими і площинами, яке має важливе тео ретичне і прикладне значення. Будуть також розглянуті основні правила та закони зображ ення ф ігур, які даю ть зм огу розпізнати просторову ф ігуру і виявити ї ї властивості за рисунком.

Г о т у є м о с ь до вивчення тем и «Паралельність пр ям и х і площин»

Таблиця 14 Паралельність і перпендикулярність прямих на площині

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони пе ретинаються під прямим кутом. Відрізки, промені — перпен дикулярні, якщо вони належать перпендикулярним прямим. 6

а Lb

АВ LCD

В IL D

Дві прямі на площині, які на мають спільних то чок, називаються паралельними. Відповідно і — промені, відрізки називаються паралельними, а якщо вони лежать на паралельних прямих. Ознаки паралельності прямих

Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні між собою.

а ± Ь, а 1 с = > Ь\ \ с

Дві прямі, паралельні третій, пара лельні між собою.

а II 6, с II 6 => а II с

Г оту єм о сь д о ви в ч ен н я те м и «П ар ал ел ьн ість п ря м и х і п л ощ и н »

119

Таблиця 15 Трикутник, його елементи і види

Трикутником називається частина площини, обмежена трьома відрізками, які з’єднують три точки площини, що не лежать на одній прямій. Найважливіші відрізки трикутника

Медіана трикутника — відрізок, який з’єднує вершину трикутника із се рединою протилежної сторони.

Бісектриса трикутника — відрізок бісектриси кута (променя, що виходить з вершини кута і поділяє його навпіл) трикутника, який з’єднує вершину три кутника з точкою на протилежній сто роні трикутника.

AD — медіана В

В К — бісектриса Висота трикутника — перпенди куляр, проведений з вершини трикут ника до прямої, яка містить його проти лежну сторону.

ВН — висота Середня лінія трикутника — від різок, що з’єднує середини двох сторін трикутника.

середня

ЛІНІЯ

120

Розділ 2. П аралельність прямих і площин

Т аблиця 16 РІВНІСТЬ трикутників

Трикутники називаються рівними між собою, якщо їх можна сумістити переміщенням (рухом). Позначається рівність трикутників ABC і так: ААВС = ААДС^. Ознаки рівності трикутників

1. Якщо дві сторони і кут, що лежить між ними, одно го трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту, що лежить між ними, другого трикутника, то такі трикутники рівні.

В А,

В,

АВ = А Д , АС = AjCj, ZA = ZAj => ААВС = А А Д 2. Якщо сторона і два прилеглі до неї кути одного три кутника відповідно дорівнюють стороні і двом приле глим до неї кутам другого трикутника, то такі трикут ники рівні. с.

В А,

В,

АВ = AjBj, ZA = ZA^, ZB = ZB^ => ААВС = AA^B^C^ 3. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні. С

В А,

В,

АВ = Afi^, ВС = В^С^, АС = А^С^ ^ ААВС = АА^В^С^

Г оту єм о сь д о ви в ч ен н я те м и «П ар ал ел ьн ість прям их і п л о щ и н »

121

Таблиця 17 П одібність трикутників

Два трикутники називаються подібними, якщо в них відповідні кути рівні, а відповідні сторони про порційні. Позначається подібність трикутників ABC і так: ААВС^ АА^В^С^. Ознаки подібності трикутників

1. Якщо два кути одного трикутника рівні двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

В Л,

В,

ZA = ZA^, ZB = ZB^ => ААВС ~ АА^В^С^ 2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого і кути між ними рівні, то такі трикутники подібні. С, В А.

А АВ

В,

АС

, ZA = ZA^=> ААВС ~ АА^В^С^ ДД AQ 3. Якщо три сторони одного трикутника пропорцій ні трьом сторонам другого, то такі трикутники по дібні.

В А,

АВ АС — ^

АД

вс B ,Q

В,

^ А А В С ~ Д А ,В ,С .

122

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Таблиця 18 Пропорційні відрізки

Теорема Фалеса. Якщо на одній із двох прямих відклас ти послідовно декілька рівних відрізків і через їхні кінці провести паралельні прямі, що перетинають другу пряму, то вони відтинають на другій прямій рівні між собою відрізки.

Теорема про пропорційні відрізки. Паралельні прямі, що перетина ють сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.

Теорема, обернена до теореми про пропорційні відрізки. Якщо прямі, що перетинають сто рони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки, то ці прямі — паралельні.

Середня лінія трикутника паралель на одній із його сторін, а її довжина дорівнює половині довжини цієї сто рони.

АЕ = -А В , CF = -B C = ^ 2 2 ^ E F \\A C , EF = ^AC

Г оту єм ось д о в и вч ен н я те м и «П ар ал ел ьн ість прям их і п л ощ и н »

123

Бісектриса внутрішнього кута три кутника поділяє протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам, а її точки рівновіддалені від сторін кута. А

D ZABD =Z D B C --

^DM=DN, ^ Медіани трикутника перетинають ся в одній точці, яка поділяє кожну медіану у відношенні 2:1, рахуючи від вершини.

AM ^M B,BN =N C,

СК = К А ^ ^ АР _ ЕР _ С Р

PN~ РК~ РМ ~ \

Таблиця 19 Рівнобедрений трикутник

Трикутник називається рівнобедренилі, якщо він має дві рівні сторони. Ці сторони називаються бічними, їхня спільна вершина — вершиною рівнобедреного трикутника, третя сторона — його основою. Властивості

1. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні між собою. 2. Медіана, бісектриса, висота, проведені з вершини рівнобедреного трикутника, збігаються. 3. Бісектриси кутів при основі рівнобедреного трикут ника рівні між собою. 4. Медіани, проведені до рівних сторін рівнобедрено го трикутника, рівні між собою. 5. Висоти, проведені до рівних сторін рівнобедреного трикутника, рівні між собою.

124

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Таблиця 20 Геометрія чотирикутників Означення

Паралелограмом називається чотири кутник, протилежні сторони якого пара лельні. Якщо в паралелограмі рівні суміжні сторо ни, то він називається ромбом.

Паралелограм з прямими кутами назива ється прямокутником. Прямокутник з рівними сторонами назива ється квадратом. Трапецією називають чотирикутник, у яко го тільки дві сторони (основи) є паралель ними. Інші дві сторони називають бічними. Віцрізок, що з’єднує середини бічних сторін, називають середньою лінією трапеції. Властивості

У паралелограма протилежні сторони рівні між собою, як рівними є і проти лежні кути. Діагоналі паралелограма точкою пе ретину діляться навпіл.

Діагоналі прямокутника рівні між со бою.

Діагоналі ромба — перпендикулярні. Вони с бісектрисами кутів ромба.

Тест для діагностики готовності до вивчення т е м и “ Паралельність п р я м и х і площ ин” 1. Кути трикутника відносяться, як 2 : З : 5. Цей трикутник ... 2.

A. може бути будь-яким; Б. є гострокутним; B. є тупокутним; Г. є прямокутним. Сторони трикутника виражаються різними цілими числами; одна сторона дорівнює З м, друга — 2 м. Третя сторона може дорівнювати ... А. ї м ; Б. 4 м; В. 5 м; Г. 2 м. З однієї точки, яка розташована поза прямою, проведено до цієї прямої перпендикуляр завдовжки 8 см і похилу, проекція якої на пряму дорівнює 6 см. Довжина похилої дорівнює ... A. см; Б. 9 см; B. 10 см; Г. величині, яка відрізняється від наведених. У прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 60°, а гі потенуза — 20 см. Чому дорівнює менший катет? А. 10 л/з см. Б. 8 7 з с м . в . 10 см. Г. 8 см. Точка О — середина відрізка АВ, FD Ц АВ. ПоF D рівняйте П Л О Ш .І трикутників ADC і FCB, які до рівнюють S і Sj відповідно. А. S < S^. B .S = S,. Г. Порівняти неможливо. А ОС У рівнобедреному трикутнику висота, яка проведена до його основи, і бічна сторона дорівнюють, відповідно, 12 см і 13 см. Основа дорівнює ... А. 5 см; Б. 10 см; В. Т з їз см; Г. 2 см. Тупий кут паралелограма дорівнює 140°. Кут між висотами паралелограма дорівнює ... А, 80°; Б. 20°; В. 40°; Г. 160°. Плош;а паралелограма ABCD дорівнює S ,a M — середина сто рони ВС. Чому дорівнює плош;а трикутника АВШ Б. I s . 2

В. - S . 4

Г. - S . 4

126

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Бісектриса кута С в паралелограмі ABCD поділяє сторону АВ на відрізки 7 см і 14 см (рахуючи від вершини В). Периметр пара лелограма дорівнює ... А. 56 см; Б. 70 см; В. 42 см; Г. 35 см. 10. Два нерівних відрізки точкою перетину діляться навпіл. їхні кінці послідовно з’єднано. Отриманий чотирикутник є ... A. паралелограмом; Б. ромбом; B. прямок5тником; Г. квадратом. 11. Сторона ромба дорівнює 10 см, одна з діагоналей— 16 см. Друга діагональ дорівнює ...

А. 6 см; Б. Vl56 см; В. \/356 см; Г. 12 см. 12. Через точку даного кола проведено діаметр і хорду, яка дорів нює радіусу. Кут між ними дорівнює ... А. 30°; Б. 45°; В. 60°; Г. величині, яка відрізняється від наведених. 13. Через точку, яка лежить зовні кола, проведено до нього дві взаємно перпендикулярні дотичні. Довжини відрізків дотич них від даної точки до точок дотику дорівнюють 8 см. Радіус кола дорівнює ... А. 4л/2 см; Б. 8 см; В. 4 см; Г. величині, яка відрізняється від наведених. 14. Найбільша і найменша відстані від точки поза колом до точок цього кола дорівнюють 8 см і 2 см. Радіус кола дорівнює ... А. З см; Б. 6 см; В. 10 см; Г. 5 см. 15. Геометричне місце точок, рівновіддалених від вершин три кутника, є точкою перетину ...

A. висот трикі^ника; Б. медіан трикутника; B. бісектрис трикутника; Г. серединних перпендикулярів до сторін трикутника. 16. Внутрішній діаметр труби дорівнює 80 мм, а товпщна стін ки — 4 мм. Зовнішній діаметр її дорівнює ... А. 84 мм; Б. 88 мм; В. 76 мм; Г. 72 мм. 17. Бічна сторона і основа рівнобедреного трикутника не можуть бути пропорційними числам ... А. З і 5; Б. З і 4; В. 2 і 3; Г. 1 і 2.

О сн о в н і поняття й а к с іо м и с т е р е о м е т р ії

Розглядаються основні фігури стереометрії, відношення між ними, їхні властивості.

Ви вже знайомі з одним із розділів геометрії — пла німетрією. У ньому вивчаються властивості плоских t i S геометричних фігур і відношень між ними. Але ми живемо у просторі, в якому — три виміри, на відміну від площи ни. Для його сприйняття і дослідження, для розв’язання життє вих задач знань планіметрії недостатньо. Знайомство з геометрі єю простору вкрай необхідно людині для її загального розвитку і професійного становлення. Геометрія простору— це математична наука про просторові геометричні фігури і відношення між ними, а також про їхні влас тивості. Називають її стереометрією. Геом ет рія — грецьке утісоцєтрга (geometria) — земле впорядкування (землеміряння), від yf] (де) або yfja (два) — земля і цєтрєо) (metreo) — міряю, вимірюю. Планіметрія — від латинського planum — плоска поверхня, площина і грецького (ієтрєю — міряю, вимірюю. С т ереом ет рія — від грецьких отєрєос; просторовий і цєтрєсо — міряю, вимірюю.

(stereos)

Виникнувши з практики, постійно звертаючись до неї в процесі свого розвитку, геометрія стала однією з найважливіших математичних наук для опису навколишнього світу. Основні «діючі особи» в геометрії— геометричні фігури. Вони є абстракціями об’єктів реального світу, в яких відображається лише їхня форма

128

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

і розміри. Інакше кажучи, геометричні фігури є математичними моделями об’єктів навколишнього середовиш;а. Так, наприклад, точку у просторі можна розглядати як математичну ідеалізацію реальних об’єктів — зірок на небі, сліду голки на папері, кінчика олівця тош;о. Точка в геометрії не має звичних розмірів (довжини, ширини, висоти). Вона застосовується для моделювання різних фізичних тіл маленьких розмірів. Безумовно, маленьких віднос но інших тіл (у деяких випадках фз^больний м’яч можна вважати точкою, наприклад, на футбольному полі). Один і той самий предмет може моделюватися різними фігурами в залежності від мети, якою ми при цьому керуємось. Наприклад, можна вважати, що кришка даного стола має форму прямокутного паралелепіпеда, якш;о нам необхідно знайти її масу, користуючись густиною деревини. Але цю саму кришку можна уявляти у формі прямокупшка, якщо нам необхідно придбати скатертину. Геометричні фігури розрізняються за своїми властивостями, вони знаходяться у різних відношеннях між собою: належності, рівності, подібності, паралельності тощо. Як і будь-яка наука, геометрія складається з понять і твер джень, в яких встановлюються зв’язки між поняттями. Нові мате матичні поняття визначають через уже відомі, а твердження до водять на основі раніше доведених. При цьому неминз^е виникає запитання: «А з чого ж починається побудова математичної тео рії?». Відповідь на це запитання знайдено давно. Ще Евклідом, який жив приблизно у ПІ ст. до Н .Є ., створено спеціальний ме тод розв’язання даної проблеми. Цей метод називають аксіома тичним. Його сутність полягає в тому, що деякі основні поняття вважають неозначуваними, тобто такими, яким не даються озна чення. В той же час зміст цих понять відображають у тверджен нях про ці поняття, які вважають істинними. Ці твердження на зивають аксіомами. За яких причин визнається істинність цих тверджень, врешті несуттєво для побудови теорії, яку називають аксіоматичною теорією. Як правило, «довіра» до аксіом ви кликана досвідом їхнього використання в практичній або науковій діяльності. А ксіом а — від грецького а^ісоца (ахіота) — буквально гідність, повага, авторитет — у переносному р озу мінні означає те, що внаслідок свого авторитету не підлягає сумніву, незаперечне.

О сн овні п о н я ття й ак сіом и ст е р е о м е т р ії_______________________________________________

129

Маючи вихідний набір первісних, неозначуваних понять, мож на розпочинати побудову аксіоматичної теорії. Таким чином, аксіоматична побудова теорії здійснюється за такою схемою: / перелічуються неозначувані поняття; / формулюються аксіоми; / визначаються нові поняття за допомогою неозначуваних і раніше означених; / доводяться твердження на основі аксіом і раніше доведених тверджень. Твердження, які доводять в аксіоматичній теорії, називають теореліаліи. На практиці, для зручності роботи з ними, теоре мам надають різних назв, які відображають сутність теорем або їхню роль: властивість, ознака, формула, лема, наслідок тощо. Теорем а — від грецького бєоортща (theorema), від бєсорєю (theoreo) — придивляюсь, спостерігаю — твердження, правдивість якого обґрунтовують за допомогою логіч них міркувань, що спираються на аксіоми або на раніше доведені твердження, або на ті і другі. Корисно аксіоматичну побудову математичної теорії уяв ляти собі як деяку інтелектуальну гру, схожу, наприклад, з грою в шахи. Шахи як гра визначається вибором дошки, скла дом фігур і правилами гри. При цьому жодного значення не мають розміри дошки, форма фігур, їхня назва, а тим більше, з чого вони зроблені. До речі, в шахи можна грати, фіксуючи ходи на папері або в пам’яті комп’ютера. Безглуздо говорити про означення пішака чи короля самих по собі. їхня сутність виявляється в діях по відношенню до інших фігур. Приблизно так само сутність неозначуваних понять в аксіоматичній теорії виявляється в аксіомах. Аксіоми теорії, як і правила гри, — це умовні погодження. Доцільність вибору тієї чи іншої аксіоми може бути підтверджена використанням аксіоматичної теорії у розв’язанні тих чи інших практичних задач. Щоб закласти фундамент для вивчення стереометрії, нам слід ввести основні (неозначувані) фігури стереометрії. Зміст відпо відних їм понять виражатимуть властивості, які характеризують відношення між фігурами. Ці властивості приймаються без дове дення, тобто вони є аксіомами стереометрії. На основі аксіом ми

Математика, 10 к

130

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

з м о ж е м о д о в е с т и НОВІ т в е р д ж е н н я , ЯКІ р о з в и в а ю т ь 1 д о п о в н ю ю т ь б а з о в і в л а с т и в о с т і ф іг у р .

Основними неозначуваними фігурами стереометрії є точка, пряма, площина. Уявлення про них ви отримали, вивчаючи пла німетрію, а зміст відповідних ім понять буде розкрито в аксіомах. Насамперед домовимося відносно позначень і зображень осно вних фігур. Точка і пряма зображаються і ________________ позначаються так само, як і в планіметрії. / / Плопщну частіше зображають за допомогою [________________ / паралелограма (рис. 112, а), бо саме так а) виглядають найпоширеніші фізичні моде лі плопщн: аркуш паперу, кришка стола, класна дошка та ін. Щоб підкреслити без межність плопщни, її іноді зображають як б) ділянку «неправильної» форми (рис. 112, б). Рис. 112 Плопщни позначають малими грецькими буквами: а, р, у тош;о. Поряд з основними неозначуваними поняттями стереометрії будемо вважати відомим з планіметрії зміст таких понять, як від різок і його довжина, промінь, кут і його величина і т.ін., а також понять, що характеризують взаємне розміщення точок, прямих і плопщн: точка А належить прямій І і площині р, пряма І лежить у площині а, площина а проходить через точку А та ін. Відношення належності точок часто позначають знаком є: М е І; М є а, а віцношення належності прямих — знаком с : Zсі а. Запис М й а означає, точка М не належить плопщні а. Аналогіч ний зміст має запис І <2 а. Зображення фігур повинні враховува ти їхнє взаємне розміщення. Наприклад, рис. 113 має унаочнювати те, що точка М н е належить плопщні а, відрізок АВ лежить у плопщні а, а прямі а і Ь не лежать у цій плопщні. Частину прямої Ь на рис. 113, за критої зображенням плопщни а, позначено штриховою лінією. Уся сукупність точок, що розглядаються у стереометрії, утворює простір. Будь-яку час Рис. 113 тину простору, тобто деяку сукупність його точок, називають фігурою.

131

Основні п о н я ття й ак сіом и с т е р е о м е т р ії

Ф ігура — від л ат и н ськ ого figu ra — образ, вигляд. Фігура називається п л оск ою , якщо всі її точки розміщені в од ній площині. З багатьма плоскими фігурами ви вже ознайоми лися, вивчаючи планіметрію. Деякі неплоскі фігури — куб, куля, іщліндр — також відомі вам. Якщо різні фігури мають спільні точки, то кажуть, що вони перетинаються. Тому вираз «площини перетинаються» озна чає, що у пдх плопщн є спільні точки. Перетин, тобто спільну час тину фігур, позначають знаком п : /п а, апр. Будемо виходити з того, що простір у стереометрії міс тить нескінченну кількість площин. Тобто за межами кожної площини існує нескінченна кількість площин, а разом з цим і точок, і прямих. Розглянемо основні властивості, які характеризують неозначуване поняття площини і його зв’язки з іншими основними понят тями. Сх-

Якщо пряма проходить через дві точки даної площини, то вона повністю лежить у цій площині.

с ,.

Через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить одна і тільки одна площина.

Сз-

Якщо дві різні площини мають спільну точку, то їхнім перетином е пряма, що проходить через цю точку.

Через дві довільні точки просто ру можна провести одну і тільки одну пряму. g М атематика, 10 к

В •

а А

132

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Ці властивості, з урахуванням зроблених вище припущень, і візьмемо за систему аксіом нашого курсу стереометрії. Зміст аксіом добре узгоджується з властивостями фізичних об’єктів і величин, які моделюються за допомогою основних гео метричних понять. Справді, спробуйте притиснути до стола кінці добре натягнутої нитки і побачите, що вона щільно прилягає до поверхні стола, зливається з нею. Саме таку властивість моделює аксіома Cj. На трьох ніжках стіл стоїть, не хитаючись, навіть якщо вони мають різну висоту. Стійкість такого стола пояснюється тим, що кінці трьох його ніжок завжди розмішуються у плопщні підло ги і навіть визначають її (аксіома Cj). Натомість стіл з чотирма ніжками іноді може хитатися. Аксіома вказує на один із спо собів задання плопщни. Зрозуміло, що плош;ину однозначно ви значають пряма і точка, яка лежить поза цією прямою, дві прямі, що перетинаються. Обґрунтування цих тверджень буде наведено далі. Рівносильність вказаних способів задання плопщн природ на: маючи три точки, що не лежать на одній прямій, можна по будувати перетинні прямі (навіть три пари перетинних прямих), дві перетинні прямі дозволяють вибрати три точки, що не лежать на одній прямій, і т. д. Нас оточують численні прояви аксіоми С3: по прямій перетинається багато плоских об’єктів (стіни кімнати, деталі яіцика тощо). Легко знайти і фізичні аналоги аксіоми С4. Адже, наприклад, дві натягнуті нитки зливаються, якщо їхні кінці співпадають. Вивчаючи стереометрію, будемо широко використовувати відповідність між об’єктами реального світу, відношеннями між ними та їхніми геометричними образами і відношеннями між ними. Ця відповідність буде слугувати не тільки ілюстрацією геометричних понять і фактів, а навіть і неформальним обґрун туванням їхньої змістовності. При цьому слід мати на увазі, що строгі доведення тверджень існують і при певних зусиллях мо жуть бути побудовані. Відмітимо також, що стереометрія має багато аналогій у плані метрії. Зокрема, подібно до того, як пряма на плопщні розбиває її на дві півплопщни, В

простір розбивається кожною площиною на два півпростори, причому точки А, В належать одному пів-

133

О сновні п о н я ття и ак сіом и ст е р е о м е т р ії

простору тоді і лише тоді, коли відрізок АВ не пере тинав дану площину. Вважатимемо також, що на кожній площині просто ру можна користуватись відомими поняттями і фак тами планіметрії. Поняття точки, прямої, площини, відрізка тощо відносяться до основних у стереометрії, бо з них починається її побудова Але ж головною метою стереометрії є вивчення суто просторо них фігур. Тому, щоб зробити побудову стереометрії змістовні шою, ми з самого початку будемо використовувати деякі прості просторові фігури — куб, паралелепіпед, піраміду, кулю та ін (рис. 114), відклавши їхнє детальне вивчення на майбутнє. Ці фігури ви вже неодноразово розглядали, починаючи з молод ших класів.

Рис. 114 Згадаємо, насамперед, про деякі лгногогранники, що являють собою частини простору, обмежені многокутниками. Мно гокутники, що обмежують многогранник, називають його гранями, їхні сторони — ребрами, а вершини — вершинами многогранника. Куб — це многогранник, який має 6 гра ней і всі вони є квадратами. У нього 8 вер шин і 12 ребер (рис. 115).

Рис. 115

К у б — від грецького х^>Ро(^ (kibos) — гральна кістка, тіла однакової з нею форми були названі кубами.

134

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Паралелепіпед — це многогранник, який має 6 граней, і всі вони — паралело грами, і таку ж кількість вершин і ребер, як куб (рис. 116, а). Паралелепіпед, усі грані якого е прямокутниками, називається пря мокутним паралелепіпедом (рис. 116, б). Куб є окремим випадком прямокутного паралелепіпеда. Його грані не тільки пря мокутники, а навіть квадрати. Паралелепіпед — від грецьких параХХцХоІ^ (parallelos) — паралельний і єтсіп:є5оі^ (epipedos) — рівне, плоске — шестигранник, обмежений шістьма попарно паралельними площинами. Тетраедр — це многогранник, який має 4 грані, що є трикутниками (рис. 117). Якщо всі грані тетраедра є правильними трикут никами, то тетраедр називається правиль ним тетраедром. Тетраедр — від грецьких хЕхра(^ (tetras) — чотири, у складних словах тєтра- (tetra-) і г^ра (hedra) — основа, поверхня, сторона — чотиригранник, усі грані якого — трикутники. Піраміда — це многогранник, у якого одна грань — довільний многокутник, а ре шта граней — трикутники із спільною вер шиною (рис. 118). Перша грань називається основою, а інші — бічними гранями, їхня спільна вершина — вершиною піраміди. Ребра, які сходяться у вершині піраміди, називають бічними. Тетраедр є окремим випадком піраміди. Кожна його грань може слугувати основою.

а)

•t'

»кі«

б) Рис. 116

О сновні п он я ття й аксіом и с т е р е о м е т р ії

[

135

П іраміда — від грецького тгирацк; (pyramis), мабуть, від єгипетського peremus — діагональ основи.

Якщо основою піраміди є д-кутник, то вона називається п-кутною. Трикутна пі раміда — це тетраедр. Якщо основою піра міди є правильний д-кутник, а бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками з вершинами у вершині піраміди, то піра міда називається правильною п-кутною. Зображається вона при п - Б так, як пока зано на рис. 119. Правильний тетраедр є окремим випадком правильної трикутної піраміди. Куля з центром у точці О з радіусом R — це множина точок простору, які знахо дяться від точки о на відстані, що не пере вищує R (рис. 120).

Рис. 119

Рис. 120 Отже, маємо низку основних понять і аксіом стерео•WS метрії. Побудову теорії почнемо з доведення твердження, рівнозначного за змістом аксіомі С^. Ця ------------------ аксіома визначає один із способів задання плош^іни у просторі, що, до речі, дозволяє плопщну, яка визначається точками А, В, С, називати плопщною ABC. Проте за допомогою точок і прямих плопщну можна задати інакше. Досвід підказує, що плопщна однозначно визначається прямою і точкою поза нею або ж двома прямими, які перетинаються. Згідно з правилами по будови стереометрії на аксіоматичній основі, ці твердження необ хідно довести, виходячи з аксіом. 1 (про площину, яка проходить через пряжу і точку). Через пряму і точку, що не лежить на цій прямій, про ходить площина і до того ж лише одна.

Теорема

□ Нехай дано пряму а і точку А, яка не лежить на цій прямій. Візьмемо на прямій а дві точки В і С (рис. 121). Згідно з аксіо мою С^, пряма а — єдина пряма, що проходить через точки В і С.

136

Розділ 2. П аралельність прямих і площин

Оскільки точка А, за умовою теореми, не на лежить прямій а, то точки А, В і С не можуть лежати на одній прямій. Згідно з аксіомою С^, існує площина а , яка містить точки А, В, С, і, відповідно до ак сіоми Cj, ця площина містить пряму а. Отже, Рис. 121 шукана площина існує. Будь-яка інша плопщна |3, яка проходить через пряму а і точку А, містить точки В і С. Оскільки через точки А, В, С можна про вести лише одну плопщну (аксіома С^), то плопщна р збігається з плопщною а. А це означає, що шукана плопщна — єдина. ■ Аналізуючи доведення теореми, неважко дійти висновку, що через кожну пряму проходить нескінченна кількість плопщн. Розташування кожної з них визначається деякою точкою, що не лежить на даній прямій. Це можна проілюструвати, наприклад, обертаючи двері відносно нерухомих завіс. Ще один спосіб задання плопщни сформульовано в наст}тпній теоремі. 2 (про площину, яка проходить через дві прямі, що перетинаються). Через дві прямі, що перетинаються, проходить площина і до того ж лише одна.

Теорема

□ Нехай прямі а і Ь мають одну спільну точку О. Візьмемо на цих прямих довільні точки А і В, відмінні від О (рис. 122). Точки / ^ А, О, В не лежать на одній прямій, тому існує /а ' плопщна а, яка містить ці точки (аксіома С^). Плопщна а містить прямі а і Ь (аксіома С^). 122 Отже, через дані прямі проходить плопщна. Кожна інша плопщна р, що проходить через прямі а і Ь, міс тить точки А, О, В, і, згідно з аксіомою С^, повинна збігатися з плопщною а, оскільки ці точки не лежать на одній прямій. ■ Наступна задача містить твердження, яке буде широко вико ристовуватися при подальшому вивченні стереометрії. З а д а ч а 1. Довести, що у просторі існують чотири точки, які не лежать в одній плопщні. □ Необхідно довести існування чотирьох точок, які не можна помістити у плопщну, тобто, що не існує плопщни, яка проходить через ці чотири точки.

О сновн і п о н я т тя и ак сіом и с т е р е о м е т р и

■'4'

137

—

.D В

а)

б)

Рис. 123 Візьмемо довільну площину а і в ній виберемо три точки А, В, С, які не лежать на одній прямій (рис. 123, а). Оскільки поза площиною а існують точки простору, то виберемо з них довільну точку D (рис. 123, б). Не існує плопщни |3, яка б містила точки А, В, С, D. У супротивному випадку плопщни а і р співпадали би, за аксіомою Cj, і точка D належала б плопщні а. ■ У наведених аксіомах і теоремах йшлося про прямі і площи ни, які задавались тим чи іншим способом. Нам і далі доведеться будувати у просторі різні фігури, спираючись на їхні властивості. Задачі на побудову в стереометрії аналогічні задачам на побудову в планіметрії. Однак, у стереометрії немае інструментарію для по будови плопщни. Та й зображення просторових побудов на плос кому рисунку не завжди адекватно відтворює реальність. Тому у стереометрії під побудовою розуміють доведення можливості всіх кроків процесу побудови. При цьому вважається, що плопщна побудована, якщо визначені три точки, які не лежать на одній прямій, або пряма і точка поза прямою, або дві прямі, що пере тинаються, або ж інші елементи, що визначають плопщну. Для побудови прямої досить мати дві її точки. Природно вважати, що на кожній площині можливі всі побудови, відомі з планіметрії. П р и к л а д 1. Сторона АВ трикутника ABC лежить у плопщні а, а вершина С — поза нею. Точка М ділить відрізок СВ у відношенні З : 4, а точка N ділить відрізок СА у віцношенні 1 : 4, рахуючи від С. Побудувати точку перетину прямої MN з плопщною а.

□ Умовам прикладу відповідає рис. 124, а). Пряма MN лежить у плошдні ABC. Перетином цієї плопщни з плопщною а є пряма АВ. Тому шукана точка перетину розміщена на прямій АВ. Прямі АВ і MN лежать у плопщні ABC і, як це випливає з умови, перети наються. Знайдемо їхню точку перетину, продовживши відрізки

138

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Рис. 124

АВ і MN до перетину в точці К (рис. 124, б). Це і є шукана точка перетину прямої MN і площини а. ■ П р и к л а д 2. Побудувати лінію перетину площини, що прохо дить через вершини Aj, Cj куба ABCDA^B^CJ^^ і середину К ребра ВВ^, з площиною грані ABCD. ^ ^ □ Щоб побудувати шукану пряму перетину, досить знайти дві її точки. ✓ 1 Для знаходження щіх точок скорис\| в таемось розв’язанням прикладу 1. І / Оскільки пряма С^К лежить у плош^ис D L ---2 ні грані ВСС^В^, то точка М перети ну прямих С^Кі СВ є однією з точок / шуканої прямої перетину (рис. 125), а N друга точка N є точкою перетину пря мих АВ і A J iу плопщні грані АВВ^А^. Пряма MN е шуканою. ■ Рис. 125

]

Для введення геометричних фігур, як плоских, так і просторових, можна застосовувати конструктив ний підхід. Цей підхід передбачає побудову фігур з відрізків. Про демонструємо його на наступних прикладах. Нехай у деякій плошдні а маємо відрізок ВС і точку А, що ле жить поза прямою ВС (рис. 126, а). З’єднаємо відрізками всі точки відрізка ВС з точкою А (рис. 126, б). Фігура, що складається з то чок усіх побудованих відрізків, є трикутником. Л В'

Ва)

б) Рис. 126

О сновн і п он я ття й ак сіом и ст е р е о м е т р ії

139

Якщо ж маємо відрізок ВС і по один бік від прямої ВС відкладемо рівні і паралель ні між собою відрізки (рис. 127), то кінці цих відрізків утворюють відрізок AD (доведіть!), а фігура, що утворена з усіх точок цих відрізків, є паралелограмом. Тепер зрозуміло, як у просторі можна конструктивно ввести деякі фігури, напри клад, піраміди, зокрема тетраедри. Візьмемо чотирикутник ABCD в площи ні а, а також точку S поза площиною а. Спо лучимо точку S з усіма точками чотирикут / а А ника ABCD (рис. 128). Сукупність усіх точок відрізків, які споЛ5^ають точку S з точками чотирикутника ABCD, утворює фігуру, яка є чотирикут ною пірамідою. Зазвичай чотирикутну піраміду зображають, як це зроблено на рис. 129. Аналогічно будують піраміди, основами яких є M H OrO KJ^HHKH з довільним числом А сторін. 129 Для вивчення просторових фігур доцільно розглядати перетин цих фігур з площинами. Такі перетини називаються переріза ми, якщо по обидві сторони від площини перетину — січної пло щини — є точки фігури. Неважко переконатися в тому, що пере різами паралелепіпеда чи піраміди є мно гокутники. Справді, з аксіоми Cj випливає, що перетином січної плопщни і грані фігу ри є відрізок. Таким чином, при перетині даних фігур з площиною дістанемо обмежені відрізками фігури на плопщні, тобто многокутники. Так, перерізом куба ABCDA^B^Cfi^ (рис. 130) площиною, що проходить через верши ни А, Bj, Dj є трикутник ABJ)^ , а перерізом піраміди SABCD плопщною, що проходить через вершину iS і діагональ основи АС є трикутник AiSC (рис. 131).

140

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Д і^пнтрольні запитання 1. 2.

Якими трьома точками, вказаними на рис. 132, площина а визначається однозначно? Через які три точки, вказані на рис. 133, можна провести ще одну площину, відмінну від площини а?

Рис. 132

3. 4.

Рис. 133

Яка з точок D, Е, F на рис. 134 може бути точкою перетину прямої АВ і площини (З? Чотирикутник ABCD — паралелограм. Яка з точок L, М, N на рис. 135 може бути точкою перетину прямої ВК з площиною а?

Рис. 134

Дві вершини трикутника належать площині. Чи належить їй третя вершина? 6. Чи завжди через три точки можна провести єдину плопщну? 7. Чи можна стверджувати, що один з діаметрів кола належить плош^іні, якщо дві точки кола належать цій плопщні? 8. Щоб надати стійкості геодезичним інструментам (теодолі там, нівелірам тощо), їх зазвичай закріплюють на триногах. Чому? 9. На скільки частин поділяють простір три плошдни, якщо вони мають рівно одну спільну точку? 10. Чи завжди через чотири точки можна провести плопщну? 11. Столяр за допомогою лінійки перевіряє, чи добре відшліфова на поверхня. Як він це робить? 12. Чи можна торт розрізати на вісім частин, провівши лише три перерізи?

141

О сновн і п о н я ття й ак сіом и с т е р е о м е т р ії

Графічні вправи 1.

Вкажіть взаємне розміщення прямих а,Ь і площини а, зобра жених на рис. 136, а)-г). Я/ Ь/ чй

б)

в)

Рис. 136 2.

4. 5.

На рис. 137 пряма АВ не належить пло щині COD. 1) Скільки спільних точок мають пло щини АОВ і C0D1 2) Яка фігура є перетином площин АОС iBODl 3) Скільки площин можна провести че Рис. 137 рез точки А, в , С? На рис. 138 зображено прямокутний паралелепіпед. 1) Скільки плоіщін можна провести через вершини А, D^, С? 2) Скільки плопщн можна провести через вершини А, С і се редину відрізка BD? 3) Яка фігура є перетином плопщн ABC і C^D^D? 4) Скільки спільних точок мають плопщни BCD і ACBJ Які з наступних пар точок Х і Y, X і Z, Y iT ; Z і Тне лежать в одній грані тетраедра, зображеного на рис. 139? На рис. 140 зображено плопщни AED і AFB. 1) Яка фігура є їхнім перетином? 2) Скільки плопщн можна провести через точки F, С, Е1 3) Скільки плоїщін можна провести через точки А, Е, F?

Д.

Ді-

Рис. 138

Рис. 139

142

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

І Ш Задачі 118. Доведіть, що через кожну пряму можна провести: 1°) дві різні площини; 2) безліч різних площин. 119. Доведіть, що всі прямі, які перетинають дану пряму і про ходять через дану точку, розташовану поза прямою, 1°) містяться в одній площині; 2) утворюють площину з вилученою прямою, окрім даної точки. 120°. Доведіть, що коли чотири точки не лежать в одній площині, то жодні дві прямі, які попарно сполучають ці точки, не пе ретинаються. 121°. Доведіть, що коли чотири точки не лежать в одній плопщні, то жодні три з них не лежать на одній прямій. 122°. Дві суміжні вершини і точка перетину діагоналей трапеції лежать у плопщні а. Доведіть, що й інші дві вершини трапе ції лежать у плопщні а. 123. Точка D знаходиться поза плопщною трикутника ABC, N — середина відрізка DC. Доведіть, що прямі BN і АС не мають спільних точок. 124. Дано куб ABCDA^B^CJ)^ і точка М на ребрі ВВ^, яка не спів падає з його кінцями. На якій прямій лежить точка перети ну прямої: 1°) МС з плопщною 2°) A M з плопщною 3°) МА^ з плопщною ABD\ 4°) А^М з плоїциною BCD\ 5) MDj з плопщною ABC; 6) DM з плопщною A^CJ)^ 125. Плопщни а і (З перетинаються по прямій с. Відрізок АВ ле жить у плопщні а і не є паралельним прямій с. Побудуйте точку перетину прямої АВ з плопщною р. 126. Плопщни а і |3 перетинаються по прямій І. Точки Л І С ле жать у плопщні а, причому пряма АС не паралельна прямій І, а точка В лежить у плопщні (3. Побудуйте лінії перетину плопщни ABC з плопщнами а і (3. 127. Точки А, L, К лежать по один бік від плопщни а. Пряма AL перетинає плопщну а в точці В, а пряма L K — у точці М. Побудуйте точку перетину прямої АК з плопщною а. 128. Дві плопцши а і Р перетинаються по прямій т. Пряма а ле жить в плопщні а, пряма Ь— в плопщні р. Ці прямі перетина ються в точці А. Доведіть, що точка А лежить на прямій т.

О сн овні п о н я ття й ак сіом и ст е р е о м е т р ії_______________________________________________

143

129.

Площина у перетинає площини а і (З по прямих а і Ь відпо відно. Доведіть, що якщо прямі а і Ь перетинаються, то точ ка їхнього перетину лежить на лінії перетину плошдн а і р. 130*. Дано дві прямі, які не лежать в одній площині. Через кожну з них проведена площина, яка перетинає іншу пряму. Дове діть, що проведені плош;ини перетинаються по прямій, яка перетинає кожну з даних прямих. 131*. Фігура складається не менш ніж з двох точок і має таку влас тивість, що пряма, яка з’єднує дві її довільні точки, цілком належить цій фігурі. Доведіть, що дана фігура може бути лише прямою, плопщною або простором. 132. Побудуйте переріз куба ABCDA^B^C^D^ плопщною, що про ходить через: 1°) пряму AjCj і точку В; 2°) точки В, D, С^; 3°) прямі А^К і ВК, де К — середина ребра В^С^; 4) через точки Aj, D і центр грані DCCfi^; 5) через точку А і центри граней АВВ^А^ і ADD^A^. 133. Побудуйте переріз правильного тетраедра SABC плопщною, що проходить через: 1°) середини ребер АВ, ВС і SB; 2°) середини ребер АВ, ВС і центр грані SBC\ 3) середину ребра ВС і центри граней SBC, SAB; 4) центри граней SBC, SAB, SAC.

Вправи для повторення

134. Дано паралелограм ABCD, точки М, N, Р, Q — середини відповідно сторін АВ, ВС, CD, DA. 1) Установіть розміщення прямих: а) MN і PQ; б) МР і ВС; в) АВ і PQ; г) MQ і BD. 2) Установіть вид чотирикутника MNPQ. 3) Знайдіть його периметр і плошу, якщо довжини діагона лей паралелограма ABCD дорівнюють 6 см і 8 см, а кут між ними 60°. 135. За даними на рис. 141 визначте, чи паралельні прямі АВ і EF. А'-

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

144

П ід с у м о к Аксіоми стереоіметрії

Cj. Якщо пряма про ходить через дві точки даної площини, то вона по вністю лежить у цій площині._____ С^. Через три точ ки, що не лежать на одній прямій, проходить одна і тільки одна пло щина.

Л € а, Б є р

АВ с а

А, В, С не лежать на одній прямій => З!а: А е а, Д е а, С е а

С„. Якщо Д В І різні о площини мають спільну точку, то їхнім перетином е пряма, що про ходить через цю точку. А е апР => апЗ = Ь,А є Ь

С^. Через дві довіль ні точки просто ру можна провес ти одну і тільки одну пряму.

3\1: АеІ, ВеІ

Головні твердження

Теорема про пло щину, яка прохо дить через пряму і точку Теорема про пло щину, яка про ходить через дві прямі, що пере тинаються

Через пряму і точку, що не лежить на цій пря мій, проходить площина і до того ж лише одна. А і а => ЗІ а: а с а , А е а Через дві прямі, що перетинаються, прохо дить площина і до того ж тільки одна. аг\Ь = { 0} > 3 !а : а с а , Ь(

/і

г В з а є м н е р о з м іщ е н н я двох прям и х у просторі

Розглядаються різні варіанти взаємного розміщення прямих, встановлюються ознаки, за якими можна роз різняти ці варіанти, властивості важливого в стереоме трії відношення прямих — паралельності.

Як відомо з планіметрії, на плопщні дві прямі мо жуть збігатися, перетинатися або ж бути паралель ними. Ілюстрацією цього можуть бути траєкторії руху двох пароплавів (рис. 142). Перехід від площини до просто ру збільшує кількість варіантів взаємного розміщення двох пря мих. Наприклад, спробуйте уявити траєкторії руху двох літаків, які летять на різних висотах, і один з них рухається з півночі на південь, а другий — із заходу на схід (рис. 143). Як вони розмі щені? Яскравою ілюстрацією можливостей взаємного розміщення прямих є розміщення поперечних рей на корабельних щоглах (рис. 144) тощо. Класифікація взаємного розміщення двох прямих у просторі і розгляд способів встановлення цього розміщення є головною ме тою даного параграфа. Розглядаючи прямі у просторі як геометричні образи траєкто рій прямолінійного руху, ми можемо описати можливі варіанти взаємного розміщення двох прямих у просторі.

Рис. 142 Математика, 10 кл.

Рис. 143

Рис. 144

146

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Прямі можуть збігатися. Для цього достатньо, щоб вони мали дві спільні точки (аксіома CJ. Прямі можуть перетинатися, тобто мати тільки одну спіль ну точку. Такі прямі визначають певну площину, якій вони на лежать (теорема 2 §7). І в кожній плопщні через довільну точку можна провести безліч прямих, що перетинаються. Прямі МОЖІТЬ не мати спільних точок. Проте назвати їх паралельними (як у плані метрії) можна не завжди. Розгляд траєкто рій польоту літаків, як і багато інших поді 7 бних прикладів (розміщення тунелів метро, лінії електропередач, що перехрещуються, тощо), наводить на думку, що йдеться про два принципово різних способи розміщення прямих. Відмінність між цими способами полягає у тому, що для одних прямих, які не перетинаються, існує плопщна, де вони лежать (рис. 145, а), а для інщих — такої площини не існує (рис. 145, б). Насамперед, дамо означення паралельності прямих.

Дві прямі простору називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не мають спіль них точок. Таким чином, паралельність прямих а і Ь у просторі зводиться до їхньої паралельності на деякій плопщні. Зберігається і позна чення паралельності: а ЦЬ . Паралельний — від грецького los) — той, що йде поруч.

лараЯ,Я,тіЯ,о(^ (рагаїїе-

Існування паралельних прямих не викликає сумніву. В кож ній плопщні можна провести безліч пар паралельних прямих. Тепер охарактеризуємо інший спосіб розміщення прямих у просторі, які не перетинаються. Дві прямі простору, які не лежать в одній плопщні, називають ся мимобіжними. Мимобіжність прямих а і Ь позначається так: а ^Ь . а

Надалі, каж учи , щ о «фігури не лежать в одній площи ні», ми р озу м іт и м ем о те, щ о не існує такої площини, в якій знаходяться дані фігури (точки, прямі та ін.).

В заєм не р озм іщ ен н я д в о х п рям их у п р о ст о р і

147

Зрозуміло, що мимобіжні прямі не мають спільних то чок. Інакше вони збігались би, якби спільних точок було принай мні дві, чи перетинались би в одній точці. А це означає, що прямі лежать в одній площині. Насамперед належить довести, що мимобіжні прямі існують (ілюстрації, які ми навели раніше, не ^ можуть замінити математичного доведення). Нехай У чотири точки А, В, С, D не лежать в одній плопщні (рис. 146). їхнє існування є наслідком того, що за межами кожної плопщни існують точки просто ру. Звідси випливає, що прямі АВ і CD є мимобіжними. Інакше б вони, як і точки А, В, С, D, які їм належать, знаходились би в одній плоїцині. Наведені міркування можна виразити таким чином. Творема

1 (ознака мимобіжності прямих).

Якщо дві прямі містять чотири точки, що не лежать в одній площині, то вони — мимобіжні. Отже, прямі у просторі можуть: 1) збігатися, якщо вони мають щонайменше дві спільні точки; 2) перетинатися, якщо вони мають тільки одну спільну точку; 3) бути паралельними, якщо вони не мають спільних точок і лежать в одній плопщні; 4) бути мимобіжними, якщо вони не лежать в одній пло пщні. Подібна класифікація ґрунтується на визначенні кількості спіль них точок у прямих, хоча прямі, що не мають спільних точок, дове лося поділити на два класи за іншою ознакою - належністю одній плопщні. В

Поняття паралельності прямих переноситься і на від різки та промені: паралельними вважають такі два відрізки, промені, які містяться на паралельних пря мих. Аналогічні домовленості стосуються і мимобіж ності відрізків, променів.

П р и к л а д І . Н а рис. 147 паралелограми ABCD і ABCJ}^ лежать у різних плопщнах. Встановити взаємне розміщення прямих, які визначаються вершинами цих паралелограмів.

□ Встановлення взаємного розміщення двох прямих, які ви значаються вершинами одного з паралелограмів, не викликає 10*

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

труднощів. Це cj^o планіметрична за дача. На основі наведеної ознаки мимобіжності прямих можна стверджу вати, що мимобіжними є, наприклад, прямі DjC і BD, Z)jC і АВ, D^C і AD, C^D і АС (скільки ще таких пар?). А чи е се ред вказаних прямих паралельні пря мі, окрім тих, які лежать у плопщні Рис. 147 одного з паралелограмів? Природно очікувати, що паралельними є прямі DC і D^C^, CjC і Dj^D. Обґрунтування цього припущення потребує, як і в планіметрії, відповідних ознак. ■ Ознакою паралельності прямих у просторі може слугувати на ступне твердження, аналог якого добре знайомий з планіметрії. Теорема

2 (ознака паралельності прямих).

Якщо дві прямі простору паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою. Доведення наведеної ознаки паралельності прямих буде подано пізніше. Її застосування негайно вирішує питання про паралельність прямих DC і D^C^ з прикладу 1. Адже DC ||АВ і IIАВ. Тому, за наведеною ознакою, DC ||D^Cy З паралельнос ті прямих DC і -DjCj випливає, що точки D, С, С^ D^ лежать в одній плопщні. А це дозволяє завершити розгляд усіх випадків з прикла ду 1. Наприклад, прямі DD^ і СС^ — паралельні, бо чотирикутник DD^C^Ce паралелограмом (DC Ц D C =A B = D^C^). А тоді прямі CDj і DC^ (вони містять діагоналі паралелограма) перетинаються. На цьому завершується розгляд взаємного розміщення усіх пар прямих, які визначаються вершинами паралелограмів, зображених на рис. 147. За означенням, паралельні прямі лежать в одній плопщні. Чи єдина така плопщна? Відповідь на це питання дає наступна тео рема. З (про единість площини, яка містить паралельні прямі). Через дві паралельні прямі можна провести єдину пло щину.

Теорема

□ Існування такої плопщни випливає з означення паралель ності прямих. Якби існували дві різні плопщни, які проходять через дані паралельні прямі, то це означало б, що через одну з

149

В заємне р озм іщ ен н я д в о х прям их у п р о ст о р і

паралельних прямих і через точку другої прямої проходять дві різні площини, а це суперечить теоремі 1 §7. ■ Зрозуміло, що теоремою з можна скористатися для

задання

пл ощ и н и за доп ом огою двох п а р ал ел ьн и х прям их.

П р и к л а д Z. На рис. 148 точки D, E ,F ,G — середини відповідно ребер AS, SC, ВС, АВ тетраедра ABCS.

1) Встановити взаємне розміщення прямих AS і GE, DE і GF, DG iEF. 2) Знайти периметр чотирикутника DEFG, якщо BS - 8 см, А С = 16 см. □ 1) Прямі AS і GE — мимобіжні, за ознакою мимобіжності (теорема 1), А \ оскільки точки А, S, Е, G не лежать в / \ одній площині. Якби це було не так, то DA - -V-й точки А, В, С, S мали лежати в одній /\ \ площині, адже точка В належить пря\ _ Д___ мій AG, а точка С — прямій SE. \ \ Прямі DE і G F — паралельні, за ознакою паралельності прямих (теорема 2). Справді, відрізки DE і GF паралельні відрізку АС як середні лінії трикутників A S C i ABC. Аналогічно встановлюється паралельність прямих DG і EF. 2) З паралельності відрізків DG і EF, DE і GF випливає, що чотирикутник DEFG є паралелограмом. Довжини його сторін можна знайти, користуючись тим, що його сторони — середні лінії відповідних трикзггників. Маємо: DG = -S B = 4 (см), DE = —А С 2

= 8 (см). Шуканий периметр дорівнює 2DE + 2DG = 16 + 8 = 24 (см). ■ В ідповідь. 1) AS GE, DE || GF, DG || EF; 2) 24 c m . Наступна задача цікава тим, що вона дозволяє подати конкрет ну площину у вигляді паралельних прямих, які задовольняють певну зимову. Таке подання знадобиться при розв’язанні багатьох задач стереометрії. З а д а ч а 1 . Прямі а і Ь перетинаються. Довести, що всі прямі, які паралельні прямій о і перетинають пряму Ь, разом з прямою а утворюють площину.

150

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

□ Нехай прямі аіЬ перетинаються в точ ці А. Вони однозначно визначають площину а, що містить їх (рис. 149, а). Через довільну точку В прямої Ь, відмінну від точки А, мож на провести пряму с, паралельну прямій а (рис. 149, б). Зрозуміло, що всі ці прямі ра зом з прямою а утворюють плошдну а. Кожна пряма с, яка паралельна прямій а і перетинає пряму Ь, належить площині а. Справді, через паралельні прямі а і с мож на провести єдину площину р, за теоремою 3. Тоді плошдни а і Р містять пряму о і точ ку В, яка не лежить на цій прямій. Тому площини а і р співпадають. ■ Наведена вище ознака паралельності прямих (тео рема 2) потребує обґрунтування. Це і буде зроблено далі. Окрім того, розглянемо корисні властивості, пов’язані з паралельністю прямих, наявність яких підказана геометрією площини. Але спочатку наведемо другу ознаку мимобіжності прямих, яка в деяких випадках зрз^ніша. Теорема

4 (друга ознака мимобіжності прямих).

Прямі а \ Ь е мимобіжними, якщо існує площина, яка містить пряму а і яку пряма Ь перетинав в точці, що не належить прямій а. □ Нехай точки А і В належать прямій а і пряма Ь перетинає відповідну площину в точці С (рис. 150). Тоді інша точка D прямої Ьі точки А, В, С не лежать в одній площині, оскільки в такому разі це була б площина ABC і пряма Ь належала б їй, а не перети нала. Тому прямі АВ і CD , тобто а і Ь, — мимобіжні. ■

/а Рис. 150

Тепер перейдемо до розгляду тверджень, які стосуються пара лельних прямих.

151

В заємне р озм іщ ен н я д в о х прям их у п р о ст о р і

Тео ре ма 5 (існування і єдиність прямої, паралельної даній). Через будь-яку точку простору, що не лежить на даній прямій, проходить пряма, паралельна даній, і до того ж тільки одна. □ Нехай дано пряму а і точку В, що не лежить на цій прямій. Тоді існує єдина площина а , якій належать ці пряма і точка (тео рема 1 §7). З планіметрії відомо, що в площині через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести єдину пряму, паралель ну даній (рис. 151). Будь-яка пряма, яка проходить через точку В і перетинає пло щину а , є мимобіжною з прямою а (рис. 152), за теоремою 4. Тому існує лише одна пряма, паралельна даній, що проходить через точку, яка не лежить на ній. ■

Рис. 151

—г

Рис. 152

З планіметрії відомо, що якщо одна з двох паралельних пря мих на плопщні перетинає пряму, то і друга пряма перетинає цю пряму. У просторі це не завжди так (наведіть приклади!). Анало гом вказаної властивості паралельних прямих на плопщні можна вважати наступну теорему. Т е о р е м а б (про перетин площини паралельними прямими). Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає дану площину, то і друга пряма перетинае цю площину. □ Нехай прямі а і Ь— паралельні, і точ ка А є точкою перетину прямої а з плопщною а . Тоді площина р, в якій лежать пара лельні прямі, перетинає плопщну а по прямій с, що проходить через точку А (рис. 153). Оскільки пряма с лежить в площині р і перетинає пряму а в точці А, то і паралель ну до неї пряму Ьвона перетне в деякій точ ці В. Точка В і є шуканою точкою перетину прямої Ь з площиною а , бо в є с, а с <=а. ■

Рис. 153

152

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Тепер у нас є все необхідне, щоб довести ознаку паралельності прямих, сформульовану у теоремі 2. Дано: Cj ||а^,

Ца^. Довести:

Ца^.

□ Необхідно довести, що прямі не мають спільних точок і ле жать в одній плопщні. Прямі Oj і не мають спільних точок, інак ше б через одну точку проходило дві прямі, паралельні прямій а^, що суперечить теоремі про існування і единість прямої, паралель ної даній (теорема 5). Проведемо через пряму Oj і довільну точ ку М прямої Oj площину а (рис. 154). Пряма не може перетинати площину а , адже тоді, згідно з теоремою 6, її перетинали б па ралельна до неї пряма Од і паралельна пря мій Од пряма ау Однак пряма лежить у площині а . Отже, пряма має, окрім точ ки М, інші спільні точки з плопщною а, а Рис. 154 тому, згідно з аксіомою Cj, вона належить плош;ині а. Таким чином, прямі і ле жать в одній плопщні і не мають спільних точок, тобто вони є па ралельними. ■ Розглянута ознака паралельності прямих є одночасно і власти вістю відношення паралельності, яку зазвичай називають тран зитивністю Щзого відношення. Транзит ивніст ь — від латинського transeo — пере ходжу, transitus — перехід, проходження. П р и к л а д 3. На рис. 155 зображено прямокутний парале лепіпед ABCDAfi^Cfi^, точки О, — центри граней ABCD і К — середина ребра АВ. Уста новити взаємне розміщення прямих: 1) АВ і 2) AD^ і ВС^; 3) і 00^; A)AD^iKC^, S)ADiKC^.

□ Встановлення взаємного розміщення прямих складається з формулювання гіпо тези про їхнє розміщення на основі аналізу рисунка та її обґрунтування за допомогою означень, властивостей і ознак.

В заєм не р озм іщ ен н я д в о х прям их у п р о ст о р і

153

1) Прямі АВ і -DjCj — паралельні, за ознакою паралельності прямих (теорема 2), оскільки АВ ЦDC і ||DC (грані паралеле піпеда — прямокутники!). 2) Прямі ADj і — паралельні. Це випливає з того, що чоти рикутник ADjCjB є паралелограмом. Справді, за доведеним в 1), АВ II D^C^. Крім того, АВ = D^C^, бо АВ = DC, D^C^^ = DC (протилеж ні сторони прямокутника рівні!). 3) Прямі і OOj — паралельні. Застосувавши попередні мірку вання, можна довести, що чотирикутник А4^С^С є паралелограмом. Точки О, Oj — середини протилежних сторін паралелограма. Тому пряма, яка через них проходить, паралельна сторонам АА^ і СС^. 4) Прямі ADj і КС^ перетинаються. Чоо _______________ С тирикутник AD^C^K є трапеціею з основаА ми АК і -DjCj (рис. 156), оскільки АК ЦD^C^, ^ j / В. АК Ф D^Cy А у трапеції прямі, що містять бічні сторони ADj і КС^, перетинаються. />■ І/ 5) Прямі AD і КС^ — мимобіжні, за / ознакою мимобіжності прямих (теорема 1), ^ ---------- g оскільки точки А, D, С^, К не лежать в од ній площині. ■ Відповідь. 1) АВ II Dfi^, 2) AD^ ||ВС^- 3) АА^ Ц0 0 ,; 4) AD, х КС^, 5)A D _K C ^.

Задачі на побудову в курсі планіметрії займають важливе міс це. Це пояснюється насамперед їхньою прикладною спрямованіс тю. За допомогою рисунків на аркуші паперу можна досить точ но відобразити відношення між геометричними об’єктами. Тому плоскі фігури просто ототожнюють з їхніми зображеннями, як і побудову на рисунках з побудовами на абстрактних фігурах гео метрії. Не менш важливу роль рисунки фігур відіграють у стереометрії, хоча, звичайно, вони не можуть відображати всі їхні властивості, відношення між їхніми елементами. Тому повного ототожнення геометричних фігур з їхніми зображеннями робити не можна, і розв’язання задач на побудову в стереометрії зводиться до доведення можливості побудови, спираючись на аксіоми та вже доведені теореми. Відмітимо ще, що прагнення побудови рисунків, які найповні ше відображають властивості просторових фігур, вимагає уточ нення поняття зображення, розробки правил побудови на зобра женнях, про що йтиметься далі.

154

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Розв’язання задач на побудову в стереометрії пов’язане з до веденням певних тверджень, зокрема таких, в яких площини ви значаються за допомогою прямих, що задовольняють певні умови. Приклад такого твердження складає задача 1. Розглянемо їй ана логічну. З а д а ч а 2. Прямі а і Ь— мимобіжні. Довести, що всі прямі, які паралельні прямій о і перетинають пряму Ь, лежать в одній плошдні і навіть утворюють цю плопщну. □ Нехай дані прямі а і Ь є мимобіж3. ними. Проведемо через довільну точку В прямої Ь пряму Oj, паралельну а (рис. 157). Згідно з теоремою 4, ця побудова ви конується однозначно. Прямі і 6 пере тинаються (чому?). Тому вони однознач но визначають плопщну р, що містить їх (теорема 2 §7). Проведемо в площині р через довільну точку М прямої Ь, від мінну від в, пряму І, паралельну прямій Ця пряма, згідно з ознакою паралельності прямих (теорема 2), паралельна прямій а. Оскільки через дану точку простору можна провести лише одну пряму, паралельну даній, то множина всіх прямих, які паралельні прямій а і перетинають пряму Ь, лежить в площині Р і навіть утворює її, оскільки через довільну точку А плопщни р проходить пряма І, яка перетинає Ь і паралельна (тому і а) або співпадає з нею. ■

Д і^пнтрольні запитання 1. На рис. 158, а)-г) зображено два паралелограми, які лежать у різних площинах, і прямі а, Ь. Як розміщені прямі а і Ь на кожному з рисунків?

Рис. 158

На рис. 159, а)—г) зображено точки А, В, С, D, що не лежать в одній плопщні, точки М, К — середини відповідних відріз-

155

В заєм не р озм іщ ен н я д в о х прям их у п р о ст о р і

ків, на яких вони лежать. Як розміщені прямі АС і МК на кожному з рисунків?

Рис. 159 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Чи завжди можна провести плопщну через чотири точки? Чи існують дві прямі у просторі, через які не можна провести площину? Чи можуть дві паралельні прямі простору не лежати в одній плопщні? Як можуть бути розміщені прямі АВ і CD, якщо прямі АС і BD мимобіжні? Чи належить коло плопщні, якщо дві хорди кола належать цій площині? Чи завжди пряма простору, яка перетинає кожну з двох пря мих, що перетинаються, лежить з ними в одній площині? Чи однаковий зміст мають твердження: «Прямі а і Ь лежать у різних площинах» і «Прямі а і 6 не лежать в одній площині»?

[ ^ Графічні вправи 1.

На рис. 160, а)-г) зображено тетраедр ABCD і точки М і iV на його ребрах. Вкажіть пряму, на якій лежить точка перетину прямої M N з площиною ABC на кожному з рисунків.

СА

в)

б)

Рис. 160

г)

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

156

На рис. 161 зображено прямокутний па ралелепіпед точки М, N, Р, К — середини відповідно ребер CjDj, CD, A 4j, точка О — центр грані ABCD. Заповніть таблицю, вказавши розміщення прямих а, Ь (х — перетина ються, ^ — мимобіжні, II — паралельні) за наведеним зразком.

На рис. 162 зображено два прямокут ники ABCD і ABCJ)^, що не лежать в одній площині. Точки М, N, Р, Q — середини відповідно сторін SC, CD,AD^, ВС^. Встановіть взаємне розміщення Р прямих; 1) PN і QM; 2) PQ і MN-, 3) DQ і МР; 4) PQ і CD; 5) DQ і СР; 6) PD і QC. а

Задачі

Рис. 161

fN D Рис. 162

136°. Два рівнобедреник трикутники ABC і АВС^ зі спільною осно вою АВ лежать у різних площинах. Установіть взаємне роз міщення прямих, які містять: 1) сторони АС і BCji 2) сторони АС і АС^\ 3) середні лінії трикутників, які не перетинаються з АВ; 4) висоти трикутників, що проходять через вершини С і Су 137° Дві трапеції ABCD і ABCJ)^ мають спільну основу АВ і лежать у різних плош^шах. Установіть взаємне розміщення прямих: l)Z)CiZ)^Cj; 2 ) A D i B C ; 3) AD^ і DC; A)D ^C iC p. 138. Точки A, В, C, D не лежать в одній плопщні, а М, N, Р, Q — середини відрізків АВ, ВС, AD, DC, відповідно. Визначте взаємне розміщення прямих: 1°) PQ і MN; 2°) QM і PN; S) AD і В С.

В заєм не р озм іщ ен н я д в о х п рям их у п р о ст о р і

157

139. Дано площину а і відрізок АВ, який не перетинається з нею. Через кінці відрізка АВ проведено паралельні прямі, що пе ретинають дану площину в точках і відповідно. 1°) Побудуйте точку перетину прямої АВ з площиною а. 2°) Проведіть через середину С відрізка АВ пряму, пара лельну прямій АА^, і знайдіть точку її перетину з площи ною а. 3) Знайдіть довжину відрізка СС^, якщо АА^ = З см, ВВ = 4 см. 140. Через кінець А відрізка АВ проведено площину а, а через кінець В пряму, яка перетинае площину а в точці В^. Точка С лежить поміж точок А і -В на відрізку АВ. 1°) Побудуйте точку перетину Cj площини а з прямою, яка проходить через точку С паралельно прямій ВВ^. 2) Знайдіть довжину відрізка ВВ^, якщо АВ = 6 см; АС.СС^ = = 2:5. 141. Площина а не збігається з площиною трикутника ABC і про ходить через сторону АВ. На продовженні сторони АС взяли точку Cj так, що С лежить поміж А\С^. 1°) Побудуйте точку перетину плопщни а з прямою, яка проходить через точку Cj паралельно прямій СВ. 2) Знайдіть довжину відрізка ВВ^, якщо АС.АВ - 3:2 і CCj = 9 CM. 142. Плошдна а проходить через бічну сторону AD трапеції ABCD, площина якої не збігається з а. 1°) Побудуйте точку перетину К прямої СВ з плопщною а. 2) Знайдіть довжину відрізка KD, якщо CD:AB = 2:3, а DA = 2 см. 143. Пехай точка D не лежить у площині трикутника ABC; М і N, відповідно, є точками перетину медіан трикутників ABC iDBC. 1°) Визначте взаємне розміщення прямих AD і ВС, DM і AN, A D iM N . 2) Побудуйте точку перетину прямої DM з площиною, яка проходить через пряму АВ і середину відрізка CD. З*) У якому відношенні пряма AN поділяє відрізок DM? 144. Побудуйте три прямі, дві з яких перетинаються, а третя — мимобіжна: 1) з кожною із двох перетинних прямих; 2) тільки з першою з них.

158

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

145. Дано куб ABCDA^B^CJ)^. Побудуйте переріз куба площи ною, що проходить через: 1°) вершини Ар Bj, D\ 2°) ребра AjBj і CD\ 3) вершини А, Aj і центр грані DD^Cfi, 4) прямі BD^ і 5*) центри граней AJ)J)A, DD^C^C, 146. Побудуйте переріз тетраедра SABC плопщною, що прохо дить через: 1°) ребро SA та точку М на ребрі ВС; 2°) вершину S та точки М і N, що лежать на ребрах АВ та ВС, відповідно; 3) вершину С та точки M iN , що лежать, відповідно, на гра нях ABC та ASC-, 4*) точки М, N та Р, що лежать, відповідно, на прямих SA, SC та ВС. 147. Доведіть, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі: 1°) лежать в одній плош^іні; 2) утворюють площину. 148. Нехай А, В, С — точки кола, яке лежить у плопщні а, а точ ка D знаходиться поза плопщною. Доведіть, що прямі DA, DB, DC не лежать в одній плопщні. 149. Пряма с перетинає кожну з мимобіжних прямих а і Ь. Д о ведіть, що будь-яка пряма, яка паралельна прямій с, мимо біжна з а або з Ь. 150*. Дано три попарно мимобіжні прямі а, Ь іс. Побудуйте пря му, яка: 1) перетинає а і 6 та паралельна с; 2) перетинає всі три прямі.

і д Вправи для повторення 151. Нехай дві прямі — паралельні, а дві інші прямі перетина ють їх у точках А, В, С, D. Чи рівні трикутники ABC і DCB? 152. Діагоналі паралелограма дорівнюють 17 см і 19 см, а сторо ни відносяться, як 2 : 3. Визначте довжини сторін. 153. Два подібні паралелограми мають спільну сторону завдовж ки З см. Периметр одного з них дорівнює 8 см. Знайдіть пе риметр другого.

159

В заемне р озм іщ ен н я д в о х п ря м и х у п р о ст о р і

П ід с у м о к Головні означення

Дві прямі в просторі називанлься паралельни ми, якщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

аІІЬ

Дві прямі в просторі, які не лежать в одній пло щині, називаються ми мобіжними.

а ■Ь Головні твердження

Ознака паралель Якщо дві прямі пара ності прямих у лельні третій прямій, то вони паралельні просторі між собою. а II Ь, Ь II с

Ознака мимобіж- Прямі а і 6 є мимо біжними, якщо існує ності прямих плопщна, яка міс тить пряму Ь і яку пряма а перетинає в точці, що не нале жить прямій Ь.

а п а - {Af), І

M g Ь=> а . Теорема про пере Якщо одна з двох пря тин площини па паралельних мих перетинас дану ралельними пря плопщну, то і друга мими пряма перетинає цю плопщну. а||Ь, Ь х а = > а х а

Паралельне проектуван н я

Розглядається основний спосіб побудови рисунків у сте реометрії — паралельне проектування, його властивості.

нні

При вивченні стереометрії одним із найважливіших є питання про зображення просторових фігур на площині. Складність полягає у тому, що плоскі зображення не можуть повного мірого дати уявлення про всі осо бливості просторової фігури, йдеться загалом про побудову таких зображень, які б відображали властивості оригіналу й уможливлювали достатньо просте, наочне і однозначне ознайомлення з ним. Спосіб побудови зображення фігури підказують нам тіні, що падають від її просторової моделі. При щ>ому можливі два ви падки. У періпому з них промені виходять з точкового джерела світла (лампи, ліхтаря), розміщеного поблизу моделі (рис. 163). Цій ситуації відповідає центральне проектування. За його за конами формується зображення предметів на сітківці ока. Проте центральне проектування спотворює одне з основних відношень геометрії — паралельність (приміром, нам здається, що паралель ні залізничні колії збігаються на горизонті) (рис. 164). Крім того, створення такого зображення є досить складною справою. 'jfS j

Рис. 163

Рис. 164

Рис. 165

Паралельне проектування

161

І Н Ш И Й спосіб зображення просторових фігур пов’язаний з освіт ленням моделі паралельними променями. Такими, наприклад, можна вважати сонячні промені (рис. 165). Відповідний метод зображення називається методом паралельного проектуван ня. Він достатньою мірою задовольняє згадані умови. Метод па ралельного проектування широко використовується не тільки в геометрії, а й у кресленні. По cjnri, ми вже користувались ним при побудові рисунків. Опишемо цей спосіб зображення.

Нехай дано площину а і пряму а, яка її перетинае. Візьмемо довільну точку простору М, що не належить їм. Проведемо через точку М пряму т, паралельну прямій а (рис. 166). Пряма т перетне площину а в дея кій точці М , (чому?). Ця точка наjgg зивається паралельною проекцією точки М на площину а при проекту ванні паралельно прямій а. Паралельними проекці ями точок прямої а є точка її перетину з площиною а, а проекціями точок площини а є самі ці точки. П р оекц ія — вперед.

від латинського projection —

кидання

Іноді, коли зрозуміло, на яку плопщну проектується точка і паралельно якій прямій виконується проектування, писатимемо коротше: паралельна проекція точки М, або проекція точ ки М. Отже, якщо задані плопщна а і пряма а, ш,о їі перетинає, то для кожної точки простору існує її паралельна проекція на плопщну а при проектуванні паралельно прямій а. Ця проекція визначається однозначно, оскільки через дану точку, ш;о не лежить на даній пря мій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Площина а нази вається площиною проекцій. При заміні прямої а на довільну па ралельну до неї пряму проекції точок простору не змінюються. Це випливає з транзитивності відношення паралельності прямих (тео рема 2 §8, ознака паралельності прямих). Тому кажуть, що пряма а визначає напрям проектування. Всі прямі, паралельні прямій а, визначають однаковий напрям проектування і разом з прямою а на зиваються проектуючими прямими. М атематика, 10 кл.

162

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Якщо спроектуємо на площину всі точки деякої просторової фігури F, то дістанемо фігуру Fj у плоїщіні проекцій (рис. 167). Паралельною проекцією фігури на зивається фігура, складена з пара лельних проекцій усіх точок даної фігури. Домовимося далі позначати площину про екцій через а, пряму, що задає напрям проек тування, — через а, а проекцію точки, прямої тощо — тією самою літерою, що й дану фігуру, але з індексом Для побудови паралельних проекцій фігур і відтворення за ними властивостей фігур слід знати властивості паралельного проектування. Зрозуміло, що проекцією кожної проектуючої прямої є точка. Далі, у теоремах 1-3, йтиметься про проектування пря мих і відрізків, що не лежать на проектуючих пря мих. Одна з найважливіших властивостей паралельного проекту вання добре ілюструється утворенням прямолінійної тіні від нит ки чи дроту. Т е о р е м а 1 (властивість паралельної проекції прямої і від різка). Паралельною проекцією прямої е пряма, а проекцією відрізка — відрізок.

На рис. 168, а) пряма І проектується на пряму Її відрізок АВ проектується на відрізок (рис. 168, б). Площину, яка утворена сукупністю проектуючих прямих, що перетинають дану пряму І, називатимемо проектуючою пло щиною для прямої І. Проекція прямої І є перетином плопщни проекцій з проектуючою площиною для цієї прямої. Наступну властивість паралельного проектування можна вва жати обґрунтуванням відомого факту: сонячні тіні від паралель них стовпів — паралельні.

163

Паралельне п р оек ту в а н н я

б) Р ис. 168

Теорема

2 (вл аст и віст ь п р оек ц ії п а р а л ел ьн и х прям их).

Проекції паралельних прямих — паралельні або ж збі гаються. На рис. 169, а) паралельні прямі І, т проектуються на пара лельні прямі Zp т^, а для прямих р і q на рис. 169, б) проектуючі

прямі

спільні, тому вони проектуються на одну пряму Pj = (Jj.

Р ис. 169

При паралельному проектуванні довжини відрізків, взагалі каж}^и, змінюються. Тінь від вертикального стовпа може бути і коротшою, і довшою від стовпа, залежно від положення Сонця над горизонтом. Разом з тим, можна спостерігати пропорційну залеж ність між довжинами паралельних стовпів і їхніх тіней. Т е о р е м а З (про відн ош ен н я довж и н п роек ц ій п а р а л ел ьн и х в ід р ізк ів ).

Відношення довжин проекцій двох відрізків, які лежать на одній прямій чи на паралельних прямих, дорівнює відношенню довжин цих відрізків. 11-*

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

164

На рис. 170 відрізки АВ і CD — паралельні. Якщо АВ : CD - т : п, то для їхніх паралельних проекцій AjBj : = т : п. За допомогою розглянутих осно вних властивостей паралельного про ектування легко описати проекції най простіших плоских фігур. В

й д е т ь ся п р о ви п адок, коли проектуюча пряма перетинає фігуру не більш ніж в одній точці.

Рис. 170

Т е о р е м а 4 (властивості паралельних проекцій плоских фігур).

1. Проекцією кута є кут (рис. 171). 2. Проекцією трикутника є трикутник (рис. 172). 3. Проекцією паралелограма є паралелограм (рис. 173). 4. Проекцією трапеції е трапеція (рис. 174). 5. Проекцією п-кутника є п-кутник (рис. 175).

Рис. 175

ЕГ Коли

ж проектуюча пряма перетинає плоску фігуру більше ніж в одній точці, то проекцією фігури є відрі зок чи інша множина точок прямої.

165

П аралельне п р оек ту в ан н я

Зрозуміло, що паралельна проекція плоскої фігури зберігає далеко не всі властивості оригіналу. Насамперед це стосується властивостей, пов’язаних з вимірюваннями. У загальному випад ку при паралельному проектуванні не зберігаються не тільки до вжини, а й величини кутів. Проте водночас паралельна проекція фігури містить багато інформації про фігуру. П р и к л а д 1. Дано паралельну проекцію рівнобедреного три кутника. Побудувати проекцію:

1) медіани, проведеної до однієї з бічних сторін; 2) висоти, опущеної на основу трикутника. □ Нехай маємо рівнобедрений трикутник ABC з основою ВС (рис. 176, а) і його паралельну проекцію— трикутник А^В^С^ (рис. 176, б). 1) Якщо CM — медіана до бічної сторони АВ, то М — середина відрізка АВ (рис. 176, в). Тоді проекція точки М, згідно з тео ремою про відношення довжин проекцій паралельних відрізків, є серединою проекції AjBj сторони АВ. Тому відрізок С^М^ — про екція медіани CM. Побудова. Будуємо проекцію точки М, це середина М^ відрізка A jSj (рис. 176, г). Відрізок С^М^ є проекцією медіани, проведеної до однієї з бічних сторін, за теоремою 1. 2) Враховуючи те, що висота, опущена на основу рівнобедрено го трикутника, є одночасно і медіаною, для побудови її проекції достатньо побудувати проекцію медіани AN. Побудова. Будуємо проекцію точки N, це середина відрізка BjCj (рис. 176, г). Тоді відрізок є проекцією висоти, опущеної на основу трикутника. ■

Рис. 176

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

166

Щ обвідрізняти оригінал і його проекцію, будемо зо бражати проекцію на зображенні площини проекцій (див. рис. 176, б, г). 2. Точки А іВ знаходяться по один бік від площини а; — їхні паралельні проекції на цю площину, АА^ > ВВу

Приклад

Aj,

1) Побудувати точку перетину К прямої АВ з плопщною а. 2) Знайти відстань між серединою відрізка КВ і її проекцією на плопщну а, якщо КВ^.В^А^ = 3:1 і АА^ = 8 см. □ 1) Побудуємо рисунок, який відповідає умові прикладу (рис. 177, а), користуючись означенням паралельної проекції. Прямі АА^ і ВВ^ — паралельні, а тому лежать у площині АА^В^ Площина AAjBj перетинає площину а по прямій А^В^. Пряма АВ лежить у площині АА^Ву Оскільки АА^ > ВВ^ і AAj ||ВВ^ (чотири кутник АА^В^В — трапеція з основами АА^ і ВВ^, то пряма АВ пе ретинає пряму А^В^ у деякій точці. Ця точка і є точкою перетину прямої АВ з плопщною а, адже пряма А^В^ лежить у плопщні а. Побудова. Проводимо прямі АВ і А^В^, знаходимо точку К їх нього перетину (рис. 177, б).

Рис. 177

2) З розв’язання попереднього завдання випливає, що дане за вдання зводиться до планіметричної задачі. Зобразимо його умо ву на рис. 177, в), де М — середина відрізка ВК, ММ^ ЦВВ^, АА^ = = 8 см, КВ^: BjAj = 3 : 1 . Необхідно знайти довжину відрізка ММ^. За побудовою, трикзо’ники ММ^^К і АА^К— подібні {АА^ ЦММ^. Тому справджується рівність:

мм,

КМ^

А А ^~ К А ,'

167

П аралельне п р оек ту в ан н я

Оскільки = 8 CM, то для знаходження ММ^ залишилося знайти відношення ІШ , : КА, або КА, КМ^. За умовою, В ,А ,= ^ Щ . Тому КА, КМ,

КВ,+В,А,

КВ,

КМ,

Таким чином, ММ, = AAj ^

8 . - = 3(см).

В ідповідь. 2) З см. Говорячи про паралельні проекції осно вних плоских фігур, не можна обминути кола. Уявлення про форму паралельної проекції круга і відповідного йому кола можна отримати, експериментуючи з тін ню картонного круга. Цей експеримент можна змоделювати за допомогою цилін дричної склянки з рідиною. Якш;о її нахи лити (рис. 178), то поверхню рідини можна розглядати як паралельну проекцію дна склянки, яке має форму круга. Зрозуміло, що напрям проектування паралельний осі симетрії склянки, а плопщна проекції — плопщна поверхні рідини. Таку саму форму мають ковбасні зрізи (рис. 179). їх можна вважати паралельними проекціями попе речних перерізів (кругів) уздовж ковбасного батона. Врешті, ці міркування дозволяють сформулювати означення.

Рис. 179

Паралельна проекція кола називається еліпсом. На плопщні еліпс зображають у вигляді овала (рис. 180). Ця фігура відіграє помітну роль у математиці та природознавстві. До сить сказати, що траєкторії руху Землі та інших планет навколо Сонця — еліптичні. рис. 180 Еліпс має багато чудових властивостей. Деякі з них можна оби рати у якості його означення. Наприклад, еліпс є витягнуте (чи стиснене) коло від (до) його діаметра.

Розділ 2. П аралельність прямих і площин

168

Еліпс — від грецького єЯ,Я,еіУ|/и;; (elleipsis) — упущення, недолік, недостача. Зрозуміло, що паралельною проекцією круга є частина площи ни, обмежена еліпсом. Наведемо доведення властивостей паралельного проектування, поданих вище. Д о в е д е н н я т е о р е м и 1 про п а р а л е л ь н у проекцію прямої і відрізка.

□ Нехай маємо площину проекцій а, напрям проектування, заданий прямою а, і пряму І, lj/(a (рис. 181, а). Аби побудувати проекцію прямої І, треба через усі їі точки провести прямі, паралельні прямій а, і розглянути точки перетину їх з площиною а. Із задач 1, 2 §8 випливає, що сукупність проведених прямих утворює площину р. Пряма перетину площин а і р (рис. 181, б) і є паралельною проекцією прямої Іна площину а при проектуванні паралельно прямій а. Справді, кожна точка прямої є точкою перетину площини а з проектуючою прямою, що проходить через деяку точку прямої І, тобто є паралельною проекцією деякої точки прямої І. І навпаки, кожна проектуюча пряма, що перетинає пряму І, лежить у площ;ині р. Таким чином, проекція кожної точки прямої І належить прямій Zj. Якщо на прямій І задано відрізок АВ, то проекції його точок розміщені на проекції прямої І, тобто на З побудови про екцій точок прямої І випливає, що проекції точок, що містяться між точками А і В, розміщені між проекціями і точок А і В

а) Рис. 181

169

Паралельне п р оек ту в а н н я

(рис. 181, в), і навпаки. Таким чином, проекцією відрізка є від різок. ■ Доведення прямим.

теореми

2 про

проекції

паралельним

□ Нехай дано площину проекцій а, пряму а, яка визначає на прям проектування, і паралельні прямі Ьіс. Якщо деяка проектуюча пряма перетинає обидві прямі Ь і с, то проектуючі площини для цих прямих збігаються з площиною р, що проходить через паралельні прямі Ь і с (рис. 182). Така пло щина визначається прямими Ь і с однозначно (теорема 5 §8), а проекції прямих Ьіс збігаються з перетином спільної проектуючої площини з площиною а. Якщо ж не існує проектуючої прямої, яка перетинає обидві пря мі Ь і с, то проекції і Cj цих прямих є паралельними. Справді, припустимо, що у прямих Ь^іс^е спільна точка М (рис. 183). Тоді проектуюча пряма, що проходить через точку М, перетинатиме і пряму Ь, і пряму с. Тобто спільна проектуючи пряма існує. Ця суперечність доводить паралельність проекцій і .■

Д о в е д е н н я т е о р е м и з про в і д н о ш е н н я п р о екц ій паралельним відрізків.

довжин

□ Спочатку розглянемо випадок, коли дані відрізки АВ і ВС ле жать на одній прямій і мають спільний кінець В (рис. 184). Проекту ючі прямі АА^, ВВ^, СС^ — попарно паралельні і лежать в одній про ектуючій площині разом з даними відрізками АВ, ВС і їхніми проекціями AJi^ і Bfi^. Проведемо у цій площині через точку В пря-

170

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

му AjCj, паралельну прямій де є АА^,С^ є CQ . Трикутни ки АВА^ і СВС^ — подібні (чому?). Із подібності цих трикутників і рівностей AjBj = А^В, В^С^ = ВС^ маємо: АВ : ВС = А^В^: Випадок, коли дані відрізки АВ і MN розміщені на паралель них прямих, зводиться до попереднього. Для цього потрібно один з відрізків (наприклад, MN) відкласти на прямій АВ від точки В (рис. 185) і скористатись тим, що паралельні відрізки, які рівні між собою, мають рівні між собою проекції. Справді, чотирикут ник BMNC е паралелограмом (ВС ЦMN і ВС = MN). Згідно з тео ремою 2, прямі BjCj і — паралельні або ж збігаються. У пер шому випадку чотирикутник B^MJSl^C^ є паралелограмом (BjCj II MjiVj, В^М^ II CjiVj). Тому BjCj = M^N^, тобто проекції рів них відрізків — рівні. А випадок, коли прямі В^С^ і збігають ся, рекомендуємо розглянзти самостійно. ■ Д о в е д е н н я т е о р е м и 4 про п р о е к ц і ї п п о с к и к ф і г у р .

□ Користуючись теоремами 1—3, неважко довести теорему 4. Доведемо, наприклад, що проекцією трапеції є трапеція. Трапе ція — це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні і нерівні. Проекцією чотирикутника є чотирикутник (ми домовились про те, що проектуюча пряма не перетинає плоску фігуру більш ніж в одній точці). Проекціями відрізків є відрізки, за теоремою 1, а проекцією паралельних відрізків — основ трапеції — є паралель ні відрізки, за теоремою 2 (накладатися вони не можуть згідно з домовленістю). Залишилося застосувати теорему 3. Відношен ня проекцій основ не дорівнює одиниці. Таким чином, проекцією трапеції є трапеція.

Паралельне п р оек ту в а н н я

171

Аналогічно доводяться інші твердження теореми 4 (доведіть їх самостійно). ■ 1 . Дано три точки, що не лежать на одній прямій і містяться по один бік від площини проекцій, і їхні паралельні проекції. Побудувати лінію перетину плопщни проекції з площи ною, яка проходить через дані точки. Задача

□ Нехай А, В, С — дані точки, а — площина проекцій, А^, В^, Cj — проекції даних точок (рис. 186). Щоб побудувати лінію перетину площин, досить знайти дві її точки. Шукана пряма повинна містити точки перетину прямих АВ і ВС з площиною а (чому?). Для побудови точки М перетину прямої АВ з площиною а проведемо площину, яка проходить че рез паралельні проектуючі прямі АА^^ і ВВ^. Ця площина є проек туючою для прямої АВ, і шукана точка М міститься в цій плопщні (чому?). Для побудови точки М досить знайти точку перетину прямих АВ і А^В^ (рис. 187). Аналогічно будуємо точку перетину N прямої ВС з плопціною а. Пряма M N — шукана. Цю пряму на зивають слідож плопщни ABC на плопщні проекцій а. В

Аналізуючи наведену побудову, можна виявити умови існз^ання сліду плопщни ABC на плошдні проекцій а. Прямі АВ і А^В^ пере тинаються тоді і тільки тоді, коли довжини відрізків АА^ і ВВ^ різ ні (чому?). Аналогічний висновок стосується прямих ВС і В^С^, АС і AjCj. Таким чином, якщо довжини відрізків АА^, ВВ^, СС^ рівні, то неможливо побудувати слід плопщни ABC на плопщні проекцій а, тобто ці плопщни не перетинаються. Якщо хоча б два з цих відрізків мають різні довжини, то така побудова можлива. ■ М

з наведоних міркувань можна зробити висновок, ко рисний для побудови сліду площини ABC. Якщо довжи ни відрізків АА^, ВВ^, CCj відрізняються мало, то слід площини ABC на площині проекцій а буде дуже відда-

172

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

л ени й від п р оек ц ій то ч о к А, В, С. Т ом у п ри ви к он ан н і п о бу д о в и сл ід у на аркуш і п ап еру ви н и ка ю ть тр удн ощ і: сл ід м ож е не п ом іст и ти сь на ри сун к у. П р и к л а д 3. Побудувати на площині грані ABC тетраедра ABCD слід площини а, яка поділяє ребро AD навпіл, а ребра BD і CD у відношенні 2 : 1 і 1 : 2 відповідно, рахуючи від точки D.

□ Нехай площина а перетинає ребра AD, BD, CD тетраедра ABCD у точках К, М, L відповідно (рис. 188, а). Задача полягає у побудові сліду площини KML на площині ABC. Для цього достат ньо побудувати дві точки лінії перетину цих площин. Прямі КМ і АВ лежать в одній площині і перетинаються. Це випливає з того, що точки К І М поділяють сторони трикутника ABZ) у різних відношеннях (згадайте теорему Фалеса!). Позначимо точку перетину прямих iOVf і АВ через X (рис. 188, б). Аналогічно обґрунтовується те, що прямі LM і СВ перетинаються, і будується друга точка У— точка перетину прямих LM і ВС (рис. 188, в). Отже, слідом плопщни а на плопщні ABC є пряма XY. ■

Рис. 188

Д к^пнтрольні запитання 1.

На рис. 189 зображено плопщну про екції а, напрям проектування а і точ ку А. Яка з точок М, N, Р може бути паралельною проекцією точки А? Котрий з рис. 190, а)—г) не може бути зображенням паралельних проек цій прямих а і fe на дану плопщну, якщо прямі а і 6: 1) паралельні; 2) перетинаються; 3) мимобіжні?

Рис. 189

173

Паралельне п р оек ту в а н н я

Рис. 190

Котрий з рис. 191, а)-ґ) не може бути зображенням паралель ної проекції кута на плопщну, якщо кут є: 1) гострим; 2) ту пим; 3) прямим?

На котрому з рис. 192, а)-ґ) може бути зображена паралельна проекція трикутника на дану площину, якщо він є: 1) рівностороннім; 2) рівнобедреним; 3) прямокутним?

б)

в)

г)

ґ)

Рис. 192

На котрому з рис. 193, а)—ґ) може бути зображена паралельна проекція чотирикутника на дану площину, якщо він є: 1) па ралелограмом; 2) квадратом; 3) прямокутником; 4) трапецією; 5) рівнобічною трапецією?

а а)

б)

в)

г)

Рис. 193

На котрому з рисунків 194, 195 представлені тіні від стовпчиків при їхньому освітленні Сонцем, а на котрому — ліхтариком?

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

174

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Чи може паралельною проекцією прямої бути промінь? Чи завжди паралельною проекцією прямої є пряма? Чи можуть проекції двох прямих, що перетинаються, бути па ралельними? Чи перетинаються прямі, якщо їхні проекції перетинаються? Чи правильним є твердження, що проекція середини відрізка є серединою його проекції? Чи може паралелограм бути паралельною проекцією трапеції? Чи може паралельна проекція висоти трикутника бути медіа ною його проекції? Чи правильно, що фігура с відрізком, якщо її паралельна про екція — відрізок?

Графічні вправи 1.

На рис. 196 зображено точки А, В та їхні паралельні проекції на площину а. Яка з точок М, N, Р може бути зображенням проекції точки С, яка належить відрізку АВ? На рис. 197 зображено точки А, В та їхні паралельні проекції на площину а. Яка з точок М, N, Рмож е бзти точкою перетину відрізка АВ з площиною а?

Рис. 197

Побудуйте pncjTioK, який відповідає наведеним даним. 1) Дано паралельну проекцію А^В^С^ трикутника ABC і від різок В^М^ — проекцію медіани ВМ. 2) Прямокутник ABCD не мас спільних точок з площиною а. Через точки А, В, С, D проведено паралельні прямі, які перетинають площину а в точках А^, В^, С^, D^. 3) Дано паралельну проекцію прямокутника і точки перетину його осей симетрії.

175

П аралельне п р оек ту в а н н я

4) Дано паралельні проекції квадрата, центра кола, вписано го в квадрат, і точок дотику кола до сторін квадрата. Маємо трикутну піраміду та її паралельні проекції (рис. 198, а-ґ). Для кожного випадку опишіть плопщни проекцій та напрями проектування.

а)

б)

в)

Рис. 198

Побудуйте паралельну проекцію куба ABCDA^B^CJ^^ на плопщну грані ADD^A^, якщо напрям проектування паралель ний прямій: 1) CD; 2) СА; 3) СА^; 4) С^О, де О — центр грані ABCD. 6. Побудуйте слід площини MNP на площині нижньої грані прямокутного паралелепіпеда на рис. 199, а)-г). М

а)

б)

в)

г)

Рис. 199

Побудуйте слід площини MNP на площині основи піраміди на рис. 200, а)-г).

Рис. 200

176

Розділ 2. П аралельність прямих і площин

Ш І Задачі 1 5 4 °.

1 5 5 °.

156.

157.

158.

Дано паралельні проекції ромба ABCD і точки М на стороні ВС. Побудуйте: 1) проекцію перпендикуляра, проведеного з точки М до діа гоналі BD; 2) проекцію точки, яка поділяє діагональ BD у відношенні 1:3, якщо рахувати від точки В. Дано паралельну проекцію рівнобічної трапеції ABCD. По будуйте: 1 ) проекцію точки М, яка поділяє меншу основу DC у відно шенні 1 : 3 , Я К Ш .0 рахувати від точки D\ 2) проекцію перпендикуляра, проведеного з точки М до осно ви АВ. Дано паралельну проекцію рівностороннього трикутника ABC. Побудуйте проекцію: 1°) медіани, проведеної з вершини В; 2°) бісектриси кута А; 3°) висоти, проведеної з вершини С; 4) центра кола, вписаного в трикутник ABC. Дано паралельну проекцію рівнобічної трапеції. Побудуйте проекцію: 1°) середньої лінії трапеції; 2) осі симетрії трапеції; 3) висоти, проведеної з вершини тупого кута. Дано еліпс, ш,о є паралельною проекцією кола. Зобразіть проекції: 1) центра кола; 2) вписаного в коло рівнобедреного прямокутного трикутника; 3) вписаного в коло квадрата.'

159. Точки А і В знаходяться по різні боки від плопщни (З, а А^, В^ — їхні проекції на плопщну. 1°) Побудуйте точку перетину К прямої АВ з плопщною (3. 2) Знайдіть відстань між серединою відрізка АВ і її проекці єю на плопціну р, якщо А К : КВ = 2 : 1, а ВВ^ = 8 см. 160. Точки А, В знаходяться по один бік від плопщни а; А^, В^, відповідно, — їхні паралельні проекції на а, а М — середи на відрізка ВВ^. 1°) Побудуйте точку перетину К прямої A M з плопщною а. 2) Знайдіть довжину відрізка В^К, якщо АА^ = 8 см, ВВ^ = 4 см, А^В^ = 6 см.

Паралел ьне п р оек ту в а н н я ________________________________________

177

161. Відрізок АВ перетинає площину проекції в точці М, В — проекція точки в. 1°) Побудуйте проекцію точки А. 2) Знайдіть довжину проекції відрізка АВ, якщо МВ^ = 6 см і AM :М В = 2 :3. 162. Паралелограм ABCD не має спільних точок з площиною а. Через точки А, В, С, D проведено паралельні прямі, які пе ретинають площину а відповідно в точках А^, В^, С^, D^. 1) Чим є чотирикутник для паралелограма ABCD? 2) Визначте форму чотирикутника A^B^CJ)^. 3) Побудуйте проекцію центра паралелограма ABCD на пло щину а, якщо напрям проектування визначає пряма АА^

■'f.,

163. Точки А і В лежать на несуміжних бічних ребрах чотири кутної піраміди. Побудуйте перетин прямої АВ з площиною основи піраміди. 164. Точка А лежить на бічній грані паралелепіпеда, а точка В —-на нижній основі. Побудуйте точку перетину прямої АВ з площиною верхньої основи. 165. Точки А і в лежать на суміжних бічних гранях паралеле піпеда. Побудуйте точку перетину прямої АВ з площинами інших бічних граней. 166*. Точки А, В, С лежать на різних бічних гранях паралелепі педа. Побудуйте слід площини ABC на площині основи. Ко ристуючись слідом, побудуйте переріз паралелепіпеда пло щиною ABC. 167*. Побудуйте слід площини, що проходить через точку на одній бічній грані трикутної піраміди і пряму, яка знаходиться в площині іншої бічної грані, на плопщні основи піраміди. Користуючись слідом, побудуйте переріз піраміди вказаною плопщною. 168. Побудуйте проекцію правильного шестикутника ABCDEF, якщо відомі проекції вершин А, В, D. 169. Дано проекцію п’ятикутника на плопщну і розміщення трьох його вершин. Знайдіть розміщення решти вершин п’ятикутника. 170. Дано п’ятикутник і проекції трьох точок, що лежать на його сторонах. Знайдіть проекцію всього п’ятикутника. ^ 2 Математика, 10 кл.

178

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

171*. Побудуйте паралельну проекцію куба на площину однієї з граней, якщо напрям проектування паралельний деякій діагоналі куба.

Вправи для повторення

172. Дано трикутник ABC. Пряма, паралельна прямій АВ, пере тинає сторону АС у точці А^, а сторону ВС — у точці В^. Зна йдіть довжину відрізка А^В^, якщо: 1) АВ = 15 см, АА^: АС = 2 : 3 ; 2)А В = 8см , А А ^ : А ^ С = 5 : 3 ; 3) В^С= 1 0 с м , А В : В С = 4 : 5; 4) АА^ = а, АВ = Ь, А^С = с. 173. Що являє собою множина точок перетину всіх прямих, які проходять через точки бічної сторони трапеції паралельно її основам, з прямою, що проходить через іншу бічну сторону?

П ід с у м о к Головні властивості паралельного проектування

Паралельною про екцією прямої є пря ма, а проекцією від різка — відрізок.

Проекції паралель них прямих — па ралельні або ж збі гаються.

Відношеннядовжин проекцій двох від різків, які лежать на одній прямій чи на паралельних прямих, дорівнює відношенню довжин цих відрізків.

АВ DC ~ Dfi,

Розглядаються особливості побудови зображень фігур, насамперед плоских, задачі на побудову на зображеннях.

При вивченні питання про зображення фігур у сте реометрії основну увагу зосередимо на зображенні плоских фігур. І це зрозуміло, оскільки дивлячись на реальний фізичний об’єкт (будинок, гральний кубик, книжку та ін.), ми бачимо поверхню, яка у багатьох випадках складається з плоских частин (рис. 201 - 203). На рисунках і технічних крес леннях передусім намагаються зобразити поверхню об’єкта, а наш життєвий досвід дає змогу за деталями поверхні побачити предмет у цілому. Оскільки основна плоска фігура — це трикутник, з’ясуємо, яка фігура може бути зображенням трикутника. А відтак ми зможемо обговорити питання про зображення інших многокутників, відо мих з планіметрії. Крім того, мова йтиме і про зображення най простіших просторових фігур. За геометричну основу зображення візьмемо паралельне про ектування. Передусім треба уточнити зміст поняття «зображен ня», адже розуміти під зображенням фігури безпосередньо її па ралельну проекцію — доволі незручно. Фігуру великих розмірів

4 іБ

Рис. 201 12*

Рис. 203

180

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

просто неможливо спроектувати на аркуш паперу — для того, щоб зображення помістилося, паралельну проекцію фігури потрібно пропорційно зменшити (або збільшити в інших ситуаціях). Зображенням просторової фігури називається фігу ра, яка подібна паралельній проекції даної фігури на деяку площину. Дане означення вимагає доповнення. Зро зуміло, ш;о зображення повинно містити яко мога більше інформації про фігуру. Навряд чи паралельна проекція куба на рис 204, а) доволі повно відображає особливості цієї фі гури. Тому на зображенні многогранників а) зображають їхні вершини і ребра, видимі й невидимі. Як вже зазначалося, невидимі лі нії зображають штриховими лініями. Таким чином, зображення куба на рис. 204, б) більш повно дає інформацію про куб. На зображенні просторової фігури виділя б) ють також зображення її важливих елементів Рис. 204 (наприклад, діагоналей, перерізів тош;о). Зазначимо, ш;о в означенні не фіксується ні плопщна проекцій, ні напрям проектування. Це і зрозуміло, оскільки зручну для роз гляду позицію можна обирати вільно. Тепер відповімо на запитання: яка фі гура може бути зображенням трикутника? Випадок, коли трикутник лежить у про ектуючій плош;ині, не розглядатимемо. У цьому разі він проектується на відрізок (рис. 205). Оскільки паралельною проекцією три кутника є трикутник (окрім зазначеного виш;е випадку), то і зображенням трикут ника має бути трикутник. Водночас вини Рис. 205 кає запитання: «А який трикутник можна вважати зображенням даного трикутника?». Як відомо, при па ралельному проектуванні змінюються довжини відрізків, міри кутів. Зрозуміло, ш;о паралельною проекцією рівнобедреного три кутника є, взагалі каж}^и, різносторонній трикутник, проекцією тупокутного трикутника може бути гострокутний і т. д.

З ображ ен ня фігур у сте р е о м е т р ії

181

Проведення простих експериментів з картонними моделями трикутників при отриманні їхньої тіні від Сонця чи від віддале ної лампи показує, що форма паралельних проекцій трик5тника може бути різною. Більше того, можна переконатись у тому, що за рахунок відповідного розміщення моделі можна отримати як про екцію трикутник заданої форми. Таким чином, розглядаючи різні тіні одного трикутника, можна дійти наступного висновку. Зображенням даного трикутника може бути довіль ний трикутник. Математичне обґрунтування цього фак ту буде зроблено нижче. Користуючись ним, можна зробити певні висновки щодо зображення деяких чотирикутників. Із властивостей паралельного проекту вання випливає, що зображенням парале лограма є довільний паралелограм. Справ ді, паралелограм діагоналлю розбивається на два рівні трикутники (рис. 206, а). Зо браженням трикутника ABD може бути довільний трикутник Добудував ши TpHKjTHHK до паралелограма (рис. 206, б), який однозначно визначаєть ся цим трикутником, отримаємо наступний висновок. Зображенням даного паралелограма може бути до вільний паралелограм. Щодо трапецій, то подібного висновку про їхні зображення зробити не можна, оскільки при паралельному проектуванні має зберігатись відношення довжин паралельних основ. Якщо, на приклад, одна з основ удвічі менша від другої, то і на зображенні це співвідношення має зберігатись. Хоча, звичайно, зображенням трапеції має бути трапеція (але не довільна!). Щодо зображення інших многокутників, то можна вибрати три їхні точки, що не лежать на одній прямій (наприклад, три вершини). Ці точки визначають трикутник, який може зобража тись довільним трикутником. Далі, користуючись властивостями паралельного проектування (вони є і властивостями зображень).

Розділ 2. П аралельність прямих і площин

182

можна у деяких випадках будувати зображення всього много кутника. Навчившись зображати деякі плоскі фігури, розміщені у про сторі, можемо приступити до зображення найпростіших просторо вих фігур. Зображення прямокутного паралелепіпеда чи куба нічим не від різняються від зображень довільного паралелепіпеда, бо зображен нями квадратів та прямокутників можуть бути довільні паралелогра ми. Найчастіше куб зображають так, як це зроблено на рис. 207, а). На рис. 207, б-г) теж подано зображення куба. Однак, на відміну від рис. 207, а), за цими зображеннями важко скласти уявлення про властивості куба. На рис. 207, 6), в) зображення прості й правиль ні, тобто виконані за законами паралельного проектування. Проте вони не є наочними. Сказане не означає, ш;о у деяких випадках нам не знадобиться кожне з наведених зображень.

б) Рис. 207

Розглянемо докладніше побудову зображення паралелепіпеда. У §8 паралелепіпед розглядався як многогранник, гранями яко го є шість паралелограмів. У тому самому параграфі розглядався підхід до побудови фігур з відрізків. Скористаємось ним. У даній плопщні а побудуємо паралелограм ABCD і через усі його вершини проведемо паралельні прямі, які перетинають плопщну а (рис. 208). На цих прямих по один бік від плопщни а від кладемо відрізки АА^, ВВ^, CCj, DD^ однакової довжини. Неважко довести, ш;о точки А^, В^, С^, лежать в одній плошдні і е верши нами паралелограма Справді, оскільки AA^D^D, ABCD і ВВ^С^С— паралелограми, то Afi^ ||AD, AD ЦВС, ВС Ц і, згідно з ознакою паралельності прямих (теорема 2 §8), A^D^ ||В^С^ Це, зокрема, дає нам змогу стверджувати, ш,о точки А^, В^, С^, лежать у одній плопщні. Аналогічно маємо, що Ц тобто чотирикутник є паралелограмом.

З ображ ен ня ф ігур у ст е р е о м е т р ії

Рис. 208

183

Рис. 209

Сукупність усіх точок відрізків, що сполучають точки парале лограмів ABCD і утворюють фігуру, яка е паралеле піпедом (рис. 209). Зрозуміло, що під час побудови паралелепі педів можна обійтись паралельними відрізками, що спол}^ають відповідні точки паралелограмів. Зображення виконано, як і на рис. 208, тільки з урахуванням того, що паралелепіпед «заповне ний» точками, і деякі лінії невидимі для спостерігача. Як і в крес ленні, їх зображають штриховими лініями. Позначають парале лепіпед за його вершинами: ABCDA^B^CJ)^. Дві грані паралелепіпеда, що мають спільне ребро, називають ся суміжними, а ті, що не мають спільних ребер,— протилеж ними. Дві вершини, які не належать до однієї грані, називаються протилежними. Відрізок, що спол5гчае протилежні вершини, називається діагоналлю паралелепіпеда. Зображення пірамід, зокрема тетраедрів, було розглянуто у §8 у зв’язку з їхньою побудовою з відрізків. Розгляд зображень плоских і просторових фігур дозво ляє сформулювати вимоги до зображень: 1) зображення мас бути правильним, тобто задовольня ти певні правила; 2) зображення мас бути наочним; 3) зображення мас бути простим для виконання. Правильність зображення забезпечується дотриманням правил побудови паралельних проекцій. Наочність і простота забезпечу ються вибором напрямку проектування, тобто «кута зору» на фігу ру та розміщенням плопщни проекції. Так, зображення тетраедра

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

184

SABC на рис. 210, а), б) не можна вважати вдалими. У першому випадку використано паралельне проектування на площину грані ABC, а у другому — напрям проектування визначається прямою АВ. В обох цих випадках втрачена об’ємність фігури. У загально му випадку використовують трете зображення (рис. 210, в). Воно є плоским чотирикутником ABCS, у якому проведені діагоналі АС і SB. Невидиме ребро АС зображено штриховою лінією.

А а) Важливим засобом забезпечення наочності зображення є зображення елементів фігури (медіан, бісектрис, середніх ліній, діагоналей тощо), а також найпростіших перерізів. Побудова зображень різних фігур є невід’ємною складовою розв’язання задач стереометрії. Часто-густо при розв’язуванні задач необхідно виконати певні побудови на зображенні (провести медіану, вказати центр вписа ного кола, побудувати переріз тощо). Ці побудови зазвичай вико нуються за властивостями паралельного проектування. П р и к п а д 1. На довільному зображенні прямокутного рівнобедреного трикутника ABC побудувати зображення: 1) центра О описаного кола; 2) вписаного квадрата, дві сторони якого лежать на катетах три кутника, а одна з вершин — на гіпотенузі ВА.

□ Нехай зображенням прямокутного рівнобедреного трикут ника ABC (рис. 211, а) є трикутник А^В^С^ (рис 211, б). 1) Центр описаного навколо прямокутного трикутника кола є серединою гіпотенузи. Тому його зображення є серединою зображення гіпотенузи. Побудова. Розділимо відрізок А^В^ навпіл, точка поділу іє шуканою (рис. 211, в).

185

Зображ ен ня ф ігур у ст е р е о м е т р ії

Рис. 211

2) Якщо із середини О гіпотенузи АВ провести перпендикуляри до катетів (див. рис. 211, а), то отримаємо квадрат, який задовольняє умову завдання. Проведені перпендикуляри паралельні катетам. Саме цим скористуємось для побудови шуканого зображення. Побудова. З точки проводимо відрізки і O^F^, пара лельні CjBj і CjAj відповідно (рис. 211, г). Чотирикутник є шуканим. ■ П р и к л а д 2. На зображенні куба побудувати його переріз плош;иною, ш;о проходить через середини трьох паралельних ребер.

□ На рис. 212 середини ребер АА^, ВВ^, ^ f CCj, DD^ куба ABCDAjBjCjDj позначено відповідно через А^, В^, С^, D^. Зображення , цих точок лежать на серединах зображень відповідних відрізків (чому?). Нехай січна плопщна проходить через точки А^, В^, D^. Оскільки всі грані куба — квадрати, то від різок який проходить через середини протилежних сторін квадрата АА^В^В, до212 рівнюе стороні квадрата АВ (або ж ребру куба) і паралельний цій стороні. Аналогічно ||DC і = DC. Оскільки і АВ ЦDC, то, згід но з транзитивністю відношення паралельності, А^В^ ЦD^C^. Че рез паралельні прямі А^В^, D^C^ проходить єдина плопщна. У цій плотцині лежать точки А^, В^, D^, тому дана плопщна є шуканою січною. Січна плопщна перетинає грані куба по рівних відрізках А^В^, Bf,^, Cfi^ і DgAg. Отже, чотирикутник A^B^C^D^, що є шука ним перерізом, має форму ромба. Неважко помітити, що діагона лі ^ -^2^2 цього ромба рівні між собою. Тобто, чотирикутник A^B^C^D^ — квадрат. Ми не тільки побудували переріз, а й вста новили його форму. ■

‘^86

Розділ 2. П аралельність прямих і площин

Розглянемо обґрунтування наведених вище висно вків стосовно зображення основних плоских фігур. 1 (про зображення трикутника). Будь-який трикутник може бути зображенням даного трикутника. Теорема

□ Нехай дано трикутник ABC. Візьмемо довільний трикутник KMN. Він може бути зображенням трикутника ABC, якщо існують плошдна проекцій і напрям проектування, притому такі, що па ралельна проекція трикутника ABC подібна трикутнику KMN. Виберемо площину проекцій а так, щоб вона перетинала пло щину трикутника ABC по прямій АС (рис. 213). Нам треба вибра ти напрям проектування так, щоб проекцією трикутника ABC на площ^іну а був трикутник, подібний трикутнику KMN. Для цього побудуємо у площині а трикутник САЕ, подібний трикутнику АС KMN з коефіцієнтом подібності . Тоді пряма BE задає потрібМК ний напрям проектування. Оскільки трикутник САЕ є паралель ною проекцією трикутника ABC, а трикутники САЕ і KMN — подібні, то трикутник KMN е зображенням трикутника ABC. ■

Рис. 213

Ця теорема відкриває широкі можливості для вибору зображень даного трикутника, хоча, звісно, не варто використовувати зображення із властивостями, яких не має оригінал. Наприклад, недоцільно зображати до вільний трикутник у вигляді прямокутного. Переходячи до зображень інших многокутників, зауважимо, що для них, як правило, теореми, аналогічні теоремі 1, не справ джуються, хоча окремі їхні властивості зберігаються при зобра женні. Передусім йтиметься про паралельність сторін (чому?). У зв’язку з цим наведемо ще одну важливу теорему.

187

Зображ ен ня ф ігур у ст е р е о м е т р ії

2 (про зображення паралелограма). Будь-який паралелограм може бути зображенням дано го паралелограма.

Теорвма

Довести цю теорему можна, розбивши паралелограми діагоналя ми на трикутники і скориставшись теоремою 1 (див. рис. 206, а, б). Ми вже зустрічались з ситуаціями, коли планіметричні фак ти мають аналоги у просторі. І такі випадки зустрічатим5ться й далі. Найпростішій просторовій фігурі — тетраедру — відповідає на плош^іні трикутник. За теоремою 1, будь-який трикутник може бути зображенням даного трикутника. З іншого боку, тетраедр проектується в чотирикутник, який після проведення в ньому діа гоналей стає зображенням тетраедра. Виникає запитання: чи до вільний чотирикутник може бути зображенням даного тетраедра? Ствердну відповідь на нього дає теорема німецьких математиків Польке К. (1810-1877) і Шварца Г. (1843-1921). Виходячи з неї, можна будувати зображення многогранників. Для цього треба вибрати чотири вершини, ш;о не лежать в одній плопщні. Вони є вершинами якогось тетраедра. Потім задати довільним чином зображення цих точок. А вже тоді добудовувати зображення всієї фігури, користуючись властивостями проектування. 3. Побудувати зображення правильного шестикут ника. □ Розглянемо правильний шестикутник ABCZ)iJF (рис. 214, а). Він має властивості, які повинні зберігатись у його зображеннях. Сторони шестик5тника попарно паралельні (АВ ЦED, ВС ЦFE, CD II AF). Він має центр симетрії О, а відрізки, ш;о сполз^ають точку о з вершинами шестикутника, рівні між собою і дорівнюють його стороні. Тепер неважко помітити, що досить побудувати зо браження паралелограма (навіть ромба) АВСО, аби потім добуду вати до нього зображення всього шестикутника. Приклад

б) Рис. 214

188

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Нехай паралелограм є зображенням паралелограма АВСО (це може 6jTH довільний паралелограм!). Продовживши за точку Oj так, щоб 0^D^= побудує мо паралелограм (рис. 214, б). По суті, побудовано пара лелограм, центрально-симетричний до паралелограма відносно його вершини Oj. Сполучивши точки А^ і Fj, Cj і D^, діс танемо зображення правильного шестикутника (рис. 214, в). ■

Д і^пнтрольні запитання 1.

Котра з фігур на рис. 215, а)-г) не є зображенням квадрата?

а)

б)

в)

г)

Рис. 215

Котра з фігур на рис. 216, а)-г) не є зображенням куба?

а)

б)

Рис. 216

На котрому з рис. 217, а)-г) зображення куба не є правиль ним.''

а)

J ---

J.-------- 1.

б)

в)

Рис. 217

4. 5.

На котрому з рис. 218, а)-г) зображення тетраедра не є пра вильним.' Чи є паралельна проекція фігури її зображенням?

189

Зображ ен ня ф ігур у ст е р е о м е т р ії

а)

б)

в)

г)

Рис. 218

Чи можна прямокутний трикутник вважати зображенням рівнобедреного трикутника? 7. Чи правильно, що зображенням середньої лінії трикутника є середня лінія його зображення? 8. Чи може паралелограм бути зображенням трапеції? 9. Чи може трикутник бути зображенням тетраедра? 10. Чи можна тетраедр зобразити так, щоб тільки одна його грань була невидимою? 11. Яка найменша кількість ребер куба може бути видимою при зображенні? А найбільша? 12. Якою фігурою є зображення: а) відрізка; б) трикутника; в) тра пеції; г) паралелограма; ґ) /г-кутника?

ІрІ Графічні вправи 1. 2.

Встановіть, яким граням тетраедра ABCD, зображеного на рис. 219, належать точки Р, К, Ш Які пари точок з точок X, Y, Z, Т, вказаних на зображенні тетраедра на рис. 220, не лежать в одній грані?

Рис. 219

190

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Якою фігурою є переріз куба площиною, що проходить через точки М, N, Р, вказані на рис. 221, а)-г)?

а)

б)

в)

г)

Рис. 221

ІШЯ Задачі 174°. Дано зображення рівнобедреного трикутника у вигляді різностороннього трикутника. На цьому зображенні побудуйте зображення: 1) бісектриси кута при вершині; 2) перпендикуляра до основи, проведеного через середину бічної сторони; 3) ромба, дві суміжні сторони якого збігаються з бічними сто ронами трикутника. 175. На зображенні рівнобедреного прямокзтного трикутника побудуйте зображення квадрата, що лежить у площині три кутника, якщо стороною квадрата є: 1°) катет даного трикутника; 2) гіпотенуза даного трикутника. 176. На довільному зображенні рівностороннього трикзтника ABC побудуйте зображення: 1°) точки перетину висот трикутника; 2°) «описаного» прямокутника, одна зі сторін якого збігаєть ся з деякою стороною трикутника, а інша містить протилеж ну вершину; 3) бісектриси зовнішнього Kjrra трикутника. 177. Дано зображення трикутника і двох його висот. Побудуйте зоб раження центра кола, описаного навколо цього трикутника. 178. На зображенні прямокутного трикутника, один із гострих кутів якого дорівнює 60°, побудуйте зображення: 1) бісектриси цього кута; 2) висоти, що проведена до гіпотенузи; 3) центра вписаного кола.

З о б р а ж е н н я ф іг у р

у с т е р е о м е т р і ї ______________

191

179°. Побудуйте зображення ромба і його висоти, проведеної з вершини кута, величина якого становить 120°. 180. Побудуйте зображення квадрата, маючи зображення точки перетину його діагоналей і двох: 1°) сусідніх вершин; 2*) протилежних вершин. 181. На довільному зображенні рівнобічної трапеції, бічна сторо на якої дорівнює меншій основі, побудуйте зображення: 1°) осі симетрії трапеції; 2) вписаного прямокутника, дві вершини якого лежать на більшій основі й одна зі сторін збігається з меншою осно вою; 3) центра кола, дотичного до бічних сторін і меншої основи трапеції. 182. Дано зображення рівнобічної трапеції, кути при основі якої дорівнюють 45°. Побудуйте зображення: 1) центра кола, описаного навколо трапеції; 2*) центра кола, дотичного до меншої основи і бічних сто рін. 183. Дано зображення кола і одного з його діаметрів. Побудуйте зображення радіусів кола, перпендикулярних до цього діа метра. 184. Дано зображення куба ABCDA^B^Cfiy 1°) Побудуйте лінію перетину плопщн DA^C^ і B^D^D. 2) Знайдіть довжину відрізка цієї лінії, який міститься в кубі, якпі;о ребро куба дорівнює а. 3) Побудуйте переріз куба плопщною, яка проходить через центри трьох попарно суміжних його граней. 185. Дано зображення тетраедра ABCD, точки К, М І Р — середи ни DC, AD і BD, відповідно. 1°) Побудуйте лінію перетину плопщн АСР і ВМК. 2) Знайдіть довжину відрізка цієї лінії, який міститься в тетраедрі, якш,о довжини всіх його ребер дорівнюють а. 3) Побудуйте переріз тетраедра плопщною, яка проходить через точки перетину медіан трьох його граней. 186. Побудуйте переріз тетраедра SABC плопщною, що прохо дить через: 1°) середини ребер SA, SC і ВС;

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

192

2) точку М на AS {A M : AS = 1 : 2 ) , точку N на SC (C N : NS = = 1 : 2) і точку Р на ВС (СР : РВ = 1 : 2 ) ; 3) середини ребер AS, АВ та центр грані SBC; 4*) центри граней ASB, ABC і BSC. 187. Побудуйте переріз куба ABCDA^B^CJD^ площиною, що про ходить через: 1) ребро CD і центр грані АА^В^В; 2) діагональ A^D і центр грані BCCfi^, З*) середини ребер AD, CD і точку В; 4*) центри граней CDD^C^, СВВ^С^ і точку А.

Вправи для повторення

188. Дві паралельні прямі перетято третьою прямою. Один з восьми утворених кутів дорівнює 50°. Чому дорівнює кожен з решти кутів? 189. Маємо куб 1) Вкажіть усі ребра, паралельні ребру АА^. 2) Доведіть, що ребро DC паралельне лінії перетину площин АВС^іА^Вр. 3) Чи існує в площині ABCj пряма, паралельна прямій AJ)^ 4) Нехай а — довільний відрізок в грані куба. Побудуйте відрізок, паралельний відрізку а, в неєуміжній грані куба. Підсумок Головні твердження

Будь-який трикутник може бути зображенням даного трикутника.

Будь-який паралелограм може бути зображенням даного паралелограма.

П аралельність пр ям и х і площин

Розглядається одне з важливіших відношень у стерео метрії — паралельність прямої і площини, його власти вості і застосування.

У попередніх параграфах було розглянуто відно шення паралельності прямих у просторі та його за стосування. Не менш важливим як з теоретичного, так 1з практичного погляду є відношення паралельності між пря мими і площинами. Навколо себе ми бачимо безліч прикладів, які ілюструють вза ємне розміщення прямих і плопщн (наприклад, взаємне розмі щення стін, стелі, підлоги в кімнаті та ліній їхнього перетину, перекладини футбольних воріт і поверхні землі, ручки й аркуша паперу тощо, рис. 222 - 224).

Рис. 222

Рис. 223

Рис. 224

Аналіз випадків взаємного розміщення прямої і площини з погляду наявності у них спільних точок дає такі варіанти роз міщень. 1. Пряма і плопщна мають принаймні дві спільні точки. Тоді, згідно з аксіомою Cj, пряжа належить площині.

М атематика, 10 кл.

194

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

2. Пряма і площина мають єдину спільну точку. Можливість такого розміщення пря мих і площин забезпечується тим, що поза площиною є точки простору. Довільна точ ка на площині і точка поза площиною ви значають пряму, що має з площиною одну спільну точку, тобто перетинає її. 3. Пряма і площина не мають спільних точок. У цьому разі їх називають пара лельними.

-7^

Пряма і площина, які не мають спільних точок, на зиваються паралельними. Паралельність прямої а і площини а позначають звичним симво лом паралельності: а Ца або а Ца. Користуючись означенням, можна вста новити паралельність прямих і площин, пов’язаних з вершинами куба. Нехай дано куб ABCDA^B^C^D^ (рис. 225). Пряма паралельна площині ABCD. Справді, ця пряма лежить у площині АВВ^А^. І якби вона перетинала площину А В CD, то це було б у точці, яка е спільною для площин ABCD і АВВ^А^. Але ж спільні точки цих площин утворюють пряму АВ, яка паралельна прямій Таким чином, пряма AjBj не має спільних точок з площиною ABCD, тобто вона паралельна плоїцині ABCD. Цей висновок стосується кожної пря мої, яка містить ребро куба, і плопщни, яка містить грань куба, що не має спільних точок з цим ребром (В^С^ і ADD^A^, і АВВ^А^ тощо). Розглянутий спосіб обґрунтування паралельності прямої і пло щини можна узагальнити у такому твердженні. Т е о р е м а 1 (ознака паралельності прямої і площини). Якщо пряма, що не лежить у даній площині, паралельна деякій прямій площини, то вона паралельна самій пло щині. □ Нехай пряма а не лежить у площині а і паралельна прямій Ьцієї площини (рис. 226, а). Проведемо через прямі аіЬ площину р (рис. 226, б) (чому це можна зробити?). Площини а і Р перети-

195

П аралельність пря м и х і площ ин

а) Рис. 226

наються по прямій Ь (збігатися вони не можуть за умовою). Тоді, якщо пряма а має спільну точку з плопщною а , то ця точка зна ходиться на прямій Ь. Але це суперечить умові, адже прямі а і Ь— паралельні. Тому пряма а не має спільних точок з площиною а, тобто пряма а і площина а — паралельні. ■ З а д а ч а 1. Через дану точку М, що не лежить в площині а, провести пряму, паралельну а. □ Візьмемо в площині а довільну пря му І. Пряма І і точка М визначають деяку плопщну р. Проведемо у площині р через точку М пряму а, паралельну прямій І (рис. 227). Згідно' з ознакою паралельності прямої і площини, пряма а і площина а — паралельні. ■ Зауважимо, що через точку М, що ле жить поза площиною а, можна провести Рис. 227 нескінченну кількість прямих, паралель них даній плопщні. Це випливає, наприклад, з довільності вибо ру прямої І у розв’язанні задачі. До речі, для довільної прямої а, паралельної площині а, існує нескінченна кількість прямих у площині а, які паралельні а. D

13*

д алі ПІД паралельністю відрізка, променя площині Над (чи відрізка, променя — многокутнику тощо) розуміти мемо паралельність відповідних прямих і площин, які визначаються даними фігурами.

196

Розділ 2. П аралельність прямих і площин

П р и к л а д 1. Два паралелограмиАВСДіАВС^І)^ лежать у різних площинах, N, М і К — середини сторін АВ, CD і AD^ відповідно. 1) Визначити взаємне розміщення прямих і площин: і ABC; KN і D D fi D^B і MKN. 2) Побудувати точку перетину L прямої iCV з плопщною ВСС^. 3) Обчислити довжину відрізка KL, якщо A7V дорівнює 2 см. □ Побудуємо рисунок, який відпові дає умові (рис. 228). 1) Пряма і плопщна ABC — па ралельні, за ознакою паралельності р/ прямої і площини (теорема 1), адже прямі CjDj і АВ — паралельні, за умо вою, пряма АВ належить площині ABC, D М С пряма C^D^ їй не належить. Рис. 228 Пряма KN перетинає плопщну DD^C. Справді, прямі CD і CjDj — паралельні, за ознакою паралельності прямих (теорема 2 §8). Тому пряма належить площині DD^C (чому?). У площині ABCJ)^ прямі KN і CjDj перетинаються. Таким чином, пряма KN має спільну точку з площиною DD^C. Пряма паралельна площині MKN. Справді, відрізок KN є середньою лінією трикутника A D fi. Тому пряма KN паралельна прямій D^B. Оскільки пряма D^B не лежить у площині MKN, то, за ознакою паралельності прямої і площини (теорема 1), пряма D^B паралельна площині MKN. 2) Пряма KN лежить у площині АВСу Тому точка її перетину з площиною ВСС^ лежить на лінії перетину площин АВС^ і ВСС^, тобто на прямій ВС^. Побудова. Знаходимо точку перетину прямих KN і ВС^ у пло щині АВС^, це і є шукана точка L (рис. 229). 3) Для обчислення довжини відрізка KL зобразимо побудову на плопщні ABCjZ)j (рис. 230). Розглянемо трикутники AKN і BLN. Вони рівні, за ознакою рівності трикутників: AN = BN, за умовою, D,_______________________________ С ,

М Рис. 229

П аралельність п ря м и х і площ ин

197

/A K N = ZBLN як внутрішні різносторонні кути при паралельних АК і BL та січній KL, ZKNA = ZBNL як вертикальні кути. Звідси NL = KN = 2 (см). Тому KL = KN + NL = 4 (см). ■ Відповідь. 3) 4 см. Розглянемо твердження, обернене до ознаки пара лельності прямої і площини. Для цього необхідно поміняти умову і висновок цієї теореми.

ш 2 (обернена до ознаки паралельності прямої і пло щини). Якщо пряма паралельна площині, то в цій площині іс нує пряма, яка паралельна даній прямій.

Тєорєма

Ця теорема е властивістю відношення паралельності прямої і плопщни. Наочно правильність наведеного твердження очевид на. Логічна її обґрунтованість випливає з наступної теореми, яка і сама корисна при розв’язуванні багатьох задач. З (про лінію перетину площин, одна з яких прохо дить через пряму, паралельну другій). Якщо площина проходить через пряму, паралельну ін шій площині, і перетинає цю площину, то лінія їхнього перетину паралельна даній прямій. Теорема

□ Нехай пряма а паралельна плопщні а, а плопщна р містить пряму а і пере тинає плопщну а по прямій Ь (рис. 231). Прямі а і Ь лежать в одній плопщні, за побудовою. Вони не мають спільних то чок, бо тоді пряма а мала б спільні точки з площиною а. А, за умовою, пряма а па ралельна плопщні а. Тому прямі а і Ь— паралельні. ■ Тепер зрозуміло, як довести теорему 2. Через дану пряму, паралельну площині а, слід провести плошцну, яка перетинає плопціну а. Для цього достатньо взяти в плопщні а довільну точку і через пряму а та об рану точку провести плопщну.

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

198

Провести через одну з двох мимобіжних прямих плоідину, паралель ну іншій прямій. Задача

□ Нехай а іЬ — мимобіжні прямі. Про ведемо через довільну точку В прямої Ь пряму а', паралельну прямій а (рис. 232). Прямі а' і Ьвизначають нлопщну а, яка, за ознакою паралельності прямої і площини, паралельна прямій а. ■

Рис. 232

П р и к л а д Z . y правильному тетраедрі DABC, усі ребра якого дорівнюють 6 см, точка К лежить на ребрі DB, і DK = 2 см. Точка М лежить на ребрі ВС, і ВМ = 4 см. Точка Р — середина АВ. 1) Довести, що пряма КМ паралельна площині ADC. 2) Довести, що пряма РМ перетинає площину ADC. 3) Провести через точку Р пряму, паралельну площині ADC, яка перетинає медіану BL трикутника BDC. 4) Побудувати переріз тетраедра площиною, яка проходить через точки Р І К паралельно прямій АС. 5) Провести через центр грані BDC пряму, паралельну площинам ABD і ACD, і знайти довжину найбільшого відрізка цієї прямої, який належить тетраедру.

□ Побудуємо рисунок, який відображає умову завдання П (рис. 233). 1) З умови випливає, що точки К І М поді ляють сторони BD і ВС трикутника BDC в од наковому відношенні, рахуючи від вершини В. За теоремою, оберненою до теореми Фалеса, пряма КМ паралельна прямій DC. А тоді, за^ ознакою паралельності прямої і плопщни (тео рема 1), пряма ІЇЖ паралельна плопщні ADC. 2) Точки Р і М поділяють сторони ВА і ВС трикутника ABC у різних відношеннях, раху ючи від вершини В. З теореми Фалеса випли ває, що пряма РМ перетинає пряму АС. А це означає, що вона перетинає і плопщну ADC. 3) Розглянемо трикутник ABL (рис. 234), де L — середина CD. Точка Р є серединою сторони АВ, а точка Е — серединою сторони BL, відрізок РЕ є середньою лінією трикутника ABL. Тому пряма РЕ паралельна прямій AL, яка лежить у плопщні ADC. За

199

П аралельність п ря м и х і площ ин

'Л

Рис. 234

:^ с

Рис. 235

Рис. 236

ознакою паралельності прямої і площини (теорема 1), пряма РЕ паралельна площині ADC і перетинає медіану BL трикутника BDC. 4) Проведемо через точку Р пряму, паралельну прямій АС, і позначимо її точку перетину зі стороною ВС через F (рис. 235). Трикутник PKF є шуканим перерізом. 5) Нехай О — центр грані BDC (рис. 236). У трикутнику ADF, де F — середина ВС, проведемо пряму 00^, паралельну прямій AD. Тоді пряма OOj буде паралельною площинам ABZ) і А С Д за ознакою паралельності прямої і площини. Трикутники A D F і OO^F— подібні. ОО, _ OF Тому З умови маємо: AD = 6 см, DF - Зл/З см, AD FD OF = - D F = л/з см. Звідси: ОО, = 2 см. З

В ідповідь. 5) 2 см.

Н '^^^^'^рольні 1.

запитання

На рис. 237 зображено прямокз^ний па ралелепіпед ABCDAfi^CJ)^. г ........... 1) У площинах яких граней паралелепі педа лежить пряма СС^? ^ 2) З площинами яких граней паралеле В піпеда перетинається пряма і 3) Площинам яких граней паралелепі / / педа паралельна пряма ВС? 4) Як розміщені діагоналі грані ^ Рис. 237 відносно площини ABCD1

200

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

Скільки існує площин, паралельних ре бру ВВ^ куба ABCDA^B^CJ)^ (рис. 238) і таких, що проходять через: 1) вершину D\ з / 2) ребро DC\ / 3) діагональ грані АС; / 4) діагональ куба D 3. Куб ABCZMj5jCjZ)j (рис. 239) перетина Рис. 238 ється плопщною, що проходить через се В редини М, N ребер АВ і ВС паралельно ребру DD^. 1) Який многокутник отримано у пере 1 різі? / 2) Чому дорівнює периметр перерізу, / якщо ребро куба дорівнює а? D М 4. У правильному тетраедрі SABC (рис. 240) Рис. 239 площина а проходить через середину М ребра AS паралельно прямій CS. Чи може переріз тетраедра плопщною а бути: 1) трикутником; 2) правильним трикутником; 3) чотирикутником; 4) ромбом? 5. Відомо, що пряма паралельна плопщні. Чи паралельна вона кожній прямій цієї площини? 6. Чи правильно, що діагональ грані куба паралельна протилежній грані куба? 7. Чи можуть перетинатися площини, паралельні одній і тій са мій прямій? 8. Чи правильно, що через точку поза плопщною можна провес ти лище одну пряму, паралельну даній плопщні? 9. Пряма мимобіжна з деякою прямою, що лежить у даній пло пщні. Чи може вона бути паралельною цій плошдні? 10. Чи може плош^іна, що проходить через середини двох сторін трикутника, перетинати його третю сторону? 2.

/і

л/

П а р а л е л ь н іс т ь п р я м и х і п л о щ и н

201

Графічні вправи 1. На рис. 241 зображено тетраедр ABCD, точки К, F ,M ,N — середини відповідних ребер. Заповніть за наведеним зразком таблицю, вибравши необхідне розміщен ня прямих І і площин а.

На В заєм ні розміщення

MN MN KF DB КС CF iA M N і ABC iDM N iABD iDM N iADN +

n ia le a 2.

Побудуйте рисунок за наведеними даними. 1) Пряма АВ паралельна плош^іні а, а плопщна ABC перети нає плош^іну а по прямій CD. 2) Пряма а паралельна кожній з площин а і р, що перетина ються. 3) Плопщна проходить через вершини В, D^ куба Cfi^ паралельно ребру CD.

ЕшЗадачі 190. Трикутник ABC і паралелограм ABFD лежать у різних плопщнах, М, N, К — середини сторін АС, ВС, BF відповідно. 1°) Визначте взаємне розміщення прямих і плопщн: DF і ABC; АВ і MNK; АС і DBF; МК і BCD. 2°) Побудуйте точку Р перетину прямої BD з плопщною ACF. 3) Обчисліть довжину відрізка РК, якщо M N = З см. 4) Побудуйте пряму, паралельну плопщнам трикутника і паралелограма. 191. Ромб ABCD і прямокутник DBEF лежать у різних плопщнах; М, N, К — середини сторін AD, АВ, EF відповідно.

20 2

192.

193.

194.

195.

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

1°) Визначте взаємне розміщення прямих і площин: EF і ABC; МС і DEF-, MN і CFE] BE і ADF. 2°) Побудуйте точку Р перетину прямої MN з площиною ВСЕ. 3) Обчисліть довжину відрізка EF, якщо MN - 4 см. 4) Побудуйте пряму, паралельну плопщнам ромба і прямо кутника. Дано куб ABCDAjSjCjDj. 1°) Визначте взаємне розміщення прямої CD і площин ABC, АВВ^, А А р . 2°) Доведіть, що пряма АВ^ паралельна площині CDD^. 3) Через середину ребра проведіть пряму, паралельну площинам A A fi і CCfi^ 4°) Побудуйте пряму, що перетинає площини тільки чоти рьох граней куба. 5) Побудуйте лінію перетину плопщн ADCj і A J)fi. 6) Знайдіть кут між прямими А^В і В^С. Дано чотирикутну піраміду SABCD, в основі якої лежить трапеція ABCD, BC\\AD. 1°) Визначте взаемне розміщення прямої AD і площини BCS. 2) Через середину ребра AS проведіть пряму, паралельну площинам ABC і BCS. 3°) Побудуйте пряму, що перетинає плопщни тільки двох бічних граней. 4*) Побудуйте лінію перетину площин, які містять проти лежні бічні грані, що проходять через основи трапеції. Точка В лежить у плопщні а, а віцрізок CD завдовжки 12 см паралельний цій плопщні. Точка А лежить на відрізку ВС І В А :А С ^ 4 :3 . 1°) Побудуйте точку Р перетину прямої AD з площиною а. 2°) Визначте взаемне розміщення прямих ВР і CD. 3) Знайдіть довжину відрізка ВР. Трапеція ABCD лежить у площині а. Гі основа ВС дорівнює 12 см. Точка М лежить поза плопщною а, а точка К — сере дина відрізка ВМ. 1) Побудуйте точку N перетину плопщни ADK і відрізка МС. 2) Визначте взаємне розміщення прямої KN і площини а. 3) Знайдіть довжину відрізка KN.

П аралельність п ря м и х і площ ин

203

196. Точка М не лежить у площині прямокутника ABCD. Дове діть, що пряма CD паралельна плопщні трикутника АВМ. 197. Плопщна а паралельна стороні ВС трикутника ABC і про ходить через середину сторони АВ. Доведіть, що площина а проходить через середину сторони АС. 198. Доведіть, що дві площини перетинаються, якщо: 1) через точку, яка не належить цим плопщнам, можна про вести лише одну пряму, паралельну даним плопщнам; 2) одна із площин перетинає пряму, паралельну дрзтій пло щині.

№

199. Побудуйте пряму, яка проходить через дану точку і пара лельна двом даним площинам, що перетинаються. 200. Проведіть через дану точку простору плопщну, паралельну двом даним мимобіжним прямим. 201. Дано трикутну піраміду SABC. Побудуйте точку перетину плопщни ABC з прямою MN, якщо: 1°) точки М і iV лежать на ребрах SC і SB; 2) точка М лежить на ребрі AS, а точка N — на грані BSC; З*) точка М лежить на грані ABS, а точка N — на грані ASC. 202 . Через центр грані AAJ)J) куба ABCDA^B^C^D^ проведено дві прямі, паралельні прямим D^D і В^С відповідно. 1) Знайдіть Kj^ між цими прямими. 2) Визначте взаємне розміщення побудованих прямих і пло щин BBjCjC та DD^C^C. 203. Дано куб ABCDA^B^CJ)^. Побудуйте переріз куба плопщною, яка проходить через: 1°) вершини А, В, Ср 2°) вершини B ,D \ середину ребра АА^, 3°) середину ребра CD паралельно плопщні ADC^, 4°) центр грані CDDfi^ паралельно плопщні ADD^; 5) вершину А і середини ребер СС^ і C^D^] 6*) відрізок, який з’єднує середини ребер AAj^ і BjCj, пара лельно плопщні АВ^С. Дано тетраедр SABC і точку F на ребрі АВ, яка поділяє від 204. різок АВ у відношенні 3:1 (A F : FB). 1) Побудуйте переріз тетраедра плопщною, яка проходить че рез вершину С, середину ребра AS і паралельна прямій BS. 2*) У якому відношенні побудований переріз ділить відрі зок, що з’єднує точку F і середину відрізка АС?

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

204

вправи для повторення 205. Маємо паралелепіпед ABCDA^B^C^D^. 1) Вкажіть дві прямі, паралельні площині ABC, що прохо дять через одну точку. 2) Побудуйте плопщну, яка перетинає площину ABC і містить нескінченну кількість пріїмих, паралельних плопщні ABC. З*) Чи можуть перетинатися площини ABC і А^В^С^ 206. Нехай прямі а і 6 перетинаються. Побудуйте плопщну, що проходить через дану точку простору паралельно як прямій а, так і прямій Ь.

П ід с у м о к Головне означення

Пряма і площина, які не мають спільних то чок, називаються па ралельними.

Головні твердження

Ознака пара Якщо пряма, що не ле лельності пря жить у даній площині, мої і площини паралельна деякій пря мій плош^іни, то вона паралельна самій пло пщні. Теорема, обер нена до ознаки паралельності прямої і пло щини

Якщо пряма паралель на площині, то в цій площині існує пряма, яка паралельна даній прямій.

Теорема про лі нію перетину площин, одна з яких проходить через пряму, па ралельну другій

Якщо площина прохо дить через пряму, пара лельну ІЕшгій площині і перетинає цю площину, то лІЕПя перетину пара лельна даній прямій.

а.

П аралельність площин

Розглядається важливе для стереометрії відношення — паралельність площин, його властивості і застосування.

Наочне уявлення про розміщення двох плопщн дає моделювання за допомогою площин поверхонь су міжних стін, стелі і підлоги кімнати, двоярусних ліжок, двох скріплених аркушів паперу тощо (рис. 242-244).

Рис. 242

Рис. 243

Рис. 244

Хоч існує безліч варіантів взаємного розміщення різних пло щин, для виявлення і характеристики яких у подальшому будуть застосовані вимірювання кутів та відстаней, ми зупинимось на таких, де в основу класифікації (як і прямих з плопцінами) по кладена кількість їхніх спільних точок. 1. Дві плопщни мають не менш ніж три спільні точки, що не лежать на одній прямій. Тоді плопдани збігаються (аксіома С^, §7). 2. Спільні точки двох плопщн розміщені на одній прямій, яка є лінією перетину цих плопдан (аксіома С^, §7). Тоді площини пе ретинаються.

206

Розділ 2. Паралельність прямих І площин

3. Дві площини не мають спільних то чок. У цьому разі їх називають паралель ними.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. Паралельність площин позначається знаком Ц: а Цр. Як завжди, при введенні геометричних понять постає про блема їхнього існування. Існування площин, які перетинають ся, є характерною ознакою простору. І цим ми вже багато разів користувались. Менш очевидним е існування паралельних плопщн. Жодного сзпиніву немає, що, наприклад, площини проти лежних граней куба є паралельними, тобто не перетинаються. Але безпосередньо, за означенням, це встановити неможливо. Для розв’язання поставленого питання, а також інших питань, пов’язаних з паралельністю плошдін, необхідно мати ознаку па ралельності. Для пошуку ознаки доцільно розглядати площину, «зіткану» з прямих. Очевидно, що кожна пряма однієї з паралельних площ;ин має бути паралельною до другої. У протилежному випадку плошдни MaTHMjTb спільну точку. А чи достатньо паралельності плопщні р однієї прямої плопщни а для того, аби плопщни а і р були паралельними? Безумовно, ні (обґрунтуйте це!). Практич ний досвід свідчить, що двох таких прямих, які пе ретинаються, достатньо. Щоб закріпити на щоглі паралельну до землі площадку, досить покласти її / на дві прикріплені до щогли балки, паралельні до землі (рис. 245). Можна навести ще багато прикладів застосування цього прийому забезпечення па— ралельності плоских поверхонь реальних об’єктів Рис. 245 (спробуйте це зробити!). Наведені міркування дозволяють сформулювати наступне твердження. 1 (ознака паралельності площин). Якщо дві перетинні прямі однієї площини паралельні другій площині, то ці площини є паралельними.

Теорема

П аралельність п л ощ и н

207

□ Нехай перетинні прямі а і Ь площи ни а паралельні площині р. Доведемо, що плопщни а і Р є паралельними методом від с5шротивного. Для цього припустимо, що площини а і Р перетинаються по прямій т (рис. 246). Прямі а і Ь перетинати пряму т не можуть, за умовою. Однак тоді в площи ні а через одну точку проведено дві прямі, що не перетинаються з прямою т, тобто па ралельні їй. Ця суперечність і завершує до ведення теореми. ■

Рис. 246

Ознакою паралельності плоїцин користуються при горизонталь ному розміщенні плоских конструкцій (бетонних плит, підлоги, дис ка кутомірних приладів тощо) за допомогою двох рівнів, розміщених у площині конструкції на прямих, що перетинаються. За цією озна кою можна виконати побудову плопщни, паралельної даній. З а д а ч а 1. Через точку, що міститься поза даною площиною, провести площину, паралельну даній. □ Нехай дано плопщну р і точку М поза площиною (рис. 247, а). Проведемо через точку М дві перетинні прямі а і Ь, паралельні плопщні р . Для цього треба взяти в площині р дві прямі с і d, що перетинаються (рис. 247, б). Потім через точку М провести прямі аіЬ, паралельні прямим c i d відповідно (рис. 247, в). Прямі аіЬ, що перетинаються, паралельні площині р , за ознакою паралельності прямої і плопщни (теорема 1 §11). Вони визначають однозначно плопщну а. Згідно з доведеною ознакою, а Ц р . ■ М

б )

в)

Рис. 247 П р и к л а д 1 . Дано куб ABCDA^B^Cfi^, точки М, N, Р е середи нами ребер ВС, В^С^, відповідно. Встановити взаємне розмі-

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

208

щення площин: 1) АВВ^ і PNM\ 2) NMA і А^С^С; 3) AJSlMi РС^С; 4) MAD^ і DB^C. □ 1) Площини АВВ^ і PNM (рис. 248) — паралельні, за озна кою паралельності площин (теорема 1). Справді, прямі PN і NM перетинаються і паралельні площині АВВ^, за ознакою паралель ності прямої і плопщни (теорема 1 §11), адже відрізки PN і N M з’єднують середини протилежних сторін квадратів, тому вони па ралельні сторонам квадратів: PN Ц NM\\ В^В. 2) Плош;ини NMA і А^С^С перетинаються по прямій АА^ (рис. 249). Справді, прямі АЛ^ і СС^ — паралельні, за ознакою па ралельності прямих (AAj IIВВ^, ВВ^ II CCj). Тому пряма АА^ лежить у плоддині AjCjC. Аналогічно обґрунтовується належність прямої AAj плопщні NMA. 3) Плошдни AJSfM і РС^С (рис. 250) — паралельні, за озна кою паралельності плопщн. Справді, NM ЦС^С. Тому пряма NM паралельна плопщні PCfi. Відрізки РС^ і AJSI також паралель ні, оскільки чотирикутник PCJSIA^ є паралелограмом (А^Р ЦNC^, А^Р = NC^. Таким чином, пряма AJS! паралельна плопщні РС^С. Прямі AjiV і NM перетинаються. пА Г І

N '/ /

1 Ф

В Рис. 248

Рис. 249

4) Плопщни MAD^ і D B fi перетинаються (рис. 251). Хоча лінію їхнього перетину побудувати непросто, але вказати одну точку цієї лінії неважко. Справді, прямі AJ) ІВ^С — паралельні, оскіль ки чотирикзтник A^B^CD є паралелограмом (А^Б^ = АВ = CD, AjBj II АВ, АВ II CD). Тому пряма AJ) належить плопщні DB^C. Прямі AJD і ADj перетинаються в точці, яка є спільною для пло пщн MAD^ і DB^C. Ш Наведену ознаку паралельності плопщн іноді зручніще використовувати у дещо інщій формі.

П аралельність площ ин

209

Т е оре ма Г (ознака паралельності площин). Я кщ о дві п ер ети н н і п ря м і о д н іє ї п лощ и ни відп овідн о п аралел ьні д в ом прям и м д р у го ї п лощ и ни , то ці п лощ и ни паралельні. Користуючись ознакою паралельності прямої і площини (тео рема 1 §11), неважко встановити, що з умови теореми 1' випливає умова теореми 1. Застосування теореми, оберненої до ознаки па ралельності прямої і площини (теорема 2 §11) завершує обґрунту вання еквівалентності умов теорем 1 і 1'. Природно, постає питання про однозначність наведеної у зада чі 1 побудови. Оскільки нам доведеться не раз скористатися цією властивістю, то виділимо її як окрему теорему. Проте спершу роз глянемо інше твердження. Теорема

2 (про перешин двох паралель

них площин третьою). Я кщ о дві паралельні п лощ и н и п е р ети н а ю ть ся тр е ть о ю п л ощ и н ою , то л ін ії п ер ети н у площ ин е п аралель ними. □ Нехай дано паралельні плопщни а, р і плопщну у, що їх перетинає (рис. 252). По значимо лінії перетину через а і Ь. Ці пря мі лежать у плопщні у і не перетинаються, оскільки плопщни а і Р не мають спільних точок. Тому прямі аіЬ — паралельні. ■ Теорема

Рис. 252 З (про існування та єдиність площини, паралельної

даній). Ч е р е з точ ку, р о зм іщ ен у п оза д а н о ю п л ощ и н ою , м ож н а п р о в е ст и єд и н у п лощ и ну, п аралельн у даній . □ Побудову такої плопщни вико нано у задачі 1. Однозначність побу дови доведемо методом від супротив ного. Припустимо, що через точку М проведено дві різні плопщни а і у, па ралельні плопщні Р (рис. 253), і пряма т — лінія їхнього перетину. Проведе мо через точку М плопщну 5, яка пе ретинається з прямою т і плопщною Р (як це можна зробити?). Позначимо 14

М атематика, 10 кл.

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

210

через аіЬ лінії перетину плопщни б з плопщнами а і у, а через с — лінію перетину площин 8 і р (рис. 253). Згідно з теоремою 2, а\\с і 6||с. Тобто в площині 5 через точку М проходять дві прямі, паралельні прямій с. Суперечність свідчить про неправильність припущення. ■ Відношення паралельності плопщн має ряд властивостей, які мають аналоги в планіметрії. Т е о р е м а 4 (про відрізки паралельних прямих між паралель

ними площинами). Відрізки паралельних прямих, що відтинаються пара лельними площинами, рівні між собою. □ Нехай дано дві паралельні площини а і Р і відрізки АВ і CD паралельних прямих а і d, які відтинаються щіми площинами (рис. 254, а). Проведемо через прямі a i d площину у (рис. 254, б). Вона перетинає площини а і Р по прямих АС і BD, які, згідно з теоремою 2, паралельні. Тому чотирикутник ABCD — паралело грам, його протилежні сторони АС і BD — рівні. ■

а) Рис. 254 З наведеної властивості випливає, що якщо від усіх точок плопщни відкласти по один бік від площини паралельні відрізки однакової довжини, то кінці цих відрізків утворюють дві паралельні площини. Саме на цій властивості ґрунтується побудова паралелепіпеда за допомогою відкладен ня відрізків (рис. 255).

Рис. 255

211

П а р а л е л ь н іс т ь п л о щ и н

Теорема

(про т р ан зи т и вн іст ь в ідн ош ен н я п ар а л ел ьн ост і

площ ин).

Якщо кожна з двох площин паралельна третій, то дані дві площини паралельні між собою. □ Нехай площини а і (Зпаралельні площині у. Припустимо, що а і Р — не паралельні. Тоді площини а і р мають спільну точку. І через цю точку проходять дві різні площини, паралельні площині у, що суперечить теоремі 3. Тому площини а і р не мають спільних точок, тобто вони паралельні.■ Теорема 5 є ще однією ознакою паралельності плопщн. Вона широко застосовується як у геометрії, так і у практичній діяльнос ті. Наприклад, у багатоповерховій будівлі паралельність площин підлоги і стелі на одному поверсі гарантує їхню паралельність і на різних поверхах. З а д а ч а 2 . Довести, що коли пряма а перетинає площину а, то вона перетинає також кожнз^ площину, паралельну плопщні а.

□ Нехай площини а і Р — паралельні, а пряма а перетинає площину а в точці А. Доведемо, що вона перетинає і площи ну р. Припустимо, що це не так. Тоді пря ма а паралельна площині р. Проведемо площину у через пряму а і довільну точку площини р (рис. 256). Ця плопщна перетинає паралельні плопщни а і Р по прямих Ь і с. Згідно з теоремою 2, Ь II с, тобто в плопщні у через точку А проходять дві прямі а і Ь, пара лельні прямій с. Ця суперечність і дово дить твердження. ■

Рис. 256

Спробз^те довести самостійно, що коли площина а перетинає плопціну р , вона перетинае також кожну площину, паралельну площині р. 2 . У тетраедрі ABCD точки К, F, Е — середини ребер DA, DC, DB, а М І Р — центри мас граней ABD і BCD відповідно. 1) Визначити взаємне розміщення площин KEF\ABC\ DEFiABC. 2) Побудувати лінію перетину площин AFB і КЕС. 3) Знайти площу перерізу тетраедра площиною, яка паралельна площині ABD і проходить через точку Р, якщо всі ребра тетраедра дорівнюють а. Приклад

14*

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

212

□ Побудуємо рисунок, який відповідає умові (рис. 257, а). 1) Площини KEF і ABC — паралельні, за ознакою паралель ності площин (теорема 1'): перетинні прямі КЕ і ІЇГ площини KEF паралельні перетинним прямим АВ і АС площини ABC (на них лежать середні лінії відповідних трикутників). Площини DEF і ABC перетинаються по прямій ВС, бо пряма ВС належить обом площинам, а співпадати вони не можуть — точки А, В, С, D не лежать в одній площині.

а)

б) Рис. 257

2) Площина AFB перетинається з площиною КЕС по прямій, яка містить точку Р, тому що прямі СЕ і BF, які лежать у цих плопщнах, лежать у площині BCD і перетинаються в точці Р. Другою точкою є точка перетину Q прямих AF і СК у площині ACD (рис. 257, б). Очевидно, що ця точка є центром мас грані ACD. Шука ним перетином є пряма PQ. 3) Побудуємо переріз, вказаний в умові, користуючись ознакою паралельності площин. Проведемо через точки Р і Q прямі, па ралельні прямим DB і DA відповідно (рис. 257, в). Ці прямі пере тинають відрізок CD у точці L. Останнє випливає з властивості центра мас трикутника — він поділяє медіани трикутника у від ношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. Залишилось застосувати те орему Фалеса. Таким чином, плопщни PLQ і BDA — паралельні. Шуканим перерізом є трикутник LSN. За побудовою, трикутники BCD і SCL — подібні з коефіцієнтом СЕ З 2 подібності ----- = —. Тому LS = —B D , Аналогічно встановлюються СР 2 З 2

рівності: LN = —A D , NS = —АВ . Звідси випливає, що трикутники 2 LSN і ABD — подібні з коефіцієнтом подібності - . За властивост5іми

Паралельність площин

213

' '■ .

Залишилось знайти шіо9 щу трикутника ABD. Оскільки, за умовою, всі ребра тетраедра до площ

подібних трикутників,

рівнюють а, то

Шіітсана площа дорівнює —^ а ^ . 4 Зл/З Доречно звернути увагу на те, що відповідь залежить лише від плопц грані ABZ). Тому рівність усіх ребер є лише засобом знайти що площу. Таким чином, дану задачу можна суттєво узагальнити. ■ В ідповідь. 1) K E F II ABC; 3) 3V3

Д Контрольні запитання 1.

Чи правильно, що дві плопщни паралельні, якщо кожна пряма, яка лежить в одній плопщні, паралельна другій плопщні? 2. Плопщни а і р — паралельні. Чи існують мимобіжні прямі, які лежать у щіх плопщнах? 3. Дві сторони трикутника паралельні деякій плопщні. Чи па ралельна цій плопщні третя сторона трикутника? 4. Дві сторони паралелограма паралельні деякій плопщні. Чи правильно, що плопщна паралелограма паралельна даній плопщні? 5. Чи можуть бути нерівними відрізки двох прямих, які відтина ються паралельними плопщнами? 6. Чи може перерізом куба бути рівнобічна трапеція? 7*. Чи може перерізом куба бути правильний п’ятикутник? 8. Чи правильно, що дві плопщни, які паралельні одній і тій са мій прямій, паралельні між собою? 9. Лінії перетину плопщн а і р плопщною у паралельні між со бою. Чи паралельні плот и к и а і р? 10. Чи можуть три грані куба бути паралельними одній плопщні?

ЕЯГрафічні вправи 1.

На рис. 258 зображено куб ABCDAfi^CJ)^, точки М, N, К, L, Р е серединами відповідних ребер. Заповніть за наведеним зразком таблицю, вибравши необхідне розміщення плопщн а і р.

N ^ ^ Ч\ і/5, ‘ 'я -. fp дІ ф 3 Рис. 258

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

214

Взаємне розміщення а

X р

IIP

iADC

В^КР iDM N

l A

D^KP iBM N

X р

IIP =

MNK і MNP

+ MNK iPLN

МРК iB B fi

А ре, B

І М

На рис. 259 зображено тетраедр ABCD, точки К, F, М, N, Q — середини відпо відних ребер. Укажіть: 1) плоїцину, що проходить через точку К паралельно площині ABC', 2) площину, що проходить через пряму BD паралельно площині MNQ. Визначте, чим є переріз фігури площиною, що проходить через дані три точки, зобра жені на рисунках 260, а)—ґ) і 261, а)-г).

а)

б)

в)

Рис. 260

Рис. 261

г)

ґ)

П аралельність площ ин

215

Побудуйте рисунок за наведеними даними. 1) З вершин паралелограма ABCD, що лежить в одній з двох паралельних площин, проведено паралельні прямі, які пере тинають другу площину відповідно в точках Aj, В^, С^, D^. 2) Трикутник е проекцією трикутника ABC на пара лельну йому плопщну а. Точка М — середина ВС, — про екція точки М на площину а.

Задачі

207. У кубі ABCDAJi^CJD^ точки О, — центри граней ABCD і AjBjCjDj відповідно, М — середина ребра АВ. 1°) Визначте взаємне розміщення площин МО^О і ADD^; ABD^iCO^C^. 2°) Побудуйте точку перетину плопщни DCC^ і прямої MOj та лінію перетину площин МСС^ і AJ)^Cy 3) Знайдіть площу перерізу куба площиною, яка паралель на площині AD^C^ і проходить через точку О^, якщо ребро куба дорівнює а . 208. У тетраедрі ABCD точки К, L, Р — центри мас граней ABD, BDC, ABC відповідно, а М — середина ребра AD. 1°) Визначте взаємне розміщення плопцін ACD і KLP\ MLK і ABC. 2°) Побудуйте точку перетину площини ABC і прямої ML та лінію перетину площин MKL і ABC. 3) Знайдіть площу перерізу тетраедра площиною, яка про ходить через точки К, L i М паралельно прямій AD, якщо всі ребра тетраедра дорівнюють а. 209. Дано куб ABCDAfi^Cp^. Точки L, М, — середини ребер АВ, AD і AjDj відповідно. 1°) Визначте взаємне розміщення площин BJ)J) і LMM^. 2) Побудуйте площину, що проходить через точку М пара лельно плопщні ACCj. 3) Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через точку паралельно площині CDD^. 4) Визначте взаємне розміщення площин МА^В^ і CDM^. 5) Побудуйте площину, що проходить через пряму CJD^, па ралельну плопщні CDM^. 210. У правильній чотирикутній піраміді SABCD усі ребра рівні між собою. Точки L, М і N — середини ребер AS, BS, CS від повідно. 1°) Визначте взаємне розміщення: прямих LM і ВС; прямої LN і площини ABD; площин LMN і BDC.

2 -|g

Розділ 2. П аралельність прямих і площин

2°) Доведіть, що трикутники ABC і LMN — подібні. 3) Побудз^йте переріз піраміди площиною AMN\ площиною LMN; площиною LBC. 4*) Який з перерізів піраміди, що проходить через вершину S, має найбільшу площу? 211. У тетраедрі SABC всі грані — правильні трикутники. Точки L, М і N — середини ребер AS, BS, CS відповідно. 1°) Визначте взаемне розміщення прямих LM і ВС. 2°) Визначте взаемне розміщення прямої LN і плош^іни ABC. 3) Доведіть, що трикутники LMN і ABC — подібні. 212. З вершин паралелограма ABCD, що лежить в одній з двох паралельних площин, проведені попарно паралельні прямі, які перетинають другу плошдну відповідно в точках А^, В^, С„ D , 1°) Доведіть, що чотирикутник A^B^CJ)^ е паралелограмом. 2°) Доведіть, що паралелограми ABCD і A^B^CJD^ рівні між собою. 3°) Визначте взаємне розміщення плош^ін АВВ^ і DD^Cy 4) Проведіть через середину відрізка АА^ плопщну так, щоб вона перетинала дані прямі в точках, що є вершинами пара лелограма, який є рівним паралелограму ABCD. 213. Дано дві паралельні плопдани і точка О, яка не належить жодній з цих площин і не лежить між ними. З точки О про ведено три промені, які перетинають плошдни відповідно у точках А, В, С та А^, В^, С^ і не лежать в одній плошдіні. 1°) Визначте взаемне розміщення даних плопщн і плош^іни, що проходить через середини відрізків ААу ВВ^, СС^ 2) Знайдіть периметр трикутника якщо ОА = т, АА^ - п, АВ = с, АС = Ь, ВС = а. 214. Трикутник AjBjCj є проекцією трикутника ABC на пара лельну йому плопщну а. Точка М — середина сторони ВС; — проекція точки М па плопщну а. Точка Л/^поділяє сто рону АВ у відношенні 1:2. 1) Побудуйте точку перетину iVj плопщни M^MN і прямої AjBj. 2) Визначте форму чотирикутника . 215. Точка М лежить поза плопщною трапеції ABCD з основами AD і ВС. Побудуйте лінію перетину плопщн: 1°) АВМ і CDM-, 2) СВМ іADM.

П аралельн ість площ и н

217

216. Побудуйте переріз куба, який є: 1°) рівностороннім трикут ником; 2) п’ятикутником. 217. Побудуйте переріз тетраедра, який е паралелограмом. 218°. Доведіть, що протилежні грані паралелепіпеда — паралельні. 219. Доведіть, що множина всіх прямих, які проходять через дану точку і паралельні даній площині, утворює площину, паралельну даній. 220. Дано чотири точки А, В, С, D, які не лежать в одній площині. Доведіть, що кожна площина, паралельна прямим АВ і CD, перетинає прямі АС, AD, BD, ВС у верпшнах паралелограма. 221 . Доведіть, що площина і пряма, яка не належить цій пло щині, паралельні між собою, якщо обидві вони паралельні одній і тій самій площині. 222. Через точку О перетину діагоналей куба ABCDAfi^CJ)^ проведено площину паралельно грані ABCD. Ця площина перетинає ребра ВВ^ та СС^ у точках М і N відповідно. До ведіть, що кут MON — прямий. 223. Доведіть, що дві площини паралельні між собою тоді і лише тоді, коли кожна пряма, яка перетинає одну з площин, пере тинає і другу. 224*. У трикутній піраміді SABC через відрізки AD і СЕ, де D — середина SB, а Е — середина SA, проведіть перерізи пірамі ди, паралельні між собою. 225. Знайдіть геометричні місця: 1) середин усіх відрізків з кінцями на двох даних паралель них плопщнах; 2*) середин відрізків з кінцями на двох даних мимобіжних прямих. 226*. Сторона АВ трикутника ABC, що лежить у площині а, пара лельна площині р. Рівносторонній трикутник А^Б^С^е пара лельною проекцією трикутника ABC на площину (3; АВ = 5, ВС = 6 ,А С = 9 . 1) Визначте взаємне розміщення прямих АВ і А^В^, ВС ІВ^С^, А^С^ІАС. 2) Знайдіть площу трикутника Afi^Cy 227*. Дано дві мимобіжні прямі. Вкажіть множину всіх точок про стору, через які можна провести пряму, що перетинає кожну з двох даних прямих.

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

218

П ід с у м о к Головне означення

Дві площини назива ються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Головні твердження Ознака паралель Якщо дві прямі, що пере ності площин тинаються, однієї площи

ни відповідно паралель ні двом прямим другої плопщни, то ці площи ни — паралельні. acoL,bcz(x,axb,

dcp,a\\c,b\\d = Теорема про пере тин двох пара лельних площин третьою

Якщо дві паралельні площини перетинають ся третьою плопщною, то лінії перетину площин е паралельними.

а II Р, а = упа, Ь = упр => а II 6

Теорема про існу вання та єдиність площини, пара лельної даній

Через точку, розміщену поза даною площиною, можна провести єдину плош^іну, паралельну даній. М г а => > 3!р;а||р, М є р

Готуємось до те м а т и ч н о г о о ц ін ю в а н н я з тем и «Паралельність прям их і площин»

Завдання для самоконтролю 1. Чотири точки не належать одній площині. Чи можуть деякі три з них лежати на одній прямій? Чи можуть три різні площини мати рівно дві спільні точки? 3. Чи можуть дві мимобіжні прямі 6j^n одночасно паралельни ми третій прямій? 4. Чи правильно, що прямі а і 6 не паралельні, якщо не існує прямої с, паралельної а і 6? 5. Чи можзть рівні відрізки мати нерівні проекції? 6. Чи може промінь бути паралельною проекцією прямої? 7. Чи може квадрат бути зображенням куба? 8 . Чи правильно, що через дану точку простору можна провести тільки одну площину, паралельну даній прямій? 9. Чи завжди через дану точку можна провести пряму, яка пара лельна двом даним площинам, що не містять цю точку? 10. Чи можна через дві мимобіжні прямі провести паралельні плопщни? 2.

Відповіді до завдань для самоконтролю 1

Ні

4 , Так

Так

Ні

Так

Ні

Так

Зразок контрольної роботи

Два паралелограми ABCD і ABCfi^ лежать у різних площинах. 1°) Визначте взаємне розміщення прямих CD і 2°) Визначте взаємне розміщення прямої CJ)^ і площини ABC. 3°) Побудуйте лінію перетину площин DD^C^ і ВСС^ 4°) Визначте взаємне розміщення площин ADD^ і ВСС^ 5) Через точку М, яка поділяє відрізок АВ у відношенні 2:1, рахуючи від точки А, проведіть площину а, паралельну пло щині С^ВС. 6) Побудуйте точку перетину прямої АС з площиною а і зна йдіть відношення, в якому ця точка поділяє відрізок АС.

Розділ 2. Паралельність прямих і площин

220

Взаємне розміщення прямих у просторі

Таблиця 21

Не менше двох

Кількість сп ільних точок Немає Одна не лежать в лежать в одній плошдні одній плопщні va

/ > ^\

\ а і Ь співпада а і Ь перетина ють (а = Ь) ються (а X Ь)

аіЬ — пара лельні (а II Ь)

а і Ь— мимо біжні (а ^ Ь)

Взаємне розміщення прямих і площин у просторі

Таблиця 22 Не менше двох

Кількість спільних точок Одна

Відсутні а

ау

/ /«

/ /

/<х

а лежить в а

а перетинає а

а І а — паралельні

(а с а)

(а X а)

(а II а)

Взаємне розміщення площин у просторі

Т аблиця 23 Не менше трьох, що не лежать на одній прямій

кількість спільних точок Не менше однієї, але не має спільних точок, які не лежать на одній прямій

Відсутні

/а

а і р співпадають

(а = Р)

а і Р перетинаються (ахр)

а і Р — паралельні

(а II Р)

„ Lr

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Із тригонометричними ф ункціями ви вже мали справу на уроках з гео метрії. Д осі їхн і застосування, в основному, обмеж увалися розв’язуванням трикутників, тобто йшлося про знаходж ення одних елементів трикутни ка за іншими. З істо р ії математики відомо, щ о виникнення тригонометрії пов’язане з вимірюванням довж ин і кутів. Однак, тепер сф ера ї ї застосу вань є набагато ш ирш ою, ніж в давнину. С л о в о « тр иго н ом етр ія» п оходи ть від грец ьких T p i y c o v o v (trig o поп) — трикутни к і цєтрєо) (m etreo) — м іряю , вим ірю ю . Буквальн о воно означає вимірю вання трикутників. У цьому розділі систематизується уже відомий вам з курсу геометрії матеріал, продовжується подальше вивчення тригонометричних функцій та їх н іх застосувань для характеристики періодичних процесів, зокрема, обертального руху, коливальних процесів тощо. Більш ість застосувань тригоном етрії стосується саме періодичних про цесів, тобто процесів, які через рівні проміж ки часу повторюються. С х ід і захід Сонця, зміни пір року, обертання колеса — це найпростіші приклади таких процесів. ІИеханічні й електромагнітні коливання є також важли вими прикладами періодичних процесів. Том у дослідж ення періодичних процесів є важливим завданням. І роль математики в його розв’язанні є визначальною.

Г о т у є м о с ь до вивчення т е м и «Тригонометричні функції»

Вивчення теми «Тригонометричні функції» доцільно розпоча ти з повторення означень і властивостей тригонометричних функ цій кутів трикутників та їхніх застосувань для розв’язування як прямокутних, так і довільних трикутників. Синус, косинус, тангенс, котангенс кутів прямокутного трикутника

Таблиця 24 С и н усом г о ст р о г о кута н ази ваю ть від нош енн я п р о ти л еж н ого к атета д о гіп о тен узи: а s m a = —. с відношення прилеглого катета до гіпо тенузи: Ь c o s a = —. с Т ан ген сом г о ст р о г о кута н ази ваю ть віднош ення п р о ти л еж н ого к атета д о п ри л егл ого: я tga = . о К ота н ген сом г о ст р о г о кута н ази ваю ть віднош ення п р и л егл ого к атета д о п роти л еж н ого: Ь ctg a = - . а

223

ІТотуємось до вивчення теми «Тригонометричні функції»

Синус, косинус, тангенс, котангенс кутів В ІД 0° Д О 180°

_________

Таблиця 25

Уі Л(л:;г/) А{х-,у]^ \а

s in a = — ; c o s a = — ; R R у

t g a = —; c t g a = —. ac J (x; 3') — к о о р д и н а т и т о ч к и A, р о з м іщ е н о ї на в е р х н ь о м у п ів к о л і, а — к у т, у т в о р е н и й р а д іу с о м ОА к о л а з в іс с ю X .

Значення синуса, косинуса, тангенса, котангенса деяких кутів

Таблиця 26 К ут t 0°

30°

45°

60°

90°

180°

1 2

S 2

-1

1 2

не існує

Ф у н к ц ія ^ ^ ^ sin t

COS

1 2

tg t

ctg t

не існує

s ^/§

1 s

Розділ 3. Тригонометричні функції

224

Розв’язання Д О В ІЛ Ь Н И Х трикутників

Таблиця 27 Теорема синусів

С торон и тр и к у тн и к а п р о п о р ц ій ні си н у са м п р оти л еж н и х кутів: а sin а

Ь sinp

с siny

Теорема косинусів

К вадрат д ов іл ь н ої ст о р о н и тр и к утн и к а д о р ів н ю є сум і к вадратів д в о х інш и х ст о р ін б ез п о д в о є н о го д об у т к у ц их ст о р ін на к о си н у с к ута м іж ними: +6^ - 2abcosy, +с^ -2 a c c o s P , =Ь^ +с^ - 26с co s а . Площа трикутника д о р ів н ю є п ол ови н і д о б у т к у д в ох й ого ст о р ін на си н у с кута м іж ними: S = - a fe s in y = —acsi nB = —ftcsina . 2 ^ 2 ^ 2

Основні тригонометричні тотожності

Таблиця 28 0° < а < 180°

sin^ а + cos^ а = 1

0° < а < 180°, а ^ 90°

l + tg "a = —4 — cos а

0° < а < 180°

1 l + c.t g2" a ^

1 . sin а

0° < а < 90°

s in (9 0 °-a ) = cosa,

co s(9 0 °-a ) = sina

0° < а < 90°

t g (9 0 °-a ) = ctga,

ctg (9 0 °-a ) = tg a

0° < а < 180° 0° < а < 180°, а ^ 90°

sin(l 80° - a) = cos a,

cos(l 80° - a) = - sin a

tg (1 8 0 °-a ) = - t g a

Тест для діагн ости ки готовності до вивчення т е м и «Тригонометричні функції»

1. Дано трикутник ABC, Z.C = 90°, ВС = 7 з , АВ = 2. Чому дорів

нює Z.B1 А. 30°. Б. 45°. В. 60°. Г. Неможливо обчислити без обчислювальних засобів. Дано трикзтник ABC, Z C = 90°, ВС = З, ZB = 60°. Чому дорів нює АВ?

Г. л/з.

За даними сторонами прямокутного трикутника знайдіть ко синус меншого його кута: а = 3, Ь = 4, с = 5. А. 0,8. Б. 0,75. В. 0,6. Г. 1,25. Якого з поданих значень не може набувати косинус гострого кута? Г7Л Г7^ ґ . J - . В. А. Б. І . V8 8 Порівняйте суму синусів гострих KjTiB довільного прямокут ного трикутника (позначимо її через А) з одиницею. A .А < 1 . Б.А =1. B. А > 1. Г. Порівняти неможливо. Розмістіть за зростанням числа: а = sin 30°, Ь = cos 30°, с = tg 30°. А. а < Ь < с. Б.а < с < 6. В. с < а < 6. Т. Ь < а < с. Порівняйте без обчислювальних засобів гострі к}а'и а і р, 1 cospо = —. 2 якщо: cosa = —,

В.

Б. 6.

А. ЗТЗ.

A. а < р. B. а > р. Для яких гострих кутів синус A. Для всіх. B. Для більших від 45°. Математика, 10 кл.

Б. а = р. Г. Порівняти неможливо. менший від косинуса? Б. Для менших від 45°. Г. Для жодних.

Розділ 3. Тригонометричні функції

226

гострии кут прямокутного

Чому дорівнює cos а, якщо а 5 TpHKjo'HHKa і sin а = — 13

Б . А. г.А. В. 12. 12 13 13 13 10. Довжина тіні дерева дорівнює 15 м. Промені Сонця утворююють кут 30° з поверхнею Землі . Чому наближено дорівнює висота дерева? Виберіть найточніший результат. А. 8 м. Б. 13 м. В. 7м. Г. 26 м. А. А .

11. Чому дорівнює значення виразу при л: = —0,8? А. 0,6. Б. -0,6. В. 0,8. Г. *1,34. 12. Із формули +Ь^ = 4 виразіть Ь < 0 через а. В. Ь= Уа ^ - 4 .

A. Ь= уІ4-а^ .

B. Ь= - n /o " - 4 . Г. Ь = -sl4-a ^ . 13. Точка А розташована у III чверті на відстані З від осі х і на відстані л/ЇО від початку координат. Які координати має точ ка А? А. (1; 3). Б. (-1; 3). В. (-1; -3). Г. (-3; -1). 14. Яка з наступних точок не належить колу +у^ =11 А. 15.

1 .^ 1 2’ 2

Б. (0,5; 0,5).

7з. 1

В. ’

’

Укажіть координати точки А, яка лежить на колі з радіусом 1 (див. рис.). Б. (1; 0). A. (-1; 0). B. (0; - 1). Г. (0; 1).

Г. (0,6; -0,8).

r § 13 . Т р и го н о м е тр и ч н і функції числового а р гу м е н т у

у цьому параграфі будуть визначені тригонометричні функції для довільного числового аргументу. Часто положен ня рухомих об’єктів, наприклад, небесних тіл, визначають за допомогою кутів, зокрема, кутів обертання. Тому функції, що описують їхній рух, нерідко своїм аргументом мають міру кута. Отже, доцільно узагальнити поняття кута та докладніше обговорити питання про його вимірювання.

1. Радіанне вимірювання кутів

Відомо, що у планіметрії розглядають kjt’h , градус на міра яких знаходиться у проміжку від 0° до 180°. Але на практиці доводиться розглядати kj^ h, міра яких більша від 180°. Наприклад, літак з пункту А має пе Північ релетіти у пункт В. Курс літака визна чають за допомогою кута між напрямом лінії польоту і напрямом меридіана Схід «південь —північ», який відлічують про Захід Іти руху годинникової стрілки (рис. 262). Отже, при розв’язуванні таких задач доводиться вже розглядати кути в про Південь міжку від 0° до 360°. У геометрії кути розглядаються як Рис. 262 фігури, утворені за допомогою двох про менів, що мають спільний початок. Промені називаються сторо нами кута, їхня спільна точка - вершиною кута. Тепер, розглядаючи кут, покажемо, як ця фігура утворилася: один з променів будемо розглядати як нерухомий, а другий про мінь — як такий, що рухався від початкового положення, в якому 15*

Розділ 3. Тригонометричні Функцм

228

він суміщався з нерухомою стороною. Цю другу сторону ми нази ватимемо рухомою і вважатимемо, що k jt утворюється обертан ням рухомого променя навколо вершини кута. Одержані при цьо му кути називають кутами обертання. На рис. 263 зображено кут, утворений обер танням рухомого променя OAj навколо точки О, з нерухомим променем ОА. Траєкторією руху точки Aj променя OAj є лінія Вона с дугою кола з центром у точці О і з радіусом ОА^ (або ОА). Отже, точка рухається по дузі кола з Рис. 263 радіусом R = ОА. Зазвичай кути в геометрії вимірюють в градусах: 1 градус (1°),— це ^

частина міри прямого кута, або

частина міри

розгорнутого кута. Кути обертання теж можна вимірювати в гра дусах. Але деколи більщ зручною є інша міра. При обертанні фіксована точка рухомого про меня описує дугу кола з центром у вершині К5т а (рис. 264). Вимірювання кутів обертання можна замінити вимірюванням довжини дуги кола. Щоб виключити вплив величини радіуса, мірою кута вважають не довжину дуги І, а відношення Рис. 264 цієї довжини до радіуса R. Така міра називається радіанною. Відношення шляху, пройденого точкою А, до радіуса R не залежить від радіуса. Тому це відношення може бути прийнято за міру кута обертання. Радіанною мірою кута обертання називається від ношення шляху, пройденого від початкового поло ження фіксованою точкою рухомого променя, до від стані від цієї точки до початку променя. Чисельно радіанна міра кута обертання до рівнює шляху, яке пройде точка рухомого про меня, що знаходиться на одиничній відстані від вершини. За одиницю при радіанному вимірюванні кута обертання приймають міру кута, що спиРис. 265

229

Тригонометричні ф ун кції числового ар гум ен ту

раеться на дугу, довжина якої дорівнює довжині радіуса (рис. 265). Ця одиниця називається радіаном. Термін “радіан” походить від латинського radius радіус. Рух точки по колу багато у чому схожий з рухом точки по прямій. Щоб визначити положення точки на прямій, недостатньо знати шлях, пройдений нею від початкової точки, — потрібно вказати ще напрям руху. Зазвичай на прямій фіксують додатний напрям, а положення точки визначається одним числом, додатним чи від’ємним. Обертання pjTcoMoro променя навколо вершини кута можливе в двох протилежних напрямах. Геометрично два кути на рис. 266—267 є рівними, але як кзгги обертання їх слід вважати за різні.

Рис. 269

Рис. 267

При обертанні на плошдні будемо вважати додатним напря мом обертання напрям проти руху годинникової стрілки (рис. 268). Обертання за годинниковою стрілкою будемо вважати від’ємним (рис. 269). Відповідно, кути, що з^ворюються такими обертання ми, будемо вимірювати додатними і від’ємними числами. Наприклад, годинник на рис. 270 показує 10 хвилин на одинадцяту, або 50 хвилин до одинадцятої години. Тут обертання хвилинної стрілки вимірюється або від’ємним кутом (за годинниковою стрілкою), або додатним, тільки вибір напряму ми позначаємо не знаком мінус чи плюс, а словами «10 хвилин на одинадцяту» і «50 хвилин до одинадцятої». Кут в 90° одержимо, якщо промінь ОА^ здій снить чверть повного оберту навколо точки О проРис. 270 ти годинникової стрілки (рис. 271, а); результатом півоберту променя OAj проти годинникової стрілки є кут 180° (рис. 271, б). Кут (-150°) — це

повного оберту променя ОА^

навколо точки О за годинниковою стрілкою (рис. 272, а).

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

2 30

Рис. 271 Рис. 272 Кути обертання мають важливу особливість: їхні кутові міри можуть перевищувати 180°. Рухомий промінь з початком у фіксо ваній точці може знаходитись у будь-якому положенні на площи ні (рис. 272, б). Якщо кутова міра кута становить а радіан, а > О, то це означає, що довжина відповідної дуги кола І з радіусом R дорівнює aR, тобто / = аД. Звідси випливає, що довжина дуги одиничного кола чи сельно збігається з радіанною мірою відповідного кута. Власне, саме ця обставина і робить радіанну міру кута зручною. Коло радіуса R має довжину 2лі?. Розглянемо дугу, довжина якої дорівнює радіусу R. Її довжина в 2п разів менша від довжини кола. Тому кут, що дорівнює 1 радіану (скорочено; рад), становить 1 360° 180° — частини повного оберту: 1 рад - -------= --------« 57°17'45'. 2л 2я п Оскільки радіанна міра Kj^ra 360° становить 2л рад, то 1'^ вад2л л „ „ повщає ------= ------ *0,017 рад. 360 180

В Цим самим встановлено зв’язок між радіанною

і гра дусною мірами кута, який, до речі, свідчить про неза лежність радіанної міри кута від вибору фіксованої точки рухомого променя.

1. Виразити кути: 1) 30°, 45°, 60°, -150° у радіанній мірі; 2л Зл 5л 4л . 2) — ; — ; — ; - — У градусній мірі. Прикпіад

□ 1) Оскільки 1° = —^ , то 30° = —^ •ЗО = —; 45° = —^ •45 = — ; 180 180 6 180 4 60° = — •60 = - ; -150° = — 180 З 180

-(-1 5 0 ) = -

І ч

231

Тригонометричні функції числового аргументу

, 180° Оскільки 1 рад =

2ті 180° 2п Зтг 180° З т і ,то — -------— = 120° ; — --------------

4я 6

В ідповідь. 1)

^ 4

= -2 4 0 °.

2) 120°, 135°, 150°,-240°.

Радіанною мірою дуги кола зазвичай називають радіанну міру відповідного центрального кута. Так, радіанні міри дуг АА^, зображених на рис. 272, а), б), я відповідно дорівнюють —, я . 2 Радіанна міра одиничного кола дорівнює його довжині, тобто числу 2я, радіанна міра одиничного півкола дорівнює числу я; рая діанна міра чверті одиничного кола становить —. 2 Слово «радіан» часто пропускають і кажуть «кут ті». Так, записи а = 1,12; а = 0,39; а = 15,7 означають, що кут а виміряний у ра діанах. Водночас позначення градусів не прийнято пропускати в записах. Введення радіанної міри кута обертання дає змогу встановити простий зв’язок між К5Т 0В0Ю і лінійною швидкостями точки, яка перебуває у рівномірному обертальному русі. Кутова швидкість при рівномірному обертанні — це кут, на який повертається точка за одиницю часу. Вона зазвичай вимірюється в радіанах за секун ду (рад/с). Лінійна швидкість точки при рівномірному русі — це відстань, на яку перемішується точка по траєкторії руху за оди ницю часу. П р и к л а д 2 . Точка рівномірно рухається по колу, радіус яко го Л = 40 см, з лінійною швидкістю V = 80 см/с. Знайти кутову швидкість точки. □ За одну секунду точка проходить шлях, що дорівнює 80 см. Треба знайти міру кута, на який обертається точка за 1 с. Із ви значення радіана випливає, що Kjrpy в 1 рад відповідає дуга, до вжина якої дорівнює довжині радіуса. Оскільки довжина шляху, який проходить точка за 1 с, вдвічі більша від радіуса, то відповід на дуга кола відповідає куту в 2 рад. ■ В ідповідь. 2 рад/с.

232

Розділ 3. Тригонометричні Функци

Використовуючи від’ємні міри кутів, можна модуль міри будьякого кута, в межах повного оберту, звести до числа, що не переви щує півоберту. Наприклад, при градусному вимірюванні кутів за мість проміжку 0° < а < 360° можна завжди розглядати кути в проміжку -1 8 0 ° < а < 180°, при радіанному вимірюванні замість про міжку О < а < 2я — розглядати проміжок -тг < а < л . Так, замість кута 225° можна розглядати кут -(360° - 225°) = -135°; замість кута 5ті п 5я — к у т - 2п-----З' З т В географії, астрономії, де застосовується градусна система ви мірювання кутів, послуговуються також меншими одиницями ви1° . .1 ' ■= 1' (кутова MiHjTa), — = 1" (кутова секунда). Грамірювання: 60 ' " “ " 60 дусною мірою кута послуговуються в оптичних приладах М інут а — від латинського minuta — зменшена (частка), від тіпио — зменшую, розбиваю на дрібні частини. С екун да — від латинських secunda (division gradi) — друге (ділення градуса), secundus — наступний. У техніці за одиницю вимірювання кутів приймають повний оберт, у військовій справі — «тисячну», тобто

частину

oU U U

розгорнутого кута, чи велику поділку кутоміра, яка дорівнює 100 «тисячним». У мореплавстві одиницею вимірювання є румб, що дорівнює — частині повного оберту. 32

Д і^пнтрольні запитання 1°. Чи можна здійснити поворот годинникової стрілки на: а) 270°; б) 360°; в) 450°; г) -60°; ґ) -290°; д) -512°? 2°. Чому дорівнюють у радіанах величи ни кутів: а) правильного трикутника; б) прямокутного рівнобедреного трикут ника? 3°. Чому дорівнює радіанна міра кута АОВ, зображеного на рис. 273, якщо довжина дуги MN дорівнює 0,50ISF!

Т р и го н о м е тр и ч н і ф ункції ч и сл о в о г о ар гу м е н ту

5. 6.

233

Чому дорівнює у градусній мірі кут обер ту маховика, що зробив за годинниковою стрілкою: 1) 1 оберт; 2) 1,5 оберту? Які кути описують хвилинна і годинна стрілки за: 1) 20 хв; 2) 5 год? Чому дорівнюють наближено градусні і радіанні міри кутів обертання, позна чених стрілками на рис. 274.

2. Тригонометричне коло

Як віцомо, між дійсними числами і точками коорди натної прямої існує взаємно однозначна відповідність. Уявімо собі, що точка рухається по координатній пря мій від початку координат. Якщо вона рухається у додатному напря мі і пройде відстань, що дорівнює трьом одиниц5ім виміру довжини, то вона потрапить у точку А(3) (рис. 275). Якщо ж вона рухається у напрямі, протилежному до напряму координатної прямої, і про йде ту саму відстань, то вона потрапить у точку В{~3) (див. рис. 275). Зверніть увагу на те, що в обох випадках від- _В______ О ^ А ^ стань, пройдена точкою, дорівнює модулю ко- -З 1 З ординати точки, в яку вона потрапляє. Рис. 275 Взагалі, нехай маємо довільне число t. Вважатимемо, що точка рухається вздовж прямої, причому в додатному напрямі, якщо і > О, і у від’ємному напрямі, якщо t < 0. Коли пройдена відстань дорівнюватиме |f|, точка потрапить у положення, що відповідає числу t. Таким чином, кожному дійсному числу відповідає одна і тільки одна точка P^ координатної прямої (рис. 276 а, б). Віп^гак ми можемо не розрізняти число t і точку jFJ . 1^1

t>0

о 1 а)

КІ

t<0 Р,

О 1

Р.

б)

Рис. 276 Так само ми можемо не розрізняти міру кута обертання t і число і. Це дає змогу побудувати відповідність між дійсними числами і точками одиничного кола, користуючись вимірюванням відстані вздовж кола. Для цього на координатній площині розглянемо одиничне коло (тобто коло з радіусом 1) з центром у початку

Розділ 3. Тригонометричні Функцм

234

координат (рис. 277, а) — його називають тригонометричним к о л о м . Точку А з координатами (1; 0) називають початком відліку (на колі!). Довільне число t можна зобразити точкою на тригонометричному колі.

Уі

р,

1 ^

А 1 V

л, 1

л:

б)

в)

Р и с. 277

Нехай задано число t. Уявімо собі, що деяка точка рухається по тригонометричному колу. Свій рух вона починає з положення А. Вважатимемо, що вона рухається проти годинникової стрілки, тобто в додатному напрямі, якщо ^> О, і за годинниковою стрілкою, тобто у від’ємному напрямі, якщо t < 0 . Якщо і = О, то точка зна ходиться в точці А. Коли пройдена відстань дорівнюватиме |і|, точка потрапить у положення, що відповідає числу t. Позначимо точку, в яку вона потрапляє, через (рис. 277, б). Зрозуміло, що точка Pq збігається з точкою А. Таким чином, кожному дійсному числу t на тригонометрично му колі відповідає точка Р^. За побудовою, точку Р, одержують з точки А за допомогою повороту її навколо початку координат на t радіан, оскільки на одиничному колі довжина пройденого шляху дорівнює модулю радіанної міри кута повороту. Користуючись наведеною побудовою, неважко вказати точки . . . л л Зл тригонометричного кола, ЯКІ вщповщають числам — , — , л, - л, — , 2

- — , 2л ,-2л , —-і-2л тощо. Справді, шлях довжиною — вздовж 2

кола дорівнює — довжини кола, адже довжина одиничного кола 4 дорівнює 2л. Точка Р^ збігається з точкою В (рис. 277, в). В точку Р^ можна потрапити, якщо пройти в додатному напрямі відстань

235

Т р и го н о м е тр и ч н і ф ун кції ч и сл о в о г о ар гу м е н ту

п , тобто довжину одиничного півкола. Точка збігається з точ кою С. У точку Р ^ можна потрапити, подолавши у від’ємному на~2 прямі четверту частину одиничного кола. Точка Р ^ збігається з точкою D. Аналогічно, точки

, Р^^ збігатимуться відповідно з Т

точками D, С.

Продовжуючи ці побудови, дійдемо висновку, що різ ним числам може відповідати та сама точка триго нометричного кола.

Ця неоднозначність нагадує таку реальну ситуацію: велотрек має довжину 350 м, велосипедист знаходиться на відстані 150 м від фінішу. Який шлях він проїхав? Якщо він тільки розпочав змагання, то він проїхав 350 - 150 = = 200 м, якщо вже проїхав один круг, то — (200 + 350-1) м = 550 м, два круги — (200 + 350-2) м = 900 м; якщо проїхав п кругів, то шлях дорівнюватиме (200 + 350-тг) м. Тому однозначної відповіді на поставлене запитання дати неможливо. Прикпад

Зобразити на тригонометричному колі точки, що

ввдповщають числам

6 4 3 □ Поділимо дугу АВ, довжина якої дорів7Г

„

У: В

нюе —, навпіл точкою К, на три ршні части2 ни — точками L і М (рис. 278). Тоді довжини дугАІ,АІ^,АМвідповііщодорівнюють л

с 6 4 3 п

Відтак, числу — вщповщае точка L, чи слу-----6 4 точка К, числу — — точка М Ці точки можна З відповідно позначити через Р^, Р^, Р^.І

И. /і ^

D Рис. 278

Для точок, побудованих у прикладі З, неважко вказати прямо кутні координати, користуючись співвідношеннями між сторона ми і кутами прямокутних трикутників.

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

236

Знайти прямокутні координати точок Р^,Р^,Р^.

П р и к л а д 4.

□ Для точки

розв’язання зводиться до в

знаходження катетів прямокутного трикут ника, гіпотенуза якого дорівнює 1, а один з гострих кутів становить — = 30° (рис. 279). 6 Катет, що лежить навпроти кута 30°, дорів1 „ . V3 „ нює —, а прилеглии катет доріві доршнюе — . Отже, 2 2 координати точки

нати

'і 2

—

'7з 1 2

Dl Рис. 279 . Аналогічно знаходяться коорди

точки Р^. Знаходження координат точки Р^ зводить-

ся до знаходження катетів прямокутного рівнобедреного трикутниЯ ■ ка, гшотенуза якого дорівнює 1 1. Т Його катети дорівнюють — ;— . Отже, Р

V2 л/2 2

ГТз. і ^ у 1 \ 2 ’ 2 У,

В ідповідь.

2 ’ 2 у^

2’ 2

Користуючись результатом розв’язання прикладу З, можна знаходити на тригонометричному колі точки, які відповідають числам, вираженим у до лях числа 71. Зобразити на тригонометричному колі точки, що Зті 5п 4п 25л відповщають числам — ; ------ ; — ; ------. 4 6 3 6 □ Побудову виконуватимемо, користуючись рис. 278. Відкла демо тричі від точки А дугу АК (точки К, L, М визначені у при Приклад

кладі 3) у додатному напрямі (її довжина дорівнює —). Одержимо 4 точку —середину дуги ВС (рис. 280). Вона і відповідатиме числу

237

Т р и го н о м е тр и ч н і ф ун кції ч и сл о в о г о а р гу м е н ту

= — , Відклавши дугу AL (її довжина 4

дорівнює

) від точки А у від’ємному напряСЛ І

третю частину дуги CD. Ця точка і відпові5тг „ . . дає числу 5

1 ^

— I V

Рис. 280 дугу A M (і"і довжина дорівнює —) від точки А З у додатному напрямі 4 рази, одержимо точку N, яка відділяє дві третини дуги CD. Ця точка і відповідає числу — . Нарещті, беру3 25л 24п + п , 7Г чи до уваги, щ о = ----------- = 4п + —, дійдемо висновку, що числу 6 6 6 відповідає точка L. Якби ми відклали від точки А у додатному 6 напрямі 25 разів дугу AL, то мали б той самий результат. Ш Координати точок, побудованих у прикладі 4, дозволяють знаходити координати точок тригонометричного кола, які відповідають числам, вираженим у долях числа п. Приклад

6. Знайти прямокутні координати точок

□ Побудуємо дані точки (рис. 281). їхні ко ординати за модулем збігаються відповідно з координатами точок Р^,Р^,Р^, які знайдено .

. Уі

-----

прикладі 4. Слід лише визначити їхні зна ки. Точка Pg„ знаходиться у другій коорди~б натній чверті, тому її абсщіса від’ємна, а ордиУ

ната

—

додатна.

Вщтак,

р f

Аналогічно одержуємо:

В ідповідь.

[ V3.1^ \

rV2. 2 ’ 2 /, ч 2 ’

V , і /і 1 1// У р..

і' 2

/ /

Рис. 281

л/2І

1 2’

V2^ Г 1. 2 У, \ 2 ’

2 У

23 8

Розділ 3. Тригонометричні функції

Наближено можна зображати точки тригонометричного кола, які відповідають довільним числам. П р и к л а д 7. Зобразити на тригонометричному колі точки, що відповідають числам 1, - 2, З, - 5. □ Числу 1 відповідає точка Р^, яка розмі Уі щена на дузі АВ ближче до точки В, бо до

вжина дуги АВ дорівнює - або приблизно 2 1,5. Щоб уточнити її положення, відкладемо від точки А у додатному напрямі кут в 1 рад, який

наближено

р/ с

А57,3^ /і ^

180 *^

дорівнює

------- «5 7,3 ° 71

D (рис. 282). Його можна побудувати за допомо гою транспортира. Для побудови точки Р Рис. 282 що відповідає числу -2 , відкладемо від точки А у від’ємному напря-

мі дугу в 2 рад. Відповідний кут наближено дорівню є

180 °

2 »115° п (див. рис. 282). Ця точка знаходиться на дузі CD ближче до точки D. Аналогічно будується точка Р^, що відповідає числу 3. Вона зна ходиться на дузі ВС ближче до точки С (нагадаємо, що точка С відповідає числу п » 3,14). Числу - 5 відповідає та сама точка, що й числу -5 -І- 2ті * 1,28 ■Щоб Гі побудувати, відкладемо від точки А у додатному напрямі дугу в 1,28 рад. Відповідний кут наближено дор ів н ю є

180 ° тс

1,28*73° (див. рис. 282). Точка Р , знаходиться на

дузі АВ ближче до точки в (нагадаємо, що точка В відповідає чис лу пІ2 « 1,57). ■ Відповідність між дійсними числами і точками тригонометрич ного кола, як відмічалось вище, не е взаємно однозначною. На приклад, якщо розглянути числа

= - + 2п , t ^ = - + 4n ,

= ^ + 2 п п , ..., то положення точки Р^ для П = саме — точка

, тобто точка 2

. ^ ^ ТІ чисел —,—+ 2п, А А

о,

1,2, . . .однейте

відповідає нескінченній кількос2

^ J тт • —+ 4 я ,... . Це саме положення мають і точки, А

239

Т р и го н о м е тр и ч н і ф ункції ч и сл о в о г о а р гу м е н ту

які відповідають числам —- 2л, —- 4л:, . . . . Таким чином, точка 2

відповідає числам —+ 2%п , де п

За прямокутними координатами точки на тригономе тричному колі можна деколи записати числа, яким вони відповідають. Знайти на тригонометричному колі точки і запи сати, яким числам вони відповідають, якщо вони мають: 1) ординаПриклад

V2 1 ту — ; 2) абсцису - - . V2 □ 1) Пряма у - — перетинає тригоно2

метричне коло в точках Р і Q (рис. 283). Точка Р відповідає числу — (див. прик4 лад 4), а віа;так усім числам —+ 2пп, n e Z . 4 Точка Q відповідає числу — , а відтак 4 Зл „ „ усім числам — + 2пп, n e Z . 4 2)

Пряма X =

Рис. 283 X -

Е відповідає числу — (див. приклад 6), а О 4я відтак усім ч и сл а м h2л?г, n&Z . Точка F О 2л ввдповідас числу — , а вщтак усім числам S

— + 2л?г, п є Z . ■ З Відповідь. 1) —+ 2пп, п є Z , — + 2лм, п є Z ; 4 4 — + 2пп, n e Z , — + 2пп, n e Z .

У.

перетинає тригономе-

тричне коло в точках Е і F (рис. 284). Точка

1 2

Рис. 284

Розділ 3. Тригонометричні функції

240

Д Упнтоольні запитання 1°. Яким числам відповідають на рис. 285: а) середини дуг CD і DA, б) точки Р, Q, R, S , які поділяють дугу ВС на п’ять рівних частин? 2°. На якій із дуг АВ, ВС, CD, DA тригонометричного кола (див. рис. 285) знаходиться точка, що відповідає числу 7л _ 9jt _ 2л^

Т ’Т ’Т' 4.

Чому дорівнює довжина дуги AD на рис. 285? У якій чверті міститься точка Р^, якщо:

УІ

а )г = — ; 6) t* = —5л: 4 6 С \л 11 X в ) і = 5,3тг; г ) і = -2 ,9 л ? 0 5°. Яким числам відповідають на тригоно G \ метричному колі (рис. 286) точки: D а) Е, F, G, Н, що поділяють відповідно Рис. 286 дуги АВ, ВС, CD, DA навпіл; б) що поділяють дуги АВ, ВС, CD, DA на три рівні частини? 6. Знайдіть числа з проміжку [0; 2 п ], яким на одиничному колі відповідає точка з: а) ординатою 1; б) ординатою 0; в) ординатою - 1; г) абсцисою 0; ґ) абсцисою 1; д) абсцисою - 1. 7. Які координати мають точки тригонометричного кола, що від повідають числам: а)37г;

б )^ ;

в)N

- 2^

г)2тг?

3. Означення тригонометричних функцій

Узагальнимо поняття синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута на кути обертання чи на довільні числа, які ми домовились не розрізняти. Нехай задано довільне число t, яке визначає точ ку на тригонометричному колі. Позначимо через (х; у) коорди нати точки Pj (рис. 287, а).

Т р и го н о м е тр и ч н і ф ункції ч и сл о в о г о а р гу м е н ту

241

Синусом числ а t назива єт ься ординат а т очки Р^. sin t = y . К о си н усом ч и сл а t нази ва єт ься а б сц и са т очки Р^. cos t = х . Т ан ген сом ч и сл а t нази ва єт ься відн ош ен н я си н уса Рис. 287 ч и сл а t до його косинуса. , ^ sin t t g t = — -• cost К от а н ген сом ч и сл а t н а зи ва єт ься в ідн ош ен н я к оси нуса ч и сл а t до його син уса. , ^ cost ctgt = ^ — . sin t К о с и н у с — від л а т и н с ь к о г о c o m p le m e n ti s in u s : c o m p le m e n tu s — д о п о в н е н н я , а s in u s — з а п а д и н а , з а г л и б л е н н я ; б у к в а л ь н о : д о п о в н е н н я загл и б и н и . Тангенс — від лат инського tan gen s — той, щ о дот ика єт ься, tango — дот икаю сь. Кот ангенс — від лат инського com plem enti tangens. Кожному числу t відповідає єдина точка Р, тригонометричного кола, а отже, єдині абсциса та ордината цієї точки. Власне, саме тому sin t, cos t, tg t, ctg t є функціями змінної t, яка набуває зна чень з множини дійсних чисел. їх називають т ри гон ом ет ри ч н и м и ф ун к ціям и. Щ Для кутів, які розглядаються в геометрії, наведені озна чення збігаються з означеннями відповідних величин у геометрії. Якщо кут t лежить у першій координатній чверті, то абсциса і ордината точки Р, е довжинами ка тетів прямокутного трикутника OP^Q (рис. 287, б). У цьому випадку означення тригонометричних функцій е тими самими, якими вони були для гострих кутів прямокутно го трикутника. В інших чвертях значення тригономе тричних функцій також можуть бути знайдені з прямо кутних трикутників, тільки при цьому слід враховувати

Розділ 3. Тригонометричні функції

242

знаки координат точки том трикутника. Приклад

і зв’язок кута t з гострим ку

9. Знайти значення тригонометричних функцій чи-

сел 0; - ; т г ; — ; 2ті. □ Для розв’язання задачі потрібно знайти прямокутні координати точок триго нометричного кола, які відповідають зазна ченим числам, тобто точок А = B = P^,C = P^,D = P^^ (рис. 288). Враховуючи, 2

ЩО радіус тригонометричного кола дорівнює

маємо: Р„(1; 0), РДО; і), Р ,(-1; О),

( О ;-і).

Отже, sin о = sin 2я = О, sin—= 1, sin л = О, sin— = -1, cos О = •2

= c o s 2 t:

= 1,

co s^

= 0,

cosk

= -1 ,

co s—

= 0, tgO =

cosO

0 = tgTi =

= tg2n. tg —, t g — не існзгють. 2

n ^ cos— Q Аналогічно, ctg— = -----—= —= 0 = ctg— ; ctg 0, ctg n, ctg 2n не ic^ s in - ^ 2 2

нують, бо на нуль ділити неможливо. И Приклад

10.

Знайти значення тригоно

метричних функцій числа — . З ординати точки Р „ ,. За модулем вони збіга

/ V у 0

ються з відповідними координатами точки Р^ (рис. 289). Застосовуючи співвіцношення з

між сторонами і кутами прямокутного три-

Рис. 289

1 'л:

243

Т р и го н о м е тр и ч н і ф ун кції ч и с л о в о г о а р гу м е н ту

Г і . > / з ^

кутника, маємо, що

2 ’ V

, /

Г i S ] (див. приклад 4, п. 2). 1\ 2 ’ 2 / 1

Тому, враховзточи означення тригонометричних функцій довільного . 2п . 2тс V3 2л 1 2п числа, одержимо: sm — = — ; cos— = — ; t e — = ----3 2 3 2 ^3 2я cos2n cos■■ 3 ctg— = ------3- = - . 2л s sm —

, 2л

Відповідь.

V3. 1 . 2 ’ ~ 2’

/^.

Знаки значень тригонометричних функцій числа t визначаються положенням точки Р, на тригонометричному колі. П р и к л а д 11. Визначити знаки чисел: sin 20°; cos 130°; tg 214°^ ctg 356°. □ Побудуємо на тригонометричному колі точки, які відповідають кутам обертання на 20°; 130°; 214°; 356° (рис. 290). Далі, скорис тавшись означеннями тригонометричних функцій, матимемо: sin20° > О, cos 130° < О, tg2l4° =

cos214°

> О, ctg356° =

sin 356°

< О. -

При обчисленні значень тригонометричних функ цій числа (або ж те саме, що міри кута обертання, заданого в радіанній мірі) за допомогою калькуля тора перемикач встановлюють у положення Р (ра діан). Це саме роблять при знаходженні значення аргументу за заданим значенням тригонометричної функції. П р и к л а д 12. Скласти таблицю значень функції h = t + sin t для таких значень t: 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1. □ Щоб виконати завдання, скористаємось калькулятором.

16*

ОД

0,2

0,3

0,4

0,5

0,200 0,399 0,596 0,789 0,979

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,16

1,34

1,52

1,68

1,84

Розділ 3. Тригонометричні функції

244

Синус і косинус довільного числа ми ви значили геометрично. Натомість тангенс і котангенс ввели як деякі відношення си нуса і косинуса. Проте їх також можна оха рактеризувати геометрично. Пряма, що проходить через точку з координатами ( 1; 0) перпендику лярно до осі абсцис, називається лінією тангенсів (р и с. 291). Лінія тангенсів має рівняння х = 1, її можна вважати коорди натною прямою з напрямом і масштабом осі у і з початком у точ ці А. К ож н ом у ч и сл у t Ф—{2п + і),п &Z, м ож н а п оста в и ти у в ід п ов ід н ість точ к у на л ін ії та н ген сів, яка е то ч к о ю п ер ети н у п р я м ої 0P^ з л ін іє ю тан ген сів. Доведемо, що ордината точки знаходиться у першій чверті.

дорівнює tg t, якш;о точка

З подібності трикутників ОР, С і ОВ^А маємо: sinf

АВ

, або

АВ,

tgt = AB^. cost 1 Цей висновок є правильним і тоді, коли точка Р^ міститься не у першій чверті тригонометричного кола. Пропонуємо пере конатись у цьому самостійно. Пряма, що проходить через точку з координатами (0; 1) перпендикуляр но до осі ординат, називається лі нією котангенсів (ри с. 292). Лінія котангенсів має рівняння у = 1, її також можна вважати координатною пря мою з напрямом і масштабом осі х і з почат ком у точці Р^. Доведіть самостійно, ш;о абсциса точки з лінією котангенсів дорівнює ctg t.

перетину прямої ОР^

245

Т р и го н о м е тр и ч н і ф ун кції ч и сл о в о г о а р гу м е н ту

П р и к л а д 13 . Зобразити на тригонометричному колі точки Р^, якщо: 1) tg і = 2; 2) tgi = -0 ,5; 3) ctgf = 1,5. □ 1) Відкладемо на лінії тангенсів у додатному напрямі відрі зок, що дорівнює 2 (нагадаємо, що радіус кола дорівнює 1). Через отриману точку і центр тригонометричного кола проведемо пря му. Точки F і Fj перетину цієї прямої з колом і буд5т ь шуканими (рис. 293, а). 2) У від’ємному напрямі лінії тангенсів відкладемо відрізок завдовжки 0,5. Далі задача розв’язується аналогічно попередній. Точки G і Gj є шуканими (див. рис. 293, а). 3) Відрізок завдовжки 1,5 відкладаємо у додатному напрямі лінії котангенсів. Далі задача розв’язується аналогічно попередній. Точки Н іН ^е шуканими (рис. 293, б). ■

Рис. 293

Д і^питрольні запитання 1°. Дано точку

(-0,8; 0,6) на тригонометричному колі. Чому до-

рівнює: а) sini; б) cos t\ в) tg t\ г) ctg t? 7 8

2°. Чи може синус деякого числа дорівнювати —; —; 3. 4. 5.

8’ 7’ 3’ 4 8 7 Скільки чисел t, що задовольняють умову cos t = 1, містяться у проміжку [0; 4 тс ]? Чи завжди існує на проміжку [0; тг] число, яке задовольняє умову tg і = а, де а — довільне дійсне число? Скільки чисел t, що задовольняють умову sin t = 0,4, містяться у проміжку [0; 2 я ]?

24 6

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

п . 5п . Чи правильно, що числам — і — відповідає та сама точка на

лінії тангенсів? Чи існують на проміжку

[0 ;

п ] числа t, для яких sin t =

- 0 ,1 ?

ИЗадачі 228°. Запишіть у радіанній мірі значення кутів: 1)

1 2 0 °;

2 ) 5 4 °;

3 )

2 1 0 ° ;

- 3 3 0 ° ;

6 ) 2 7 °;

7 )

1 2 7 ° 1 2 ’.

4 )1 6 5 °;

229°. Запишіть у градусній мірі значення кутів: \

^ о

’

2 )

5 я —

;

3 )

^ 2 ;

4 )

л З я ;

5тг - - ;

5 )

5 я 6 )

;

Зті — .

7 )

230. Зобразіть на тригонометричному колі кути обертання, радіанні міри яких дорівнюють: 1

° ) ^ ;

° ) - Ь

3 ) 2 ;

4 ) - 3 ;

5 ) 0 ,5 ;

6 ) - 6 .

А А 2 3 1 . Зубчасте колесо має 4 0 зубців. Виразіть у градусах кут, на який обернеться колесо при повороті на 1 зубець; 1 5 зубців; 8 0 зубців; 1 5 0 зубців. 232. Серед мір кзо'ів обертання - 3 1 0 ° , - 2 2 0 ° , - 5 0 ° , 7 7 0 ° укажіть такі, в яких положення рухомого променя збігається з по ложенням рухомого променя кута, градусна міра якого до рівнює: 1 ) 5 0 ° ; 2 ) 1 4 0 ° . 18я ІОя ІЗя Зя 6я 233. Серед мір кутів обертання , ------- , ------ , --------, — ука7

жіть такі, в яких положення рухомого променя збігається з положенням рухомого променя KjTa, радіанна міра якого _ я 4я дорівнює: 1) —; 2) — . 7

234. Знайдіть довжину дуги, якіцо відомі її радіанна міра а і ра діус R кола, ш,о містить її: 1) а = З, Д = 1 см;

2) а = — , Д = З см; 3) а = — , Л = 5 м. З 5 235. Колесо за 10 с повернулося на 5 я рад. З якою кутовою швид кістю воно обертається?

247

Т р и гон ом е тр и ч н і ф ун кції ч и сл о в о г о а р гу м е н ту

236. Шків швидкісного електродвигуна робить 90 000 обертів за хвилину. Знайдіть кутову швидкість обертання цього шківа: 1) у град/с; 2) у рад/с. 237. Кліть шахтного підйомника піднімається на 100 м за 40 по вних обертів вала підйомника у додатному напрямі. Визна чте у радіанах кут повороту вала підйомника, якщо кліть піднялась на 13,75 м; спустилась на 21 м. 238. Точка рухається рівномірно по колу радіуса Л = 60 см з куто вою швидкістю (О = 4 я рад/с. Знайдіть її лінійну швидкість. 239. Точка рухається рівномірно по колу радіуса і? = ЗО см з лі нійною швидкістю 75 см/с. Знайдіть їі кутову швидкість. 240. Яку лінійну швидкість має точка диска, ш;о обертається, коли вона віддалена на 18 см від осі обертання, а кутова швидкість диска дорівнює — рад/с? Якої довжини дугу опи3 ше ця точка за 45 с? 241. Зобразіть на тригонометричному колі точки, що відповіда ють числам: 2771 2) 1,5; 2,3; 3 )5 я ;Ь 4 о о 4 Ь 242. Знайдіть прямокутні координати точок: 6

243. Знайдіть координати точки тригонометричного кола, яку одержимо при обертанні точки (1; 0) на k jt: 1°) Зтс;

4) - ; 5) 225°. 6 244. Знайдіть кути, на snci потрібно повернути точку (1; 0) навколо початку координат, щоб одержати точку з координатами: 1°)

245.

2°) -2ті;

; 2)

3°) 4,5я;

; 3)

;4)

Зобразіть на тригонометричному колі точки і запишіть, яким числам вони відповіцають, якщо вони мають: 1)

ординату — — ;

2) абсцису — .

Розділ 3. Тригонометричні функції

248

246. Для кожного з наведених значень t

с=

л п 5 4 я; я; —тс; 4 2 6 З

З 11 і Р^. стали —п; — п вкажіть таке значення t ', щоб точки 2 6 , симетричними відносно: 1) початку координат; 2) осі абсцис; 3) осі ординат; 4*) прямої у =х; 5*) прямої у = -х. 247*. Числа задані формулою: 1) t = - - k ; 2) t = n-k-,3) t = —-k\ 2 4 4) і = —■(2k + l), де = О, ±1, ±2, ±3, ... . Зобразіть на коордиА натній прямій і на тригонометричному колі точки, які від повідають цим числам. Скільки таких точок буде на коорди натній прямій і скільки — на тригонометричному колі? 248°. Дано координати точки Р^ на тригонометричному колі. Обчисліть sin t, cos t, tg t, ctg t\ 1)

^ 4 ._ 3 ^ ; ^5 5j

1 13 13,

;

f л/3.1^ ; \ V 2 ’ 2✓ У,

\4 ’ 4 /у 249°. Обчисліть значення тригонометричних функцій чисел: 2я бтг 1, ^ ; 4 )^ . 2) 3) 4 З ' '4 6 250°. Визначте знаки тригонометричних функцій sin t, cos t, tg t, ctg t для t, що дорівнює: 7я , 5n 12л 7л 7л 13л 4) 5) 6) 251°. Обчисліть: 1) sin—-l-co sл -2tg2л + ctg — ; 2 2 / \ Г Зл^ n^ 2) sin -c o s + 2tgЗл -b ctg 2 y 2) 252. Зобразіть на тригонометричному колі точки Р^, якщо: l)c t g t = l; 2) ctg і = 2; 3) ctg і = -0 ,5 ; 4) tg< - 1,5; 5) tgi = -1 . 253. Знайдіть усі числа з проміжку [0; 2 л], які задовольняють умову: 1) sin і = 0; 2) cos і = 1; 3) cos t = -1 ; 4) ctg t = 0; 5) sin t = -1 .

Т р и гон о м е тр и ч н і ф ун кції ч и сл о в о г о а р гу м ен ту

249

Вправи для повторення 254. Відомо, sin а - а . Знайдіть cos а, tg а, якщо а: 1) гострий кут прямокутного трикутника; 2) тупий кут трикутника. 255. Відношення катетів прямокутного трикутника дорівнює 4:3. Знайдіть синуси і косинуси гострих кутів трик5^ника. 256. Доведіть, що точка з координатами (cos а; sin а) лежить на колі з радіусом 1 і з центром у початку координат. 257. Із заданої рівності виразіть х через у тау через х; 1) 258.

+ у^ = 4, якщо X > О, > 0; 2)

, якщо х < О, з» < 0.

Дано кути: 30°; 64°; 10°; а; 45° + а; —. Знайдіть кути: 1) які 8 доповнюють їх до прямих; 2) суміжні з ними.

П ід с у м о к Основні поняття

Означення

Геометрична інтерпретація

Синус числа t — ордината точки P^. Косинус числа t — абсци са точки Р ,. Тангенс числа t — відно шення синуса числа t до його косинуса. Котангенс числа t — від ношення косинуса числа t sin t = y , cos t = x до його синуса. , , sin t tgt = -

ctg t

cost cost = sin і

Застосування Т ригоном етрич ні функції засто совуються для р о зв ’язуванн я трикутників, до слідження обер тального руху тощо.

Розділ 3. Тригонометричні функції

250

Геометрична інтерпретація

Означення

Застосування

Лінія тангенсів — пряма, що проходить через точ ку (1; 0) перпендикулярно до осі абсцис, тобто пряма х=1.

Г еом етричн а ін т е р п р е т а ц ія тангенса

Лінія котангенсів — пря ма, що проходить через точку (0; 1) перпендику лярно до осі ординат, тоб то пряма у = 1.

Геом етрична ін т е р п р е т а ц ія котангенса

Головні твердження

Формулювання

Геометрична інтерпретація

Ордината точки перетину прямої ОР,, яка з’єднує центр тригонометричного кола з точкою Р ,, з лінією тангенсів дорівнює tg t.

tgt=y^в. Абсциса точки С, перетину прямої ОР,, яка з’єднує центр тригонометричного кола з точкою , з лінією котанген сів дорівнює ctg t.

C tg

t = X C,

§14.

ОсиовнІ сп івв ід н ош ен н я М І Ж тр и го н о м е тр и ч н и м и ф ункціям и

у даному параграфі встановлюються співвідношення між тригонометричними функціями, які дозволяють за значенням однієї з функцій за певних умов знаходити значення всіх інших. Розглядаються також формули, які зводять обчислення значень тригонометричних функцій у довільній точці до обчислення їхніх значень для аргу менту з проміжку 1. О с н о в н а т р и го н о м е т р и ч н а т о т о ж н іс т ь т а н а с л ід к и з н е ї

Знайдемо зв’язок між сину сом і косинусом того само го аргументу. Нехай РДх(0; y(t)) — точка тригонометричного кола, яка відповідає числу t (рис. 294). Тоді, за означенням синуса і косинуса, маємо такі рівності:

ііБ

x(t) = cos t, y(t) = sin t. Рис. 294 Оскільки точка P належить тригономе тричному колу, то її координати задовольняють рівняння кола = 1. Отже, для довільного t справджується рівність: cosH + sin^i = 1.

Ця рівність називається основною тригонометричною то тожністю. До основних співвідношень між тригонометричними функція ми одного аргументу відносять також рівності: tg< =

sinf cost

ctgt =

cost sint

252

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

з наведених вище різностей випливають інші залежності між тригонометричними функціяйи одного і того самого аргументу: tg i-ctg < = l,

l + tg4 = —^ , l + ctg^t= ^ cos^ t ’ sin^ t Перша 3 них є простим наслідком означень тангенса і котантт л/Г 9 sin^ t COS^ t + sin^ t генса. Доведемо другу. Маємо: 1 + tg « = 1 + ---- — = ---------= cos t cos t ^ . Третє співвідношення виводиться аналогічно. Рекоменcos^t дуємо зробити це самостійно. В

Н аведені сп іввід н ош ен н я д озв ол я ю т ь за значенням о д н ієї з тр и го н ом етр и ч н и х ф ун кцій ч и сл а t об ч и сл ю в а ти квадрати значень інш их. Н априклад, якш:о cos і = —, то З

sin^t = l-c o s ^ i = 1 — = —. Д ля зн а ходж ен н я са м и х зна9 9 чень п о тр іб н а д од а тк ова ін ф орм а ц ія, яка б надавала м ож л и вість вста н овл ю ва ти їх н і знаки. У попередньому параграфі розглядались приклади, де доводи лось за означеннями тригонометричних функцій визначати зна ки їхніх значень. Узагальнимо ці міркування, з’ясувавши, при яких значеннях аргументу тригонометричні функції набувають додатних значень, а при яких — від’ємних. Синус числа t — це ордината точки (див. рис. 294). Додатни ми є ординати тих точок, які розміш;ені над віссю абсцис, тобто знаходяться у першій чи у другій чверті. Якш;о точка розташо вана під віссю абсцис, тобто в третій або у четвертій чверті, то її ордината є від’ємною (рис. 295). 1. С и н ус н а бува є д од а тн и х значень у п ер ш ій і д р у гій чвертях, а від’ єм н и х — у тр етій і четвертій .

Властивість

Далі міркуємо аналогічно. Косинус числа t — це абсциса точки Р,. Додатними є абсциси тих точок, які розміш,ені правіше віц осі ординат, тобто знаходяться у першій чи у четвертій чверті. Якш;о точка Р^ розташована лівіше від осі ординат, тобто в другій або у третій чверті, то її абсциса є від’ємною (рис. 296).

253

О сновн і сп івв ід н ош ен н я між тр и го н о м е т р и ч н и м и ф ункціям и

Знаки тангенса Знаки синуса

Рис. 296 Рис. 297 2 . К осинус н а бу в а є д од а тн и х значень у п ер ш ій і ч етв ер тій чвертях, а від’єм н и х — у д р у гій і третій .

Властивість

п ■ X ^ sini , ^ cosi X ^ ^ Згідно з означенням, tgt = ------, ctgt = —— , тому tg 11 ctg t наcos < smi бувають додатних значень, якщо sin t і cos t мають однакові знаки. Відповідно, tg t і ctg t набувають від’ємних значень, якщо sin t і cos t мають різні знаки (рис. 297). 3. Тангенс і котангенс н а бува ю ть дод а тн и х значень у п ерш ій і тр етій чвертях, а від’ єм н и х — у др угій і четвертій .

Властивість

Приклад

3)tg

Визначити знаки чисел: 1) cos 230°; 2) sin— ;

9п

□ 1) Визначимо, в якій чверті знаходиться точка тригономе тричного кола, яка визначає положення кута 230°. Маємо: 180° < < 230° < 270°. Тому зазначена точка лежить у третій чверті. Коси нус у третій чверті набуває від’ємних значень. Тому cos 230° < 0. 2) Визначимо спочатку, в якій чверті знаходиться точка тригономе7п ^ . п 7п тричного кола, що вщповщає числу — . Оскільки — < — < я , то числу 9 2 9 ^

відповідає точка, яка знаходиться у другій чверті. Тому sin ^

3) Оскільки — < — < 2л:, то точка 2 5 . . 971 „ н T iitg — <0. ■ 5

>0.

розміщена у четвертій чвер-

Відповідь. 1) cos 230° < 0 ; 2) sin— > 0 ;3 ) t g — < 0 .

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

25 4

П р и к л а д 2. Відомо, ЩО COS І = - 0 ,6 і — < І < 71. Знайти sin і, tg і.

2 □ З тотожності віп^г + cos^i = 1 знаходимо: sin^t = 1 - cos^i =

= 1- ( - 0,6)^ = 0 ,6 4 . Оскільки —< t < n , то точка

розміщена

у другій чверті і sin і > о . Тому sin і = 0,8; tgt =

sin і

cost

’ з'

4 В ідповідь. 0,8; — . З Приклад

Спроститивираз cosâ-(ctgâ + l)sinâ.

□ Застосовуючи послідовно рівність 1 + ctg^ t = — — і основну sin^i тригонометричну тотожність, матимемо: cos^ а - (ctg^a + 1) sin^ а = 1

= cos“ а -------7— ■sin^ а = cos^ а - 1 = -sin^ а. sin а В ідповідь, -sin^a. При перетворенні тригонометричних виразів, як і алгебраїчних, області їхнього визначення можзть змінюватись. Так, у прикладі З даний вираз визна чений при всіх дійсних значеннях а, окрім а = пп, п є Z. Спрощений вираз визначений при всіх дійсних значеннях а. Щоб не ускладнювати запис, зазвичай домовляються, що рів ність даного виразу і спрощеного, отриманого за допомогою пере творень, справджується для всіх значень змінних, при яких ви значені обидва вирази. Розглянемо складніші приклади на застосування основних тригонометричних співвідношень. Приклад

Визначити знаки чисел: sin2;

cos3; tg4; ctg5. □ Відмітимо на тригонометричному колі точки Pj. ^з> Р4’ Враховуючи, що sin 2 — це ордината точки , дійдемо висно вку, що sin 2 > 0. Оскільки cos З - це абсциса точки Рд, то cos З < 0. Знаки tg4 і ctg 5 визна чимо, користуючись означеннями тангенса

Y л V У 0

Рис. 298

*х

О сновн і сп івв ід н ош ен н я між т р и го н о м е т р и ч н и м и функціям и_______________________ 2 5 5

sin 4 COS 5 < О, і котангенса: tg4 = ----- > О, бо sin 4 < О, cos 4 < О, ctg5 = COS 4 sin 5 б о s in 5 <

О,

COS 4 > 0 . И

В ідповідь, sin 2 >0; cos З < 0; tg 4 > 0; ctg 5 < 0. Приклад

5 . Довести, що sin® а (1 - ctga) - cos® a(l - tga) = sin a - cos a .

□ Скориставшись означеннями tga і ctga та основною триго нометричною тотожністю, одержимо: / cosa ^ sin a sin® а (1 - ctga) - cos® a(l - tga) = sin® a 1 - - 7— - cos" a sina cos a ҐsS Uml U a. —-cU oU sS aU q Uc UoB sU a. —-sB in i l l a\J^ •2 / • \ -c o s a = sin a = sin a ( s i n a - c o s a j sin a cosa — cos^ a (cos a - sin a) = (sin a -cosa )(sin ^ a + cos^ a ) = sin a - c o s a. И Зверніть увагу на те, що у прикладі 5 вирази, що стоять у лівій і правій частинах рівності, мають різні області визначення, але їхні значення на спільній частині областей визначення співпа дають.

Контрольні запитання

1°. Яке рівняння задовольняють координати всіх точок тригоно метричного кола? 2°. Чи можуть синус і косинус одного й того самого аргументу до рівнювати відповцщо: а) О і 0; б) 1 і 0; в) 1 і -1 ; г) 0,6 і 0,8; ґ) 0,5 і 0,5? 3. 4.

Чи правильно, що cos t = —, якщо sini = —? 5 5 Чи можуть тангенс і котангенс одного й того самого аргументу дорівнювати відповідно: а°) 1 і 0; б°) 1 і 1; в°) 1 і - 1; г) 7 з і - ; О ґ)

5. 6.

- h ^ /з і

-Т з ;д )

I + V

і І -л /2 ?

Для яких точок тригонометричного кола мають різні знаки: а) sint і cos t; б) sin titg t? Де розміщена точка Р, на тригонометричному колі, якщо: а°) sin t > 0; б”) tg і < 0; в) cos 2t < 0; г) sin t cos t < 0; ґ) |sin t\ = -s in tl

Розділ 3. Тригонометричні Функцм

25 6

2. Форімули зведення

Існують формули, які зводять обчислення значень тригонометричних функцій для довільного аргу менту до обчислення їхніх значень на проміжку . Ці формули називають формулами зведення. Формули зведення ґрунтуються на означеннях тригонометрич них функцій і властивостях геометричних перетворень - поворо тів. Розглянемо на тригонометричному колі точку Р, (рис. 299). Точку можна одержати з точки за допомогою повороту на кут 71. Тому точки Р, і P^^j симетричні відносно початку коорди нат. їхні координати — протилежні числа. Отже, мають місце на ступні формули: cos(n + t) = -cost;

sin(7c + 0 = - s i n i .

Точки P^, P^_, симетричні відносно осі ординат (рис. 300). Вони мають однакові ординати і протилежні абсциси. Це випливає з того, що точки Pj і Р_, симетричні відносно осі абсцис, а точки Р_, і Р^_, симетричні відносно початку координат. Тому справджу ються наступні формули: cos(ji- 0 = -c o s i;

sin(7i - i ) = s in f.

Точки P_, і P^^_i збігаються (2n — повний оберт!) (рис. 301), тому точки Р, і Р2„_( симетричні відносно осі абсцис, у них одна кові абсциси і протилежні ординати. Відповідні формули мають такий вигляд: соз(2л - і ) = cosi; Оскільки точки Р^ і ні формули:

sin(2n-t) = -s i n t .

збігаються, то справджуються наступ

соз(2л + 0 = cost;

sin(27r + 0 = s i n i .

Рис. 300

Рис. ЗОЇ

257

О сн овн і сп івв ід н ош ен н я між т р и го н о м е т р и ч н и м и функціями

pJ Головною особливістю наведеної групи формул є те, що вони стосуються лише однієї тригонометричної функ ції. Існує ще одна група формул зведення для синуса і косинуса. Вона відрізняється тим, що в кожній форму лі містяться обидві тригонометричні функції. ґ sin = C O S t , COS = sini; 2 / N N sin = COSf, COS - + t = -sin<; 2 sin sin

ГЗя І2

^ j (Зп Л cos — + t = sinf. І2 j

t = -sin t;

= -С 0 8 І, cos —

/ 3n

■+ t = - c o s t ,

Обґрунтуємо наведені формули пізніше. Формули зведення для тангенса і котангенса випливають із озна чень цих функцій і відповідних формул для синуса і косинуса. sm{n + t) -sint ^ ^ Наприклад, tg (л: + П = -----)----------- = ------= tgi; cos(7t + fj -c o s i \ cos -sin^ ctg - + t = -tgt. cost 2 sin - + t 2 Узагальнено формули зведення подані у таблиці 29. Таблиця 29 \Аргумент n - t

n + t

1 -

3% ,

2 n - t

-C O S t

-sin

+ 1

Функція\ч sin

COS t

sin

COS t

cos

sin

-sin

tg ctg

ctg

-C tgt

- t g t

-sin

-C O S t

—sin

- t g t

tg t

ctg

-c tg

ctg

tg t

t t

sin

-c tg - t g t

sin

COS t

-tg t

t g t

-ctg

ctg

Аналізуючи таблицю, можна сформулювати так зване мнемоніч не правило, яке дозволяє краще запам’ятати формули зведення.

Розділ 3. Тригонометричні функції

258

1) у формулі зведення функція не змінюється, якщо до аргументу додавати ± к або ж ±2 ті, і змінюється (синус на косинус, тангенс на котангенс, косинус на синус, котанч

. Я

, 3 л

гене на тангенс), якщо додавати числа ± — чи ± — . 2) Одержана функція у правій частині рівності береться з тим самим знаком, який мас початкова функція, якщо вважати, що О < t < —. 2 П р и к л а д 6. Знайти cos(270° - а). □ Насамперед, помічаємо, що вираз містить кут 270° або ^ рад. Тому функція змінюється, і у правій частині рівності має стояти sina. Щоб визначити знак перед sina, припускаємо, що кут а — гострий. Тоді точка Р2?о”-а лежить у третій чверті тригонометрич ного кола. Але косинус у третій чверті — від’ємний. Тому перед sina слід поставити знак « -» . Отже, cos(270° - а ) - -sin a . И Відповідь, —sina. Приклад 7. Обчислити: 1) sin^i^; 2) cos— ; 3) tg — ; 4) sin 1020°.

6 4 3 □ Для розв’язання перших трьох завдань подамо число, яке стоїть під знаком тригонометричної функції, у вигляді суми або різниці чисел п або 2я і деякого числа, яке менше від —, і застосу2 ємо відповідну формулу зведення. Необхідні пояснення наведені при розв’язанні прикладу 6: . 1ІЯ . . 71 1 1) sin = sin 2я - - = - s i n —= — ; 6 2 л п 2) cos— = cos к + — = -c o s — = -----4 4 4 2 л 4п 3) t g y = tg 7t + — - t g | = V5. З

В останньому завданні виділимо з наведеного кута обертання повні оберти, міри яких кратні 360°, їх можна відкинути. Далі за стосовуємо формулу зведення.

О сн овн і сп івв ід н ош ен н я між тр и го н о м е т р и ч н и м и ф ункціям и

259

sin 1020° == sin(2 ■360° + 300°) = sin 300° = sin(360° - 60°) =

= -sin 60° =

В ідповідь. l ) - i ; 2 ) - ^ ; 3 ) 7 3 ; 4 ) - ^ , ^ Zt Zi Тепер обґрунтуємо формули, в яких до аргументу л _ Зтг додаються — або — . 2 2 Візьмемо дві точки Рд і (рис. 302). Вони симетричні одна одній від носно бісектриси першого і третього коорди натних кутів. Щоб побудувати точку Р^, по трібно рухатись по колу віц точки Р^ на відстань Іг І у певному напрямі. Щоб побуду вати точку Р^ , треба на таку саму відстань 2 рухатись по колу від точки Р^, але у протилежному напрямі. При 2 цьому точки Р, і Р^ при будь-якому t залишатимуться 2~‘ симетричними відносно зазначеної прямої (у = х). Звідси випливає, що ордината першої точки збігається з абсци сою другої, а її абсциса — з ординатою другої, тобто = s in i. sin - - t = cos і; cos 2 2 Усі інші формули обґрунтовуються за допомогою цих і раніше отриманих формул: /

sm - + t = sm 2 cos sm

= - cos Я -

2 Зтг

4 4 / fn Л = s in ------- \-t = n - - t І2 у у U J V /

-t

= sm я-ь

cost;

= -C O S

= -s in i;

= - sm

= -cost;

2 cos

Зп --t

\\ = cos Л+ 2

17*

Ґ = -sin f.

= -c o s 2

Розділ 3. Тригонометричні функції « ц ії^

260

/ (Зп / sin — + t = sin Л + —+ t = - sin — vt = -cost; І 2 , І 2 уу І2 J V > / \Ч / Ч rЯ > ГЗл " 1^ .1 COS -----ht = COS Л-І- — vt = - COS - + t = sin і. ^2 >у 12 , І2 j Для тангенса і котангенса кількість формул зведення можна зменшити. Справа в тім, що тангенс і котангенс довільного аргу менту можна звести до цих функцій аргументу з проміжку [О; к . Справді, кожній точці на лінії тангенсів чи лінії котангенсів від повідає безліч чисел t + пп, п е Z, тому тангенс і котангенс для t + пп при всіх п є Z набувають того самого значення: tg {t + пп) = tg t, ctg (t + nn) = ctg t. Послуговуючись цим висновком, для переходу до тангенса чи котангенса гострого кута достатньо знати формули тангенса і котангенса для Приклад

(90° + 1,180°- t ) .

8. Обчислити: 1) tg

17л

11л 2 ) ctg

6 ' '" 4 □ Виділимо з аргументу цілу кількість значень я. 1771 бтс 5л л 1 ) t g — - = tg 2л + = tg y = tg л — 6 6 11л Зл^ л * Зл ^ 2 ) c t g — — = ctg 2 л -I= c t g — = ctg л -----4 4 4. В ідповідь. -

а . Контрольні

- 1.

запитання

Як розміщені на тригонометричному колі одна відносно дру гої точки: а°) і Р,; б°) і Р,; в) Р, і ; г) Р, і ? І-' 2°. Яка точка симетрична точці Р, тригонометричного кола від носно: а) початку координат; б) осі ординат; в) осі абсцис? 3. Які координати має точка тригонометричного кола, симетрич^3 4^ . на точці Р вщносно: а°) початку координат; б°) осі ор 1.

динат; в°) осі абсцис; г) прямої j = х; ґ) прямої у - -х ?

^і

О сновн і сп івв ід н ош ен н я між т р и го н о м е т р и ч н и м и ф ункціям и

4. 5.

Як можна представити кут 112°, щоб скориставшись формула ми зведення обчислити COS 112°? Чому дорівнює вираз: а)

6. 7.

261

8Іп(я + і) + 8Іп1; б) 8Іп(л + і) + 8Іп (л :-і); в) cos ^ + 1 + 8ІПІ?

Чи правильним є твердження, що косинус суми двох кутів трикутника дорівнює косинусу третього кута? Чому дорівнює тангенс тупого кута паралелограма, якщо тан2„ гене гострого кута дорівнює - ! З

р і Задачі 259.

Визначте знак виразу: 1°) sin 65°;

2°) tg 147° sin 269°; 3°) sin— cos— tg— ; 5 7 9

4) sin(-2) •cos2 •t g (- 3 ); 260.

5*) sin— tg — cosi. 5 ^ 9

Нехай 0 < a < — . Визначте знак виразу: 2 n 1°) sin a 2°) cos —+ a 3) sin (2a - 7i); 2 2 Ґ 4) t g (a -n ); 5) cos(7i - a ) ; 6) ctg

261. Обчисліть значення кожної з тригонометричних функцій, якщо: 1°) 8ІПІ = - 0,8; ^ <t <2п\ А

2°) cost = - — ; n < t < — ; 13 2

tgi = -2,4; ^ < t < n ;

ctgi = 3; О < і < - ; 2 5 5°) 8ІПІ =0,6; 6°) cost = ------; n<t <2п . А А 13 262. Знайдіть координати точки на тригонометричному колі, якщо: 5 . 4 2 )tg t = - - ;

З*) ctgt = 2 + ТЗ;

4*) tgi = 1 + л/2 .

262

263.

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

Обчисліть:

. 2 1) — ------, якщо sina = — і ctg а > 0; 1 - cos а З 2) — — , якщо cosa = 1 + sin а

264.

Спростіть вираз; т 04 sin^ а - 1 / “ 5 ’ 1 - COS а 3°) cos atga - sin а ; 5°) cos^ а + ctg^a + sin^ a ; 7)

1 + ctg^a + — ; cos" a 1 + tg^a

11)

sin^ a - sin"* a + cos'* a ;

і ctg а < 0.

cos^’ а - 1 ' Z ^2 ’ 1 - sin а 4°) cos а - s in а ctg а ; 6°) cos^ a + tg^a + sin^ a ; 8) 1 + tg^a + - r - j— • 01ТЛ a 1 sin 1 + ctg a 12) cos^ a - cos^ a + sin^ a ;

13) (tga + ctga )(l + c o s a ) ( l - c o s a ) ; 14) (tga + ctga )(l + s i n a ) ( l - s i n a ) ; 15*) tg ^ ; jg*) 265.

ctga

7 l + tgâ yjl + ctgâ Доведіть тотожність: 1 1 1 1° ) sin^ a cos^ a sin^ a ■cos^ a ’ cos^ a - sin^ a 2) ctg'a-tg^ a = sin^ a •cos^ a 3°) cos^ a - sin^ a = 1 - 2 sin^ a; 4°) sin^ a - cos'* a = 1 - 2 cos^ a; 5) tgV - sin^ a = tgâ ■sin^ a; 6) ctgV - cos^ a = ctgâ •cos^ a; 7) cos^ a + 2 sin^ a + sin^ atgâ = ^ cos^ a ’

8) sinâ+2 cosâ+cosâctgâ=^sm ^2 a 266°. Обчисліть значення тригонометричних функцій для на ступних кутів: 1) 120°; 2)135°; 3) 150°; 4) 210°; 5) 225°; 6) 240°; 7)300°; 8) 315°; 9) 330°; 10) 390°.

263

О сновн і сп івв ід н ош ен н я між т р и го н о м е т р и ч н и м и ф ункціям и

267°. Користуючись формулами зведення, обчисліть: 19л 1 І7 Г З І7 Г 1 І7 Г 2) COS 1) sin 3) tg 4) ctg з’ 6 ’ 6 ’ ^ ІЗті^ 4л 7п 6 ) COS 5) sin ; 7) tg 8 ) C tg ’з ' 4 268°. Обчисліть значення виразу: 1) COS 990° - sin 780° - ctg 945°; 2) tg 1080° - sin 855° + cos 1305°; 3) 3cos 1860° + sin(-1920° ) + cos(-630°); 4) cos 2850° - cos (-765°) + tg 1035°. 269. Зведіть до тригонометричних функцій додатного аргументу, меншого від л: 2871 35л 35л 18л 1) sin 2) cos 4) ctg 3) tg 9 9 ° 12 ' ° 5 270. Зведіть до значення тригонометричної функції для числа з ввдрізка 4л 1) sin-

2) cos— ; 4

3) tg

5л

4) ctg

11л

271. Обчисліть: 1) (sinl0° + sin 20° + sin 30°) - (cos 60° + cos 70° + cos 80°); 2*) ctg 31° ■ctg 32° •ctg 33° • •ctg 57° •ctg 58° •ctg 59°. 272. Обчисліть суму: 1) sin 0° + sin 1° + sin 2° +... + sin 359° + sin 360°; 2) tg20° + tg40° + tg60° +... + tgl60° + tgl80°. 273.

Спростіть вираз; Л

sin(л + a) + cos —+ a соз(2л - a) - sin 2 Л Л tg 2 ~“ sin a cos a 2) sin(л + a) ctg(n - a) cos(n - a) ’ 1)

ctg 3)

a - tg(л + a) + sin cos(л + a)

Зл

-a

Зл

--a

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

26 4

Гл ^ fЗл ^ sin — + а tg — а І2 j І 2 у c tg (2 7 i - а )

8 І п (к + а )

274. Доведіть тотожність: 1) sin

я - + а

п —+ а 4

-cos — а 4

= 0 ; 2 )tg

л п — а 4

= ctg

275. Косинус одного зі суміжних кутів д о р ів н ю є

. Знайдіть

синус другого суміжного кута. 276. Косинус одного з кутів паралелограма дорівнює —— . ЗнаІО йдіть синус другого з його кутів. 277. Сума косинусів гострих кутів прямокутного трикз^ника до рівнює т. Знайдіть: 1) суму квадратів синусів цих кутів; 2*) добуток синусів цих кутів.

Вправи для повторення 278. Виберіть серед кутів: 1) 205°; 335°; 385°; 695°; 745°; -25°; -205°; -335° такі, синус яких дорівнює sin 25°; п 4л 6л 11л 21л 4л 9л 19л - “ --У ' л

д о р і в н ю є COS— .

5 279. На рис. 303 зображено графік функції у = fix), визначеної на множині усіх дійсних чисел. Яким буде графік функції: 3)y = fix -2 )7 l ) y = f{ x -i y , 2)y = f { x+D280. Дано графіки функцій, визначених на відрізку [ - 1; 0] (рис. 304). Добудуйте кожний з них (якщо це можливо) до графіка: 1) пар ної функції; 2) непарної функції. У /

!------1-----1 1

И 1 /

/ і

•<

Рис. 304

1 1

І___J

26 5

О сн овн і с п івв ід н ош ен н я між т р и го н о м е т р и ч н и м и функціями

П ід с у м о к Головні твердження

Назва твердження або словесне формулювання Основна тригонометрична тотожність і наслідки з неї

Фзтікція не змінюєть ся, якщо до аргумен ту t додати ±71 або ж ±2 я , і змінюється (си нус на косинус, тан гене на котангенс косинус на синус, ко тангенс на тангенс) якщо додати числа ± — чи ± — . Знак у 2

sinH + cosH = 1,

l + tg^i=

1 + ctg^i = — ^ sin^ t

sin(n + t) = -s in f сов(я + t) = -cost sin(jt -t ) = sint cos(n-t) = -c o st sin

cos

= cost;

= sinf

sin

= cost

правій частині рівно сті збігається зі зна cos ком у лівій частині, якщо t задовольняє sin jTnoBy: О< t< —. 2

Графічна ілюстрація

Зміст твердження

= -s in t = -co st /

cos

l-«]/

cos sin

= -s in t N = sint /

—Зя +t = -c o s t

У p.

§15.

В л асти в о сті і граф іки тригонометричних функцій

У цьому параграфі буде розглянуто властивості три гонометричних функцій, побудовано їхні графіки. Роз глядатиметься специфічна властивість цих функцій — пе ріодичність. Періодичні ф ункції описують різні ситуації (астрономічні явища, життєдіяльність організму тощо), які періодично повторюються. Розглядаються гармоніч ні коливання, які описуються періодичними функціями.

1. Періодичні функції

При введенні тригонометричних функцій аргумент позначався буквою t, оскільки буквих і у використо вувались для позначення координат точки . Тепер повернемось до звичних позначень: х — незалежна змінна, у — залежна змінна, тобто у = sin х, у —cos х, у = tg х. Оскільки числам х, х ± 2 п на тригонометричному колі відпові дає одна й та сама точка , то мають місце рівності: sin(x ± 2л) = sinx, c o s (x ± 2n) = cosx. Цю властивість функцій у - sin х і j = cos х називають періодичністю. Вона полягає у тому, що значення функції повторюються через рівні проміжки зміни аргументу. Точний зміст поняття періодичності функції міститься у наступному означенні. функція у = fix) називається періодичною, якщо існує таке число Т Ф О, що область визначення функції разом з кожною точкою х містить точки х ± Т і при цьому виконується рівність f(x ± Т) = f(x). Число Т називається періодом функції.

В ластивості і граф іки тригоном етричн их функцій

267

р Т З н е р т а е м о ува гу на те, щ о р ів н ість f(x ± Т) = f(x) м ає сп р а в д ж у в а ти сь для в сіх зн ачен ь х із о б л а ст і визначення ф ункц ії. Д ля ок р ем и х ф ун кц ій м ож н а вк азати числа, додаван н я я ки х д о о д н о го значення а р гум ен ту не з м ін ю є зн ачення ф ун кц ії, вод н о ч а с дод аван н я д о ін ш ого зн ачення а р гум ен ту — зм ін ю є. Т ак і ч и сл а не є п ер іод а м и ф ункції. \ 71 Нагфиклад, sin О= sin (О + ті) = О, але вже sin —+ Л 2 в той час коли sin—= 1. Отже, число ті не є періодом функції 2 у = sin X. функції у - sin д: і = cos х є періодичними з періодом 2к. Цей факт використовувався у § 14 при обчисленні значень синуса і ко синуса. Періодом тангенса і котангенса є число п, що випливає з формул зведення: tg(t + п) - tg(i - ті) = tg t. Якщо число Т е періодом функції у = f{x), то числа 2Т, ЗТ, ... і взагалі пТ, п є Z, п ^ О, також є її періодами. Справді, напри клад, fix + 2Т) = Д(х + Т) + Т) = fix + Т) = fix). Звідси випливає, що періодами фзгнкцій у = sin х і у = cos х є числа An, бті, ... , а періода ми функцій >' = tg X і >> = ctg X є числа 2-к, Зя, 4л ... . На графіку функції її періодичність з періодом Т відображаєть ся наступним чином. Я кщ о гра ф ік п е р іод и ч н ої ф ун к ц ії з п е р іо д о м Т п ара л ел ьн о п е р е н ест и на Т оди н и ц ь у зд ов ж о с і а б с ц и с у д о д а тн о м у чи від’єм н о м у н апрям ах, т о він п ерей де са м у себе. На рис. 305 зображено графік періодичної фішкції з періо дом І. Для побудови графіка періодичної функції з періодом Т достат ньо побудувати його на відрізку завдовжки Т (рис. 306), а потім

268

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

побудований графік паралельно перенести вздовж осі абсцис в обох напрямах на відстані Т, 2Т, ЗТіт. д. (рис. 307). Стала функція, що визначена на всій числовій осі, є періодич ною. Її період — будь-яке число, відмінне від нуля. Справді, для сталої функції у = с справджується очевидне співвідношення: у(х + Т ) = с = у(х) для будь-якого дійсного X при будь-якому о (рис. 308). У, с -2 7

-7

У=с Т

Гх

Рис. 308

Періодичними фзгнкціями описуються різні фізичні процеси: малі коливання маятника, обертання планет навколо Сонця, сила змінного струму тощо. Найпростішим приладом для ілюстрації періодичних процесів є годинник. Положення кінців стрілок по вторюються через рівні проміжки часу. Для секзтщної стрілки цей проміжок складає 60 с, для хвилинної — 60 хв, для годинної — 12 год. П р и к л а д 1. Нехай функція у = f(x) є періодичною з періодом З і Д1) = 2. Чому дорівнює Д -8)? □ По-перше, зазначимо, що функція у = f{x) визначена при X = - 8, бо, за означенням періодичної функції, область визначення даної функції разом з точкою х = 1 містить точки: 1 - З = -2 , - 2 - З = = -5 , -5 - З = - 8. По-друге, Д -8) = Д- 8 + 3) = Д -5) = Д -5 + 3) = Д-2) = = Д- 2 + 3 )= Д 1) = 2. ■ В ідповідь. 2. 2. Довести, що періодом функції у = sin 2х є число п. □ функція у = sin 2х визначена на всій числовій осі. Тому її область визначення разом з кожною точкою х містить точки л: ± я. Підставимо замість х у вираз для цієї функції х + п: sin(2(x-i-n)) = sin(2x-i-27i) = sin2x. Той самий результат одержи Приклад

мо, якщо замість х у вираз для цієї функції підставити х — п. За означенням, число п є періодом функп;ії у = sin 2л:. ■

В л асти в ості і граф іки т р и го н о м е т р и ч н и х ф ункцій

269

З того, що кожній точці на тригонометричному колі відповідає безліч чисел, які відрізняються одне від одного на 2nk, k є Z, випливає, що тригонометричні функції з» = sin X і з/ = COS л: для чисел х + 2кк при всіх k є Z набувають того самого значення: sin (х + 2nk) = sin х, cos(jc + 2кк) = cos X, тобто періодами функцій = sin л: і = cos л: є числа 2кк, кфО,к е Z. Усі ці періоди кратні 2п. Природно виникає запитання: «Чи існують інші додатні періоди цих функцій, менші від 2к?» Відповідь на нього дає наступне твердження. Т е о р е м а 1. Н ай м енш ий д од а тн и й п е р іо д ф ун кц ій у = sin х і З» = co s X д о р ів н ю є 2я. □ Покажемо, що інших періодів, окрім чисел 2пк, к є Z, к ф О, щ функції не можуть мати. Справді, якщо Т — період функції у = sin х, то 8Іп(л: + Т ) = sinx для будь-якого X, зокрема для х = О, тобто sinT = sin О = О. Але sin Т перетворюється на нуль при Т = 0; Т=л; Т = 2п і, взагалі, при Т - %п, п е Z, і тільки при цих значеннях. Число тс не є.періодом розглядуваної функції. Справді, sin—= 1, А = sin — = - 1 , тобто існує значення х із області визначен2 ня функції, таке, що sin(x + л) sinx . Отже, найменшим додатним sin

періодом функції >» = sin х є число 2л. Доведення того, що 2л — найменший додатний період косинуса, аналогічне. И Подібне твердж ення справдж ується для ф ункцій у = tg X і З» = ctg X. 2. Н ай м енш ий д од а тн и й п е р іо д ф ункційЗ' = tg х і З» = ctg X д о р ів н ю є л. □ Із формул зведення випливає, що числа пк, к є Z, к ф О, є періодами функцій у = tg х і j = ctg х. Оскільки tg х при л перетворюється на нуль при х = 0 або при х = л U Xє 2’ " і тільки в цих точках, то не існує додатного числа, меншого вад л, яке б могло бути періодом тангенса. Отже, найменшим додатним періодом функції 3 ^ = tg X є число л. Доведення того, що л — наймен ший додатний період котангенса, аналогічне. Рекомендуємо про вести його самостійно. И Теорема

27 0

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

Найменший додатний період періодичної функції називають основним періодом цієї функції. Всі інші її періоди кратні осно вному періоду. Для функцій у = 8 ІШ С і J = COS X основний період дорівнює 2ті, а для функцій = tg х і ;у = ctg х основний період дорівнює п. Найпростішим прикладом періодичної функції, яка не має основного періоду, є стала функція, визначена на всій чис ловій осі. 3. Знайти основний період функції у = sin Зх. □ Областю визначення даної функції є числова вісь. Числа

Приклад

— —,iibZ, — періоди для функції у = sin3x: sin З х +

2пп

= sin(3x + 2кп) = sin Зх . З Якш,о Т — довільний додатний період для зіпЗх, то sin3(x + Т) = = зіпЗл: при кожному х, оскільки число ЗТ теж є періодом даної функції. Беручи х = —, матимемо: sin З 6 6 sin - + ЗТ = 1. 2

Проте

синус

дорівнює

= sin—= 1 , або 2

одиниці

X = —+ 2пп, /г є Z . Тому —+ ЗТ = ~ + 2пп, ЗТ = 2пп, Т

лише

при

n sZ .

„ 2пп „ 2л Серед чисел ----- найменшим додатним числом є число — , З З тобто основний період функції sin Зд: дорівнює — . Н З Відповідь. — .

Аналіз прикладу З підказує наступну властивість періодичних функцій і містить ідею її доведення. 3. Якщо функція / є періодичною з основним періодом Т, то функція у = Af(kx + Ь) + І, де А, k ^ о, Ь, І — деякі числа, також є періодичною, причому її основний Т період дорівнює —7.

Теорема

Результат розв’язання прикладу З узгоджується зі сформу льованою властивістю: основний період функції у = sin Здс до-

271

Властивості і граф іки три гоном етричн их функцій

2ті т • •• • . . , рівнюе — . Із ЦІЄЇ властивості випливає, що основні періоди функЗ

цій у = sin 4х, З' = cos^ , J = tg 2х відповідно дорівнюють — = . Z 4 2 „ 1 . тс 2, : - . 4 , , - .

кпнтоольні запитання

1°. Чи Є правильним твердження: якщо періодична функція в якійсь точці набуває значення 1, то цього значення вона на буває у безлічі точок? 2°. Чи є число Зл періодом функції у = sin X ? 3°. Чи є число 5ті періодом функції у = i g x l 4. 5.

Який основний період має функція: а) sin 5х; б) cos — ; в) sin тіл:? З Чому дорівнює /(-9 ), якщо функція у = f(x) є періодичною з пе ріодом 5 і Д1) = о?

6*. Чи є функція y = COSyfx періодичною? 7. Чи може бути періодичною функція, яка зростає на всій об ласті визначення? 2.

Властивості та графіки функцій j = sin х і j = co s де

Розглянемо найпростіші властивості функцій = sin X і з» = cos X, користуючись означеннями сину са і косинуса, і побудуємо їхні графіки.

1. Функції з» = sin ж і >» = cos х визначені на всій числовій осі.

Властивість

□ Справді, кожному дійсному числу х можна поставити у від повідність точку тригонометричного кола. Абсциса цієї точки є ко синусом числа X, а ордината —синусом числа х. И 2. Функції = sin зс і з» = cos ж— періодичні з найменшим додатним періодом 2ті.

Властивість

Цю властивість доведено у попередньому пункті. Властивість

3. Нулями функціїз’ = sin х е числа кп, п

а нулями функції у = cos х — числа ^ + кп, п є Е .

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

272

□ Нулі функції у = sin X - це числа, яким відповідають точки на тригонометричному колі з ординатою О, а саме: -Зя, -2я , -п, О, л, 2л, Зл, ... і взагалі числа пп, п є Z. Аналогічно нулі функції у = cos X — це числа, яким відповідають точки на тригонометричЗл л л Зл . кому КОЛІ з абсцисою О, а саме: . . . , ------ , — і взагалі числа —+ пп, n e Z . Ш 4. Функція з» = sin х — не парна, а фз^нкція у = cos х — парна, тоб то для кожного X

Властивість

sin(-x) = -sin

cos{-x) = cos

□ За побудовою, точки і Р , сим етрич ні відносно осі абсцис (рис. 309). їхн і аб сциси збігаються, а ординати протилежні. Тому при t = х: sin (-x) = -s in x ;

Рис. 309

cos(-x) = cos a:. И

5. Функція = sin асдодатна на інтервалі (0;л) і від’ємна на інтервалі (tv 2л); функція у = cos х додатна на 'п Зл^ л л інтервалі 1 ВІД ємна на інтервалі , 2 ’ 2. Цю властивість обґрунтовано у § 14.

Властивість

Функція у = sin X на проміжку

л п 2’ 2

л Зл спадає. Функція у = cos х .2 ’ Т . спадає на проміжку [0; л] і зростає на проміжку [л; 2л].

зростає, а на проміжку

□ Ця властивість випливає з геометрич ного змісту синуса і косинуса. Якщо t зростає п п • Від — до —, то ордината точки зростає від 2

жґг / \

-1 до 1 (рис. 310). Якщо ж t зростає від — до Зл

, то ордината точки Р^ спадає від 1 до - 1

(див. рис. 310). Якщо t зростає від О до л, то

Рис. 310

В л асти в ості і граф іки т р и го н о м е т р и ч н и х ф ункцій

абсциса точки абсциса точки

273

спадає від 1 до —1. Якщо ж t зростає від п до 2к, зростає від - 1 до 1 (див. рис. 310). ■

В ласти вість 7. Множиною значень функцій у = sin х і J = cos X е відрізок [-1; 1]. □ За означенням синуса, |sin х\ < 1. Для довільного числа а з проміжку [—1; 1] існує щонайменше одна точка тригономе тричного кола, ордината якої дорівнює а. Це означає, що функ ція у - sin X набуває всіх значень з проміжку [-1; 1]. Аналогічно обґрунтовується ця властивість для функції у = cos X. ■ 8. Ф ункції>» = sin х і >>= cos х неперервні на всій числовій осі.

Властивість

□ Справді, при неперервній зміні значення х точка Р^ непе рервно переміщується по тригонометричному колу, а тому її коор динати cos X і sin X змінюються неперервно. И Побудуємо графік функції j = sin х з використанням розглянутих властивостей синуса. Оскільки ця функція періодична з періодом 2л, то достатньо побудувати графік на відрізку [0; 2л], довжина якого дорівнює періоду синуса. Спочатку побудуємо графік на відрізку

На цьому

п відрізку функція у - sin X зростає, sin 0 = 0, sin —= 1. Для знаходження декількох точок графіка розіб’ємо відрізок

, наприк

лад, на 4 рівні частини. Візьмемо одиничне коло з центром у до вільній точці осі абсцис (для зрі^ності змістимо коло вліво (рис. 311)). Для побудови точки з абсцисою t знайдемо на колі точ ку Р^ і через неї проведемо пряму, паралельну осі абсцис, до пере-

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

274

тину з прямою x =t . Точка перетину належатиме графіку функції sin X, оскільки її ордината збігається з ординатою точки і до рівнює sin t. Побудувавши таким чином усі 4 точки графіка і сполучивши їх, враховуючи зростання і неперервність функції, неперервною

у -

кривою, одержимо ескіз графіка функції на відрізку

(див.

рис. 311). Оскільки, за формулами зведення, з і п ( я - 0 = sin і , тобто ординати точок

— симетричних відносно прямої

= — , дорів2

я точки графіка функції 2’" J = sin X розмішуються симетрично відносно точок графіка з про нюють одна одній, то на проміжку

міжку

відносно прямої

= — (рис. 312). 2

Оскільки, за формулами зведення, з іп (2 л -0 = - s i n i , тобто ординати точок < і 2тг — t протилежні одна одній, то на проміжку [л;2л точки графіка функції у - sin х розмішуються симетрично до точок графіка з проміжку ГО;я] відносно точки (л; 0) (рис. 313).

В л асти в ості і граф іки т р и го н о м е т р и ч н и х ф ункцій

275

Користуючись правилом побудови графіка періодичної функ ції, за допомогою паралельних перенесень продовжимо графік на 2п, 4л, 6к, ... вправо і вліво вздовж осі абсцис (рис. 314). Одержимо графік функції у = sin х. Він називається синусоїдою.

п Оскільки cosx = sin - + х , то графік функції у = cos х 2 можна побудувати паралельним перенесенням графі ка функції у = sin X у від’ємному напрямі вздовж осі X на відстань - (рис. 315).

Знайти найбільше і найменше значення функції п Зк у = COS X на проміжку З 2 □ Побудуємо графік функції у = c o s х , відмітивши на осі абсцис Приклад

точки з абсцисами — і — З 2

18*

(рис. 316). Знайдемо на проміжку

276

Розділ 3. Тригонометричні функції

л_3л з ’Т

найвищу і найнижчу точки графіка. Це відповідно точки з

• Л „ 1 = cos— = — і у ( к ) = c o s n = З з 2 = —1 є найбільшим і найменшим значеннями функції на даному абсцисами — і ті. Ординати цих точок

проміжку, які вона набуває відповідно у точках — і тг. И З

В ідповідь. —; —1. 2 Властивості та графіки синуса і косинуса дозволя ють розв’язувати різноманітні завдання, пов’язані з цими функціями, а саме: «читати» графіки, по рівнювати значення цих функцій, розв’язувати рів няння, нерівності топі;о. Приклад

Розв’язати рівняння: sin х = де—я.

□ В одній системі коорди нат побудуємо графіки функцій у = X — к , у = sin X. Вони перети наються в одній точці (рис. 317), як видно з графіків. Абсциса л точки перетину є розв’язком да ного рівняння. Н В ідповідь. л. Приклад л

6. .

Рис. 317

Порівняти числа: 1) sin 2 і sin 3; 2) cos 5 і cos 6;

Зк

3) cos — 1 sin — . 7 8 □

1) Оскільки —< 2 < 3 < 7г, а на відрізку

у = sinX

п 2’ ^

функція

спадає, то sin 2 > sin 3.

2) Оскільки — < 5 < 6 < 2 7 г, а на відрізку 2 = COSX зростає, то cos 5 < cos 6.

Т'"'

функція

Властивості і графіки тригонометричних функцій

2 77

3) За формулою зведення, sin — = sin 8 2^8 і — належать відрізку 7 •

ТГ

7Г

Оскільки —< — , то 8 7

= cos—. Числа — 8 8

на якому функція у - cos х спадає. 7Z

ТТ,

Зтг

7Г

> COS — , тобто sin > COS — . ■ 8 7 8 7

COS —

В ідповідь. 1) sin2 > sin3; 2) cos 5 < cos 6; 3) sin — > cos — 8 7 Застосуємо до тригонометричних функцій перетворення графі ків функцій, які розглядались вище, а саме: паралельне перене сення графіка вздовж координатних осей, стиск і розтяг графіка, симетричне відображення відносно координатних осей. к Побудувати графіки функцій: 1) j = sin х + 4 2) у = 2 sinx; 3) j = sin Зх. Приклад

□ 1) Графік функції у = sin х + — можна одержати з графіка 4 у — sinx паралельним перенесенням уздовж осі х на — вліво 4 (рис. 318). 2) Графік функції у = 2 sinx побудуємо із графіка j = sin х роз тягом його від осі абсцис удвічі (див. рис. 318).

278

Розділ 3. Тригонометричні функції

3) Графік функції у = sin Зх є результатом стиску графіка у - sin X до осі ординат утричі (рис. 319). И

Д Упнтрольні запитання 1°.

Чи має зміст запис: sin 2011?

2°.

Чи може синус числа х дорівнювати: а) л/2 ; б) —; в) —; г) —? 7 2 6 3°. Чи є парними такі функції: а) у = -cosx; б) j = sin^ t; в) у = cos^ t ? 4°. Яке з чисел: cos 1°, cos 2°, cos 3°, ...,cos 100° є найбільшим? 5. За допомогою яких перетворень з графіка функції у = sin х можна одержати графік функції: а) J = sin {х + 3); б) у = sin Зх; в) j = 3sin х; г) j = sin х + З? 6. Графік якої функції одержимо з графіка функції у = cos х: а) паралельним перенесенням на 2 одиниці у додатному напрямі вздовж осі абсцис; б) паралельним перенесенням на 2 одиниці у від’ємному на прямі вздовж осі ординат; в) стиском до осі абсцис удвічі; г) розтягом від осі абсцис удвічі; ґ) симетричним відображенням відносно початку координат; д) симетричним відображенням відносно осі ординат? 7, Якою є область визначення і множина значень функції: а) J = sin(x - 1); 6 )y = c o s x -l; b) j = c o s 2x ; г) j = Звіп х; ґ) :У= cos (-х); д) У = -sin х? 8. Що більше: .

а) sin — чи sin —; б) cos 40° чи cos 75°? ^ 6 8 Зростає чи спадає функція у= cos х на відрізку: л 5л г) [- 2; - 1]? а)[7г;2л]; б ) [ 0 ;л ] ; в) 6

279

■В л асти вості і граф іки т р и го н о м е т р и ч н и х ф ункцій

Ю*.Чому дорівнюють найбільше і найменше значення функції у - sin X на проміжку: п 5я б) а) 6 6 3.

Властивості та графіки функцій j = tg х і j = ctg де

Розглянемо найпростіші властивості функцій ctg X, користуючись їхніми означеннями, і побудуємо їхні графіки.

у = tg x \ y =

Властивість

Функція

= tg ж визначена при всіх дій

сних значеннях X, крім л: = —+ пк, k e Z , а функція у = ctg де 2 визначена при всіх дійсних значеннях де, крім х = n k , k є Z. □ Справді, функція

= tgx визначена при всіх значеннях х , sinx дорівнює нулю. крім тих, при яких знаменник виразу t g х = у

COSX

А умову

COS X

= о якраз і задовольняють значення

х = — + к к , /г

є Z.

Аналогічно доводиться друга частина властивості. И 2 . Функції = tg х і у = ctg х періодичні з найменшим додатним періодом л.

Властивість

Цю властивість обґрунтовано у п. 1. В л а с т и в і с т ь 3 . Нулями функції З" = tg X е числа Tife, fe є Z,

а нулями функції у = ctg х — числа х = ^ + пк, k e Z . □ Справді, нулі функції у = tg x збігаються з нулями функції = sin X , а нулі функції у = ctg Х - з нулями функції у = COS X (див. п. 2). ■

Властивість

Функції з» = tg х і j = ctg х — непарні.

□ Справді, tg(-x) = .^ E h ^ = Z£iE£ = - t g x . Графік функції cos(-x) COSX j = tg X симетричний відносно початку координат. Так само дово диться ця властивість для функції у = ctg х . ■ Властивість

валі

Функції >» = tg х і з» = ctg х додатні на інтер я

1 В ІД Є М Н І н а і н т е р в а л і

І ? ”

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

280

Цю властивість обгрунтовано у § 14. Функція

, а функція у = ctg

Властивість

п^п л

2’2

= tg

зростає на проміжку

спадає на проміжку (0; л).

□ Ця властивість випливає з означень тангенса і котангенса. Якщо

зростає від О до —, то чисельник дробу t g x = — - ^ зростає, 2 COSX а знаменник спадає, тому функція у = tgx зростає на проміжку тс^ ( к 0; — . Зростання функції на проміжку — ; О випливає з непар2у 12 ності цієї функції. Властивість для функції у = ctg х випливає з X

доведеного і рівності ctg X = -t g

7Г

7. Множиною значень функцій є множина всіх дійсних чисел.

Властивість

і З» = ctg

+ х у

8. Функції j = tg ж і >» = ctg х неперервні від / п повідно на проміжках і 0І* __ ’ 2 . 2; V Властивості 7 і 8 будуть обґрунтовані пізніше. Розглян}ті властивості функції у — t g x дозволяють побудувати її графік, як і для функції у = sin х , у три етапи. На першому етапі Властивість

побудуємо графік на проміжку

. Для цього достатньо визна

чити декілька точок графіка і з’єднати їх неперервною лінією. Як

281

В л асти вості і граф іки т р и го н о м е т р и ч н и х ф ункцій

і при побудові синусоїди, розіб’ємо проміжок

на чотири рів-

ні частини. Скориставшись лінією тангенсів, побудуємо чотири точки (рис. 320), які належать графіку функції у = tgx, х є Сполучивши точки (зважаючи на зростання і неперервність функ ції) неперервною кривою, будемо мати ескіз графіка функції на проміжку п _п за до 2'2 помогою перетворення симетрії, скориставшись непарністю тан генса (рис. 321). Тим самим одержали графік фітїкції = tg л: на проміжку, довжи на якого дорівнює найменшому додатному періоду тангенса я. Оскільки функція тангенс є періодичною, то на третьому етапі її повний графік можна побудувати за допомогою паралельного перенесення одержаного графіка вздовж осі х на ±л; ±2я і т. д. (рис. 322). Графік функції tgx називають тангенсоїдою. На другому етапі побудуємо графік на проміжку

Рис. 321 Графік функції у = ctg X можна одержати з графіка функції к у = tgx. Для цього, згідно з формулою зведення ctgx = -tg х + 2

282

Розділ 3. Тригонометричні функції

достатньо графік функції у -

tg х паралельно перенести у

від’ємному напрямі осі х на —, а потім відобразити одержаний 2 графік симетрично відносно осі абсцис. На рис. 323 тангенсоїду зображено тонкою лінією, зсунуту тангенсоїду — штриховою, гра фік функції у = ctg X — жирною. в остаточному вигляді графік функції у = ctg х зображено на рис. 324.

П р и к л а д 8. Знайти абсциси точок перетину графіка функції J = tg X з прямою у = \[з . □ Побудувавши графіки

функцій у = t g x i у = у/з (рис. 325), побачимо, що та вітка графіка тангенса, яка відповідає проміжку / \ п п перетинає пряму 2 2

у точці з абсцисою Хд = — . Інші точки перетину

мають абсциси х^ + л; х^ - к, Хр + 2я, Хд - 2л: і т. д. Отже, x = —+ nk, keZ. З В ідповідь. —+ nk,k&Z. З

Рис. 325

283

Властивості і графіки тригоном етричних функцій

Властивість 6 про монотонність функцій ;у — tg х і J = ctg X має просту геометричну інтерпретацію. Якщо X зростає від

до —, то tg х, тобто координата 2

точки яка є точкою перетину прямої ОР^ з лінією тангенсів, зрос тає від -00 до +00 (рис. 326). Інакше кажучи, якщо х = О, то tg х = О, а коли X наближається до —, залишаючись меншим від —, tg х зростає 2 2 і може набувати як завгодно великих значень.

Аналогічно, з геометричного змісту котангенса випливає, що коли X зростає від Одо п, координата точки на лінії котангенсів, яка є точкою перетину прямої ОР^ з лінією котангенсів і дорівнює ctgx, спадає від +со до -оо (рис. 327). Інакше кажучи, якщо х = —, 2

то ctgx = о, а коли х наближається до О, залишаючись більшим від О, значення ctgx зростає і може набути як завгодно великих значень. Обґрунтуємо властивість 7 про множину Уі значень функцій у = t g x i у = ctg х. Ж і; а ) □ Доведемо, що довільне дійсне число а може бути значенням тангенса деякого числа. Розглянемо тригонометричне коло ґ і проведемо лінію тангенсів (рис. 328), по \ Ро ’"х 0 значивши на ній точку Б(1; а). Сполучимо точки О і В та позначимо літерою Р точку перетину прямої ОВ з колом. Точка Р від повідає деякому числу X , що належить Рис. 328

V у

284

Розділ 3. Тригонометричні функції

^ я 71^ , її координати — (cos х; sin х). Тому [ ' 2 ’ 2) Аналогічно властивість доводиться для у = ctg х. ■ проміжку

= tgx = a.

Властивість 8, тобто неперервність, зокре ма, функції у - t gx , випливає з того, що якщо дві точки на тригонометричному колі збли жуються (відстань між ними стає як завгодно малою), то відповідні точки на осі тангенсів також зближуються (рис. 329). Аналогічно обґрунтовується ця властивість для функції у = ctg х. Нагадаємо, що неперервна функ ція описує процеси, які відбуваються плавно, тобто коли досліджувана величина за малий Рис. 329 проміжок часу змінюється мало (див. § 4). Застосуємо до графіків функцій у - t g x i у = ctg х перетворення графіків функцій, які розглядались вище, а саме: паралельне пе ренесення графіка вздовж координатних осей, стиск і розтяг гра фіка, симетричне відображення відносно координатних осей. ґ п Побудувати графік функції: 1) j = ctg х + — 4 2) у = ctg X - 1; 3) у = 2ctg де. / □ 1) Графік функції у = ctg можна одержати з графіка Приклад

функції у = ctgx паралельним перенесенням його вздовж осі абсцис у від’ємному напрямі осі

y=cXgx - '/ = c t g

X на - (рис. 330). 4 О IE' 2) Графік функції у = ctg х —1 4 можна отримати з графіка функ ції у = ctg X паралельним перене сенням його вздовж осі ординат у від’ємному напрямі осі у на 1 Рис. 330 (рис. 331). 3) Графік функції у = 2ctg х можна одержати з графіка функції у - ctg X розтягом його від осі абсцис удвічі (рис. 332).

r Д

Контрольні

запитання

1°. Чи має зміст запис: а) tg 2011; б) ctg 2011тг? 2°. Чи с функція у = tg д: зростаючою на проміжку: л _ті' пп г) (3; ЗД)? в) [0; 7г]; ; б) а) ' 6 ’ 6 1 4 3j 3°. Чи справджується нерівність ctg д: < О в усіх точках проміжку: "2я 571^

f п Зл^

. f п Зл^

г) (2; 2,5)? в) б) 2 4 6 4 З ’ 6 4°. В яких точках функції у =t gx\ у - ctg х дорівнюють нулю? 5. Яку область визначення має функція; a)>' = t g x + l ; б) = tg (д: - 1); B )c t g (x -2 ); г) у = ctg X + 2; ґ) З' = ctg Зх? 6. Чи можуть функції у - tg X і у =■ ctg X набувати значень 0,0000001; 2011; 10-^°; Ю^^? 7. Якою є множина значень функції: а) ><= tg(x + 1); б) 3/= ctg X - 1? 8. Чи можна стверджувати, що котангенс спадає: а) на всій своїй області визначення; б) на кожному інтервалі, який повністю лежить у його області визначення: 9; Чому дорівнює найменший додатний період функції: а)

a) y - t g2x\

6)> ' = c tg | ?

286

Розділ 3. Тригонометричні функції

4. Гармонічні коливання

Нехай по колу з радіусом А рухається точка зі ста лою кутовою швидкістю со, тобто за одиницю часу точка повертається на кут со рад. За t одиниць часу ця точка повернеться на кут (ot рад. У початковий момент часу точка займає положення М^, кут ВОМ^ дорівнює а рад (рис. 333). У момент часу t точка займе положення М, кут MJDM дорівнює соі рад, кут ВОМ дорівнює {at + а) рад. Позначимо через і ikf проекції точки М на осі х і у відповідно. Під час руху точки М по колу її проекція на вісь х коливається вздовж горизонтального діаметра ВС завдовжки 2А, досягаючи то крайнього правого положення В, то крайнього лівого положення С. Так само і її проекція Af на вісь у коливається вздовж вертикального діаметра DF, теж досягаючи то най вищого положення D, то найнижчо го положення F. Встановимо закони руху точок та A f. Побудуємо одиничне коло з центром в точці о і позначимо через Т точку перетину променя о м з цим колом. Координати точки Т= дорівнюють COS (соі + а) і sin (юі + а), а тому, із міркувань подібності, координати точки М визначаються формулами: х = А cosiat + а), у - А sin (at + а). Ці формули описують відхилення точок і М від точки О - центра кола. Вони задають закони руху точок М і М^, які називаються гаржонічними коливаннями. Зазначимо, що при А = 1, со = 1, а = 0 одержимо відповідно функції х(г) = cos t, y(t) = sin t. Коливальні рухи широко розповсюджені в навколишньому середовищі. Уявлення про них дають і океанські хвилі, і маятни кові годинники, і гойдалки, і нервові імпульси. З ними пов’язане поширення звуку і світла. Багато з цих явищ можна описати за допомогою гармонічних коливань. Введемо деякі поняття, пов’язані з гармонічними коливання ми проекцій на координатні осі точки, що рівномірно рухається по колу з центром у початку координат. Точку О — середину відріз

Властивості і граф іки тригоном етричних функцій

2 87

ка, вздовж якого проходить гармонічне коливання, — називають положенням рівноваги, число А — амплітудою коливання. Амплітуда характеризує величину найбільшого відхилення від положення рівноваги. Число (0, як відомо, е кутовою швидкістю обертання точки. За 2к одиниць часу точка повернеться на кут 2лсо рад, при цьому її 2л(о проекції на вісь х і на вісь у виконають = со повних коливань. 2к Число со, тобто кількість повних коливань за 2я одиниць часу, на зивається ш,е круговою частотою коливань. Число а, яке характеризує початкове положення точки на колі, називається початковою фазою коливання, mt+a — фазою ко ливання. Час Т, протягом якого точка М робить повний оберт, називаєть ся періодом гармонічного коливання. За період Тпроекція точки М на вісь х двічі пройде всі свої можливі положення і повер неться в початкове положення. Винятком є лише граничні поло ження Б І С (див. рис. 333), кожне з яких точка пройде один раз. Оскільки за 2п одиниць часу координата точки робить со по, 2п вних коливань, то одне повне коливання вона робить за — одисо ниць часу, тобто Т = — . со Величина, обернена до періоду коливання, 1 _ со Т ~ ^ ’ називається частотою коливання. Вона показує, скільки по вних коливань здійснює координата точки за одиницю часу. Графік закону гармонічного коливання у = А sin(cot -іможна побудувати з графіка t+ (oj функції y(t) = sin t паралельним перенесенням а одиниць у додатному напрямі осі, якіцо уздовж осі абсцис на со -I-

а )

s i n со

— < О, і у від’ємному, якш.0 — > 0; розтягом від осі ординат в — со со со разів при О < со < 1 або стиском до осі ординат у со разів при со > 1;

Розділ 3. Тригонометричні функції

2 88

розтягом від осі абсцис у А разів, якщо А > 1, або стиском до осі абсцис в — разів. А Функцію X = Acos((at + a )

можна

одержати

функції

у = А sin(coi + а ) , замінивши а на а + —. 2 П р и к л а д 10. Побудувати графік закону гармонічного коливання J = 5sin 2t + 3 □ Подамо вираз для закону гармонічного коливання у вигля ді: j = 5sin

= 5 sin 2 . Графік будуємо у такій послі ej 3, довності: спочатку будуємо графік функції j = sin t (рис. 334), далі 1

j = sin

(паралельним перенесенням попереднього графіка

вздовж осі абсцис на — одиниць у від’ємному напрямі осі) (див. б рис. 334), потім j' = sin2 t -\--- (стиском попереднього графіка до 6 ґ осі ординат удвічі) (рис. 335) і, нарешті, у = 5 sin 2t + - (розтягом 3 попереднього графіка від осі абсцис у 5 разів) (рис. 336).

В ластивості і графіки тригоном етричн их функцій

289

Контрольні запитання Чому дорівнює амплітуда гармонічного коливання проекції на вісь X точки, що рівномірно рухається по колу з діаметром 10 см з центром у початку координат? Чому дорівнює кругова частота гармонічного коливання про екції на вісь у точки, що рівномірно Р5гхається по колу з цен тром у початку координат з кутовою швидкістю 5 рад/с? Чому дорівнює період гармонічного коливання проекції на вісь X точки, що рівномірно рухається по колу з центром у по чатку координат з кутовою швидкістю 5 рад/с? Чому дорівнює кутова швидкість руху точки по колу, якщо пе ріод відповідного гармонічного коливання їі проекції на вісь у дорівнює 4? Чому дорівнює лінійна швидкість рівномірного руху точки по колу радіуса 2, якщо період відповідного гармонічного коли вання її проекції на вісь х дорівнює 4? Відомо, що проекція точки, що рухається по колу з центром у по чатку координат, на вертикальний діаметр здійснює гармонічне коливання, яке визначається формулою j = 3sin 5 t - ~ За 6J яким законом змінюється проекція Ц ІЄ Ї точки на горизонталь ний діаметр?

^ 0 Математика, 10 кл.

Розділ 3. Тригонометричні функції

290

7°. Чому дорівнює початкова фаза гармонічного коливання проекції на вісь X точки, що рівномірно рухається по колу з центром у по чатку координат , якщо її положення на колі в початковий мо мент часу збігається з верхнім к і е щ є м вертикального діаметра?

І Ш Задачі 281°. Обчисліть: 1)

COS

2) tg 3360°;

;

3) sin

282°. Спростіть: 1) sin^(a + 4Tt)-(-cos^(a + 6rt); 3)

l- i- c t g ^ ( a - 7 7 r ) ;

123я

4) ctg (-1950°).

2) tg(a + 3n:)-ctg(a-5Tt); 1 ■-1. 4 ) со8^(2а - 8тг)

283°. Доведіть рівність:

Рис. 337 1) cos ( t - n ) - cos (t + л);

Рис. 338 / \ 2ті^ 1^ тс ^ 2t — 2) tg = tg 2t + — 1 3 ) 1 3;

284. На рис. 337, 338 зображено частини графіків функцій з періо дом Т. Побудуйте графіки цих функцій на проміжку [~2Т;2Т\. 285. Доведіть, що число Т є періодом функції у = f{x), якщо: Т = А%\2) у = sin2x, Т = л; 3) ctgnx, Т = 1. 2 286. Доведіть, що функція / є періодичною, якщо: 1) /(х) = 1 + cos х; 2) Дх) = ctg 2х. 287. Знайдіть найменший додатний період, якщо він існує, для функції: І) у = C O

S -,

1) j = 2 s i n - ; О

2) j = 3ctg

Зх

= s in ^

X -І- COS^ X .

291

Властивості і графіки тригоном етричн и х функцій

288. Побудуйте графік функції з» = sinx, л: є [ - 7і;2ті] і вкажіть на ньому точки, для яких: 1°) sin х = 1; А

4) sin д: < 0; 289.

А 2

3°) sin X = - ; О

5) sin X >

6)s in x < - і .

Побудуйте графік функції у = cosx, х є [-2тс; ті] і вкажіть на ньому точки, для яких: 1°) 4)

290.

2°) sinx =

COS X

= -1 ;

cos

> 0;

2°)

cos х = —

6) cosx > -

Розв’яжіть рівняння: 14 1) • sin X =2—X ;

cos

=—

+ 1.

291. Знайдіть область визначення функції: cos^x + 3 ’

' ^

s in x -1 1 1 4 ) j = . 5*) J = Vsinx ; 6*) J = . cosx Vcosx 292. Які 3 функцій є парними, які — непарними, а які — ні пар ними, ані непарними: 1 + COSX 3) у = Х + sinx ; 1) J = sin^ X ; X

4) у =

sinx

1-c o s x

6) у = l + sin x? 1- sin ^ X 293. Розбийте даний відрізок на два проміжки так, щоб на одному з них функція у = sin X спадала, а на другому — зростала: COS^ X

І-

п Зл

3 )

2 2 -"’ 2 294. Розбийте даний відрізок на два проміжки так, щоб на одно му з них функція у = cos X набувала невід’ємних значень, а на другому — недодатних: 1) [0; я ];

Я _

2) .

19*

371

) 2

;

3 )

^ ; 2 я _2

292

Розділ 3. Тригонометричні функції

295. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції: 2°) >>= sin X - 3; 1°) у = 2cos х; л 4) у = 1 - sin 2х + 3) у = 2cos З х - 4 Зу л 6) у = 1 + cos 2х - 5) у = 0,5sin 2х - 3 6 296. Порівняйте числа: 2°) sin 220° і sin 260°; 1°) sin 37° і sin 86°; / \ л 4) sin — — і sin ---------3°) cos 200° і cos 230°; ^ 10 j 1 8, n 4л 1 sin 6) sin(-3) і sin(-2); 5*) cos

(

Зл n ГТЧ n . . n 1 sin 8*) cos 7) cos — 1 sin —: 7 7 297. Знайдіть множину значень функції: l ° ) j = sin3x; 2 °)y = 3sinx; 3°) j = 3cos х - 1; 4 ) j = cos^x; 5)

у = - s i n ^ x - 1 ; 6) j ' = 3sin 2x - 2

298. Побудуйте графік функції: 1°) у = 2cosx; X

3) 3' = cos— 1 ;

; 7) y = 3 cos2 x— .

2°) у = sin3x; 4*) з» = З sin

2 3^3 299. Побудуйте графік залежності моментів заходу Сонця на перше число місяця в залежності від місяця, взявши за вісь абсцис середній час заходу Сонця — 18 годин, з’єднайте отримані точки плавною неперервною лінією (ці дані мож на взяти з відривних календарів за різні роки або знайти в Інтернеті). 1) Чи є ця залежність функціональною? 2) Графік якої'функції вам нагадує побудований графік? 3) Чим ви пояснюєте таку схожість? 4) Як можна уточнити побудований графік? В) Чим ви пояснюєте відмінності побудованого графіка від графіка відомої вам функції? 6) Надайте змістовну інтерпретацію області визначення, множині значень, проміжкам монотонності, нулям, найбіль-

29 3

В л асти вості і граф іки т р и го н о м е т р и ч н и х функцій

шому 1 найменшому значенням, точкам екстремуму, періо дичності функції, графік якої побудовано. Знайдіть область визначення функції: l ° ) j = tg3x;

2°) y = tg (x + ^ l ; 3 ) у = ^ — -, 4) у = ■ V 4; ctg:ic tgx + 1 301. Які з функцій є парними, які — непарними, а які — ні пар ними, ані непарними: 1°) J = tgx cos2x; 2°) у = igx + c t g x ; 3°) j = tg 2x sin x; sinx-f-tgx 6) ^ = 4°) у = ------- 5-------; 5) З' = ctgx cosx; X tg^x Порівняйте числа: 302. 1) tg (-80°) і tg (-50°); 3)

tg 1 і tg 1,6;

4) tg (-2) і tg (-3);

5) ctg

.•c 4t. g^- ;

6) ctg 95° і ctg 117°; 7) ctg 2 і ctg 3;

I І

8) t g j i c t g ^ . 6 4 303. Вкажіть проміжки зростання і спадання функції: l ° ) y = ctg2x; 2 °)j = c t g x - l ; 3 ) j = 2tgx; ґ \ л 4) y = tg хх++— - ; 5*)y = tg^x; Q*)y-ctg^x\ 4 X

; 8* ) 3' = 2-bctg 3"^4 6j 304. Знайдіть множину значень функції: 1°) З ' = tg(x + 1); 2 ° ) j = c t g x - 1; 7*) y = tg

y = ctgx,0<x<--, 4) у = tg^x ; 4 5) j = tg X •ctg x; 6) у = ctg^x ; 7) у = -ctg^x . Вкажіть найбільше і найменше значення функції: 305. l ° ) j =tgx, - у < х < ^ ; 4 4 3)

= sin x-1-tgx, 0 < х < —. 4

2 ) , = cі.l g^- , ^

2^^

Розділ 3. Тригонометричні функції

2 94

306. Побудуйте графік функції: f Зтг 7г' 1 °)

3°) у

5 )

= tg x , X є

= ctg x -

y = ^s~;

2°) у 4°)

= c tg x , X є (-Щ

у = tg

6*)У =

0);

п 6

х + —

tgxnpnx < —, 4 ctgx при X

> —.

307°. Знайдіть амплітуду, період і початкову фазу гармонічного коливання, яке задано формулою: 1) y = 3sin 2t + - ; 2) j = - s in nt + — ;3) >' = 2sin - + 1 2 4 3j A) у = 2, sin 4i; 5) у = sin (t - 1). 308°. Дано закон, за яким змінюється координата (яка вимірюєть ся в сантиметрах) тіла, що рухається. Знайдіть амплітуду, період, кругову частоту коливання. Обчисліть координату тіла в момент часу якщо: 1) x(t) = 2,5cos3nt, ig = —с; = 2 ,5 c; 2) x{t) = 7cos 4Tzt + — 4 3) x(t) = 2cos2nt, = 0,25 c; nt n ,L = 3 ,5 c. "з" "^6 309. Дано закон, за яким змінюється з часом сила змінного стру му: I{t) = 5sinlOni, I — сила струму, А; t — час, с. 1°) Знайдіть амплітуду, період, кругову частоту коливань сили струму. 2°) Чому дорівнює сила струму в момент часу t = 0,05 с? 3) В які моменти часу сила струму набуває найбільшого зна чення? 310. Дано закон, за яким змінюється з часом напруга: U(t) = 220соз60л:і, U — напруга, В; t — час, с. 1°) Знайдіть амплітуду, період, частоту коливань напруги. 2°) Чому дорівнює напруга у момент часу і = 0,5 с? 4) x(t) = 1,5 cos

295

В л асти вості і граф іки т р и го н о м е т р и ч н и х ф ункцій

3) В які моменти часу напруга набуває найбільшого зна чення? 311. Точка виконує гармонічне коливання за законом: у = з sin 2t + 3 1) Знайдіть амплітуду, період і початкову фазу цього коли вання. 2) Вкажіть, які перетворення слід виконати над синусоїдою у = sin t, щоб одержати графік даного коливання. 3) Побудуйте схематично графік гармонічного коливання. 312. Ордината точки, що обертається по колу, виконує гармоніч не коливання за законом:

= 2 sin 3 t - - . Знайдіть момен 2

ти часу, в які точка розташована у крайньому положенні: 1) верхньому; 2) лівому; 3) нижньому; 4) правому. 313. Напишіть рівняння гармонічного коливання, якщо: 1) амплітуда дорівнює 1, період 0,2 с, початкова фаза —; 6 2) за 1 хв здійснюється 180 коливань з амплітудою 7 см, а початкова фаза коливань дорівнює —. 2

Вправи для повторення 314. Який знак має скалярний добуток векторів, якщо кут між ними є: 1) гострим; 2) тупим? Чи справджуються обернені твердження? 315. Обчисліть скалярний добуток

векторів

Ь, якщо

|о = 2, Ь = З і кут між ними дорівнює: 1) 60°; 2) 135°; 3) 90°; 4) 0°; 5) 180°. 316. Чому дорівнює скалярний добуток векторів: 1) (а; 0) і (Ь; 0); 2) (а; 0) і (0; Ь); 3) (а; Ь) і (а; Ь); 4) (а; Ь) і (-а; - 6)? 317. Дано вектори а = (1; 2), Ь = (-2; 3). Обчисліть: 1) 2 а 4)Ь

Ь; (а

2) а

+ ЬУ,

7) { а + В) ■( а - Ь).

5 )(а

(-3 6 ); +

ЬУ;

3) 6 )

— а 2

( а

- Ь У ;

Розділ 3. Тригонометричні функції

296

П ід с у м о к О сновне поняття

Г еометрична ілюстрація

Означення Функція у = f(x) на зивається періодич ною, якщо існує таке число Т О, що область визна чення функції ра зом з кожною точ кою X містить точки X ± Т і при цьому виконується рів ність fix ± Т) = fix). Число Т називаєть ся періодом функції.

Застосування П еріодичні функ ції описують різні ситуації (астро номічні явища, ж иттєдіяльність організму, гармо нічні коливання тощо), які періо дично повторю ються.

у=!М -2 7

- Т

Головні твердження

Запис за допо Словесне фор могою формул, мулювання пояснення Функції у = sinx 8 І п ( х - н 2 л : ) = s i n x і у = COS X — пе cos(x-f-27i) = cosx ріодичні з най меншим додат ним періодом 2п.

Функція у = t g x п еріоди чна з найменшим до датним періо дом Ті.

Графічна ілюстрація, коментарі, пояснення y=smx /_2„ -я\

уЛр У y=cosx 0

t g ( x -ь тс) = t g x

__Л п ^

297

В л асти в ості і граф іки т р и го н о м е т р и ч н и х ф ункцій

Запис за допо Словесне фор могою формул, мулювання пояснення Множиною зна чень функцій у - sin X і у = = COS X є відрізок [ - 1; 1].

Е(у) = [-1; 1] -я я

х = —+ kn, ke Z. 2

^ 4 -1

функція у sin ( - х ) - -sin X, cos(-x) - cosx = sin л: — непар на, а функція у = cos X — пар на функція у - t g X неперервна при всіх значеннях аргументу, крім

Графічна ілюстрація, коментарі, пояснення

Графік функції у = sin х си метричний відносно початку координат, графік функції у = сов X симетричний віднос но осі ординат

Функція у = t g X має розрив у точ ках, де знамен ник виразу tg л: = sinx = ------- перетвоCOSX

рюеться в нуль. Множиною зна чень функції у = = t g X е множи на всіх дійсних чисел.

E( y) =R

Функція у = tg X — непар на.

tg (-х) = -t g х

y=igx

Графік функції у = tg X симетричний відносно початку координат.

§ 16 . Т р и го н о м е тр и ч н і

формули додавання та наслідки з них

У даному параграфі розглянемо велику групу фор мул, пов’язаних з тим, що поворот на кут а + р можна реалізувати в результаті двох послідовних поворотів — на кут а і на кут (З, та їхні застосування.

1. Формули додавання

Формули зведення дозволяють вважати, що кути а і р належать проміжку [0; тс]. Розглянемо на тригономе тричному колі точки і Рр, маючи на увазі, що векто ри ОР^ і 0Р„ утворюють кути а і р з віссю абсндс. Кут між векторами ОР^ і ОРр може дорівнювати а - р ,

якщо а > р (рис. 339),

Р - а, якщо Р > а (рис. 340). У будь-якому з цих випадків косинус цього кута дорівнює co s (a -p ).

Точки Р^ і Рр мають відповідно координати (cos а; sin а) і (cos Р; sin Р). Такі самі координати мають і вектори ОР^ і ОР^ . За означенням скалярного добутку, ОР^ ■ОРр = ОР^ ■ОР^ c o s ( a -p ) = = c o s ( a -p ), оскільки OP.

0Р„

299

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них

Оскільки скалярний добуток векторів а = (хі;>'і) і Ь= [х^\у^) виражається через їхні координати за формулою; аЬ = то маємо:

+ у-^у^,

ОР^ ■ OPj, - cosa cosp + sina sinp. Порівнявши одержані результати, матимемо: c o s ( a -p ) = cos а cos р + sin а sin p. Косинус різниці двох кутів дорівнює сумі добутків ко синусів та синусів цих кутів. Як наслідок, отримуємо формулу косинуса суми кутів: cos(a + p) = c o s ( a - ( - p ) ) = cosa cos(-p) + sin a sin (-p), 3 урахуванням парності косинуса і непарності синуса, одержи мо: cos (а + Р) = cos а cos р - sin а sin р. Косинус суми двох кутів дорівнює різниці добутків косинусів та синусів цих кутів. Виведемо тепер формули синуса суми двох Kj^iB. Скористав шись формулами зведення і косинуса різниці двох кутів, матиме мо: (п ^ sin(a + p) = cos — (а + Р) = cos

= cos

л 12

а -Р

л а cosp + sin — а sin р = sin а cos р -нcos а sin р. 2

Отже, sin(a-i-p) = sin а cos Р + cos а sin р. Синус суми двох кутів дорівнює добутку синуса пер шого кута на косинус другого плюс добуток косинуса першого кута на синус другого. Для синуса різниці маємо: sin (а - p) = sin(a + (-p )) = sin а cos (-Р ) -нcos а sin (- р ) = = sin а cos р - cos а sin р.

300

Розділ 3. Тригонометричні Функцм

Таким чином, sin (a-p ) = sin а cos р - cos а sin р. Синус різниці двох кутів дорівнює добутку синуса першого кута на косинус другого мінус добуток коси нуса першого кута на синус другого. Приклад 1. Не користуючись обчислювальними засобами, знайти sin 15°. □ Представимо 15° у вигляді різвищі 45° - 30°. Тоді, користуючись формулою синуса різниці двох кутів, знайдемо: sin 15° = sin (45° - 30°) =

= sin 4 5°cos30°-cos45°sin 30°= — •— 2

- і = — (7з-1). ■ 2

'J2 г В ідповідь. — (V 3 -1 ). Приклад

2. Обчислити cos ( а - Р ) , якщо cos а = -0 ,8 , ^ < а < 71,

. „ 12 „ Зті Sinp = ----- ,7Г <Р <---- . 13 2 □ З формули косинуса різниці двох кутів випливає, ш,о для розв’язання задачі необхідно знайти sin а і cos р. З основної тригоно метричної тотожності можна знайти sinâ: sinâ = 1 —cosâ = 1 —0,64 = = 0,36. Оскільки —< а < 71, то sin а > О, тому sin а = ^0,36 = 0,6. 2 Аналогічно обчислимо cos р. З основної тригонометричної тотож2п 1 • 2п 1 144 25 „ . о Зтг H 0 CT1 маємо: cos P = l - s i n P = 1 ----------- = --------- . Оскільки л < Р < — , 169 169 2 125 5 то cos р < О і cosP = = -------■ Тепер можна обчислити cos (а - Р), V169 13 за формулою косинуса різниці двох кутів: cos (а —Р) = cos а cos Р + Г 5^ 4_ ' 12^ 16 _ + sinasinp = -0,80,6 = 6 5 . 13> . 13. В ідповідь.

Т р и го н о м е тр и ч н і ф орм ули д ода ван н я та н аслідки з них

Використовуючи одержані формули синуса і коси нуса суми двох аргументів, можна вивести формули додавання для тангенса:

т ' і't»

_________________________ 301

.g („+ p ) = iS L t iiP .. , l-t g a t g p ’

1 + tgatgp

□ Справді, t fg

B) cos(a + p)

_ sinacosp + cosasinp cos a cos p -s in a sin p

Припускаючи, що cos a Ф0, cosp 0 , і поділивши на cosa •cosp чисельник і знаменник останнього дробу, матимемо: sin а cos Р ^ cos а sin р

sin а

sin р

t (а І в) *^osacosP cosacosp _ cosa cosp _ tgg + tgP ^ ' cosacosp sing sin p ^ _ s in a sinP 1-tgatgP cosacosp cosacosp cosa cosp Отже, справджується твердження: тангенс суми двох аргументів дорівнює сумі танген сів доданків, поділеній на різницю між одиницею і добутком цих тангенсів. Замінюючи Р на (—Р) і використовуючи непарність тангенса, одержимо формулу для тангенса різниці. Тангенс різниці двох аргументів дорівнюс різниці тангенсів зменшуваного і від’ємника, поділеній на суму одиниці і добутку цих тангенсів. Н Аналогічно можуть 6jth виведені формули котангенса суми і різниці двох аргументів, але вони вживаються дуже рідко. За необхідністю їх можна вивести самостійно.

П р и к п а д 3 . Обчислити tg 105°. □ Представимо 105° у вигляді суми 45° + 60°. Тоді, користуючись формулою тангенса суми двох кутів, знайдемо: tg 105° = tg (45° + 60°) = tg45° + tg60° l-tg 4 5 °-tg 6 0 °

1 + л/з _ (і + ^/з)(і + Уз)

1-7 3

Відповідь. -2-% /з.

(і-л /з)(і + л/з)

4 + 2Уз

-2

„

Розділ 3. Тригонометричні функції

302

Д і^пнтрольні запитання 1°. Чому дорівнює значення виразу вираа sin22°cos23° + cos22°sin23°? tg8 6 °-tg2 6 ° ^ 2. Чому дорівнює значення виразу l + tg86°-tg26° 3. Як за допомогою формули для тангенса суми двох кутів об числити tg75°? 4°. Чи можна стверджувати що: . Л .7 1 = S in — + S in — ; а) sin З

5. 6.

б) sin 63° cos 12° + cos 63° sin 12° = sin 32° cos 43° + sin 43° cos 32°? Чи можна з формули для косинуса суми двох кутів вивести формулу для косинуса різниці двох кутів? Чи можна обчислити: п 1) cos —+ а , якщо В ІД О М О , що sin а = —; 5 ,4 \ л 2) tg —+ а , якщо В ІД О М О , що tga = —; 2 4 15 3) s in (a -p ), якщо В ІД О М О , що sina = ------, cos(3 =—; 17 5 0 7 4) t g ( a - р ) , якщо відомо, що tga = tgp = — ? О

7*. За яких умов не має змісту формула тангенса різниці двох кутів? 8*. Чи можна за допомогою формул додавання обчислити зна п чення tg а, якщо відоме значення tg —+ а

2. Тригонометричні функції подвійного іполовинного аргументів Як наслідок формул додавання при а = р одержи мо формули подвійного кута: sin 2а = sin(a -(- а) = sin а cos а + cos а sin а = 2 sin а cos а; cos 2а = cos(a + а) = cos а cos а - sin а sin а = cos^ а - sin^ а. Отже, sin 2а = 2 sin а cos а;

cos 2а = cos^ а - sin^ а.

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них_____________________________ 303

П р и к п а д 4 . Знайти значення COS 2а,

ЯКЩО sin а = -0 ,8 . □ За формулою косинуса подвійного кута маємо: cos2a = cos^ a -sin ^ а = 1 - sin^ а - sin^ а = l-2 s in ^ а = 1 - 2 (-0,8)^ = = -0,28. ■ В ідповідь. —0,28.

2 5 . Спростити вираз: ^ -------------- . sin а -cos а □ Застосовуючи послідовно основну тригонометричну тотож ність, формулу синуса подвійного кута, формулу косинуса подвій ного кута і означення котангенса, дістанемо: 2 c o s ^ a -l 2 co s^ a -co s ^ a -s in ^ a cos 2а = 2ctg2a . sin a -co sa 1^.^2а is in 2 a 2 2 В ідповідь. 2 ctg 2 a . Прикпад

З формул подвійного кута можна вивести формули для синуса і косинуса половинного кута. Фактично ми це почали реалізову вати при розв’язанні прикладів 4 і 5. Справді, cos 2а = cos^ а - sin^ а = cos^ а - (1 - cos^ а) = 2 cos^ а -1 , або cos 2а = cos^ а - sin^ а = 1 - sin^ а - sin^ а = 1 - 2 sin^ а. Ці рівності часто записують у такому вигляді: f

l-bcos2a = 2cos^a,

1-c o s 2 a = 2sin^ а.

Оскільки cosa = C

0 S Z —

= zcos

1, cosa = cos2 ■— = 1 -2 s m —, 2 2

2 a 1-i-cosa . 2 Cl 1 -c o s a cos — = ------------, sin^ — = ■ 2 2 2 2 Ці формули називаються формулами половинного аргу менту, чи формулами зниження степеня. Як наслідок формули додавання для тангенса при а = Р одержимо формулу тангенса подвійного кута: tg2a = tg(a-ba) =

tga + tga

2tg а

1 -tg a tg a

1 -tg ^ a ’

Розділ 3. Тригонометричні функції

304

2tga 1 - t g ос П р и к л а д 6. Знайти значення tg 2а, якщо tg а = -0 ,5 . □ За формулою тангенса подвійного кута, маємо: 2tga 2 (-0,5) 4 щ tg2a = 1 - t g 'a 1 - ( - 0 ,5 ) ' З' Отже, tg 2а =

Відповідь. — . З Формули половинного аргументу можна записати у вигляді; а cos— 2 В

/l-f cosa 2 ’

. а 1 - cos а sin — 2 "v

Звернем о увагу на те, щ о знаю чи тільки cos а , нем ож ливо без додаткови х ум ов одн озн ачно знайти co s — або sin —. 2

З останніх двох формул випливає формула для тангенса по ловинного кута: 1 - cos а 1 + cos а Приклад

Обчислити cos ^ , якщо cos а =

г_,„. а □ Оскільки — < — < 71, то cos — < О, cos — = 2

ЗІ < а < 2л.

1 + cosa -----------

1 -^ 4

2V2' Відповідь. Приклад

2V2 ■ Не користуючись обчислювальними засобами,

знайти sin 15°. □ Один спосіб розв’язання цього завдання, який ґрунтувався на застосуванні формули косинуса різниці двох кутів, було наве дено у п. 1 (приклад 1). Тут розглянемо інший спосіб. Скориставшись формулою синуса половинного аргументу, вра ховуючи, що sin 15° > О, одержимо:

305

Т р и г о н о м е т ричн і ф орм ули д ода ван н я та н аслідки з них

sinl5°

. 30°

1 -^

/ і - C O S 30°

= s in —

= i J i ( 4 - 2 V 3 ) = — 7 і-2 л /з + (7з)^ = ^ ( ^ - 1 ) . 2 \2 4 4 В ідповідь. — (%/3-1). 4 Важливу роль у тригонометрії та її застосуваннях відіграє тан генс половинного кута. Через нього можна виразити всі інші три гонометричні функції; „

2 s in — c o s — _

2 ts r —

sina = 2sm —co s — - --------- ^-----— = -------- — . 2 2 2 ■ 2 OL , 2 a cos

—

-H s i n

—

(чисельник і знаменник поділили на

cos^

1 -I- t g

—

—). 2

Аналогічно, о ct

cos2- —

cosa = --------

а . 2а ---- sin — 2 2 _ а . 2 ot — -І- sin — 1 + tg‘ f 2 2

sin а _ t g a = -------

, |

Одержані формули називаються формулами універсальної підстановки. Вони дозволяють звести доведення будь-якої три гонометричної тотожності чи розв’язання рівняння, в обох части нах яких стоять раціональні вирази відносно sina і cosa, до дове дення алгебраїчної тотожності чи розв’язання алгебраїчного рівняння з однією змінною. Для цього достатньо виразити sina , а . , а 1 cosa через tg — 1 позначити tg — через t. 2

306

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

к^пнтрольні запитання

Чому дорівнює; а°) sin 15°-cosl5°; б°) cos^22,5° - sin^22,5°_2 tg ^ , l - t g '7 5 ° ■ 2. Чому дорівнює: a°) sin 50°, якщо sin 25° = a; 6) tg 70°, якщо tg 35° = a? 3°. Чи існує такий кут а, що sinacosa = 0,65? 4. Чи потрібно знати, в якій чверті знаходиться точка Р^, щоб за значенням cos а або sin а обчислити: а) cos 2а; б) sin 2а? 5. У якій чверті тригонометричного кола знаходиться точка Р^, якщо sin t > О, sin 2t < О? 6. Якою є множина значень функції у - sin^ х - cos^ х? „ V.

тт • ot | l-c o s a „ 4и завжди можна стверджувати, що sin— = .1------------ ? 2

8*. Чи можна стверджувати, що знак tg — збігається зі знаком sin х 2 для всіх допустимих значень х? 3.

Перетворення суми тригоноіметричних функцій на добуток

При розв’язуванні тригонометричних рівнянь або нерівностей корисно вміти подавати суму і різницю синусів або косинусів у вигляді добутку тригонометричних функцій. Такі формули широко застосовуються у різних перетвореннях тригонометричних виразів. Формули, на яких ґрунтуються перетворення суми тригономе тричних функцій на добуток, можна одержати з формул додавання. Нехай необхідно перетворити суму sin а + sin р на добуток. За+ Рч------ -, (З о = ----« + Р ОС“ Р . m пишемо а ї■рDу вигляді• а = ----Тоді• 2

sin а + sin р = sin .

а + Р

= s in

+ sin

а - р

^COS—

а + р

а - р

+ C O S ------- ^ s i n

2 + р

- c o s ------sin 2 2

а - р

2 „

= 2sin 2

а -р ^

а + Р

а - р

^ + s i n ----------ї- c o s -------

2 .

а +р

2 а

+ р

а - р

^cos-----2

Тригонометричні формули дода ван н я та н аслідки з них_____________________________ 307

Таким чином, sin а + sin (З= 2 sin SLtS cos ——^ . 2

Одержали формулу суми синусів двох кутів. Сума синусів двох кутів дорівнюс подвоєному добутку синуса півсуми цих кутів на косинус їхньої піврізниці. Аналогічно виводяться формули різниці синусів, суми і різниці косинусів. Формула різниці синусів: s in a -s in p = 2sin^!^—- c o s ” ^ ^ . 2

Різниця синусів двох кутів дорівнює подвоєному до бутку синуса піврізниці цих кутів на косинус їхньої півсуми. Формула суми косинусів: о оі + ^cos----Р “ -р cosa + cosp„ = 2cos 2

Сума косинусів двох кутів дорівнює подвоєному до бутку косинуса півсуми цих кутів на косинус їхньої піврізниці. Формула різниці косинусів: .

co sa -c o sB = -2 s in

а + Р

а - р

^ sm ----2

Різниця косинусів двох кутів дорівнює взятому із зна ком “мінус” подвоєному добутку синуса півсуми цих кутів на синус їхньої піврізниці. Рекомендуємо вивести формули різниці синусів, суми і різниці косинусів самостійно. Прикпад

Обчислити без обчислювальних засобів:

1) COS 75° - cos 15°; 2) cos— + cos-^ . 12

□ 1) Скористаємось формулою різниці косинусів двох аргумен7^0 1іс ° 7Ко_і5о тів: cos 75° - cos 15° = -2 sin------------- sin------------- -2 sin 45° sin 30° = 2

2 20*

2 ■

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

308

5п 2) c o s —

= 2-

^ 12 %/з 72

+ c o s —

2 c o s J ^ —

5п

i ^ - c o s i 2 —

—

2 c o s — - c o s -

В ідповідь. 1)

; 2)

Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток дозволяють розв’язувати різно манітні задачі. п 4 □ Скориставшись формулами зведення, замінимо cos а на л sin , застосуємо формулу різниці косинусів двох кутів і не-

Приклад

10. Довести тотожність: cos а - sin а = V2 cos а + -

парність синуса: / f 71

а+ — % U c o s a -s in a = c o s a -c o s — a = -2sin 2 2 Л 71 S . (n ^ = -2 sin —sin a — = 2- -sm a = V2cos 4 4

\ ^

а у

-sm n a 4

— v2

а )

2 \\

n cos —+ a 4 Останнє перетворення здійснено за допомогою формули зве 7Г

дення: sin а = cos — а 2 З формул додавання можна одержати формули для суми і різ ниці тангенсів двох кутів: sin(a-i-p) s in (a -p ) tga-btgp = ------------------- t g a - t g p = -----------cos a cos p cos a cos p Сума тангенсів двох кутів дорівнює відношенню си нуса суми цих кутів до добутку косинусів тих самих кутів.

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них ^ ^ТпИ Г

309

РІЗНИЦЯ тангенсів двох кутів дорівнює відношенню синуса різниці цих кутів до добутку косинусів тих са мих кутів. Доведемо, наприклад, першу з наведених формул. □ tg g І tgp -

І cos а

cosp

_ sMot + P)

cos а cos р

cos a cos p

Дрзгга формула доводиться аналогічно. Рекомендуємо зробити це самостійно. Н Формули перетворення різниці однойменних функцій двох ар гументів у добуток дозволяють одержати умови, за яких функції двох аргументів дорівнюють одна одній. П р и к л а д 11. Знайти умову, за якої синуси двох к з^ в дорівню ють один одному. у

_|_ у

= 0. □ Нехайsinx=sin>'.Тодіsin x -s in 3^= 0 ,або 2sin -----=^cos 2 2 Остання рівність справджується тоді, і тільки тоді, коли принаймні один із співмножників дорівнює нулю. Якщо X

—

X — У

=^ = 0, то

кп (див, § 15), або х - у = 2пп, або х = у + 2кп, п є Z. Якщо ж

2 X COS

sin

у 2

^ =

0 ,т о

У 2

= — + пп,

х+ у

= п + 2кп,

-у

+ п (2 п + 1 ),п s

Відтак, якщо синуси двох кутів х і у дорівнюють один одному, то справджується одне із співвідношень X = у + 2 п п , або х = - у + п { 2 п -н1), п. є Z. З іншого боку, якш;о справджується одне із зазначених співвіцношеньх = ^-і-2п:п, або х = - у + п(2п + 1), п є Z ,T0sinx = sin(y-l-2nn) = = sin у, або sin X = sin (-у -і- 2пп -ь л) = sin(n - у) = sin у. Співвідношення х = у + 2пп, X = - у + п(2п + 1), д є Z , можна за писати за допомогою однієї рівності: х = (—1)''у + лк, k є Z. Справді, якш;о k = 2п, то маємо перше співвідношення, при k = 2п + 1 — друге. ■ В ідповідь. X = (-1)*3' + k є Z. Аналогічно можна одержати умову рівності двох косинусів, двох тангенсів. Радимо зробити це самостійно.

Розділ 3. Тригонометричні функції

310

Д Упнтоольні запитання 1°. Чому дорівнює значення виразу: а) sin 124° + sin 236°; б) cos 137° + cos 43°? 2°. Як можна вивести формулу суми косинусів, використовуючи формулу суми синусів і формули зведення? 3. Як порівняти cos з і cos 3,2, користуючись формулою різниці косинусів двох аргументів? 4. Що більше: tg З чи tg 4,8? 5. Як перетворити суму синуса і косинуса двох аргументів на до буток?

І Ш Задачі 318°. Скориставшись формулами додавання, доведіть такі фор мули зведення: 1) sin (180° - а ) = sina ; 2) cos (270° +а) = sina ; 'Зл ^ 3) с о з (л -а ) = -со в а ; 4) sin ■-а = -c o s а. 319.

320.

3 2 1 °.

Скориставшись формулами додавання, обчисліть: 1) cos 75°; 2) cos 105°; 3) sin 15°; 4) sin 75°; 5) cos 165°. Обчисліть: 1°) sin 68°cos 8° - sin 8°cos 68°; 2°) cos 10°cos 35° - sin 10°sin 35°; 3) sin 54°sin 24° - sin 66°cos 126°; 4) cos 21°cos 24° - cos 69°cos 66°. Знайдіть: 8 24 1) sin(a-H(3), sin (a -p ), якш;о sina = ------ ; cosP = — ; 17 25 Зтг „ „ Л 7T<a< — , 0 < B < —; 2 ^ 2 2) cos(a-i-P), c o s (a -p ), якшо cosa = - —; cosP = - ; —< a < л, 4 3 2 — < P < 2ті; 2 3 2 3) tg(a-bP), t g ( a - P ) , якш;о tg a = - ; tgP = - . 5 5 12

4) tg(45° - a ) , якш;о sina = ------ , 180° < a < 270° . 13

311

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них

322°. Спростіть вираз:

■ f' а + — -s•m а — я 1) sin 2) 6. 6 sin(g + Р) + sin(g - Р) 3) 4) sin(a + Р) - sin(a - р) 5) sinl5° + tg30°cosl5°; 6) 323. Доведіть тотожність: 1°) sin (а + р) + sin (а - р) = 2 sin а

Зп л . Зп . л cos— C 0 S - + S1I1 — s m - ; 8 8 8 8 cos(a + Р) - cos(g - Р) cos(a + Р) + cos(a - р) sina + c tg 2 a c o s a . •cos Р;

2°) sin (a + p ) - s i n ( a - p ) = 2sinp-cosa; 3) sin (а + р) •sin (а - р) = sin^ а - sin^ Р; 4) cos(a + р) •cos(a - Р) = cos^ а - sin^ р . 324*. Доведіть, що: 1) a + p = j , якщо tga = |,tgp = | ,0 < a < - ^ ,0 < p < - ^ ; 4

325. 326.

327.

328.

329.

. О

2) а + р = - , якщо ctga = - , ctgP = -2 , О < а < < р < 0. 4 3 2 2 Доведіть нерівність: 1) cos 75° + cos 15° > 1; 2) cos 15° - cos45° < 0,3. Доведіть: 1) якщо а і Р — кути гострокутного трикутника, то tga tgP > 1; 2) якщо а і Р — гострі кути тупокутного трикутника, то tga tgP <l. Синуси двох гострих кутів трикутника дорівнюють, відпо20 . З „ „ . вщно, — 1 —. Знайдіть косинус зовнішнього кута трикут29 5 ника, що не є суміжним з двома даними кутами. Тангенси трьох гострих кутів дорівнюють, відповідно, 3 3 8 , — . Доведіть, що сума перших двох кутів на 45° пере5 4 19 вищує третій kjtt. Знайдіть найменший додатний період і побудуйте графік функції: 1) З» = sin X sin 2х - cos X cos 2х; 2) у = sin Зх cos X - cos Зх sin х;

Розділ 3. Тригонометричні функції

312

. я . _ л 3) У = 2 sin —sin 2х + cos —cos 2х 4 4 330.

Знайдіть: 1°) sin2a; cos2a , якщо sina = — , — < а < л ; 25 2 2°) sin 50°, якщо sin25° = а; 00\ cos — ^ , якщо cos— ^ = а; 3°) 9 18

331.

Знайдіть: sin —; cos —; tg —, якщо: 2 2 2 l ) c o s a = 0,6; 0 < а < —;

2) sina = 0,6; — < а < я ,

332.

Л\ J . — , якщо tg —= а. 4) tg 9 9

Спростіть вираз: 1°) sin 10° cos 10°;

2°) cos^ 2a - sin^ 2 a ; tg(45” - a) .

3°) co s^ a -4 sin ^ —cos^ — ; 2 2 ’

' l-tg "(4 5 °-a )’

5°) 2sinacosa(cos^ a -sin ^ a); 6°) co s ^ (4 5 °-a )-s in ^ (4 5 °-a ); 7) sin'

/ fn ^ f K — + a -s in ' — ,

l-c o s 2 y 1 + cos2 y

333.

Спростіть вираз: Л 1) 2sin^ — a + sin 2 a ; 4 1 - sin 2a 3) 1 + sin 2a 1 5) 1 + ctga 1 - ctga

Ч ^ ;

r cos' a — I 4 l-s in 2 y

10)

2) 4)

-c o s ' ;

/ 1

\ ^ a + —

l + sin2y

tga ■tgP + (tga + tgP) •ctg(a + P ); — --------- — ; 1 - tga 1 + tga

6) sin a (l + 2 cos 2 a ) ;

7) l-8 s in ^ p-cos' (3; 8) 0,125 - cos^x + cos%; tga 1 - sin 2a 9) tg2a ■tgg . 10) 11) tg2a - tga ’ tg2a - tga cos a - s i n a 12*) V2sin2a + 2 ;

13) ^2(1 + cos 2a), — < a < 7C; 2

313

Т р и гон о м е тр и ч н і ф орм ули дода в ан н я т а н аслідки з них

14*) у/і - sin а - ЛІ1+ sin а , О < а < —. 2 334. Доведіть, що: 1) 2sin^ —+ cosa = 1; 2 Гк ^ cos 2а = ctg -------- а ; 3) 1 - sin 2a U у 5) sin 2a - tg a = cos 2atga; 7)

1 + sina = 2cos^

2) 2 co s^ a -co s2 a = 1; fп

COS 2 а =

1 + sin 2 а U J 6) (ctg a - tg a) sin 2a = 2cos 2a;

8) 1 - sin a = 2 sin^

4~2

)

-------- а

4~2

335*. Обчисліть; Л

2л

1) cos—-cos— ; 5 5 71 An 5л 3) cos—-cos cos— : 1 1 1 336. Дано функцію: n 1) j = sin^ -------X 4

cos 20° •cos 40° •cos 60° •cos 80° ;

1 K sin 18

7з K 18

COS —

+ (sin x -c o sx )^ ;

2) у = 2cos2x + sin^ X . Знайдіть 11 найменше і найбільше значення, найменший додатний період, побудуйте їі графік. 337*. 1) Косинус кута при основі рівнобедреного трикутника до рівнює 0,8. Знайдіть синус і косинус кута при вершині цього трикутника. 2) Косинус кута при вершині рівнобедреного трикутника до рівнює —. Знайдіть синус і косинус кута при основі цього 9 трикутника. 3) Знайдіть найменше значення п.тіощі прямокутного трикут ника, в якого висота, іцо проведена до гіпотенузи, дорівнює h. 338. Дано функцію: 1) J = sin XCOS х; 2*) у - 2sin^2x + cos^ 2х; З*) у = sin 2x(ctg X - 2ctg 2х). Знайдіть найбільше і найменше значення функції та її най менший додатний період. Побудуйте її графік.

Розділ 3. Тригонометричні функції

314

339°. Обчисліть, не користуючись обчислювальними засобами: . 7п . п . 11л: . 5л 1І7Г 5л 2) sin—^ - s i n 3) cos—^ + cos12 12' ' 12 12 чч cos Л 4) cos — 5) cos 75°-cos 105°; 6) sin 75°-sin 15°. '

340. Спростіть вираз sin а + sin За cos a + cos 3a 3*) 1 + sina + cosa; 341. Доведіть, що:

2°)

2(cosa + cos3a)

2 sin 2a + sin 4 a ’ 4) cos^a-sin ^2a.

1) cos^ a - sin'* a + sin 2a = V2 cos 2 a - 4 sin2a + s in 4 a -s in 3 a , „ 2) ----— = tg3a; cos 2a + cos 4a - cos 3a 3) (sin a + sin P)^ + (cos a + cos

= 4 cos^ ——&; 2 4) (sin 2a + sin 4a)^ + (cos 2a + cos 4a)^ = 4 cos^ a ;

5 ) tg

/ \ ( 71 a — - 1 - __

.4 2

/ n - t g

~ 2 )

= 2tga; 6)

1 + ctg2g 1 - ctg2a

sin 2a + 4 sin 2 a - -

342. Подайте даний вираз у вигляді добутку або частки: 1) \/2-b2cosa; 2) V 3 -2 c o s a ; 3) л/З-tg a ; 4) 1-i-tga. 343. Зменшіть степінь тригонометричної функції у виразі; 1°) 2cos^x; 2) 2cos^x cos 2х; 3°) 2sin^ 2х; 4°) cos^ 4х. 344*. Знайдіть умову, за якої дорівнюють один одному: 1) косинуси двох кутів а і Р; 2) тангенси двох кутів а і р. 345. Доведіть, що: 14 2 л: 4л 6л 1 л Зл 1 1) cos— -HCOS— -І-cos— = — ; 2) cos—-1-cos— = - : 7 7 7 2 5 5 2 3) ^ -i-sinx + Vl-sin^c = 2cos —, якщо о < X < —; 2 2 4) л/і + sinx - %/l - sinx = 2sin —, якщо 0 < x < —; 2 2 sin(a-i-P) ^ ^ „ s in (p -a ) 5) ctga + ctgp = ^ ; 6) ctga -ctgp = . ' sin a sin p sin a sin P

315

Т р и го н о м е тр и ч н і ф орм ул и дода ван н я та н аслідки з них

346*. Доведіть тотожність, що коли а, р, у — кути трикутника, то: 1) sina + sinp + siny = 4 cos—C O S - C O S - ; 2 2 2 2) tga •tgP + tgP •tgy + tgy •tga = 1; 3) tga + tgP + tgy = tga •tgP ■tgy; 4) ctg I + ctg ^ + ctg ^ = ctg I . ctg ^ •ctg ^ . 347*. Тангенси двох кутів трикутника дорівнюють, відповідно, 1,5 і 5. Знайдіть третій кут трикутника. 348*. Дано функцію: 1) З» = sin X + cos х; 2) 3/ = sin х - cos х. Знайдіть найбільше і найменше значення фзтікції та її най менший додатний період. Побудуйте ії графік.

[Вправи для повторення sm

349. Знайдіть значення виразу

+ sin - + а 4 у у я cos — а -c o s —+ а ,3

якщо а

набуває таких значень: О, — . 2 2 350. Знайдіть основний період функції: 1) y = -tgx + 2;

2) у = -BsinSx;

3) у = 3cos—. 4

351. Знайдіть множину значень функції: 2) у = lOsin О,їх. l ) 3/ = 0 ,ltg Юх; 352. Розв’яжіть нерівність: 2) xtg 4 > ctg 5. 1) xtg З < ctg 6; is

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

316

П ід с у м о к Н азва ф ор м у л и

Ф ор м ул и

Формули додавання

cos (а —Р) = cosa cosp + sina sinp. cos (a+ P) = cosa cosP —sina sinp. sin (a + P) = sin a cos P + cos a sin p. sin (a - P) = sin a cos P - cos a sin p. 1 -t g a t g P

1 + tgatgP

Ф орм ули п одвій н ого а ргум ен т у

sin 2a = 2 sin a cos a; cos 2a = cos^ a - sin^ a; 2tga tg2a = 1 -tg V

Ф орм ули зниж ення ст епеня

2 a 1 + cosa ■ 2 ot 1 -c o s a cos — = ------------; sin —= -----.

Ф орм ули п ол ови н н ого а ргум ен т у

Ф орм ули у н ів ер са л ьн о ї підст а н овки

a |l + cosa cos— = Л----------- ; 2 V 2 a

1 - cos a

^^2

1 + cosa

2tg sina =

. a ll-c o s a sin — = 1 ----------- ■ 2 V 2

a cosa =

i-.g Ф орм ули п ер ет вор ен н я сум и т р и го н о м ет р и ч н и х ф ун к ц ій у добут ок

. „ „ . а + Р а -р sina + smP = 2sin ^cos----2 2 . „ „ . а -p а +Р s in a -s m P = 2sin ^cos----^ 2 2 „ „ a+P a -p cosa + cosP = 2cos----- ^cos----2 2 .a + P . a - p c o s a -c o s P = -2 s in ^-sin----2 2 , . „ sin(a + P) , , _ sin (a -P ) tg a + tgp = ---- ^ t g a - t g p = cos a cosp cos a cosp

Найпростіш і тригонометричні рівняння і нерівності

Найпростішими тригонометричними рівняннями нази вають рівняння: sin х = а, cos х = о, tg = о, ctg j: = а. Окремі з них розв’язувались у попередніх параграфах. Го ловною особливістю тригонометричних рівнянь є те, що вони можуть мати безліч коренів, з чим пов’язані певні труднощі в пошуку і навіть у запису їхніх розв’язків. На вчити подоланню цих труднощів є важливим завданням даного параграфа.

1. Рівняння sin х = а

Рівняння sin X = а будемо розв’язувати, користую чись тригонометричним колом або графіком функ f і і Б ції у - sin X. Сзтність першого способу, пов’язаного з тригонометричним колом, полягає у тому, щоб записати всі числа, яким відповідають точки тригонометричного кола з ординатою а . Розглянемо наступний приклад. П риклад

1. Розв’язати рівняння: sin х

□ Знайдемо спочатку на тригонометричV3 „ ному колі точки з ординатою — . 1аких то2 чок, очевидно, дві: і (рис. 341). Вони симетричні відносно осі ординат. Знайдемо числа, яким відповідають ці точки. Оскільки 71

S in

у[3

К .

— = — , то числу — відповідає точка М^, а 3 2 З

Рис. 341

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

318

TZ 27t Tir ..u числу ТІ— = точка М^, їй симетрична відносно осі ординат. З З . . 2п . ( п . 71 7з Справді, sm — = sin п - - = s m — = -------S

Таким чином, усі числа, яким відповідає точка М^, мають виг ляд —+ 2кп, п е Z , а всі числа, яким відповідає точка М^, — З — + 2кп, n e Z . Тобто множина розв’язків даного рівняння склаО

дається з двох серій чисел: х = —+ 2пп, х = — + 2пп, п. є Z . И З З В ідповідь. —+ 2пп, — -І-2пп, u g Z . З З Другий спосіб розв’язування тригонометричного рівняння sin X = а базується на застосуванні графіка функції у = sin х. Про ілюструємо його на тому самому прикладі. □ Побудуємо в одній системі координат графіки функцій

7з

у = sin X і у = — (рис. 2 чок. Завдання полягає На проміжку, довжина періоду функції у = sin

342). Вони перетинаються у безлічі тов тому, щоб знайти абсциси цих точок. якого дорівнює найменшому додатному X, тобто числу 2л, функція набуває усіх S

своїх значень. Значення — 2

на відрізку [0; 2я] вона набуває у

71 . 2п . . к -J3 . . 2п двох точках: х = — і д: = — , оскільки sm —= — і sm — = З З 3 2 З = S in

^ п . 7Г V3 „ п — = sm —= - — . Отже, враховуючи, що періоди синуса

д о р ів н ю ю т ь

2 п п ,

м н о ж и н у

р о з в ’я з к і в

УХ

y = s m x

д а н о го

319

Н айп ростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н е р ів н о сті

рівняння м ож на записати у ви гляді двох серій чисел: х = —+ 2пп, х = — + 2лп, З З

п є

Z. Ш

ч/З Наведені способи розв’язання рівняння sinx = — відрізня2 ються лише геометричним тлумаченням коренів цього рівняння. Запис усіх розв’язків рівняння sinx = — став можливим, 2 оскільки нам вдалось вказати два корені цього рівняння, яким відповідають на тригонометричному колі (чи на графіку) дві різні точки. Якщо розв’язувати рівняння sin л: = 0,3, то ми поки що не можемо цього зробити, оскільки не знаємо способу запису чисел, синус яких дорівнює 0,3. Таким чином, для розв’яззпвання рівнян ня sin X = а (|а| < 1) потрібно навчитись знаходити принаймні два числа, синус яких дорівнює а, і яким відповідають на тригономе тричному колі дві різні точки. Розглянемо геометричну ілюстрацію розв’язків рівняння sin X = а. Для цього побудуємо графіки функцій у = sin х, у = а (рис. 343). Якщо |а| > 1, то ці графіки не перетинаються, тобто дане рівняння не має розв’язків. Якщо |а| < 1, то пряма у = а безліч ра зів перетинає графік ф5тікції у = sin х, тобто рівняння sin х = а має безліч розв’язків. Зокрема, якщо а = 1, то точки перетину мають вигляд X = —+ 2пп; при а = —1 графіки перетинаються в точках 2 X = ~ — + 2лп,

n e Z .

___ / /- 2 л

/ -і 1 1 // 0 ----- ^-1

У=а

і \ я\. гt

./2 я u=sinx

Рис. 343

п ф ун кц ія у = sin JCз р о ст а є 2' і н а бу ва є у с іх значень від -1 д о 1. При кожному а є [-1, 1] пря ма = а перетинає на цьому відрізку графік функції у =sin х лише я я в одній точці, тому рівняння sin JC = а має на відрізку Нехай |а| < 1. На від р ізк у

Розділ 3. Тригонометричні функції

320

один корінь. Цей корінь називають арксинусом числа а і по значають так: X = arcsin а. Арксинусож числа а називається таке число з проп л міжку , синус якого дорівнюс а. 2 2 Таким чином, запис х = arcsin а означає: 1) 2) М

<х<— і 2

sinx = а. З вер та єм о увагу на те, щ о a rcsin а ви зн а чен о тільки для - 1 < а < 1.

Арксинуси довільних конкретних чисел із проміжку [— 1; 1] можна знаходити наближено за допомогою математичних та блиць чи калькуляторів. П риклад 2. Обчислити: 1) arcsin—; 2) arcsin

; 3) arcsin 0,6.

□ 1) Оскільки - = sin— і , то arcsin і = — . Підкрес2 6 2 6 2 2 6 . 5л: 1 . 1 5ті ^ бтг . лимо, що хоча sin— = - , але arcsin — , бо — міститься поза 6 2 2 6 межами проміжку 2)

О с к іл ь к и

_ 71

2’2 2

= - s i n —= sin 4

arcsin

В З верн іть увагу на те, щ о a rcsin

: S

= - a r c s in —

3) Послуговуючись калькулятором, знайдемо: arcsin 0,6 » 0,644. ■ В ідповідь. 1) - ; 2) - - ; 3) » 0,644. 6 4 Запишемо у загальному вйгляді розв’язок рівняння sin х = а, -1 < а < 1. На тригонометричному колі містяться дві точки з орди-

Н айпростіш і тр и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н е р ів н о сті

321

натою а (рис. 344, 345). Одним з чисел, якому відповідає точка М^, є число arcsin а, а числу (л - arcsin а) відповідає точка М^. Таким

Рис. 344

чином, враховуючи, що числа 2кп, п є г ,п ф О ,е періодами функ ції у - sin X , розв’язки рівняння sin X = а при |а| < 1 мають такий вигляд: X = arcsin а + 2пп, x = iz- arcsin а + 2яд, п є Z. Обидві ці формули можна записати у скороченій формі: X = (-1)'" arcsin a + nk,keZ. Одержана формула дає ті самі значення х, що і дві попередні формули, якщо розглянути випадки k = 2n,k=2n +1, п є Z. Справ ді, при k = 2n маємо: х = (-1)^" arcsin а + п-2п = arcsin а + 2пп; при k = = 2п+\ маємо: х = (-1)^"^^ arcsin а + к- (2п +1) = •(-1) •arcsin а + + 2пп + к = п - arcsin а + 2лп. Повернемось до розв’ язків рівняння sinx = 0,3. їх можна за писати так: X = arcsin 0,3 + 2nk, k&Z , х = п - arcsin 0,3 + 2 n k ,k e Z або X = (-1)* arcsin 0,3 +nk, k e Z . Розв’язки рівнянь sin X = 1 і sin X = —1 було знайдено вище, а саме: х = —+ 2лп, X = - —+ 2т, n s Z . 2 2 Знайдена загальна формула дає ті самі результати, тобто за стосовна і при |о| = 1. Розв’язки рівняння sin X = О, за вказаною формулою, набувають вигляду; X = пп, п є Z .

Математика, 10 кл.

Розділ 3. Тригонометричні функції

322

3. Розв’язати рівняння: 1) sin х = 0,7; 2) sin 2х - -0,8. □ 1) Розв’язок має вигляд: х = (-l)'*arcsin 0,7 + кп, п є Z.

Приклад

2х = (-l)"a rcsin (-0,8) + пп, п є Z, х = -■ (-l)"a rcsin (-0,8) + 2 ,ПП „ щ + — , п Є Z. Ш 2 Відповідь. 1) (-l)"a rcsin 0,7 + тсп, п є Z\ 2)

-• (-l)"a rcsin (-0,8) + — , п е Z. 2 2

Число arcsin а має наступні важливі властивості. Властивість

1. sin (arcsin а) = а.

Ця рівність випливає безпосередньо з означення арксинуса. 2. arcsin (-а) = -arcsin а. □ Для його доведення, згідно з означенням арксинуса, слід по казати: 1) sin(—arcsin а ) = —а ; Властивість

2) - —< -a rcsin a < —. 2 2 Перша рівність є наслідком непарності синуса і означення арк синуса. Друге співвідношення безпосередньо У. випливає із означення арксинуса. Н Тепер розв’язки рівняння sin 2х = -0 ,8 з прикладу З можна записати у вигляді 0 її X = і (-1)"'"' arcsin 0,8 + — , п є Z. 2 2 Властивість 2 має просту геометричну ін 4 " “' терпретацію (рис. 346). Точки і відпо Рис. 346 відають числам arcsin а і arcsin (—а). Ці чис ла є протилежними, оскільки відповідні дуги симетричні відносно осі абсцис. Практично важливим є вміння виділяти ті розв’язки тригоно метричного рівняння, які задовольняють певну умову.

323

Н айп ростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н е р ів н о сті

ЛІ2 П р и к л а д 4. Дано рівняння sinx = - — . Знайти: 2 1) усі розв’язки рівняння; 2) його найбільший від’ємний корінь; 3) розв’язки, які належать проміжку

' кЗп ,2 ’Т

4) розв’язки, які належать проміжку (-7г;47г); 5) розв’язки, які задовольняють умову cos л: > 0. □ 1) Усі розв’язки рівняння мають вигляд: X

= (-1)* arcsin

+ nk = (-1)*^^ arcsin

+ лк =

= ( - l f ^ ^ - + nk,keZ. 4 2) Усі розв’язки рівняння можна також записати у вигляді двох серій чисел: х = — + 2пп, X = — + 2кп,п є Z (рис. 347). 4 4 Найбільший від’ємний корінь можна одер жати при п = -1 . Відповідно маємо: х = _5п X = — -2 л = . Більшим 4 4 л: 13 н и х є ч и с л о — . 4 . f л Зл^ 5л 3) П р о м і ж к у — ; — н а л е ж и т ь к о р і н ь — .Z

Щоб знайти ті розв’язки рівняння, які належать проміжку 5тс (-л ; 4 л ), необхідно розв’язати відносно п нерівності: - л < — + 2лп < . тт . 9л: „ 11л < 4л, -л < — + 2лп.<4л. Послідовно м ати м ем о:------< 2 л п < ------ , 4 4 4 11л „ 9л . 9 11 11 9 „ < 2лп < — , звідси — < п < — , ------ < n < —, n e Z . 4 4 8 8 8 8 Отже, для обох серій п може набувати значень - 1, О, 1 і тільки цих значень. Тому шукані розв’язки знайдемо,якщопідставимо ці значення п у вирази для загальних розв’язків рівняння. МатиЗл 5л 13л л 7л 15л мемо: — , — ; -т > — . — • 4 4 4 4 4 4 21 *

324

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі'

Умову cos X > О задовольняє лише друга серія: х = — + 2пп, 4 п Е Z, оскільки лише ці числа відповідають точкам тригономе тричного кола з додатними абсцисами. И Відповідь. 1) (-1)'"^ 1L+ nk,k є Z-,2) 4 4 4 Зтг 5я 13л 71 7я 15л 7л „ „ 4) — , —;- ;5 ) — + 2 n n , n s Z . 4 4 4 4 4 4 4 Розв’язання складніших тригонометричних рівнянь зводиться до найпростіших за допомогою замін змінних, алгебраїчних пере творень, тригонометричних формул. 5. Розв’язати рівняння: З s in ^ x -5 s in x -2 = 0. □ Це рівняння є квадратним відносно sin х. Увівши заміну sinx = t , дістанемо рівняння: 3 t ^ -5 t - 2 = 0.

Приклад

Корені цього рівняння t = 2 і і = - —. Рівняння sin З

= 2

розв’язків не має. Розв’язки рівняння sinx = - і мають такий ви гляд: X

= (-1)" arcsin

1^ 1 — -І-лп = (-1)"’"^a rcsin --!-лп , п є Z. І З

Відповідь. (-ІГ'^^агсбіпі-і-лп, n e Z . З

Д і^пнтрольні запитання 1°. Чому дорівнює: а) arcsin 0,5; 6) arcsin (-0,5); в) arcsin 1? 2°. Чи має зміст запис: а) arcsin 0,3; б) arcsin (-0 ,3 ); в) arcsin 1,3; г) arcsin (-1 ,5 ); ґ) arcsin л; д) arcsin V2 ? 3°. Чи можна з рівності sin л = О зробити висновок, що arcsin О = л? 4°. Чи може рівняння sin х = а мати: а) тільки один розв’язок; б) тільки два розв’язки? 5°. Чи може arcsin а набувати значень: а)

б )-л ; Ь

в)

г)^; о

ґ) %/2 ;

д)

; е) 1,5? Z

F '

325

Н айпростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н е р ів н о сті

При яких значеннях а справджується рівність sin (arcsin а) - а?

Скільки розв’язків рівняння sin X = - міститься на відрізку [0; 8я]?

Як із загального розв’язку х =

+ пп, п є Z, рівняння

sin X - — знайти найменший додатний корінь цього рівняння? 2 2. Рівняння c o s х = а Рівняння cos х = а, так само як і рівняння sin х = а, будемо розв’язувати, користуючись тригонометрич ним колом або графіком функції у = cos х. Потрібно навчитись записувати всі розв’язки цього рівняння. Необхідні міркування аналогічні тим, що проводились при розв’язанні рів няння sin х = а, тому наведемо їх стисло. Якщо |о| > 1, то рівняння cos X = а не має розв’язків. При а = 1 пряма у = а перетинає графік фзшкції у = cos х в точках х = 2пп, п е Z. При а = -1 пряма у - а перетинає графік функції у = cos х в точках Х -П + 2пп, п є Z. При |а| < 1 рівняння cos х - а також має нескінченну кількість розв’язків. На в ід р ізк у [О, л] ф ун кц ія у = c o s де сп а д а є і н а бува є в сіх зн ачень від 1 д о -1 (рис. 348). При довільному а є [-1; 1] пряма у = а перетинає на цьому відрізку графік функції у = cos х в одній і тільки одній точці, тому рівняння cos х - а має на відрізку [О, л] тільки один корінь. Цей корінь називають арккосинусом числа а і позначають так: х = arccos а.

г/=1 ^ у=а, |а|<1

У. 1

y=cosx 'X 0

«= -1

X зХ

-1 Рис. 348

Арккосинусом числа а називається таке число з про міжку [0; п], косинус якого дорівнює а. Таким чином, запис х = arccos а означає: 1) О < х < я і 2) cos х = а. Як і arcsin а, arccos а визначено тільки для —1 < о < 1.

326

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

Приклад

б.

Обчислити: 1) arccos- ; 2) arccos 2

arccos (-0,2). □ 1) arccos—= —, оскільки cos— = — і 0 < — < л . 2 3 3 2 3 2)

Зі співвідношень cos(rt-a ) = -c o s a

п cos п---6

, тобто arccos

cos—= 6 2

маємо:

п 5л . 5п = к — = — ,б о 0 < — <к.

З верн іть увагу на те, щ о arccos

л/зі

7з = тс-a rc co s — .

3) Послуговуючись калькулятором, маємо: arccos(—0,2) » 1,77. И В ідповідь. 1) ^ ; 2) ^ ; 3) » 1,77. З

Запишемо у загальному вигляді розв’язки рівняння cos х = а, —1< а < 1. На тригонометричному колі є дві точки і з абсцисою а (рис. 349, 350). Одним із чисел, яким відповідає точка М^, є число arccos а, а одним із чисел, яким відповідає точка М^, е число -arccos а. Усі числа, яким відповідають точки і М^, мають ви гляд: arccos а + 2пп і -a rccos а + 2пп, п є Z.

Рис. 350 Таким чином, розв’язки рівняння cos х = а при |а| < 1 можна знайти за формулою: х = ± arccos а + 2пп, п є Z.

327

Н айпростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н е р ів н о сті

Розв’язки рівнянь COS X = 1 і COS X = —1 були знайдені вище, а саме: X

= 2-п.п,

X = тс

+ 2тсп,

neZ.

Загальна формула дає такі самі результати при |а| = 1. Розв’язки рівняння c o s X = О за вказаною формулою набувають вигляду: х = ± —+ 2 п п , 2 п є Z . Але їх можна записати простіше: Г7 ; адже числам, записаним X = —+ лд, п є Z 2 двома останніми формулами, відповідають ті самі дві точки і Р ^ тригонометрично2 ^2 го кола (рис. 351). 7. Розв’язати рівняння: 1) cos х = 0,8; 2) сов Зх = -0,5. □ 1) Розв’язок має вигляд:

Приклад

X = ± arccos 0,8 + 2кп, п є Z. 2тг 2тг 0 < — <п , то arccos(-0,5) = — , і 3 З

2) Оскільки cos— = -0,5, 3 Зх =

±—

+ 2пп, n & Z

, або х

= + —

Відповідь. 1) arccos 0,8 +

9 2пп,

3 п,

Z; 2) х = ± — + У

neZ. о

Скориставшись результатами розв’язування прикладів 2, 6, 7, наведемо таблицю значень arcsin х і arccos х для найбільш вжи ваних значень аргументу. Таблиця ЗО Значення

О Вираз

arccos X

2 4

п З

л 4

л 6

л a r c s in X

-1

п 2

п З 2л т

5я 4

Розділ 3. Тригонометричні функції

3 28

Число

a rccos

а має наступні важливі властивості.

1. cos (arccos а) = а. Ця рівність випливає безпосередньо з означення арккосинуса. Властивість

2. arccos (-а) = л - arccos а. □ Для її доведення, згідно з означенням арккосинуса, слід по казати: 1) c o s ( 7 i - a r c c o s а) = -а; 2) О < т г - a r c c o s а < л . Перша рівність є наслідком формул зведення і означення арккосинуса: c o s ( k - a r c c o s а) = - c o s ( a r c c o s а) = -а. Друге співвідношення безпо середньо випливає з означення арккосинуса і властивостей нерів ностей: О < a r c c o s а < 71, - л < - a r c c o s a < О, О < т і - a r c c o s а < л . И Властивість

Властивість 2 має просту геометричну ін терпретацію (рис. 352). Точки і відпо відають числам arccos а і arccos (-а), ці точки симетричні відносно осі ординат, радіанні міри відповідних дуг доповнюють одна одну до к, тому arccos (—а) = п —arccos а.

Приклад

2 cos JC"1“ 1 Розв’язати рівняння: — ;----------= 0. sinx

п D■ • [2cosx + l = 0, □ Рівняння ршносильне системі Розв яжемо рів sin^: > 0. няння 2 cos д: + 1 = о або cosx = - —. Застосовуючи властивість 2, матимемо: х = ± arccos

. 2,

-І- 2пп = ± я -a rc co s— + 2лп = ^ 2J

= -н Я---- + 2лп= ± — + 2nn,neZ. З

Тепер із цих розв’язків відберемо ті, ІДО задовольняють нерівність sin л: > 0. Скористаемось тригонометричним колом. Розв’язки рівняння зображаються двома точками три гонометричного кола (рис. 353). Але лише од ній із них (тій, що лежить у другій чверті)

X ' О

Рис.

353

329

Н айпростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівн я н н я і н е р ів н о сті

2я відповідають числа х, для яких sin х > О, а саме, х = — + 2кп, 2к В ідповідь. — + 2пп, n e Z . 3

Застосування розглянутих у § 16 тригонометричних формул дає змогу звести розв’язання більш складних тригонометричних рівнянь до розв’язання найпростіших. 9. Розв’язати рівняння: cos jc + cos Зл: = 4 cos 2х. □ Перетворивши ліву частину згідно з формулою cjnsiH косину сів, дістанемо Приклад

2 cos 2х cos л: = 4 cos 2х. Звідси cos 2х (cos л: - 2) = 0. Тоді сов 2л: = О чи cos х = 2. Друге рівняння розв’язків не має, а розв’язки першого мають такий вигляд: _

КТІ

2х = —+ тт, х = —ч*— , 2 4 2

Г7

В ідповідь. —+ — , n e Z . 4 2

Д і^пнтрольні запитання 1°. Чому дорівнює: а) arccos— ;

о) arccos

в) arcos (-1); г) arcos О?

2°. Чи має зміст запис: а) arccos 0,3; б) arccos (-0,3); г) arccos (-1,5); ї) arccos п; 3°. Який знак має число arccos(-0,3)? 4°. Чи може arccos а набувати значень: \ ^ Й Г\ ^ B ) f ; г ) ^ ; а )--; б )-; 5.

в) arccos 1,3; д) arccos лІ2 ?

д )-1;

е) 3,5?

При яких значеннях а справджується рівність cos (arccos а) = а?

Розділ 3. Тригонометричні функції

330

Скільки розв’язків рівняння cos X = — міститься на відрізку 2 [0; 7тг]? 5л Як із загального розв’язку х = ± — + 2пп, п є Z, рівняння 6

co s x =

одержати найбільший від’ємний корінь цього рів-

няння? Якою заміною: sinx = 2: чи cosx = z — зручніше розв’язувати рівняння: а) 2sin ^ x-cos^ x + 3sina: = 0; б) 2sin ^ x-cos^ x + 3cosx = О?

3. Рівняння tg лс = а і ctg х = а Розглянемо рівняння t g X - а . Оскільки множиною значень тангенса є множина всіх дійсних чисел, то іш Б це рівняння при кожному а має розв’язок. Пряма у = а перетинає графік функції >» = tg л: безліч разів (рис. 354). На пром іж ку

71 Ті '

функція 2 2 = tg X зр о ста є і набуває кож н ого св ого значення лиш е один раз. Тому рівняння tg X = а на проміжку п

_ 71

має тільки один корінь. Цей І 2 ’ 2j корінь називають арктангенсом чис ла а і позначають так: х = arctg а.

Рис. 354

Арктангенсом числа а н а з и в а єть ся та к е ч и сл о з п рол п м іж ку , т а н ге н с я к о го д о р ів н ю є а. 2 2 Таким чином, запис х = arctg а означає: 1) ц

< х < — і 2) t g x = o . 2 2 З в е р т а єм о ув а гу на те, щ о a rctg а ви зн ачен о для всіх д ій сн и х а.

Оскільки функція у = tg X періодична з періодами пп, п sZ, то всі корені рівняння tg X = а знаходять за формулою: X = arctg а + пп, п eZ .

О,

331

Н айпростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н ер ів н ості

Приклад

Обчислити: 1) arctg%/3; 2) a rctg (-l).

10.

□ Оскількі □ 1) 1 ) Оскільки

tg ^

2) Оскільки tg Відповідь. 1) В

= n/з

- -

< ^ < і

= - t g - = -1 і

; то a r c t g 7 з =

< -ІІ <

, то a r c tg (-l) =

З вер н іть увагу на те, щ о a r c t g ( - l ) = -a r c t g l.

Приклад

F 3) ctgx = □ 1)

11. Розв’язати рівняння: 1) tgx = - ^ ; 2) tg —= -2;

= arctg

+ n n , або x = —+ nn, n e Z . \S

2) — = arctg(-2) + Tm, n s Z , x = 2arctg(-2) + 2nn, n&Z. 2 3) Якщо ctgx = — T O tgjc = -yfs , i навпаки. Тому ці рівнянV3 ня — рівносильні. Звідси X = arctg(-%/3) + л п = ТІ Г" . Л 71 71 п = hтт, тг є Z , бо tg = - t g - = -V 3 1 --< -7 Г < 7 Г • ^3 2 3 2 З V 'з у Відповідь. 1) —+ пп, n e Z ; 2 ) 2arctg(-2) + 2ren, n e Z ; 3 ) - —+ кп, 6 З neZ. Розв’язання рівняння ctg х = а можна звести до розв’язання рівняння tgx = — при а Ф О, а можна скористатися спеціальною а 1y = c i g x формулою. \ У=а Розглянемо рівняння ctg X = а . " Оскільки множиною значень котан генса є множина всіх дійсних чисел, п X л; то це рівняння при кожному а має розв’язок. Пряма у = а перетинав графік функції у = ctg х безліч разів \ (рис. 355).

\ \о \ V, Рис. 355

Розділ 3. Тригонометричні функції

332

На п р ом іж к у (0; ті) ф ун кц ія з» = ctg х сп а д а є і н а бува є к ож н о го єв о г о значення оди н раз. Тому рівняння ctg х = а при кож ному а на проміжку (0; я) має лише один корінь. Цей корінь нази вають арккотангенсом числа а і позначають так: х —arcctg а. Арккотангенсом числа а н а зи вається таке ч и сл о з п р ом іж к у (0; ті), к ота н ген с я к ого д о р ів н ю є а. Таким чином, запис х = arcctg а означає: 1) О < х < л і 2) ctg х = а. М

З в е р т а єм о у в а гу на те, щ о a rcctg а ви зн ачен о для всіх І д ій сн и х а.

Оскільки функція у - ctg X періодична з періодами пп, п eZ, п ^ О, то всі корені рівняння ctg X = а знаходять за формулою: X = arcctg а + пп, neZ. П р и к л а д 12. Розв’язати рівняння: l)c t g х = -1 ; 2) (tg X + 2)( л/з ctg л: - 1) = 0.

□ 1) Оскільки ctg— = -1 і О < — < 71, то arcctg(-l) = — . Тому 4 4 4 X

= arcctg(-l) + пп = — + пп, п є Z. 4 Звертаємо увагу на те, що arcctg(-l) = л - arcctg 1. 2)

Наслідком даного рівняння є сукупність рівнянь: tgx + 2 = 0

і ^/з ctgx - 1 = О. Розв’яжемо перше рівняння сукупності: tgx = -2; х = arctg(-2) + пп,пе Z. Встановимо, чи с знайдені числа кореня ми даного рівняння. Оскільки при цих значеннях х вираз у дру гих дужках має зміст (адже з рівності tg х = - 2 випливає, що ctg х = = - - ) , то знайдені значення х є коренями даного рівняння. РозА в’яжемо друге рівняння сукупності: ctg X =

, X = arc с tg

+ пп =

= —+ пп, ns Z. При цих значеннях х вираз у перших дужках має О зміст, тому знайдені значення х є коренями даного рівняння. ■ В ідповідь. 1) — + пп, п є Z; 2) arctg (-2) + лп; —-і- пп, neZ. 4 З

Н айпростіш і т р и г о н о м е т р и ч н і р івн янн я і н е р ів н о сті

333

Скориставшись результатами розв’язування прикладів 10 - 12 й ін., складемо таблицю значень arctg х і arcctg х для найбільш уживаних значень аргументу.

Числа arctg а і arcctg а мають наступні важливі властивості. 1. tg (arctg а) = а; ctg (arcctg а) = а. Ці рівності випливають безпосередньо з озна чень арктангенса і арккотангенса. Властиві сть

Вл а с т и в і с т ь 2. arctg (-а) = -arctg а; arcctg (-а) = 7 і -arcctg а.

□ Доведемо другу з цих рівностей. Для цього, згідно з означен ням арккотангенса, слід показати; 1) ctg(n - arcctg а) = - а ; 2) О < л - arc ctga < ті. Перша рівність є наслідком формул зведення і означення аркко тангенса: ctg(n - arcctg а) - -ctg(arcctg а) = -а. Друге співвіцношення безпосередньо випливає з означення арккотангенса і властивостей нерівностей: О < arcctga < я, - п < -arcctga <0, О < л - arcctga < л. Перша рівність доводиться аналогічно. Н Наведені рівності мають просту геометричну інтерпретацію. Точки і на лінії тангенсів (рис. 356) відповідають числам arctg а і arctg (-а). Ці числа є протилежними, оскільки відповідні дуги на тригонометричному колі симетричні відносно осі абсцис. Точки і на лінії котангенсів (рис. 357) відповідають чис лам arcctg а і arcctg (-а). Ці точки симетричні відносно осі орди нат, радіанні міри відповідних дуг на тригонометричному колі доповнюють одна одну до л, тому arcctg (-а) = л - arcctg а.

Розділ 3. Тригонометричні функції

3 34

Рис. 356 13. Розв’язати рівняння: л/х-Ictgx = 0. □ Область визначення даного рівняння визначається співвід ношенням: X - 1 > О, X ^ пп,п S Z. Його наслідком є сукупність Приклад

рівнянь: л/х - 1 = О, ctgx = О, розв’язками яких е відповідно числа: X =1, X = ^ + пп, п є Z. Остання серія розв’язків належить області визначення рівняння, тобто задовольняє умову х > 1, лише при цілих невід’ємних значеннях п. Н В ідповідь. Приклад

14.

= 1, X = —+ пп, п = 0,1,2,.... 2 Розв’язати рівняння: tgx + 3ctgx = 2%/з.

□ Позначимо tg

через у. Тоді ctgx =

tgx

= — , і рівняння на-

буває вигляду: у + — = 2л/з або у^ - 2лІЗу + 3 = 0. Знайдене рівняння має один корінь л/з . Розв’язком рівняння tg X = л/з є X = —+ 7т/г, TieZ. ■ О В ідповідь. —+ пп, я є Z. З

У рівнянні asin^ X + 6sin xcosx + ccos^ х = О кожен доданок має степінь 2. Таке рівняння називається одно рідним рівнянням другого степеня відносно s i n X і COS X. Вза галі, рівняння з невідомими и і V, в якому кожен з доданків має один і той самий степінь відносно невідомих, назива ється однорідним відносно и і v.

335

Н айпростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н е р ів н о сті

Такі рівняння розв’язуються діленням на старший степінь косинуса чи синуса. f

Приклад

Розв’язати рівняння:

15.

4 sin ^ x -8 sin x co sx + 10cos^x = 3. □ Замінимо З на 3(sin^ х + cos^ х ) : sin ^ x -8 sin x co s x + 7cos^x = О. Дістали однорідне рівняння другого степеня. Розділимо обидві його частини на cos^ х . В

Втрати розв’язків при цьому не буде, оскільки cos і sin X не можуть одночасно дорівнювати нулю.

Отже, s in ^ X COS^ X

„ sinx - + 7 = 0, tg x - 8 t g x + 7 = 0; tgx = l a 6 o tgx = 7; cosx X

= — + ДХС, 4

= arctg7 + nn, ?г є Z . И

Відповідь. —+ nn, arctg7 + nn, ns Z. 4

Контрольні запитання

1°. Чому дорівнює: а) arctg 1; г) arcctg^-Vsj;

б) arctg (-1);

в) arcctgVS;

ґ) arctg О;

д) arcctg О?

2°. Чи можна з рівності tg я = О зробити висновок, що arctg О = л? 3°. Який знак має число: а) arctg(-2,3); б) arcctg(-2,3)? 4°. Чи може arctg а набувати значень: а)

б) D

b) - 7 t ;

г)

ґ)

л/2

;

д )-^ ;е )1 ,5 ?

5°. Чи може arcctg а набувати значень: а )| ; 6.

6)0;

в )-| ;

г) ^

;

ґ) 4;

д) -1 ;

При яких значеннях а справджується рівність: а) tg (arctg о) = а; б) arctg (tg а) = а?

е) 71?

336

Розділ 3. Тригонометричні функції

Чи може рівняння ctg х = а\ а) мати рівно один розв’язок; б) мати рівно два розв’язки; в) не мати жодного розв’язку? 8. Скільки розв’язків рівняння t g x = l міститься на віпрізку [0; 5я]? 9. Чому дорівнює найменший додатний корінь рівняння tgx = -2 ? 10. Чи однорідні відносно sin X і cos X такі рівняння; а) sin л: + З cos X = 0; б) sin^ л:-2cos^ л:+ 3sin xcosx = 0; в) sin^x + 2 s in x -co s^ x = 0; г) sin^* л:-Bsin^ xcoso:+ cos® х = 0; ґ) 4 s in ^ x -8 s in x co s x + 10cos^x = З? 4.

Найпростіші тригонометричні нерівності

Найпростіші тригонометричні нерівності, як і найпростіші тригонометричні рівняння, можна t i S розв’язувати за допомогою графіків тригонометричних функцій та тригонометричного кола. Розглянемо на прикла дах загальні підходи до їхнього розв’язання. Приклад

16. Розв’язати нерівність: sinх >

□ Оскільки синус — періодична функція з періодом 2п, то досить знайти розв’язки нерівності на довільному проміжку завдовжки 2п, наприклад, на відрізку [О, 2л]. Розглянемо графіки функцій у = sin х і ><= —

на відрізку

n/2 [О, 2л:] (рис. 358). На цьому відрізку рівняння sinx = — має два

, розв я зк и : X

71 -

—

. Зл . , 1 X = — , то м у в сі ро зв я з к и

.. . . д а н о ї н е р ів н о с т і н а

відрізку [О, 2л] визначаються співвідношенням — < х < — . Врахо4 4

337

Н айпростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н ер ів н ості

вуючи періодичність функції ням проміжку

71 Зл

sin

паралельним перенесен-

„

вправо 1 ВЛІВО на 2п, 4я, ... , одержимо:

- + 2пп < X < — + 2пп, nsZ. 4 4

Цей запис означає, що множина

розвязків нерівності е 00 єднанням проміжків: ...,

Г 15я

13л

9л 11л" ‘ І7л 19л > . 4 ’ 4 4 ’ 4 _ Скорочено це об’єднання проміжків будемо записувати так: 5л

л_ Зл

—+ 2пп; — + 2пп , м є Z. Н 4 4

Розв’яжемо ту саму нерівність за допомогою тригонометрично го кола. □ Позначимо на тригонометричному колі точ ки, ординати яких дорівнюють — (рис. 359). Для 2 цього через точку на осі ординат з ординатою —

проведемо пряму, паралельну осі х, яка

перетинає тригонометричне коло в точках і . Ординати всіх точок дуги є 4

^ 2 0

\ U п X

Рис. 359

УІ2 72 більшими від — або дорівнюють — . Тому на відрізку [О, 2л] 2 2 дану нерівність задовольняють всі значення х, для яких л Зл 4 4 З урахуванням періодичності функції у = sin х маємо той са — < X < ------ .

мий результат: —-і- 2лп < х < — + 2пп, ?г є Z. И 4 4 В ідповідь.

2 2

Математика, 10 к

—+ 2пп; — + 2пп , м є Z. 4 4

Розділ 3. Тригонометричні ФункцГі

338

Розв’язати нерівність: cos X > — . 2 □ Через точку на осі абсцис з абсцисою

Приклад

17.

(рис. 360) проведемо пряму, паралельну 2 осі у. Ця пряма перетинає тригонометричне коло в точках і ^ 2 к■ точки дуги

“з"

, окрім 11 кінців, мають абсцису біль-

Р шу, ніж

Рис. 360

. Тому на відрізку [—тг; тг] розв’язки

даної нерівності визначаються співвідношенням 2п

2к

<х<— . З З З урахуванням періодичності функції у = cos х матимемо: З

+ 2пп < х < — + 2пп, д є Z. И З

Розв’яжемо цю нерівність за допомогою графіка функції у = cos х. □ Оскільки косинус — періодична функція з періодом 2п, то до сить знайти розв’язки нерівності на довільному проміжку завдовжки 2п, наприклад, на відрізку [-л; тг]. Зручність вибору саме цього від різку стане зрозумілою далі. Розглянемо графіки функцій j = cos х і у = - — на відрізку [-л; л] 2 (рис. 361). На ньому рівняння cosx = - — має два розв’язки: х = - — 2 З і X = — . Потрібно знайти всі ті значення х, для яких відповідні точЗ ки графіка функції у - cos х містяться вище прямої У. y=cosx -л !

2л 3 !

2л

\ т

-1Рис. 361

:л

"х

На від-

339

Н айпростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н е р ів н о сті

різку [—л; 7і] всі розв’язки даної нерівності визначаються сніввід2л 2п . ■ л. ■■ ношенням — — < л: < — . З урахуванням періодичності функції З

COS X множину розв’язків нерівності можна записати так: 2я. „ 2ті „ „ h2пп < х < -----1-2пп, п eZ. З З Якби ми вибрали відрізок [О, 2к], то розв’язки даної нерівності на цьому відрізку не утворювали б суцільний проміжок, а склада An лись з двох інтервалів: 0; ;2тг . Усі розв’язки даної не

рівності складали б об’єднання двох сукупностей проміжків: 2пп; — + 2пп і І — + 2пп: 2п + 2лп , Аі є Z .. Як бачимо, вибір від З J U різка [-л; тс] привів до більш зручного запису розв’язку. 2п „ 2п В ідповідь. -І- 2пп: — + 2пп , nsZ. З З > - 1 .

□ Оскільки тангенс — періодична функ ція з періодами пп, n s Z , n ^ O , то досить знайти розв’язки нерівності на довільному проміжку завдовжки п, наприклад, на л _л ' 2 ’ 2, л_ л (рис. 362). На цьому проІЗ' = - 1 на '2’2 міжку рівняння tg X = -1 має один розв’язок X

. Для розв’язання нерівності потріб-

УІ

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 яі

21 1

4 1

У=-1\

/ У

/ - 1

іл :2 1 1 1 1

^ ^

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Рис. 362

4 но знайти всі ті значення х, для яких відповідні точки графіка у =t g X розташовані вище прямої у = - 1 або ж належать цій прямій. На проміжку

2’2

всі розв язки даної нерівності визнача

ються умовою: ~ ^ < х < ^ . Оскільки періодами тангенса є числа пп,

22*

Розділ 3. Тригонометричні Функцм

340

п&ї,пфО,'то множину розв’язків даної нерівності можна записа ти так: - —+ п п < х < —+ пп, neZ. 4 2 п п В ідповідь. 1-пп\ —+ пп , neZ. 4 2 g Найпростіші тригонометричні нерівності, пов’язані fKS ^ з тангенсом і котангенсом, можна також розв’язувати ІяШ за допомогою ліній тангенсів і котангенсів на три----------------- гонометричному колі. Покажемо їхнє застосування до нерівності, розглянутої у прикладі 18. □ Відмітимо на лінії тангенсів точку В(1; -1 ) (рис. 363). Зверніть увагу на те, що абсцисою точки В є абсциса точки (усі точки на лінії тангенсів мають ту саму абсцису, що дорівнює 1), через яку проходить лінія тангенсів, а ордина тою — число, яке стоїть у правій частині нерівності. Сполучимо точку в відрізком Ж 1;-1) прямої з центром кола. Цей відрізок пе ретинає коло у точці Р ^, що відповідає Рис. 363 числу — , тангенс якого дорівнює -1 . Для розв’язання нерівності 4 потрібно знайти всі ті значення х, для яких відповідні точки лінії к л' всі тангенса розташовані не нижче точки В. На проміжку 2 2 розв’язки даної нерівності визначаються умовою: - —< х < —. З 4 2 урахуванням періодичності функції y = i g x одержали ту саму від повідь, що і раніше. И Приклад

19.

Розв’язати нерівність: ctg х < л/з .

□ Відмітимо на лінії котангенсів точку B ^V 3;lj (рис. 364). Знову звертаємо вашу увагу на те, що ординатою точки є чис ло 1 — ордината точки Р^, через яку проходить лінія котангенсів. а абсцисою — число, що стоїть у правій частині розв’язуваної не-

341

Н айпростіш і тр и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н ер ів н ості

рівності. С п О Л 5 ^ Ч И М О точку в В І ц р І З К О М прямої з центром кола. Цей відрізок перетинає коло у точці , відповідній 6 числу —, котангенс якого дорівнює 7 з . 6 Для розв’язання нерівності потрібно знайти всі ті значення х, для яких від повідні точки лінії котангенсів розта шовані лівіше від точки А. На проміж ку (0; л) всі розв’язки даної нерівності

B i S -л)

(

^ V

'х

- У Рис. 364

визначаються умовою: —< х < л. Отже, з урахуванням періодич6 пості функції у = ctg В ідповідь.

маємо: —+ п 6

п < х < т і

+ пп, д є Z. И

—+ пп-, п + пп , neZ. 6

Контрольні запитання 1°. Чи можна розв’язки нерівності sinx > — 2

записати у вигляді

- — + 2 пп< х < —+ 2пп, n e Z ? 4 4 2°. Чи можна розв’язки нерівності cos х > - — записати у вигляді 2 — + 2 л п < х < — + 2тт, n e Z ? З

3°. Чи має розв’язок нерівність: а) s i n x < - l ; б) c o s x > l ; в) c o s x > l ? 4, Чи збігаються множини розв’язків нерівностей tg х > -1 і ctg X < -1 ? 5*. При яких значеннях а всі дійсні числа задовольняють нерів ність: a)sinx>a; 6)sinx>a; в)зіпх<а; r)sinx<a? 6*. При яких значеннях а не має розв’язків нерівність: a)cosx>a; б) cosx > о ; в)со8Х<а; r)cosx<a? 7*. Чи існує значення а, при якому всі дійсні числа задовольня ють нерівність: а) tg X > а; б) tg х > а ; в) tg х < а?

Розділ 3. Тригонометричні функції

342

8*. Чи може не мати розв’язків нерівність: а) tg X < а; б) cosx > а ;

в) ctg х > а?

ЕЯЗадачі 353°. У якій чверті тригонометричного кола лежить точка Р^, якщо: 2) t = arcsin (-0,8); 1) t = arcsin 0,6; 4) t = arccos (-0,6)? 3) t = arccos 0,8; 354. Обчисліть: N f 2°) sin arcsin 1°) sin arccos- ; 2 . 2, J \ 3°) cos arcsin

4°) cos arccos

5) sin (arccos 0,6);

6) cos (arcsin (-0 ,8 )).

355°. Розв’яжіть рівняння: 2) sin 3x + 4 Ґ 71 S 4) cos X — 4, ■ 2 ’ Ґ 6) cos 2 x - ^ ' = 4 - 7 ? ; 3

1) sin2x = — ; 3) cos— = 2 .X

;

1 + %/з

8) 4sin^ X = 3 ;

7) >/2 sin— = - 1 ; 3 9) 9sin^x = -1 ;

10) (2 sin

+ 1) (1 + cos x) = 0;

11) ( I - V 2 cos x)(3 - 2sinx) = 0; 12) cos 2x = -0,6; 13) sin - = 0,2; 3 356. Знайдіть нулі функції: 1) v = 2sinx + l;

14) cos (x + 0,5) = 0,9.

2 )j =isinx-— ; 2 4

3) j = 2cosx + л/2.

357. Розв’яжіть рівняння: 1 + cosx

) ^ = 0; sin3x

3 ) l± i2 ^ ,o . 1 -s in x

343

Н айпростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н е р ів н о сті

358. Укажіть всі нулі функції: 1) J = sinxVcosx ; 1 3) 3' = s i n - ;

2) y=c o s x - t g x + l ; А) у = cosxVsinx .

359*. Знайдіть розв’язки рівняння, які належать указаному про міжку: 1

;

2 ’

2) c o s2x = — , хє[0;6л:]; 2

3) sin

2 '" 4

, X

[-7 г ; З я ] .

, 360. Знайдіть розв’язки рівняння, які задовольняють наведену умову: 1) cos2x = О, C O S X < О ;

7з

COSX = ----- , sin2x < О. 2

361. Знайдіть: 1) величину кутів ромба, якщо відношення його периметра до однієї з діагоналей дорівнює 3; 2) величину гострих кутів прямокутного трикутника, якщо його висота поділяє гіпотенузу у відношенні 1:3. 362. Виразіть: 1) гострі кути прямокутного трикутника через його гіпотену зу с і площу S; 2) периметр сектора через його радіус R і радіус г кола, впи саного в нього. 363°. У якій чверті тригонометричного кола лежить точка Р^, якщо: 2) t - arctg (-0,4); 1) t = arctg 0,4; 3) t = arcctg 1,8; 4) t = arcctg (-1,6)? 364°. Обчисліть: \ f f 1 ^ ( arcc tg-;= 1 ^; arctg 2) tg 1) tg I V3y I S j / V 3) ctg(arctg(-V 3)j;

4) ctg(arcctg(-l)).

Розділ 3. Тригонометричні функції

344

365°. Розв’яжіть рівняння: 1) 4)

ctgx = З - УІ2;

2) ctg^ = - l ; z

3) tg2x = 3;

5) tg^ ^ = 1; Zi

6) ctg^x = 3;

K 8) л/З- t g x + — = 0; 5

7) ctg3x = -0,3; 9) (ctg X + 3) (tg^x +1) = 0;

n 2 sin x + — - 1 (2ctgx + 1) = 0. 6 366°. Знайдіть нулі функції: 10)

l ) j ' = tgx + l; 367.

/з

2 ) j = -tg x - — ; Z D Розв’яжіть рівняння:

3) 3' = 2ctgx +

1) tgTO = л/з ;

3) tg x = 1.

2) V x -lc tg x = 0;

368. Знайдіть розв’язки рівняння, які задовольняють наведену умову: 1) ctgx = - ^ , t g ^ < 0 ; О Z

2) tg2x = 0, cosx < 0;

3) t g— = 7з, sin— > о . 2 з 369. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння: 1) tg(3x + 75°) = 1; 3) tg(5x + 2) = 0.

1) t g x = S , х є / 3) tg

2^6,

2) (ctgx + 1)(7з + tgx) = 0

Зл 5n . 2 2 , X

3) ctg^

2 “ 8j

+ 3ctg

2) ctg2x =1, X є

Злі 2

Ґ є [0; 6я]; 4) ctg 3 x - ~ = -1, ХЄ 4

371. Розв’яжіть рівняння: 1) 2 s in ^ x -3 sin x + l = 0; X

;

2) 4cos^ X + sinx = 1; Л

[2~8

- 4 = 0;

Злп " Y ’3

Н айпростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівняння і н е р ів н о сті

4) tgx + 5ctgx = 6;

345

— = 1. 7CO SX -3

372. Розв’яжіть рівняння: 1) л/2 sin® X - sin^ X = 0; 2) cos 5х(1 + cos х) = 0; 3) c t g x -c o s x = l - s i n x ; 4) sin 2 x-tgx = 0. 373. Розв’яжіть рівняння: 1) sinBx = cos3x; 2) sin^ 3x = 3cos^ 3x; 3) sin^X + 5sin xcosx + 4cos^x = 0 ; 4) 3 s in ^ x -7 sin x co sx + 6cos^x = 1 ; 5) -4sin^xcos^x-geos'* X = 0 ; 6) l-3 c o s ^ x = sin2x ; 7) cos2x + c o s ^ x -is in 2 x = 0. 2 374. Розв’яжіть рівняння; 1) sin2x + sinx =0; 2) sin3x = sin2x + sinx; 3) si nx+ sin3x+ cosx + cos3x = 0; 4) c o s x -c o s 2 x = sin3x; 5 ) sin^ x + sin^ 2x = 1; 6) c o s x -s in x = 1; 7) l - c o s 2 x = 4sinx; 3 8) sin^x + sin^2x + sin^3x = - . 2 375. 376*.

377*.

378. 379.

Знайдіть величину кутів ромба, якщо відношення довжин його діагоналей дорівнює 2. Виразіть: 1) кути рівнобедреного трикутника через його основу с і пло щу S; 2) кути рівнобічної трапеції через їі основи аі Ь (а> Ь)і пло щу S. 1) Висота рівнобедреного трикутника поділяється висотою, проведеною до бічної сторони, у відношенні 1:3, рахуючи від основи. Знайдіть kjth трикутника. 2) Коло, вписане у рівнобедрений трикутник, проходить че рез точку перетину його висот (ортоцентр трикутника). Зна йдіть кути трикутника. Сума двох рівних висот рівнобедреного трикутника дорів нює третій висоті. Знайдіть кути трикутника. У прямокутному трикутнику проекція одного з катетів на гіпотенузу вдвічі більша від другого катета. Знайдіть Kjnrn трикутника.

Розділ 3. Тригонометричні функції

346

380°. Запишіть за допомогою нерівності мно жину всіх чисел X (рис. 365), яким відповідають точки дуги: 1) ВтА^-, 4 2) А^пВ^; 3) 4 )А Д А . 381°. Розв’яжіть нерівність: 1) sinx >

1 2’

2) sinx >

; 3) sinx < — ; 2

Рис. 365 4)

sinx<— ; 2 c o s x < - —; 2

5) cosx >

6 ) c o s x > - — ; 7) c o s x < - ; 2 2

9)tgx>-^/3;

10)tgx>^; V3

12) tgx < - ' S ’

ll)tgx<l;

I 3 ) c t g x > - 1 ; 14) ctgx < 73; 15) sinx < 0. 382. Розв’яжіть нерівність: 1) sin2x > 3) tg

2) V2sin

X —

>1;

< -1 ;

здій сню є

2) y = V l-V 2 c o s x ; 3) у =

— — . Vl + tgx гарм он ічн і коливанн я за законом

у = 6sin - t - - . В які проміжки часу вона буде віддалена 3 6 від точки рівноваги на відстань, що не перевищує З? 386*. 1) У круговий сектор вписано коло. Яким має бути централь ний кут сектора а, щоб радіус вписаного кола не перевищу вав третини радіуса сектора? 2) Яким має бути більший гострий кут а прямокутного три кутника, щоб довжина гіпотенузи більше ніж удвічі переви щувала довжину меншого з катетів?

3 47

Н айп ростіш і т р и го н о м е т р и ч н і рівн янн я і н ер ів н ості

П ід с у м о к О сновні поняття

Означення Арксинус числа а є [-1; 1] — таке чис ло а, що: sin а = а;

Геометрична ілюстрація

Застосування sin л: = а, -1 < а < 1. = (-l)''arcsin а + к к , Ub Z .

— <а <- . 2

Арккосинус числа а є [-1; 1] — таке число а з відрізка [0; л], що cos а = а.

Арктангенс числа а — таке число а, що: tg a = а ; я тс — < а < —. 2

cos д: = а, -1 < а < 1. X = iarccos а + 2nk, k є Z.

tgx = а. = arctg а + /е є Z.

nk,

Арккотангенс числа а — таке число а, що: ctg а = а; О < а < л .

ctg X - а. = arcctg а + keZ.

nk,

Готуємось до тематичного оцінювання з темн «Тригонометричні функції»

а 1.

Завдання для самоконтролю У якій чверті міститься точка Р , якщо t дорівнює: 2я 8л: 17л в) 4; ґ) 5,7 71? а) б) г) 9 9 ' ' 9 Яким числам з проміжку (0; Зті) на тригонометричному колі відповідає точка з: а) ординатою 0; 1; -1 ; б) абсцисою 0; 1; -1 ? Чому дорівнюють координати точки на тригонометричному колі, якщо t дорівнює: а) 0;

4. 5.

б)

в)

г) п; ґ) 2 2 На який кут повернеться за 5 с точка на околі колеса мапшни при рівномірному русі, якщо за 2 с колесо робить 6 обертів? Скільки існує точок Pj на тригонометричному колі, якщо для відповідних значень t: а) cos t = 1; б) sin і = 0,7; в) sin і = -1 ; г) cos і = -0,6? На який кут слід повернути хвилинну стрілку годинника, щоб перевести годинник вперед; а) на 10 хв; б) на 20 хв; в) на 1 год; г) на 2 год 40 хв? Які знаки мають синус, косинус, тангенс числа t, якщо і-дорівнює: а)3;

б )1 | ї; в) 7? і/ Які з наведених далі точок належать тригонометричному колу: 'і 2 ' а) А(0,3; 0,7); б) Б(-0,8; -0,6); в) С Г) Е(0; 0)?

[S’ S

Г оту єм ось д о т е м а т и ч н о г о о ц ін ю ва н н я з те м и «Т р и г о н о м е т р и ч н і ф ун кції»

Чи можуть синус і косинус того самого аргументу одночасно дорівнювати: , 3 . 4

V.'

І І

S ^ І

349

6) 1 і 0;

в) 0,9 і 0,1;

г) -

^ "ІЗ 10. Чи можуть тангенс і котангенс того самого аргументу дорів нювати: в) ч/2+ l і л /2 -1 ; г ) 6 і - і ? 5 11. Які з наведених функцій е парними; непарними; ні парними, ні непарними: ' а) з' = со8х; б ) у = л: + С 0 8 х ; b) j = x ^ c o s x ; г) j = sin^x; ґ) з '-s in x c o s x ; д) j = sinx + cosx? 12. Зростаючою чи спадною є функція j = sinx на проміжку: 71_ ЗТГ а) в) ; б) 2; 3 ; _2’ Т . U ’ J а)-і2;

6 )0 ,6 І0 ,8 ;

ґ) [0; 1]; д) п; 27і]? г) 0; л]; 13. Що більше: . . 71 . 4п б) cos— чи C O S — ; а) sin— чи sin— ; ^ 9 З 9 9 г) COS2 чи COSЗ? в) sinl чи sin 2; 14. Які з поданих чисел є періодами функції у = cosx : а) п;

б) 27с;

в) Зл;

є, бтс? я_ п найбільше значення 15. Чому дорівнює на проміжку 4’ з функції: б) у = ctgx ? а) у = tgx ; 16. Яке з чисел більше: , 371 Зті /-\ ^ ^о б) ctg— чи ctg— ґ а) tg— чи tg — ; 4 5 17. Який найменший додатний період має функція: ґ) 4л;

д) 5п;

a ) y = sin3x;

6 ) j = co s -; B )3/ = t g - ; Z U 18. Знайдіть множину значень функції: а) у = —cos2x ; 2

б) у = COSX -2 ;

г)

= ctg2x ?

в) >’ = c o s ( l - x ) .

Розділ 3. Тригонометричні функції

350

19. Якого найбільшого і якого найменшого значень набуває функ ція: п а) у = 2cos - - З х 6) у = 3sin х + 4 3 20. Відомо, ш;о sin25° = a. Чому дорівнює sin50°? 21. Чи може не мати розв’язків рівняння: а) sin х = а; б) cos х = а? 22. Скільки розв’язків на проміжку [0; 7ті] має рівняння: ч • 1 ■ ^2 , ^^2 а) sinx = —; о) sinx = -------; в) cosx = — ; Г ) C O S X = ------------ ' 2 2 2 „ • 2л л я . - _ 2л Зтг 5тс Іо. Яких 13 наступних зн а ч е н ь :----- ; — ; — ; - 1 ; 0 ; 5 ; — ; — ; — ; 3 2 3 3 4 6 Тп ; 4 не може набувати arccosa ? 6 24.

Яких із наступних значень:

0; —; — ; — ; — ; 3,2; 6 4 3 9 3 4

5л 3,5; — ; л не може набувати arcctga? 6 25. Чому дорівнює: лл . S а) COS arccos б) sin arcsm — + arccos 26. Які з наведених нижче рівнянь є однорідними відносно sin х і cos х: а) sinx + 3C0SX = 0; б) sinx + cosx = 1; в) sin^ X + 2cosx - 3cos^ x = 0;

27. 28. 29. 30.

r) 2sin^x + 3 s in x co sx -5 co s^ x = 0; ґ) sin^X + cos^2x = 0; д) 2 si n^x- 3 s i nx c os x = 0? Чи має розв’язки нерівність: а) cos X < 1; б) sin х > 1; в) sin х > 1? Знайдіть усі розв’язки нерівності: a)cosx<-l; 6)cosx>l; в)віпх<-1; r)sinx>l. Знайдіть усі розв’язки нерівності: а) - l < s i n x < l ; б) - l < c o s x < l . При яких значеннях х виконується рівність: а) |cosx| = COSX ; б) sinx + 1 = - s i n x - l ; в)

31.

C 0SX -1

=cosx-l;

При яких значеннях

sinx = - s i n x : X

має зміст вираз Vsin2x

-1 ?

Hп вту єм ось д о т е м а т и ч н о г о о ц ін ю ва н н я з те м и «Т р и г о н о м е т р и ч н і ф ун кції»

351

Відповіді д о завдань для самоконтролю 1. а) У першій; б) у другій; в) у третій; г) у першій; ґ) у четвертій. 2. а) л, 2п,

2 2 ^

б)

^ ^

2я, Л. 3. а) (1; 0); б) (0; 1); в) (0; - 1); г) (-1; 0); ґ) (0; - 1).

4. 5400°. 5. а) 1; б) 2; в) 1; г) 2. 6. а) 60°; б) 120°; в) 360°; г) 960°. 7. а) +, - - ; б) +, - ; в) +, +, +. 8. В, С, D. 9. а) Так; б) так; в) ні; г) так. 10. а) Так; б) ні; в) так; г) ні. 11. Парні; а), в) г); непарна: ґ); ані парні, ані непарні: б), д). 12. а) Зрос таюча; б) спадна; в) спадна; г) не є монотонною; ґ) зростаюча; д) не е монотон ною. 13. а) sin — ; б) cos — ; в) sin 2; г) cos 2 .1 4 . б), д), е). 15. а) Не існує; б) 1. У

16.

а) t g ^ ; б) Ctg-^. 17. а) О 5 О

б) 4л; в) Зп; г) - . 18. а) 2

1. 1 '

2 ’2

; б) [-3; -1 ];

в)

[-1; 1]. 19- а) 2 і - 2 ; б) З і - 3 . 20. 2 o V l - a " . 21. а) Так; б) так. 22. а) 8; б) 6;

в)

7; г) 7. 23.

- ^ ; - 1 ; ^ , 4 . 24. 6

26. в)

; 3,2; 3,5; л. 25. а) о

а), г), д). 27. а) Так; б) так; в) ні. 28. а) п + 2 к п , п є 2 ; — + 2nn,neZ;

г) — + 2 n n , n e Z . 2

29. а) х

6 )0 . 2

6) 2лп, reeZ;

R; б) X є (2лп; л + 2лм) и

{^к+ 2іт;2п + 2пп),п є Z. ЗО. а) же - —+ 2пп\ —+ 2кп , п є Z ;б) ж = — + 2тт, n e Z 2 2 2 в ) х = 2 i i n , n e Z ; r ) x e [ n + 2Kn;2n + 2 n r i ] , n e Z . S l . ^ + n n , n e Z .

Зразок контрольної роботи №3

1. Дано функцію у = fix), де f{x) = 2cos(2n-х ) . 1°) З’ясуйте, чи е функщя у = fix) парною або непарною. 2°) Чи є функція у = fix) періодичною? Якщо так, то знайдіть їі основний період. 3°) Побудуйте її графік на проміжку [—тг; л]. 4) Знайдіть множину значень функції у = fix ). 5) Знайдіть коордішати точок перетину графіка функції у = fix): 2я а°) з прямою X = — ; б) з прямою у = -1 . 2.

Дано рівняння: sin 2х = а°) Розв’яжіть його. 6°) Знайдіть його найменший додатний корінь. в) Знайдіть ті його розв’язки, які належать проміжку [2л; Зл]. г) Знайдіть ті його розв’язки, які задовольняють умову: tgx < 0. ґ) При яких значеннях х функція у = sin 2х набуває значень, менших ВІД — :

Розділ 3. Тригонометричні функції

352

Графіки тригонометричних функцій

Т аблиця 32 y= s\ n x

- 2

- T

t '

-1

Г оту єм ось д о те м а т и ч н о г о о ц ін ю ва н н я з т е м и «Т р и г о н о м е т р и ч н і ф ун кції»

353

Властивості тригонометричних функцій

Таблиця 33 J = sin X

у - COSX

Область визначення

Нулі

пп, п е Z

—+ пп, тг є Z 2

' Основний період

2п

Парність і непарність

Непарна

Парна

^Множина значень

[-1; 1]

З'найб = 1 при

З'найб = 1 при X = 2пк

Найбільше і най. менше значення

X = —+ 2кк 2 З'найм = -1 при х = ~ —+ 2nk,

З'найм = -1 при X = л(2к + 1), ksZ

кв Z Неперервність

Неперервна

3' = tg x

J = ctgx

Область визначення

X Ф—+ пк, к є Z 2

X Фпк, к Е Z

Нулі

%п, п є Z

Основний період

—+ пп, п є Z 2 гс

Парність і непарність

Непарна

Множина значень

Найбільше і най менше значення

Найбільше і най менше значення не існують

Неперервність

X = —+ пк ,к є Z — 2 точки розриву

2 3

Математика, 10 кл.

X = пк , к є Z — точ ки розриву

Розділ 3. Тригонометричні функції

354

Деякі тригонометричні формули

Таблиця 34

№ п/п

Множина зна чень аргументів, за яких має зміст ліва час тина

Формула

tga =

я а ^ —+ kn, k eZ

ctgg

1-tgatgP

a + ^ * —+ kn,k sZ 2

Множина зна чень аргументів, за яких має зміст права частина а

я. —k, k s Z 2

—+ kn, k eZ 2t

—+ kn, k e Z 2

a + ^ * —+ kn,k e Z 2

a Ф—+ кк, k e Z 2 l + t eot gp

a-p

—+ kn,k e Z 2

P 5* —+ kn, k e Z a- P ^

tg2a =

2tgg 1- t g ^a

—+ —k, k eZ 4 2

—+ kn, k eZ 2

a # —+ kn, k e Z 2 a ^ ± —+ kn,k e Z 4

2 tg | sin a =

ae R

cos a =

a є i?

n + 2kn, k &Z

71+ 2kn, fe є Z

Г оту єм ось д о т е м а т и ч н о г о о ц ін ю ва н н я з те м и «Т р и г о н о м е т р и ч н і ф ун кції»

355

Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь

Т аблиця 35 Т ип рівняння sin х = а

Р озв’я зок Якщо а| > 1, то рівняння не має розв’язків. Якщо |а| < 1, то X = (-1)'“ arcsina + k &Z. Окремі випадки

sin л: = 0

X = пп, n&Z

sinx = 1

sinx=-l cos х = а

= —+ 2пп, п є Z 2

X = - —+ 2пп, п є Е 2 Якщо а| > 1, то рівняння не має розв’язків. Якщо а| < 1, то X = ± arccos а + 2пп, п є Z. Окремі випадки

cosx = 0

X =

—+ пп, п є Z 2

cos X = 1

X =

cos л: = -1

tgx

ctg X = о

2лп, n&Z к + 2пп, п є Z

X =

arctg а + пп, п e Z

X =

arcctg

а +

пп, п &Z

Pl Розділ 3. Тригонометричні функції

356

Зм іст чисел arcsin а, arccos а, arctg а, arcctg а

Т абли ця 36 Ч и сл о

З м іст

X = arcsin

= arccos

= arctg - arcctg

1) - — < X < - ; 2) sin х = 2 2 1) 0 < X < тг; 2) cos х = а. -ч 1)

а.

тс — ч 2 ) t g x = a.

1) 0 < X < 7t; 2) ctg х=

а.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН

-ж

у розділі «Паралельність прямих і площин» розглянуто різні випадки взаємного розміщ ення прямих і площин у просторі. Зо крем а, грунтовно вивчалось відношення паралельності. О днак численні застосування гео метрії пов’язані, насамперед, з вимірю ванням геометричних величин (від станей, кутів тощо). П редметом багатьох вимірювань є прямі та площини, які перетинаються. Том у необхідно більш детально дослідити взаємне розміщ ення прямих і площин, виявити величини, які характеризую ть це розміщ ення. О кремим випадком розміщ ення прямої і площини, що мають одну спільну точку, є перпендикулярність, яка моделю є відношення вертикаль ності між ф ізичними тілами та інші подібні відношення (наприклад, цвях, забитий у стіну). Скориставш ись поняттям перпендикулярності, ми зм о ж е мо вимірювати відстань від точки д о площини, від прям ої д о паралельної їй площини, відстань між паралельними площинами. На цих вимірюваннях ґрунтується вимірювання відстані м іж довільними реальними о б ’єктами. Не менш важливим є введення кількісних характеристик взаємного розміщ ення прямих і площин, що перетинаються, — кута між прямою і площиною, кута м іж площинами. Ці поняття споріднені з планіметричним поняттям кута між прямими (та й визначаються за його допомогою ).

Готуєм ось до вивчення теми «Перпендикулярність прямих і площин» Таблиця 37 Прямокутний трикутник Т еорем а П іф агора і співвіднош ення мі>> ст оронам и і кутами прям окут н ого трикутника

=а^ +Ь^, sin А = — = cosB , с ■

г>

СІ

г,

siniJ = - = cosA , t g A = — , tg B = — . c b a М ет ричні співвіднош ення у прям окут ном у т рикут нику

Висота, опущена на гіпотенузу пря- А мокутного трикутника, поділяє цей трикутник на два подібних даному і подібних між собою трикутники.

Таблиця 38 Вписане та описане коло

Навколо будь-якого трикутника мож на описати коло і при цьому лише одне. Центр описаного кола збіга ється з точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін трикут ника. у будь-який трикутник можна впи сати коло і при цьому лише одне. Центр вписаного кола лежить на пе ретині бісектрис кутів трикутника.

г Г о т у є м о с ь д о в и в ч е н н я т е м и « П е р п е н д и к у л я р н іс т ь п р я м и х і п л о щ и н »

359 Таблиця 39

Паралельність прямих і площин

Для встановлення паралельності двох прямих у про сторі достатньо перевірити: чи знайдеться пряма, паралельна кож ній із даних прямих; чи будуть дані прямі лініями перетину двох паралельних площин третьою. Для встановлення мимобіжності двох прямих у про сторі достатньо перевірити: чи знайдеться площина, в якій лежить одна з даних прямих і яку перетинає друга пряма у точці, що не належить першій прямій. Для встановлення паралельності прямої, що не лежить у даній плопдші, і цієї площини достатньо перевірити:

чи знайдеться в площині пряма, па ралельна даній прямій. Для встановлення паралельності двох площин до статньо перевірити: чи знайдуться в одній із плопщн дві пря мі, що перетинаються і відповідно пара лельні двом прямим дрзггої плопщни;

чи знайдеться площина, паралельна кож ній із даних площин.

Тест для діагн ости ки готовності до вивчення т ем и «Перпендикуляр ність пр я м и х і площин»

Пряма АВ не належить площині COD. Скільки спільних точок мають площини АОВ і COD, зображені на рисунку? А. Одну. Б. Дві. В. Безліч. Г. Відповідь відрізняється від наведених. Перетином площин AED і AFB, зображе них на рисунку, е ... A. точка А; Б. відрізок АС; B. сукупність двох точок {А; Q ; Г. пряма АС.

-V

На зображенні тетраедра в одній грані не ле жать точки ... A.ХІУ; B .X i Z ; B .Y i T ; T .Z iT .

Два прямокутники ABCD і AEFD лежать у різних площинах. Прямі ВС і EF ... A. перетинаються; Б. паралельні; D B. мимобіжні; Г. можуть бути розміщені по-різному в за В А лежності від розміщення плошдн. Проекцією двох паралельних прямих не може бути ... А. одна пряма; Б. одна точка; В. дві прямі; Г. дві точки. Проекцією квадрата не може бути ... A. відрізок; Б. ромб; B. прямокутник; Г. трапеція. Якщо d — довжина відрізка, — довжина його паралельної проекції на площину, то ... А. d > d^; Б. с? < d^; В. d = d^; Г. жодне з наведених співвідношень не є правильним.

5. 6.

Т ест для д іа гн о сти к и г о т о в н о с т і д о в и вч ен н я те м и

10.

11.

12.

13.

14.

в,. Скільки існує площин, паралельних ребру с, BBj куба ABCDAfi^CJ)^ і таких, що прохо дять через верш ину D? с A. Жодної. Б. Одна. B. Дві. Г. Безліч. Скільки площин можна провести через вершину трикутника, паралельних його стороні, що не містить цю вершину? A. Жодної. Б. Одну. B. Безліч. Г. Не більш однієї. На рисунку точки D, Е, F, G — середини ребер AS, SC, ВС, АВ. Знайдіть периметр чотирикутника DEFG, якщо DG = 4 см, АС = 16 см. — A. 24 см. Б. 16 см. B. 32 см. Г. 40 см. Відомо, що прямі а і Ь паралельні плопщні а. Як розміщені прямі а і Ь? A. Паралельні. Б. Перетинаються. B. Збігаються. Г.Можуть бути розміщені по-різному. Якщо діагоналі трапеції паралельні плопщні а, то основи тр ап ец ії... A. лежать у плошдні а; Б. паралельні а; B. перетинають а; Г. можуть перетинати а, а можуть і бути їй паралельними. Якщо лінії перетину плош;ин а і р плош;иною у паралельні, то плопщни а і Р ... A. паралельні; Б. перетинаються; B. паралельні чи збігаються; Г. можуть бути паралельними або перетинатися. Периметр многокутника, отриманого в перерізі куба ABCZMjBjCjDj з ребром а плопщною, що про ходить через середини ребер АВ і ВС паралельно ребру DD^, дорівнює ...

A. 2а; Б. 2V2a; B. 2(а -нуІ2а); Т. 2а + 42а . 15. Перерізом правильного тетраедра площиною не може бути ... A. трапеція; Б. рівносторонній трикутник; B. ромб; Г. правильний шестикутник.

Перпендикулярність п р я м о ї і площини

Розглядається взаємне розміщення прямої і площи ни, яке моделює, зокрема, відношення вертикальності.

Можна навести багато прикладів взаємного розмі щення фізичних об’єктів, які характеризуються ма тематичним поняттям перпендикулярності прямої і площини; вертикальна колона перпендикулярна до поверхні зем лі (рис. 366), ніжки стола перпендикулярні до підлоги (рис. 367), шнур, на якому висить лампа, — до стелі (рис. 368), траєкторія тіла, що вільно падає, — до поверхні Землі тощо. У наведених прикладах розміщення тіл моделюється таким взаємним розміщенням прямої і плопщни, при якому пряма, що перетинає плопщну, не має нахилу в жодному напрямі на плопщні. У зв’язку з цим необхідно узагальнити поняття перпендику лярності прямих на випадок простору, оскільки перпендикуляр ність прямих якраз і характеризує відсутність нахилу. Дві прямі простору називаються перпендикулярни ми, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Рис. 366

Рис. 367

Рис. 368

H r "

П ер п ен д и к ул я р н ість Hfl

п р я м ої і площ и ни

363

П ”Я к Т бГпланіметрії, перпендикулярність прямих позна И чається знаком 1 (наприклад, а L Ь), перпендикуляр ність відрізків означає перпендикулярність прямих, які їх містять. Поняття перпендикулярності прямих у просторі врешті зводиться до перпендику лярності прямих на площині. Дві прямі, що перетинаються, визначають площину, і поняття кута між такими прямими береть ся із планіметрії. Тому, звичайно, nijTcaroчи приклади перпендикулярності прямих, звертаються до певних площин. Напри клад, в кубі ABCDAfi^CJ}^ (рис. 369) кожна грань — квадрат — визначає площину і в ній перпендикулярними є прямі, що проходять через суміжні ребра {АА^ і АВ, СС^ і тощо), діагоналі (ВС^ і CBj та ін.). Цікаво, що АА^ 1 АВ і АА^^ 1 AD, тобто у просторі через точку А прямої AAj^ проходить не одна пряма, перпендикулярна до прямої ААу Такого на площині не буває. Більше того, є впев неність, що пряма AAj перпендикулярна до прямої АС і, взагалі, до довільної прямої грані ABCD, що проходить через точку А, адже вона однаково нахилена до всіх цих прямих. Якщо мати на увазі, що плопщна ABCD складається зі всіх прямих плопщни, що проходять через точку А, то відсутність нахилу прямої до жодного напряму на Рис. 370 площині (рис. 370) можна сформулювати у вигляді наступного означення. Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до кожної прямої площини, що проходить через точ ку перетину даної прямої і площини. Для позначення перпендикулярності прямої І та плопщни а також використовують знак і.: І J_a. Звичайно, користуючись тільки означенням, виявити перпен дикулярність прямої до плопщни неможливо, адже це зводилось би до проведення безлічі перевірок. Але приклад з кубом пока зує, що перпендикулярність ребра АА^ до грані ABCD є наслідком перпендикулярності його до двох суміжних ребер цієї грані.

36 4

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

у практичній діяльності вертикальність веж, опор, стовпів та інших конструкцій теж звіряють по їхній вертикальності двом напрямам. Вертикальність корінця напіврозкритої книги, що стоїть на столі, забезпечує його перпендикулярність до двох країв обкладинки, на які спирається книга і які лежать у площині стола. Іншими словами, для встановлення перпендикулярності прямої а до плопщни а досить перевірити перпендикулярність цієї прямої до двох перетинних прямих Ь і с площини а (рис. 371). Маємо просту і зручну ознаку перпендикулярності прямої Рис. 371 та плопщни. Т е о р е м а 1 (ознака перпендикулярності прямої і площини). Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що пере тинаються і належать даній площині, то вона перпенди кулярна до цієї площини. У тому, що перпендикулярності даної прямої до однієї прямої плоїцини не вистачає для її перпендикулярності до плопщни, можна переконатися за допомогою наступного прикладу. Ручка швабри перпендикулярна до перекладини, яка лежить на підло зі (рис. 372, а), але цього недостатньо, щоб ручка була розміще на вертикально. Але якщо ручку обертати навколо перекладини (рис. 372, б, в), то можна знайти положення, коли вона буде верти кальною. Це якраз буде тоді, коли вона буде перпендикулярною ще до одного напряму на підлозі.

Теорему 1 можна використати для побудови вертикальних конструкцій.

Задача

1. Встановити щоглу вертикально за допомогою роз тяжок, закріплених на щоглі на певному рівні. □ Зазвичай для встановлення щогли досить мати чотири роз тяжки однакової довжини. Зрозуміло, що довжина розтяжок по

Перпендикулярність прямої і площини

365

винна бути більшою, ніж віддаль від землі до місця їхнього за кріплення на щоглі. Розмістимо основу щогли у даній точці О на поверхні землі, закріпимо вільні кінці двох розтяжок у точках В і В^, які розмі щені на однаковій відстані від точки О і лежать на прямій, що проходить через точку О (рис. 373, а). Це забезпечує перпенди кулярність щогли до прямої ВВ^. За допомогою двох інших роз тяжок щоглу піднімають, обертаючи її навколо осі ВВ^. Потім фіксують те положення щогли, в якому вільні кінці розтяжок за кріплюються у точках С і Cj , центрально-симетричних відносно точки О (рис. 373, 6). Щогла стоїть вертикально, бо, за побудовою, А О 1 ВВ^ і АО ± CCj. ■

Рис. 373

Існують і інші способи встановлення щогли. Наприклад, можна зменшити кількість розтяжок, брати розтяжки різної довжини, за кріплювати їх на різних рівнях щогли. Але всі ці випадки вимага ють забезпечення стійкої вертикальності щогли у двох напрямах. Розв’язування завдання, сформульованого у задачі 1, звелося з позицій геометрії до побудови прямої, яка проходить через точку плошдни перпендикулярно до цієї плопщни. Саме у цьому поля гає наступна задача.

З а д а ч а 2. Через дану точку плопщни провести пряму, пер пендикулярну до цієї плопщни. □ Можливість побудови такої прямої фактично обґрунтовано у задачі 1. Залишилось лише перекласти це обгрунтування на ма тематичну мову.

366

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Нехай дано площину а і точку О на ній. Проведемо в площшгі а через точку О пряму І (рис. 374, а) і візьмемо деяку площину р, яка перетинає площину а по прямій І (як вибрати таку площину?). У цій площині побудуємо пряму АО, перпендикулярну до прямої І (рис. 374, б). У плопщні це завжди можна зробити однозначно. Залишилося тільки повернути пряму ОА навколо прямої І так, щоб вона стала перпендикулярною до плопщни а. Для цього в площині а через точку О проведемо пряму ОВ, перпендикулярну до прямої І. А потім через прямі ОА і ОВ проведемо плопщну у (рис. 374, в). Нарешті, проведемо у плопщні у пряму ОС перпен дикулярно до прямої ОВ. Вона і є шуканою. Справді, вона пер пендикулярна до двох прямих плопщни а — до прямої ОВ, за по будовою, і до прямої І, за означенням перпендикулярності прямої і плопщни. Справа в тім, що Л у, за ознакою перпендикулярності прямої і плопщни {11 ОА, І ± ОВ, ОА п ОВ = {О}). Таким чином двічі застосована ознака завершує доведення можливості прове дення прямої, яка проходить через дану точку плопщни перпен дикулярно до цієї плопщни. ■

Рис. 374

Побудова прямої, перпендикулярної до даної площини, яка проходить через дану точку, відноситься до осно вних побудов, у подальшому будемо замість опису по будови писати: «Проведемо пряму, перпендикулярну до площини».

Прикпа д 1. Дано куб ABCDA^B^C^D^ з ребром а; О — точка перетину діагоналей грані ABCD. 1) До яких ребер куба перпендикулярна пряма АС? 2) Визначити взаємне розміщення прямих D f i і АС. 3) Довести, що пряма А^С^ перпендикулярна до плопщни BB^D^. 4) Через точку М на ребрі АВ провести пряму, перпендикулярну до діагоналі АС.

П ер п ен д и к ул я р н ість п р я м ої 1 площ и ни

3 67

□ Зобразимо умову прикладу на рис. 375. 1) Пряма АС перпендикулярна до ребер АА^ і СС^. Це випливає з того, що вказані ребра перпендикулярні до плопщни грані, в якій лежить пряма АС, за ознакою перпендикулярності прямої і площини (теорема 1): АА^ 1 АВ, АА^ 1 AD; СС^ 1 СВ, СС^ J. CD. 2) Прямі DJD і АС — перпендикулярні. Розглянемо трикутник ADjC (рис. 376). Він рівнобедрений: AD^ = D^C, як діагоналі рівних квадратів. Відрізок D f i є медіаною цього трикутника, проведеною до основи. А тому він є і висотою. Таким чином, прямі D f i і АС перетинаються під прямим кз^гом. D, D,

9 ✓ СьНІ_ А

/в,

/ 1 ' / І\

'Г

ч\

Рис. 375

Рис. 376

3) Пряма AjCj перетинається з прямою під прямим кутом у центрі Oj квадрата A^B^C^D^ (рис. 377). Залишилося довести, що пряма AjCj перпендикулярна до прямої 0^0, яка лежить у площині BB^Dy Але це випливає з того, що чотирикутник АСС^А^ є прямокутником: АА^ Ц СС^ АА^ = СС^ за властивістю транзитивності віднощень паралельності і рівності, АА^ ± АС, CCj J. АС (див. розв’язання завдання 1)). За ознакою перпенди кулярності прямої і площини, пряма А^С^ перпендикулярна до площини BB^Dy бо вона перпендикулярна до прямих B fi^ і 0^0 цієї площини. 4) Пряма, що проходить через точку М пер пендикулярно до діагоналі АС, паралельна прямій BD, оскільки BD також перпендику лярна до АС і всі ці прямі лежать в одній плоЩИТТ1 (рис. 378). Побудова полягає у прове денні через точку М прямої MN, паралельної прямій BD. ■ _ М В Рис. 378

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

368

Розглянуті задачі 1 і 2 полегшують сприйняття до ведення ознаки перпендикулярності прямої і пло щини (теорема 1). Запишемо цю теорему у знакосимвольній формі і доведемо їі.

Т е о р е м а 1. Дано: а J. Ь, а J-с, 6 (Z а, с CZ а, 6 п с = {О}. Д ов е сти : а La. □ Відомо, ш;о пряма а перпендикулярна до двох прямих Ь і с, які належать плопщні а (рис. 379, а). Зрозуміло, пряма а проходить через точку перетину О прямих Ьі с (обґрунтуйте цей висновок). Візьмемо на прямій а довільну точку А і сполучимо їі з кінцями рівних відрізків ОВ, ОВ^, ОС, ОС^, відкладених від точки О на прямих Ь і с (рис. 379, б). Тоді прямокутні трикутники АОВ, ЛОВ^, ЛОС, АОС^ рівні, бо вони мають один спільний катет АО і рівні катети ОВ, ОВ^, ОС, ОСр а тому рівні і гіпотенузи АВ, АВ^, АС, АСу Покажемо, що пряма а перпендикулярна до довільної прямої т плопщни а, що проходить через точку О (рис. 379, в). Позна чимо через М і точки перетину прямої т зі сторонами чотири кутника ВСВ^Су Оскільки BCBfi^ — паралелограм (доведіть!), то точка О перетину його діагоналей є центром симетрії чотирикут ника. Точки М, — центрально-симетричні відносно точки О, тому ОМ = ОМ^ і АО — медіана трикутника АММ^

Рис. 379

Трикутники ABC і ABjCj рівні за трьома сторонами, тому ZABM = ZAB^My а оскільки ВМ = В^М^ (хоча б з міркувань центральної симетричності цих відрізків відносно точки О), то і трикутники АВМ та ABjMj рівні. Звідси A M = АМ^ трикутник МАМ^ — рівнобедрений з основою ММ^, його медіана АО є одно часно і висотою. Тобто а ±т.Ш Поняття перпендикулярності прямої та плопщни пов’язане з симетричністю розміщення перпендикулярної до плопщни пря-

П ер п ен д ик ул яр н ість п р я м ої і площ и ни

369

мої відносно самої цієї площини. Симетричність виявляється в тому, що при повороті на довільний кут навколо прямої перпен дикулярна до неї площина відобразиться сама на себе. Сказане вище вимагає уточнення. Нехай дано пряму І. Визна чимо перетворення повороту навколо цієї прямої на кут ф точок простору. Для цього візьмемо довільну точку М, яка не лежить на даній прямій, і проведемо через неї площину а, перпендикулярну до прямої І (рис. 380). Ця площина перетинає пряму І в деякій точці О. Повернемо точку М в плопщні а на кут ф навколо точки О до положення Му Кажуть, що точку дістали з точки М поворотом навколо осі І на кут ф. Точки пря Рис. 380 мої І при повороті навколо неї не змінюють свого положення. Із означення повороту навколо осі випливає, що точки площи ни, перпендикулярної до осі, переходять у точки цієї самої площи ни, причому дане перетворення площини є не що інше, як поворот навколо точки перетину осі з площиною на кут ф. Поворот навколо прямої на кут 180° є симетрією відносно цієї прямої. Це перетворення аналогічне симетрії відносно прямої на плопщні. Справді, при повороті навколо прямої І на 180° кож на точка А, яка не належить прямій І, переходить у таку точку що пряма І перпендикулярна до відрізка / АА^ і перетинає його посередині (рис. 381). 18 3 ° Таке перетворення називають осьовою симетрією. У кожній площині, що про ходить через пряму І, це перетвореїшя є осьовою симетрією в цій площині. Рис. 381 Усі попередні результати стосувалися перпендикулярності прямої до площини. Якщо пряма а перпен дикулярна до площини а, то кажуть також, що плопщна а пер пендикулярна до прямої а. Наступна задача пов’язана з побудо вою площини, перпендикулярної до даної прямої.

З а д а ч а 3. Через дану точку в просторі провести плошдну, перпендикулярну до даної прямої. □ Розв’язання задачі потребує розгляду двох випадків: 1) дана точка не належить даній прямій; 2) дана точка належить даній прямій. 24

М атематика, 10 кл.

370

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Нехай дана точка О не належить даній прямій а. Шукана пло щина може бути задана двома прямими, які перетинаються. Згід но з доведеною ознакою перпендикулярності прямої до площини, достатньо перпендикулярності цих прямих до прямої а. Отже, за дача зводиться до побудови двох прямих, що перетинаються, пер пендикулярних до прямої а, одна з яких проходить через точку О. Для цього через точку о і пряму а проведемо площину а і в ній побудуємо пряму т, що перпендикулярна до прямої а і проходить через точку о (рис. 382, а). Потім через пряму а проведемо площи ну (З, відмінну від а, і в цій площині через точку перетину прямих а і т проведемо перпендикулярну до а пряму п (рис. 382, б). Пря мі m та д визначають шукану площину у.

Рис. 382

Випадок, коли дана точка лежить на даній прямій, розгля дають аналогічно. Для цього через пряму а проводять довільну площину, а в ній — пряму т, яка перпендикулярна до прямої о і проходить через точку О. А далі все будується так само, як і в першому випадку. ■ Побудована в задачі З плопщна складається з прямих, які прохо дять через точку даної прямої і перпендикулярні до цієї прямої.

П р и к л а д 2. Дано правильну чотирикутну піраміду SABCD, точка О є центром основи ABCD. 1) Довести, що SO -L ABC; AC J. DBS. 2) Через точку В провести площину, перпендикулярну до пря мої SC. 3) Побудувати переріз піраміди плопщною, яка проходить через середину ребра AS перпендикулярно до прямої: а) BD\ б) АВ.

П ерпендикулярність прям ої і площини

371

□ 1) Нехай SABCD — правильна чоти рикутна піраміда, точка О — центр її осно ви (рис. 383). Оскільки трикутник ASC є рівнобедреним {AS = S Q , то його медіана SO е і висотою. Отже, so _LAC. Аналогічно, SO -LBD. Тому, за ознакою перпендикуляр ності прямої і площини, SO 1 ABC. Далі, BD J- АС, як діагоналі квадрата, і SO _LAC, тому, за тією ж ознакою, АС _LDBS. 2) Скористаємось побудовою, виконаною в задачі 3. Для цього в трикутнику BSC проведемо ВК _L SC (рис. 384). Оскільки ІІВСК - ADCK (за двома сторонами і ку том між ними), то ZDKC = ZBKC = 90°. Отже, SC _LВК, SC ± DK, тому DBK _ L SC, за ознакою перпендикулярності прямої і площини. Наведена конструкція характерна для правильної піраміди. Ця сама пло щина визначається прямими DB і ОК, де ОК -L SC, або ж є розв’язком задачі: через точку о (чи діагональ основи BD) провести площину, перпенди кулярну до ребра SC. 3) а) Нехай М — середина ребра AS. Пряма BD перпендику лярна до площини ACS, яка містить точку М. Це встановлюється аналогічно доведенню перпендикулярності прямої АС до площи ни DBS. Тому шуканим перерізом є трикутник ASC (рис. 385, а).

\с

а) Рис. 385

б) Якщо в плопщні SAB через точку М провести перпенди куляр MN до АВ і в площині ABC — перпендикуляр NP до АВ 24*

372

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

(рис. 385, б), то площина MNP перпендикулярна до прямої АВ, тобто вона є плопщною шуканого перерізу. Оскільки NP ЦAD, то NP II SAD, і площина перерізу перетинає грань SAD по відрізку MR, паралельному NP. Отже, перерізом є трапеція NMRP (легко довести, що вона рівнобічна, спробуйте це зробити). ■

а 1.

Контрольні запитання D,

На рис. 386 зображено куб ABCDAfifiJD^ 1) Які з прямих CD, CjZ), DJ), В^В, С^В, AJi перпендикулярні до прямої BD1 2) Які з прямих CD, АВ, А^С, D^C^, АС^, CJ) перпендикулярні до площини грані ADD^A^

1 1 Уу 1

г / в. В

Рис. 386

На рис. 387 зображено правильний тетраедр ABCD, К — середина ребра ВС. 1) Чи можна стверджувати, що DK ± ABC? 2) Чи правильно, що ВС -L AKD1 3. Чи правильно, що через точку на прямій у про сторі можна провести лише одну пряму, перпен дикулярну до даної прямої? 4. Чи перпендикулярні дві прямі, що перетина ються, якщо через одну з них можна провести плопщну, перпендикулярну до іншої прямої? 5. Чи правильно, що пряма, яка перпендикулярна до двох сто рін трикутника, перпендикулярна до його плопщни? 6. Чи можна за допомогою двох косинців визначити напрям, перпендикулярний до плопщни стола? 7. Чи достатньо однієї пари розтяжок для забезпечення верти кальності щогли? 8. Чи правильно, що пряма, яка перетинає круг у його центрі і перпендикулярна до двох радіусів круга, перпендикулярна до плопщни круга? 9. При поперечному розпилюванні дерев’яного бруса тесля три має пилку так, щоб можна було бачити дві суміжні грані бру са. З якою метою він це робить? 10. Як перевірити перпендикулярність осі свердла до плопщни стола, на якому закріплюють деталь?

П ерпендикулярність прям ої і площини

373

Графічні вправи На рис. 388 зображено квадрат ABCD, О — його центр, М — середина сторони ВС, відрізок OS перпендикулярний до плопщни квадрата. 1) Як розміщені пряма BD і площина ACS? 2) Яка площина перпендикулярна до прямої АС? 3) Як розміщені пряма ВСІ плопщна MOS? На рис. 389 зображено прямокутний трикут ник ABC з прямим кутом А, відрізок АР пер пендикулярний до площини трикутника. 1) Як розміщені прямі АР і АС? 2) Як розміщені площина РАВ і пряма АС? 3) Яка пряма перпендикулярна до площини РАС! На рис. 390 зображено прямокутник ABCD, відрізок DM перпендикулярний до площи ни прямокутника. 1) Як розміщені прямі MD і DC? 2) Як розміщені площина MDA і пряма CD? На рис. 391 зображено два прямокутники ABCDiABCp^. 1) Чи правильно, що АВ J. ADD^? 2) Яка пряма перпендикулярна до пло щини ВСС^? Побудуйте рисунок за наведеними даними. 1) Пряма OS проходить через точку О перетину діагоналей квадрата ABCD і перпендикулярна до його площини. Через середину відрізка SC проведено пряму, перпендикулярну до цієї самої площини. Рис. 391 2) Через точку М діагоналі АС основи правильної чотирикутної піраміди SABCD проведено площи ну перпендикулярно до цієї діагоналі.

374

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Е І Задачі 387. Дано куб ABCDA^B^CJ)^. 1°) Знайдіть усі ребра куба, перпендикулярні до ребра АА^. 2°) Доведіть, що пряма, яка проходить через вершину куба Aj і центр грані ABCD, перпендикулярна до прямої BD. 3°) Через точку В проведіть пряму, перпендикулярну до прямої AjCj. 4) Доведіть, що кожна пряма, яка проходить через середину відрізка AjCj і перетинає відрізок BD, перпендикулярна до прямої AjCj. 388. Відрізок OS проведено з центра О квадрата ABCD перпенди кулярно до його площини, точка М — середина віцрізка ВС. 1°) Вкажіть прямі, перпендикулярні до прямої BD. 2°) Визначте взаємне розміщення площдни ASC і прямої BD. 3°) Доведіть, що пряма AD перпендикулярна до площини SOM. 4) Через точку О проведіть площину, перпендикулярну до прямої АВ. 5) Побудуйте точки перетину площини, яка проходить через точку М і перпендикулярна до прямої BD, з прямими BS, ВА, ВС. Обчисліть площу трикутника, утвореного цими точками, якщо довжина сторони квадрата дорівнює 6 см, а відрізка OS — 4 см. 389. Відрізок CS проведено через вершину прямого кута С рівнобедреного прямокутного трикутника ABC перпендикулярно до його катетів. Точка М — середина гіпотенузи АВ, СВ = = CS = CA = a. 1°) Вкажіть прямі, перпендикулярні до прямої CS і пря мої МС. 2°) Визначте взаємне розміщ ення площини SCA і пря мої ВС. 3°) Доведіть, що пряма АВ перпендикулярна до площини CMS. 4) Через точку М проведіть плопщну, перпендикулярну до прямої АС. 5) Обчисліть площу трикутника, плопщна якого перпенди кулярна до прямої MS, одна із вершин — середина кате та СВ, а дві інші — точки перетину плопціни трикутника з прямими СА і MS.

Перпендикулярність прям ої і площини

375

390. На зображенні куба ABCDA^B^Cp^ побудуйте: 1°) пряму, що проходить через точку Aj перпендикулярно до площини B B fi; 2°) площину, що проходить через точку Aj перпендикулярно до прямої 3°) пряму, що проходить через середину ребра АВ перпенди кулярно до площини CDD^; 4°) плопщну, що проходить через середину ребра АА^ пер пендикулярно до прямої DD^; 5) пряму, що проходить через середину ребра АВ перпенди кулярно до плопщни AjCjC; 6) площину, що проходить через точку А перпендикулярно до прямої 7*) пряму, що проходить через точку Aj перпендикулярно до площини ABjDj. 391. Точка S розміщена на однаковій відстані від усіх вершин квадрата ABCD і не належить його плопщні. Побудуйте: 1) пряму, що проходить через точку S, перпендикулярну до площини ABC; 2) площину, що проходить через середину К сторони AD, перпендикулярну до прямої AD; З*) пряму, що проходить через середину М сторони CD, пер пендикулярну до плопщни ABS; 4*) площину, що проходить через точку К перпендикулярно до прямої DS. 392. Кімната має довжину 6 м, ширину 5 м і висоту З м. Знайдіть відстань від світильника, який розміщено в центрі стелі, до нижніх кутів кімнати. 393°. Доведіть, що через будь-яку точку простору можна провести пряму, перпендикулярну до даної прямої. Дослідіть, коли таку пряму можна провести лише одну. 394°. Доведіть, що пряма, яка проходить через центри протилеж них граней куба, перпендикулярна до цих граней. 395. Доведіть, що прямі, які проходять через дану точку прямої і перпендикулярні до неї, утворюють плопщну, перпендику лярну до цієї прямої. 396°. Пряма а перпендикулярна до плопщни а і перпендикуляр на до прямої Ь, що не лежить у плопщні а. Доведіть, що пря ма Ь і плопщна а — паралельні.

376

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

397. Доведіть, що через точку, яка лежить за межами площини, можна провести тільки одну пряму, перпендикулярну до цієї площини. 398. Два відрізки АВ і CD, які лежать у площині а, точкою пере тину Е поділяються навпіл. Точка К знаходиться поза пло щиною а, причому КА = КВ і КС = KD. Доведіть, що пряма КЕ перпендикулярна до площини а. 399. Доведіть, що прямі аіЬ — паралельні, якщо вони мають дві спільні перпендикулярні прямі. 400*. Доведіть, що прямі, які перпендикулярні до даної площини і перетинають дану пряму, лежать в одній площині. 401*. Знайдіть множину всіх точок простору, рівновіддалених від двох даних точок А'\В. 402. Побудуйте переріз куба площиною: 1°) що проходить через середину ребра перпендикулярно до цього ребра; 2) що проходить через середину діагоналі грані куба пер пендикулярно до цієї діагоналі. 403. У правильному тетраедрі SABC точка К — середина ребра SC. 1°) Доведіть, що плопщна АКВ перпендикулярна до прямої SC. 2) Зобразіть перерізи тетраедра площинами, що проходять через вершину А перпендикулярно до прямих ВС і SB. Зна йдіть лінію перетину цих перерізів. 404*. Дано три мимобіжні прямі. 1) Побудуйте паралелепіпед, три ребра якого лежать на цих прямих. 2) Доведіть, що можливе існування лише одного такого па ралелепіпеда. 3) За яких умов побудований паралелепіпед буде прямим; прямокутним?

^ { Вправи для повторення 405. Знайдіть периметр фігури, в якої сторони перпендикулярні, за даними, поданими на рис. 392.

П ер п ен д и к ул я р н ість п р я м ої і площ и ни

Рис. 392

377

Рис. 393

406. На катетах прямокутного трикутника ABC побудовано квад рати (рис. 393). З їхніх вершин до прямої АВ проведено пер пендикуляри DK і НМ. Доведіть, що трикутник ABC можна скласти з трикутників BDK і АНМ.

П ід с у м о к Головні означення Дві прямі простору називаються перпен дикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає що площину і перпендикулярна до кожної прямої плошдни, що проходить через точ ку перетину даної пря мої і площини.

а1 с

Н а

Головне твердження Ознака перпенди Якщо пряма перпен кулярності пря дикулярна до двох прямих, що перетина мої і площини ються і належать да ній плопщні, то вона перпендикулярна до цієї площини.

а ± Ь, а і . с,Ьс а, с <z а с11 а

§19. З в’язок м іж паралельністю та перпендикулярністю пр ям и х і площин

Даний параграф присвячено встановленню зв’язків між паралельністю і перпендикулярністю прямих і пло щин, які широко застосовуються в геометрії.

Про існування зв’язків між паралельністю та пер пендикулярністю у просторі свідчить наш досвід. Справді, стовпи, встановлені вертикально, паралельні між собою (рис. 394); паралельними є вертикально спря мовані льодові бурульки (рис. 395), вертикальні колони, якими прикрашені споруди (рис. 396) тощо.

Рис. 394

Рис. 395

Рис. 396

Добре відомий зміст аналогічних зв’язків у планіметрії: два перпендикуляри до однієї прямої е паралельними між собою, і на впаки, пряма, яка перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, перпендикулярна і до другої. Однак стосовно прямих у просторі ці твердження не завжди виконуються (спробуйте самі навести відповідні приклади). Натомість можемо ви вчати випадки, пов’язані з паралельністю і перпендикулярністю прямих та плопщн. Розглянемо детальніше зв’язок між па ралельністю прямих і перпендикулярніс тю їх до плош^іни. Ці зв’язки відображають рис. 397

З в 'я зок м іж пар ал ел ь н іс т ю т а п е р п е н д и к ул я рн істю п рям и х і площ и н

379

відношення між реальними об’єктами, якими ми користуємось у повсякденному житті. Справді, якщо одну дошку паркану при ладнано вертикально до поверхні землі, то другу дошку достатньо розмістити паралельно першій, щоб вона також була вертикаль ною (рис. 397). Цей спосіб побудови паркану ґрунтується на на ступній теоремі.

Т е о рема 1

( п р о д в і п а р а л е л ь н і п р я м і, о д н а з я к и х п е р п е н д и к у

л я р н а до п л о щ и н и ).

Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикуляр на до площини, то й друга пряма перпендикулярна до цієї площини. Наведена теорема є ознакою перпендикулярності прямої і плопщни, тобто за її допомогою встановлюють перпендикулярність прямої і плопщни. Її широко використовують не тільки в геометрії, а й у практичній діяльності. Спорудження будівлі з вико ристанням виска є яскравою ілюстрацією застосування цієї ознаки перпендикуляр ності прямої і плопщни. Справді, нитка виска розміщена вертикально, і якщо ріг Рис. 398 споруди паралельний нитці, то він також вертикальний (рис. 398). Розгляд теореми 1 природно породжує запитання: чи будуть паралельними дві прямі, які перпендикулярні до однієї плопщ ни? Відповідь на нього нам підказує досвід (два вертикально вста новлених стовпи — паралельні!) і він підтверджується наступною теоремою, яка є оберненою до теореми 1.

Теорема 2

( п р о п а р а л е л ь н іс т ь п р я м и х , п е р п е н д и к у л я р н и х до

п л о щ и н и ).

Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то вони — паралельні. Наведена теорема також е ознакою. За її допомогою встанов люють паралельність прямих у просторових конструкціях. Адже вертикальність чи перпендикулярність до плопщни іноді легше перевірити (особливо на громіздких об’єктах), ніж паралельність. Йдеться, наприклад, про розміщення поперечних балок при спо рудженні стелі будівлі, розпізнавання паралельності прямих у геометричних конфігураціях та ін.

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

380

Не менш важливими в геометрії та її застосуваннях є зв язки між паралельністю площин та їхньою перпендикулярністю до прямої. Йдеться про дві площини і одну пряму. Якщо дві пло щини паралельні і одна з них перпендикулярна до прямої, то як буде розміщена друга площина по відношенню до цієї прямої? Як розміщені дві площини, якщо вони обидві перпендикулярні до прямої? Відповіді на ці питання також нам підказує досвід прак тичної діяльності. Якщо вбити цвях у дошку перпендикулярно до однієї сторони дошки, Рис. 399 то він буде перпендикулярним і до проти лежної (рис. 399). Якщо на вісь колісної пари насадити колеса з обох боків так, щоб їхні плоищни були перпендикуляр ними до осі, то плопщни цих коліс будуть паралельними (рис. 400). Сформулюємо два взаємно обернених твердження, які відображають зв’язок між паралельністю площин і перпендику Рис. 400 лярністю їх до прямої. Т е о р е і и а З ( про п ар а л ел ьн і площ и ни, одн а з я к и х п ер п ен д и к у л я р н а до прям ої).

Якщо одна з двох паралельних площин перпендикуляр на до прямої, то і друга площина перпендикулярна до цієї самої прямої. Теорема

(про дві плош,ини, п ер п ен ди к ул яр н і до прям ої).

Якщо дві площини перпендикулярні до однієї прямої, то вони — паралельні. Привертає увагу спорідненість наведених двох пар теорем. Кожну з них можна сформулювати, замінивши термін «пряма» на «плопщну», і навпаки. Теореми З і 4 також є ознаками. Ознака перпендикулярності прямої і пло пщни (теорема 3) пов’язана з розміщенням опорних колон відносно підлоги і стелі. Якщо площини стелі і підлоги паралельні, то ко лону досить поставити перпендикулярно до підлоги, щоб вона була перпендикулярною і Рис. 401 до стелі (рис. 401).

381

Зв’я з о к між п ар ал ел ь н істю та п е р п е н д и к у л я р н істю прям их і площ ин

Практичну щнність ознаки, вираженої в теоремі 4, ілюструє транспортування за лізобетонної плити в горизонтальному по ложенні за допомогою крана. Для цього використовзтоть чотири однакових троси, кінці яких закріплено в точках А^, Ад, А^ плити і до гака S (рис. 402). Оскільки плита висить вільно, то трос, на якому закріплено Рис. 402 гак, перпендикулярний до поверхні землі і розміщений на прямій, що проходить через центр мас плити (для однорідної плити). Якщо знехтувати товпщною плити, то її центр міститься на перетині діагоналей прямокутника Оскільки SAj = SAg = SAg = SA^, то пряма, яка сполучає точку S з точкою пе ретину діагоналей, перпендикулярна до площини плити (задача 1 §18). Тому, згідно з теоремою 4, плита розміщена горизонтально. Наведені приклади не вичерпують усього різномаїття засто сувань розглянутих ознак при вирішенні практичних завдань. Важливими є дані ознаки і для подальшого поглиблення геоме тричних знань. З а д а ч а 1. Через дану точку провести пряму, перпендикуляр ну до даної плопщни. □ Випадок, коли дана точка А лежить в даній плопціні а, ми розглядали у попе редньому параграфі. Нехай тепер точка А міститься поза плопщною а. Через довіль ну точку В плопціни а проведемо пряму Ь, перпендикулярну до плошдни а (рис. 403). Потім через точку А проведемо пряму, па ралельну прямій Ь (як це зробити?). Вона і буде шуканою, оскільки її перпендикуляр ність до плопщни а обумовлена теоремою 1. ■

а А

Рис. 403

П р и к п а д 1. З вершини А квадрата ABCD проведено відрізок AM, перпендикулярний до плопщни ABC. Побудувати: 1) плопщну, яка проходить через точку М перпендикулярно до прямої АС; 2) пряму, що проходить через середину віцрізка МС перпендику лярно до плопщни ABC.

382

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

□ Зобразимо умову прикладу на рис. 404, а. 1) Розглянемо площину МАС. За умовою, пряма МА перпенди кулярна до прямої АС. Для побудови шуканої площини достатньо провести через точку А ще одну пряму, перпендикулярну до пря мої АС. Оскільки пряма BD перпендикулярна до прямої АС, то шукана пряма має бути паралельною прямій BD.

Рис. 404

Побудова. Через точку А проводимо пряму АК, паралельну прямій BD (рис. 404, б). Вона перпендикулярна до прямої АС. Плопщна МАК перпендикулярна до прямої АС, за ознакою пер пендикулярності прямої і плопщни (теорема 1 § 18). 2) Нехай N — середина відрізка МС (рис. 405, а). Шукана пряма паралельна прямій МА, за теоремою про паралельність прямих, перпендикулярних до плопщни (теорема 2). Це — необхідна умова. Вона є й достатньою, за теоремою про дві паралельні прямі, одна з яких перпендикулярна до площини (теорема 1).

Рис. 405

Побудова. Через точку N проводимо пряму, паралельну пря мій МА (рис. 405, б). Точка її перетину О з площиною квадрата є центром квадрата, оскільки пряма N 0 лежить у плопщні МАС і проходить через середину відрізка АС (за теоремою Фалеса). ■

З в'я зок між п ар ал ел ь н істю та п ер п ен д и к у л я р н істю прям их і площ и н

383

W /1 ^

Розглянемодоведеннянаведенихтеоремпрозв’язки між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин. Вказаний зв’язок між двома парами тео------------------рем і між собою в парах дає змогу сподіватись, що доведення однієї з теорем полегшить доведення інших. Почнемо з теореми 1. Запишемо їі у знакосимвольній формі.

Т е о рема 1. Д ан о: aJI а^, а^± а. Д о в е сти :

± а.

□ Для доведення теореми скористаємось ознакою перпендику лярності прямої і плопщни. Позначимо через точку перетину прямої і плопщни а. Згідно з теоремою про перетин площини паралельними прямими (теорема 6 § 8), пряма а^, що паралельна прямій а^, теж перетинає плопщну а в деякій точці (рис. 406, а). Візьмемо на прямих і точки і по один бік від пло щини а так, щоб відрізки О^А^ і були рівними. Побудова ний чотирикутник OjAjAgOg (рис. 406, б) є паралелограмом, тому що OjAj II O^Aj, OjAj = OgAj. Аналогічно будуємо паралелограм для довільного напряму в плопщні а. Для цього через точки Oj і Oj в плопщні а проведемо довільні паралельні прямі, на яких вибираємо точки і аналогічно вибору точок А^ і А^ (рис. 406, в).

Рис. 406

З наведених побудов випливає, що чотирикутник А^В^В^^ є паралелограмом. Справді, відрізки А^А^ і В^В^ — паралельні і рів ні, за властивостями транзитивності паралельності прямих і рів ності довжин (AjAj II OjOg II В^В^, А^А^ = 0^0^, = В^В^). А тепер розглянемо трикутники Afi^B^ і AfijB^. Вони рівні за трьома сторонами: Afi^ - AJD^, О^В^ = OjB^, за побудовою, Afi^ - А^Б^ як протилежні сторони паралелограма. Тому рівні відповідні кути цих трикутників, зокрема, ZA^O^B^ = ZA^O^B^. Але ж кут А^О^В^,

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

384

за умовою, — прямий. Тому прямим е і кут А це означає, що пряма Og перпендикулярна до кожної прямої площини а, яка проходить через точку О^. За означенням, вона перпендикулярна до площини а. Ш

Т е о р е м а 2. Дано: Довести:

а ^ І а, а ^ І а.

II а^.

□ Нехай прямі Gj і перпендикулярні до площини а, О^, — точки перетину їх з плопщною а (рис. 407, а). Через точку про ведемо пряму Ь, паралельну прямій (рис. 407, б). За попере дньою теоремою, b-La. Якщо пряма Ь не збігається з прямою а^, то через них можна провести плош;ину Р, яка перетинає плопщну а по прямій с (рис. 407, в). Прямі а^і Ь перпендикулярні до прямої с, за означенням перпендикулярності прямої і плопщни. Однак у площині через дану точку можна провести лище одну пряму, пер пендикулярну до даної прямої. Отримана суперечність означає, що прямі а^і Ь збігаються, тобто Ц а^. Ш

а) Рис. 407

Доведення теорем з і 4 проводиться за такою самою схемою, що і доведення теорем 1 і 2 відповідно. Зробіть це самостійно, корис туючись вказівкою, наведеною після формулювань теорем З і 4. Важливість розглянутих теорем для стереометрії та її застосу вань, як вже наголошувалось, пов’язана з тим, що кожна з них є ознакою: перша і третя — ознаки перпендикулярності прямої і плопщни, друга — ознака паралельності прямих, четверта — ознака паралельності плош;ин. Цим самим розширюються наші можливості при вивченні взаємного розміщення прямих і плопщн, проведенні побудов.

З в 'я зок між п ар ал ел ь н істю та пе р п ен д и к у л я р н істю прям их і площ и н ______________ 385

Узагальненням результату задачі 1 є наступна теорема. Теорема

(про прям у, п ер п ен ди к ул яр н у до д а н о ї площ ини).

Через будь-яку точку простору проходить пряма, перпен дикулярна до даної площини, і до того ж тільки одна. □ Перша частина теореми про існування такої прямої обґрунтована у розв’язанні за дачі 1. Для доведення единості такої прямої припустимо супротивне, а саме: через дея ку точку А проведено дві різні прямі Oj і а^, / перпендикулярні до площини а (рис. 408). / а За теоремою 2, вони — паралельні, тобто не мають спільних точок. Ця суперечність і до водить твердження. ■

А а.

V \/ 1

І J

ч / у

Рис.. 408

Аналогічне узагальнення має і результат задачі 2 попередньо го параграфа.

Т е о рема б

(про п лощ ину, п ер п ен ди к ул яр н у до д а н о ї прям ої).

Через будь-яку точку простору проходить площина, пер пендикулярна до даної прямої, і до того ж тільки одна. □ Існування такої площини обґрунтовано у розв’язанні зада чі З попереднього параграфа. Залишилося довести единість пло щини, яка задовольняє умови теореми. Як зазвичай у таких випадках, припустимо су противне, а саме: через дану точку А прохо дять дві різні плопщни ttj і а^, перпендику лярні до прямої а (рис. 409). За теоремою 4, вони — паралельні. Але ці плопщни мають Рис. 409 спільну точку А. Отримана суперечність і доводить твердження. ■

П р и к л а д 2. З вершини А квадрата проведено пряму, перпендикулярну до площини квадрата, і на ній взято точку S. Побудувати: 1) пряму, що проходить через центр О квадрата перпендикулярно до його плопщни; 2) плопщну, що проходить через середину Р відрізка AS перпен дикулярно до нього; 3) плопщну, що проходить через точку А перпендикулярно до прямої BD; 25

М атематика. 10 к

386

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

4) пряму, що проходить через точку А перпендикулярно до пло щини SBD. □ 1) За умовою, пряма AS перпендикулярна до площини квадрата. Будь-яка інша пряма, перпендикулярна до цієї площини, буде паралельна прямій AS, за теоремою 2, тобто паралельність прямій AS є необхідною умовою перпендикулярності шуканої прямої до плопщни. Вона є і достатньою умовою, за теоремою 1. Побудова. Через точку О проводимо пряму S Е ОЕ паралельно прямій AS (рис. 410). Пряма ОЕ перпендикулярна до плопщни квадрата, В за теоремою про дві паралельні прямі, одна з яких перпендикулярна до плопщни. 2) За умовою, пряма AS перпендикулярна D до плопщни ABCD. Будь-яка інша плопщна, Рис. 410 перпендикулярна до прямої AS, буде пара лельною плопщні ABCD, за теоремою 4. Паралельність шуканої плопщни плопщні ABCD є і достатньою зимовою, за теоремою 3. Побудова. Проведемо через точку Р плопщну, паралельну плопщні ABCD. Для цього через точку Р проведемо прямі РК і PL, паралельні прямим AD і АВ відповід В/ но (рис. 411). Плопщна PKL паралельна плопщні ABCD, за ознакою паралельності плопщн, а тому є шуканою. Рис. 411 3) Діагоналі квадрата — перпендикуляр ні, тобто ВО ± АО (цив. рис. 410). Тому пряма АО лежить у шуканій плопщні. Якщо через точку О провести ще одну пряму ОЕ, перпен дикулярну до ВО, то пряма ВО буде перпендикулярною до плопщни АОЕ, за ознакою перпендикулярності прямої і плопщни (теорема 1 § 18). Ця плопщна містить точку А. Побудова. Проведемо через точку О пряму ОЕ, паралельну прямій AS. Вона буде перпендикулярною до плопщни ABCD (рис. 412). Пряма ОЕ перпендикулярна до прямої ВО, за означенням перпендикуляр ності прямої і плопщни. Плопщна АОЕ є шуканою. 4) Розглянемо трикутники ABD і SBD (рис. 413, а). Вони є рівнобедреними, бо Рис. 412 AD = АВ, за умовою, а рівність SB = SD ви-

Зв 'я зо к між п ар ал ел ь н істю та п е р п ендикулярнігти і прямих і площ ин

387

дливає з рівності прямокутних трикутників ASD і ASB. їхні медіани SO і АО є висотами, а тому пряма BD перпендикулярна до площини AOS, за ознакою перпендикулярності прямої і плопщни (теорема 1). У прямокутному трикутнику AOS з вершини прямого кута А прове демо висоту АЕ (рис. 413, б). Пряма А Б є шуканою. Справді, проведе мо в плопщні SBD через точку Е пряму EF паралельно прямій BD. Ця пряма буде перпендикулярною до плош?*™ AOS, за теоремою 1. А це означає, ш;о вона перпендикулярна до прямої АЕ. За ознакою перпендикулярності прямої і п л о п щ н и (т е о р е м а 1 § 18), пряма АЕ перпендикулярна до площини SBD. Ш

Рис. 413

І Д Контрольні запитання 1.

2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

25*

Чи правильно, що дві прямі, перпендикулярні до деякої пло щини, лежать в одній плопщні? Чи можуть два бічних ребра піраміди бути перпендикулярни ми до плопщни основи піраміди? Чи можна провести пряму перпендикулярно до двох плопщн, що перетинаються? Чи існує взаємозв’язок між розміщенням ніжок стола віднос но його поверхні і підлоги, на якій він стоїть? Чи існує переріз куба плопщною, яка перпендикулярна рівно до двох його ребер? Чи можна провести плопщну, яка перпендикулярна одночас но до двох мимобіжних прямих? Чому льодові бурульки, які звисають з даху навесні, можна вва жати паралельними між собою (н е х т у ю ч и їхньою товдщною)? На стелі закріплено гак. За допомогою канатів необхідно під вісити до нього платформу так, щоб її плопщна була горизон тальною. Як це зробити? Чи можна через дану точку простору провести три взаємно перпендикулярні прямі? А чотири? Скільки різних площин визначають чотири прямі, перпенди кулярні до однієї площини?

388

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

^ Г р а ф і ч н і вправи 1.

На рис. 414 зображено прямокутний па Q ралелепіпед з квадрат ною основою ABCD, точки М, N, Р, Q — ^ В. І середини відповідно ребер ВС, В^С^, АВ, t Z)jCj, точки О, Oj — центри граней ABCD і І Встановіть взаемне розміщення вказаних прямої і площини: ^1 — 1) OOj і АВС\ 2) ОМ і ADD^, N 3 )O C iZ )B B j; A)CC^iNQO^, 5) В^С і BAD^, 6) AjCj і MNQ-, 7) PM і BDD^, 8) QN і NPM. На рис. 415 зображено правильний трикутник ABC, О — його центр, OS — відрізок, перпендикулярний до площини трикутника, точки М, N — відповідно середини сторін АВ, ВС. Встановіть взаемне розміщення: 1) прямої АВ і плопщни SOC; 2) прямої MN і плошдни SOB; 3) прямої АС і площини MNS. На рис. 416 зображено Kpjr з центром О, АВ і CD — його перпендикулярні діаметри, MB — дотична до круга, ОК, BL — рівні відрізки, перпендикулярні до площини круга. Встановіть взаемне розміщення: 1) прямої BL і площини АОО, 2) прямої ВМ і плопщни LOK\ 3) прямої ВМ і плопщни СОК\ їй 4) прямої KL і площини DOK; Рис. 416 5) площин DOK і MBL; 6) прямої ВК і площини CLD. Побудуйте рисунок за наведеними даними. 1) Площина, що проходить через ребро основи АВ правильно го тетраедра SABC, перпендикулярна до бічного ребра SC. 2) Через точку М, що лежить на діагоналі основи АС правильної чотирикутної піраміди SABCD, проходить площина, перпендикулярна до АС. І

Зв’я з о к між п а р ал ел ьн істю т а п ер п ен д и к у л я р н істю прям их і площ и н

389

Е і Задачі ^ 407.

З вершини прямого кута С рівнобедреного прямокутного три кутника ABC проведено пряму, перпендикулярну до плопщни цього трикутника, і на ній взято точку S. Побудуйте: 1°) плопщпу, яка проходить через точку S перпендикулярно до прямої АВ; 2°) пряму, що проходить через середину відрізка AS перпен дикулярно до площини ABC; 3°) площину, яка проходить через точку А паралельно площині BCS; 4) пряму, яка проходить через точку С перпендикулярно до 2 площини ABS, якщо АС = - 7= CS . л /З

408. Із середини К гіпотенузи ВС рівнобедреного прямокутно го трикутника ABC проведено пряму, перпендикулярну до площини цього трикутника, і на ній взято точку М. Побу дуйте: 1°) площину, яка проходить через точку М перпендикуляр но до прямої АС; 2°) пряму, що проходить через середину відрізка A M пер пендикулярно до площини ABC; 3°) площину, яка проходить через точку А паралельно пло щині ВСМ; 4) плопщну, яка проходить через точку К перпендикулярно до прямої AM, якщо МК = СК. 409. З центра О правильного трикутника ABC проведено пряму, перпендикулярну до площини трикутника, і на ній взято точку S. Побудуйте: 1°) площину, що проходить через точку о , перпендикулярну до прямої ВС; 2°) пряму, що проходить через середину відрізка AS, пер пендикулярну до площини ABC; 3) площину, що проходить через середину відрізка AS, пер пендикулярну до прямої OS; 4*) пряму, що проходить через точку А, перпендикулярну до площини BCS. 410. Дано куб ABCDAjBjCjZ)^. Побудуйте: 1°) пряму, що проходить через центр грані A^B^CJ)^, перпен дикулярну до протилежної грані;

rr 390

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

2°) площину, що проходить через вершину А, перпендику лярну до діагоналі ВВ; 3) пряму, що проходить, через центр грані АА^В^В перпен дикулярно до плопщни BDD^; 4*) плош^іну, що проходить через точку D перпендикулярно до прямої BD^. 411. У тетраедрі SABC всі грані — правильні трикутники, точка О — центр основи ABC, D — середина ребра ВС, точка N на лежить бічному ребру SA. 1°) Визначте взаємне розміщення прямої SO і плопщни ABC. 2°) Визначте взаємне розміщення прямої ВС і плопщни ASD. 3) Проведіть через точку N пряму, перпендикулярну до основи. 4*) Побудуйте переріз тетраедра площдною, що проходить через точку N перпендикулярно до прямої OS. 412°. Два електричні дроти необхідно протягнути від стовпа висо тою 7 м до будівлі висотою 4 м. Скільки потрібно мати дроту, якщо відстань від будівлі до стовпа дорівнює 10 м і на про висання дроту треба додати 3% від розрахункової довжини? 413. Сторожова вежа для охорони ділянки прямокутної форми встановлена в одній з верщин прямокутника. Відстані від спостерігача, що стоїть на вежі, до решти вершин прямокут ника дорівнюють а, Ь, с, причому а > Ь > с. Чому дорівнює висота вежі.'' 414. Три паралельні прямі а, Ь, с не лежать в одній плопщні. Через точку М, що лежить на прямій а, проведено перпен дикуляри до прямих Ь і с, які перетинають їх, відповідно, в точках Р і Q. Доведіть, що пряма PQ перпендикулярна до прямих б і с . 415. Через точку О, що знаходиться на висоті CD трикутника ABC, проведено перпендикуляр ОМ до його плопщни. До ведіть, що плопщна, яка проходить через прямі CD і ОМ, перпендикулярна до прямої АВ. 416*. Дано плопщну а і пряму а, яка перетинає плопщну в точці М і не перпендикулярна до а. Доведіть, що в плопщні а че рез точку М проходить пряма, перпендикулярна до прямої о, і до того ж лише одна. 4 1 7 . На прямій, перпендикулярній до плопщни а, взято дві точки А і В, які не лежать у плопщні а, а в плопщні а взято дві точки X і Y. Відомо, що ХА > ХВ. Порівняйте відрізки YA і YB.

391

■З в'язок між п а р а л ел ь н істю та п е р п е н д и к у л я р н істю прям их і п лощ и н

РВправи для повторення f 418. Доведіть, що всі прямі площини, перпендикулярні до даної прямої площини, утворюють цю плошдну. 419. Як поділити відрізок навпіл, користуючись лише шаблоном: а) прямого Kjrra; б) гострого кута? 420. Сторони паралелограма дорівнюють 2 м і 16 дм; відстань між більшими сторонами — 8 дм. Визначте відстань між меншими сторонами.

П ідсумок Головні твердження Т еорем а

про

п ар а л ел ьн і

дві Якщо одна з двох пара

прям і, лельних прямих пер

одн а з я к и х п ер п ен пендикулярна до плод и к ул я р н а до п л о пщни, то і друга пряма

перпендикулярна

щ ини

до

а||6, а ± а ^ Ь ± а

цієї плопщни. Т еорем а про пара Якщо дві прямі пер

прямих, пендикулярні до однієї

лельніст ь

п е р п е н д и к у л я р н и х і тієї самої плопщни, то

вони — паралельні.

до площ ини

а ± а , 6±а=>а||Ь

Т еорем а про пара Якщо одна з двох пара л ельні

площ ини, лельних плопщн пер

одна з я к и х п ерпен пендикулярна до пря дикулярна

до

п ря мої, то і друга плопщна

перпендикулярна

м ої

до

а||Р, a ± Z = > p j _ Z

цієї самої прямої. Т еорем а

п ро

дві Якщо дві плопщни пер

п лощ и ни, п ер п ен д и пендикулярні до однієї к ул яр н і до п р я м ої

прямої, то вони — па ралельні. а х г , р х / =>а | | р

§20. П е р п е н д и к у л я р н і с т ь площин

Р о з г л я д а є т ь с я в ід н о ш е н н я п е р п е н д и к у л я р н о с т і п л о щ и н — о д н е з н а й в а ж л и в іш и х і н а й з а с т о с о в н іш и х у г е о м е т р ії п р о с т о р у т а ї ї з а с т о с у в а н н я х .

Із усього розмаїття взаємних розміщень двох пло щин на особливу увагу і вивчення заслуговують ті, при яких площини перпендикулярні одна до одної (наприклад, суміжні стіни кімнати, паркан і ділянка землі, двері і підлога тощо) (рис. 417, а—в).

^■Б

Наведені приклади дають змогу побачити одну з основних влас тивостей відношення, яке ми маємо вивчати, — симетричність розмі щення кожної з площин відносно до іншої. Симетрія забезпечується тим, що плопщни начебто «зіткані» з перпендикулярів. Спробуємо уточнити ці спостереження. Нехай маємо плопщну а і пряму с на ній (рис. 418, а). Прове демо через кожну точку прямої с прямі, перпендикулярні до плоцщни а. Всі ці прямі паралельні між собою (чому?) і складають, за задачею 1 § 8, деяку площину р (рис. 418, б). Природно назвати плошдіну р перпендикулярною до площини а.

П ер п ен д и к ул я р н ість площ ин

39 3

б)

Рис. 418 у свою чергу, всі прямі, які лежать у площині а і перпендику лярні до прямої с, складають площину а і перпендикулярні до площини (З (рис. 418, в). Справді, якщо а — довільна така пряма, то вона перетинає пряму с у деякій точці М. Через точку М прохо дить у площині р перпендикулярна до а пряма Ь, тому Ьі а. Отже, а 1с, a l b , тому а ї р . Виходить, що площина а перпендикулярна до плопщни р, а пряма с є лінією їхнього перетину. Дві площини називаються перпендикулярними, як що кожна з них утворена прямими, що перпендику лярні до другої площини і проходять через точки пе ретину цих площин. Перпендикулярність площин а і р позначається звичним уже знаком J_: а ± р. Одну з ілюстрацій цього означення можна уявити, якщо розглянути фрагмент кімнати дачного будинку (рис. 419). На ньому підлога і стіна складені з дошок, перпендикулярних до стіни і підлоги. Тому вони — перпендику лярні. На практиці це означає, що підлога горизонтальна, а стіна вертикальна. Наведене означення важко використати при фактичній перевірці перпендикулярРис. 419 ності площин. Але якщо уважно проаналізувати міркування, які привели до цього означення, то бачимо, що перпендикулярність площин а і Р забезпечила наявність у площині р прямої Ь, пер пендикулярної до площини а (див. рис. 418, в). Ми дійшли ознаки перпендикулярності двох площин, яка найчастіше застосовується на практиці.

Т е о р е м а 1 (ознака перпендикулярності площин). Якщо одна з двох площин проходить через пряму, пер пендикулярну до другої площини, то ці площини е пер пендикулярними.

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

394

□ Нехай площина (Зпроходить через пряму Ь, перпендикуляр ну до площини а, і с — лінія перетину площин а і |3 (рис. 420, а). Всі прямі плопщни (З, які паралельні прямій Ьі перетинають пря му с разом з прямою Ь, утворюють плопщну р. За теоремою про дві паралельні прямі, одна з яких перпендикулярна до плопщни (те орема 1 § 19), всі вони разом з прямою Ь перпендикулярні до пло пщни а. Тобто площина р складається із прямих, які проходять через лінію перетину площин а і р і перпендикулярні до площини а (рис. 420, б).

а) Рис. 420 Тепер у плопщні а через точку А перетину прямих б іс проведемо пряму а, перпендикулярну до прямої с (рис. 420, в). Пряма а перпендикулярна до плопщни р, за ознакою перпендикулярності прямої і плопщни (а 1 с, за побудовою, а _L Ь , бо Ь _L а). Повторивщи попередні міркування, одержимо, що плопщна а складається із прямих, перпендикулярних до плопщни Р, які проходять через лінію перетину плопщн. Згідно з означенням, плопщни а і р — перпендикулярні. ■ Наведена ознака дає змогу встановлювати перпендикуляр ність плопщн або ж забезпечувати її. П р и к л а д 1. Приладнати пщт до стовпа так, щоб він був роз міщений вертикально. □ Якщо стовп стоїть вертикально, то досить довільно припасу вати пщт до стовпа і закріпити його (рис. 421, а). Згідно з розгля-

т а) Рис. 421

П ер п ен д и к ул я р н ість площ ин

395

нутою вище ознакою, площина щита буде перпендикулярною до поверхні землі, у цьому випадку задача має безліч розв’язків. Якщо ж стовп стоїть похило до землі, то досить до стовпа при ладнати вертикальну рейку (рис. 421, б), а потім щит припасу вати і до рейки, і до стовпа. У цьому випадку положення щита є цілком певним, оскільки стовп і вертикаль визначають єдину площину. ■ У попередньому прикладі «технічне» завдання звелось до ма тематичної задачі проведення через дану пряму площини, пер пендикулярної до інщої плопщни.

П р и к л а д 2. З вершини А квадрата ABCD проведено перпен дикулярний до його площини відрізок АК, АВ = АК = а. 1) Визначити взаємне розміщення площин АКС і А ВД AKD і АВК. 2) Побудувати плопщну, яка проходить через пряму BD перпен дикулярно до площини ABC. 3) Провести через середину F відрізка КС плопщну, перпендику лярну до площини КАС. 4) Знайти площу трикутника BDF. □ Побудуємо рисунок, який відповідає умові прикладу (рис. 422). D 1) Площини АКС і ABD — перпендику лярні, за ознакою перпендикулярності пло щин (теорема 1): А К ± ABD, за умовою. Пло В щини AKD і АВК також перпендикулярні, Рис. 422 за ознакою перпендикулярності площин (те орема 1). Справді, пряма АВ, через яку проходить площина АВК, перпендикулярна до площини AKD, за ознакою перпендикуляр ності прямої і плопщни (теорема 1 § 18): АВ 1 AD, як суміжні сто рони квадрата; АВ ± АК, бо АК ± ABD. 2) За ознакою перпендикулярності площин, для шзтсаної побудови достатньо через деяку точку прямої BD провести пряму, перпендикулярну до площини ABC. А для цього достатньо через цю точку провести пряму, паралельну прямій АК. Справді, за умовою, пряма АК перпендикулярна до плошдни ABC і тому, згідно з теоремою про дві паралельні прямі, одна з яких перпендикулярна до площини (теорема 1 § 19), побудована пряма буде перпендикулярною до плопщни ABC. Побудова. Через точку В проводимо пряму BE, паралельну прямій АК (рис. 423). Площина BDE є шуканою.

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

396

3) Нехай F — середина відрізка КС. Проведемо через точку F пряму, перпендикулярну до площини ABC. Цією прямою буде пряма F0, де О — центр квадрата ABCD (рис. 424). Справді, F 0 ЦАК, як середня лінія трикутника АКС. Оскільки Рис. 423 пряма АК перпендикулярна до площини ABC, то й пряма F 0 буде до неї перпендикулярна, за теоремою про дві паралельні прямі, одна з яких перпендикулярна до площини (теорема 1 § 19). Тому FOlDB. А оскільки ACLDB, то DB1A0F (або КАС). Площина B D F проходить через перпендикулярну пряму до площини КАС, тобто вона є шуканою. 4) У трикутнику BDF відрізок F 0 — висота, що проведена до сторониВЛ (цив. рис. 424). Маємо: BD = 42а , як діагональ квадрата; FO = - A K = - a , за властивістю середньої Кг 2

лінії

трикутника.

Таким

чином.

S = -B D F O = і-л /2аіа = ^ а " 2 2 2 2V2 Відповідь. 4)

Рис. 424

2V2 Дослідження властивостей відношення перпенди кулярності плопщн та його застосувань почнемо з простої, але дуже корисної теореми. Т е о р е м а 2 ( про п ер п ен ди к ул яр до л ін ії п ер ет и н у п ер п ен д и к у л я р н и х площ ин).

Якщо дві площини перпендикулярні, то пряма, що на лежить одній площині і перпендикулярна до лінії пере тину цих площин, перпендикулярна до другої площини. □ Нехай перпендикулярні плопщни а і |3 перетинаються по прямій с, а пряма Ь у плопщні (З перпендикулярна до' прямої с і перетинає її в точці В (рис. 425). За означенням перпендику лярності плопщн, у плоїцині р через точку в проходить пряма Ь^, перпендикулярна до плопщни а. Зрозуміло, що вона перпенди кулярна до прямої с. Але ж через точку прямої в площині можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до даної прямої.

П ер п ен д ик ул яр н ість пл ощ и н

397

Тому прямі Ь і збігаються. А це означає, що пряма однієї плопщни, яка перпенди кулярна до лінії перетину двох перпенди кулярних площин, перпендикулярна до дрзтої площини. ■ Застосуємо розглянуту теорему до об ґрунтування ще однієї ознаки перпендику Рис. 425 лярності площин, яка є важливою з огляду подальшого вивчення взаємного розміщен ня двох площин. Нехай площини а і Р — перпендикуляр ні, пряма с — лінія їхнього перетину. Через довільну точку А прямої с проведемо в пло щинах а і р прямі а і Ь, перпендикулярні до прямої с (рис. 426). За теоремою 2, прямі а і Ь перпендикулярні відповідно до площин Р і а, тому вони перпендикулярні між со бою: а ± Ь. Прямі а і Ь визначають деяку Рис. 426 площину у. Лінія перетину с площин а і р перпендикулярна до площини у, за ознакою перпендикулярності прямої і площини (теорема 1 § 18): с _ L а, с J. Ь, а (z у, Ь с у. Якщо врахувати довільність вибору точки А на прямій с і той факт, що через точку А прямої с проходить єдина площина, яка перпенди кулярна до неї, то можна зробити наступний висновок. З (про площину, перпендикулярну до лінії перетину перпендикулярних площин). Площина, перпендикулярна до лінії перетину двох пер пендикулярних площин, перетинає ці площини по пер пендикулярних прямих.

Теорема

Таким чином, встановлено ще одну властивість перпендику лярних площин. Ця властивість є характеристичною, тобто якщо вона справджується для деяких двох площин, то площини пер пендикулярні між собою. Маємо ще одну ознаку перпендикуляр ності П Л О ІЦ И Н . Т е о р е м а 4 (друга ознака перпендикулярності площин). Якщо прямі перетину двох площин третьою П Л О Щ И Н О Ю , перпендикулярною Д О Л І Н І Ї ЇХ Н Ь О Г О перетину, перпенди кулярні, то дані площини теж перпендикулярні.

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

398

□ Нехай площини а і Р перетинаються по прямій с, і плопщна у, яка перпендику лярна до прямої с, перетинає площини а і (З відповідно по прямих а і Ь (рис. 427). За умовою, a l b . Оскільки у ± с, то а 1 с. А тому пряма а перпендикулярна до площини р , за ознакою перпендикулярності прямої і площини (теорема 1 § 18). Звідси випливає, Рис. 427 що площини а і р — перпендикулярні, за ознакою перпендикулярності площин (теорема 1). ■ Заслуговують на увагу і теореми про зв’язки перпендикуляр ності двох плопідн до третьої площини з їхнім взаємним розмі щенням. 5 (про л ін ію п ер ет и н у двох площ ин, п ер п ен ди к ул я р ни х до т р ет ьої площ ини). Теорема

Якщо дві площини, що перпендикулярні до третьої пло щини, перетинаються, то лінія їхнього перетину перпен дикулярна до цієї площини. □ Нехай плошдни а і р , перпендикуляр А ні до площини у, перетинаються по прямій а \ ct 1 {а 1 у, чому?), і А — точка перетину прямої а з 1 / 1 1 плопщною у (рис. 428). Точка А належить лініям / перетину площин у і а, у і Р, а, за умовою, а _Lу і / '' р J- у. Тому, за означенням перпендикулярнос ті плошдн, через точку А можна провести пря мі, які лежать у площинах а і Р і перпенди Рис. 428 кулярні до площини у. Оскільки через точку можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до площини, то побудовані прямі збігаються, одночасно збігаючись з лінією пере тину площин а і р . Таким чином, пряма а — лінія перетину плошдн а і р — перпендикулярна до плопщни у. ■ Розглянемо теорему, яка описує зв’язок між паралельністю і перпендикулярністю плопщн. Відповідний результат ми вже мали для прямих і плопщн. Теорема

(про паралельні площ ини, перпендикулярні до т ре

т ьої площ ини).

Якщо одна з двох паралельних площин перпендикулярна до третьої, то і друга площина перпендикулярна до неї.

П ер п ен д и к ул я р н ість площ ин

399

□ Нехай площини а і р — пара лельні, а площина у перпендикулярМ /g І на до площини а. Оскільки плопщна 6 т\ / п 1 І у перетинає площину а , то вона по І І І т винна перетинати і паралельну їй / / площину (3. Візьмемо в площині а до / вільну пряму т, перпендикулярну до / площини у , і проведемо через неї, а також — через довільну точку площиРис. 429 ни Р, площину 5 (рис. 429). Площини 5 і р перетинаються по прямій п , а оскільки а Цр, то m ||/г (теорема 2 § 18). Із теореми 1 випливає, що п J. у, а тому перпендикулярною до плопщни у буде і площина р, яка проходить через пряму п . Ш

/ /

Доведена теорема дає ще одну ознаку перпендикулярності площин. Далі розглянемо ряд задач на побудову перпендикулярних плопщн. Через задану точку провести площину, перпендику лярну до даної, можна за допомогою ознаки перпендикулярності площин (теорема 1). Достатньо через цю точку провести пряму, перпендикулярну до даної площини (див. задачу 1 § 19). А потім через побудовану пряму провести плопщну. Вона буде перпенди кулярною до даної площини, за вказаною ознакою. Зрозуміло, що таких площин можна провести безліч. Більш змістовною є задача про побудову площини, перпенди кулярної до даної, за умови, що вона проходить через дану пряму. Зрозуміло, що якщо дана пряма перпендикулярна до даної пло пщни, то таких площин можна побудувати безліч. Залишилося розглянути випадок, коли дана пряма не перпендикулярна до даної площини. Можливість такої побудови обґрунтовано на рівні фізичних моделей прямих і плопщн у прикладі 1. З а д а ч а 1. Довести, що через довільну пряму, не перпенди кулярну до плопщни, можна провести плопщну, що перпендику лярна до даної плопщни. □ Нехай дано плопщну а і пряму І, І Ха.. Візьмемо на прямій І довільну точку М і проведемо через неї пряму т, перпендику лярну до плопщни а (рис. 430, а). Оскільки, за умовою, І не пер пендикулярна до а, то прямі І і т перетинаються. Через ці прямі можна провести плопщну р (рис. 430, б), яка, згідно з ознакою пер-

400

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Рис. 430 пендикулярності площин (теорема 1), буде перпендикулярною до плопщни а. ■

П р и к л а д 3. Через вершину А правильної піраміди SABC з основою ABC провести пряму, перпендикулярну до плопщни біч ної грані SBC. □ Для розв’язання даної задачі скорис таємось теоремою про перпендикуляр до лінії перетину перпендикулярних площин (теорема 2). Нехай К — середина ребра ВС (рис. 431). Площини AKS і BCS — перпен дикулярні, за ознакою перпендикулярнос ті площин (теорема 1). Справді, ВС ± SK і ВС ± АК, як медіани, проведені до основ у рівнобедрених трикутниках. Тому, за озна кою перпендикулярності прямої і площини (теорема 1 § 18), пряма ВС перпендикулярна до площини AKS. Плопщна BCS проходить через пряму, перпендикулярну до площини AKS. Побудова. Проведемо в площині AKS з точки А пряму AL, перпендикулярну до пря мої KS — лінії перетину площин AKS і BCS (рис. 432). За теоремою про перпендикуляр до лінії перетину перпендикулярних пло щин (теорема 2), пряма AL перпендикуляр на до площини BCS. Ш

I П ерпендикулярність п л ощ и н

401

Контрольні запитання 1.

' 4.

5. 6.

7. 8. 9.

2 0

На рис. 433 зображено чотирикутник ABCD — квадрат, пряма MD перпендикулярна до площини ABCD. Які з пар площин не є перпендикулярними: 1) MAD і MDC-, 2) МВС і МАВ-, 3) ABC і MDC\ 4) MAD і МАВ1 На рис. 434 зображено правильну чотирикутну піраміду SABCD, точки Р, М, N — середини ребер АВ, ВС, BS, О— центр основи ABCD. Які з пар площин є перпендикулярними: 1) ACS і BDS; 2) MOS і POS; 3) COS і MNP; 4) MNP і SOB; 5)CNDiABS? На рис. 435 зображено прямокутний трикутник ABC з пря мим кутом С і пряму ВР, перпендикулярну до площини ABC. Які з наступних пар площин є перпендикулярними: \)СВРІАВС; 2)АВРІАВС; 3)РАСІРВС; 4) РАС і РАВ?

Дві площини — перпендикулярні. Чи можна через довільну точку однієї з них провести пряму в цій площині, яка перпен дикулярна до другої площини? у площині а не можна провести пряму, перпендикулярну до площини (3. Чи можуть ці площини бути перпендикулярними? Через деяку точку площини а проходить пряма, що лежить у цій площині і перпендикулярна до площини (3. Чи правиль но, що площини а і (Зперпендикулярні? Секція паркану приладнана до вертикального стовпа. Чи можна стверджувати, що площина паркану вертикальна? Як до рейки, паралельної до поверхні землі, прикріпити вер тикально щит? Чому поверхня дверей, незалежно від того, зачинені вони чи відчинені, розміщена вертикально до підлоги? М атематика, 10 к

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

402

10. Чому висок щільно прилягає до вертикальної стіни, а до по хилої — не обов’язково? 11. Чи можна до похилого стовпа прикріпити щит так, щоб він був перпендикулярним до поверхні землі? 12. Як на практиці встановити, чи перпендикулярна площина стіни до площини підлоги?

{ ^ Графічні вправи 1. На рис. 436 зображено куб ABCDAfi^CJ)^. 1) Вкажіть площини, перпендикулярні до площини BDDy 2) Як розміщені площини і

На рис. 437 площини квадратів ABCD ABCJ)^ — перпендикулярні. Відстань СС^ до рівнює Ь. Знайдіть довжину відрізка: 1) АВ; 2) D f i 3) DJ)4) CJ).

Побудуйте рисунок за наведеними даними. 1) Площини рівносторонніх трикутників ABC і АВК — перпендикулярні. 2) Площина ABC перпендикулярна до площин BDC і ВЕА. 3) Площини а і р перпендикулярні до площини у і перетина ються по прямій а , лініями їхнього перетину з площиною у є прямі Ь і с. 4) У прямокутному паралелепіпеді ABCDAJi^CJi^ площини ABjCj і ВСА^ є перпендикулярними.

Задачі 421.

Відрізок OS проведено з центра О квадрата ABCD перпен дикулярно до його площини. 1°) Визначте взаємне розміщення площин ACS і ABC . 2°) Визначте взаємне розміщення площин ACS і BDS . 3) Побудуйте площину, що проходить через пряму OS, пер пендикулярну до площини ABS.

Перпендикулярність площин

403

4 ) Побудуйте площину, перпендикулярну до плопщни ABC, яка проходить через середини сторін AD і CD. 422. З точки перетину О діагоналей ромба ABCD проведено пер пендикулярний до площини ромба відрізок OS; АВ = DB = ^ S A = a. 1°) Визначте взаемне розміщення плопщн SDB і ABC, SDB і ACS. 2°) Побудуйте площину, яка проходить через пряму ВС пер пендикулярно до площини ABD. 3 ) Проведіть через середину F відрізка CS площину, пер пендикулярну до площини ABC. 4 ) Знайдіть площу трикутника BDF. 423. Дано куб ABCDAfi^Cp^. 1°) Визначте взаємне розміщення площин АВ^С^ і CDD^. 2 ° ) Визначте взаємне розміщення площин АВ^С^ і CD^A^. 3 ° ) Побудуйте площину, що проходить через точку А перпен дикулярно до площини BBJJ^. 4 ) Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через середини ребер AJ)^ і і перпендикулярна до площини ABC. 5) Визначте взаемне розміщення площини А А ^ і площини, що проходить через середини ребер CD. 6) Знайдіть площу перерізу куба площиною, що проходить через ребро ББ^ і середину ребра A fi^ (ББ^ = а). 7) Побудуйте точку, симетричну точці А відносно площини

424.

АВ А правильному тетраедрі ABCD з ребром

2 см точка М — се редина DB, а точка N — середина АС. 1°) Доведіть, що пряма DB перпендикулярна до площини АМС. 2 ° ) Доведіть, що площина BDN перпендикулярна до площи ни АМС. 3 ) Через точку О перетину медіан трикутника ADC прове діть пряму, перпендикулярну до площини АМС. 4 ) Знайдіть довжину відрізка цієї прямої всередині тетраедра. 5) У якому відношенні ділить цей відрізок площина АМС? у

425. Два рівносторонніх трикутники ABC і ADC лежать у пер пендикулярних площинах. 26*

404

______ _____________ Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

1°) Знайдіть довжину відрізка BD, якщо АС = 1 см. 2) Доведіть, що площина BKD {К лежить на прямій АС) перпендикулярна до площини кожного із трикутників тоді і тільки тоді, коли К е серединою сторони АС. 426. Прямокутник ABCD, сторони якого З см і 4 см, перегнули по діагоналі АС так, що трикутники ABC і ADC розмістились в перпендикулярних площинах. Визначте відстань між точ ками B i D після того, як перегнули прямокутник ABCD. 427. Через дану точку проведіть площину, перпендикулярну до кожної з двох даних площин. 428°. Доведіть, що площини суміжних граней куба є перпендику лярними. 429. Площини а і р перпендикулярні між собою. З точки А пло щини а проведено перпендикулярну до площини р пряму АВ. Доведіть, що пряма АВ лежить у площині а. 430. Доведіть, що коли площина і пряма, яка не лежить у цій площині, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то вони паралельні між собою. 431. Через точки А і В , що лежать на лінії перетину р перпенди кулярних між собою плопщн а і р, проведено перпендику лярні до р прямі АА^ в а, ВВ^ в р. Точка X лежить на прямій A 4j, а точка Y — на ВВ^. Доведіть, що пряма ВВ^ перпенди кулярна до прямої ВХ, а пряма — перпендикулярна до прямої А У. 432*. Через середину кожної сторони трикутника проведено плопщну, перпендикулярну до цієї сторони. Доведіть, що всі три проведені площини перетинаються по одній прямій, перпендикулярній до площини трикутника.

Вправи для повторення 433. У рівносторонньому трикутнику зі стороною Ь визначте: 1) висоту; 2) радіуси вписаного та описаного кіл. 434. З однієї точки проведено до даної прямої перпендикуляр і дві похилі. Визначте довжину перпендикуляра, якщо по хилі дорівнюють 41 см і 50 см, а їхні проекції на дану пряму відносяться, як З : 10. 435. Визначте катети прямокутного трикутника, якщо бісектриса прямого кута поділяє гіпотенузу на відрізки 15 см і 20 см.

П ер п ен д и к ул я р н ість площ ин

40 5

П ід с у м о к Головне означення Дві площини назива ються перпендикуляр ними, якщо кожна з них утворена прямими, що перпендикулярні до другої площини і прохо дять через точки пере тину цих площин.

Головні твердження Ознака перпендику Якщо одна з двох л ярност і двох п ло площин проходить щин через пряму, пер

пендикулярну до другої площини, то ці площини — пер пендикулярні. Т еорем а п ро п ер п ен ди к ул я р до л ін ії п ер ет и н у п ер п ен ди к ул я р н и х п л ощ и н

Якщо дві площини перпендикулярні, то пряма, що належить одній площині і пер пендикулярна до лінії перетину цих площин, перпенди кулярна до другої площини.

••у-’'V . “.т

Ь Х а ,

Ь ( = р = > а ± р

Ь± с ^ Ь1 а

§ 21. О ртогональне проектуван н я

Р о згл я д а ється проектування за н апр ям ом , перпенди к у л я р н и м д о п л о щ и н и п р о е к ц ії, та й о г о за с т о с у в а н н я .

Введення понять перпендикулярності прямої і пло щини, перпендикулярності площин дає змогу по вернутись до питань про зображення просторових геометричних фігур. Як вже відзначалось, якість зображень у стереометрії, тобто можливість за ними отримати найбільш повне уявлення про фігуру, залежить від вибору напряму паралельного проектування. Серед усіх можливих напрямів проектування ви діляється напрям, перпендикулярний до площини проекцій. Поперше, такий напрям лише один. По-друге, він найприродніший для сприйняття людиною (рис. 438 —440).

Рис. 438

Рис. 439

Рис. 440

Таким чином, одним із важливих у геометрії та її застосуваннях окремим випадком паралельного проектування є ортогональне проектування, тобто проектування вздовж прямої, перпендику лярної до плопщни проекцій. Ортогональний — від грецьких opdoq (orthos) — прямий, вертикальний і Y®via (допіа) — кут — буквально: прямокутний. Те саме, що й «перпендикулярний».

О р тогон ал ьн е п р ое к ту в а н н я

4 07

Паралельна проекція точки на площину називаєть ся її ортогональною проекцією, якщо пряма, що ви значає напряж проектування, перпендикулярна до площини проекцій. З теореми про дві паралельні прямі, одна з яких перпендику лярна до плопщни (теорема 1 § 19) маємо, що кожна проектуюча пряма при ортогональному проектуванні перпендикулярна до площини проекцій. Оскільки ортогональне проектування є окремим випадком паралельного проекту вання, то воно має всі властивості останньо го. Зокрема, ортогональною проекцією прямої а на неперпендикулярну до неї площину а є пряма Oj, яку можна вважати перетином пло щини а з площиною р, складеної з проекту Рис. 441 ючих прямих (рис. 441). Ці проектуючі прямі перпендикулярні до плопщни а. Тобто ортогональна проекція прямої на неперпендикулярну до неї площину є перетином пер пендикулярних площин. Ортогональне проектування має ряд особливостей. Ортогональному проектуванню на площину відповідає погляд зго ри на предмет, що розміщений на горизонтальному майданчику. Тому плоскі фігури, які розміщені паралельно площині проекцій, не спотворюються (рис. 442). Зокрема, не змінюються їхні лінійні

А ІІ

t л

І . А

і. / Рис. 443

Рис. 444

та кутові розміри, і ця властивість зумовлює широке використан ня ортогонального проектування у технічному кресленні. Втім, оскільки проектування на одну плопщну, взагалі кажз^и, не дає цілісного уявлення про предмет, то ортогональні проекції викону ють принаймні на дві або й на три взаємно перпендикулярні пло щини (рис. 443, 444). За таким кресленням нескладно відтворити

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

408

і форму предмета, і його розміри. Так, на рис. 444 представлені фронтальна (вид спереду), горизонтальна (вид зверху) і профіль на (вид збоку) проекції деталі (пластини з двома отворами). Ортогональне проектування, зазвичай, використовують і при зображенні кулі. В результаті зображенням кулі є круг. Якщо ас проектуючі прямі не перпендикулярні до плопщни проекцій, то проекцією кулі є частина площини, об межена еліпсом (уявіть собі тінь, яка прямує аж до горизонту, від кулі, що лежить на землі), що не відповідає на шому уявленню про кулю (рис. 445). Приклад 1. Правильна трикутна піраміда SABC з бічним ребром 5 см і

Рис. 445

стороною основи 3\[3 см ортогонально проектується на площину основи ABC. 1) В яку точку трикутника ABC проектується вершина S? 2) Визначити довжину відрізка, що з’єднує точку S з її проекцією на площину основи. □ 1) Нехай при ортогональному проектуван ні точка S проектується на точку О, SO 1. ABC (рис. 446). Оскільки АО ± SO, то трикутник SAO — прямокутний з гіпотенузою SA. За тео ремою Піфагора, АО = yjSA^' -SO^ . Аналогіч но з прямокутних трикутників SCO і SBO має мо: СО = ^SC^-SO^ , ВО = ^SB^-SO^ . Але в правильній піраміді AS = CS - BS, тому АО = = СО = ВО, тобто О — центр кола, описаного навколо основи ABC. 2) Як відомо, радіус кола R, описаного навколо правильного три кутника із стороною а, обчислюється за формулою; R = —— . Тому З

= з (см), а SO = ^SA^-AO^ =

АО = З

В ідповідь. 2) 4 см.

= 4 (см). ■

409

О р тогон ал ьн е п р оек ту в ан н я

Поняття перпендикулярності прямої та площини породжує один із найважливіших видів симетрії у просторі, а саме: симетрію відносно площини. Точки А і А, називаються симетричними відносно площини а, якщо відрізок АА^ перпендикулярний до площини а і точкою О перетину його з а поділяється навпіл (р и с. 447). Точка площини а вважається симе тричною сама собі. Із цього означення випливає, що АО = ОА^, тобто точки А\А^ — центрально-симетричні відносно точки О. Фігури простору F і називаються симетричними відносно площини а, якщо для кожної точки одні єї фігури є симетрична до неї точка в другій фігурі (ри с. 448).

Якщо ж у цьому означенні F = (йдеться про ту саму фігуру), то F називається симетричною відносно площини а (рис. 449). Прикладами симетричних відносно плошдн фігур насичені як реальний фізичний простір, так і геометричний. Природа ство рила симетричними фігури людей і більшості живих істот, симе

Рис. 450

Рис. 451

Рис. 452

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

410

тричною є книга, яку ви тримаєте в руках, столовий посуд, праска і багато-багато ін. (рис. 450 - 452). Неважко вказати площини, відносно яких симетричні куб, пра вильна піраміда, куля тощо. Відшукання у геометричної фігури симетрій відносно площин є суттєвим кроком при її вивченні. Це суттєво полегшує знаходження і доведення її властивостей.

В . Контрольні запитання 1.

На рис. 453 зображено конструкцію, зроблену з дроту. Чи однакові її ортогональні проекції на плопщни нижньої грані і бічної грані каркасного куба? На рис. 454 зображено конструкцію, зроблену з дроту. Порівняйте її ортогональні проекції на плопщни нижньої, верхньої і бічної граней кар касного куба. На рис. 455 зображено городошну фігуру «коло дязь». На котрому з рис. 456, а)-г) зображено одну з ортогональних проекцій цієї фігури? Рис. 454

О а)

Рис. 455

О б)

в)

г)

Рис. 456

Чи може ортогональною проекцією квадрата бути прямокутник, який не є квадратом? А навпаки? 5. Чи правильно, що ортогональною проекцією довільної прямої є пряма? 6. Чи може відрізок бути ортогональною проекцією трикутника? 7. Чи правильно, що довжина ортогональної проекції відрізка менша або дорівнює довжині самого відрізка? 8. Чи обов’язково ортогональною проекцією квадрата є прямо кутник? 9. Який кут може бути ортогональною проекцією прямого кута; гострого кута; тупого кута? 10. Відносно яких плопщн симетричні: а) точка; б) відрізок; в) пряма; г) плошцна?

411

О р тогон ал ьн е п р о е к ту в а н н я

Графічні вправи 1.

На кожному з рис. 457, а)-ґ) зображено вид спереду і вид звер ху деякої фігури. Для кожної пари вкажіть тіло, яке може так виглядати (відсутність на рисунках штрихових ліній означає, що у відповідної фігури немає невидимих ребер, або вони за криті видимими). Скільки дерев’яних кубиків використано для побудови вежі, якщо з трьох боків вона виглядає, як на рис. 458?

□ N ч а) 3.

б)

в) Рис. 457

г)

□ Г) Рис. 458

Фігура задана на рис. 459, а)-д) за допомогою трьох ортого нальних проекцій. 1) Зобразіть цю фігуру. 2) З’ясуйте, чи має фігура площини симетрії? Якщо має, то скільки?

:й

Рис. 459

412

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Побудуйте ортогональну проекцію правильної чотирикутної піраміди на: 1) площину основи; 2) площину, що проходить через ребро основи перпендику лярно до площини основи.

^Задачі 436°. Кінці відрізка АВ лежать по один бік від площини а. Від стані кінців відрізка АВ до їхніх ортогональних проекцій А^, на плош^іну а дорівнюють 4 см і 8 см. Знайдіть: 1) довжину відрізка АВ, якщо = 5 см; 2) відстань між серединою відрізка АВ і серединою симе тричного до нього відрізка відносно площини а. 437°. Кінці відрізка АВ лежать по різні боки від плопщни а. Від стані кінців відрізка АВ до їхніх ортогональних проекцій А^, В^ на плош^іну а дорівнюють 4 см і 8 см. Знайдіть: 1) довжину відрізка АВ, якщо А^В^ = 5 см; 2) відстань між серединою відрізка АВ і серединою симе тричного до нього відрізка відносно плопщни а. 438. У правильній чотирикутній піраміді SABCD зі стороною основи а відстань між її вершиною S і симетричною до неї точкою Sj відносно плопщни ABCD дорівнює Ь. Знайдіть: 1) довжину бічного ребра піраміди; 2) площу перерізу піраміди, що проходить через протилежні бічні ребра. 439. Тільки одна зі сторін кута лежить у плопщні проекцій. Доведіть, що ортогональною проекцією прямого кута є прямий кут, гострого кута — кут, менщий від проектованого, тупого кута — кут, більщий від проектованого, якщо плопщна, в якій лежить кут, неперпендикулярна до плопщни проекцій. 440. Плопщна, паралельна основі правильної чотирикутної піраміди, поділяє бічне ребро навпіл. Зобразіть піраміду, симетричну даній відносно цієї площини. Зобразіть також фігуру, отриману об’єднанням даної і отриманої пірамід? 441. Три взаємно перпендикулярні прямі ОХ, 0Y, 0 Z визначають три плопщни а, р, у. Точки M i N лежать у плопщнах Р і у. По будуйте ортогональні проекції прямої MN на плошцни а, р, у. 442. Балка закріплена кінцями на стінці і на стелі, причому відстані від кінців балки до лінії перетину стелі і стіни дорівнюють, відповідно, зо см і 40 см. Знайдіть довжину

413

О р тогон ал ьн е п р оек ту в ан н я

балки, якщо довжина її проекції на лінію перетину стелі і стіни дорівнює 120 см.

^ В п р а в и для повторення 443. З точки А проведено до даної прямої дві рівні похилі АВ і АС, відстань між основами яких дорівнює 16 см. Визначте довжину проекції кожної похилої на дану пряму. 444. У трикутнику проекції бічних сторін на основу дорівнюють 15 м і 27 м, а більша з бічних сторін дорівнює 45 м. На які частини вона поділяється (починаючи від вершини) перпен дикуляром до основи, проведеним з її середини. 445. У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 13 см і 84 см. Визначте радіус вписаного кола. 446. Довжини трьох сторін прямокутної трапеції дорівнюють 25 см, 25 см, 32 см. Знайдіть довжину четвертої сторони.

П ід с у м о к Головні означення Паралельна проекція точки на плопщну називається її ортогональною проекці єю, якщо пряма, що визначає напрям проектування, пер пендикулярна до плопщни проекцій. Точки М і називаються симетричними відносно площини а, якщо відрізок MMj перпендикулярний до а і точкою О перетину його з а поділяється навпіл. Точка плопщни а вважається симетричною сама собі.

Фігури простору F і Fj на зиваються симетричними відносно площини а, якщо для кожної точки однієї фігу ри є симетрична до неї точка в другій фігурі.

М О

м о

№

а\ /

§ 22 . Перпендикуляр і похила

Р о згл я д а ю ться властивості пер пенд икуляр а і п о хи л о ї д о п л о щ и н и , їх н і з а с т о с у в а н н я д о в и м ір ю в а н н я в ід с та н і у п р о с т о р і.

У планіметрії вимірювання відстаней між точкою і прямою (або між паралельними прямими) пов’язане з порівнянням довжин похилих і перпендикулярів. Розглянемо аналогічні поняття у просторі. Нехай один із кінців А відрізка АВ ле жить у площині а, а інший — поза плопщною (рис. 460). Якщо відрізок і площина не перпендикулярні, то ортогональною проек цією відрізка АВ на площину а є відрізок АР, де Р — ортогональна проекція точки В на площину а. Маємо площину а і прямокутний Рис. 460 трикутник АВР, один з катетів якого лежить у площині, а другий — перпендикулярний до неї. Сторони прямокутного трикзггника АВР мають свої назви: гі потенуза АВ називається похилою, катет ВР — перпендикуля ром, катет АР — проекцією похилої (йдеться, звичайно, про ортогональну проекцію). Точку Р називають основою перпенди куляра ВР, а точку А — основою похилої БА. Оскільки трикутник АВР прямокутний, то, згідно з теоремою Піфагора, АР^ + РВ^^АВ\ Ця рівність разом з іншими властивостями прямокутних три кутників дає змогу сформулювати ряд властивостей перпендику ляра, похилої та її проекції.

41 5

П ерпендикуляр і похила

Теорема 1

(вл аст и віст ь п ер п ен ди к ул яр а до п лощ ини).

Перпендикуляр, проведений з точки до площини, мен ший від усякої похилої, проведеної з цієї самої точки до даної площини.

Теореча 2

(вл аст и віст ь п охи л и х і їхніх проекцій).

Похилі до площини, які проведені з однієї точки, рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні проекції. Якщо дано дві похилі, проведені з однієї точки до площини, то більша похила має більшу проекцію, і навпаки, більшій проек ції відповідає більша похила. Усі ці властивості можна вважати наслідками теореми Піфагора. їх легко можна проілюструвати прикладами з навколишнього середовища. Вертикальна підпірка до стовпа з ліхтарем (рис. 461) менша від частини стовпа від землі до місця кріплення підпірки (перпен дикуляр менший від похилої). При запуску повітряного змія чим більше відмотаєш мотузки (рис. 462), тим далі будеш знаходитись від місця, над яким зна ходиться змій (більшій похилій відповідає більша проекція).

Рис. 461

Рис. 462

Рис. 463

Під час катання на каруселі (рис. 463) всі знаходяться на од наковій відстані від стовпа, до якого кріпляться кабінки (рівні по хилі мають рівні проекції). Властивості перпендикуляра і похилої широко застосовують ся в стереометрії для встановлення взаємного розміщення геоме тричних фігур, вимірювання відстаней. Варто звернути увагу і на зрі^ність користування термінологією, що сформувалась при цьо му. Розглянемо узагальнення результатів прикладу 1 із § 21. З а д а ч а 1. Довести, що ортогональна проекція вершини пра вильної шестикутної піраміди на плопщну основи є центром кола, описаного навколо основи піраміди.

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

416

□ Нехай S — вершина піраміди, Aj, Aj, Ag — вершини основи, а точка О — проекція вершини S на плопщну основи (рис. 464, а). Біч ні ребра SA., і = 1, 2, ..., 6, можна розглядати як похилі, проведені до площини основи з точки S. Вони рівні між собою, а тому рівними є їхні проекції А .о на плопщну основи (рис. 464, б). Отже, кожна з вершин А. основи розміщена на однаковій Рис. 464 відстані від точки О, тобто на колі з центром О і з радіусом ОА.. Ш Легко здогадатись, що задача справджується для довільної правильної д-кутної піраміди з таким самим доведенням. В

Якщо проаналізувати розв’язання задачі 1, то можна дійти висновку, що ортогональна проекція вершини будь-якої тг-кутної піраміди, бічні ребра якої є рівними між собою, на площину основи є центром кола, описа ного навколо основи піраміди.

П р и к л а д 1. ЗнaйтивiдcтaньвiдвepшиниCJкyбaABCZ)A^B^CJD^ з ребром а до центра О грані ABCD. □ Побудуємо рис. 465, який відповідає умові прикладу. Відрізок СС^ — перпендику ляр до плопщни грані ABCD, C fi — похила, СО — її проекція. За умовою, СС^ - а, а СО дорівнює половині довжини діагоналі квадрата:

пп = -С ^ пл СО А = — а. 2

прямокутного

трикутника COCj маємо: C fi = yJCO^ -і- CCf =

Рис. 465

■а В ідповідь. Насправді це завдання є суто планіметричним, якщо розгля нути рівносторонній трикутник DC^B зі стороною \І2а .

417

П ерпендикуляр і похила

Розглянемо задачу про вимірювання відстані між точкою і прямою у просторі. Оскільки через пряму і точку, що не лежить на прямій, можна провести єдину плопщну, то сформульована зада ча є взагалі планіметричною. Однак у стереометрії ця задача має свої особливості, які можна проілюструвати таким прикладом.

П р и к л а д 2. Знайти відстань від вершини башти до дороги, якш;о відомі висота башти h і відстань а від дороги до підніжжя башти. □ Умову прикладу ілюструє рис. 466, на якому поверхня землі моделюється плопщною а, дорога — прямою АВ, башта — відріз ком 0 0 ^, перпендикулярним до плопщни а. Шукана відстань дорівнює довжині перпен дикуляра ОС, проведеного з точки о до пря мої АВ. Рис. 466 Проблема полягає в тому, як знайти осно ву цього перпендикуляра, перебуваючи в плошдні а. Очевидно, ш,о для цього досить з точки Oj провести перпендикуляр OjC до прямої АВ (рис. 466). Відрізок ОС і є шуканим перпендикуляром. Справді, згідно з властивістю похилих і проекцій (теорема 2), ко жен інший відрізок, ш;о сполучає точку О з точкою прямої АВ, є довшим від відрізка ОС, бо довша його проекція. Обчислення у цій задачі прості. Оскільки трикутник OCOj прямокутний і ОС — його гіпотенуза, то ОС =

= л/а^ +h^ ■■

У розглянутому прикладі ми дійшли висновку, який широко використовується при вимірюванні відстаней і встановленні пер пендикулярності прямих у просторі.

Т е о р е м а з (про три перпендикуляри). Пряма, що проведена у площині через основу похилої, перпендикулярна до похилої тоді і тільки тоді, коли вона перпендикулярна до їі проекції. Стисле доведення цієї теореми фактично наведено у прикладі 2. Воно ґрунтується на тому, що порівняння довжин похилих, проведе них з однієї точки, еквівалентне порівнянню їхніх проекцій. Теорема про три перпендикуляри е ознакою перпенди кулярності прямих у просторі, а тому мас важливе зна чення в стереометрії. 2 у М атематика, 10 кл.

418

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

П р и к л а д 3. Площини квадратів ABCD і ABCJJ^ зі стороною а перпендикулярні. Знайти відстань від середини М сторони до сторони CD. □ Відстань від точки М до прямої CD дорів нює довжині відрізка MN, це N — середина CD (рис. 467). Справді, перпендикуляр МР, прове дений до площини ABCD, лежить у площині ABCJ)^, бо ці площини перпендикулярні. Тому МР і АВ. Точка Р є серединою відрізка АВ, бо МР II CjB \ М — середина CJ}^. Але тоді проек ція PN похилої MN перпендикулярна до пря мої CD як відрізок, що з’єднує середини проти лежних сторін квадрата. За теоремою про три перпендикуляри (теорема 3), MN ± CD, тобто M N — перпендикуляр до прямої CD. З прямокутного трикутника MPN маємо MN = ^MP^+PN^ = 7

= 72а. ■

Порівняйте розв’язання прикладів 2 1 3 . Що у них спільного, чим вони відрізняю ться? у зв’язку зі значимістю теореми про три перпен дикуляри (теорема 3) розглянемо докладніше її доведення. При цьому скористаємось способом, пов’язаним із використання її для встановлення перпендикулярності прямих у просторі. Дано: А Р — проекція похилої АВ до площини а, І с: а, А є І. Довести: І - L АВ <=> І ± АР. □ Доведення теореми складається з двох частин. Нехай спочат ку похила АВ перпендикулярна до прямої І, що лежить у площині а (рис. 468, а). Доведемо, що її проекція АР також перпендикуляр-

Рис. 468

П ерпендикуляр і похила

419

на до прямої І. Проведемо через точку А в площині трикутника АВР пряму d, паралельну перпендикуляру ВР (рис. 468, б). Згід но з теоремою про дві паралельні прямі, одна з яких перпенди кулярна до плопщни (теорема 1 § 19), пряма d перпендикулярна до площини а, тому перпендикулярні між собою прямі d та І. За умовою, пряма І перпендикулярна ще і до прямої АВ. Отже, пря ма І перпендикулярна до двох прямих площини АВР, які пере тинаються, а тому перпендикулярна до цієї площини, за ознакою перпендикулярності прямої і плопціни (теорема 1 § 18). Оскільки проекція АР лежить у площині АВР і перетинав І, то АР 1 1. Доведення оберненого твердження аналогічне наведеному. Для цього досить слово «проекція» замінити словом «похила», і навпаки. ■ М

Застосування теореми про три перпендикуляри як озна ки перпендикулярності прямих у просторі зводиться до перевірки правильності одного з наступних тверджень. 1) Чи містить одна із даних прямих проекцію похилої до площини, в якій лежить інша пряма, і чи перпенди кулярна похила до неї? 2) Чи містить одна із даних прямих похилу до площини, в якій лежить інша пряма, і чи перпендикулярна про екція похилої до неї?

П р и к л а д 4. Відрізок А Р перпендикулярний до площини пара лелограма ABCD. Доведіть, що: 1) ABCD — прямокутник, якщо пряма PD перпендикулярна до CD; 2) ABCD — ромб, якщо пряма РО, де О — точка перетину діагона лей паралелограма, перпендикулярна до BD. □ 1) Якщо пряма PD перпендикулярна D до прямої CD, що лежить у площині пара лелограма а (рис. 469), то, за теоремою про три перпендикуляри (теорема 3), її проекція ■'В AD перпендикулярна до прямої DC. Тому ^ Рис. 469 паралелограм ABCD є прямокутником. 2) Якщо похила РО перпендикулярна до діагоналі BD (рис. 470), то її проекція АО Р D буде перпендикулярна до прямої BD, за тео ремою про три перпендикуляри. Діагоналі fa (Т 'В паралелограма ABCD — перпендикулярні. А Рис. 470 Тому він є ромбом. ■ 27*

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

420

П р и к л а д 5. З точки М гіпотенузи прямокутного трик5ггника A B C проведено перпендикуляр M N до площини трикутника. Провести через точку N пряму, перпендикулярну до прямої ВС. □ Побудуємо рис. 471 за умовою прикладу. Скористаємось те оремою про три перпендикуляри. Для цього з точки М проведемо перпендикуляр М К до прямої ВС. Відрізок М К є проекцією похи лої NK, тому він перпендикулярний до ВС разом з МК. Побудова. Через точку М проведемо пряму М К паралельно прямій А С (рис. 472), де — точка її перетину з прямою ВС. Пря ма N K — шукана. ■

С Рис. 471

а 1.

С Рис. 472

Контрольні запитання На рис. 473 зображено дві похилі А В і А С та їхні проекції РВ і P C на площину а. Яка з цих проекцій більша, якщо: 1) АВ = 6, АС = 4; 2) АВ = 5, АС = 7? З вершини А прямокутника A B C D {АВ < ВС) проведено пер пендикуляр A M до його плопщни. Точку М з’єднано з точками В, С, D (рис. 474). 1) Порівняйте довжини відрізків МА, MB, МС, MD. 2) Довжина якого відрізка дорівнює відстані від точки М до прямої ВС? З вершини С прямого кута прямокутного трикутника A B C проведено перпендикуляр CS до його площини (рис. 475).

Перпендикуляр і похила

421

1) Яка з похилих SA і SB більша, якщо k jt А дорівнює 30°? 2) Довжина якого віцрізка дорівнює відстані від точки S до прямої, яка проходить через точку В паралельно прямій АС? 4. Яку фігуру утворюють основи усіх рівних похилих, проведе них до площини з однієї точки? 5. Пряма проходить через центр кола і перпендикулярна до його площини. Чи рівновщдалені точки прямої від точок кола? 6. Чи правильно, що пряма перпендикулярна до похилої на дея ку площину, якщо вона перпендикулярна до її проекції на цю площину? 7. Чи правильно, що пряма, яка перпендикулярна до похилої на пло щину і до її проекції на цю плош?шу, лежить у цій плопщні? 8. Дві рівні похилі, проведені з різних точок до плопщни, мають рівні проекції на цю площину. Чи рівні кути вони утворюють з перпендикулярами, проведеними з цих точок до цієї площини? 9. Пряма перетинає площину. Чи завжди існує в цій площині пряма, перпендикулярна до цієї прямої? 10. Яку фігуру утворюють точки, рівновіїщалені від: а) вершин трикутника; б) прямих, що містять сторони трикутника?

И Г р а ф і ч н і вправи 1.

з центра симетрії О паралелограма ABCD проведено перпендикуляр OS до його плопщни (рис. 476). 1) Порівняйте довжини похилих SA і SC. 2) За яких умов довжина похилої SD більша за довжину похилої SA? 3) Довжині якого відрізка дорівнює відстань від точки S до прямої, яка проходить через точку в паралельно прямій АС? З вершини А прямокутного трикутника ABC з прямим кутом С проведено пер пендикуляр АК до плопщни трикутни ка (рис. 477). 1) Довжина якого відрізка дорівнює від стані від точки К до катета СВ? 2) Порівняйте довжини похилих КВ ІКС.

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

42 2

6. 7.

з середини М сторони C D прямокутника A B C D проведено перпендикуляр M S до його площини, N — середина АВ (рис. 478). 1) Порівняйте довжини похилих SC і SB. 2) Довжина якого відрізка дорівнює від стані від точки S до прямої АВ? 3) За яких умов довжини похилих SC і S N є рівними? к З вершини С ромба A B C D проведено перпендикуляр С К до його площини (рис. 479). 1) Порівняйте довжини похилих К О і КВ. 2) Довжина якого відрізка дорівнює відстані від точки К до діагоналі BD? Рис. 479 Через середину D сторони А С рівностороннього трикутника A B C проведено перпендикуляр DS. Проведіть у площині трикутника через вершину в пряму, перпендикулярну до похилої SB. Через вершину С правильної трикутної піраміди S A B C про ведіть пряму, перпендикулярну до прямої SC. На зображенні правильної піраміди SAB C з точки М ребра SC проведіть перпендикуляр до сторони основи АВ.

Е Я Задачі 447°. З деякої точки простору проведено до даної плопщни пер пендикуляр завдовжки 6 см і похилу завдовжки 9 см. Зна йдіть довжину проекції похилої і кут, який вона утворює з похилою. 448. Нехай М А — перпендикуляр до площини прямокутника A B C D зі сторонами 15 см і 16 см, М С = 25 см. Знайдіть від стані від точки М до інших вершин прямокутника. 449. З деякої точки А до даної плопщни проведено перпендикуляр А О завдовжки 1 см і дві рівні між собою похилі А В та АС, які утворюють з перпендикуляром кути по 60°, а між собою — пря мий кут. Знайдіть відстань між основами похилих. 450. З деякої точки до даної плопщни проведено дві рівні похилі. Кут між ними дорівнює 60°, Kjn: між їхніми проекціями — 90°. Знайдіть кут між похилою та i"i проекцією. 451. З даної точки простору до площини проведено дві похилі, різниця довжин яких становить 6 см. їхні проекції на цю

Перпендикуляр і похила

423

площину дорівнюють 27 см і 15 см. Знайдіть довжину пер пендикуляра, проведеного з даної точки до плопщни. 452. З точки А проведено до даної площини перпендикуляр АС завдовжки 10 см, а з точки В — похилу BD завдовжки 11 см. Знайдіть АВ, якщо CD = 6 см і АВ 1 BD. 453. З точки М, що лежить за межами площини трикутника ABC, проведіть перпендикуляр до прямої АВ, якщо: 1) пряма МС перпендикулярна до плопдани ABC і АС = ВС; 2) основа О перпендикуляра, проведеного з точки М до плоттщни ABC, поділяє ВС навпіл, а кут ВАС — прямий; 3) трикутник ABC — рівносторонній, О — середина сторони ВСІ М О Ї ABC. 454. Точка, що лежить поза площиною трикутника зі сторонами 10 см, 8 см, 6 см, віддалена від його вершин на 13 см. Зна йдіть відстані від даної точки до сторін трикутника. 455°. З точки перетину діагоналей прямокутника проведено пер пендикуляр до його площини. Доведіть, що кожна точка цього перпендикуляра рівновіддалена від вершин прямо кутника. 456. З даної точки А, яка не лежить у плопщні а, проведено похилі АВ і АС, які утворюють рівні кути з прямою ВС плопщни а. Доведіть, що проекції цих похилих на плопщну а рівні між собою. 457. Із середини сторони ромба зі стороною а проведено перпен дикуляр до його площини, верхній кінець якого віддалений на — від більшої діагоналі завдовжки d. Визначте довжину 2

цього перпендикуляра. 458. Із середини сторони правильного шестикутника зі стороною а про ведено перпендикуляр до його плопщни завдовжки —. Знайдіть 4 відстані від його верхнього кінця до сторін шестикутника. 459. У правильній чотирикутній піраміді плопщни двох проти лежних бічних граней — перпендикулярні. Чи е перпенди кулярними плопщни двох інших бічних граней?

Вправи для повторення 460. Дано прямокутний трикутник ABC, катети якого АС і ВС дорівнюють, відповідно, 20 см і 15 см. Через точку А прове

424

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

дено площину а, паралельну прямій ВС. Довжина проекції одного з катетів на площину а дорівнює 12 см. Знайдіть про екцію гіпотенузи. 461. Ескалатор метрополітену має 170 східців шириною 40 см і висотою 20 см. Визначте: 1) довжину ескалатора; 2) кут його нахилу до горизонталі; 3) глибину станції.

П ід с у м о к Властивості перпендикуляра, похилої та їїпроекції Перпендикуляр, проведений з точки до площини, менший віц усякої похилої, проведеної з цієї самої точки до даної плошдни.

Похилі до плопщни, які прове дені з однієї точки, рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні проекції.

ВР 1 а , Р є а, ВА = ВС о АР = СР

Якщо дано дві похилі, проведе ні з однієї точки до плопщни, то більша похила має більшу проекцію, і навпаки, — біль шій проекції відповідає біль ша похила. ВР 1 а, Р е а, ВА < ВС о

АР < СР

Теореіиа про три перпендикуляри Пряма, що проведена у площині через основу похилої, перпендику лярна до похилої тоді і тільки тоді, коли вона перпендикулярна до її АВ^а,СеАВ, проекції.

OOj 1 а, О^СІ АВ => ОС 1 АВ

Вимірювання відстаней у просторі

У цьому параграфі розглядається вимірювання від станей між основними фігурами стереометрії (точкою і площиною, прямою і площиною, площинами).

Вимірювання відстаней між різними фізичними об’єктами є одним із найпоширеніших видів матема t iS тичної діяльності людини. Якш;о розмірами об’єктів можна знехтувати, то йдеться про вимірювання вздстанеи між точ ками, тобто про визначення довжин віцрізків. В інших випадках мо делювання даних об’єктів за допомогою точок при вимірюванні від станей між ними недоцільне чи безглузде, наприклад, коли йдеться про вимірювання відстані між електролампою і столом (рис. 480), якщо першу можна ототожнювати з точкою, то для моделювання стола більш придатна плопщна чи її частина. Аналогічна ситуація виникає при визначенні відстані між фасадами будівель (рис. 481), ш;о при математичному моделюванні зводиться до визначення від стані між паралельними плоїцинами; при встановленні вертикаль ної рейки на певній відстані від стіни (рис. 482) (визначення відстані між паралельними прямою і плоїциною) тощо.

' Рис. 480

Рис. 481

Рис. 482

Розглянемо питання про вимірювання відстаней між найпро стішими фігурами у просторі. Зміст поняття відстані залишаєть-

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

426

ся таким самим, як і в планіметрії. Наприклад, відстань d від точки А до прямої а — це найкоротша відстань між цією точкою і точками прямої (рис. 483), а відстань між паралельними прямими аіЬ — це довжина d найкоротшого з відрізків, що сполучає точки цих прямих (рис. 484).

□_

Рис. 483

Рис. 484

Рис. 486

Такий самий зміст має і загальне поняття відстані між фігура ми. Наприклад, вимірювання відстані d від пункту А до озера В (рис. 485), відстані d між озерами А і В (рис. 486) зводиться до ви мірювання найкоротшого відрізка, який з’єднує точки цих фігур (точка теж е фігурою). Узагальнення поняття відстані між фігурами у просторі не ви кликає труднощів. Відстанню між фігурами називають довжину най коротшого з відрізків, який сполучає точки даних фігур. Якщо фігури перетинаються, то будемо вважати, що відстань між ними дорівнює нулю. Це і зрозуміло, бо фігури в цілому «не віддалені» одна від одної. Для фігур, що не мають спільних точок, відстань між ними є однією з мір їхнього взаємного роз міщення. Зрозуміло, що задача знаходження відстаней між довіль ними геометричними фігурами є надто загальною, а тому об межимося детальним розглядом відстаней між найпростішими фігурами простору — точками, прямими, площинами. Як і в планіметрії, ці відстані реалізуються через довжини відповід них перпендикулярів. Окрім того, до вказаних ситуацій частогусто зводиться задача про вимірювання відстаней між склад нішими фігурами.

Т в оре на 1 (про відстань від точки до площини). Відстань від точки д о площ ини д ор івн ю є довж ині перпен дикуляра, п роведен ого з дан ої точки д о дан ої площини.

Вимірювання відстаней у просторі

427

Ця властивість відстані від точки до пло щини безпосередньо випливає з властивості похилих і перпендикулярів. Справді, пер пендикуляр, проведений з точки до площи ни, менший від похилих, проведених з тієї самої точки до точок плошдни (рис. 487).

Теорема 2

(про відстань між прямою і площиною).

Відстань між прямою і паралельною їй площиною дорів нює довжині перпендикуляра, проведеного з довільної точки прямої до даної площини. Обґрунтування цієї властивості про від стань між прямою і площиною спирається на d d властивості прямої, паралельної площині, і теорему 1 про відстань віц точки до площи ни. Справді, відстань від кожної точки пря Рис. 488 мої до площини дорівнює довжині перпенди куляра, проведеного з даної точки до площини. Для точок прямої, паралельної площині, ці відстані є рівними (рис. 488).

Теорема З

(про відстань між паралельними площинами).

Відстань між паралельними площи нами дорівнює довжині перпендику ляра, проведеного з довільної точки однієї площини до другої площини. Обґрунтування теореми З аналогічне об ґрунтуванню теореми 2. Відмінність поля гає лише в тому, що перпендикуляри прово Рис. 489 дяться з усіх точок однієї плопщни до другої (рис. 489). Наведеними властивостями широко користуються у різних сфе рах діяльності людини, у побуті. Наприклад, за їхньою допомогою визначають відстані від літака до поверхні землі, від світильника до підлоги, від дроту лінії електропередач до поверхні землі, між стелею і підлогою тощо. П р и к л а д 1. Плопщни правильного трикутника A B S і квадра та A B C D зі стороною а — перпендикулярні, точки L, К, М є серед инами відповідно сторін DC, АВ, AS. Знайти відстань: 1) від точки А до прямої BS',

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

4 28

2) від точки А до площини SBC; 3) від прямої AD до площини SBC; 4) між площинами MKL і SBC. □ 1) Відстань від точки А до прямої BS дорівнює довжині перпендикуляра, проведе ного з точки А до прямої BS у площині ABS. Оскільки трикутник ABS — правильний, то D таким перпендикуляром буде медіана АР Щзого трикутника (рис. 490). Її довжина дорівнює

-а.

2) Відстань від точки А до плопщни SBC дорівнює, за властивістю відстані від точки до плопщни (теорема 1), довжині перпендикуля ра, проведеного з точки А до площини SBC. Цим перпендикуля ром буде відрізок АР, де Р — середина сторони SB (див. рис. 490). Справді, відрізок АР перпендикулярний до сторони SB трикутни ка ABS, бо він є медіаною правильного трикутника. Пряма ВС перпендикулярна до площини ABS, бо вона лежить в одній з пер пендикулярних площин і перпендикулярна до лінії їхнього пере тину. Проведемо через точку Р пряму РЕ, па ралельну прямій ВС (рис. 491). Вона лежить у плопщні SBC (чому?) і перпендикулярна до площини ABS, за теоремою про дві паралельні прямі, одна з яких перпендикулярна до пло щини (теорема 1 § 19): ВС ЦРЕ, ВС 1ABS. Тому РЕ J. ABS. За означенням, РЕ ± АР. За ознакою перпендикулярності прямої і площини (теоре ма 1 § 18), АР ± SBC. Довжина перпендикулял тз дорівнює — а. тт ра АР Це і є шукана відстань 2 від точки А до площини SBC. 3) Пряма AD і площина SBC — паралельні, за ознакою паралельності прямої і плопщни (теорема 1 § 11): AD ЦВС. Тому шукана відстань, за властивістю відстані між прямою і плопщною (теорема 2), дорівнює відстані від точки А до плопщни SBC і, за

попереднім завданням, дорівнює — а.

429

Вимірювання відстаней у просторі

4) Площини MKL і SBC — паралельні, за ознакою паралель ності площин (теорема 1 , § 1 2 ) : КМ ЦВС (КМ— середня лінія три кутника ABS), KL II ВС {KL — відрізок, що з’єднує середини пара лельних сторін квадрата ABCD), тому MKL ЦSBC. Отже, шукана відстань, за властивістю відстані між паралельними плопщнами (теорема 3), дорівнює довжині перпендикуля ра, проведеного з довільної точки площини MKL до площини SBC. Візьмемо точку перети ну F відрізків МК і А Р (рис. 4 9 2 ) . Оскільки А Р є перпендикуляром до плоїщіни SBC (див. за вдання 2 ) , то F P — перпендикуляр до цієї пло-

пщни. його довжина дорівнює —А Р , бо серед2

ня лінія трикутника поділяє медіану, яку вона перетинає, навпіл (чому?). Шукана відстань

Рис. 492

дорівнює — а. Ш 4 >/з

- .4

В ід п о в ід ь . 1) —

а;

2) —

%/з а;

3) —

л/з а;

4) —

а.

Розглянемо детальніше доведення властивостей відстаней у просторі. Оскільки теорема 1 є прямим наслідком властивостей похилих і перпендикуля рів, розглянемо доведення теореми 2. □ Нехай маємо пряму І і паралельну до неї А 3 1 плош^іну а (рис. 493). Оскільки відстань між прямою І і плопщною а — це довжина найкоротшого відрізка, що сполучає їхні точки, то / довжина похилої, яка сполучає точки прямої / А, 3. / і плопщни, не може бути шуканою відстанню. Доведемо, що довжини всіх перпендикулярів, Рис. 493 проведених із точок прямої І до плопщни а, рівні між собою. А тому відстань між прямою і плопщною дорів нює довжині кожного з таких перпендикулярів. Проведемо з двох точок А і в прямої І перпендикуляри A 4j і ВВ^ до плопщни а. Оскільки прямі, що перпендикулярні до однієї плопщни, паралельні між собою (теорема 2 § 19), то через прямі A 4j і BBj можна провести плопщну, яка містить І. Пряма А^В^ є лі нією перетину цієї плопщни з плопщною а (чому?). Однак у цьому

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

430

випадку АВ Ц тобто чотирикутник АА^В^В є паралелограмом (навіть прямокутником). Звідси АА^ = ВВ^. ■ Доведення теореми З аналогічне доведенню попередньої тео реми. □ Як і в теоремі 2, похила, що з’єднує дві точки паралельних площин, не може визначати відстань між ними. А всі перпендику ляри, проведені з точок однієї з площин до другої, паралельні, за теоремою про паралельність прямих, перпендикулярних до пло щини (теорема 2 § 19). До речі, вони одночасно перпендикуляр ні до обох площин, за теоремою про паралельні площини, одна з яких перпендикулярна до прямої (теорема З § 19). Нехай а і р — паралельні площини, а АА^ і ВВ^ — два довільні перпендикуляри, що з’єднують точки цих площин (рис. 494). Вони паралельні, а тому рівні, за теоремою про відрізки паралельних прямих між паралель ними площинами (теорема 4 § 12). Можна і безпосередньо довести рівність цих відрізків, Рис. 494 розглянувши чотирикутник АА^В^В, як це було зроблено при доведенні теореми 2. ■ За допомогою поняття відстані можна характеризувати паралель ність прямої і плоїщши, паралельність плопцш. При цьому справджу ються наступні твердження, які є оберненими до теорем 2 і 3. Теорема

(ознак а п ар а л ел ьн ост і п р я м ої і площ ини).

Якщо всі точки прямої лежать на однаковій, відмінній від нуля, відстані від площини, то пряма і площина — паралельні. Теорема

(ознак а п ар а л ел ьн ост і п л о щ и н ).

Якщо всі точки однієї площини лежать на однаковій, відмінній від нуля, відстані від другої площини, то ці площини — паралельні. Справді, при виконанні умов цих тверджень відповіцні фігури не можуть мати спільних точок, інакше б відстань між ними до рівнювала нулю. Твердження будуть правильними, якщо умови виконуються не для всіх точок, а для кількох. У першому твердженні досить при пустити, що умова виконується для двох точок прямої, у другому —

Вимірювання відстаней у просторі

431

Рис. 496

для трьох точок, які не лежать на одній прямій (рис. 495, 496). Спробуйте довести це самостійно. Наведені твердження широко використовуються у практиці як ознаки паралельності прямої і площини, двох плопщн. Так, паралельність поверхні стола до під логи забезпечується однаковою довжиною його ніжок.

П р и к л а д 2. У тетраедрі SA BC основа A B C — рівносторонній трикутник зі стороною 6 см, бічні грані SAB, SAC, SBC — рівнобедрені трикутники з бічним ребром 5 см. Знайти відстань від цен тра О основи до плопщни бічної грані. □ Відстань від точки О до плопщни SBC дорівнює довжині перпендикуляра О К із точки О на площину S B C (рис. 497). Точка О лежить на перетині медіан (і висот!) трикут ника ABC, причому OD = —AD = = л/з З З•2 Оскільки в трикутнику SBC медіана SD та кож є висотою, то S D 1 ВС, тому BC1.0DC і SBCLODC. Отже, перпендикуляр із точки О на площину B S C збігається з перпендикуля ром О К із точки О на пряму SD, яка є лінією перетину площин SAD і SBC. За теоремою Піфагора, SD = -JSB^' -BD^^ = л/б^ -3^ = 4 (см). Оскільки ортогональні проекції бічних ребер на основу — однакові, то S ортогонально проектується в центр описаної навколо трикутника A B C кола, тобто в точку О. Тому трикутник S O D — прямокутний. За теоремою Піфагора, маємо: S O = VSD^ - OD^ = = л /і6 -3 = л/ЇЗ (см). Неважко побачити, що О К = (SO ■0D) : SD = = (л/іЗ •л/з): 4 = ------ (см). Зрозіпміло, з огляду на симетрію, що відстані від точки О до інших бічних граней такі самі. І В ід п о в ід ь .

------ см.

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

432

о 1.

Контрольні запитання На рис. 498 зображено куб ABCDA^B^CJ)^, точки О, Oj — центри граней ABCD і

1) Яка з точок Aj, О^, лежить ближче до нижньої основи куба? 2) Які з ребер куба найбільш віддалені від площини 3) Яка з відстаней більша: віц прямої АО^ до плопщни DCC^ чи віц прямої AD^ до плопщшіВОС^? 4) Чому дорівнює відстань між плопщнами ADD^ і ВСС^ 2 . Нехай пряма а паралельна плопщні а. Чи можуть точки пря мої а знаходитись на різних відстанях від точок плопщни а? 3. Чи правильно, ш;о коли відстань віц прямої до плопщни від мінна від нуля, то пряма і плопщна — паралельні? 4. Віцомо, ш;о віцрізок АВ віддалений від плопщни а на З см. Чи означає це, що пряма АВ віддалена від плопщни а на З см? 5. Чи правильно, що дві плопщни збігаються, якщо віцстань між ними дорівнює нулю? 6. Чи правильно, що відстань від відрізка до плопщни дорівнює відстані від одного з його кінців до цієї плопщни? 7. Усі сторони трикутника ABC знаходяться на відстані З від плопщни а. Чи паралельні плопщни ABC і плопщна а? 8. Яку фігуру утворюють точки, рівновіддалені від даної пло щини? 9. Як потрібно закріплювати дріт на стовпах, щоб забезпечити його паралельність до поверхні землі? 10. Як виміряти висоту дерева, не піднімаючись до його верхівки? ЕД Графічні 1.

вправи

На рис. 499 зображено куб ABCDA^B^C^D^ з ребром а, точки М, — середини ребер AD^, Aj£)j відповідно. Знайдіть відстань: 1) від точки Aj до прямої АВ; 2) від точки до прямої АВ; 3) від точки Aj до плопщни ВСС^В^, 4) від точки Aj до плопщни AB^C^D]

433

Вимірювання відстаней у просторі

5) від точки до площини AB^C^D; 6) від прямої до площини AB^C^D; 7) від прямої ADj до площини AB^C^D; 8) між площинами AAJD^ і ВВ^Су На рис. 500 зображено правильний тетра едр ABCD, F — середина ВС, О — центр грані ABC. Довжина якого відрізка до рівнює відстані: 1) від точки D до площини ABC; 2) від точки D до прямої ВС; 3) від точки С до площини АОВ? З центра О квадрата A B C D (рис. 501) проведено перпендикуляр OS до пло щини квадрата. Точка М — середина ВС, Р — основа висоти трикутника OMS, О К — його медіана. Довжині якого від різка дорівнює відстань: 1) від точки О до площини BCS; 2) від точки S до площини ABC; 3) від точки С до площини BDS?

Рис. 500

Задачі 462. Точка D знаходиться на відстані 8 см від вершин рівностороннього трикутника ABC зі стороною 4 см. Знайдіть відстань: 1°) від точки В до площини DOC, де О — центр трикутника ABC; 2°) від точки D до площини ABC; 3) від плоїцини, що проходить через середини відрізків DA, DB, DC, до площини трикутника ABC. 463. Нехай точка О є серединою катета АС прямокутного рівнобедреного трикутника з гіпотенузою АВ — 4 см; ОР — пер пендикуляр до площини трикутника завдовжки 2 см. Знай діть відстань: 1°) від точки В до площини АОР; 2°) від площини, що проходить через середини сторін СВ і АВ паралельно ОР, до площини СРА; 3) від точки О до площини РАВ. 464°. З точки К, яка є серединою гіпотенузи АВ рівнобедреного прямокутного трикутника ABC, з катетами завдовжки 8 см, 28

Математика, 10 в

4 3 4 ________________________Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

проведено перпендикуляр KS до площини трикутника. Д о вжина KS становить 6 см. Знайдіть відстань: 1) від точки С до плопщни AKS; 2) від точки А до плопщни KCS; 3) від точки S до прямої ВС. 465. Дано куб ABCDA^B^CJ)^ з ребром а. Знайдіть відстань: 1°) від точки до площини BDD^; 2°) від прямої B^D^ до площини ABC; 3°) між протилежними гранями куба; 4°) від точки А^ до прямої BD; 5) між прямими ADj і СС^; 6*) від точки Aj до площини ABJ)^-, 7*) між плопщнами CD^B^ і DA^B. 466. Точка М лежить на відстані Ь від усіх вершин квадрата ABCD зі стороною а і центром в точці О. Знайдіть відстань: 1°) від точки М до площини ABC; 2°) від точки А до площини BMD; 3) від точки О до площини MCD, якщо Ь= — а ; 2 4) від точки М до прямої CD; 5) між прямими ОМ і AD. 467. Кінці відрізка віддалені від деякої площини на 1 см і 4 см. Знайдіть відстань від середини відрізка до площини. 468. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 16 см і 12 см. На якій відстані від плопщни трикутника лежить точка, віддалена від кожної вершини трикутника на 10л/2 см? 469. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 6 см. На якій відстані від плопщни трикутника розміщена точка, яка віддалена на 9 см від: 1) сторін трикутника; 2*) кожної з прямих, що містять сторони трикутника? 470°. Якщо з двох точок, які знаходяться на різних відстанях від плопщни, провести рівні похилі, то на цій плопщні більшою буде проекція тієї похилої, що проведена з ближчої до пло пщни точки. Доведіть це. 471. Якщо з точки А, що знаходиться поза плопщною а, опусти ти перпендикуляр на цю плопщну, а з його основи провести

Вимірювання відстаней у просторі

435

перпендикуляр ДО прямої ВС, яка лежить в площині а, то площина, що проходить через ці перпендикуляри, буде пер пендикулярною до прямої ВС. Доведіть це. 472*. Плиту прямокутної форми підняли краном так, що три її вер шини віддалені від поверхні землі, відповідно, на 2 м, з м і 4 м. На якій відстані від землі перебуває четверта вершина? 473*. Точка А віддалена від сторін кута, що дорівнює 60°, на 20 см і 7 см, а від його вершини — на 25 см. Знайдіть відстань від точки А до плопщни кута. 474*. Точка, що лежить поза плоїциною прямого кута, знаходить ся на відстані 4 см від кожної з його сторін. Знайдіть від стань від точки до вершини кута, якщо точка віддалена від плопщни кута на 7 ? см. 475. Плопщни квадрата ABCD і рівностороннього трикутника АВМ — взаємно перпендикулярні, АВ - а. Побудуйте спіль ний перпендикуляр прямої АС і медіани МО трикзтника і визначте довжину цього перпендикуляра. 476. Нехай АВ — спільний перпендикуляр до мимобіжних пря мих а і Ь. Точки А і С лежать на прямій а, точки В і D — на прямій Ь\АС = BD. Доведіть, що ZACD = ZBDC.

Вправи для повторення 477. В одній півплопщні, обмеженій прямою АВ, побудовано кути: ZBAC = 38°, ZCAD = 68°, ZDAE = 85°, ZEAK = 99°. Визначте ZKAC. 478. Один із суміжних кутів утричі більший від різниці між ними. Визначте їхню градусну міру. 479. Спостерігач, що знаходиться на березі озера на висоті h над рівнем води, бачить хмарку під кутом а, а її відображен ня — під KjrpoM р до горизонту. Знайдіть висоту хмарки над поверхнею озера при а = 53°27', р = 55°42', h = 76,8 м.

28*

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

436

П ід с у м о к Головне означення Відстанню між довіль ними фігурами назива ють довжину найкоротшого з відрізків, який сполучає точки даних фігур.

Властивості відстаней Відстань від точки до площини дорівнює довжині перпенди куляра, проведеного з даної точки до да ної площини. Відстань між прямою і паралельною до неї плопщною дорівнює довжині перпенди куляра, проведено го з довільної точки прямої до даної пло щини. Відстань між пара лельними площина ми дорівнює довжи ні перпендикуляра, проведеного з до вільної точки однієї площини до другої площини.

Т’

§ 24 . Вимірювання кутів у просторі

Розглядаються поняття кута між прямими і площина ми, а також між площинами.

Взаємне розміщення прямих, прямих і площин, а також площин характеризують у стереометрії різ ними способами. Один з них базується на кількості спільних точок цих фігур. Він приводить до важливих відношень між прямими і плопщнами — відношень паралельності. Уточнен ня взаємного розміщення вказаних фігур здійснюється за допо могою відношень перпендикулярності. Вони відображають певну симетрію взаємного розміщення фігур. Розгляд відстаней між фігурами дає змогу характеризувати їхнє взаємне розміщення за допомогою чисел. Подальше уточнення взаємного розміщення прямих і плопщн здійснюється за допомогою вимірювання кутів між цими фігурами. Необхідність таких вимірювань викликана потребами як геометрії, так і практики. Вимірювання кутів необ хідні в геометрії, геодезії, мореплавстві, космонавтиці тощо. їх за стосовують і в повсякденному житті (рис. 502 — 504).

ііБ

т Рис. 502

Рис. 503

Рис. 504

Дві прямі простору, що перетинаються, визначають деяку плопщну. Для числової характеристики їхнього взаємного розміщен ня використовують, як і у планіметрії, поняття кута між ними. Цією величиною ми вже неодноразово користувалися. Нагадаємо її означення.

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

4 38

Кутом між прямими, що перетинаються, назива ється величина найменшого з кутів, утворених цими прямими. За означенням, кут між прямими є величиною, яка змінюється від 0° до 90°. Кут між паралельними прямими вважають рівним 0°, а між перпендикулярними — 90°. Введемо аналогічну характеристику для прямої і плопщни, що перетинаються. Практичну необхідність у вимірюванні кута між прямою і площиною можна проілюструвати на прикладах. Такими вимірюваннями здавна користувались мореплавці при визначенні положення корабля (рис. 505, а). Вони необхідні гео дезистам, які проводять роботи на місцевості, будівельникам при встановленні конструкцій тощо (рис. 505, б, в). Полярна зірка^

ГІ.

V а)

б)

в)

Рис. 505

Для вимірювання кута між прямою а і площиною а слід зверну тись до вимірювання кутів між даною прямою і прямими, які лежать у плопщні а і перетинають пряму а. Однак таких прямих у площині а є безліч, і вказані кути різні за величиною. Перевагу має кут між прямою а та її ортогональною проекцією, якщо пряма а не перпендикулярна до плопщни а. Цей кут визначається однозначно, оскільки ортогональна проекція для кожної прямої ви значена однозначно (рис. 506). У практичних застосуваннях віцповіїщу величину легко ви мірювати, і вона зручна для характеристики Рис. 506 нахилу прямої до площини. Кутом між прямою і неперпендикулярною до неї площиною називається кут між прямою і її ортого нальною проекцією на цю площину.

Вимірювання кутів у просторі

439

Нагадаємо, що кут між прямими, які перетинаються, зміню ється у межах від 0° до 90°. Тому і кут між прямою і площиною є величиною, що змінюється у цих межах. Якщо нахил прямої до площини плавно зменшувати, то гра ничним положенням рухомої прямої буде пряма, що лежить у площині (рис. 507). Кут міме прямою і площиною, в якій вона лежить. вважають таким, що дорівнює 0°. Якщо ж нахил прямої до площини плавно збільшувати, то гра ничним положенням рухомої прямої є пряма, перпендикулярна до плошдни (див. рис. 507). Кут між прямою і перпендикулярною до неї площи ною вважають таким, що дорівнює 90°.

Звернемо увагу ще на одну особливість кута між прямою, що перетинає плопщну, та її ортогональною проекцією на цю плоти н у . Цей кут є найменшим з-поміж усіх інших кутів між даною прямою і прямими, які її перетинають і лежать у даній плопціні (рис. 508). Справді, нехай пряма а перетинає плошдну а, ВР — перпен дикуляр до цієї плош^іни, Oj — її ортогональна проекція на пло пщну а, с — довільна пряма, яка лежить у плопщні а і проходить через точку А перетину прямої а і плош;ини а. Кут між прямими а і Oj дорівнює величині кута ВАР прямокутного трикутника АВР, а кут між прямими а і с — величині кута ВАС прямокутного три кутника ABC. Прямокутні трикутники ABC і АВР мають спільну гіпотенузу, катет одного трикутника є похилою, а іншого — пер пендикуляром до плопщни. Порівняння кутів ВАС і ВАР дає змо гу дійти вказаного висновку.

4 40

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Під кутом між відрізком і площиною, між відрізком і плоскою фігурою (наприклад, між діагоналлю куба і його гранню) розуміють кут між відповідними пря мою і площиною.

При розв’язуванні задач прямі, які перетинають плопщну, за даються за допомогою похилих до площини. Нехай АВ — похила до площини а, АР — їі проекція (рис. 509). Кут ВАР є одним із кутів, утворених прямими АВ і АР. Оскільки три кутник АВР — прямокутний, то кут ВАР — гострий, тобто його кутова міра дорівнює куту між прямими АВ і АР. Отже, ми показали, що кут між похилою та її проекцією дорів Рис. 509 нює куту між прямою, яка задана похилою, і площиною. Це дає змогу ототожнювати названі величини при розв’язуванні задач. Ми розглянули поняття кута між площиною і прямою, що її пе ретинає. Таким чином, ми ввели числову характеристику їхнього взаємного розміщення. Далі розглянемо особливості взаємного роз міщення двох площин, які перетинаються. Це завдання пов’язане з практичною діяльністю людини і стане в пригоді при необхіднос ті оцінки нахилу даху до поверхні землі (рис. 510, а), врахування профілю місцевості при будівництві дороги (рис. 510, б), при ви готовленні різців з різними властивостями різання (рис. 510, в) тощо. Отже, потрібним є вміння характеризувати взаємне розмі щення непаралельних площин за допомогою числа після вибору одиниці вимірювання.

б) Рис. 510 Як і у випадку визначення кута між прямою і площиною, спро буємо знайти плоский кут, який характеризує взаємне розміщен ня двох площин. Дивлячись на обкладинки напіврозкритої книги (рис. 511, а), неважко побачити, що мірою взаємного розміщення

441

Вимірювання кутів у просторі

обкладинок (мірою «розгорнутості» книги) може бути величина кута а, утвореного краями обкладинок. Якщо розглядати площи ни, в яких розміщені ці обкладинки, то кут а дістають як резуль тат перетину даних двох площин третьою площиною, перпенди кулярною до лінії перетину перших двох площин.

а)

б) Рис. 511

Кутом жіж площинажи, що перетинаються, нази вається кут жіж прямими, які утворюються при пе ретині даних площин площиною, перпендикулярною до лінії їхнього перетину. Нехай а і Р — дві площини, що перетинаються по прямій І (рис. 511, б). Через довільну точку прямої І проведемо площину Y, перпендикулярну до прямої І. Ця плопщна перетинає площини а і р по прямих а\Ь. Кут між цими прямими і є кутом між даними площинами. Залишається лише переконатись, що кут між плопщнами не залежить від місця проведення січної плопщни. Для цього розглянемо два різних перетини, які проходять через точки Oj і (рис. 511, в). Позначимо через і лінії перетину січних плопцїн з плопщною а. Ці прямі — паралельні, оскільки в плоцщні а вони перпендикулярні до прямої І. З тих самих міркувань паралельними є і прямі Ь^, — лінії перетину січних плопщн з плопщною р. Таким чином, йдеться про рівність кутів між прями ми Oj, і паралельними даним прямими а^, Ь^. У планіметрії цей факт добре відомий. Він має місце і в стереометрії.

Теорема 1

(п р о р ів н іст ь кут ів м іж відп овідн о п ар а л ел ьн им и

п рям им и).

Якщо дві прямі, які перетинаються, відповідно пара лельні двом прямим, що перетинаються, то кути між цими парами прямих рівні.

4 42

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Доведення цієї теореми буде наведено далі. Нагадаємо, що кут між прямими змінюється у межах від 0° до 90°. Так само змінюється і кут між площинами. Зокрема, кут між площинами, які збігаються, природно вважати та ким, що дорівнює 0°. Якщо ж кут між площинами дорів нює 90°, то площини — перпендикулярні, за другою ознакою перпендикулярності площин (теорема з § 20). Навпаки, кут між перпендикулярними плопщнами дорівнює 90 ° . Отже, можна ді йти такого висновку.

Т е оре ча 2 (ознака перпендикулярності площин). Дві площини перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли кут між ними дорівнює 90°. Розгляд вимірювання кутів у просторі завершимо введенням поняття кута між мимобіжними прямими. Кут між прямими, які перетинаються, характеризує нахил однієї прямої до іншої. При заміні прямої на паралельну їй пряму цей нахил не змінюється (рис. 512). Ця властивість кутів між перетинними прямими і ле жить в основі означення кута між мимобіжними прямими. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між паралельними до них прямими, що перети наються.

На рис. 513 маємо, що кут між мимобіжними прямими а і Ь вимірюється кутом між прямими і Ь^, які перетинаються і відповідно паралельні прямим а і Ь. Залишається лише обґрунтувати, що ця величина не залежить від вибору прямих а^ і 6j, паралельних відповідно а і Ь. Тобто, якщо взяти іншу пару прямих а^ і Ь^, паралельних а і 6 і таких, що перетинаються, то k jt між ними дорівнює куту між прямими «І і bj (рис. 514). Істинність цього твердження складає зміст теореми 1, наведеної вище.

Вимірювання кутів у просторі

443

П р и к л а д 1. Нехай OS — перпендикуляр до плопщни квадра та ABCD з центром у точці О; OS = АВ = 2. 1) Знайти кут між прямою CS і площиною ABD. 2) Знайти кут між прямою AS і площиною DBS. 3) Знайти кут між прямою, що проходить через точку S і середину сторони АВ, і площиною DBS. □ 1) Побудуємо рис. 515, який відповідає умові прикладу. Пряма ОС є ортогональною проекцією прямої CS на плопщну ABD. За означенням кута між прямою і площиною, шуканий кут а дорівнює величині кута OCS. З прямокутного трикутника SOC маємо: SO

2S 0

2-2

Рис. 515

2) Знайдемо ортогональну проекцію пря мої AS на площину DBS (рис. 516). Неважко переконатись у тому, що це пряма SO. Д/У Р Справді, АО ± BD, за властивістю діагоналей квадрата, AOLSO, оскільки SO ± ABC. Тому, О за ознакою перпендикулярності прямої і А В площини, АО 1 DBS і точка О є основою Рис. 516 перпендикуляра АО. За означенням кута між прямою і площиною, шуканий кут р дорівнює величині кута ASO. З прямокутного трикутника ASO маємо: АО АС V2-2 V2 Р = arctg SO 2S0 2-2 2 ’ ' 2 Цю відповідь можна було отримати, користуючись розв’язанням завдання 1). Трикутники AOS і COS рівні за трьома сторонами. Тому tgP =

В = —- а , де tea = л/2. Звідси tgP = ctga = ^ ^ 2 tga 3) Нехай К — середина сторони АВ. По будуємо ортогональну проекцію прямої KS на плопщну DBS. Для цього проведемо з точ ки К пряму КР, паралельну прямій АО (рис. 517), де точка Р — середина відрізка ОВ — є точкою її перетину з площиною DBS. Оскільки АО є перпендикуляром до плопщ-

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

444

ни DBS (див. розв’язання завдання 2)), то КР — перпендикуляр до неї, за теоремою про дві паралельні прямі, одна з яких перпен дикулярна до площини (теорема 1 § 19). Ортогональною проекці єю прямої KS е пряма SP. Шуканий кут у дорівнює величині кута

КР

KSP. З прямокутного трикутника KPS маємо: tgy = ----- . Відрізок

К Р є середньою лінією трикутника АОВ, тому К Р = — А О = —АС = 2

“

2уі2

л/2

“ 2 ■

З прямокутного трикутника SOP маємо: SP -

О Р'

Таким чином, V2'

V2 tgy = ■ 2 'V 2

З’

у = a rctg -. В ідповідь. 1) arctgV2; 2) arctg — ; 3) a rctg -.

П р и к л а д 2. Антену закріплюють за допомогою чотирьох роз тяжок однакової довжини, виготовлених з троса. Відомо, що для надійного кріплення антени розтяжки повинні бути натягнуті під кутом, не більшим від 60° до поверхні землі. Чи вистачить для кріплення 80 м троса, якщо точка кріплення міститься на висоті 15 м над поверхнею землі і на закріплення однієї розтяжки йде до 1 м троса? □ Встановлену антену схематично зо бражено на рис. 518. Тут ОА — схематичне зображення антени, а А — місце кріплен ня розтяжок на антені, В, С, В^, — точки кріплення розтяжок на землі. За умовою, АО = 15 м, АВ = АС =АВ^= АС,. Кути АВО, АСО, АВ^О, A C fi рівні між собою і не пере вищують 60°. Позначимо їхню KjTOBy міру ___ через а. Найбільш економне кріплення від повідає випадку, коли а = 60°. З прямокут ного трикутника АОВ маємо: АВ =

^ sin60°

^ « 17,4 (м). 7з

Рис. 518

Вимірювання кутів у просторі

445

Таким чином, на виготовлення однієї розтяжки потрібно не менш ніж 18,6 м троса, а на виготовлення чотирьох — 74,4 м. Отже, наявної довжини троса вистачить для встановлення анте ни. ■ В ідповідь. Вистачить. Важливість відношення паралельності прямих пов’язана з тим, що при заміні прямої на паралель ну до неї пряму зберігається багато геометричних відношень і величин. Наприклад, зберігається ве личина кутів з однаково напрямленими сторонами. Нехай дано два кути АОВ і і відомо, пі;о промінь ОА, напрямлений так само, як і промінь О^А^, а промінь ОВ — як промінь Такі кути називаються кутами з однаково на прямленими сторонами. У цьому означенні поняття однако вої напрямленості у просторі аналогічне поняттю однакової напрямленості у плопщні. Два промені ОА і О^А^ у просторі, які не лежать на одній прямій, однаково напрямлені, якщо вони пара лельні і належать одній півплощині, що обмежена прямою OOj. Два промені, які лежать на одній пря мій, однаково напрямлені, якщо один з них цілком належить другому. Як і в планіметрії, справджується наступне твердження.

Т е о р е м а З {про кути з однаково напрямленими сторонами). К ути з о д н а к о в о н ап рям л ен и м и ст о р о н а м и рівн і м іж с о бою . □ Проведемо через сторони кута АОВ плопщну а. Якщо кут AjOjSj має з кутом АОВ однаково напрямлені сторони, то можли ві лише два випадки: прямі О^А^ і О^В^ не мають спільних точок з плопщною а або ж вони обидві лежать у плопщні а. Справді, паралельні прямі О^А^ і О^В^ не можуть перетинати плопщну а, оскільки вони паралельні прямим ОА і ОВ. Розглянемо перший випадок (рис. 519). Нехай ОА = О^А^, ОВ = OjBj. Тоді чотирикутник OAAfi^ — паралелограм (він ле жить у плопщні, яка визначається паралельними прямими ОА і OjAj, і має рівні протилежні сторони). Аналогічно, чотирикутник О^В^ВО також є паралелограмом. Оскільки АА^ЦОО^, 00^\ВВ^ і

446

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Рис. 521

АА^ = BBj, то чотирикутник A A f ifi — паралелограм і АВ = А^В^. Трикутники АОВ і AjO jSj є рівними за трьома сторонами, а тому рівними між собою є кути АОВ і У другому випадку маємо одну площину а.. Якщо сторони ку тів не лежать на одній прямій, то доведення аналогічне наведено му вище (рис. 520). Якщо ж сторони кутів (наприклад, ОА і O^AJ лежать на одній прямій (рис. 521), то треба скористатися влас тивістю кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих третьою. ■ Повернемось до теореми 1 про рівність кутів між відповідно па ралельними прямими. □ Нехай дано дві пари прямих а^, і Ь^, Ь^, що перетинаються, і aJI bj, Прямі а^, утворюють чотири, попарно рівні між собою, кути, яким відповідають чотири кути з однаково напрямле ними сторонами, утворені прямими і Ь^. Із теореми 4 безпосередньо випливає, що кут між прямими Oj і дорівнює куту між прямими і Ь^. Таким чином, теорема 1, якою ми користувались при введенні понять кута між плопщнами і мимобіжними прямими, доведена. ■ Зазначимо, що у практичних задачах поширенішою є не кон струкція з двох перетинних площин, а конструкція двох півплощин, що мають спільну межу (схили даху, обкладинки книги, стінки жолоба тощо). Фігура, утворена двома півплощинами, що мають спільну межу, називається двогранним кутом. Спіль на пряма півплощин називається ребром, а самі півплощини — гранями двогранного кута. Двогранний кут з ребром АВ і точками М, N, що належать різ ним граням (рис. 522), позначатимемо MABN. Кутова міра двогранного кута може відрізнятись від кута між площинами, які визначаються гранями двогранного кута. Справ-

Вимірювання кутів у просторі

447

A <r^N

М Рис. 522

ді, книга на рис. 523 «розгорнута більше», ніж на рис. 511, а), але кут між плопщнами-обкладинками на рис. 523 — у даному випад ку менший, ніж на рис. 511, а). Плошдна у, яка перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох півпрямих а і Ь (рис. 524), ш;о ви ходять із спільної точки О. Побудований таким чином кут на зивається лінійним кутом двогранного кута. Власне, він і визначає кутову міру двогранного кута. Зрозуміло, що лінійний кут двогранного кута як геометрична фігура визначається неод нозначно, але всі лінійні кути даного двогранного кзта рівні між собою. Обґрунтування цього факту аналогічні міркуванням про довільність вибору січної плопщни при вимірюванні кута між плопщнами. На відміну від кута між плопщнами, що змінюється в межах від 0° до 90°, кутова міра двогранного кута змінюється від 0° до 180°. Ця відмінність пов’язана з тим, що у першому ви падку, врешті, вимірюється кут між прямими, а у другому — плоский кут, який може бути і гострим, і тупим. Однак, існує простий зв’язок між цими величинами: вони або збігаються, або ж у сумі дорівнюють 180°. Так, на рис. 525 зображено двогранний кут і прямі а та Ь, що проходять через сторони його лінійного кута. Двогранний кут дорівнює р. Але кут між прямими а і Ь може до рівнювати а, якщо р > 90°. Зрозуміло, що р + а = 180°. Для побудови лінійного кута досить взяти точку на ребрі дво гранного кута і в кожній грані провести промені, перпендикуляр ні до ребра. Деколи при означенні двогранного кута до нього включають і частину простору, що міститься між його гранями.

448

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

Поняття кута між площинами дозволяє встановити зв’язок між площею плоскої фігури і площею її ортогональної проекції. З а д а ч а 1. Довести, що площа його ортогональної проекції

трикутника ABC і площа на площину а пов’язані

співвідношенням; ^А,В,С,

'С О З ф ,

де ф — кут між площинами ABC і а. □ Можна вважати, що лінія перетину площин ABC і а про ходить через одну зі сторін трикутника ABC (наприклад АВ, рис. 526, а) або через одну з вершин (наприклад А, рис. 526, б). Цього можна досягти паралельним «зсувом» плошдни а, в резуль таті якого проекція не змінюється.

Рис. 526 У першому випадку трикутник і його проекція мають спіль ну основу АВ, а кут ф дорівнює куту CDC^ між висотами цих трикутників. Оскільки Z ) C j = DC cos ф , то = ^ А В 2)С-со8ф = 5ддс -созф. У другому випадку розглянемо трикутник АСК, де К — точка перетину прямої ВС з лінією перетину плошдн ABC і а (ВС не паралельна а, інакше, змістивши паралельно плошдну а, ми мали б перший випадок). Трикутник ABC можна отримати, «відрізавши» від трикутника АСК трикутник АВК, основа яких АК лежить на лінії перетину плопщн ABC і а. Аналогічне співвідношення маємо для проекцій трикутників. Тому ^А,ВіСі ~ ^АС^К ~ ^ А В іК ~ ^ А С К '

Ф “ ^ А В К ' COS ф =

•COS ф . ■

449

Вимірювання кутів у просторі

Кожен многокутник можна розбити на трикутники. При цьому площа многокутника дорівнює сумі площ трикутників розбиття. Крім того, розбиттю многокутника на трикутники відповідає роз биття його ортогональної проекції на трикутники, які є ортого нальними проекціями трикі^ників, на які розбито многокутник, з наведених міркувань і задачі 1 випливає наступна теорема.

Теорема 4 (про площу ортогональної проекції многокутника). Площа ортогональної проекції многокутника дорівнює добутку площі цього многокутника на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції. Насправді теорема справджується для довільної плоскої фігури, для якої визначена площа, адже для неї площу можна визначити з будь-якою точністю за допомогою площ вписаних многокутників.

П р и к п а д 3. Рівнобічну трапецію АВ CD з більшою основою AD і висотою 8 см перегнули по прямій, яка проходить через середи ни М і iV сторін АВ і CD, так, що вершина В розмістилася від плош^іни AMN на відстані 2 см. 1) Знайти кут між площинами AMD і МВС. 2) Побудувати лінійний кут двогранного Kjo'a AM N C і знайти його KjTOBy міру, якщо ортогональна проекція точки С на плопщну чо тирикутника AMND лежить за його межами. 3) Знайти відстань від точки В до прямої AD. 4) Знайти відстань від прямої M N до плопщни ABD. 5) Побудувати лінію перетину плопщн АМВ і DNC. □ Мовою геометричних перетворень умову прикладу можна тлумачити як поворот частини трапеції MBCN навколо середньої лінії MN даної трапеції (рис. 527, а), при якому кожна точка, зокрема точки В, С та ін., обертаються в плопщні, що проходить через цю точку і перпендикулярна до MN.

Рис. 527 29

М атематика. 10 кл.

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

450

1) Побудуємо рис. 527, б), в), які відповідають умові. Відстань від точкиБ до площини AM/Vвизначається довжиною перпендикуляра ВР, основа якого Р лежить на прямій BE (рис. 527, а), або, те саме, на прямій КЕ (рис. 527, б), де К — точка перетину висоти BE трапеції ABCD із середньою лінією MN. При цьому точка Р може лежати на промені КЕ (рис. 527, б) або ж на доповнюючому промені до всієї прямої КЕ (рис. 527, в). В обох зазначених випадках кут між площинами AMD і МВС дорівнює кутові ВКР однойменного прямокутного трикутника, адже площина ВКЕ перпендикулярна до M N і кут ВКР— гострий кут прямокутного трикутника. Оскільки ВК - 4 см, ВР = 2 см, то sin ZBKP = - = ZBKP = 30°. 4 2 2) Цій умові відповідає рис. 527, в), адже КР < 4 см, і коли точ ка Р належить променю КЕ, то точка Р попадає на відрізок КЕ. А розміщення проекцій точок в і С відносно чотирикутника AMND однакове. Тому лінійним кутом двогранного кута AMNC може бути кут ВКЕ, а його міра дорівнює 180° - 30° = 150°. 3) Оскільки BE -LAD, то відстань віц точки В до прямої AD визна чається довжиною сторони BE трикутника ВКЕ. І знову маємо два випадки, коли ZBKE = 30° і Z B I^ = 150° (рис. 528, а, 6), а КВ = КЕ = = 4 см в обох випадках. Тоді, за теоремою косинусів, BE = V 4 ' + 4 ' - 2 - 4 - 4 - c o s 3 0 ° = 4 ^ 2 -n /з (cm) або BE = А^І2 + у[з (см). 4) Відстань від прямої M N до плопщни ABD визначається до вжиною перпендикуляра з точки К до плопщни ABD. А оскільки площини ABD і КВЕ — перпендикулярні (чому?), то шзгканий перпендикуляр є висотою h трикутника КВЕ, проведеною з вер шини К І знову маємо два випадки (рис. 528, а, б). В обох з них висоту до сторони BE можна знайти як відношення подвоєної плоцц 2S = КЕ ■ВР = 4 - 2 = 8 (см^) трикутника КВЕ до сторони BE. 8 2 , . 2 Тобто h = або h = 4>/2+7з sj2 + S n/2 - л/ з

а)

б)

Рис. 528

451

Вимірювання кутів у просторі

5) Повернемось до рис. 527, б), в). Пряму, по якій перетинаються площини АВМ і DCN, можна задати, визначивши дві її точки. Одну з них, точку К, можна отримати як перетин прямих АВ і DC цих площин. Причому ці прямі обов’язково перетинаються, оскільки вони проходять через бічні сторони АВ і DC. Друга точка L знаходиться як точка перети ну прямих AM і DN, що проходять через бічні М сторони трапеції AMND (рис. 529). ■ В ідповіді. 1) 30°; 2) 150°; 3) 4 \ /2 -7 з см або 4\І2 + уІЗ см; 4)

а 1.

.— ---- або ^ . ^12 + S V2-V3

Рис. 529

Контрольні запитання На рис. 530 зображено дві похилі АВ і АС та їхні проекції ВР і PC на площи ну а. Яка з похилих утворює менший кут з плопщною а, якщо: 1) А С = 4 , А В = 6] 2) А С = 5 , А В = 3? З центра О квадрата ABCD проведено перпендикуляр OS до плопщни квадра та, точки N, М — середини сторін ВС і AD (рис. 531). Величина якого кута є кутом між: 1) прямою SN і плопщною ADC; 2) прямою OS і плопщною BCS; 3) плопщнами ASD і ABC; 4) плопщнами ASD і BSC; Рис. 531 5) прямими AS і ВС? Чи може кут між прямою і плопщною дорівнювати 130°; -70°; 20 ° ?

4. 5. 6.

29*

Чи будуть рівними у тетраедрі бічні ребра, якщо вони утворю ють рівні кути з плопщною основи? Чи правильно, що кут між прямою, перпендикулярною до площини, і довільною прямою цієї плопщни дорівнює 90°? Як визначити, користуючись лише рулеткою, кут нахилу стов па до землі?

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

452

Як би Ви вимірювали кут, утворений сонячним променем з поверхнею землі? 8. Кутова міра двогранного кута дорівнює 100°. Чому дорівнює KJT МІЖ плопщнами граней цього двогранного кутаг 9. Що треба виміряти, щоб визначити: а) висоту башти, до осно ви якої спостерігач може підійти; б) відстань до будинку, висо та якого відома, якщо спостерігач не може до нього підійти? 10. Чи може кут між площинами дорівнювати 27°; 135°; 270°? Чи може мати такі значення кутова міра двогранного кута?

Графічні вправи 1.

з середини М гіпотенузи прямокутного трикутника ABC про ведено перпендикуляр М Р до площини трикутника (рис. 532). Порівняйте кути нахилу прямих РА, РВ, PC до площини ABC. З вершини прямого кута С прямокутного трикутника ABC проведено перпендикуляр CS до плопщни ABC (рис. 533). Порівняйте катети АС і ВС, якщо k jt нахилу похилої SA до плопщни ABC більший, ніж кут нахилу похилої SB до цієї плопщни.

Рис. 532

Рис. 533

Рис. 534

З вершини В квадрата ABCD проведено перпендикуляр BS до плопщни ABCD (рис. 534). Порівняйте кути а і (З між пло щинами ASD і CSD і плопщною ABC. На рис. 535 зображено рівносторонній трикутник ABC, точка О — його центр, D — середина ВС, ОР— перпендикуляр до плопщни ABC. Величина якого кута є кутом між плопщнами: 1)ВРСІАВС, 2) АРО і БРО?

В им ірю ван н я KjrriB у п р о ст о р і

453

^ З а д а ч і 480. Нехай KS — перпендикуляр до площини квадрата ABCD, де К — середина сторони AD; KS = л/з , АВ = 3. 1°) Знайдіть кут між прямою SD і площиною ABC. 2°) Знайдіть кут між прямою BS і площиною ACD. 3°) Визначте взаємне розміщення площин ABD і KCS. 4) Знайдіть кут між прямою, що проходить через точку К і середину сторони ВС, та площиною BCS. 5) Знайдіть віцстань від точки В до прямої CS. 481. З вершини А квадрата ABCD зі стороною % /з см проведено перпендикуляр AS завдовжки З см до площини квадрата. 1°) Знайдіть К50’ між прямою BS і площиною ABC. 2°) Знайдіть кут між прямою CS і площиною ABC. 3°) Визначте взаємне розміщення площин ABS і BDC. 4) Знайдіть кут між прямою CS і площиною ASD. 5) Знайдіть відстань від точки В до прямої CS. 482°. З вершини прямого кута А трикутника ABC проведено пер пендикуляр АР завдовжки 4 см до плопщни трикутника. Катет АС дорівнює 4 см, а кут АСВ = 60 ° . Знайдіть кут: 1) між прямою РВ і плопщною ABC; 2) між прямою РВ і плопдіною А Р С . 483. З центра О квадрата ABCD зі стороною завдовжки 8 см вста новлено перпендикуляр ОР так, що кут між прямою PC і плопщною ABC дорівнює 60°. 1°) Знайдіть кути між прямою PD і плопщнами ABC і А Р С . 2°) Порівняйте KjTH, утворені прямими РА, РВ, PC, PD з плопщною ABC. 3°) Знайдіть відстань від точки Р до плопщни ABC. 4) Доведіть, що точки А і С симетричні відносно плопщни PBD. 484. Дано куб ABCDA^B^Cfi^ зі стороною а. 1) Знайдіть кут між діагоналлю BJ^ і плопщною АСС^. 2) Порівняйте кути, утворені діагоналлю BJ) з плопщнами його граней. 3) Знайдіть кут між діагоналлю B^D і плопщною A^C^D. 4) Знайдіть відстань від точки Z)j до плопщни A^CJ).

454

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

485. Рівнобедрений трикутник ABC з висотою 16 см, що прове дена до його основи, перегнули по середній лінії MN, пара лельній основі АС, так, що вершина В віддалена від площи ни чотирикутника ACNM на 4 см. 1°) Знайдіть кут між площинами АМС і MBN. 2°) Побудуйте лінійний кут двогранного кута BMNC і зна йдіть його кутову міру, якщо ортогональна проекція вер шини В на плопщну чотирикутника AMNC лежить за його межами. 3°) Порівняйте кутові міри двогранного кута BMNC і кута ВМА. 4°) Знайдіть відстань від точки В до прямої АС. 5) Знайдіть відстань від прямої M N до плопщни ABC. 6) Побудуйте лінію перетину площин АМВ і BNC. 486. Квадрат ABCD зі стороною 4 л/2 см перегнули по прямій, яка проходить через середини M i N сторін DC і ВС, так, що вершина С віддалена від плопщни AMN на 1 см. 1°) Знайдіть кут між плопщнами ADM і CMN. 2°) Побудуйте лінійний кут двогранного кута BMNC і знайдіть його кутову міру, якщо ортогональна проекція вершини С на плопщну п’ятикутника ABNMD лежить за його межами. 3°) Порівняйте кутові міри двогранного кута BMNC і кута CNB. 4°) Знайдіть відстань від точки С до прямої BD. 5) Знайдіть відстань від прямої M N до плопщни BDC. 6) Побудуйте лінію перетину плопщн BNC і DMC. 487°. З вершини квадрата ABCD проведено перпендикуляр А Р до плопщни квадрата. 1) Доведіть що кут РВА є лінійним кутом двогранного кута РВСА. 2) Порівняйте KjrroBi міри двогранних кутів РВСА і PCDA. 3) Знайдіть кут між плопщнами АРВ і APD 488. Два однакових рівнобедрених трикзтники ABC і ABD зі спільною основою АВ лежать у різних плопщнах; К — середина АВ . 1°) Доведіть, що CKD — лінійний кут двогранного кзпга CABD. 2) Побудуйте лінійний кут двогранного кута DACB. 3) Порівняйте кутові міри двогранних кутів CABD і ACDB. якщо АВ = CD.

Вимірювання К)ггів у просторі

455

489. Дано куб ABCDAfi^CJD{, М — середина ребра АА^. Обчис літь: 1) кут між діагоналлю грані і площиною MDB; 2) кути між прямою MCj і площинами ВСС^, DBD^; 3) кут між прямими MCj і ВС. 490°. Довжина pj^ kh швабри дорівнює 1,2 м. 1) На якій відстані від підлоги розміщений кінець швабри при витиранні підлоги, якщо швабра нахилена до неї під кутом 60°? 2) Який Kjrr jTTBopHTb ручка швабри з підлогою, якщо кінець ручки віддалений від підлоги на 0,6 м? 491°. Канатна дорога протягом 15 хв піднімає лижника на верши ну гори від її підніжжя зі швидкістю 2 м/с. Визначте висо ту гори, вважаючи, що кут нахилу гори приблизно дорівнює 30°. 492*. Послуговуючись законами відбивання світла, доведіть, що падаючий і відбитий промені 5^ворюють із дзеркалом одна кові кути. 493°. Точка М лежить між гранями двогранного кута і віддалена від кожної з них на 8 см. Знайдіть відстань від точки М до ре бра, якщо величина двогранного кута дорівнює: 1) 90°; 2) 60°; 3) 120°. 494°. Знайдіть кутову міру двогранного кута , якщо точка, що ле жить на одній грані, розміщена від ребра на відстані, удвічі більшій, ніж від др5т о ї грані. 495. Кут падіння вугільного пласта дорівнює 35°. При верти кальному бурінні виявлено, що довжина шляху бура у ву гіллі дорівнює 2,2 м. Обчисліть товпщну пласта. 496*. Пряма а утворює рівні кути з трьома прямими, що лежать у площині а і проходять через точку перетину прямої а з пло щиною а. Доведіть, що аіа. 497*. З вершини В ромба ABCD проведено перпендикуляр ВК до його плопщни. Сторона ромба дорівнює а, гострий kjtf при вершині А дорівнює а, а довжина перпендикуляра — Ь. Зна йдіть: 1) відстань від точки А до плопцін KDB-, КВС\ KDC; 2) кути між прямою АК і прямими CD;BD; 3) кут між прямою АК і плопщною BDK\ 4) кути між плопщнами АВК і КВС; ADK і DKC\ АВК і DKC.

45 6

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

П ід с у м о к Головні означення Кутом МІЖ пря мою і неперпендикулярною до неї площиною назива ється кут між пря мою і її ортогональ ною проекцією на цю площину. Кутом між двома площинами, що перетинаються, називається кут між прямими, які утво рюються при пере тині даних площин третьою площиною, перпендикулярною до лінії перетину перших двох. Фігура, утворена дво ма півплощинами, що виходять з однієї пря мої, називається дво гранним кутом. Спільна п рям а півплощ ин н а зи в аєть ся ребром, а сам і півпл ощ и н и — гра нями двогранного кута.

Готуємось AO тематичного оцінювання з теми «Перпендикулярність прямих і площин»

а 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12.

13.

Завдання для самоконтролю Сторона АВ правильного трикутника ABC лежить у площині а. Чи завжди висота CD цього трикутника перпендикулярна до площини а? Чи можна стверджувати, що пряма, яка перпендикулярна до діаметра кола, перпендикулярна і до його плопщни? Чи можна за допомогою двох прямокутних пластин визначи ти напрям, перпендикулярний до плопщни стола? Чи існує така пряма, через яку можна провести безліч пло щин, перпендикулярних до даної площини? Чи можуть дві прямі бути перпендикулярними до деякої пло щини і перетинатися? Чи можуть бути паралельними дві плоїщіни, якщо відомо, що тільки одна з них перпендикулярна до даної прямої? Чи однакову форму мають перерізи куба, перпендикулярні до його діагоналі? Чи правильно, що дві різні плопщни, які перпендикулярні до однієї прямої, не мають спільних точок? Чи перпендикулярні дві плопщни, якщо вони перпендику лярні до третьої площини і лінії їхнього перетину з цією пло щиною перпендикулярні між собою? Чи може ортогональною проекцією гострого кута бути розгор нутий кут? Чи можуть бути рівними ортогональні проекції двох нерівних похилих? Основа перпендикуляра, проведеного з даної точки до площи ни ромба, який не є квадратом, співпадає з точкою перетину діагоналей ромба. Чи може дана точка бути рівновіддаленою від вершин ромба? Чи можуть дві похилі різної довжини бути однаково нахиле ними до площини?

Розділ 4. Перпендикулярність прямих і площин

458

14. Чи може Kj^ між площинами дорівнювати 100°? 15. Чи завжди можна до невертикального стовпа прикріпити вер тикальну стінку?

Зразок контрольної роботи З центра О правильного трикутника ABC зі стороною 2 см проведено перпендикуляр OS завдовжки 2 см. 1°) Визначте взаємне розміщення прямої АВ і плош^іни OCS. 2°) Визначте взаємне розміщення площин OSC і ABC. 3°) Знайдіть відстань від точки А до плопщни OSC. 4°) Знайдіть кут між прямою SC і площиною ABC. 5°) Знайдіть KJT між плопщнами SBC і ABC. 6) Побудуйте площину, яка проходить через середину від різка AS паралельно площині SBC, і знайдіть відстань між щіми плопщнами.

Відповіді до завдань для самоконтролю 1

Ні

Так Так

Ні

Так

Ні

Так

Так Так Так Так

Взаємне розміщення двох прямих у просторі Т аблиця 40 К іл ьк ість сп іл ь н и х т о ч о к Одна Не менше ніж дві

Загальний випадок

Немає

Окремий ви падок

Лежать в одній площині

Не лежать в одній площині

X аі6 збігаються

а і Ь пере тинаються

а і 6 — перпендикулярні

а 16 — паралельні

а XЬ

а±Ь

а II Ь

а іЬ — мимобіжні а

Готуємось до тематичного оцінювання з теми

459

Взаємне розміщення прямої і площини

Таблиця 41 К іл ь к ість сп іл ь н и х т о ч о к Одна Не менш ніж дві

[

Загальний випадок

/ //

а належить а

а перетинає а

аса

а Xа

Немає

Окремий випадок а / N

а '7 / '

аіа— перпендикулярні а±а

а паралельна а а II а

Взаємне розміщення двох площин у просторі

Т аблиця 42

Не менше трьох, що не лежать на одній прямій

а іР збігаються

« =Р

К іл ь к ість с п іл ь н и х т о ч о к Не менше однієї, але всі вони ле______ жать на одній прямій______ Окремий випа Загальний ви падок док

а їр —

а ір перетинаються

перпендикулярні

а Xр

а±Р

Немає

а і р— паралельні

аІІР

Відповіді і вказівки до задач

Розділ І 27 9 1. 1) 5,000...; 2) 2,333...; 3) - 0,428571428571...; 4) 1,4000... . 2. 1) — ; 2) - ; 100 9 3) 4. 4) 10.

2 ^ ; 4) 3 ^ . 99 495

3. 1)

<І1;2) -^<^;3) 3<^;4)0,58<^.

315

305

1) 1,5; 2) -0,03(81); 3) 0,041(6); 4) ^

■5. Наприклад, 1) 0,54; 2) 0; 3) 0,34625;

13 — . 6. Наприклад, 1) 2; 3; 5; 0,7; 2) 4; 9; 16; 0,25. 7. ( - 5; -3 ]; ( - 2; - 1); [0; 2]. 1) |х| < 2; 2) |ж- 1| < 2; 3) |л: + 1| < 4. 11. 1)ЛД7); 2) С(6). 12. 1) 1,26; 1,93; 2) Зк;

І ; 3)4,28; 0,01. 14. 1) — ; 2) 3 -V S ; 3) 3 > /2 -4 ; 4) 0,00(014). 15. 1 ) - 3 ; 2 ) - — . 2 72 8 1 З 1 6 .1)-2; 1;2) —, —; 3)немаерозв’язків; 4) [-2 ; +оо); 5)±3.17.1) (-оо; - 5 ) и ( - 1 ; +оо); 2) 3)

0;і^ ; 2

150

3) немає розв’язків. 18.1) ІаІ > а; 2) -|а| < а; 3) \а^\ = а 1 1 9 .1) — ; 2) — ; 50 50

4) — ; 5) - ; 6) 3 ^ . 20. 1) 8%; 2) 60%; 3) 200%; 4) 320%; 5) 0,43%. 80 8 2 2) 1 — ; 3) 261; 4) 14; 5) 32; 6) 1. 24. 1) 8091;

21. 44%. 22. Богдан. 23. 1) Ь

72 5041; 3) 2304; 4) 16; 5) 899 —

оО

; 6) 196; 7) 1600; 8) 91. 25. * 2,6 кг. 26. = 133 м.

27. 1) 14,7 < х <15,3; 2) 14,5 < х < 14,9; 3) 95 < х < 105; 4) 5 ,1 < х < 5 ,3 . 28. 1) Так. 2) Так. 3) Ні. 4) Так. 29. 1) 1080“; 2) 3400°; 3) 2,4 Дж/(кг К). ЗО. 0,286; 3,182; 0,615. 31. 0,11. 32. Зменшилась на 0,4 %. 33. 23,75%. 34. 2 %. 3 5 . 860-ї проби. 36. * 32,9%; « 35,8%; * 23,2%; * 8,1%. 37. 32,364 г; 18,502 г; 7,134 г. 38. 10%; 20 %. 39. 20%. 40. 15 т. 41. 180 %. 42. Приблизно на 56%. 43. 2) (8; 0), (0 ; -4 ); 3) - 6 ; - 4 ; 2 ; 4) 10; 8; - 6 . 45. У другій і четвертій; у першій і третій. 46. 1) Д-2) = 5, /(3) = О, /• 2)

значення

j =ЗІ

функція

не

; 2) Xj = -1 , X, = 3; 3) X, = О, X, = 2. 47. 1) X = набуває;

-2 .

48.

;

(-оо;+оо);

461

Відповіді і вказівки д о задач

(-»;- 2)и (- 2;2)и( 2;+оо);

о ;-2 )и (-2 ;2 )и (2 ;+ о о );

З -оо; —

5) ( ^ ; - 3 ) и ( - 3 ; 2 ] ; 6) [ -1 ;0 ) и ( 0 ;і ] . 49. 1) Z)(/) = [ - 2; 2]; 2) W ) = [ - l ; l } 3)3; 4) fix) > О при X є (0; 2), f(x) < О при х є (-2 ; 0); 5) функція непарна; 6) 1 ( - 1); 7) два. 50. 1) 12 км; 2) 6 км; 3) другий; 4) перший. 51. Більш ніж ЗО км/год. 5 5 . 1) 3/ = - 1; 2 )у = - х + 2. 56. а) у = —х + 2; Є)у = -2 х + 2 ;в ) у = -х . 5 7 .1) V = t + 10,

‘

і > 0; 2) 13 в. 58. у = — . 60. Відносно ocij' симетричні точки 3); відносно початку X координат симетричні точки 2), 4). 61. Відносно осі з» симетричний графік фз^нкції 3); віадосно початку координат симетричні графіки функцій 1), 4), 5). 63. 1) |ж- 2|; 2) |а + 3|; 3) |а - Ь|; 4) \а + Ь\. 64. Парні функції; 2), 3), 5), 6); непарні функції: 1), 7). 6 6. 1) D{g) = [0 ;5 ], D {f) = [ -3 ;7 ] ; 2) E{g) = [-2; 2], £(/) = [-4; 3]; 3) функція у = g{x) має два нулі; х^ = 1,х^ = 4; g(x) > О на множині [0; 1) u (4; 5], g(x) < О на проміжку (1; 4); функція у = f(x) має три нулі; х^ = 0,х^ = З, х^ = 6 ; /(х) > О на множині (0; 3) и (6 ; 7], Дж) < О на множині [ - 3; 0) u (3;6); 4) функція у = g(x) спадає на проміжку [0; 3] і зростає на проміжку [3; 5]; функція у - fix) зростає на кожному з проміжків [-3; 2], [5; 7] і спадає на проміжку [2; 5]. 67. 1) 5 км/год; 2) 0,1 год, 0,3 год, 0,5 год; 3) швидкість зростала протягом наступних проміжків часу: О < « < 0,2 і 0,3 < t < 0,4; швидкість спадала про тягом наступних проміжків часу: 0,2 < t < 0,3 і 0,4 < t < 0,6; 4) 8 км/год. 69. 1) Функція зростає на проміжку (— оо; 2] і спадає на проміжку [2;+ оо); 2) функція спадає на проміжку ( - оо; 1] і зростає на проміжку [1;+ оо); 3) функ ція спадає на проміжку (-оо; 0,5] і зростає на проміжку [0,5;-і- оо); 4) фзгнкція зростає у своїй області визначення [-1;+ оо); 5) функція спадає на кожному з проміжків (-оо; - 2), ( - 2 ;+ оо); 6) функція спадає на кожному з проміжків (-оо; 0), (0; -І- оо). 74. 1) Ні; = - 1,5, = З - точки розриву; 2) у точці Xj = -1 ,5 функція не визначена, у точці х^ = З функція визначена; 3) /(3) = 1; 4) два. 76. 1) Два; 2) один; 3) жодного. 78.1) 8; 2) 2; 3) 3. 79. 1) 7л/Ї0; 2) - 2а%/з. 80.1 ) -^/3; 2 )а + Ь. 81. 2) Один; жодного; один. 82. 1) Зростає на Л; 2) спадає на ( - оо; 0], зростає на [0; -І- оо); 3) спадає на Л; 4) зростає на ( - ^ ; 0], спадає на [0; -Ьоо); 5) спадає на (-<»; 1], зростає на [1; -ь оо); 6) зростає на R. 83. 1) Парна; 2) непарна; 3) ні пар на, ні непарна; 4) ні парна, ні непарна. 85. 1) Один; 2) два; 3) два; 4) два 49 8 6 .1 ) 4; 2 ) -4 ; 3) ±5; 4) немає розв’язків. 87. 1) 10; 2) 6; 3 ) - —; 4)576; 5) — З 5 6) 2,7; 7) 6 ; 8) 6 ; 9) 6 ; 10) 3. 8 8 . 1) | ; 2) З V15

2) 4; 3) 5; 4) 4. 90. 1) ^ 5; 2)

4) 7 ; 5) 4 6)

. 89. 1) З 91. 1)

1 625

2) розв’язків немає; 3) 8; 4) -2 7 . 92. 1) -Ь-, 2) 3d"; 3) 2а; 4) - - с . 93. 1) >/? 2 З 2) V a - 1 ; 3) ч/а+9%/Ь; 4) 2 ^ а - 1 . 94. 1) 5 ^ ; 2) 3 ^ ; 3) З а " ^ ; 4) 2\Ь\у[^ 5)

6) m ^ V m V ;

7) 2 6 ^ V a V . 95. 1) V -15625; 2)

3) -i l 2 a V

Відповіді і вказівки д о задач

462 4)

4) 2ч/б ; 5) - 5 0 ; 6) - i S ; 7) - 6 ; 8) 216. 97.1) [3; +оо);

_ V I ^ . 96.1) 0; 2) 0; 3)

2) (-оо; +оо);

(-оо; -1 ] U

[1;

+оо);

-1 )и (-1 ;

+оо),

98. і? =

4 Sti/Q "(Р 1 - Р 2 ) ’

99. 1) ±3; 2)

^1 ^

ю і. і) (_оо; 0)и(0; +оо); 2)

1)и(1; +со); 3) [0; +оо);

[1; 2)и(2; +оо); 5) [0; +оо); 6) (-«>; -hx>). 102. 1) 0 ;- ; 2) (0; 0); 3) (2; 0); 4) (1; 0);

б)

(0; 2);

1 1

3) жЗ; 4) а®; 5) Ь«; 6)

104. 1) а^; 2)

6) (0; 1). 103. 1) 27; 2) 8 ; 3) 1024; 4) 0,2; 5) 0,5.

( -^ ;0 ) ;

105.1)

1 + а; 2)3)2 0 ^

+ a W +Ь3; 6) (o ')'*. 106. 1) » 1,09; 2) «1,40; 3) «0,481; 4) «1,73;

5) «2,03. 107. 1) Так; 2) ні; 3) так; 4) ні. 108. 1) Вісь х не перетинає; (0; 0,5); 2)

(1; 0); вісь у не перетинає; 3) (1; 0), вісь у не перетинає; 4) ( - 2; 0),

вісь

X не

0;2з

перетинае, (0; 1); 6) не перетинає осей координат. 109. 1)

2)(-ч»;ЗМЗ;+оо);3)[-3;-K »);4)(-3;-h »);5)(-^;3);6)(-^;5]. 1 1 0 .1) у(х,) = |; у(х,) = 2; 2)

графік функції проходить через точки А і С; 3) функція набуває значень 2

і О, значення - 2

не набуває; 4)

І)(з')

=[0;-ню),

£ ( 3/) =[0;+<ю),

функція

зростаюча, неперервна; 5) рівняння f(x) = - 1 коренів не має; рівняння Дх) = З >^0,6

іДд:) = 2 -х м а ю т ь по одному кореню; 6) ^/о^б <

2Г

; 2)

< і<

7 )3 .1 1 2 .1 )

1 . 113. 1) Один; 2) один; 3) один. 114. у = - х ^ . 2

115. 1) (-со; + сю); 2) непарна. 116. 1) « 167 м/хв.; 2) «0,51 м/хв.; 4) не існує.

117. 1)

S )T -

Г350^

у з . 2) у з ; 3) бУ^.

Розділ 2 118. В к а зівк а : скористайтесь тим, що поза кожною площиною існує безліч точок простору. 119. В к а зівк и : 1) розгляньте площину а, яка визначається даними точкою і прямою; 2) зверніть увагу на точки прямої, що проходять через А паралельно а. 120, 121. В к а зівк а : скористайтесь методом «від су противного». 123. В к а зівк а : доведіть спочатку, що точка iV лежить поза плопщною ABC. 124. 1) BjCj; 2) А Д ; 3) АВ; 4) АВ; 5) BD; 6) В Д . 125. В к а зівк а : скористайтесь тим, що прямі А В і с перетинаються, а с с р. 126. В к а зівк а : побудуйте спочатку точку перетину плоищни A B C з прямою І. 127. В к а зів ка: з’ясуйте, чи завжди можлива така побудова. 128. В к а зівк а : зверніть

Відповіді і вказівки до задач

463

увагу на те, що точка А е спільною для даних площин. 129. В к а зівк а : запи щіть умову символічно: а = у п а , Ь = у п р . 130. В к а зівк а : визначте дані прямі за допомогою чотирьох точок, які не лежать в одній плопщні. 131. В к а зів к а; якщо фігура має три точки, що не лежать на одній прямій, то вона містить дві прямі, що проходять через ці точки. Тому і вся площина, яка ви значається цими прямими, належить даній фігурі, бо вона складається із усіх прямих, що проходять через дві точки, взяті на кожній з цих прямих. Розгляньте інщі випадки самостійно. 132. В к а зівк а : 4), 5) використайте те, що центр грані е точкою перетину діагоналей. 133. В к а зівк а : 2) - 4) вико ристайте те, що центр грані є точкою перетину медіан. 134. 1) M N | |PQ, М Р І ІВС, A B x P Q , M Q І ІBD; 2) паралелограм; 3) 14 см, 24у/з см^. 135. Так. 136. 1) Мимобіжні; 2) перетинаються; 3) паралельні; 4) перетинаються. 137. 1) Паралельні; 2 f перетинаються; 3) мимобіжні; 4) перетинаються. 138. 1) Паралельні; 2) перетинаються; 3) мимобіжні. 139. В к а зівк и : 1) до слідіть 5гмову існз^ання шуканої точки; 2) з’ясуйте, чи залежить відповідь від існування точки перетину прямої А В з площиною а; 3) CCj = 3,5 см. 140. 2) 15 см. 141. 2) 6 см. 142. 2) 4 см. 143. 1) AD ^В С , DMxAN, AD\\MN; 3) З : 1. 144. В к а зівк а : проведіть через перетинні прямі плопщну і застосуйте другу ознаку мимобіжності прямих. 145. В к а зівк а : 5) побудуйте спочатку перетин січної плопщни з площиною однієї з граней. 146. В к а зівк а : 4) розгляньте окремо випадок, коли пряма M N перетинає площину A BC і коли не перетинає. 147. В к а зівк а : 2) використайте те, що на площині кожна пряма, яка пере тинає одну з паралельних прямих, перетинає і другу. 148. В казівка: звер ніть увагу на те, що точки А, В, С не лежать на одній прямій. 149. В казівка: якщо існує ще одна пряма d, яка паралельна с і перетинає а і Ь, то вона ра зом з с визначає плопщну, в якій містяться а і Ь (чому?). 150. В к а зівк и : 1) Нехай А є а, Ь' паралельна Ь і проходить через а. Спроектзгйте пряму Ь паралельно с на площину, яка визначається прямими а і Ь'; 2) спробуйте спочатку через точку простору провести пряму, що перетинає дві мимобіжні прямі. 151. Не обов’язково. 152. 10 см, 15 см. 153. 24 см. 154. В к а зівк а : ви користайте те, що діагоналі ромба перпендикулярні і що два перпендикуля ри до прямої на площині паралельні. 155. В к а зівк а : 2) використайте те, що відрізок, який з’єднує середини основ рівнобічної трапеції, перпендикуляр ний до основ. 156. В к а зівк и : 2), 3) використайте властивості бісектриси та висоти у рівносторонньому трикутнику; 4) спробуйте охарактеризувати центр кола, вписаного в рівносторонній трикутник, за допомогою медіан. 157. В к а зівк а : 3) використайте те, що вісь симетрії рівнобічної трапеції і висота пер пендикулярні до основ. 158. В к а зівк и : 1) охарактеризуйте центр кола за допомогою паралельних хорд; 2), 3) скориставшись вказівкою до попередньо го завдання, п о бу дз^е два перпендикулярні діаметри. 159. В к а зівк а : 1) ви користайте те, що прямі А В і AjBj лежать в одній площині, і те, що пряма А^В^ лежать в плопщні Р; 2) 4 см. 160. 2) 2 см. 161. 2) 10 см. 162. 1) Паралель ною проекцією; 2) паралелограм. 163. В к а зівк а ; проаналізуйте можливість побудови. 164. В к а зівк а : спроектуйте точки А і В на площину верхньої осно ви паралельно бічному ребру. 165. В к а зівк а : спроектуйте точки А і В на плопщну відповідних граней паралельно ребрам, що перетинають ці грані. 166, 167. В к а зівк а : використайте розв’язання задачі 1 і прикладу З з § 9.

464

Відповіді і вказівки д о задач

168. В к а зівк а ; використайте те, що проекція центра шестикутника симе трична проекції вершини В відносно середини проекції відрізка АС. 169, 170. В к а зівк а : застосуйте оборотність проектування. 171. В к а зівк а ; побудова полегшується, коли до граней куба добудувати такі самі куби. 172. 1) 5

cm ;

2) З см; 3) 8 см; 4) --------. 173. Друга бічна сторона без її кінців.

а+ с

174. В к а з ів к а ; 1), 2) використайте властивість бісектриси, проведеної з вершини рівнобедреного трикутника. 175. В к а з ів к а : врахуйте неодно значність розв’язку задачі. 176. В к а з ів к а : 3) зверніть увагу на взаємне розміш;ення бісектриси зовнішнього кута рівностороннього трикутника і його сторін. 177. В к а з ів к а ; використайте те, що серединні перпендику ляри паралельні відповідним висотам. 178. В к а з ів к и : 1) обґрунтуйте те, що основа бісектриси поділяє катет у відношенні 2:1; 2), 3) підрахуйте, в якому відношенні поділяють гіпотенузу основа висоти, проведеної з вер шини прямого кута, та основа бісектриси кута в 30°. 179. В к а з ів к а : ви користайте те, що менша діагональ поділяє цей ромб на рівносторонні трикутники. 180. В к а з ів к и : 1) використайте те, що точкою перетину діа гоналі квадрата поділяються навпіл; 2) врахуйте те, що задача має безліч розв’язків. 181. В к а з ів к и : 2) встановіть взаємне розміщення сторін пря мокутника і осі симетрії трапеції; 3) доведіть, що центр кола є перетином осі симетрії трапеції і медіани рівнобедреного трикутника, побудованого на бічній стороні трапеції та меншій основі. 182. В к а з ів к и : 1) обґрунтуй те, що це перетин зображень осі симетрії трапеції і прямої, що проходить через середину бічної сторони і основу висоти, опущеної з вершини тупого кута; 2) центр кола лежить на перетині осі симетрії і бісектриси тупого кута трапеції. Оскільки ми вміємо будувати зображення медіани до осно ви (бісектриси кута при вершині) рівнобедреного трикутника, то спробуй те побудувати на заданому тупому куті трапеції рівнобедрений трикут ник, бічні сторони якого дорівнюють бічній стороні трапеції. При цьому, звичайно, потрібно враховувати «спотворення» відстані за різними напря мами. 183. В к а з ів к а ; зобразіть хорду, паралельну даному діаметру. Як шуканий діаметр поділяє цю хорду? 184. 1) В к а з ів к а ; зверніть увагу на те, що одна точка перетину плош^ін вже відома, залишилось знайти ще одну; 2) ^|—a. 185. 1) В к а з ів к а ; використайте те, що усі дані точки зна ходяться в двох гранях; 2) —; 3) вк а з ів к а : знайдіть відношення, в якому З шукана площина перетинає три ребра піраміди. 186. В к а з ів к и : 3) про ведіть через центр грані S B C пряму, паралельну SB; 4) переріз буде пара лельним до грані ASC. 187. В к а з ів к и : 3) скористайтесь слідом січної пло щини на площині грані AB C D ; 4) знайдіть перетин січної площини з ребром СС;. 188. 130° або 50°. 189. 1) ВВ^, СС^, DD^; 3) ні. 190. 1) D F ЦABC, AB\\MNK, A C XD B F, M K x B C D ; 3) 3 c m . 191. 1) EF\\ABC, M C x D E F , MN\\CFE, BE\\ADF; 3)

8 cm .

192. 1) CD

ABC,

CD\\ABB„

CDxAA^D;

4) наприклад, пряма, що проходить через середини ребер АА^ і СС^; 6) 60°. 193. 1) AD\\BCS-, 4) в к а з ів к а ; обґрунтуйте, що шукана пряма паралельна

465

Відповіді і вказівки до задач

основам. 194. 2) паралельні; 3) 16 см. 195. 2) паралельна; 3) 6 см. 196. В к а з ів к а : скористайтесь тим, що протилежні сторони прямокутника пара лельні. 197. В к а з ів к а ; площина а перетинав площину трикутника A B C по прямій, паралельній ВС. 198. В к а з ів к и : 1) якби таких прямих було більше, то дві з них визначили б площину, паралельну обом даним пло щинам, і тоді б вони були паралельні між собою; 2) поряд з прямою, пара лельною другій площині, розгляньте пряму, яка лежить у другій плошдні і паралельна даній прямій. 199, 200. В к а з ів к а : врахуйте те, що такі по будови не завжди можливі. Вкажіть ці випадки. 201. В к а зівк а : 1)-3) по будуйте слід площини S M N на площині AB C . 202. 1) 45°; 2) побудовані прямі паралельні площині ВВ^С,С; площину DD^Cfi одна з цих прямих перетинав, а друга — паралельна їй. 203. 1) Чотирикутник ABCJ3^\ 2) трикутник BDK, де К — середина АА^; 3) якщо М, N — середини ребер CCj, OjCj, то січна площина перетинає площину A A Ji по прямій, паралельній MN. Далі скористайтесь методом слідів. 204. 1) Трикутник SMN, де М — середина A S, N — середина АВ-, 2) 1 : 1. 205. 2) Наприклад, площина АВС^; 3) вка зівка : зверніть увагу на те, що прямі АВ і А^^В^ паралельні. 206. В к а зівк а ; зверніть увагу на те, що така побудова не завжди

J2 А

можлива. Вкажіть ці випадки. 207. 1) MOfi\\ADD^, ABD,xCDfi^\ 3) — а^. Ш Л)АСО\\КЬР, М ІА 'х А В С ;3 ) — а^.209.1)Д Д І)||Ь М М ^;4)М А Д \\CDM^.

2 1 0 .1) L M _ B C , LN\\ABD, LMN\\ BDC; 4) вісозівіса;перерізом e трикутник, для обчислення площі якого варто скористатися виразом і 6с sin а , де а — К5Т при верщині S; Ь, с — прилеглі сторони. 211. 1) L M _ 212. 3) АВВ^ II DD^C^. 213. 1) Паралельні. 2)

{а + Ь+ с){т— ^ т

(*^ + ^ +

ВС, L N ЦABC. ^

Паралелограм. 215. 1) ML, де L = A B n C D ; 2) пря-

ма, що паралельна A D і проходить через М . 216. 1) Наприклад, переріз, що проходить через вершину А, Bj, Z)j куба ABCDAfi^CJ)^. 217. Напри клад, в тетраедрі SA B C переріз, що проходить через середні лінії трикут ників SAB і САВ, паралельний спільній основі А В . 218. В к а зівк а ; ско ристайтеся ознакою паралельності площин. 219. В к а з ів к а ; дві прямі, що проходять через одну точку паралельно площині, визначають площину, паралельну даній. Потрібно довести, що ця площина і є шуканою. 220. В к а з ів к а ; скористайтесь тим, що ці площини паралельні двом площи нам, що проходять через мимобіжні прямі А В і CD. 221. В к а зівк а ; ско ристайтесь властивостями прямої, яка перетинає одну з паралельних площин. 222. В к а з ів к а ; перерізом куба є квадрат з центром О і ребром M N. 223. В к а з ів к а : доцільно міркувати «від супротивного». 224. В к а з ів к а : у AADS проведіть середню лінію EF, а у AFCB — відрізок D K ЦFC, К еВ С . Перерізи E F C iA D K — шукані. 225. 1), 2) Плопщна. 226. 1) А В ЦА^В^ -,

ЗО

М атематика, 10 к

Відповіді і вказівки д о задач

466

B C x B C j; АСхАїС^; 2)

227. В к а з ів к а ; спроектуйте одну з прямих 4 на площину, що проходить через другу пряму паралельно першій.

Розділ з 228. 1)

2) 3) 4) 5) 6) 7) 229. 1) 60°; З 10 6 12 6 20 75 2) -1 5 0 °; 3 )« 114,6°; 4) 540°; 5) 225°; 6) -3 0 0 °; 7) 270°. 231. 9°; 135°; 720°; 1350°. 23 2 .1 )-3 1 0 °, 770°; 2 )-2 20°. 233.1)

235.

2) З ОООя рад/с.

-і. ^с

236.

1) 540

000 град./с;

234.1) З см; 2) 2ясм; 3) 0,4 м. 11л

237.

84л

2 ’ '

238. 240п см/с. 239.2,5 рад/с. 240. би см/с; 270тісм. 242.1)

V2 . V 2 I 2 ’ 2 /

Г і,

V3^

Г i .V i l ^ 2’ 2 ^ 4)

' S

;2) 2 У

\2 ’

’

2 ’

; 4)

'7 з 2 ’ 5)

^ + 2л/г, n e Z ; 4

1 2 і'

1 2 ’ V2

5 n/2

2’

r 1 V3^

2 4)

244.

2 j

’

;3)

2 ’

. 243.1) (-1 ; 0); 2) (1; 0); 3) (0; 1);

1) —+ 2 n n ,n e Z ; ' 4

— + 2 K n ,n e Z . 4

245.

— + 2л«, n e Z ; 4

— + 2лп.; — + 2лд, 71 є Z; З З

- —+ 2лл.; — + 271/1, га є Z. 246. Наприклад, 1) — ;^ І ^ ;0 ; 4 4 4 2 6 3 2 6 „ 1І7Г Зп 7п 2п п п Зл ТІ ТІ „ 5л Зл 7л л . 5л Зл ;— ; — ! Щ 1 З) — ; 0; — ; — ; — ; 4) —; 0 ; — ; — ; 4 2 6 3 2 6 4 2 6 3 2 6 4 3 2 7к 271 5ті 2тс я 71 _ 5ті .ч т-, • • ^ . . — ; п; — ; 5) — ; тг;— ; —; —; 0; — . ^47. 1) Безліч і чотири; 2) безліч і дві; 6 З 4 3 2 6 3 04. • • • • .ч ;. • • • 9^« 14 З 4 З 4 12 5 12 5 3) безліч 1 вісім; 4) безліч і дві. ^ 48.1) — ; — ; — ; 2) — ; ------ ; -------

2 249.

7з

’ f; ’

л’

Q’ ' 1Q’ 1Q’

с ’

Зл

2л

5л

7л

4л

5л

sin f 2

467

Відповіді і вказівки д о задач

Зл

''ф у н к ц ія ^ ^ '^ ^

5л

4л

5л

Y 1

cos t

-S

-1

tg t

ctg t

-1

~ s 250. 7л

12л

13л

^ Ф ^ н с ц ія ''"\ .^ sin t

-■

cos t

tg t

ctg t

251. 1) 0; 2) 1. 253. 1) 0; я; 2л; 2) 0; 2я; 3) л; 4) 2)

VI-а^ 2)

x =

-V T ^ ;--p 2 = .

V I - а^

5 5

255.

^ А -,1 .

; 5)

254. 1) ^ 1 - а ^

257. 1) х = у І 4 - у \

258. 1) 60°; 26°; 80°; 90° - а ; 45° - а;

1-У

y = > j4 -x ^ ;

2) 150°;

7ті 116°; 170°; 180° - а ; 135° - а; — . 259. 1) +; 2) +; 3) - ; 4) +; 5) +, якщо

— + 2кп < t < — + 2пп і 2 2

3) - ; 4) +:

- ; 6) 261. 1) cos t = 0,6; ctg t = -0 ,7 5 ; tg t = - - ; 2) sin< = — 3 lo

tg< = — ; 3) cos t ^ 12’

13’

ctg< = ^ .

262.

І З ’ ІЗ

V2 - V 3 .V 2 + V3

2 V

sin < = — ; 13’

ctgt = — ^ ; 4) cos t = ; ^ 12’ ' VlO

5) cos t = -0 ,8 ; tg t = -0 ,7 5 ; ctg « =

tgt = - ; 3

30*

якщо - —+ 2лп < ( < — + 2пп .2 6 0 . 1) +; 2) 2 2

’

або

2 У

' 5

або

12"

.13’ " ї з .

V2 + V3^

’

sin t

6) sin« = - ^ ; 13

; 2)

^ /2 -^ ^ .

ctgt = 2,4

; 4)

' 3, _4 ,5 ’

JlO

tg< = 2,4 3 .4

або

'5 ’ 5

V2 - V 2 ,V 2 + V2^ 2

’

або

468

Відповіді і вказівки д о задач

V2->/2

л/2 + л/2

. 263.1)

; 2 ) ----------------- 264.1) -ctg ^ a ; 2) -t g ^ a ; 7 + 4ч/7

5 + Зл/5 3)

0; 4) 0; 5)

10)

tg^a;

sm а

11)

cos^a;

12)

sin^a;

13) tg a; 14) ctg a; 15) sin a, якщо

і -s i n a ,

- —+ 2nn < a < —+ 2кп,п e Z 2

^ , ; 8) . , ^ ; 9) ctg^a; sin а cos а sin а cos а

cos а

якщо —+ 2nn< a < — + + 2nn, n є Z;

16) cos a, якщо 2 n n < a < K + 2 n n ,n e Z і - cos a, якщо n + 2nn< a < 2n + 2nn, n є Z. 266. 120° s in

135°

150° 1

S 2 1

COS

225°

240°

300°

2 1

315°

2 1

- 1

210°

330°

-S

390°

- 1

s 1

ctg

- 1

-7 ^

s 267 1

)

s ; 6) —

3) - 1 ; 4) n/З; 5)

- 1

s 7) S ' , 8) 1. 268. 1) - — - 1 ;

- V 2 ; 3)

269. 1) sin | ^ ; 2) -c o s | ^ ;

ctg — . 270. 1) - c o s - ; 2) c o s - ; 3) - t g - ; 4) c t g -. 271. 1) 0; 2) 1. 272. 1) 0; 5 6 4 4 6

0. 273. 1) 4; 2) -1 ; 3) 1; 4) -ctg a. 275.

278. 1) 385°; 745°; -2 0 5 °; -3 3 5 °; 2) y-

3) - t g ^ ;

276. — . 277. 1) 1; 2) T - Z l , 13 2

281. 1) 0,5; 5

2 ) - > / 3 ; 3 ) - — ;4 )л /з . 282. 1) 1; 2) 1; 3) 2 sin a

4) tg^2a. 2 8 7 .1 ) 6л; 2) — ; 3

3) не існує. 290. 1) ± — , 0; 2) 0, —, ті. 291. 1) R; 2) R; 3) R\ 4) вся координатна

пряма, крім чисел х = — + 2пп, п є Z; 5) вся координатна пряма, крім чисел

X = —+ пп, п є Z; 6) об’єднання проміжків [2л/г; к + 2пп~\, п е Z; 7) об’єднання 2 проміжків

- — + 2пп; — + 2кп , n e Z . 2

292. 1) Парна. 2) Парна. 3) Непарна.

Відповіді і вказівки до задач

469

п^% ; 2’2

п -п; —

n _3n 2 ’Y

;

2 ’Y л Зл

■ ^ ; 2л' 2

п п 2’2

It ^Зті

Зл -

Л Зл

4) Непарна. 5) Парна. 6) Ні парна, ні непарна. 293. 1)

— ;2тс

2’ 2 Л

. 294.1)

— _2

’

ТІ^я ~2’ 2

. 295. 1) Зростає на кожному з проміжків

. 2 ’! "

- л + 2лд;2лп ,n є Z' спадає на

- —+ 2іт\—+ 2іт

2) зростає на кожному з проміжків

^ о Зл „ — + 2пп; — + 2ли , 2 2

кожному з проміжків 5л

проміжків л

2пп 5л

2пп Зл 3

;— +

2пп

2лп

n sZ '

Ї 2 ' ^ ~ ’ Ї 2 ’^ ~

п є Z; 3) зростає на кожному з

спадає

,n e Z \

, п є Z; спадає на

зростає

на кожному з проміжків

на

кожному 5л

л 7л — + ли; — + л/г , ne.Z\ спадає на кожному з проміжків

проміжків

л + пп; — + пп 12

д є 2 ; 5) зростає на кожному з проміжків

- —+ пп\ — + пп , n e Z ; спадає на [ 6 З

Л 5л — + пп; \-пп , " 6 J

ГГ лч n e Z ; 6) зростає на кожному з

кожному з проміжків

2л 7л — + лтг; — + пп , З 6

проміжків

л 2л — + лга; — + кп , 6 З

n eZ .

296.

1) sin 3 7 °< sin 8 6 °; /

cos 200° < cos 230°;

спадає на кожному

п є Z;

sin

Г 8,

Л ^

< sin V

/ 6) sin(-3) > sin(-2);

7) c o s -y > s in ^ ;

2) [-3; 3]; 3) [-4; 2]; 4) [0; 1]; 5)

-l;-l

2 7t

8) cos

lOy \ n

Г7

проміжків

2) sin 220° > sin 260°; / ;

cos

\ < sin

~^J

= sin

"Зл^

. 297. 1) [. 300. 1) Вся

; 6) [-3 ; 3]; 7)

Tin

c-»\

координатна пряма, крш чисел х = — + — , п є Z; 2) вся координатна пряма, 6 З крім чисел

= ^ + пп, п € Z; 3) вся координатна пряма, крім чисел х = ^ ,

n e Z ; 4) вся координатна пряма, крім чисел х = - — + пп, х = —+ пп, n e Z . 4 2 301. 1) Непарна. 2) непарна; 3) парна; 4) парна; 5) ні парна, ні непарна; 6) парна. 302. 1) tg(-80°) < tg(-50°);

2) t g ^ > t g ^ ; 5 5

3) t g l> tg l,6;

4) tg(-2) > tg(-3);

470

Відповіді і вказівки д о задач

< c t g -; 6) ctg95° > ctgll7°; 7) ctg2 > ctg3; 8) t g - < c t g -. 303. 1) Cna9 6 4 пп п пп дає на кожному з проміжків , п є Z ;2 ) спадає на кожному з про 5) ctg

міжків (лга; к + п п ), п є Z',3) зростає на кожному з проміжків п е Z; 4) зростає на кожному з проміжків на кожному з проміжків

Зп

І 4

+ пп; — + пп , п е Z; 5) спадає

— + пп; пп ,п є Z; зростає на кожному з проміжків 2

пп; — + пп , п є Z; 6) зростає на кожному з проміжків 2 спадає на кожному з проміжків з проміжків

— + пп; —+ пп 2 2

— + пп; пп , п є Z; 2

пп;^ + пп , п є Z; 1) зростає на кожному

~ ^ + 2пп; — + 2пп , п е Z; 8) спадає на кожному з проміжків ^3 з у

- — + Snn; — + Snn ,п є Z. 304. 1) ( - 00; +go) ; 2) ( ^ ; -і-оо) ; 3) (1; +оо) ; 4) ГО; +оо); V 4 4 ^ L / 5) {1}; 6) (-оо;+оо); 7) (-оо;0]. 305. 1) 1; - 1 ; 2) 7 3 ; — ; 3) — + 1;0. 307. 1) 3; п ;^ ; 2 ^ ; 2 ; Ь О 2 4

3) 2; 4ті; 1; 4) 3 ; - ; 0 ; 5) 1; 2 л ;- 1 . 308. 1) 2 , 5 ; - ; З т і ; - см; 2) 7; 2 3 4

0.5; 4п;—— см; 3 )2; 1;2ті;0 см ;4) 1,5; 2 3) t =

71 6; - ; - 0 , 7 5 см. 309. З

1) 5; 0,2;107г;2)5А;

0,05 + 0,2га с,га= О,1, 2, ... . 310. 1) 220; — ;бОті; 2) 220 ЗО

В; 3)— с, га= О, ЗО

1, 2, . . . .31 1 . 1) 2 ;п ;^ ; 2) паралельне перенесення вздовж осі t на — одиниць З 6 у від’ємному напрямі; стиск до осі у вдвічі; розтяг від осі t втричі. 312. 1) t = ^ + ^ , n 3 3

2) t = ^ + ^ 2 3

= 0,1,2,...;

га = О, 1, 2, ... . 4)

t=^ +^ , 6 З

2) 3' = 7sin

. 314. 1) +; 2)

6nt + -

316. 1) аЬ; 2) 0; 3)

+ Ь^; 4) -

V 2 ( ^ /3 - l )

так. 315. 1) 3; 2) -3 ^ 2 ; 3) 0; 4) 6 ; 5) - 6 .

- Ь^. 317. 1) 8 ; 2) -1 2 ; 3) V 2 (V 3 -l)

4) 17; 5) 26; 6) 10;

л/2 (7 з - і ) 3)

га = О, = О, 1, 2, ... .313. 1) з-= sin ІОлі + —

7) - 8 . 319. 1)

, п = 0,1,2,...; 3)

л /2 (^ 3 + і) ; 4)

л 425

425

Відповіді і вказівки д о задач

^ 12

-2 7 3 0 -1 •

527

19 31 _со^ sin2a

-tgatgP; 336

471

а 0,316; 3. 332. 1) i s in 2 0 °;

11) 3)

tg2a;

5) tg2a;

6) sin 3a;

625

. 333.1) 1; 2) 1; 3) tg^

7) cos4p; 8) —cos4x;

—

cos a - s i n a; 12) ^/2|sina + cosa|; 1 3 )-2 cos a; 1 4)-2 sin — . 335. 1) 2 4 -■ 4) 4. 336. 1) 0; 3; n\ 2) - 1; 2; л. 337. 1) 0,96; -0 ,2 8 ; 2) 8 3V2

339. 1)

. 8 "^ 2 у

cos

я ^8

340. 1) tg2a; 2)

'п

34 2.1) 4 cos

cos a

; 2) - 4 sin 2>

а'

.12 ^ 2 ,

b ill

3) h\

7c _ a

^ 71

2) — ; 16

3) 2V2 c o s -c

" л

9) sin 2a; 10) cos 2a;

338. 1) - ; - - ; т г ; 2) 2 ;1 ;^ ; 3) 2; 0;

625

3) cos2a; 4) —ctg2a; 5) i s in 4 a ;

6) sin 2a; 7) sin 2a; 8) sin 2a; 9) tg^y; 10) tg^ 4)

331. 1) * 0,447; «0,894; 0,5. 2) » 0,949;

1 -а ^

2) cos4a;

^ 2 ’

2) ті; 3) л. 330. 1)

^ ^ З

145

; 2) 2 о % /і-а ^ 3) 2 а " - 1 ; 4)

; 4) cos a cos 3a.

а . Q\ > . 1 2 "" 2 .

7Г 2 sin — а ІЗ ) cos а

s/2sin —+ a 4

4) 4)

. 343. 1) 1 + cos 2x; 2) - + cos2x+ —cos4x; 2 2

1 1 —+ —cos8x. 2 2

344.

a = ±Р + 2лп, ra є Z ;

348. 1) V 2 ;-V 2 ;2 ti; 2) ^/2;-^/2;27l. 349.

3) l-c o s 4 x ;

a = P + n n ,n e Z .

347.

45°.

■Д + ^ , V2-1 Уз + %/2 n/2-1 1-n/2 ’ л/з + л/2’ 1-V2 ’ S + sf2'

( ctg6 ^ +00 ; 2) — ; 3) 8п. 351. 1) R; 2) [ - 10; 10]. 352. 1) — 5 1 tg3 , H g4

•Д

3 5 3 . 1) У першій; 2) у четвертій; 3) у першій; 4) у другій. 354. 1) — ; 2) 3)

5) 0,8; 6) 0,6. 355. 1) ( - 1 ) '* - + — , 6 2

n eZ -

\-2nn, п є Z; — + ------- , п е Z: 3) ± — + 4пп, пе Z; 4) — + 2 т т , 3 3 З 12 12

5) немає роз-

в’язків; 6) немає розв’язків; 7) (-1)"*' — + Зпп, n eZ -, 8) ± —+ n n ,n e.Z ; 9) немає 4 З

472

Відповіді і вказівки до задач

розв’язків; 10) ( - 1) " ' ^ + 'І"-

+ 2иті, л є Z; 11) + ^ +

п є Z; 12) ± і arccos(-0, 6) +

+ пп, n eZ \ 13) 3(-1)"агс8ІпО,2 + 37ід, д є Z; 14) -0 ,5 ±а гс со з0 ,9 + 2яп, га є Z. 356.

— + пп,п є Z; 6

—+ 4

n eZ;

± — + 2пп',п є Z; 4

± —+ 2 n n ,n e Z . 357. 1) 2 n n ,n eZ ', 2) немае розв’язків; 3) - — + 2 n n ,n € Z . 6 2

358.1) осп

оО а.

і )

2пп, — + кп, п е Z; 2) немає нулів; 3) — ,пє Z ,n ^ 0; 4) пп; — + 2пп, пе Z. 2 пп 2 ІЗтс 5л п 7л 11л . л 7л 9л 15л 17л 23л 25л 31л ; ------- ; ------- ; —

33л 39л ---8 8

; --------;

А)

—; —

; —

; --------; ------- ; -------- ; ---------:

6 6 6 6 6 8 8 8 8 8 8 8 8 41л 47л 7л 11л іч , Зя „ „ 5л ; ------- ; 3) — ; ------ . 360. 1) ± — + 2лге, и є Z ; 2 ) ------ \-2nn; n e Z . 8 8 6 6 4 6

361. 1) = 83,6°; « 96,4°; 2) 60° і 30°. 362. 1) і a r c s i n ^ , - - i a r c s i n ^ . 2 с 2 2 с В к а зівк а ; До прямокутного трикутника прикласти рівний до нього трикутник

скористатися

теоремою

синусів.

2Д 1 _ + arcsin ______ - ^ 1 R-r)

363. 1) У першій; 2) у четвертій; 3) у першій; 4) у другій. 364. 1) %/3; 2)

S 3) 4)

4 )-1 .3 6 5 . 1) - — + n n , n e Z ; 2) - - + 2 л r l,« є Z ; 3) - arctg3 + — , д є Z; 12 2 2 2

arcctg(3-V2) + лп, п. є Z;

7) iarcctg(-0,3) + — , га є Z; 3 3

± —+ 2rtn,raeZ; 6) 2

— + лл,— + лп, тг є Z; 6 6

— + л n ,reєZ ; 9) 15

arcctg(-3) + лп,, п є Z;

10) — + 2пп\ arcctg(-0,5) + лтг, п єZ. З 3)

366. 1) - —+ лп, raeZ; 2) —+ лд, n e Z ; 4 6

- - + ПП, n s Z . 367.1) - + ге, п є Z; 2) 1; —+ лп, п = 0 ,1, 2,...; 3) —+ лге; - - - п п , 6 3 2 4 4

п = 0 ,1,2,....368.1) З

+ 2лп, м є Z; 2) п + 2пп, п є Z; 3) — + 6пп, — + 6кп, n e Z . 3 3

369. 1) 50°; 2) 120°; 3)

370. 1) 5

з ’

з’ З

0;2л;4л;6л; 4) - — ; - л ; - — ; - - ; 0 ; - . З З З З

— + 2пп; ( -1 ) "* 'arcsin0,75 + + лп, тг є Z; 2

4л. З

8 ’

371. 1) - + 2кп; 2

8 ’ 8’ 8 ’ 8 ’ (-1 )" - + лп, « є Z; 6

3) — + 2лд; — + 2arcctg(-4) + 2лп, 4 4

n e Z ; 4) —+ лп; arctg5 + лд, п є Z; 5) ± —+ 2лп, n e Z . 372. 1) пп\ (-1 )" —+ лп, 4 3 4 neZ;

2) — + — ; 10 5

л + 2лга, raeZ;

3) —+ 2лд; 2

—+ n n , n e Z : 4

4) n n , n e Z .

473

Відповіді і вказівки д о задач

373.1)

— + — , rteZ ;2)+ —+ — , 71єZ ; 3 ) - —+ лп; -arctg4 + ren,,n&Z\ 12 З 9 3 4

arctg 2,5

+ тт,п € Z; 5) —+ K n , n e Z ;

6)arctg(l ± у/з) + лп, п є Z;

-arctg 2 + ТІЛ, п є Z. 374. 1) тт; + — + 2лп; n e Z ; 2) лп.;

7t ТГТІ „ — +— ,neZ; 8 2

+ 2тт, n e Z ;

4) 7)

2TC/Z 7Г _ 7Г ----- ; — + 2 к п ; — + пп\ 3

™

7) — + кп;

, n e Z ; 3) —+ лм;

7С ^ 5) —+ — , п є Z;

n^Z\

8) —+ — ' ^ 8 4

nn;neZ;

4 ) —+ 7гтг; 4

6 3

+ лп.,

^ 6) 2пп,

га є Z . 375. «126°; »54°.

376. 1) 2 a r c c tg ^ , ^ -a r c c t g -^ ; 2) arctg , л - arctg 2■ с Z с а ~о Q —о 377. 1) arctg2 « 63°26',

arctg2 « 63°26', п - 2arctg « 53“8’;

2) 2arctg- » 48°11',

2arctgi а 48 °И ', n -4 a rc tg i « 83°38'. 378. » 75,5°; « 75,5°; « 29°. 379. « 24°30'; 5 5 а 65°30'. 380. 1) —+ 2л« < л: < л+ 2лп., п. є Z; 2) п + 2пп < х < — + 2пп, n e Z ;

—+ 2лп. < X < — + 2лтг, п є Z;

4) л + 2лтг < х < 2п(п +1), п є Z.

381. 1) —+ 2лга< ж < — + 2лп, п є Z ; 2) 'б 6

+ 2лтг. < х < — + 2л?і, п є Z ; 4

- — + 2лтг < я: < —+ 2лп., д є Z ; 4) — + 2л/і < я: < ^ ^ + 2лп, п є Z; З 3 6 6

- — + 2 n n < x < — + 2 %n , n e Z; 6) - — + 2 n n < x < — + 2Tcn, neZ; 6 6 4 4

7) — + 2лп, < д: < — + 2жп, n e Z ; 8) — + 2лп < х < — + 2пп, n s Z ; ^ 3 3 3 З 9)

- —+ лп < ж < — + л/г, п є Z; 10) — + n n < x < —+ n n , n e Z ; З 2 6 2

11)

+ л га< ж < — + лre,7^єZ;

12)

- —+ K n < x < - —+ n n , n e Z ; 2

13) п п < х < — + тт, п е Z. 14) — + л г е < х < я + пп, n e Z\ 4 6 15) л (2 д -1 ) < л: < 2лп, л, є Z. 382. 1) —+ лп< х < — + лп, п є Z; 2) — + 2лп. < лс < л + 2ли, ті є Z;

— + 2л?і < х < п + 2пп, п є Z; 4)

2 383. 1)

< д; < 5 +

,neZ.

+ 2лп. < ж < —+ 2лп, 71 є Z ; 2) л + 2лп < ж < 2л + 2лті, ті є Z;

474

Відповіді і вказівки д о задач

3) пп < , VТС

< —+ п п , п е Z. 384. 1) - —+ 2пп < х < — + 2пп, п є Z ; 2) —+ 2тт < х < 2 66 4

Г7

ГГ Л \

5TT

гт

< — + 2тгп, n e Z ; S) — + к п < х < —+ Kn, ne Z; 4) к п < х < — + n n , n e Z . 4 4 2 6 385. 2) -

—+ G n < t < —+ 6n; 2 2 < а < -

—+ 6 n < t < —+ вп, п = 0,1,2........ 2 2

386. 1)

0 < а < —; З

Розділ 4 387. 1) AD, АВ; 3) вка зівка : використайте результат виконання завдання 2); 4) вказівка; всі ці прямі лежать у площині BDD^, яка перпендикулярна до А^С^. 388. 1) SO, АС; 2) перпендикулярні; 4) SON, де 7V - середина АВ; 5) Зл/2 см^. 389. 1) CS _L СВ, CS 1 C M , CS 1 СА, C M ± АВ; 2) перпендикулярні; 5) — a^ 390. 1) А^С^; 2) А4^С^; 3) BN, де N - середина 24 CD\ 6) ADC^; 7) А^С. 391. 1) SO, де О - центр квадрата ABCD-, 2) S/CO; 3) висо та з вершини М трикутника SMP, де Р — середина ребра АВ. 392. » 4,9 м. 393. В к а зівк а : врахуйте взасМне розміщення даних точки і прямої. 394. В к а зівка: використайте те, що діагональний переріз куба е прямокутником. 396. В к а зівк а : проведіть через прямі а іЬ плопщну і розгляньте її перетин з площиною а. 397. В к а зівк а : застосуйте метод «від супротивного». 398. В к а зівк а : з’ясуйте, чим є відрізок КЕ для трикутників КАВ і KCD. 399. В к а зівк а : для прямих, що лежать в одній плопщні, все зрозуміло. Якщо припустити, що прямі, що мають два спільних перпендикуляри, мимобіжні, то ці перпендикуляри е перпендикулярними і до паралельних площин, в яких лежать прямі, а тому вони паралельні між собою. 400. В к а зівк а : використайте те, що вказані прямі паралельні між собою. 402. В к а зів ки : 1) розгляньте переріз плопщною, яка проходить через середини паралельних ребер; 2) розгляньте переріз площиною, яка проходить через діагоналі протилежних граней. 403. 2) Перерізами е трикутники SAD та ACL, де D, L — середини відрізків ВС і SB, а їх перетином е відрізок, що з’єднує точку А з точкою перетину відрізків SD і ВК. 404. В к а зівк а : проведіть через всі пари мимобіжних прямих паралельні площини. 405. 2а + 2Ь. 406. В к а зівк а : проведіть з точки С перпендикуляри до ВА. 407. 1) SOC, де О — середина АВ; 2) KL, де К, L — середини відрізків A S і АС; 3) вказівка: проведіть через точку А прямі, паралельні CS і СВ; 4) вка зівка : з точки С проведіть перпендикуляр до прямої ЗО. 408. 1) МКО, де О - середина АС; 2) пряма, що проходить через середину A M паралельно МК; 3) вказівка: проведіть через точку А прямі, паралельні ВС і КМ; 4) BCL, де L — середина AM . 409. 1) AOS; 2) пряма, паралельна SO; вказівки ; 3) скористайтесь тим, що пряма SO перпендикулярна до площини ABC; 4) доведіть, що пряма ВС перпендикулярна до площини ASO. 410. 1) Проходить через центри вказа них граней; 2) A A f i вказівки ; 3) скористайтесь тим, що пряма А^С^ перпен дикулярна до площини BDD^; 4) проведіть через точку D пряму, паралельну

475

Відповіді і вказівки до задач

прямій ^4С. 411. 1) S O X ABC; 2) В С ± ASD. 412. » 21,5 м. 413. 'Jb^ +с^ - а ^ . 414. В к а зівк а : достатньо довести, що пряма а перпендикулярна до площи ни MPQ. 415. В к а зівк а ; через точку D проведіть пряму, паралельну ОМ. 416. В к а зівк а : це пряма, перпендикулярна до ортогональної проекції пря мої а на плопшну а. 417. YA>YB. 418. В к а зівк а : через кожну точку площи ни проходить пряма, перпендикулярна до даної прямої. 419. В ка зівки : а) побудуйте два прямокутники на даному відрізку і знайдіть точки перети ну їх діагоналей; б) побудуйте два рівнобедрених трикутники, основами яких е даний відрізок. 420. 10 дм. 421. 1) Перпендикулярні; 2) перпендикулярні; 3) плошдна проходить через середину відрізка АВ ; 4) плошрна проходить через перпендикуляр до ABC, проведений через середину AD. 422. 1) SDB ± ABC, SDB 1 АВ К ; 4 ) - a ^ 4 пендикулярні; 5) перпендикулярні; 6)

423. 1) Перпендикулярні; 2) пер. 424. В к а зівк и : 1) скористайте-

ся тим, що медіана у правильному трикзтнику е висотою; 2) скористайтесь завданням 1); 3) врахуйте те, що B D 1 АМС; 4) — см; 5) навпіл. 425. 1) — О Z

см;

2) вк а зів к а : використайте те, що зазначена плоїцина єдина. 426. —\/337 см. 5 427. В к а зівк а : розгляньте випадки, коли плопщни паралельні і коли пере тинаються. 428. В к а зівк а : вкажіть ребро однієї грані, перпендикулярне до другої грані. 429. В к а зівк а : скористайтесь означенням перпендикулярності площ;ин і однозначністю перпендикуляра з точки до плопщни. 430. В казів ка: скористайтесь тим, що плопщну, перпендикулярну до інщої плопщни, можна вважати «зітканою» з перпендикулярних прямих до інщої плопщни. 431. В к а зівк а : доведіть, що, наприклад, ВВ^ 1 а, і тоді ВВ^ ± ВХ. 432. В к а зівк а : розгляньте спочатку дві вказані площини і встановіть властивості їх-

[о

/ч

ньої лінії перетину. 433. 1) — Ь; 2) — 6, — Ь,— Ь. 434. 40 см. 435. 21 см,

ГІ2 28 см. 436. 1) %/4Ї см; 2) 12 см. 437. 1) 13 см; 2) 4 см. 438. 1) J— + — 1

2) ^^аЬ. 439. В к а зівк а : спробуйте реалізувати конструкцію на прямокут4 йому паралелепіпеді. 442. 130 см. 443. 8 см. 444. 10 см, 35 см. 445. 6 см. 446. Або V674 см, або 25-ь%/399 см, або 2 5 -л /3 9 9

см. 447.

см, arcsin —. О

448. 12 см, 3>/4Ї см, 20 см. 449. 2 -Я см. 450. 45°. 451. 36 см. 452. Vl5 см. 453. В к а зівк а : в усіх випадках йдеться про побудову похилої МК, перпендикулярної до прямої АВ. Для цього доцільно спочатку побудувати проекцію похилої МК, перпендикулярну до АВ, а потім скористатися теоремою про три перпендикуляри. 454. 12 см, V l78 см, СМ. 455. Вказівка: скористайтесь тим, що похилі, проведені з точок перпендикуляра

47 6

Відповіді і вказівки до задач

до вершин прямокутЕШка, своїми проекціями мають половини діагоналей. 456 В казівка: з’ясуйте, який вид має трикугаик ABC. 457.

45g, - , ^ a , 4

459. Так. 460. Зл/ЇГ

462.

1) 2

cm ;

2) 3

cm ;

464.

1) 4n/2

cm ;

2) 4%/2

3) -V T T 3 cm ;

a; 7)- a^ .a ..oo. 466. 1) Jb^

461. 1) * 75 м; 2 )» 27°; 3) «34 м.

463. 1) 2n/2

cm .

3) 2n/13

cm .

—J 3 a ^ + — 4 V 4

cm ;

2) V2

cm ;

-n /s

cm .

465. 1) ^ a , 2) a; 3) a; 4) у ії^ а ; 5) a;

. >2—) ^ua, ;o, 3)

o; ^- . 467. 2,5 5)

або 1,5 c m . 468. 10 c m . 469. 1) у/Т8 c m ; 2) у/тз c m або 3%/б c m . 470. В к а зівк а : порівняйте вирази похилих через перпендикуляри і проекції. 471. В к а зів ка; скористайтесь теоремою про три перпендикуляри. 472. В к а зівк а : слід розглянути трапеції, побудовані на перпендикулярах, проведених з проти лежних вершин прямокутника до поверхні Землі. Вони мають спільну серед ню лінію. Оскільки порядок наступності вершин у задачі не обумовлено, то може бути три варіанти відповіді: 1; 3; 5 м. 473. >/37 см. 474. 5 см або 4 см (останній випадок може мати місце, коли точка ортогонально проектується за межі кута, і коли відстань від вершин сторін кута дорівнює відстані від його вершини). 475. — а. 476. В к а зівк а : розгляньте трикутники А С Е і 4 B D C .411. 82°. 478. 72° і 108° або — ° і — °. 479. « 1848 м. 480. 1) a r c t g ^ ; 7 7 yjs 2) a r c t g ^ ; \15

3) ABD ± SKC; 4) 30°;

V57

481. 1) 60°; 2) a r c t g ^ ; 2

3) AB S ± BDC; 4) a r c tg -; 5)

482. 1) 30°; 2) 60°. 483. 1) 6 0 “’ і 30°; 2) рівні;

4Ve. 484. 1) « 55°; 2) рівні; 3) ^ 19°; 4) ^ a . 485. 1) 30°; 4) 8^2 + S

cm ;

S 5)

4 ^ 2 - л/з

cm .

486. 1) 30°; 4) 2^2 + S

488. 3) Рівні. 489.

1) 45°,

cm ;

arctg — ; 2) 2

5) л /2 -Т з

cm .

487. 2) Рівні; 3) 90°.

arctg — ; 4

a r c t g —-arctg — ; 5 2 4

arctg — . 490. 1) ^ 1 m ; 2) 30°. 491. «=900 m . 493. 1) 8л/2 c m ; 2) 16 c m ; 3) ^ cm . 2 _ Vs 494. 30°. 495. » 1,8 m . 496. В к а зівк а : нехай О = агла. Відкладіть на трьох даних прямих плопщни а відрізки ОА = ОВ = ОС. Тоді точки прямої а рівновіпдалені від вершин трикутника ABC. 497. 1) acos — ,a s in a ; 2) arctg

■ о.

o s in a rccos

acos;

arcsm

b tg ; 4) a ;

7 r - 2 a r c t g - -,

; a rctg —

;------- .

Предметний покажчик

Аксіоми стереометрії 131 Амплітуда гармонічного коливання 287 Арифметичний квадратний корінь 15 - корінь п-го степеня 85 Арккосинус 325 Арккотангенс 332 Арксинус 320 Арктангенс 330 Асимптота вертикальна 77 Бічна грань піраміди 134 Вершина паралелепіпеда 134 - піраміди 134 - тетраедра 134 Відсоток 36 Відстань між фігурами 426 Гармонічні коливання 286 Гіпербола 55 Головна властивість кореня 91 Грань двогранного кута 446 - многогранника 133 - паралелепіпеда 134 -тетраедра 134 Графік гармонічного коливання 287 - косинуса 275 - котангенса 282 - синуса 275 - тангенса 281 - функції 53 Графічний спосіб задання функції 47 Двогранний кут 446 Дроби нескінченні десяткові 19 - періодичні 19

Еліпс 167 Значення функції в точці 46 Зображення фігури 180 Квадратична функція 46 Квадратний корінь 85 Координатна пряма 23 Корінь п-го степеня 85 Косинус 241 Котангенс 241 Кругова частота гармонічного коли вання 287 Куб 133 Кубічний корінь 86 Куля 135 Кути з однаково напрямленими сторонами 445 Кут між площинами 441 - - прямими 438 - - прямою і площиною 438 Кут обертання 228 Кутовий коефіцієнт прямої 53 Лінійна функція 46 Лінійний кут двогранного кута 447 Лінія котангенса 244 - тангенса 244 Математична модель 8 Мимобіжні прямі 146 Множина значень функції 46 Модуль числа25 Напрям проектування 161 Обернена пропорційність 46 Область визначення функції 46 Окіл точки 26

478

Округлення чисел 33 Ортргональне проектування 406 Основа перпендикуляра 414 Основна властивість дійсних чисел 24 - тригонометрична тотожність 251 Осьова симетрія 369 Парабола 54 Паралелепіпед 134 - прямокутний134 Паралельна проекція точки на площину 161 - - фігури на площину162 Паралельне перенесення графіка функції 57 Паралельне проектування 161 Паралельні плопщни 206 - пряма і площина 194 - прямі 146 Переріз 139 Перетворення графіків функцій 57 Період функції 266 - основний 270 Перпендикуляр до плопщни 363 Перпендикулярність плопщн 393 - прямих 362 - прямої і площини 363 Піраміда 134 - га-кутна 135 - правильна 135 Плопщна проекцій 161 - січна 139 Поворот навколо прямої 366 Показник кореня 89 Похила до плопщни 414 Початкова фаза гармонічного коливання 287 Природна область визначення функції 46 Проектуючі плопщни 162 - прямі 161 Проекція похилої 414 Радіан 229 Ребро двогранного кута 446 - многогранника 133 - паралелепіпеда 134 - піраміди 134 - тетраедра 134

Предметний покажчик

Рівняння однорідне тригонометричне 334 Розтяг графіка функції 59 Симетрія відносно плопщни 409 - осьова 369 - просторової фігури 409 Синус 241 Синусоїда 275 Слід плопщни 191 Степінь з натуральним показником 15 - раціональним показником 97 - - цілим від’ємним показником 15 Стиск графіка функції 59 С}туііжні грані паралелепіпеда 134 Табличний спосіб задання функції 49 Тангенс 241 Тангенсоїда 281 Теорема косинусів 224 - синусів 224 Тетраедр 134 - правильний 134 Точка розриву функції 75 Тригонометричне коло 234 Формули додавання 298 - зведення 256 - подвійного кута 302 - половинного аргументу 303 - універсальної підстановки 305 Функціональна залежність 45 Функція 45 - зростаюча 67 - квадратична 46 - лінійна 46 - монотонна 67 - непарна 71 -неперервна 74 - парна 71 - періодична 266 - спадна 66 - степенева 82 - тригонометрична 241 Числа дійсні 23 - ірраціональні 22 - натуральні 18 - раціональні 19 - цілі 18

Зм іст

Звернення до читача............................................................................................................. З В ступ .......................................................................................................................................... 5 Р О З Д ІЛ 1. ф у н к ц ії, їх н і в л а с т и в о с т і та г р а ф і к и ................... 11 §1. Числові множини........................................................................................................... 18 §2. Обчислення і розрахунки ............................................................................................31 §3. Функціональні залежності ......................................................................................... 45 §4. Основні властивості функцій .....................................................................................66 §5. Корені тг-го степеня........................................................................................................82 §6. Степеневі функції з раціональними показниками ............................................. 97 Р О З Д ІЛ 2. П а р а л е л ь н іс т ь п р я м и х і п л о щ и н ..................................... 117 § 7. Основні поняття й аксіоми стереометрії ..............................................................127 §8. Взаємне розміщення двох прямих у просторі ..................................................... 145 §9. Паралельне проектування ....................................................................................... 160 §10. Зображення фігур у стереометрії.......................................................................... 179 §11. Паралельність прямих і площин.......................................................................... 193 §12. Паралельність площин ............................................................................................205 Р О З Д ІЛ 3. Т р и г о н о м е т р и ч н і ф у н к ц ії ................................................ 221 §13. Тригонометричні функції числового аргументу .............................................. 227 §14. Основні співвідношення між тригонометричними функціями .................. 251 §15. Властивості і графіки тригонометричних функцій ........................................ 266 §16. Тригонометричні формули додавання та наслідки з них ............................ 298 §17. Найпростіші тригонометричні рівняння і нерівності .................................... 317 Р О З Д ІЛ 4. П е р п е н д и к у л я р н іс т ь п р я м и х і п л о щ и н .........................357 §18. Перпендикулярність прямої і плопщни ............................................................ 362 §19. Зв’язок між паралельністю і перпендикулярністю прямих і площин ...... 378 §20. Перпендикулярність площин ............................................................................... 392 §21. Ортогональне проектування ..................................................................................406 §22. Перпендикуляр і похила ........................................................................................ 414 §23. Вимірювання відстаней у просторі.......................................................................425 §24. Вимірювання кутів у просторі............................................................................... 437 Відповіді і вказівки до задач.......................................................................................... 460 Предметний покажчик .................................................................................................... 477