9 математика

2026 Частина 1

Олександр ІСТЕР, Дмитро ІСТЕР

ІНТЕГРОВАНИЙ К УРС

Олександр ІСТЕР, Дмитро ІСТЕР

ЧАСТИНА 1

9

ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ

Координати вектора

Координати середини відрізка M(xM; yM)

Модуль вектора

:

Додавання, віднімання векторів і множення вектора на число λ Відстань між точками A(x1; y1) і B(x2; y2)

,

;

,

;

,

, Додавання векторів

Рівняння кола , де Q(a; b) – центр кола, r – радіус кола

правило трикутника

правило паралелограма

Рівняння прямої Загальне рівняння прямої:

Віднімання векторів

Рівняння прямої, що проходить через точки і :

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: , де

Скалярний добуток векторів ;

ОЛЕКСАНДР ІСТЕР, ДМИТРО ІСТЕР

Підручник інтегрованого курсу для 9 класу закладів загальної середньої освіти (у 2-х частинах) Частина 1

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Київ «Генеза» 2026

УДК 51(075.3) І-89 Ре­ко­мен­до­ва­но Міністер­ством освіти і на­уки Ук­раїни (наказ Міністер­ства освіти і на­уки України від 27.01.2026 р. № 110)

Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено

Відповідає модельній навчальній програмі «Математика (інтегрований курс). 7–9 класи» для закладів загальної середньої освіти (автор Істер О. С.) Інтерактивний електронний додаток до підручника https://cutt.ly/MtS5o3KF

Інтерактивні методичні матеріали до підручника https://faino.school/

І-89

Істер О. С. Математика : підруч. інтегр. курсу для 9-го кл. закл. заг. серед. освіти. (У 2 ч.). Ч. 1 / Олександр Семенович Істер, Дмитро Олександрович Істер. — Київ : Генеза, 2026. — 272 с. : іл. ISBN 978-617-8468-41-5 ISBN 978-617-8468-55-2 (Ч.1). УДК 51(075.3)

ISBN 978-617-8468-41-5 ISBN 978-617-8468-55-2 (Ч.1)

© Істер О. С., Істер Д. О., 2026 © «Генеза», оригінал-макет, 2026

Шановнi дев'ятикласники та дев'ятикласниці! Продовжуємо вивчати курс математики, який міститиме дві складові частини – алгебру і геометрію. Допоможе вам у цьому підручник, який ви тримаєте в руках. У цьому підручнику використано такі умовні позначення: – пригадай (раніше вивчене); – зверни особливу увагу; – запитання і завдання до теоретичного матеріалу; 1.13 – завдання для класної та 1.15 – домашньої роботи; – «ключова» задача (задача, висновки якої використовують для розв’язування інших задач); – рубрика «Україна – це ми»; – рубрика «Цікаві задачі – поміркуй одначе»; – рубрика «Життєва математика»; – рубрика «Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу»; – рубрика «Вправи для повторення»; – рубрика «А ще раніше...»; – рубрика «Головне в темі». Текст, надрукований жирним шрифтом, звертає вашу увагу на нове поняття або таке, яке треба пригадати. Усі вправи розподілено відповідно до рівнів навчальних досягнень і виокремлено так: з позначки

починаються вправи початкового рівня;

з позначки

починаються вправи середнього рівня;

з позначки

починаються вправи достатнього рівня;

з позначки

починаються вправи високого рівня;

з позначки

починаються вправи підвищеної складності.

3

Перевірити свої знання та підготуватися до тематичного оці­ нювання можна, виконуючи завдання «Домашньої самостійної роботи», які подано в тестовій формі, та «Зав­дання для перевірки знань». Після кожної теми наведено вправи для її повторення, основний теоретичний матеріал (рубрика «Головне в темі»), а в кінці підручника – «Завдання для перевірки знань за курс математики 9 класу». «Задачі підвищеної складності» допоможуть підготуватися до математичної олімпіади та поглибити знання з математики. Автори намагалися подати теоретичний матеріал простою, доступною мовою, проілюструвати його значною кількістю прикладів. Після вивчення теоретичного матеріалу в школі його обов’язково потрібно опрацювати вдома. Підручник містить велику кількість вправ. Більшість із них ви розглянете на уроках і під час домашньої роботи, інші вправи рекомендується розв’язати самостійно. У рубриці «Життєва математика» зібрано задачі, які часто доводиться розв’язувати в повсякденному житті. Цікаві факти з історії виникнення математичних понять і символів та розвитку математики як науки ви знайдете в руб­риці «А ще раніше...». Бажаємо успіхів в опануванні математики!

Шановні вчителі та вчительки! Пропонований підручник містить велику кількість вправ; вправи більшості параграфів подано «із запасом». Тож обирайте їх для використання на уроках, факуль­татив­них, індивідуальних, додаткових заняттях та як домашні завдання залежно від поставленої мети, рівня підготовленості учнів / учениць, диференціації навчання та інших критеріїв. Додаткові вправи в «Завданнях для перевірки знань» призначено для учнів / учениць, які впоралися з основними завданнями раніше за інших. Чи правильно їх розв’язано, учитель / учителька може оцінити окремо. Вправи для повторення тем можна запропонувати учням / ученицям, наприклад, під час узагальнювальних уроків або під час повторення і систематизації навчального матеріалу в кінці навчального року. У рубриці «Життєва математика» зібрано задачі, пов’язані з економічною грамотністю і підприємливістю, економічною безпекою, здоровим способом життя, громадянською відповідальністю, а в рубриці «Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу» – задачі, що допоможуть актуалізувати відповідні знання. «Задачі підвищеної складності», які розміщено в кінці підручника, допоможуть підготувати учнів / учениць до різноманітних математичних змагань і підвищити їхню цікавість до математики. «Завдання для перевірки знань за курс математики 9 класу», які також розміщено в кінці підручника, можна запропонувати учням / ученицям для підготовки до річної контрольної роботи.

4

Шановні дорослі! Якщо ваша дитина пропустить один чи кілька уроків у школі, потрібно запропонувати їй самостійно опрацювати матеріал цих уроків за підручником удома. Спочатку дитина має прочитати теоретичний матеріал, який викладено простою, доступною мовою, про­ілюстровано значною кількістю прикладів. Після цього потрібно розв’язати вправи, що посильні, з розглянутого параграфа. Упродовж курсу математики 9 класу, який опрацьовує дитина, ви можете пропонувати їй додатково розв’язувати вдома вправи, що не розглядалися під час уроку. Це сприятиме якнайкращому засвоєнню навчального матеріалу. Кожна тема закінчується тематичним оцінюванням. Перед його проведенням запропонуйте дитині виконати завдання «Домашньої самостійної роботи», які подано в тестовій формі, та «Зав­дання для пере­вірки знань». Це допоможе пригадати основні типи вправ та якісно підготуватися до тематичного оцінювання. Якщо ваша дитина виявляє підвищену цікавість до математики та бажає поглибити свої знання, зверніть увагу на «Задачі підвищеної складності», які розміщено в кінці підручника.

5

ПОВТОРЮЄМО ГЕОМЕТРІЮ ЗА 8 КЛАС Чотирикутники

2.

3.

4. 5.

1. (Усно.) Чи існує чотирикутник з кутами: 1) 80°, 90°, 90° і 110°; 2) 70°, 80°, 100° і 110°? Чи можна навколо чотирикутника ABCD описати коло, якщо: 1) ∠A = 20°, ∠C = 140°; 2) ∠B = 80°, ∠D = 100°? Чи можна навколо чотирикутника KLMN описати коло, якщо: 1) ∠K = 60°, ∠M = 120°; 2) ∠L = 70°, ∠N = 130°? (Усно.) На малюнку 1: A1A2 = A2A3, A1B1 || A2B2 || A3B3, B1B2 = 4 см. Знай­діть B2B3 і B1B3. Мал. 1 На малюнку 1: B1B2 = B2B3, A1B1 || A2B2 || A3B3, A1 A2 = 7 см. Знай­діть A2 A3 і A1 A3. 6. Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таб­лиці, відтак дізнаєтеся, який позивний був у Героя України Дмитра Коцюбайла. Дізнайтеся з інтернету про життєвий шлях захисника України. Знай­діть кути A і B паралелограма ABCD, якщо:

∠A

∠B

∠ A + ∠C = 140°

В

І

кут A на 80° більший за кут B

Ч

Д

∠A : ∠B = 1 : 2

А

Н

130°

110°

50°

7.

8.

9.

6

60°

70°

110°

120°

Знай­діть усі кути паралелограма, якщо: 1) сума двох із них дорівнює 260°; 2) один із них на 20° менший від іншого; 3) один із них утричі більший за інший. ABCD – прямокутник (мал. 2). Знай­діть: 1) ∠3, якщо ∠8 = 40°; 2) ∠2, якщо ∠9 = 110°; 3) ∠10, якщо ∠1 = 35°. ABCD – прямокутник (мал. 2). Знай­діть: 1) ∠7, якщо ∠4 = 50°; 2) ∠6, якщо ∠11 = 120°; 3) ∠12, якщо ∠5 = 46°.

Мал. 2

Повторюємо геометрію за 8 клас

10. ABCD – ромб (мал. 3). Знай­діть: 1) ∠1, якщо ∠2 = 50°; 2) ∠3, якщо ∠1 = 46°. 11. ABCD – ромб (мал. 3). Знай­діть: 1) ∠2, якщо ∠1 = 48°; 2) ∠1, якщо ∠3 = 50°. Мал. 3 12. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як: 1) 7 : 4 : 3 : 6; 2) 5 : 8 : 4 : 2? 13. Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, відтак дізнаєтеся прізвище братів – Героїв України, котрих було посмертно нагороджено «Золотою Зіркою» 2023 року. AB і CD – основи трапеції ABCD, середня лінія якої дорівнює 20 см. Знай­діть AB і CD, якщо:

AB

CD

AB – CD = 4 см

С

Т

AB у 4 рази менша від CD

Б

Н

AB : CD = 3 : 2

І

У

8 см

16 см

18 см

16 см

22 см

24 см

32 см

14. Середня лінія трапеції дорівнює 14 см. Знай­діть основи цієї трапеції, якщо: 1) одна з них на 4 см більша за другу; 2) одна з них утричі менша від другої; 3) їх відношення дорівнює 3 : 4. 15. У паралелограмі ABCD бісектриса кута A ділить сторону BC на відрізки BK = 4 см і KC = 6 см. Знай­діть периметр паралелограма. 16. У паралелограмі ABCD AB = 4 см, BC = 7 см. Бісектриса кута B перетинає AD в точці M. Знай­діть AM і MD. 17. Знай­діть кут між меншою стороною та діагоналлю прямокутника, якщо цей кут: 1) на 30° менший від кута між діагоналями, що лежить проти меншої сторони; 2) на 70° менший від кута між діагоналями прямокутника, що лежить проти більшої сторони. 18. Знай­діть кут між більшою стороною та діагоналлю прямокутника, якщо цей кут: 1) на 60° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони; 2) на 20° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.

7

Повторюємо геометрію за 8 клас

19. Знай­діть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, різниця яких дорівнює 20°. 20. Знай­діть кути ромба, сторона якого утворює з діагоналями кути, які відносяться як 1 : 4. 21. У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює більшій основі й утворює з нею кут 20°. Знай­діть кути цієї трапеції. 22. У рівнобічній трапеції бічна сторона дорівнює меншій основі, а діагональ утворює із цією основою кут 25°. Знай­діть кути трапеції. 23. Сторони трикутника відносяться як 4 : 2 : 3. Знай­діть ці сторони, якщо периметр трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника, дорівнює 45 см. 24. Периметр трикутника дорівнює 32 см. Сторони трикутника, утвореного середніми лініями даного, відносяться як 4 : 7 : 5. Знай­діть сторони заданого трикутника. 25. Два кути паралелограма відносяться як 4 : 5. Знай­діть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини гострого кута. 26. Один із кутів паралелограма на 40° більший за інший. Знай­діть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута. 27. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) вписано квад­рат CKLM так, що прямий кут у них спільний, а точка L належить стороні AB. Катет трикутника дорівнює 4 см. Знай­діть периметр квад­рата. 28. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) вписано квад­рат KLMN так, що точки K і L належать гіпотенузі трикутника, а точки M і N – катетам. Периметр квад­рата дорівнює 20 см. Знай­діть гіпотенузу трикутника. 29. Основи трапеції дорівнюють 12 см і 20 см. Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три частини. Знай­діть довжини цих частин.

Подібність трикутників 30. (Усно.) {ABC V {DKM. Заповніть пропуски: 1) ∠A = …; 2) ∠K = …; 3) ∠C = … . 31. Дано: {ABC V {KMN, 1)

…; 2)

. Заповніть пропуски: ….

32. За яких умов {ABC V {DEF: 1) ∠B = ∠E; 2) ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠D = 40°, ∠E = 70°; 3) AB = 3DE, BC = 3EF; 4) ∠A = ∠D = 50°, ∠B = 40°, ∠F = 90°?

8

Повторюємо геометрію за 8 клас

33. За яких умов {ABC V {MNK: 1) AB = MN = 40 см, BC = NK = 25 см; 2) ∠A = ∠M,

;

3) ∠A = 90°, ∠B = 50°, ∠M = 90°, ∠N = 30°? 4) ∠C = ∠K, CB = 6, CA = 4, KN = 3, KM = 2? 34. На малюнку 4 прямі AC і BD паралельні, OA = 2 см, OC = 3 см, AB = 5 см. Знай­діть CD. 35. На малюнку 4 прямі AC і BD паралельні, Мал. 4 OC = 3 см, CD = 6 см, AB = 4 см. Знай­діть OA. 36. O – точка перетину діагоналей трапеції, у якої AB || CD, AB = 20 см, CD = 10 см, DO = 6 см. Знай­діть OB. 37. O – точка перетину діагоналей трапеції (AB || CD) поділяє діагональ BD на відрізки DO = 4 см, OB = 12 см. Знай­діть AB, якщо CD = 5 см. 38. Знай­діть катет прямокутного трикутника, якщо його проєкція на гіпотенузу дорівнює 2 см, а гіпотенуза – 8 см. 39. Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а його проєкція на гіпотенузу – 9 см. Знай­діть гіпотенузу трикутника. 40. AM – бісектриса трикутника ABC, AB = 6 см, AC = 9 см. Менший з відрізків, на які бісектриса AM ділить сторону BC, дорівнює 3 см. Знай­діть BC. 41. У трикутнику ABC: AB = 9 см, BC = 15 см. Більший з відрізків, на які бісектриса BK ділить сторону AC, дорівнює 5 см. Знай­діть AC. 42. Січна, що проходить через точку S, перетинає коло в точках A і B, а друга січна, що проходить через точки S і центр кола O, – у точках C і D (мал. 5), SA = 3 см, SB = 8 см, SC = 2 см. Знай­діть радіус кола. 43. Січна, що проходить через точку S, перетинає коло в точках A і B, а друга січна, що Мал. 5 проходить через точки S і центр кола O, – у точках C і D (мал. 5), SA = 5 см, SB = 12 см, SC = 4 см. Знай­діть діаметр кола. 44. Пряма MN паралельна стороні AB трикутника ABC, M ∈ AC, N ∈ BC, AB = 5 см, MN = 2 см, AM = 1 см. Знай­діть довжину сторони AC. 45. Пряма KL паралельна стороні BC трикутника ABC, K ∈ AB, L ∈ AC, KB = 3 см, BC = 6 см, KL = 4,5 см. Знай­діть довжину сторони AB. 46. AL – бісектриса трикутника ABC, AB = 8 см, AC = 10 см, BC = 9 см. Знай­діть BL і LC. 47. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця довжин яких 2 см. Знай­діть периметр трикутника, якщо дві інші його сторони дорівнюють 8 см і 12 см.

9

Повторюємо геометрію за 8 клас

48. Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, відтак дізнаєтеся ім’я та прізвище першої жінки – Героя України, котрій це звання присвоїли посмертно. Дізнайтеся в інтернеті відомості про неї. У трикутнику ABC: AB : BC : CA = 3 : 5 : 6. {ABC V {A1B1C1. Знай­діть сторони трикутника A1B1C1, якщо його:

A1B1

B1C1

C1A1

менша сторона дорівнює 6 см

Н

С

Е

більша сторона на 7 см більша за середню

У

І

О

периметр дорівнює 70 см

Р

В

А

35 см 6 см

6 см 30 см

12 см 15 см 21 см 10 см 42 см 25 см 30 см Д 49. Сторони трикутника відносяться як 4 : 7 : 9. Знай­діть сторони подібного йому трикутника, якщо його: 1) більша сторона дорівнює 18 см; 2) менша сторона на 9 см менша від середньої; 3) периметр дорівнює 100 см. 50. Хорди кола AB і CD перетинаються в точці Q, AQ : QB = 1 : 2, CD = 17 см, CQ = 8 см. Знай­діть AB. 51. Через точку M, що розміщена всередині кола, проведено дві хорди AB і CD, AM = MB, CM = 8 см, DM : MC = 1 : 4. Знай­діть AB. 52. На стороні AC трикутника ABC позначено точку K так, що ∠ABK = ∠C (мал. 6), AK = 4 см, AB = 6 см. Знай­діть KC. 53. Знай­діть висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 6 см і 10 см, а діагональ перМал. 6 пендикулярна до бічної сторони.

Розв’язування прямокутних трикутників 54. Нехай a і b – катети прямокутного трикутника, c – його гіпотенуза. Знай­діть: 1) c, якщо a = 12 см, b = 5 см; 2) a, якщо c = 17 дм, b = 15 дм; 3) b, якщо a = 35 см, c = 37 см. 55. Нехай a і b – катети прямокутного трикутника, c – його гіпотенуза. Знай­діть: 1) a, якщо b = 6 см, c = 10 см; 2) b, якщо c = 25 дм, a = 7 дм; 3) c, якщо a = 11 см, b = 60 см.

10

Повторюємо геометрію за 8 клас

56. Довжина перпендикуляра, проведеного з точки до прямої, дорівнює 8 см, а довжина похилої, проведеної із цієї самої точки, – 10 см. Знай­діть проєкцію похилої на цю пряму. 57. Перпендикуляр, проведений з точки до прямої, дорівнює 5 см. Із цієї самої точки до прямої проведено похилу, проєкція якої на пряму дорівнює 12 см. Знай­діть довжину похилої. 58. Дано: {ABC, ∠C = 90° (мал. 7). Знай­діть: 1) sinA; 2) cosB; 3) tgA; 4) cosA; 5) tgB; 6) sinB.

Мал. 7 Мал. 8

59. Дано: {KMN, ∠N = 90° (мал. 8). Знай­діть: 1) cosK; 2) sinM; 3) tgM; 4) sinK; 5) tgK; 6) cosM. 60. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 17 см, а висота, проведена до основи, – 8 см. Знай­діть основу трикутника. 61. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 18 см, а висота, проведена до основи, – 40 см. Знай­діть периметр трикутника. 62. Діагоналі ромба дорівнюють 14 см і 48 см. Знай­діть периметр ромба. 63. Сторона ромба дорівнює 17 см, а одна з діагоналей – 30 см. Знай­ діть іншу діагональ ромба. 64. З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 10 см, а її проєкція – 6 см. Знай­діть проєкцію другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 45°. 65. З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 16 см і утворює з прямою кут 30°. Знай­діть довжину іншої похилої, якщо її проєкція на пряму – 6 см. 66. У {ABC: ∠C = 90°. Знай­діть: 1) AB, якщо AC = 6 см, cosA =

;

2) AC, якщо BC = 8 см, tgB = 0,5; 3) BC, якщо AB = 12 см, ∠A = 60°. 67. У {ABC: ∠C = 90°. Знай­діть: 1) AB, якщо BC = 12 см, sinA =

;

2) BC, якщо AC = 8 см, tgB = 0,25; 3) AC, якщо AB = 16 см, ∠A = 45°.

11

Повторюємо геометрію за 8 клас

68. Розв’яжіть прямокутний трикутник ABC, у якого ∠C = 90° (сторони трикутника в задачах 3) і 4) знай­діть з точністю до сотих сантиметра) за двома елементами: 1) AC = 8 см, ∠A = 45°; 2) AB = 12 см, ∠B = 60°; 3) BC = 10 см, ∠A = 27°; 4) AB = 16 см, ∠A = 80°. 69. Розв’яжіть прямокутний трикутник ABC, у якого ∠C = 90° (сторони трикутника в задачах 3) і 4) знай­діть з точністю до сотих сантиметра) за двома елементами: 1) BC = 9 см, ∠B = 30°; 2) AB = 8 см, ∠A = 45°; 3) AC = 12 см, ∠B = 70°; 4) AB = 10 см, ∠B = 35°. 70. Знай­діть довжину невідомого відрізка x на малюнках 9–11.

Мал. 9 Мал. 10 Мал. 11

71. З точки, що розміщена на відстані 12 см від прямої, проведено дві похилі завдовжки 13 см і 15 см. Знай­діть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути? 72. У {ABC: ∠C = 90°. Знай­діть периметр трикутника ABC, якщо AC = 12 см, cosB = 0,8. 73. У {ABC: ∠C = 90°. Знай­діть периметр трикутника ABC, якщо AB = 34 см, tgA =

.

74. Розв’яжіть прямокутний трикутник ABC, у якого ∠C = 90° (невідому сторону знай­діть з точністю до сотих сантиметра, кути – з точністю до градусів) за двома сторонами: 1) AB = 6 см, AC = 5 см; 2) AC = 8 см, BC = 3 см. 75. Розв’яжіть прямокутний трикутник ABC, у якого ∠C = 90° (невідому сторону знай­діть з точністю до сотих сантиметра, кути – з точністю до градусів) за двома сторонами: 1) BC = 5 см, AB = 9 см; 2) BC = 7 см, AC = 2 см. 76. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки завдовжки 5 см і 13 см. Знай­діть периметр трикутника. 77. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 30 см і 40 см. Знай­діть периметр трикутника. 78. Сторони прямокутника дорівнюють 12 см і 20 см. Знай­діть гострий кут між діагоналями прямокутника з точністю до градуса.

12

Повторюємо геометрію за 8 клас

Многокутники. Площа многокутників 79. Площа паралелограма дорівнює 35 см2, а одна зі сторін – 7 см. Знай­діть висоту паралелограма, проведену до цієї сторони. 80. Площа паралелограма – 24 см2, а одна з його висот – 3 см. Знай­ діть довжину сторони, до якої проведено цю висоту. 81. Нехай a і b – основи трапеції, h – її висота. Знай­діть площу трапеції, якщо: 1) a = 6 см, b = 3 см, h = 4 см; 2) a = 1 дм, b = 8 см, h = 30 мм. 82. Нехай a і b – основи трапеції, h – її висота. Знай­діть площу трапеції, якщо: 1) a = 4 см, b = 9 см, h = 5 см; 2) a = 80 мм, b = 5 см, h = 1 дм. 83. Обчисліть суму кутів опуклого n-кутника, якщо: 1) n = 8; 2) n = 15. 84. Обчисліть суму кутів опуклого n-кутника, якщо: 1) n = 6; 2) n = 12. 85. Квадрат і прямокутник мають однакові площі. Сторони прямокутника дорівнюють 8 см і 2 см. Знай­діть периметр квад­рата. 86. Прямокутник і квад­рат мають однакові площі. Сторона квад­рата дорівнює 6 см, а одна зі сторін прямокутника – 9 см. Знай­діть периметр прямокутника. 87. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 6 см, а висота, проведена до другої сторони, – 4 см. Знай­діть периметр паралелограма, якщо його площа дорівнює 28 см2. 88. Площа паралелограма дорівнює 40 см2. Одна з його сторін – 10 см, а одна з висот – 5 см. Знай­діть периметр паралелограма. 89. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а висота, проведена до основи, – 6 см. Знай­діть площу трикутника. 90. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 30 см, а бічна сторона – 17 см. Знай­діть площу трикутника. 91. Площа трапеції дорівнює 24 см2, одна з її основ – 7 см, а висота – 4 см. Знай­діть іншу основу трапеції. 92. Основи трапеції дорівнюють 11 см і 19 см, а її площа – 45 см2. Знай­діть висоту трапеції. 93. Знай­діть кути опуклого п’ятикутника, якщо їхні градусні міри відносяться як 4 : 5 : 6 : 6 : 6. 94. Знай­діть кути опуклого шестикутника, якщо кожен з них, починаючи з другого, менший від попереднього на 2°. 95. Бісектриса AK кута прямокутника ABCD поділяє сторону BC на відрізки BK = 7 см, KC = 3 см. Знай­діть площу прямокутника. 96. Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 10 см, а його гострий кут – 30°. Знай­діть площу паралелограма. 97. Периметр ромба дорівнює 40 см, а один з його кутів – 150°. Знай­ діть площу ромба.

13

Повторюємо геометрію за 8 клас

98. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а інший – на 4 см менший від гіпотенузи. Знай­діть площу трикутника. 99. Один з катетів прямокутного трикутника на 7 см більший за інший, а гіпотенуза дорівнює 13 см. Знай­діть площу трикутника. 100. Площа прямокутної трапеції – 34 см2, її периметр – 26 см, а менша бічна сторона – 4 см. Знай­діть більшу бічну сторону. 101. Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 40 см, її бічна сторона – 10 см, а площа – 60 см2. Знай­діть висоту трапеції. 102. Дві сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 6 см, а сума двох його висот, проведених з однієї вершини, – 8 см. Знай­діть площу паралелограма. 103. Дві висоти паралелограма дорівнюють 3 см і 4 см, а сума двох суміжних сторін – 14 см. Знай­діть площу паралелограма. 104. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 см і 6 см. Знай­діть площу трикутника. 105. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить катет на відрізки завдовжки 3 см і 9 см. Знай­діть площу трикутника. 106. Основа трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знай­діть площу трапеції.

14

ТЕМА 1

МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ У ЦІЙ ТЕМІ ВИ:

пригадаєте все, що вивчали раніше про координатну площину; дізнаєтеся, як знаходити синус, косинус і тангенс кутів від 0° до 180°, координати середини відрізка та відстань між двома точками координатної площини, рівняння кола і прямої; навчитеся розв’язувати геомет­ричні задачі на площині за допомогою методу координат.

§ 1. Координатна площина 1. Поняття про прямокутну систему координат З поняттям координатної площини ми ознайомилися в курсі математики 6 класу, а в курсі алгебри використовували його для побудови графіків функцій. Пригадаємо, як задають координатну площину. Нехай на площині вибрано дві взаємно перпендикулярні прямі x та y, що перетина­ють­ся в точці O (мал. 1.1). Ці прямі називають осями координат, а точку їхнього перетину – початком координат. Вісь x (зазвичай вона горизонтальна) називають віссю абсцис, вісь y – віссю ординат. Мал. 1.1 Початок координат розбиває кожну з осей на дві півосі. Одну з них прийнято називати додатною та зображати зі стрілочкою, а другу – від’ємною. На кожній з осей координат вибирають одиничний відрізок. Початок відліку кожної з осей – число 0 – збігається з точкою O. У такому разі кажуть, що на площині задано прямокутну систему координат.

координатною площиною

2. Координати точки Кожній точці А координатної площини можна поставити у відповідність пару чисел – координати точки. Для цього через точку А потрібно провести пряму, пара­лельну осі у, і пряму, паралельну осі x, які перетнуть осі х та y в деяких точках Ax і Ay відповідно (мал. 1.2). Абсцисою точки А називають

Мал. 1.2

15

ТЕМА 1

число х, модуль якого дорівнює відстані від точки O до точки A x. Причому якщо Ax належить додатній півосі, то х > 0, а якщо Ax належить від’ємній півосі, то х < 0. Якщо точка А лежить на осі у, то її абсциса дорівнює нулю. Ординатою точки А називають число у, модуль якого дорівнює відстані від точки O до точки Ау. Причому якщо Ау належить додатній півосі, то у > 0, а якщо Ау належить від’ємній півосі, то у < 0. Якщо точка А лежить на осі х, то її ордината дорівнює нулю. Координати точки записують у дужках поряд з назвою точки: А(х; у). На першому місці завжди пишуть абсцису, на другому – ординату. Абсцису точки А можна позначати хА, а ординату – уА. Ці позначення зручно використовувати під час розв’язу­вання задач, де кожну координату знаходять окремо. Якщо, наприклад, А(–2; 3), то хА = –2, уА = 3. Уведені на площині координати х та у називають декартовими на честь французького математика Рене Декарта (1596–1650), якому належить ідея введення і застосування координат у математиці. Приклад 1. Сторони прямокутника ABCD пара-

лельні осям координат. Знайти координати точок В і D, якщо А(–1; 2), С(3; –2). Розв’язання. Розглянемо малюнок 1.3. 1) Оскільки пряма AB паралельна осі абсцис, то ординати точок A і В однакові: уА = уВ = 2. Аналогічно, оскільки пряма BC паралельна осі ординат, то абсциси точок В і C однакові: хВ = хС = 3. Отже, В(3; 2). 2) Міркуючи у той самий спосіб, отримаємо: D(–1; –2). Відповідь: В(3; 2), D(–1; –2).

Мал. 1.3

3. Координатні чверті Осі координат розбивають площину на чотири частини, кожну з яких називають координатною чвертю, або координатним кутом (мал. 1.4). У межах однієї координатної чверті знаки кожної з координат не змінюються. Знаки координат та загальноприйняту нумерацію координатних кутів показано на малюнку 1.4. На малюнку 1.5 вказано координати точок, які належать осям координат, та координати точки O.

Мал. 1.5

16

Мал. 1.4

Метод координат на площині

Приклад 2. У яких координатних чвертях може лежати точка В, якщо

добуток її абсциси й ординати є числом: 1) додатним; 2) від’ємним? Розв’язання. Нехай маємо точку В(х; у). 1) ху > 0, отже, х та у – числа одного знака, тобто х > 0 і у > 0 або х < 0 і у < 0. Тому точка В лежить у першій або третій чверті. 2) ху < 0, отже, х та у – числа різних знаків, тобто х > 0 і у < 0 або х < 0 і у > 0. Тому точка В лежить у другій або четвертій чверті. Відповідь: 1) у першій або третій чверті; 2) у другій або четвертій чверті. Ідея введення координат на площині прийшла до нас із давнини. Перші застосування координат були пов’язані з астрономією і геогра­фією, тобто з необхідністю визначати положення світил на небі й точок на поверхні Землі, що використовувалося для складання календарів, зоряних та географічних карт. Відомий давньогрецький астроном, географ та математик Клавдій Птолемей уже на той час використовував довготу та широту як географічні координати. Ідеї прямокутних координат у вигляді прямокутної сітки (палетки) було знайдено у гробниці батька Рамзеса II – фараона Сеті I (котрий помер близько 1279 р. до н. е.). За допомогою палетки можна було переносити зображення у збільшеному вигляді. Починаючи з XV ст., прямокутну сітку використовували також художники епохи Відродження. Термін абсциса походить від латинського abscissus – той, що відсікається (відрізок на осі x); ордината – від латинського ordinatus – упорядкований, оскільки ординатами спочатку називали відрізки, паралельні осі y. Ці терміни були вперше застосовані в латинському перекладі праць відомого давньогрецького математика Аполлонія, їх також запропонував у 70–80-х роках XVII ст. Готфрід Лейбніц, після чого вони стали загальновживаними. Лейбніц запропонував абсцису разом з ординатою називати координатами. Що називають осями координат? Початком координат? Як знаходять координати точки? Назвіть абсцису й ординату точки P(–2; 5). Які знаки в координат точки, якщо вона лежить у першій (другій, третій, четвертій) координатній чверті? Чому дорівнює абсциса точки, яка належить осі y? Чому дорівнює ордината точки, яка належить осі x?

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 1.1. Знай­діть координати точок А, В, C, D на малюнку 1.6. 1.2. Знай­діть координати точок K, L, M, N (мал. 1.6). 1.3. Позначте на координатній площині точки Е(–2; 1), F(0; –3), Р(4; –2), Т(–5; –1). 1.4. Позначте на координатній площині точки А(2; –3), В(5; 0), С(4; 1), D(–2; 4). 1.5. Які з точок A(0; –2), В(4; –3), С(2; 0), D(0; 19), Е(2; 2), F(–14; 0) належать осі абсцис, а які – осі ординат? Мал. 1.6

17

ТЕМА 1

1.6. Які з точок Р(2; –17), Т(5; 0), F(0; –2), N(–4; 0), М(–1; –1), K(0; 17) належать осі абсцис, а які – осі ординат? 1.7. Не виконуючи побудови, укажіть, у яких чвертях лежать точки М(2; –3), N(–4; –5), L(1; 2), K(–9; 4). 1.8. Не виконуючи побудови, укажіть, у яких чвертях лежать точки А(–2; –3), B(4; 5), C(1; –5), D(–4; 1). 1.9. (Усно.) На малюнку 1.6 знай­діть точки, у яких однакові: 1) абсциси; 2) ординати. 1.10. На прямій, паралельній осі x, узято дві точки. Одна з них має ординату у = –3. Яка ордината у другої точки? 1.11. На прямій, паралельній осі у, узято дві точки. Одна з них має абсцису х = 2. Яка абсциса у другої точки? 1.12. З точки М(–5; 3) проведено перпендикуляри до осей координат. Знай­діть координати основ перпендикулярів. 1.13. З точки N(2; –3) проведено перпендикуляри до осей координат. Знай­діть координати основ цих перпендикулярів. 1.14. Сторони прямокутника KLMN паралельні осям координат, K(4; 5), М(–2; –3). Знай­діть координати вершин L і N прямокутника. 1.15. Катети прямокутного трикутника ABC (∠ C = 90°) паралельні осям координат. Знай­діть координати вершини C, якщо А(2; –3), В(7; 4). 1.16. Що можна сказати про координати точки А, якщо вона належить бісектрисі: 1) першого координатного кута; 2) другого координатного кута? 1.17. 1) Знай­діть відстані від точок A(2; –3) і В(–2; –5) до координатних осей. 2) Зробіть узагальнення щодо відстаней від точки M(x; y) до координатних осей. 1.18. Знай­діть відстані від точок С(–1; 5) і D(3; 4) до координатних осей. 1.19. Точка перетину діагоналей ромба збігається з початком координат, а діагоналі ромба лежать на осях координат. Довжина однієї діагоналі дорівнює 10 одиниць, а другої – 8 одиниць. Знай­діть координати вершин ромба. Скільки розв’язків має задача? 1.20. Центр кола, радіус якого дорівнює 3 одиниці, збігається з початком координат. Які координати мають точки перетину кола з осями координат? 1.21. Сторона квад­рата ABCD дорівнює 2 одиниці, а його сторони паралельні осям координат. Знай­діть координати вершин квад­ рата, якщо А(3; 3). Розгляньте всі можливі випадки. 1.22. Знай­діть геомет­ричне місце точок (x; y) координатної площини, для яких |x| = 3.

18

Метод координат на площині

1.23. Знай­діть геомет­ричне місце точок (x; y) координатної площини, для яких |y| = 2.

Вправи для повторення 1.24. Знай­діть площу трапеції, середня лінія якої дорівнює 7 см, а висота – 8 см. 1.25. Дві сторони трикутника дорівнюють 4,3 см і 1,2 см, а дов­жина третьої сторони дорівнює цілому числу сантиметрів. Якого найменшого та якого найбільшого значень може набувати периметр цього трикутника?

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 1.26. Знай­діть за допомогою калькулятора, таблиць або комп’ютера: 1) sin 18°; 2) sin 26°30′; 3) cos 83°; 4) cos 30°15′; 5) tg 70°; 6) tg 19°45′. 1.27. Відомо, що a – гострий кут прямокутного трикутника. Знай­ діть a, якщо: 1) sin a =

; 2) cos a =

; 3) tg a =

.

1.28. У прямокутному трикутнику ABC (∠ C = 90°) AC = 6 см, BC = 8 см. Знай­діть: 1) sin A; 2) cos A; 3) tg A; 4) sin B; 5) cos B; 6) tg B.

Життєва математика 1.29. Грядка полуниці має прямокутну форму 30 м завдовжки і 10 м завширшки. Скільки відер води знадобиться для її поливу, якщо на кожен квад­ратний метр цієї грядки потрібно 20 л води, а відро вміщує 12 л?

Цікаві задачі – поміркуй одначе 1.30. (Зовнішнє незалежне оцінювання, 2015 р.) З вершини тупого кута B паралелограма ABCD проведено перпендикуляр BO до сторони AD. Коло із центром у точці A проходить через вершину B і перетинає сторону AD у точці K. Відомо, що AK = 8 см, KD = 6 см, AO = 7 см. 1) Знай­діть периметр паралелограма ABCD (у см). 2) Обчисліть дов­жину діагоналі BD (у см).

19

ТЕМА 1

§ 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності 1. Означення синуса, косинуса і тангенса для будь-якого кута від 0° до 180° Досі ми розглядали синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника як відношення певних його сторін. Тепер сформулюємо означення синуса, косинуса і тангенса для будь-якого кута від 0° до 180°. Уведемо на площині прямокутну систему координат і проведемо в її першому і другому координатних кутах півколо радіуса 1, центр якого збігається з початком координат (мал. 2.1). Назвемо його одиничним півколом. Позначимо буквою А точку перетину цього півкола з додатним напрямком осі х і домовимося відкладати від променя ОА кути проти руху годинникової стрілки. Мал. 2.1 Нехай ∠ АОВ = a – гострий кут, точка В належить півколу. Проведемо з точки В перпендикуляр ВС до осі х. Утворився прямокутний трикутник ОВС з гіпотенузою OB, де OB = 1. Значення синуса, косинуса, тангенса гострого кута a виразимо через координати точки В: ;

;

.

Так само будемо знаходити синус, косинус і тангенс інших кутів від 0° до 180°. Нехай В1(х1; у1) – точка одиничного півкола, що лежить у другій чверті (мал. 2.2). Тоді ∠ В1ОА – тупий. Маємо: ;

;

. Оскільки координати (х; у) точок одиничного півкола змінюються в межах 0 J у J 1, –1 J х J 1, то Мал. 2.2 для довільного a такого, що 0° J a J 180°, справджуються нерівності: 0 J sin a J 1,   –1 J cos a J 1. Але якщо: a – гострий, то sin a = у > 0; cos a = х > 0; tg a = a – тупий, то sin a = у > 0; cos a = х < 0; tg a =

20

> 0; < 0.

Метод координат на площині

Крім того, якщо кут a збільшується від 0° до 90°, то його синус збільшується від 0 до 1, а косинус зменшується від 1 до 0. Якщо кут a збільшується від 90° до 180°, то його синус зменшується від 1 до 0, а косинус зменшується від 0 до –1. Знайдемо значення синуса, косинуса і тангенса кутів 0°, 90° і 180°. На малюнку 2.2 куту 0° відповідає точка А(1; 0). Тому sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0. Куту 90° відповідає точка М(0; 1), тому sin 90° = 1, cos 90° = 0, але tg 90° – не існує, оскільки на нуль ділити не можна. Куту 180° відповідає точка N(–1; 0), тому sin 180° = 0, cos 180° = –1, tg 180° = 0. Отже,

Із цього означення випливає, що

.

Оскільки кожному куту a від 0° до 180° відповідає єдине значення синуса, косинуса і тангенса, то можна вважати синус, косинус і тангенс функціями з аргументом a. Ці функції (у = sin x, у = cos х, у = tg x) називають тригонометричними і вивчають у курсі алгебри старших класів.

2. Тригонометричні тотожності Розглянемо деякі залежності між функціями одного й того самого аргументу, які називають тригонометричними тотожностями.

Доведення. Розглянемо { ВОС (див. мал. 2.1). За тео­ремою Піфагора: ВС2 + ОС2 = ОВ2, тобто у2 + х2 = 1. Тому (sin a)2 + (cos a)2 = 1. Вираз (sin a)2 та аналогічні йому для зручності прийнято записувати без дужок, наприклад sin2 a. Отже, sin2 a + cos2 a = 1.  Рівність sin2 a + cos2 a = 1 називають основною тригонометричною тотожністю. Із цієї тотожності можна виразити синус кута через його косинус: та косинус кута через його синус: В останній формулі знак «–» пишуть, якщо кут a – тупий або розгорнутий.

21

ТЕМА 1

Доведення. Розглянемо точки В(х; у) і В1(х1; y1) одиничного півкола, що відповідають кутам a і 180° – a (мал. 2.3).

Мал. 2.3

Оскільки ∠ B1OA = 180° – a, то ∠ В1ОС1 = 180° – (180° – a) = a. Отже, { ОВС = { ОВ1С1 (за гіпотенузою і гострим кутом). Тому ВС = В1С1 і ОС = ОС1. Звідки випливає, що абсциси точок В і В1 є протилежними, а їхні ординати – однакови­­ми: х = –x1, у = у1. Ураховуючи, що sin a = у, cos a = x, sin (180° – a) = y1, cos (180° – a) = x1, матимемо: sin (180° – a) = sin a, cos (180° – a) = –cos a. 

Доведення. Ураховуючи тотожність (2), маємо: = –tg a. 

tg (180° – a) =

Доведення. Розглянемо точки В(х; у) і B1(x1; y1) одиничного півкола, що відповідають кутам a і 90° – a (мал. 2.4).

Мал. 2.4

22

Метод координат на площині

Оскільки ∠ B1OA = 90° – a, то ∠ B1OC1 = 90° – (90° – a) = a. Тому { OBC = { OB1C1 (за гіпотенузою і гострим кутом). Маємо OC = OC1, BC = B1C1, тобто х = y1 і у = x1. Ураховуючи, що sin a = у, cos a = х, sin (90° – a) = y1, cos (90° – a) = x1, матимемо: sin (90° – a) = cos a, cos (90° – a) = sin a.  Приклад 1. Спростити: 1) sin2 (90° – a) + sin2 (180° – a);

2)

– tg (180° – a).

Розв’язання. 1) sin2 (90° – a) + sin2 (180° – a) = cos2 a + sin2 a = 1; 2)

– tg (180° – a) =

– (–tg a) = –tg a + tg a = 0.

Відповідь: 1) 1;   2) 0.

3. Синус, косинус і тангенс табличних кутів Використовуючи формули (2) і (3), можна виразити синус, косинус і тангенс тупого кута 180° – a через синус, косинус і тангенс гострого кута a. Приклад 2. Знайти синус, косинус і тангенс кутів 120°, 135° і 150°.

Розв’язання. sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° =

;

cos 120° = cos (180° – 60°) = –cos 60° =

;

tg 120° = tg (180° – 60°) = –tg 60° =

;

sin 135° = sin (180° – 45°) = sin 45° =

;

cos 135° = cos (180° – 45°) = –cos 45° =

;

tg 135° = tg (180° – 45°) = –tg 45° = –1; sin 150° = sin (180° – 30°) = sin30° =

;

cos 150° = cos (180° – 30°) = –cos 30° = tg 150° = tg (180° – 30°) = –tg 30° =

; =

.

Систематизуємо відомості з 8 класу та отримані в цьому параграфі у вигляді таблиці.

23

ТЕМА 1

a

0°

sin a

0

1

0

cos a

1

0

–1

tg a

0

30°

45°

60°

1

90°

не існує

120° 135°

150°

–1

180°

0

Кути 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180° прийнято називати таб­ личними кутами.

3. Обчислення нетабличних значень синуса, косинуса і тангенса Синус, косинус і тангенс інших кутів можна знаходити за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера. Для обчислень використовуємо клавіші калькулятора sin , cos , tg (на деяких калькуляторах tan ). Наприклад, sin 124° ≈ 0,8290; cos 157° ≈ –0,9205; tg 178° ≈ –0,0349. За допомогою таблиць або калькулятора можна за даними значеннями sin a, cos a або tg a знаходити значення кута a. Для обчислення на калькуляторі використовуємо клавіші sin–1 , cos–1 і tg–1 (на деяких калькуляторах tan–1 ) або послідовне натискання клавіші arc та однієї з клавіш sin , cos або tg ( tan ). Приклад 3. Знайти a, якщо:

1) cos a = –0,3584; 2) sin a = 0,2588; 3) tg a = –2,1445. Розв’язання. 1) cos a = –0,3584. За допомогою калькулятора знаходимо значення кута a у градусах: a ≈ 111°. 2) sin a = 0,2588. За допомогою калькулятора знахо­­димо значення кута a у градусах: a ≈ 15°. Але sin (180° – a) = sin a, тому sin (180° – 15°) ≈ 0,2588, тобто sin 165° ≈ 0,2588. Отже, існують два таких кути, синус яких дорівнює 0,2588, а саме: a ≈ 15° і a ≈ 165°. 3) Використовуючи калькулятор, отримаємо a ≈ –65°. До числа –65° треба додати 180°, щоб отримати тупий кут, тангенс якого дорівнює числу –2,1445. (Формулу tg a = tg (180° + a) буде доведено у старших класах.) Маємо a ≈ –65° + 180° = 115°. Відповідь: 1) 111°; 2) 15° або 165°; 3) 115°. Поясніть, як знаходять синус, косинус і тангенс кутів від 0° до 180°. Сформулюйте і доведіть основну тригонометричну тотожність. Доведіть, що sin (180° – α) = sin α; cos (180° – α) = –cos α; tg (180° – α) = –tg α; sin (90° – α) = cos α; cos (90° – α) = sin α.

24

Метод координат на площині

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 2.1. Знай­діть за допомогою калькулятора: 1) sin 92°; 2) cos 108°; 3) tg 157°; 4) sin 118°6′; 5) cos 175°30′; 6) tg 129°24′. 2.2. Знай­діть за допомогою калькулятора: 1) cos 110°; 2) sin 116°; 3) tg 138°; 4) cos 120°30′; 5) sin 125°18′; 6) tg 120°6′. 2.3. (Усно.) Який із записів правильний: 1) sin 140° = sin 40°   чи sin 140° = –sin 40°; 2) cos 140° = cos 40° чи cos 140° = –cos 40°? 2.4. (Усно.) 1) Чи може абсциса точки одиничного півкола дорівнюва?

ти числу 0,5; –3,8;

2) Чи може ордината точки одиничного півкола дорівнювати числу 0,2; 5; 2,03; –0,3;

?

2.5. Обчисліть: 1) sin 150° + tg 135°; 2) cos 150° · sin 120°. 2.6. Обчисліть: 1) tg 135° – cos 120°; 2) sin 135° : cos 135°. 2.7. Чи існує кут α, де 0° J α J 180°, для якого: 1) cos a =

; 2) sin a = –

; 3) cos a = –

4) sin a =

; 5) cos a = 1,2; 6) sin a = 1,2?

;

2.8. Чи існує кут β, де 0° J β J 180°, для якого: 1) cos β = – 4) sin β =

; 2) sin β = –

; 3) cos β =

;

; 5) cos β = –1,3; 6) sin β = –1,3?

2.9. Кут β – гострий. Знай­діть: 1) cos β, якщо sin β =

; 2) sin β, якщо cos β =

.

2.10. Кут α – гострий. Знай­діть: 1) sin a, якщо cos α = 0,6; 2) cos α, якщо sin α =

.

2.11. Знай­діть за допомогою калькулятора або таблиць гострий кут a, якщо: 1) sin a = 0,2756; 2) tg a = 0,5498. 2.12. Знай­діть за допомогою калькулятора або таблиць гострий кут β, якщо: 1) cos β = 0,6691; 2) tg β = 2,0965. 2.13. Обчисліть значення виразу 4sin90° – 2 tg120° та дізнаєтеся, у якому столітті було засновано місто Володимир-Волинський (Волинська обл.).

25

ТЕМА 1

2.14. Знай­діть значення виразу 8sin150° – tg150° та дізнаєтеся, яке місце посідає Україна в Європі за кількістю населення. 2.15. Спростіть вираз: 1) 1 – sin2a; 2) (1 – cos α)(1 + cos α); 3) sin (90° – a) + cos (180° – a); 4)

.

2.16. Спростіть вираз: 1) 1 – cos 2a; 2) (1 – sin a)(1 + sin a); 3) cos (90° – a) + sin (180° – a); 4)

.

2.17. Побудуйте гострий кут: ; 2) тангенс якого дорівнює

.

1) косинус якого дорівнює ; 2) тангенс якого дорівнює

.

1) синус якого дорівнює 2.18. Побудуйте гострий кут:

2.19. Запишіть у порядку зростання: 1) cos 137°; cos 125°; cos 142°; 2) sin 118°; sin 127°; sin 119°. 2.20. Запишіть у порядку спадання: 1) sin 142°; sin 148°; sin 138°; 2) cos 119°; cos 137°; cos 109°. 2.21. Знай­діть: 1) sin a і tg a, якщо cos a = –0,6; 2) cos a і tg a, якщо sin a =

.

2.22. Знай­діть: 1) sin α і tg a, якщо cos a = –0,28; 2) cos α і tg a, якщо sin a =

.

2.23. Доведіть тригонометричну тотожність: 1) cos2 a + tg2 a · cos2 a = 1; 2) (sin a + cos a)(sin a – cos a) = 1 – 2cos2 a. 2.24. Обчисліть: 1) cos2 150° – sin2 120° + tg 135°; 2) tg 120° · cos 120° + sin 120°. 2.25. Знай­діть значення виразу: 1) sin2 150° + cos2 120° – tg2 150°; 2)

– cos 150°.

2.26. Знай­діть за допомогою калькулятора або таблиць значення кута a, якщо: 1) tg a = –1,8807; 2) sin a = 0,9272.

26

Метод координат на площині

2.27. Знай­діть за допомогою калькулятора або таблиць значення кута β, якщо: 1) tg β = –0,7002; 2) sin β = 0,9848. 2.28. Побудуйте кут α, якщо: 1) cos α =

; 2) sin α =

.

2.29. Побудуйте кут α, якщо: 1) tg a =

; 2) sin α =

.

2.30. Знай­діть суму косинусів усіх кутів трапеції. 2.31. Обчисліть: 1) sin2 37° + sin2 53°; 2) 5 – cos 137° – cos 43°. 2.32. Обчисліть: 1) cos2 12° + cos2 78°; 2) 6 + sin 42° – sin 138°.

Вправи для повторення 2.33. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 6 см, а висота, проведена до другої сторони, – 3 см. Знай­діть периметр паралелограма, якщо його площа дорівнює 24 см2. 2.34. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця яких 2 см. Знай­діть периметр трикутника, якщо дві його інші сторони дорівнюють 9 см і 6 см. 2.35. Коло, вписане у трапецію, ділить точкою дотику бічну сторону на відрізки завдовжки а см і b см. Знай­діть висоту трапеції.

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 2.36. Знай­діть відстань між точками A і B координатної прямої, якщо: 1) A(7), B(4); 2) A(–2), B(9); 3) A(–9), B(–12); 4) A(x1), B(x2). 2.37. 1) Побудуйте точки A(1; 4), B(5; 1), C(1; 1) на координатній площині, одиничний відрізок якої дорівнює 1 см. 2) Знай­діть дов­жини відрізків AB, AC, BC за допомогою лінійки. 3) Як за допомогою обчислень знай­ти дов­жину відрізка AB, якщо дов­жини відрізків AC і BC відомі? 2.38. 1) Побудуйте на координатній площині точки A(–2; 4) і B(6; 2). 2) Знай­діть, використовуючи лінійку з поділками, координати точки M – середини відрізка AB. 3) Порівняйте координати точки M із середнім арифметичним відповідних координат точок A і B.

Життєва математика 2.39. 1) Ділянку у формі прямокутного трикутника з катетами 24 м і 18 м потрібно по периметру обсадити кущами жасмину так,

27

ТЕМА 1

щоб у кожній вершині ділянки був кущ. Скільки знадобиться таких кущів, якщо відстань між ними на кожній стороні трикутника має дорівнювати 3 м? 2) Проєктна діяльність. Дізнайтеся (наприклад, з інтернету) скільки коштує кущ жасмину (або інший деко­ративний кущ) та визначте, яку суму потрібно заплатити за ці кущі.

Цікаві задачі – поміркуй одначе 2.40. Бічні сторони трапеції дорівнюють 6 см і 8 см, а відстань між середи­нами її діагоналей дорівнює 5 см. Знай­діть відстань між середи­нами основ трапеції.

§ 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами 1. Метод координат Кожній точці координатної площини відповідає єдина пара чисел (х; у), і навпаки, кожній парі чисел (х; у) відповідає єдина точка координатної площини. У такому разі кажуть, що існує взаємно однозначна відповідність між точками координатної площини та їхніми координатами (х; у). Це дає можливість розв’язувати деякі задачі методом координат, тобто подавати геомет­ричні співвідношення розташування точок та фігур через алгебраїчні співвідношення між їхніми координатами. Розділ геомет­рії, що вивчає такі методи розв’язування, називають аналітичною геомет­рією. Аналітична геомет­рія – розділ геомет­рії, у якому дослі­джують геомет­ричні фігури та їхні властивості засобами алгебри на основі методу координат. Далі розглянемо найпростіші задачі аналітичної геомет­рії, повний курс якої вивчають у закладах вищої освіти.

2. Координати середини відрізка Приклад 1. Дано точки A(х1; у1) і В(х2; у2). Точка M – середи­на від-

різка AB. Знайти координати точки M. Розв’язання. 1) Розглянемо спочатку випадок, коли відрізок AB не паралельний осі у, тобто х1 ≠ x2. Проведемо через точки А, В і M прямі, паралельні осі у (мал. 3.1). Вони перетинають вісь х у точках Ax(х1; 0), Bx(х2; 0) і Мх(хМ; 0). Оскільки прямі AAx, BBx і MMx паралельні між собою і M – середи­на AB, то, за теоремою Фалеса, Mx – середи­на AxBx. Маємо Ах Мх = Мх Bх, тобто |х1 – хМ| = |хМ – х2|. Тому х1 – хМ = хМ – х2 або х1 – хМ = –(хМ – х2).

28

Мал. 3.1

Метод координат на площині

З першої рівності маємо формулу

, а друга – не має

змісту, оскільки х1 ≠ х2. 2) Якщо відрізок AB паралельний осі у, то х1 = х2 = хМ і формула також справджується. 3) Аналогічно доводимо, що

.

Отже,

Приклад 2. Знайти координати точки M – середини відрізка, кінцями

якого є точки А(–5; 8) і В(3; –12). Розв’язання.

,

.

Відповідь: М(–1; –2). Приклад 3. Точка C – середи­на відрізка AB. Знайти координати точ-

ки А, якщо В(–2; 4), С(8; 0).

Розв’язання. 1) Нехай С(хC; уC). Тоді

, тобто

,

звідки хА = 18. 2) Аналогічно,

, тобто

, звідки уА = –4.

3) Отже, А(18; –4). Відповідь: А(18; –4). Приклад 4. Довести, що чотирикутник з вершинами в точках А(5; –4),

В(–4; 1), С(–3; 2) і D(6; –3) – паралелограм. Розв’язання. 1) Нехай точка O – середи­на діагоналі AC чотирикутника ABCD. Тоді

;

. Отже, О(1; –1).

2) Нехай точка Q – середи­на діагоналі BD чотирикутника ABCD. Тоді ,

. Отже, Q(1; –1).

3) Маємо, що середини діагоналей чотирикутника ABCD збігаються і точка О(1; –1) ділить кожну з діагоналей навпіл. Отже, діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Тому ABCD – паралелограм. 

29

ТЕМА 1

3. Відстань між двома точками Приклад 5.

Знайти відстань між точками A(х1; у1) і В(х2; у2). Розв’язання. 1) Розглянемо спочатку випадок, коли відрізок AB не паралельний жодній з осей координат, тобто х1 ≠ x2 і у1 ≠ у2. Проведемо через точки А і В прямі, паралельні осям координат (мал. 3.2). Вони перетинають вісь х у точках Ax(х1; 0) і Bx(х2; 0), а вісь у у точках Ау(0; у1) і Ву(0; у2). Оскільки AxBxBC – прямокутник, то BC = AxBx = |х1 – х2|. Мал. 3.2

Аналогічно АС = АуВу= |у1 – у2|. У прямокутному трикутнику ABC за теоремою Піфагора знайдемо . гіпотенузу AB: AB2 = BC2 + AC2, тому 2) Якщо відрізок AB паралельний осі у, то х1 = х2, у1 ≠ у2 і AB = |y1 – у2|. Той самий результат матимемо і за отриманою в попередньому пункті формулою: . 3) Якщо відрізок AB паралельний осі х, то х1 ≠ х2, у1 = у2 і AB = |х1 – х2|. Той самий результат матимемо і за наведеною для AB формулою. 4) Якщо точки А і В збігаються, тобто х1 = х2 і у1 = у2, то AB = 0 і отримана формула для AB знову справджу­ється.  Отже,

Приклад 6. Знайти відстань між точками А і В, якщо:

1) А(4; –2), B(1; 2); 2) A(3; 5), В(7; –1). Розв’язання. 1)

;

2) Відповідь: 1) 5;   2)

. .

Приклад 7. Знайти на осі абсцис точку, яка рівновіддалена від точок

А(2; 7) і В(6; 1). Розв’язання. Нехай С(х; 0) – шукана точка. 1) Оскільки за умовою AC = BC, то AC2 = BC2. Маємо: AC2 = (2 – x)2 + + (7 – 0)2 = 53 – 4х + х2; BC2 = (6 – х)2 + (1 – 0)2 = 37 – 12х + х2. 2) Враховуючи, що AC2 = BC2, маємо рівняння: 53 – 4х + х2 = 37 – – 12х + х2, звідки х = –2. Отже, шуканою є точка С(–2; 0). Відповідь: (–2; 0).

30

Метод координат на площині

Метод координат у математиці запропонували французькі математики П. Ферма та Р. Декарт у XVII ст. Про перше наукове пояснення координатного методу стало відомо 1637 р. завдяки праці Рене Декарта «Геометрія». Саме тому описану Декартом систему координат почали називати декартовою, а координати точок у цій системі – декартовими координатами.

Р. Декарт (1596–1650)

П. Ферма (1601–1665)

У своїй праці Декарт навів велику кількість прикладів, що ілюстрували дієвість методу координат для розв’язування геомет­ричних задач, та отримав результати, про які не знали давні математики. Декарт також висунув припущення про можливість застосування координатного методу не тільки на площині, а й у просторі, проте саме цій ідеї не надав подальшого розвитку. Аналітичний метод, який запропонував Декарт, узяли на озброєння ван Схоутен, Валліс та багато інших математиків. Вони коментували «Геометрію» Декарта, виправляли його помилки, застосовували метод координат для розв’язування нових математичних задач, у тому числі й у тривимірному просторі. Так, наприклад, Валліс 1655 р. вперше розглянув конічні перерізи як плоскі криві. Приблизно в той самий час, коли Декарт опублікував працю «Геометрія», П’єр Ферма оприлюднив мемуари «Вступ до вивчення плоских і тілесних місць», де, зокрема, описав рівняння кривих 2-го порядку (тобто кривих, рівняння яких містять одночлени 2-го степеня відносно x та y), та використав революційний на той час метод перетворення координат для спрощення вигляду рівнянь. Проте робота Ферма не набула такої популярності, як «Геометрія» Декарта, яка повніше розвивала ті самі ідеї. Видатний математик та вчений Ісаак Ньютон спирався на координатний метод у своїх роботах з математичного аналізу та геомет­рії, у яких продовжив дослідження Декарта і Ферма. Зокрема, Ньютон запровадив у науковий обіг класифікацію кривих 3-го порядку, а для кожної кривої 2-го порядку визначив такі характеристики, як діаметр, вісь симет­рії, вершини, центр, асимптота, особливі точки тощо. У чому полягає суть координатного методу? Запишіть і доведіть формули координат середини відрізка. Запишіть і доведіть формулу відстані між двома точками на координатній площині.

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 3.1. Знай­діть координати середини відрізка CD, якщо: 1) С(–5; 4), D(7; 0); 2) С(2; –8), D(–2; 6).

31

ТЕМА 1

3.2. Знай­діть координати середини відрізка MN, якщо: 1) М(4; –5), N(2; 1); 2) М(7; –3), N(–1; 3). 3.3. Знай­діть відстань від початку координат до точки: 1) А(3; –4); 2) В(5; 12). 3.4. Знай­діть відстань від початку координат до точки: 1) Р(–6; 8); 2) М(8; 15). 3.5. M – середи­на відрізка AB. Знай­діть координати: 1) точки В, якщо А(–2; 5), М(4; –7); 2) точки А, якщо B(0; –2), М(5; 1). 3.6. D – середи­на відрізка AB. Знай­діть координати: 1) точки А, якщо B(4; 5), D(–1; 7); 2) точки B, якщо А(3; 0), D(4; –2). 3.7. Знай­діть відстань між точками A і B, якщо: 1) А(–2; 4), B(4; 12); 2) А(4; –5), В(6; –11). 3.8. Знай­діть відстань між точками A і B, якщо: 1) А(4; –1), B(1; –5); 2) A(1; 7), В(–5; 1). 3.9. Нехай l – відстань між точками A(–3; 3) і B(4; 27). Знай­діть значення виразу 49l, відтак дізнаєтеся довжину (в метрах) київського Хрещатика – найкоротшої з-поміж головних вулиць столиць світу. 3.10. Яка відстань більша, АВ чи AC, якщо: 1) А(4; –3), B(0; 0), С(2; –1); 2) А(2; 5), В(8; –3), С(–6; –1)? 3.11. Яка відстань більша, MN чи ML, якщо: 1) М(2; –3), N(2; 2), L(–2; 0); 2) М(3; –1), N(1; 0), L(5; –1)? 3.12. Знай­діть периметр трикутника LMN, якщо L(4; –3), М(4; 5), N(1; 1). 3.13. Знай­діть периметр трикутника ABC, якщо A(0; –2), B(0; –8), C(4; –5). 3.14. А(–1; 2), B(0; 6), С(–5; 3) – вершини трикутника ABC. Доведіть, що трикутник ABC – рівнобедрений. 3.15. K(–2; 2), L(3; –4), М(4; 7) – вершини трикутника KLM. Доведіть, що трикутник рівнобедрений. 3.16. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(2; –5), B(–7; 0), С(–6; 1), D(3; –4) – паралелограм. 3.17. Доведіть, що чотирикутник KLMN з вершинами в точках K(–2; 8), L(3; –3), M(6; 2), N(1; 13) – паралелограм. 3.18. Точки K(–4; 2), L(3; 5), М(2; 8) – вершини паралелограма KLMN. Знай­діть координати його четвертої вершини.

32

Метод координат на площині

3.19. Точки А(3; –8), B(0; 11), C(1; –12) – вершини паралелограма ABCD. Знай­діть координати його четвертої вершини. 3.20. Чи є чотирикутник ABCD паралелограмом, якщо: 1) А(–7; –2), В(–5; 4), С(5; 2), D(3; –4); 2) А(2; 6), В(3; 1), С(–3; 0), D(–4; 4)? 3.21. У трикутнику ABC А(–4; 2), В(4; 7), С(–2; 12). Знай­діть дов­жину середньої лінії, яка паралельна стороні AC. 3.22. У трикутнику PLK Р(4; –6), L(2; –11), K(6; –7). Знай­діть дов­ жину середньої лінії, яка паралельна стороні KL. 3.23. Знай­діть дов­жину відрізка AB, кінці якого лежать на осях координат, а серединою його є точка N(–5; 12). 3.24. Знай­діть дов­жину відрізка MN, кінці якого лежать на осях координат, а серединою його є точка А(8; –15). 3.25. Знай­діть дов­жину медіани AM трикутника ABC, якщо A(6; 0), В(–3; 4), С(7; 2). 3.26. Знай­діть дов­жину медіани BN трикутника ABC, якщо А(2; –1), B(–9; 0), С(4; 11). 3.27. ABCD – квад­рат, А(–2; 4), С(4; 10). Знай­діть периметр квад­рата. 3.28. ABCD – квад­рат, А(4; 5), B(10; –3). Знай­діть дов­жину діагоналі квад­рата. 3.29. Відстань між точками А(5; 7) і B(–3; у) дорівнює 17. Знай­діть у. 3.30. Відстань між точками M(3; 0) і N(x; 24) дорівнює 25. Знай­діть х. 3.31. Знай­діть на осі абсцис точку, рівновіддалену від точок М(2; 5) і N(4; 1). 3.32. Знай­діть на осі ординат точку, рівновіддалену від точок А(3; 1) і B(7; 5). 3.33. Дано точки А(2; 3) і B(8; 11). Знай­діть координати точки N, яка ділить відрізок AB у відношенні 1 : 3, починаючи від точки А. 3.34. Дано точки Р(5; 0) і N(13; 6). Знай­діть координати точки D, яка ділить відрізок PN у відношенні 3 : 1, починаючи від точки P. 3.35. Доведіть, що точки А(–1; –2), B(3; 2) і С(8; 7) лежать на одній прямій. Яка з точок лежить між двома іншими? 3.36. Доведіть, що точки Р(–1; –5), L(4; 5) і М(2; 1) лежать на одній прямій. Яка з точок лежить між двома іншими? 3.37. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(–4; –1), В(–1; 2), С(3; –2) і D(0; –5) – прямокутник. 3.38. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(1; 3), В(–1; 9), С(5; 7) і D(7; 1) – ромб. 3.39. Знай­діть значення х, за якого трикутник з вершинами А(–4; 0), B(0; 4), C(x; –х) – рівносторонній. 3.40. Доведіть, що трикутник ABC з вершинами в точках А(–4; 16), B(6; –4), С(3; –5) – прямокутний. Знай­діть гострі кути трикутника з точністю до мінути.

33

ТЕМА 1

3.41. Доведіть, що трикутник KLM з вершинами в точках K(6; –1), L(9; –4) і М(12; 5) – прямокутний. Знай­діть гострі кути трикутника з точністю до мінути.

Вправи для повторення 3.42. Знай­діть периметр і площу прямокутника, одна зі сторін якого дорівнює 8 см, а діагональ – 17 см. 3.43. Основи рівнобічної трапеції з кутом при основі 60° дорівнюють 16 см і 6 см. Знай­діть діагональ трапеції. 3.44. Хорда 30 см завдов­жки перпендикулярна до діаметра і ділить його на відрізки, різниця між якими 40 см. Знай­діть діаметр кола. 3.45. Одна зі сторін трикутника та висота, проведена до неї, дорівнюють по 20 см. Знай­діть дві інші сторони трикутника, якщо висота, проведена до однієї з них, дорівнює 16 см.

Цікаві задачі – поміркуй одначе 3.46. Видатні українці й українки. Запишіть по горизонталі прізвища видатних українців (за потреби використайте додаткову літературу та інтернет) та отримаєте у виділеному стовпчику назву геомет­ ричної фігури, з якою ви ознайомитеся в наступних темах. 1 2 3 4 5 6

1. Видатний український футбольний тренер, багаторічний наставник команди «Динамо» (Київ). 2. Видатна українська письменниця та поетеса, лауреатка Шевченківської премії, премії Антоновичів, премії Петрарки. 3. Український композитор і поет, один із засновників української естрадної музики. 4. Український поет, перекладач, прозаїк, літературознавець, правозахисник. 5. Українська легкоатлетка, багаторазова призерка Літніх Паралімпійських ігор 2008, 2012 та 2020 років, прототип героїні фільму «Пульс». 6. Українська художниця, одна з представниць андеграунду (underground), авторка монументальних панно, унікальних мозаїк, що прикрашають пуб­лічні простори нашої країни. Активна діячка правозахисного руху 1960-х в Україні.

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 3.47. Виділіть квад­рат двочлена у виразі: 1) x2 + 6x – 7; 2) x2 – 4x; 3) y2 – 8y + 13; 4) y2 + 3y – 1.

34

Метод координат на площині

3.48. Точка Q – центр кола, точка A – належить цьому колу. Знай­діть радіус кола, якщо: 1) Q(0; 0), A(–3; 0); 2) Q(–2; 3), A(2; 6). 3.49. Відрізок MN – діаметр кола, M(–4; 2), N(8; 10). Знай­діть координати центра кола.

Життєва математика 3.50. Дослідна ділянка має форму прямокутника, розміри якого 12 м і 15 м. Посередині ділянки зробили грядку так, що навколо неї утворилася доріжка однакової ширини. Знай­діть ширину доріжки, якщо площа грядки становить 154 м2.

§ 4. Рівняння кола 1. Графік функції та рівняння з двома змінними в алгебрі Під час вивчення алгебри ми будували графіки деяких функцій у прямокутній системі координат. Наприклад, графіком функції у = 2х – 7 є пряма, графіком функції у = х2 – парабола, а графіком функції

– гіпербола. Також відомо, що графіком

лінійного рівняння з двома змінними, тобто рівняння вигляду aх + by = с, є пряма, якщо хоча б один з коефіцієнтів a чи b відмінний від нуля.

2. Рівняння фігури Розглянемо поняття рівняння для геомет­ричної фігури. Рівнянням фігури на координатній площині називають рівняння з двома змінними х та у, якщо виконуються такі дві умови: 1) координати будь-якої точки фігури задовольняють це рівняння; 2) будь-яка пара чисел (х; у), що задовольняє це рівняння, є координатами деякої точки фігури.

3. Рівняння кола Знайдемо формулу, що задає коло радіуса r із центром у точці Q(a; b) (мал. 4.1). 1) Нехай М(х; у) – довільна точка кола. Відстань QM записуємо за формулою відстані між двома точками: Оскільки точка M лежить на колі, то QM = r, Мал. 4.1 а QM2 = r2. Тому (х – а)2 + (у – b)2 = r2. Отже, координати х та у кожної точки М(х; у) цього кола задовольняють отримане рівняння.

35

ТЕМА 1

2) Розглянемо деяку точку N(x; у), координати якої задовольняють рівняння (х – а)2 + (у – b)2 = r2. Із цієї рівності випливає, що відстань між точками Q і N дорівнює r. Тому точка N належить колу. Отже,

Зокрема, рівняння кола радіуса r із центром у початку координат має вигляд: x2 + у2 = r2. Приклад 1. Знайти координати центра і радіус кола, заданого рівнян-

ням (х + 2)2 + (у – 3)2 = 25. Розв’язання. Маємо (x – (–2))2 + (у – 3)2 = 52. Отже, центром кола є точка Q(–2; 3), а радіус кола r = 5. Відповідь: Q(–2; 3), r = 5.

Приклад 2. Довести, що рівняння х2 + у2 – 8х + 6y – 10 = 0 є рівнян-

ням кола. Знайти координати центра кола та його радіус. Розв’язання. 1) Виділимо квад­рати двочленів у лівій частині цього рівняння: (x2 – 8x + 16) + (y2 + 6y + 9) – 16 – 9 – 10 = 0, (х – 4)2 + (у + 3)2 = 35, . 2) Отже, задане рівняння є рівнянням кола із центром у точці Q(4; –3) . і радіусом Відповідь: (4; –3),

.

Приклад 3. Скласти рівняння кола з діаметром AB, якщо А(–5; 7),

B(3; 11). Розв’язання. 1) Нехай точка Q – центр кола. Тоді Q – середи­на AB. Маємо: ,

.

2) Радіус кола – це відрізок QA: QA = 3) Знайдемо рівняння шуканого кола: , 2 2 (х + 1) + (у – 9) = 20. Відповідь: (х + 1)2 + (y – 9)2 = 20.

.

Що називають рівнянням фігури на координатній площині? Доведіть, що рівняння кола із цент­ром у точці (a; b) і радіусом r має вигляд (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

36

Метод координат на площині

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 4.1. (Усно.) Які з рівнянь є рівняннями кола: 1) (х – 3)2 + (y + 2)2 = 16; 2) х2 + у3 = 8; 3) х2 + у2 = 8; 4) (х – 2)2 – (у + 3)2 = 7; 5) х2 + (у – 2)2 = 25; 6) –х2 + у2 = 16? 4.2. Знай­діть координати центра та радіус кола, заданого рівнянням: 1) (х – 2)2 + (y + 3)2 = 100; 2) х2 + (y – 4)2 = 25; 3) (x + 4)2 + y2 = 1; 4) x2 + у2 = 9. 4.3. Знай­діть координати центра та радіус кола, заданого рівнянням: 1) (x + 1)2 + (y – 4)2 = 16; 2) (х – 3)2 + у2 = 4; 3) х2 + (y + 2)2 = 81; 4) х2 + y2 = 49. 4.4. Складіть рівняння кола із центром у точці Q і радіусом r, якщо: 1) Q(1; 4), r = 3; 2) Q(0; –2), r = 5; 3) Q(8; 0), r = 1; 4) Q(0; 0), r = 11. 4.5. Складіть рівняння кола із центром у точці Q і радіусом r, якщо: 1) Q(2; –3), r = 4; 2) Q(0; 3), r = 2; 3) Q(–7; 0), r = 10; 4) Q(0; 0), r = 7. 4.6. Складіть рівняння кола із центром у точці Q, діаметр якого дорівнює d, якщо: . 1) Q(–7; 8), d = 9; 2) Q(4; –19), d = 4.7. Складіть рівняння кола із центром у точці Q, діаметр якого дорівнює d, якщо: . 1) Q(4; 7), d = 13; 2) Q(–2; –11), d = 4.8. Побудуйте на координатній площині коло, задане рівнянням: 1) х2 + у2 = 16; 2) (х – 1)2 + у2 = 25; 3) (х + 2)2 + (у – 1)2 = 4; 4) (х + 1)2 + (у + 2)2 = 9. 4.9. Побудуйте на координатній площині коло, задане рівнянням: 1) (х + 3)2 + у2 = 36; 2) (х – 2)2 + (у + 3)2 = 25. 4.10. Коло задано рівнянням х2 + у2 = 25. Чи належить цьому колу точка: 1) А(5; 0); 2) В(4; –1); 3) С(–3; 4); 4) D(0; –5); 5) M(4; –3); 6) N(–1; 5)? 4.11. Коло задано рівнянням х2 + у2 = 100. Чи належить цьому колу точка: 1) A(0; –10); 2) В(9; 4); 3) С(6; –8); 4) D(–7; –2); 5) Т(–6; 8); 6) P(10; 0)? 4.12. Складіть рівняння кола із центром у точці Q(–3; 4), яке проходить через точку М(5; –2). 4.13. Складіть рівняння кола із центром у точці Q(1; 2), яке проходить через точку Р(5; 5). 4.14. Складіть рівняння кола, для якого AB є діаметром, якщо А(3; –5), В(–3; 3).

37

ТЕМА 1

4.15. Складіть рівняння кола, для якого AB є діаметром, якщо А(–1; 8), В(11; –8). 4.16. На колі х2 + у2 = 169 знай­діть точки: 1) з абсцисою 12; 2) з ординатою –5; 3) які лежать на осі абсцис; 4) які лежать на осі ординат. 4.17. На колі х2 + у2 = 289 знай­діть точки: 1) з абсцисою –8; 2) з ординатою 15; 3) які лежать на осі абсцис; 4) які лежать на осі ординат. 4.18. У Європейських математичних олімпіадах серед дівчат бере участь команда із 4 учасниць від кожної країни. Нехай O(x1; y1) – центр кола, заданого рівнянням x2 – 6x + y2 – 2y + 5 = 0. Знай­ діть координати точки O, відтак дізнаєтеся: x1 – кількість золотих медалей, y1 – кількість срібних медалей, які здобула збірна України на олімпіаді 2024 р. 4.19. Знай­діть центр і радіус кола, заданого рівнянням: 1) х2 + у2 – 2х + 6у – 6 = 0; 2) х2 + 10x + у2 – 12у = 0. 4.20. Знай­діть центр і радіус кола, заданого рівнянням: 1) х2 + у2 + 4х – 10у – 7 = 0; 2) х2 – 12х + у2 – 5 = 0. 4.21. Знай­діть відстань між центрами кіл, які задано рівняннями х2 + у2 – 4у = 0 і х2 + у2 + 2х – 8у – 7 = 0. 4.22. Знай­діть відстань між центрами кіл, які задано рівняннями х2 + 8х + у2 – 16у = 0 і х2 + у2 + 4х + 1 = 0. 4.23. Складіть рівняння кола радіуса 10, що проходить через точку А(5; –8) і центр якого лежить на осі абсцис. 4.24. Складіть рівняння кола радіуса 5, що проходить через точку В(–4; 2) і центр якого лежить на осі ординат. 4.25. Коло із центром у точці Q(2; –1) проходить через точку А(4; 0). Чи проходить це коло через точку: 1) В(0; 2); 2) C(1; 1)? 4.26. Коло із центром у точці Q(–3; 1) проходить через точку М(–2; 5). Чи проходить це коло через точку: 1) N(1; 2); 2) K(4; 4)? 4.27. Коло задано рівнянням (х – 1)2 + (y + 5)2 = 16. Не виконуючи малюнка, визначте, які з точок А(4; –2), B(–3; –5), С(–2; –7), D(5; 1) лежать: 1) усередині круга, обмеженого цим колом; 2) на колі; 3) поза кругом, обмеженим цим колом. 4.28. Складіть рівняння кола із центром, який лежить на бісектрисі другого координатного кута і радіусом 13 та яке проходить через точку A(1; –8). 4.29. Складіть рівняння кола, що проходить через точку B(–2; 0), центр якого лежить на бісектрисі першого координатного кута, а радіус дорівнює 10.

38

Метод координат на площині

4.30. З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин чи немає спільних точок): 1) (х – 1)2 + (у – 2)2 = 4 та (х – 6)2 + (у – 2)2 = 9; 2) х2 + (у – 1)2 = 1 та (х – 3)2 + (у – 7)2 = 25. 4.31. З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин чи немає спільних точок): 1) (х + 1)2 + (y – 3)2 = 9 та х2 + у2 = 16; 2) (х + 1)2 + (y – 7)2 = 49 та (x + 4)2 + (y – 3)2 = 4. 4.32. Складіть рівняння кола, вписаного у трикутник ABC, якщо A(0; 3), B(4; 0), C(0; 0).

Вправи для повторення 4.33. Середня лінія трапеції дорівнює 16 см. Знай­діть основи трапеції, якщо: 1) вони відносяться як 1 : 3; 2) одна з них на 4 см більша за другу. 4.34. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону у відношенні 1 : 2, починаючи від найближчої до цього кута вершини. Знай­ діть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 56 см. 4.35. Знай­діть площу прямокутного трикутника, у якому висота, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 4 см і 9 см. 4.36. Визначте координати кінців A і B відрізка AB, якщо точки M(3; 3) і N(2; 6) ділять його на три рівні частини.

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 4.37. 1) Що є графіком функції вигляду y = kx + l? 2) Побудуйте графіки функцій y = 2x – 3;

; y = –x + 5;

y = –0,5x – 1. 4.38. 1) Що є графіком рівняння вигляду ax + by = c, де a і b одночасно не дорівнюють нулю? 2) Побудуйте графіки рівнянь x – y = 6; 2x + 3y = 5; x = –2; y = 5. 4.39. Чи належить точка M(–1; 2): 1) графіку функції y = x + 1; y = 1 – x; y = –2x; y = –1; 2) графіку рівняння x + y = 1; 2x + y = 4; 3x – 2y = 7; 4y – x = 9?

Життєва математика 4.40. Урожайність часнику – 120 кг з однієї сотки (100 м2) за умови посадки 10 кг насіння на цій площі. Фермерка має ділянку 50 м завдовжки і 40 м завширшки. 1) Скільки кг насіння потрібно заготовити фермерці? 2) Скільки витратить фермерка на закупівлю насіння, якщо 1 кг насіння коштує 55 грн?

39

ТЕМА 1

3) Скільки кг часнику збере фермерка із цієї ділянки? 4) Який виторг отримає фермерка, якщо продасть часник за гуртовою ціною 70 грн за кг? 5) Яким є дохід фермерки?

Цікаві задачі – поміркуй одначе 4.41. (Задача Стенфордського університету.) Точка лежить у внут­ рішній області рівностороннього трикутника. Відстані від цієї точки до сторін трикутника дорівнюють a, b і c, а висота трикутника – h. Доведіть, що a + b + c = h.

§ 5. Рівняння прямої Із курсу алгебри ви знаєте, що пряма є графіком лінійної функції y = kx + l та графіком лінійного рівняння ax + by = c, якщо хоча б один з коефіцієнтів a чи b відмінний від нуля. Розглянемо рівняння прямої в геомет­рії.

1. Загальне рівняння прямої Нехай а – довільна пряма на координатній площині (мал. 5.1). 1) Виберемо дві точки A1(a1; b1) і А2(а2; b2) так, щоб пряма а була серединним перпендикуляром до відрізка A1 A2. Нехай точка М(х; у) – довільна точка прямої а. За властивістю серединного перпендикуляра має­мо: MA1 = MA2, а отже, MA12 = MA22. Мал. 5.1 Тому для точки M(x; y) справджується рівність: (х – а1)2 + (у – b1)2 = (х – а2)2 + (у – b2)2.           (1) Розкривши дужки та звівши подіб­ні доданки, матиме­мо: 2(a2 – a1)x + 2(b2 – b1)y + (a21 + b12 – a22 – b22) = 0. Уведемо позначення 2(а2 – а1) = а, 2(b2 – b1) = b, , отримаємо, що будь-яка точка прямої а задовольняє рівняння ах + bу + с = 0.                        (2) Оскільки A1(a1; b1) і A2(a2; b2) – різні точки, то хоча б один із виразів (а2 – а1) або (b2 – b1) відмінний від нуля. Отже, хоча б один із коефіцієнтів а або b у рівнянні (2) відмінний від нуля. 2) Розглянемо деяку точку N(x; y), координати якої задовольняють рівняння (2). Виконавши алгебраїчні перетворення, які є досить громіздкими, можна переконатися, що координати точки N задовольняють також рівняння (1). Тому точка N рівновіддалена від точок A1 і A2. Отже, точка N належить прямій, яка є серединним перпендикуляром до відрізка A1 A2, а тому належить прямій а.

40

Метод координат на площині

Рівняння ax + by + с = 0 ще називають загальним рівнянням прямої. Приклад 1. Знайти точки перетину прямої 3x – 5y – 15 = 0 з осями

координат. Розв’язання. 1) Нехай точка А(х; 0) – точка перетину прямої з віссю абсцис. Тоді 3х – 5 · 0 – 15 = 0, звідки х = 5. Отже, А(5; 0) – точка перетину прямої з віссю абсцис. 2) Нехай точка B(0; у) – точка перетину прямої з віссю ординат. Тоді 3 · 0 – 5у – 15 = 0, звідки y = –3. Отже, B(0; –3) – точка перетину прямої з віссю ординат. Відповідь: А(5; 0), B(0; –3).

2. Розташування прямої відносно системи координат Розглянемо розташування прямої відносно системи координат у де­яких окремих випадках. . Усі точки прямої мають 1) a = 0, b ≠ 0. Маємо by + c = 0, одну й ту саму ординату

. Тому пряма

паралельна осі x

(мал. 5.2). Зокрема, якщо с = 0, то пряма y = 0 збігається з віссю х. 2) b = 0, а ≠ 0. Маємо ах + с = 0,

. Точки прямої мають одну

. Тому пряма

паралельна осі у (мал. 5.3).

й ту саму абсцису

Мал. 5.2 Мал. 5.3 Мал. 5.4

Зокрема, якщо с = 0, то пряма x = 0 збігається з віс­сю у. 3) с = 0. Координати точки (0; 0) задовольняють рівняння прямої. Тому пряма проходить через початок координат (мал. 5.4). Систематизуємо отримані результати в таблицю.

41

ТЕМА 1

Часткові випадки розташування прямої ax + by + c = 0 в декартовій системі координат a = 0, b ≠ 0

a ≠ 0, b = 0

a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0

3. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки Складемо рівняння прямої, що проходить через точки A(x1; у1) і В(х2; у2). Розглянемо випадки. 1) x1 = x2 = т. Усі точки прямої мають одну й ту саму абсцису, що дорівнює т (мал. 5.5). Рівняння прямої має вигляд: x = т. 2) y1 = y2 = п. Усі точки прямої мають одну й ту саму ординату, що дорівнює n (мал. 5.6). Рівняння прямої має вигляд: у = п.

Мал. 5.5 Мал. 5.6 Мал. 5.7

3) x1 ≠ x2, у1 ≠ у2. Нехай М(х; у) – деяка точка прямої. Через точку A проведемо пряму, паралельну осі x, а через точки M і B – прямі, паралельні осі y. Тоді BK ⊥ AP і MP ⊥ AP (мал. 5.7). Позначимо ∠ BAK = a. У трикутнику ВАK:

, тобто

.

У трикутнику МАР:

, тобто

.

Отже, маємо:

, тобто

.           (3)

Після застосування основної властивості пропорції та спрощення рівняння (3) зводиться до вигляду ах + by + с = 0.

42

Метод координат на площині

Приклад 2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А(2; –3)

і B(4; –5). Розв’язання. Використовуючи формулу (3), маємо: ; тобто

,

звідки –1(х – 2) = у + 3, остаточно отримаємо: х + у + 1 = 0. Відповідь: х + у + 1 = 0. Відповідь легко перевірити, підставивши в отримане рівняння координати кожної із заданих точок.

4. Кутовий коефіцієнт прямої Якщо в загальному рівнянні прямої ax + by + c = 0 коефіцієнт b не дорівнює нулю, то, виразивши із цього рівняння у, матимемо:

Позначивши

,

, отримаємо:

y = kx + l. Отже, доходимо висновку, що пряму можна задавати і рівнянням ax + by + c = 0, і рівнянням y = kx + l (якщо b ≠ 0), оскільки кожне з них є рівнянням прямої. З’ясуємо геомет­ричний зміст коефіцієнта k у рівнянні прямої. Нехай A(x1; у1) і В(х2; у2), де x1 < x2 – дві точки прямої. Оскільки координати точок задовольняють рівняння у = kx + l, то y1 = kx1 + l і у2 = kx2 + l. Віднімемо почленно від другого рівняння перше, матимемо: у2 – у1 = k(x2 – x1), звідки Але вище ми вже довели, що

(с. 42, мал. 5.7). Оскільки

пряма AP паралельна осі х, то α – це кут, який утворює пряма AB з додатним напрямком осі х. Отже, якщо кут α – гострий, то k = tgα.

43

ТЕМА 1

Мал. 5.8

Розглянемо випадок, коли пряма утворює з додатним напрямком осі x тупий кут (мал. 5.8). Маємо: . Але α + β = 180°, тоді β = 180° – α і tg β = tg (180° – α) =

.

За відомою формулою tg (180° – α) = –tg α. Тоді –tgα =

;

з огляду на те, що

, знову отримаємо, що k = tg α, де кут

α – тупий. Отже, приходимо до висновку про геомет­ричний зміст коефіцієнта k у рівнянні прямої.

Коефіцієнт k у рівнянні прямої у = kx + l називають кутовим коефіцієнтом прямої. Причому k > 0, якщо пряма утворює гострий кут з додатним напрямком осі х, k < 0, якщо цей кут – тупий, і k = 0, якщо пряма паралельна осі x. Приклад 3. Довести, що рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k,

яка проходить через точку А(х0; у0), має вигляд у – у0 = k(x – x0). Розв’язання. Запишемо загальний вигляд прямої з кутовим коефіцієнтом k: у = kx + l. Знайдемо коефіцієнт l. 1) Оскільки пряма проходить через точку А(х0; y0), то координати цієї точки задовольняють рівняння прямої, тобто: y0 = kx0 + l, звідки l = y0 – kx0. 2) Підставимо значення l в рівняння y = kx + l, матимемо: у = kx + (y0 – kx0), тобто у – у0 = k(x – x0). 

44

Метод координат на площині

Приклад 4. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(–3; 5)

і утворює з додатним напрямком осі абсцис кут 135°. Розв’язання. 1) Оскільки k = tg a, то k = tg 135° = –1. 2) Узявши до уваги, що у – у0 = k(x – x0), маємо: у – 5 = –1(x – (–3)), тобто у – 5 = –х – 3, отже, маємо рівняння: x + у – 2 = 0. Відповідь: х + у – 2 = 0.

5. Умова паралельності прямих Якщо прямі у = k1x + l1 та y = k2x + l2 паралельні, то кути, які вони утворюють з додатним напрямком осі x, між собою рівні (мал. 5.9). Тоді й тангенси цих кутів також рівні, а тому k1 = k2. І навпаки, якщо k1 = k2, то тангенси кутів, які утворюють прямі з додатним напрямком осі х, рівні, а тому прямі паралельні.

Мал. 5.9

Наприклад, паралельними є прямі у = 0,1х + 5 і k = 0,1 і

, у яких

відповідно, тобто k1 = k2.

6. Координати точки перетину двох прямих Нехай дано рівняння двох прямих у загальному вигляді: a1x + b1у + с1 = 0 та а2х + b2у + c2 = 0. Знайдемо координати (х; у) точки їхнього перетину. Оскільки ця точка належить кожній з прямих, то її координати задовольняють кожне з двох рівнянь. Тому координати точки перетину є розв’язком системи рівнянь, якими задано ці прямі. Приклад 5. Знайти точку перетину прямих

2х – y – 5 = 0 і 4х + 3y – 15 = 0.

Розв’язання. Розв’язавши систему

,

отримаємо x = 3,

у = 1. Отже, (3; 1) – точка перетину прямих. Відповідь: (3; 1). Покажіть, як скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Як розташована пряма ax + by + c = 0 у координатній площині, якщо a = 0? b = 0? c = 0? Який вигляд має рівняння прямої, що проходить через точки A(x1; y1) і B(x2; y2)? Що таке кутовий коефіцієнт прямої та який його геомет­ричний зміст? За якої умови прямі y = k1x + l1 та y = k2x + l2 будуть паралельними? Як знай­ти координати точки перетину прямих, які задано в загальному вигляді?

45

ТЕМА 1

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи

5.2.

5.3.

5.4. 5.5.

5.6. 5.7.

5.1. (Усно.) Яке з рівнянь є рівнянням прямої: 1) х2 + у2 = 4; 2) 2х – 3y + 7 = 0; 3) х3 – 2y – 13 = 0; 4) х – 2y = 0; 5) 2х – 9 = 0; 6) х + y2 = 0? Яке з рівнянь є рівнянням прямої: 1) 2х – 3y = 0; 2) 4х2 – 9y2 = 5; 3) 2х – у4 – 15 = 0; 4) 3х + 7у – 10 = 0; 5) 3y – 12 = 0; 6) 2х2 – у = 0? Чи належить прямій x + у – 7 = 0 точка: 1) A(3; 4); 2) В(5; 1); 3) С(2; 5); 4) D(0; 8)? Чи належить прямій х – у = 0 точка: 1) М(5; 5); 2) N(–4; 4); 3) L(0; 0); 4) K(–2; –2)? Яка з прямих проходить через початок координат: 1) 2х – 3у = 0; 2) 3x – 2y – 5 = 0; 3) 3х + 2y = 0; 4) 2х + 3y – 7 = 0? (Усно.) Чи перетинаються прямі: 1) у = 2х – 7 і y = 2x + 3; 2) у = 3х + 7 і у = 4x – 9? Чи паралельні прямі: 1) у = 3x – 7 і y = –2х + 9; 2) y = –4x + 3 і у = –4x? 5.8. Запишіть рівняння прямих а і b (мал. 5.10).

5.9. Запишіть рівняння прямих т і n (мал. 5.11).

Мал. 5.10 Мал. 5.11

5.10. Знай­діть координати точок перетину прямої 2х – 5y – 10 = 0 з осями координат. 5.11. Знай­діть координати точок перетину прямої 3x – 4y + 12 = 0 з осями координат. 5.12. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку А(–2; 3) і паралельна: 1) осі абсцис; 2) осі ординат. 5.13. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку B(4; –1) і паралельна: 1) осі абсцис; 2) осі ординат. 5.14. Які з точок належать прямій у = 7: 1) А(7; 1); 2) B(1; 7); 3) C(2; 5); 4) D(–10; 7)? 5.15. Які з точок належать прямій x = 3: 1) K(1; 3); 2) L(3; 1); 3) M(1; 2); 4) N(3; –8)?

46

Метод координат на площині

5.16. Знай­діть кутовий коефіцієнт прямої MN, якщо: 1) M(–1; 2), N(0; 9); 2) M(1; 4), N(–1; 6). 5.17. Знай­діть кутовий коефіцієнт прямої AB, якщо: 1) А(3; –1), В(5; –7); 2) А(2; 9), В(3; 4). 5.18. Запишіть рівняння прямої у вигляді y = kx + l та знай­діть її кутовий коефіцієнт: 1) 2х – у – 5 = 0; 2) 4х + 3у + 7 = 0. 5.19. Запишіть рівняння прямої у вигляді y = kx + l та знай­діть її кутовий коефіцієнт: 1) 3х + у + 7 = 0; 2) 5x – 2y – 9 = 0. 5.20. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки: 1) А(2; 7) і В(–3; 7); 2) М(–2; 1) і N(–2; –5); 3) C(3; 8) і D(1; 6); 4) K(–2; 5) і L(3; –1). 5.21. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки: 1) А(4; 7) і B(4; 0); 2) С(5; –2) і D(7; –2); 3) М(–1; 2) і N(–3; 4); 4) K(–1; 5) і L(7; 1). 5.22. Складіть рівняння прямої, яка містить медіану AM трикутника ABC, якщо A(0; –2), B(–7; 5), С(9; 11). 5.23. Складіть рівняння прямої, яка містить медіану CN трикутника ABC, якщо А(2; –3), B(8; –7), С(4; 0). 5.24. Знай­діть точку перетину прямих 2х – 3у = 0 і 3x + 4y + 17 = 0. 5.25. Знай­діть точку перетину прямих 5х – 4у = 0 і 2х + 3у + 23 = 0. 5.26. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку А(2; –1) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює: 1) 3; 2) –2; 3) 0; 4)

.

5.27. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку М(–3; 2) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює: 1) 4; 2) –1; 3) 0; 4) . 5.28. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку N(–4; –1) і утворює з додатним напрямком осі абсцис кут: 1) 135°; 2) 60°. 5.29. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку B(2; 5) і утворює з додатним напрямком осі абсцис кут: 1) 45°; 2) 120°. 5.30. Серед даних прямих укажіть пари паралельних: 1) 2х – 3у + 7 = 0; 2) 3х – у + 9 = 0; 3) х + 2у – 19 = 0; 4) 6х – 2у + 5 = 0; 5) 4х – 6у + 9 = 0; 6) 4х + 8у – 1 = 0. 5.31. Серед даних прямих укажіть пари паралельних: 1) 3х + у + 7 = 0; 2) 2х – у + 7 = 0; 3) х – 5у – 1 = 0; 4) 6x – 3у – 1 = 0; 5) 9х + 3y – 11 = 0; 6) 2x – 10y – 3 = 0.

47

ТЕМА 1

5.32. За якого значення а точки A(1; 2), B(–2; 3) і С(а; 4) лежать на одній прямій? 5.33. За якого значення b точки М(4; –1), K(5; 2) і N(3; b) лежать на одній прямій? 5.34. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку М(–1; 2) паралельно прямій 4x – 2y + 7 = 0. 5.35. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку N(2; –3) паралельно прямій 6х + 2у – 5 = 0. 5.36. Доведіть, що прямі у = k1x + l1 та y = k2x + l2 взаємно перпендикулярні тоді й тільки тоді, якщо k1k2= –1 (умова перпендикулярності прямих). 5.37. Використавши результат задачі № 5.36, складіть рівняння прямої, що проходить через точку А(–1; 3) перпендикулярно до прямої

.

5.38. Використавши результат задачі № 5.36, складіть рівняння прямої, що проходить через точку М(2; –1) перпендикулярно до прямої

.

Вправи для повторення 5.39. Обчисліть: 1) tg2 30° + cos 60°; 2) sin 30° + cos2 45°. 5.40. Чи є чотирикутник з вершинами в точках А(–3; 4), В(5; 2), C(7; –4), D(–1; –2) паралелограмом? 5.41. Складіть рівняння кола радіуса 13, що проходить через точку А(–7; 5), якщо його центр належить осі абсцис. 5.42. Чи дотикаються кола (х – 2)2 + у2 = 16 і (х + 1)2 + (у + 4)2 = 1?

Життєва математика 5.43. Жінка-агроном, не вимірюючи кутів чотирикутної земельної ділянки, може з’ясувати, що вона квад­ратна. Поясніть, як вона це робить, якщо користується досить довгою мотузкою.

Цікаві задачі – поміркуй одначе 5.44. (Київська міська математична олімпіада, 1990 р.). Бісектриси AA1 і BB1 трикутника ABC перетинаються в точці O. Доведіть, що коли кут C дорівнює 60°, то OA1 = OB1.

48

Метод координат на площині

ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 1 (§§ 1–5) Завдання 1–12 мають по чотири варіанти відповідей (А–Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді. 1. Точка M(–1; –2) лежить у ... координатній чверті: А. Першій Б. другій В. третій Г. четвертій 2. sin 150° + cos 60° = ... А. 2 Б. 1 В. 0 Г. –1 3. Укажіть рівняння, що є рівнянням прямої. А. x2 + y2 = 9 Б. x – y3 = 5 В. x + xy + y = 0 Г. 2x – 3y + 9 = 0 4. Точки A(–2; 6) і B(4; 11) – кінці відрізка, N – його середи­на. Укажіть координати точки N. А. (1; 8,5) Б. (2; 17) В. (8,5; 1) Г. (–3; –2,5). 5. Знай­діть дов­жину відрізка KL, якщо K(–1; 2), L(3; –1). А. 3 Б. 4 В. 5 Г. 6 6. Знай­діть координати точки перетину прямої 4x – 5y – 20 = 0 з віссю ординат. А. (0; 4) Б. (0; –4) В. (5; 0) Г. (0; –5) 7. Знай­діть відстань від точки A(–3; 7) до осі абсцис. А. 3 Б. 4 В. 7 Г. 8. A(–2; 3), B(4; 7), C(–6; –3) – вершини паралелограма ABCD. Знай­діть координати вершини D. А. (–4; 0) Б. (–8; 0) В. (–12; –3) Г. (–12; –7) 9. Визначте радіус кола, якщо воно задано рівнянням x2 + 4x + y2 – 6y – 7 = 0. В. 20 Г. А. 7 Б. 10. Знай­діть значення виразу 7 – cos 110° – cos 70°. А. 6 Б. 7 В. 8 Г. 9 11. З’ясуйте взаємне розташування двох кіл, заданих рівняннями (x + 2)2 + y2 = 16 та (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9. А. Перетинаються Б. Мають внутрішній дотик В. Мають зовнішній дотик Г. Не перетинаються 12. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку A(3; –1) паралельно прямій 4x – 2y + 7 = 0. А. 2x + y – 5 = 0 Б. 2x – y + 5 = 0 В. 2x – y – 7 = 0 Г. 2x – y + 7 = 0

49

ТЕМА 1

У завданні 13 потрібно встановити відповідність між інфор­ мацією, позначеною цифрами та буквами. Одна відповідь зайва. 13. На площині задано вершини трикутника ABC – точки A(–2; 3), B(6; –3), C(0; –15). Установіть відповідність між відрізками (1–3) та їхніми довжинами (А–Г). Відрізок 1. Сторона трикутника AB 2. Медіана AM 3. Середня лінія MN, де N – середина AB

Довжина А. 5 Б. 10 В. 13 Г.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 1–5 1. У якій координатній чверті лежить точка: 1) M(–2; 7); 2) K(4; –1)? 2. Обчисліть: tg 60°. 1) sin 30° + cos 120°; 2) 3. Яке з рівнянь є рівнянням прямої, а яке – рівнянням кола: 1) (x – 2)2 + y2 = 16; 2) 4x – 2y – 17 = 0? 4. Точки А(–3; 4) і B(1; 7) – кінці відрізка, M – його середи­на. 1) Знай­діть дов­жину відрізка AB. 2) Чи належить точка M осі ординат? 5. Знай­діть координати точок перетину прямої 3x – 4y – 24 = 0 з осями координат. 6. Побудуйте на координатній площині коло, задане рівнянням (x + 3)2 + y2 = 16. 7. Складіть рівняння кола радіуса 10, яке проходить через точку А(8; –1) і центр якого лежить на осі ординат. 8. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(–2; 3), B(4; –3), С(2; 7), D(–4; 13) є паралелограмом. 9. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку А(–1; 5) і паралельна прямій 6х – 3у + 9 = 0.

Додаткові завдання 10. Знай­діть значення виразу: 1) sin223° + sin267°; 2) 4 – cos 118° – cos 62°. 11. З’ясуйте взаємне розташування двох кіл: (х – 2)2 + y2 = 1 та (x – 5)2 + (y – 4)2 = 9.

50

Метод координат на площині

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ТЕМИ 1 До § 1 1. Дано точки A(0; –2), B(–3; 4), С(4; 5), D(–2; 9), E(5; 0), F(0; 5), G(2; –3), H(–2; –2), K(–5; 0), L(4; –1), M(1; 3), N(–5; 1). Випишіть із них ті, які належать: 1) осі абсцис; 2) осі ординат; 3) І чверті; 4) II чверті; 5) III чверті; 6) IV чверті. 2. На прямій, перпендикулярній до осі у, узято дві точки. Одна з них має ординату у = 5. Яка ордината другої точки? 3. Через точку Р(–3; –2) проведено прямі, паралельні осям координат. Знай­діть координати точок перетину цих прямих з осями координат. 4. Які особливості взаємного розташування двох точок, якщо у них: 1) абсциси однакові, а ординати – різні; 2) ординати однакові, а абсциси – різні? 5. На малюнку 1 радіус кола дорівнює R. Знай­ діть координати точок А, B, C і D. 6. Чи правильне твердження: 1) якщо точки M і N рівновіддалені від осі абсцис, то вони мають рівні між собою ординати; 2) якщо точки M і N мають рівні між собою Мал. 1 ординати, то вони однаково віддалені від осі абсцис. 7. Дано точку А(–3; у). 1) Чи може точка А належати осі ординат? 2) За якої умови вона може належати осі абсцис? 3) У яких координатних кутах може лежати точка А залежно від знака у? 8. Дано точки А(–2; 5) і B(4; 7). Чи перетинає відрізок AB: 1) вісь абсцис; 2) вісь ординат? Відповідь обґрунтуйте. 9. Знай­діть геомет­ричне місце точок координатної площини, для яких: 1) (|x| – 2)(|y| + 1) = 0; 2) (|x| – 5)(|y| – 1) = 0. До § 2 10. Обчисліть: 1) sin 120° · tg 120°; 2) cos 180° + sin 90°; 3) cos 120° + sin 30°; 4) cos 135° · sin 135°. 11. Чи правильно, що: 1) tg 45° = –tg 135°; 2) sin 30° = –sin 150°; 3) cos 150° = –cos 30°; 4) sin 60° = sin 120°?

51

ТЕМА 1

12. Порівняйте: 1) sin 15° і sin 43°; 2) cos 18° і cos 37°; 3) sin 91° і sin 120°; 4) cos 100° і cos 170°. 13. Обчисліть: 1) sin217° + cos217°; 2) 9 – cos227° – sin227°. 14. Знай­діть знак виразу: 1) sin 18°; 2) sin 125°; 3) cos 137°; 4) cos 81°; 5) tg 78°; 6) tg 92°. 15. Знай­діть cos a, якщо: 1) sin a = 0,8 і 0° < a < 90°; 2)

і 90° < a < 180°.

16. Спростіть вираз: 1) tg2 a(1 – sin a)(1 + sin a); 2) 1 – cos2 (90° – a). 17. Визначте знак різниці: 1) cos 127° – cos 118°; 2) sin 152° – sin 148°. 18. Відомо, що 0° J a J 180° і 0° J β J 180°. Чи можна стверджувати, що a = β, якщо: 1) cos a = cos β; 2) sin a = sin β; 3) tg a = tg β? 19. ABCD – паралелограм. Доведіть, що sin A = sin B. 20. Знай­діть суму квад­ратів синусів гострих кутів прямокутного трикутника. 21. Доведіть тригонометричну тотожність:

22. Побудуйте рівнобедрений трикутник, у якого синус кута при вершині дорівнює 0,4. До § 3 23. Знай­діть координати середини відрізка KL, якщо: 1) K(0; 4), L(6; –2); 2) K(–3; 5), L(3; –5). 24. Знай­діть дов­жину відрізка AB, якщо: 1) А(–1; 12), B(6; –12); 2) А(2; –7), В(–2; –11). 25. Точки С1(2; –3) і B1(3; –1) – відповідно середини сторін AC і AB трикутника ABC. Вершина А має координати (3; –5). Знай­ діть координати вершин B і C. 26. Визначте вид трикутника ABC за сторонами (рівнобедрений, рівносторонній чи різносторонній), якщо: 1) A(1; 4), B(2; 8), С(–3; 5); ; 2) А(–2; 0), В(4; 0), 3) А(2; 3), В(–3; 1), C(4; 5).

52

Метод координат на площині

27. ABCD – паралелограм, O(4; 7) – точка перетину його діагоналей. Знай­діть координати вершин C і D, якщо відомо координати вершин А(–2; 5) і В(3; –4). 28. Знай­діть дов­жини середніх ліній трикутника ABC, якщо: А(2; –3), B(6; –1), С(5; –7). 29. Знай­діть дов­жини медіан трикутника ABC, якщо: A(0; 2), B(6; 0), С(–4; –6). 30. На осях координат знай­діть точки, які розміщені на відстані 5 від точки А(–3; 4). 31. Знай­діть точку, рівновіддалену від точок А(–5; 2) і B(1; 4), якщо її абсциса й ордината між собою рівні. 32. Дано точки А(–2; 5) і B(6; 13). Знай­діть координати точки F, яка ділить відрізок AB у відношенні 7 : 1, починаючи від точки А. 33. Точки М(–2; 5), N(4; –3), P(0; 1) – середини сторін трикутника. Знай­діть координати його вершин. 34. Чи лежать точки А, B і C на одній прямій, якщо: 1) А(3; 4), В(–1; 0), C(–6; –5); 2) A(0; 3), B(4; 8), C(1; 2)? Якщо відповідь ствердна, то визначте, яка з точок лежить між двома іншими. 35. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках A(1; 0), B(4; –4), С(8; –1) і D(5; 3) є квад­ратом. 36. Знай­діть точку перетину серединного перпендикуляра до відрізка AB з віссю ординат, якщо А(–4; 2), B(0; –2). 37. Доведіть, що всі кути трикутника з вершинами в точках A(0; 4), В(2; 3) і C(1; 5) гострі. 38. Обчисліть кути трикутника з вершинами в точках А(4; –1), B(–1; 0), С(2; 2). До § 4 39. Які з рівнянь є рівняннями кола? Знай­діть для цих кіл координати центра та радіус: 1) х3 + у = 4; 2) (х – 2)2 + (у + 7)2 = 9; 3) х2 + у2 = 1; 4) х2 – у2 = 1; 5) x2 + (y – 9)2 = 25; 6) (х + 7)2 + у2 = 16. 40. Складіть рівняння кола із центром у точці Q, діаметр якого дорівнює d: . 1) Q(0; –17), d = 0,6; 2) Q(–4; 5), 2 2 41. Коло задано рівнянням (х – 1) + у = 16. Чи належить цьому колу точка: 1) А(5; 0); 2) B(–2; 3); 3) C(1; 4); 4) D(0; –3); 5) M(–3; 0); 6) N(1; –4)? 42. Точка Q – центр кола, а QA – його радіус. Складіть рівняння кола, якщо Q(0; 4), А(5; 16). 43. Складіть рівняння кола із центром у точці (–3; –4), яке проходить через початок координат.

53

ТЕМА 1

44. Складіть рівняння кола із центром у початку координат, яке проходить через точку (–3; –4). 45. Які з точок належать колу із центром Q(2; –1), ра­діус якого дорівнює 5: 1) А(3; –8); 2) B(5; –5); 3) C(0; 4); 4) D(6; –4)? 46. У яких точках коло (х – 4)2 + (у + 3)2 = 25 перетинає: 1) вісь абсцис; 2) вісь ординат? 47. Складіть рівняння кола із центром А(–4; 5), яке дотикається: 1) до осі абсцис; 2) до осі ординат. 48. Коло дотикається до координатних осей. Складіть рівняння цього кола, якщо до осі абсцис воно дотикається в точці А(2; 0). 49. Знай­діть координати центра кола, радіус якого дорівнює 3 і яке дотикається до осей координат. Скільки розв’язків має задача? 50. Складіть рівняння кола, яке дотикається до координатних осей і проходить через точку А(2; 1). 51. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки A(0; –3) і B(9; 0), якщо центр кола лежить на осі абсцис. 52. На осі абсцис знай­діть точки, з яких відрізок AB видно під прямим кутом, якщо A(6; 0), B(14; 6). 53. Знай­діть геомет­ричне місце точок, сума квад­ратів відстаней від яких до трьох точок A(0; 0), B(1; 1) і С(2; 2) дорівнює 7. 54. З’ясуйте взаємне розташування двох кіл (дотик, перетин чи немає спільних точок): 1) х2 + у2 + 8х – 6у = 0 та х2 + у2 – 6х + 4у – 3 = 0; 2) х2 + y2 + 2х – 4у + 1 = 0 та x2 + y2 – 6x + 2y + 1 = 0. До § 5 55. Чи належить прямій 2x + у = 0 точка: 1) А(2; 1); 2) B(–1; 2); 3) C(0; 0); 4) D(1; –3)? 56. Назвіть кутовий коефіцієнт прямої: 1) у = 2х – 7; 2) y = –x + 3; 3)

; 4) y = –0,01x.

57. Запишіть рівняння прямої а (мал. 2 і 3).

Мал. 2 Мал. 3

54

Метод координат на площині

58. Знай­діть кутовий коефіцієнт прямої, якщо вона утворює з додатним напрямком осі абсцис кут: 1) 45°; 2) 120°. 59. Наведіть приклад рівняння прямої, яка: 1) паралельна прямій у = 2х – 7; 2) перетинає пряму у = –3х + 5; 3) паралельна прямій 2х – у – 9 = 0; 4) перетинає пряму 3х + 2у – 15 = 0. 60. Запишіть рівняння прямих, кожна з яких паралельна осі ординат і відтинає на осі абсцис відрізок, дов­жина якого дорівнює 2. 61. Складіть рівняння прямих, що містять сторони трикутника, вершинами якого є точки А(2; –3), B(2; –5), С(3; 7). 62. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і точку: 1) A(0; 7); 2) В(–2; 0); 3) С(–3; 4); 4) D(–1; –8). 63. Визначте коефіцієнти а і b у рівнянні прямої ах + by – 1 = 0, яка проходить через точки (3; 2) і (2; 3). 64. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку С(2; –1) і: 1) має кутовий коефіцієнт

;

2) утворює з додатним напрямком осі абсцис кут 30°. 65. Чи проходить пряма х – 2у = 0 через точку перетину прямих 2х + у – 5 = 0 та x – y – 1 = 0? 66. Складіть рівняння прямої а (мал. 4–6).

Мал. 4 Мал. 5 Мал. 6

67. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку М(–2; 3) і паралельна прямій у = 3x + 7. 68. Знай­діть периметр трикутника, обмеженого віссю абсцис і прямими 4х – 3у = 0 і 8х – 15y + 72 = 0. 69. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку А(–1; 2) паралельно прямій MN, де M(1; 4), N(3; 6). 70. Складіть рівняння прямих, що містять сторони ромба, якщо його діагоналі завдов­жки 8 і 4 лежать на осях координат, причому більша діагональ лежить на осі абсцис. 71. Складіть рівняння дотичних до кола радіуса 5 із центром у точці Q(–2; 1), які паралельні осі абсцис.

55

ТЕМА 1

72. Три вершини прямокутника містяться в точках (0; 4), (8; 4) і (8; –2). У яких точках коло (х – 3)2 + (у – 1)2 = 25 перетинає сторони прямокутника? 73. Використовуючи результат задачі № 5.36 (с. 48), складіть рівняння прямої, що проходить через точку B(1; –1) перпендикулярно до прямої: 1) 2х – у + 7 = 0; 2) MN, де M(0; 2), N(–2; 4). 74. Складіть рівняння прямої, що містить висоту AH трикутника з вершинами в точках A(0; 3), B(1; –3), С(4; –9).

Головне в темi 1 СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС КУТІВ ВІД 0° ДО 180°. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ТОТОЖНОСТІ

Якщо B(x; y) – точка одиничного півкола, що відповідає куту a (див. мал.), то sin a = y, cos a = x,

.

. sin2a + cos2a = 1. sin (180° – a) = sin a,  cos (180° – a) = – cos a. tg (180° – a) = –tg a. sin (90° – a) = cos a,  cos (90° – a) = sin a. Координати середини відрізка Координати точки M – середини відрізка AB, де A(x1; y1) і B(x2; y2), знаходимо за формулами: ,

.

Відстань між двома точками Відстань між точками A(x1; y1) і B(x2; y2) можна знайти за формулою .

56

Метод координат на площині

РІВНЯННЯ КОЛА

Рівняння кола із центром у точці Q(a; b) і радіусом r має вигляд (x – a)2 + (y – b)2 = r2. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ

Рівняння прямої у прямокутній системі координат має вигляд aх + by + с = 0, де а, b, с – числа, причому а і b одночасно не дорівнюють нулю. Часткові випадки розташування прямої ax + by + c = 0 в декартовій системі координат a = 0, b ≠ 0 a ≠ 0, b = 0 a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0

Рівняння прямої, що проходить через точки A(x1; y1) і B(x2; y2), має вигляд: yyx = m, якщо x1 = x2 = m; yyy = n, якщо y1 = y2 = n; yy

, якщо x1 ≠ x2, y1 ≠ y2.

Коефіцієнт k у рівнянні прямої y = kx + l дорівнює тангенсу кута, який утворює ця пряма з додатним напрямком осі x. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k, яка проходить через точку А(х0; у0), має вигляд у – у0 = k(x – x0). Умова паралельності прямих Прямі у = k1x + l1 та y = k2x + l2 паралельні тоді й тільки тоді, коли k1 = k2.

57

ПОВТОРЮЄМО АЛГЕБРУ ЗА 8 КЛАС Раціональні вирази 1. Скоротіть дроби: 1) 2.

; 4)

; 5)

; 6)

.

; 2)

; 3)

; 4)

; 5)

; 6)

.

Виконайте дію: 1)

4.

; 3)

Скоротіть дроби: 1)

3.

; 2)

; 2)

; 3)

; 4)

.

; 3)

; 4)

.

; 3)

; 4)

.

; 3)

; 4)

Виконайте дію: 1)

; 2)

5. Скоротіть дроби: 1) 6.

Скоротіть дроби: 1)

7.

8.

9.

; 2)

; 2)

.

Подайте у вигляді дробу: 1)

; 2)

; 3)

4)

; 5)

; 6)

; .

Подайте у вигляді дробу: 1)

; 2)

; 3)

4)

; 5)

; 6)

; .

Розв’яжіть рівняння: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

; 3)

; 4)

.

10. Розв’яжіть рівняння: 1)

58

; 2)

Повторюємо алгебру за 8 клас

11. Обчисліть: 1) 9–2; 2) (–4)–3; 3) (–1)–7; 4) 14–1; 5) 29 ⋅ 2–10; 6) 5 : 5–1; 7)

; 8)

.

12. Обчисліть: 1) 2–3; 2) (–5)–2; 3) (–1)–11; 4) 15–1; 5) 48 ⋅ 4–10; 6) 7–1 : 7; 7)

; 8)

.

13. Виконайте дії та подайте результат у стандартному вигляді: 1) (1,8 ⋅ 10–5) ⋅ (3 ⋅ 109); 2) (1,7 ⋅ 104) : (3,4 ⋅ 10–3); 3) 3,2 ⋅ 10–3 + 7 ⋅ 10–3; 4) 5,42 ⋅ 108 – 4,3 ⋅ 108. 14. Виконайте дії та подайте результат у стандартному вигляді: 1) (5 ⋅ 108) ⋅ (2,4 ⋅ 10–3); 2) (7 ⋅ 108) : (3,5 ⋅ 10–1); 3) 4,9 ⋅ 104 + 2 ⋅ 104; 4) 4,42 ⋅ 10–7 – 4 ⋅ 10–7. 15. Побудуйте графіки функцій: 1)

; 2)

.

16. Побудуйте графіки функцій: 1)

; 2)

.

17. Виконайте дію: 1)

; 2)

3)

; 4)

; .

18. Виконайте дію: 1)

; 2)

3)

; 4)

; .

19. 7 липня 2024 року українська легкоатлетка Ярослава Магучіх установила новий світовий рекорд зі стрибків у висоту – 2 м 10 см. Знайдіть значення виразу

,

якщо a = 31, відтак дізнаєтеся, скільки років тримався попередній світовий рекорд у цій дисципліні.

59

Повторюємо алгебру за 8 клас

20. Доведіть тотожність

.

21. Розв’яжіть рівняння і

.

Знайдіть значення виразу 100x + 18y та дізнайтеся, якого року українка Катерина Логвинівна Ющенко розробила концепцію першої у світі формальної мови адресного програмування. 22. Національний університет «Острозька академія» – один із найстаріших навчальних закладів Європи і найстаріший в Україні. Розв’яжіть рівняння і та знай­діть значення виразу 100x + 19y, відтак дізнаєтеся рік заснування цього університету. 23. Обчисліть, використовуючи властивості степенів: 1) 3) 5)

; 2)

;

; 4) 243–2 ⋅ (3–7)–2; ; 6) 0,01–3 ⋅ 10–8.

24. Обчисліть, використовуючи властивості степенів: 1)

; 2)

;

3)

; 4) 16–5 ⋅ (2–3)–7;

5)

; 6) 0,2–8 ⋅ 25–4.

25. Доведіть, що значення виразу

не залежить

від значення змінних. 26. Чи існує така пара значень (x; y), що вираз

на-

буває від’ємного значення? 27. Обчисліть значення виразу

, якщо

x = 2026, відтак дізнаєтеся, скільки разів українські футболісти здобували «Золотий м’яч» – нагороду найкращому футболісту Європи. З інтернету дізнаєтеся прізвища цих футболістів.

60

Повторюємо алгебру за 8 клас

28. У перших Зимових Олімпійських іграх 1924 року брав участь американець українського походження Валентин Білас. Він був учасником змагань із ковзанярського спорту на дистанції 5000 м. , якщо

Знай­діть значення виразу

y = 2027, відтак дізнаєтеся, яке підсумкове місце він зайняв. 29. 1) Знайдіть цілі корені рівняння

= 6 – x, використовуючи гра-

фічний спосіб розв’язування. 2) Спробуйте розв’язати рівняння аналітично та знайти його нецілий корінь. 30. Розв’яжіть графічно рівняння

= 2x – 4.

Квадратні корені. Дійсні числа 31. Для функції y = x2 знай­діть значення y, що відповідає значенням x = –2; 0; 7. 32. Чи має корені рівняння: 1) x2 = 4; 2) x2 = –4; 3) x2 = 0; 4) x2 = 10? 33. Обчисліть: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

;

5)

; 6)

; 7)

; 8)

.

1)

; 2)

; 3)

; 4)

;

5)

; 6)

; 7)

; 8)

.

34. Обчисліть:

+ 6,79, округливши зна35. Знайдіть наближене значення виразу чення кореня до сотих. Відтак дізнаєтеся загальну площу лісових ділянок (у млн га), що належать до лісового фонду України. 36. Знайдіть наближене значення виразів, округливши значення кореня до тисячних: + 7,383; 2) 13 – ; 3) . 1) 37. Обчисліть: ; 2) ; 3) ; 4) ; 1) 5)

; 6)

; 7)

; 8)

.

61

Повторюємо алгебру за 8 клас

38. Обчисліть: ; 2) 1)

; 3)

; 4)

;

; 6)

; 7)

; 8)

.

5)

39. Розв’яжіть рівняння: 1) x2 = 49; 2) x2 = –49; 3) x2 + 0,07 = 0,08; 4) 2x2 = 12; 5)

= 3; 6)

= 0; 7)

+ 3 = 8; 8)

= 5.

40. Розв’яжіть рівняння: 1) x2 = 64; 2) x2 = –64; 3) x2 + 5 = 7; 4) = 1; 6) = –8; 7) 5) 41. Винесіть множник з-під знака кореня: ; 2) ; 3) 1) 42. Винесіть множник з-під знака кореня: ; 2) ; 3) 1) 43. Внесіть множник під знак кореня: 1)

; 2)

= 0;

– 2 = 3; 8)

= 8.

; 4)

.

; 4)

.

; 3)

; 4)

.

44. Внесіть множник під знак кореня: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

45. Розв’яжіть рівняння: 1)

; 2)

4) (x – 9)2 = –4; 5)

; 3) (x – 5)2 = 36; ; 6) (2x – 1)2 + (2x + 1)2 = 18.

46. Розв’яжіть рівняння: 1)

+ 15 = 0; 2)

4) (x – 3)2 = 49; 5)

; 3) (x + 9)2 = 0; ; 6) (3x + 1)2 + (3x – 1)2 = 56.

47. Обчисліть: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

; 2)

; 3)

; 4)

.

48. Обчисліть: 1)

62

Повторюємо алгебру за 8 клас

49. Скоротіть дріб: 1)

; 2)

; 3)

.

50. Скоротіть дріб: 1)

; 2)

; 3)

.

51. Розв’яжіть графічно рівняння: = 3 – 0,25x. 1) x2 = 3x; 2) 52. Розв’яжіть графічно рівняння: = 5 – 4x. 1) x2 = –2x; 2) 53. Розв’яжіть рівняння: 1)

; 2)

; 3)

.

; 3)

.

54. Розв’яжіть рівняння: 1)

; 2)

55. Обчисліть: 1)

; 2)

.

; 2)

.

56. Обчисліть: 1)

57. Побудуйте графік функції: 1)

2)

.

58. Побудуйте графік функції: 1)

2)

.

Квадратні рівняння 59. Випишіть коефіцієнти a, b і c квадратного рівняння: 1) 3x2 + 4x – 7 = 0; 2) 4x2 + 8 = 0; 3) 4x – x2 + 9 = 0; 4) 5x2 = 0; 5) 9x – x2 = 0; 6) 9 + 8x – x2 = 0. 60. Знайдіть, використовуючи теорему Вієта, суму і добуток коренів рівняння: 1) x2 + 2x – 3 = 0; 2) x2 – 2x = 0; 3) –x2 + 9x – 8 = 0; 4) 2x2 – 4x – 7 = 0; 5) 5x2 – 8x + 1 = 0; 6) 6x2 – 12 = 0.

63

Повторюємо алгебру за 8 клас

61. Розв’яжіть неповні квадратні рівняння: 1) 7x2 – 28 = 0; 2) 4x2 – 8x = 0; 3) 9x2 = 0; 4) 2x2 + 18 = 0; 5) –4x2 – 2x = 0; 6) 0,2x2 + 0,6x = 0. 62. Розв’яжіть неповні квадратні рівняння: 1) 4x2 + 12x = 0; 2) 4x2 – 36 = 0; 3) –x2 + 2x = 0; 4) –7x2 = 0; 5) 3x2 + 27 = 0; 6) 0,3x2 – 3x = 0. 63. Розв’яжіть рівняння: 1) x2 – 4x + 3 = 0; 2) 3x2 + 2x – 5 = 0; 3) x2 – 10x + 25 = 0; 4) 2x2 = 4 – 7x; 5) x2 = 5x – 7; 6) 2x = x2 – 8. 64. Розв’яжіть рівняння: 1) x2 – x – 2 = 0; 2) 2x2 – 3x – 5 = 0; 3) x2 + 12x + 36 = 0; 4) 3x = 5x2 – 2; 5) x2 + 2 = 3x; 6) 3x = x2 + 7. 65. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 96 см2, а одна зі сторін на 4 см більша за другу. 66. Ділянку землі прямокутної форми, одна зі сторін якої на 5 см більша за другу, потрібно обнести парканом. Знайдіть довжину паркана, якщо площа ділянки становить 300 м2. 67. Розкладіть на множники квадратний тричлен: 1) x2 – 7x + 6; 2) 2x2 + 5x + 2; 3) –3x2 – 5x + 2. 68. Розкладіть на множники квадратний тричлен: 1) x2 – 5x – 6; 2) 3x2 – 4x + 1; 3) –2x2 + 7x – 3. 69. Розв’яжіть біквадратне рівняння: 1) x4 – 8x2 – 9 = 0; 2) x4 + 10x2 + 9 = 0; 3) x4 – 6x2 + 8 = 0. 70. Знайдіть корені біквадратного рівняння: 1) x4 – 3x2 – 4 = 0; 2) x4 – 4x2 + 3 = 0; 3) x4 + 10x2 + 25 = 0. 71. Розв’яжіть рівняння: 1)

; 2)

; 3)

4)

; 5)

; 6)

; .

72. Розв’яжіть рівняння: 1)

; 2)

; 3)

4)

; 5)

; 6)

; .

73. За яких значень коефіцієнтів a і b, числа –1 і 3 є коренями рівняння ax2 + bx – 6 = 0? 74. За яких значень коефіцієнтів b і c, числа –3 і 2 є коренями рівняння 3x2 + bx + c = 0?

64

Повторюємо алгебру за 8 клас

75. Розв’яжіть рівняння: 1) (x + 3)(x – 4) = –12; 2) (2x – 1)2 = (x – 2)2; 3) (2x – 3)(2x + 3) = 3x + 1; 4) x(x – 3) – (x + 2)2 = x2 – 3x. 76. Розв’яжіть рівняння: 1) (x + 6)(x – 2) = –12; 2) (3x – 1)2 = (x – 3)2; 3) (3x + 2)(3x – 2) = x + 6; 4) x(x – 2) – (x + 1)2 = x2 – 2x. 77. Розв’яжіть рівняння: 1)

;  2)

;

3) Нехай x – найбільший корінь першого рівняння, y – найбільший корінь другого рівняння. Знайдіть значення виразу 600y + 2x, відтак дізнаєтеся рік заснування Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна. 78. Розв’яжіть рівняння: ; 2)

1)

;

3) Знайдіть суму всіх коренів обох рівнянь, відтак дізнаєтеся, яке місце у світі посідає Україна за кількістю громадян з вищою освітою. 79. Корені x1 та x2 рівняння x2 + px – 6 = 0 задовольняють умову 2x1 + 3x2 = 0. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт p. 80. Корені x1 та x2 рівняння x2 – 3x + q = 0 задовольняють умову 2x1 + 3x2 = 5. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт q. 81. Скоротіть дроби: 1)

; 2)

; 3)

.

; 3)

.

82. Скоротіть дроби: 1)

; 2)

83. Розв’яжіть рівняння: 1)

; 2)

3)

; 4)

; .

84. Розв’яжіть рівняння: 1)

; 2)

3)

; 4)

; .

65

Повторюємо алгебру за 8 клас

85. З міста A в місто B, відстань між якими 360 км, одночасно виїхали два авто. Швидкість одного з них була на 10 км/год більша за швидкість другого, тому перше авто прибуло у місто B на 30 хв раніше, ніж друге. Знайдіть швидкість кожного авто. 86. З одного села в інше, відстань між якими 24 км, виїхав велосипедист. Через 30 хв у тому самому напрямку виїхала велосипедистка, швидкість якої на 4 км/год більша за швидкість велосипедиста. Знайдіть швидкості велосипедистів, якщо до пункту призначення вони прибули одночасно. 87. Розв’яжіть рівняння: 1) (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) = 2x(2x – 1)(2x + 1) + x2 – 3; – 3)(x2 + 2x – 3) = 0; 2) ( 3) x – 3x – 4 = 0. 88. Розв’яжіть рівняння: 1) (3x + 1)(9x2 – 3x + 1) = 3x(3x – 1)(3x + 1) + x – x2; – 2)(2x2 + 3x – 5) = 0; 2) ( 3) x + 5x – 6 = 0. 89. За яких значень a рівняння має лише один корінь: 1) 4x2 + x – a = 0; 2) ax2 – 8x – 4 = 0? 90. За яких значень b рівняння має лише один корінь: 1) x2 + bx + 4 = 0; 2) bx2 + 6x – 1 = 0? 91. Розв’яжіть рівняння: 1) (x + 1)4 – 3(x + 1)2 – 4 = 0; 2) (x2 + x)2 – 4x2 – 4x – 12 = 0. 92. Розв’яжіть рівняння: 1) (x – 2)4 + 4(x – 2)2 – 5 = 0; 2) (x2 – x)2 – 5x2 + 5x + 6 = 0.

66

ТЕМА 2

НЕРІВНОСТІ У ЦІЙ ТЕМІ ВИ:

пригадаєте числові нерівності, подвійні нерівності;   ознайомитеся з поняттями об’єднання і перетину проміжків, лінійними нерівностями з однією змінною та їхніми си­стемами; дізнаєтеся про властивості числових нерівностей; навчитеся розв’язувати лінійні нерівності з однією змінною та си­стеми лінійних нерівностей з однією змінною.

§ 6. Числові нерівності. Доведення нерівностей 1. Числові нерівності У попередніх класах ви навчилися порівнювати будь-які числа та записувати результат порівняння у вигляді рівності або нерівності, використовуючи знаки =, >, <. Наприклад: 0,4 =

, –2 > –11, 5 < 7.

Вираз, який записано ліворуч від знака нерівності, називають лівою частиною нерівності, а вираз, який записано праворуч, – правою частиною нерівності. Так, в останній нерівності лівою частиною нерівності є число 5, а правою – число 7. Нерівність, обидві частини якої – числа або числові вирази, називають числовою нерівністю. Наприклад: 1,2 > –0,8;

< 2; 0,1 <

;

+2>

.

2. Загальне означення порівняння чисел Для двох довільних чисел a і b правильним є одне й тільки одне зі співвідношень: a > b, a < b або a = b. Раніше ми використовували те чи інше правило порівняння чисел залежно від виду чисел (натуральні числа, десяткові дроби, звичайні дроби з однаковими або різними знаменниками). Але зручно було б мати універсальне правило порівняння. Відомо, що 5 > 2. Розглянемо різницю лівої та правої частин цієї нерівності: 5 – 2 = 3 > 0, різниця є додатною. Розглядаючи різни­цю лівої та правої частин нерівності 3 < 7, матимемо: 3 – 7 = –4 < 0, різниця є від’ємною. У рівності 4 = 4, розглянувши різницю лівої та правої частин, отримаємо: 4 – 4 = 0, тобто різниця дорівнює нулю.

67

ТЕМА 2

Приходимо до означення порівняння чисел.

Приклад 1.

Порівняти

і 0,6.

Розв’язання. Розглянемо різницю чисел – 0,6 =

–

=

=–

Різниця є від’ємною, тому Відповідь:

і 0,6:

< 0. < 0,6.

< 0,6.

Нагадаємо, що на координатній прямій меншому числу відповідає точка, що лежить зліва від точки, що відповідає більшому числу. На малюнку 6.1 точка, що відповідає числу m, лежить зліва від точки, що відповідає числу n, тому m < n.

Мал. 6.1

Числові нерівності бувають правильні та неправильні. Наприклад, < 0,6; 1,8 > 2;

> 1 – правильні числові нерівності; < –0,1 – неправильні числові нерівності.

Крім знаків > і <, які називають знаками строгої нерів­ності, у математиці також використовують знаки J (читають: «менше або дорівнює», або «не більше») і I («більше або дорівнює», або «не менше»). Знаки I і J називають знаками нестрогої нерівності. Нерівності, які містять зна­к > або <, називають строгими нерівностями, а ті, що містять знак I або J, – нестрогими нерівностями. З означення співвідношень «більше», «менше» і «до­рівнює» дохо, якщо ,і , якщо . димо висновку, що

3. Доведення нерівностей Розглянемо, як за допомогою означення порівняння чисел мож­на доводити нерівності.

68

Нерівності

Приклад 2.

Довести, що для будь-якого значення a спра­в­джується нерівність (a – 3)2 > (a – 2)(a – 4). Доведення. Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності та спростимо її: (a – 3)2 – (a – 2)(a – 4) = a2 – 6a + 9 – (a2 – 2a – 4a + 8) = = a2 – 6a + 9 – a2 + 6a – 8 = 1 > 0. Оскільки (a – 3)2 – (a – 2)(a – 4) > 0 за будь-якого значення a, то за будьякого значення a справджується нерівність (a – 3)2 > (а – 2)(а – 4). 

Умову для прикладу 2 можна було сформулювати коротше, наприклад: довести нерівність (a – 3)2 > (a – 2)(a – 4). Довести нерівність 2(x – 8) J x(x – 6). Доведення. Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності та спростимо її: 2(x – 8) – x(x – 6) = 2x – 16 – x2 + 6x = –x2 + 8x – 16 = = –(x2 – 8x + 16) = –(x – 4)2. Оскільки (x – 4)2 I 0 за будь-якого значення x, то –(x – 4)2 J 0. Отже, за означенням, нерівність 2(x – 8) J x(x – 6) є правильною за будь-якого x. 

Приклад 3.

Приклад 4.

Довести нерівність x2 + 4x + y2 – 6y + 15 > 0. Доведення. У виразі, який записано в лівій частині нерівності, виділимо квад­рати двочленів: x2 + 4x + y2 – 6y + 15 = (x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 – 6y + 9) – 9 + 15 = = (x + 2)2 + (y – 3)2 + 2. Для будь-яких значень x та y: (x + 2)2 I 0 і (y – 3)2 I 0. Тому (x + 2)2 + (y – 3)2 I 0, а (x + 2)2 + (y – 3)2 + 2 > 0. Отже, x2 + 4x + y2 – 6y + 15 > 0. 

4. Нерівність Коші для середнього арифметичного та середнього геометричного Нагадаємо, що число

називають середнім арифметичним називають їх серед-

чисел a і b. Для невід’ємних чисел a і b число нім геомет­ричним. Приклад 5.

Довести, що середнє арифметичне двох не­від’ємних чисел a і b не менше від їхнього середнього геомет­ричного (нерівність Коші): , де

,

.

Доведення. Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності та для , . перетворимо її, урахувавши, що Матимемо: для всіх будь-яких

,

і

. Отже,

для

.

69

ТЕМА 2

Зауважимо, що знак рівності в нерівності Коші можливий тоді й тільки тоді, коли . Якщо

, то

.

Розглянемо застосування нерівності Коші для доведення нерівностей. Приклад 6.

Довести, що

, якщо a > 0 і b > 0.

Розв’язання. Оскільки a > 0 і b > 0, то

і

. Тоді, за не-

рівністю Коші, маємо: ;

;

.

Поняття «більше» й «менше» виникли одночасно з поняттям «дорівнювати». Адже ще з давніх часів у практичній діяльності людини виникла потреба порівнювати кількість предметів, довжини відрізків, площі ділянок тощо. Так, наприклад, кілька нерівностей є й у видатній праці «Начала» давньогрецького математика Евкліда (бл. 356–300 до н. е.). Зокрема, він наводить доведення нерівності

для додатних чисел a і b геомет­ричним методом.

Інший давньогрецький фізик і математик Архімед (бл. 287–212 до н. е.), щоб оцінити значення відношення довжини кола C до його діаметра d (пізніше назване числом p), використовує нерівність:

.

Звичні нам символи для запису нерівностей з’явилися лише в XVII–XVIII ст. Знаки строгої нерівності (> і <) уперше вжив англійський математик Томас Гарріот (1560–1621) у праці «Практика аналітичного мистецтва», що вийшла друком 1631 р. А знаки нестрогої нерівності (I і J) – 1734 р. французький математик та астроном П’єр Бугер (1698–1758). З відомих нерівностей, крім нерівності Коші, зазначимо такі: 1) Нерівність Бернуллі. , де x I –1, a – ціле число. 2) Нерівність Чебишова.

де a1, a2, …, an, b1, b2, ..., bn – додатні числа і . 3) Нерівність Коші – Буняковського. де a1, a2, …, an, b1, b2, ..., bn – довільні числа.

70

,

Нерівності

Останню нерівність довів французький математик О.Л. Коші (1789–1857) та наш земляк В.Я. Буняковський. Віктор Якович Буняковський (1804–1889) народився в містечку Бар (нині – Вінницька обл.). Навчався він здебільшого за кордоном, в основному у Франції, де його найближчим наставником був сам Коші. 1825 р. у Паризькому університеті Буняковський захистив дисертацію і здобув ступінь доктора наук. Його дослідження стосувалися галузі прикладної математики та математичної фізики. 1826 р. він повертається з Парижа до Петербурга та починає викладати математику і механіку у віВ. Я. Бунядомих на той час навчальних закладах. Тоді ж він перекладав ковський праці Коші з французької. Назвіть ліву і праву частини нерівності –5 > –10. Наведіть приклади числових нерівностей. Сформулюйте означення порівняння чисел. Які нерівності називають строгими? Нестрогими? Сформулюйте та доведіть нерівність між середнім арифметичним і середнім геомет­ричним двох не­від’єм­них чисел (нерівність Коші).

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 6.1. Порівняйте числа:

1) 0,8 і 0,7; 2) –1,2 і –1,25; 3) 4)

і

і

;

; 5) p і 3; 6) –2,31 і 0.

6.2. Порівняйте числа: 1) 1,8 і 1,9; 2) –1,3 і –1,27; 3) 4)

і

і

;

; 5) 4 і p; 6) 0 і –3,71.

6.3. (Усно.) Які із числових нерівностей правильні: 1) 2,7 > –3,1; 2) 0,5 < –3,17; 3) 7,8 > 7,08;

4) 4,1 <

; 5) –7,1 > –7,19; 6) 5,05 < 5,5?

6.4. Порівняйте числа a і b, якщо: 1) a – b = 5; 2) a – b = 0; 3) a – b = –7.

6.5. Порівняйте числа m і n, якщо різниця m – n дорівнює: 1) –18; 2) 1,7; 3) 0. 6.6. Яке із чисел x чи y менше, якщо: 1) х + 4 = у; 2) у – 2 = х; 3) у + 2 = х; 4) х – 3 = у?

6.7. Яке із чисел a чи b більше, якщо: 1) а – 7 = b; 2) а + 3 = b; 3) b + 2 = а; 4) b – 5 = а? 6.8. Позначте на координатній прямій точки, що відповідають числам m, n і p, якщо m < n і p > n.

71

ТЕМА 2

6.9. 1) Запишіть у порядку зростання числа:

(Й);

(О);

(Н); 0 (О); –0,1 (Р); –1,2 (В); 0,7 (И).

2) Прочитайте прізвище видатного українського математика, професора Варшавського університету. 3) Дізнайтеся з інтернету про його здобутки. 6.10. 1) Запишіть у порядку спадання числа: (І); 0 (О); –0,99 (У); 0,8 (Б);

–1,2 (Р);

–0,6 (К); 0,51 (Л). 2) Прочитайте прізвище української художниці, творами якої захоплювався Пабло Пікассо. 3) Дізнайтеся з інтернету про її творчий доробок та назву відомої картини на ілюстрації. 6.11. Укажіть серед даних нерівностей ті, що є правильними за будь-якого значення x: 1) x2 > 0; 2) ; Пабло Пікассо: 3) x + 1 > 0; 4) x2 + 1 > 0; Якби ми мали художницю 5) (x – 3)2 I 0; 6) (x + 4)2 > 0; такого рівня майстерності, то змусили б заговорити . 7) x > –x; 8) про неї цілий світ! 6.12. Доведіть нерівність: 1) 3m + 5 > 3(m – 1); 2) p(p – 2) < p2 – 2p + 7; 3) (a + 1)(a – 1) < a2; 4) x(x + 2) > 2x – 1. 6.13. Доведіть нерівність: 1) 2a – 3 < 2(a – 1); 2) c(c + 2) > c2 + 2c – 3; 3) (x + 2)(x – 2) + 5 > x2; 4) 3m – 2 < m(m + 3). 6.14. Доведіть нерівність: 1) ; 2) ; ; 4) . 3) 6.15. Доведіть нерівність: ; 2) ; 1) ; 4) . 3) 6.16. Порівняйте числа:

1)

і

; 2)

і

; 2)

і

.

6.17. Порівняйте числа: 1)

72

і

.

Нерівності

6.18. Доведіть нерівність: 1) a2 + 10а + 26 > 0; 2) 8а < а2 + 20.

6.19. Доведіть нерівність: 1) b2 – 4b + 7 > 0; 2) –2b < b2 + 2. 6.20. Нехай x – довільне число. Порівняйте з нулем значення виразу: 1) x2 + 5; 2) –(x – 1)2 – 3; 3) (x – 7)2; 4) –(x + 9)2; 5) 9 + (x – 1)2; 6) (x – 1)2 + (x – 2)2. 6.21. Доведіть, що: 1) , якщо ; , якщо a – додатне число.

2) 6.22. Доведіть, що: 1)

, якщо m I –1; , якщо p – додатне число.

2)

6.23. Доведіть нерівність: 1) ; 2) 3) 4)

; ;

. 6.24. Для кожного додатного значення a доведіть, що: 1) a3 + 2a2 + a > 0; 2) a3 + 1 I a2 + a; ; 4) a6 – a5 + a4 > 0. 3) 6.25. Для кожного від’ємного значення p доведіть, що: ; 2) . 1) 6.26. Доведіть, що: 1)

, якщо a і b – числа одного знака;

2)

J –1, якщо m і n – числа різних знаків.

6.27. Доведіть, що: 1)

, якщо a > 0, b > 0;

2)

J –2, якщо a < 0, b > 0.

6.28. Порівняйте значення виразів m3 + n3 і mn(m + n), якщо m і n – до­датні числа, m ≠ n. 6.29. До кожного із чисел 2, 3, 4, 5 додали одне й те саме число a. Порівняйте добуток першого й четвертого ви­разів, що утворилися, з добутком другого й третього.

73

ТЕМА 2

6.30. Дві школи закупили бейджики (badge) для перших класів на однакову суму грошей. Перша школа закупила на половину коштів бейджів по 4 грн, а на іншу половину – по 6 грн. Друга школа на всі кошти закупила бейджі по 5 грн. Яка зі шкіл закупила більше бейджів, якщо обидві школи витратили всі кошти?

6.31. Софія і Поліна купили однакову кількість зошитів. Софія всі зошити купила за ціною 30 грн, а Поліна – третину зошитів за ціною 24 грн, а решту – за ціною 32 грн. Котра з дівчат витратила на покупку менше грошей?

Вправи для повторення 6.32. Розв’яжіть рівняння: 1) 2x2 – 3x – 5 = 0; 2) 5x2 – 2x – 3 = 0. 6.33. Побудуйте графік функції: 1) y = 3x – 5; 2) y = 7; 3) y = –0,2x. 6.34. Трактористи мали зорати поле площею 40 га. Щодня вони орали на 1 га більше, ніж планували, а тому закін­чили оранку на 2 дні раніше визначеного терміну. За скільки днів трактористи зорали поле? 6.35. Обчисліть значення суми:

.

Життєва математика 6.36. Для будівництва гаража можна використати один із двох типів фундаменту: бетонний або з піноблоків. Для фундаменту з піноблоків потрібно 3 кубометри піноблоків та 6 мішків цементу. Для бетонного фундаменту потрібно 3 тонни щебеню і 30 мішків цементу. Кубометр піноблоків коштує 1560 грн, щебінь – 370 грн за тонну, а мішок цементу коштує 130 грн. Скільки коштуватиме матеріал, якщо вибрати найдешевший тип фундаменту?

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 6.37. Прочитайте запис: 1) a J 7; 2) b > –8; 3) x < –2; 4) m I 0; 5) –2 < x J 3; 6) 0 < p < 5; 7) 3 J c J 5; 8) –5 J y < 7. 6.38. Чи правильне твердження: 1) якщо a = b, то b = a; 2) якщо a = b, b = c, то a = c; 3) якщо a = b і p – будь-яке число, то a + p = b + p; 4) якщо a = b і p – будь-яке число, то a – p = b – p?

74

Нерівності

6.39. Порівняйте числа x та y, якщо: 1) x < 0, y > 0; 2) x I 0, y < 0; 3) x > 0, y J 0; 4) x J 0, y > 0.

Цікаві задачі – поміркуй одначе 6.40. Водійка планувала їхати з міста A в місто B зі швидкістю 60 км/год, а повертатися назад зі швидкістю 80 км/год. Та, повертаючись назад, проїхала половину шляху із запланованою швидкістю і зупинилася на ночівлю. Яка середня швидкість водійки за описаний проміжок часу?

§ 7. Основні властивості числових нерівностей 1. Властивості числових нерівностей та їхні наслідки Розглянемо властивості числових нерівностей.

Доведення. Оскільки а > b, то а – b > 0. Тоді –(а – b) < 0, але –(а – b) = b – а, тому b – а < 0. Отже, b < а. Аналогічні міркування можна провести, якщо а < b. 

Доведення. За умовою a > b і b > с. Тому а – b > 0 і b – с > 0, тобто a – b і b – с – додатні числа. Розглянемо різницю а – c. Маємо: a – c = a – c – b + b = (а – b) + (b – c) > 0 (оскільки a – b i b – с – додатні числа). Тому а > с.  Аналогічні міркуван­ня можна провести, якщо а < b і b < с. Геометричні ілюстрації до властивості 2 подано на малюн­ках 7.1 і 7.2.       Мал. 7.1 Мал. 7.2

Доведення. За умовою а > b, тому а – b > 0. Розгляне­мо різницю (а + р) – (b + р) та перетворимо її: (a + p) – (b + p) = a + p – b – p = a – b > 0. Тому а + р > b + р. 

75

ТЕМА 2

Доведення. Оскільки a > b + m, то а – (b + m) > 0, тобто а – b – m > 0. Але а – b – m = (а – m) – b, тому (а – m) – b > 0. Отже, а – m > b.  Із цього наслідку випливає:

Доведення. Нехай а > b, тоді а – b > 0. Розглянемо різницю ар – bр і перетворимо її: ар – bр = р(а – b). Якщо р > 0, то р(а – b) > 0, тому ар > bр; якщо р < 0, то p(а – b) < 0, тому ар < bр.  Оскільки ділення можна замінити множенням на число, обернене до дільника

, то аналогічна властивість справджується

і в разі ділення обох частин нерівності на відмінне від нуля число q. Отже,

Доведення. Поділимо ліву і праву частини нерівності а > b на додатне число ab. Матимемо: ;

76

, тобто

.

Нерівності

2. Застосування властивостей числових нерівностей до порівняння виразів Приклад 1.

Дано: m > n. Порівняти: 1) m + 1 і n + 1; 2) n – 5 і m – 5; 3) 1,7m і 1,7n;

4) –m і –n; 5) –10n і –10m; 6)

і

.

Розв’язання. 1) Якщо до обох частин правильної не­рів­ності m > n додамо число 1, то за властивістю 3 матимемо: m + 1 > n + 1. 2) Якщо до обох частин правильної нерівності m > n додамо число –5, то за властивістю 3 матимемо правильну нерівність m – 5 > n – 5, тобто n – 5 < m – 5 (властивість 1). 3) Якщо обидві частини правильної нерівності m > n помножимо на додатне число 1,7, то за властивістю 4 матимемо правильну нерівність 1,7m > 1,7n. 4) Якщо обидві частини правильної нерівності m > n помножимо на від’ємне число –1, то за властивістю 4 матимемо правильну нерівність –m < –n. 5) Якщо обидві частини правильної нерівності m > n помножимо на від’ємне число –10, то за властивістю 4 матимемо правильну нерівність –10m < –10n, тобто –10n > –10m (властивість 1). Записати розв’язання таких вправ можна й коротше: m > n | ∙ (–10) –10m < –10n; –10n > –10m. 6) Якщо обидві частини правильної нерівності m > n поділимо на додатне число 8, то за властивістю 4 матимемо правильну нерівність >

.

Відповідь: 1) m + 1 > n + 1; 2) n – 5 < m – 5; 3) 1,7m > 1,7n; 4) –m < –n; 5) –10n > –10m;  6)

>

.

3. Застосування властивостей числових нерівностей до подвійних числових нерівностей Нагадаємо, що в математиці трапляються також подвійні числові нерівності: , , , . На­приклад, подвійна нерівність a < b < c означає, що одночасно справджуються нерівності a < b і b < c. Оскільки a < b і b < c, то для будь-якого числа p за властивістю 3 справджуються нерівності: a + p < b + p і b + p < c + p, тобто a + p < b + p < c + p. Отже, якщо до всіх частин правильної подвійної нерівності додати одне й те саме число, то одержимо правильну подвійну нерівність.

77

ТЕМА 2

Міркуючи аналогічно, матимемо: якщо a < b < с і р > 0, то ар < bр < ср; якщо a < b < c і p < 0, то ар > bp > ср, тобто ср < bр < ар; якщо а, b, с – додатні числа і а < b < с, то

>

> , тобто

<

<

.

4. Оцінювання значення виразу Властивості числових нерівностей, які ми розглянули, можна вико­ристовувати для оцінювання значення виразу. Приклад 2.

Оцінити периметр квад­рата зі стороною а см, якщо 3,2 < а < 3,9. Розв’язання. Оскільки периметр Р квад­рата обчис­люють за формулою Р = 4а, то всі частини нерів­ності 3,2 < а < 3,9 помножимо на 4. Матимемо: 3,2 ⋅ 4 < 4а < 3,9 ⋅ 4, тобто 12,8 < Р < 15,6. Отже, периметр квад­рата більший за 12,8 см, але менший від 15,6 см. Відповідь: 12,8 < Р < 15,6.

Приклад 3.

1) 5)

Дано: 1 < x < 5. Оцінити значення виразу: ; 2) ; 3) ; 4) ;

; 6)

; 7)

; 8)

.

Розв’язання. Використаємо форму запису, запропоновану в завданні 5 прикла­ду 1. 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

78

Нерівності

Відповідь: 1) 3)

2) 4)

5)

6)

7)

8)

.

Сформулюйте й доведіть властивості числових нерівностей та наслідки з них. Наведіть приклади подвійних числових нерівностей. Сформулюйте властиво­ сті подвійних числових нерівностей.

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 7.1. Запишіть правильну нерівність, яку отримаємо, якщо: 1) до обох частин нерівності –2 < 5 додамо –5; 2) від обох частин нерівності 7 > 3 віднімемо 1; 3) обидві частини нерівності –2 < 9 помножимо на 3; 4) обидві частини нерівності –5 > –10 помножимо на –2; 5) обидві частини нерівності 8 > 4 поділимо на 2; 6) обидві частини нерівності 3 < 18 поділимо на –3.

7.2. Запишіть правильну нерівність, яку отримаємо, якщо: 1) до обох частин нерівності 7 > 5 додамо 8; 2) від обох частин нерівності 0 < 8 віднімемо 6; 3) обидві частини нерівності 12 > 4 помножимо на 3; на –1; 4) обидві частини нерівності 15 < 18 поділимо на 3; на –3. 7.3. (Усно.) Порівняйте x та у, якщо: 1) x < 5, 5 < у; 2) x > 2, 2 > у. 7.4. Покажіть на координатній прямій розташування точок, що відповідають числам a, b, с, d, е, якщо: а > b, b > с, d < с, а < е.

7.5. Відомо, що m > n, р < n, t > m. Порівняйте: 1) р і m; 2) р і t; 3) n і t. 7.6. Порівняйте число a з нулем, якщо: 1) а > b, ; 2) а < b, b < –2.

7.7. Порівняйте число x із нулем, якщо: 1) x < у, y J –3; 2) x > у, у > 5. 7.8. Відомо, що x > y. Яким знаком (> чи <) треба замінити «зірочку», щоб утворилася правильна нерівність: 1) х + 2 * у + 2; 2) x – 3 * у – 3; 3) 1,8х * 1,8у; 4) –х * –у; 5) –2,7х * –2,7у; 6)

*

?

7.9. Дано: a < b. Порівняйте: 1) а – 7 і b – 7; 2) а + 3 і b + 3; 3) 1,9а і 1,9b;

79

ТЕМА 2

4) –а і –b; 5) –0,8а і –0,8b; 6)

і

.

7.10. Відомо, що 1 < р < 2. Оцініть значення виразу:

1) р + 3; 2) р – 4; 3) 12р; 4)

; 5) –p; 6) –3р.

7.11. Відомо, що 2 < m < 10. Оцініть значення виразу: 1) m + 1; 2) m – 2; 3) 3m; 4)

; 5) –m; 6) –7m.

7.12. Порівняйте числа:

1)

і

, якщо а > 0, b > 0 і а < b;

2)

і

, якщо m > n, m і n – додатні числа.

7.13. Порівняйте числа:

1)

і

, якщо x > 5; 2)

і

, якщо 0 < b < 2.

і

, якщо с > 3.

7.14. Порівняйте числа: 1)

і

, якщо 0 < а < 9; 2)

7.15. Оцініть значення виразу

, якщо 10 < а < 20.

7.16. Оцініть значення виразу

, якщо 5 < x < 10.

7.17. Порівняйте число a з нулем, якщо: 1) a + 2 > b + 2 і ; 2) a – 3 < р – 3 і р < –0,7; . 3) 7a > 7x і x > 8; 4) –9a < –9b і

7.18. Порівняйте число x із нулем, якщо: 1) х – 5 < y – 5 і y < –1; 2) х + 7 > а + 7 і 3) 2x > 2р і р > 0,17; 4) –x > –t і t J –2,5.

;

7.19. Чи правильне твердження:

1) якщо a > 5, то

<

; 2) якщо a < 5, то

>

?

7.20. Відомо, що x > у. Порівняйте, якщо це можливо: 1) x + 2 і у; 2) у – 3 і х; 3) –x + 1 і –у + 1; 4) –x і –y + 8; 5) –(x + 1) і –y; 6) x – 1 і у + 2.

7.21. Відомо, що а < b. Порівняйте, якщо це можливо: 1) а – 2 і b; 2) b + 3 і а; 3) –а + 2 і –b + 2; 4) –b – 7 і –а; 5) –а і –(b + 3); 6) а + 3 і b – 1.

80

Нерівності

7.22. Відомо, що 1,2 < x < 1,5. Оцініть значення виразу:

1) 2х + 0,7; 2) 5 – х; 3)

– 1; 4) 2 – 10х.

7.23. Відомо, що 0,8 < а < 1,2. Оцініть значення виразу: 1) 3а – 0,2; 2) 4 – а; 3)

+ 3; 4) 10 – 5а.

7.24. Оцініть значення виразу:

1)

, якщо 2 < а < 5; 2)

, якщо –1 < а < 2.

7.25. Оцініть значення виразу: 1)

, якщо 5 < х < 10; 2)

, якщо 2 < x < 4.

7.26. Ділянка землі має форму рівностороннього трикутника, периметр якого дорівнює P м. Оцініть сторону a (у м), якщо 126 < P < 150.

7.27. Маса чотирьох однакових мішків із цукром дорівнює m кг. Оцініть масу p (у кг) одного такого мішка, якщо 192 < m < 204. 7.28. Порівняйте x та у, якщо: 1) x + 2 > m > у + 3; 2) х – 2 < р < у – 3.

7.29. Порівняйте а і b, якщо: 1) a + 3 < c < b + 2; 2) a – 7 > d > b – 5. 7.30. Відомо, що 1 < а < 2. Оцініть значення виразу

.

7.31. Відомо, що 2 < b < 5. Оцініть значення виразу 7.32. Дано –2 < x < 2. Оцініть значення виразу

.

.

Вправи для повторення 7.33. Виконайте дії:

1)

; 2)

3)

; 4)

; .

7.34. Розв’яжіть рівняння:

1)

; 2)

.

81

ТЕМА 2

7.35. Доведіть, що значення виразу

кратне числу 31.

7.36. Відомо, що x1 та х2 – корені рівняння розв’язуючи рівняння, знай­діть значення виразу

.

0. Не

Життєва математика 7.37. Незалежна експертна лабораторія визначає рейтинг R побутових приладів на підставі коефіцієнта цінності, у якому враховують 0,01 від середньої ціни P, показники функціональності F, якості Q та дизайну D. Кожен із показників оцінюють цілим числом від 0 до 4. Підсумковий рейтинг обчислюють за формулою . У таблиці подано середню ціну та оцінку кожного з показників для кількох моделей блендерів. Визначте моделі з найвищим і найнижчим рейтингами серед тих, які подано в таблиці. Модель блендера А Б В Г

Середня ціна, Функціональність, Р (грн) F 2800 3 3000 3 3150 4 3400 4

Якість, Q 2 3 2 3

Дизайн, D 4 3 4 2

Додаткове завдання. Спробуйте розв’язати задачу, використовуючи електронні таблиці, наприклад Excel.

Цікаві задачі – поміркуй одначе 7.38. 1) Пригадайте алгебраїчні поняття та впишіть їх у рядки кросворда, деякі літери до якого вже внесено. Якщо назви понять запишете правильно, то у виділеному стовпчику отримаєте назву гори – найвищої точки України, а з літер у зафарбованих клітинках можна буде скласти назву річки, що протікає територією України. Знай­діть ці назви. 2) Користуючись додатковими джерелами інформації, зокрема інтернетом, знай­діть відомості про ці географічні об’єкти.

Ф Б Н Ь І М С

82

Нерівності

§ 8. Почленне додавання і множення числових нерівностей 1. Почленне додавання числових нерівностей Продовжимо розглядати властивості нерівностей. Нехай маємо дві правильні нерівності одного й того самого знака: 2 < 5 і 3 < 7. Додамо їхні ліві частини, їхні праві частини й між результатами запишемо той самий знак: 2 + 3 < 5 + 7. Отрима­ємо правильну числову нерівність, адже, справді, 5 < 12. Дію, яку ми виконали, називають почленним додаванням нерівностей. Заува­жимо, що почленно додавати можна лише нерівності одного знака.

Доведення. До обох частин нерівності a < b додамо число c, а до обох частин нерів­ності c < d – число b, отримаємо дві правильні нерівності: a + c < b + c і c + b < d + b, тому a + c < b + d.  Аналогічно можна довести, якщо a > b і c > d, то a + c > b + d. Зауважимо, що властивість 5 справджується і для більш ніж двох нерівностей. Приклад 1.

Сторони деякого трикутника дорівнюють a см, b см і c см. Оцінити периметр трикутника P (у см), якщо 2,1 < a < 2,3; 2,5 < b < 2,7; 3,1 < c < 3,5. Розв’язання. Наведемо скорочений запис розв’язан­ня:

Отже, 7,7 < P < 8,5. Відповідь: 7,7 < P < 8,5.

2. Почленне множення числових нерівностей Аналогічна до почленного додавання двох і більше нерівностей властивість справджується і для множення. Почленно помноживши правильні нерівності 2 < 7 і 3 < 4, одержимо правильну нерівність 2 ⋅ 3 < 7 ⋅ 4, адже 6 < 28. Якщо почленно помножити правильні нерівності –2 < –1 і 2 < 8, то одержимо –4 < –8 – неправильну нерівність. Зауважимо, що в першому випадку обидві частини нерівностей були додатними (2 і 7; 3 і 4), а у другому – деякі були від’ємними (–2 і –1).

83

ТЕМА 2

Доведення. Помножимо обидві частини нерівності a < b на додатне число c, а обидві час­тини нерівності c < d – на додатне число b, одержимо дві правильні нерівності: ac < bc і bc < bd. Тоді ac < bd (за властивістю 2).  Аналогічно можна довести, якщо a > b і c > d, де a, b, c, d – додатні числа, то ac > bd. Зауважимо, що властивість 6 справджується і для більш ніж двох нерівностей.

Доведення. Перемноживши почленно n правильних нерів­ностей a < b, де a і b – додатні числа, отримаємо an < bn. 

3. Оцінювання значень виразів За допомогою властивостей, які ми розглянули, можна оцінювати суму, різницю, добуток і частку чисел. Приклад 2.

Дано: 10 < a < 12, 2 < b < 5. Оцінити: 1) суму a + b; 2) добуток ab; 3) різницю a – b; 4) частку

Розв’язання. 1)

.

2)

3) Щоб оцінити різницю a – b, подамо її у вигляді суми a – b = a + (–b) та оцінимо спочатку вираз –b. Оскільки 2 < b < 5, то, помноживши обидві частини нерівності на число –1 і змінивши знаки нерівності на протилежні, матимемо –2 > –b > –5, тобто –5 < –b < –2. Отже,

4) Щоб оцінити частку

, подамо її у вигляді добутку:

Оцінимо вираз . Якщо 2 < b < 5, то

, тобто

Отже,

Відповідь: 1) 12 < a + b < 17; 2) 5 < a – b < 10; 3) 20 < ab < 60; 4) 2 <

84

< 6.

. .

Нерівності

4. Застосування властивостей до доведення нерівностей За допомогою властивостей, які ми розглянули, можна також доводити нерівності. Приклад 3.

, якщо x > 0, y > 0.

Довести, що

Доведення. Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність між середнім арифметичним і середнім геомет­ричним (нерівність Коші). Матимемо: і

.

Обидві частини кожної із цих нерівностей за властивістю 4 помножимо на 2, отримаємо: і

.

Перемножимо ці нерівності почленно:

Отже,

.

Що мають на увазі під почленним додаванням нерівностей? Сформулюйте й доведіть властивість про почленне додавання нерівностей. Що мають на увазі під Сформулюйте й доведіть властивість про почленним множенням нерівностей? почленне множення нерівностей. Сформулюйте наслідок із властивості про почленне множення нерівностей.

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 8.1. Додайте почленно нерівності: 1) 3 < 9 і 10 < 14; 2) –2 > –5 і 3 > 0.

8.2. Додайте почленно нерівності: 1) 8 > 3 і 10 > 7; 2) –3 < –1 і –5 < 1. 8.3. Перемножте почленно нерівності: 1) 3 > 1 і 5 > 2; 2) 7 < 10 і 2 < 5.

85

ТЕМА 2

8.4. Перемножте почленно нерівності: 1) 5 < 7 і 1 < 10; 2) 7 > 3 і 5 > 1. 8.5. (Усно.) Чи отримаємо правильну нерівність, перемноживши почленно нерівності: 1) –2 < –1 і 5 < 17; 2) 0 > –3 і 1 > –5? 8.6. Оцініть значення виразу a + b, якщо: 1) –3 < a < 5 і 0 < b < 7; 2) 2 < a < 7 і –10 < b < –8. 8.7. Оцініть значення виразу m + n, якщо: 1) 3 < m < 7 і 0 < n < 2; 2) –3 < m < –2 і –5 < n < –1. 8.8. Оцініть значення виразу xy, якщо: 1) 1 < x < 2 і 5 < y < 10; 2) 3 < x < 4,5 і 1 < y < 10. 8.9. Оцініть значення виразу cd, якщо: 1) 2 < c < 10 і 1,5 < d < 2,5; 2) 8.10. Відомо, що 1,4 <

< 1,5; 2,2 <

< c < 1 і 3 < d < 8. < 2,3. Оцініть:

+ ; 2) . 1) 8.11. 1) Оцініть значення виразу 3a + b, де –1 < a < 10, 2 < b < 16. 2) Найбільше ціле значення виразу вкаже кількість перемог, які здобув український боксер Віталій Кличко за роки професійної кар’єри. 8.12. 1) Оцініть значення виразу 2x + y, де –2 < x < 1, 2 < y < 7. 2) Найбільше ціле значення виразу вкаже кількість медалей, які здобула жіноча збірна України із шахів на всесвітніх шахових олімпіадах. 8.13. Оцініть значення виразу p2, якщо 2 < p < 3. 8.14. Оцініть значення виразу m2, якщо 1 < m < 5. 8.15. Відомо, що x > 3, y > 4. Чи правильне твердження: 1) x + y > 7; 2) x + y > 6; 3) x + y > 8; 4) xy > 12; 5) xy > 13; 6) xy > 10? 8.16. Відомо, що x < 3, y < 4. Чи можна стверджувати, що xy < 12? 8.17. Відомо, що –3 < x < 4, 1 < y < 4. Оцініть значення ви­разу: 1) x – y; 2) 3x – y; 3) 2y – x; 4) 2x – 3y.

8.18. Відомо, що –2 < a < 0, 3 < b < 5. Оцініть значення виразу: 1) a – b; 2) 2a – b; 3) 3b – a; 4) 4a – 5b. 8.19. Дано: 5 < a < 10, 1 < b < 2. Оцініть значення виразу: 1)

86

; 2)

.

Нерівності

8.20. Дано: 2 < x < 4, 1 < y < 5. Оцініть значення виразу: 1)

; 2)

.

8.21. Поле має форму прямокутника зі сторонами a км і b км. Оцініть периметр P поля, якщо 2,3 < a < 2,5, 3,1 < b < 3,7.

8.22. Уляна вирізала елемент одягу для ляльки-мотанки, що має форму рівнобедреного трикутника з основою x см і бічною стороною y см. Оцініть, скільки тасьми (у см) знадобиться дівчині, щоб обшити цей елемент одягу, якщо 10 < x < 12, 9 < y < 11. 8.23. Оцініть міру кута A трикутника ABC, якщо 50° < ∠ B < 52°, 60° < ∠ C < 65°. 8.24. Дано: a > 4, b < –3. Доведіть, що: 1) a – b > 7; 2) 2a – b > 11; 3) 5b – a < –19; 4) 6b – 11a < –60.

8.25. Дано: m > 6, n < –1. Доведіть, що: 1) m – n > 7; 2) 3m – n > 13; 3) 2n – m < –8; 4) 4n – 5m < –34. 8.26. Доведіть нерівність: 1) (x3 + y)(x + y3) I 4x2y2, якщо x I 0, y I 0; , якщо m I 0, n I 0, p I 0; 2) (m + 6)(n + 3)(p + 2) I 48 3) (a + 1)(b + 1)(c + 1) > 32, якщо a > 0, b > 0, c > 0 і abc = 16. 8.27. Доведіть нерівність: 1) (mn + 1)(m + n) I 4mn, якщо m I 0, n I 0; 2) (a + 2c)(b + 2a)(c + 2b) I 16 abc, якщо a I 0, b I 0, c I 0; 3) (x + 3)(y + 3)(z + 3) > 72, якщо x > 0, y > 0, z > 0 і xyz = 3. 8.28. Доведіть нерівність: 1)

, якщо x > 0, y > 0; , якщо x > 0, y > 0.

2)

8.29. Маса однієї цукерки з білого шоколаду дорівнює m1 г, а із чорного – m2 г. Пакет містить 10 цукерок з білого шоколаду і 12 – із чорного. Оцініть (у г) масу M п’яти таких пакетів, якщо маса самого пакета 5 г і 24,5 < m1 < 25,2, 26 < m2 < 26,5.

Вправи для повторення 8.30. Виконайте дії:

1)

; 2)

.

87

ТЕМА 2

8.31. Після того як змішали 6-відсотковий і 3-відсотковий розчини солі, отримали 300 г 4-відсоткового розчину. По скільки грамів кожного розчину змішали? 8.32. Обчисліть:

.

8.33. Побудуйте графік функції

.

Життєва математика 8.34. 1) Олена Семенівна придбала американський позашляховик, спідометр якого показує швидкість у милях за годину. Американська миля дорівнює 1609 м. Знайдіть швидкість позашляховика в кіломет­рах за годину в момент, коли спідометр показує 60 миль за годину. Відповідь округліть до десятих км/год. 2) Щоб спростити обчислення, Олена Семенівна для визначення швидкості в км/год вирішила множити показники спідометра на число 1,6. Знайдіть абсолютну похибку (у км/год) такого обчислення, якщо спідометр показує 70 миль за годину.

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 8.35. Чи є число 2 розв’язком рівняння: 1) 2x – 1 = 5; 2) x2 + x = 6; 3) 3x – 7 = –1; 4) x2 + x + 9 = 2x + 7;

5) x3 + x2 + x = 14; 6)

?

8.36. Чи правильна нерівність 25 – x > 20, якщо x = –5; 3; 5; 11? 8.37. До кожної нерівності доберіть два таких значення x, щоб для кожного з них вона була правильною: 1) x I 5; 2) x < –2; 3) x + 7 > 9; 4) x – 3 J 0; 5) 2x I 9; 6) –3x < –12. 8.38. Які із запропонованих виразів є додатними для всіх значень змінної, а які – невід’ємними: 1) x2; 2) (x – 3)2 + 1; 3) (x + 5)2; 4) (x + 7)2 + 11?

Цікаві задачі – поміркуй одначе 8.39. (Українська математична олімпіада, 1962 р.). Знай­діть значення виразу a3 + b3 + 3(a3b + ab3) + 6(a3b2 + a2b3), де a і b – корені рівняння x2 – x + q = 0.

88

Нерівності

§ 9. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності Розглянемо нерівність 2x + 1 > 11. Це нерівність зі змінною. За одних значень змінної x вона перетворюється на пра­вильну числову нерівність, а за інших – на неправильну. Справді, якщо замість x підставити, наприклад, число 8, то матимемо нерівність 2 ⋅ 8 + 1 > 11, що є правильною, якщо підставити число 4, то матимемо нерівність 2 ⋅ 4 + 1 > 11, що є неправильною. У такому разі кажуть, що число 8 є розв’язком нерівності 2x + 1 > 11 (або число 8 задовольняє нерівність 2x + 1 > 11), а число 4 – не є розв’язком цієї нерівності (або число 4 не задовольняє нерівність 2x + 1 > 11). Також розв’язками нерівності 2x + 1 > 11 є, наприклад, числа 34; 5,5;

;7

тощо.

Розв’язком нерівності Розв’язати нерівність

Приклад.

Розв’язати нерівності:

1)

; 2)

.

Розв’язання. 1) набуває невід’ємних значень для всіх x I 0, при= 0 тоді й тільки тоді, якщо x = 0. Отже, розв’язком нерівчому ності є будь-яке додатне число, тобто x > 0. для будь-якого значення x, то x2 + 1 > 0 2) Оскільки для будь-якого x. Тому значення виразу для будь-якого x. Отже, нерівність

також є додатним є неправильною для

кожного значення x, тобто не має розв’язків. Відповідь: 1) x > 0; 2) нерівність не має розв’язків. Наведіть приклад нерівності з однією змінною. Що називають розв’язком нерівності з однією змінною? Що означає розв’язати нерівність?

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 9.1. (Усно.) Чи є розв’язком нерівності x > 3 число: 1) –2; 2) 5; 3) 2,7; 4) 0; 5) 3,01; 6) 17?

89

ТЕМА 2

9.2. Чи є розв’язком нерівності x < 7 число: 1) 8; 2) –2; 3) 0; 4) 4,7; 5) 8,1; 6) 13? 9.3. Запишіть три будь-яких розв’язки нерівності x J –2.

9.4. Запишіть три будь-яких розв’язки нерівності x I 4. 9.5. Які із чисел є розв’язками нерівності x2 + 3x J 3 + x: 1) 2; 2) 0; 3) –4; 4) 1; 5) 3; 6) –3?

9.6. Які із чисел є розв’язками нерівності x2 + 4x I 6 + 3x: 1) 4; 2) 0; 3) –3; 4) 1; 5) 2; 6) –1? 9.7. Запишіть два будь-яких розв’язки нерівності

.

9.8. Запишіть два будь-яких розв’язки нерівності

. < x J 19.

9.9. Знай­діть усі натуральні розв’язки нерівності 15 9.10. Знай­діть усі цілі розв’язки нерівності

9.11. Знай­діть усі цілі розв’язки нерівності

< –8. .

9.12. Розв’яжіть нерівність: 1) x2 > 0; 2) –x2 < 0; 3) x2 I 0; 4) x2 J 0; 5) (x – 1)2 > 0; 6) (x – 1)2 I 0; 7) (x – 1)2 < 0; 8) (x – 1)2 J 0; 9) x2 + 9 < 0.

9.13. Розв’яжіть нерівність: 1) (x + 2)2 I 0; 2) (x + 2)2 > 0; 3) (x + 2)2 < 0; 4) (x + 2)2 J 0; 5)

+ 13 < 0; 6) x2 + 5 I 0.

9.14. Розв’яжіть нерівність:

1)

; 2)

; 3)

;

4)

; 5)

; 6)

.

9.15. Розв’яжіть нерівність:

90

1)

; 2)

; 3)

;

4)

; 5)

; 6)

.

Нерівності

Вправи для повторення 9.16. Спростіть вираз:

)2 – 6 ; 2) ( 1) (3 + 9.17. Доведіть тотожність:

–

)2 – 9.

. 9.18. Побудуйте графік рівняння |x – y| = 3.

Життєва математика 9.19. Діагональ екрана телевізора дорівнює 48 дюймів. Запишіть довжину діагоналі екрана в сантиметрах, якщо в одному дюймі 2,54 см. Результат округліть до цілого числа сантиметрів.

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 9.20. Де на координатній прямій містяться числа, якщо вони: 1) більші за число 5; 2) менші від числа 3; 3) більші за число 5, але менші від числа 9? 9.21. Укажіть кілька значень змінної, які задовольняють нерівність: 1) x < –2; 2) x > 3; 3) –2 J x J 3; 4) –2 < x < 3. 9.22. Між якими цілими числами міститься число:

; 2) ; 3) ; 4) ? 1) 9.23. Укажіть елементи множини: 1) A = {4; 7; 10}; 2) B = {{; }; !}. 9.24. 1) Наведіть приклади скінченних множин та нескінченних множин. 2) Як називають множину дійсних розв’язків рівняння |x| = –4? 9.25. Назвіть спільні елементи множин A = {1; 3; 5; 7} і B = {2; 3; 4; 5}.

Цікаві задачі – поміркуй одначе 9.26. Першу половину шляху пішохід рухався зі швидкістю, на 25 % більшою від запланованої. На скільки відсотків меншою від запланованої може бути тепер його швидкість на другій половині шляху, щоб прибути до пункту призначення вчасно?

§ 10. Числові проміжки 1. Поняття про числовий проміжок Множину розв’язків нерівності зручно записувати за до­помогою числових проміжків.

91

ТЕМА 2

Приклад 1.

Розглянемо подвійну нерівність з однією змін­ною –4 < x < 1. Цю нерівність задовольняють усі числа, які більші за –4 і менші від 1, тобто ті числа, що на координатній прямій містяться між числами –4 і 1. Множину всіх чисел, що задовольняють нерівність –4 < x < 1, називають числовим про­міжком, або просто проміжком, від –4 до 1 і позначають: (–4; 1) (читають: «проміжок від –4 до 1»). Щоб показати на координатній прямій мно­жину всіх чисел, що належать про­міжку (–4; 1), його виділяють штриховкою, як по­ казано на малюнку 10.1. При цьому точки –4 і 1 зображують «порожніми» Мал. 10.1 або «виколотими».

Число –1 задовольняє нерівність –4 < x < 1, а число 2 її не задовольняє. У такому разі кажуть, що число –1 належить проміжку (–4; 1), а число 2 йому не належить (мал. 10.2). Отже, кожне число, що задовольняє нерівність –4 < x < 1, належить проміжку (–4; 1), і, навпаки, кожне число, що належить проміжку (–4; 1), задовольняє нерівність –4 < x < 1. Мал. 10.2 Подвійну нерівність –4 J x J 1 задовольняють не тільки всі числа, які більші за –4 і менші від 1, а й самі числа –4 і 1. Множину цих чисел позначають [–4; 1] (читають: «про­міжок від –4 до 1, включаючи –4 і 1»). У такому разі на координатній прямій виділяють проміжок між числами –4 і 1 разом із Мал. 10.3 цими числами (мал. 10.3).

Приклад 2.

Приклад 3.

Множину чисел, що задовольняє подвійну не­рівність –4 J x < 1, позначають: [–4; 1) (читають: «проміжок від –4 до 1, включаючи –4»). Цей проміжок зображено на малюнку 10.4.

Мал. 10.4

Приклад 4.

Множину чисел, що задовольняє подвійну не­рівність –4 < x J 1, позначають: (–4; 1] (читають: «проміжок від –4 до 1, включаючи 1»). Цей проміжок зображено на ма­люнку 10.5.

Приклад 5.

Мал. 10.5

Нерівність x > 2 задовольняють усі числа, які більші за 2, тобто ті числа, що на координатній прямій лежать праворуч від числа 2. Множину цих чисел позначають (2; +u) (читають: «проміжок від 2 до плюс нескінченності») і зображують променем, що виходить із «порожньої» точки з координатою 2 (мал. 10.6).

Мал. 10.6

92

Нерівності

Нерівність x I 2 задовольняють усі числа, які більші за 2, і саме число 2. Множину цих чисел позначають [2; +u) (читають: «проміжок від 2 до плюс нескінченності, включаючи 2») і зображують променем, що лежить праворуч від точки з координатою 2, включаючи цю точку (мал. 10.7). Мал. 10.7

Приклад 6.

Приклад 7.

Множину чисел, що задовольняють умову x < 4, записують так: (–u; 4) (читають: «проміжок від мінус нескінченності до 4»). Множину зображено на малюнку 10.8.

Мал. 10.8

Приклад 8.

Множину чисел, що задовольняють умову x J 4, записують так: (–u; 4] (читають: «проміжок від мінус нескінченності до 4, включаючи 4»), її зображено на малюнку 10.9.

Мал. 10.9

Отже, якщо кінець проміжка включається у проміжок (наприклад, коли нерівність нестрога), то біля цього кінця записують квад­ратну дужку, в усіх інших випадках записують круглу дужку. Множину всіх чисел зображають усією координат­ною прямою та позначають проміжком (–u; +u). Множину, яка не міс­тить жодного числа, позначають ∅ і називають порожньою множиною.

2. Операції над числовими проміжками Над числовими проміжками можна виконувати певні дії (операції). Розглянемо дві з них: перетин та об’єднання. Перетин записують за допомогою символа ∩.

Приклад 9.

[–2; 4) ∩ [0; 6] = [0; 4) (мал. 10.10).

Мал. 10.10 Мал. 10.11

Зауважимо, що перетин проміжків не завжди є проміжком. Це може бути і точка, і порожня множина. Приклад 10. Проміжки (2; 3) і [4; 6) не мають спільних точок

(мал. 10.11), тому їх перетином є порожня множи­на. Записати це можна так: (2; 3) ∩ [4; 6) = ∅.

93

ТЕМА 2

Приклад 11. Проміжки [–1; 5] і [5; 12] мають лише одну спільну точ-

ку (мал. 10.12). Записують це так: [–1; 5] ∩ [5; 12] = {5}.

Мал. 10.12

Об’єднання записують за допомогою символа ∪. Приклад 12. [–2; 4) ∪ [0; 6] = [–2; 6] (мал. 10.13).

Мал. 10.13

Зауважимо, що об’єднання проміжків не завжди є проміжком. Наприклад, множина (2; 3) ∪ [4; 6) не є проміжком (мал. 10.11). Наведіть приклади числових проміжків різних видів, запишіть їх та зобразіть на координатній прямій. Що називають перетином числових проміжків? Що називають об’єднанням числових проміжків?

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 10.1. Зобразіть на координатній прямій проміжок: 1) (–2; 1); 2) (–4; 2]; 3) [1; 5); 4) [3; 7]; 5) (–u; 3); 6) [4; +u); 7) (–u; 0]; 8) (5; +u).

10.2. Зобразіть на координатній прямій проміжок: 1) [4; 6); 2) (–1; 7); 3) [3; 4]; 4) (0; 2]; 5) (–3; +u); 6) (–u; 4]; 7) [0; +u); 8) (–u; –1). 10.3. Запишіть проміжки, які зображено на малюнках 10.14–10.17.     Мал. 10.14 Мал. 10.15

Мал. 10.16 Мал. 10.17

94

Нерівності

10.4. Запишіть проміжки, які зображено на малюнках 10.18–10.21.     Мал. 10.18 Мал. 10.19

Мал. 10.20 Мал. 10.21

10.5. Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задано нерівністю: 1) x > 3; 2) x J –8; 3) x I –1;

4) x < 2; 5) 1,8 J x < 2; 6) 2,5 J x J

;

7) 3,9 < x < 4; 8) 7 < x J 7,01. 10.6. Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задано нерівністю: 1) x I 5; 2) x < 4,5; 3) 1,8 J x < 5; 4) 1,9 < x < 4. 10.7. (Усно.) Чи належить проміжку [–1,01; 1,02] число: 1) –1,1; 2) 0,9; 3) 1,03; 4) –1,11; 5) 1,015; 6) –1,009? 10.8. Запишіть усі цілі числа, що належать проміжку: 1) (–2; 1); 2) [–1,8; 2]; 3) (3; 4); 4) (–2,6; 1,6). 10.9. Які натуральні числа належать проміжку: ); 3) (–3; 0,7]; 4) [2; 3,99)? 1) (–0,1; 4,9]; 2) [1; 10.10. Запишіть два додатних і два від’ємних числа, що нале­жать проміжку: 1) (–2; 7); 2) [–1; 1]. 10.11. Знай­діть найменше ціле число, що належить проміжку: 1) (0; 8); 2) (–5; 2); 3) [4; 7); 4) (0,5; +u). 10.12. Знай­діть найбільше ціле число, що належить проміжку: 1) (–2; 9); 2) (–u; 4,5); 3) [0; 17,2]; 4) (–1; 0,99). 10.13. 1) Знайдіть найбільше і найменше натуральні числа, що ). належать проміжку [ ; 2) Знайдіть добуток цих чисел, відтак дізнаєтеся, скільки медалей Паралімпійських ігор має українка Олена Юрковська. 10.14. Чи належить проміжку (1,6; 4,5] число: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

?

95

ТЕМА 2

10.15. Чи належить проміжку [2,5; 6,1) число: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 10.16. Зобразіть проміжки на координатній прямій і запишіть їх пере­тин: 1) [–2; 3) і [0; 4]; 2) [–5; 4] і (–2; 1); 3) (–u; 2) і (–u; 3]; 4) (–u; 4) і [0; +u); 5) [2; 3) і (2; 8); 6) (–2; 1) і (2; 5). 10.17. Зобразіть проміжки на координатній прямій і запишіть їх пере­тин: 1) (–1; 8) і (0; 9); 2) (–2; 4] і [1; 2); 3) (–u; 1) і (–2; 3); 4) [1; 5) і [6; +u). 10.18. Зобразіть проміжки на координатній прямій і запишіть їх об’єднання: 1) (–3; 1) і (0; 4]; 2) [0; 1) і [–2; 1]; 3) [3; 8) і [4; 5]; 4) (–u; 3) і [2,8; 4); 5) [1; 3) і [3; 5]; 6) (0; 1] і (2; +u). 10.19. Зобразіть проміжки на координатній прямій і запишіть їх об’єд­ нання: 1) [–2; 3) і (2; 5]; 2) (2; 4) і [2; 10); 3) (–u; 0) і [0; 1]; 4) (–u; 4) і (3; +u).

Вправи для повторення 10.20. Скоротіть дріб:

1)

; 2)

.

10.21. Доведіть нерівність (x + 5)(x – 9) < (x – 2)2. 10.22. На перегоні 120 км завдовжки поїзд рухався зі швидкістю на 10 км/год меншою, ніж зазвичай за роз­кладом, тому запізнився на 24 хв. З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом? 10.23. Знай­діть значення виразу

, якщо

.

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 10.24. Знайдіть корені лінійного рівняння: 1) ; 2) ; 3) ; 5) ; 6) 4)

; .

10.25. Розв’яжіть рівняння: 1) ; 2)

3)

96

; 4)

; .

Нерівності

10.26. Чи є рівносильними рівняння:

1)

та

; 2)

та

?

Життєва математика 10.27. На малюнку зображено графік процесу розігрівання двигуна легкового автомобіля. На осі абсцис відкладено час у хвилинах, що минув від запуску двигуна, на осі ординат – температуру двигуна у градусах Цельсія. За графіком визначте: 1) на якій хвилині температура двигуна досягла значення 60 °С; 2) скільки хвилин двигун нагрівався від температури 40 °С до температури 90 °С; 3) скільки хвилин двигун охолоджувався від температури 90 °С до температури 80 °С; 4) на скільки градусів нагрівся двигун за перші три хвилини.

Цікаві задачі – поміркуй одначе 10.28. Розв’яжіть рівняння:

.

§ 11. Лінійні нерівності з однією змінною. Рівносильні нерівності 1. Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язування

лінійними нерівностями з однією

97

ТЕМА 2

Якщо a ≠ 0, то обидві частини нерівності можна поділити на a, урахувавши при цьому властивість числових нерівностей, тобто якщо a > 0, то знак нерів­ності залишаємо без змін; якщо a < 0, то знак нерівності змінюємо на протилежний. Приклад 1.

Розв’язати нерівність: 1) 2x I 18; 2) –3x > –15. Розв’язання. 1) Поділивши обидві частини нерів­ності на 2, отримаємо: x I 9. Отже, розв’язком нерівності є проміжок [9; +u). 2) Поділивши обидві частини нерівності на –3 та змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, отримаємо: x < 5, тобто x ∈ (–u; 5). Відповідь: 1) [9; +u); 2) (–u; 5). Зауважимо, що відповідь можна було записати й так: 1) x I 9; 2) x < 5.

2. Рівносильні нерівності. Властивості нерівностей зі змінними рівнорівно-

сильними сильними

Для нерівностей зі змінними справджуються властивості, подібні до тих, що справджуються і для рівнянь:

3. Розв’язування нерівностей, що зводяться до лінійних Щоб розв’язати рівняння, ми зводимо його до рівносильного йому простішого рівняння. Аналогічно, користуючись властивостями нерівностей, можна розв’язу­вати й нерівності, замінюючи їх простішими нерівностями, їм рівносильними.

98

Нерівності

Приклад 2.

Розв’язати нерівність

.

Розв’язання. Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник дробів – число 6, далі спростимо її ліву частину та перенесемо доданки зі змінною в ліву частину нерівності, а без змінної – у праву. ; 3(x + 2) – 2(x + 6) I x; 3x + 6 – 2x – 12 I x; 3x – 2x – x I 12 – 6; 0x I 6. Отримали нерівність, рівносильну початковій. Вона не має розв’яз­ ків, оскільки за будь-якого значення x ліва частина нерівності дорівнюватиме нулю, а нерів­ність 0 I 6 є неправильною. Відповідь: розв’язків немає. Приклад 3.

Розв’язати нерівність (x + 3)2 – x2 < 6x + 10. Розв’язання. Розкривши дужки, маємо: x2 + 6x + 9 – x2 < 6x + 10; 6x – 6x < 10 – 9; 0x < 1. Остання нерівність рівносильна початковій і є правильною за будьякого значення x, оскільки за будь-якого значення x її ліва частина дорівнюватиме нулю, а нерівність 0 < 1 є правильною. Отже, розв’язком нерівності є будь-яке число, тобто множиною розв’язків є проміжок (–u; +u). Відповідь: (–u; +u). З прикладів 2 і 3 можна дійти висновку, що

Приклад 4.

Для будь-якого значення m розв’язати нерів­ність mx – m2 < x – 1, де x – змінна. Розв’язання. Перенесемо доданки, що містять змін­ну, у ліву частину нерівності, інші – у праву частину, щоб звести нерівність до вигляду лінійної: mx – x < m2 – 1; (m – 1)x < m2 – 1. Значення виразу m – 1 для різних значень m може бути додатним, від’ємним або нулем, тому розглянемо кожен із цих випадків окремо: 1) m – 1 > 0; 2) m – 1 = 0; 3) m – 1 < 0.

99

ТЕМА 2

1) Якщо m – 1 > 0, тобто m > 1, то, поділивши ліву і праву частини нерівності на додатне число m – 1, матимемо: ; ; x < m + 1. 2) Якщо m – 1 = 0, тобто m = 1, отримаємо нерівність 0 ⋅ x < 0, яка розв’язків не має. 3) Якщо m – 1 < 0, тобто m < 1, то, поділивши ліву і праву частини нерівності на від’ємне число m – 1 і змінивши знак нерівності на протилежний, отримаємо: ; x > m + 1. Відповідь: якщо m < 1, то x > m + 1; якщо m = 1, то розв’язків немає; якщо m > 1, то x < m + 1. Які нерівності називають лінійними нерівностями з однією змінною? Наведіть приклади таких нерівностей. Які нерівності називають рівносильними? Сформулюйте властивості нерівностей, які ви­користо­вують для розв’язування нерівностей. Що можна ска­зати про розв’язки нерівностей вигляду 0x > b; 0x I b; 0x < b; 0x J b?

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 11.1. (Усно.) Які з нерівностей є лінійними:

1)

x > –5; 2) 2x2 – 3 I 0; 3) –3x J 6; 4)

< 3?

11.2. (Усно.) Чи рівносильні нерівності: 1) 2x – 7 > 4 і 2x > 4 + 7; 2) 3x > 9 та x < 3?

11.3. Чи рівносильні нерівності: 1) 3x + 2 > 5 і 3x > 5 + 2; 2) 5x J 10 та x J 2? 11.4. Розв’яжіть нерівність і зобразіть множину її розв’язків на координатній прямій: 1) x + 7 I 3; 2) x – 5 < 2; 3) x + 9 J –17; 4) x – 7 > –8. 11.5. Розв’яжіть нерівність і зобразіть множину її розв’язків на координатній прямій: 1) x – 5 J 6; 2) x + 7 > –9; 3) x – 7 I 12; 4) x + 7 < –5. 11.6. Знай­діть розв’язки нерівності: 1) 4x > 8; 2) 8x J 72; 3) –9x I –63; 4) –x < 5; 5) 5x I 11; 6) 6x < 1,2; 7) –18x > –27; 8) –3x J 0.

100

Нерівності

11.7. Розв’яжіть нерівність: 1) 6x > 12; 2) 7x < 42; 3) –x I –8; 4) –12x J 24; 5) 7x J 13; 6) 4x > 1,6; 7) 12x < –18; 8) –9x I 0. 11.8. Розв’яжіть нерівність: 1)

x I –2; 2)

x < 10; 3)

x J –6; 4)

x > –21.

x J –12; 4)

x > 42.

11.9. Знай­діть розв’язки нерівності: 1)

x < –3; 2)

x I 18; 3)

11.10. Розв’яжіть нерівність і вкажіть три будь-яких числа, що є її розв’язками: 1) –3x < 12; 2) 2x I 0; 3) –5x > –35; 4) 4x J –13. 11.11. Знайдіть множину роз­в’язків нерівності: 1) 0,2x I 8; 2) –0,7x < 1,4; 3) 10x J –1; 4) –8x > 0.

11.12. Знайдіть множину роз­в’язків нерівності: 1) 0,3x > 15; 2) –0,2x J 1,8; 3) 100x I –2; 4) –5x < 0. 11.13. Чи рівносильні нерівності: 1) 2x I 8 та –x J –2; 2) 3x < 6 та x + 1 < 3? 11.14. Чи рівносильні нерівності: 1) 5x J 5 та –x I –1; 2) 2x > 8 та x – 1 < 5? 11.15. За яких значень x функція y = –4x набуває значен­ь, які: 1) більші за –8; 2) менші від 12? 11.16. Розв’яжіть нерівність: 1) 1 + 2x > 7; 2) 3 – 5x J 2; 3) 3x + 8 < 0; 4) 9 – 12x I 0; 5) 6 + x < 3 – 2x; 6) 4x + 19 J 5x – 2. 11.17. Знай­діть розв’язки нерівності: 1) 1 + 6x J 7; 2) 6x + 1 > –3; 3) 3 – 2x I 0; 4) 6 – 15x < 0; 5) 4 + x > 1 – 2x; 6) 4x + 7 J 6x + 1. 11.18. За яких значень x функція y = 2x – 3 набуває від’ємних значень? 11.19. За яких значень x функція y = 5 – 2x набуває додат­них значень? 11.20. Знай­діть розв’язки нерівності: 1) 4 – x > 3(2 + x); 2) 3(1 – x) I 2(2x – 2); 3) 2(3 + x) + (4 – x) J 0; 4) –(2 – 3x) + 4(x + 6) < 1.

11.21. Розв’яжіть нерівність: 1) 4(1 + x) < x – 2; 2) 2 + x I 6(2x – 1); 3) –(2x + 1) > 3(x + 2); 4) 5(x + 8) + 4(1 – x) J 0. 11.22. Знай­діть область визначення функції: 1)

; 2)

.

101

ТЕМА 2

11.23. Знай­діть область визначення функції: 1)

; 2)

.

11.24. Розв’яжіть нерівність:

1)

– x < 2; 2)

+ x I 16.

11.25. За яких значень a нерівність ax < 4 має ту саму множину розв’язків, що й нерівність:

1)

; 2)

?

11.26. За яких значень b нерівність bx I 7 має ту саму множину розв’язків, що й нерівність: 1)

; 2)

?

11.27. Складіть таку нерівність вигляду ax > b, щоб множиною її розв’язків був проміжок: 1) (3; +u); 2) (–u; 1). 11.28. Знай­діть усі натуральні розв’язки нерівності: 1) x(x + 2) – x2 > 4x – 7; 2) (x + 5)(x – 5) J x2 – 5x.

11.29. Знай­діть усі натуральні розв’язки нерівності: 1) (x + 1)2 – x2 I 6x – 9; 2) (x – 1)(x + 2) < x2 – 3x + 11. 11.30. Нехай x0 – найбільший натуральний розв’язок нерівності (x – 3)2 – (x + 1)2 > 2x – 43. Знайдіть добуток 377x0, відтак дізнаєтеся рік заснування національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут». 11.31. Нехай x0 – найменший натуральний розв’язок нерівності (x – 2)2 – (x – 1)2 < x – 52. Знайдіть добуток 90x0, відтак дізнаєтеся, якого року було ухвалено «Конституцію прав і свобод війська Запорозького» Пилипа Орлика – першу конституцію у світовій історії. 11.32. Знай­діть найменший цілий розв’язок нерівності:

1)

; 2)

.

11.33. Знай­діть найбільший цілий розв’язок нерівності: 1)

; 2)

.

11.34. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) 2(3x + 1) – 3x > 3x; 2)

;

3) 4(x + 1) I 2(x + 2) + 2x; 4) 3(x – 1) – 2x < x – 3.

102

Нерівності

11.35. Розв’яжіть нерівність: 1) 3(2x + 1) – 6x I 5; 2) 4(x + 1) – 3x > –(2 – x); 3)

; 4) 6(x + 1) – 3(x + 2) J 3x.

11.36. Довжина однієї сторони прямокутника дорівнює 8 см. Якою має бути довжина другої сторони прямокутника, щоб його площа була меншою від 96 см2? 11.37. За яких значень a коренем рівняння: 1) 4x – 7 = a є число додатне; 2) 5 + 2x = 3 – a є число від’ємне? 11.38. Чи існує таке значення a, за якого: 1) нерівність ax > 2 не має розв’язків; 2) розв’язком нерівності (a – 3)x < 7 є будь-яке число? У разі ствердної відповіді вкажіть це значення a. 11.39. За яких значень b рівняння: 1) x2 + 6x – 2b = 0 не має коренів; 2) bx2 – 4x – 1 = 0 має два різних корені?

11.40. За яких значень a рівняння: 1) x2 + 8x – 4a = 0 має два різних корені; 2) ax2 – 6x + 1 = 0 не має коренів? 11.41. Два натуральних числа відносяться як 2 : 5, а їхня сума менша від числа 171. Якого найбільшого значення може набувати менше із цих чисел? 11.42. Два натуральних числа відносяться як 3 : 2, а їхня сума більша за 83. Якого найменшого значення може набувати більше із цих чисел? 11.43. Зал для хореографії має площу 510 м2. Третину зали пофарбовано у жовтий колір, а решту потрібно пофарбувати у блакитний. Витрати фарби становлять 120 г/м2, а банка фарби має масу 1 кг. Яку найменшу кількість банок із блакитною фарбою потрібно купити, щоб виконати таке завдання?

11.44. Резервуар місткістю 1 м3 на три чверті заповнено водою. Яку найбільшу цілу кількість відер води можна долити у цей резер­ вуар, якщо відро містить 12 л? 11.45. Розв’яжіть нерівність для всіх значень a: 1) ax > 3; 2) ax I 0; 3) ax < 0; 4) –ax < 5.

Вправи для повторення 11.46. Знай­діть значення виразу:

1)

; 2)

; 3)

.

103

ТЕМА 2

11.47. Розв’яжіть си­стему рівнянь:

1)

2)

11.48. Туристка пропливла 5 км на моторному човні проти течії річки, а назад повернулася на плоту. Знай­діть швидкість течії, якщо на плоту туристка пливла на 2 год довше, ніж на човні, а власна швидкість човна дорівнює 12 км/год. 11.49. Доведіть, що значення виразу

не залежить від значення змінної.

11.50. Побудуйте графік функції

Життєва математика 11.51. Родина із чотирьох осіб планує подорож із Києва до Львова або поїздом, або на власному авто. Квиток на поїзд на одну особу кош­ тує 600 грн у вагоні-купе. Автомобіль витрачає 8 літрів пального на 100 кілометрів шляху, відстань по шосе між містами дорівнює 540 км, а ціна пального становить 55 грн за літр. Скільки коштуватиме родині найдешевший варіант такої подорожі?

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 11.52. Знай­діть перетин проміжків: 1) (–u; 5] і [3; +u); 2) (–u; 3] і [5; +u); 3) (–u; 3) і (–u; 5]; 4) [3; +u) і (5; +u). 11.53. Укажіть три значення x, які одночасно є розв’язками кожної з двох нерівностей: 1) x J 2 та x I –3; 2) x > –5 та x > 7; 3) x < 0 та x I –7; 4) x J 2 та x J 4.

Цікаві задачі – поміркуй одначе 11.54. У чемпіонаті з баскетболу взяли участь 6 команд, кожна з яких зіграла по 4 зустрічі з кожною командою-учасницею. Нічиїх у баскетболі не буває. Відомо, що п’ять команд ма­ли відповідно 80 %, 60 %, 55 %, 40 % та 35 % перемог (від своєї загальної кількості ігор). Яке місце посіла шоста команда і який у неї відсоток перемог?

104

Нерівності

§ 12. Системи лінійних нерівностей з однією змінною, їх розв’язування 1. Поняття про систему лінійних нерівностей з однією змінною та її розв’язок Розглянемо задачу. Велосипедистка за 2 год долає відстань, більшу ніж 24 км, а за 3 год – відстань, меншу ніж 39 км. Знайти швидкість велосипедистки. Розв’яжемо її. Нехай швидкість велосипедистки дорівнює x км/год, тоді за 2 год вона долає 2x км, а за 3 год – 3x км. За умовою задачі 2x > 24 і 3x < 39. Маємо знайти такі значення x, для яких буде правильною і нерівність 2x > 24, і нерівність 3x < 39, тобто знай­демо спільні розв’язки обох цих нерівностей. У такому разі ка­жуть, що потрібно розв’язати си­стему нерівностей, і об’єднують нерівності в си­стему:

Оскільки обидві нерівності є лінійними, то маємо си­стему лінійних нерівностей з однією змінною. Розв’язавши кожну з нерівностей си­стеми, отримаємо: Тобто значення x має задовольняти умову: 12 < x < 13. Отже, швидкість велосипедистки більша за 12 км/год, але менша від 13 км/год. Число 12,6 задовольняє кожну з нерівностей си­стеми

Справді, кожна з нерівностей 2 ⋅ 12,6 > 24 та 3 ⋅ 12,6 < 39 є пра­ вильною числовою нерівністю. У такому разі кажуть, що число 12,6 є розв’язком цієї си­стеми нерівностей.

2. Розв’язування систем лінійних нерівностей з однією змінною Щоб розв’язати си­стему нерівностей, доцільно дотримуватися такої послідовності дій:

105

ТЕМА 2

Приклад 1.

Розв’язати си­стему нерівностей:

Розв’язання. Поступово замінюючи кожну з нерівностей си­стеми їй рівносильною простішою, матимемо:

Позначимо на координатній прямій множину чисел, які за­ довольняють нерівність x < 3, і множину чисел, які задоволь­няють нерівність x J 1 (мал. 12.1). Множиною розв’язків си­стеми є перетин цих множин, тобто промі­жок (–u; 1].

Мал. 12.1

Відповідь: (–u; 1]. Відповідь до си­стеми можна записати й так: x J 1. Приклад 2.

Знайти всі цілі розв’язки си­стеми нерівностей:

Розв’язання. Спочатку знайдемо всі розв’язки си­стеми:

Маємо, що розв’язком си­стеми є проміжок (–6; –2) (мал. 12.2).

Мал. 12.2

Тепер знайдемо всі цілі числа, що належать цьому проміжку. Ними будуть –5; –4; –3. Отже, цілими розв’яз­ками си­стеми є числа –5; –4; –3. Відповідь: –5; –4; –3.

106

Нерівності

Приклад 3.

Розв’язати си­стему нерівностей:

Розв’язання. Маємо:

Зобразивши отримані розв’язки нерівностей си­стеми на координатній прямій (мал. 12.3), бачимо, що спільних розв’язків вони не мають, тобто перетин проміжків є порожньою множиною. Отже, си­ стема розв’язків не має.

Мал. 12.3

Відповідь: розв’язків немає.

4. Розв’язування подвійних нерівностей Розглянемо способи розв’язування подвійних нерівностей. Приклад 4.

Розв’язати нерівність . Розв’язання. Перепишемо подвійну нерівність у вигляді си­стеми нерівностей:

Розв’яжемо цю си­стему:

отже,

, тобто x ∈ (6; 8].

Відповідь: (6; 8]. Розв’язання можна подати і в іншому вигляді:

Відповідь можна записати ще й так: 6 < x J 8. Наведіть приклад си­стеми лінійних нерівностей з однією змінною. Що називають Що означає розв’язати си­ розв’язком си­стеми нерівнос­тей з однією змінною? стему нерівностей з однією змінною?

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 12.1. (Усно.) Чи є числа –2; –1; 0; 1; 2 розв’язками си­стеми:

1)

2)

3)

4)

107

ТЕМА 2

12.2. (Усно.) Чи є число 2 розв’язком си­стеми:

1)

2)

3)

4)

12.3. Чи є число –1 розв’язком си­стеми: 1)

2)

3)

4)

12.4. Розв’яжіть си­стему нерівностей:

1)

2)

3)

4)

12.5. Розв’яжіть си­стему нерівностей: 1)

2)

3)

4)

12.6. Знай­діть розв’язки си­стеми нерівностей:

1)

2)

3)

4)

12.7. Розв’яжіть си­стему нерівностей:

1)

2)

3)

4)

12.8. Знайдіть множину розв’язків си­стеми нерівностей:

1)

2)

3)

12.9. Розв’яжіть си­стему нерівностей і вкажіть два числа, що є її роз­ в’язками:

108

1)

2)

3)

4)

Нерівності

12.10. Розв’яжіть си­стему нерівностей і вкажіть два числа, що є її роз­ в’язками: 1)

2)

3)

4)

12.11. Розв’яжіть подвійну нерівність:

1)

2)

3)

4)

12.12. Розв’яжіть подвійну нерівність: 1)

2)

3)

4)

12.13. Знай­діть усі цілі розв’язки подвійної нерівності:

1)

2)

12.14. Розв’яжіть си­стему нерівностей:

1)

2)

12.15. Розв’яжіть си­стему нерівностей: 1)

2)

12.16. За яких значень x кожна з функцій y = 0,3x – 1,8 та y = 0,2x – 1,2 набуває невід’ємних значень? 12.17. Знай­діть усі цілі розв’язки си­стеми нерівностей:

1)

2)

12.18. Знай­діть усі цілі розв’язки си­стеми нерівностей: 1)

2)

12.19. Знайдіть суму всіх цілих розв’язків системи нерівностей

109

ТЕМА 2

відтак дізнаєтеся, скільки медалей здобула команда України на Паралімпійських іграх 2024 року в Парижі. 12.20. Знай­діть найменше ціле число, що є розв’язком си­стеми: 1)

2) 12.21. Знай­діть найбільше ціле число, що є розв’язком си­стеми: 1)

2) 12.22. Український борець греко-римського стилю Жан Беленюк має унікальну колекцію нагород з міжнародних турнірів. Розв’яжіть систему

Знайдіть

нерівностей

добуток 101x0, де x0 – найбільший цілий розв’язок системи нерівностей, відтак дізнаєтеся, якого року Жан здобув свою найвищу нагороду – став олімпійським чемпіоном. 12.23. Знай­діть область допустимих значень змінної у виразі:

1)

2)

12.24. Знай­діть область визначення функції: 1)

2)

12.25. Знайдіть множину розв’язків подвійної нерівності:

1)

2)

3)

4)

12.26. Розв’яжіть подвійну нерівність:

110

1)

2)

3)

4)

.

Нерівності

12.27. Розв’яжіть си­стему нерівностей:

1) 2) 3)

4) 12.28. Розв’яжіть си­стему нерівностей: 1) 2) 12.29. Знай­діть область визначення функції:

1) 2) 12.30. Знай­діть область допустимих значень змінної у виразі: 1) 2) 12.31. Одна сторона трикутника дорівнює 4 см, а друга – 5 см. Якою завдовжки може бути третя сторона три­кутника за умови, що його периметр менший від 15 см? 12.32. На одну машину навантажили 2 ящики з огірками по 24 кг кожен та 8 ящиків із помідорами. При цьому загальна маса була не більшою, ніж 260 кг. На другу машину навантажили 3 ящики із цибулею по 18 кг і 7 ящиків із помідорами – таких самих, як на першу машину. При цьому загальна маса була не меншою, ніж 230 кг. 1) Складіть систему нерівностей для визначення маси одного ящика із помідорами, позначивши її через x (у кг). 2) Знайдіть x, вважаючи, що x дорівнює цілому числу кілограмів.

111

ТЕМА 2

12.33. Аліса купила записник за 80 грн і 5 ручок, заплативши за всю покупку менше, ніж 114 грн. Аліна купила скетчбук (sketchbook) для малювання за 72 грн і 4 такі самі ручки, як і Аліса, заплативши за всю покупку більше, ніж 92 грн. 1) Складіть систему нерівностей для визначення ціни однієї ручки, позначивши її через x (у грн). 2) Знайдіть x, вважаючи, що x дорівнює цілому числу гривень. 12.34. За яких значень а обидва корені рівняння

менші від числа 1? 12.35. За яких значень a обидва корені рівняння більші за число 3?

Вправи для повторення 12.36. Відомо, що a > b. Порівняйте: 1) a – 2 і b – 2;  2) 2,1a і 2,1b; 3) –a і –b;  4) –8a і –8b. 12.37. Знайдіть множину розв’язків нерівності: 1) 2) 12.38. Доведіть нерівність 12.39. Дано: 10 < x < 20; 2 < y < 5. Оцініть значення вира­зу:

1)

; 2)

.

12.40. За яких значень m рівняння

не має розв’язків?

Життєва математика

12.41. Яринка та Яся разом можуть прополоти грядку за 24 хвилини, а Яся самостійно – за 40 хвилин. За скільки хвилин самостійно може прополоти цю грядку Яринка?

Цікаві задачі – поміркуй одначе 12.42. (Національна олімпіада США, 1979 р.). Розв’яжіть рівняння у цілих числах.

ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 2 (§§ 6–12) Завдання 1–12 мають по чотири варіанти відповідей (А–Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді. 1. Яке із чисел є розв’язком нерівності 3x > 7? А. –2 Б. 0 В. 5 Г. 2

112

Нерівності

2. Укажіть проміжок, зображений на малюнку 1. А. [–1; 2] Б. [–1; 2) В. (–1; 2) Г. (–1; 2]

Мал. 1

3. Яка з нерівностей є лінійною з однією змінною? А.

Б.

В.

Г.

4. Відомо, що a > b. Укажіть правильну нерівність. А.

Б. a + 3 < b + 3 В. –a > –b Г. –2a < –2b

5. Розв’яжіть нерівність –3x J –15. А. [5; +u) Б. (–u; 5] В. [–5; +u) Г. (–u; –5) 6. Розв’яжіть си­стему нерівностей А. [–2; 3) Б. [–2; 9) В. (–u; –2] Г. (9; +u) 7. Укажіть вираз, що набуває додатних значень за будь-якого значення x. А. Б. В. Г. 8. Відомо, що 2 < a < 5 і 1 < b < 3. Оцініть значення виразу А. 5 < 4a – b < 19 Б. 7 < 4a – b < 17 В. –1 < 4a – b < 4 Г. 9 < 4a + b < 23

.

9. Укажіть число, що не належить проміжку [2,5; 3,6). А.

Б.

В.

Г.

10. Відомо, що 1 < x < 2. Оцініть значення виразу А.

Б.

В.

Г.

.

11. Знай­діть область визначення функції . А. [2; 8) Б. [2; 3) ∪ (3; 8] В. [2; 3) ∪ (3; 8) Г. (2; 3) ∪ (3; 8) 12. За яких значень c рівняння А. Таких значень c не існує Б. c < –2 В. c J –2 Г. c > –2

не має розв’язків?

113

ТЕМА 2

У завданні 13 потрібно встановити відповідність між інформа­ цією, позначеною цифрами та буквами. Одна відповідь зайва. 13. Установіть відповідність між нерівністю (1–3) та множиною всіх її розв’язків (А–Г). Нерівність 1. x(x + 2) – x2 > 4x – 8

Множина всіх розв’язків нерівності А. (–u; +u) Б. (–u; 4) В. (–u; –4) Г. (4; +u)

2. 3. 2(x + 3) – x > x

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 6–12 1. Чи є розв’язком нерівності x + 2 > 7 число: 1) 6; 2) –2; 3) 0; 4) 10? 2. Запишіть проміжки, зображені на малюнках 1–4:     Мал. 1 Мал. 2

Мал. 3 Мал. 4

3. Які з нерівностей є лінійними з однією змінною: 1)

; 2)

; 3) 2 + 3 < 6; 4)

4. Відомо, що x > y. Порівняйте: 1) х + 2 та у + 2; 2) 2х і 2у; 3) –х і –у; 4) –4х і –4у. 5. Розв’яжіть нерівність: 1)     2) 6. Розв’яжіть си­стему нерівностей 7. Дано: 5 < а < 10 і 2 < b < 4. Оцініть значення виразу: 1)

2)

8. Доведіть нерівність:

114

?

Нерівності

9. Знай­діть область визначення функції

Додаткові завдання 10. Доведіть нерівність

, якщо

11. За яких значень a рівняння

не має коренів?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ТЕМИ 2 До § 6 1. Відомо, що m < n. Чи може різниця m – n дорівнювати: 1) 2,7; 2) π; 3) 0; 4) –3,8? 2. Доведіть нерівність: 2) 1) 4) 3)

6)

5)

3. Які з нерівностей є правильними за будь-якого значення a:

4.

2) 1) 4) 3) Доведіть нерівність: 2) 1) 4)

3) 5.

7.

Порівняйте число m з нулем, якщо: 2) 3) 1) 6. Доведіть нерівність: 2) 1) Порівняйте вирази: і ab(b – a), якщо 1) 2)

8.

і

4) .

, якщо m + n = 1.

Відстань від села до міста 20 км. Одна з велосипедисток проїхала із села в місто й повернулася назад зі сталою швидкістю. Друга велосипедистка їхала із села в місто зі швидкістю, на 1 км/год більшою за швидкість першої, а поверталася назад зі швидкістю, на 1 км/год меншою від швидкості першої. Котра з велосипедисток витратила менше часу на дорогу?

115

ТЕМА 2

9.

Порівняйте площу квад­рата, сторона якого дорівнює 6 см, із площею довільного прямокутника, що має такий са­мий периметр, як у квад­рата.

До § 7 10. У яких нерівностях правильно перенесено доданок з однієї частини у другу: 1) 2) 3) 4) 11. Замініть «зірочку» знаком > чи < так, щоб твер­дження було правильним: 1) якщо р > –2, то –2 * p; 2) якщо 2 < а, а < b, то 2 * b. 12. Порівняйте числа: 1) x + 5 та у + 5, якщо x < у; 2) m – 2 і р – 2, якщо р > m; 3) –m і –n, якщо m > n; 4) 12а і 12b, якщо

5) –3k і –3р, якщо p < k; 6)

і

, якщо

.

13. Відомо, що а > b. Розмістіть у порядку зростання числа: а + 3, b – 3, а + 1, a, b – 1, b. 14. Відомо, що x > у > 0. Порівняйте: 1) 8х і 5у; 2) 3x та у; 3) –3х і –у; 4) –5х і –2у. 15. Оцініть значення виразу, якщо

1)

2)

3)

: 4)

16. Відомо, що a > 5. Порівняйте з нулем значення виразу: 1) 2а – 10; 2) 35 – 7а. 17. Оцініть значення виразу |x|, якщо: 1) –3 < x < –1; 2) –7 < х < 1.

До § 8 18. Виконайте почленне додавання нерівностей: 1) x < 3 та у < –3; 2) а > 5 і b > 7. 19. Виконайте почленне множення нерівностей: 1) m > 2 і n > 1; 2) 0 < р < 3 і 0 < q < 5. 20. Оцініть значення виразу: 1) ab + 2, якщо 1 < а < 5 і 2 < b < 7; 2) p2 – 3, якщо 2 < р < 4. 21. Чи правильне твердження: 1) якщо x > 2, то x2 > 4; 2) якщо x < 2, то x2 < 4;

3) якщо x > 2, то

116

4) якщо x < 2, то

Нерівності

22. Оцініть площу S квад­рата з периметром Р см, якщо 36 < Р < 40. 23. Порівняйте, якщо можливо: 1) 3m + 2n і 12, якщо m > 3, n > 2; 2) b – 3а і 0, якщо а > 8, b < 6; 3) х – 3у і 1, якщо x < 8, y < 0; 4) р – 4q і 9, якщо р < 8, q > 1. 24. Оцініть значення виразу: 1) a2 + 2a + 5, якщо 0 < а < 1; 2) x2 – 4x, якщо 1 < x < 2;

3) 4)

, якщо 10 < а < 20, 5 < b < 10; , якщо 1 < m < 2, 0,3 < n < 0,5.

25. Порівняйте x та y, якщо x > а2 + b2, y < 2ab. 26. Оцініть площу S прямокутника з периметром Р см і сторо­ною а см, якщо 20 < Р < 30, 5 < а < 6. 27. Доведіть нерівність:

, якщо x > 0, y > 0;

1)

, якщо m > 0, n > 0, р > 0.

2)

До § 9 28. Які із чисел –2; –1; 0; 1; 2 є розв’язками нерівності: 3) x > 1; 4) 1) x < 1; 2) 29. Запишіть три числа, які є розв’язками і нерівності і нерівності x > 3. 30. Які із чисел –1; 0; 3; 5; 7 задовольняють нерівність:

1)

,

2)

31. Знай­діть усі натуральні розв’язки нерівності 32. Які з розв’язків рівняння х3 + 2х2 – x – 2 = 0 є розв’язками нерівності

До § 10 33. Запишіть будь-які три числа, що належать проміжку: 1) (–4; 5); 2) [–2; 7); 3) [3; +u); 4) (–u; 7); 5) [1; 17]; 6) (–u; –1); 7) (4; 9]; 8) (5; +u); 9) [–10; –9].

117

ТЕМА 2

34. Знай­діть найменше і найбільше цілі числа, що нале­жать проміжку: 1) (–7; 8); 2) [–2; 3,8); 3) (–0,2; 4]; 4) (–2,99; 1,98). 35. Запишіть три числа проміжку 36. Чи можна знайти найменше і найбільше числа, що нале­жали б проміжку [1,6; 1,8)?

До § 11 37. Розв’яжіть нерівність: 1) ; 2) x + 5 < 0; 3) x + 2 > 0; 4) x – 6 < 0. 38. Розв’яжіть нерівність і вкажіть два будь-яких цілих числа, що є її розв’язками: 1) –4х > 12; 2) 3x < 0; 3) ; 4) 39. Знайдіть множину розв’язків нерівності: 1) 1 + 8х < 9; 2) 4х – 7 > 0; 3) 4) 6) 4 + 11х < 5 + 12х. 5) 40. Розв’яжіть нерівність:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

41. За яких значень x значення виразу 2x + 3 менше від відповідного значення виразу 4х – 7? 42. За яких значень y сума дробів

та

більша за 10?

43. Розв’яжіть нерівність: 2) 1)

3)

4)

44. Знай­діть найменше ціле значення х, за якого значення дробу

менше від значення дробу 45. Знай­діть область визначення функції:

1)

2)

46. Довжина однієї сторони прямокутника дорівнює 6 см. Якою має бути довжина другої сторони, щоб пери­метр прямокутника був більшим за 30 см?

118

Нерівності

47. Спортсмен-паралімпієць зробив 10 пост­рілів по мішені. За кожен влучний постріл йому нараховують 3 очки, а в разі промаху віднімають від результату 1 очко. Відомо, що паралімпієць набрав більше, ніж 17 очок. Якою може бути кількість його влучних пострілів? 48. За яких значень a рівняння: не має коренів; 1) має два різних корені? 2) 49. Розв’яжіть нерівність для всіх значень a: 1) 2) 3(а – х) < 9 – ах; 2 3) (а + 1)х > а – 1; 4)

До § 12 50. Чи є розв’язком си­стеми нерівностей

число:

1) 3; 2) 2,7; 3) 1,7; 4) –1,8; 5) 3,9; 6) 4? 51. Знайдіть множину розв’язків си­стеми нерівностей:

1)

2)

3)

4)

52. Розв’яжіть си­стему нерівностей та вкажіть три числа, що є її роз­ в’язками:

1)

2)

3)

53. Розв’яжіть подвійну нерівність:

1)

2)

3)

4)

54. Знай­діть натуральні розв’язки си­стеми нерівностей:

1)

2)

119

ТЕМА 2

55. За яких значень x: 1) значення двочлена 2х – 5 належить проміжку [–4; 2);

2) значення дробу

належить проміжку [0; 4]?

56. Розв’яжіть си­стему нерівностей:

1)

2)

57. Сума натурального числа та подвоєного наступного за ним числа більша за 57. Сума цього самого числа і по­троєного попереднього числа менша від 74. Знай­діть це натуральне чис­ло. 58. Знайдіть усі розв’язки си­стеми нерівностей:

1)

2)

3)

59. За яких значень a си­стема нерівностей має розв’я­зки:

1)

2)

60. Кількість одиниць деякого двоцифрового числа на 1 більша за кількість його десятків. Знай­діть це число, якщо воно більше за 45, але менше від 66. 61. Розв’яжіть си­стему нерівностей:

1)

2)

62. Знайдіть значення а, за яких один із коренів рівняння х2 + x + (а – а2) = 0 менший від нуля, а другий – більший за 0,5. 63. Знайдіть, за яких значень a обидва корені квад­ратного рівняння 6х2 + (5а + 2)х + (а2 + а) = 0 належать проміжку [–4; 0].

120

Нерівності

Головне в темi 2 ЧИСЛОВІ НЕРІВНОСТІ

a > b, якщо a – b > 0; a < b, якщо a – b < 0; a = b, якщо a – b = 0. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ЧИСЛОВИХ НЕРІВНОСТЕЙ

Властивість 1. Властивість 2. Властивість 3.

Якщо а > b, то b < а; якщо а < b, то b > а. Якщо а > b і b > c, то a > c; якщо a < b і b < c, то a < c. Якщо а > b і р – будь-яке число, то а + р > b + р.

Н а с л і д о к. Якщо а > b + т, то а – т > b. Якщо деякий доданок перенести з однієї частини пра­вильної нерівності у другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то одержимо правильну нерівність. Властивість 4. Якщо а > b і р > 0, то ар > bр; якщо а > b і р < 0, то ар < bр. Якщо обидві частини правильної нерівності помно­жи­ти або поділити на одне й те саме додатне число, то одержимо правильну нерівність; якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число та змінити знак нерівності на протилежний, то одержимо правильну нерівність. Н а с л і д о к. Якщо аb > 0, тобто а і b – числа одного знака, і а > b, то

<

.

Властивість 5 (про почленне додавання нерівностей). Якщо a < b і c < d, то a + c < b + d. Властивість 6 (про почленне множення нерівностей). Якщо a < b і c < d, де a, b, c, d – додатні числа, то ac < bd. Н а с л і д о к. Якщо a і b – додатні числа і a < b, то ап < bп, де n – натуральне число. НЕРІВНОСТІ ЗІ ЗМІННИМИ

Розв’язком нерівності з однією змінною називають зна­чення змінної, яке перетворює її у правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

121

ТЕМА 2

ЧИСЛОВІ ПРОМІЖКИ

Перетином числових проміжків називають множину, що містить усі числа, які належать кожному із цих проміжків. Об’єднанням числових проміжків називають множину, що складається з усіх чисел, які належать хоча б одному із цих проміжків. ЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ. РІВНОСИЛЬНІ НЕРІВНОСТІ

Нерівності вигляду ax > b, ax I b, ax < b, ax J b, де x – змінна, a і b – деякі числа, називають лінійними нерівностями з однією змінною. Нерівності, що мають одні й ті самі розв’язки, назива­ють рівносильними. Нерівності, що не мають розв’яз­ків, також є рівносильними. Для нерівностей зі змінними справджуються властивості, подіб­ ні до тих, що справджуються і для рівнянь: 1) якщо в будь-якій частині нерівності розкрити дужки або звести подібні доданки, то отримаємо нерівність, рівносильну даній; 2) я кщо в нерівності перенести доданок з однієї її части­ни в іншу, змінивши його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній; 3) якщо обидві частини нерівності помножити або по­ділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній; якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній. Нерівності вигляду 0x > b, 0x I b, 0x < b, 0x J b або не мають розв’язків, або їхнім розв’язком є будь-яке число. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

Розв’язком си­стеми нерівностей з однією змінною називають значення змінної, за якого правильною є кожна з нерівностей си­ стеми. Розв’язати си­стему нерівностей – означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕРІВНОСТЕЙ

Щоб розв’язати си­стему нерівностей, доцільно дотримуватися такої послідовності дій: 1) розв’язати кожну з нерівностей си­стеми; 2) з образити множину розв’язків кожної з нерівностей на координатній прямій; 3) знайти перетин цих множин, який і буде множиною розв’язків си­стеми; 4) записати відповідь.

122

Фіскальна математика1 Державний бюджет України – це план формування та використання фінансових ресурсів для забезпечення завдань і функцій держави, які вона здійснює через органи державної влади та місцевого само­врядування протягом бюджетного періоду. Основним джерелом формування держбюджету, зокрема наповнення його дохідної частини, є податки.

Податки – це обов’язкові платежі, які мають сплачувати фізичні та юридичні особи до державного бюджету. Розмір і терміни сплати податків установлюються законодавчо та періодично переглядаються. Розмір податкових нарахувань (ставка податку) може встановлюватися і у відсотках, і в абсолютній сумі. Найбільш вагомими для дохідної частини бюджету є податок на додану вартість (ПДВ) та єдиний соціальний внесок (ЄСВ). ПДВ сплачує покупець за ставкою 20 % від вартості товару (послуги), але облік та перерахування ПДВ до державного бюджету здійснює продавець (податковий агент). ЄСВ стягується з роботодавців за ставкою 22 % від фонду заробітної плати2. Дохідна частина державного бюджету залежить також від інших видів податку, зокрема податку на доходи фізичних осіб, акцизного податку, мита, податку на прибуток підприємств, транспортного та земельного податків тощо (знай­діть детальну інформацію про різні види податків в Україні самостійно). Спробуйте самостійно розв’язати кілька задач, пов’язаних з оподаткуванням. 1. В Україні 2015 року оподаткуванню підлягали 15 888 автомобілів, а 2016-го – 138 249 автомобілів. Ставка транспортного податку на кожне авто становила 25 000 грн на рік. На скільки більше надходжень за рахунок транспортного податку отримав державний бюджет України 2016 року порівняно з 2015 роком? 2. Ставка податку на землю 2016 року становила 3,66 грн за 1 м2, але в деяких населених пунктах цей податок може нараховуватися з певним коефіцієнтом, наприклад у курортній місцевості Карпат, уздовж узбереж Чорного й Азовського морів, у густонаселених обласних центрах тощо. На скільки більшим буде розмір земельного податку в Києві, ніж в Одесі, за земельну ділянку площею 250 м2, якщо в Києві й Одесі для ставки земельного податку діють коефіцієнти підвищення: коефіцієнт 3 – для Києва і коефіцієнт 2 – для Одеси? 3. За використаний у садовому будиночку газ родина Василенків сплатила суму, яку зазначено в договорі з підприємством, що надає послуги з газопостачання. Розмір ПДВ при цьому склав 670 грн. Яку суму (без ПДВ) зазначено в договорі на газопостачання для садового будиночка цієї родини? 1 Та, що має стосунок до податкової політики держави. 2 Ставки податків указано станом на 2025 рік.

123

4. Родина Бойчуків за листопад 2025 року отримала від «Укртелекому» рахунок у розмірі 480 грн. Скільки коштів буде перераховано як ПДВ після сплати родиною цього рахунку? 5. Військовий збір 2025 року склав 5 % від заробітної плати. Усі троє членів деякої родини працюють і отримують заробітну плату. Заробітна плата батька становить 14 000 грн, матері – 15 000 грн, а сина – 11 000 грн. 1) Яку загальну суму військового збору сплатять члени цієї родини за місяць? 2) Яку загальну суму військового збору сплатить родина протягом усього 2025 року, якщо їхня зарплата за цей період не змінювалася? 6. Сплативши 18 % податку на доходи фізичних осіб та 5 % військового збору від своєї заробітної плати, охоронець супермаркету отримав 9240 грн. 1) Який розмір заробітної плати в охоронця? 2) Скільки ЄСВ на місяць платить власник цього супермаркету до державного бюджету за охоронців, якщо в нього працюють три охоронці та начальник охорони, заробітна плата якого в 1,5 раза більша за заробітну плату охоронця?

124

ТЕМА 3

ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ У ЦІЙ ТЕМІ ВИ:

ознайомитеся з поняттями векторної величини і вектора; дізнаєтеся про модуль, напрямок і координати вектора, колінеарність векторів; навчитеся будувати вектор, який дорівнює даному вектору, сумі або різниці векторів, добутку вектора на число; знаходити модуль вектора за його координатами; координати вектора, який є сумою або різницею даних векторів; скалярний добуток векторів.

§ 13. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів 1. Скалярні та векторні величини. Вектор Є величини, які цілком характеризуються своїм числовим значенням. Прикладами таких величин є дов­жина, площа, маса, час, температура тощо. Такі величини називають скалярними величинами, або, коротше, скалярами. Проте є величини, які, крім числового значення, задаються ще й напрямком. Такими є, наприклад, фізичні величини: сила, переміщення матеріальної точки, швидкість, прискорення. Щоб схарактеризувати рух автомобіля, часто недостатньо знати, з якою швидкістю він рухається; треба знати також, у якому напрямку. Величини, що характеризуються не тільки числовим значенням, а й напрямком, називають векторними величинами, або векторами. Зображають вектори в математиці напрямленим відрізком. напрямленим відрізком Вектор зручно зображувати відрізком зі стрілкою, яка показує напрямок вектора (мал. 13.1). Вектор позначають двома великими латинськими літерами, першу з яких вважають початком вектора, а другу – його кінцем, та стрілкою над ними. Вектор, зображений на малюнку 13.1, записують так: . Літера A – початок вектора , літера B – його кінець. Інколи вектори позначають однією малою латинською літерою, наприклад вектори і (мал. 13.2).

Мал. 13.1

Мал. 13.2

125

ТЕМА 3

2. Нульовий вектор Вектор, у якого початок та кінець збігаються, називають нульовим вектором, або нуль-вектором. Такий вектор зображують точкою. Якщо, наприклад, точку, що зображує нульовий вектор, позначити (мал. 13.2). літерою F, то цей нульовий вектор можна називати Нульовий вектор позначають ще символом . Нульовий вектор напрямку не має.

3. Модуль вектора

Модуль вектора

позначають:

вого вектора дорівнює нулю:

, вектора :

. Довжина нульо-

.

Приклад 1. Знайти модулі векторів, зображених

на малюнку 13.3, якщо сторона клітинки дорівнює одиниці вимірювання відрізків. Розв’язання.

; ;

;

; .

Мал. 13.3

4. Колінеарні вектори Колінеарними

Наприклад, на малюнку 13.4 колінеарними є пари векторів і і , і тощо. Для колінеарних векторів і використовують . запис: Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому вектору. Колінеарні вектори бувають співнапрямленими, на тобто мають однаковий напрямок (вектори і Мал. 13.4 мал. 13.4), або протилежно напрямленими (вектори , . і на мал. 13.4). Записують так:

5. Рівність векторів Розглянемо поняття рівності векторів. Нехай тіло рухається з певною швидкістю в певному напрямку (мал. 13.5). Тоді всі точки цього тіла рухаються із цією швидкістю в цьому напрямку. Тому всі

126

Мал. 13.5

,

Вектори на площині

напрямлені відрізки (вектори) , якими зображено швидкості цих точок, є співнапрямленими і мають однакові модулі. Такі вектори називають рівними.

Рівність векторів

і

записують так:

Приклад 2. ABCD – ромб (мал. 13.6). Чи рівні вектори:

1) і ; 2) і ; 3) Розв’язання. 1) Так, оскільки

і

; 4) і

і

? .

2) Оскільки і не є співнапрямленими, то вони не є рівними. Мал. 13.6 і також не є рівними, оскільки не є спів3) напрямленими. 4) , але , тому вектори і теж не є рівними. Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) ні; 4) ні. Приклад 3. Точки A, B, C і D не лежать на одній прямій. Тоді, якщо

, то ABDC – паралелограм. І навпаки, якщо ABDC – парале= . Доведіть. лограм, то Доведення. 1) Нехай

та

одній прямій (мал. 13.7). Тоді

і

не лежать на і

.

Мал. 13.7 За ознакою паралелограма, ураховуючи, що точки B і D лежать по один бік від прямої AC, отримаємо, що ABDC – паралелограм.

2) Нехай ABDC – паралелограм, тоді AB || CD і AB = CD (мал. 13.7). Тому

і

. Отже,

.

6. Відкладання вектора від заданої точки, що дорівнює заданому Розглянемо, як від заданої точки відкласти вектор, що дорівнює і точку C, то відкласти вектор від даному. Якщо дано вектор такий, що . точки C означає побудувати вектор Приклад 4. Від точки C відкласти вектор, що дорівнює вектору

Розв’язання. 1-й випадок. Точка C лежить на прямій AB (мал. 13.8). Відкладемо від точки C у тому , відрізок CD самому напрямку, що й у вектора (точка D належить прямій AB), який дорівнює від. різку AB. Тоді

.

Мал. 13.8

127

ТЕМА 3

2-й випадок. Точка C не лежить на прямій AB (мал. 13.7). Будуємо (див. доведення попередньої задачі). паралелограм ABDC. Тоді Зауважимо, в обох випадках побудована точка D є єдиною.

Евдокс Кнідський

Цікавість до векторів з’явилась у математиків XIX ст. у зв’язку з розвитком механіки й фізики, проте витоки числення з напрямленими відрізками виникли в далекому минулому. Математики часів Піфагора та математики пізніших часів намагалися зводити розв’язання питань арифметики й алгеб­ ри до розв’язування задач геомет­ричним шляхом. Так було покладено початок геомет­ричній теорії відношень Евдокса (408–355 рр. до н. е.), а пізніше – геомет­ричної алгебри. Сам термін вектор (від латинського vector, що можна пере­класти як «той, що веде», «той, що переносить») запропонував Гамільтон. Він же описав і деякі операції векторного аналізу. Незабаром, завдяки роботам Геббса (кінець XIX ст.) та Хевісайда (початок XX ст.), векторний аналіз як частина математики набув сучасного вигляду.

Які величини називають скалярними? Які величини називають векторними? Що називають вектором? Яка точка є початком вектора , а яка – кінцем ? цього вектора? Як позначають вектори? Що називають модулем вектора Які вектори називають колінеарними? Якими можуть бути колінеарні вектори? Які вектори називають рівними? Що означає відкласти вектор від точки X?

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 13.1. Запишіть вектори, зображені на малюнку 13.9.

Мал. 13.9 Мал. 13.10

13.2. Запишіть вектори, зображені на малюнку 13.10. 13.3. Позначте в зошиті точки А, В і C, що не лежать на одній прямій. Накресліть вектори , і . 13.4. Позначте в зошиті точки P, L і K, що не лежать на одній прямій. Накресліть вектори , і . 13.5. За малюнком 13.11 запишіть усі пари: 1) колінеарних векторів;

128

Вектори на площині

2) співнапрямлених векторів; 3) протилежно напрямлених векторів. 13.6. За малюнком 13.12 запишіть усі пари: 1) колінеарних векторів; Мал. 13.11 2) співнапрямлених векторів; 3) протилежно напрямлених векторів. 13.7. Накресліть довільний вектор   . , співнапрямлений Накресліть вектор , та вектор , протилежно з вектором Мал. 13.12 . напрямлений вектору 1) Виконайте відповідні записи за допомогою символів. і ? 2) Чи є колінеарними вектори 3) Співнапрямленими чи протилежно напрямленими є вектори і ? 13.8. Накресліть довільний вектор . Накресліть вектор , співнапрямлений з вектором , та вектор , протилежно напрямлений вектору . 1) Виконайте відповідні записи за допомогою символів. 2) Чи є колінеарними вектори і ? 3) Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори і ? 13.9. На малюнку 13.13 ABCD – прямокутник. Укажіть рівні вектори та вектори, що мають однакові модулі. Виконайте відповідні записи.

Мал. 13.13 Мал. 13.14

13.10. На малюнку 13.14 KLMN – паралелограм. Укажіть рівні вектори та вектори, що мають однакові модулі. Виконайте відповідні записи. 13.11. Знай­діть модулі векторів, зображених на малюнку 13.15, якщо сторона клітинки дорівнює одиниці вимірювання відрізків.

Мал. 13.15 Мал. 13.16

13.12. Знай­діть модулі векторів, зображених на малюнку 13.16, якщо сторона клітинки дорівнює одиниці вимірювання відрізків.

129

ТЕМА 3

13.13. Накресліть два вектори, що: 1) мають рівні модулі та неколінеарні; 2) мають рівні модулі та співнапрямлені; 3) мають рівні модулі та протилежно напрямлені. У якому випадку накреслені вектори рівні? 13.14. Дано вектор .

. Від точки А відкладіть вектор

такий, що

13.15. Дано вектор .

. Від точки M відкладіть вектор

такий, що

13.16. KLMN – ромб, O – точка перетину його діагоналей. Укажіть вектор, рівний вектору: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

.

13.17. ABCD – квад­рат, O – точка перетину його діагоналей. Укажіть вектор, що дорівнює вектору: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 13.18. (Усно.) Чи можуть бути рівними вектори і B різні?

і

, якщо точки A

13.19. Дано точки А(–2; 1), B(0; 2), M(1; –1). Відкладіть від точки M вектор , що дорівнює вектору . Якими є координати точки N? 13.20. Дано точки C(1; –3), D(–1; –2), Р(3; –1). Відкладіть від точки P , рівний вектору . Якими є координати точки K? вектор 13.21. У прямокутнику ABCD: AB = 3, BC = 4, M – середи­на BC. Знай­ діть модулі векторів , , , . 13.22. У квад­раті ABCD діагональ AC дорівнює , N – середи­на AD. , , , . Знай­діть модулі векторів 13.23. (Усно.) Чи правильне твердження: , то ; 2) якщо , то ; 1) якщо 3) якщо 5) якщо

, то , то

; 4) якщо

, то

;

?

13.24. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо: 1)

,

; 2)

,

і

– неколінеарні.

, точка E – середи­на BC. Пря13.25. У чотирикутнику ABCD: , , ма AE перетинає промінь DC у точці F. Серед векторів , , укажіть усі пари: 1) колінеарних векторів; 2) співнапрямлених векторів; 3) протилежно напрямлених векторів; 4) рівних векторів; 5) векторів, що мають рівні модулі.

130

Вектори на площині

13.26. У чотирикутнику ABCD . Через точку O перетину його діагоналей проведено пряму, що перетинає сторони BC та AD , у точках E і F відповідно, причому BE ≠ EC. Серед векторів , , , укажіть усі пари: 1) колінеарних векторів; 2) співнапрямлених векторів; 3) протилежно напрямлених векторів; 4) рівних векторів; 5) векторів, що мають рівні модулі.

Вправи для повторення 13.27. Точка M – середи­на відрізка AB. Знай­діть координати точки: 1) A, якщо М(–2; 5), B(0; –7); 2) В, якщо А(7; –1), M(1,5; 2,5). 13.28. Знай­діть на осі абсцис точку А, відстань від якої до точки В(7; 5) дорівнює 13. 13.29. Дано відрізки а і b (а > b). Використовуючи метричні співвідношення у прямокутному трикутнику, побудуйте відрізок: 1)

; 2)

.

Життєва математика 13.30. Канал, який має в перерізі форму трикутника, 3 м завглибшки перегороджено вертикально щитом у формі рівностороннього трикутника. Щоб визначити гідростатичний тиск на цей щит, потрібно знати його площу. Обчисліть площу щита (з точністю до сотих м2).

Цікаві задачі – поміркуй одначе 13.31. Якого

найменшого

значення може набувати вираз ? За яких значень x та y досягається

це значення?

§ 14. Координати вектора 1. Означення координат вектора Якщо на площині ввести систему координат, то кожен вектор можна задати парою чисел – координатами вектора. Координатами вектора

131

ТЕМА 3

Записують вектор (3; –4), Наприклад,

, указуючи його координати, так: (0; –2).

(x; y).

Приклад 1. Знайти координати вектора

, якщо: 1) А(–2; 5), В(7; 3); 2) А(–4; 8), B(–4; 10).

Розв’язання. 1) За означенням координат вектора маємо: (9; –2). x = 7 – (–2) = 9; y = 3 – 5 = –2, отже, (0; 2). 2) Аналогічно, x = –4 – (–4) = 0; y = 10 – 8 = 2, отже, Відповідь: 1) (9; –2); 2) (0; 2). Координатами вектора можуть бути будь-які дійсні числа. Обидві координати нуль-вектора дорівнюють нулю: (0; 0).

2. Модуль вектора, що задано координатами Відстань AB між точками A(x1; у1) і В(х2; у2) знаходять за формулою . Оскільки x2 – x1 = x і у2 – y1 = у, то

Отже,

.

Приклад 2. Знайти модуль вектора: 1)

(3; –4); 2)

(4; –1).

Розв’язання. ; 2)

1) Відповідь: 1) 5; 2)

.

.

Приклад 3. Модуль вектора

(–6; у) дорівнює 10. Знайти у.

Розв’язання. 1)

.

; тобто 36 + у2 = 100. 2) За умовою Розв’язавши отримане рівняння, матимемо у1,2 = ±8. Відповідь: 8 або –8.

3. Рівність векторів, що задано координатами

Доведення. Розглянемо вектор (х2 – x1; у2 – y1).

132

, де A(x1; y1), В(х2; у2), тоді

Вектори на площині

1) Нехай вектор не лежить на жодній з координатних осей , де C(x; y). (мал. 14.1). Відкладемо від точки O(0; 0) вектор (x; y). У паралелограмі ABCO точка P(x0; y0) – точка перетину Тоді діагоналей. Тоді за формулою координат середини відрізка: і

.

Звідки маємо: x1 + x = x2, у1 + у = y2, а тому x = х2 – x1, у = y2 – y1, (х2 – x1; y2 – y1). Отже, відповідні координати векторів і тобто рівні. лежить на осі x (мал. 14.2), то x – 0 = х2 – x1, тобто Якщо вектор x = х2 – x1, отже, відповідні координати векторів і рівні. лежить на осі y. Аналогічно доводимо у разі, якщо

Мал. 14.1 Мал. 14.2

2) Нехай відповідні координати векторів та рівні (мал. 14.1), тобто x = х2 – x1; у = y2 – y1. Тому x + х1 = x2; у + y1 = y2. У чотирикутнику ABCO точка P1 – середи­н а AC; ; точка P2 – середи­на BO;

;

;

.

Але x + х1 = x2 і у + y1 = y2, тому точки P1 і P2 збігаються, тобто середини діагоналей чотирикутника ABCO збігаються. При цьому точка P1 ділить кожну з них навпіл. Отже, ABCO – паралелограм, а тому . Якщо вектори

і

лежать на осі x і x = х2 – x1, у = y2 – y1

(мал. 14.2), то очевидно, що вектори і співнапрямлені. Аналогічно доводимо у разі, якщо

, а тому й і

, оскільки

лежать на осі y. 

Приклад 4. Дано точки М(–3; 4), N(5; –7), С(4; –2), D(x; у). Знайти x

. та у, якщо (5 – (–3); –7 – 4), тобто (8; –11), (х – 4; y – (–2)), Розв’язання. 1) (х – 4; у + 2). тобто , тому x – 4 = 8 і у + 2 = –11, тобто x = 12, у = –13. 2) Але Відповідь: x = 12, у = –13.

133

ТЕМА 3

Що таке координати вектора? Як знай­ти модуль вектора (x; y)? Доведіть, що рівні вектори мають рівні координати, а вектори з відповідно рівними координатами – рівні.

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 14.1. Знай­діть координати вектора , якщо: 1) А(–3; 5), В(4; –7); 2) А(2; –7), B(2; 3). 14.2. Знай­діть координати вектора , якщо: 1) С(4; –7), D(8; –2); 2) С(5; –1), D(1; –1). 14.3. Знай­діть модуль вектора: 1) (–3; 4); 2) (12; 5). 14.4. Знай­діть модуль вектора: 1) (6; –8); 2) (8; 15). . Знай­ти: х та у. 14.5. Дано: (х; –5), (4; у), 14.6. Дано: (7; у), (х; –2),

. Знай­ти: x та у.

та його модуль: 14.7. Знай­діть координати вектора 1) С(5; –4), D(4; –7); 2) С(–2; 5), D(0; 8). 14.8. Знай­діть координати вектора та його модуль: 1) A(7; –2), В(6; 0); 2) А(2; 7), B(4; 11). 14.9. Чи рівні вектори і якщо: 1) А(5; 7), В(6; –1), М(8; –2), N(9; –10); 2) А(6; –1), B(0; –2), М(4; 5), N(–2; 6)? 14.10. Чи рівні вектори і , якщо: 1) С(4; –2), D(8; –5), Р(7; –1), K(3; –4); 2) C(0; 4), D(7; 0), Р(–3; 2), K(4; –2)? 14.11. Порівняйте модулі векторів і , якщо: ; 2) (2; 1), (–1; 2). 1) (4; 1), 14.12. Порівняйте модулі векторів і , якщо: , (–3; 1); 2) (–1; 4), (4; 1). 1) 14.13. Задано вектори (–6; 8) і (–12; –5). Знай­діть значення , відтак дізнаєтеся, скільки загалом нагород здобула збірна України на перших літніх Олімпійських іграх 1996 р. Дізнайтеся з інтернету про інші досягнення українських спортсменів на олімпійських іграх. , 14.14. Задано вектори (12; –16) і (8; 15). Знай­діть значення відтак дізнаєтеся, яке загальнокомандне місце посіла пара­лім­ пійська збірна України на іграх 2016 р., здобувши 41 золоту, 37 срібних і 39 бронзових нагород. Дізнайтеся з інтернету про героїв тієї Олімпіади.

134

Вектори на площині

14.15. Дано точки С(2; –3), D(4; –5), М(3; 5), N(x; у). Знай­діть x та у, . якщо 14.16. Дано точки А(2; –5), B(3; –6), С(х; у), D(0; 5). Знай­діть x та у, якщо . 14.17. Вектор (4; –7) відкладено від точки Р(–2; 5). Знай­діть координати кінця вектора. 14.18. Вектор (–3; 2) відкладено від точки M(4; –1). Знай­діть координати кінця вектора. 14.19. Точка А(–2; 7) – кінець вектора (7; –5). Знай­діть координати початку вектора. 14.20. Точка B(1; –8) – кінець вектора (–3; 0). Знай­діть координати початку вектора. 14.21. Знай­діть координати вершини В паралелограма ABCO (мал. 14.3). 14.22. Сторона квад­рата дорівнює 6 (мал. 14.4). , де M – Знай­діть координати вектора середи­на BC. 14.23. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, якщо А(2; 0), B(0; 3), С(2; –2), D(4; –5). 14.24. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник KLMN є паралелограмом, якщо K(0; –2), L(3; 0), M(7; 2), N(4; 0). 14.25. Модуль вектора (х; –3) дорівнює 5. Знай­діть х.

Мал. 14.3

Мал. 14.4

14.26. Модуль вектора (–8; у) дорівнює 10. Знай­діть у. 14.27. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD з вершинами A(4; 2), B(5; 5), С(4; 8) і D(3; 5) – ромб. 14.28. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD з вершинами А(–1; 4), В(–1; 0), С(4; 0) і D(4; 4) – прямокутник. 14.29. Модуль вектора (x; у) дорівнює . Знай­діть координати вектора , якщо координата x цього вектора на 2 більша за координату у. 14.30. Модуль вектора (х; у) дорівнює ра , якщо їхня сума дорівнює 1.

. Знай­діть координати векто-

14.31. Знай­діть рівняння координат усіх таких точок В, що вектор має той самий модуль, що і вектор (2; –3), якщо А(4; 5).

Вправи для повторення 14.32. Чи можуть сторони трикутника бути пропорційні числам: 1) 5, 7, 2; 2) 5, 6, 7; 3) 11, 8, 2?

135

ТЕМА 3

14.33. Сторони трикутника дорівнюють 11 см, 14 см і 17 см. Знай­діть периметр подібного йому трикутника, сума найбільшої та найменшої сторін якого дорівнює 70 см. 14.34. Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить висоту, проведену до основи, у відношенні 5 : 3. Знай­діть периметр трикутника, якщо його бічна сторона на 3 см менша від основи.

Життєва математика 14.35. Щоб засіяти 1 м2 землі, потрібно 40 г насіння газонної трави. Кілограм такого насіння коштує 180 грн. Скільки коштів знадобиться, щоб засіяти газонною травою клумбу прямокутної форми зі сторонами 30 м і 20 м?

Цікаві задачі – поміркуй одначе 14.36. Дано трапецію ABCD з основами AD і BC. Бісектриса кута ABC перетинає середню лінію трапеції в точці N, а основу AD – у точці K. Чи можна знай­ти градусну міру кута ANB? У разі ствердної відповіді знай­діть градусну міру цього кута.

§ 15. Додавання та віднімання векторів 1. Додавання векторів, що задані координатами. Властивості додавання векторів Як і числа, вектори можна додавати й віднімати. Результатом додавання або віднімання векторів є вектор. Сумою векторів

Наприклад, сумою векторів (–5; 2) і (–5 + 4; 2 + (–11)), тобто (–1; –9). Для суми векторів справджуються рівності:

(4; –11) є вектор

Для доведення цих властивостей досить порівняти відповідні координати, що стоять у лівій і правій частинах рівностей. Ці координати рівні між собою, а вектори з відповідно рівними координатами рівні.

136

Вектори на площині

Приклад 1. За якого значення x модуль вектора

буде наймен-

шим, якщо (–2; 3), (х; 4), (3; 8)? Розв’язання. 1) Нехай тобто (х + 1; 15).

. Тоді

2) Знайдемо його модуль:

(–2 + х + 3; 3 + 4 + 8), . Модуль вектора

буде

найменшим, коли вираз (х + 1)2 набуватиме найменшого значення. Це значення дорівнює 0 і досягається, якщо х = –1. Відповідь: х = –1.

2. Правило трикутника додавання векторів

Доведення. Нехай A(x1; y1), В(х2; у2), С(х3; y3) – дані точки (мал. 15.1). Тоді (x3 – x2; y3 – у2),

(x2 – x1; у2 – у1),

(x3 – x1; y3 – у1). Позначимо

, маємо: (x2 – x1 + x3 – x2; y2 – y1 + y3 – y2) = Отже,

, тому

Мал. 15.1

(x3 – x1; y3 – y1).

.

Отже, приходимо до правила побудови суми двох довільних векторів і – правила трикутника (мал. 15.2): 1) від кінця вектора відкладаємо вектор ; 2) будуємо вектор, початок якого збігається з початком вектора , а кінець – із кінцем вектора ; цей вектор і є сумою векторів і .

Мал. 15.2

3. Правило паралелограма додавання векторів Суму двох векторів можна знаходити і за правилом паралелограма (мал. 15.3): 1) відкладаємо вектори і від спільного початку (точки K); 2) будуємо на цих векторах паралелограм; 3) будуємо вектор, що є діагоналлю паралелограма, яка виходить із точки K; цей вектор і буде сумою векторів і . , але , тому Справді ; . Мал. 15.3

137

ТЕМА 3

Зауважимо, що за правилом трикутника можна знай­ти суму будьяких двох векторів, а за правилом паралелограма – лише неколінеарних.

4. Віднімання векторів, що задані координатами

Маємо: x3 + x2 = x1, у3 + у2 = у1. Тоді x3 = x1 – x2, у3 = у1 – у2. Отже,

5. Побудова різниці двох векторів Оскільки (мал. 15.1), то . Звідси отримаємо правило побудови різниці двох векторів і (мал. 15.4): 1) відкладаємо вектори і від спільного початку; 2) будуємо вектор, початок якого збігається з кінцем вектора , а кінець – із кінцем вектора , що і є різницею векторів і . Приклад 2. Діагоналі паралелограма ABCD перети-

, . Винаються в точці O (мал. 15.5), і через вектори і . разити вектори Розв’язання. ; . 1) , тому . Але , звідси . 2) , тому . Але Відповідь:

,

.

Мал. 15.4

Мал. 15.5

У «Началах» Евкліда дії додавання та віднімання зводилися до додавання та віднімання відрізків, а дія множення – до побудови прямокутника на відрізках, дов­жини яких дорівнюють дов­жинам множників. 1587 р. голландською мовою було опубліковано трактат фламандського вченого С. Стевена «Початки статики». У ньому автор розглянув додавання двох взаємно перпендикулярних сил та прийшов до виснов­ку, що для розв’язування цієї задачі необхідно скористатися «паралелограмом сил». Також С. Стевен упровадив стрілки для позначення сил.

138

Вектори на площині

Значно пізніше французький математик Луї Пуансо (1777–1859) у праці «Елементи статики», яка вийшла 1803 р., розробив теорію векторів, що відповідають силам, які діють у різних напрямках. Який вектор називають сумою векторів (x1; y1) і (х2; у2)? Сформулюйте і доведіть теорему про правило трикутника додавання векторів. Сформулюйте правило трикутника для додавання векторів. Сформулюйте правило паралелограма для додавання векторів. Що називають різницею двох векторів? Як знай­ти різницю векторів (x1; y1) і (x2; y2)? Сформулюйте правило побудови різниці двох векторів.

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 15.1. Знай­діть суму векторів і , якщо: 1) (2; –5), (4; 7); 2) (–3; 8), (3; –11). 15.2. Знай­діть суму , якщо: 1) (4; –7), (–2; 5); 2) (4; –7),

(–6; 7).

15.3. Знай­діть різницю , якщо: 1) (8; –5), (4; 0); 2) (2; –3),

(5; –2).

15.4. Знай­діть різницю векторів 1) (4; –2), (5; –7); 2) (–2; 5), (4; 0).

і , якщо:

15.5. (Усно.) На яких із малюнків 15.6–15.10 вектор ? а на яких – різницею

є сумою

,

Мал. 15.6 Мал. 15.7 Мал. 15.8 Мал. 15.9 Мал. 15.10

15.6. Дано вектори і (мал. 15.11). Побу. дуйте вектор 15.7. Накресліть два неколінеарних вектори і . . Побудуйте вектор 15.8. Накресліть два неколінеарних вектори . і . Побудуйте вектор 15.9. Дано вектори і (мал. 15.11). Побудуйте . вектор 15.10. Дано паралелограм ABCD (мал. 15.12). Виі через вектори разіть вектори . і

Мал. 15.11

Мал. 15.12

139

ТЕМА 3

15.11. Дано: (2; 1), (х; у), (–2; 8), . Знай­ти: x + у. Дізнаєтеся, скільки разів українські атлети ставали призерами змагань із силової атлетики «Найсильніша людина світу» (World’s Strongest Man). 15.12. Дано: (3; –1), (х; у), (0; 2), . Знай­ти: x та у. 15.13. ABCD – паралелограм. Знай­діть суму: 1) ; 2) ; 4) 3) 15.14. ABCD – паралелограм. Знай­діть суму:

; .

; 2) . 1) 15.15. ABCD – паралелограм (мал. 15.13). Доведіть, . що 15.16. ABCD – паралелограм (мал. 15.14). Доведіть, . що 15.17. Доведіть, що для будь-яких точок K, L, M, T . справджується рівність 15.18. Дано точки A(0; –8) і B(10; 0). Знай­діть ко. ординати точки K такої, що 15.19. Дано точки С(6; 0) і D(0; –18). Знай­діть ко. ординати точки А такої, що

Мал. 15.13

Мал. 15.14

15.20. Дано вектори (–2; 5), (3; –4), (х; 8). За якого значення буде найменшим? x модуль вектора 15.21. Дано вектори (4; –3), у модуль вектора

(9; у), (–2; 5). За якого значення буде найменшим?

Вправи для повторення 15.22. ABCD – трапеція з основами AB і CD. Укажіть усі пари: 1) співнапрямлених векторів; 2) протилежно напрямлених векторів. 15.23. Сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 8 см, а висота, проведена до меншої сторони, дорівнює 4 см. Знай­діть висоту, проведену до більшої сторони. 15.24. Знай­діть значення виразу

, якщо tg α = 5.

Життєва математика 15.25. Брус, поперечним перерізом якого є прямокутник, має найбільшу міцність тоді, коли перпендикуляри, проведені з протилежних вершин цього прямокутника до його діагоналі, ділять її на три рівні частини. Визначте з точністю до десятих см, яких максимальних розмірів можна випиляти брус із колоди циліндричної форми діаметром 36 см. Примітка. Врахуйте максимальні розміри бруса.

140

Вектори на площині

Цікаві задачі – поміркуй одначе 15.26. (Національна олімпіада Швеції, 1982 р.) Доведіть, що коли для деякої точки O, яка лежить у внутрішній області чотирикутника ABCD, площі трикутників ABO, BCO, CDO і DAO рівні між собою, то ця точка належить хоча б одній з діагоналей AC або BD.

§ 16. Множення вектора на число 1. Множення вектора, який задано координатами, на число. Властивості множення вектора на число Знаючи, що таке сума векторів, можна розглядати суми вигляду , тощо. Такі суми, як і в алгебрі, будемо записувати тощо. у вигляді добутків , Результатом множення вектора на число є вектор. Добутком вектора Наприклад, добутком вектора (–5; 4) на число –1 є вектор – (5; –4), (–10; 8), на число 3 – вектор (–15; 12). на число 2 – вектор Для добутку вектора на число справджуються властивості:

Для доведення цих властивостей досить порівняти відповідні координати лівої та правої частин рівностей. Ці координати між собою рівні, а отже, рівні й вектори. За означенням суми, різниці векторів та добутку вектора на число можна визначити координати будь-якого вектора, записаного у вигляді алгебраїчної суми векторів, координати яких відомо. Приклад 1. Дано вектори

(2; –5) і (–4; 1). Знайти координати векто-

ра: 1) ; 2) . Розв’язання. Розв’язання зручно записати так: 2) 1) Відповідь: 1) 2)

(–24; –3); (22; –46).

141

ТЕМА 3

2. Теорема про добуток вектора на число

Доведення. Побудуємо в координатній площині вектори та , , де точка O – початок координат що відповідно рівні векторам і (мал. 16.1). Нехай вектор має координати (х0; у0), тоді маємо: (λx0; λy0), А(х0; у0), В(λx0; λy0). Складемо рівняння прямої OA: , спростивши яке, отримаємо: у0х – х0у = 0. Координати точки В задовольнятимуть це рівняння. Справді: у0 · λx0 – x0 · λy0 = 0. Це означає, що точка B належить прямій OA. У разі, коли вона належить променю OA, її координати λx0 і λy0 мають відповідно ті самі знаки, що й координати x0 та y0 точки A (мал. 16.1). У разі, коли точка B лежить на доповняльному до OA промені, її координати λx0 і λy0 матимуть знаки, протилежні до знаків координат x0 та y0 точки A (мал. 16.2).

Мал. 16.1 Мал. 16.2 Мал. 16.3

Якщо λ > 0, то точка В лежатиме на промені OA, а якщо λ < 0, то точка В лежатиме на доповняльному до OA промені. Тому якщо λ > 0, то вектори і – співнапрямлені, а якщо λ < 0, то вони – протилежно напрямлені. Знайдемо модуль вектора :  На малюнку 16.3 для даного вектора ,

142

.

побудовано вектори

,

,

Вектори на площині

3. Умова колінеарності векторів Із прикладу вище та доведеної тео­реми випливає важливий висновок:

Нехай дано вектори

(x1; у1) і

(х2; у2). Якщо вони колі­неарні, то

, x2 = λx1 і у2 = λy1. Тоді (якщо x1 ≠ 0 і у1 ≠ 0) маємо, що і

, тому

, тобто координати колінеарних векторів про­

пор­ційні. Отже, приходимо до умови колінеарності векторів:

Приклад 2. За якого значення х вектори

(2; –7) і (х; 21) колінеарні? Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори? Розв’язання. 1) Нехай 2) Оскільки

, тоді

= –3 < 0, то

, звідки x = –6. .

Відповідь: х = –6; протилежно напрямлені. Який вектор називають добутком вектора (х; у) на число λ? Сформулюйте і доведіть теорему про добуток вектора на число. Сформулюйте умови колінеарно­ сті векторів.

143

ТЕМА 3

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 16.1. Дано: (2; –4). Знай­діть: ; 3) ; 4) 1) ; 2) 16.2. Дано: (–6; 2). Знай­діть: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

; 5)

; 6)

; 5)

; 6)

16.3. Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори 1)

; 2)

; 2)

; 3)

.

і , якщо:

?

16.4. Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори ; 2) ? 1) 16.5. Накресліть вектор . Побудуйте вектор: 1)

.

; 4)

; 5)

і , якщо:

; 6)

.

16.6. Накресліть вектор . Побудуйте вектор: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

; 5)

; 6)

.

16.7. На малюнку 16.4 KL – середня лінія трикутника ABC. Виразіть: 1) через ; 2) через . 16.8. Дано вектори (–1; 2) і (3; 1). Знай­діть координати вектора: Мал. 16.4 ; 2) = ; 1) = ; 4) = . 3) = 16.9. Дано вектори (1; –5) і (4; –1). Знай­діть координати вектора: ; 2) = ; 3) = ; 4) = . 1) = 16.10. Чи колінеарні вектори: 1) (2; –3) і (6; –9); 2) (–1; 5) і (2; 10)? 16.11. Чи колінеарні вектори: 1) (–3; 1) і (9; 3); 2) (4; –1) і (8; –2)? 16.12. Дано вектор (–6; 8). Знай­діть модуль вектора: 1) ; 2) . 16.13. Дано вектор (3; –4). Знай­діть модуль вектора: 1) ; 2) . і ? 16.14. (Усно.) Чи завжди колінеарні вектори 16.15. Серед векторів (1; –2), (–2; 4), (4; –8), (–0,2; 0,4) знай­діть пари співнапрямлених і пари протилежно напрямлених векторів. 16.16. Серед векторів (–1; 3), (3; –9), (–0,1; 0,3), (30; –90) знай­ діть пари співнапрямлених і пари протилежно напрямлених векторів. 16.17. Дано: (–2; 3), (–5; 1). Знай­діть модуль вектора: 1)

144

; 2)

.

Вектори на площині

16.18. Дано: (–1; 4), (–6; 7). Знай­діть модуль вектора: ; 2) . 1) 16.19. 1) Дано: (4; –6), (–2; 0), (–7; –1). Знай­діть координати вектора

.

, відтак дізнаєтеся, скільки разів жіноча збірна 2) Знай­діть України із шахів була призеркою чемпіонатів Європи. 16.20. Дано вектори

і

(мал. 16.5). Побудуйте вектор

і

(мал. 16.6). Побудуйте вектор

. 16.21. Дано вектори

Мал. 16.5

.

16.22. За якого значення т колінеарні вектори: 1) (–4; 5) і (–12; m); 2) (т; –1) і (–4; 2)? Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці векМал. 16.6 тори? 16.23. За якого значення n колінеарні вектори: 1) (1; n) і (–4; 8); 2) (12; 9) і (n; 3)? Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори? 16.24. За якого значення p вектори (1; р) і (р; 16) протилежно напрямлені? 16.25. За якого значення t вектори (t; 4) і (1; t) співнапрямлені? 16.26. Дано паралелограм ABCD (мал. 16.7). Виразіть вектор і . вектори

через

Мал. 16.7 Мал. 16.8

16.27. M і N – середини сторін AB і BC трапеції ABCD (мал. 16.8). Доведіть, що

.

16.28. Знай­діть координати вектора (–8; 6), якщо .

, колінеарного вектору

16.29. Знай­діть координати вектора , колінеарного вектору (5; –12), . якщо

145

ТЕМА 3

16.30. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(–1; 4), B(5; 7), С(5; 2), D(–3; –2) є трапецією. 16.31. Доведіть, що точки А(5; –1), B(6; 2) і C(8; 8) лежать на одній прямій. , де O – 16.32. На колі x2 + у2 = 1 знай­діть таку точку А, щоб вектор початок координат, був співнапрямлений з вектором (3; –4).

Вправи для повторення 16.33. AB – діаметр кола, радіус якого дорівнює 5 см, точка C належить колу. Знай­діть дов­жину медіани CM трикутника ABC. 16.34. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 16 см, а гострий кут – 60°. Знай­діть діагональ трапеції та її площу. 16.35. Хорда AB ділить коло у відношенні 2 : 3. У точці А до кола проведено дотичну. Знай­діть менший кут між дотичною і хордою.

Життєва математика 16.36. Юля на міському велосипеді проїхала 3,6 км. Діа­метри його переднього і заднього коліс дорівнюють відповідно 80 см і 60 см. На скільки більше обертів зробило заднє колесо порівняно з переднім? (Прийміть π ≈ 3.)

Цікаві задачі – поміркуй одначе 16.37. До катетів прямокутного трикутника провели медіани 3 см і 4 см завдовжки. Знай­діть гіпотенузу трикутника.

§ 17. Скалярний добуток векторів 1. Означення скалярного добутку векторів та його властивості Розглянемо ще одну операцію з векторами – скалярний добуток векторів.

Позначають скалярний добуток векторів так само, як добуток чисел або . або змінних: Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів:

1)

(–2; 7) і

(4; 1); 2) (0; 8) і

(–2; 5).

Розв’язання. 1) = –2 · 4 + 7 · 1 = –1; = 0 · (–2) + 8 · 5 = 40. 2) Відповідь: 1) –1; 2) 40.

146

Вектори на площині

З означення скалярного добутку векторів випливають такі властивості:

Для доведення цих властивостей достатньо порівняти числа, яким відповідно дорівнюватимуть ліва і права частини рівностей.

2. Скалярний квад­рат вектора Знайдемо скалярний добуток рівних між собою векторів. Нехай дано вектор (x1; y1). Тоді Скалярний добуток вектора самого на себе вають скалярним квад­ратом вектора.

З останньої рівності випливає, що

позна­чають

і нази-

.

3. Поняття про кут між векторами Кутом між двома ненульовими векторами

Мал. 17.1 Мал. 17.2 Мал. 17.3 Мал. 17.4

Кут між співнапрямленими векторами дорівнює нулю (мал. 17.3), кут між протилежно напрямленими векторами дорівнює 180° (мал. 17.4).

4. Теорема про скалярний добуток векторів і наслідки з неї

147

ТЕМА 3

Доведення. Нехай Доведемо, що

і

– задані вектори, а ϕ – кут між ними. .

Розглянемо скалярний квад­рат вектора вості скалярного добутку векторів, матимемо:

. Враховуючи власти-

. Враховуючи властивості скалярного квад­рата, отримаємо: ; звідки

,

тобто скалярний добуток векторів залежить від дов­жини векторів , , а тому не залежить від вибору системи координат. і Виберемо таку систему координат, щоб додатний напрямок осі . абсцис збігався з напрямком вектора . Тоді Якщо ϕ = 0° (мал. 17.5), то

і тоді .

Нехай 0° < ϕ < 90° (мал. 17.6). Тоді а тому

,

,

. Маємо: .

Якщо ϕ = 90° (мал. 17.7), то і

.

Мал. 17.5 Мал. 17.6 Мал. 17.7 Мал. 17.8

Якщо 90° < ϕ < 180° (мал. 17.8), то ,

.

Оскільки друга координата вектора дорівнює числу, протилежному дов­жині відрізка OK, то координатами вектора є пара чисел , а тому .

148

Вектори на площині

Якщо ϕ = 180° (мал. 17.9), то координатами вектора є пара чисел . Тому . Отже, для будь-яких значень 0° J ϕ J 180° маємо: cos ϕ. 

Домовимося кут між векторами ∠

і

Мал. 17.9

позначати так:

або

.

Приклад 2. За якого значення x вектори

(х; –3) і (6; 10) взаємно перпендикулярні? Розв’язання. Щоб вектори були взаємно перпендикулярними, їхній скалярний добуток має дорівнювати нулю. Маємо: 6х + (–3) · 10 = 0, звідки х = 5. Відповідь: х = 5.

Приклад 3. Дано:

Знайти: Розв’язання. Оскільки

Відповідь:

, ∠ ( , ) = 120°.

, .

, то

.

5. Знаходження кута між векторами Скалярний добуток векторів дає змогу знай­ти косинус кута між ненульовими векторами де ϕ = ∠

(x1; у1) і (х2; у2). Оскільки

cos ϕ,

, то

149

ТЕМА 3

Оскільки

= х1х2 + y1y2;

;

, то

За косинусом кута між векторами можна знай­ти і градусну міру кута (за таблицями або за допомогою калькулятора). Приклад 4. Знайти градусну міру кута C трикутни-

ка ABC, якщо А(3; 5), B(3; 7), C(1; 5). Розв’язання. 1) Кут C трикутника ABC збігається і (мал. 17.10), тобто з кутом між векторами . ∠C = ∠ 2) Маємо: (3 – 1; 5 – 5), тобто (2; 0); (3 – 1; 7 – 5), тобто (2; 2).

Мал. 17.10

3) Тоді

,

звідки ∠ C = 45°. Відповідь: 45°. Що називають скалярним добутком векторів? ратом вектора

? Чому він дорівнює?

Що називають скалярним квад­

Що називають кутом між векторами

? Сформулюйте і доведіть теорему про скалярний добуток векторів. Сфорі мулюйте наслідки із цієї теореми. Як знай­ти косинус кута між векторами?

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 17.1. Знай­діть скалярний добуток векторів: 1) (–2; 1) і (0; 3); 2) (1; –3) і (–2; 1). 17.2. Знай­діть скалярний добуток векторів: 1) (1; –4) і (5; 0); 2) (2; –1) і (1; 3). , якщо: 1) (–1; –2); 2) (4; 1). 17.3. Знай­діть 17.4. Знай­діть , якщо: 1) (3; –1); 2) (0; –5). = –10, = 0, = 5. Який з векторів , 17.5. Дано: пендикулярний до вектора ?

150

або

пер-

Вектори на площині

17.6. Використовуючи транспортир, накресліть два вектори, що мають спільний початок і кут між якими дорівнює 140°. 17.7. Використовуючи транспортир, накресліть два вектори, які мають спільний початок і кут між якими дорівнює 50°. 17.8. Дано (–2; 5) і

= 16?

(х; 4). За якого значення x

17.9. Дано вектори (3; у) і (–1; 5). За якого значення у 17.10. Дано: ∠ ( , ) = ϕ. Знай­діть

, якщо:

1)

,

, ϕ = 30°; 2)

3)

,

, ϕ = 135°; 4)

17.11. Дано: ∠ ( , ) = ϕ. Знай­діть

= 7?

, ϕ = 60°;

, ,

, ϕ = 180°.

, якщо:

1)

,

, ϕ = 0°; 2)

,

, ϕ = 45°;

3)

,

, ϕ = 120°; 4)

,

, ϕ = 150°.

17.12. Доведіть, що вектори (–1; 10) і (20; 2) взаємно перпендикулярні. 17.13. Доведіть, що вектори (4; –3) і (6; 8) взаємно перпендикулярні. 17.14. Чи є взаємно перпендикулярними вектори і , якщо: 1) (1; 5), (–5; –1); 2) (2; 3), (–6; 4)? 17.15. Чи є взаємно перпендикулярними вектори і , якщо: 1) (2; –1), (1; 2); 2) (0; 4), (2; 3)? 17.16. За якого значення x вектори (–2; 5) і (х; 4) взаємно перпендикулярні? 17.17. За якого значення у вектори (10; у) і (–4; 5) взаємно перпендикулярні? 17.18. Дано вектори (3; 0) і (2; 2). Обчисліть кут між векторами

і .

17.19. Дано вектори (1; 0) і (–2; 2). Знай­діть кут між векторами і . 17.20. Знай­діть кути трикутника, вершинами якого є точки А(–3; 0), B(0; 4) і С(4; 1). З’ясуйте вид трикутника. 17.21. Знай­діть косинуси кутів трикутника KLM, де K(0; 6), L(–8; 0) і M(3; 2). З’ясуйте вид трикутника. 17.22.

і

– два ненульових вектори. Знай­діть кут між ними, якщо:

1)

; 2)

3)

; 4)

; .

151

ТЕМА 3

17.23. Знай­діть скалярний добуток векторів

і

(мал. 17.11 і 17.12).

Мал. 17.11 Мал. 17.12 Мал. 17.13 Мал. 17.14

17.24. Знай­діть скалярний добуток векторів люнках 17.13 і 17.14. 17.25. Дано: ∠ ( , ) = 120°, 1)

; 2)

17.26. Дано: ∠ ( , ) = 60°,

і , зображених на ма-

= 4,

= 3. Знай­ти:

; 3)

; 4)

,

.

. Знай­ти:

1) ; 2) ; 3) ; 4) . 17.27. Паралімпієць-візочник, українець Олег Іваненко, проплив , 62 км Ла-Маншем. Знай­діть скалярний добуток , = 60°, відтак дізнаєтеся, за скільки гоякщо дин спортсмен проплив цю небезпечну протоку. = 3, = 4. Чи може дорівнювати: 17.28. Дано: 1) –12; 2) –6; 3) –14; 4) 0; 5) 11; 6) 17.29. Дано: 1)

; 2)

17.30. Дано: 1)

= 4,

, ; 2)

17.31. Відомо, що

, ∠ ( , ) = 150°. Знай­ти: .

, ∠ ( , ) = 60°. Знай­ти: . , а вектори

лярні. Знай­діть кут між векторами 17.32. Відомо, що

і

взаємно перпендику-

і .

, ∠ ( , ) = 60°. Доведіть, що вектори

взаємно перпендикулярні. 17.33. Знай­діть координати вектора , колінеарно= –34. го вектору (–1; 4), якщо 17.34. Знай­діть координати вектора , колінеарно= 30. го вектору (3; –1), якщо 17.35. Знай­діть скалярний добуток векторів і , зображених на малюнку 17.15.

152

?

Мал. 17.15

і

Вектори на площині

17.36. Знай­діть скалярний добуток векторів зображених на малюнку 17.16.

і ,

17.37. Знай­діть координати вектора , перпендикулярного до вектора (–2; 1), якщо . 17.38. Знай­діть координати вектора , перпендикулярного до вектора (1; –5), модуль якого дорівнює модулю вектора . 17.39. Відомо, що

,

буток векторів

,

, і

Мал. 17.16

. Обчисліть скалярний до.

Вправи для повторення 17.40. Знай­діть координати вектора та його модуль, якщо: 1) С(5; –2), D(–1; –10); 2) C(0; –5), D(7; 0). 17.41. За якого значення т вектори (т; –2) і (–8; т) колінеарні? 17.42. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо А(3; 1), B(7; 4), С(4; 0), D(0; –3). 17.43. Чи лежать точки А(–2; 3), B(0; 4) і С(8; 8) на одній прямій?

Життєва математика 17.44. Дві водопровідні труби однакового діаметра d потрібно замінити однією трубою з такою самою пропускною здатністю. Яким має бути діаметр цієї труби порівняно з діаметром кожної із замінних труб?

Цікаві задачі – поміркуй одначе 17.45. Точки K і L – середини сторін AB і CD опуклого чотирикутника ABCD,

. Доведіть, що AD || BC.

ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 3 (§§ 13–17) Завдання 1–12 мають по чотири варіанти відповідей (А–Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді. 1. Дано: (–2; 5), (4; 1), . Які координати у вектора ? А. (–6; 4) Б. (–2; 6) В. (2; 6) Г. (2; 4) 2. Дано: (5; –1), (2; 3), . Які координати у вектора А. (3; 2) Б. (3; –4) В. (–3; –4) Г. (7; –4)

?

3. Чому дорівнює скалярний добуток векторів (2; –5) і (1; –2)? А. –4 Б. 0 В. –8 Г. 12

153

ТЕМА 3

4. Знай­діть модуль вектора , якщо A(–4; 6), B(0; 9). А. 5 Б. 6 В. 8 Г. 9 5. Укажіть вектор, що є сумою векторів жених на малюнку 1.

і , зобра-

Мал. 1

А. Б. В. Г.

, якщо (–2; 4), (3; 7). 6. Знай­діть координати вектора А. (–5; –3) Б. (–3; 19) В. (–15; –9) Г. (–9; 5) 7. Дано вектори (x; –2) і (6; 12). За якого значення х вектори і колінеарні? А. 4 Б. –1 В. 1 Г. –4 8. Дано вектори (3; –8) і (12; y). За якого значення y вектори і перпендикулярні? А. 4,5 Б. 32 В. –32 Г. –4,5 9. Дано вектори (–2; 0) і (3; –3). Знай­діть ∠ ( , ). А. 45° Б. 60° В. 120° Г. 135° 10. Модуль вектора (x; y) дорівнює 5. Знай­діть координати вектора , якщо координата x цього вектора на 1 менша від координати y. А. (3; 4) Б. (3; 4) або (–4; –3) В. (–4; –3) Г. (4; 3) 11. Чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(7; 15), B(5; 9), С(7; 3), D(9; 9) є… А. квад­ратом Б. трапецією В. ромбом Г. прямокутником 12. Дано:

,

А. 5 Б. 4 В.

, ∠ ( , ) = 45°. Знай­ти:

.

Г. 3

У завданні 13 потрібно встановити відповідність між інфор­ мацією, позначеною цифрами та буквами. Одна відповідь зайва. 13. Дано вектори (5; –4), (2; –14), (x; –8). Установіть відповідність між характеристиками векторів, або результатами дій над ними (1–3), та їхніми числовими значеннями (А–Г). Характеристики векторів або результати дій над ними 1. Модуль вектора 2. 3. Значення x, за якого

154

Числове значення А. 5 Б. 6 В. 7 Г. 8

Вектори на площині

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 13–17 1. Позначте в зошиті точки A, K і L, що не лежать на одній і . прямій. Накресліть вектори 2. Дано вектори (–2; 4) і (7; 1). Знай­діть координати вектора: 1) ; 2) . 3. Знай­діть скалярний добуток векторів (4; –7) і (2; 1). 4. Знай­діть координати вектора та його модуль, якщо А(–2; 4), В(2; 1). 5. Дано вектори (–1; 4) і (4; 5). Знай­діть координати вектора . 6. Дано вектори і (мал. 1). Побудуйте вектори: 1)

; 2)

.

7. Дано вектори (x; –2) і (5; 10). За якого значення х вектори і : 1) колінеарні; 2) перпендикулярні? 8. Дано вектори (0; –3) і (1; –1). Знай­діть кут між Мал. 1 векторами і . 9. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник з вершинами в точках А(4; 8), B(10; 10), С(16; 8), D(10; 6) – ромб.

Додаткові завдання 10. Доведіть, що точки А(5; –7), B(6; –9) і С(3; –3) лежать на одній прямій. 11. Відомо, що

,

,

. Знай­діть

.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ТЕМИ 3 До § 13 1. Укажіть початок і кінець вектора: ; 2) ; 3) . 1) 2. Позначте три точки А, В і K, що не лежать на одній прямій. Накресліть деякі три вектори, початок і кінець яких збігаються з якими-небудь двома із цих точок. Запишіть усі вектори, що утворилися, і назвіть початок і кінець кожного з них. 3. Накресліть два протилежно напрямлених вектори і , вектор , співнапрямлений з вектором , та вектор , співнапрямлений з вектором . 1) Виконайте відповідні записи за допомогою символів ↑↑ і ­↑↓. 2) Чи є колінеарними вектори і ? 3) Співнапрямлені чи протилежно напрямлені вектори і ?

155

ТЕМА 3

4. На малюнку 1 ABCD – ромб. Укажіть рівні вектори та вектори, що мають рівні модулі. Виконайте відповідні записи.

Мал. 1 Мал. 2

5. 1) Знай­діть модулі векторів, зображених на малюнку 2, якщо сторона клітинки дорівнює одиниці вимірювання відрізків. 2) Які з них мають однакові модулі? Виконайте відповідні записи. 6. ABCD – паралелограм, O – точка перетину його діагоналей. Укажіть вектор, що дорівнює вектору: ; 2) ; 3) ; 4) . 1) 7. ABCD – прямокутна трапеція (∠ A = ∠ B = 90°), ∠ C = 45°, , і . АB = 5, BC = 12. Знай­діть модулі векторів 8. 1) Чи правильне твердження: «Якщо вектори не є рівними, то їхні модулі також не є рівними»? 2) Чи правильне обернене твердження? 9. ABC – прямокутний трикутник (∠ C = 90°), ∠ A = 45°. Чи правильне твердження: 1)

;   2)

10. ABCD – ромб, вектор

так, що

;   3)

;   4)

?

Від вершини А відкладено

, . Знай­діть

.

До § 14 , якщо: 11. Знай­діть координати вектора 1) M (2; –5), N(4; –1); 2) M(–3; 5), N(–2; 0). 12. Знай­діть модуль вектора: 1) (–4; –3); 2) (–12; 5). 13. Чи рівні вектори і , якщо: 1) С(–2; 3), D(4; 7), (6; –4); 2) C(0; 5), D(4; 4), (4; –1)? 14. Серед векторів (–2; 5), (1; 4), (–4; 1) знай­діть ті, що мають рівні модулі.

,

(–5; 2),

(3; 0),

15. Дано точки K(5; –7), L(4; 0), М(х; 5), N(0; у). Знай­діть х та у, якщо .

156

Вектори на площині

16. Дано точки А(–2; 3) і B(4; –5). Знай­діть координати точки C такої, що: ; 2) . 1) 17. У ромбі ABCD AC = 8, BD = 6 (мал. 3). , , і Знай­діть координати векторів . 18. Дано три вершини А(2; –3), В(4; –7) і С(–5; 3) паралелограма ABCD. Знай­діть за Мал. 3 допомогою векторів координати вершини D. 19. Модуль вектора (х; х) дорівнює . Знай­діть х. 20. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник з вершинами А(5; 7), B(6; 4), С(3; 3), D(2; 6) – квад­рат. . Знай­діть координати век21. Модуль вектора (х; у) дорівнює тора , якщо його координата у в 4 рази більша за координату х. До § 15 22. Знай­діть і , якщо: 1) (4; 0), (0; –5); 2) (2; –3), (4; 3). 23. Накресліть два неколінеарних вектори і . Знай­діть їхню суму за правилом: 1) трикутника; 2) паралелограма. 24. Накресліть вектори

і

. Побудуйте різницю цих векторів.

25. Дано: (2; –1), (3; 5), (х; у), . Знай­ти: x, у. 26. ABCD – ромб (мал. 4), O – точка перетину його і через вектори діагоналей. Виразіть вектори і . 27. Не виконуючи малюнка, знай­діть суму: ; 2)

1)

.

28. Чи може бути нульовим вектором сума трьох векторів, модулі яких дорівнюють: 1) 3; 7; 10; 2) 2; 9; 10; 3) 13; 5; 6?

Мал. 4

До § 16 29. Дано: (9; –3). Знай­діть координати вектора: 1)

; 2)

; 3)

;

; 5) ; 6) . 4) 30. На малюнку 5 задано вектор вектор: ; 2) ; 3) ; 1) 4)

; 5)

; 6)

. Побудуйте Мал. 5

.

157

ТЕМА 3

31. Дано вектори (–1; 2) і 1) 32. Дано:

; 2)

(0; –1). Знай­діть координати вектора:

; 3)

; 4)

.

(–2; 3), (4; 2). Порівняйте модулі векторів

і

. 33. За яких значень x вектори (1; х) і (х; 9) колінеарні? Співнапрямлені чи протилежно напрямлені ці вектори? 34. AM – медіана трикутника ABC. Доведіть, що . . На яке 35. На площині задано вектор . Відомо, що число потрібно помножити цей вектор, щоб отримати протилежно напрямлений йому вектор, модуль якого дорівнює 5? через 36. ABCD – паралелограм (мал. 6 і 7). Виразіть вектор вектори і .

Мал. 6 Мал. 7

37. Дано ненульові вектори діть, що і – колінеарні.

і , причому

38. Відомо, що , торів і , якщо (–3; 8), (–1; 6).

. Дове-

. Знай­діть координати век-

39. Доведіть, що , де M – точка перетину медіан трикутника ABC. 40. За якого значення x точки A(1; –2), В(3; –8) і С(х; –14) лежать на одній прямій? До § 17 41. Знай­діть скалярний добуток векторів: 1) (–2; 3) і (6; 4); 2) (–2; 1) і (0; 4). У якій із цих пар вектори є взаємно перпендикулярними? 42. Знай­діть , якщо: 1) (–2; 0); 2) (1; 5). 43. Використовуючи транспортир, накресліть вектори кут між якими дорівнює 80°. 44. Дано: (т; 2), (–3; т),

158

= 8. Знай­ти т.

і

,

Вектори на площині

45. Нехай 1)

. Знай­діть

, якщо:

, ϕ = 60°; 2)

,

, ϕ = 135°.

,

46. Доведіть, що ненульові вектори (т; п) і (–n; т) взаємно перпендикулярні. 47. Знай­діть косинус кута між векторами (3; –4) і

(15; 8).

48. Дано вектори (2; у) і (4; –1). За яких значень у кут між векторами і : 1) гострий; 2) прямий; 3) тупий? 49. Знай­діть кути трикутника з вершинами в точках А(–1; 2), В(–1; 5) і С(3; 2). . Знай­діть кут між векторами:

50. Відомо, що 1) 3)

і

; 2) і

; 4)

51. Дано: 1) 4)

і

,

= 2; 2) ; 5)

52. Відомо,

що

; і

.

. Знай­діть кут між векторами = 1; 3) = –1; 6) ,

і , якщо:

= 0; = –2.

і

.

Знай­діть

. 53. Знай­діть косинус кута між векторами .

і , якщо

54. Знай­діть косинус кута між векторами і . якщо

і і

,

Найвеличніший арифметик своєї епохи Понад тридцять років тому в науковій термінології набули широкого вжитку такі терміни, як «діаграма Вороного», «клітина Вороного», «розбиття Вороного», «мозаїка Вороного». В Англії поняття «Voronoi diagram» уведене у шкільну програму.

Георгій Феодосійович Вороний – один із най­ видатніших представників України в історії математики кінця XIX – початку XX ст. Його наукові праці присвячені теорії чисел у всіх її трьох напрямах: аналітичному, алгебраїчному та геомет­ ричному. Вороного справедливо вважають найвеличнішим арифметиком своєї епохи, а його працю про кількість точок під гіперболою (1903 р.) – віхою, з якої почалася сучасна аналітична теорія чисел. Із часом з’ясувалося, що його дослідження знай­шли

159

ТЕМА 3

застосування в різних галузях прикладних наук: кристало­графії, фізиці, астрономії, хімії, мікробіології, комп’ютерній графіці, проблемах штучного інтелекту, офтальмології. Народився Георгій Вороний 28 квітня 1868 р. у с. Журавка Полтавської губернії (нині Чернігівська обл.). Його батько був магістром філології, ви­кла­дачем, просвітником. Мати викладала в жіночій гімназії та недільній школі. Середню освіту Георгій здобув у гімназії, а 1885 р. вступив на математичне відділення Петербурзького університету. Після складання на «відмінно» 1889 р. випускних іспитів його залишили при університеті для здобуття звання професора. 1894 р. Вороний захистив магістерську дисертацію і став професором Варшавського університету, а 1897 р. блискуче захистив докторську дисертацію. Ці дослідження було відзначено премією імені академіка В. Я. Буняковського. Пропрацював Г. Вороний як науковець і педагог у стінах Варшавського університету аж до останніх днів свого життя. Творчу і педагогічну діяльність Георгія Феодосійовича високо оцінили математики, обравши його 1898 р. членом Математичного товариства. 1904 р., виступивши з доповідями на Міжнародному конгресі математиків у м. Хейдельберг (Німеччина), Вороний стає знаним у світі. 1907 р. Вороного обирають членом-кореспондентом Імператорської академії наук. Але на той час він був уже неви­ліковно хворим, і невдов­ зі (20 листопада 1908 р.) пішов із життя. За заповітом його поховали в рідній Журавці. Упродовж усього свого життя Г. Ф. Вороний не поривав зв’язків з батьковою хатою, часто приїздив у рідні краї. Ще й дотепер можна почути приємні спогади односельців про сердечну й дуже порядну родину Вороних. Інститут математики НАН України, починаючи з 1993 р., раз на п’ять років проводить міжнародні конференції, присвячені сучасному стану розвитку напрямів науки, закладених у працях Вороного, а ще раніше видав у трьох томах повне зібрання наукових праць Георгія Вороного. Пишаймося тим грандіозним внеском, який зробив український математик Г. Ф. Вороний в одне з найоригінальніших творінь людського духу – математику. Його основоположні праці з теорії чисел увійшли у світову математичну скарбницю як символ честі й доблесті людського­ розуму.

160

Вектори на площині

Головне в темi 3 ВЕКТОР. МОДУЛЬ І НАПРЯМОК ВЕКТОРА. КОЛІНЕАРНІ ВЕКТОРИ. РІВНІСТЬ ВЕКТОРІВ

Відрізок, для якого визначено напрямок, називають напрямленим відрізком, або вектором. Вектор, зображений на малюнку, записують так: . Літера A – початок вектора , літера B – його кінець. Модулем (дов­жиною або абсолютною величиною) називають дов­жину відрізка AB. вектора Колінеарними називають два ненульових вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Два вектори називають рівними, якщо вони співнапрямлені і їхні модулі між собою рівні. КООРДИНАТИ ВЕКТОРА

Координатами вектора (x; у) з початком A(x1; у1) та кінцем В(х2; у2) називають числа x = x2 – x1 та у = у2 – y1. Модуль вектора

(х; у) дорівнює

.

Т е о р е м а (про рівність векторів). У рівних векторів відповідні координати рівні, і навпаки, якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні. ДОДАВАННЯ ТА ВІДНІМАННЯ ВЕКТОРІВ

Сумою векторів

(x1; у1) і

(х2; у2) називають вектор

(x1 + x2; у1 + у2). Т е о р е м а (правило трикутника додавання векторів). Хоч які були б точки А, В і C, справджується рівність: . Суму двох векторів можна знаходити за правилом трикутника: 1) від кінця вектора відкладаємо вектор ; 2) будуємо вектор, початок якого збігається з початком вектора , а кінець – із кінцем вектора ; цей вектор і є сумою векторів і .

161

ТЕМА 3

Суму двох векторів можна знаходити і за правилом паралелограма: 1) відкладаємо вектори і від спільного початку (точки K); 2) будуємо на цих векторах паралелограм; 3) будуємо вектор, що є діагоналлю паралелограма, яка виходить з точки K; цей вектор і буде сумою векторів і . Різницею векторів (x1; у1) і (х2; у2) буде вектор (x1 – x2; y1 – y2). Правило побудови різниці двох векторів

і :

1) відкладаємо і від спільного початку; 2) будуємо вектор, початок якого збігається з кінцем вектора , а кінець – із кінцем вектора , що і є різницею векторів і . МНОЖЕННЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Добутком вектора (x; у) на число λ називають вектор

(λx; λy).

Т е о р е м а (про добуток вектора на число). Модуль вектора до. Вектор співнапрямлений з вектором , якщо λ > 0, рівнює і протилежно напрямлений вектору , якщо λ < 0. побудовано На малюнку для вектора вектори

,

,

,

.

Вектор , колінеарний вектору , можна , де λ ≠ 0, і навпаки, подати у вигляді , λ ≠ 0, то вектори і – коліякщо неарні. Умова колінеарності векторів: Нехай (x1; y1) і (x2; y2) – довільні вектори. Тоді якщо: 1) x1 = x2 = 0, то вектори (0; y1) і (0; y2) – колінеарні; причому, якщо а якщо

162

, то

, то ;

;

Вектори на площині

2) y1 = y2 = 0, то вектори причому, якщо а якщо

, то

, то

(x1; 0) і (x2; 0) – колінеарні; ;

;

3) x1 ≠ 0, x2 ≠ 0, y1 ≠ 0, y2 ≠ 0, то вектори , причому, якщо λ > 0, то

і

колінеарні, якщо

; а якщо λ < 0, то

.

СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ

Скалярним добутком векторів (x1; у1) і (х2; у2) називають число x1x2 + y1y2. Скалярний квад­рат вектора дорівнює квад­рату його мо­дуля . Т е о р е м а (про скалярний добуток векторів). Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їхніх модулів на косинус кута між ними: . Наслідок 1. Якщо вектори перпендикулярні, то їхній скалярний добуток дорівнює нулю. Наслідок 2. Якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вони перпендикулярні. Косинус кута ϕ між ненульовими векторами (x1; у1) і (х2; у2) можна обчислити за формулою

163

ТЕМА 4

КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ У ЦІЙ ТЕМІ ВИ:

ознайомитеся з квад­ратичною функцією; дізнаєтеся, що таке нулі функції, проміжки знакосталості, зростання і спадання функції; найбільше та найменше значення функції; навчитеся виконувати перетворення графіків функції; бу­дувати графік квад­ратичної функції; розв’язувати квад­ратні нерівності та си­стеми двох рівнянь другого степеня з двома змінними.

§ 18. Функція. Область визначення, область значень і графік функції 1. Означення функції У 7 класі ви почали вивчати одне з найважливіших мате­ма­ тичних понять – поняття функції. Нагадаємо, що

Незалежну змінну ще називають аргумен­том, а про залежну змінну кажуть, що вона є функцією від цього аргументу (або про­ сто функцією). Наприклад, якщо y = x2 + 2x – 3, то y є функцією від аргументу x. Залежність змінної y від змінної x записують так: y = f(x) (чита­ ють: «у дорівнює f від х»). Символом f(x) позначають значення функ­ ції для значення аргументу, що дорівнює х. Розглянемо функцію у = 5х + 2. Можна записа­ти, що f(x) = 5х + 2. Знайдемо, наприклад, значення функції для х = –3, тобто знайдемо f(–3). Маємо: f(–3) = 5 · (–3) + 2 = –13. Знайдемо зна­ чення цієї функції в точках, що дорівнюють 0; а; b – 1. Матимемо: f(0) = 5 · 0 + 2 = 2; f(a) = 5а + 2; f(b – 1) = 5(b – 1) + 2 = 5b – 3.

Приклад 1.

Зауважимо, що в запису вигляду у = f(x) замість f можна вико­ ристовувати й інші букви: g, ϕ, ψ тощо.

164

Квадратична функція

2. Область визначення та область значень функції. Найбільше і найменше значення функції

область

Область визначення функції у = f(x) зазвичай позначають через D(f), а область значень – через E(f). Якщо функцію задано формулою і не зазначено її область визна­ чення, то вважатимемо, що ця область складається з усіх значень ар­ гументу, за яких формула функції має зміст. Приклад 2.

Знайти область визначення функції:

1) f(x) = x2 – 2x + 3; 2)

.

Розв’язання. 1) Вираз x2 – 2x + 3 має зміст за будь-якого значен­ ня x, тому областю визначення функції f(x) = х2 – 2х + 3 є множина всіх чисел, тобто проміжок (–u; +u). 2) Вираз

має зміст за будь-якого значення x, крім числа 8,

тому областю визначення функції

є множина (–u; 8) ∪

∪ (8; +u). Відповідь: 1) (–u; +u);   2) (–u; 8) ∪ (8; +u). Відповідь можна записати ще й так: 1) ; 2)

.

Приклад 3.

Знайти область визначення та область значень функції: . 1) f(x) = 2 – x2; 2) Розв’язання. 1) Областю визначення функції f(x) = 2 – x2 є промі­ жок . Щоб знай­ти область значень функції, оцінимо вираз 2 – x2 для всіх значень х. Маємо:

Отже, f(x) J 2 за будь-якого значення x, тобто областю значень функції f(x) = 2 – x2 є проміжок (–u; 2].

165

ТЕМА 4

2) Область визначення функції складається з таких значень х, для яких вирази x – 2 і 2 – x одночасно набу­ вають невід’ємних значень. Отже, щоб знайти ці значення, треба розв’язати си­стему нерівностей: тобто Очевидно, що розв’язком си­стеми є x = 2. Отже, область визначен­ містить лише число 2. Щоб зна­ ня функції йти область значень цієї функції, достатньо обчислити g(2). Маємо: , область значень: Відповідь: 1) область визначення: (–u; 2]; 2) область визначення: чис­ло 2, область значень: число 0. Відповідь можна записати й коротше: 1) ; ; ; . 2) Зауважимо, що найбільшим значенням функції ло 2, а найменшого значення в цієї функції не існує.

є чис­

3. Графік функції Нагадаємо, що

Побудувати графік функції f(x) = |x|. За графіком знайти найбільше і найменше значення функції. Розв’язання. Областю визначення функції f(x) = |x| є множина всіх чисел. За означенням модуля числа маємо: |х| = х, якщо x I 0, і |х| = –х, якщо x < 0. Отже, функцію f(x) = |x| можна записати так:

Приклад 4.

Графік цієї функції на проміжку [0; +u) збі­ гається із графіком функції у = х, а на про­ міжку (–u; 0] – із графіком функції у = –х. Графік функції f(x) = |x| зображено на малюн­ ку 18.1. Очевидно, що наймен­шим значенням цієї функції є число 0, а найбільшого значен­ ня не існує. Відповідь: найменше значення функції – 0, найбільшого не існує.

166

Мал. 18.1

Квадратична функція

Починаючи із XVII ст. функція є одним з основних математичних і загальнонаукових питань. Це поняття і донині відіграє знач­ну роль у розумінні реального світу. Ідея функціональної залежності прийшла з давнини. Її зміст можна знайти в перших математичних співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами, у перших формулах для знаходження площ та об’ємів. Так, вавилонські вчені ще 4–5 тисяч років тому експериментальним шляхом установили, що площа круга є функцією від його радіуса, й дізналися її наближену формулу: S = 3r2. Прикладами таблично заданих функцій є астрономічні таблиці вавилонян, античних греків та індійців, таблиці квад­ратів і кубів чисел, які також застосовували вавилоняни. Починаючи лише з XVIII ст. у зв’язку із проникненням у математику ідеї змінних поняття функції стало застосовуватися цілком свідомо. У «Геометрії» Декарта і в роботах Ферма, Ньютона, Лейбніца поняття функції мало інтуїтивний характер і було пов’язане або з геомет­ричним, або з механічним уявленням: ординати точок кривих – функції від абсцис, шлях і швидкість – функції від часу тощо.

Рене Декарт (1596–1650)

П’єр Ферма (1601–1665)

Ісаак Ньютон (1643–1727)

Готфрід Лейбніц (1646–1716)

Чіткого уявлення поняття функції в XVII ст. ще не було, проте шлях до такого поняття проклав Рене Декарт. У своїй «Геометрії» 1637 р. він си­стематично розглядав лише ті криві, які можна було задати за допомогою рівнянь, притому переважно алгебраїчних. Так з’явилася можливість записувати загальні формули. Термін функція (від латинського functio – вчинення, виконання) 1694 р. запровадив німецький математик Готфрід Лейбніц. Функціями він назвав абсциси, ординати й інші відрізки, пов’язані з точкою, що рухається вздовж певної лінії. Термін «функція від x» стали вживати Г. Лейбніц та Й. Бернуллі; починаючи з 1698 р. Г. Лейбніц запровадив у науковий обіг також терміни змінна і константа. Для позначення довільної функції від x Йоганн Бернуллі застосовував знак jx, називаючи j характеристикою функції. Г. Лейбніц застосовував позначення x1, x2 замість сучасних f1(x), f2(x), Л. Ейлер позначав функцію як f : (x) замість сучасного f(x), а Д’Аламбер писав так: fx або f(x), тобто прийшов до сучасного позначення функції. Явне означення поняття функції вперше дав 1718 р. один з учнів Г. Лейбніца, видатний швейцарський математик Йоганн Бернуллі: «Функ­цією змінної величини називають кількість, утворену будь-яким способом із цієї змінної величини і констант».

167

ТЕМА 4

Остаточно означення функції сформулював у своїй праці «Введення в аналіз нескінченних» (1748 р.) видатний учень Йоганна Бернуллі Леонард Ейлер, який дещо змінив означення свого вчителя. Означив Л. Ейлер функцію так: «Функція змінної кількості є аналітичним виразом, який складено деяким чином із цієї кількості та чисел або сталих кількостей». Так розуміли функцію протягом майже всього XVIII ст.

Йоганн Бернуллі (1667–1748)

Леонард Ейлер (1707–1783)

Бернард Больцано (1781–1848)

П’єр Густав Діріхле (1805–1859)

У XIX ст. ідеї Леонарда Ейлера набули подальшого розвитку. Поняття функції як залежності однієї змінної від іншої запровадив у науковий обіг чеський математик Б. Больцано, а узагальнив – німецький математик П. Г. Діріхле. 1837 р. він так сформулював загальне означення поняття функції: «y є функцією змінної x (на відрізку a J x J b), якщо кожному значенню x (на цьому відрізку) відповідає цілком визначене значення y, причому неважливо, у який спосіб установлено цю відповідність – аналітичною формулою, графіком, таблицею або просто словами». Скорочене й осучаснене саме таке означення функції трапляється в більшості шкільних підручників, у тому числі й у цьому. Що називають функцією? Яку змінну називають не­залежною змінною (аргументом), а яку – залежною? Що на­зивають областю визначення функції? Що називають областю значень функції? Що називають графіком функції?

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 18.1. (Усно.) Функцію задано формулою y = 3x – 7. Наз­віть її неза­ лежну змінну; залежну змінну. 18.2. Знай­діть: 1) f(2), f(0), f(–1), якщо f(x) = 2x – 3; 2) g(0), g(2), якщо g(х) = х2 + х;

3) ϕ(–2), ϕ(3), якщо

.

18.3. Знай­діть: 1) g(1), g(0), g(–3), якщо g(х) = –х + 1; 2) f(0), f(–1), якщо f(x) = х2 – х; 3) ψ(3), ψ(–1), якщо

168

.

Квадратична функція

18.4. Нехай t(x) = x2 – x + 9. Знайдіть t(–1) + t(0) + t(1), відтак дізнаєтеся, скільки медалей здобули паралімпійці України на зи­ мових іграх 2022 року.

18.5. Нехай g(x) = 2x2 + 3. Знай­діть g(0) + g(1) + g(2), відтак дізнає­теся, у якому віці Леся Українка написала підручник «Стародавня історія схід­ них народів». 18.6. Дано:

. Порівняйте:

,

1) f(0) і g(1); 2) f(4) і g(3). 18.7. Дано:

. Обчисліть:

,

1) f(1) + g(3); 2) f(9) – g(1). 18.8. Знай­діть область визначення функції: 1) f(x) = 5 – 3x; 2) 4)

; 3)

; 5)

;

; 6)

.

18.9. Знай­діть область визначення функції: 1) g(x) = 3x + 1; 2)

; 3)

;

; 5)

; 6)

.

18.10. Знай­діть значення x, за якого значення функції

до­

4)

рівнює: 1) 4; 2) –5; 3) 0; 4) –1. 18.11. За якого значення x значення функції у = 7 – 3x дорівнює: 1) 1; 2) 7; 3) 0; 4) –5? 18.12. Побудуйте графік функції: 1) у = 2х – 7; 2) y = 3; 3)

4)

169

ТЕМА 4

18.13. Побудуйте графік функції: 1) у = 3x – 5; 2)

3) у = –2; 4) y = x2.

18.14. На малюнку 18.2 побудовано графік функції у = f(x), областю визначення якої є проміжок [–3; 3]. Знай­діть: 1) f(–3), f(–1), f(2); 2) значення х, якщо f(x) = –1, f(x) = 2,5; 3) найбільше і найменше значення функції; 4) область значень функції.

Мал. 18.2 Мал. 18.3

18.15. На малюнку 18.3 побудовано графік функції у = g(x), областю визначення якої є проміжок [–2; 4]. Знай­діть: 1) g(–2), g(0), g(3); 2) значення х, якщо g(x) = 1, g(x) = –1,5; 3) найбільше і найменше значення функції; 4) область значень функції. 18.16. Побудуйте графік деякої функції, визначеної на проміжку [–4; 4], найменшим значенням якої є –2, а найбільшим 5. 18.17. Чи проходить графік функції

через точку:

1) A(0; 5); 2) B(1; –2); 3) C(2; 7); 4) D(–1; –3)? точка:

18.18. Чи належить графіку функції

1) A(2; 2); 2) B(0; –5); 3) C(–1; –7); 4) D

?

18.19. Знай­діть область визначення функції:

170

1)

; 2)

3)

; 4)

5)

; 6)

; ; ;

Квадратична функція

7)

; 8)

;

9)

; 10)

.

18.20. Знай­діть область визначення функції: 1)

; 2)

;

3)

; 4)

5)

; 6)

7)

; 8)

;

9)

; 10)

.

; ;

18.21. Дано функцію

Знай­діть f(–3), f(–2), f(0), f(1), f(4). 18.22. Відомо, що g(x) = kx + l, причому g(2) = –1, g(–4) = 17. Знай­діть k і l. 18.23. Відомо, що f(x) = kx + l, причому f(1) = –4, f(–2) = –13. Знай­діть k і l. 18.24. Знай­діть область значень функції:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

.

18.25. Побудуйте графік функції:

1)

2)

171

ТЕМА 4

18.26. Побудуйте графік функції 18.27. Знай­діть область визначення функції та побудуйте її графік:

1)

2)

3)

4)

18.28. Знай­діть область визначення функції та побудуйте її графік: 2)

1)

Вправи для повторення 18.29. Обчисліть: 1) 68 : 65 : 36; 2)

3)

Число –3 є коренем рівняння x2 + 2х – с = 0. Знай­діть с і другий

18.30. корінь рівняння.

18.31. Спростіть вираз 18.32. Скільки коренів рівняння х3 + х2 – 4х – 4 = 0 є роз­в’яз­ками не­ рівності х2 – 4 < 0?

Життєва математика 18.33. У 2025 році податок на прибуток із заробітної плати становив 18 % – крім того, із заробітної плати утримували 5 % військового збору. У деякій компанії зарплата HR-менеджерки (Human Resources) становила 16 400 грн. Яку суму коштів отри­мувала ме­ неджерка після сплати податку на прибуток і військового збору?

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 18.34. Знай­діть нулі функції:

1)

; 2)

; 3)

; 4)

18.35. Яка фігура є графіком функції:

172

1)

; 2)

; 3)

4)

; 5)

; 6)

; ?

.

Квадратична функція

18.36. Побудуйте графік функції:

1)

; 2)

; 3)

4)

; 5)

; 6)

; .

Цікаві задачі – поміркуй одначе 18.37. Загадали деяке натуральне двоцифрове число. З правого боку до нього приписали таке саме число і від числа, що при цьому отри­ мали, відняли квад­рат числа, яке загадали. Потім цю різницю поділили на 4 % від квад­рата числа, яке загадали, унаслідок чого неповна частка й остача виявилися рівними відповідно по­ ловині числа, яке загадали, та числу, яке загадали. Знайдіть, яке число загадали.

§ 19. Властивості функції 1. Нулі функції Нагадаємо відоме із 7 класу поняття нулів функції. Розглянемо функцію у = f(x), графік якої зображено на малюнку 19.1. Якщо x = –2 або x = 3, то значення функції дорівнює нулю, тобто f(–2) = f(3) = 0. Такі значення аргументу називають нулями функції.

Мал. 19.1

Нулі функції є абсцисами точок перетину графіка функції з віссю абсцис, а ординати цих точок дорівнюють нулю, адже точки належать осі абсцис.

Тому, щоб знайти нулі функції у = f(x), тре­ба розв’язати рівняння f(х) = 0.

173

ТЕМА 4

Приклад 1.

Знайти нулі функції h(x) = х2 – 2х – 8.

Розв’язання. Маємо рівняння: х2 – 2х – 8 = 0, звідки x1 = –2, x2 = 4. Отже, –2 і 4 – нулі функції. Відповідь: –2; 4.

2. Перетин графіка функції з віссю ординат Графік, зображений на малюнку 19.1, перетинає вісь абсцис у точ­ ках (–2; 0) і (3; 0). Цей графік перетинає також вісь ординат у точці (0; 1). Абсциса цієї точки дорівнює нулю, адже точка належить осі ординат. Отже, ордината точки перетину графіка функції y = f(x) із віс­сю ординат дорівнює числу f(0), тобто значенню функції для значення аргумента, яке дорівнює нулю. Знайти точки перетину графіка функції h(x) = х2 – 2х – 8 з осями координат. Розв’язання. Оскільки –2 і 4 – нулі функції y = h(x), то її графік пере­тинає вісь абсцис у точках (–2; 0) і (4; 0). Оскільки h(0) = 02 – 2 ⋅ 0 – 8 = –8, то графік функції y = h(x) пере­ тинає вісь ординат у точці (0; –8). Відповідь: (–2; 0), (4; 0), (0; –8).

Приклад 2.

3. Проміжки знакосталості функції Нулі функції у = f(x) (мал. 19.1) розбивають її область визна­чення – проміжок [–4; 4] – на три проміжки: [–4; –2), (–2; 3) і (3; 4]. Для зна­ чень x із проміжку (–2; 3) точки графіка лежать вище від осі абсцис, а для значень x із проміжків [–4; –2) і (3; 4] – нижче від осі абсцис. Отже, на проміжку (–2; 3) функція набуває додатних значень, тобто f(x) > 0 для x ∈ (–2; 3), а на кожно­му з проміжків [–4; –2) і (3; 4] – від’ємних значень, тобто f(x) < 0 для x ∈ [–4; –2) або x ∈ (3; 4]. про-

Проміжки [–4; –2), (–2; 3) і (3; 4] є проміжками знакоста­лості функції у = f(x), графік якої зображено на малюнку 19.1.

4. Зростання та спадання функції Розглянемо, як змінюється (збільшується чи зменшується) значен­ ня цієї функції зі зміною значення x від –4 до 4. За графіком бачимо, що зі збільшенням значень x від –4 до 2 зна­ чення у збільшується (графік «прямує» вгору), а зі збільшенням зна­ чень x від 2 до 4 значення у зменшується (графік «прямує» вниз). Кажуть, що на проміжку [–4; 2] функція зростає (або є зростаючою), а на проміжку [2; 4] функція спадає (або є спадною).

174

Квадратична функція

зростаючою

Отже, за означенням, функцію y = f(x) називають зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х1 та х2 із цього проміжку, таких, що х2 > х1, виконується нерівність: f(х2) > f(х1). На малюнку 19.2 зображено графік функції y = f(x), яка зрос­тає на проміжку [а; b]. При цьому проміжок [а; b] називають проміжком зростання функції.

Мал. 19.2 Мал. 19.3

Так само, за означенням, функцію у = f(x) називають спадною на деякому проміжку, якщо для будь-яких х1 та х2 із цього проміжку, та­ких, що х2 > х1, виконується нерівність f(х2) < f(х1). На малюнку 19.3 зображено графік функції у = f(x), яка спадає на проміжку [а; b]. При цьому проміжок [а; b] називають проміжком спадання функції.

5. Властивості деяких елементарних функцій З’ясуємо властивості деяких вивчених раніше функцій. Розглянемо властивості функції у = kx + l, де k ≠ 0 та її графік (мал. 19.4 і 19.5).

Приклад 3.

Мал. 19.4 Мал. 19.5

175

ТЕМА 4

1) Областю визначення та областю значень функції є множина всіх чисел. 2) Знайдемо нулі функції. Для цього розв’яжемо рівняння kx + l = 0, звідки

– єдиний нуль функції.

3) Знайдемо проміжки знакосталості функції. Нехай k > 0. Розв’яжемо нерівність kx + l > 0, звідки у > 0, коли

. Отже,

.

Розв’яжемо нерівність kx + l < 0, звідки

. Отже, у < 0, коли

. Нехай k < 0. Розв’яжемо нерівність kx + l > 0, звідки у > 0, коли

. Отже,

.

Розв’яжемо нерівність kx + l < 0, звідки

. Отже, у < 0, коли

. 4) Перевіримо функцію f(x) = kx + l на зростання та спадання. Нехай k > 0 і х2 > х1, тобто x2 – x1 > 0. Тоді f(x2) – f(x1) = = (kx2 + l) – (kх1 + l) = k(x2 – x1) > 0, адже k > 0 і x2 – x1 > 0. Отже, коли k > 0, функція у = kx + l зростає на (–u; +u). Нехай k < 0 і х2 > х1, тобто x2 – x1 > 0. Тоді f(x2) – f(x1) = = (kx2 + l) – (kх1 + l) = k(x2 – x1) < 0, адже k < 0 і x2 – x1 > 0. Отже, коли k < 0, функція у = kx + l спадає на (–u; +u). 5) Найбільшого і найменшого значень функція не має. Приклад 4.

Розглянемо властивості функції

, де k ≠ 0 (мал. 19.6

і 19.7).

Мал. 19.6 Мал. 19.7

176

Квадратична функція

1) Областю визначення та областю значень функції є множина всіх чисел, крім нуля. , де k ≠ 0, не має розв’язків, то функція

2) Оскільки рівняння нулів не має.

, коли x > 0, і

3) Нехай k > 0. Тоді

, коли x < 0.

Отже, у > 0, коли x > 0, і у < 0, коли x < 0. Нехай k < 0. Тоді

, коли x < 0, і

, коли x > 0. Отже,

у > 0, коли x < 0, і у < 0, коли x > 0. 4) Якщо k > 0, то функція

спадає на кожному з проміжків

(–u; 0) і (0; +u). Якщо k < 0, то функція

зростає на кожному

з проміжків (–u; 0) і (0; +u). 5) Найбільшого і найменшого значень у функції не існує. Розглянемо властивості функції y = x2 (мал. 19.8). 1) Область визначення функції – множина всіх чисел. Область зна­ чень – проміжок [0; +u). 2) Рівняння x2 = 0 має єдиний розв’язок: x = 0. Отже, число 0 – єди­ ний нуль функції. 3) x2 > 0, коли x ≠ 0, тобто у > 0 для x ∈ (–u; 0) або x ∈ (0; +u). Зауважимо, що немає таких значень x, за яких у < 0, оскільки не­ рівність x2 < 0 не має розв’язків. 4) Функція y = x2 спадає на проміжку (–u; 0] і зростає на проміжку [0; +u). 5) Найменше значення функції дорівнює нулю, найбільшого – не існує.

Приклад 5.

Мал. 19.8 Мал. 19.9 Приклад 6.

Розглянемо властивості функції (мал. 19.9). 1) Область визначення та область значень функції: [0; +u). має єдиний розв’язок – число 0, яке є нулем 2) Рівняння функції.

177

ТЕМА 4

3) , коли x > 0, тобто у > 0, коли x ∈ (0; +u). Немає таких значень х, щоб виконувалася нерівність у < 0, оскільки нерівність не має розв’язків. 4) Функція зростає на проміжку [0; +u). 5) Найменше значення функції – число 0, найбільшого – не існує. Систематизуємо властивості цих функцій у таб­лицю. Властивості деяких елементарних функцій Функція Влас­тивість

y = kx + l k>0

k<0

у = x2 k>0

k<0

Область визначення

(–u; +u)

(–u; 0) ∪ (0; +u)

Область значень

(–u; +u)

(–u; 0) ∪ (0; +u) [0; +u) [0; +u)

Нулі функції

не існують

R

[0; +u)

x=0

x=0

Проміжки знако­ сталості, у > 0

х>0

х<0

х < 0, x>0

х>0

Проміжки знако­ сталості, у < 0

х<0

х>0

–

–

(–u; 0), [0; +u) [0; +u) (0; +u)

Зростає на проміжку

R

–

–

Спадає на проміжку

–

R

(–u; 0), (0; +u)

–

(–u; 0]

–

Найбільше значення функції, ymax

–

–

–

–

Найменше значення функції, ymin

–

–

0

0

Що називають нулями функції? Що називають проміжками знакосталості функції? Яку функцію називають зростаючою на проміжку, а яку – спадною? Використовуючи малюнок 9.1, поясніть, як за графіком функції знайти нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції. Сформулюйте властивості функцій y = kx + l (k ≠ 0),

(k ≠ 0), y = x2 та

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 19.1. Знай­діть нулі функції:

1) у = 2х; 2) у = 2 – 5х; 3) y = х(х – 2); 4)

178

.

Квадратична функція

19.2. Знай­діть нулі функції: 1) у = 3x; 2) у = 5х + 4; 3) у = х(х + 3); 4) 19.3. (Усно.) Зростаючою чи спадною на своїй області визна­чення є функція:

1) у = 2х + 7; 2) у = –3х; 3)

; 4)

?

19.4. Зростаючою чи спадною на проміжку (–u; +u) є функція: 1) y = –2x – 5; 2)

; 3) у = –0,01х; 4) у = 5х + 13?

19.5. Областю визначення функції у = f(х), графік якої зображено на малюнку 19.10, є проміжок [–3; 3]. За графіком знай­діть: 1) нулі функції; 2) проміжки, на яких функція набуває до­ датних значень, і проміжки, на яких вона набуває від’ємних значень; 3) проміжки, на яких функція зростає, і проміжки, на яких вона спадає; 4) значення x, за якого функція набуває найбільшого значення, та найбільше зна­ чення функції; значення x, за якого функ­ ція набуває наймен­шого значення, та най­ Мал. 19.10 менше значення функції.

19.6. Областю визначення функції у = g(x), графік якої зображено на малюнку 19.11, є проміжок [–3; 3]. За графіком знай­діть: 1) нулі функції; 2) проміжки, на яких функція набуває до­ датних значень, і проміжки, на яких вона набуває від’ємних значень; 3) проміжки, на яких функція зростає, і проміжки, на яких вона спадає; 4) значення x, за якого функція набуває найбільшого значення, та найбільше зна­ чення функції; значення x, за якого функ­ Мал. 19.11 ція набуває наймен­шого значення, та най­ менше значення функції. 19.7. Знай­діть нулі функції (якщо вони існують):

1) у = 5(х2 + 1); 2) 3)

4)

19.8. Знай­діть нулі функції (якщо вони існують): 1) у = 4(х2 + 9); 2) 3)

4)

179

ТЕМА 4

19.9. Накресліть схематично графік функції у = g(x), областю визна­ чення якої є проміжок [–3; 5], так, щоб: 1) нулем функції було число 2; 2) нулями функції були числа –1 і 4; 3) функція зростала на проміжку [–3; 2] і спадала на проміжку [2; 5]. 19.10. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:

1) у = 2х – 4; 2) За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності визначених властивостей функції. 19.11. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості: 1) y = –3х + 6; 2) За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності визначених властивостей функції. 19.12. Не виконуючи побудови, знай­діть точки перетину з ося­ми координат графіка функції:

1)

2)

3)

4)

19.13. Не виконуючи побудови, знай­діть точки перетину з ося­ми коор­ динат графіка функції: 1)

2)

3)

4)

19.14. На малюнку 19.12 зображено зміни температури повітря T (у °С) протягом перших тижнів березня. Значення температури, що спостерігалася щодня о 8:00, позначено точками і для точ­ ності сполучено плавною лінією. Використовуючи графік, дайте відповіді на запитання: 1) якою була температура повітря 3 березня; 8 березня; 2) у які дні температура була 0 °С; 2 °С; 3) у які дні температура була нижчою за 0 °С; у які – вищою; 4) якою була найвища температура повітря протягом цих двох тижнів; у який день вона спостерігалася; 5) якою була найнижча температура повітря протягом цих двох тижнів; у який день вона спостерігалася; 6) протягом яких днів температура повітря знижувалася, протя­ гом яких – підвищувалася.

180

Квадратична функція

Придумайте ще кілька запитань за графіком, обміняйтеся ними в парах або в групах і дайте на них відповіді.

Мал. 19.12

19.15. На малюнку 19.13 подано жирними точками ціна однієї акції банку «Чудовий» (у грн) на момент закриття біржових торгів у всі робочі дні з 1 до 12 вересня 2025 року. По горизонталі за­ значено числа місяця, по вертикалі – ціну однієї акції у грн. Для наочності жирні точки на малюнку сполучено плавною лінією.

Мал. 19.13

Використовуючи графік, дайте відповіді на запитання: 1) якою була ціна акцій 4 вересня; 8 вересня; 2) у які дні ціна акцій була 30 грн за одну акцію; 3) якою була найвища ціна акцій у ці дні; у який день це було; 4) якою була найнижчою ціна акцій у ці дні; у який день це було; 5) протягом яких днів ціна акцій знижувалася; протягом яких підвищувалася. Проєктна діяльність. Знайдіть в інтернеті інформацію про дина­ міку цін на деякий товар (послугу) протягом певного часу. Побудуйте графік, що відповідає цим даним. Підготуйте запитання за графіком для однокласників / однокласниць.

181

ТЕМА 4

19.16. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:

1)

2)

19.17. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості: 1)

2)

19.18. Скільки нулів має функція:

1)

2)

19.19. Скільки нулів має функція: 1)

2)

19.20. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:

1)

2)

За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності визначених властивостей функції. 19.21. Побудуйте графік функції та сформулюйте її властивості:

1)

2)

За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності визначених властивостей функції.

Вправи для повторення 19.22. Порівняйте числа:

1) і ; 2) і 19.23. Розв’яжіть нерівність: 1)

; 3)

і 8.

2)

19.24. Із Херсона до Житомира виїхали одночасно дві автівки. Одна з них рухалася зі швидкістю на 10 км/год більшою, ніж друга, а тому при­була в Житомир на 1 год раніше. Знай­діть швидкість кожної автівки, якщо відстань між містами становить 560 км.

182

Квадратична функція

19.25. Корені х1 та х2 рівняння х2 – 5х + с = 0 задовольняють умову 3x1 = 2х2. Знай­діть корені рівняння та коефіцієнт с.

Життєва математика 19.26. На рахунку мобільного телефона Богдана було 82 грн. Перебу­ ваючи за кордоном, хлопець скористався роумінгом. Після роз­ мови з Оленкою на його рахунку залишилося 71 грн 50 коп. Скільки хвилин тривала розмова, якщо вартість однієї хвилини розмови в роумінгу становить 1 грн 50 коп.?

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 19.27. 1) Побудуйте в одній си­стемі координат графіки функцій та . 2) Чи паралельні ці графіки? 3) Як із графіка функції отримати графік функції отримати графік функції 4) Як із графіка функції

,

? ?

Цікаві задачі – поміркуй одначе 19.28. Порівняйте дроби

і

.

§ 20. Найпростіші перетворення графіків функцій Раніше ви будували лише графіки функцій вигляду y = kx + l, у=

, y = х2,

та y = |x|.

Розглянемо деякі перетворення графіка функції y = f(x), що значно збільшить перелік функцій, графіки яких ми зможемо будувати.

1. Побудова графіка функції y = f(x) % n, де n > 0 Приклад 1.

Побудувати в одній си­стемі координат графіки функцій

y= ,y= – 2 та y = + 3. Розв’язання. Спочатку складемо таблицю значень кожної із цих функцій для кількох значень аргументу: y

x

0

1

4

9

16

0

1

2

3

4

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

183

ТЕМА 4

З таблиці зрозуміло, що для одного й того самого значення x значен­ на 2 менше, а значення функції ня функції . Тому графік на 3 більше за відповідне значення функції можна побудувати шляхом перенесення кожної функції вздовж осі y на 2 одиниці вниз, а гра­ точки графіка функції – шляхом перенесення кожної точки графіка фік функції вздовж осі у на 3 одиниці вгору (мал. 20.1). функції

Мал. 20.1

Отже,

Зауваження. Замість перенесення графіка функції вгору (униз), можна перенести вісь x на ту саму відстань у протилежному напрямку.

2. Побудова графіка функції y = f(x % m), де m > 0 Приклад 2.

Побудувати в одній си­стемі координат графіки функцій у = х2 та у = (х – 2)2. Розв’язання. Спочатку складемо таблицю значень кожної із цих функцій для кількох значень аргументу: x

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y = x2

9

4

1

0

1

4

9

16

y = (x – 2)2

25

16

9

4

1

0

1

4

y

184

Квадратична функція

Для кожного x = х0 значення функції у = (х – 2)2 дорівнює значенню функції у = х2 для x = х0 – 2. У таблиці цю відповідність показано стрілками для значень функцій у = (х – 2)2 для x = –1; 0; 1; 2; 3; 4 та у = х2 відповідно для x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Отже, якщо всі точки графіка функції у = х2 перенести вздовж осі х на 2 одиниці вправо, то отримаємо графік функції у = (х – 2)2 (мал. 20.2).

Мал. 20.2 Мал. 20.3 Приклад 3.

Побудувати в одній си­стемі координат графіки функцій

у = х2 та у = (х + 1)2. Розв’язання. Спочатку складемо таблицю значень кожної із цих функцій для кількох значень аргументу: x

–3

–2

–1

0

1

2

3

y = x2

9

4

1

0

1

4

9

y = (x + 1)2

4

1

0

1

4

9

16

y

Міркуючи, як у прикладі 2, дійдемо висновку, що графік функ­ції y = (x + 1)2 можна отримати, пе­ренісши графік функції у = х2 вздовж осі x на 1 одиницю вліво (мал. 20.3). Отже,

Зауваження. Замість перенесення графіка функції вліво (вправо) можна перенести вісь у на ту саму відстань у протилежному на­ прямку.

185

ТЕМА 4

3. Побудова графіка функції y = –f(x) Приклад 4.

Побудувати в одній си­стемі координат графіки функцій

та . Розв’язання. Складемо таблицю значень цих функцій для кількох значень аргументу: x

0

1

4

9

16

y=

0

1

2

3

4

y=

0

–1

–2

–3

–4

y

З таблиці бачимо, що значення функції для одних і тих са­ . мих значень x протилежні відповідним значен­ням функ­ції Графіки цих функцій зображено на малюнку 20.4.

Мал. 20.4 Мал. 20.5

Якщо провести відрізки, що сполучають точки графіків функцій та для одного і того самого значення х (на мал. 20.4 їх показано пунктиром для x = 1, x = 4 та x = 9), то вісь x для цих від­ різків буде серединним перпендикуляром. У такому разі кажуть, що графіки симет­ричні відносно осі х. Точки А і A1 називають симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром до відрізка АА1 (мал. 20.5). Отже,

4. Побудова графіка функції y = kf(x), де k > 0, k ≠ 1 Приклад 5.

,

Побудувати в одній си­стемі координат графіки функцій та

.

Розв’язання. Складемо таблицю значень кожної із цих функцій для кількох значень аргументу:

186

Квадратична функція

y

x

–3

–2

–1

0

1

2

3

3

2

1

0

1

2

3

1 6

4

0 2

0

1 2

4

Для будь-якого значення x значення функції ше від відповідного значення функції

6 удвічі мен­

, а значення функції

удвічі більше за відповідне значення функції графік функції

. Тому

можна отримати, стиснувши графік функції

у 2 рази до осі x (мал. 20.6), а графік функції тягнувши графік функції

– роз­

у 2 рази від осі x (мал. 20.7).

Мал. 20.6 Мал. 20.7

Отже,

Виконуючи послідовно два й більше перетворень, можна бу­дувати графіки функцій у = f(x + m) + n, у = –kf(x), де k > 0, та інших.

187

ТЕМА 4

Побудувати графік функції у = |x – 2| + 3. Розв’язання. Графік функції у = |x – 2| + 3 можна отримати, переніс­ ши графік функції y = |x| уздовж осі х на 2 одиниці вправо, а потім уздовж осі у на 3 оди­ниці вгору. Графік зображено на малюнку 20.8.

Приклад 6.

Мал. 20.8 Приклад 7.

Побудувати графік функції

.

Розв’язання. Побудуємо графік функції . Далі, розтягнувши . Графік його у 2 рази від осі x, отримаємо графік функції є симетричним графіку функції відносно функції осі х. Побудову зображено на малюнку 20.9.

Мал. 20.9

188

Квадратична функція

5. Побудова графіка функції y = |f(x)| За означенням модуля числа маємо:

Отже, для тих значень x, за яких f(x) I 0, відповідні значення функцій y = f(x) та y = |f(x)| між собою рівні, а тому за таких значень x графіки цих функцій збігаються. Для тих значень x, за яких f(x) < 0, відповідні значення функцій y = f(x) та y = |f(x)| є протилежними чис­ лами, тому для таких значень x графіки цих функцій є симетричними відносно осі x.

Побудувати графік функції y = |0,5x – 2|. Розв’язання. Побудуємо графік функції y = 0,5x – 2. Далі ту частину графіка, яка лежить нижче від осі x, симетрично відображаємо від­ носно цієї осі. Графік зображено на малюнку 20.10.

Приклад 8.

Мал. 20.10 Як, користуючись графіком функції у = f(х), побудувати графіки функцій у = f(х) ± n, де n > 0; у = f(х ± m), де m > 0; у = –f(х); у = kf(x), де k > 0, k ≠ 1?

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 20.1. (Усно.) Які перетворення графіка функції у = х2 треба ви­ конати, щоб отримати графік функції:

1) у = х2 + 2; 2) у = х2 – 3; 3) у = (х – 2)2; 4) у = (х + 1)2; 5) у = –х2; 6) у = 2х2?

189

ТЕМА 4

20.2. Побудуйте в одній си­стемі координат графіки функцій: 1) у = –х, у = –х + 3 та у = –х – 2;

та 2) 20.3. Побудуйте в одній си­стемі координат графіки функцій: 1) у = х, у = х + 2 та у = х – 3; 2) у = |х|, у = |х – 1| та у = |х + 3|. 20.4. На малюнку 20.11 зображено графік функції у = х3. Перенесіть його в зошит і в тій самій си­стемі коор­ динат побу­дуйте олівцями різного кольору графіки функцій: 1) у = х3 + 1; 2) у = х3 – 2; 3) у = (х – 3)3; 4) у = (х + 2)3.

20.5. На малюнку 20.11 зображено графік функції у = х3. Пере­несіть його в зошит і в тій самій си­стемі коор­ динат побу­дуйте олівцями різного кольору графіки функцій: 1) у = х3 + 3; 2) у = х3 – 1; 3) у = (х – 2)3; 4) y = (х + 1)3. 20.6. (Усно.) Який із графіків на малюнку 20.12 відпові­ дає функції: 1)

2)

3)

4)

Мал. 20.11

Мал. 20.12

20.7. Побудуйте графік функції:

1) у = (х – 1)2 + 3; 2) у = 4 – х2; 3) у = (х + 2)2 – 5; 4) y = (x + 3)2 + 1; 5) y = –3 + (х – 2)2; 6) y = –x2 – 1. За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови.

190

Квадратична функція

20.8. Побудуйте графік функції: 1) 2)

3)

4) 5) 6) За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови. 20.9. Побудуйте графік функції: 1) у = 3|х|; 2) у = –4|х|; 3)

4)

За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови. 20.10. Побудуйте графік функції: 1) у = 3x2; 2) у = –2х2; 3)

4)

За допомогою програми для побудови гра­ фіків переконайтеся в правильності побу­ дови. 20.11. (Усно.) Який із графіків на малюн­ ку 20.13 відповідає функції: 1) у = –2х2; 2) 3)

4) у = 2х2?

20.12. Побудуйте графік функції:

1)

2)

За допомогою програми для побудови гра­ фіків переконайтеся в правильності побу­ дови. 20.13. Побудуйте графік функції: 1)

2)

За допомогою програми для побудови гра­ фіків переконайтеся в правильності побу­ Мал. 20.13 дови. 20.14. Дано параболу у = х2. Напишіть рівняння параболи, яку можна отримати з даної перенесенням: 1) на 3 одиниці вгору; 2) на 4 одиниці вниз; 3) на 2 одиниці вліво; 4) на 5 одиниць управо; 5) на 2 одиниці вправо і на 3 одиниці вгору; 6) на 1 одиницю вліво і на 4 одиниці вгору; 7) на 3 одиниці вправо і на 1 одиницю вниз; 8) на 5 одиниць уліво і на 5 одиниць униз.

191

ТЕМА 4

20.15. Побудуйте графік функції у = (х + 1)2 – 4. За графіком знай­діть: 1) нулі функції; 2) область значень функції; 3) значення х, за яких функція набуває від’ємних зна­чень; 4) проміжок зростання функції.

20.16. Побудуйте графік функції у = (х – 2)2 – 1. За графіком знай­діть: 1) нулі функції; 2) область значень функції; 3) значення х, за яких функція набуває додатних зна­чень; 4) проміжок спадання функції. 20.17. Розв’яжіть графічно рівняння:

1)

; 2) |х – 1| = (х + 1)2.

20.18. Розв’яжіть графічно рівняння: 1)

; 2) (х – 2)2 = |х + 4|.

20.19. Побудуйте графік функції

За допомогою програми

для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови. 20.20. Побудуйте графік функції

За допомогою програми

для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови. 20.21. 1) Побудуйте графік функції у = |х2 – 4|. 2) Використовуючи графік, знай­діть усі значення а, за яких рів­ няння |х2 – 4| = а має рівно три корені.

Вправи для повторення 20.22. Розкладіть на множники квад­ратний тричлен: 1) х2 + 3x – 4; 2) 2х2 – x – 10; 3) –х2 – 2x + 8; 4) –3х2 + x + 2. 20.23. Розв’яжіть си­стему нерівностей

20.24. x1 та x2 – корені рівняння x2 – 6x + 3 = 0. Не розв’я­зуючи рів­

няння, знай­діть значення виразу

Життєва математика 20.25. Автомобіль, рухаючись на момент початку відліку часу зі швидкістю v0 = 28 м/с, почав гальмувати зі сталим прискорен­ ням a = 7 м/с2. Через t секунд після початку гальмування він

192

Квадратична функція

подолав відстань

(м). Визначте час, за який від по­

чатку гальмування автомобіль подолав 42 м.

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 20.26. Виділіть квад­рат двочлена із квад­ратного тричлена:

1) ; 2) ; ; 4) . 3) 20.27. Розв’яжіть рівняння: 1) ; 2) ; ; 4) . 3) 20.28. Для функції знай­діть: 1) f(–2); 2) f(–1); 3) f(0); 4) f(1). 20.29. Закінчіть речення: 1) «Графіком функції є …». спрямовані …». 2) «Гілки параболи спадає на проміжку …». 3) «Функція зростає на проміжку …». 4) «Функція

Цікаві задачі – поміркуй одначе 20.30. Відомо, що

1)

; 2)

. Знай­діть значення виразу: .

§ 21. Функція y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Її графік і властивості 1. Означення квадратичної функції Однією з найважливіших функцій у курсі математики є квад­ ратична функція. квад­ратичною функцією Математичні моделі багатьох реальних процесів у різноманітних сферах діяльності людини є квад­ратичними функціями. Насамперед це стосується науки, зокрема фізики та економіки, а також техніки.

193

ТЕМА 4

Приклад 1.

Тіло рухається з прискоренням a м/с2 і до почат­ку відліку часу t с пройшло шлях s0 м, маючи в цей момент швидкість v0 м/с. Тоді залежність відстані s (у мет­рах), яку подолало тіло, від часу t (у секундах) під час рівноприскореного руху задають формулою: .

Наприклад, якщо a = 6, v0 = 2, s0 = 10, то s = 3t2 + 2t + 10. Приклад 2.

Залежність між площею використаних земель і валовим прибутком з розрахунку на 10 га сільськогоспо­да­р­ських угідь у де­ якому фермерському господарстві задається функцією y ≈ –1,5x2 + + 9x + 9, де x – площа сільськогосподар­­ських угідь (у га), y – вало­ вий прибуток (у тис. грн) на 10 га сільськогосподарських угідь. З якої площі господарство матиме найбільший валовий прибуток на 10 га сільськогос­по­дар­ських угідь? Яким буде цей прибуток? Розв’язання. У формулі функції виділимо повний квад­рат: –1,5x2 + 9x + 9 = –1,5(x2 – 6x – 6) = –1,5(x2 – 6x + 9 – 9 – 6) = = –1,5((x – 3)2 – 15) = 22,5 – 1,5(x – 3)2, тому y ≈ 22,5 – 1,5(x – 3)2. Вираз, який ми отримали, набуватиме найбільшого значення для x = 3. Отже, господарство матиме найбільший прибуток із площі розміром 3 га. Цей прибуток є значенням функції y = 22,5 – 1,5(x – 3)2 для x = 3, тобто y = y(3) = 22,5 – 1,5(3 – 3)2 = 22,5 (тис. грн). Отже, найбільший прибуток складе 22,5 тис. грн. Відповідь: 3 га; 22,5 тис. грн.

2. Графік і властивості функції y = ax2 Розглянемо графік і властивості квад­ратичної функції. Поч­немо з її часткового випадку. Нехай у формулі квад­ратичної функції b = c = 0, тоді маємо функ­ цію y = ax2. Графіком функції y = ax2, де a ≠ 0, є парабола з вершиною в по­ чатку координат, гілки якої спрямовані вгору, якщо a > 0 (мал. 21.1), і вниз, якщо a < 0 (мал. 21.2). Значення y = 0 є для функції y = ax2 найменшим, якщо a > 0, та найбільшим, якщо a < 0.

Мал. 21.1 Мал. 21.2

194

Квадратична функція

Систематизуємо властивості у вигляді таблиці. Властивості функції y = ax2, a ≠ 0 a>0

a<0

Область визначення

(–u; +u)

(–u; +u)

Область значень

[0; +u)

(–u; 0]

Графік

парабола з вершиною (0; 0)

Напрямок гілок

угору

униз x=0

Нулі функції

Проміжки знакосталості, у > 0

(–u; 0), (0; +u)

–

Проміжки знакосталості, у < 0

–

(–u; 0), (0; +u)

Зростає на проміжку

[0; +u)

(–u; 0]

Спадає на проміжку

(–u; 0]

[0; +u)

Найбільше значення функції

–

0

Найменше значення функції

0

–

3. Побудова графіка функції y = ax2 + bx + c Тепер розглянемо квад­ратичну функцію y = ax2 + bx + c. Виділимо у тричлені ax2 + bx + c квад­рат дво­члена:

. .

Отже, Позначимо

,

.

Тоді y = a(x – xв)2 + yв. Отже, графік функції y = ax2 + bx + c мож­ на отримати з графіка функції y = ax2 за до­ помогою двох перетворень – перенесень уздовж координатних осей. Графіком функції y = ax2 + bx + c є пара­ бола з вершиною в точці (xв; yв), де (мал. 21.3).

, Мал. 21.3

195

ТЕМА 4

Якщо a > 0, гілки параболи спрямовані вгору, якщо a < 0 – униз. Гілки параболи симетричні відносно прямої x = xв. У цьому разі ка­ жуть, що пряма x = xв є віссю симет­рії па­раболи (мал. 21.3). Зауважимо, що абсцису xв вершини параболи зручно знахо­дити за , а ординату yв – підставивши знайдене значення

формулою

абсциси у формулу y = ax2 + bx + c, тобто . Будуючи графік функції f(x) = ax2 + bx + c, слід дотримуватися такої послідовності дій:

4. Властивості функції y = ax2 + bx + c Систематизуємо властивості у вигляді таблиці. Властивості функції y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 a>0 Область визначення

a<0 (–u; +u)

Область значень

[yв; +u)

(–u; yв]

парабола з вершиною (xв; yв)

Графік Напрямок гілок

угору

униз

корені рівняння ax2 + bx + c = 0

Нулі функції

Зростає на проміжку

[xв; +u)

(–u; xв]

Спадає на проміжку

(–u; xв]

[xв; +u)

Найбільше значення функції

–

yв

Найменше значення функції

yв

–

Побудувати графік функції f(x) = x2 – 4x – 5 та описати її властивості. Розв’язання. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вгору. Знайдемо координати її вершини:

Приклад 3.

,   yв = f(xв) = 22 – 4 ⋅ 2 – 5 = –9.

196

Квадратична функція

Отже, точка (2; –9) – вершина параболи, позначимо її на координат­ ній площині. Тоді пряма x = 2 є віссю симетрії параболи. Складемо табли­цю значень функції для кількох точок параболи, си­ метричних відносно її осі симетрії (завдяки симетрії графіка ордина­ ти в кожній парі симетричних точок будуть однаковими). x

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

y

7

0

–5

–8

–9

–8

–5

0

7

Позначимо вершину параболи і точки з таблиці на координатній площині. Сполучимо їх плавною лінією та отримаємо графік функ­ ції f(x) = x2 – 4x – 5 (мал. 21.4). Опишемо властивості цієї функції: 1) D(f) = (–u; +u); 2) E(f) = [–9; +u); 3) нулі функції: x = –1 і x = 5; 4) y > 0, якщо x < –1 або x > 5; y < 0, якщо –1 < x < 5; 5) функція зростає на проміжку [2; +u), спадає на проміжку (–u; 2]; 6) найменше значення функції: ymin = –9.

Мал. 21.4

197

ТЕМА 4

5. Задачі, пов’язані з графіком квадратичної функції Вершиною параболи y = ax2 + 8x + c є точка A(–2; 4). Знайти a і c.

Приклад 4.

Розв’язання. Оскільки xв = –

, а за умовою xв = –2, то –2 =

,

звідки a = 2. Оскільки графік функції проходить через точку A(–2; 4), то, підставивши координати точки у формулу функції, одержимо правильну рівність: 4 = 2 ⋅ (–2)2 + 8 ⋅ (–2) + c, звідки c = 12. Відповідь: a = 2, c = 12. Яку функцію називають квад­ратичною? Сформу­люйте властивості функції y = ax2. Що є графіком квад­ратич­ної функції? Як його будують? Сформу­люйте властивості функції y = ax2 + bx + c.

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 21.1. (Усно.) Яка з функцій є квад­ратичною: 1) y = –2x2; 2) y = –2x + 5;

3) y = 5x2 – 3x; 4)

;

5) y = 3x3 – 2x2 + 5; 6) y = 2x2 + 3x – 9? 21.2. Випишіть функції, що є квад­ратичними: 1) y = 4x – 7; 2) y = 4x2 – 7x + 5; 3) y = 3x2; 4) y = 2x3 – 3x + 5; 5)

; 6) y = 9x2 – 7.

21.3. Графіком якої з наведених функцій є парабола? Укажіть напря­ мок її гілок.

1) y =

; 2) y = 6x2 – 7; 3) y = 6x – 7;

4) y = –6x2 + 5x + 5; 5) y = 0,01x2; 6) y = –0,2x2 – 5x. 21.4. Чи належить графіку функції y = x2 – 3x точка: 1) A(0; 0); 2) B(1; 2); 3) C(2; –3); 4) D(–1; 4)? 21.5. Чи належить графіку функції y = x2 + x точка: 1) A(0; 1); 2) B(2; 6); 3) C(1; 2); 4) D(–1; 1)? 21.6. Покажіть схематично, як розташовується в координатній пло­ щині графік функції: 1) y = 10x2; 2) y = –15x2.

21.7. Покажіть схематично, як розташовується в координатній площи­ ні графік функції: 1) y = –7x2 ; 2) y = 5x2.

198

Квадратична функція

21.8. Дано функцію f(x) =

. 1) Заповніть у зошиті таблицю (за

потреби використовуйте табличний процесор, наприклад Excel, Google Sheets): x

%1

0

%2

%3

%4

%5

f(x) 2) побудуйте графік функції; 3) знай­діть за графіком f(–1,5), f(2,5), f(4,5); 4) знай­діть за графіком такі значення x, що f(x) = 1, f(x) = 3,5; 5) знай­діть проміжок зростання і проміжок спадання функції. 21.9. Дано функцію g(x) =

. 1) Заповніть у зошиті таб­лицю (за по­

треби використовуйте табличний процесор, наприклад Excel, Google Sheets): x

0

±1

±2

±3

±4

g(x) 2) побудуйте графік функції; 3) знай­діть за графіком g(–2,5), g(1,5), g(3,5); 4) знай­діть за графіком такі значення x, що g(x) = 1, g(x) = 2,5; 5) знай­діть проміжок зростання і проміжок спадання функції. 21.10. Не виконуючи побудови, знай­діть координати точок пе­ретину графіка функції y = –2x2 із прямою: 1) y = –8; 2) y = 10; 3) y = 4x; 4) y = –6x.

21.11. Не виконуючи побудови, знай­діть координати точок пе­ретину графіка функції y = 5x2 із прямою: 1) y = 20; 2) y = –5; 3) y = 10x; 4) y = –5x. 21.12. Визначте напрямок гілок, знай­діть координати вершини та по­ будуйте схематично графік квад­ратичної функції: 1) y = x2 – 8x + 7; 2) y = –x2 + 2x – 3; 3) y = 0,2x2 – 0,4x + 2; 4) y = –2x2 + 6x – 3. 21.13. Визначте напрямок гілок, знай­діть координати вершини та по­ будуйте схематично графік квад­ратичної функції: 1) y = 3x2 – 12x + 7; 2) y = –2x2 + 8x – 3. 21.14. Не виконуючи побудови, знай­діть точки перетину графіка квад­ ратичної функції з осями координат: 1) y = x2 – 7x + 10; 2) y = 2x2 – x – 3; 3) y = –x2 + 8x + 9; 4) y = –3x2 – 5x + 2.

21.15. Не виконуючи побудови, знай­діть точки перетину графіка квад­ ратичної функції з осями координат: 1) y = x2 + 4x – 5; 2) y = –5x2 – 6x – 1.

199

ТЕМА 4

21.16. Побудуйте графік функції: 1) y = x2 – 2x; 2) y = –x2 + 6x; 3) y = x2 + 4x + 5; 4) y = –x2 + 2x + 3. За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови. 21.17. Побудуйте графік функції: 1) y = x2 + 4x; 2) y = –x2 + 2x; 3) y = x2 + 2x + 3; 4) y = –x2 + 4x – 3. За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови. 21.18. Побудуйте графік функції f(x) = x2 + 2x – 3. За графіком знай­діть: 1) f(1), f(–2,5), f(1,5); 2) значення x, за яких f(x) = 5, f(x) = –4, f(x) = –2; 3) нулі функції; 4) розв’язки нерівностей: f(x) I 0, f(x) < 0; 5) найбільше та найменше значення функції; 6) область значень функції; 7) проміжки зростання та проміжки спадання функції.

21.19. Побудуйте графік функції g(x) = –x2 + 6x – 5. За графіком знай­діть: 1) g(1), g(2,5), g(4,5); 2) значення x, за яких g(x) = 4, g(x) = –5, g(x) = 2; 3) нулі функції; 4) розв’язки нерівностей: g(x) > 0, g(x) J 0; 5) найбільше та найменше значення функції; 6) область значень функції; 7) проміжки зростання і проміжки спадання функції. 21.20. Графіком квад­ратичної функції є парабола з вершиною в по­ чатку координат, яка проходить через точку

. Задайте

цю функцію формулою. 21.21. Побудуйте графік квад­ратичної функції та за графіком знай­ діть область значень функції, нулі функції, проміжки знакоста­ лості та проміжки зростання і спадання функції:

1) y = –4x2 + 8x; 2) y = 2x2 – 8x + 6; 3) y = (x – 1)(x – 5); 4) y = 2(x + 1)(x – 3). 21.22. Побудуйте графік квад­ратичної функції та за графіком знай­діть область значень функції, нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції: 1) y = 2x2 – 6x; 2) y = –3x2 + 12x – 9. 21.23. Графік функції y = ax2 + 2x + 3 проходить через точку B(1; –5). Знай­діть коефіцієнт a. 21.24. Графік функції y = 2x2 + bx + 5 проходить через точку A(1; 9). Знай­діть коефіцієнт b.

200

Квадратична функція

21.25. За яких значень b віссю симетрії параболи y = x2 + bx + c є пряма: 1) x = –1; 2) x = 5? Чи впливає на відповідь значення коефіцієнта c?

21.26. За якого значення a віссю симетрії параболи y = ax2 – 6x + 7 є пряма x = –1? 21.27. Знай­діть такі точки параболи: 1) y = x2 – 6x + 10, у яких абсциса дорівнює ординаті; 2) y = x2 – 7x + 8, у яких абсциса й ордината – протилежні числа.

21.28. Знай­діть такі точки параболи: 1) y = x2 – 5x, у яких абсциса дорівнює ординаті; 2) y = x2 + 2x – 10, у яких абсциса й ордината – протилежні числа. 21.29. Доведіть, що всі точки параболи: 1) y = x2 – 2x + 3 лежать вище від осі x; 2) y = –x2 – 4x – 5 лежать нижче від осі x. 21.30. Знай­діть точки перетину параболи y = 2x2 – 7x + 13 з прямою y = 2x + 3.

21.31. Знай­діть точки перетину параболи y = 5x2 – 7x – 3 з пря­мою y = –x – 4. 21.32. Тіло, що падає на землю, за t с долає відстань s м, де

,

g ≈ 10 м/с2. Через який час тіло досягне поверхні землі, якщо в початковий момент воно перебуває на висоті 560 м? 21.33. Із лука випущено стрілу вертикально вгору з початковою швидкістю 50 м/с. Залежність відстані s (у мет­рах) від стріли до землі від часу польоту t (у секундах) задається формулою s = 50t – 5t2. Побудуйте схематично графік цієї залежності та за ним знай­діть: 1) якої найбільшої висоти сягне стріла; 2) проміжок часу, протягом якого вона летіла вгору, та промі­ жок часу, протягом якого вона падала вниз; 3) через скільки секунд після пуску стріла впала на землю.

21.34. М’яч підкинуто вертикально вгору з початковою швидкістю 15 м/с. Залежність відстані h (у метрах) від м’я­ча до землі від часу польоту t (у секундах) задається фор­мулою h = 15t – 5t2. Побудуйте схематично графік цієї залежності та за ним знай­діть: 1) якої набільшої висоти сягне м’яч; 2) проміжок часу, протягом якого він рухався вгору, та промі­ жок часу, протягом якого він падав униз; 3) через скільки секунд після підкидання м’яч упав на землю. 21.35. За яких значень b і c точка N(5; 7) є вершиною пара­боли y = x2 + bx + c?

21.36. За яких значень a і c точка M(–3; –13) є вершиною параболи y = ax2 + 12x + c?

201

ТЕМА 4

21.37. Точка M(3; –2) є вершиною параболи y = ax2 + bx + c, яка пере­ тинає вісь ординат у точці N(0; 7). Знай­діть значення коефіцієн­ тів a, b і c. 21.38. У боковій стінці високого циліндричного бака біля самого дна закріплено кран. Після його відкриття вода починає витікати з бака, при цьому висота стовпа води в ньому, що виражена

в мет­рах, змінюється за законом

, де

t – час у секундах, що минув з моменту відкриття крана, H0 = 5 м – початкова висота стовпа води,

= – відношення

площ поперечного перерізу крана і бака, g ≈ 10 м/с2 – прискорен­ ня вільного падіння. Через скільки секунд після відкриття крана: 1) висота стовпа води в баку буде 1,25 м; 2) вода з бака повністю витече? 21.39. У боковій стінці високого циліндричного бака біля самого дна закріплено кран. Після його відкриття вода починає витікати з бака, при цьому висота стовпа води в ньому, що виражена в мет­ , де H0 = 8 м – по­ рах, змінюється за законом чатковий рівень води, a =

м/хв2, b =

м/хв – сталі для цього

бака. Через скільки секунд після відкриття крана: 1) висота стовпа води в баку буде 4,5 м; 2) вода з бака повністю витече? 21.40. За якого значення c найбільше значення функції y = –x2 + + 6x + c дорівнює 16? 21.41. За якого значення c найменше значення функції y = x2 – 4x + c дорівнює 4? 21.42. За яких значень c функція y = x2 + 8x + c для всіх значень x набуває лише додатних значень?

21.43. За яких значень c функція y = –x2 + 2x + c для всіх значень x набуває лише від’ємних значень? 21.44. Побудуйте графік функції: 1) y = x2 – 6|x| + 5; 2) y = |x2 – 6x + 5|.

21.45. Побудуйте графік функції: 1) y = x2 – 4|x| + 3; 2) y = |x2 – 4x + 3|.

Вправи для повторення 21.46. Побудуйте графік функції: 1)

; 2)

21.47. Знай­діть координати точок перетину графіків функцій:

1) f(x) = 3x2 і g(x) = –6x; 2) j(x) = x2 + x і ψ(x) = 2.

202

.

Квадратична функція

21.48. Знай­діть область визначення функції:

1)

; 2)

.

21.49. Не виконуючи побудови, знай­діть координати точок перетину

графіків функцій y =

та y = x + 1. Накресліть графіки цих

функцій і позначте на них знайдені точки. 21.50. Розв’яжіть графічно рівняння

. За допомогою про­

грами для побудови графіків перевірте правильність розв’язу­вання. 21.51. Знай­діть нулі функції:

1) f(x) = (x – 1)(x + 2)

; 2)

.

Життєва математика

21.52. В одній із секцій національного мультипредметного тесту (НМТ) із математики, який відбувся 2024 року, взяло участь 20 206 осіб. Завдання № 21 правильно розв’язали лише 5,1 % від кількості учасників. Скільки учасників НМТ правильно розв’язали завдання № 21?

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 21.53. Які із чисел –2, –1, 0, 1, 2 є розв’язками нерівності: 1) ; 2) ; ; 4) ? 3) 21.54. Розв’яжіть рівняння:

1) 3)

; 2) ; 4)

; .

Цікаві задачі – поміркуй одначе 21.55. На яке натуральне число слід поділити число 180, щоб остача від ділення становила 25 % від частки?

ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 4 (§§ 18–21) Завдання 1–12 мають по чотири варіанти відповідей (А–Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді. 1. Дано f(x) = x2 – x. Знай­діть f(–1). А. –2 Б. 0 В. 2 Г. 1 2. Щоб побудувати графік функції y = x2 + 2, треба графік функції y = x2 перенести на 2 одиниці... А. вліво Б. вгору В. вниз Г. вправо

203

ТЕМА 4

3. Укажіть функцію, що є квад­ратичною: А. y = –2x2 + 3x + 7 Б. В. y = x3 – 2x2 + 3x + 1 Г. y = x4 – 2x2 + 3 4. Знай­діть нулі функції А. 0 Б. 4 В. 0; –4 Г. 0; 4

.

5. Укажіть значення x, за якого значення функції y = 2x + 5 дорівню­ ватиме 7. А. 7 Б. –1 В. 1 Г. 0 6. Не виконуючи побудови, знай­діть усі точки перетину графіків функцій y = –3x2 та y = 9x. А. (0; 0) Б. (0; 0), (–3; –27) В. (0; 0), (–3; 0) Г. (0; 0), (3; 27) 7. Побудуйте схематично графік функції y = –x2 + 2x – 3 та вка­ жіть область значень цієї функції. А. (–u; –2) Б. [–2; +u) В. (–u; –2] Г. (–u; 2] 8. Побудуйте схематично графік функції y =

x2 – 4x та вкажіть про­

міжок зростання цієї функції. А. (–u; 4] Б. [–8; +u) В. [–4; +u) Г. [4; +u) 9. Укажіть область визначення функції

.

А. (–u; –2) ∪ (–2; 4) ∪ (4; +u) Б. (–u; 4) ∪ (4; +u) В. (–u; –2) ∪ (–2; +u) Г. (–u; +u) 10. Укажіть область значень функції

.

А. (–u; 4) Б. [4; +u) В. (–u; 4] Г. (–u; +u) 11. За яких значень a і c точка M(–1; 4) є вершиною параболи ? А. a = 1, c = 3 Б. a = 1, c = 5 В. a = 1, c = –5 Г. a = –1, c = 7 12. Скільки нулів має функція А. 1 Б. 2 В. 3 Г. 4

204

?

Квадратична функція

У завданні 13 потрібно встановити відповідність між інформа­ цією, позначеною цифрами та буквами. Одна відповідь зайва. 13. Установіть відповідність між функцією (1–3) та областю її ви­ значення (А–Г). Функція

Область визначення функції

1.

А. (–u; –1) ∪ (–1; +u) Б. (–1; +u) В. (–u; –1) ∪ (–1; 1) ∪ (1; +u) Г. (–u; –1) ∪ (–1; 3) ∪ (3; +u)

2. 3.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 18–21 1. Для функції f(x) = x2 + x знай­діть: 1) f(0); 2) f(–1); 3) f(2); 4) f(–3). 2. Як із графіка функції y = x2 отримати графік функції: 1) y = x2 + 5; 2) y = (x + 5)2? 3. Які з функцій є квад­ратичними: 1)

; 2)

3)

; 4)

; ?

4. Знай­діть нулі функції: 1) y = –2x + 7; 2) y = x2 – 5x + 6. 5. Побудуйте графік функції: 1) ; 2)

.

6. Не виконуючи побудови, знай­діть координати точок перетину гра­ фіків функцій y = –4x2 та y = 2x. 7. Знай­діть область визначення функції: 1) 2)

; .

8. Побудуйте графік функції y = x2 – 2x – 3. За графіком знай­діть: 1) область значень функції; 2) проміжок зростання і проміжок спадання функції. 9. За яких значень b і c точка A(2; –1) є вершиною парабо­ли y = 2x2 + bx + c?

205

ТЕМА 4

Додаткові завдання 10. Розв’яжіть рівняння

графічно. ?

11. Скільки нулів має функція

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ТЕМИ 4 До § 18 1. Знай­діть: 1) f(1), f(2), f(–4), якщо f(x) = x2 – 1; 2) g(–2), g(0), g(1), якщо g(x) = x3 + 8. 2. Укажіть таке значення x (якщо воно існує), за якого значення

функції g(x) =

дорівнює:

3.

1) 6; 2) 1; 3) 0; 4) –100. Чи належить графіку функції y = 5x – 7 точка: 1) A(5; –18); 2) B(0; –7); 3) C(–1; –12); 4) D(1; 2)?

4.

Побудуйте графік функції y =

, де –3 J x J 3, попередньо

заповнивши в зошиті таблицю значень: x

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

6.

7.

5. Наведіть приклад функції, областю визначення якої є: 1) множина всіх чисел; 2) множина всіх чисел, крім числа 3; 3) множина всіх чисел, крім чисел 2 і 9; 4) множина всіх чисел, не менших від числа 5. Тіло рухалося прямолінійно. Залежність відстані s (у км), яку воно подолало, від часу t (у год) задано так:

Знай­діть s(1), s(2), s(2,5), s(3), s(4). Чи належить області значень функції y = x2 + 2x число: 1) 0; 2) –3; 3) –1; 4) 8? 8. Знай­діть область визначення функції: 1)

206

; 2)

; 3)

;

Квадратична функція

9.

4)

; 5)

7)

; 8)

; 6)

;

; 9)

.

Знай­діть область значень функції:

1)

; 2)

4)

; 3)

; 5)

;

; 6)

.

10. Знай­діть область визначення функції та побудуйте її графік:

; 2)

1)

.

До § 19 11. Зростаючою чи спадною на кожному з проміжків (–u; 0) і (0; +u) є функція:

1) y =

; 2) y =

; 3) y =

; 4) y =

?

12. Знай­діть, не виконуючи побудови, точки перетину графіка функції з осями координат:

1) f(x) = 2x – 4; 2) g(x) =

x – 6;

3) j(x) = x2 – 2x – 3; 4) ψ(x) =

.

13. Знай­діть нулі функції (якщо вони існують):

1)

; 2)

; 3)

.

14. Знай­діть проміжок, на якому функція f(x) = 3x + 6 набуває: 1) додатних значень;  2) від’ємних значень. 15. Побудуйте графік функції та вкажіть її властивості:

1) g(x) =

; 2) f(x) = 2|x| – 6.

До § 20 16. Як із графіка функції y = |x| отримати графік функції: 1) y = |x| + 4; 2) y = |x| – 3; 3) y = |x + 2|; 4) y = |x – 3|; 5) y = –|x|; 6) y = 3|x|? 17. Побудуйте в одній си­стемі координат графіки функцій: 1) y = 2x, y = 2x – 3, y = 2x + 3; 2) y = x2, y = (x – 2)2, y = (x + 2)2.

207

ТЕМА 4

18. Побудуйте графіки функцій: 1) y = |x – 1| + 2; 2) y = 3 – |x|; 3) y = |x + 2| – 1; 4) y = –|x| – 1; 5) y = –4 + |x – 2|; 6) y = |x + 1| + 3. За допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності побудови. 19. Побудуйте графіки функцій:

1)

; 2)

; 3)

; 4)

20. Побудуйте графік функції

.

. За графіком знай­діть:

1) область значень функції; 2) нулі функції; 3) проміжки зростання функції; 4) проміжки спадання функції; 5) значення x, за яких функція набуває додатних значень; 6) значення x, за яких функція набуває від’ємних зна­чень; 7) за допомогою програми для побудови графіків переконайтеся в правильності визначених властивостей функції. 21. 1) Побудуйте графік функції y = ||x – 1| – 2|. 2) Використовуючи графік, знай­діть такі значення a, за яких рів­ няння ||x – 1| – 2| = a має рівно три корені. 3) За допомогою програми для побудови графіків перевірте пра­ вильність розв’язування.

До § 21 22. Угору чи вниз спрямовані гілки параболи: 1) y = 3x2 – 2x + 7; 2) y = –x2 + 5x + 9; 3) y = –5x2; 4) y = 0,01x2 + 5? 23. Чи належить графіку функції y = 20x2 точка:

1)

;  2)

;  3)

;  4)

?

24. Знай­діть координати вершини параболи: 1) y = x2 + 2x – 7; 2) y = –3x2 + 9x + 4. 25. Знай­діть нулі квад­ратичної функції: 1) y = x2 + 4x + 3; 2) y = –2x2 – 3x – 1;

3) y = x2 + 2x – 8; 4) y = x2 –

x+

.

26. Побудуйте графік функції: 1) y = x2 – 4x; 2) y = 2x – x2; 3) y = x2 – 2x + 3; 4) y = –x2 + 6x – 8. 27. Побудуйте графік функції f(x) = 2x2 + 4x. За графіком знай­діть: 1) f(1), f(–0,5), f(–2,5); 2) значення x, за яких f(x) = 6, f(x) = –2, f(x) = 2;

208

Квадратична функція

3) нулі функції; 4) розв’язки нерівностей f(x) < 0 і f(x) > 0; 5) найбільше і найменше значення функції; 6) область значень функції; 7) проміжок зростання і проміжок спадання функції. 28. Графіку функції y = –2x2 + 3x + c належить точка A(–1; 4). Знай­ діть коефіцієнт c. 29. За якого значення a вісь симетрії параболи y = ax2 + 8x + 1 про­ ходить через точку A(2; –3)? 30. Знай­діть область значень функції: , якщо x ∈ [–2; 4]; 2)

1)

, якщо x ∈ [–9; 3].

31. На параболі y = x2 – 3x знай­діть такі точки, у яких різниця орди­ нати й абсциси дорівнює 5. 32. За яких p і q графік функції y = x2 + px + q проходить через точки A(–2; 22) і B(1; 4)? 33. Побудуйте графік функції:

2)

1)

.

34. Розв’яжіть графічно рівняння x2 – 4x + 3 =

. За допомогою про­

грами для побудови графіків перевірте правильність розв’язування. 35. Знай­діть найбільше значення функції y = –2x2 + 6x – 5, областю визначення якої є проміжок: 1) [0; 2]; 2) [2; 4]. 36. На малюнку 1 зображено графік функції y = ax2 + bx + c. Використо­ вуючи малюнок, для кожного з випадків (1–4) укажіть знаки коефі­ цієнтів a, b, c та дискримінанта D квад­ратного тричле­на ax2 + bx + c.

1)

2)

3)

4)

Мал. 1

37. D – дискримінант квад­ратного тричлена ax2 + bx + c. Зобразіть схематично графік функції y = ax2 + bx + c, якщо:

1) a > 0, b > 0, c > 0, D > 0; 2) a < 0, c = 0, 3) a < 0,

> 0, D > 0;

< 0, D = 0; 4) a > 0, b < 0, D < 0.

38. За яких значень a функція y = (a – 1)x2 + 2x + 7 на­буває додатних значень для будь-якого значення x?

209

ТЕМА 4

Головне в темi 4 ФУНКЦІЯ. ОБЛАСТЬ ВИЗНАЧЕННЯ, ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНЬ І ГРАФІК ФУНКЦІЇ

Функцією (або функціональною залежністю) називають таку за­ лежність, за якої кожному значенню незалежної змінної з деякої множини відповідає єдине значення залежної змінної. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргу­мент), утворю­ ють область визначення функції. Усі значення, яких набуває залежна змінна, утворюють область значень функції. Найбільшим значенням функції називають найбільше число з області значень функції, а найменшим значенням функції – від­ повідно найменше таке число. Графіком функції називають множину всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ордина­ ти – відповідним значенням функції. ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ

Значення аргументу, за якого значення функції дорівнює нулю, називають нулем функції. Проміжок, на якому функція зберігає свій знак, називають проміжком знакосталості функції. Функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо на цьому проміжку більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо на цьо­ му проміжку більшому значенню аргументу відповідає менше зна­ чення функції.

НАЙПРОСТІШІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ

Побудова графіка функції y = f(x) % n, де n > 0 Для побудови графіка функції у = f(x) + n, де n > 0, достатньо графік функції у = f(x) перенести вздовж осі y на n одиниць угору;

210

Квадратична функція

для побудови графіка функції у = f(x) – n, де n > 0, достатньо гра­ фік функції y = f(x) перенести вздовж осі y на n одиниць униз. Побудова графіка функції y = f(x % m), де m > 0 Для побудови графіка функції y = f(x – m), де m > 0, достатньо графік функції y = f(x) перенести вздовж осі x на m одиниць управо; для побудови графіка функції y = f(x + m), де m > 0, достатньо графік функції y = f(x) перенести вздовж осі x на m одиниць уліво. Побудова графіка функції y = –f(x) Графіки функцій y = –f(x) та y = f(x) симетричні відносно осі x. Побудова графіка функції y = kf(x), де k > 0, k ≠ 1 Для побудови графіка функції y = kf(x), де k > 0, k ≠ 1, достатньо графік функції y = f(x) розтягнути від осі x у k разів, якщо k > 1, або стиснути його до осі х у

разів, якщо 0 < k < 1.

ФУНКЦІЯ y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Ї Ї ГРАФІК І ВЛАСТИВОСТІ

Функцію вигляду y = ax2 + bx + c, де x – змінна, a, b і c – деякі числа, причому a ≠ 0, називають квад­ратичною функцією. Будуючи графік функції f(x) = ax2 + bx + c, слід дотримуватися такої послідовності дій: 1) знайти координати вершини параболи

,

і позначити її на координатній площині; 2) побудувати ще кілька точок параболи і стільки ж точок, симет­ ричних їм відносно прямої x = xв; 3) сполучити отримані точки плавною лінією.

211

ТЕМА 5

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ У ЦІЙ ТЕМІ ВИ:

дізнаєтеся про теорему косинусів і теорему синусів; про існування різних формул для знаходження площ трикутника і паралелограма; навчитеся розв’язувати трикутники та прикладні задачі; знаходити площі трикутника, паралелограма, ромба, використовуючи різні формули.

§ 22. Те­ор ­ е­ма косинусів 1. Теорема косинусів Доведемо одну з найважливіших теорем про співвідношення між сторонами і кутами трикутника.

Доведення. Нехай у трикутнику ABC: AB = с, AC = b, BC = а (мал. 22.1). Доведемо, що с2 = а2 + b2 – 2ab cos C. Очевидно, що ∠ C може бути прямим, гострим або тупим. Розглянемо всі три випадки. 1) Нехай ∠ C – прямий. Тоді cos C = 0 і формула, яку потрібно довести, набуває вигляду: c2 = а2 + b2, тобто маємо теорему Піфагора для Мал. 22.1 трикутника ABC. 2) Нехай ∠ C – гострий. Тоді у трикутнику ABC є ще хоча б один гострий кут, нехай це буде ∠ В. Проведемо у трикутнику ABC висоту AD. Оскільки кути B і C – гострі, то точка D належить стороні BC. Тоді у прямокутному трикутнику ADC: AD = b sin C, CD = b cos C, а BD = BC – CD = a – b cos C. У прямокутному трикутнику ADB (за теоремою Піфагора): с2 = AB2 = AD2 + DB2 = (b sin C)2 + (a – b cos C)2 = b2sin2 C + a2 – 2ab cos C + b2 cos 2 C = = a2 + b2(sin2 C + cos2 C) – 2ab cos C. 2 Але sin C + cos2 C = 1, тому c2 = a2 + b2 – 2ab cos C. 3) Нехай кут ∠ C – тупий (мал. 22.2). Позначимо ∠ ACB = γ. Проведемо у трикутнику ABC висоту AD. У цьому разі точка D лежатиме на продовженні променя ВC, тому ∠ ACD = 180° – γ. Мал. 22.2

212

Розв’язування трикутників

У прямокутному трикутнику ADC: AD = b sin ACD = b sin (180° – γ) = b sin γ; DC = b cos ACD = b cos (180° – γ) = –b cos γ. Маємо: BD = BC + CD = a – bcos γ. Далі доводимо так, як у разі, коли ∠ C – гострий.  Зауважимо, що теорема Піфагора є окремим випадком тео­реми косинусів для прямокутного трикутника, тому її інколи називають узагальненою теоремою Піфагора. Отже, у довільному трикутнику ABC виконуються рівності:

2. Використання теореми косинусів для знаходження сторін трикутника За допомогою тео­реми косинусів можна, наприклад, знай­ти невідому сторону трикутника, якщо відомо дві його інші сторони й один з кутів. Приклад 1. Дано: { ABC, AC = 5 см, BC = 8 см, ∠ C = 60°.

Знайти: AB. Розв’язання. Нехай AC = b, BC = a, AB = с (мал. 22.1). За теоремою косинусів маємо: с2 = a2 + b2 – 2ab cos C. Тоді Відповідь: 7 см.

= 7 (см).

Приклад 2. Дано: { ABC, AB = 7 см, BC = 5 см, ∠ C = 120°.

Знайти: AC. Розв’язання. Нехай AB = c, BC = a, AC = b (мал. 22.2). 1) За теоремою косинусів маємо: с2 = a2 + b2 – 2аb cos C, тобто 72 = 52 + b2 – 2 · 5 · b · cos 120°. 2) Спростивши останню рівність, отримаємо квад­ратне рівняння b2 + 5b – 24 = 0, розв’язавши яке, матимемо: b1 = 3, b2 = –8. Число –8 не задовольняє змісту задачі, оскільки b > 0. Отже, AC = 3 см. Відповідь: 3 см.

3. Використання теореми косинусів для знаходження кутів трикутника Якщо відомо три сторони трикутника, то за теоремою косинусів можна знай­ти косинус будь-якого з його кутів, а отже, і сам кут. Наприклад, косинус кута C можна знай­ти за формулою, виразивши cos C із формули тео­реми косинусів:

213

ТЕМА 5

Приклад 3. Знайти міру найбільшого з кутів трикутника, дов­жини

, і 4 см. сторін якого дорівнюють Розв’язання. 1) Оскільки у трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, то найбільшим кутом трикутника буде кут, що лежить проти сторони 4 см завдовжки. см, b = см, с = 4 см. 2) Нехай а = Тоді за формулою косинуса кута маємо: . 3) Використовуючи калькулятор (або таблиці), знайдемо, що ∠ C ≈ 138°35′. Відповідь: 138°35′. Отже, теорема косинусів допомагає розв’язувати трикутники.

4. Використання теореми косинусів для визначення виду трикутника відносно кутів Теорема косинусів є зручною і для визначення виду трикутника. Щоб установити гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник, досить знайти знак косинуса його найбільшого кута. З формули косинуса кута зрозуміло, що знак косинуса кута залежить від знака чисельника дробу, оскільки знаменник завжди додатний. Тому знак виразу а2 + b2 – с2 дає змогу визначити знак косинуса кута трикутника, а отже, і вид цього кута (гострий, прямий чи тупий). Якщо с – найбільша сторона трикутника, то для з’ясування виду трикутника достатньо порівняти з нулем значення виразу а2 + b2 – с2. Отже,

Приклад 4. Визначити вид трикутника зі сторонами а = 4 см, b = 6 см,

с = 7 см. Розв’язання. а2 + b2 – с2 = 42 + 62 – 72 = 3 > 0, отже, трикутник гострокутний. Відповідь: гострокутний.

5. Властивість сторін і діагоналей паралелограма Розглянемо важливу властивість сторін і діагоналей паралелограма.

214

Розв’язування трикутників

Приклад 5. Довести, що сума квад­ратів діагоналей

паралелограма дорівнює сумі квад­ратів його сторін. Доведення. Нехай ABCD – паралелограм, AB = а, AD = b, AC = d1, BD = d2 (мал. 22.3). 1) З трикутника ABD за теоремою косинусів: = a2 + b2 – 2ab cos BAD. Мал. 22.3 2) З трикутника ABC за теоремою косинусів: = a2 + b2 – 2ab cos ABC = a2 + b2 – 2ab cos (180° – ∠ BAD) = a2 + + b2 + 2ab cos BAD. 3) Додавши почленно ці дві рівності, маємо: + = 2(а2 + b2). 

6. Формула для знаходження довжини медіани через сторони трикутника Приклад 6. AM – медіана трикутника ABC. Довести формулу медіани

трикутника:

Розв’язання. 1) Продовжимо медіану AM на відрізок MD = AM (мал. 22.4). 2) Оскільки в чотирикутнику ABDC AM = MD (за побудовою) і BM = MC (за умовою), то ABDC – Мал. 22.4 паралелограм (за ознакою). Тоді AD = 2ma. 3) За доведеною вище властивістю діагоналей паралелограма маємо: AD2 + BC2 = 2(AB2 + AC2), тобто (2та)2 + а2 = 2(с2 + b2). Звідки:

= 2(b2 + с2) – а2, тоді

=

(2b2 + 2с2 – а2).

Отже, mа =

.

Зауважимо, що в деяких задачах, зокрема тих, розв’язу­вання яких зводиться до розв’язування рівнянь, доцільно використовувати формулу медіани трикутника у вигляді: . Можна вважати, що теорему косинусів було доведено ще в «Началах» Евкліда. У 12-му та 13-му реченнях другої книги Евклід узагальнює теорему Піфагора і виводить формулу, якою записує квад­рат сторони, яка лежить проти гострого або тупого кута трикутника. Ці формули для кожної зі сторін, які довів Евклід, еквівалентні формулам тео­реми косинусів:

; ; .

215

ТЕМА 5

Формули, подіб­ні до цих, використовували також александрійські математики Герон (I ст.) і Пап (III ст.), учені Індії (Брахмагупта, Бхаскара) та країн Близького та Середнього Сходу (Аль-Біруні), а також деякі європейські математики XIII–XV ст., зокрема Леонардо Пізанський (Фібоначчі). Уперше теорему косинусів сформулював словами видатний математик Франсуа Вієт у своїй праці «Математичні таблиці» (1579 р.). У сучасних же позначеннях відповідну формулу Вієта можна записати так:

. Сучасного вигляду теоремі косинусів 1801 р. надав французький математик Лазар Карно (1753–1823). Сформулюйте і доведіть теорему косинусів. Запишіть рівності, що випливають із тео­реми косинусів. Як знай­ти косинус кута трикутника, якщо відомо три його сторони? Як визначити вид трикутника, якщо відомо три його сторони?

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 22.1. Запишіть теорему косинусів для: 1) сторони MN трикутника MNL; 2) сторони PF трикутника PFT. 22.2. На малюнку 22.5 зображено { KLM. Які з рівностей є правильними: 1) LM2 = KL2 + KM2 + 2KL · KM · cos K; 2) KM2 = KL2 + LM2 – 2KL · LM · cos L; 3) KL2 = KM2 + ML2 – 2KM · ML · cos K; Мал. 22.5 4) LM2 = KL2 + KM2 – 2KL · KM · cos K? 22.3. Запишіть формули для обчислення косинусів кутів K і M трикутника KLM (мал. 22.5), вважаючи, що його сторони відомо. 22.4. Знай­діть сторону AB трикутника ABC, якщо: 1) AC = 13 см, BC = 4 см, 2) AC = 7 см, BC = 3 см,

; Ь ; О

3) BC = 10 см, CA = 16 см, ∠ C = 60°; Л 4) BC = 7 см, CA = 1 см, ∠ C = 150°. Г Підставте отримані літери в таблицю, відтак дізнаєтеся прізвище письменника українського походження, продовжувача давнього козацького роду. Дізнайтеся про його внесок в українську літературу, культуру та фольклор. 13 см

216

см

13 см

см

14 см

15 см

Розв’язування трикутників

22.5. Знай­діть сторону BC трикутника ABC, якщо: 1) AC = 11 см, AB = 20 см, 2) AC = 4 см, AB = 3 см,

; ;

см, AB = 13 см, ∠ A = 30°; 3) AC = 5 4) AC = 3 см, AB = 5 см, ∠ A = 120°. 22.6. Сторони паралелограма дорівнюють 4 см і 5 см, а кут між ними – 60°. Знай­діть діагоналі паралелограма. 22.7. Сторони паралелограма дорівнюють 3 см і 4 см, а кут між ними – 120°. Знай­діть діагоналі паралелограма. 22.8. Знай­діть косинуси кутів трикутника, сторони якого дорівнюють 5 см, 6 см і 7 см. 22.9. Знай­діть косинуси кутів трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 5 см і 8 см. 22.10. У трикутнику ABC AB = 1 см, BC = 2 см, AC = градусну міру кожного з кутів трикутника.

см. Знай­діть

22.11. У трикутнику ABC AB = см, BC = 2 см, AC = см. Знай­ діть градусну міру найбільшого кута трикутника. 22.12. Знай­діть градусну міру найменшого кута трикутника, сторони см. якого дорівнюють 4 см, 8 см і 4 22.13. Визначте вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний), якщо відомо три його сторони: 1) 4 см, 5 см і 6 см; 2) 6 см, 8 см і 10 см; 3) 7 см, 8 см і 13 см; 4) 5 см, 5 см і 8 см. 22.14. Визначте вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний), якщо відомо три його сторони: 1) 2 см, 8 см і 9 см; 2) 7 см, 24 см і 25 см; 3) 4 см, 7 см і 8 см; 4) 5 см, 5 см і 6 см. 22.15. Дві сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 7 см, а одна з діа­ гоналей – 8 см. Знай­діть другу діагональ паралелограма. 22.16. Діагоналі паралелограма дорівнюють 6 см і 8 см, а одна зі сторін – 4 см. Знай­діть другу сторону паралелограма. 22.17. Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 24 см і 26 см. Знай­діть медіану трикутника, проведену до більшої сторони. 22.18. Сторони трикутника дорівнюють 5 см, 6 см і 7 см. Знай­діть медіану трикутника, проведену до меншої сторони. 22.19. Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см. Дві інші його сторони утворюють кут 60°, а їхня різниця дорівнює 3 см. Знай­діть периметр трикутника. 22.20. Сторони трикутника, одна з яких на 4 см більша за другу, утворюють кут 120°, а третя сторона дорівнює 14 см. Знай­діть периметр трикутника.

217

ТЕМА 5

22.21. Дві сторони трикутника відносяться як 3 : 5, а кут між ними дорівнює 120°. Знай­діть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 30 см. 22.22. Периметр трикутника дорівнює 60 см. Дві його сторони відносяться як 5 : 8, а кут між ними дорівнює 60°. Знай­діть сторони трикутника. 22.23. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 8 см, а кут проти меншої з них – 60°. Знай­діть третю сторону трикутника. см і 5 см, а кут проти 22.24. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 більшої з них – 45°. Знай­діть третю сторону трикутника. 22.25. Знай­діть діагоналі паралелограма, якщо вони відносяться як 4 : 7, а сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 9 см. 22.26. Знай­діть сторони паралелограма, якщо вони відносяться як 2 : 3, а діагоналі паралелограма дорівнюють 17 см і 19 см. 22.27. Діагоналі паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а одна зі сторін на 1 см більша за другу. Знай­діть периметр паралелограма. 22.28. Одна з діагоналей паралелограма на 2 см більша за другу. Знай­діть ці діагоналі, якщо сторони паралелограма дорівнюють 7 см та 11 см. 22.29. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а медіана, проведена до неї, – 3 см. Знай­діть основу трикутника. 22.30. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 9 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює 4 см. Знай­діть третю сторону трикутника. 22.31. Доведіть, що коли для трикутника ABC справджується рівність а2 = b2 + с2 – bc, то ∠ A = 60°. 22.32. Доведіть, що коли для трикутника ABC справджується рівність b2 = а2 + с2 + ас, то ∠ B = 120°. 22.33. Одна зі сторін трикутника дорівнює 13 см. Сума двох інших сторін дорівнює 23 см. Знай­діть ці сторони, якщо вони утворюють кут 60°. 22.34. Середня за дов­жиною сторона трикутника на 1 см більша за меншу сторону і на 1 см менша від більшої сторони. Косинус середнього за величиною кута трикутника дорівнює

. Знай­

діть периметр трикутника. 22.35. Дві сторони трикутника дорівнюють 10 см і 12 см, а синус кута між ними дорівнює 0,6. Знай­діть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача? 22.36. Дві сторони трикутника дорівнюють 10 см і 7 см, а синус кута між ними дорівнює 0,8. Знай­діть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача? 22.37. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см та 11 см, а медіана, проведена до третьої сторони, на 8 см менша від цієї сторони. Знай­діть периметр трикутника.

218

Розв’язування трикутників

22.38. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 9 см, а медіана, проведена до третьої сторони, відноситься до цієї сторони як 2 : 7. Знай­діть периметр трикутника. 22.39. У трикутнику ABC AB = 8 см, BC = 10 см, AC = 12 см. На сторонах AB і AC узято такі точки M і N відповідно, що AM = 3 см, AN = 5 см. Знай­діть дов­жину відрізка MN. 22.40. У трикутнику KLM KL = 7 см, KM = 9 см, LM = 11 см. На сторонах KL і KM узято такі точки A і B відповідно, що KA = 2 см, KB = 3 см. Знай­діть дов­жину відрізка AB. 22.41. У трикутнику ABC AB = 20 см, AP і BN – медіани трикутника, AP = 42 см, BN = 36 см. Знай­діть третю медіану трикутника. 22.42. Більша діагональ ромба дорівнює d, а один з його кутів дорівнює 60°. Знай­діть периметр ромба.

Вправи для повторення 22.43. { ABC – прямокутний (∠ C = 90°). Знай­діть невідомі сторони (з точністю до сотих сантиметра) та кути трикутника, якщо: 1) AB = 12 см, ∠ A = 37°; 2) BC = 16 см, ∠ B = 49°. 22.44.

,

,∠

. Знай­діть:

1) ; 2) ; 3) ; 4) . 22.45. Хорда 30 см завдовжки перпендикулярна до діаметра й ділить його на відрізки у відношенні 1 : 9. Знай­діть ра­діус кола. 22.46. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 40 см, а висота, проведена до основи, – 10 см. Знай­діть площу трикутника. 22.47. Кут між медіаною і висотою, проведеними з вершини прямого кута прямокутного трикутника, дорівнює a. Знай­діть катети трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює с.

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 22.48. Чотирикутник ABCD вписано в коло (мал. 22.6). Знай­діть ∠ A, якщо ∠ C = 130°. 22.49. На малюнку 22.7 ∠ AQB = 40°. Знай­діть ∠ AMB.

Мал. 22.6 Мал. 22.7 Мал. 22.8

22.50. AB – діаметр кола, ∠ BAC = a, OB = R (мал. 22.8). Знай­діть BC.

219

ТЕМА 5

22.51. Дано: { ABC, ∠ C = 90°, AC = 3, BC = 4 (мал. 22.9). Знай­ти: 1) AB; 2) sin A, sin B; 3) радіус описаного кола R; ,

4) відношення

,

.

Переконайтеся, що

.

Мал. 22.9

Життєва математика 22.52. 1) Скільки гумових плиток, що мають форму квад­рата зі стороною 0,5 м, потрібно для покриття підлоги в тренажерному залі, що має форму прямокутника 8,5 м завдовжки і 4,5 м завширшки? 2) Скільки потрібно заплатити за цю плитку, якщо ціна однієї плитки 124 грн?

Цікаві задачі – поміркуй одначе 22.53. На відрізку AB, як на діаметрі, побудовано півколо (мал. 22.10). Промені AK і BK перетинають півколо відповідно в точках M і N, AN і BM перетинаються в точці L. Знай­діть кут між прямими KL і AB.

§ 23. Теорема синусів

Мал. 22.10

1. Теорема синусів та її наслідок

Доведення. 1) Якщо AB = 2R – діаметр кола (мал. 23.1), то ∠ AMB = 90° для будь-якого розташування точки M на колі. Тоді, ураховуючи співвідношення у прямокутному трикутнику,

2) Нехай AB – не є діаметром кола, а M – точка, що належить більшій дузі кола (мал. 23.2). Проведемо діаметр AK. Тоді ∠ AMB = ∠ AKB (як вписані, що спи-

220

Мал. 23.1

Мал. 23.2

Розв’язування трикутників

раються на одну й ту саму дугу). ∠ ABK = 90° (як кут, що спирається на діаметр). У трикутнику ABK (∠ B = 90°): sin ∠ AKB =

, тому sin ∠ AMB =

, звідки

= 2R.

3) Нехай AB – не є діаметром, а точка M1 належить меншій дузі кола, тоді ∠ M + ∠ M1 = 180°. Маємо: ∠ AM1B = 180° – ∠ AMB, тому sin ∠ AM1B = sin (180° – ∠ AMB) = sin ∠ AMB. Отже, у цьому разі також справджується рівність  Тепер доведемо важливу теорему про співвідношення між сторонами і кутами трикутника.

Доведення. Нехай ABC – довільний трикутник, AB = с, AC = b, BC = а (мал. 23.3). Доведемо, що . Опишемо коло радіуса R навколо цього трикутника. За доведеною лемою: , Отже,

,

. . Мал. 23.3

Скориставшись теоремою синусів, можна довести відоме з курсу геомет­рії 7 класу твердження: У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти більшого кута лежить більша сторона. Доведіть це твердження самостійно.

221

ТЕМА 5

2. Знаходження елементів трикутника за допомогою теореми синусів За допомогою тео­реми синусів можна знаходити невідомі елементи трикутника. Наприклад, за двома даними кутами трикутника і стороною, що лежить проти одного з них, можна знай­ти сторону, що лежить проти другого кута. Приклад 1. Дано: { ABC BC = 7

см, ∠ A = 45°, ∠ B = 60°. Знайти сто-

рону AC.

Розв’язання. За теоремою синусів маємо (мал. 23.3): , тобто

звідки

Відповідь: 7

(см).

см.

Також за двома сторонами трикутника і кутом, що лежить проти однієї з них, можна знайти кут, що лежить проти другої сторони. см. Знай­ти ∠ А,

Приклад 2. У трикутнику ABC: AB = 1 см, BC =

якщо: 1) ∠ C = 45°; 2) ∠ C = 30°. Розв’язання. Позначимо AB = c, BC = a. 1) За теоремою синусів маємо: , тобто звідки

. Тоді ∠ A = 90°.

2) Аналогічно

, тобто

звідки

,

,

.

Маємо: ∠ A = 45° або ∠ A = 135°. Зауважимо, що в обох випадках ∠ А + ∠ C < 180°, тому задача має два розв’язки. Відповідь: 1) 90°; 2) 45° або 135°.

3. Застосування узагальненої теореми синусів для знаходження радіуса кола, описаного навколо трикутника Задачі, у яких потрібно знай­ти радіус кола, описаного навколо трикутника, часто можна розв’язати за допомогою наслідку з тео­реми синусів (узагальненої тео­реми синусів).

222

Розв’язування трикутників

Приклад 3. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника зі сто-

см і

ронами 5 см,

см.

Розв’язання. Нехай а = 5 см, b = 1) Знайдемо косинус кута В:

см, с =

см. .

Тому ∠ B = 30°. 2) За узагальненою теоремою синусів

, тому

(см). Відповідь:

см.

Індійські вчені, як і вчені з мусульманських країн, у ІХ–Х ст. зводили розв’я­зування трикутників до розв’язу­ вання прямокутних трикутників, отже, не мали потреби в теоремі синусів, тому і не знали її. Теорему синусів довів лише в ХІ ст. математик та астроном Аль-Біруні. А вже з ХVІ ст. її починають використовувати європейські математики. 1799 р. французький математик Жан-Луї Лагранж (1736–1813) вивів теорему синусів із тео­реми косинусів. Інший французький математик Огюстен-Луї Коші (1789–1857) у своїй праці «Курс аналізу», що була опублікована 1821 р., вивів теорему косинусів із тео­реми синусів.

Аль-Біруні (973–1048) Сформулюйте і доведіть лему, подану в цьому параграфі. Сформулюйте і доведіть теорему синусів. Сформулюйте наслідок із тео­реми синусів.

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 23.1. У трикутнику проти сторони а лежить кут 50°, а проти сторони b – кут 40°. Які з рівностей правильні: 1)

; 2)

3)

; 4)

; ?

23.2. У трикутнику проти сторони b лежить кут 80°, а проти сторони с – кут 70°. Запов­ніть порожні клітинки: 1)

; 2)

.

223

ТЕМА 5

23.3. У трикутнику ABC sin A = 0,2, sin В = 0,4, а = 10 см. Знай­діть b. 23.4. У трикутнику ABC а = 2 см, b = 6 см, sin А = 0,3. Знай­діть sin B. 23.5. У трикутнику ABC ∠ A = 60°, ∠ B = 45°. Знай­діть відношення сторони BC до сторони AC. 23.6. У трикутнику ABC ∠ B = 30°, ∠ C = 60°. Знай­діть відношення сторони AC до сторони AB. 23.7. У трикутнику OKP OP = діть OK.

см, ∠ K = 30°, ∠ P = 45°. Знай­

23.8. У трикутнику OKP OK = діть OP.

см, ∠ K = 60°, ∠ P = 30°. Знай­

23.9. У трикутнику ABC AB =

см, ∠ A = 15°, ∠ C = 135°. Знай­діть AC.

23.10. У трикутнику ABC ∠ A = 120°, ∠ B = 15°, BC = діть AB.

см. Знай­

23.11. У трикутнику ABC AB = см, ∠ C = 120°. Знай­діть радіус кола, описаного навколо трикутника. 23.12. У трикутнику ABC BC = 6 см, ∠ A = 30°. Знай­діть радіус кола, описаного навколо трикутника. 23.13. За допомогою наслідку з тео­реми синусів знай­діть радіус кола, описаного навколо: 1) рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює а; 2) прямокутного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює с. 23.14. За допомогою наслідку з тео­реми синусів знай­діть сторони рівностороннього трикутника за радіусом R описаного кола. 23.15. Доведіть, що в будь-якому трикутнику сторона, що лежить проти кута 30°, дорівнює радіусу кола, описаного навколо цього трикутника. 23.16. Знай­діть радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, катет якого дорівнює 18 см, а прилеглий до нього кут – 30°. 23.17. У трикутнику ABC AB = Знай­діть ∠ B.

см, AC = 1 см, ∠ C = 45°.

23.18. У трикутнику ABC AB = 1 см, BC =

см, ∠ A = 135°. Знай­діть ∠ C.

23.19. У трикутнику ABC BC =

см, AB =

см, ∠ C = 45°. Знай­діть ∠ А.

23.20. У трикутнику ABC AC = 2 см, BC =

см, ∠ A = 30°. Знай­діть ∠ В.

23.21. Сторона трикутника відноситься до радіуса описаного навколо : 1. Знай­діть кут, що лежить проти цієї трикутника кола як сторони. 23.22. Сторона трикутника дорівнює радіусу описаного навколо нього кола. Знай­діть кут, що лежить проти цієї сторони. 23.23. Радіус описаного навколо рівнобічної трапеції кола дорівнює см. Знай­діть дов­жину діагоналі трапеції, якщо один з її кутів дорівнює 135°.

224

Розв’язування трикутників

23.24. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 8 см, а кут між ними – 60°. Знай­діть радіус кола, описаного навколо трикутника. 23.25. Дві сторони трикутника дорівнюють см і 4 см, а кут між ними – 30°. Знай­діть радіус кола, описаного навколо трикутника. 23.26. Знай­діть периметр рівнобедреного трикутника, у якого кут при основі дорівнює 30°, а основа більша за бічну сторону на 2 см. 23.27. Сторона AB трикутника ABC на 1 см більша за сторону AC. Знай­діть сторони AB і AC, якщо ∠ C = 60°, ∠ B = 45°. 23.28. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 8 см. Знай­діть третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса опи: 1. Скільки розв’язків має задача? саного кола як 23.29. Одна з діагоналей паралелограма дорівнює d і ділить його кут на частини, міри яких дорівнюють α і β. Знай­діть периметр паралелограма. 23.30. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює т, а кут при основі – a. Знай­діть дов­жину бісектриси кута при основі. 23.31. У прямокутному трикутнику дов­жина гіпотенузи дорівнює с, а градусна міра одного з гострих кутів – a. Знай­діть дов­жину бісектриси трикутника, що виходить з вершини прямого кута.

Вправи для повторення 23.32. Два кути трикутника дорівнюють 37° і 62°. Знай­діть усі зовнішні кути трикутника. 23.33. Один з кутів паралелограма вдвічі менший від іншого. Знай­ діть меншу діагональ паралелограма, якщо його сторони дорівнюють 5 см і 8 см. 23.34. Знай­діть площу ромба, сторона якого дорівнює а, а одна з діагоналей – d. 23.35. Катети прямокутного трикутника дорівнюють a см і b см. Знай­ діть відношення площ, на які ділить трикутник висота, проведена до гіпотенузи.

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 23.36. У трикутнику ABC ∠ C = 90°. Розв’яжіть трикутник, якщо: 1) AB = 8 см, ∠ A = 30°; 2) AC = 4 см, ∠ B = 45°; 3) AC = 10 см, ∠ A = 60°; см; 4) AC = 2 см, BC = см; 5) AB = 2 см, BC = 6) AC = 3 см, AB = 6 см.

225

ТЕМА 5

23.37. У трикутнику ABC ∠ C = 90°. Розв’яжіть цей трикутник (сторони в завданнях 1)–3) знай­діть із точністю до сотих сантиметра, гострі кути у завданнях 4)–6) – із точністю до градуса). 1) AB = 10 см, ∠ B = 37°; 2) BC = 7 см, ∠ A = 83°; 3) BC = 6 см, ∠ B = 18°; 4) AC = 10 см, BC = 6 см; 5) AB = 8 см, AC = 5 см; 6) BC = 3 см, AB = 7 см.

Життєва математика 23.38. Яся на моноколесі від будинку в напрямку на захід проїхала 550 м. Потім повернула на північ і проїхала 300 м. Після цього повернула на схід і подолала ще 150 м. Під яким кутом до напрямку на схід вона має рухатися, щоб повернутися додому? У відповіді вкажіть ціле число градусів.

Цікаві задачі – поміркуй одначе 23.39. (Всеукраїнська математична олімпіада, 1965 р.) З деякої точки кола, описаного навколо прямокутника, проведено перпендикуляри до його діагоналей. Довести, що відстань між основами цих перпендикулярів не залежить від положення точки на колі.

§ 24. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі 1. Розв’язування трикутників. Загальні формули та факти Нагадаємо, що розв’язати трикутник – означає знай­ти невідомі його сторони і кути за якими-небудь відомими сторонами і кутами. Раніше ми розв’язували прямокутні трикутники. Під час розв’язування довільного трикутника ABC, де AB = c, AC = b, BC = а (мал. 24.1), використовують такі співвідношення: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°; а2 = b2 + с2 – 2bс cos A; b2 = а2 + с2 – 2ас cos B; c2 = a2 + b2 – 2ab cos C (теорема косинусів); (теорема синусів).

226

Мал. 24.1

Розв’язування трикутників

Розглянемо чотири види задач на розв’язування трикутників. Невідомі сторони будемо знаходити з точністю до сотих, а невідомі кути – із точністю до мінути.

2. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом між ними Приклад 1. Дано сторони трикутника а і b та кут C між ними. Знайти

сторону с та кути A і B.

Розв’язання у загальному вигляді

Приклад

Дано: a, b, ∠ C. Знайти: с, ∠ A, ∠ B.

Дано: a = 4, b = 7, ∠ C = 40°. Знайти: с, ∠ A, ∠ B.

Розв’язання.

Розв’язання.

1. с =

. .

2.

Далі знаходимо кут А за допомогою калькулятора або таблиць. 3. ∠ B = 180° – (∠ A + ∠ C).

1. с =

.

2.

,

∠ А ≈ 33°09′. 3. ∠ B ≈ 180° – (33°09′ + 40°) = = 106°51′.

3. Розв’язування трикутників за стороною і двома кутами Приклад 2. Дано сторону трикутника а і кути B і C. Знайти сторони

трикутника b і c і кут А.

Розв’язання у загальному вигляді

Приклад

Дано: a, ∠ B, ∠ C. Знайти: ∠ A, b, с.

Дано: а = 8, ∠ B = 40°, ∠ C = 80°. Знайти: ∠ A, b, с.

Розв’язання. 1. ∠ A = 180° – (∠ B + ∠ C).

Розв’язання. 1. ∠ A = 180° – (40° + 80°) = 60°.

2.

2. 3.

3.

227

ТЕМА 5

4. Розв’язування трикутників за трьома сторонами Приклад 3. Дано три сторони а, b і с трикутника (|b – с| < а < b + с).

Знайти три кути А, В і C трикутника. Розв’язання у загальному вигляді

Приклад

Дано: а, b, с. Знайти: ∠ A, ∠ B, ∠ C. Розв’язання.

Дано: а = 7, b = 8, c = 9. Знайти: ∠ A, ∠ B, ∠ C. Розв’язання.

1. cos A =

1. cos A =

.

Далі знаходимо кут А за допомогою калькулятора або таб­лиць.

∠ A ≈ 48°11′.

2. cos B =

2. cos B =

. Далі знахо-

димо кут В за допомогою калькулятора або таб­лиць. 3. ∠ C = 180° – (∠ A + ∠ B).

;

;

∠ B ≈ 58°25′. 3. ∠ C ≈ 180° – (48°11′ + 58°25′) = = 73°24′.

5. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них Приклад 4. Дано сторони трикутника а, b і кут А. Знайти сторону с

трикутника та кути B і C.

Розв’язання у загальному вигляді

Приклад

Дано: a, b, ∠ A. Знайти: с, ∠ B, ∠ C. Розв’язання. І спосіб. 1. а2 = b2 + с2 – 2bс cos A. Із цього рівняння знаходимо с. Задача може мати два, один або не мати жодного розв’язку.

Дано: а = 10, b = 8, ∠ A = 70°. Знайти: с, ∠ B, ∠ C. Розв’язання. І спосіб. 1. 102 = 82 + с2 – 2 · 8 · с · cos 70°. с2 – 5,47с – 36 = 0; c1 ≈ 9,33; с2 ≈ –3,86 не задовольняє змісту задачі. Отже, с ≈ 9,33.

2.

2. cos B ≈

. Далі знахо-

димо кут В за допомогою калькулятора або таб­лиць. 3. ∠ С = 180° – (∠ А + ∠ В).

228

≈ 0,659;

∠ B ≈ 48°45′. 3. ∠ C ≈ 180° – (70° + 48°45′) = = 61°15′.

Розв’язування трикутників

II спосіб.

II спосіб. 1.

;

1. sin B =

.

≈ 0,7518;

Може існувати два, один або не існувати жодного кута, що задовольняли б останню рівність та нерівність ∠ A + ∠ В < 180°.

∠ B ≈ 48°45′ або ∠ B ≈ 180° – 48°45′ = 131°15′. Оскільки ∠ A + ∠ B = 70° + 131°15′ > 180°, то ∠ B = 131°15′ не є роз­в’язком задачі.

2. ∠ C = 180° – (∠ A + ∠ B).

2. ∠ C ≈ 180° – (70° + 48°45′) = = 61°15′.

3.

;

.

3. с ≈

≈ 9,33.

Ця задача, на відміну від трьох попередніх, які завжди мають єдиний розв’язок, може мати один, два або не мати жодного розв’язку.

6. Розв’язування прикладних задач Уміння розв’язувати трикутники допоможе і для розв’я­зування прикладних задач. Приклад 5. (Вимірювання відстані до недоступної точки). Знайти

відстань від точки спостереження А до недоступної точки C (мал. 24.2).

Мал. 24.2   Розв’язання. Цю задачу ми вже розв’язували у 8 класі за допомогою подібності трикутників. Розглянемо тепер інший спосіб – за допомогою тео­реми синусів. 1) Позначимо на місцевості точку В і виміряємо дов­жину відрізка AB. Нехай AB = c. Потім виміряємо (наприклад, за допомогою астролябії) кути А і В, нехай ∠ А = α, ∠ B = b. 2) За теоремою синусів: 3) ∠ C = 180° – (∠ A + ∠ B), тому sin C = sin (180° – (a + β)) = sin (a + β). Остаточно отримаємо:

229

ТЕМА 5

Приклад 6. (Вимірювання висоти предмета, основа якого недоступна.)

Знайти висоту дерева CH, якщо точка H – недоступна (мал. 24.3). Розв’язання. Цю задачу ми також розв’язували у 8 класі за допомогою співвідношень між сторонами і кутами в прямокутних трикутниках CHA і CHB. Розглянемо ще один спосіб розв’язування. 1) На прямій, що проходить через основу предмета – точку H, виберемо дві точки А і B, відстань між якими дорівнює а. Виміряємо кути САН і CBH, нехай ∠ САН = a, ∠ CBH = β.

Мал. 24.3

2) Із трикутника ABC: Оскільки ∠ CAB = 180° – a, то ∠ ACB = 180° – (β + 180° – a) = a – β. Тоді CA = 3) Із трикутника CHA: CH = AC ∙ sin a. Тоді CH =

.

Які співвідношення між сторонами і кутами трикутника використовуємо під час розв’язування трикутників? Як розв’язати трикутник: 1) за двома сторонами і кутом між ними; 2) за стороною і двома кутами; 3) за трьома сторонами; 4) за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них?

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи У задачах № 24.1–24.4, 24.12, 24.13 невідомі сторони знай­діть із точністю до сотих сантиметра, кути в разі використання калькулятора – з точністю до мінути або з точністю до градуса в разі використання таблиць. 24.1. Розв’яжіть { АВС за двома сторонами і кутом між ними: 1) AB = 7 см, AC = 5 см, ∠ A = 60°; 2) AC = 8 см, BC = 9 см, ∠ C = 46°; 3) BC = 10 см, AB = 6 см, ∠ B = 117°; 4) AB = 3 см, AC = 8 см, ∠ A = 129°.

230

Розв’язування трикутників

24.2. Розв’яжіть { АВС за двома сторонами і кутом між ними: 1) AC = 5 см, BC = 7 см, ∠ C = 42°; 2) BC = 8 см, AB = 9 см, ∠ B = 62°; 3) AB = 9 см, AC = 5 см, ∠ A = 120°; 4) AC = 8 см, BC = 4 см, ∠ C = 147°. 24.3. Розв’яжіть { ABC за стороною і двома кутами: 1) AB = 8 см, ∠ A = 37°, ∠ B = 30°; 2) AC = 10 см, ∠ A = 45°, ∠ C = 92°; 3) BС = 6 см, ∠ B = 12°, ∠ A = 18°; 4) AB = 7 см, ∠ A = 57°, ∠ C = 62°. 24.4. Розв’яжіть { АBС за стороною і двома кутами: 1) AC = 5 см, ∠ A = 150°, ∠ C = 8°; 2) BС = 4 см, ∠ B = 108°, ∠ A = 23°; 3) AB = 12 см, ∠ B = 56°, ∠ C = 94°; 4) AC = 9 см, ∠ A = 63°, ∠ C = 67°. 24.5. Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таб­ лиці (кути знайдіть з точністю до градуса), відтак дізнаєтеся прізвище українського борця греко-римського стилю, олімпійського чемпіона 2020 р. Розв’яжіть {ABC за трьома сторонами

∠A

∠B

∠C

AB = 3 см, AC = 8 см, BC = 7 см

Н

Ю

Б

AB = 9 см, AC = 8 см, BC = 13 см

К

Е

Л

≈ 22°

≈ 37°

≈ 43°

≈ 37°

60°

≈ 98°

≈ 100°

24.6. Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таб­ лиці (кути знайдіть з точністю до градуса), відтак прочитаєте назву міста в Київській області, у якому народилася видатна українська поетеса Ліна Костенко. Ліна Костенко

Розв’яжіть {ABC за трьома сторонами

∠A

∠B

∠C

AB = 3 см, AC = 5 см, BC = 7 см

В

И

Р

AB = 10 см, AC = 6 см, BC = 7 см

Щ

Ж

І

≈ 22°

≈ 36°

≈ 38°

≈ 44°

≈ 100°

120°

231

ТЕМА 5

24.7. Сторона паралелограма дорівнює 7 см і утворює з його діагоналлю 8 см завдовжки кут 67°. Знай­діть другу сторону паралелограма та його кути. 24.8. Діагональ паралелограма дорівнює 8 см і утворює кути 37° і 42° зі сторонами паралелограма. Знай­діть кути та сторони паралелограма. 24.9. Щоб знай­ти відстань AB до млина (мал. 24.4), виміряли відстань AC = 36 м, ∠ A = 60° і ∠ C = 95°. Знай­діть відстань AB з точністю до сотих метра.

Мал. 24.4

24.10. Футбольний м’яч міститься в точці А футбольного поля на відстанях 20 м і 18 м від основ B і C стійок воріт (мал. 24.5). Футболістка спрямовує м’яч у ворота. Знай­діть кут α (з точністю до градуса), під яким м’яч влучає у ворота, якщо ширина воріт дорівнює 7,32 м.

B

С a А

Мал. 24.5

24.11. Дальномір – прилад для знаходження відстані до об’єк­та без безпосередніх вимірювань на місцевості. Використо­вується у фотографії, геодезії, військовій справі, астрономії. За допомогою дальноміра було виміряно відстані AC = 30 м і BC = 45 м, а за допомогою астролябії ∠ ACB = 40° (мал. 24.6). Більшою чи меншою за 30 м є відстань між двома недоступними точками A і B?

232

Розв’язування трикутників

Мал. 24.6

24.12. Розв’яжіть { ABC за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них: 1) AC = 5 см, BC = 8 см, ∠ A = 80°; 2) AC = 10 см, AB = 7 см, ∠ B = 60°; 3) ВС = 2 см, AC = 4 см, ∠ A = 61°; 4) AC = 3 см, ВС = 4 см, ∠ B = 30°. 24.13. Розв’яжіть { АВС за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них: 1) AB = 12 см, BC = 5 см, ∠ C = 120°; 2) AC = 8 см, ВС = 9 см, ∠ A = 40°; 3) AC = 4 см, ВС = 8 см, ∠ B = 50°; 4) ВС = 6 см, AC = 5 см, ∠ B = 17°. 24.14. Сторона паралелограма дорівнює 6 см і утворює з діагоналями паралелограма кути 27° і 48°. Знай­діть другу сторону і кути паралелограма. 24.15. Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см і 10 см і перетинаються під кутом 70°. Знай­діть сторони і кути паралелограма. 24.16. AD і BC – основи рівнобічної трапеції ABCD, AC = 6 см, ∠ BAC = 52°, ∠ CAD = 20°. Знай­діть сторони і кути трапеції. 24.17. AD і ВС – основи рівнобічної трапеції ABCD, BD = 8 см, ∠ ABD = 49°, ∠ DBC = 62°. Знай­діть сторони і кути трапеції. 24.18. О 8:00 порушник правил дорожнього руху повернув з головної дороги і помчав уздовж шосе зі швидкістю 150 км/год. О 8:01 екіпаж патрульної поліції отримав наказ затримати порушника й помчав йому напереріз ґрунтовою дорогою зі швидкістю 80 км/год (мал. 24.7). Чи встигнуть патрульні зупинити порушника на перехресті шосе і ґрунтової дороги?

Мал. 24.7

233

ТЕМА 5

24.19. З точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють із прямою кути 50° і 70°. Відстань між основами похилих дорівнює 6 см. Знай­діть кут між похилими та дов­жини похилих із точністю до сотих сантиметра. Скільки випадків слід розглянути? 24.20. З точки до прямої проведено дві похилі, відстань між основами яких 7 см. Одна з них дорівнює 5 см і утворює з прямою кут 60°. Знай­діть другу похилу (з точністю до сотих см), кут між похилими та кут, що утворює друга похила з прямою (з точністю до градуса). Скільки випадків слід розглянути? 24.21. Щоб за відсутності дальноміра знай­ти відстань між двома недоступними точками А і В, вибрали дві доступні точки C і D, провели вимірювання й отримали, що CD = 50 м, ∠ ADB = 50°, ∠ ADC = 80°, ∠ ACB = 40°, ∠ BCD = 45° (мал. 24.8). Знай­діть відстань AB (з точністю до метра).

Мал. 24.8

Вправи для повторення 24.22. Знай­діть діагональ квад­рата, площа якого дорівнює 36 см2. 24.23. Одна зі сторін прямокутника вдвічі більша за іншу, а його діагональ дорівнює 10 см. Знай­діть площу й периметр прямокутника. 24.24. Сусідні сторони паралелограма дорівнюють а і b, а його гострий кут дорівнює a. Знай­діть модуль різниці квад­ратів діагоналей паралелограма. 24.25. Складіть рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром до відрізка AB, якщо А(–3; 2), B(5; 0).

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 24.26. Знай­діть площу трикутника, сторона якого довжини а, а висота, проведена до неї, дорівнює hа, якщо: 1) а = 5 см, hа = 8 см; 2) а = 4 см, hа = 22 мм. 24.27. Знай­діть площу паралелограма, сторона якого довжини а, а висота, проведена до неї, дорівнює hа, якщо: 1) а = 2 см, hа = 3 см; 2) а = 8 см, hа = 0,5 дм.

234

Розв’язування трикутників

Життєва математика 24.28. Проєктна діяльність. Згідно із санітарними нормами відношення площі вікон до площі підлоги у класній кімнаті має бути не менше, ніж 0,2. У проєкті будівництва школи вказано, що клас має довжину 12 м, а ширина становить 45 % від довжини. У класі заплановано три однакові вікна. Визначте, яких розмірів мають бути вікна, щоб вони відповідали санітарним нормам.

Цікаві задачі – поміркуй одначе 24.29. У трикутнику ABC ∠ C = 120°, H – ортоцентр трикутника, O – центр описаного кола. Точка M – середи­на дуги ACB. Доведіть, що HM = MO.

§ 25. Формули для знаходження площі трикутника 1. Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними та наслідок із неї Нагадаємо, що у 8 класі ми знаходили площу S трикутника за формулою , де a – сторона трикутника, ha – висота, проведена до неї. Доведемо ще кілька формул для знаходження площі трикутника.

Доведення. Нехай у трикутнику ABC BC = a, AC = b, ∠ C = γ, S – площа трикутника. Доведемо, що

1) Проведемо у трикутнику висоту AK, AK = h. Тоді

Мал. 25.1

. 2) Якщо кут C – гострий (мал. 25.1), то із трикутника ACK має­мо: h = AK = AC sin C = b sin g. 3) Якщо кут C – тупий (мал. 25.2), то із трикутника ACK маємо: h = AK = AC sin ACK = b sin (180 – γ) = b sin γ.

Мал. 25.2

235

ТЕМА 5

4) Якщо кут C – прямий (мал. 25.3), то h = AK = AC = b = b ∙ 1 = b sin 90° = b sin g. 5) Отже, у всіх випадках h = b sin g, тобто

.

Мал. 25.3 Мал. 25.4

Доведення. У паралелограмі ABCD проведемо діагональ BD (мал. 25.4). Оскільки { ABD = { CDB (за трьома сторонами), то SABD = SCDB. Тому SABCD = 2SABD =

= ab sin γ. 

Приклад 1. Знайти площу рівностороннього трикутника, сторона яко-

го дорівнює а. Розв’язання. Нагадаємо, що ми вже знаходили площу рівностороннього трикутника у 8 класі за формулою S =

aha. Знайдемо те-

пер площу цього трикутника й іншим способом, тобто за доведеною вище формулою. Оскільки всі кути рівностороннього трикутника дорівнюють по 60°, маємо: S= Відповідь:

a2sin 60° =

.

.

Приклад 2. Знайти площу трикутника, сторони якого дорівнюють

5 см,

см,

см.

Розв’язання. Нехай а = 5 см, b = 1) cos g =

236

см, с =

см, ∠ C = γ (мал. 25.1). , тому γ = 30°.

Розв’язування трикутників

2) S =

ab sin γ =

(см2).

см2.

Відповідь:

Зауважимо, якщо за косинусом кута неможливо знайти точне значення міри кута, тобто якщо кут γ виявиться не таб­личним, то знаходити сам кут γ не потрібно. Адже для знаходження площі достатньо знайти значення синуса кута, скориставшись формулою .

2. Формула для знаходження площі чотирикутника через його діагоналі та кут між ними Приклад 3. Довести, що площа будь-якого опуклого чотирикутника

дорівнює половині добутку діагоналей чотирикутника на синус кута між ними. Доведення. Нехай у чотирикутнику ABCD AC = d1, BD = d2, ∠ AOB = ϕ, де O – точка перетину діагоналей (мал. 25.5), S – площа чотирикутника. Доведемо, що 1) Нехай AO = m1, OC = т2, BO = n1, OD = n2. Тоді AC = m1 + т2, BD = n1 + п2. Очевидно, що SABCD = SAOB + SBOC + SCOD + SDOA. 2) За доведеною вище формулою: S{ AOB =

m1n1sin ϕ;

S{ BOC =

n1m2sin (180° – ϕ) =

S{ COD =

m2n2 sin ϕ;

S{ DOA =

т1п2 sin (180° – ϕ) =

Мал. 25.5

п1m2sin ϕ;

m1n2sin ϕ.

3) Маємо: S = S{ AOB + S{ BOC + S{ COD + S{ DOA = =

sin ϕ(n1m1 + n1m2 + m2n2 + m1n2) =

=

(n1(m1 + m2) + n2(m1 + m2)) sin ϕ =

=

AC ∙ BD sin ϕ =

(m1 + m2)(n1 + n2) sin ϕ =

d1d2 sin ϕ. 

237

ТЕМА 5

3. Формула Герона

Доведення. Скористаємося формулою S = 1) За теоремою косинусів:

ab sin γ. .

2) Тоді sin γ = =

=

.

3) Але Аналогічно

,

4) Тоді:

5) Отже,

.

Зауважимо, що формулою Герона зручно користуватися у разі, якщо дов­жини сторін а, b і с є раціональними числами. Якщо серед сторін трикутника є хоч одна, дов­жина якої – ірраціональне число, то зручніше використовувати метод, запропонований для розв’язування прикладу 2 в цьому параграфі.

238

Розв’язування трикутників

За допомогою формули Герона, якщо відомо сторони, можна знаходити висоти трикутника, зокрема, використовуючи формулу:

де

, а – сторона, до якої проведено висоту. Із цієї формули висоти приходимо до висновку, що

Приклад 4. Знайти найбільшу висоту трикутника, сторони якого до-

рівнюють 25 см, 29 см і 6 см. Розв’язання. 1) Знайдемо площу S трикутника за формулою Герона. Оскільки р =

= 30 (см), то

= 60 (см2). 2) Найбільшою висотою цього трикутника є та, що проведена до сторони 6 см завдовжки. Отже,

= 20 (см).

Відповідь: 20 см.

4. Формула площі трикутника за радіусом описаного кола

Доведення. Скористаємося формулою S = За узагальненою теоремою синусів: лежний до сторони с трикутника. Звідси Маємо:

ab sin γ. де γ – кут, проти.

.

239

ТЕМА 5

З доведеної формули отримаємо формулу для обчислення радіуса кола, описаного навколо трикутника:

Зауважимо, що цю формулу доцільно використовувати, якщо відомо дов­жини всіх трьох сторін трикутника. Радіу­с R кола, описаного навколо прямокутного трикутника, зручно знаходити за вивченою раніше формулою:

де с – гіпотенуза трикутника.

5. Формула площі трикутника за радіусом вписаного кола

Доведення. Нехай O – центр кола, вписаного у { ABC (мал. 25.6), а точка K – точка дотику кола до сторони BC, BC = a, AC = b, AB = c. 1) Оскільки OK ^ BC, то OK є висотою трикутника COB. Тоді Мал. 25.6

2) Аналогічно 3) Тоді .

240

Розв’язування трикутників

З доведеної формули випливає формула для обчислення радіуса кола, вписаного у трикутник або в описаний многокутник:

Радіус r кола, вписаного у прямокутний трикутник, зручно знаходити за формулою

де а і b – катети трикутника, с – його гіпотенуза. Доведіть цю формулу самостійно. Приклад 5. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см. Знай­

ти радіус R кола, описаного навколо трикутника, та радіус r кола, вписаного у трикутник. Розв’язання. 1) Знайдемо півпериметр трикутника: = 16 (см), та його площу за формулою Герона = 24 (см2). (см),

2) Отже, (см). Відповідь: R = 8,125 см, r = 1,5 см.

Грецький математик Герон Александ­ рійський, який жив у І ст. до н. е., багато уваги приділяв проблемам геодезії та практичному застосуванню геомет­рії та механіки. Хоча його праці мали більш енциклопедичний характер, Герона вважають видатним механіком того часу. Недарма за ним закріпилося прізвисько «Герон-механік». Однією з праць Герона була «Геометрика», що є фактично збірником формул та відповідних їм завдань. У ній містилися вправи на обчислення площ квад­ратів, прямокутників і трикутників. У цій праці Герон наводить методику обчислення площі трикутника зі сторонами 13, 14 і 15, а в іншій своїй праці, яка має назву «Метрика», наводить доведення формули:

Герон Ал­ександ­ рійський

. Саме тому цю формулу для обчислення площі трикутника за трьома його сторонами прийнято називати формулою Герона, проте вона була відома Архімеду ще у III ст. до н. е. Відомі на той час правила для обчислення площ застосовували також грецькі, латинські й середньовічні землеміри і техніки.

241

ТЕМА 5

Сформулюйте і доведіть теорему про формулу площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними. Сформулюйте і доведіть формулу Герона. Які співвідношення між сторонами трикутника і висотами, проведеними до них, ви знаєте? Сформулюйте і доведіть формули знаходження площ трикутників за його радіу­ сами вписаного та описаного кіл. Запишіть формули для обчислення радіуса кола, описаного навколо трикутника, і радіуса кола, вписаного у трикутник.

Розв'яжiть задачi та виконайте вправи 25.1. (Усно.) Укажіть формули, за якими можна знайти площу трикутника: 1) S = ab sin g; 2) S = 3) 5) S =

; 4)

aha; ;

ab sin g; 6) S = р(р – а)(р – b)(р – с).

25.2. (Усно.) Укажіть формули, за якими можна знайти площу паралелограма: 1) S =

ab sin g; 2) S = aha; 3) S =

aha; 4) S = ab sin g.

25.3. а і b – сторони трикутника, γ – кут між ними. Знай­діть площу трикутника, якщо: 1) a = 4 см, b = 5 см, γ = 30°; 2) а = 7 см, b = 8 см, γ = 120°. 25.4. а і b – сторони трикутника, γ – кут між ними. Знай­діть площу трикутника, якщо: 1) а = 3 см, b = 4 см, γ = 45°; 2) а = 6 см, b = 2 см, γ = 150°. 25.5. а і b – сторони паралелограма, γ – кут між ними. Знай­діть площу паралелограма, якщо: 1) а = 7 см, b = 6 см, γ = 60°; 2) а = 6 см, b = 13 см, γ = 135°. 25.6. Сторони паралелограма а і b, γ – кут між ними. Знай­діть площу паралелограма, якщо: 1) а = 8 см, b = 6 см, γ = 30°; 2) а = 9 см, b = 12 см, γ = 120°. 25.7. Доведіть, що площу S ромба, сторона якого дорівнює a, а один з кутів – a, можна знай­ти за формулою S = a2sin a. 25.8. Обчисліть площу ромба: 1) сторона якого дорівнює 4 см, а гострий кут – 45°; 2) сторона якого дорівнює 8 см, а тупий кут – 150°. 25.9. Обчисліть площу ромба: 1) сторона якого дорівнює 6 см, а гострий кут – 60°; 2) сторона якого дорівнює 10 см, а тупий кут – 135°. 25.10. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а кут при основі – 75°. Знай­діть площу трикутника.

242

Розв’язування трикутників

25.11. Знай­діть площу рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 8 см. 25.12. Знай­діть площу трикутника, сторони якого дорівнюють 11 см, 25 см і 30 см. 25.13. Знай­діть площу трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 51 см і 53 см. 25.14. Знай­діть площу прямокутника, діагональ якого дорівнює 10 см, а кут між діагоналями – 30°. 25.15. Знай­діть площу рівнобічної трапеції, діагональ якої дорівнює 8 см, а кут між діагоналями – 60°. 25.16. Знай­діть сторону BC трикутника ABC, якщо AB = 8 см, см2. ∠ B = 45°, SАВС = 25.17. Площа паралелограма дорівнює 24 см2, одна з його сторін – 8 см, а один з кутів – 30°. Знай­діть невідому сторону паралелограма. 25.18. Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють 7 см і 16 см, а його площа дорівнює 28 см2. Обчисліть кут між цими сторонами. 25.19. Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють 8 см і 10 см. Обчисліть кут між цими сторонами, якщо площа трикутника см2. дорівнює 25.20. Знай­діть найменшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. 25.21. Знай­діть найбільшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 5 см, 29 см і 30 см. 25.22. Висоти паралелограма дорівнюють 6 см і 8 см, а кут між сторонами дорівнює 30°. Знай­діть площу паралелограма. 25.23. Висота ромба дорівнює 8 см, а гострий кут – 60°. Знай­діть площу ромба. 25.24. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 150°, а його площа – 25 см2. Знай­діть сторони трикутника. 25.25. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 30°, а його площа – 9 см2. Знай­діть сторони трикутника. 25.26. Доведіть, що діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновеликих трикутники. 25.27. Знай­діть радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 25 см, 29 см і 36 см. 25.28. Знай­діть радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 13 см, 40 см і 51 см. 25.29. Знай­діть радіус кола, вписаного у трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 6 см. 25.30. Знай­діть радіус кола, вписаного у трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 8 см.

243

ТЕМА 5

25.31. Відрізки AB і CD перетинаються в точці O (мал. 25.7), AO = 4 см, BO = 6 см, CO = 3 см, DO = 2 см. Знай­діть відношення площ трикутників AOD і СОВ.

Мал. 25.7 Мал. 25.8

25.32. Відрізки MN і KL перетинаються в точці O (мал. 25.8), MO = ON, KO = 5 см, LO = 10 см. Знай­діть відношення площ трикутників KON і MOL. 25.33. Кути ромба відносяться як 1 : 3. Знай­діть площу ромба, якщо його сторона дорівнює 10 см. 25.34. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює R, а два його кути – α і β. Знай­діть площу трикутника. 25.35. Знай­діть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 14 см і 22 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює 12 см. 25.36. Знай­діть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 16 см і 30 см, а медіана, проведена до більшої із цих сторін, дорівнює 25 см. 25.37. Розгляньте рівнобедрений трикутник з кутом 2α при вершині та бічною стороною a. Знай­діть площу цього трикутника двома способами і доведіть формулу sin2a = 2sin α cos α. 25.38. У трикутнику ABC AB = 10 см, AC = 6 см. У якому відношенні бісектриса кута A ділить площу трикутника ABC? 25.39. Знай­діть площу трикутника, сторони якого дорівнюють 3, см. 25.40. Знай­діть площу трикутника, сторони якого і см. дорівнюють 4, 25.41. На сторонах OB та OD кута O відкладено відрізки OA = 2 см, AB = 4 см, OC = 3 см Мал. 25.9 і CD = 5 см (мал. 25.9). Знай­діть відношення площі трикутника OBD до площі чотирикутника ABDC. 25.42. На сторонах OM та ON кута O відкладено відрізки OL = 5 см, LM = 3 см, OP = 6 см і PN = 2 см (мал. 25.10). Знай­діть відношення площі трикутника OLP до площі чотириМал. 25.10 кутника MNPL.

244

і

Розв’язування трикутників

Вправи для повторення 25.43. Дві сторони трикутника дорівнюють см і 2 см, а кут між ними дорівнює 30°. Знай­діть третю сторону трикутника. 25.44. Розв’яжіть { ABC, якщо: 1) AB = 8 см, BC = 7 см, ∠ B = 82°; 2) AC = 5 см, ∠ A = 32°, ∠ C = 80°. 25.45. Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см, дві інші утворюють кут 60°, а їхня різниця дорівнює 5 см. Знай­діть периметр трикутника. см і 5 см. Знай­діть тре25.46. Дві сторони трикутника дорівнюють тю сторону трикутника, якщо вона дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Пiдготуйтеся до вивчення нового матерiалу 25.47. Знай­діть суму кутів опуклого: 1) дев’ятикутника; 2) двадцятикутника. 25.48. Усі кути опуклого восьмикутника між собою рівні. Знай­діть градусну міру одного із цих кутів. 25.49. Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює: 1) 1620°; 2) 2000°? 25.50. 1) Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 5 см. Знай­ діть його периметр. 2) Периметр квад­рата дорівнює 28 см. Знай­діть його сторону. 25.51. Побудуйте рівносторонній трикутник і квад­рат. Навколо кожної із цих фігур опишіть коло і в кожну з них впишіть коло.

Життєва математика 25.52. Використовуючи дані (див. мал.), знай­діть відстань у метрах між пунктами A і B, розміщених на різних берегах озера.

Цікаві задачі – поміркуй одначе 25.53. Доведіть, що в будь-якому опуклому чотирикутнику сума дов­ жин діагоналей менша від його периметра.

245

ТЕМА 5

ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 5 (§§ 22–25) Завдання 1–12 мають по чотири варіанти відповідей (А–Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді. 1. У трикутнику проти сторони а лежить кут 70°, а проти сторони b – кут 80°. Укажіть правильну рівність. А.

Б.

В.

Г.

2. Сторони трикутника завдовжки a і b утворюють між собою кут g. Якщо a = 6 см, b = 10 см, g = 45°, то площа трикутника дорівнює ... см2 Б. см2 В. 60 см2 Г. см2 А. 3. Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 5 см, а один з його кутів – 120°. Знай­діть площу паралелограма. см2 В. см2 Г. см2 А. 40 см2 Б. 4. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 15 см, а кут між ними – 60°. Знай­діть третю сторону трикутника. см А. 14 см Б. 13 см В. 17 см Г. 5. У трикутнику ABC ∠ A = 30°, ∠ B = 45°, BC = см. Знай­діть AC. см В. 16 см Г. см А. 8 см Б. 6. Знай­діть найбільший кут трикутника, сторони якого дорівнюють 7 см, 8 см і 13 см. А. 90° Б. 120° В. 135° Г. 150° 7. Одна зі сторін трикутника дорівнює 14 см, дві інші утворюють кут 120°, а їхня різниця дорівнює 4 см. Знай­діть периметр трикутника. А. 30 см Б. 32 см В. 28 см Г. 34 см см, BC = 4 см. Знай­діть 8. У трикутнику ABC ∠ B = 30°, AC = ∠ A. А. 30° Б. 45° В. 60° Г. 45° або 135° 9. Знай­діть найменшу висоту трикутника зі сторонами 11 см, 13 см і 20 см зав­довжки. А. 12 см Б.

см В.

см Г.

см

10. У трикутнику ABC AB = 6 см, BC = 8 см, AC = 10 см. На сторонах AB і AC відповідно взято точки K і L такі, що AK = 2 см, AL = 5 см. Знай­діть дов­жину відрізка KL. см В. см Г. 5 см А. 4 см Б.

246

Розв’язування трикутників

11. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 16 см. Знай­діть третю сторону трикутника, якщо її відношення до радіуса описа. ного кола дорівнює см Г. 18 см А. 14 см Б. 16 см В. 14 см або 12. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 9 см, а медіана, що проведена до третьої сторони, – 4 см. Знай­діть менший з відрізків, на які бісектриса трикутника ділить цю сторону. А. 6,125 см Б. 6,5 см В. 6 см Г. 7,875 см У завданні 13 потрібно встановити відповідність між інфор­ мацією, позначеною цифрами та буквами. Одна відповідь зайва. 13. Установіть відповідність між довжинами сторін трикутника (1–3) та його видом (А–Г). Довжини сторін трикутника 1. 5 см, 7 см, 9 см 2. 6 см, 8 см, 10 см 3. 7 см, 7 см, 9 см

Вид трикутника А. Прямокутний Б. Різносторонній гострокутний В. Рівнобедрений гострокутний Г. Тупокутний

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 22–25 1. У трикутнику проти сторони а лежить кут 20°, а проти сторони b – кут 70°. Які з рівностей правильні: 1)

; 2)

3)

; 4)

; ?

2. Дві сторони трикутника дорівнюють 4 см і 9 см, а кут між ними – 60°. Знай­діть площу трикутника. 3. Сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 5 см, а один з кутів – 135°. Знай­діть площу паралелограма. 4. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 10 см, а кут між ними дорівнює 120°. Знай­діть третю сторону трикутника. 5. У трикутнику ABC AB = , ∠ C = 30°, ∠ A = 45°. Знай­діть дов­жину сторони BC. 6. Розв’яжіть { ABC, якщо AB = 8 см, AC = 9 см, BC = 5 см (невідомі кути знай­діть з точністю до градуса). 7. Одна зі сторін трикутника дорівнює 13 см, дві інші утворюють кут 60°, а їхня різниця дорівнює 7 см. Знай­діть периметр трикутника. 8. Знай­діть найбільшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см. см і 2 см. Знай­діть 9. Дві сторони трикутника дорівнюють третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса . Скільки розв’язків має задача? описаного кола як

247

ТЕМА 5

Додаткові завдання 10. У трикутнику ABC AB = 7 см, BC = 6 см, AC = 5 см. На сторонах BC і CA відповідно позначено точки M і N так, що CM = 5 см, CN = 3 см. Знай­діть дов­жину відрізка MN. 11. Знай­діть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 16 см і 38 см, а медіана, проведена до третьої сторони, – 25 см.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ТЕМИ 5 До § 22 1. Сторони трикутника а, b, с лежать відповідно проти кутів А, В, C. Які з рівностей правильні: 1)

; 2)

;

3)

; 4)

?

2. Знай­діть сторону AC трикутника ABC, якщо: 1) AB = 8 см, BC = 15 см, ∠ B = 60°; 2) AB = 3 см, ВС = 5 см, ∠ B = 120°. 3. Знай­діть середній за величиною кут трикутника зі сторонами 3 см, 7 см і 8 см. 4. Одна з бічних сторін трапеції дорівнює 10 см і утворює з меншою основою кут 120°. Знай­діть діагоналі трапеції, якщо її основи дорівнюють 6 см і 16 см. 5. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а кут при основі – 30°. Знай­діть основу трикутника. 6. Знай­діть медіану рівнобедреного трикутника, проведену до бічної сторони, якщо основа трикутника дорівнює 6 см, а бічна сторона – 8 см. 7. Знай­діть суму квад­ратів діагоналей ромба, сторона якого дорівнює 10 см. 8. Дві сторони трикутника відносяться як , а кут між ними 30°. Знай­діть ці сторони, якщо третя сторона дорівнює 5 см. 9. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 14 см, а кут проти більшої з них – 120°. Знай­діть периметр трикутника. 10. Визначте вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний), якщо відношення його сторін дорівнює 10 : 14 : 19. 11. Для трикутника ABC справджується рівність c2 = a2 + b2 + ab. Знай­діть градусну міру кута C. +

248

Розв’язування трикутників

12. Дві сторони трикутника дорівнюють 8 см і 3 см, а кут між ними – 60°. Знай­діть дов­жину медіани, проведеної до третьої сторони трикутника. 13. Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см і лежить проти кута 60°. Знай­діть дві інші сторони трикутника, якщо одна з його середніх ліній дорівнює 3 см. 14. У трикутнику зі сторонами 3 см, 4 см і 6 см проведено медіану до більшої сторони. Визначте косинус кута, що утворює ця медіана з меншою стороною трикутника. 15. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює т, а кут при основі – a. Знай­діть дов­жину медіани, проведеної до бічної сторони трикутника. 16. Сторони гострокутного трикутника ABC дорівнюють а, b і с. Знай­діть дов­жину проєкції сторони b на сторону а. 17. Навколо чотирикутника, сторони якого в порядку слідування дорівнюють a, b, c і d, можна описати коло. Знай­діть косинус кута між сторонами a і b. 18. Доведіть, що в будь-якому трикутнику відношення суми квад­ ратів сторін до суми квад­ратів медіан дорівнює

.

19. Для медіан трикутника т1, т2, т3 справджується рівність . Доведіть, що трикутник прямокутний. До § 23 20. Запишіть теорему синусів для трикутника, зображеного на малюнку 1. 21. У трикутнику ABC ∠ A = 45°, ∠ B = 75°. Знай­ діть відношення дов­жини сторони BC до дов­жини сторони AB.

Мал. 1

22. У трикутнику ABC ∠ A = 120°, ∠ B = 45°, см. Знай­діть BC. AC = 23. У трикутнику ABC AC = см, ∠ B = 45°. Знай­діть ра­діус кола, описаного навколо трикутника. 24. Знай­діть радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 12 см, а кут при основі – 30°. 25. Кути трикутника пропорційні числам 1, 2, 3. Знай­діть відношення сторін трикутника. 26. Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють см і см, а радіус кола, описаного навколо трикутника, – 10 см. Знай­діть кути трикутника. 27. У трикутнику ABC AC = 10 см, BC = 7 см. Чи можливо, що: 1)

; 2)

?

249

ТЕМА 5

28. Сторона трикутника у разів більша за радіус, описаного навколо цього кола. Знай­діть кут, що лежить проти цієї сторони. 29. Два кути трикутника дорівнюють α і β. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює R. Знай­діть периметр трикутника. 30. Доведіть, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну йому сторону на частини, обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї сторони кутів. 31. Сторони трикутника дорівнюють 2 см, 3 см і 4 см. Знай­діть радіус кола, що проходить через кінці більшої сторони і середину меншої сторони. 32. У трикутнику ABC ∠ A = a, ∠ C = γ, AC = b. Знай­діть дов­жину бісектриси трикутника AL. 33. Сторона квад­рата дорівнює а. Знай­діть радіус кола, що проходить через вершину квад­рата, середину сторони, що не містить цієї вершини, і точку перетину діагоналей квад­рата. До § 24 34. Розв’яжіть трикутник ABC, якщо: 1) BC = 3 см, AB = 4 см, ∠ B = 58°; 2) AB = 7 см, AC = 8 см, ∠ A = 139°; 3) BC = 4 см, ∠ B = 48°, ∠ C = 115°; 4) AB = 10 см, ∠ A = 9°, ∠ C = 97°; 5) AB = 5 см, BC = 8 см, AC = 7 см; 6) AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 6 см. Невідомі сторони знай­діть із точністю до сотих сантиметра, а невідомі кути – із точністю до мінути (у разі використання калькулятора) або з точністю до градуса (у разі використання таблиць). 35. Щоб знай­ти висоту CD стовпа лінії електропередачі, основа якого недоступна, виміряли відстань AB = 2 м та кути A і B: ∠ A = 35°, ∠ B = 60° (мал. 2). Знай­діть висоту стовпа CD двома способами (знайшовши спочатку BC або знайшовши спочатку AC).

Мал. 2

250

Розв’язування трикутників

36. Розв’яжіть { ABC, якщо: 1) AB = 7 см, AC = 8 см, ∠ В = 50°; 2) AB = 4 см, BC = 5 см, ∠ A = 110°; 3) BC = 2 см, AC = 4 см, ∠ A = 35°; 4) AB = 7 см, BC = 8 см, ∠ C = 60°. Невідомі сторони знай­діть із точністю до сотих сантимет­ра, а невідомі кути – із точністю до мінути (у разі використання калькулятора) або з точністю до градуса (у разі використання таблиць). 37. Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює 10 см. Кут між діагоналлю трапеції та бічною стороною дорівнює 60°, а між діагоналлю та основою – 40°. Знай­діть основи трапеції та її діагональ. 38. Розв’яжіть трикутник ABC, якщо: 1) BC = 10 см, AC = 15 см, CM – медіана, CM = 11 см; 2) BC = 12 см, AH – висота, AH = 6 см, AM – медіана, AM = 10 см. 39. Спортивний літак летить по замкненому маршруту, траєкторія якого має форму трикутника, у якого два кути дорівнюють 100° і 50°. Відстань, що є довжиною сторони, яка лежить проти третього кута, літак долає за 1 год. За який час літак подолає весь маршрут, якщо його швидкість є сталою? Відповідь округліть до хвилин. 40. Три дороги утворюють трикутник ABC, у якого ∠ A = 20°, ∠ B = 145°, причому AB – шосе, AC і BC – ґрунтові дороги. Швидкість руху шосейною дорогою вдвічі більша за швидкість руху ґрунтовою дорогою. Водій хоче якнайшвидше потрапити з пункту А в пункт C. Який маршрут має обрати водій? До § 25 41. Знай­діть площі трикутника і паралелограма, зображених на малюнках 3 і 4.

Мал. 3 Мал. 4

42. Знай­діть площу трикутника АВС, якщо AB = 6 см, AC = 10 см, а зовнішній кут при вершині А дорівнює 30°. 43. Знай­діть гострий кут ромба, сторона якого дорівнює 6 см, а площа – 18 см2. 44. Обчисліть площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона см, а кут між бічними сторонами – 120°. якого дорівнює 45. Знай­діть середню за довжиною висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 26 см, 28 см і 30 см.

251

ТЕМА 5

46. Сторони паралелограма дорівнюють 16 см і 10 см, а кут між висотами паралелограма, проведеними з однієї вершини, – 120°. Знай­діть площу паралелограма. 47. Знай­діть радіус кола, описаного навколо трикутника, і радіус кола, вписаного у трикутник, якщо сторони трикутника дорівнюють 8 см, 26 см і 30 см. 48. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см, а висота, проведена до неї, – 16 см. Знай­діть радіус кола, описаного навколо трикутника. 49. Одна зі сторін трикутника вдвічі більша за іншу, а кут між цими сторонами дорівнює 60°. Знай­діть третю сторону трикутсм2. ника, якщо його площа – 50. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 4 см, а його площа – см2. Знай­діть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача? 51. Площа трикутника 5 см2, а дві його сторони дорівнюють 3 см і 4 см. Знай­діть площі трикутників, на які він ділиться бісектрисою кута між цими сторонами. 52. Знай­діть площу трикутника, сторони якого дорівнюють см, см і см. 53. AM – медіана трикутника ABC. Знай­діть площу трикутника AMB, якщо AB = 16 см, AC = 10 см, ∠ BAC = 120°. 54. Три кола, радіуси яких дорівнюють 6 см, 7 см і 8 см, попарно дотикаються одне до одного. Знай­діть площу трикутника, вершинами якого є центри цих кіл. 55. У трикутник зі сторонами 12 см, 50 см і 58 см вписано коло, а центр кола сполучено з вершинами трикутника. Знай­діть площі трьох отриманих трикутників. 56. Діагоналі паралелограма дорівнюють 40 см і 74 см, а одна з його сторін – 51 см. Знай­діть площу паралелограма. 57. Основи трапеції дорівнюють 25 см і 4 см, а бічні сторони – 13 см і 20 см. Знай­діть висоту трапеції.

252

Розв’язування трикутників

Головне в темi 5 ТЕ­О ­РЕ­М А КОСИНУСІВ

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квад­ратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними: с2 = а2 + b2 – 2аb cos C, b2 = а2 + с2 – 2аc cos B, а2 = b2 + с2 – 2bc cos A. Якщо с – найбільша сторона трикутника і а2 + b2 – с2 > 0, то ∠ C – гострий, а трикутник – гострокутний; а2 + b2 – с2 = 0, то ∠ C – прямий, а трикутник – прямокутний; а2 + b2 – с2 < 0, то ∠ C – тупий, а трикутник – тупокутний.

Сума квад­ратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квад­ ратів його сторін: + = 2(a2 + b2). AM – медіана трикутника ABC. Формула медіани трикутника:

ТЕОРЕМА СИНУСІВ

Сторони трикутника пропор­ційні синусам протилежних до них кутів. Н а с л і д о к (узагальнена теорема синусів). У будь-якому трикутнику відношення сторони до синуса протилежного їй кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього трикутника:

ФОРМУЛИ ДЛЯ ЗНАХОДЖЕННЯ ПЛОЩІ ТРИКУТНИКА

Т е о р е м а 1 (формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними). Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними:

253

ТЕМА 5

Н а с л і д о к. Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними. Т е о р е м а 2 (формула Герона). Площу S трикутника зі сторонами a, b і с можна знай­ти за формулою

де

– півпериметр трикутника.

Найбільшою висотою трикутника є та, що проведена до найменшої сторони; найменшою висотою є та, що проведена до найбільшої сторони. Т е о р е м а 3 (формула площі трикутника за радіусом описаного кола). Площу S трикутника можна знайти за формулою

де а, b, с – сторони трикутника, R – радіус кола, описаного навколо трикутника. Формула для обчислення радіуса кола, описаного навколо трикутника:

Т е о р е м а 4 (формула площі трикутника за радіу­сом вписаного кола). Площу S трикутника можна знайти за формулою S = pr, де

– півпериметр трикутника, r – радіус кола, вписа-

ного у трикутник. Формула для обчислення радіуса кола, вписаного у трикутник або в описаний многокутник:

Н а с л і д о к. Площу S будь-якого описаного многокутника можна знай­ти за формулою S = pr, де p – півпериметр многокутника, r – радіус кола, вписаного у многокутник.

254

ЗРАЗОК ВАРІАНТА АТЕСТАЦІЙНОЇ ПИСЬМОВОЇ РОБОТИ З МАТЕМАТИКИ Завдання 1–12 мають по чотири варіанти відповідей, з яких тільки ОДИН є ПРАВИЛЬНИМ. Оберіть і позначте правильний варіант відповіді в таблиці.

1. Укажіть число, що є коренем рівняння А) 3; Б) 4; В) 5; Г) 6. 2. Яку відстань подолає мотоцикл за

.

год, якщо його швидкість

дорівнює 78 км/год? А) 52 км; Б) 117 км; В) 50 км; Г) 56 км. 3. Перетворіть вираз на многочлен. А) ; Б) ; В) m2 + 9y2; Г) m2 + 6my + 6y2. 4. Укажіть

точку, через яку проходить . А) (3; –10); Б) (10; 3); В) (–3; 10); Г) (3; 10).

5. Знайдіть значення виразу А)

; Б)

пряма

.

; В) 7; Г) 49.

6. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу А)

; Б)

; В)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

А Б В Г

. ; Г)

.

7. У геометричній прогресії (bn) , . Знайдіть b1. А) –4; Б) 4; В) 12; Г) –12. 8. На малюнку зображено графік функції . нерівність А) (–∞; –1) ∪ (3; +∞); Б) [–1; 3]; В) (–∞; –1] ∪ [3; +∞); Г) [3; +∞).

. Розв’яжіть

9. Точка A належить відрізку BC, AB = 5 см, AC = 2 см. Тоді BC = … А) 8 см; Б) 10 см; В) 3 см; Г) 7 см.

255

10. Діагональ ромба утворює з його стороною кут 55°. Знайдіть менший кут ромба. А) 60°; Б) 110°; В) 70°; Г) 80°. 11. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 7 см і 8 см, а кут між ними 60°. А) 14 см2; Б) 14 см2; В) 14 см2; Г) 28 см2. 12. За якого значення x вектори і перпендикулярні? А) 1; Б) –16; В) 16; Г) 0. Розв’яжіть завдання 13–16.

13. Спростіть вираз

.

14. Один з коренів рівняння і другий корінь рівняння.

дорівнює –2. Знайдіть p

15. Розв’яжіть систему рівнянь 16. У трикутнику ABC ∠ C = 90°, cos A = 0,8, BC = 6 см. Знайдіть периметр трикутника. Розв’яжіть завдання 17–19 та запишіть розв’язання кожного з повним обґрунтуванням послідовності логічних кроків і дій, посиланнями на математичні твердження та факти, з яких випливає той чи інший висновок. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання схемами, графіками, таблицями.

17. Відстань між двома пристанями по річці дорівнює 45 км. Моторний човен шлях туди і назад долає за 8 год. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії дорівнює 3 км/год. 18. Знайдіть область визначення функції

.

19. Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут навпіл, а середню лінію — на відрізки 3 см і 7 см. Знайдіть периметр трапеції.

256

ВІДПОВІДІ ТА ПОРАДИ ДО ВПРАВ Повторюємо геометрію за 8 клас 6. Да Вінчі. 13. Бутусін. 15. 28 см. 16. AM = 4 см, MD = 3 см. 17. 1) 50°; 2) 70°. 18. 1) 40°; 2) 20°. 19. 70° і 110°. 20. 36° і 144°. 21. 80° і 100°. 22. 50° і 130°. 23. 40 см, 20 см, 30 см. 24. 8 см, 14 см, 10 см. 25. 100°. 26. 70°. 27. 8 см. 28. 15 см. 29. 6 см, 4 см, 6 см. 44.

см. 45. 12 см. 46. BL = 4 см,

LC = 5 см. 47. 30 см. 48. Інна Дерусова. 49. 1) 8 см, 14 см, 18 см; 2) 12 см, 21 см, 27 см; 3) 20 см, 35 см, 45 см. 50. 18 см. 51. 8 см. 52. 5 см. 53. 4 см. 70. На мал. 9: x = 25; на мал. 10: x = 3; на мал. 11: x = 10. 71. 14 см або 4 см, два випадки. 72. 48 см. 73. 80 см. 74. 1) BC ≈ 3,32 см, ∠A ≈ 34°, ∠B ≈ 56°; 2) AB ≈ 8,54 см, ∠A ≈ 21°, ∠B ≈ 69°. 75. 1) AC ≈ 7,48 см, ∠A ≈ 34°, ∠B ≈ 56°; 2) AB ≈ 7,28 см, ∠A ≈ 74°, ∠B ≈ 16°. 76. 45 см. 77. 168 см. 78. 62°. 93. 80°, 100°, 120°, 120°, 120°. 94. 125°, 123°, 121°, 119°, 117°, 115°. 95. 70 см2. 96. 40 см2. 97. 50 см2. 98. 24 см2. 99. 30 см2. 100. 5 см. 101. 6 см. 102. 30 см2. 103. 24 см2. 104. 24 см2. 105. 54 см2. 106. 75 см2 або 50 см2.

Тема 1 §1 1.15. C(7; –3) або C(2; 4). 1.16. 1) xA = yA, xA I 0; 2) xA = –yA, xA J 0. 1.17. 2) Відстань від точки M(x; y) до осі абсцис дорівнює |y|, а до осі ординат – |x|. 1.19. (–4; 0), (0; 5), (4; 0), (0; –5) або (–5; 0), (0; 4), (5; 0), (0; –4). 1.20. (–3; 0), (0; 3), (3; 0), (0; –3). 1.21. B(1; 3), C(1; 5), D(3; 5), або B(5; 3), C(5; 5), D(3; 5), або B(1; 3), C(1; 1), D(3; 1), або B(5; 3), C(5; 1), D(3; 1). 1.22. Прямі x = –3 і x = 3. 1.23. Прямі y = –2 і y = 2. 1.25. 9,5 см, 10,5 см. 1.29. 500 відер. 1.30. 1) 44 см; 2) 8 см.

§2 2.13. X ст. 2.14. 5 місце. 2.21. 1) sin a = 0,8, або cos a = 2) cos a =

, tg a =

, tg a = 1 або cos a =

, 2)

,

. 2.22. 1) sin a = 0,96, tg a = , tg a = –1. 2.24. 1) –1; 2)

;

. 2.25. 1)

;

2) 0. 2.26. 1) a = 118°; 2) a = 68° або a = 112°. 2.27. 1) β = 145°; 2) β = 80° або β = 100°. 2.28. Порада. 1) Використати cos a = –cos(180 – a). 2) Існує два кути, що за­довольняють умову. 2.30. 0. 2.31. 1) 1; 2) 5. 2.32. 1) 1; 2) 6. 2.34. 25 см. 2.35. см. 2.39. 24 кущі. 2.40. 5 см.

§3 3.9. 1225 м. 3.18. N(–5; 5). 3.19. D(4; –31). 3.20. 1) Так; 2) ні. 3.21. . 3.22. . 3.23. 26. 3.24. 34. 3.25. 5. 3.26. 13. 3.27. 24. 3.28. . 3.29. у = 22 або у = –8. 3.30. x = 10 або х = –4. 3.31. (–3; 0). 3.32. (0; 8). 3.33. N(3,5; 5). 3.34. D(11; 4,5). 3.35. B між А і C. 3.36. M між P і L. 3.39. . 3.40. ∠ A ≈ 8°8′, ∠ B ≈ 81°52′. 3.41. ∠ M ≈ 26°34′, ∠ L ≈ 63°26′. 3.43. 14 см.

257

Відповіді та поради до вправ

3.44. 50 см. 3.45. Одна з невідомих сторін дорівнює 25 см, а інша – або см. 3.50. 0,5 м.

см

§4 4.18. 3 золотих медалі, 1 срібна медаль. 4.23. (х – 11)2 + у2 = 100 або (х + 1)2 + у2 = 100. 4.24. x2 + (y – 5)2 = 25 або х2 + (y + 1)2 = 25. 4.25. 1) Ні; 2) так. 4.26. 1) Так; 2) ні. 4.27. 1) C; 2) B; 3) A і D. 4.28. (х + 4)2 + (у – 4)2 = = 169. 4.29. (х – 6)2 + (у – 6)2 = 100. 4.30. 1) Зовнішній дотик; 2) немає спільних точок. 4.31. 1) Перетин; 2) внутрішній дотик. 4.32. (х – 1)2 + (y – 1)2 = 1. 4.36. A(1; 9), B(4; 0). 4.40. 1) 200 кг; 2) 11 000 грн; 3) 2400 кг; 4) 168 000 грн; 5) 157 000 грн.

§5 5.22. 10x – y – 2 = 0. 5.23. 5x + y – 20 = 0. 5.24. (–3; –2). 5.25. (–4; –5). 5.28. 1) x + y + 5 = 0; 2) = 0. 5.29. 1) x – y + 3 = 0; 2) + y – = 0. 5.32. a = –5. 5.33. b = –4. 5.34. 2х – y + 4 = 0. 5.35. 3х + y – 3 = 0. 5.36. Доведення (мал. 1). Розглянемо прямі CA і CB, CA ^ CB, k1 = tg a1, k2 = tg a2. Тоді tg a1tga2 = tg a1 · (–tg(180° – a2)) = tg a1 · (–tgb) = = –tg a1tgb = –tg a1tg(90° – a1)

.

Отже, k1k2 = –1. Нехай прямі задано рівняннями y = k1x + l1 і y = k2x + l2, де k1 ≠ 0 і k2 ≠ 0, та k1k2= –1 (мал. 1). Тоді tgα1tgα2 = –1, а тому tgα1tgβ = 1, tgα1 = =

. Можна довести, що для гострого кута α справ-

джується рівність tgα =

. Тому α1 = 90° – β,

α1 + β = 90°, а отже, ∠ ACB = 90°. 5.37. 2х + y – 1 = 0. 5.38. 3х – y – 7 = 0. 5.42. Так.

Мал. 1

Вправи для повторення теми 1 sin2a;

16. 1) 2) cos2a. 17. 1) «Мінус»; 2) «мінус». 18. 1) Так; 2), 3) ні. 20. 1. 22. Порада. Розгляньте два випадки. 26. 1) Рівнобед­рений; 2) рівносторонній; 3) різносторонній. 30. (0; 0), (–6; 0), (0; 8). 31.

.

32. F(5; 12). 34. 1) Так; точка B між точками А і C; 2) ні. 36. (0; 2). 38. ∠ A = ∠ B = 45°, ∠ C = 90°. 48. (х – 2)2 + (y – 2)2 = 4 або (х – 2)2 + (y + 2)2 = 4. 49. (3; 3), або (3; –3), або (–3; 3), або (–3; –3). 50. (х – 1)2 + (у – 1)2 = 1 або (х – 5)2 + (y – 5)2 = 25. 51. (x – 4)2 + у2 = 25. 52. (14; 0). Порада. Спочатку запишіть рівняння кола, для якого AB є діаметром. 53. Коло (х – 1)2 + (y – 1)2 = 1. 54. 1) Перетин; 2) зовнішній дотик. 63. a = 0,2, b = 0,2. 65. Так. 68. 36. 69. x – y + 3 = 0. 71. у = 6, у = –4. 72. (8; 1), (7; 4), (7; –2). 74. х – 2y + 6 = 0.

258

Відповіді та поради до вправ

Повторюємо алгебру за 8 клас 17. 1)

; 2)

4)

; 3)

; 4)

. 18. 1)

; 2)

; 3)

;

. 19. 37 років. 21. 1954 р. 22. 1576 р. 23. 1) 64; 2) 1; 3) 0,25;

4) 81; 5) –5; 6) 0,01. 24. 1) 0,2; 2) 7; 3)

; 6) 1. 25. Порада. Після

; 4) 2; 5)

спрощень виразу отримаємо –1. 26. Ні. Порада. Після спрощень отримаємо 1. 27. 3. 28. 6 місце. 29. 1) 2; 4; 2) 3 –

. 30. 3. 35. 10,4 млн га. 45. 1) 9;

2) 7; 3) –1; 11; 4) коренів немає; 5) –6; 6; 6) 2) 23; 3) –9; 4) –4; 10; 5) –4; 4; 6) 48. 1)

; 2) 5; 3) 70; 4) 125. 49. 1)

2)

; 3)

;

;

. 46. 1) коренів немає;

. 47. 1)

; 2) 4; 3) 220; 4) 216.

; 2)

; 3)

. 50. 1)

. 51. 1) 0; 3; 2) 4. 52. 1) –2; 0; 2) 1. 53. 1) –5; 4; 2)

; ;

3) ; ±1. 54. 1) –12; 13; 2) ; 3) 0; ±2. 55. 1) 12; 2) 64. 56. 1) 10; 2) 36. 73. a = 2; b = –4. 74. b = 3; c = –18. 75. 1) 0; 1; 2) –1; 1; 3) –1,25; 2; 4) –2. 76. 1) 0; –4; 2) –1; 1; 3) –1;

; 4) –1. 77. 1)

;

; 2; 3) 4-те місце. 79. x1 = –3, x2 = 2; p = 1 або x1 = 3, x2 = –2; p = –1.

5; 2)

80. x1 = 4, x2 = –1; q = –4. 81. 1) 3)

; 2; 2) –1; 3; 3) 1804 р. 78. 1)

; 2)

; 3)

. 82. 1)

; 2)

. 83. 1) –10; 2) –2,8; 3; 3) коренів немає; 4) 2. 84. 1) –2; 2)

; ;

3) 10; 4) коренів немає. 85. 90 км/год; 80 км/год. 86. 12 км/год; 16 км/год. 87. 1) 1 ±

; 2) 9; 1; 3) 4. 88. 1) –1; 2) 4; 1; 3) 1. 89. 1)

4; 2) 0; –9. 91. 1) –3; 1; 2) –3; 2. 92. 1) 1; 3; 2) –1; 2;

; 2) 0; –4. 90. 1) –4; .

Тема 2 §6 6.16. 1) 2)

; 2)

. 6.17. 1)

;

. 6.18. 1) Порада. a2 + 10a + 26 = (a + 5)2 + 1.

6.23. 2) Порада. a2 + b2 – (4(a + b) – 8) = (a – 2)2 + (b – 2)2; 3) m2 + n2 + 1 – – (m + n + mn)

. 6.24. 3) По-

259

Відповіді та поради до вправ

рада. Доведіть, що (a + 1)3 – 4(a3 + 1) = –3(a + 1)(a – 1)2. 6.26. 2) Порада. . 6.28. m3 + n3 > mn(m + n). 6.29. Добуток першого і четвертого виразів менший від добутку другого і третього. 6.30. Перша. 6.31. Поліна. 6.34. 8 днів. 6.35. 1,5. 6.36. 5010 грн. 6.40. 65

км/год.

§7 7.17. 1) a > 0; 2) a < 0; 3) a > 0; 4) a > 0. 7.18. 1) x < 0; 2) x > 0; 3) x > 0; 4) x < 0. 7.19. 1) Так; 2) ні. 7.20. 1) x + 2 > y; 2) y – 3 < x; 3) –x + 1 < –y + 1; 4) –x < –y + 8; 5) –(x + 1) < –y; 6) порівняти неможливо. 7.21. 1) a – 2 < b; 2) b + 3 > a; 3) –a + 2 > –b + 2; 4) –b – 7 < –a; 5) –a > –(b + 3); 6) порівняти неможливо. 7.22. 1) 3,1 < 2x + 0,7 < 3,7; 2) 3,5 < 5 – x < 3,8; 3) –0,6 <

–1<

< –0,5; 4) –13 < 2 – 10x < –10. 7.23. 1) 2,2 < 3a – 0,2 < 3,4; 2) 2,8 < 4 – a < 3,2; 3) 3,4 < <

+ 3 < 3,6; 4) 4 < 10 – 5a < 6. 7.24. 1) 4 < < 1. 7.25. 1) 10 <

< 10; 2) 0,1 <

< 1. 7.26. 42 < a < 50.

< 20; 2) 0,2 <

7.27. 48 < p < 51. 7.28. 1) x > y; 2) x < y. 7.29. 1) a < b; 2) a > b. 7.30. 3 <

< 12. 7.31. 3 <

< 9. 7.32.

> 3 або

< –3. 7.34. 1) –3;

2) –4. 7.36. 12,25. 7.37. Модель B (R = 32,5), модель A (R = 28). 7.38. Говерла, Дніпро.

§8 8.11. 1) –1 < 3a + b < 46; 2) 45 перемог. 8.12. 1) –2 < 2x + y < 9; 2) 8 медалей. 8.16. Ні. 8.19. 1) 2,5 < 2)

< 10; 2)

<

<

. 8.20. 1)

;

. 8.21. 10,8 < P < 12,4. 8.22. 28 < P < 34. 8.23. 63° < ∠ A < 70°.

8.26. Порада. Використайте нерівність між середнім арифметичним і середнім геомет­ричним та почленне множення нерівностей. 8.27. Див. пораду до попереднього номера. 8.28. Порада. Використайте x +

I 2, коли x > 0.

8.29. 2810 < M < 2875. 8.31. 100 г 6-відсот­кового і 200 г 3-відсоткового. 8.32. 4 . 8.34. 1) 96,5 км/год; 2) 0,63 км/год. 8.39. 1.

§9 9.10. –1; –2. 9.11. 1; 2; 3; 4. 9.12. 1) Будь-яке число, крім 0; 2) будь-яке число, крім 0; 3) будь-яке число; 4) x = 0; 5) будь-яке число, крім 1; 6) будьяке число; 7) немає розв’язків; 8) x = 1; 9) немає розв’язків. 9.13. 1) Будьяке число; 2) будь-яке число, крім –2; 3) немає розв’язків; 4) x = –2; 5) немає розв’язків; 6) будь-яке число. 9.14. 1) Будь-яке число, крім –2; 2) немає розв’язків; 3) будь-яке число, крім 0; 4) будь-яке число, крім 0 і –1; 5) будь-

260

Відповіді та поради до вправ

яке число, більше за 0; 6) 1 і будь-яке число, менше від 0. 9.15. 1) Будь-яке число, крім 3; 2) немає розв’язків; 3) будь-яке число, крім 0; 4) будь-яке число, крім 0 і 1; 5) будь-яке додатне число, крім 3; 6) будь-яке від’ємне число. 9.19. ≈ 122 см. 9.26. На 16

%.

§ 10 10.13. 2) 18 медалей. 10.22. 60 км/год. 10.23. 6 або –6. 10.27. 1) На 5-й хв; 2) за 5 хв; 3) за 2 хв; 4) на 30 °С. 10.28. –4; 2.

§ 11 11.25. 1) a > 0; 2) a < 0. 11.26. 1) b > 0; 2) b < 0. 11.28. 1) 1; 2; 3; 2) 1; 2; 3; 4; 5. 11.29. 1) 1; 2; 2) 1; 2; 3. 11.30. 1885 р. 11.31. 1710 р. 11.32. 1) 9; 2) 0. 11.33. 1) 5; 2) 0. 11.34. 1), 3) (–u; +u); 2), 4) немає розв’язків. 11.35. 1), 3) Немає розв’яз­ків; 2), 4) (–u; +u). 11.36. Меншою від 12 см. 11.37. 1) a > –7; 2) a > –2. 11.38. 1) a = 0; 2) a = 3. 11.39. 1) b < –4,5; 2) –4 < b < 0 або b > 0. 11.40. 1) a > –4; 2) a > 9. 11.41. 48. 11.42. 51. 11.43. 41 банка. 11.44. 20 відер. 11.45. 1) Якщо a < 0, то x <

; якщо a = 0, то розв’язків немає; якщо

; 2) якщо a < 0, то x J 0; якщо a = 0, то x – будь-яке число;

a > 0, то x >

якщо a > 0, то x I 0; 3) якщо a < 0, то x > 0; якщо a = 0, то розв’язків немає; якщо a > 0, то x < 0; 4) якщо a < 0, то x < число; якщо a > 0, то x >

; якщо a = 0, то x – будь-яке

. 11.48. 2 км/год. 11.51. 2376 грн. 11.54. Остан-

нє, у неї 30 % перемог.

§ 12 12.17. 1) 6; 7; 2) 1; 2. 12.18. 1) –5; –4; –3; –2; –1; 2) 7; 8. 12.19. 82 медалі. 12.20. 1) 1; 2) –2. 12.21. 1) 1; 2) –1. 12.22. У 2020 р. 12.27. 1), 3) Немає розв’язків; 2) x < 2,8; 4) x – будь-яке число. 12.28. 1) Немає розв’язків; 2) x < 10. 12.29. 1) [3; 5) ∪ (5; 7); 2) (5; 10). 12.30. 1) [2; 4) ∪ (4; 6); 2) (3; 8). 12.31. Більше за 1 см, але менше ніж 6 см. 12.32. 2) 26 кг. 12.33. 2) 6 грн. 12.34. –1 < a < 0. 12.35. a > 3. 7.39. 1) 15 < 2x – y < 38; 2) 2 < 12.40. m <

< 10.

. 12.41. За 60 хв. 12.42. Немає коренів.

Вправи для повторення теми 2 3. 2), 3). 5. 1) m > 0; 2) m < 0; 3) m < 0; 4) m > 0. 7. 1) a3 – b3 I ab(b – a); 2) m2 + n2 I

. 8. Перша. 9. Площа квад­рата більша. 14. 1) 8x > 5y;

2) 3x > y; 3) –3x < –y; 4) –5x < –2y. 16. 1) 2a – 10 > 0; 2) 35 – 7a < 0. 17. 1) 1 < |x| < 3; 2) 0 J |x| < 7. 21. 1), 3) Так; 2), 4) ні. 22. 81 < S < 100. 23. 1) 3m + 2n > 12; 2) b – 3a < 0; 3) порівняти неможливо; 4) p – 4q < 9. 24. 1) 5 < a2 + 2a + 5 < 8; 2) –4 < x2 – 4x < –3; 3)

;

261

Відповіді та поради до вправ

. 25. x > y. 26. 20 < S < 60. 31. 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. 32. –1

4)

і –2. 36. Найменше число 1,6, найбільшого не існує. 44. 30. 45. 1) [11; +u); 2) [5; 7) ∪ (7; +u). 46. Більшою за 9 см. 47. 7, 8, 9 або 10. 48. 1) a > 1; 2) a < 0 або 0 < a <

; якщо a = –3, то x –

. 49. 1) Якщо a < –3, то x J

будь-яке число; якщо a > –3, то x I

; 2) якщо a < 3, то x > –3; якщо

a = 3, то розв’язків немає; якщо a > 3, то x < –3; 3) якщо a < –1, то x < a – 1; якщо a = –1, то розв’язків немає; якщо a > –1, то x > a – 1; 4) якщо a < –2 або a > 2, то x J то x I

; якщо a = –2, то розв’язків немає; якщо –2 < a < 2,

; якщо a = 2, то x – будь-яке число. 54. 1) 1; 2; 3; 2) натураль-

них розв’язків немає. 56. 2) [8; 9]. 57. 19. 59. 1) a > 5; 2) a I 2. 60. 56. 61. 1) Якщо a J 2, то розв’язків немає; якщо a > 2, то 2 < x < a; 2) якщо a J 6, то x > 6; якщо a > 6, то x > a. 62. a < –0,5 або a > 1,5. 63. 0 J a J 8.

Фіскальна математика 1. На 3 059 025 тис. грн. 2. На 915 грн. 3. 3350 грн. 4. 80 грн. 5. 1) 2000 грн; 2) 24 000 грн. 6. 1) 12 000 грн; 2) 11 880 грн.

Тема 3 § 13 13.18. Ні. 13.19. N(3; 0). 13.20. K(1; 0). 13.21. . 13.22.

,

,

2)

,

; 3)

. 13.26. 1) 3)

,

, ,

, ,

, ; 4)

,

. 13.24. 1) ABCD –

,

ромб; 2) ABCD – трапеція. 13.25. 1)

,

,

,

,

;

; 4)

; 5)

,

,

; 2)

;

,

.

; 5)

13.28. А(–5; 0) або А(19; 0). 13.30. 5,20 м2. 13.31. 5, якщо y = 3 –

x, де

x ∈ [0; 4]. Порада. Розглянемо деяку точку M(x; y) та точки A(0; 3) і B(4; 0). Тоді заданий в умові вираз є сумою MA + MB. Ця сума набуває найменшого значення, якщо точка M належить відрізку AB.

§ 14 14.13. 23 медалі. 14.14. 3 місце. 14.17. (2; –2). 14.18. (1; 1). 14.19. (–9; 12). 14.20. (4; –8). 14.21. (a + c; b). 14.22. M(–3; 6). 14.25. x = 4 або x = –4. 14.26. у = 6 або у = –6. 14.29. (3; 1) або (–1; –3). 14.30. (–1; 2) або (2; –1). 14.31. (х – 4)2 + + (y – 5)2 = 13. 14.34. 48 см. 14.35. 4320 грн. 14.36. Так, ∠ ANB = 90°.

262

Відповіді та поради до вправ

§ 15 15.11. 3 рази. 15.13. 1) ; 2) нуль-вектор; 3) ; 4) нуль-вектор. 15.14. 1) ; 2) нуль-вектор. 15.18. K(5; –4). 15.19. А(3; –9). 15.20. х = –5. 15.21. у = 8. 15.23. 3 см. 15.24.

. 15.25. Примітка. Візміть до уваги максимальні розмі-

ри бруса. 20,7 см і 29,3 см.

§ 16 16.17. 1) 13; 2) . 16.18. 1) 17; 2) . 16.19. 1) (3; –4); 2) 5 разів. 16.22. 1) m = 15; співнапрямлені; 2) т = 2; протилежно напрямлені. 16.23. 1) n = –2; протилежно напрямлені; 2) n = 4; співнапрямлені. 16.24. –4. 16.25. 2. 16.26. 16.29.

(10; –24) або

. 16.28.

(–10; 24). 16.32.

16.35. 72°. 16.36. 500. 16.37. 2

(–4; 3) або

(4; –3).

. 16.34. 14 см, 55

см2.

см.

§ 17 17.16. х = 10. 17.17. у = 8. 17.18. 45°. 17.19. 135°. 17.20. 45°; 90°; 45°; прямокутний. 17.21. cosK = 0, cosM =

, cosL =

, прямокутний. 17.22. 1) 0°;

2) 60°; 3) 180°; 4) 120°. 17.23. –6; 16. 17.24. 12; 0. 17.27. 18 годин. 17.29. 1) ; 2) . 17.30. 1) ; 2) . 17.31. 120°. 17.33. (2; –8). 17.34. (9; –3). 17.35. 0. 17.36. 20. 17.37. (3; 6) або (–3; –6). 17.38. (5; 1) або (–5; –1). 17.39. 12. 17.41. т = 4 або m = –4. 17.42. Ромб. 17.43. Так. 17.44.

.

Вправи для повторення теми 3 7.

,

,

. 9. 1) Ні; 2) так; 3) так; 4) так. 10. 20.

16. 1) C(–8; 11); 2) C(1; –1). 19. x = 3 або х = –3. 21. (1; 4). 26. . 27. 1) то

; 2) . 28. 1), 2) Так; 3) ні. 32.

; якщо х = –3, то

. 35.

;

. 33. Якщо x = 3,

. 38. (4; 6), (3; 2). 40. x = 5. 47.

.

48. 1) у < 8; 2) у = 8; 3) y > 8. 49. ∠ A = 90°, ∠ B ≈ 53°, ∠ C ≈ 37°. 52. –223. 53.

. 54.

.

Тема 4 § 18 18.4. 29 медалей. 18.5. У 19 років. 18.19. 7) x – будь-яке число; 8) (–u; –1) ∪ ∪ (–1; 5) ∪ (5; +u); 9) [2; +u); 10) (–2,5; +u). 18.20. 7) x – будь-яке число; 8) (–u; –3) ∪ (–3; 1) ∪ (1; +u); 9) [–3; +u); 10) (3,5; +u). 18.22. k = –3, l = 5. 18.23. k = 3, l = –7. 18.24. 1) [–5; +u); 2) (–u; 3]; 3) [2; +u); 4) [–3; +u);

263

Відповіді та поради до вправ

5) [5; +u); 6) (–u; 9]. 18.30. c = 3, x2 = 1. 18.31.

. 18.32. Один.

18.33. 12 628 грн. 18.37. 50.

§ 19 19.12. 1) (0; 3), (–3; 0); 2) (0; ), (–2; 0); 3) (0; –1), (1; 0); 4) (2; 0). 19.13. 1) (0; –5), (5; 0); 2) (0; 3), (–9; 0); 3) (0; 1), (–2; 0); 4) (–3; 0). 19.18. 1) 3; 2) 2. 19.19. 1) 2; 2) 2. 19.23. 1) x > 1; 2) –10 J x < –4. 19.24. 70 км/год і 80 км/год. 19.25. x1 = 2, x2 = 3, c = 6. 19.26. 7 хв. 19.28. Перший дріб менший.

§ 20 20.15. 1) x = –3, x = 1; 2) [–4; +u); 3) –3 < x < 1; 4) [–1; +u). 20.16. 1) x = 1, x = 3; 2) [–1; +u); 3) x < 1 або x > 3; 4) (–u; 2]. 20.17. 1) x = 5; 2) x = –3, x = 0. 20.18. 1) x = 3; 2) x = 0, x = 5. . 20.20. По-

20.19. Порада. рада.

.

20.21.

2)

a

=

4.

20.23. –2 J x < 5. 20.24. 10. 20.25. 2 с. 20.30. 1) 4; 2) 7.

§ 21 21.20. y =

x2. 21.23. a = –10. 21.24. b = 2. 21.25. 1) b = 2; 2) b = –10.

21.26. a = –3. 21.27. 1) (2; 2) і (5; 5); 2) (4; –4) і (2; –2). 21.28. 1) (0; 0) і (6; 6); 2) (2; –2) і (–5; 5). 21.30. (2,5; 8) і (2; 7). 21.31. (1; –5) і (0,2; –4,2). 21.32. ≈ 10,6 с. 21.33. 1) 125 м; 2) піднімалася в перші 5 с, спускалася в наступні 5 с; 3) через 10 с. 21.34. 1) 11,25 м; 2) піднімався в перші 1,5 с, спускався в наступні 1,5 с; 3) через 3 с. 21.35. b = –10, c = 32. 21.36. a = 2, c = 5. 21.37. a = 1, b = –6, c = 7. 21.38. 1) 25 с; 2) 50 с. 21.39. 1) 5 с; 2) 20 с. 21.40. c = 7. 21.41. c = 8. 21.42. c > 16. 21.43. c < –1. 21.50. 1. 21.51. 1) –3; 3; 2) –2; 2; 3. 21.52. 1031 особа. 21.55. На 11.

Вправи для повторення теми 4 7. 1), 3), 4) Так; 2) ні. 8. 1) (–u; 0) ∪ (0; +u); 2) (–u; 0) ∪ ∪

∪

; 3) (–u; –1) ∪ (–1; 0) ∪ (0; +u); 4) (–u; –1) ∪ (–1; 0) ∪ (0; 1) ∪

∪ (1; +u); 5) (–u; 0) ∪ (0; +u); 6) (2; 5) ∪ (5; +u); 7) x = 0; 8) x = –1; 9) x = 0. 9. 1) 0; 2) 0; 3) [0; 2]; 4) (0; 1]; 5) [–2; +u); 6)

. 13. 1) Не іс-

нують; 2) 1; 3) 10. 14. 1) (–2; +u); 2) (–u; –2). 20. 1) (–u; –4) ∪ (–4; +u); 2) x = 0; 3) немає таких проміжків; 4) (–u; –3) і (–3; +u); 5) –3 < x < 0; 6) x < –3 або x > 0. 21. a = 2. 28. c = 9. 29. a = –2. 30. 1) [0; 8]; 2) [–27; 0]. 31. (–1; 4), (5; 10). 32. p = –5; q = 8. 34. x = 4. 35. 1) –0,5; 2) –1. 36. 1) a > 0,

264

Відповіді та поради до вправ

b < 0, c > 0, D = 0; 2) a < 0, b < 0, c > 0, D > 0; 3) a > 0, b > 0, c > 0, D < 0; 4) a < 0, b > 0, c < 0, D > 0. 38. a > ∪ [1; +u); 4)

2) [3; 6]; 3) 47. –1,5 J x J

. 44. 1) (–u; –3) ∪ (7; +u);

. 45. Менша від 5 см. 46. 0 < x J 7.

. 48. 1) c = 16; 2) c = 9. 49. 1) [–2; –1) ∪ (1; 2]; 2) [–3; –1) ∪

∪ (0; 2]. 50. a = –2. 51.

або m > 1. 52. Якщо a J –6 або a I –1,

то x1,2 = a – 1 ± ; якщо –6 < a < –1, то розв’язків немає. 53. 1) Якщо a < 2, то –2 < x < –a; якщо a = 2, то розв’язків немає; якщо a > 2, то –a < x < –2; 2) якщо a < –1, то x J 2a або x I –a – 3; якщо a = –1, то x – будь-яке число; якщо a > –1, то x J –a – 3 або x I 2a. 54. 1) Якщо m J –2, то x < m; якщо –2 < m J 3, то x J –2; якщо m > 3, то x J –2 або 3 J x < m; 2) якщо m J –4, то –4 < x < 2; якщо –4 < m < 2, то m J x < 2; якщо m I 2, то си­стема не має розв’язків. 58. 1) (2; 5); 2) си­стема не має розв’язків. 59. 1) (6; 2), (2; 6); 2) (3; –4), (–3; 4), (–4; 3), (4; –3). 60. 1) (3; 2), (–3; 2), (–3; –2), (3; –2); 2) (3; –2), (–3; –2); 3) (2; –1), (–2; 1); 4) (6; 10). 61. 1) (4; 1); 2) (–1; 0), (0; –1), (1; 0). 62. 1) (–1; –2), (–2,5; –1); 2) (3; 1), (–3; –1). 63. 1) (6; 2),

; 2) (2; 1),

і 7. 66. 4 см і 8 см. 67. 4 і 5 або 15 і

. 64. 5 і 2 або –2 і –5. 65. 5

. 68. 12 см і 9 см. 69. 4 см і 5 см. 70. 35.

71. 28 см або 26 см. 72. 90 км/год і 80 км/год. 73. 8. 74. 7. 75. 25 або 85. 76. 100 × 80 м. 77. 20 год і 30 год. 78. 20 іграшок.

Тема 5 § 22 22.10. ∠ A = 90°, ∠ B = 60°, ∠ C = 30°. 22.11. 135°. 22.12. 30°. 22.13. 1) Гострокутний; 2) прямокутний; 3) тупокутний. 22.14. 1) Ту­покутний; 2) прямокутний; 3) гострокутний. 22.15. см. 22.16. см. 22.17. 13 см. 22.18.

см. 22.19. 20 см. 22.20. 30 см. 22.21. 6 см, 10 см, 14 см.

22.22. 15 см, 21 см, 24 см. 22.23. 3 см або 5 см. 22.24. 7 см. 22.25. 8 см і 14 см. 22.26. 10 см і 15 см. 22.27. 26 см. 22.28. 12 см і 14 см. 22.29. см. 22.30. 14 см. 22.33. 8 см і 15 см. 22.34. см. 22.35. см або см. 22.36.

см або

22.40.

см. 22.41.

діан, то

см. 22.37. 32 см. 22.38. 30 см. 22.39.

,

см.

см. Порада. Якщо M – точка перетину ме­ . Медіа­на { AMB, що проведена з верши-

ни M, дорівнює третині невідомої медіани { ABC. 22.42.

. 22.45. 25 см.

265

Відповіді та поради до вправ

22.46. 75 см2. 22.47.

,

. 22.52. 1) 153 плитки;

2) 18 972 грн. 22.53. 90°.

§ 23 23.17. 30°. 23.18. 30°. 23.19. 60° або 120°. 23.20. 45° або 135°. 23.21. 45° або 135°. 23.22. 30° або 150°. 23.23. 12 см. 23.24. см. 23.27. AB =

23.26. або

см. 23.25. 2 см.

см, AC =

см. 23.29.

см. 23.28. 7 см

. 23.30.

. 23.31.

.

. 23.35. a2 : b2. 23.38. 37°. 23.39. Порада. Нехай

23.33. 7 см. 23.34.

точка O – точка перетину діагоналей прямокутника, N – деяка точка кола, L і M – основи перпендикулярів, які проведено з точки N до діагоналей прямокутника. Розгляньте коло, діаметр якого ON, та доведіть, що точки L і M належать цьому колу.

§ 24 24.5. Беленюк. 24.6. Ржищів. 24.9. ≈ 84,86 м. 24.12. 1) ∠ B ≈ 37°59′, ∠ C ≈ 62°1′, AB ≈ 7,17 см; 2) ∠ C ≈ 37°19′, ∠ A ≈ 82°41′, BС ≈ 11,45 см; 3) немає розв’язків; 4) ∠ A ≈ 41°49′, ∠ C ≈ 108°11′, АB ≈ 5,70 см або ∠ A ≈ 138°11′, ∠ C ≈ 11°49′, AB ≈ 1,23 см. 24.13. 1) ∠ A ≈ 21°9′, ∠ B ≈ 38°51′, AC ≈ 8,69 см; 2) ∠ B ≈ 34°51′, ∠ C ≈ 105°9′, AB ≈ 13,51 см; 3) немає розв’язків; 4) ∠ A ≈ 20°32′, ∠ C ≈ 142°28′, AB ≈ 10,42 см або ∠ A ≈ 159°28′, ∠ C ≈ 3°32′, AB ≈ 1,06 см. 24.14. 4,75 см, 62°1′, 117°59′. 24.15. 5,23 см, 7,39 см, 76°34′, 103°26′. 24.16. 4,97 см, 2,16 см, 6,3 см, 2,16 см, 72°, 108°. 24.17. 7,57 см, 6,47 см, 7,57 см, 1,04 см, 69°, 111°. 24.18. Так. 24.19. 60°, 6,51 см, 5,31 см або 20°, 13,44 см, 16,48 см. 24.20. 6,24 см, 76°, 44° або 10,44 см, 35°, 25°. Порада. Необхідно розглянути три випадки, але розв’язок матимуть лише два з них. 24.21. ≈ 318 м. 24.24. 4ab cos a. 24.25. 4x – y – 3 = 0.

§ 25 25.20. 11,2 см. 25.21. 28,8 см. 25.22. 96 см2. 25.23. 10 см, 10

см. 25.25. 6 см, 6 см, 6

25.28. 42,5 см. 25.29. 1,5 см. 25.30. 25.33. 25.36.

50

см2.

25.34.

25.42. 15 : 17. 25.52. 1 км.

266

см. 25.27. 18,125 см.

см. 25.31. 4 : 9. 25.32. 1 : 2.

2R2sin a sin b sin(a

см2. 25.38. 3 : 5. 25.39.

см2. 25.24. 10 см,

+

b).

см2. 25.40.

25.35.

см2.

см2. 25.41. 8 : 7.

Відповіді та поради до вправ

Вправи для повторення теми 5 7. 400 см2. 8.

см і 10 см. 9. 30 см. 10. Тупокутний. 11. 135°. 12.

13. 6 см і

см. 14.

17.

. 15.

. 16.

.

. 26. 45°, 60°, 75°. 27. 1) Так; 2) ні. 28. 60°

. 25.

або 120°. 29. 2R(sin a + sin b + sin(a + b)). 31.

. 38. 1) AB =

33.

см.

см. 32.

.

см, ∠A ≈ 41°10′, ∠B ≈ 80°50′, ∠C ≈ 58°;

2) AB = 2 см, AC = 2 см, ∠A ≈ 48°22′, ∠B ≈ 108°26′, ∠C ≈ 23°12′. 39. 4 год 30 хв. 40. Через пункт В. 45. 24 см. 46. 80 см2. 47. R = 16,25 см, r = 3 см. 48. 12,5 см. 49. 4 см2. 53.

52.

см. 50.

см або

см2 і

см. 51.

см2.

см2. Порада. Доведіть, що площа трикутника AMB

дорівнює половині площі трикутника ABC. 54. 84 см2. 55. 24 см2, 100 см2, 116 см2. 56. 1224 см2. 57. 12 см. Порада. Нехай ABCD – трапеція, AB = 4 см, CD = 25 см, AD = 13 см, BC = 20 см. Проведіть AE так, що АЕ || ВС, E – належить стороні CD, і розгляньте { AED.

Відповіді до завдань «Домашня самостійна робота» № завдання 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

1

В

Б

Г

А

В

Б

В

Г

Б

Б

А

В

2

В

Б

Г

Г

А

Б

В

А

Б

Г

В

Б

3

В

Б

Г

А

В

Г

Б

А

Г

Б

В

А

4

В

Б

А

Г

В

Б

В

Г

А

В

Б

Б

5

Б

А

Г

Б

В

Б

А

Г

В

Б

В

А

№ роботи

13 1–Б, 2–В, 3–Г 1–Б, 2–Г, 3–А 1–А, 2–Г, 3–Б 1–В, 2–Г, 3–Б 1–Г, 2–А, 3–В

267

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК (АЛГЕБРА) Аргумент 164 Вершина параболи 194 Вісь симетрії параболи 196 Властивості нерівностей зі змінними 98 – функції y = ах2, а ≠ 0 195 – – y = ах2 + bx + c, а ≠ 0 196 – числових нерівностей 75, 76 Графік функції 166 Доведення нерівностей 68 Змінна залежна 164 – незалежна 164 Знаки нестрогої нерівності 68 – строгої нерівності 68 Ліва частина нерівності 67 Лінійні нерівності з однією змінною 97 Найбільше значення функції 165 Найменше значення функції 165 Найпростіші перетворення графіків функцій 183–188 Нерівність Коші між середнім арифметичним і середнім геомет­рич­ним 69 – лінійна 97 – неправильна 68 – нестрога 68 – правильна 68

268

– строга 68 – числова 67 Нерівності рівносильні 98 Нулі функції 173 Об’єднання числових проміжків 94 Область визначення функції 165 – значень функції 165 Оцінювання значення виразу 78, 84 Перетин числових проміжків 93 Подвійні числові нерівності 77 Почленне додавання нерівностей 83 – множення нерівностей 83 Права частина нерівності 67 Проміжок знакосталості функції 174 – зростання функції 175 – спадання функції 175 Розв’язок нерівності 89 – си­стеми нерівностей 105 Середнє арифметичне 69 – геомет­ричне 69 Система лінійних нерівностей 105 Функція (функціональна залежність) 164 – зростаюча на проміжку 175 – квад­ратична 193 – спадна на проміжку 175 Числові проміжки 91

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК (ГЕОМЕТРІЯ) Абсолютна величина вектора 126 Абсциса точки 15 Аналітична геометрія 28 Вектор 125 Векторні величини (вектори) 125 Вимірювання висоти предмета, основа якого недоступна 230 – відстані до недоступної точки 229 Від’ємна піввісь 15 Відкладання вектора, рівного даному, від заданої точки 127 Відстань між двома точками за заданими координатами 30 Вісь абсцис 15 – ординат 15 Властивості добутку вектора на число 141 – додавання векторів 136 – скалярного добутку 147 Декартові координати 16 Довжина вектора 126 Додатна піввісь 15 Знаходження площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними 235 – – – – радіусом вписаного кола 240 – – – – – описаного кола 239 Кінець вектора 125 Колінеарні вектори 126 Координати вектора 131 – середини відрізка 28 – точки 15 – точки перетину двох прямих 45 Координатні чверті 16 Координатний метод 28 Кут між векторами 147 Кутовий коефіцієнт у рівнянні прямої 44 Множення вектора на число 141 Модуль вектора 126, 132 Нульовий вектор 126 Одиничне півколо 20 Ордината точки 16 Осі координат 15

Основна тригонометрична тотожність 21 Початок вектора 125 – координат 15 Правило паралелограма додавання векторів 137 – побудови різниці двох векторів 138 – трикутника додавання векторів 137 Протилежно напрямлені вектори 126 Прямокутна система координат 15 Рівні вектори 127, 132 Рівняння кола 36 – прямої загальне 41 – –, що проходить через дві точки 42 – фігури 35 Різниця векторів 138 Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом між ними 227 – – – – – – –, протилежним одній із них 228 – – – стороною і двома кутами 227 – – – трьома сторонами 228 Розташування прямої відносно системи координат 41 Скалярний добуток векторів 146 – квадрат вектора 147 Скалярні величини (скаляри) 125 Співнапрямлені вектори 126 Сума векторів 136 Теорема косинусів 212 – про добуток вектора на число 142 – – рівність векторів 132 – – скалярний добуток векторів 147 – синусів 221 Тригонометричні тотожності 21 – функції 21 Узагальнена теорема Піфагора 213 – – синусів 221 Умова колінеарності векторів 143 – паралельності прямих 45 – перпендикулярності прямих 48 Формула Герона 238 – медіани 215

269

ЗМІСТ Шановні дев’ятикласники та дев’ятикласниці! ............................. 3 Шановні вчителі та вчительки! .................................................. 4 Шановні дорослі! ........................................................................ 5 ПОВТОРЮЄМО ГЕОМЕТРІЮ ЗА 8 КЛАС . ................................... 6 Тема 1. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ § 1. Координатна площина......................................................... 15 § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності . ............................................. 20 § 3. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками із заданими координатами . ................................... 28 § 4. Рівняння кола ................................................................... 35 § 5. Рівняння прямої................................................................ 40 Домашня самостійна робота № 1 (§§ 1–5).................................... 49 Завдання для перевірки знань до §§ 1–5 ....................................... 50 Вправи для повторення теми 1................................................... 51 Головне в темі 1 ...................................................................... 56 ПОВТОРЮЄМО АЛГЕБРУ ЗА 8 КЛАС ....................................... 58 Тема 2. НЕРІВНОСТІ § 6. Числові нерівності. Доведення нерівностей ............................ 67 § 7. Основні властивості числових нерівностей ............................ 75 § 8. Почленне додавання і множення числових нерівностей . ........ 83 § 9. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності ........................ 89 § 10. Числові проміжки .............................................................. 91 § 11. Лінійні нерівності з однією змінною. Рівносильні нерівності ........................................................ 97 § 12. Системи лінійних нерівностей з однією змінною, їх розв’язування . ............................................................. 105 Домашня самостійна робота № 2 (§§ 6–12) ............................... 112 Завдання для перевірки знань до §§ 6–12 .................................... 114 Вправи для повторення теми 2 ................................................ 115 Головне в темі 2 ..................................................................... 121 Фіскальна математика ........................................................... 123 Тема 3. ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ § 13. Вектор. Модуль і напрямок вектора. Колінеарні вектори. Рівність векторів .............................................................. 125 § 14. Координати вектора........................................................... 131 § 15. Додавання та віднімання векторів . .................................... 136 § 16. Множення вектора на число............................................... 141 § 17. Скалярний добуток векторів .............................................. 146

270

Домашня самостійна робота № 3 (§§ 13–17)............................... 153 Завдання для перевірки знань до §§ 13–17 ................................... 155 Вправи для повторення теми 3................................................. 155 Найвеличніший арифметик своєї епохи . .................................... 159 Головне в темі 3 ..................................................................... 161 Тема 4. КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ § 18. Функції. Область визначення, область значень і графік функції . ............................................................. 164 § 19. Властивості функції ......................................................... 173 § 20. Найпростіші перетворення графіків функцій ...................... 183 § 21. Функція y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Її графік і властивості ........ 193 Домашня самостійна робота № 4 (§§ 18–21) .............................. 203 Завдання для перевірки знань до §§ 18–21 ................................... 205 Вправи для повторення теми 4 ................................................ 206 Головне в темі 4 ..................................................................... 210 Тема 5. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ § 22. Те­о­ре­ма косинусів ............................................................ 212 § 23. Теорема синусів ............................................................... 220 § 24. Розв’язування трикутників. Прикладні задачі ..................... 226 § 25. Формули для знаходження площі трикутника...................... 235 Домашня самостійна робота № 5 (§§ 22–25)............................... 246 Завдання для перевірки знань до §§ 22–25 . ................................. 247 Вправи для повторення теми 5................................................. 248 Головне в темі 5 ..................................................................... 253 Зразок варіанта атестаційної письмової роботи з математики ..... 255 Відповіді та поради до вправ ..................................................... 257 Предметний покажчик (алгебра) . .............................................. 268 Предметний покажчик (геометрія) ............................................. 269

271

Навчальне видання

ІСТЕР Олександр Семенович, ІСТЕР Дмитро Олександрович

МАТЕМАТИКА Підручник інтегрованого курсу для 9 класу закладів загальної середньої освіти (у 2-х частинах) Частина 1 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено Підручник відповідає Державним санітарним нормам і правилам «Гігієнічні вимоги до друкованої продукції для дітей» У підручнику використано ілюстративний матеріал з відкритих джерел інтернету, зокрема сайтів vecteezy.com, depositphotos.com. Усі матеріали в підручнику використано з навчальною метою відповідно до законодавства України про авторське право і суміжні права.

Редактор Наталія Дашко Обкладинка Олександра Павленка Макет, художнє оформлення Василя Марущинця Комп’ютерна верстка Юрія Лебедєва Коректори Олена Симонова, Ірина Хмельовська

Формат 70×100/16. Ум. друк. арк. 22,10. Обл.-вид. арк. 17,57. Тираж 14 766 пр. Вид. № 0126. Зам. № 26-04-1001. ТОВ «Генеза», вул. Генерала Алмазова, 18/7 (літ. В), офіс 404, м. Київ, 01133, Україна. Свідоцтво суб’єкта видавничої справи серія ДК № 7692 від 24.10.2022. Віддруковано у ТОВ «ПЕТ», вул. Максиміліанівська, 17, м. Харків, 61024, Україна. Свідоцтво суб’єкта видавничої справи серія ДК № 6847 від 19.07.2019.

ВЛАСТИВОСТІ ЧИСЛОВИХ НЕРІВНОСТЕЙ

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

1. Якщо a > b, то b < a; якщо a < b, то b > a.

Теорема косинусів

2. Якщо a > b і b > c, то a > c. Якщо a < b і b < c, то a < c. 3. Якщо a > b і p – будь-яке число, то a + p > b + p. 4. Якщо a > b і p > 0, то ap > bp. Якщо a > b і p < 0, то ap < bp.

Теорема синусів , де R – радіус описаного кола

5. Якщо a < b і c < d, то a + c < b + d. Почленне додавання

ЗНАЧЕННЯ СИНУСА, КОСИНУСА І ТАНГЕНСА ДЕЯКИХ КУТІВ

6. Якщо a < b і c < d, то ac < bd, де a, b, c, d – додатні.

a

0°

30°

45° 60°

90°

120° 135°

150°

180°

0

1

0

1

0

–1

Почленне множення

Нерівність

Зображення

Числовий проміжок

x<a

(–u; a)

xJa

(–u; a]

x>a

(a; +u)

xIa

[a; +u)

a<x<b

(a; b)

a<xJb

(a; b]

aJx<b

[a; b)

aJxJb

[a; b]

0

1

не існує

–1

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ТОТОЖНОСТІ

, де

0