9 геометрія by Орко

Підручник для 9 класу закладів загальної середньої освіти

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Київ 2026

УДК 514*кл9(075.3) Б93 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від 27.01.2026 № 110) видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено

Підручник розроблено за модельною навчальною програмою «Геометрія. 7–9 класи» для закладів загальної середньої освіти (авторський колектив програми: М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова, Д. В. Васильєва)

Інтерактивний електронний додаток до підручника розміщено на освітній платформі FAINO Електронний додаток: реєстрація https://faino.school/

Електронний додаток: пряме посилання https://qr.orioncentr.com.ua/vcpoz

Бурда М. І., Тарасенкова Н. А. Б93 Геометрія : підруч. для 9 кл. закладів загальної середньої освіти. Київ: УОВЦ «Оріон», 2026. 288 с. : іл. ISBN 978-966-991-506-1. УДК 514*кл9(075.3)

ISBN 978-966-991-506-1

ДОРОГІ УЧНІ Й УЧЕНИЦІ! У 8 класі ви ознайомилися з властивостями й ознаками чоти рикутників та подібних трикутників, навчилися знаходити площі трикутників і чотирикутників, ознайомилися з новими способами обчислення сторін і кутів прямокутних трикутників та виробили вміння застосовувати ці способи на практиці. Цього навчального року ви дізнаєтеся, як застосовувати теоре ми синусів і косинусів для знаходження невідомих сторін і кутів трикутника, вивчите нові формули для знаходження площі три кутника, одержите знання про правильні многокутники, геоме тричні перетворення, вектори на площині. Як успішно вивчати геометрію за цим підручником? Увесь ма теріал поділено на 6 розділів, а розділи — на параграфи. У кожно му параграфі є теоретичний матеріал і задачі. Вивчаючи теорію, особливу увагу звертайте на текст, виділений жирним шрифтом. Це найважливіші означення і властивості геометричних фігур. Їх потрібно зрозуміти, запам’ятати й уміти застосовувати під час розв’язування задач. Курсивом виділено терміни (наукові назви понять). У параграфі також можна розглянути розв’язання типо вих задач. У рубриці «Дізнайтеся більше» зібрано цікавий і корис ний додатковий матеріал. Перевірити, як засвоєно матеріал параграфа, повторити його допоможуть запитання рубрики «Пригадайте головне», які є піс ля кожного параграфа. А після кожного розділу вміщено конт рольні запитання й тестові завдання, за якими можна перевірити, як засвоєно тему. Задачі підручника мають чотири рівні складності. Номери за дач початкового рівня складності позначені штрихом ('). Це під готовчі вправи для тих, хто не впевнений, що добре зрозумів те оретичний матеріал. Номери з кружечками (°) позначають задачі середнього рівня складності. Їх потрібно навчитися розв’язувати всім, щоб мати змогу вивчати геометрію далі. Номери задач достат нього рівня складності не мають позначок біля номера. Навчив шись розв’язувати їх, ви зможете впевнено демонструвати достат ній рівень навчальних досягнень. Зірочками (*) позначені задачі високого рівня складності. Якщо не зможете відразу їх розв’язати, не засмучуйтесь, а виявіть терпіння та наполегливість. Радість від розв’язування складної задачі буде вам нагородою. 3

Розв’язавши задачі, виділені жирним шрифтом, запам’ятайте їх формулювання. Ці геометричні твердження можна застосовува ти до розв’язування інших задач. Номери завдань для домашньої роботи виділено рожевим ко льором. Скориставшись рубрикою «Для тих, хто хоче знати більше», вміщеною в кінці підручника, ви зможете поглибити свої знання. У підручнику використовуються спеціальні позначки (пікто грами). Вони допоможуть краще зорієнтуватися в навчальному матеріалі.

! — Увага! Не припустіться помилки — Важливо знати — Як записати

Словничок — Словничок — Запитуємо

— Відповідаємо

— Інтерактивні вправи — Вправи з Е-додатка

Бажаємо вам успіхів у пізнанні нового і задоволення від навчання!

Розділ 1. Узагальнення та систематизація вивченого У 8 класі Чотирикутники 1. Три сторони чотирикутника дорівню ють 10 см, 15 см і 20 см. Чи може пе риметр чотирикутника дорівнювати: 1) 90 см; 2) 72 см; 3) 115 см? 2. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам: 1) 1, 2, 3 і 4; 2) 4, 6, 12 і 14. 3. Знайдіть кути паралелограма, якщо один з його кутів у 3 рази більший за інший. 4. Доведіть, що бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні. 5. Чи є чотирикутник паралелограмом, якщо три його кути дорівнюють: 1) 20°, 60°, 110°; 2) 60°, 60°, 120°? 6. Доведіть, що коли в паралелограмі хоча б один кут прямий, то він є пря мокутником. 7. Знайдіть кути ромба, якщо його периметр дорівнює 36 см, а висо та — 4,5 см. 8. Доведіть, що діагоналі ромба ділять його на чотири рівні прямо кутні трикутники. 9. Ромб, у якого один кут прямий, — квадрат. Доведіть. 10. Знайдіть периметр трикутника, якщо його середні лінії дорівню ють: 1) 3 см, 5 см, 6 см; 2) 7 см, 9 см, 12 см. 11. Гострий кут прямокутної трапеції дорівнює 45°. Знайдіть висоту трапеції, якщо її основи дорівнюють: 1) 6 см і 8 см; 2) 62 мм і 10 см. 12. Чому дорівнює сума кутів: 1) п’ятикутника; 2) дев’ятикутника? 13. Знайдіть площу прямокутного трикутника з гострим кутом 45°, якщо один з його катетів дорівнює: 1) 2 см; 2) 0,3 дм. 14. Сторони паралелограма дорівнюють 30 см і 50 см, а висота, яку проведено до меншої сторони, дорівнює 25 см. Знайдіть висоту, проведену до більшої сторони. 15. Знайдіть площу ромба, якщо його діа гоналі дорівнюють: 1) 12 см і 16 см; 2) 1,6 дм і 3 дм. 5

Розділ 1

16. У трикутнику проведено середню лінію. Яку частину площі даного трикутника становить площа утвореного трикутника? 17. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо його висота ділить гіпотенузу на відрізки: 1) 4 см і 9 см; 2) 1 см і 16 см. 18. Площа трапеції дорівнює S, а її середня лінія — q. Знайдіть висоту трапеції, якщо: 1) S = 60 см2, q = 15 см; 2) S = 175 см2, q = 35 см. 19. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють a і 3a, а площа — 2a2. Чому дорівнює гострий кут трапеції? 20. Ділянка має форму прямокутної трапеції. Як провести пряму, пер пендикулярну до її основ, щоб поділити площу ділянки навпіл?

Подібність трикутників 21. Знайдіть сторони рівностороннього трикутника, якщо периметр подібно го йому трикутника з коефіцієнтом 4 дорівнює: 1) 36 см; 2) 45 см. 22. Чи подібні прямокутні трикутники, якщо в одному з них гострий кут дорівнює 23°, а в іншому — 67°? 23. У трапеції АВСD (АВ || СD) діагоналі АС і ВD перетинаються в точці О. Доведіть, що ∆АОВ  ∆СОD. 24. Діагоналі АС і ВD трапеції АВСD (АВ || СD) перетинаються в точці О. Знайдіть довжину основ трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 24 см і СО : АО = 1 : 3. 25. Сторони одного трикутника дорівню ють 6 см, 5 см і 9 см. Знайдіть сторо ни подібного йому трикутника, якщо його найменша сторона дорівнює 25 см. 26. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а бічна сторона — 5 см. Знайдіть периметр подібного йому трикутника, якщо його основа дорівнює 12 см. 27. Із точки кола проведено перпендикуляр до діаметра. Знайдіть від стань від цієї точки до діаметра, якщо одержані відрізки діаметра дорівнюють: 1) 16 см і 1 см; 2) 0,5 см і 8 см. 28. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 12 см, а висота, проведена до основи, — 8 см. Знайдіть відстань від основи цієї ви соти до бічної сторони трикутника. 6

Узагальнення та систематизація вивченого у 8 класі

29. Знайдіть довжини медіан трикутника, якщо відстані від точки їх перетину до вершин трикутника дорівнюють: 1) 12 см, 16 см і 24 см; 2) 4 см, 4 см і 6 см. 30. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 120 см, а бісектриса прямого кута ділить діагональ у відношенні 3 : 5.

Розв’язування прямокутних трикутників 31. Знайдіть катет прямокутного трикут ника, якщо його гіпотенуза та інший катет відповідно дорівнюють: 1) 13 см і 12 см; 2) 17 м і 15 м. 32. Сторона ромба дорівнює 10 см, а одна з його діагоналей — 16 см. Знайдіть іншу діагональ ромба. 33. Знайдіть висоту рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює: 1) 3 см; 2) 10 см. 34. Із точки О до прямої проведено пер пендикуляр ОB і похилу ОC. Знайдіть: 1) похилу ОC, якщо її проєкція BC до рівнює 4 см, a перпендикуляр ОB — 3 см; 2) проєкцію BC похилої, якщо пер пендикуляр ОB дорівнює 12 см, а по хила ОC — 13 см; 3) перпендикуляр ОB, якщо похила ОC дорівнює 25 см, а її про єкція BC — 7 см. 35. У рівнобічну трапецію з основами а і b вписано коло радіусом r. Знайдіть бічну сторону трапеції, якщо: 1) а = 2 см, b = 18 см, r = 3 см; 2) а = 32 см, b = 18 см, r = 12 см. 36. Знайдіть значення виразу: 1) 8 sin 30°cos 60°; 2) 2 cos 45° – 2 sin 30°. 37. Знайдіть катет b прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза с і косинус прилеглого до нього кута А дорівнюють: 1 2 1) с = 6 см, cos A = ; 2) с = 14 см, cos A = . 3 7 38. Знайдіть кут підйому шосейної дороги, якщо на відстані 200 м висота підйому становить 8 м. 39. Сторони прямокутника дорівнюють 7 см і 14 см. Знайдіть кут між його діагоналлю й більшою стороною. 40. Через точку В до кола радіусом 30 см проведено дотичні ВМ і ВС. Знайдіть кут, утворений дотичними, якщо ВМ = 30 см. 7

Розділ 2. Координати і вектори на площині У розділі дізнаєтесь: що таке прямокутна декартова система координат і як у ній визначають координати точки; як знайти довжину відрізка за координатами його кінців та координати середини відрізка; як визначити синус, косинус і тангенс для будь-якого кута від 0° до 180°; що таке рівняння фігури; яке рівняння задає коло, а яке — пряму; що таке вектор, колінеарні вектори, рівні вектори; як виконувати дії над векторами та які властивості цих дій; як знайти координати вектора за координатами його кінців і як побудувати цей вектор у даній системі координат; як застосувати вивчений матеріал на практиці

§ 1. Декартові координати на площині 1. Координатна площина Ситуація. Наталія Миколаївна поставила завдання учнівству 9-А класу створити квест «У пошуках скарбів» для підшефного 7-А класу. Команда розробників вирішила, що у квесті буде 5 станцій, а перехід до нової станції буде задаватися її координатами. Хлопці засумнівалися, чи впораються семикласники з такими орієнтирами для руху під час квесту. Але дівчата пригадали, що основні відомості про систему координат на площині вивчалися ще в 6 класі, а значить, семикласники зможуть пов’язати координати нової станції з напрямками «ліворуч — праворуч» і «вперед — назад» та кількістю кроків у вказаному напрямку.

Як увести прямокутну декартову систему координат XOY на площині? Пригадайте, спираючись на малюнки 1 і 2.

Мал. 1

Мал. 2

Координати і вектори на площині

Запам’ятайте! Площину з уведеною на ній системою координат називають коор динатною площиною. Кожній точці на координатній площині можна поставити у відповід ність єдину пару чисел, узятих у певному порядку, і, навпаки, кожній парі чисел відповідає єдина точка координатної площини. Таку впоряд ковану пару чисел називають координатами точки в даній системі координат. Щоб визначити координати точки, потрібно: через дану точку про вести дві прямі, паралельні осям координат; на координатних осях від мітити числа, що відповідають точкам перетину цих прямих з осями; з одержаних чисел утворити впорядковану пару. На малюнку 2 точка А має координати: А (3; 2).

Задача 1 Дано точки: А (4; 0), В (1; –3) і С (–1; 3). Чи існує трикутник з вершинами в даних точках?

Розв’язання Задамо прямокутну декартову сис тему координат і побудуємо в ній дані точки за їх німи координатами (мал. 3). Очевидно, що точки А, В і С не лежать на одній прямій. Тому трикут ник АВС існує. Щоб довести існування фігури, достатньо її побудувати.

Мал. 3

2. Відстань між двома точками Чи можна по-іншому обґрунтувати існування трикутника із заданими координатами вершин? Так. Для цього достатньо знайти довжини відрізків і скористатися нерів ністю трикутника. З’ясуємо, як знаходити відстань між двома точками за їхніми координатами.

Запам’ятайте! Теорема (про відстань між двома точками із заданими координатами) Відстань між двома точками дорівнює кореню квадратному із суми квадратів різниць їхніх відповідних координат: AB=

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) . 2

Розділ 2

Дано: ХОY — прямокутна декартова система координат; A (х1; y1), В (х2; y2). Довести: AB=

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) . 2

Доведення. Нехай точки А і В розміщують ся в першій координатній чверті, причому х1 < х2 і y1 < y2 (мал. 4). З’єднаємо точки А і В відрізком і проведемо через них прямі, паралельні осям ко ординат (мал. 5). Нехай C — точка перетину цих прямих. Утворився прямокутний трикутник АВС, у якому кут С — прямий, катет АС = х2 – х1, катет ВС = y2 – y1, довжина гіпотенузи АВ є шу каною відстанню між точками А і В. За теоремою Піфагора, АВ2 = АС2 + ВС2 = (х2 – х1)2 + (у2 – у1)2. Звідси AB=

Мал. 4

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) . 2

Інші випадки розміщення точок А і В роз гляньте самостійно.

Мал. 5

Чи залежить формула довжини відрізка від розміщення його кінців у системі координат? Не залежить.

Задача 2 Відстань від початку координат О до точки А (4; у) дорівнює 5 одиниць. Яку ординату має точка А?

Розв’язання За умовою задачі, ОА = 5, О (0; 0), A (4; y). За теоремою про відстань між двома точками, OA =

( 4 − 0 ) + ( y − 0 ) . Оскільки довжина 2

відрізка є числом додатним, то, за властивістю арифметичного квадрат 2 2 ного кореня, OA 2 = ( 4 − 0 ) + ( y − 0 ) . Складемо та розв’яжемо рівняння: 52 = (4 – 0)2 + (у – 0)2, 25 = 16 + у2, у2 = 9, у = ± 3. Обидва корені задовольняють умову задачі, тому точка А має орди нату або 3, або –3. Це означає, що на координатній площині існує дві точки, які є шуканими: А1 (4; 3) і А2 (4; –3). Складаючи рівняння на основі формули відстані між точками A (х1; y1) і В (х2; y2), можна відразу скористатися рівністю: AB2 = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) . 2

Координати і вектори на площині

3. Координати середини відрізка Чи можна знайти інші дані про відрізок за координатами його кінців? Так.

Запам’ятайте! Теорема (про координати середини відрізка) Кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців: x1 + x2 y1 + y2 = x = ; y . 2 2 Дано: ХОY — прямокутна декартова система координат (мал. 6), A (х1; y1), В (х2; y2); точка М (х; y) — середина відрізка АВ. x1 + x2 y1 + y2 Довести: = x = , y . 2 2 Доведення. Нехай кінці відрізка АВ містяться в першій координатній чверті, причому х1 < x2 і y1 > y2 (мал. 6). Через точки А, В і М проведемо прямі, паралель ні осі ОХ (мал. 7). Точки їх перетину з віс сю ОY позначимо відповідно А1, В1 і М1. Чотирикутник АА1В1В — трапеція з осно вами АА1 = х1, ВВ1 = х2. За побудовою, ММ1 = х. Оскільки АМ = МВ (за умовою) і ММ1 || АА1 || ВВ1 (за побудовою), то ММ1 — середня лінія трапеції АА1В1В. Тому x + x2 x= 1 . Аналогічно доводимо, що 2 y +y y = 1 2 . Для цього через точки А, В і М 2 проведемо прямі, паралельні осі ОY (мал. 8). Точки їх перетину з віссю ОХ по значимо відповідно А2, В2 і М2. Чотири кутник АА2В2В — трапеція з основами АА2 = y1, ВВ2 = y2. За побудовою, ММ2 = y. Оскільки АМ = МВ (за умовою) і ММ2 || АА2 || ВВ2 (за побудовою), то ММ2 —

Мал. 6

Мал. 7

Мал. 8

Розділ 2

y1 + y2 . Інші випадки розміщен 2 ня точок А і В в системі координат ХОY розгляньте самостійно.

середня лінія трапеції АА2В2В. Тому y =

Чи залежать формули координат середини відрізка від розміщення його кінців у системі координат? Не залежать.

Задача 3 Знайдіть довжину медіани АМ три кутника з вершинами в точках: A (–1; –1), В (1; 4) і С (3; 2). Розв’язання Точка М є серединою сторони ВС (мал. 9), тому вона має координати: = x

1+ 3 = 2, 2

4+2 = 3. Довжина медіани АМ дорівнює від 2 стані між точками А і М.

= y

Отже, AM =

(2 − ( −1) ) + (3 − ( −1) )= 2

3 + 4= 2

Мал. 9

25 = 5.

Щоб знайти довжину медіани трикутника, знаючи координати його вершин, визначте координати основи медіани та знайдіть відстань від цієї точки до протилежної вершини трикутника.

Дізнайтеся більше 1. Прямокутна декартова система координат названа на честь видатного французького вченого Рене Декарта (1596–1650), відомого значними досягненнями в галузях філософії, математики, фізики, фізіології. Математичні дослідження Декарта тісно пов’язані з його роботами з фізики й філософії. У «Геометрії» (1637) Декарт уперше ввів поняття змінної та функції, їх теперішнє позначення — малими латинськими буквами х, y. Установлений ним зв’язок між відрізками й числами зумовив взаємне проникнення геометрії та алгебри, зародження нового розділу математичної науки — аналітичної геометрії. Її методи використовують у багатьох галузях сучасних математичних досліджень. 2. Прямокутну систему координат широко застосовують у науці, техніці, на практиці. Наприклад, з курсу фізики ви знаєте, що в такій системі координат зображають графік руху (мал. 10), графік залежності кількості теплоти, що виділяється під час згоряння свіжої деревини, від маси палива (мал. 11) та ін. Загальнішим є випадок, коли осі координат не перпендикулярні й шкали на них не рівнозначні, тобто одиничні відрізки мають різну довжину (мал. 12). Таку систему координат називають афінною (загальною косокутною).

Координати і вектори на площині

Мал. 10

Мал. 11

Мал. 12

Мал. 13

3. Історія свідчить, що Р. Декарт використовував косокутну систему координат з рівнозначними шкалами (мал. 13), причому лише її першу чверть. У такій системі координат також можна знаходити довжини відрізків. Але при цьому треба враховувати координатний кут ϕ (мал. 13). Відстань від точки A (х1; y1) до початку координат можна обчислити за формулою:

AO=

x12 + y12 + 2xy cos ϕ ,

а відстань між точками A (х1; y1) і В (х2; y2) — за формулою:

AB=

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + 2 ( x2 − x1 )( y2 − y1 ) cos ϕ. 2

Пригадайте головне 1. Поясніть, як побудувати прямокутну декартову систему координат на площині. 2. Що називають координатною площиною? 3. Поясніть, як визначити координати точки. 4. Як знайти відстань між двома точками? 5. За якими формулами визначають координати середини відрізка? 6. Поясніть, як знайти довжину медіани трикутника, знаючи координати його вершин.

Розділ 2

Розв’яжіть задачі 41'. Чи правильно, що на координатній площині: 1) кожній точці відповідає кілька впорядкованих пар чисел; 2) кожній точці відповідає єдина впорядкована пара чисел; 3) кожна впорядкована пара чисел задає єдину точку; 4) кожна впорядкована пара чисел задає безліч точок? 42'. Чи правильно, що в точки А (х; у): 1) х — це ордината, значення якої знаходять за віссю ОХ; 2) х — це абсциса, значення якої знаходять за віссю ОY; 3) х — це абсциса, значення якої знаходять за віссю ОХ; 4) у — це ордината, значення якої знаходять за віссю ОХ; 5) у — це абсциса, значення якої знаходять за віссю ОY; 6) у — це ордината, значення якої знаходять за віссю ОY? 43'. Дано точки A (х1; y1) і В (х2; y2). Чи правильно, що: 1) AB=

( x2 + x1 ) − ( y2 + y1 ) ;

2) AB=

( x2 − x1 ) − ( y2 − y1 ) ;

3) AB=

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) ?

44'. Чи правильно записано формули координат середини відрізка з кінцями в точках A (х1; y1) і В (х2; y2): x + x2 y +y 1) x = 1 , y= 1 2; 3 3 x1 + x1 y2 + y2 , y= ; 2) x = 2 2 x + x2 y +y , y= 1 2? 3) x = 1 2 2 45°. За даними на малюнках 14, 15 визначте координати позначених точок.

Мал. 14

Мал. 15

Координати і вектори на площині

46°. За даними на малюнку 16 визначте координати позначених точок. 47°. Задайте прямокутну декартову сис тему координат на площині та побу дуйте в ній точки: А (1; 1), В (1; –1), С (–1; –1), D (–1; 1). 48°. Задайте прямокутну декартову систему координат на площині та побудуйте в ній точки: K (–2; 2), L (2; –2), M (–2; –2), N (2; 2). 49°. Які знаки мають координати точок у координатних чвертях? Перема люйте в зошит таблицю 1 і заповніть її.

Мал. 16

Таблиця 1 І чверть

ІІ чверть

ІІІ чверть

ІV чверть

Знак абсциси Знак ординати 50°. Не виконуючи побудови, з’ясуйте, у якій координатній чвер ті лежить точка: А (–145; 200), В (358; –422), С (218; 3390), D (–139; –247), Е (–371; 2108). 51°. Не виконуючи побудови, з’ясуйте, у якій координатній чверті лежить точка: F (792; 6203), K (953; –712), L (–37 401; –47 732). 52°. Знайдіть відстань між точками: 1) А (0; 0) і В (3; 4); 2) А (–5; –7) і В (3; 8); 3) А (5; –1) і В (–3; 8). 53°. Знайдіть відстань між точками А (–6; 3) і В (4; –2). 54°. Знайдіть довжину діаметра кола за координатами його кінців: 1) (3; 4) і (2; –1); 2) (–6; 3) і (0; –5). Який радіус даного кола? 55°. Знайдіть довжину радіуса кола за координатами його кінців: (5; 2) і (1; –1). Який діаметр даного кола? 56°. Знайдіть довжину сторін трикутника АВС, вершини якого мають координати: 1) А (0; 0), В (2; 0) і С (–1; 3); 2) А (1; 2), В (8; 26) і С (19; 26). 15

Розділ 2

57°. Знайдіть довжину сторін трикутника KLM, вершини якого мають координати: K (–2; –1), L (0; 1) і M (0; –3). 58°. Які координати мають кінці відрізка АВ і його середина (мал. 17, 18)? 59°. За малюнком 19 визначте, які координати мають кінці відрізка АВ і його середина.

Мал. 17

Мал. 18

Мал. 19

60°. Знайдіть координати середини відрізка з кінцями в точках: 1) А (3; –1) і В (–1; 1); 2) А (5; 4) і В (2; 1). 61°. Які координати має середина відрізка з кінцями в точках А (5; 7) і В (11; 17)? 62°. За координатами одного з кінців відрізка НР та його середини М знайдіть координати іншого кінця цього відрізка, якщо: 1) Н (1; –1), М (3; 3); 2) Р (–1; –2), М (–2; –3). 63°. Точка С (7; 9) є серединою відрізка АВ. Знайдіть координати точки В, якщо інший кінець даного відрізка має коорди нати (2; 5). 64°. Точка О є серединою відрізка АВ. За координатами двох даних точок знайдіть координа ти третьої точки. Перемалюйте в зо шит та заповніть таблицю 2. Таблиця 2 Точка А

(1; 4)

(4; –6)

Точка О (–2; –1) Точка В 16

(5; –2) (–6; 8)

(–4; 6)

(3; –3)

(3; 7) (–4; 0)

(2; 0)

(–1; 4) (1; –4)

Координати і вектори на площині

65°. Знайдіть координати середин сторін трикутника АВС, якщо: 1) А (–3; 3), В (6; 6), С (3; –3); 2) А (2; –3), В (3; 0), С (–1; –2). Яка довжина медіани BM даного трикутника? 66°. Знайдіть координати середин сторін трикутника ТОР, якщо: Т (2; 3), O (–1; 0), Р (2; –3). Яка довжина медіани ОМ даного трикутника? 67°. Побудуйте паралелограм з вершинами в даних точках: 1) А (–4; 1), В (0; 5), С (3; 0), D (–1; –4); 2) А (–2; 4), В (–6; 12), С (–2; 16), D (2; 8). Які координати має точка перетину його діагоналей? 68°. Побудуйте паралелограм з вершинами в даних точках: А (1; –2), В (–4; –1), С (2; 1), D (–1; 0). Які координати має точка перетину його діагоналей? 69°. Пряма а проходить через центр кола й перетинає його в точках А і В. Знайдіть координати центра кола, якщо: 1) А (–5; 2), В (1; –4); 2) А (5; –2), В (–1; 4). 70°. Пряма р проходить через центр кола й перетинає його в точках С (5; 2) і Т (–1; –4). Знайдіть координати центра кола. 71. Дві вершини квадрата мають координати: 1) (0; 0) і (1; 2); 2) (–1; –1) і (2; 0). Які координати можуть мати дві інші його вершини? 72. Доведіть, що трикутник АВС є рівнобедреним, якщо: 1) А (–3; 3), В (6; 6), С (3; –3); 2) А (2; –3), В (3; 0), С (–1; –2). 73. Доведіть, що трикутник МРТ є рівнобедреним, якщо М (–1; 1), Р (2; 3), Т (2; –1). 74. Доведіть, що трикутник АВС є прямокутним, якщо: 1) А (0; 0), В (1; 2), С (3; 1); 2) А (5; 1), В (7; 2), С (9; –2). 75. Доведіть, що трикутник РМТ є прямокутним, якщо Р (–2; –1), М (0; 1), Т (0; –3). 76. Відстань між точками А і В дорівнює d. Знайдіть х, якщо: 1) А (2; 3), В (х; 1), d = 2; 2) А (–1; х), В (3; 2х), d = 5. 77. Відстань між точками Р (5; х) і Т (2; 4) дорівнює 3. Чому дорівнює х? 78. На осях координат знайдіть точки, рівновіддалені від двох даних точок: 1) (–1; 1) і (3; 5); 2) (2; –1) і (–2; 1). 17

Розділ 2

79. Визначте довжину сторін трикутника за координатами середин його сторін: 1) (5; 1), (9; 4), (9; –2); 2) (1; 1), (–1; –1), (1; –2). 80. Дві вершини прямокутного трикутника мають координати: 1) А (2; 5), В (3; 2); 2) А (1; 4), В (9; 6). Чи може третя його вершина міститися в точці: С (8; 8), D (9; 4), О (4; –1), М (8; 7)? 81. Знайдіть площу квадрата, знаючи координати двох сусідніх його вершин: 1) (3; 2), (8; 7); 2) (4; –1), (1; 2). 82. Знайдіть площу квадрата, знаючи координати двох протилежних його вершин: 1) (3; 5), (1; –3); 2) (–2; 2), (10; –3). 83. Точки Р, Q і Т ділять відрізок АВ на чотири рівні частини. Знайдіть координати цих точок, якщо: 1) А (–5; 2), В (–3; –6); 2) А (1; 3), В (9; –7). 84. Знайдіть довжину медіан трикутника з вершинами в точках: 1) А (2; –1), В (–1; 3) і С (–3; 1); 2) K (0; 0), L (6; 4) і M (10; 26). 85. Координати точки перетину діагоналей паралелограма дорівнюють середнім арифметичним відповідних координат протилежних вершин паралелограма. Доведіть. 86. Знайдіть координати точки перетину діагоналей і четвертої вер шини паралелограма АВСD, якщо відомі координати трьох його вершин: 1) А (–2; –3), В (3; 1), С (–1; 2); 2) А (–2; 4), В (–6; 12), D (2; 8). 87. Знайдіть координати четвертої вершини паралелограма за коорди натами трьох його вершин: 1) А (2; 5), В (8; 13), С (16; 9); 2) А (0; 0), В (1; 2), С (3; 1). 88. Які координати має четверта вершина прямокутника, якщо три його вершини, взяті послідовно, мають координати: 1) (8; 7), (2; 5), (3; 2); 2) (4; –1), (1; 2), (–1; 0)? 89. Яку довжину має середня лінія трапеції ABCD (AB || CD) з верши нами в точках: 1) А (–5; 0), В (0; 5), С (3; 0) і D (–1; –4); 2) А (1; –4), В (–1; –2), С (2; 1) і D (5; –2)? 90. Знайдіть координати центра кола, описаного навколо трикутника з вершинами в точках: 1) А (1; 1), В (2; 3) і С (5; –1); 2) А (–1; 6), В (–5; 3) і D (–2; –1). 18

Координати і вектори на площині

91*. Який кут утворює відрізок АВ з додатною піввіссю абсцис, якщо: 1) А (0; 2), В (–2; 4); 2) А (–1; –3), В (4; 2)? 92*. Доведіть, що сума абсцис (ординат) середин сторін трикутника дорівнює сумі абсцис (ординат) його вершин. 93*. Чи можна однозначно задати прямокутник координатами двох його вершин і точки перетину діагоналей, якщо дані вершини є: 1) протилежними; 2) сусідніми? Відповідь обґрунтуйте. 94*. Якщо протилежні вершини чотирикутника мають координати, такі що сума абсцис і сума ординат однієї пари вершин дорівнює відповідним сумам другої пари вершин, то такий чотирикутник — паралелограм. Доведіть. 95*. Середини бічних сторін трапеції мають рівні ординати (абсциси). Чи паралельні її основи осі абсцис (ординат)? Відповідь поясніть.

Проявіть компетентність 96. Як на папері в клітинку побудувати відрізок a 2 , a 5, якщо а — довжина сторони: 1) од нієї клітинки; 2) двох клітинок? 97. Основу драбини завдовжки 6 м відсунуто від стіни на 1 м. На скільки метрів знизиться верхній кінець драбини, якщо основу відсу нути від стіни ще на 0,5 м? Розв’яжіть задачу, скориставшись системою координат. 98. На папері в клітинку дано відрізок з кінцями у вузлах сітки. Чи завжди його середина буде міститися у вузлі сітки? 99. Вершини трикутника містяться у вузлах сітки. Проведіть його медіани, не виконую чи вимірювань. Чи завжди точка перетину медіан буде міститися у вузлі сітки? Відпо відь поясніть. 100. Два туристи, які перебували на відстані 100 м один від одного, одночасно почули вигук керівника групи. На якій наймен шій відстані від кожного з них міг бути керівник у момент вигуку, якщо точно посередині між туристами стоїть дерево, яке в обхваті має 2,5 м? 19

Розділ 2

§ 2. Синус, косинус і тангенс кутів від 0° до 180°. Основні тотожності 1. Кути та одиничне півколо Ситуація. Батько вирішив установити сонячну панель на даху свого будинку. Щоб панель отримувала максимум сонячного світла, він має розташувати її під певним кутом до горизонту, орієнтуючись на кут підйому Сонця влітку. Його донька Ірина з’ясувала, що в Україні в день літнього сонцестояння, 21 червня, Сонце сягає найвищої точки на небосхилі й піднімається на максимально можливу висоту над горизонтом, а максимальний кут підйому α становить 62°–63°. Отже, панель треба монтувати під кутом 90° – α до горизонту, бо сонячне світло має проходити перпендикулярно до панелі. Син Іван сказав, що за цими даними він може визначити, яка максимальна частка сонячного світла потраплятиме на панель. Для цього він знайшов синуси кутів 62° і 63°: sin 62° ≈ 0,88, sin 63° ≈ 0,89.

–

Який максимальний відсоток сонячного світла може потрапити на сонячну панель за такого її розміщення? Від 88 % до 89 %. Досі ми розглядали синус, косинус і тангенс гострого кута як відношення відповідних сторін прямокутного трикутника. Дамо їм означення для будь-якого кута від 0° до 180°. Для цього ви користаємо систему координат ХОY. У I і II чвертях системи координат ХОY про ведемо півколо із центром у початку координат і радіусом R = 1 (мал. 20). Таке півколо назива ють одиничним. Будемо відкладати кути від додатної півосі OХ проти руху годинникової стрілки. Нехай ∠AOB = α — гострий і точка B (кінець радіуса OB) має координати x і y. Про ведемо BK ⊥ OX (мал. 20). У прямокутному трикутнику OBK гіпоте нуза OB = 1, а катети дорівнюють координатам x і y точки B. Значення sin α, cos α і tg α вира зимо через координати точки B:

Мал. 20

Мал. 21

Координати і вектори на площині

y y x = y, cos α= = x, tgα = . x 1 1 За цими формулами можна визначити синус, косинус і тангенс тупо го кута (мал. 21).

sin α=

Якщо радіус одиничного півкола утворює з додатною піввіссю OХ кут α, то: sin α дорівнює ординаті кінця цього радіуса; cos α дорівнює абсцисі кінця цього радіуса; tg α дорівнює відношенню ординати й абсциси кінця цього радіуса. Чому синуси тупих кутів — додатні, а косинуси й тангенси — від’ємні? Тому що ординати точок у другій чверті — додатні, а абсциси — від’ємні.

Задача 1 Скориставшись одиничним півколом, побудуйте кут, синус якого дорівнює

2 . 3

Розв’язання Проведемо одиничне півколо із центром у початку координат (мал. 22). Позна  2 чимо на осі OY точку C  0;  . Через точку C про  3 ведемо пряму l: l || OХ. Вона перетне одиничне півколо в точках B і B1, ординати яких дорівню 2 ють . Сполучивши точки B і B1 з початком ко 3 ординат, одержимо два кути, синуси яких дорів 2 нюють : гострий — ∠AOB і тупий — ∠AOB1. 3

Мал. 22

2. Значення sin α, cos α і tg α для кутів 0°, 90° і 180° Як знайти значення sin α, cos α і tg α для кутів 0°, 90° і 180°? За допомогою одиничного півкола. Побудуємо одиничне півколо та проведемо в ньому радіуси OA, OB і OC. Вони утворюють кути 0°, 90° і 180° з додатною піввіссю ОХ (мал. 23). Запишемо двома способами координати точок A, B і C (табл. 3). 21

Розділ 2

Мал. 23

Таблиця 3 Координати

Точка A

Точка B

Точка C

І спосіб

A(1; 0)

B(0; 1)

C(–1; 0)

ІІ спосіб Тоді:

A(cos 0°; sin 0°) B(cos 90°; sin 90°) C(cos 180°; sin 180°) sin 0° = 0, cos 0° = 1, 0 tg 0°= = 0, 1

sin 90° = 1, cos 90° = 0, tg 90° — не існує,

sin 180° = 0, cos 180° = –1, 0 tg 180= ° = 0. −1

1 Якщо α = 90°, то tg α не існує, оскільки tg 90° = , а на нуль ділити 0 не можна.

Запам’ятайте! Значення sin α, cos α і tg α для кутів 0°, 90° і 180° (табл. 4). Таблиця 4 α 0° 90° 180° sin α cos α tg α

0 1 0

1 0 не існує

0 –1 0

Задача 2 Доведіть, що для будь-якого кута α від 0° до 180° виконують ся нерівності:

0 ≤ sin α ≤ 1,

–1 ≤ cos α ≤ 1.

Розв’язання Координати x і y точок одиничного півкола змінюються

в межах: 0 ≤ у ≤ 1, –1 ≤ х ≤ 1. Оскільки y = sin α, x = cos α, то 0 ≤ sin α ≤ 1, –1 ≤ cos α ≤ 1. 3. Основні тотожності, що пов’язують sin α, cos α і tg α y Ви знаєте, що за означенням tg α = , а y = sin α, x = cos α. Звідси: x sin α tg α = . cos α 22

Координати і вектори на площині

Нехай x і y — координати точки B одинично го півкола (мал. 24). Із прямокутного трикутни ка AOB одержимо: y2 + x2 = 1. Оскільки y = sin α, x = cos α, то: sin2 α + cos2 α = 1.

Задача 3 Обчисліть значення cos α і tg α, якщо

Мал. 24

5 sin α = i 90° < α < 180°. 13

Розв’язання Оскільки sin2 α + cos2 α = 1, то cos α = ± 1 − sin2 α . У фор мулі для cоs α беремо знак «–», бо за умовою кут α — тупий, а косинуси тупих кутів — від’ємні. Одержимо: 2

144 12  5  − 1 − sin2 α = − 1−   = − = − . cos α = 169 13  13  sin α 5  12  5 tg α = = :−  = − . cos α 13  13  12 = 1) sin α

1 − cos2 α для будь-якого кута α від 0° до 180°;

= 2) cos α

1 − sin2 α , якщо кут α — гострий;

3) cos α = − 1 − sin2 α , якщо кут α — тупий. 4. Формули зведення

Як знайти значення sin α, cos α і tg α для тупих кутів? Через відповідні значення sin α, cos α і tg α гострих кутів. Проаналізуємо малюнок 25. Нехай ∠AOB1 = α — тупий, тоді ∠A1OB1 = 180° – α — гострий. Відкла демо від додатної півосі ОХ ∠AOB = = ∠A1OB1 = 180° – α. Проведемо BK ⊥ OX і B1K1 ⊥ OX. Прямокутні три кутники OBK і OB1K1 — рівні за гіпо тенузою й гострим кутом. Із рівності трикутників випливає, що OK = OK1, BK = B1K1, тобто: x = –x1, y = y1.

Мал. 25

Розділ 2

Тоді, оскільки sin (180° – α) = y, sin α = y1, то: sin (180° – α) = sin α. (1) Оскільки cos (180° – α) = x, cos α = x1, то: cos (180° – α) = –cos α. (2) Поділивши почленно рівності (1) і (2), одержимо: tg (180° – α) = –tg α. (3) Одержані тотожності називають формулами зведення, бо вони дозво ляють зводити синуси, косинуси і тангенси тупих кутів до синусів, коси нусів і тангенсів гострих кутів. Є й інші формули зведення, які ви будете вивчати у старших класах. Формули зведення можна застосовувати як зліва направо, так і справа наліво.

Задача 4 Обчисліть: 1) sin 120°; 2) cos 135°; 3) tg 150°. Розв’язання Застосуємо формули зведення: 1) sin 120 = ° sin (180° − 120 = ° ) sin= 60°

3 ; 2

2) cos 135° = − cos (180° − 135° ) = − cos 45° = − 3) tg 150° = −tg (180° − 150° ) = −tg 30° = −

2 ; 2

3 . 3

Щоб знайти синус, косинус і тангенс тупого кута, зведіть їх до синуса, косинуса й тангенса гострого кута, скориставшись тотожностями: sin (180° – α) = sin α, cos (180° – α) = –cos α, tg (180° – α) = –tg α. Як синус і косинус гострого кута, більшого за 45°, виразити через синус і косинус кута, мен шого від 45°? Скористатися такими тотожностями: sin (90° – α) = cos α, cos (90° – α) = sin α. Наприклад: sin 80° = cos (90° – 80°) = cos 10°; cos 75° = sin (90° – 75°) = sin 15°. Основні тотожності, розглянуті в цьому параграфі, наведено в таб лиці 5. 24

Координати і вектори на площині

Таблиця 5 Тотожності

Застосування За однією з величин — sin α, cos α чи tg α — знаходимо дві інші величини. Спрощуємо вирази

sin α , cos α sin2 α + cos2 α = 1 sin (180° – α) = sin α, Знаходимо синус, косинус і тангенс тупого cos (180° – α) = –cos α, кута. Спрощуємо вирази tg (180° – α) = –tg α sin (90° – α) = cos α, Знаходимо синус і косинус гострих кутів, cos (90° – α) = sin α що доповнюють один одного до прямого кута. Спрощуємо вирази tg α =

Дізнайтеся більше 1. Крім синуса, косинуса й тангенса кута α, є ще котангенс кута α. Позна cos α cos α . Зверніть увагу: ctg 0° і чають: ctg α. Це відношення , тобто ctg α = sin α sin α −1 1 ctg 180° не існують, оскільки ctg 0° = і ctg 180° = , а на нуль ділити не можна. 0 0 Вживають спеціальні назви й позначення для величин, обернених до синуса й косинуса. 1 , а сеКосекансом називають величину, обернену до синуса: cosec α = sin α 1 кансом — величину, обернену до косинуса: sec α = . cos α 2. Слєпкань Зінаїда Іванівна (1931–2008) — видатна вчена в галузі методики навчання математики в закладах загальної середньої і вищої освіти, перша жінка — доктор наук із цього фаху в Україні. Перші з її досліджень стосувалися культури тригонометричних обчислень. З. І. Слєпкань була однією з провідних розробників і розробниць стандартів математичної освіти, авторкою підручників для учнів і студентів, посібників для вчителів.

Словничок Українська Англійська/ English

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

синус

sine

Sinus, m

sinus

косинус

cosine

Kosinus, m

cosinus

тангенс

tangent

Tangens, m

tangente

qr.orioncentr.com.ua/62Sbi

Розділ 2

Пригадайте головне 1. Поясніть, що таке синус, косинус і тангенс для кута від 0° до 180°. 2. Для якого кута тангенс не існує й чому? 3. Чому синуси тупих кутів додатні, а косинуси й тангенси — від’ємні? 4. Назвіть значення синуса й косинуса для кутів 0°, 90°, 180°. 5. Назвіть значення тангенса для кутів 0° і 180°. 6. Поясніть тотожність: sin2 α + cos2 α = 1. 7. Поясніть, чому для будь-якого кута від 0° до 180° виконуються рівності sin (180° – α) = sin α, cos (180° – α) = –cos α, tg (180° – α) = –tg α. 8. Поясніть, як виразити синус і косинус гострого кута, більшого за 45°, через косинус і синус кута, меншого від 45°.

Усне тренування Обчисліть: 1) 136° + 44°; 2) 26° + 64°;

143° + 37°; 53° + 37°;

109° + 71°; 29° + 61°;

122° + 58°; 42° + 48°.

Розв’яжіть задачі 101'. Чи може на одиничному півколі: 1) абсциса точки дорівнювати: 2; 0,5; –1; 2) ордината точки дорівнювати: 0,8; 1,4; 1? 102'. Радіус одиничного півкола утворює з додатною піввіссю OХ кут α. Чи правильно, що sin α дорівнює: 1) абсцисі кінця радіуса; 2) ординаті кінця радіуса; 3) відношенню ординати й абсциси кінця радіуса? 103'. Радіус одиничного півкола утворює з додатною піввіссю OХ кут α. Чи правильно, що cos α дорівнює: 1) абсцисі кінця радіуса; 2) ординаті кінця радіуса; 3) відношенню ординати й абсциси кінця радіуса? 104'. Радіус одиничного півкола утворює з додатною піввіссю OХ кут α. Чи правильно, що tg α дорівнює: 1) абсцисі кінця радіуса; 2) ординаті кінця радіуса; 3) відношенню ординати й абсциси кінця радіуса? 105'. Розгляньте малюнок 26. Чи правильно, що: 1) x = sin α; 4) y = cos α; x 2) x = cos α; 5) = tg α ; y y 3) y = sin α; 6) = tg α ? x 26

Мал. 26

Координати і вектори на площині

106'. Розгляньте малюнок 27. Чи правильно, що: cos α 1) tg α = ; 4) sin α – cos α = 1; sin α sin α ; 5) sin2 α + cos2 α = 1; 2) tg α = cos α 3) sin α + cos α = 1; 6) sіn2 α – сos2 α = 1? 107'. Чи правильно, що: 1) sin (180° – α) = cos α; 2) sin (180° – α) = sin α; 3) cos (180° – α) = cos α; 4) cos (180° – α) = –cos α; 5) tg (180° – α) = –tg α; 6) tg (180° – α) = tg α?

Мал. 27

108'. Чи правильно, що: 1) sin (90° – α) = cos α; 3) cos (90° – α) = cos α; 2) sin (90° – α) = sin α; 4) cos (90° – α) = sin α? 109°. На малюнку 28 зображено одиничне півколо. 1. Назвіть абсциси й ординати точок B, C і D. 2. Дайте назви (α, β, γ) кутам, що утво рюють з додатною піввіссю OХ радіу си OB, OC і OD. 3. Виразіть значення синуса, косину са й тангенса цих кутів через координати точок B, C і D.

Мал. 28

110°. На малюнку 29 зображено одиничне півколо. 1. Назвіть абсциси й ординати точок K і L. 2. Дайте назви (α, β) кутам, що утворюють з додатною піввіссю OХ радіуси OK і OL. 3. Виразіть значення синуса, косинуса й тангенса цих кутів через координати точок K і L. 27

Розділ 2

Мал. 29

111°. 1. Назвіть радіус одиничного півкола (мал. 30), що утворює з додатною піввіссю OХ кут: 0°, 90°, 180°. 2. Запишіть значення: а) sin 0°, sin 90°, sin 180°; б) tg 0°, tg 180°. 112°. 1. Назвіть радіус одиничного Мал. 30 півкола (мал. 30), що утворює з додатною піввіссю OХ кут: 0°, 90°, 180°. 2. Запишіть значення: cos 0°, cos 90°, cos 180°. 113°. Накресліть систему координат, узявши за одиницю довжини від різок завдовжки 5 см. Побудуйте у I і II чвертях одиничне півколо із центром у початку координат. 1. За допомогою транспортира позначте на одиничному півколі точки A, B, C, D, E так, щоб кути між радіусами OA, OB, OC, OD, OE і додатною піввіссю OХ дорівнювали відповідно 35°, 70°, 115°, 130° і 165°. 2. За допомогою лінійки знайдіть координати точок A, B, C, D і E. 3. Знайдіть наближене значення синуса, косинуса й тангенса для кутів 35°, 70°, 115°, 130° і 165°. Накресліть у зошиті та заповніть таблицю 6. Таблиця 6 α 35° 70° 115° 130° 165° sin α cos α tg α 114°. Який знак мають sin α, cos α і tg α, якщо 0° < α < 90°? Відповідь поясніть. 115°. Який знак мають sin α, cos α і tg α, якщо 90° < α < 180°? Відповідь поясніть. 28

Координати і вектори на площині

116°. Накресліть у зошиті таблицю 7. У таблиці поставте знак «+», якщо sin α, cos α або tg α — додатний, і знак «–», якщо від’ємний. Таблиця 7 α 0° < α < 90° 90° < α < 180° sin α cos α tg α 117°. Гострим чи тупим є кут α, якщо: 1) його косинус від’ємний; 2) його косинус додатний; 3) його тангенс від’ємний? Відповідь поясніть. 118°. Гострим чи тупим є кут α, якщо: 1) його тангенс додатний; 2) його косинус від’ємний? Відповідь поясніть. 119°. Обчисліть: 1) 3 cos 0° – 2 sin 90°; 2) 4 sin 0° – 5 cos 180°; 3) 6 sin 90° – 3 tg 180°. 120°. Обчисліть: 8 sin 180° + 2 cos 90°. 121°. Знайдіть sin α, якщо: 1) cos α = –1; 2) cos α = 0; 3) cos α = 1. 122°. Знайдіть cos α, якщо: 1) sin α = 1; 2) sin α = 0. 123°. Обчисліть: 1) sin2 9° + cos2 9°; 5) –(sin2 15° + cos2 15°); 2) sin2 109° + cos2 109°; 6) –(sin2 115° + cos2 115°); 3) sin2 22° + cos2 22°; 7) –sin2 92° – cos2 92°; 4) sin2 172° + cos2 172°; 8) –sin2 45° – cos2 45°. 124°. Обчисліть: 1) sin2 20° + cos2 20°; 2) –sin2 100° – cos2 100°. 125°. Спростіть вираз: 1) 1 + sin2 α + cos2 α; 8) –1 + cos2 α; 1 − cos2 α 2) 1 – sin2 α + cos2 α; 9) ; sin2 α − 1 1 − sin2 α . 3) 1 + sin2 α – cos2 α; 10) cos2 α − 1 4) –1 – sin2 α + cos2 α; 5) 1 – sin2 α; 6) 1 – cos2 α; 7) –1 + sin2 α; 29

Розділ 2

126°. Спростіть вираз: 1) 1 – sin2 α – cos2 α; 2) sin2 α – cos2 α + 1; 3) sin2 α – 1; 4) cos2 α – 1. 127°. Спростіть вираз: 1) sin (180° – α); 4) cos (90° – α); 2) tg (180° – α); 5) cos (90° – α) – sin α; 3) cos (180° – α) + cos α; 6) sin (90° – α) + cos α. 128°. Спростіть вираз: 1) cos (180° – α); 2) sin (90° – α); 3) cos (90° – α) – sin (180° – α). 129°. Виразіть синуси кутів 110°, 125°, 150°, 165°, 176° через синуси гострих кутів. 130°. Виразіть синуси кутів 91°, 92°, 93° через синуси гострих кутів. 131°. Виразіть косинуси кутів 105°, 120°, 122°, 145°, 160° через косину си гострих кутів. 132°. Виразіть косинуси кутів 93°, 94°, 95° через косинуси гострих кутів. 133°. Спростіть вираз: 1) 3sin (180° – α) – 2sin (180° – α); 2) tg (180° – α) · sin (90° – α); 3) sin (180° – α) + cos (90° – α). 134°. Спростіть вираз: sin (90° – α) + cos (180° – α). 135. Чи можуть синус або косинус кута від 0° до 180° дорівнювати: 1) –0,6; 2) 0,8; 3) 3? Відповідь поясніть. 136. Чи може тангенс кута дорівнювати: 1) 8; 2) 0,01; 3) 200? Відповідь поясніть. 137. α — кут трикутника. Які з величин sin α, cos α, tg α можуть бути від’ємними та за яких умов? 30

Координати і вектори на площині

138. Скориставшись малюнком 31, обґрунтуй те твердження: 1) якщо кут α збільшується від 0° до 90°, то синус цього кута збільшується від 0 до 1, а косинус — зменшується від 1 до 0; 2) якщо кут α збільшується від 90° до 180°, то синус цього кута зменшується від 1 до 0, а косинус — зменшується від 0 до –1. 139. Якщо α, β, γ — кути трикутника, то який знак має сума: 1) sin α + sin β + sin γ; 2) cos α + cos β + cos γ? Відповідь поясніть.

Мал. 31

140. Якщо α, β, γ — кути трикутника, то який знак має сума: α β γ tg + tg + tg ? 2 2 2 Відповідь поясніть. 141. Гострий чи тупий кут α, якщо: 1) sin α · cos α > 0; 2) sin α · cos α < 0? Відповідь поясніть. 142. Гострий чи тупий кут α, якщо cos α · tg α < 0? Відповідь поясніть. 143. Яких значень може набувати сума: 1) sin α + 1; 2) cos α + 0,5? 144. Яких значень може набувати сума sin α + 0,2? 145. Визначте знак різниці: 1) sin 145° – sin 169°; 2) cos 178° – cos 153°; 3) tg 163° – tg 121°. 146. Який знак має добуток: 1) cos 10° · sin 120° · tg 105°; 2) sin 40° · cos 153° · tg 15°? 147. Який знак має добуток: tg 110° · tg 160° · sin 150°? 148. Обчисліть: 6sin90° sin30° cos0° 1) ; cos180° 2) a2 sin 90° – b2 cos 0° – c2 cos 180°, якщо a = 4, b = 3, c = –5. 149. Обчисліть: 8 cos 60° + 2 sin 90° – 10 cos 180°. 150. Знайдіть tg α, якщо: 3 4 1) cos α = –1; 2) sin α = 1; 3) sin α = ; 4) cos α = − . 5 5 31

Розділ 2

151. Побудуйте кут α, якщо: 1 1) sin α = ; 2) sin α = 0,5. 3 Скільки розв’язків має задача? 152. Побудуйте кут α, якщо: 1) cos α = 0,4; 2) cos = –0,5. 153. За якого значення α тотожність tg α =

sin α не справджується? cos α

Відповідь поясніть. 154. Спростіть вираз: 1) 1 – sin α · cos α · tg α; 3) sin α – sin α · cos2 α; 2) (1 + sin α)tg2 α · (1 – sin α); 4) tg2 α – sin2 α · tg2 α. 155. Спростіть вираз: 1) 2 – sin2 α – cos2 α; 2) tg2 α · (2cos2 α + sin2 α – 1). 156. Доведіть тотожність: 1) (1 + tg2 α) cos4 α + sin2 α = 1; 2) cos2 α + tg2 α · cos2 α = 1; 3) (sin2 α + tg2 α + cos2 α) · cos2 α = 1. 157. Доведіть тотожність: (cos α – sin α) · (cos α + sin α) = 1 – 2 sin2 α. 158. Чи існує кут α, для якого: 3 1 1 3 1) sin α = і cos α = ; 2) sin α = і cos α = ? 4 4 2 2 3 4 159. Чи існує кут α, для якого sin α = і cos α = ? 5 5 cos α 160. Знайдіть + sin α , якщо: tg α 1) sin α = 0,5; 2) sin α = 0,1; 3) sin α = 0,2. 161. Знайдіть cos α і tg α, якщо: 3 1) sin α = і 0° < α < 90°; 3) sin α = 0,8 і 0° < α < 90°. 5 12 і 90° < α < 180°; 2) sin α = 13 162. Знайдіть sin α і tg α, якщо: 5 15 1) cos α = − ; 2) cos α = ; 3) sin α = 0,6. 13 17 163. Знайдіть sin α і cos α, якщо: 3 11 1) tg α = ; 2) tg α = 2,4; 3) tg α = . 4 60 32

Координати і вектори на площині

164. Знайдіть 3sin(180° – α) + 2cos(90° – α), якщо: 1) sin α = 0,6; 2) sin α = 0,4; 3) sin α = 0,2. 165. Спростіть вираз: 2cos ( 90° − α ) − 2sin2 α ; 1) 1 − sin2 α 2sin2 (180° − α ) + 2cos ( 90° − α ) ⋅ cos α 2) ; sin α + cos α sin2 ( 90° − α ) − sin (180° − α ) cos ( 90° − α ) 3) . cos α − sin α cos (180° − α ) ⋅ tgα . 166. Спростіть вираз: sin ( 90° − α ) ⋅ tg (180° − α ) 167. Доведіть тотожність: sin ( 90° − α ) sin ( 90° − α ) 2tgα ; 1) − = 1 − sin α 1 + sin α 1 − cos2 ( 90° − α ) ⋅ tgα =1 ; 2) sin (180° − α ) cos α   1 3)  − 1  ⋅ tg2 (180° − α ) =1 . 2  cos ( 90° − α )    sin2 α − 1 2 168. Доведіть тотожність: ⋅ tg (180° − α ) = −1 . sin2 α 169*. Доведіть, що коли sin α = sin β, то або α = β, або α = 180°– β. 170*. Чи існує кут α, для якого: 1) sin α = cos α; 2) sin α = –сos α? 171*. Скориставшись одиничним півколом, доведіть: 1) sin (90° – α) = cos α; 2) cos (90° – α) = sin α. 172*. Доведіть нерівність sin α + cos α ≤ 1. 173*. У прямокутному трикутнику ABC гіпотенуза AB дорівнює 1. З вер шини C проведено висоту CD. Знайдіть AC, BC, AD, BD і CD, якщо ∠BAC = α. 174*. Спростіть вираз:

( sin α + cos α ) − 1 ; 2cos2 α − 1 1) ; 3) 2 2 sin α + cos α (1 + tgα ) − (1 − tgα ) 2

cos4 α − sin4 α 1 − sin4 α − cos4 α 2 ; 4) + α . tg cos2 α sin2 α cos2 α 33

Розділ 2

sin α + cos α , якщо: 1) tg α = 3; 2) tg α = 2; 3) tg α = 0. sin α − cos α cos α − sin α 5 176*. Обчисліть , якщо: 1) tg α = 0; 2) tg α = 2; 3) tg α = . cos α + sin α 2 177*. Знайдіть sin α · cos α, якщо sin α + cos α = m. 175*. Обчисліть

178*. Спростіть вираз: 1) sin4 α + cos4 α + 2sin2 (180° – α)sin2 (90° – α); 2) sin2 α · sin2 (90° – α) – sin2 α + sin4 α; 3) cos2 α · cos2 (90° – α) – cos2 α + cos4 α.

Проявіть компетентність 179. Визначте, який кут утворюється вна слідок обертання хвилинної стрілки протягом 25 хв. 180. Маховик дизеля робить 40 обертів за хвилину. Який кут опише його спиця OA (мал. 32) через 0,5 с? 181. Дві прямі дороги перетинаються під кутом 47°. На одній із цих доріг на відстані 6,5 км від перехрестя розташована автобусна зупин ка. Потрібно прокласти найко ротший шлях від цієї зупинки до іншої дороги. Знайдіть дов жину цього шляху.

Мал. 32

§ 3. Поняття рівняння фігури. Рівняння кола і прямої 1. Що таке рівняння фігури Ситуація. На уроці геометрії Оксана Миколаївна запропонувала учнівству 9-А класу з’ясувати, що є рівнянням фігури, та сформулювати відповідне твердження. Вона нагадала, що геометричну фігуру ми уявляємо складеною з точок, а кожну точку можна задати її координатами у прямокутній декартовій системі координат. Клас поділився на чотири групи. Кожна група здійснила «мозковий штурм» і представила свій результат. Початок твердження в усіх групах виявився однаковим, а от його закінчення відрізнялося значно.

Координати і вектори на площині

Рівнянням фігури в даній системі координат є… Група 1 … рівняння з однією змінною х.

Група 2 … рівняння з однією змінною у.

Група 3 Група 4 … рівняння з двома змінними х і … рівняння з двома змінними х у, яке задовольняють координати і у, яке задовольняють координа будь-якої точки координатної пло ти кожної точки даної фігури й не щини. задовольняють координати будьякої іншої точки. Чи є серед отриманих тверджень правильне? Так. Це твердження групи 4. Якщо для фігури F відомо її рівняння в деякій системі координат, то говорять: фігура F задана рівнянням у даній системі координат. Щоб установити, що в даній системі координат фігуру F задано певним рівнянням, потрібно довести два взаємно обернені твердження: 1) якщо точка належить фігурі F, то її координати задовольняють рівняння фігури F; 2) якщо координати деякої точки задовольняють рівняння фігури F, то ця точка належить фігурі F. 2. Рівняння кола

Запам’ятайте! Теорема (про рівняння кола) Коло із центром С (х0; y0) і радіусом R задає рівняння: (х – х0)2 + (y – y0)2 = R2. Дано: ХОY — прямокутна декартова система координат (мал. 33), коло із центром С (х0; y0) і радіусом R. Довести: дане коло задає рівняння (х – х0)2 + (y – y0)2 = R2. Доведення. Візьмемо довільну точку М (х; y) на колі. Тоді СМ = R або СМ2 = R2. Звідси одержимо: (х – х0)2 + (y – y0)2 = R2. (1)

Мал. 33

Оскільки точка М — довільна точка кола, то можна стверджувати, що координати будь-якої точки кола задовольняють рівняння (1). 35

Розділ 2

Навпаки, нехай координати деякої точки М1 (х1; y1) задовольняють рівняння (1). Тоді справджується рівність (х1 – х0)2 + (y1 – y0)2 = R2 або R=

( x1 − x0 ) + ( y1 − y0 ) . Остання рівність показує, що точка М1 (х1; y1) 2

віддалена від центра кола — точки С (х0; y0) — на відстань R, тобто точка М1 (х1; y1) належить цьому колу. НАСЛІДОК. Якщо центр кола міститься в початку координат, то рівняння кола має вигляд: х2 + у2 = R2. Справді, початок координат О має координати (0; 0), тому х0 = 0, y0 = 0 і рівняння (1) набуває вигляду: х2 + y2 = R2. Відомості про особливості рівняння кола наведено в таблиці 8. Таблиця 8 Радіус кола

Центр кола

Рівняння кола

С (х0; y0)

(х – х0)2 + (y – y0)2 = R2

С (0; 0)

х2 + y2 = R2

Задача 1 Коло, яке задано рівнянням (х + 1)2 + + (y – 2)2 = R2, дотикається до осі ОХ. Який раді ус даного кола?

Розв’язання Нехай С — центр кола. Його коор динати: С (–1; 2). Перпендикуляр СА до осі ОХ є радіусом даного кола (мал. 34), а його довжина дорівнює ординаті центра кола С. Тому R = 2. Мал. 34

3. Рівняння прямої Із курсу алгебри ви знаєте, що графіком функції у = 2х є пряма (мал. 35). Коорди нати кожної точки цієї прямої, наприклад О (0; 0) і А (1; 2), задовольняють її рівняння. І навпаки, яку б точку М з ко ординатами (х; 2х) ми не взяли, вона лежатиме на даній прямій. Це означає, що дану пряму задає рів Y няння у = 2х.

Запам’ятайте! Пряма, що проходить через початок координат, задається рівнянням: у = kх.

y = 2x M(x; 2x) A(1; 2)

1 O

1 Мал. 35

X 1 Координати і вектори на площині

Коефіцієнт k в цьому рівнянні називають кутовим коефіцієнтом прямої. На малюнку 36 ви бачите, що пряма а нахилена до додатної пів осі ОХ під кутом α. Із прямокутного трикутни ка ОМ1М (∠М1 = 90°) одержуємо: MM1 kx tg= α = = k. OM1 x Отже, кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута між даною прямою й додатною піввіссю ОХ: k = tg α.

a M(x; kx) kx

α x

Мал. 36

Як розміщується пряма у = kх у системі коорди B(0; b) нат залежно від знака кутового коефіцієнта?

N(x; kx + b) b

M(x; kx) Поміркуймо b (табл. 9). α x Таблиця M X 9 O 1

Рівняння прямої

у = 0,5х

у = –0,5х

у=0

Кутовий коефіцієнт

k>0

a k<0

k=0 A(x1; y1)

Кут між прямою і додатною піввіссю ОХ

гострий

тупийD

B(x2; y2) 0° M(x; y)

Зображення прямої

мал. 37

O X мал. 38 мал. 39 CM = x – x1 CA = y1 – y DB = x2 – x2 DA = y1 – y2

Y 2

−1 O Мал. 37

Мал. 38

Мал. 39

−3

1 O

Розділ 2

Пряма y = kx проходить через початок координат і розміщується: — у І і ІІІ координатних чвертях, якщо k > Y 0; — у ІІ і ІV координатних чвертях, якщо k < 0; — збігається з віссю ОХ, якщо k = 0. a Чи можна задати рівнянням пряму, що не про M(x; kx) kx ходить через початок координат і має кутовий α коефіцієнт k? x M1 X O Так. Нехай пряма c перетинає вісь ОY у c Y точці В (0; b) і має кутовий коефіцієнт k (мал. 40). N(x; kx + b) Позначимо на прямій c довільну точ b a ку N з абсцисою х та знайдемо її ордина B(0; b) ту у. Для цього через початок координат M(x; kx) проведемо пряму а || c. Вона має той самий b α кутовий коефіцієнт k, тому задається рів x M1 X O нянням у = kх. Нехай пряма, що проходить через точ Мал. 40 ку N паралельно осі ОY, перетинає пряму а в точці М, а вісь ОХ — у точці М1. Тоді Y одержимо: ММ1 = kх (оскільки М ∈ а), a NМ = ОВ = b (оскільки чотирикутник NМОВ — паралелограм за A(x1; y1) означенням), B(x2; y2) NМ1 = kх + b. D Отже, ордината точки N виражається через її абсцису так: у = kх + b. M(x; y) Оскільки точка N — довільна точка прямої c, то можна стверджува C ти, що координати будь-якої точки цієї прямої задовольняють рівняння O X у = kх + b. Обернене твердження доведіть самостійно. CM = x – x1 CA = y1 – y DB = x2 – x2 DA = y1 – y2

Запам’ятайте!

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вигляд: у = kх + b.

Y 2

Чи можна задати рівнянням пряму, що прохо −1 дить через дві точки? O Так. 38

−3

N(x; kx + b) Координати і вектори B(0; b) b aна площині M(x; kx) Нехай точки A і B містяться в першій координатній чверті, причому b α х1 < х2 і y1 > y2 (мал. 41). Через ці точки проведемо пряму а й позначи x M1 X мо на ній довільну точку М (х; y). Через точки ВOі М проведемо прямі, паралельні осі ОХ, через точку А — пряму, паралельну осі ОY. Точки їх перетину позначимо С і D. Одержали два подібні трикутники АСМ і АDВ (у них кут Y А — спільний і ∠ABD = ∠AMC). З подібності трикутників випливає: a A(x1; y1) CM CA = . DB DA B(x2; y2) D Виразимо довжини цих відрізків: M(x; y) СМ = х – х1, DВ = х2 – х1, СА = y1 – y, C DА = y1 – y2. O X Підставивши їх у пропорцію, одержимо CM = x – Мал. x1 41 CA = y1 – y x − x1 y1 − y x − x1 y − y1 рівність: = або = . DB = x2 – x2 DA = y1 – y2 x2 − x1 y1 − y2 x2 − x1 y2 − y1 Оскільки точка М — довільна точка прямої а, то можна стверджувати, що координати будь-якої точки цієї прямої задовольняють рівняння x − x1 y − y1 Y = . Обернене твердження доведіть самостійно. x2 − x1 y2 − y1 2 B Інші випадки розміщення точок А і В в системі координат розглянь те самостійно. −1 O

Запам’ятайте!

Рівняння прямої, що проходить через точки A(x1; y1) і B(x2; y2), −3 A x − x1 y − y1 має вигляд: = . x2 − x1 y2 − y1 Одержане рівняння можна звести до вигляду: (y2 – y1) х + (х1 – х2) y + (y1х2 – х1y2) = 0. Позначивши y2 – y1 = а, х1 – х2 = b, y1х2 – х1y2 = с, одержимо загальне рівняння прямої.

Запам’ятайте! Загальне рівняння прямої має вигляд: ах + by + с = 0. Відомості про види рівнянь прямої наведено в таблиці 10. 39

N(x; kx + b) B(0; b)

Розділ 2

M(x; kx) Таблиця 10

Назва виду рівняння прямої Загальне рівняння прямої Рівняння прямої, що проходить через дві точки Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом Рівняння прямої, що проходить через початок координат

α Особливості x M1 рівняння X O прямої а, b і с — числа, ах + by + с = 0 які одночасно Y не дорівнюють нулю Аa(х1; y1), В (х2; y2) — x − x1 y − y1 = точки, які A(x1; через y1) x2 − x1 y2 − y1 проходить пряма ; y2) B(xкоефіцієнт, k — кутовий 2 D у = kх + b b — відрізок, який M(x; y) відтинає пряма на осі ОY C O X у = kх k — кутовий коефіцієнт CM = x – x1 CA = y1 – y DB = x2 – x2 DA = y1 – y2

Рівняння прямої

Дізнайтеся більше 1. У вас могло виникнути запитання: Як аналітично задати відрізок; трикутник; квадрат? Розглянемо приклади. Нехай потрібно задати відрізок АВ прямої у = х – 2 (мал. 42). Зрозуміло, що координати кожної точки відрізка АВ задовольняють рівняння даної прямої. Але не кожна точка цієї прямої належить відрізку АВ. Кінці відрізка мають координати: А(–1; –3) і В(4; 2). Тому абсциси точок відрізка набувають значень від –1 до 4, а ординати — від –3 до 2. Отже, даний відрізок АВ задають системою:

y = 2x

M(x; 2x)

1 O

довжини діагоналі квадрата (дослідіть це самостійно). На малюнку 43 ви бачите квадрат АВСD, 3. рівняння якого x + y =

−1 O

y= x − 2,  −1 ≤ x ≤ 4, −3 ≤ y ≤ 2. 

Трикутник і квадрат можна задати аналітично, 2) відповідно, трьома та чотирма системами, A(1; що визначають їхні сторони. Особливим рівнянням задається квадрат, у якого вершини лежать a , де а — половина координат: x + y = 1 на осях X

3 C

Мал. 42

Y B 3

a M(x; kx) kx

−3

Мал. 43

2. Метод координат встановлює зв’язки між алгеброю та геометрією, надає допомогу як одній, так і іншій науці. Його основоположниками вважають французьких учених — Рене Декарта (1596–1650) і П’єра Ферма (1601–1655), які працювали незалежно один від одного. Однак наукові роботи П. Ферма стали широко відомими лише після смерті вченого, коли в 1669 р. його син опублікував збірник «Різні твори». П. Ферма вивів рівняння прямої, а також еліпса, гіперболи, параболи та інших ліній, що задаються рівняннями другого степеня.

’Є

Координати і вектори на площині

Р ФЕРМ

Словничок Українська Англійська/ English

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

рівняння фігури

Gleichung der Figur

équation d’une figure

equation of the figure

qr.orioncentr.com.ua/N0AZF

Пригадайте головне 1. Поясніть, що таке рівняння фігури. 2. Як установити, що фігура в даній системі координат задається певним рівнянням? 3. Яке рівняння задає коло в прямокутній декартовій системі координат? 4. Яким є рівняння кола із центром у початку координат? 5. Як розміщується в системі координат пряма у = kх? 6. Запишіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. 7. Яким є рівняння прямої, що проходить через дві точки? 8. Який вигляд має загальне рівняння прямої?

Усне тренування Обчисліть: 1) 36 + 144 ; 121 − 64 ; 49 + 196 ; 625 − 225 ; 112 – 82; 72 + 142; 252 – 152. 2) 62 + 122;

Розв’яжіть задачі 182'. Чи правильно, що коло із центром С (х0; у0) і радіусом R задає рівняння: 1) (х – х0) + (y – y0) = R; 2) (х – х0)2 + (y – y0)2 = R; 3) (х – х0)2 + (y – y0)2 = R2? 41

Розділ 2

183'. Чи правильно, що коло із центром О (0; 0) і радіусом R задає рівняння: 1) х + y = R; 3) х2 + y2 = R2? 2) х2 + y2 = R; 184'. Чи правильно, що дана пряма проходить через початок координат: 1) у = х + 1; 3) y = 3x ; y 2) у = –2х; 4)=

2x − 3 ?

185'. Нехай α — кут, який утворює пряма з додатною піввіссю осі ОХ. Чи правильно, що кутовий коефіцієнт прямої дорівнює: 1) cos α; 2) sin α; 3) tg α? 186'. Чи є дане рівняння рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом: x − x1 y − y1 1) у = kх + b; 2) aх + bу + c = 0; 3) = ? x2 − x1 y2 − y1 187'. Чи є дане рівняння рівнянням прямої, що проходить через дві точки: x − x1 y − y1 1) у = kх + b; 2) aх + bу + c = 0; 3) = ? x2 − x1 y2 − y1 188'. Чи є дане рівняння загальним рівнянням прямої: 1) у = kх + b; 2) aх + bу + c = 0; x − x1 y − y1 3) = ? x2 − x1 y2 − y1 189°. За даними на малюнках 44, 45 визначте координати центра С і радіус R кола. 190°. Визначте координати центра С і радіус R кола на малюнку 46.

Мал. 44

Мал. 45

191°. Побудуйте коло з даним центром С і радіусом R: 1) С (–1; 1), R = 3; 2) С (2; –1), R = 1. 192°. Побудуйте коло із центром С (–2; –3) і радіусом 4. 42

Мал. 46

Координати і вектори на площині

193°. Визначте координати центра й радіус кола, заданого рівнянням: 1) (х – 2)2 + (y – 1)2 = 16; 2) (х – 1)2 + (y – 3)2 = 3; 3) х2 + (y – 3)2 = 2; 4) (х + 1)2 + y2 = 49. 194°. Визначте координати центра й радіус кола, заданого рівнянням: 1) (х + 3)2 + (y – 4)2 = 5; 2) (х + 4)2 + (y – 1)2 = 25. 195°. Чи лежать точки А (–1; 2), В (2; –3), С (–6; –4), D (–5; 0) на колі: 1) (х + 4)2 + (y + 1)2 = 25; 2) х2 + (y – 3)2 = 2; 3) (х + 1)2 + (y – 2)2 = 36? 196°. Чи лежать точки О (0; 0) і Т (–2; 5) на колі (х + 2)2 + (y – 1)2 = 16? 197°. Складіть рівняння кола з радіусом R і центром у точці С, якщо: 1) R = 5, С (2; 1); 2) R = 5 , С (–2; –1). 198°. Складіть рівняння кола з радіусом 4 і центром у точці С (2; –2). 199°. Накресліть у зошиті та заповніть таблицю 11. Таблиця 11 Координати Координати кінців діаметра кола центра кола (5; –1) і (–5; –1) (6; 0) і (0; 8) (6; 8) і (0; 0) (–6; 0) і (2; –8) (–1; 6) і (7; –2)

Радіус кола

Рівняння кола

200°. Коло проходить через точки А і В, а його центр лежить на прямій АВ. Складіть рівняння кола, якщо: 1) А (–5; 2), В (1; –4); 2) А (5; –2), В (–1; 4). 201°. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки А(5; 2) і В(–1; –4), якщо його центр лежить на прямій АВ. 202°. Який кут — тупий чи гострий — утворює з додатною піввіссю осі ОХ пряма: 1) у = 3x; 3) у = –0,6x; 2) у = –7x; 4) у = 1,5x? 203°. Який кут — тупий чи гострий — утворює з додатною піввіссю осі ОХ пряма: 1) у = –2x; 2) у = 3,2x? 43

Розділ 2

204°. У яких координатних чвертях розміщується пряма: 1) у a= 0,33x; 2) у = –7,5x; 3) у = –6x; 4) у = 5,1x?

205°. У яких чвертях розміщується пряма: M(x; координатних kx) Y 1) уkx= –0,2x; 2) у = 2,3x? α 206°. Y у рівнянні прямої: x Назвіть M1 Xкутовий коефіцієнт O 1) у = х; 2) у = –2х; 3) yB= − 3x ; 4) y = 2x . 3 207°. Назвіть кутовий коефіцієнт у рівнянні прямої: 1) у = 3х; 2) у = –3х. O X c Y −1 3 208°. Яким є рівняння: A O C X N(x; kx + b) 1) осі абсцис; 2) B(0; b) b осі a ординат; 3) бісектриси першого й третього координатних кутів? D M(x; kx) b 209°. Яке рівняння бісектриси другого й четвертого координатних кутів? α 210°. Запишіть x M1 X координати: O 1) точки А, що лежить на осі абсцис; Y 2) точки B, що лежить на осі ординат; Y точки C, що лежить на бісектрисі першого й третього коорди 3) Y натних кутів. B 3 Y 1 a211°. Запишіть координати точки А, що лежить на бісектрисі другого координатних кутів. O A(xй ; четвертого y1) X 1 3 212°. На якому з малюнків (47 чи 48) зобра O A B(x2; y2) C X O жено пряму: D X −1 1) у =M(x; 3х –y)1; 2) у = –2х + 1? C Який відрізок на осі ординат відтинає + b) D O X задана пряма? Який у неї кутовий ко ефіцієнт? CM = x – x1 CA = y1 – y 213°. малюнку = y1 – y249 зображено пряму у = х – 2. Який відрізок на осі DB = x – x2НаDA 2 ординат відтинає задана пряма? Який у неї кутовий коефіцієнт? Y

Y 2 −1 O

)

X y y2

B 1 O

−1

X −2

−3 Мал. 47

Мал. 48

Мал. 49

Координати і вектори на площині

214°. Складіть рівняння прямих а і b, що проходять через точку А пара лельно вказаній осі координат. Накресліть у зошиті та заповніть таблицю 12 за зразком, наведеним у другому стовпчику. Таблиця 12 А (1; 2) А (–1; 2) А (–1; –2) А (4; 2) А (–4; 2) А (4; –2) а || ОХ

y=2

b || OY

x=1

215°. Побудуйте прямокутник, сторони якого лежать на прямих: 1) х = 2, х = 5, y = –2, y = 1; 2) х = –2, х = 6, y = 7, y = –1. Знайдіть периметр і площу даного прямокутника. 216°. Побудуйте прямокутник, сторони якого лежать на прямих: х = –9, х = 4, y = 2, y = 8. Знайдіть периметр і площу даного пря мокутника. 217°. Назвіть координати точок А і В (мал. 50, 51). Яке з наведених рівнянь (1 чи 2) задає пряму АВ: x +1 y − 2 x −1 y −1 1) = ; 2) = ? 2 + 1 −2 − 2 3 −1 2 −1 218°. Назвіть координати точок А і В на малюнку 52. Чи правильно x + 2 y +1 записано рівняння, яке задає пряму АВ: = ? 2 + 2 3 +1

Мал. 50

Мал. 51

Мал. 52

219°. Запишіть координати двох точок, через які проходить пряма: x − 4 y −1 x −0 y −3 1) = ; 2) = . −2 − 0 2 − 3 2 − 4 3 −1 Побудуйте дану пряму. 220°. Запишіть координати двох точок, через які проходить пряма x +1 y − 2 = . Побудуйте дану пряму. 3 + 1 −4 − 2 45

Розділ 2

221°. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки: 1) (–1; 2) і (2; –1); 2) (–3; 1) і (2; –2). 222°. Складіть рівняння прямої, що проходить через точки (2; –4) і (3; –1). 223°. Запишіть рівняння прямих, що містять сторони трикутника з вер шинами в точках: 1) А (2; –3), В (–2; 3) і С (6; –3); 2) А (1; –2), В (–1; 2) і С (5; 10). 224°. Запишіть рівняння прямих, що містять сторони трикутника з вер шинами в точках: М (–3; 5), Р (1; –3) і Т (2; 0). 225°. Чи лежать на одній прямій точки А, В і С, якщо: 1) А (–3; 2), В (2; 2), С (2; 14); 2) А (1; –2), В (5; –8), С (3; –5)? 226°. Чи лежать на одній прямій точки А, В і С, якщо: А (4; 2), В (0; –6), С (–4; –2)? 227. Коло із центром у точці (–2; 3) проходить через точку з координа тами: 1) (0; 3); 2) (–2; 4). Чи проходить дане коло через точки А (–4; 3), В (–2; 4), С (1; 3)? 228. Складіть рівняння кола із центром на прямій у = 4, що дотикаєть ся до осі абсцис у точці: 1) (–1; 0); 2) (2; 0). 229. Поясніть, чому прямі х = –5 і у = 5 не перетинають коло: 1) (х – 4)2 + (y + 5)2 = 25; 2) х2 + (y + 2)2 = 16. 230. Відстань від центра кола, заданого рівнянням (х – 1)2 + (y + 2)2 = 9, до прямої а дорівнює: 1) 1; 2) 3. Що можна сказати про взаємне розміщення прямої та кола? 231. Коло з діаметром АВ задано рівнянням (х + 2)2 + (y – 2)2 = 16. Зна йдіть координати точки В, якщо: 1) А (2; 2); 2) А (–2; 6). 232. Складіть рівняння кола, що проходить через точки А (2; 3) і В (–2; 3), якщо його радіус дорівнює: 1) 2 2; 2) 13. 233. Дано коло х2 + y2 = 25 і дві точки: 1) А (3; 4) і В (4; – 3); 2) А ( 2 5 ; − 5 ) і В (–1; 2 6 ). Доведіть, що АВ — хорда даного кола. 234. Складіть рівняння геометричного місця точок, віддалених на 5 одиниць від центра кола: 1) (х – 1)2 + (y + 2)2 = 9; 2) (х + 3)2 + (y + 1)2 = 36. 46

Координати і вектори на площині

235. Складіть рівняння кола, що дотикається до осей координат і прямої: 1) х = 2; 2) у = 5. 236. Складіть рівняння кола, що проходить через точку (3; 3) і дотика ється до осі абсцис та прямої: 1) y = 6; 2) х = –3. 237. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і нахилена до осі абсцис під кутом: 1) 45°; 2) 30°. 238. Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і нахилена до осі абсцис під кутом 60°. 239. Доведіть, що прямі у = kх і у = kх + b — паралельні або збігаються. 240. Якщо дві прямі паралельні, то їхні кутові коефіцієнти — рівні, і навпаки (мал. 53). Доведіть. 241. Яке рівняння задає пряму, що відтинає на осі ординат відрізок завдовжки 5 одиниць і проходить паралельно прямій: 1) y = 5х + 2; 2) y = –х – 15? 242. Складіть рівняння прямої, що відтинає на осі ординат відрізок завдовжки 2 одиниці й проходить паралельно прямій: y = 3х – 1.

Мал. 53

243. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку (–2; 1) й утворює з віссю абсцис кут: 1) 45°; 2) 60°.

(

)

244. Яке рівняння задає пряму, що проходить через точку 3; − 3 та утворює з віссю абсцис кут 30°? 245. Складіть рівняння прямих, що містять середні лінії трикутника ABC, якщо: 1) А (2; –3), В (–2; 3), С (6; –3); 2) А (1; –2), В (–1; 2), С (5; 10). 246. Складіть рівняння сторін рівнобедреного трикутника АВС, у якого: 1) А (–1; 2), В (3; 2), ∠ВАС = ∠АВС = 45°; 2) А (–2; –3), В (6; –3), ∠АСВ = 120°. 247. Складіть рівняння сторін квадрата, діагоналі якого лежать на осях координат і дорівнюють 2а. 248. Які кути утворює з осями координат пряма: 1) 3х – 3y + 1 = 0; 2) 2х + 2y – 5 = 0? 47

Розділ 2

249. Знайдіть довжину відрізка АВ, який відтинають осі координат від прямої: 1) 5х – 12y + 3 = 0; 2) 4х + 3y – 6 = 0. 250. Знайдіть довжину відрізка ВС, який відтинають осі координат від прямої 4х – 2y – 3 = 0. 251. Знайдіть координати вершини D паралелограма АВСD, якщо: 1) А (–2; –3), В (3; 1), С (–1; 2); 2) А (2; 3), В (–3; –1), С (4; 2). 252*. Складіть рівняння кола, що проходить через початок координат і точки: 1) (8; 0) і (0; 6); 2) (0; 16) і (12; 0). 253*. Складіть рівняння кола, що проходить через точки: 1) (4; 0), (0; 2), (4; 2); 2) (–1; 5), (–2; –2), (5; 5). 254*. Будь-яка пряма, що проходить через центр кола, перетинає його у двох точках. Доведіть. 255*. Знайдіть довжину хорд кола з кінцями на осях координат, якщо коло задано рівнянням: 1) (х – 3)2 + (y – 1)2 = 9; 2) (х – 1)2 + (y + 2)2 = 25. 256*. Яке рівняння задає коло, описане навколо прямокутника з верши нами в точках: 1) (0; 0), (24; 0), (24; 10) і (0; 10); 2) (0; 5), (8; 5), (8; –2) і (0; –2)? 257*. У коло х2 + y2 = 16 вписано рівносторонній трикутник. Знайдіть координати його вершин, якщо одна з них лежить у точці: 1) (0; 4); 2) (–4; 0). 258*. Знайдіть радіус і центр кола: 1) х2 + 8х + y2 – 10y – 41 = 0; 3) х2 – 4х + y2 + 4y = 16; 2) х2 – 10х + y2 + 6y = 0; 4) y2 = (х – 2)(6 – х). 259*. Дві прямі взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли добуток їхніх кутових коефіцієнтів дорівнює –1. Доведіть. 260*. Вершини трикутника мають координати А (0; 13), В (2; –1) і С (10; 3). Доведіть, що його медіани, проведені з вершин В і С, взаємно перпендикулярні. 261*. Яка умова перпендикулярності відрізків АВ і СD, якщо відомі координати їхніх кінців: А (а1; а2), В (b1; b2), С (c1; c2), D (d1; d2)? 262*. Складіть рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від двох даних точок: 1) (0; 0) і (а1; а2); 2) (а1; а2) і (b1; b2). 263*. Які рівняння мають дотичні до кола х2 + y2 = R2, що паралельні осі: 1) абсцис; 2) ординат? 48

Координати і вектори на площині

264*. Складіть рівняння дотичної до кола х2 + y2 = R2 у точці М (х0; у0). 265*. На якій відстані від початку координат проходить пряма: 1) у = kх + b; 2) ах + by + с = 0? 266*. Як знайти відстань від точки М (х0 ; у0) до прямої, заданої рівнян ням: 1) у = kх + b; 2) ах + by + с = 0?

Проявіть компетентність 267. Через яку кількість вузлів сітки проходить коло, центр якого міс титься в її вузлі, а радіус дорів нює 25 клітинкам? 268. Де на подвір’ї потрібно розмісти ти ліхтар, щоб хвіртка, криниця та вхід до будинку освітлювались однаково? 269. Як через даний вузол сітки про 1 2 і відносно горизон 2 3 тальної лінії сітки? А відносно вертикальної?

вести прямі з кутовими коефіцієнтами

270. Населені пункти А і В розташовані на відстані 8 км один від одного. З пункту А вийшов пішохід зі швидкістю 4 км/год, а назустріч йому з пункту В виїхав велосипедист зі швидкістю 12 км/год. За малюнком 54 поясніть: 1) як дізнатися про те, який час до зустрічі були в дорозі пішо хід і велосипедист; 2) на якій відстані від пункту А пішохід і велосипедист зустрі лися.

Мал. 54

Розділ 2

§ 4. Поняття вектора. Дії над векторами 1. Що таке вектор Ситуація. Юрій Петрович дав завдання учнівству 9-А класу пригадати з курсу фізики, що таке скалярні й векторні величини, та навести відповідні приклади. Ірина й Максим вийшли до дошки й записали свої результати.

Ірина Скалярна величина (скаляр) характеризується лише числовим значенням Приклади: довжина, температура, маса

Максим Векторна величина (вектор) характеризується числовим значенням, напрямом і точкою прикладання Приклади: сила, швидкість

Максим додав, що силу зображають напрямленим відрізком, а її дія залежить від точки прикладання (мал. 55, 56).

Мал. 55

Мал. 56

Юрій Петрович похвалив Ірину й Максима за правильні відповіді. Однак він наголосив, що в геометрії вектор трактують дещо інакше. Що таке геометричний вектор? Поміркуймо. На малюнку 57 ви бачите на столі тацю з деякими предметами. Якщо тацю переставити в інше місце на столі (мал. 58), то для опису цієї зміни розміщення таці на столі ми вкажемо її напрям (наприклад, пересунути праворуч) і відстань (наприклад, до правого краю стола). У такий спосіб ми задамо вектор, на який потрібно перемістити тацю. При цьому кож ний предмет, що є на таці, переміститься на той самий вектор. Міркуючи геометрично, можна сказати, що під час переміщення площини на задану відстань і в указаному напрямі переміщуються всі 50

Координати і вектори на площині

точки площини. А їх безліч. Тому в геометрії абстрагуються від точки прикладання як характеристики векторної величини й називають таку векторну величину геометричним вектором.

Мал. 57

Мал. 58

Зображенням геометричного вектора на площині є всі напрямлені відрізки, які мають ту саму довжину й однаковий напрям. Чи можна на аркуші паперу побудувати повне зображення геометричного вектора? Ні. Повне зображення геометричного вектора, як і зображення всієї прямої чи площини, побудува ти неможливо. Тому, як і в фізиці, геометричний вектор зображають лише одним напрямленим відрізком (мал. 59). Початок і кінець цього на Мал. 59 прямленого відрізка задають довжину та напрям решти відповідних напрямлених відрізків. Його можна називати представником вектора. Надалі будемо коротко говорити — вектор. Будь-яка впорядкована пара точок визначає вектор. Щоб задати вектор, достатньо вказати його початок і кінець. На малюнку 60 ви бачите вектор з початком у точці А й кінцем у точці В.  Коротко записуємо: AB або AB . Риска або стрілка над назвою від різка замінює слово «вектор». Вектори можна позначати й мали   ми латинськими буквами: a або a , b або b (мал. 61).

Мал. 60

Мал. 61

Розділ 2

Вектор, у якого початок і кінець збігаються, називають нуль-вектором і позначають: 0 або  0 . Із нуль-вектором не пов’язують жодного на пряму. Довжиною або модулем вектора називають відстань між його початком і кінцем. На малюнку 62 вектор AB має довжину 2 см.

Мал. 62

Коротко записуємо: AB = 2 см, і говоримо: довжина (модуль) век тора АВ дорівнює двом сантиметрам. Довжина нуль-вектора дорівнює нулю. Вектор, довжина якого до рівнює 1, називають одиничним вектором. Його позначають так: e . За означенням, e = 1. 2. Колінеарні вектори. Рівні вектори Два ненульові вектори називають колінеарними, якщо вони пара лельні одній прямій. На малюнку 63 ви бачите два колінеарні вектори a і b . Можемо записати: a || b . Колінеарні вектори a і b , зображені на малюнку 63, мають однаковий напрям. Їх називають співнапрямленими й записують: a ↑↑ b . На малюнку 64 вектори c і d також є колінеарни ми, але протилежно напрямленими. Їх позначають так: c ↑↓ d.

Мал. 63

Мал. 64

Запам’ятайте! Вектори називаються рівними, якщо вони співнапрямлені й мають рівні довжини. На малюнку 65 ви бачите рівні вектори a і b . Коротко записуємо: a = b, і говоримо: вектор a дорівнює вектору b. Якщо два вектори мають рівні модулі, але протилежні напрями, то їх називають протилежними векторами. На малюнку 66 вектори c і d є протилежними. Можемо записати: c = −d. 52

Координати і вектори на площині

Мал. 65

Мал. 66

Задача 1

На сторонах квадрата АВСD задано вектори AB, BC, CD і AD (мал. 67). Доведіть AB = −CD.

векторні

рівності:

AD = BC

Розв’язання Оскільки АВСD — квадрат, то дані вектори мають рівні довжини:

AD = BC

AB = CD . За умовою, AD ↑↑ BC, але AB ↑↓ CD. Тому AD = BC за означенням рівних векторів, а AB = −CD за означенням протилежних векторів.

Мал. 67

Чи рівні вектори AD і AB в розглянутій задачі? Ні, бо ці вектори неколінеарні. Щоб установити рівність векторів, перевірте виконання двох вимог: 1) дані вектори є співнапрямленими; 2) дані вектори мають рівні довжини. 3. Дії над векторами Які дії можна виконувати над векторами? Вектори можна додавати, віднімати та множити на число. Щоб виконувати дії над векторами, треба вміти відкладати вектор від заданої точки. Поміркуємо, як це робити. Для будь-якого вектора a та деякої точки О існує лише одна точка М, така, що OM = a (мал. 68). Побудову точки М називають відкладанням вектора a від точки О. 53

Розділ 2

Мал. 68

Мал. 69

Мал. 70

3.1. Додавання векторів. Правило трикутника Нехай дано два вектори a і b . Від довільної точки А відкладемо вектор AB = a , потім від точки В — вектор BC = b (мал. 69). Початок вектора AB і кінець вектора BC задають век Мал. 71 тор AC = c . Вектор c називають сумою векторів a і b . Можемо записати: c= a + b . Якщо будувати суму AC неколінеарних векторів AB і BC , спираючись на означення, Мал. 72 то утвориться трикутник АВС (мал. 70). Тому цей спосіб знаходження суми називають правилом трикутника. Його можна застосувати до будь-яких двох векторів, зокрема колінеарних. На малюнках 71 і 72 ви бачите, як знаходять суму співнапрямлених векторів (мал. 71) і протилежно напрямлених векто рів (мал. 72). Для будь-яких трьох точок А, В і С справджується рівність: AB + BC = AC. 3.2. Додавання векторів. Правило паралелограма Суму двох неколінеарних векторів a і b можна знайти інакше — за правилом паралелограма. Для цього від довільної точки А потрібно відкласти вектори AB = a і AD = b , а потім по будувати паралелограм АВСD (мал. 73). Тоді вектор AC дорівнює a + b . 54

Мал. 73

Координати і вектори на площині

Чи можна правило паралелограма застосувати до колінеарних векторів? Ні, оскільки на таких векторах не можна побудувати паралелограм. Відмінності в застосуванні двох правил додавання векторів ви бачи те в таблиці 13. Таблиця 13 Дано

Побудова правило трикутника

правило паралелограма

правило трикутника

правило паралелограма 3.3. Віднімання векторів Різницею векторів a і b називають такий вектор c= a − b, який при додаванні до вектора b дає вектор a . Іншими словами, з рівності c= a − b a . Звідси, щоб побудувати вектор c= a − b , випливає рівність c + b = потрібно від довільної точки А відкласти вектори AB = a і AC = b, (мал. 74). Тоді вектор CB = c є різницею a − b. Для будь-яких трьох точок А, В і С справджується рівність: AB − AC = CB. 55

Розділ 2

Мал. 74

Мал. 75

Мал. 76

Мал. 77

Задача 2 На сторонах паралелограма АBМC задано вектори AB і AC (мал. 75). Виразіть через дані вектори діагоналі паралелограма.

Розв’язання

1. У паралелограмі АBМС проведемо діагональ АМ (мал. 76). За правилом паралелограма: AM = AB + AC. 2. У паралелограмі АBМC проведемо діагональ СВ (мал. 77). Вектор CB дорівнює різниці векторів AB і AC за означенням. Отже, CB = AB − AC. Щоб знайти суму й різницю неколінеарних векторів AB і AC , які відкладено від спільного початку А, побудуйте паралелограм АBМC. Тоді: = AB + AC (мал. 76); 1) AM = AB − AC (мал. 77). 2) CB 3.4. Множення вектора на число Добутком ненульового вектора a на число k ≠ 0 називають вектор d , довжина якого дорівнює добутку довжини вектора a на модуль числа k, а напрям збігається з напрямом вектора a , якщо k > 0, і протилежний напряму вектора a , якщо k < 0. 56

Координати і вектори на площині

Коротко записуємо: d= k ⋅ a. За означенням добутку вектора на число: 1) d= k ⋅ a ; 2) d ↑↑ a , якщо k > 0 (мал. 78); 3) d ↑↓ a , якщо k < 0 (мал. 79).

(k<0)

(k>0) Мал. 78

Мал. 79

Добуток нуль-вектора на число та вектора на число 0 є нуль-вектором: k ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0. Властивості додавання векторів і множення вектора на число наве дено в таблиці 14. Таблиця 14 Властивості Додавання векторів

Множення вектора на число

a+0 = a

1⋅ a = a Переставний закон

a+b =b+a

k⋅a = a⋅k Сполучний закон

( a + b ) + c =a + (b + c )

(

)

k ⋅ m ⋅ a =( k ⋅ m ) ⋅ a

Перший розподільний закон k ⋅ a + m ⋅ a = (k + m) ⋅ a Другий розподільний закон

(

k⋅a + k⋅b = k⋅ a + b

( )

a + −a =0

) −1 ⋅ a =−a k⋅0 = 0⋅a = 0 57

Розділ 2

Дізнайтеся більше 1. Назву «вектор» (vector у перекладі з латинської — той, що несе) запровадив ірландський математик Вільям Ровен Гамільтон (1805–1865). Позначення AB для напрямленого відрізка вперше в 1806 р. використав швейцарський математик Жан Робер Арган (1768–1822). Починаючи з 1853 р., вектор стали позначати й однією буквою r , як це робив французький математик Огюстен Луї Коші (1789–1857). Позначення AB почали застосовувати лише у ХХ ст. 2. Термін «модуль» походить від латинського слова modulus — міра. Його вперше став використовувати англійський математик Р. Котес (1682–1716). Знак модуля числа x у 1841 р. увів видатний німецький математик К. Вейєрштрасс (1815–1897). Термін «колінеарний» походить від латинського сполучення: co (cum) — разом, спільно, lineo — лінія. 3. У вас могло виникнути запитання: Як доводять векторні рівності? Розглянемо приклад. Щоб довести векторну рівність a + b = b + a , потрібно: 1) побудувати вектор a + b; 2) побудувати вектор b + a; 3) довести, що побудовані вектори рівні. Нехай дано неколінеарні вектори a і b (випадок колінеарності векторів a і b розгляньте самостійно). Від довільної точки А відкладемо вектор AB = a, а від точки В — вектор BC = b (мал. 80). Тоді маємо: AC = AB + BC =+ a b. (1)

Мал. 80

Мал. 81

Доповнимо трикутник АВС до паралелограма АВСD так, щоб сторона АС цього трикутника була діагоналлю паралелограма. Тоді DC = AB = a, AD = BC = b і AC = AD + DC =+ b a. (2) З рівностей (1) і (2) випливає, що a + b = b + a . 4. Щоб побудувати суму кількох векторів, застосовують правило многокутника. Якщо вектори побудовано так, що початок другого вектора збігається з кінцем першого вектора, початок третього — з кінцем другого і т. д., то сума дорівнює вектору, початок якого збігається з початком першого, а кінець — з кінцем останнього вектора. На малюнку 81 ви бачите, як знайшли суму векторів a , b , c і d.

Координати і вектори на площині

Словничок Українська Англійська/ English

вектор

vector

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

Vektor, m

vecteur

qr.orioncentr.com.ua/hzBjg

Пригадайте головне 1. Поясніть, що таке вектор. Як його зображають; позначають? 2. Як задати вектор? 3. Що таке довжина або модуль вектора? 4. Який вектор називають нуль-вектором; одиничним вектором? 5. Які вектори називають колінеарними; співнапрямленими; протилежно напрямленими? Як їх позначають? 6. Сформулюйте означення рівних векторів. 7. Які вектори називають протилежними? 8. Що називають сумою двох векторів; різницею двох векторів? Які властивості має додавання векторів? 9. Поясніть, як додати два вектори за правилом трикутника / паралелограма. 10. Що таке добуток вектора на число? Які його властивості?

Усне тренування 1. Подайте у сантиметрах: 2 мм, 2 дм, 2 м, 2 км. 2. Подайте у дециметрах: 6 мм, 6 см, 6 м, 6 км. 3. Подайте у метрах: 10 мм, 10 см, 10 дм, 10 км.

Розв’яжіть задачі 271'. Чи правильно, що вектор зображають: 1) точкою; 3) напрямленим відрізком? 2) відрізком; 272'. Чи правильно, що вектор задають: 1) його початком; 3) його початком і кінцем? 2) його кінцем; 273'. Чи правильно, що модуль вектора — це: 1) точка; 2) відрізок; 3) число, що дорівнює відстані між початком і кінцем вектора? 274'. Чи правильно, що колінеарні вектори: 1) не паралельні одній прямій; 2) паралельні одній прямій? 59

Розділ 2

275'. Чи правильно, що вектори є рівними, якщо: 1) їхні довжини — рівні; 2) вони є колінеарними; 3) вони мають рівні довжини і є співнапрямленими? 276'. Чи правильно, що сумою двох векторів є: 1) число; 2) відрізок; 3) вектор? 277'. Чи правильно, що для знаходження суми двох векторів за прави лом трикутника початок другого вектора суміщають: 1) з початком першого вектора; 2) з кінцем першого вектора? 278'. Чи правильно, що для знаходження суми двох векторів за прави лом паралелограма початок другого вектора суміщають: 1) з початком першого вектора; 2) з кінцем першого вектора? 279'. Чи правильно, що для знаходження різниці двох векторів початок другого вектора суміщають: 1) з початком першого вектора; 2) з кінцем першого вектора? 280'. Чи правильно, що в паралелограмі, побудованому на двох векто рах зі спільним початком: 1) обидві діагоналі дорівнюють сумі цих векторів; 2) обидві діагоналі дорівнюють різниці цих векторів; 3) одна з діагоналей дорівнює сумі цих векторів, а інша — їхній різниці? 281'. Чи правильно, що добутком вектора на число є: 1) число; 2) відрізок; 3) вектор? 282'. Чи правильно, що, будуючи добуток вектора на додатне число, відмінне від числа 1, змінюють: 1) напрям вектора; 2) модуль вектора? 283'. Чи правильно, що, будуючи добуток век тора на від’ємне число, відмінне від числа –1, змінюють: 1) напрям вектора; 2) модуль вектора? 284°. На малюнку 82 назвіть: 1) усі зображені вектори; 2) вектори з початком у точці А. Зробіть відповідні записи. 285°. На малюнку 83 назвіть: 1) усі зображені вектори; 2) вектори з початком у точці D. Зробіть відповідні записи. 60

Мал. 82

Мал. 83

Координати і вектори на площині

286°. Вектор задано впорядкованою парою точок: 1) А і С; 2) С і А; 3) Н і Р; 4) Р і Н. Побудуйте вказаний вектор. Зробіть відповідний запис. 287°. Вектор задано впорядкованою парою точок: 1) О і Т; 2) Т і О. Побудуйте вказаний вектор. Зробіть відповідний запис. 288°. Як записати, що вектор AB має довжину: 1) 5 см; 2) 3 мм; 3) 0,027 дм? 289°. Вектор CD має довжину 3 см. Зробіть відповідний запис. 290°. Чому дорівнюють модулі векторів a , b , c і d на малюнку 84, якщо за одиницю довжини взято: 1) одну клітинку; 2) дві клітинки; 3) чотири клітинки? Чи є серед даних векторів одиничні вектори? 291°. На малюнку 85 за одиницю довжини взято дві клітинки. Чи є серед даних векторів одиничні вектори?

Мал. 84

Мал. 85

292°. На малюнку 84 назвіть вектори, що є: 1) колінеарними; 4) рівними; 2) співнапрямленими; 5) протилежними. 3) протилежно напрямленими; 293°. На малюнку 85 назвіть вектори, що є: 1) колінеарними; 4) рівними; 2) співнапрямленими; 5) протилежними. 3) протилежно напрямленими; 294°. Побудуйте вектори MN і PQ так, щоб: 1) MN ↑↑ PQ ; 3) MN ↑↑ PQ і MN = 3 см , PQ = 3 см . 2) MN = 3 см ; PQ = 3 см ; Чи можна стверджувати, що MN = PQ ? 61

Розділ 2

295°. Побудуйте паралелограм ABCD. На його сторонах і діагоналях позначте два вектори так, щоб вони були: 1) колінеарними; 4) рівними; 2) співнапрямленими; 5) протилежними. 3) протилежно напрямленими; 296°. Побудуйте квадрат ABCD. На його сторонах і діагоналях позначте два вектори так, щоб вони були: 1) колінеарними; 4) рівними; 2) співнапрямленими; 5) протилежними. 3) протилежно напрямленими; 297°. Чи можна задати рівні вектори, що визначаються вершинами рів ностороннього трикутника? А колінеарні вектори? А рівні за мо дулем вектори? 298°. Побудуйте рівносторонній трикутник ABC та його середні лінії. Чи можна позначити два вектори так, щоб вони були: 1) колінеарними; 4) рівними; 2) співнапрямленими; 5) протилежними? 3) протилежно напрямленими; 299°. Дано трапецію з основами: 1) AC і BD; 2) AB і CD. Чи правильно, що AB = CD ? Відповідь обґрунтуйте. 300°. Дано трапецію з основами AD і CB. Чи правильно, що AB = CD ? Відповідь обґрунтуйте. 301°. ABCD — ромб. Точка М — середина АВ. АB = 4. Знайдіть довжину векторів CD, BA, MB, AM, BC, DA. 302°. ABCD — квадрат. Точка О — середина АС. АС = 6. Знайдіть довжи ну векторів AO, AD, BO, AB. 303°. На малюнках 86, 87 назвіть вектор, що є сумою двох даних векторів. 304°. Який вектор на малюнку 88 є сумою двох даних векторів?

Мал. 86

Мал. 87

Мал. 88

Координати і вектори на площині

305°. Чи правильно застосували правило трикутника для додавання векторів a і b (мал. 89–91)?

Мал. 89

Мал. 90

Мал. 91

306°. Який вектор дорівнює сумі векторів: 1) AM + MN; 2) AB + BC; 3) BK + KN? 307°. Який вектор дорівнює сумі векторів: 1) PO + OM; 2) AC + CB? 308°. ABC — трикутник. Побудуйте суму векторів: 1) AB і BC; 2) AC і CB; 3) BC і CA. 309°. Точки А, В і С не лежать на одній прямій. Знайдіть суму векторів: 1) AB + BC; 2) AB + BA; 3) AB + BC + CA. 310°. На малюнках 92 і 93 для даних векторів a , b і c побудовано їх суми: a + b , a + c і b + c . Поясніть за малюнком: 1) від якої точки відкладали перший доданок; 2) від якої точки відкладали другий доданок; 3) який вектор дорівнює сумі двох доданків.

Мал. 92

Мал. 93

Розділ 2

311°. Точки А, В і С лежать на одній прямій. Знайдіть суму векторів: 1) AB + BC; 2) AB + BA; 3) AB + BC + CA. 312°. Побудуйте паралелограм ABKL та знайдіть суму векторів: 1) KL + KB; 2) BA + BK; 3) AB + KL. 313°. Побудуйте паралелограм BKLМ та знайдіть суму векторів: 1) KL + KB; 2) LM + LK. 314°. Задайте два неколінеарні вектори a і b та побудуйте їх суму за правилом: 1) паралелограма; 2) трикутника. 315°. Задайте два неколінеарні вектори a і c та побудуйте їх суму за правилом: 1) паралелограма; 2) трикутника. 316°. На сусідніх сторонах паралелограма задано два вектори (мал. 94). Чому до рівнює третій із зображених векторів? 317°. На сусідніх сторонах паралелограма задано два вектори (мал. 95). Чому до рівнює третій із зображених векторів?

Мал. 94

Мал. 95

Координати і вектори на площині

318°. ABC — трикутник. Побудуйте різницю векторів: 1) AB і BC; 2) AC і CB. 319°. KLМ — трикутник. Побудуйте різницю векторів LM і MK . 320°. ABC — рівносторонній трикутник зі стороною 1. Яка довжина вектора: 1) AB + BC; 2) AB − AC; 3) AB + BC − CA ? 321°. На сторонах паралелограма ABCD задано вектори a і b (мал. 96–98). Побудуйте вектор: 1) a + b; 2) a − b; 3) b − a.

Мал. 96

Мал. 97

Мал. 98

322°. На малюнку 99 дано вектори a і b , c і d . Побудуйте суму й різницю кожної пари векторів. 323°. ABCD — квадрат зі стороною 1. Яка дов жина вектора: 1) AB + AD; 2) AB − AD; 3) AB − AD − DC?

Мал. 99

324°. За малюнками 100–103 установіть значення k в рівностях: 1) a= k ⋅ b; 2) b= k ⋅ a.

Мал. 100

Мал. 101

Мал. 102

Мал. 103

Розділ 2

325°. Накресліть таблицю 15 і в її клітинках поставте знак «+», якщо вектори відповідають указаній вимозі за даного значення k. Таблиця 15 Вектори a і k ⋅ a співнапрямлені протилежно напрямлені протилежні мають рівні довжини рівні

k=2

k = –0,5

k = 1 k = –1 k = 0,5 k = –2

326°. Задайте вектор a та побудуйте вектор: 1 2 1) 2a; 2) − a; 3) a. 3 3 327°. Задайте вектор a та побудуйте вектор: 1) 4a; 2) −4a; 3) 0,25a. 328°. Порівняйте напрями й довжини векторів: 1 1 1) 6a і −6a ; 2) −3a і a ; 3) a і −2a . 3 2 329°. Порівняйте напрями й довжини векторів: 1) 2a і −2a ; 2) −0,25a і a. 330. ABCD — трапеція. Точка М — точка перетину її діагоналей. Скіль ки ненульових векторів можна задати на сторонах, діагоналях і середній лінії трапеції, що мають початок: 1) у вершинах трапеції; 2) у точці М; 3) у серединах сторін трапеції? 331. ABC — трикутник, у якому проведено середні лінії. Точки M, Р і Т — середини сторін трикутника. Скільки ненульових векторів можна задати на сторонах і середніх лініях трикутника, що мають початок: 1) у вершинах трикутника; 2) у кожній із середин сторін трикутника? 332. Дано чотири точки. Скільки ненульових векторів з кінцями в цих точках можна побудувати? Розгляньте різні випадки розміщення даних точок на площині. 333. Дано три точки. Скільки ненульових векторів з кінцями в цих точках можна побудувати? Розгляньте різні випадки розміщення даних точок на площині. 66

Координати і вектори на площині

334. Точка В лежить між точками А і С. Точка М лежить між точками В і А. Серед векторів AB, BC , AM , BA, BM, CM і MA назвіть: 1) співнапрямлені вектори; 2) протилежно напрямлені вектори. 335. Побудуйте вектори AB і CD, якщо їхні довжини відповідно дорівнюють 4 см і 2 см та відомо, що ці вектори: 1) протилежно напрямлені; 2) співнапрямлені. Скільки розв’язків має задача? 336. Побудуйте вектори AB і CD, якщо їхні довжини дорівнюють по 1 см і дані вектори — колінеарні. Скільки розв’язків має задача? 337. Дано шестикутник, у якого кожна сторона має довжину 2 см, а кожний кут дорівнює 120°. Яку довжину має вектор, що визнача ється: 1) двома сусідніми вершинами; 2) кінцями більшої діагоналі; 3) кінцями меншої діагоналі; 4) вершиною й точкою перетину діагоналей? 338. ABCDEF — шестикутник, у якого всі сторони рівні й усі кути рів ні. Скільки пар рівних векторів з кінцями в його вершинах можна побудувати? 339. Знайдіть суму векторів AB, AC і CB, де А, В і С — три задані точ ки. Розгляньте два випадки. 340. Доведіть, що для векторів AB , BC й AC справджується нерівність: AC ≤ AB + BC . 341. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Чи рівні суми векторів: 1) AB + BC і DC + DA; 2) AB + BD і AC + CD? 342. Чотирикутник ABCD — ромб із гострим кутом A. Порівняйте суми модулів векторів: 1) AB + BC і DC + AD ; 2) AB + BD і AC + CD . 343. ABCKFP — шестикутник, кожна сторона якого дорівнює 2. Зна йдіть довжину вектора: 1) AB + BC + CP; 2) AB + BC + AP + FP + KF + KC. 344. Спростіть вираз: 1) BA − BC + 2 AC; 2) 2CD − DA − DC + CA. 345. Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює а. Знайдіть: 1) AB − AC ; 2) AB + AC ; 3) AB − CB . 67

Розділ 2

346. За якого значення k виконується рівність: AB + BC= k CB − AB ?

(

)

347. Дано вектори a і b . За якої умови вектори a + b і a − b — колі неарні? 348. Для яких ненульових векторів a і b виконується рівність: 1) a + b = a − b ; 2) a + b = a + b ? 349. У трикутнику АВС AB = c , AC = b , BC = a . Побудуйте вектор: a+b c+b 1) ; 2) . 2 2 350. Побудуйте вектор a . Збільште його довжину спочатку у 5 разів, а потім довжину вектора, який одержали, — у 2 рази. Скільки розв’язків має задача? 351. АВСD — паралелограм. Доведіть, що AC + BD = 2BC.

(

)

1 AB + AC . 2 353. О — точка перетину медіан трикутника АВС. Доведіть, що 1 = AO AB + AC . 3 354*. Яке геометричне місце точок визначає: 1) початок вектора a ; 2) кінець вектора a ? 352. АР — медіана трикутника АВС. Доведіть, що= AP

(

)

355*. Якщо в трикутнику АВС проведено медіани AA1, BB1 і CC1, 0. Доведіть. то AA1 + BB1 + CC1 = 356*. Щоб точка Q була точкою перетину медіан трикутника АВС, необ0. хідно й достатньо, щоб виконувалася рівність QA + QB + QC = Доведіть. 357*. Якщо М — точка перетину медіан трикутника АВС, то для будь3OM. Дове якої точки О справджується рівність: OA + OB + OC = діть. 358*. Медіани трикутників АВС і А1В1С1 перетинаються відповідно в 3OO1. точках О і О1. Доведіть, що AA1 + BB1 + CC1 = 359*. На колі з центром у точці О позначено точки А, В і С так, що OA + OB + OC = 0. Доведіть, що трикутник АВС — рівносторонній. 360*. Дано: чотирикутник АВСD, AD = AC − AB. Доведіть, що АВСD — паралелограм. 68

Координати і вектори на площині

361*. Дано точки А, В і С. Побудуйте точку D так, щоб виконувалася рівність: 0; 2) AB + 3BD = BC. 1) DA − 2DB − DC = 362*. Доведіть тотожність: 0. 1) − DB + BD − CD = 2BC + CD; 2) BA + DC + CD + BM + MA + 2 AB = 363*. Задайте вектори a, b і c та побудуйте вектор: 1) 4a + 6 b − 3c + a ; 2) − a − 8b + 4 2b + a .

(

)

(

) (

)

364*. Дано точки А, В, С і D. Точки М і N — середини відрізків АС і ВD. 1 Доведіть, що= MN AD + CB . 2 365*. Дано три точки А, В і С такі, що AC= k ⋅ CB. Доведіть, що для будьOA + k ⋅ OB якої точки О справджується рівність: OC = . 1+ k 366*. Доведіть, що точка M лежить на прямій AB тоді і тільки тоді, коли для довільної точки O справджується рівність: OM =k ⋅ OA + (1 − k ) OB, де k — будь-яке дійсне число.

(

)

Проявіть компетентність 367. Північний вітер змінився на: 1) північно-східний; 2) північно-західний; 3) східний. Покажіть початковий і кінцевий напрямок ві тру та напрямок його зміни. 368. Вулиця проходить за напрямком з північного сходу на південний захід. У якому напрямку проходить паралельна їй вулиця? А перпендикулярна? Зро біть малюнки, вважаючи верти кальний край аркуша в зошиті напрямком на північ. 369. Туристи пройшли від базово го табору в напрямку на північ 4 км й повернули на схід. Прой шовши за цим напрямком 1 км, вони пройшли на північ ще 2,5 км. Побудуйте напрямки їхнього руху на плані в масшта бі 1 км в 1 см.

Розділ 2

370. Моторний човен відчалює від берега річки з власною швидкіс тю v1 = 12 км/год, а течія річки має швидкість v2 = 4 км/год (мал. 104). 1. З якою швидкістю човен віддаляється від берега? 2. За який час човен опиниться посередині річки й на якій від стані від причалу, якщо ширина річки становить 6 км? Виконайте відповідні малюнки.

2 1= 12 êì/÷ 2= 4 êì/÷

Мал. 104

§ 5. Координати вектора. Скалярний добуток векторів 1. Координати вектора Ситуація. Перед початком уроку геометрії в 9-А класі Оксана Миколаївна заготовила на дошці малюнок і записи (мал. 105). Зображення зацікавило учнівство — було над чим поміркувати, зіставити й протиставити. Денис висловив гіпотезу, що вектор a є сумою векторів a1 і a2 . Але Ірина заперечила: «На малюнку немає векторів a1 і a2 . Це числа». Думки однокласників розділилися, але в одному учнівство було одностайним: числа а1 і а2 точно характеризують вектор a .

Координати і вектори на площині

Чи правильно, що числа а1 і а2 ха рактеризують вектор a ?

Так. Ви вже знаєте, що впорядкована пара то чок A і В визначає вектор AB. Нехай точки A і В мають координати: A (х1; y1), В (х2; y2) (мал. 105). Числа а1 = х2 – х1 і а2 = y2 – y1 на зивають координатами вектора a в даній системі координат. Вони характеризують довжину і напрям вектора a.

Мал. 105

Коротко записуємо: a ( a1 ; a2 ) , і говоримо: вектор a з координатами а1 і а2. Зрозуміло, що координати нуль-вектора дорівнюють нулю: 0 ( 0;0 ). Довжина вектора a ( a1 ; a2 ) дорівнює відстані між його початком і кінцем: = a

a12 + a22 .

Доведіть це самостійно.

Задача 1 Побудуйте вектор a ( 3; −4 ). Розв’язання Щоб побудувати вектор a , по трібно задати його початок і кінець у даній системі координат. Нехай початок вектора a (мал. 106) міститься в початку координат О(0; 0), а його кінець — у точці А(х1; y1). Тоді, за означенням координат вектора, 3 = х1 – 0, –4 = y1 – 0. Звідси х1 = 3, y1 = –4. Отже, точка А має координати (3; –4). Вектор OA = a — шуканий.

Мал. 106

Як побудувати вектор a , якщо його початок роз містити в іншій точці координатної площини? Поміркуймо. 71

Розділ 2

На малюнку 107 початок вектора a ( 3; − 4 ) міститься в точці С (1; 2), а кінець — у точці D (х2; y2). За означенням координат вектора, 3 = х2 – 1, –4 = y2 – 2. Звідси х2 = 4, y2 = –2. Отже, кінець вектора a міс титься в точці D (4; –2). Вектор CD = a — шуканий. Довжина і напрям вектора не залежать від розміщення його початку в системі координат.

Мал. 107

Наведемо без доведення інші важливі твердження. 1. Вектори рівні тоді й тільки тоді, коли їхні відповідні координати рівні (мал. 108).

Мал. 108

Мал. 109

2. Вектори колінеарні тоді й тільки тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні (мал. 109). 3. Щоб додати вектори, їхні відповідні координати додають. a ( a1 ; a2 ) + b ( b1; b2 ) =c ( a1 + b1; a2 + b2 ) 4. Щоб відняти вектори, їхні відповідні координати віднімають. a ( a1 ; a2 ) − b ( b1; b2 ) =c ( a1 − b1; a2 − b2 ) 5. Щоб помножити вектор на число, його координати множать на це число. ka ( a1 ; a2 ) = c ( ka1 ; ka2 ) 72

Координати і вектори на площині

Задача 2 Знайдіть модуль вектора 2a − 3b , якщо a ( 2; −1), b ( 4;0 ). Розв’язання Знайдемо координати вектора 2a − 3b .

( ) ( ) =( 4; −2 ) − (12;0 ) =( −8; −2 ) .

2a − 3= b 2 2; −1 − 3 ⋅ 4;0=

Обчислимо модуль одержаного вектора. 2a − 3b = =

64 + 4 =

( −8 ) + ( −2) = 2

68 =

4 ⋅17 = 2 17.

2. Дія скалярного множення векторів та її властивості Чи існують інші дії над векторами, крім додавання та множення вектора на число? Так. Вектори можна множити один на одного. Але, на відміну від чисел, результатом такого множення може бути і число, і вектор. Тому такі дві дії над векторами розрізняють і першу з них називають скалярним множенням, а другу — векторним множенням. Ми вивчатимемо лише ска лярне множення векторів. Скалярний добуток векторів a і b записують так: a b . Щоб з’ясувати, як виконувати скалярне мно ження двох векторів, спочатку введемо поняття кута між векторами. На малюнку 110 ви бачите два вектори a і b . Відкладемо від точки О вектори OA = a і OB = b . Промені ОА і ОВ утворюють кут АОВ, який називають кутом між векторами a і b .  Коротко записуємо: a; b , і читаємо: кут

( )

Мал. 110

між векторами a і b . Якщо вектори a і b :

( )

 співнапрямлені, то a; b = 0° ;

( )

 протилежно напрямлені, то a;= b 180° . 73

Розділ 2

Запам’ятайте! Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, що дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними:  ab = a ⋅ b ⋅ cos a; b .

( )

Чим зумовлена назва скалярного добутку? Тим, що результатом цієї дії є число (скаляр). Особливі випадки скалярного множення векторів наведено в таблиці 16. Таблиця 16 Вектори

Скалярний добуток

Обґрунтування

a ↑↑ b (мал. 111)

a b= a ⋅ b

ab = a ⋅ b ⋅ cos0° = a ⋅ b ⋅1 = a ⋅ b

a ↑↓ b (мал. 112)

ab= −a⋅b

ab = a ⋅ b ⋅ cos180° = a ⋅ b ⋅ ( −1) = − a ⋅ b

a⊥b

ab=0

ab= a ⋅ b ⋅ cos90°= 0

a=b

aa= a

aa= a ⋅ a ⋅ cos0°= a

Мал. 111

Мал. 112

Добуток a a називають скалярним квадратом вектора a і позна 2

чають a . Cкалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини: 2

a = a . Властивості скалярного множення векторів наведено в таблиці 17. 74

Координати і вектори на площині

Таблиця 17 Переставний закон

ab = ba

Сполучний закон (відносно скалярного множника)

k ab (k ⋅ a ) b =⋅ ( a + b ) c =ac + bc

Розподільний закон

3. Скалярне множення векторів, заданих своїми координатами Чи можна знайти скалярний добуток двох векторів, заданих своїми координатами? Так. Якщо вектори задані координатами: a ( a1 ; a2 ) і b ( b1 ; b2 ) , то їх скалярний добуток дорівнює сумі добутків відповідних координат даних векторів: = ab a1 b1 + a2 b2 . Звідси одержимо такі факти: 1) умова перпендикулярності векторів a ( a1 ; a2 ) і b ( b1 ; b2 ) (мал. 113): a1b1 + a2b2 = 0; 2) формула для обчислення кута між векторами a ( a1 ; a2 ) і b ( b1 ; b2 ) :

( )

a⋅b  cos a= ;b = a b

a1b1 + a2b2 a + a22 ⋅ b12 + b22 2 1

Мал. 113

Дізнайтеся більше 1. Нехай вектор a ( a1;a2 ) відкладено від початку координат (мал. 114). Відкладемо на осях координат одиничні вектори e1 і e2 (їх ще називають координатними векторами), а також вектори OA1 і OA2 , з дов a1 ⋅ e1 , OA= a2 ⋅ e2. жинами відповідно а1 і а2. Тоді OA= 1 2 Вектор a дорівнює сумі векторів OA1 і OA2 . Звідси одержимо: a = OA1 + OA2 = a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2. Мал. 114

Розділ 2

Рівність a = a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2 називають розкладом вектора a за двома координатними векторами, а числа а1 і а2 — коефіцієнтами розкладу. Взагалі, розклад вектора за двома неколінеарними векторами — єдиний. Отже, координа тами вектора в певній системі координат є коефіцієнти розкладу даного вектора за координатними векторами. 2. Будь-який вектор можна розкласти не лише за координатними векторами, а за будь-якими двома ненульовими неколінеарними векторами. Розглянемо приклад. Нехай дано два ненульові неколінеарні вектори a і b та довільний вектор c . Відкладемо дані вектори від спільного початку О (мал. 115). Вектор c дорівнює сумі векторів OA і OB , колінеарних із векторами a і b відповідно. Тоді OA= m ⋅ a , OB= n ⋅ b , де m і n — деякі числа, що одМал. 115 ночасно не дорівнюють нулю. Звідси c = OA + OB = m ⋅ a + n ⋅ b. Отже, одержали розклад вектора c за векторами a і b . 3. У вас могло виникнути запитання: Як вивести формулу скалярного добутку двох векторів, заданих своїми координатами? Нехай дано вектори a ( a1; a2 ) і b ( b1; b2 ) . Розкладемо їх за координатними векторами e1 і e2 : a = a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2, b = b1 ⋅ e1 + b2 ⋅ e2. Застосувавши відповідні властивості скалярного добутку, одержимо: ab =

( a ⋅ e + a ⋅ e )(b ⋅ e + b ⋅ e ) = ( a b ) e + ( a b ) e e + ( a b ) e e + ( a b ) e . 1

1 1

2 1

1 2

2 1

2 2

2 2 Урахувавши, що e= e= 1, e1= e 2 e= 0, маємо: = ab a1b1 + a2b2. 2 e1 1 2 4. Термін «скалярний» походить від латинського слова scalaris, що означає — східчастий. Уперше його став уживати В.-Р. Гамільтон.

Словничок Українська Англійська/ English

скалярний добуток векторів

dot product of vectors

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

Skalarprodukt der Vektoren

produit scalaire de deux vecteurs

qr.orioncentr.com.ua/QBi8y

Пригадайте головне 1. Що називають координатами вектора? 2. Як знайти довжину вектора, заданого своїми координатами? 3. Які координати мають рівні вектори? Колінеарні вектори?

Координати і вектори на площині 4. Як знайти суму векторів, заданих своїми координатами; їх різницю? 5. Як помножити на число вектор, заданий своїми координатами? 6. Поясніть, що таке кут між двома векторами. 7. Сформулюйте означення скалярного добутку двох векторів. 8. Які властивості скалярного множення? 9. Чому дорівнює скалярний квадрат вектора? 10. Як знайти скалярний добуток векторів за їхніми координатами? 11. Яка умова перпендикулярності двох векторів? 12. За якою формулою знаходять кут між векторами?

Усне тренування Обчисліть: 1) 480 : 5 + 20 : 5; 35 · 7 – 15 · 7; 248 : 3 + 52 : 3; 2) 560 : 6 + 40 : 6; 42 · 8 – 32 · 8; 85 · 4 – 25 · 4.

Розв’яжіть задачі 371'. Чи правильно, що довжину вектора a ( 3; 4 ) можна знайти, обчис ливши значення виразу: 1) ± 32 + 42 ; 2) − 32 + 42 ; 3)

32 + 42 ?

372'. Чи правильно, що в рівних векторів відповідні координати: 1) нерівні; 2) рівні? 373'. Чи правильно, що в колінеарних векторів відповідні координати: 1) непропорційні; 2) пропорційні? 374'. Чи правильно, що координати суми векторів дорівнюють: 1) сумі координат векторів-доданків; 2) сумам відповідних координат векторів-доданків? 375'. Чи правильно, що координати добутку вектора на число дорівню ють: 1) добутку координат вектора; 2) добутку відповідних координат вектора на дане число? 376'. За допомогою транспортира з’ясуйте, який кут між векторами a і b на малюнках 116–118.

Мал. 116

Мал. 117

Мал. 118

Розділ 2

377'. За наведеним записом сформулюйте твердження для даних векторів:    1) ab = a ⋅ b ⋅ cos a; b ; 2) cd = c ⋅ d ⋅ cos c; d ; 3) pq = p ⋅ q ⋅ cos p; q .

( )

378'. Чи правильно, що скалярним добутком двох векторів є: 1) вектор; 2) скаляр (число)? 379'. Прочитайте формулу: 2

1) a = a ; 2) b = b ; 3) c = c . 380'. Чи правильно підставлено координати векторів a і b у формулу їх скалярного добутку: 1) a ( 2;3 ), b ( 4;5 ), ab = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5; 2) a ( −3; −4 ), b ( 2;5 ) , ab = ( −3 ) ⋅ ( −4 ) + 2 ⋅ 5; 3) a (1; −3 ), b ( −4;5 ), ab = 1 ⋅ ( −4 ) + ( −3 ) ⋅ 5? 381'. Чи правильно, що два вектори є взаємно перпендикулярними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює: 1) 1; 2) –1; 3) 0? 382°. За малюнками 119 і 120 знайдіть координати початку й кінця заданих векторів. 383°. Які координати початку й кінця вектора на малюнку 121? 384°. Які координати має вектор: 1) OA (мал. 119); 2) BC (мал. 120)?

Мал. 119

Мал. 120

385°. Які координати має вектор HT (мал. 121)? 386°. Яку довжину має вектор: 1) b ( b1 ; b2 ); 2) c ( c1 ; c2 ); 3) d ( d1 ; d2 ) ? 387°. Складіть вираз для обчислення довжини вектора: 1) p ( p1 ; p2 ); 2) t ( t1 ; t2 ). 78

Мал. 121

Координати і вектори на площині

388°. Чи є рівними вектори a і b , якщо: 1) a ( 2; −4 ) і b ( 2;4 ); 2) a ( 2; −4 ) і b ( −2;4 ); 3) a ( 2; −4 ) і b ( −2; −4 ); 4) a ( 2; −4 ) і b ( 2; −4 ) ? Відповідь поясніть. 389°. Чи є рівними вектори c і d , якщо: 1) c ( −3;1) і d ( 3; −1); 2) c ( −3;1) і d ( −3;1) ? Відповідь поясніть. 390°. Чи є колінеарними вектори a і b , якщо: 1) a ( 2; −4 ) і b ( 2;4 ); 3) a ( 2; −4 ) і b ( −2; −4 ); 2) a ( 2; −4 ) і b ( −2;4 ); 4) a ( 2; −4 ) і b ( 2; −4 ) ? Чи є дані вектори рівними; протилежними? Відповідь поясніть. 391°. Серед даних векторів знайдіть колінеарні вектори: a ( 3;2 ), b ( 6;4 ), c ( 2;3 ) , d ( −6; −4 ) , h (1,5;1) , k ( −3;4 ), p (15;10 ), t ( −9; −6 ). 392°. Чи є колінеарними вектори c і d , якщо: 1) c ( −3;1) і d ( 3; −1); 2) c ( −3;1) і d ( −3;1) ? Відповідь поясніть. 393°. Знайдіть координати вектора AB , якщо: 1) А (–1; 5), В (2; 5); 2) А (–4; 6), В (1; 0); 3) А (1; 1), В (3; –9). Побудуйте даний вектор. 394°. Накресліть у зошиті таблицю 18 і заповніть її. А В AB

(1;4) (0;–3)

(5;2) (2;–2)

(6;–6)

Таблиця 18 (5;7) (2;1) (11;9)

AB ( 8;5 ) AB ( 4;3 ) AB ( −3;5 ) AB ( 3;0 )

395°. Знайдіть координати вектора AB , якщо: 1) А (0; 3), В (1; –1); 2) А (–3; –3), В (2; 2). Побудуйте даний вектор. 396°. Знайдіть довжину вектора a: 1) a(1;1); 2) a(4;3); 3) a(12; −5). 397°. Знайдіть довжину вектора AB , якщо відомі координати точок А і В: 1) А (10; 3), В (0; 5); 2) А (2; –1), В (5; 2); 3) А (–1; –2), В (1; 2). 79

Розділ 2

398°. Знайдіть довжину вектора a(−6; −8). 399°. Чи є одиничним вектор: 3 4 1) a(1;0); 2) b  ;  ? 5 5 400°. Доведіть, що вектор d(1;1) не є одиничним. 401°. Знайдіть координати суми та різниці векторів a і b , якщо: 1) a (1;2 ), b ( 3;4 ); 2) a ( −3;1), b ( 2; −4 ); 3) a ( −6; −2 ), b ( 6;2 ). 402°. Знайдіть координати суми та різниці векторів c і d , якщо: 1) c ( 2;1), d ( 4;3 ); 2) c (1; −3 ), d ( −4;2 ). 403°. Знайдіть координати суми векторів a і b (мал. 122). 404°. Чи є вектор c (5;2 ) сумою векторів a і b (мал. 123)?

Мал. 122

Мал. 123

405°. Дано вектор a (1;4 ). Знайдіть координати вектора: 1 1) 5a ; 2) −3a ; 3) a ; 4) −a. 2 406°. Дано вектор c ( 4; −2 ). Знайдіть координати вектора: 1) 0,5c ; 2) −2c. 407°. Дано: b (1;2 ), c ( −5;8 ). Знайдіть координати вектора a, якщо: 1) a= c − b; 2) a= b + 0,5c ; 3) 4a= b + c. 408°. Знайдіть модуль вектора 2a − b , якщо: 1) a ( 2;4 ), b ( −1;8 ); 2) a ( 0; −4 ), b ( 2;3 ). 409°. Знайдіть модуль вектора a + 2b , якщо a ( 4;2 ), b ( −8;1).

Координати і вектори на площині

410°. За даними на малюнках 124, 125 назвіть кут між векторами a і b . Яка його градусна міра? 411°. За даними на малюнку 126 назвіть кут між векторами a і b . Яка його градусна міра?

Мал. 124

Мал. 125

Мал. 126

412°. Обчисліть скалярний добуток векторів a і b , якщо:  1) a= 3, b= 5, a; b= 45°;

( )  a 3, = b 5, ( a;= b ) 135°; 2) =  3) a= b= 6, ( a; b= ) 60°;  4) a= b= 6, ( a; b= ) 120°;

a 5,= b 6, a ↑↑ b; 7)= a 5,= b 6, a ↑↓ b; 5)= 6)= a 2,= b 3, a ↑↓ b; 8)= a 2,= b 3, a ↑↑ b. 413°. Обчисліть скалярний добуток векторів a і b , якщо:   1) a= 2, b= 1, a; b= 30°; 2) = a 2, = b 1, a;= b 150°.

( )

414°. Чому дорівнює скалярний квадрат вектора, якщо вектор має дов жину: 1) a = 2; 2) b = 3; 3) c = 5? Зробіть відповідний запис. 415°. Знайдіть скалярний квадрат вектора, якщо: 1) p = 4; 2) m = 7. Зробіть відповідний запис. 416°. Знайдіть кут між векторами a і b , якщо: ab 2,= a 2,= b 1; 2) ab = −12, a = 3, b = 4. 1)= 81

Розділ 2

417°. Знайдіть кут між векторами a і b , якщо= ab 3 3,= a 2,= b 3. 418°. Знайдіть довжину вектора b , якщо:   1) ab = 2, a= 2, a; b= 45°. = 12, a= 2, a; b= 30°; 2) ab

( )

 419°. Знайдіть довжину вектора b , якщо ab = −6, a = 3, a; b = 120°. 420°. Яка довжина вектора a , якщо його скалярний квадрат дорівнює: 1) 2; 2) 8; 3) 9; 4) 12? Відповідь поясніть. 421°. Яка довжина вектора c , якщо його скалярний квадрат дорівнює: 1) 3; 2) 4? Відповідь поясніть. 422°. Знайдіть скалярний добуток векторів a і b , якщо: 1) a (5; −1), b (1;8 ); 3) a ( −1;2 ), b ( 2; −1); 2) a (1; −3 ), b ( −1;7 ) ; 4) a ( 0;1), b ( −1; −1). 423°. Знайдіть скалярний добуток векторів a і b , якщо: 1) a ( −5;1), b ( −1; −8 ); 2) a ( −1;3 ), b (1; −7 ). 424°. Доведіть, що вектори a і b взаємно перпендикулярні: 1) a ( −2;2 ), b (1;1); 3) a ( 3;2 ), b ( 4; −6 ); 2) a ( −1; −2 ), b ( 4; −2 ); 4) a ( 4;2 ), b ( −1;2 ). 425°. Що можна стверджувати про дані вектори, якщо:  1) ab = 0; 2) a ⊥ b; 3) a; b= 90° ?

( )

Зробіть відповідний запис. 426°. Що можна стверджувати про дані вектори, якщо:  1) pq = 0; 2) p ⊥ q; 3) p; q= 90° ?

( )

427°. Знайдіть кут між векторами: 1) a ( 2;0 ), b ( 0; −1); 3) a ( 6; −8 ), b (12;9 );

(

)

2) a 2;2 3 , b (1,5;0 ); 4) a ( −1;1), b ( 2; −2 ). 428°. Знайдіть кут між векторами: 1) a ( 0;2 ), b ( −1;0 ); 2) a 2 3;2 , b ( 0;1,5 ) .

(

)

429°. Знайдіть кут А трикутника АВС, якщо А (1; 1), В (5; 3), С (1; 7). 430°. Знайдіть кут А трикутника АВС, якщо А (1; 2), В (–1; 3), С (0; 0). 82

Координати і вектори на площині

431. Серед векторів AB, BC, CD, AD, AC, DA, BD знайдіть колінеарні вектори, якщо: 1) А (2; 3), В (2; –1), С (1; –1), D (1; 13); 2) А (–1; 2), В (0; –6), С (1; –4), D (–3; 6). 432. За якого значення λ вектори a ( 3;6 ) і b (1; λ ) колінеарні? 433. Знайдіть координати вектора, протилежного до вектора AB, якщо: 1) А (10; 9), В (1; 1); 2) А (4; –7), В (0; 6). 434. За якого значення λ вектор a (1; λ ) : 1) є одиничним; 2) має довжину, що дорівнює 3? 435. Модуль вектора λa дорівнює 8. Знайдіть λ, якщо: 1) a ( −1;1); 2) a ( 0; −4 ). 436. Побудуйте суму векторів AB і CD , якщо А (–1; 2), В (2; –1), С (1; –3) і D (–5; 3). Розв’яжіть задачу двома способами. 437. Знайдіть координати векторів: a + b ; −3a + b − 7c + d ; 5a − b + c − d та побудуйте їх, якщо: 1) a ( 2;0 ), b (1;4 ), c ( −1;1), d ( 0;2 ); 2) a ( 0; −5 ), b ( 2; −3 ) , c ( 3;7 ) , d (5;4 ) . 438. Побудуйте паралелограм на векторах OA ( 2;1) і OB (1;4 ) . Визначте довжини його діагоналей. 439. Відомі координати вершин трикутника АBC: А (6; 2), В (1; 1), С (–5; 9). Знайдіть координати вектора AM , якщо АМ — медіана даного трикутника. 440. Чи рівні вектори b + 3c та a − c , якщо: a (1;3 ), b ( −7; −5 ), c ( 2;2 ) ? 441. Побудуйте вектори a і b , скалярний добуток яких обчислюється за формулою: 1) ab = 3 ⋅ 2 ⋅ cos30°; 3) ab = 2 ⋅ 4 ⋅ cos90°; 2) ab = 1 ⋅ 3 ⋅ cos120°; 4) ab = 3 ⋅ 5 ⋅ cos180°. Скільки розв’язків має задача? 442. Яка особливість розміщення векторів a і b , якщо: 1) ab > 0; 2) ab < 0; 3) ab= a ⋅ b ; 4) ab = −a⋅b? 83

Розділ 2

443. Дано квадрат АВСD зі стороною завдовжки 1. Знайдіть: 1) AB ⋅ AD; 3) AB ⋅ DA; 5) AB ⋅ DC; 2) BA ⋅ BC; 4) AC ⋅ BD; 6) DA ⋅ BC. 444. На двох сусідніх сторонах паралелограма задано вектори a і b . Знайдіть довжини його діагоналей, якщо:   1) = a 3, = b 2, a;= b 120°; 2) a= 1, b= 2, a; b= 60°.

( )

445. Знайдіть a + b і a − b , якщо:

( )

  1) a= 5, b= 8, a; b= 60°; 2) a= 12, b= 5, a; b= 90°. 446. Вектори a і b взаємно перпендикулярні. Знайдіть a + b і a − b , якщо: 1)= a 3,= b 4; 2) = a 12, = b 5. 447. Доведіть, що чотирикутник ABCD — квадрат, якщо: 1) А (1; 2), В (4; 5), С (7; 2), D (4; –1); 2) А (3; –2), В (1; 1), С (4; 3), D (6; 0). 448*. Доведіть, що точки А (–1; 2), В (2; –1), С (1; –3) і D (–5; 3) є верши нами трапеції. 449*. Побудуйте вектор AB + AC + 2CA , якщо А (3; 3), В (–8; 1), С (4; –1). Розв’яжіть задачу двома способами. 450*. Побудуйте вектор 2a + 5c , якщо a ( 2;5 ), c ( −1; −1). Розв’яжіть задачу двома способами. 451*. На сторонах трикутника АВС задано вектори AB ( 2;10 ) і AC ( 6; −2 ) . Які координати мають вектори AM, BN, CP, що визначаються медіанами даного трикутника? Знайдіть довжини його медіан. 452*. Знайдіть координати вершин трикутника АВС та координати вектора CA, якщо: 1) А (1; –4), AB ( 0;6 ), BC ( 2; −1); 2) А (2; –5), AB ( 0;2 ), BC ( 4;2 ). 453*. Знайдіть координати вектора b, колінеарного з вектором a, якщо b = 10 і a ( 4;3 ). 454*. Визначте координати вектора d, якщо d ↑↓ c і: 5; 2) c (12;5 ), d = 75. 1) c (1; −2 ), d = 455*. Дано: AB= a + 2b, АВСD — трапеція. 84

BC = −4a − b,

CD = −5a − 3b.

Доведіть,

що

Координати і вектори на площині

456*. Знайдіть кут між векторами a + b і a − b: 1) a ( 2;4 ), b ( 3; −1); 2) a (1;3 ), b ( −5;1). 457*. За відомими модулями векторів a і b та кутом між ними знайдіть скалярний добуток векторів a − 3b і 2a + b , якщо:   1) a= 3, b= 4, a; b= 60°; 2) a= 2, b= 3, a; b= 90°.

( )

458*. Який кут утворюють одиничні вектори a і b, якщо вектори p= a + 2b і = q 5a − 4b взаємно перпендикулярні? 459*. Яким є кут між векторами a і b (гострим, прямим чи тупим), якщо: 1) a + b = a − b ; 2) a + b = a + b ; 3) a + b ≥ a − b ; 4) a + b ≤ a + b ? 460*. Доведіть нерівність − a b ≤ ab ≤ a b . 461*. Знайдіть кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах: 1) a ( 2;2 ) і b (5; −2 ) ; 2) a ( 2; −1) і b ( 2; −3 ) . 462*. Вершини трикутника містяться в точках A (0; 0), B (6; 0) і C (–3; 3). Знайдіть кут між стороною АВ та медіаною АМ. 463*. У рівнобічній трапеції ОАСВ: ВС = АС = 2, точки M і N — середини основ трапеції ОВ і АС відповідно. Гострий кут трапеції дорів нює 60°. Знайдіть кут між векторами OM і ON. 464*. Одиничні вектори a , b і c задовольняють умову: a + b + c = 0. Зна йдіть ab + bc + ac.

Проявіть компетентність 465. На тіло діють сили F1 (1;5 ) і F2 ( −4;7 ) . Знайдіть вектор рівно дійної сили. 466. Щоб зважити брусок вагою 10 Н за допомогою двох динамоме трів, розрахованих на вимірювання сили 5 Н, діють так: обидва динамометри укріплюють поряд на одному рівні, а брусок підвішують одразу до обох гачків динамометрів. Поясніть, чому так можна зважити брусок. 467. Знайдіть, яку роботу виконує сила F ( 4;7 ) , якщо її точка при кладання переміщується на вектор s ( −1;10 ) .

Розділ 2

468. Крайні точки України мають такі географічні координати: пів нічна (52°22′ пн. ш.; 33°11′ сх. д.), східна (49°15′ пн. ш.; 40°13′ сх. д.), південна (44°23′ пн. ш.; 33°46′ сх. д.), західна (48°25′ пн. ш.; 22°08′ сх. д.). Якщо провести умовні прямі через крайні північну й південну точки та крайні західну і східну точки, то чи можна переконатися в перпендикулярності цих прямих?

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 2 КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ 1. Поясніть, що таке прямокутна декартова система координат та як її ввести на площині. 2. Як визначити координати точки на координатній площині? 3. Сформулюйте та доведіть теорему про відстань між двома точками із заданими координатами. 4. За якими формулами знаходять координати середини відрізка? Виведіть ці формули. 5. Поясніть, що таке синус, косинус і тангенс кута від 0° до 180°. 6. Назвіть значення синуса й косинуса для кутів 0°, 90°, 180°. 7. Запишіть основні тотожності для sin α, cos α і tg α. 8. Поясніть, що таке рівняння фігури. 9. Яке рівняння задає коло?

Координати і вектори на площині 10. Які є види рівняння прямої? 11. Поясніть, що таке вектор, довжина та напрям вектора; як зображають вектор. 12. Які вектори називають колінеарними; співнапрямленими; протилежно напрямленими; рівними; протилежними? 13. Поясніть, як застосувати правило трикутника для додавання двох векторів. 14. Як знайти суму векторів за правилом паралелограма? А їхню різницю? 15. Які властивості додавання векторів і множення вектора на число? 16. Що таке координати вектора? 17. Як знайти довжину вектора, заданого своїми координатами; суму двох векторів; добуток вектора на число? 18. Що називають скалярним добутком двох векторів? Які його властивості?

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ Уважно прочитайте задачі та знайдіть серед запропонованих відповідей правильну. Для виконання тесту потрібно 10–15 хв.

1°. Знайдіть відстань між точками А(1; 2) і В(2; 1). A. 2. Б. 6. В. 2 . Г. 3 . 2°. Які координати має середина відрізка МН, якщо М(–3; 0), Н(5; 6)? A. (–3; 6). Б. (0; 5). В. (–4; 3). Г. (1; 3). 3°. ABCD — паралелограм. Який вектор дорівнює сумі векторів BA і BC? А. AC. В. AD. Б. BD. Г. DC. 4. Які координати має одиничний вектор a , перпендикулярний до вектора b ( 2;2 ) ?  2 2 А. (1; 1). В.  ; .  2 2     2 2 Б. (–2; –2). Г.  ;− .  2 2   5*. Обчисліть tg2 α – sin2 α · tg2 α, якщо sin α = 0,5. А. 2,5. В. 0,2. Б. 25. Г. 0,25. 87

Розділ 3. Розв’язування трикутників У розділі дізнаєтесь: про співвідношення між сторонами й кутами трикутника; про алгоритми знаходження невідомих сторін і кутів довільного трикутника за відомими його сторонами й кутами; як застосовувати вивчені алгоритми до розв’язування геометричних задач і задач практичного змісту; про нові формули для обчислення площі трикутника та як їх використовувати в розв’язуванні задач

§ 6. ТЕОРЕМА СИНУСІВ 1. Теорема синусів Ситуація. Під час облаштування паркової зони ландшафтний дизайнер має прокласти доріжки між трьома декоративними об’єктами — фонтаном (точка A), альтанкою (точка B) і клумбою (точка C), яка вже висаджена і не підлягає перенесенню. За планом ділянки доріжки від клумби розходяться під кутом 46°, а від фонтану — під кутом 58°, відстань від фонтану до клумби дорівнює 12 м.

Як визначити довжину двох інших доріжок? За допомогою теореми синусів.

Позначатимемо сторони трикутника через a, b, c, а протилежні їм кути — через α, β, γ або ∠A, ∠B, ∠С відповідно.

Запам’ятайте! Теорема синусів Сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів: a b c = = . sin α sin β sin γ Дано: ∆ABC, BC = a, AC = b, AB = c. a b c Довести: = = . sin A sin B sin C 88

Розв’язування трикутників

Доведення. Опишемо коло радіусом R навколо даного трикутника ABC (мал. 127). Через одну з вершин трикутника, наприклад A, проведе мо діаметр AC1 описаного кола. Трикутник ABC1 — прямокутний (∠B — прямий, як вписаний кут, що спирається на діаметр), тому c c = 2R · sin C1 або = 2R. sin C1 Якщо кут C — гострий (мал. 127), то ∠C = ∠C1 (як вписані кути, що спираються на одну дугу кола) і sin C1 = sin C.

Мал. 127

Мал. 128

Якщо кут C — тупий (мал. 128), то кут C1 — гострий, оскільки ∠C + ∠C1 = 180°. Звідси ∠C1 = 180° – ∠C. Отже, sin C1 = sin (180° – ∠C) = = sin C. c В обох випадках маємо, що = 2R. (1) sin C Якщо кут C — прямий (мал. 129), то c = 2R, sin C = sin 90° = 1 і рівність (1) також має місце. Аналогічні рівності знайдемо для кутів A і B трикутника. Отже, для будь-якого трикутника ABC: a b c = 2= 2= 2R, звідси R, R, sin A sin B sin C Мал. 129 a b c = = . sin A sin B sin C 2. Наслідки з теореми синусів Чи можна знайти сторону трикутника за радіу сом R описаного кола та кутом, що лежить проти цієї сторони? Так, за наслідком 1 з теореми синусів.

Розділ 3

Наслідок 1. У будь-якому трикутнику відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього a b c трикутника: = = = 2 R. sin A sin B sin C За наслідком 1 з теореми синусів випливає, що: a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C. Чи є залежність між мірами кутів трикутника та довжинами його сторін? Так. Наслідок 2. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти більшого кута лежить більша сторона. Спробуйте довести це самостійно, розглянувши гострокутний і тупо кутний трикутники. 3. Застосування теореми синусів Які елементи трикутника потрібно знати, щоб застосувати теорему синусів? Розглянемо задачі.

Задача 1 У трикутнику дано сторону a = 6 і прилеглі до неї кути: ∠B = 80°, ∠C = 30°. Знайдіть сторону b. Розв’язання a b = . sin A sin B

∠A = 180° – (30° + 80°) = 70°. За теоремою синусів

a sin B 6 ⋅ sin80° 6 ⋅ 0,985 = ≈ ≈ 6. Звідси b = sin A sin70° 0,940

Задача 2 У трикутнику дано сторони a = 8, b = 4 і ∠A = 48°, що лежить проти сторони a. Знайдіть ∠B. a b = . sin A sin B b sin A 4sin48° 4 ⋅ 0,743 = ≈ ≈ 0,372. Звідси sin B = a 8 8 Цьому значенню синуса відповідають два кути: 22° і 180° – 22° = = 158°. Оскільки a > b, то, за наслідком 2, ∠A > ∠B. Оскільки ∠A — гострий, то ∠B — також гострий. Отже, ∠B = 22°.

Розв’язання За теоремою синусів:

Розв’язування трикутників

Теорема синусів дає можливість знаходити невідомі сторони й кути трикутника: за стороною і прилеглими до неї кутами (задача 1); за двома сторонами й кутом, протилежним до однієї з них (задача 2). 1 1 Ви вже знаєте, що трикутники є елемента 1 1 ми прямокутного паралелепіпеда або піраміди. У прямокутному паралелепіпеді це прямокутні трикутники, утворені діагоналлю грані і двома її сторонами (наприклад, прямокутні трикутни ки АDС і СВА на малюнку 130) або діагоналлю паралелепіпеда, відповідною діагоналлю грані і ребром (наприклад, прямокутний трикутник Мал. 130 А1АС на малюнку 130). Елементами піраміди можуть бути будьякі трикутники: як прямокутні, так і гостро кутні або тупокутні. Основою піраміди, зобра женої на малюнку 131, є паралелограм АBСD, АС і BD — діагоналі основи, SО — висота пі раміди, SМ — перпендикуляр, проведений до сторони ВС. Ці відрізки утворюють прямо кутні трикутники (трикутники SМС, SМВ, SОС, SОВ), тупокутні (трикутники АВС і АDС) або гострокутні (трикутники ВСD і ВАD). Мал. 131 Теорему синусів можна застосовувати і в трикутниках, що є елементами прямокутного паралелепіпеда та піраміди.

Дізнайтеся більше 1. Ви вже знаєте, що бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін. Теорема синусів дозволяє спростити доведення цього математичного факту. Розглянемо таке доведення. Нехай AD — бісектриса трикутника ABC (мал. 132). Позначимо ∠CAD = ∠BAD = α, ∠ADB = β, тоді ∠ADC = 180° – β. Застосуємо теорему синусів до трикутників ABD і ACD: BD AB Із ∆ABD: = , (1) sin α sinβ CD AC = . із ∆ACD: sin α sin (180° − β ) Оскільки sin (180° – β) = sin β, то

Мал. 132

CD AC = . (2) sin α sinβ

Розділ 3

Поділимо почленно рівність (1) на рівність (2). Одержимо:

BD AB = , що й CD AC

треба було довести. Розв’язуючи задачу, ми ввели допоміжні кути α і β, яких не було дано в умові. Використавши теорему синусів, склали рівності (1) і (2). Потім, почленно поділивши ці рівності, позбулися синусів допоміжних кутів α і β й одержали шукану пропорцію. Такий спосіб розв’язування інколи називають способом введення допоміжного кута. 2. Гіпатія (370–415) — дочка відомого грецького вченого Теона. Вона народилася й жила в Александрії, була однією з найбільш ерудованих у математиці й астрономії людей у світі. Від Теона, знаменитого астронома і механіка, Гіпатія отримала перші знання з геометрії й астрономії. Вони жили в Мусейоні, у той час провідному науковому центрі Єгипту. Там же розміщувалась і Александрійська бібліотека, заснована й зібрана спадкоємцями Олександра Македонського. Гіпатія була настільки всебічно освіченою, що на її думку зважали всі вчені того часу. «Зберігай своє право на думку. Мислити неправильно краще, ніж не думати зовсім», — говорила Гіпатія. Вона зробила певний внесок у геометрію й астрономію, зіграла важливу роль у створенні астролябії, написала коментарі до праць Діофанта й Аполлонія. Але, на жаль, наукові праці Гіпатії не збереглися. Після смерті Гіпатії Александрійської протягом 1000 років в історії математики ми не зустрічаємо імен жінок.

Словничок Українська Англійська/ English

теорема синусів

law of sines

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

Sinussatz, m

loi des sinus

qr.orioncentr.com.ua/8tREW

Усне тренування Обчисліть: 1) (25 : 0,5 + 9 : 0,1 – 30) · 0,01; 2) 100 : (0,5 · 80 + 6 : 0,1) – 1.

Пригадайте головне 1. Сформулюйте теорему синусів. 2. Як знайти сторону трикутника за радіусом описаного кола й кутом, що лежить проти цієї сторони? 3. Яка залежність між мірами кутів трикутника та довжинами його сторін? 4. Сформулюйте дві задачі, які можна розв’язати за допомогою теореми синусів.

Розв’язування трикутників

Розв’яжіть задачі 469'. Який із записів правильний: a b c a b c 1) = = ; 3) = = ? sin B sin A sin C sin A sin B sin C a b c ; 2) = = ∠A ∠B ∠C 470'. Чи правильно, що в трикутнику АВС: 1) a = R sin В; 2) a = R sin A; 3) a = 2R sin A? 471'. Чи правильно, що в трикутнику проти більшої сторони лежить: 1) менший кут; 2) більший кут? 472'. Чи правильно, що в трикутнику проти меншого кута лежить: 1) менша сторона; 2) більша сторона? 473'. Чи правильно, що теорема синусів дає можливість знаходити в трикутнику: 1) тільки невідомі сторони; 2) тільки невідомі кути; 3) невідомі сторони й кути? 474'. Чи правильно, що теорема синусів дає можливість знаходити невідомі сторони й кути трикутника: 1) за трьома кутами; 2) за трьома сторонами; 3) за стороною і прилеглими до неї кутами; 4) за двома сторонами й кутом, протилежним до однієї з них? 475°. За даними на малюнку 133: 1) запишіть відношення кожної сторо ни трикутника до синуса протилежного кута; 2) знайдіть значення синусів цих кутів; 3) обчисліть кожне з відношень сторони трикутника до значення синуса проти лежного кута і зробіть висновок. 476°. За даними на малюнку 134: 1) запишіть відношення заданої сторони до синуса протилежного кута; 2) знайдіть значення цього відношення.

Мал. 133

Мал. 134

477°. За даними на малюнках 135, 136 обчисліть: 1) сторону a трикутника (мал. 135); 2) кут α трикутника (мал. 136). 93

Розділ 3

Мал. 135

Мал. 136

478°. Знайдіть сторону AC трикутника ABC, якщо: 1) c = 4 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°; 2) a = 6 см, ∠A = 60°, ∠B = 45°. 479°. Знайдіть сторону AC трикутника ABC, якщо c = 4 см, ∠A = 65°, ∠B = 75°. 480°. Знайдіть кут A трикутника ABC, якщо: 1) a = 2 см, b = 4 см, ∠B = 60°; 2) c = 8 см, a = 5 см, ∠C = 30°. 481°. Знайдіть кут A трикутника ABC, якщо b = 6 см, a = 4 см, ∠B = 45°. 482°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника, якщо проти сторони завдовжки 3 см лежить кут: 1) 30°; 2) 120°; 3) 135°. 483°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника, якщо проти сторони завдовжки 6 см лежить кут 60°. 484°. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює 8 см. Зна йдіть сторону, яка лежить проти кута: 1) 150°; 2) 45°; 3) 60°. 485°. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює 2 см. Зна йдіть сторону, яка лежить проти кута 30°. 486°. Яка зі сторін трикутника ABC (мал. 137) найбільша, а яка — найменша? 487°. Яка зі сторін трикутника ABC найменша, а яка — найбільша, якщо: 1) ∠A = 50°, ∠B = 20°; 2) ∠B = 40°, ∠C = 85°; 3) ∠A = 105°, ∠C = 32°? 488°. Порівняйте катети AC і BC прямокутного трикутника ABC, якщо: 1) ∠A = 46°; 2) ∠B = 51°; 3) ∠A = 65°. 94

Мал. 137

Розв’язування трикутників

489°. Який з кутів трикутника ABC (мал. 138) най більший, а який — найменший? 490°. Який з кутів трикутника ABC найбільший, а який — найменший, якщо: 1) a = 6 см, b = 8 см, c = 7 см; 2) a = b = c; 3) a > b > c?

Мал. 138

491°. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 9 см. Чи може кут, про тилежний до сторони завдовжки 7 см, бути: 1) тупим; 2) гострим; 3) прямим? 492°. Знайдіть сторони a і c трикутника ABC, якщо: b = 5 см, ∠A = 45°, ∠B = 30°. 493°. Знайдіть сторони a і c трикутника ABC, якщо b = 1 см, ∠A = 100°, ∠C = 50°. 494°. У трикутній піраміді SАВС сторона основи дорівнює 8 см, а проти лежний до неї кут — 30°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо основи піраміди. 495°. У трикутній піраміді SАВС радіус кола, описаного навколо осно ви, дорівнює 3 2 см, а сторона основи — 6 см. Знайдіть кут, що лежить проти цієї сторони. 496. Кути трикутника відносяться як 1 : 2 : 3. Як відносяться його сторони? 497. Знайдіть сторони b і c трикутника ABC, якщо: a = 8 см, ∠A : ∠B : ∠C = 4 : 2 : 3. 498. Знайдіть сторони b і c трикутника ABC, якщо: a = 6 см, ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 5 : 4. 499. Сторона трикутника дорівнює а, а прилеглі до неї кути — β і γ. Знайдіть дві інші сторони трикутника. 500. У трикутнику ABC a = 12 см, b = 5 см. Чи може sin B дорівнювати: 1) 0,25; 2) 0,5; 3) 0,75? 501. Знайдіть кути B і C трикутника ABC, якщо: 1) c = 20 см, a = 40 см, ∠A = 30°; 2) c = 30 см, a = 40 см, ∠A = 45°. 502. Що більше, основа чи бічна сторона рівнобедреного трикутника, якщо: 1) один з його кутів — тупий; 2) прилеглий до основи кут менший від 60°; 3) прилеглий до основи кут більший за 60°? 95

Розділ 3

503. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, а кут при основі — α. Знайдіть довжину бісектриси кута при основі, якщо: 1) a = 6 см, α = 30°; 2) a = 7 см, α = 20°. 504. Знайдіть сторони трикутника ABC, якщо ∠A = 45°, ∠C = 30°, а висота AD дорівнює 3 см. 505. У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠C = 30°. Знайдіть сторони a і c, якщо a – c = 5. 506. У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠C = 30°. Знайдіть сторони a і c, якщо a + c = 4. 507. У трикутнику ABC медіана BM утворює зі стороною AB більший кут, ніж зі стороною BC. Доведіть, що BC > AВ. 508. У прямокутному трикутнику ABC з вершини прямого кута C проведено медіану CM. ∠ACM > 45°. Який катет більший: AC чи BС? 509. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, а бічна сторона — b. Знайдіть радіус R кола, описаного навколо трикутника, якщо: 1) a = 24 см, b = 13 см; 2) a = 12 см, b = 10 см. 510. Діагональ d паралелограма ділить його кут на кути α і β. Знайдіть сторони паралелограма. 511. У паралелограмі ABCD діагональ BD утворює зі стороною AB біль ший кут, ніж зі стороною BC. Доведіть, що BC > AВ. 512. У паралелограмі ABCD AD = 8 см, BD = 4 см, ∠A = 22°. Знайдіть: 1) ∠BDC; 2) ∠DBC. 513. Діагональ трапеції, вписаної в коло, дорівнює 4 см. Знайдіть раді ус кола, якщо один з кутів трапеції дорівнює: 1) 135°; 2) 30°. 514. Діагональ трапеції, вписаної в коло, дорівнює 4 см. Знайдіть раді ус кола, якщо один з кутів трапеції дорівнює 120°. 515*. У рівнобічній трапеції менша основа дорівнює бічній стороні, біль ша основа дорівнює 10 см, а кут при основі — 70°. Знайдіть пери метр трапеції. 516*. Знайдіть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють a і b (a > b), а прилеглі до основи a кути — α і β. 517*. Виведіть формули для обчислення довжин відрізків, на які бісектриси кутів трикутника ABC ділять його протилежні сторони. 518*. Доведіть, що медіана трикутника ділить кут при вершині на час тини, синуси яких пропорційні до синусів відповідних кутів при основі. 96

Розв’язування трикутників

519*. Доведіть, що медіани трикутника точкою їх перетину діляться у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини. 520*. У колі через кінці хорди AB проведено дотичні, а через її точку K — пряму, що перетинає ці дотичні в точках C і D (мал. 139). Доведіть, що AC · KD = BD · KС. 521*. У трапеції ABCD з основами AB і CD кут A більший за кут B. Доведіть, що якщо AB > CD, то BC > AD. 522*. Діагоналі трапеції ABCD (AB || CD) пере тинаються в точці O. Доведіть, що якщо AC > BD, то AO > BO і CO > DO.

Мал. 139

523*. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, а кут при вершині — α. Знайдіть радіус кола, що проходить через центр вписаного в цей трикутник кола та кінці основи. 524*. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 1 см і 3 см, а бічна сторона — 2 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції. 525*. У ∆ABC точка D лежить на стороні AC. Доведіть, що відношення радіусів кіл, описаних навколо ∆ABD і ∆DBC, не залежить від ви бору точки D. 526*. O — точка перетину діагоналей описаного чотирикутника ABCD. Доведіть, що сума радіусів кіл, описаних навколо ∆AOB і ∆COD, дорівнює сумі радіусів кіл, описаних навколо ∆BOC і ∆AOD.

Проявіть компетентність 527. Знайдіть відстань від точки A до недоступної точки B, якщо AC = 50 м, ∠CAB = 80° і ∠ACB = 72° (мал. 140).

80° 72° À

50 ì

Мал. 140

Розділ 3

§ 7. ТЕОРЕМА КОСИНУСІВ 1. Теорема косинусів Ситуація. У кімнаті встановлено кутове вікно, що складається з двох віконних секцій однакової висоти, верхні краї яких утворюють між собою кут 120°. Ширина першої віконної секції дорівнює 2,4 м, а другої — 2,1 м. Мама хоче повісити декоративну штору, натягнувши її по прямій від одного краю вікна до іншого, у такий спосіб відгородивши простір у куті, який утворюють вікна. Чи підійде для цього шмат тканини завширшки 4 м?

Як можна без вимірювань визначити ширину штори? За допомогою теореми косинусів.

Запам’ятайте! Теорема косинусів Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.

2,1 ì 2,4 ì

120° Дано: ∆ABC, AB = c, AC = b, BC = a. Довести: a2 = b2 + c2 – 2bc · cos A. Доведення. Кут A трикутника ABC може бути гострим, тупим або прямим. Розглянемо ці випадки. 1. Кут A — гострий. Проведемо висоту CD до сторони AB (мал. 141) або до її продовження (мал. 142). Нехай ac і bc — проєкції сторін BC і AC на пряму AB, hc — висота CD. Із прямокутного трикутника 2 BCD : a= hc2 + ac2 . (1)

Мал. 141

Мал. 142

Розв’язування трикутників 2 Знайдемо hc2 і ac2 . Із прямокутного трикутника ACD : h= b2 − bc2 . c Оскільки ac = c – bc (мал. 141) або ac = bc – c (мал. 142), то в кожному 2 із цих випадків ac2 = ( c − bc ) =c2 − 2cbc + bc2 .

Підставивши

вирази

для

hc2

ac2

рівність

(1),

маємо:

a = b − b + c − 2cbc + b = b + c − 2cbc . Із прямокутного трикутника ACD: bc = b cos A. Отже, a2 = b2 + c2 – 2bc · cos A. 2. Кут A — тупий (мал. 143). Так само, як і в першому випадку, про водимо висоту CD і з прямокутного трикутника BCD знаходимо: 2 a= hc2 + ac2 . (1) 2

2 c

2 b2 − bc2 (із прямокутного трикутника Потім знаходимо hc2 і ac2 . h= c

ACD),

ac2 = ( c + bc ) =c2 + 2cbc + bc2 . 2

2 c

вирази для h

2 c

і a

Підставивши

у рівність (1), одержимо:

a = b − b + c + 2cbc + bc2 = b2 + c2 + 2cbc . Із прямо кутного трикутника ACD: bc = b cos (180° – ∠A) = = –b cos A. Тоді a2 = b2 + c2 – 2bc · cos A. 3. Кут A — прямий. У цьому випадку cos A = cos 90° = 0. За теоремою Піфагора, маємо: a2 = b2 + c2. Тоді a2 = b2 + c2 – 2bc · 0 = b2 + c2 – 2bc · cos A. 2

2 c

Мал. 143

Задача 1

У трикутнику дано сторони: a = 5, b = 8 і ∠C = 60° між ними. Знайдіть сторону c.

Розв’язання За теоремою косинусів: = c c2 = a2 + b2 – 2ab · cos C = 25 + 64 – 2 · 5 · 8 · 0,5 = 49,

= 49 7.

А якої ширини має бути штора в ситуації, розглянутій на початку параграфа? ≈ 3,9 м.

2. Знаходження кутів трикутника Як знайти кути трикутника за його трьома сторонами? Застосувати теорему косинусів.

Розділ 3

Задача 2 Дано сторони трикутника: a = 5, b = 6, c = 7. Знайдіть ∠A. Розв’язання З рівності a2 = b2 + c2 – 2bc · cos A знаходимо: = cos A

b2 + c2 − a2 36 + 49 − 25 = ≈ 0,714. 2bc 2 ⋅ 6 ⋅7

Звідси ∠A ≈ 44°. Так само можна обчислити ∠B і ∠C.

За допомогою теореми косинусів можна знайти: сторону трикутника за двома його сторонами та кутом між ними (задача 1); кути трикутника за трьома його сторонами (задача 2). Чи можна визначити вид трикутника за кутами, знаючи лише його сторони? Поміркуємо. Якщо ∠A — гострий, то cos A > 0 і a2 = b2 + c2 – 2bc · cos A < b2 + c2. Якщо ∠A — прямий, то cos A = cos 90° = 0 і a2 = b2 + c2 – 2bc · cos A = = b2 + c2. Якщо ∠A — тупий, то cos A < 0 і a2 = b2 + c2 – 2bc · cos A > b2 + c2. Правильним є і обернене твердження. ∠A — гострий, якщо a2 < b2 + c2; ∠A — прямий, якщо a2 = b2 + c2; ∠A — тупий, якщо a2 > b2 + c2. Наприклад, сторони трикутника дорівнюють 2 см, 3 см і 4 см. Пря мий або тупий кут може лежати проти більшої сторони. Тому визначимо вид кута, що лежить проти сторони 4 см. 42 > 22 + 32. Отже, цей кут ту пий, а трикутник — тупокутний.

Дізнайтеся більше 1. Поміркуємо над рівністю a2 = b2 + c2 – 2bc · cosA. Вираз bcos A дорівнює за модулем проєкції bc сторони AC на сторону AB (мал. 141) або її продовження (мал. 142). Знак виразу bcosA залежить від кута A: якщо кут A гострий, то беремо «+», якщо тупий, то «–». Звідси маємо наслідок: квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін «±» подвоєний добуток однієї з них на проєкцію іншої. Знак «+» беремо тоді, коли протилежний кут тупий, а знак «–», коли гострий. 2. Теорему косинусів називають іноді узагальненою теоремою Піфагора. Така назва пояснюється тим, що теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів. Справді, якщо в трикутнику ∠A — прямий, то cosA = cos 90° = 0 і з рівності a2 = b2 + c2 – 2bc · cosA одержимо: a2 = b2 + c2.

100

Розв’язування трикутників

3. Теорему косинусів можна довести через скалярне множення векторів. Нехай на сторонах трикутника АВС, у якому ∠ВАС = α й сторони мають довжини a, b і c, задано вектори AB = c, AC = b, BC = a (мал. 144). Виразимо, наприклад, вектор BC через вектори AC і AB . Маємо: BC = AC − AB. Тоді a= b − c. Знайдемо скалярний квадрат вектора a :

(

)(

)

Мал. 144

a = b − c b − c = b + c − 2bc. 2

В одержаній рівності розкриємо скалярний добуток векторів b і c за означенням: bc = b ⋅ c ⋅ cos α, та скористаємось тим, що скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини. Тоді одержимо: 2

a = b + c − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α або a2 = b2 + c2 – 2bc · соsα.

Словничок Українська Англійська/ English

теорема косинусів

law of cosines

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

Kosinussatz, m loi des cosinus

qr.orioncentr.com.ua/ChkV5

Пригадайте головне 1. Сформулюйте теорему косинусів. 2. Сформулюйте дві задачі, які можна розв’язати за допомогою теореми косинусів. 3. Як визначити вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний) за даними його сторонами?

Усне тренування Обчисліть: 1) 32 + 42 – 10; 2) 92 + 402 – 100;

52 + 122 + 31; 112 + 602 + 50;

72 + 242 – 600; 202 + 212 + 59.

Розв’яжіть задачі 528'. Який із записів правильний: 1) a2 = b2 + c2 – 2ac · cos B; 2) b2 = a2 + c2 – 2bc · cos B; 3) c2 = a2 + b2 – 2ab · cos C? 101

Розділ 3

529'. Чи правильно, що трикутник АВС є прямо кутним, якщо: 1) a2 < b2 + c2; 2) a2 = b2 + c2; 3) a2 > b2 + c2? 530'. Чи правильно, що ∠A є гострим, якщо: 1) a2 < b2 + c2; 2) a2 = b2 + c2; 3) a2 > b2 + c2? 531'. Чи правильно, що ∠A є тупим, якщо: 1) a2 < b2 + c2; 2) a2 = b2 + c2; 3) a2 > b2 + c2?

Мал. 145

532°. Скориставшись теоремою косинусів, запи шіть, чому дорівнює квадрат сторони x три кутника (мал. 145). 533°. За даними на малюнку 146 обчисліть сторону a трикутника. 534°. a, b, c — сторони трикутника ABC. За теоре мою косинусів запишіть квадрат сторони: 1) b, якщо ∠B = 45°; 6) c, якщо ∠C = 90°; 2) b, якщо ∠B = 135°; 7) a, якщо ∠A = 30°; 3) b, якщо ∠B = 90°; 8) a, якщо ∠A = 150°. 4) c, якщо ∠C = 60°; 9) a, якщо ∠A = 90°. 5) c, якщо ∠C = 120°;

Мал. 146

535°. Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо: 1) b = 3 см, c = 4 см, ∠A = 60°; 2) b = 3 см, c = 4 см, ∠A = 120°; 3) b = 3 см, c = 4 см, ∠A = 90°; 4) a = 8 3 см, c = 10 см, ∠B = 30°; 5) a = 8 3 см, c = 10 см, ∠B = 150°; 6) a = 8 3 см, c = 10 см, ∠B = 90°. 536°. Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо: 1) a = 4 см, b = 2 см, ∠C = 45°; 3) a = 4 см, b = 2 см, ∠C = 90°. 2) a = 4 см, b = 2 см, ∠C = 135°; 537°. Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо: 1) a = 7 см, b = 10 см, ∠C = 120°; 2) a = 2 см, c = 3 3 см, ∠B = 150°. 538°. Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо b = 8 см, c = 12 см, ∠A = 115°. 539°. Знайдіть cos B з рівності b2 = a2 + c2 – 2ac · cos B. 540°. За даними на малюнку 147 обчисліть cos α. 102

Розв’язування трикутників

541°. За даними на малюнку 148 обчисліть кут α трикутника.

Мал. 147

Мал. 148

542°. Обчисліть косинуси кутів трикутника ABC, якщо його сторони дорівнюють: 1) a = 8 см, b = 9 см, c = 10 см; 2) a = 3 см, b = 7 см, c = 8 см; 3) a = 4 см, b = 6 см, c = 7 см. 543°. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо його сторони дорівнюють: 1) a = 4 cм, b = 6 cм, c = 3 cм; 2) a = 3 cм, b = 2 cм, c = 4 cм. 544°. Знайдіть кути трикутника, якщо його сторони дорівнюють 5 см, 6 см, 7 см. 545°. За яких значень кута α квадрат сторони трикутника, що лежить проти цього кута: 1) менший від суми квадратів двох інших сторін; 2) дорівнює цій сумі; 3) більший за неї? 546°. Не обчислюючи кутів, установіть вид трикутника (відносно кутів), якщо його сторони дорівнюють: 1) 11 см, 17 см, 21 см; 3) 0,3 см, 0,5 см, 0,4 см. 2) 8 см, 10 см, 12 см; 547. Доведіть, що в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. 548. На сторонах кута A позначено дві точки M і N. Знайдіть відстань MN, якщо: 1) AM = 17 см, AN = 12 2 см, ∠A = 45°; 2) AM = 7 3 см, AN = 10 см, ∠A = 30°. 549. Сторони паралелограма дорівнюють a і b, а один з кутів — α. Знайдіть діагоналі паралелограма. 550. У паралелограмі ABCD AB = 6 см, AD = 10 см. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо кут A дорівнює: 1) 60°; 2) 48°; 3) 125°. 103

Розділ 3

551. Катети прямокутного трикутника ABC дорівнюють: AC = 4 см, BC = 3 см. На катеті BC побудовано рівносторонній трикутник BCD. Знайдіть довжину відрізка AD (розгляньте два випадки). 552. Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо: 1) a = 5 см, b = 7 см, sin C = 0,8; 2) b = 4 см, c = 10 см, sin A = 0,6. Скільки розв’язків має задача? 553. Скориставшись формулою a2 = b2 + c2 – 2bc · cosα, дослідіть, як змі нюється сторона a зі збільшенням кута α від 0° до 180° (при сталих значеннях b і c). 554. a, b, c — сторони трикутника ABC. Доведіть: 1) якщо a2 < b2 + c2, то ∠A — гострий; 2) якщо a2 > b2 + c2, то ∠A — тупий. 555. Знайдіть найбільший кут трикутника ABC, якщо: 1) a = 5 см, b = 3 см, c = 4 см; 2) a = 3 см, b = 4 см, c = 6 см; 3) a = 40 см, b = 13 см, c = 37 см. 556. Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін. 557. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо вони відносяться як 3 : 5, а сторони дорівнюють 13 см і 16 см. 558. Знайдіть сторони паралелограма, якщо вони відносяться як 1 : 2, а діагоналі дорівнюють 9 см і 13 см. 559. Одна зі сторін паралелограма на 1 см довша за іншу, а його діагона лі дорівнюють 7 см і 11 см. Знайдіть сторони паралелограма. 560. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 11 см. Одна з її бічних сторін дорівнює 8 см й утворює з основою кут 60°. Знайдіть діагоналі тра пеції. 561*. Доведіть, що медіану трикутника можна обчислити за формулою 1 m= 2b2 + 2c2 − a 2 . a 2 562*. Дві сторони трикутника дорівнюють 8 см і 15 см, а кут між ними — 120°. Знайдіть медіану, проведену до третьої сторони трикутника. 563*. Сторона трикутника дорівнює 26 см, а медіани, проведені до двох інших сторін, дорівнюють 15 см і 30 см. Знайдіть третю медіану трикутника. 564*. Бісектриса кута паралелограма ділить його сторону на відрізки завдовжки 5 см. Знайдіть діагональ паралелограма, якщо інша його діагональ дорівнює 9 см. 104

Розв’язування трикутників

565*. До даного кола радіусом R дотикаються два рівні менші кола раді усом r: одне — зсередини, інше — зовні. Дуга між точками дотику містить 60°. Знайдіть відстань між центрами менших кіл. 566*. У колі з центром O хорда AB паралельна діаметру CD (мал. 149). На діаметрі або його продовженні позначено довільну точку M. Доведіть, що сума AM2 + BM2 не залежить від положення хорди при зада ному положенні точки M. 567*. Для сторін трикутника виконується рів 2 a2 − ( b − c ) ність = 1. Доведіть, що один із b кутів трикутника дорівнює 60°.

Мал. 149

Проявіть компетентність 568. Футбольний м’яч перебуває в точці A футбольного поля на від стані 4,5 м і 9,4 м від основ B і C стійок воріт (мал. 150). Футбо ліст направляє м’яч у ворота. Знайдіть кут α влучення м’яча у ворота, якщо ширина воріт дорівнює 7 м. 569*. На будівництві залізниці на ділянці AB потрібно прокласти ту нель MN (мал. 151). За даними на малюнку поясніть, як зна йти довжину й напрямок тунелю. Обчисліть довжину тунелю. 570. Із пунктів А і В на березі моря, відстань між якими дорівнює 3 км, спостерігають за пароплавом, що рухається прямоліній но й рівномірно. У певний час пароплав було видно з пункту А під кутом 102° до напрямку АВ, а з пункту В — під кутом 51° до напрямку ВА. Через 10 хв кути змінилися й стали дорівню вати відповідно 84° і 74°. Знайдіть швидкість пароплава.

73 ì

7ì

M N 146 ì

5 37

À Мал. 150

92°

0ì

C Мал. 151

105

Розділ 3

§ 8. ЗНАХОДЖЕННЯ НЕВІДОМИХ ЕЛЕМЕНТІВ ТРИКУТНИКА 1. Алгоритми розв’язування трикутників Ситуація. У дідуся на даху будинку встановлено телевізійну антену, яка кріпиться до даху двома розтяжками. Одна з них вийшла з ладу, і дідусь попросив онука Івана визначити довжину шматка дроту для заміни зіпсованої розтяжки. За схемою, яка збереглася в дідуся, Іван з’ясував, що дві розтяжки мають різну довжину, відстань між точками їх кріплення до даху дорівнює 4,8 м. Робоча розтяжка завдовжки 3,84 м утворює кут 52° з прямою кріплення розтяжок на даху.

Як знайти довжину зіпсованої розтяжки? За допомогою теореми косинусів. Довжина розтяжки дорівнює 3,88 м. Задача, яку розв’язував Іван, є частиною задачі на розв’язування трикутника. Якби Івану треба було знайти й інші невідомі елементи трикутника (зокрема два невідомі кути), то це була б повна задача на розв’язування трикутника.

Запам’ятайте! Розв’язати трикутник означає знайти невідомі сторони та кути трикутника за відомими його сторонами й кутами. Можливі такі види задач, у яких вимагається розв’язати трикутник: 1) за двома сторонами й кутом між ними; 2) за стороною і прилеглими до неї кутами; 3) за трьома сторонами; 4) за двома сторонами й кутом, прилеглим до однієї з них.

Задача 1 Дано: b = 93, с = 65, ∠А = 42° (мал. 152). Знайти: а, ∠В, ∠С. B

Розв’язання 1. За теоремою косинусів: a2 = b2 + c2 – 2bc · cos А. a2 = 932 + 652 – 2 · 93 · 65 · cos 42° = 8649 + 4225 – – 12 090 · 0,743 ≈ 3890, a ≈ 3890 ≈ 62. 106

A Мал. 152

Розв’язування трикутників

2. Застосувавши теорему косинусів, одержимо: a2 + c2 − b2 3890 + 4225 − 8649 ≈ ≈ −0,066. 2ac 2 ⋅ 62 ⋅ 65 Отже, ∠В — тупий. Знайдемо гострий кут В1, косинус якого дорів нює 0,066. ∠В1 ≈ 86°. Тоді ∠В = 180° – ∠В1 ≈ 180° – 86° ≈ 94°. 3. ∠С = 180° – ∠А – ∠В ≈ 180° – 42° – 94° ≈ 44°. = cos B

Задача 2 Дано: с = 40, ∠А = 28°, ∠В = 31° (мал. 153). Знайти: а, b, ∠С. Розв’язання 1. ∠С = 180° – 28° – 31° = 121°.

a c = знаходимо сторону a: sin A sin C c sin A 40 ⋅ sin28° 40 ⋅ 0,469 = a = = ≈ 22. sin C sin121° 0,857 b c = знаходимо сторону b: 3. Із рівності sin B sin C c sin B 40 ⋅ sin31° 40 ⋅ 0,515 = b = = ≈ 24. sin C sin121° 0,857 2. Із рівності

Задача 3 Дано: а = 18, b = 24, с = 13 (мал. 154). Знайти: ∠А, ∠В, ∠С.

Мал. 153

B C

A Мал. 154

Розв’язання 1. За теоремою косинусів знаходимо ∠А:

b2 + c2 − a2 576 + 169 − 324 421 = = ≈ 0,675, ∠А ≈ 48°. 2bc 2 ⋅ 24 ⋅13 624 2. За теоремою косинусів: cos = A

a2 + c2 − b2 324 + 169 − 576 −83 = = ≈ −0,177. 2ac 2 ⋅18 ⋅13 468 Знайдемо гострий кут В1, косинус якого дорівнює 0,177. ∠В1 ≈ 80°. Тоді ∠В = 180° – ∠В1 ≈ 180° – 80° ≈ 100°. 3. ∠С = 180° – ∠А – ∠В ≈ 180° – 48° – 100° ≈ 32°. cos= B

Задача 4 Дано: а = 70, b = 65, ∠А = 40° (мал. 155). Знайти: c, ∠В, ∠С. Розв’язання 1. За теоремою синусів: b sin A 65 ⋅ sin40° 65 ⋅ 0,643 = ≈ ≈ 0,597. sin B = a 70 70 Цьому значенню синуса відповідають два кути: 37° і 143°. Оскільки b < a, то ∠B < ∠A. Тоді ∠В — го стрий: ∠В ≈ 37°. 2. ∠С ≈ 180° – 37° – 40° ≈ 103°. a sin C 70 ⋅ sin103° 70 ⋅ 0,974 3. c = = ≈ ≈ 106. sin A sin40° 0,643

B c A

C Мал. 155

107

Розділ 3

Алгоритми розв’язування задач наведено в таблиці 19. Таблиця 19 Алгоритм розв’язування

Умова задачі Дано: АС = b, ВС = а, ∠С = γ. Знайти: АВ, ∠А, ∠В.

Дано: ВС = а, ∠В = β, ∠С = γ. Знайти: АС, АВ, ∠А.

Дано: ВС = а, АС = b, АВ = с. Знайти: ∠А, ∠В, ∠С.

Дано: ВС = а, АС = b, ∠А = α. Знайти: АВ, ∠В, ∠С.

1) AB=

a2 + b2 − 2ab cos γ ,

b 2 + c 2 − a2 , 2bc 3) ∠В = 180° – ∠А – γ. 2) cos A =

1) ∠А = 180° – β – γ, a ⋅ sin β 2) AC = , sin A a ⋅ sin γ 3) AB = . sin A

b 2 + c 2 − a2 , 2bc a2 + c 2 − b 2 , 2) cos B = 2ac 3) ∠С = 180° – ∠А – ∠В. 1) cos A =

b sin α , a 2) ∠С = 180° – α – ∠В, a ⋅ sin C 3) AB = . sin α 1) sin B =

2. Розв’язування прикладних задач Чи можна поділити на види прикладні задачі, у яких треба розв’язати трикутник? Так. Розглянемо деякі з них.

108

Розв’язування трикутників

2.1. Задачі на знаходження висоти предмета, основа якого недоступна

Задача 5

Знайдіть висоту вежі, яка відокремлена від вас річкою (мал. 156).

Розв’язання На горизонтальній прямій, яка проходить через осно ву вежі, позначимо дві точки А1 і С1. Вимірюємо А1С1 = b, ∠DAB = α і ∠DCB = β. За теоремою синусів, із трикутника АВС одержимо: = AB

AC ⋅ sin β b sin β = . sin B sin ( α − β )

Із прямокутного трикутника ABD маємо: BD = AB · sin α. b ⋅ sin α ⋅ sin β Отже, BD = . sin ( α − β ) Мал. 156 Додавши до BD висоту прила ду АА1 = DK = h, яким вимірювали кути, одержимо формулу для обчислення висоти вежі:

BK = BD + DK =

b ⋅ sin α ⋅ sin β + h. sin ( α − β )

Нехай результати вимірювань такі: b = 12 м, h = 1,5 м, α = 42°, β = 37°. 12 ⋅ sin42°⋅ sin37° 12 ⋅ 0,669 ⋅ 0,602 Тоді: BK = + 1,5 ≈ + 1,5 ≈ 57 (м). sin5° 0,087 2.2. Задачі на знаходження відстані до недоступного пункту

Задача 6 Знайдіть відстань від пункту А до недоступного пункту В (мал. 157). Розв’язання

Обираємо на місце вості таку точку С, щоб з неї було ви дно пункт В і можна було виміряти відстань АС. Вимірюємо АС = b, ∠ВАС = α, ВСА = γ. Знаходимо ∠В = 180° – – (α + γ).

Мал. 157

109

Розділ 3

За теоремою синусів: = AB

b ⋅ sin γ b sin γ = . sin (180° − ( α + γ ) ) sin ( α + γ )

Нехай результати вимірювань такі: b = 90 м, α = 46°, γ = 25°. 90 ⋅ sin25° 90 ⋅ 0,423 Тоді AB = ≈ ≈ 40 (м). sin71° 0,946 2.3. Задачі на знаходження відстані між двома доступними пунктами (якщо безпосереднє вимірювання неможливе)

Задача 7 Знайдіть відстань між пунктами В і С, розділеними став ком (мал. 158). Розв’язання Обираємо на місце вості точку А так, щоб можна було виміряти відстані АВ і АС. Вимі рюємо АВ = с, АС = b і ∠ВАС = α. За теоремою косинусів: BC =

b2 + c2 − 2bc cos α .

Нехай результати вимірювань такі: b = 88 м, с = 90 м, α = 28°. Тоді BC =

Мал. 158

882 + 902 − 2 ⋅ 88 ⋅ 90 ⋅ cos28° ≈ 43 (м).

Дізнайтеся більше Поміркуємо над задачею четвертого виду. Дано: а, b, ∠А. Знайти: с, ∠В, ∠С. Відкладемо на стороні кута А відрізок АС = b (мал. 159), а потім із точки С як із центра опишемо коло радіусом а. Можливі такі випадки. 1. Коло не перетинає сторону АВ кута А. Задача розв’язку не має. 2. Коло дотикається до сторони АВ в точці D. Задача має один розв’язок — прямокутний ∆АСD. 3. Коло перетинає сторону АВ у двох точках В1 і В2. Задача має два розв’язки — ∆АВ1С і ∆АВ2С. Мал. 159 4. Коло перетинає сторону АВ в точці В3 і проходить через вершину А кута. Задача має один розв’язок — рівнобедрений ∆АВ3С. 5. Коло перетинає сторону АВ в точці В4. Задача має один розв’язок — ∆АВ4С.

110

Розв’язування трикутників

Виникає запитання: Чи не можна лише на основі числових даних задачі, не виконуючи вказаних побудов, визначити, скільки розв’язків вона має? Помічаємо, що якщо ∠А < 90°, то з прямокутного трикутника АСD (мал. 159): СD = b sin A. Тоді випадки 1–5 запишемо так: b sin A 1. а < СD, тобто а < b sin A. Задача розв’язку не має, оскільки= sin B > 1. a b sin A 2. а = b sin A.= sin B = 1 і ∠В = 90°. Задача має один розв’язок. a 3. b sin A < a < b. Задача має два розв’язки, оскільки ∠В може бути як гострим, так і тупим. 4. а = b. Задача має один розв’язок. ∠А = ∠В як кути рівнобедреного трикутника. 5. а > b. ∠В — гострий, оскільки він лежить проти меншої сторони трикутника. Задача має один розв’язок. Якщо ∠А > 90°, то маємо випадок 5, оскільки проти тупого кута завжди лежить більша сторона. Розглянемо приклад. Дано: а = 71, b = 96, ∠А = 26°. Знайти: с, ∠В, ∠С. Знайдемо: b sin A = 96 sin 26° ≈ 96 · 0,438 ≈ 42 < 71. Отже, b sin A < a < b і задача має два розв’язки.

Словничок Українська Англійська/ English

прикладна задача

applied problem

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

Anwendungsaufgabe, f

problème concret

qr.orioncentr.com.ua/QhmVP

Пригадайте головне 1. Що означає — розв’язати трикутник? 2. Які види задач стосуються розв’язування трикутників? 3. Запишіть алгоритми розв’язування кожного з видів цих задач. 4. Назвіть види прикладних задач, що потребують розв’язування трикутників.

Усне тренування 1. Обчисліть: 123° + 57°; 34° + 146°; 2. Знайдіть х, якщо: х 3 4 2 = ; = ; х 5 7 10

158° + 22°;

51° + 129°.

х =8; 10

15 = 75 . х 111

Розділ 3

Розв’яжіть задачі 571'. За даними на малюнках 160–162 запишіть формули для обчислен ня елемента х трикутника.

Мал. 160

Мал. 161

Мал. 162

572'. За даними на малюнках 163 і 164 обчисліть невідомі сторони та кути трикутника.

Мал. 163

Мал. 164

573°. Дано дві сторони трикутника й кут між ними. Знайдіть два інші кути і третю сторону, якщо: 1) а = 6, с = 8, β = 30°; 2) b = 4, с = 5, α = 60° (мал. 165); 3) а = 5, b = 7, γ = 105°. 574°. Дано дві сторони трикутника та кут між ними. Знайдіть два інші кути і третю сторону, якщо: 1) а = 3, b = 2, γ = 45°; 2) b = 3, с = 4, α = 120°. 575°. Дано сторону і прилеглі до неї кути трикутника. Знайдіть третій кут та інші дві сторони, якщо: 1) а = 4, β = 30°, γ = 45°; 2) с = 2, α = 45°, β = 60° (мал. 166); 3) b = 10, α = 20°, γ = 110°.

Мал. 165

Мал. 166

576°. Дано сторону і прилеглі до неї кути трикутника. Знайдіть третій кут та інші дві сторони, якщо: 1) а = 7, β = 30°, γ = 48°; 2) c = 5, α = 28°, β = 122°. 577°. Дано три сторони трикутника. Знайдіть його кути, якщо: 1) а = 3, b = 6, с = 5 (мал. 167); 2) а = 4, b = 3, с = 6; 3) а = 4, b = 7, с = 5. 112

Мал. 167

Розв’язування трикутників

578°. Дано три сторони трикутника. Знайдіть його кути, якщо: 1) а = 2, b = 3, с = 4; 2) а = 6, b = 8, с = 7. 579°. У паралелограмі діагональ дорівнює d, сторона — а, а кут між ними — α. Знайдіть невідомі діагональ, сторону й кути паралело грама, якщо: 1) d = 10, а = 6, α = 20°; 3) d = а = 5, α = 32°. 2) d = 12, а = 5, α = 35°; 580°. У трикутнику дано дві сторони та кут, що лежить проти однієї з них. Знайдіть два інші кути і третю сторону трикутника, якщо: 1) а = 12, b = 10, α = 40° (мал. 168); 2) а = 40, с = 30, α = 45°; 3) b = с = 15, γ = 75°.

Мал. 168

581°. У трикутнику дано дві сторони та кут, що лежить проти однієї з них. Знайдіть два інші кути і третю сторону трикутника, якщо: 1) а = 30, с = 20, α = 30°; 2) а = 20, b = 13, α = 65°. 582°. а, b, с — сторони трикутника, α, β, γ — його кути. Накресліть у зошиті таблицю 20 і заповніть її. Таблиця 20 а

2 5 4

α β

35°

30°

40° 20°

583. Розв’яжіть трикутник, якщо: 1) а – b = 5, ∠А = 54°, ∠В = 13°; 2) b + с = 7, ∠А = 29°, ∠В = 47°. 584. Розв’яжіть трикутник, якщо с – а = 3, ∠В = 44°, ∠С = 102°. 585. Обчисліть невідомі сторони й кути трикутника, якщо: 1) а = 15, c = 18, mb = 11,3; 2) а = 13, b = 15, mc = 12,3. 586. Діагоналі паралелограма дорівнюють d1 і d2, а кут між ними — α (мал. 169). Знайдіть сторони паралелограма, якщо: 1) d1 = 12 см, d2 = 6 см, α = 35°; 2) d1 = 4 см, d2 = 10 см, α = 140°.

D Мал. 169

587. Знайдіть бісектриси трикутника АВС, якщо: 1) АС = 7, ∠А = 60°, ∠С = 40°; 2) ВС = 5, ∠В = 45°, ∠С = 70°. 113

Розділ 3

588. Знайдіть сторони трикутника, якщо середня за довжиною сторона відрізняється від кожної з двох інших на 1 см, а проєкція більшої сторони на середню дорівнює 9 см. 589. У рівнобедреному прямокутному трикутнику АВС гіпотенузу АВ продовжено на довжину ВD = BC і точку D сполучено з точкою С. Знайдіть сторони трикутника АDС, якщо катет ВС = а. 590. Площа трикутника АВС дорівнює 16 см2, АС = 5 см, ВС = 8 см. Знайдіть сторону АВ.

591. У коло радіусом 38 см вписано трикутник, гострі кути якого дорівнюють 49° і 63°. Знайдіть сторони трикутника. 592. У трикутнику АВС ∠А = α, ∠В = β, а радіус описаного кола — R (мал. 170). Знайдіть сторони трикутника.

C Мал. 170

593. Сторона трикутника дорівнює 21 см, а дві інші його сторони утворюють кут 60° і відносяться як 3 : 8. Зна йдіть невідомі сторони та кути трикутника. 594. Основи трапеції дорівнюють 60 см і 18 см, а бічні сторони — 28 см і 35 см. Знайдіть кути трапеції. 595*. У трикутнику АВС АВ = 2 см, АС = 5 см, ВС = 6 см. Знайдіть відстань від вершини В до точки перетину висот трикутника. 596*. Всередині кута А з градусною мірою 60° позначено точку М на відстанях а і b від сторін кута. Знайдіть відстань АМ. 597*. У рівнобедреному трикутнику АВС АВ = АС = b, а ∠А = 30° (мал. 171). Пряма, що проходить через вер шину В і центр О описаного кола, перетинає сторону АС в точці D. Знайдіть довжину відрізка ВD.

Мал. 171

598*. Знайдіть діагоналі трапеції, якщо її осно ви дорівнюють 23,8 см і 43,5 см, а кути при більшій основі — 64° і 71°. 599*. Знайдіть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють а і b (а > b), а прилеглі до осно ви а кути — α і β. 600*. За даними на малюнку 172 знайдіть сто рону ВС чотирикутника АВСD. 114

Мал. 172

Розв’язування трикутників

Проявіть компетентність 601. Мансардну покрівлю спроєктували так: на відрізку АВ = 11,5 м (шири на перекриття) описали півколо та поділили його на чотири рівні час тини (мал. 173). Точки А, С, D, Е і В сполучили відрізками. Знайдіть: 1) довжину схилів покрівлі АС і СD; 2) довжину поперечки СE; 3) кути нахилу схилів АС і СD покрівлі.

Мал. 173

602. Під яким кутом видно прямолінійний край лісу АВ = 1240 м з пункту С, що віддалений від пункту А на 1600 м і від пункту В — на 1170 м (мал. 174)? 603. Щоб знайти кут на місцевості, на його сторонах від вершини від клали по 10 м і виміряли відстань між одержаними точками — 16 м. Дістали, що кут дорівнює 106°. Пояс ніть, як обчислили кут.

Мал. 174

604. На горі розміщена башта заввишки 60 м (мал. 175). Деякий предмет на підошві гори видно з вершини В башти під кутом 65° до горизонту, а з її осно ви С — під кутом 35° до горизонту. Знайдіть висоту гори. 605. На малюнку 176 зображено дві прямі дороги KМ і PN, які перетинаються Мал. 175 десь за лісом у недоступній точці С. Потрібно знайти відстань від деякого пункту А на дорозі KМ до точки С перетину доріг. Для цього на дорозі PN позначили пункт В так, щоб можна було виміряти відстань АВ, і визна чили кути ВАМ і АВN. Поясніть спосіб знаходження відстані АС. Знайдіть АС, якщо АВ = 800 м, ∠ВАМ = 85°, ∠АВN = 52°. 606. Трапилося так, що місцевість між дорогами заболочена й ви міряти відстань АВ, як у задачі 605, не можна (мал. 177). Але пункт А видно з двох місць В і В1 на дорозі PN, а також можна підійти до пункту А. Тоді виміряли ВВ1, ∠ВАМ, ∠АВN і ∠АВ1N. Поясніть, як знайти відстань АС. Знайдіть цю відстань, якщо: ВВ1 = а, ∠ВАМ = α, ∠АВN = β, ∠АВ1N = β1. 115

Розділ 3

Мал. 176

Мал. 177

607. Потрібно обчислити відстань між недоступними пунктами С і D (мал. 178). Для цього на місцевості вибрали точки А і В так, щоб можна було виміряти відстань АВ і щоб із цих точок було вид но точки С і D. Потім виміряли АВ = а, ∠САD = α1, ∠ВАD = α2, ∠АВС = β2, ∠СВD = β1. Поясніть, як знайти відстань СD. Об числіть СD, якщо а = 100 м, α1 = 30°, α2 = 70°, β1 = 54°, β2 = 28°.

Мал. 178

§ 9. ФОРМУЛИ ПЛОЩІ ТРИКУТНИКА 1. Формула площі трикутника за двома сторонами й кутом між ними Ситуація. Учні й учениці 9-А класу знаходили площу трикутника АВС за даними на малюнку 179. Денис зазначив, що площу трикутника АВС можна знайти за формулою S =

1 aha . Але для цього тре2

ба спочатку провести висоту BH (мал. 180) і знайти її довжину як катета трикутника АВH, що лежить проти кута 30°: BH =

116

1 1 AB = 2,5, тоді S∆ABC = · 6 · 2,5 = 7,5. 2 2

Розв’язування трикутників

B 5

30° A

30° 6

Мал. 179

Мал. 180

Наталка помітила, що площу DАВС можна знайти інакше, якщо одразу помножити

1 на сторону АС, сторону AВ та синус кута між ними. Такий висновок вона отри2

мала, виразивши висоту BH у трикутнику АВH через гіпотенузу АВ і sin 30°: BH = АВ · sin 30° = 2,5, тоді SDАВС =

1 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ sin 30° = 7,5. 2

Чи завжди можна знайти площу трикутника за двома сторонами і кутом між ними? Так.

Запам’ятайте! Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними: 1 S = bc ⋅ sin α. 2 Доведемо це. У трикутнику АВС проведемо висоту ВD (мал. 181, 182). Маємо: 1 = S AC ⋅ BD. Із прямокутного трикутника АВD: ВD = АВ sinα, якщо 2 кут α — гострий (мал. 181); ВD = АВ sin (180° – α), якщо кут α — тупий (мал. 182). Оскільки sin (180° – α) = sin α, то для будь-якого випадку 1 ВD = АВ sinα. Підставивши у формулу = S AC ⋅ BD вираз BD, одержи 2 1 1 S AC ⋅ AB sin = α bc sin α. мо:= 2 2

Мал. 181

Мал. 182

117

Розділ 3

2. Формула Герона

Чи можна знайти площу трикутника за його трьома сторонами? Так.

Запам’ятайте! Формула Герона: p ( p − a )( p − b )( p − c ) ,

де а, b, с — сторони трикутника; p =

a+b+c — півпериметр. 2

Справді, за теоремою косинусів, а2 = b2 + с2 – 2bccosα. Звідси b 2 + c 2 − a2 1 2S cos α = . Із формули = S bc sin α знаходимо: sin α = . Під 2bc 2 bc ставляючи знайдені вирази sin α і cos α у формулу sin2α + cos2α = 1, одер 2

(

2 2 2 4b c − b + c − a  2S   b + c − a  2 S = + = Звідси жимо:  1.    16 2bc  bc    сувавши формулу різниці квадратів, маємо: 2

2 2

) . Засто 2

((b + c) − a ) (a − (b − c) ) = a + b + c ⋅ b + c − a ⋅ a + b − c ⋅ a + c − b . S = 2

16 2 2 2 2 Взявши до уваги, що а + b + с = 2р, b + с – а = 2р – 2а, а + b – с = 2р – – 2с, а + с – b = 2р – 2b, одержимо: S2 = p ( p − a )( p − b )( p − c ) або S =

p ( p − a )( p − b )( p − c ).

3. Формула площі трикутника за трьома сторонами й радіусом описаного кола У 8 класі ви вивчили формулу для знаходження площі трикутника за його півпериметром і радіусом вписаного кола: S= p ⋅ r , a+b+c де p = — півпериметр трикутника, r — радіус вписаного кола. 2 Чи можна знайти площу трикутника, знаючи радіус описаного кола? Так, якщо знати ще й три його сторони. 118

Розв’язування трикутників

Запам’ятайте! Площа трикутника дорівнює частці від ділення добутку трьох його сторін на вчетверний радіус описаного кола: abc S= , 4R де а, b, с — сторони трикутника, R — радіус описаного кола. a a 1 . Звідси sin α = . Тоді з формули = S bc sin α, 2R sin α 2 1 a abc = S = bc . одержимо: 2 2R 4 R abc . Отже, площу трикутника обчислюють і за формулою: S = 4R Площу трикутника можна обчислити за формулами, наведеними в таблиці 21. Таблиця 21 Справді, 2R =

Назва формули площі трикутника

Формула площі трикутника

За стороною і висотою, проведеною до неї

1 S = aha 2

За двома сторонами і кутом між ними

За трьома сторонами (формула Герона)

1 bc ⋅ sin α 2

p ( p − a )( p − b )( p − c )

Особливості формули площі трикутника а — сторона трикутника, ha — висота, проведена до цієї сторони b, с — сторони трикутника, α — кут між цими сторонами а, b, с — сторони трикутника, a+b+c p= — 2 півпериметр трикутника a+b+c — 2 півпериметр трикутника, r — радіус вписаного кола p=

За півпериметром і радіусом вписаного кола

S= p ⋅ r

119

Розділ 3

Назва формули площі трикутника За трьома сторонами і радіусом описаного кола

Формула площі трикутника S=

abc 4R

Таблиця 21 (продовження) Особливості формули площі трикутника а, b, с — сторони трикутника, R — радіус описаного кола

Дізнайтеся більше 1. Герон Александрійський (приблизно І ст. до н. е.) — видатний давньогрецький учений. Найбільш важливою геометричною працею вченого була «Метрика» (вчення про вимірювання). У цій книзі серед правил вимірювання площ наведено так звану формулу Герона (нині встановлено, що цю формулу застосовував Архімед, який жив на кілька століть раніше Герона). 2. Застосування поняття площі дає можливість іноді значно спростити розв’язування деяких задач, в умовах яких це поняття навіть не вживається. Найчастіше це можна зробити так: спочатку площу деякої фігури виражаємо через дані й шукані величини двома різними способами, а потім прирівнюємо знайдені вирази. Одержуємо рівняння, з якого можна знайти шукану величину.

Задача Яка довжина бісектриси прямого кута трикутника з катетами a і b? Розв’язання

Нехай АВС — даний прямокутний трикутник (∠С = 90°), ВС = а, АС = b і СD — бісектриса прямого кута (мал. 183). Позначимо СD = х і знайдемо площу трикутника АВС двома способами. ab З одного боку: S ABC = . (1) Мал. 183 2 З іншого боку: 1 1 x 2 S ABC =S BCD + S ACD = ax ⋅ sin45° + bx ⋅ sin45° = ( a + b ). (2) 2 2 4 ab x 2 = Прирівнявши праві частини рівностей (1) і (2), одержимо: ( a + b ). 2 4 ab 2 . Звідси x = a+b

Словничок Українська Англійська/ English

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

площа три кутника

Flächet des Dreiecks

l’aire d’un triangle

qr.orioncentr.com.ua/eUdjr

120

area of a triangle

Розв’язування трикутників

Пригадайте головне 1. Запишіть і поясніть формулу для обчислення площі трикутника за двома сторонами й кутом між ними. 2. Запишіть і поясніть формулу Герона. 3. Запишіть і поясніть формулу для обчислення площі трикутника за трьома сторонами й радіусом описаного кола.

Усне тренування Обчисліть: 1) sin 30°; sin 45°; sin 60°; sin 120°; sin 135°; sin 150°. 2) 4 ⋅ 9 ; 8 ⋅ 9 ; 3 ⋅ 3 ⋅16 ⋅ 25 ; 2 ⋅ 2 ⋅ 9 ⋅ 5 ⋅10 .

Розв’яжіть задачі 608'. Чи є правильною рівність для обчислен ня площі трикутника, зображеного на ма люнку 184: abc 1 1) S = ; ab ⋅ sin β; 3) S = 4r 2 abc 1 ; 2) S = bc ⋅ sin α; 4) S = 4R 2 5) S =

Мал. 184

p ( p − a )( p − b )( p − c ); 6) S = ( p − a )( p − b )( p − c ) ?

609°. Обчисліть площу трикутника за дани ми на малюнку 185. 610°. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1) a = 5 3 см, с = 4 см, β = 60°; 2) с = 12 см, b = 8 см, α = 30° . 611°. Знайдіть площу трикутника, якщо a = 7 2 см, b = 16 см, γ = 45°.

Мал. 185

612°. Бічні сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють a, а кут між ними — α. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1) а = 2 см, α = 70°; 2) а = 4 см, α = 65°. 613°. Бічні сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 6 см, а кут між ними — 100°. Знайдіть площу трикутника. 614°. а, b — сторони трикутника, γ — кут між ними, S — площа трикутника. Накресліть у зошиті таблицю 22 і за повніть її. 121

Розділ 3

Таблиця 22 a b γ S

7 10 80°

5 8 12

4 150° 24

9 75° 16

615°. Площа трикутника АВС дорівнює 60 см2. Знайдіть сторону АВ, якщо: 1) АС = 15 см, ∠А = 30°; 2) BC = 10 3 см, ∠В = 60°. 616°. За даними на малюнку 186 знайдіть пло щу трикутника, дотримуючись плану: 1) обчисліть півпериметр р; 2) знайдіть значення виразу p ( p − a )( p − b )( p − c ).

Мал. 186

617°. Знайдіть площу трикутника, якщо його сторони дорівнюють: 1) 5 см, 5 см, 6 см; 2) 12 см, 17 см, 25 см. 618°. Знайдіть площу трикутника зі сторо нами 15 см, 26 см, 37 см. 619°. а, b, с — сторони трикутника, r — радіус вписаного кола. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1) а = 13 см, b = 14 см, с = 15 см, r = 4 см; 2) а = 4 см, b = 13 см, с = 15 см, r = 1,5 см. 620°. а, b, с — сторони трикутника, r — радіус вписаного кола. Знайдіть площу трикутника, якщо а = 7 см, b = 15 см, с = 20 см, r = 2 см. 621°. а, b, с — сторони трикутника, R — радіус описаного кола. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1) а = 26 см, b = 24 см, с = 10 см, R = 13 см; 2) а = 6 см, b = 6 см, c = 4 5 см, R = 4,5 см. 622°. а, b, с — сторони трикутника, R — радіус описаного кола. Зна йдіть площу трикутника, якщо а = 26 см, b = 28 см, с = 30 см, R = 16,25 см. 623°. Доведіть, що радіуси описаного (R) і вписаного (r) кіл трикутника можна обчислити за формулами: abc 2S R= і r= . 4S a+b+c 624°. а, b, с — сторони трикутника, S — його площа, R, r — радіуси описаного і вписаного кіл. Накресліть у зошиті таблицю 23 і за повніть її. 122

Розв’язування трикутників

Таблиця 23 а

5 см

3 см

5 см

6 см

4 см

7 см

4 см

5 см

10 см

13 см

8 см

5 см

6 см

8 см

15 см

10 3 см2

2,5 см

5 см 1,5 см

625°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника, сторони якого дорівнюють: 1) 10 см, 24 см, 26 см; 2) 26 см, 28 см, 30 см. 626°. Знайдіть висоту трикутника, проведену до сторони a, якщо його сторони дорівнюють a, b і с. 627°. Знайдіть висоти трикутника, якщо його сторони дорівнюють: 1) 13 см, 14 см, 15 см; 2) 5 см, 5 см, 6 см; 3) 7 см, 24 см, 25 см. 628°. Знайдіть висоти трикутника, якщо його сторони дорівнюють 7 см, 15 см, 20 см. 629. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 10 см. Чи може його площа дорівнювати: 1) 19 см2; 2) 35 см2; 3) 24 см2? 1 bc ⋅ sin α, дослідіть, як змінювати 2 меться площа трикутника АВС зі збільшенням кута α від 0° до 180° (b і с — сталі). За якого значення α площа трикутника АВС буде найбільшою?

630. Скориставшись формулою S =

631. Доведіть, що площа паралелограма дорівнює добутку двох його суміжних сторін на синус кута між ними. 632. Сторони паралелограма дорівнюють а і b, а один з кутів — α. Зна йдіть площу паралелограма, якщо: 1) а = 2 см, b = 3 см, α = 70°; 2) a = 5 см, b = 3 см, α = 130°. 633. Площа ромба дорівнює квадрату його сторони, помноженому на синус кута ромба. Доведіть. 634. Обчисліть площу ромба за його стороною а та кутом α, якщо: 1) а = 2 см, α = 20°; 2) a = 6 см, α = 124°. 635. Доведіть, що площа паралелограма дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними. 123

Розділ 3

636. Знайдіть площу паралелограма за його діагоналями d1 і d2 й кутом α між ними: 1) d1 = 6 см, d2 = 10 см, α = 40°; 2) d1 = 8 см, d2 = 12 см, α = 59°. 637. Доведіть, що площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними. 638. Обчисліть площу прямокутника за діагоналлю d та кутом α між діагоналями, якщо: 1) d = 12 см, α = 30°; 2) d = 10 см, α = 25°. 639. Обчисліть площу трикутника за стороною с і прилеглими до неї кутами α і β, якщо: 1) с = 6 см, α = 70°, β = 60°; 2) с = 8 см, α = 65°, β = 54°. 640. Знайдіть радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикут ника, якщо його основа та висота відповідно дорівнюють 20 см і 26 см. 641. Коло описано навколо рівнобедреного трикутника, у якого осно ва й висота відповідно дорівнюють 16 см і 17 см. Знайдіть радіус цього кола. 642. Дві сторони трикутника дорівнюють 17 см і 21 см, а медіана, про ведена до третьої сторони, — 5 см. Знайдіть площу трикутника. 643. Площа трикутника дорівнює 810 см2. Знайдіть сторони трикутни ка, якщо вони відносяться як 12 : 17 : 25. 644. Основи трапеції дорівнюють 16 см і 44 см, бічні сторони — 15 см і 41 см. Скорис тавшись малюнком 187, знайдіть площу трапеції. Щоб обчислити площу трапеції за її сторонами (мал. 187): Мал. 187 1) проведіть через вершину меншої основи пряму, паралельну бічній стороні; 2) знайдіть висоту утвореного трикутника за трьома його сторонами (висоту трапеції); 3) знайдіть площу трапеції. 645. Знайдіть висоту трапеції, якщо її основи дорівнюють 25 см і 11 см, а бічні сторони — 13 см і 15 см. 646*. Доведіть формули для обчислення площі трикутника: a2 sin β⋅ sin γ 1) S = 2R2 · sin α · sin β · sin γ; 2) S = ; 2sin α 1 Rha hb hc , де R — радіус описаного кола. 3) S = 2 124

Розв’язування трикутників

647*. Бісектриса l прямого кута трикутника утворює з гіпотенузою кут α. Знайдіть площу трикутника. 648*. Доведіть, що довжину бісектриси l кута α трикутника АВС можна bc sin α обчислити за формулою: lα = . α ( b + c ) sin 2 649*. Знайдіть площу трикутника за медіаною m і кутами α і β, які утво рює медіана з прилеглими сторонами. 650*. Знайдіть площу трикутника за двома його висотами h1 і h2 та кутом α між ними. 651*. Сторона трикутника дорівнює 30 см, а медіани, проведені до двох інших сторін, — 12 см і 39 см. Знайдіть площу трикутника. 652*. Знайдіть площу трикутника, якщо його медіани дорівнюють ma, mb, mc. 653*. Знайдіть площу трикутника, якщо його висоти дорівнюють ha, hb, hc.

Проявіть компетентність 654. На малюнку 188 зображено план ді лянки в масштабі 1 : 1000. Скорис тавшись планом, знайдіть площу цієї ділянки. 655. Маса 1 м2 листового заліза стано вить 38 кг. Яку масу має трикут ник, вирізаний із цього заліза, якщо його сторони дорівнюють 29 см, 35 см і 48 см? 656. Від трикутної ділянки площею 5 га потрібно межею ВD відділити ді лянку площею 2 га (мал. 189). Як це зробити, якщо АС = 1000 м?

Мал. 188

Мал. 189

125

Розділ 3

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 3 КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ 1. Сформулюйте теорему синусів. 2. Як знайти сторону трикутника за радіусом описаного кола й кутом, що лежить проти цієї сторони? 3. Яка залежність між мірами кутів трикутника та довжинами його сторін? 4. Сформулюйте теорему косинусів. 5. Як визначити вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний) за даними його сторонами? 6. Назвіть, які є види задач на розв’язування трикутників, та запишіть алгоритми розв’язування кожного з видів цих задач. 7. Запишіть і поясніть формули для обчислення площі трикутника: за трьома сторонами; за двома сторонами й кутом між ними.

1°. Знайдіть сторону b трикутника АВС, якщо: с = 1 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°. А. 3 см. В. 2 см. Б. 2 см. Г. 1 см. 2°. Знайдіть площу трикутника, якщо його сторони дорівнюють 10 см, 10 см, 12 см. А. 32 см2. В. 48 см2. Б. 60 см2. Г. 24 см2. 3°. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 2 см, а кут між бічними сторонами — 30°. А. 2 см2. В. 4 см2. Б. 6 см2. Г. 1 см2. 4. Знайдіть площу паралелограма, якщо його сторони дорівнюють 2 см і 4 см, а один із кутів — 45°. А. 4 2 см2. В. 2 2 см2. Б. 8 см2. Г. 8 2 см2. 5*. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника, якщо його сторони дорівнюють 4 см, 7 см і 9 см. 42 5 А. 10 см. В. см. 5 21 5 Б. 6 5 см. Г. см. 10 126

Розділ 4. Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга У розділі дізнаєтесь: що таке правильний n-кутник, які його властивості та як будувати деякі правильні n-кутники; як знайти радіуси вписаного й описаного кіл для правильного n-кутника за даною його стороною; про формули для обчислення довжини кола й дуги кола, площі круга, сектора та сегмента; як застосовувати вивчені властивості та формули до розв’язування гео метричних задач на практиці

§ 10. ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ. радіуси описаних і вписаних кіл 1. Що таке правильний многокутник Ситуація. Відвідуючи пасіку, Богдан і Василь звернули увагу на те, що стільники мають форму шестикутників, у яких усі сторони рівні й усі кути рівні. Постало запитання: чому бджоли для будівництва стільників обирають саме такі шестикутники, а не інші фігури з рівними сторонами, наприклад рівносторонні трикутники, квадрати. Вирішили провести дослідження — порівняти площі цих фігур за однакового їх периметра, наприклад, якщо P = 12 см. Тоді рівносторонній трикутник має сторону 4 см, квадрат — 3 см, шестикутa2 3 16 3 a2 3 = S3 = ≈ 6,9 (см2), S4 = a2 = 9 (см2),= S6 6 = 6 3 ≈ ник — 2 см. Одержали: 4 4 4 ≈ 10,2 (см2) (для шестикутника цей факт буде пояснено пізніше). З’ясували, що найбільшу площу серед цих фігур має шестикутник з рівними сторонами, тобто за однакової витрати матеріалів на «стінки» одержимо найбільшу площу. Богдан і Василь зробили важливий висновок: бджоли інстинктивно будують стільники у формі шестикутників з рівними сторонами, тому що це найвигідніша форма. Вона дозволяє з мінімальними витратами воску (на сторони) створити максимальний простір (площу) для меду та личинок.

Чи правильний висновок зробили Богдан і Василь? Так. На малюнках 190–193 ви бачите многокутники. У чому їх відмін ність? У многокутнику на малюнку 190 кути та сторони не рівні. На ма люнку 191 зображено многокутник з рівними сторонами, але не рівними 127

Розділ 4

кутами. А в многокутнику на малюнку 192 — навпаки: усі кути рівні, а сторони — ні. Лише многокутник на малюнку 193 має всі сторони рівні й усі кути рівні. Це — правильний многокутник.

Мал. 190

Мал. 191

Мал. 192

Мал. 193

Запам’ятайте! Многокутник називається правильним, якщо в нього всі сторони рівні й усі кути рівні. Квадрат і рівносторонній трикутник — при клади правильних многокутників. Многокутник, зображений на малюнку 193, — правильний шес тикутник, а на малюнку 194 — правильний вось микутник. 2. Властивості кутів правильного многокутника У правильному n-кутнику, як і в довільному n-кутнику, сума всіх кутів дорівнює 180°(n – 2).

Мал. 194

Задача 1 Знайдіть кут правильного десятикутника. Розв’язання Сума кутів правильного десятикутника дорівнює: 180°(n – 2) = 180°(10 – 2) = 1440°. Усіх кутів є 10. Тому кожний кут дорівнює: 1440° : 10 = 144°. 128

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Які градусні міри кутів шестикутника в ситуації, розглянутій на початку параграфа? Поміркуймо. Шестикутник у бджолиних стільниках є правильним, тому всі його кути рівні, а їх сума становить 180°(n – 2) = 180°(6 – 2) = 720°. Тоді кож ний кут правильного шестикутника дорівнює 720° : 6 = 120°. Щоб знайти кут правильного n-кутника, скористайтеся формулою: α=

180° ⋅ ( n − 2 ) n

3. Правильний многокутник і коло Ви знаєте, що правильний трикутник і чотирикутник (квадрат) є вписаними в коло й описаними навколо кола. Чи справджується це твердження для будь-якого правильного многокутника? Відповідь на це запитання дає теорема.

Запам’ятайте! Теорема (властивість правильного многокутника) Якщо многокутник правильний, то навколо нього можна описати коло й у нього можна вписати коло. Дано: многокутник АВСD… F; АВ = ВС = СD =… = FA, ∠A = ∠B = = ∠C =… = ∠F. Довести: 1) многокутник ABCD… F є вписаним у коло; 2) многокутник ABCD… F є описаним навколо кола. Доведення. 1. Нехай бісектриси кутів А і В правильного многокутника АВСD… F пе ретинаються в точці О (мал. 195). Доведемо, що OA = OB = OC =… = OF, тобто що ці відріз ки є радіусами кола, описаного навколо дано го многокутника. α Оскільки ∠А = ∠В, то і ∠OAB = ∠OBA = , 2 Мал. 195 де α —кут многокутника. 129

Розділ 4

Тоді ∆АОВ — рівнобедрений і ОА = ОВ. Сполучимо точку О відрізками з рештою вершин многокутника. У трикутниках АОВ і ВОС сторона ОВ — спільна, АВ = ВС за умо α вою, ∠OBA = ∠OBC = , оскільки ОВ — бісектриса кута В. Отже, 2 ∆АОВ = ∆ВОС, звідси ОВ = ОС. Так само в трикутниках ВОС і СОD сторона ОС — спільна, ВС = СD α за умовою, ∠OCB = ∠OCD =(за доведеним, ∆ВОС — рівнобедрений 2 α α ∠OCB = , тоді й ∠OCD = ). і ∠OBC = 2 2 Отже, ∆ВОС = ∆СОD, звідси OC = OD. Таким чином, ОА = ОВ = ОС = ОD. Продовжуючи порівняння сусідніх трикутників, одержимо: ОА = ОВ = ОС = ОD =… = OF. Отже, усі вершини даного многокутника лежать на колі з центром О. 2. Доведемо, що OM = ON = OP =… = OE (мал. 196). Ми довели, що ∆АОВ = ∆ВОС = ∆СОD = = … = ∆FOA. Тому висоти цих трикутни ків, проведені з вершини О, також рівні: ОM = ON = OP =… = OE. Звідси випливає, що коло із центром О і радіусом ОМ проходить через точки M, N, P,…, E й дотикається до сторін многокутника АВСD… F у цих точках, тобто це коло — вписане в даний правильний многокутник.

Мал. 196

У правильному многокутнику центри вписаного й описаного кіл збігаються. Спільний центр цих кіл називають центром правильного многокутника. Кут, утворений двома радіусами, проведени ми в сусідні вершини правильного многокутника, називають його центральним кутом (мал. 197).

Мал. 197

Як знайти центральний кут правильного n-кутника? Скористатися формулою: β =

130

360° . n

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

4. Радіуси описаних і вписаних кіл Як знайти R і r для правильного n-кутника зі стороною а? Поміркуймо. Нехай сторона правильного n-кутника AB = a, OA = R, OC = r (мал. 198). У рівно бедреному трикутнику AOB висота OC є його медіаною й бісектрисою, тому AB a , AC = CB = = 2 2 1 1 360° 180° ∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = ⋅ =. n 2 2 n Із прямокутного трикутника АОС знаходимо: AC a AC a = R = іr = = . sin ∠AOC 2sin 180° tg∠AOC 2tg 180° Мал. 198 n n 180° У правильному трикутнику n = 3, ∠AOC = = 60°, тоді: 3 a a a 3 a a a 3 = R = = = , r = = . 2sin60° 3 2tg60° 2 3 6 3 180° = У правильному чотирикутнику (квадраті) n = 4, ∠AOC = 45°, 4 a a a 2 a a тоді: = . R = = = , r = 2tg45 ° 2 2sin45° 2 2 180° У правильному шестикутнику n = 6, ∠AOC = = 30°, тоді: 6 a a a 3 = R == a, r = . 2sin30° 2tg30° 2 Формули для R і r правильних n-кутників подано в таблиці 24. Таблиця 24 n n n=3 n=4 n=6 R, r R

a 180° 2sin n

a 3 3

a 2 2

a 180° 2tg n

a 3 6

a 2

a 3 2 131

Розділ 4

Задача 2 Виразіть сторону an правильного n-кутника через радіус R описаного навколо нього кола й радіус r вписаного кола. Знайдіть an, якщо n = 3, 4, 6. an знаходимо: 180° 2sin n 180° a= 2R ⋅ sin . n n Підставивши в цю формулу замість n числа 3, 4, 6, одержимо форму ли, що виражають через радіуси описаних кіл сторони правильного три кутника, чотирикутника й шестикутника: a3 = R 3, a4 = R 2, a6 = R. an 180° Із формули r = знаходимо: a= 2r ⋅ tg . n 180° n 2tg n 2r 2r 3 Зокрема, a3 = 2r 3, a4 = 2r, = a6 = . 3 3

Розв’язання Із формули R =

За однією з величин — an, r чи R — можна обчислити дві інші. 5. Побудова правильних многокутників Як побудувати правильний n-кутник? Використати описане навколо нього коло.

Задача 3 Побудуйте правильний шестикутник. Розв’язання Сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу R описаного навколо нього кола. Проводимо коло радіусом R і позначаємо на ньому довільну точку A1 (мал. 199). Потім, не змінюючи розхилу цир куля, будуємо на колі точки A2, A3, A4, A5, A6 так, щоб виконувалася рів ність ∪ A1 A2 = ∪ A2 A3 = ∪ A3 A4 = ∪ A4 A5 = ∪ A5 A6 . Послідовно сполучивши відрізками побудовані точки, одержимо правильний шестикутник.

Задача 4 Побудуйте правильний трикутник. Розв’язання Будуємо спочатку правильний шестикутник (задача 3), а потім сполучаємо відрізками його вершини через одну (мал. 200).

Задача 5 Побудуйте правильний чотирикутник. Розв’язання Будуємо коло й через його центр проводимо дві перпенди кулярні прямі (мал. 201). Вони перетнуть коло в чотирьох точках — вер шинах квадрата. 132

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Мал. 199

Мал. 200

Мал. 201

Щоб побудувати правильний n-кутник, поділіть коло на n рівних частин і послідовно сполучіть точки поділу. Якщо ви побудували правильний n-кутник, то легко побудуєте і правильний 2n-кутник. Наприклад, побудуємо правильний 8-кут ник. Будуємо правильний чотирикутник (за дача 5). Проводимо до його сторін серединні перпендикуляри (мал. 202). Точки перетину серединних перпендикулярів з колом разом з вершинами чотирикутника й будуть вершина ми правильного 8-кутника. Цим самим спосо бом можна побудувати правильний 16-кутник, правильний 32-кутник і т. д.

Мал. 202

6. Правильні многокутники в паралелепіпеді та піраміді Правильні многокутники можуть бути гранями прямокутного па ралелепіпеда й піраміди. Якщо у прямокутному паралелепіпеді всі ребра рівні, то він є кубом (мал. 203). Грані куба — правильні чотири кутники (квадрати). Піраміда називається правильною, якщо її основа — правильний многокутник (наприклад, рівносторонній трикутник (мал. 204), квадрат (мал. 205)), а бічні ребра — рівні. Якщо сполучимо відрізками кінці двох непаралельних діагоналей протилежних граней куба, то отримаємо правильну трикутну піраміду, усі ребра якої рівні (мал. 206).

D1 A1

B1 C

D A

B Мал. 203

C B Мал. 204

C D

Мал. 205

Мал. 206

133

Розділ 4

Дізнайтеся більше Окремим видом многокутників є напівправильні многокутники. Многокутник, у якого всі кути рівні, а сторони рівні через одну, називають напівправильним рівнокутним многокутником. Найпростіший приклад — прямокутник. На малюнках 207, 208 зображено напівправильні рівнокутні шестикутники — опуклий і зірчастий.

Мал. 207

Мал. 208

Якщо у многокутнику всі сторони рівні, а кути рівні через один, то його називають напівправильним рівностороннім многокутником. На малюнках 209, 210 зображено опуклий і зірчастий напівправильні рівносторонні шестикутники.

Мал. 209

Мал. 210

Загальний спосіб побудови напівправильних рівносторонніх многокутників: 1) будуємо два концентричні кола; 2) через їх центр О проводимо 2n променів, які ділять кожне коло на 2n рівних частин; 3) послідовно нумеруємо ці промені; 4) відмічаємо точки перетину «непарних» променів з першим колом, а «парних» променів — з другим; 5) послідовно сполучаємо ці точки.

Словничок Українська Англійська/ English

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

правиль ний много кутник

regelmäßiges Polygon / (Vieleck)

polygone régulier

qr.orioncentr.com.ua/rzVXH

134

regular polygon

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Пригадайте головне 1. Що таке правильний многокутник, його центр і центральний кут? 2. Як знайти кут; центральний кут правильного n-кутника? 3. За якими формулами знаходять радіуси вписаного й описаного кіл для правильного трикутника, чотирикутника, шестикутника? 4. Як побудувати правильний шестикутник; трикутник; чотирикутник?

Усне тренування Обчисліть: 1) 102 + 52 – 25; 2) 202 + 82 – 100;

62 + 82 + 10; 112 – 102 + 50;

252 – 52 – 600; 102 + 202 – 20.

Розв’яжіть задачі 657'. Який із чотирикутників, зображених на малюнках 211–213, — правильний? Відповідь поясніть.

Мал. 211

Мал. 212

Мал. 213

658'. Які з тверджень є правильними: 1) многокутник є правильним, якщо всі його сторони — рівні; 2) будь-який чотирикутник з рівними кутами є правильним; 3) трикутник є правильним, якщо всі його кути — рівні; 4) будь-який рівносторонній трикутник є правильним? Відповідь поясніть. 659'. На малюнку 214 зображено правиль ний шестикутник із центром O. Чи правильно, що: 1) радіус описаного кола — це відрі зок: а) ОА; б) ОМ; в) ОВ; 2) радіус вписаного кола — це відрі зок: а) ОА; б) ОМ; в) ОВ; 3) центральний кут шестикутника — це кут: а) МОА; б) ВОМ; в) АОВ?

Мал. 214

135

Розділ 4

660'. Чи правильно, що кут правильного n-кутника дорівнює: 180° ( n − 2 ) 180°n ; 3) 180°(n – 2)? 1) ; 2) n n −2 661'. Чи правильно, що центральний кут правильного n-кутника дорів нює: 180° 360° 1) ; 2) 180°n; 3) ? n n 662'. Чи правильно записано формули для знаходження радіусів описа них і вписаних кіл через сторону правильного n-кутника: an an an an 1) R = , r= ; 2) R = , r= ? 180° 180° 180° 180° 2tg 2sin 2sin 2tg n n n n 663'. Чи правильно записано формули для знаходження радіусів описа них і вписаних кіл через сторону а: 1) правильного трикутника: a 3 a 3 a 3 a 3 а) R = , r= ; б) R = , r= ; 3 6 6 3 2) правильного чотирикутника: a a a 2 a 2 а) R = , r = ; б) R = , r = ; 2 2 2 2 3) правильного шестикутника: a 3 a 3 а) R = , r = a; б) R = a, r = ? 2 2 664°. Знайдіть периметр правильного n-кутника зі стороною 4 см, якщо: 1) n = 5; 2) n = 8; 3) n = 10. 665°. Знайдіть периметр правильного n-кутника зі стороною 5 см, якщо n = 16. 666°. Знайдіть суму кутів правильного n-кутника, якщо: 1) n = 5; 2) n = 8; 3) n = 10. 667°. Знайдіть суму кутів правильного n-кутника, якщо n = 16. 668°. Обчисліть кут правильного n-кутника, якщо: 1) n = 5; 2) n = 12. 669°. Обчисліть кут правильного 18-кутника. 670°. Знайдіть кількість сторін правильного n-кутника, якщо його кут дорівнює: 1) 135°; 2) 150°; 3) 140°. 671°. Скільки сторін має правильний n-кутник, якщо його кут дорівнює: 1) 144°; 2) 120°? 136

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

672°. Знайдіть центральний кут правильного n-кутника, якщо: 1) n = 20; 2) n = 24; 3) n = 9. 673°. Знайдіть центральний кут правильного 10-кутника. 674°. На малюнках 215, 216 зображено правильні многокутники, впи сані в коло. За даними на малюнках знайдіть радіус кола.

Мал. 215

Мал. 216

Мал. 217

675°. На малюнку 217 зображено правильний многокутник, вписаний в коло. За даними на малюнку знайдіть радіус кола. 676°. Знайдіть сторону правильного трикутника, якщо радіус описано го навколо нього кола дорівнює: 1) 4 3 см; 2) 5 см; 3) 6 3 см. 677°. Знайдіть сторону правильного чотирикутника, якщо радіус описа ного навколо нього кола дорівнює 3 2 см. 678°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо квадрата, якщо діаго наль квадрата дорівнює: 1) 8 см; 2) 16 см; 3) d. 679°. Знайдіть периметр квадрата, якщо радіус кола, описаного навко ло нього, дорівнює: 1) 2 см; 2) 2 2 см; 3) 6 2 см. 680°. На малюнках 218, 219 зображено правильні многокутники, опи сані навколо кола. За даними на малюнках знайдіть радіус кола.

Мал. 218

Мал. 219

137

Розділ 4

681°. На малюнку 220 зображено правильний шестикутник, описаний навколо кола. За даними на малюнку знайдіть радіус кола. 682°. Знайдіть сторону правильного трикутника, якщо радіус вписаного в нього кола дорів нює: 1) 2 3 см; 2) 8 см; 3) 3 3 см. 683°. Знайдіть сторону правильного чотирикут ника, якщо радіус вписаного в нього кола дорівнює: 1) 5 см; 2) 6 см.

Мал. 220

684°. Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний трикутник, якщо радіус описаного кола дорівнює: 1) 10 см; 2) 12 см; 3) 16 см. 685°. Знайдіть радіус кола, вписаного в квадрат, якщо периметр квадра та дорівнює: 1) 12 см; 2) 16 см; 3) Р. 686°. Доведіть, що радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, дорівнює діаметру вписаного в нього кола. 687°. a — сторона правильного трикутни ка, Р — його периметр, R і r — радіуси описаного і вписаного кіл. Накресліть у зошиті таблицю 25 і заповніть її. Таблиця 25 а R r P

2 3 см 4 3 см 6 3 см 9 3 см

688°. Знайдіть периметр правильного шестикутника, якщо радіус опи саного кола дорівнює: 1) 4 см; 2) 5 см; 3) 7 см. 689°. a — сторона правильного чотирикутника, Р — його периметр, R і r — радіуси описаного і вписаного кіл. Накресліть у зошит таблицю 26 і заповніть її. 138

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Таблиця 26 a

6 см

R r

8 2 см 10 см

16 см

690°. У квадрат вписано коло, радіус якого дорівнює 4 см. Обчисліть: 1) сторону квадрата; 2) радіус кола, описаного навколо квадрата. 691°. Обчисліть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, якщо радіус описаного кола дорівнює: 1) 3 см; 2) 6 3 см; 3) 10 3 см. 692°. Знайдіть сторону правильного шестикутника, якщо радіус вписа ного кола дорівнює: 1) 3 см; 2) 4 3 см; 3) 1 см. 693°. На малюнку 221 показано побудову правиль ного шестикутника. Поясніть побудову. 694°. Побудуйте правильний трикутник, дотри муючись плану: 1) циркулем накресліть коло; 2) не змінюючи розхилу циркуля, поділіть коло на шість рівних частин; 3) сполучіть відрізками точки поділу через одну.

Мал. 221

695°. Виконайте такі побудови: 1) циркулем накресліть коло із центром О; 2) через точку О проведіть довільну пряму й позначте точки її перетину з колом буквами А і В; 3) через точку О проведіть пряму, перпендикулярну до прямої АВ; точки перетину цієї прямої з колом позначте буквами С і D; 4) послідовно сполучіть відрізками точки А, В, С і D. Як називається побудований многокутник? 696°. Побудуйте правильний шестикутник зі стороною, що дорівнює даному відрізку АВ = а. 697°. Впишіть у коло правильний: 1) шестикутник; 2) трикутник; 3) чотирикутник. 139

Розділ 4

698°. Опишіть навколо кола правильний: 1) шестикутник; 2) трикутник; 3) чотирикутник. 699°. Впишіть у коло квадрат, якщо радіус кола дорівнює: 1) 3 см; 2) 4 см; 3) 5 см. 700°. Діагональ куба дорівнює d. Знайдіть його сторону. 701°. Діагональ грані куба дорівнює m. Знайдіть діагональ куба. 702°. У піраміді кожне ребро дорівнює а. Знайдіть довжину кола, описа ного навколо її грані. 703°. У піраміді кожне ребро дорівнює а. Знайдіть площу круга, вписа ного в її грань. 704. Центральний кут правильного многокутника та його кут у сумі становлять 180°. Доведіть. 705. Який найбільший центральний кут може мати правильний много кутник? 706. Скільки вершин має правильний многокутник, якщо: 1) радіус вписаного кола вдвічі менший від сторони многокутника; 2) радіус описаного кола вдвічі більший за радіус вписаного кола? 707. 1. У коло вписано многокутник, усі сторони якого рівні. Чи рівні його кути? Відповідь поясніть. 2. Коло вписано у многокутник, усі кути якого рівні. Чи рівні його сторони? Відповідь поясніть. 708. Два рівні кола перетинаються так, що центр одного кола лежить на іншому колі. Чи можна описати коло навколо чотири кутника, вершинами якого є точки перети ну та центри даних кіл? Відповідь поясніть. 709. Знайдіть кут між двома несусідніми сторо нами правильного шестикутника (мал. 222). 710. Дано правильний п’ятикутник. Доведіть: 1) усі його діагоналі — рівні; 2) кожна діагональ паралельна одній з його сторін; 3) на кожній з діагоналей, що перетина ються, є відрізок, що дорівнює стороні п’ятикутника. 711. ABCDEFGH — правильний восьмикутник (мал. 223). Доведіть, що точки K, L, M, N — вершини квадрата. 140

Мал. 222

Мал. 223

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

712. ABCDEFMN — правильний восьмикутник. Доведіть, що точки A, C, E і M є вершинами квадрата. 713. Знайдіть сторону правильного трикутника, якщо різниця між ра діусами кіл, описаного навколо правильного трикутника і вписа ного в нього, дорівнює: 1) 3 см; 2) m. 714. Знайдіть радіуси кіл, вписаного в правильний трикутник й описа ного навколо нього, якщо їхня різниця дорівнює: 1) 4 см; 2) n. 715. Знайдіть радіуси кіл, вписаного у квадрат й описаного навколо нього, якщо їхній добуток дорівнює: 1) 4 2 ; 2) 2 . 716. Знайдіть радіуси кіл, описаного навколо правильного шестикут ника і вписаного в нього, якщо їхня різниця дорівнює: 1) 3 см; 2) 5 см; 3) m. 717. У коло вписано правильний трикутник і квадрат. Знайдіть сторо ну квадрата, якщо периметр трикутника дорівнює: 1) 9 см; 2) 27 см; 3) Р. 718. Знайдіть сторону правильного шестикутника, вписаного в коло, якщо сторона правильного трикутника, описаного навколо цього кола, дорівнює: 1) 10 3 см; 2) 2 3 см; 3) а. 719. Знайдіть сторону квадрата, описаного навколо кола, якщо сторона правильного шестикутника, вписаного в це коло, дорівнює: 1) 15 см; 2) 17 см; 3) а. 720. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо кола, якщо сторона правильного трикутника, вписаного в це коло, дорівнює: 1) 21 см; 2) 18 см; 3) а. 721. Навколо кола описано квадрат і правильний шестикутник. Зна йдіть периметр квадрата, якщо периметр шестикутника дорівнює: 1) 12 3 см; 2) 36 см; 3) Р. 722. Для правильного шестикутника знайдіть сторону, радіуси описа ного і вписаного кіл, якщо його більша діагональ дорівнює: 1) 6 см; 2) 8 см; 3) d. 723. Знайдіть сторону правильного шестикутника та радіус вписаного кола, якщо його менша діагональ дорівнює: 1) 10 3 см; 2) 12 3 см; 3) d. 141

Розділ 4

724. Знайдіть діагоналі правильного шестикутника, якщо його сторона дорівнює: 1) 2 см; 2) 8 см; 3) а. 725. Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, для одного кола є сто роною правильного вписаного трикутника, а для іншого — сторо ною правильного вписаного шестикутника. Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо хорда дорівнює: 1) 9 см; 2) 3 3 см; 3) а. 726. Сторона якого правильного вписаного в коло n-кутника є хордою, перпендикулярною до радіуса в його середині? Відповідь поясніть. 727. У якому правильному многокутнику радіус вписаного кола вдвічі менший від сторони? 728. На сторонах правильного трикутника поза ним побудовано ква драти. Чи є вершини квадратів вершинами правильного шести кутника? Відповідь поясніть. 729. Побудуйте правильний шестикутник, якщо його більша діагональ дорівнює: 1) 8 см; 2) 10 см; 3) 12 см. 730. Побудуйте правильний чотирикутник, якщо його сторона дорів нює: 1) 2 2 см; 2) 3 2 см. 731*. П’ятикутник ABCDE — правильний (мал. 224). Доведіть, що п’ятикутник FGHKL — теж правильний. 732*. Доведіть, що середини сторін правильного n-кутника є вершинами іншого правильного n-кутника. 733*. Обчисліть кут між сторонами AB i DE правильного дев’ятикутника (мал. 225).

Мал. 224

Мал. 225

Мал. 226

734*. Від кожної вершини квадрата зі стороною а на його сторонах відкладено відрізки, що дорівнюють половині його діагоналі 142

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

(мал. 226). Здобуті 8 точок послідовно сполучено відрізками. Доведіть, що утворений восьмикутник — правильний. 735*. Доведіть, що сума відстаней від довільної точки всередині правильного n-кутника до його сторін не залежить від вибору точки. 736*. Два рівні кола перетинаються так, що центр одного кола лежить на іншому колі. Через одну точку їх перетину проведено спільну січну. Дві інші точки перетину січної з колами сполучено відріз ками з другою точкою перетину кіл. Якого виду трикутник утво рився при цьому? 737*. За яких значень n сторона правильного n-кутника: 1) більша за радіус описаного кола; 2) дорівнює радіусу описаного кола; 3) менша від радіуса описаного кола? 738*. Три рівні кола, що попарно дотикаються одне до одного, зовні до тикаються до кола радіусом R. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо: 1) R = 2 см; 2) R = 4 см. 739*. У правильному восьмикутнику зі стороною а сполучено середини чотирьох сторін, узятих через одну, так, що утворився квадрат. Знайдіть сторону цього квадрата. 740*. У правильному 12-кутнику зі стороною а сполучено середини шес ти сторін, узятих через одну, так, що утворився правильний шес тикутник. Знайдіть його сторону. 741*. Доведіть, що: R 2 + 2, 2 де a8 і r8 — відповідно сторона правильного 8-кутника й радіус впи саного в нього кола; R — радіус описаного кола. 1)= a8 R 2 − 2; 2) = r8

742*. Доведіть, що: R 2 + 3, 2 де a12 і r12 — відповідно сторона правиль ного 12-кутника й радіус вписаного в ньо го кола; R — радіус описаного кола. 1) = a12 R 2 − 3; 2)= r12

743*. Побудуйте трикутник так, як показано на малюнку 227. Доведіть, що ∆АВС — пра вильний. 744*. Побудуйте правильний восьмикутник зі стороною, що дорівнює даному відрізку АВ = а.

Мал. 227

143

Розділ 4

745*. Побудуйте правильний 12-кутник зі стороною, що дорівнює дано му відрізку АВ = а.

Проявіть компетентність 746. Доведіть, що підлогу можна покрити плитками, що мають форму: 1) правильних трикутників; 2) правильних чотирикутників; 3) правильних шестикутників. Запропонуйте схему такого покриття. 747. Підлогу покрили плитками, що мають форму правильних чо тирикутників і восьмикутників (мал. 228). Поясніть, чому можливе таке покриття.

Мал. 228

748. Знайдіть розмір отвору h ключа для правильної шестигранної гайки, якщо ширина грані гайки а = 2,5 см (мал. 229). Величи на зазору між гранями гайки та ключа дорівнює 0,5 мм. 749. Найпростіше мансардне покриття утворює у вертикально му перерізі половину правильного восьмикутника (мал. 230). Знайдіть ширину перекриття BD, сторону восьмикутника та висоту мансардної кімнати ABCDE, якщо AE = 6 м.

h a Мал. 229

144

Мал. 230

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

§ 11. ДОВЖИНА КОЛА. ДОВЖИНА ДУГИ КОЛА 1. Довжина кола Ситуація. Учнівство 9-А класу бере участь у шкільному проєкті з озеленення території. Планується облаштувати посеред подвір’я круглу клумбу радіусом 1,5 м. Потрібно порахувати, скільки рулонів бордюрної стрічки знадобиться, щоб обвести клумбу по колу, якщо в одному рулоні міститься 2 м стрічки.

Як визначити кількість рулонів? Спочатку треба знайти довжину кола клумби. У 6 класі за допомогою вимірювання ви встановили формулу для обчислення довжини кола С = 2πR, де R — радіус кола, π ≈ 3,14. Як вивести цю формулу більш строго? Поміркуємо. Подивіться на малюнки 231–233. Зрозуміло, що за умови необмежено го збільшення кількості сторін n вписаного в коло правильного n-кутника його периметр Pn необмежено наближається до довжини кола C. Якщо n дуже велике, то довжина кола дуже мало відрізняється від периметра Pn.

Мал. 231

Мал. 232

Мал. 233

Виведемо формулу для обчислення довжини кола. Візьмемо два до вільні кола (мал. 234). Нехай C і C′ — довжини цих кіл, а R і R′ — їхні радіуси. У кожне із цих кіл впишемо правильні n-кутники з однаковим числом сторін. Позначимо через an і a′n їхні сторони, а через Pn і P′n — їхні периметри. Виразимо периметри цих n-кутників через радіуси R і R′ кіл. 180° 180° Pn =n ⋅ an =n ⋅ 2R sin і Pn′ =n ⋅ an′ =n ⋅ 2R ′ sin . n n 145

Розділ 4

Мал. 234

Pn 2R = . Якщо число Pn′ 2R ′ сторін n необмежено збільшувати, то периметри Pn і P′n прямуватимуть до довжин кіл C і C′, а відношення периметрів — до відношення довжин C C C′ C 2R кіл . Отже, = або = . C′ 2R 2R ′ C ′ 2R ′ Ми довели важливу властивість довжини кола. Поділивши ці рівності почленно, одержимо:

Відношення довжини кола до його діаметра одне й те саме для кожного кола. Це відношення позначають грецькою буквою π (читають «пі»): C = π. 2R Число π — ірраціональне. Його наближене значення: π ≈ 3,14.

Запам’ятайте! Формула довжини кола: C = 2πR. Радіус R або діаметр D кола, довжина якого C, можна знайти з C C формули C = 2πR: R = або D = . π 2π Як визначити кількість рулонів стрічки в ситуації, розглянутій на початку параграфа? Поміркуймо. Знайдемо довжину кола (тобто довжину бордюра навколо клумби): Визначимо, скільки рулонів стрічки знадобиться, щоб обвести клумбу по колу: 146

С = 2 · 3,14 · 1,5 = 9,42 (м). n =

C 9,42 = = 4,71 (шт). 2 2

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Отже, знадобиться 5 рулонів стрічки, оскільки не можна купити частину рулону. 2. Довжина дуги кола

Як знайти довжину дуги кола? Поміркуймо. Спочатку знайдемо довжину дуги, градусна міра якої дорівнює 180°. Це півколо, тому його до вжина вдвічі менша від довжини кола й дорівнює πR. Знайдемо довжину l дуги кола, яка відповідає центральному куту n° (мал. 235). Розгорнутому куту відповідає довжина півкола πR. Отже, куту πR . Тоді куту в 1° відповідає дуга завдовжки 180° πR ⋅n . в n° відповідає дуга, в n разів більша: 180°

Мал. 235

Запам’ятайте! Формула довжини l дуги кола градусної міри n°: l=

πRn° . 180°

Задача

Довжина дуги кола дорівнює 4π см, а її градусна міра — 120°. Знайдіть радіус кола. Розв’язання З формули l = πRn° знаходимо: 180° l ⋅180° 4π⋅180° = = 6 (см). R = πn° π⋅120° Чи зміниться радіус кола, якщо за одиницю вимірювання дуги кола візьмемо 1 мм? Ні. Довжина радіуса не зміниться, але буде виражена інакше: R = 60 мм. 147

Розділ 4

πRn° також знаходимо: 180° 1) радіус R кола за довжиною його дуги l та її градусною мірою n°: l ⋅ 180° R= ; πn° 2) градусну міру n° дуги за її довжиною l та радіусом R кола: l ⋅ 180° n° = . πR Пам’ятайте, що за формулою l =

Дізнайтеся більше 1. Позначення буквою p відношення довжини кола до діаметра в 1706 р. увів англійський математик Вільям Джонс (1616–1703). Воно походить від грецького слова περιφέρεια — периферія, що означає «коло». Леонард Ейлер (1707–1783), застосувавши методи вищої математики, знайшов для π наближення з 153 правильними знаками. Знайти наближення π намагалися ще в глибоку давнину. Вавилоняни (близько 2000 р. до н. е.) відкрили, що радіус шість разів уміщується в колі, звідси було зроблено припущення, що довжина кола дорівнює 6R. У III ст. до н. е. видатний давньогрецький учений Архімед виявив, що значення 22 1 π дуже близьке до значення звичайного дробу , тобто 3 . Це число відрізня7 7 ється від точного значення π менш ніж на 0,002. Простий спосіб запам’ятати число π з точністю до шести значущих цифр після коми: 1) випишіть парами перші три натуральні непарні числа: 113355; 2) розді355 літь список навпіл та поділіть друге число на перше: = 3,141592... 113 2. У 7 класі ви дізналися, що кути вимірюють не лише в градусах, а й у радіанах. Що таке радіанна міра кута? Радіанною мірою кута називається відношення довжини відповідної дуги l π ⋅ n°, кола до його радіуса. З формули для довжини дуги кола випливає, що = R 180° π тобто радіанну міру кута одержуємо з його градусної міри множенням на . 180° π Зокрема, радіанна міра кута 180° дорівнює π, радіанна міра прямого кута — . 2 Одиницею радіанної міри кутів є радіан. Кут в один радіан — це кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу (мал. 236). Градусна міра кута в один радіан дорівнює 180° ≈ 57°. π πn° є радіанною мірою Оскільки дріб 180° дуги, то формулу довжини дуги можна записати ще й так: l = αR, де α — радіанна міра дуги. Отже, довжина дуги кола дорівнює доМал. 236 бутку її радіанної міри на радіус кола.

148

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Словничок Українська Англійська/ English

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

довжина кола

Umfang des Kreises

longueur du cercle

circumference (of a circle)

qr.orioncentr.com.ua/UIBIY

Пригадайте головне 1. Поясніть, чому відношення довжини кола до його діаметра одне й те саме для кожного кола. 2. Запишіть і поясніть формулу для знаходження довжини кола; довжини дуги кола. 3. Яке наближене значення числа π?

Усне тренування Обчисліть: 1) 102 + 62 – 10; 2) 202 + 82 + 100;

122 + 52 + 1; 252 – 52 + 100;

302 – 102 – 400; 92 + 102 – 20.

Розв’яжіть задачі 750'. Чи є правильною рівність: C C 2R 1) = π; 3) = π? = π; 2) R 2R C 751'. Чи правильно записано формулу для знаходження довжини С кола радіусом R: 1) C = πR; 2) C = 2R; 3) C = 2πR? 752'. Чи правильно записано формулу для знаходження довжини l дуги кола радіусом R, що відповідає куту n°: R Rn° πRn° 1) l = ; 2) l = ; 3) l = ? 180° 180° 180° 753°. Накресліть коло. Виміряйте його радіус і знайдіть довжину кола. 754°. Знайдіть довжину кола, радіус якого дорівнює: 1) 5 см; 2) 10 см; 3) 12 см. 755°. Знайдіть довжину кола, якщо його діаметр дорівнює: 1) 4 см; 3) 8 см. 2) 6 см; 756°. Знайдіть радіус кола, довжина якого дорівнює: 1) 4π см; 2) 14π см; 3) 2π см. 149

Розділ 4

757°. R — радіус кола, D — його діаметр, C — довжина кола. Накресліть у зошиті таблицю 27 і заповніть її. Таблиця 27 R D C

2,5 см

11 см 20 см

9,6 см 18,4π см

758°. Побудуйте коло, довжина якого дорівнює: 1) 6π см; 2) 18π см; 3) 20π см. 759°. Як зміниться довжина кола, якщо його радіус: 1) збільшити на 5 см; 2) зменшити на 3 см; 3) збільшити у 2 рази? 760°. Сторона правильного трикутника дорівнює 6 3 см (мал. 237). Знайдіть довжину кола: 1) вписаного в цей трикутник; 2) описаного навколо нього. 761°. Сторона квадрата дорівнює 8 см (мал. 238). Знайдіть довжину кола: 1) вписаного в цей квадрат; 2) описаного навколо нього.

Мал. 237

762°. Знайдіть довжину кола, описаного навколо прямокутника, якщо його сторони дорівню ють: 1) 5 см і 12 см; 2) 7 см і 24 см; 3) 12 см і 16 см. 763°. Знайдіть довжину кола, вписаного в ромб, якщо його сторона і кут дорівнюють: 1) 6 см і 30°; 2) 4 см і 45°; 3) 8 см і 60°.

Мал. 238

764°. Сторона правильного шестикутника до рівнює 10 см (мал. 239). Знайдіть довжину кола: 1) вписаного в цей шестикутник; 2) описаного навколо нього. 765°. Знайдіть довжину дуги кола радіусом 6 см, яка відповідає центральному куту: 1) 30°; 2) 60°; 3) 120°. 150

Мал. 239

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

766°. Знайдіть довжину дуги кола радіусом 4 см, яка відповідає цен тральному куту: 1) 90°; 2) 45°; 3) 135°. 767°. Дузі кола завдовжки l відповідає центральний кут n°. Знайдіть радіус кола, якщо: 1) l = 3 см, n° = 15°; 2) l = 12π см, n° = 20°; 3) l = 6 см, n° = 18°. 768°. R — радіус кола, l — довжина дуги, що відповідає центральному куту n°. Накресліть у зошиті таблицю 28 і заповніть її. Таблиця 28 R

15 см

45°

12 см 40° 20π см

2π см

769°. Довжина дуги кола радіусом R дорівнює l. Знайдіть градусну міру центрального кута, якому відповідає ця дуга, якщо: 1) l = 4π см, R = 9 см; 2) l = 6π см, R = 10 см; 3) l = 8π см, R = 18 см. 770. Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону на відрізки завдовжки b і c, рахуючи від вершини гострого кута. Знайдіть довжину кола, вписаного в ромб, якщо: 1) b = 6 см, c = 4 см; 2) b = 5 см, c = 8 см. 771. Знайдіть довжину кола, вписаного в ромб, якщо його діагоналі дорівнюють: 1) 18 см і 24 см; 2) 12 см і 16 см. 772. У рівнобічну трапецію з основами a і b вписано коло. Знайдіть довжину кола, якщо: 1) a = 2 см, b = 18 см; 2) a = 32 см, b = 18 см. 773. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють a і b, а діагональ — d. Зна йдіть довжину кола, описаного навколо трапеції, якщо: 1) a = 6 см, b = 18 см, d = 20 см; 2) a = 16 см, b = 8 см, d = 13 см. 774. Знайдіть сторону правильного трикутника, якщо: 1) довжина кола, вписаного в цей трикутник, дорівнює 8π см; 2) довжина кола, описаного навколо нього, дорівнює 14π см. 775. Знайдіть сторону правильного шестикутника, якщо: 1) довжина кола, вписаного в цей шестикутник, дорівнює 6 3π см; 2) довжина кола, описаного навколо нього, дорівнює 2π см. 776. Як побудувати коло, довжина якого дорівнює: 1) сумі довжин двох даних кіл; 2) різниці довжин двох даних кіл? 151

Розділ 4

777. Знайдіть довжину кола, якщо вона більша за діаметр: 1) на 10 см; 2) на m. 778. Довжини двох кіл, що мають спільний центр, дорівнюють C і C1. Знайдіть ширину AB кільця (мал. 240), якщо: 1) C = 10π см, C1 = 4π см; 2) C = 16π см, C1 = 6π см. 779. Порівняйте периметри фігур, зображених на малюнках 241 і 242.

Мал. 241

Мал. 240

Мал. 242

780. За даною довжиною дуги l знайдіть хорду, що сполучає її кінці, якщо дуга містить: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°. 781. Знайдіть довжину дуги, якщо хорда, що її стягує, дорівнює a, а дуга містить: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°. 782. За даними на малюнках 243–245 знайдіть периметри зафарбова них фігур.

Мал. 243

Мал. 244

Мал. 245

783*. Три кола попарно дотикаються зовні. Знайдіть довжину кола, яке проходить через точки дотику, якщо радіуси трьох кіл дорів нюють: 1) 9 см, 16 см, 20 см; 2) 1 см, 2 см, 3 см. 152

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

784*. У колі по один бік від центра проведено дві паралельні хорди завдовжки a і b. Відстань між хордами дорівнює с. Знайдіть дов жину кола, якщо: 1) a = 40 см, b = 48 см, c = 8 см; 2) a = 120 см, b = 32 см, c = 38 см. 785*. Діаметр 2R кола поділено на n рівних частин і на кожній із цих частин, як на діаметрі, побудовано коло. Чому дорівнює сума довжин цих кіл? 786*. Дуга в 60° довша за хорду, що стягує її, на 14 см. Знайдіть довжину хорди. 787*. Дуга радіусом 4 см, що відповідає центральному куту в 120°, дорівнює довжині деякого кола. Знайдіть радіус цього кола. 788*. В одному з двох кіл, що перетинаються, дуга, яку стягує їхня спільна хорда, дорівнює 45°, а в іншому — 60°. Яке коло має біль шу довжину? 789*. Спільна хорда двох кіл стягує дуги в 60° і 120°. Знайдіть відношен ня довжин цих кіл.

Проявіть компетентність 790. Скільки стовпчиків потрібно для будівництва паркана навколо майданчика, що має форму круга, якщо відстань між стовпчи ками (за дугою кола) має дорівнювати приблизно півтора метра, а діаметр майданчика — 60 м? 791. Щоб знайти товщину дерева (діаметр), можна виміряти його обхват (довжину кола). Знайдіть товщину дерева, обхват якого дорівнює: 1) 2 м; 2) 2,5 м. 792. На котушці є 80 витків дроту. Знайдіть довжину дроту, якщо діаметр котушки дорівнює 0,5 м. 793. Вантаж піднімають за допомогою блока, який зображено на малюн ку 246. На яку висоту підніметься вантаж за 9 обертів блока, якщо його діаметр дорівнює 20 см? 794. Як знайти відстань до води в ко лодязі, якщо можна виміряти ді аметр вала, на який намотується ланцюг для відра? 795. Знайдіть довжину земного еква тора, якщо радіус земної кулі до рівнює 6381 км.

Мал. 246

153

Розділ 4

§ 12. ПЛОЩА КРУГА ТА ЙОГО ЧАСТИН 1. Площа круга Ситуація. Максим, Андрій і Наталка вирішили замовити піцу. На сайті піцерії є дві пропозиції за однаковою ціною: велика піца діаметром 30 см або дві малі піци діаметром 20 см кожна. Хлопці стверджують, що одну велику піцу замовити вигідніше. А Наталка з ними не погоджується.

Як визначити, яку пропозицію вигідніше вибрати? Знайти площі кругів великої і двох малих піц. Ви вже знаєте, що кругом називають частину площини, обмежену колом (мал. 247). Виведемо формулу для обчислення площі круга. Впишемо в круг радіусом R правильний многокутник ABCD…F (мал. 248) й обчислимо його площу. Радіуси, проведені у вершини мно гокутника, розбивають його на n трикутників, кожний з яких дорівнює трикутнику AOF. Тому SABCD…F = n · S∆AOF. Проведемо висоту ОK трикутника AOF. 1 Мал. 247 Оскільки S= AF ⋅ OK , то SABCD...F = ∆AOF 2 1 P ⋅ OK = , де Р — периметр n-кут ( nAF ⋅ OK=) 2 2 ника. За досить великого n периметр Р як за вгодно мало відрізняється від довжини кола C = 2πR, висота ОK — від радіуса R кола, а пло ща многокутника SABCD…F як завгодно мало від різняється від площі S круга. Тоді площа круга дорівнює: CR 2πR ⋅ R S= = = πR 2 . 2 2

Запам’ятайте! Формула площі круга радіусом R: S = πR2.

154

Мал. 248

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Яку пропозицію вибрати в ситуації, розглянутій на початку параграфа? Поміркуймо. Площа великої піци S = π · 152 ≈ 706,5 (см2), загальна площа двох малих піц S = 2 · π · 102 ≈ 628 (см2). Отже, одна велика піца має більшу площу, ніж дві малі, тому вигідніше замовити велику.

Задача Знайдіть радіус круга, площа якого дорівнює 25π см2. S 25π 2 Розв’язання З формули S = πR2 одержимо: R= = = 25 (см2). Звід π

си= R

= 25 5 (см). Чи зміниться радіус круга, якщо за одиницю вимі рювання площі круга візьмемо 1 мм? Ні.

Справді, довжина радіуса не зміниться, але буде виражена інакше: R = 50 мм. Радіус R або діаметр D круга, площа якого дорівнює S, можна знайти з формули S = πR2: R=

S S або D = 2 . π π

2. Площа кругового сектора та сегмента Для яких частин круга зазвичай знахо дять площу? Для кругового сектора і сегмента.

Запам’ятайте! Круговим сектором називається частина круга, обмежена двома радіусами й дугою. На малюнку 249 сектор АОВ зафарбовано. Дугу, що обмежує сектор, називають дугою сектора. 155

Розділ 4

Нехай сектор АОВ круга радіусом R має цен тральний кут n°. Тоді площа сектора із централь πR 2 ним кутом в 1° дорівнює , а площу сектора із 360° центральним кутом n° визначають за формулою: Sсект. =

πR2 n° . 360° Мал. 249

Запам’ятайте! Круговим сегментом називають частину круга, обмежену хордою й дугою. На малюнку 250 сегмент АМВ зафарбовано. Розглянемо сегмент круга, дуга якого містить n°. Якщо n° < 180 (мал. 250), то площа сегмента дорівнює різниці площ сектора АОВ і ∆АОВ, а якщо n° > 180° — то їхній сумі (мал. 251).

Мал. 250

Мал. 251

Отже, площу кругового сегмента визначають за формулою: = Sсегм.

πR2 n° ± S∆AOB . 360°

Яка формула площі сегмента з дугою 180°? Поміркуймо. Такий сегмент — це півкруг, тому його площа дорівнює: S= 156

πR 2 . 2

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Дізнайтеся більше 1. Стародавні греки намагалися побудувати циркулем і лінійкою квадрат, рівновеликий даному кругу, і в такий спосіб точно обчислити площу круга. Задача дістала назву — квадратура круга. Один із підходів до розв’язування цієї задачі обрав Гіппократ з острова Хіос (південна частина Егейського моря), який жив у V ст. до н. е. Задачу про квадратуру круга вчений намагався розв’язати, відшуковуючи квадратуру серпків — фігур, обмежених дугами двох кіл. Найпростіші серпки Гіппократа L1 і L2 (мал. 252) можна отримати, якщо в півколо вписати прямокутний трикутник АВС і на його Мал. 252 катетах як на діаметрах побудувати півкола. Учений довів, що площа двох серпків дорівнює площі триS∆ABC . кутника: SL1 + SL2 = Наступна задача, на думку Гіппократа, була найближчою до розв’язання проблеми квадратури круга. У півколо вписано рівнобічну трапецію АВСD — половину правильного шестикутника — і на її трьох рівних сторонах побудовано півкола (мал. 253). Тоді сума площ утворених трьох однакових серпків дорівнює площі трапеції: SL1 + SL2 + SL3 = S∆ABCD .

Мал. 253

Це вперше в історії математики за допомогою циркуля та лінійки вдалося перетворити фігуру, обмежену кривими лініями, на рівновелику їй прямолінійну фігуру. Учений сподівався, що те саме можна зробити з кругом. Але сподівання були марними. Неможливість розв’язати задачу про квадратуру круга була доведена наприкінці XIX ст. німецьким математиком Карлом Ліндеманом (1852–1939). Внесок Гіппократа був гідно поцінований — і сьогодні вживається термін «Гіппократові серпки». Вираз «квадратура круга» в повсякденному житті означає, що дану задачу, проблему розв’язати не можна. 2. Слово «сектор» походить від латинського sector — той, що відсікає. Слово «сегмент» теж латинського походження й означає відрізок. 3. Білоусова Віра Петрівна (1906–1986) — кандидатка фізико-математичних наук, професорка, відома фахівчиня в галузі геометрії та навчання геометрії. Життя і творчість Віри Петрівни нерозривно пов’язані з Київським державним університетом. Після закінчення механіко-математичного факультету (1932) і аспірантури на кафедрі геометрії вона захистила кандидатську дисертацію (1941), працювала доцентом (з 1944), професором (з 1970) кафедри геометрії. Учениця професора Б. Я. Букрєєва. Має численні нагороди. Підручник «Аналітична геометрія» В. П. Білоусової, І. Г. Ільїна, О. П. Сергунової та В. П. Котлової перевидавався декілька разів і тривалий час залишався базовим навчальним посібником для студентів механіко-математичних, математичних та фізико-математичних факультетів університетів України.

157

Розділ 4

Словничок Українська Англійська/ English

площа круга

area of a circle

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

Fläche des Kreises

aire du cercle

qr.orioncentr.com.ua/71tIn

Пригадайте головне 1. Запишіть і поясніть формулу для знаходження площі круга. 2. Що таке сектор; сегмент? 3. Запишіть і поясніть формулу для знаходження площі кругового сектора. 4. Поясніть, як знайти площу кругового сегмента.

Усне тренування Обчисліть: 1) (25 : 0,5 + 9 : 0,1 – 30) · 0,01; 2) 100 : (0,5 · 80 + 6 : 0,1) – 1.

Розв’яжіть задачі 796'. Чи правильно записано формулу для знаходження площі S круга радіусом R: 1) S = π; 2) S = πR; 3) S = πR2? 797'. Чи правильно записано формулу для знаходження площі S круго вого сектора радіусом R, що відповідає куту n°: πR 2 πR 2n° πR 2n° 1) S = ; 2) S = ; 3) S = ? 180° 180° 360° 798°. Накресліть коло та виміряйте його радіус. Обчисліть площу круга, обмеженого цим колом. 799°. Знайдіть площу круга, радіус якого дорівнює: 1) 4 см; 2) 6 см; 3) 9 см. 800°. Знайдіть площу круга, якщо його діаметр дорівнює: 1) 10 см; 2) 12 см; 3) 16 см. 801°. Знайдіть радіус круга, площа якого дорівнює: 1) 25π см2; 2) 9π см2; 3) 36π см2. 802°. Накресліть круг, площа якого дорів нює: 1) 4π см2; 2) 16π см2; 3) 49π см2. 158

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

803°. S — площа круга, R і C — радіус і довжина його кола. Накресліть у зошиті таблицю 29 і заповніть її. Таблиця 29 R 10 см C S

3 см 20π см

2π см 25π см

9,42 см 12π см

15,7π см 9π см

804°. Знайдіть довжину кола, якщо площа круга дорівнює: 1) 4π см2; 2) π см2; 3) 81π см2. 805°. Як зміниться площа круга, якщо його радіус: 1) збільшити у 3 рази; 2) зменшити у 2 рази; 3) збільшити в 4 рази? 806°. Знайдіть радіус круга, якщо його площа та довжина кола мають одне й те саме числове значення. 807°. Знайдіть площу круга, якщо довжина його кола дорівнює: 1) π см; 2) 6π см; 3) 8π см. 808°. Сторона правильного трикутника дорівнює 4 3 см. Знайдіть площу круга: 1) вписаного в цей трикутник; 2) описаного навколо нього. 809°. Знайдіть площу круга, вписаного у квадрат й описаного навколо нього, якщо сторона квадрата дорівнює: 1) 10 см; 2) 14 см; 3) 18 см. 810°. Знайдіть площу круга, якщо сторони вписаного в нього прямокут ника дорівнюють: 1) 6 см і 8 см; 2) 10 см і 24 см; 3) 12 см і 16 см. 811°. Сторона правильного шестикутника дорівнює 12 см. Знайдіть площу круга: 1) вписаного в цей шестикутник; 2) описаного навко ло нього. 812°. Знайдіть площу сектора круга радіу сом 6 см, якщо відповідний цьому сек тору центральний кут дорівнює: 1) 10°; 2) 20°; 3) 100°. 813°. Знайдіть площу сектора круга раді усом 18 см, якщо дуга сектора дорів нює: 1) 2π см; 2) 5π см; 3) 8π см. 814°. Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус кола дорівнює R, а дуга містить: 1) 30°; 2) 45°; 3) 120°; 4) 270°; 5) 320°. 815°. Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус кола дорівнює R, а дуга містить: 1) 90°; 2) 60°. 159

Розділ 4

816. Доведіть, що площу круга можна обчислювати за формулами: πD2 C C2 1) S = ; 2) S = R; 3) S = . 4 2 4π 817. Доведіть, що довжину кола можна обчислювати за формулою: = C 2 πS , де S — площа круга. 818. Що більше — площа круга, побудованого на відрізку а як на діаметрі, чи площа півкруга, побудованого на відрізку 2а як на діаметрі? 819. У скільки разів площа півкруга радіусом R більша за суму площ R двох півкругів з радіусами ? 2 820. У правильний трикутник вписано коло, і навколо цього трикутни ка описано коло. Яка залежність між площами кругів, обмежених указаними колами? 821. Знайдіть діаметр круга, якщо його площа дорівнює: 1) сумі площ двох кругів з радіусами 3 см і 4 см; 2) різниці площ двох кругів з радіусами 10 см і 8 см. 822. Знайдіть площі кругів, описаного навколо правильного трикутни ка і вписаного в нього, якщо площа трикутника дорівнює: 1) 12 3 см2; 2) 3 3 см2. 823. Знайдіть площі кругів, описаного навколо квадрата і вписаного в нього, якщо площа квадрата дорівнює: 1) 16 см2; 2) 36 см2. 824. Знайдіть відношення площ вписаного й описаного кругів: 1) для правильного трикутника; 2) для квадрата; 3) для правильного шестикутника. 825. Радіуси двох кіл зі спільним центром дорівнюють R і r (мал. 254). Виведіть формулу для обчислення площі кільця, обмеженого цими колами. 826. Знайдіть площу кільця, обмеженого двома колами зі спільним центром, якщо радіуси кіл дорівнюють: 1) 2 см і 8 см; 2) 4,6 см і 5,4 см.

Мал. 254

827. Всередині даного круга проведено коло, яке ділить його площу навпіл. Знайдіть радіус цього кола. 828. Площа сектора круга радіусом R дорівнює S. Знайдіть централь ний кут сектора, якщо: 1) R = 3 см, S = 4π см2; 2) R = 10 см, S = 20π см2. 160

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

829. Площа сектора дорівнює S, а центральний кут, що відповідає цьо му сектору, дорівнює n°. Знайдіть радіус круга, якщо: 1) S = 25 см2, n° = 18°; 2) S = 14 см2, n° = 45°. 830. Доведіть, що площу сектора можна обчислювати за формулою: lR S= , де l — дуга сектора; R — радіус круга. 2 831. На малюнках 255 і 256 зображено вписаний у коло й описаний на вколо кола правильний трикутник. Знайдіть площі зафарбованих частин фігур, якщо радіус кола дорівнює R.

Мал. 255

Мал. 256

832. На малюнках 257 і 258 зображено вписаний у коло й описаний навколо кола правильний чотирикутник. Знайдіть площі зафарбо ваних частин фігур, якщо радіус кола дорівнює R.

Мал. 257

Мал. 258

833*. Навколо круга, площа якого дорівнює S, описано ромб із кутом 30°. Знайдіть площу цього ромба. 834*. 1. Навколо правильного трикутника з пло щею Q описано коло, і в цей самий трикут ник вписано коло (мал. 259). Знайдіть пло щу кільця, обмеженого цими колами. 2. Узагальніть задачу для правильного n-кутника і розв’яжіть її.

Мал. 259

161

Розділ 4

835*. У кільці, утвореному двома колами зі спільним центром, хорда більшого кола, що дотикається до меншого кола, дорівнює m. Зна йдіть площу кільця. 836*. Дуга сегмента містить 120°, а її довжина дорівнює l. Знайдіть пло щу круга, вписаного в цей сегмент. 837*. У круговий сектор із центральним кутом 60° вписано коло радіусом r (мал. 260). Знайдіть відношення площі сектора до площі круга, обмеженого цим колом.

Мал. 260

Мал. 261

Мал. 262

838*. Три кола радіусом R попарно дотикаються зовні (мал. 261). Об числіть площу «криволінійного трикутника», обмеженого дугами цих кіл. 839*. На кожній стороні квадрата завдовжки а зовні нього побудова но півколо, і навколо квадрата описано коло (мал. 262). Знайдіть суму площ зафарбованих серпків.

Проявіть компетентність 840. Дві водопровідні труби з діаметрами 6 см і 8 см потрібно замінити однією трубою з такою самою пропускною здатністю. Знайдіть діаметр цієї труби. 841. Обчисліть площу поперечного пере різу дерева, якщо його обхват (до вжина кола) дорівнює: 1) 90 см; 2) 1,5 м. 842. Якої товщини шар потрібно зняти з круглого мідного дроту, що має площу перерізу 314 мм2, щоб дріт проходив крізь отвір діаметром 18,5 мм? 162

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

843. Поперечним перерізом заготовки є круг з діаметром 30 мм. Після обробки заготовки її поперечним перерізом стає квадрат зі стороною 20 мм. Який відсоток становлять відходи металу? 844. Навколо круглої клумби є доріжка, що прилягає до клумби. Довжина зовнішнього кола доріжки дорівнює 25 м, а її ширина — 0,5 м. Який об’єм піску потрібно використати, щоб посипати ним доріжку, якщо на 1 м2 доріжки витрачають 0,8 дм3 піску?

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 4 КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ 1. Поясніть, як описати коло навколо правильного многокутника та як вписати в нього коло. 2. Виведіть формули для радіусів вписаного й описаного кіл правильного n-кутника. 3. Поясніть, як побудувати правильний шестикутник, трикутник і чотирикутник. 4. Поясніть, чому відношення довжини кола до його діаметра одне й те саме для кожного кола. 5. За якою формулою обчислюють довжину кола; довжину дуги кола? 6. Запишіть і поясніть формулу для обчислення площі круга; кругового сектора. 7. Поясніть, як знайти площу кругового сегмента.

1°. Знайдіть кут правильного n-кутника, якщо n = 6. А. 100°. Б. 110°. В. 120°. Г. 90°. 2°. Знайдіть радіус кола, довжина якого дорівнює 20π см. А. 5 см. Б. 15 см. В. 20 см. Г. 10 см. 3°. Знайдіть довжину кола, якщо площа круга дорівнює 16π см2. А. 6π см. В. 10π см. Б. 12π см. Г. 8π см. 4. Знайдіть довжину дуги кола радіусом 9 см, що відповідає цен тральному куту 20°. А. 4π см. Б. 2π см. В. π см. Г. 6 см. 5*. Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, якщо радіус описаного кола дорівнює 8 3 см. А. 8 см. В. 24 см. Б. 10 см. Г. 12 см. 163

Розділ 5. Геометричні перетворення У розділі дізнаєтесь: що таке переміщення та які його властивості; про симетрію відносно точки та прямої, поворот, паралельне перенесення та про їх застосування в природі, техніці, архітектурі; що таке перетворення подібності та які його властивості; як застосовувати вивчені означення та властивості на практиці й у розв’язуванні задач

§ 13. Переміщення. Паралельне перенесення 1. Що таке переміщення Ситуація. Учнівство 9-А класу готується до ярмарку. Вони хочуть створити красивий рекламний плакат із візерунком. Дизайнер надіслав їм один базовий елемент візерунка, а також схему всього плаката. Але елемент надісланий лише один, а на плакаті його потрібно відтворити кілька разів, щоб отримати потрібний візерунок. Малювання окремо кожного елемента займе багато часу й може призвести до неточностей.

Як швидко й точно завершити декорування плаката? За допомогою переміщення базового елемента візерунка. Подивіться на малюнок 263. Кожну точку півкола змістили так, що одержали відрізок. Говорять, що півколо відобразили на відрізок. Мож на також сказати, що відрізок утворився з півкола в результаті геоме тричного перетворення. Далі коротко будемо говорити: перетворення. Зрозуміло, що дане перетворення не зберігає відстань між точками цих фігур: Х′Y′ ≠ ХY. Перетворення, подане на малюнку 264, за якого фігура F відобража ється у фігуру F′, є особливим. Воно зберігає відстань між відповідними точками фігур. Будь-які дві точки Х і Y фігури F переходять у точки Х′ і Y′ фігури F′ так, що Х′Y′ = ХY. Таке перетворення є переміщенням.

Запам’ятайте! Геометричне перетворення називається переміщенням, якщо воно зберігає відстань між точками. 164

Геометричні перетворення

Мал. 263

Мал. 264

Мал. 265

На малюнку 265 деяке перетворення переводить дане коло в коло іншого радіуса. Чи є це перетво рення переміщенням? Ні, бо воно не зберігає відстань між відповід ними точками: ОХ ≠ О′Х′. 2. Властивості переміщення Які властивості має переміщення? Їх подано в таблиці 30. Таблиця 30 Переміщення

Властивості 1. Точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій. 2. Зберігається порядок взаємного розміщення точок на прямій. 3. Пряма переходить у пряму (а в а′), промінь — у промінь. 4. Відрізок переходить у рівний йому відрізок: А′В′ = АВ, В′С′ = ВС, А′С′ = АС. 5. Кут переходить у рівний йому кут: ∠А′ = ∠А, ∠В′ = ∠В, ∠С′ = ∠С. 165

Розділ 5

Чи переводить переміщення будь-яку фігуру в рівну їй фігуру? Так. Тому поняття «рівні фігури» можна визначити за допомогою понят тя «переміщення».

Запам’ятайте! Дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться переміщенням одна в одну.

Чому за допомогою переміщення можна швидко завершити декорування плаката в ситуації, роз глянутій на початку параграфа? Тому, що переміщення переводить будь-яку фігуру в рівну їй фігуру.

3. Паралельне перенесення Подивіться на малюнок 266. Кожну точ ку фігури F змістили в одному й тому само му напрямку (уздовж паралельних прямих ХХ′, АА′, ВВ′…) на одну й ту саму відстань (ХХ′ = АА′ = ВВ′…). Одержали фігуру F′. Говорять, що фігура F перейшла у фігуру F′ унаслідок паралельного перенесення на век тор XX ′ .

Мал. 266

Запам’ятайте! Перетворення, за якого всі точки фігури зміщуються в одному й тому самому напрямку й на одну й ту саму відстань, називають паралельним перенесенням.

Чи є паралельне перенесення переміщенням? Відповідь дає теорема. 166

Геометричні перетворення

Запам’ятайте! Теорема (властивість паралельного перенесення) Паралельне перенесення є переміщенням. Дано: перетворення, що є паралельним перенесенням. Довести: дане перетворення є переміщенням. Доведення. Нехай Х і Y — дві довільні точки фігури F (мал. 267). Паралельне пере несення переводить їх у точки Х′ і Y′ фігу ри F′. Доведемо, що X′Y′ = XY. За означен ням паралельного перенесення, XX′ = YY′ і XX′ || YY′. Тоді чотирикутник XYY′X′ — па ралелограм (за ознакою). У паралелограмі Мал. 267 протилежні сторони рівні, отже, X′Y′ = XY. (Випадок, коли рівні відрізки XX′ і YY′ ле жать на одній прямій, розгляньте самостійно.) НАСЛІДОК 1. Паралельне перенесення має всі властивості переміщення. НАСЛІДОК 2. При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе. Справді, паралельність прямих випливає з паралельності відрізків XY і X′Y′ (мал. 267). Якщо ж пряма паралельна вектору паралельного перенесення, то кожна точка прямої переходить у точку цієї самої пря мої, а сама пряма переходить сама в себе. Щоб побудувати точку Х′, у яку переходить точка Х при паралельному перенесенні на вектор AA′ , скористайтеся наслідком 2 і проведіть паралельні прямі так, як показано на малюнку 268.

Мал. 268

Чи існує паралельне перенесення, за якого одна сто рона трикутника переходить в іншу його сторону? Не існує. Справді, при паралельному перенесенні пряма переходить у пара лельну їй пряму, а в трикутнику сторони не можуть бути паралельними.

Задача

У рівнобічній трапеції гострий кут дорівнює 60°. Доведіть, що бічна сторона трапеції дорівнює різниці її основ. 167

Розділ 5

Розв’язання Нехай а, b — основи, с — бічна сторона рівнобічної трапеції (мал. 269). Дове демо, що с = а – b. Виконаємо паралельне пе ренесення так, щоб точка В бічної сторони АВ перейшла в точку С. Тоді точка А перейде в точку K. Оскільки паралельне перенесення є переміщенням, то воно переводить кут у рів Мал. 269 ний йому кут. Отже, ∠DKC = ∠KAB = 60°. Тоді ∆KCD — рівносторонній і KD = c. З іншого боку, KD = AD – AK = AD – BC = a – b. Маємо: c = a – b. Де застосовують паралельне перенесення на практиці? Наприклад, у мистецтві. Паралельне перенесення малюнків (вони однакові й періодично по вторюються) є на вишивках, шпалерах, тканинах, паркетній підлозі, орнаментах. На малюнках 270–272 подано орнаменти на старовинній грецькій вазі (мал. 270), вітражі в соборі Паризької Богоматері (Фран ція, Середньовіччя) (мал. 271), на стіні палацу Дарія в Сузах (Давня Персія) (мал. 272).

Мал. 270

Мал. 271

Мал. 272

Дізнайтеся більше 1. Давайте поміркуємо над поняттям «відображення фігур». Нехай k і k′ — два кола зі спільним центром О (мал. 273). Вважатимемо, що кожній точці Х першого кола відповідає точка Х′ другого, яка лежить на проме ні ОХ. При цьому кожна точка другого кола поставлена у відповідність деякій точці першого кола. Крім того, різним точкам першого кола відповідають різні точки другого кола. Ми одержали відображення кола k на коло k′. Відображенням фігури F на F′ називають таку відповідність, за якої: 1) кожній точці фігури F відповідає певна точка фігури F′;

168

Мал. 273

Геометричні перетворення 2) кожна точка фігури F′ поставлена у відповідність деякій точці фігури F; 3) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F′. Чи кожна відповідність між точками фігур буде відображенням цих фігур? Ні. На малюнку 274 зображено відрізки АВ і СD. Кожній точці Х відрізка АВ поставлено у відповідність основу Х′ перпендикуляра, проведеного з точки Х до відрізка СD. Поясніть, чому задана відповідність не буде відображенням відрізка АВ на відрізок СD. 2. Значний внесок у розвиток шкільної геометрії зробив відомий український математик Семенович Олександр Федорович (1920–2009), який про йшов шлях від учителя математики сільської школи Мал. 274 до професора, завідувача кафедри геометрії та методики викладання математики Черкаського пед інституту. Наукові інтереси О. Ф. Семеновича формувалися під впливом видатних педагогів та педагогинь А. М. Фішер, С. О. Яновської, А. М. Колмогорова. У 1949 р. О. Ф. Семенович захистив дисертацію на тему «Про числення точок», і його подальша наукова діяльність була пов’язана з геометрією та її викладанням. Творчий доробок ученого становить понад 150 праць, серед яких книги з проєктивної геометрії та основ геометрії, навчальні й методичні посібники для вчительства та учнівства. Він один з авторів шкільних підручників з геометрії 60–70-х років ХХ ст.

Словничок Українська Англійська/ English

перемі щення

displace ment

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

Verschiebung, f

translation

qr.orioncentr.com.ua/DASLe

Пригадайте головне 1. Яке перетворення називається переміщенням? 2. У які фігури переходять під час переміщення прямі, промені, відрізки й кути? 3. Які дві фігури називаються рівними? 4. Яке перетворення називають паралельним перенесенням? 5. Поясніть, чому при паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе. 6. Назвіть властивості паралельного перенесення.

169

Розділ 5

Усне тренування Обчисліть: 1) 30 + 42 – 20; 2) 92 + 108 – 200;

52 + 120 + 41; 111 + 301 + 50;

58 + 242 – 600; 188 + 212 + 59.

Розв’яжіть задачі 845'. Чи правильно, що переміщення: 1) не зберігає відстані між точками; 2) зберігає відстані між точками? 846'. Чи правильно, що при переміщенні точки, що лежать на одній прямій, переходять у точки: 1) що не лежать на одній прямій; 2) що лежать на одній прямій? 847'. Чи правильно, що при переміщенні порядок точок на прямій: 1) не зберігається; 2) зберігається? 848'. Чи правильно, що при переміщенні пряма переходить у: 1) відрізок; 2) промінь; 3) пряму; 4) кут? 849'. Чи правильно, що фігури, які суміщаються при переміщенні, є: 1) нерівними; 2) рівними? 850'. На якому з малюнків 275, а – в, зображено паралельне перенесен ня, що переводить трикутник АВС в трикутник А′В′С′?

Мал. 275

170

Геометричні перетворення

851°. Перетворення переводить трикутник АВС у трикутник А′В′С′ (мал. 276). Чи є це перетворення переміщенням? Відповідь поясніть.

Мал. 276

Мал. 277

852°. На малюнку 277 переміщення перево дить відрізок АВ у відрізок СD. 1. У які точки переходять точки Х і Y при цьому переміщенні? 2. У які фігури переходять відрізки АХ і ХY? 3. Чи рівні відрізки АХ і СХ′, ХY і Х′Y′, ВY і DY′? Відповідь поясніть. 853°. Чи існує переміщення, яке переводить відрізок АВ у відрізок СD, якщо: 1) АВ = 4 см, СD = 6 см; 2) АВ = 5 см, СD = 5 см? 854°. Переміщення переводить фігуру F у фігуру F′. Чи рівні фігури F і F′? 855°. Переміщення переводить відрізок АВ у відрізок А′В′. Який із записів правильний: 1) АВ > А′В′; 2) АВ = А′В′; 3) АВ < А′В′? 856°. Дано відрізок АВ і точку М, що не лежить на прямій АВ. Виконай те паралельне перенесення відрізка АВ так, щоб: 1) точка А перейшла в точку М; 2) точка В перейшла в точку М; 3) середина відрізка АВ перейшла в точку М. 857°. При паралельному перенесенні точка А пере ходить у точку В (мал. 278). За клітинками побудуйте точку D, у яку переходить точка С при цьому паралельному перенесенні. 858°. Чи може пряма при паралельному перене сенні перейти сама в себе?

Мал. 278

171

Розділ 5

859°. Чи існує паралельне перенесення, за якого: 1) одна зі сторін прямокутника пере ходить в іншу його сторону; 2) одна сторона трикутника переходить в іншу його сторону? 860°. Накресліть прямокутник ABCD. Виконайте паралельне перенесення цього прямокутника так, щоб: 1) точка А перейшла в точку С; 2) точка D перейшла в точку А; 3) точка А перейшла в точку В. 861°. За клітинками побудуйте фігуру, у яку пере ходить трикутник АВС (мал. 279) при пара лельному перенесенні, що переводить: 1) точку А в точку С; 2) точку С в точку В. 862°. Відрізки АВ і СD — рівні. У якому випадку існує паралельне перенесення, що перево дить один із цих відрізків у інший?

Мал. 279

863°. Позначте точки А, В і С. Побудуйте точку, у яку переходить точка А при паралельному перенесенні, що переводить: 1) точку В в точку С; 2) точку С в точку В. Розгляньте два випадки: а) точка С лежить на прямій АВ; б) точка С не лежить на прямій АВ. 864°. Виконайте паралельне перенесення даного кола так, щоб його центр О перейшов у дану точку О1. 865. Чи існує переміщення, що переводить ∆АВС у ∆А′В′С′, якщо: 1) ∠А = 110°, ∠В′ = 120°; 2) ∠С = 20°, ∠А′ = 60°; 3) АС = 6 см, А′В′ = В′С′ = 3 см? 866. Чи рівні два квадрати, якщо: 1) рівні їхні діагоналі; 2) рівні їхні периметри? 867. Чи рівні два прямокутники, якщо: 1) рівні їхні діагоналі; 2) рівні їхні периметри? 172

Геометричні перетворення

868. У крузі з центром О проведено діаметри АВ і СD. Яка фігура рівна частині круга: 1) АОС; 2) АОD? 869. Дві частини, з яких складається фігура F, відповідно рівні двом частинам, з яких складається фігура F′. Чи рівні ці фігури? Виконайте малюнок. 870. Прямокутник поділено на дві частини, як показано на малюнку 280. Чи рівні ці частини? 871. Чи можна поділити різносторонній три кутник на дві рівні частини? Для яких трикутників такий поділ можливий? 872. Доведіть, що переміщення переводить: 1) трикутник у рівний йому трикутник; 2) паралелограм у рівний йому парале лограм.

Мал. 280

873. За даними на малюнку 281 доведіть, що паралелограми АВСD і А′В′С′D′ — рівні. 874. Чи рівні два паралелограми, якщо в них рівні: 1) дві діагоналі та кут між ними; 2) сторона і дві діагоналі; 3) периметри; 4) дві сусідні сторони й зовнішній кут? 875. Побудуйте фігури, які рівні фігурам, зо браженим на малюнках 282 і 283 (для побудови можна скористатися ліній кою, циркулем, косинцем або калькою). Обчисліть площі цих фігур, зробивши найменшу кількість вимірювань.

Мал. 282

Мал. 281

Мал. 283

173

Розділ 5

876. За яких умов відрізок АВ можна перевести у відрізок СD за допомогою паралельного перенесення? 877. Дано паралельні прямі а і b. Скільки існує паралельних перене сень, що переводять одну із цих прямих в іншу? Відповідь пояс ніть. 878. При паралельному перенесенні відрізка АВ точка А переходить у точку В, а точка В — у точку В′. Доведіть, що точка В — середина відрізка АВ′. 879. Виконайте паралельне перенесення квадрата АВСD зі стороною 4 см так, щоб точка А перейшла в точку О перетину діагоналей. Знайдіть площу спільної частини даного й утвореного квадратів. 880. Доведіть, що різниця основ трапеції більша за різницю бічних сто рін і менша від їх суми. Якщо в умові задачі дано трапецію, то корисно паралельно перенести бічну сторону або діагональ так, як показано на малюнках 284 і 285, а потім скористатися властивостями утвореного трикутника. 881. Доведіть, що в рівнобічній трапеції кути при основі рівні.

Мал. 284

882. Якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція — рівнобічна. Доведіть. 883. У рівнобічній трапеції більша основа до рівнює 6 см, бічна сторона — 2 см, а кут між ними — 60°. Знайдіть меншу основу трапеції.

Мал. 285

884*. Доведіть, що ромби рівні, якщо вони мають рівні діагоналі. 885*. Доведіть, що переміщення переводить многокутник у многокут ник з відповідно рівними сторонами й кутами. 886*. Доведіть, що переміщення переводить паралельні прямі в пара лельні прямі. 887*. У рівнобічній трапеції гострий кут дорівнює 60°. Доведіть, що біль ша основа трапеції дорівнює сумі меншої основи й бічної сторони. 888*. Доведіть, що сума діагоналей трапеції більша за суму її основ. 889*. Якщо в трикутнику дві медіани рівні, то він рівнобедрений. Доведіть. 174

Геометричні перетворення

Проявіть компетентність 890. Опишіть ситуацію математичною мовою: 1) машина виїхала з гаража й зупинилася; 2) викрійку сорочки поклали на тканину; 3) чайник переставили з однієї конфорки плити на іншу; 4) шафу пересунули від однієї стіни кімнати до іншої; 5) книжки поставили на полицю. 891. Виокремте базовий елемент орнаменту та опишіть математич ною мовою принцип побудови такого орнаменту: 1) на малюнку 286; 2) на малюнку 287; 3) на малюнку 288.

Мал. 286

Мал. 287

Мал. 288

892. Села А і B розташовані на різних берегах річки (мал. 289). У якому місці потрібно побудувати міст, щоб шлях між селами був найкоротшим?

Мал. 289

175

Розділ 5

§ 14. СИМЕТРІЯ ВІДНОСНО ТОЧКИ І ПРЯМОЇ 1. Симетрія відносно точки Ситуація. Юля виготовляє круглу в’язану серветку в подарунок бабусі. За її задумом, у центрі серветки має бути квітка, а навколо — парами пришиті намистинки, щоб узор мав гармонійний вигляд.

Як визначити місце для другої намистинки, якщо першу вже пришито? Застосувати симетрію відносно точки — центра серветки.

Запам’ятайте! Дві точки Х і Х′ площини називають симетричними відносно точки О, якщо точка О є серединою відрізка ХХ′ (мал. 290).

Мал. 290

Мал. 291

Щоб побудувати точку Х′, симетричну точці Х відносно точки О проведіть промінь ХО, відкладіть на ньому з іншого боку від точки О відрізок ОХ′ = ОХ (мал. 291). Перетворення, за якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х′ фігури F′, си метричну відносно даної точки О, називають симетрією відносно точки О. При цьому фі гури F і F′ називають симетричними відносно точки О (мал. 292). Симетрію із центром O називають також центральною симетрією. Якщо перетворення симетрії відносно точ ки О переводить фігуру F у себе, то таку фігуру називають центрально-симетричною, а точку О — її центром симетрії.

Мал. 292

Чи є квадрат центрально-симетричною фігурою? Так. 176

Геометричні перетворення

Центром його симетрії є точка перетину діагона лей (мал. 293).

Запам’ятайте! Теорема (властивість симетрії відносно точки) Симетрія відносно точки є переміщенням. Мал. 293

Дано: перетворення, яке є симетрією відносно точки. Довести: дане перетворення є перемі щенням. Доведення. Нехай симетрія відносно точки О переводить довільні точки X i Y фігу ри F у точки Х′ і Y′ фігури F′ (мал. 294). ∆X′OY′ = ∆XOY — за двома сторона ми та кутом між ними. У них ОХ′ = ОХ, Мал. 294 ОY′ = ОY за означенням симетрії відносно точки, ∠X′OY′ = ∠XOY як вертикальні. З рівності трикутників випливає: X′Y′ = XY. Це означає, що симетрія відносно точки є переміщенням. (Випадок, коли точки X, Y, O лежать на одній прямій, розгляньте самостійно). НАСЛІДОК. Симетрія відносно точки має всі властивості переміщення.

Задача 1 Доведіть, що паралелограм є центрально-симетричною фігу рою відносно точки перетину його діагоналей. Розв’язання

Нехай О — точка перетину діагоналей паралелограма АBCD (мал. 295). Оскільки діагоналі AC і BD точкою О ділять ся навпіл, то точки A і C, B і D симетричні відносно точки О. Тоді сторони AB і CD, BC i DA також симетричні відносно точки О. Тому симетрія відносно точки перетину діа Мал. 295 гоналей паралелограма переводить його в себе. Фігури, що мають центр симетрії, часто трапляються в довкіллі. Наприклад, пропелер літака (мал. 296), орнамент (мал. 297), квітка (мал. 298), сніжинка (мал. 299). 177

Розділ 5

Мал. 296

Мал. 297

Мал. 298

Мал. 299

2. Симетрія в прямокутному паралелепіпеді Усі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда перетинаються в одній точці О й діляться цією точкою навпіл (мал. 300). Точка О — центр симетрії паралелепі педа. Тому АО = ОС1, ВО = ОD1, СО = ОА1, DО = ОВ1. (Цю властивість пізніше доведемо для будь-якого пара лелепіпеда.)

A1 B1 A

C1 C

Мал. 300

3. Симетрія відносно прямої Ситуація. Учениця, ознайомившись на уроках технологій з методикою конструювання швейних виробів, вирішила пошити пряму спідницю. Для цього вона виготовила викрійки для передньої та задньої частини спідниці. Щоб розкроїти передню частину виробу, вона склала тканину навпіл і приклала до лінії згину T1H1 відповідну викрійку. Так само діяла під час Ò розкрою задньої частини виробу. У результаті отримала симетричні відносно лінії згину тканини деталі спідниці.

Що було основою конструювання прямої спідниці?

Ò1

Á2

Á1

Симетрія відносно прямої.

Запам’ятайте!

Í1

Дві точки Х і X′ площини називають симетричними відносно прямої l, якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка ХX′ і проходить через його середину (мал. 301). Якщо точка Х лежить на прямій l, то симетрич ною їй точкою є сама точка Х. Щоб побудувати точку X′, симетричну точці Х відносно прямої l, проведіть з точки Х перпендикуляр ХО до прямої l і на його продов женні з іншого боку від прямої l відкладіть відрізок ОX′ = ОХ (мал. 301). 178

Мал. 301

Геометричні перетворення

Перетворення, за якого кожна точка Х фі гури F переходить у точку X′ фігури F′, симе тричну відносно даної прямої l, називають симетрією відносно прямої l. При цьому фігури F і F′ називають симетричними відносно прямої l (мал. 302). Пряму l називають віссю симетрії. Симетрію відносно прямої l називають також осьовою симетрією. Якщо перетворення симетрії відносно пря мої l переводить фігуру F у себе, то цю фігуру називають симетричною відносно прямої l (або осесиметричною), а пряму l — віссю симетрії фігури. Наприклад, пряма, що проходить че рез центр кола, є віссю симетрії цього кола (мал. 303).

Мал. 302

Чи є діагоналі квадрата осями його симетрії? Так.

Мал. 303

Справді, такий висновок випливає з того, що діагоналі квадрата вза ємно перпендикулярні і в точці перетину діляться навпіл.

Запам’ятайте! Теорема (властивість симетрії відносно прямої) Симетрія відносно прямої є переміщенням. Дано: перетворення, яке є симетрією відносно прямої. Довести: дане перетворення є переміщенням. Доведення. Нехай симетрія відносно прямої l переводить довільні точки X, Y фігури F у точки X′, Y′ фігури F′. Розглянемо загальний випадок, коли точки X, Y не лежать на прямій, перпендикулярній до прямої l (мал. 304). Доведемо, що X′Y′ = XY. Нехай пряма l перетинає відрізки XX′ і YY′ від повідно в точках A і B. ∆ABX′ = ∆ABX як прямокут ні з рівними катетами. У них ∠X′AB = ∠XAB = 90°, AX′ = AX за означенням осьової симетрії, сторо Мал. 304 на AB — спільна. Звідси випливає: BX′ = BX і ∠ABX′ =∠ABX. 179

Розділ 5

∆X′Y′B = ∆XYB за двома сторонами й кутом між ними. У них BX′ = BX за доведеним, BY′ = BY за означенням осьової симетрії, ∠X′BY′ = ∠XBY (∠XBY = 90° – ∠ABX, ∠X′BY′ = 90°– ∠ABX′). З рівності трикутників випливає: X′Y′ = XY. (Випадки, коли точки X і Y лежать на прямій l або на прямій, перпендикулярній до l, розгляньте самостійно.) НАСЛІДОК. Симетрія відносно прямої має всі властивості переміщення.

Задача 2 Доведіть, що прямі a і a′, симетричні відносно осі симетрії l, або перетинаються в точці, яка лежить на осі симетрії, й утворюють з віссю симетрії рівні кути, або паралельні їй. Розв’язання Можливі два випадки. 1. Пряма а перетинає вісь l у деякій точці О (мал. 305). Оскільки при осьовій симетрії точка О переходить у себе, то вона лежить і на симетрич ній прямій a′. Таким чином, симетричні прямі a і a′ перетинаються в точці, яка лежить на осі l. Кути 1 і 2, утворені цими прямими з віссю l, симе Мал. 305 тричні відносно прямої l і тому є рівними. 2. Пряма а паралельна осі симетрії l. Пряма a′, симетрична прямій a, не може перетинати вісь l, оскільки тоді пряма а також перетинала б вісь l (випадок 1). Отже, a′ || l. Фігури, що мають вісь симетрії, часто трапляються в техніці (мал. 306), архітектурі (мал. 307, 308), природі (мал. 309), побуті (мал. 310).

Мал. 306

Мал. 307

Мал. 308

Мал. 309

Мал. 310

Дізнайтеся більше 1. Слово «симетрія» грецького походження й у перекладі означає сумірність, правильне відношення, однаковість у розміщенні частин. 2. Симетрію широко застосовують у художніх композиціях, зокрема у вишивках. Історія української вишивки своїм корінням сягає у глибину віків. Вишивкою, за свідченням давньогрецького вченого Геродота, був прикрашений одяг скіфів. Українські майстрині оздоблювали вишитими орнаментами не лише одяг, а й предмети побуту — рушники, скатертини, наволочки, серветки тощо.

180

Геометричні перетворення

При цьому в різних регіонах України вишивки мали свій колорит і техніку виконання (мал. 311).

Мал. 311

Наприклад, на Харківщині й Луганщині різнокольорові вишивки виконували грубою ниткою, через що узори справляли враження рельєфних (мал. 312). А для гуцульських вишивок характерним є густе заливання тла, коли велика кількість дрібних елементів заповнює площину орнаменту, а візерунок окреслюється тонкими просвітками (мал. 313).

Мал. 312

Мал. 313

Словничок Українська Англійська/ English

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

симетрія

Symmetrie, f

symétrie

symmetry

qr.orioncentr.com.ua/pNWtV

181

Розділ 5

Пригадайте головне 1. Які дві точки називають симетричними відносно даної точки? 2. Яке перетворення називають симетрією відносно даної точки? 3. Яку фігуру називають центрально-симетричною? 4. Назвіть властивості симетрії відносно точки. 5. Які дві точки називають симетричними відносно даної прямої? 6. Яке перетворення називають симетрією відносно даної прямої? 7. Яку фігуру називають симетричною відносно даної прямої? 8. Назвіть властивості симетрії відносно прямої.

Усне тренування Обчисліть: 1) 10 + 42 – 30; 2) 82 + 118 – 100;

52 + 100 + 48; 11 + 389 + 100;

68 + 132 – 200; 180 + 220 – 300.

Розв’яжіть задачі 893'. Чи правильно, що кінці відрізка симетричні відносно точки, що: 1) не є серединою цього відрізка; 2) є серединою цього відрізка? 894'. Чи правильно, що симетрія відносно точки: 1) не є переміщенням; 2) є переміщенням? 895'. Чи правильно, що кінці відрізка симетричні відносно прямої, яка: 1) не проходить через середину цього відрізка, але перпендикуляр на до нього; 2) проходить через середину цього відрізка, але не перпендикуляр на до нього; 3) проходить через середину цього відрізка й перпендикулярна до нього? 896'. Чи правильно, що симетрія відносно прямої: 1) не є переміщенням; 2) є переміщенням? 897°. Які з точок Х і X′, зображених на малюн ку 314, а – в, симетричні відносно точки О? Відповідь поясніть. 898°. Позначте точки A і О. Побудуйте точку В, симетричну точці А відносно точки О. 899°. Накресліть відрізок АВ й позначте точку М, яка не лежить на відрізку АВ. Побудуйте відрізок, симетричний відрізку АВ відносно точки М. 182

Мал. 314

Геометричні перетворення

900°. Позначте точки А і В. За допомогою лінійки побудуйте точку, від носно якої симетричні точки А і В. 901°. Дано трикутник АВС. Побудуйте фігуру, симетричну трикутнику АВС відносно: 1) вершини С; 2) середини О сторони ВС; 3) точки K, що лежить поза трикутником. 902°. Знайдіть координати точки А′, яка си метрична точці А (3; 5) відносно точ ки: 1) О (0; 0); 2) С (3; 0); 3) D (–1; –1). 903°. На координатній площині побудуйте відрізок А′В′, симетричний відрізку АВ, де А (2; 2), В (6; 6), відносно: 1) початку координат; 2) точки М (4; 0); 3) кінця А відрізка АВ. Запишіть координати точок А′ і В′. 904°. Побудуйте фігуру, симетричну даному правильному трикутнику АВС відносно: 1) вершини А; 2) точки М, що є серединою сторони ВС; 3) точки О, що є точкою перетину медіан трикутника. 905°. Побудуйте фігуру, симетричну даному колу із центром О відносно: 1) точки А, що лежить на колі; 2) точки В, що лежить поза колом; 3) точки С, що лежить усередині кола. 906°. Назвіть у кубі АВСDА1В1С1D1 (мал. 315): 1) вершини, симетричні вершинам А, В, В1, А1 від носно центра його симетрії; 2) ребра, симетричні ребрам АD і АВ відносно цен тра його симетрії.

A1 B1 A

C B 907°. Назвіть у кубі АВСDА1В1С1D1 (мал. 315): Мал. 315 1) вершини, симетричні вершинам D, С, D1, С1 від носно центра його симетрії; 2) ребра, симетричні ребрам ВВ1 і СС1 відносно центра його симетрії.

908°. Які з точок Х і X′, зображених на малюнках 316, а – в, симетричні відносно прямої l? Відповідь поясніть. 183

Розділ 5

909°. Проведіть пряму а й позначте точку М, що не лежить на прямій а. Побудуйте точку N, симетричну точці М відносно прямої а. 910°. За клітинками побудуйте фігуру, симетричну трикутнику АВС відносно прямої l (мал. 317).

Мал. 316

Мал. 317

911°. Позначте точки М і N. За допомогою лінійки та косинця побудуй те пряму l, відносно якої симетричні ці точки. 912°. Побудуйте трикутник, симетричний трикутнику АВС відносно прямої l, яка: 1) не перетинає трикутник; 2) перетинає трикутник; 3) містить сторону АС трикутника. 913°. Дано точки А, В і С, що не лежать на одній прямій. Побудуйте точ ку, симетричну: 1) точці С відносно прямої АВ; 2) точці В відносно прямої АС; 3) точці А відносно прямої ВС. 914°. Побудуйте фігуру, симетричну: 1) чотирикутнику відносно однієї з його сторін; 2) прямокутнику відносно однієї з його діагоналей; 3) трапеції відносно її середньої лінії. 915°. Побудуйте фігуру, симетричну даному колу відносно прямої, яка: 1) не перетинає коло; 2) дотикається до кола; 3) перетинає коло. 916°. Знайдіть координати точки, симетричної точці А (–4; 5) відносно: 1) осі OX; 2) осі OY. 184

Геометричні перетворення

917°. Знайдіть координати кінців відрізка А′В′, симетричного відрізку АВ від носно осі OX, якщо: 1) А (2; 1), В (4; 1); 2) А (–3; –3), В (3; 3); 3) А (3; 2); В (6; 4). 918. Побудуйте фігуру, симетричну даному відрізку АВ відносно точки О, якщо: 1) точка О лежить на відрізку; 2) точка О не лежить на відрізку, але лежить на прямій, яка міс тить відрізок. 919. Дано точки А, В і С, що не лежать на одній прямій. При симетрії відносно деякої точки точка В переходить у точку С. Побудуйте точку, у яку при цій симетрії переходить точка А. 920. Доведіть, що при симетрії відносно точки пряма, яка не проходить через цю точку, переходить у паралельну їй пряму. 921. Вершина В трикутника АВС при симетрії відносно середини сторони АС переходить у точку D. Доведіть, що чотирикутник АВСD — паралелограм. 922. Знайдіть координати вершин трикутника А′В′С′, який симетрич ний трикутнику АВС відносно початку координат, якщо: 1) А (1; 2), В (4, 6), С (7, 3); 2) А (4, –2), В (1; 2), С (–2; 6). 923. Чи має центр симетрії: 1) відрізок; 2) промінь; 3) коло? 924. Дано точки А, В і С, що не лежать на одній прямій. Доповніть їх четвертою точкою D так, щоб чотирикутник АВСD мав центр симетрії. 925. Доведіть, що чотирикутник, який має центр симетрії, — паралелограм. 926. Доведіть, що фігура, яка складається з двох паралельних прямих, є центрально-симетричною. Знайдіть геометричне місце центрів симетрії цих прямих. 927. Дано довільний трикутник АВС й довільну точку А′. Побудуйте трикутник, симетричний даному відносно деякої прямої так, щоб точка А перейшла в точку А′. 928. Доведіть, що пряма, яка містить бісектрису кута, є його віссю симетрії. 185

Розділ 5

929. Доведіть, що пряма, яка містить висоту рівнобедреного трикутни ка, проведену до основи, є віссю симетрії трикутника. 930. Точки перетину двох кіл симетричні відносно прямої, що прохо дить через їхні центри. Доведіть. 931. Доведіть, що діагоналі ромба є його осями симетрії. 932. Якщо трикутник має вісь симетрії, то він рівнобедрений. Доведіть. 933. Доведіть, що коли трапеція має вісь симетрії, то вона рівнобічна. 934. Доведіть, що пряма, яка проходить через середини основ рівнобіч ної трапеції, є її віссю симетрії. 935. Скільки осей симетрії може мати чотирикутник? Наведіть при клади. 936. Вершина В рівнобедреного трикутника АВС при симетрії відносно прямої, що містить основу АС, переходить у точку D. Доведіть, що чотирикутник АВСD — ромб. 937*. Дано точки А і О. Скориставшись тільки циркулем, побудуйте точ ку А′, симетричну точці А відносно точки О. 938*. Дано кут МОN і довільну точку Р, яка лежить у внутрішній об ласті кута. Побудуйте відрізок з кінцями на сторонах кута й сере диною в даній точці Р. За малюнком 318 складіть план побудови.

Мал. 318

Мал. 319

939*. Побудуйте відрізок так, щоб його середина була в даній точці Р, а кінці — на даній прямій а й на даному колі (мал. 319). 940*. Скориставшись тільки циркулем, побудуйте точку, симетричну даній точці відносно даної прямої. 941*. Доведіть, що коли трикутник має дві осі симетрії, то він має й тре тю вісь симетрії. 942*. Дано пряму l і точки А і В з одного боку від неї. На прямій l зна йдіть таку точку N, щоб сума відстаней АN + ВN була найменшою. 943*. Дано гострий кут АВС й точку М усередині його. На сторонах кута знайдіть такі точки Х і Y, щоб трикутник МХY мав найменший периметр. 186

Геометричні перетворення

Проявіть компетентність 944. Базовий елемент орнаменту містить два елементи. Опишіть математичною мовою принцип побудови такого орнаменту: 1) на малюнку 320; 2) на малюнку 321.

Мал. 320

Мал. 321

945. Дано частину базового елемента орнамен ту (мал. 322). 1. На основі цієї частини побудуйте пов ний базовий елемент орнаменту, викорис тавши симетрію відносно: а) точки O; б) прямої ОМ. 2. Побудуйте орнамент із трьох базових елементів. 946. З одного боку від газопроводу розташовані Мал. 322 міста А і В. У якому місці газопроводу слід побудувати газову підстанцію, щоб при розподілі газу для міст А і В витратити найменшу кількість труб?

187

Розділ 5

§ 15. ПОВОРОТ Ситуація. Дарина вишивала рушник з традиційним орнаментом. Вона вишила одну деталь квітки — пелюстку. Потрібно було рівномірно розмістити ще 5 таких пелюсток навколо центра квітки. Якщо квітка має 6 пелюсток, то 360° : 6 = 60°. Це означає, що кожна наступна пелюстка повернута на 60° відносно попередньої. Дарина виконала розмітку пелюсток за допомогою кальки. Поклала кальку на вишиту пелюстку та обвела її. Потім знайшла центр квітки, повернула кальку на 60° навколо центра та обвела другу пелюстку. Далі повернула ще на 60° — обвела третю і т. д.

Як Дарина визначила розташування пелюсток квітки? Застосувала поворот. Нехай дано кут α і точку О (мал. 323). Візьме мо довільну, відмінну від О, точку Х. Точці Х по ставимо у відповідність таку точку X′, що: 1) кут між променями ОХ і ОX′ дорівнює α; 2) відстані ОХ і ОX′ — рівні. Такий перехід точки Х у точку X′ називають поворотом навколо точки О на кут α проти го динникової стрілки. Сама точка О внаслідок пово роту переходить у себе. Точку О називають центром повороту, кут між променями ОХ і ОX′ — кутом повороту проти годинникової стрілки (мал. 323). Якщо центр О і кут α повороту задано, то точку X′, у яку переходить точка Х унаслідок повороту проти годинникової стрілки, будуємо так (мал. 324): проводимо промінь ОХ; від променя ОХ відкладаємо кут ХОА, що дорівнює куту α; на промені ОА знаходимо точку X′, таку, що ОX′ = ОX. Якщо на площині дано деяку фігуру F, то для кожної її точки Х можна знайти точку X′, у яку пе рейде точка Х унаслідок повороту навколо точки О на кут α (мал. 325). У результаті одержимо фігуру F′, у яку перейшла фігура F при заданому пово роті. При цьому точка О переходить у себе. 188

Мал. 323

Мал. 324

Мал. 325

Геометричні перетворення

Поворот на кут 180° навколо точки О є симетрією відносно точки О (мал. 326).

Запам’ятайте! Теорема (властивість повороту) Поворот є переміщенням. Мал. 326

Дано: перетворення, що є поворотом. Довести: дане перетворення є переміщенням. Доведення. Нехай поворот навколо точки О на кут α переводить точки Х, Y фі гури F у точки Х′, Y′ фігури F′ (мал. 327). Доведемо, що Х′Y′ = ХY. Розглянемо загаль ний випадок, коли точки О, Х, Y не лежать на одній прямій. ∆ОХ′Y′ = ∆ОХY за двома сторонами й ку том між ними. У них ОХ′ = ОХ, ОY′ = ОY за означенням Мал. 327 повороту і ∠Х′ОY′ = ∠ХОY (кожний із цих кутів дорівнює різниці кута α й кута YОХ′). З рівності трикутників випливає Х′Y′ = ХY. Випадок, коли точки О, Х, Y лежать на одній прямій, розгляньте самостійно. НАСЛІДОК. Поворот має всі властивості переміщення. Чому вдалося правильно розташувати пелюст ки квітки в ситуації, розглянутій на початку параграфа? Скористалися властивостями повороту.

Задача

Побудуйте відрізок, у який пере ходить відрізок АВ при повороті навколо точки О на кут 70° за годинниковою стріл кою.

Розв’язання Проведемо промені ОА і ОВ (мал. 328). Відкладемо за годинниковою стрілкою ∠ АОN = 70° і ∠ВОМ = 70°. На про мені ОN відкладемо відрізок ОА′ = ОА, а на промені ОМ — відрізок ОВ′ = ОВ. Сполучи мо точки А′ і В′. Відрізок А′В′ — шуканий.

Мал. 328

189

Розділ 5

У яку фігуру перейде при повороті на деякий кут відрізок, кінець якого збігається із центром повороту? У відрізок, рівний даному.

Дізнайтеся більше

Розглянемо фігури, зображені на малюнках 329–331. Кожна з цих фігур внаслідок повороту навколо точки О на деякий кут переходить у себе. Правильний 360°   трикутник (мал. 329) переходить у себе при повороті на кут 120° 120° = 3   навколо його центра О.

Мал. 329

Мал. 330

Мал. 331

Справді, ОА = ОВ = ОС, ∠АОВ = ∠ВОС =∠АОС = 120°, тому трикутник АВС переходить у себе при даному повороті. Аналогічно можна показати, що квадрат переходить у себе при повороті на 360° навколо його центра (мал. 330), правильний шестикутник — при повокут 4 360° роті на кут навколо його центра (мал. 331). Зрозуміло, що будь-який 6 правильний многокутник з n вершинами переходить у себе внаслідок повороту 360° навколо свого центра на кут . Якщо фігура F внаслідок повороту навколо n 360° деякої точки О на кут (n — натуральне число) переходить у себе, то кажуть, n що ця фігура має симетрію обертання порядку n. Отже, рівносторонній трикутник, квадрат, правильний шестикутник, правильний n-кутник мають симетрію обертання порядку 3, 4, 6, n відповідно.

Словничок Українська Англійська/ English

поворот qr.orioncentr.com.ua/JDux9

190

rotation

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

Drehung, f

rotation

Геометричні перетворення

Пригадайте головне 1. Що таке поворот? 2. Що таке центр повороту; кут повороту? 3. Доведіть, що поворот є переміщенням. 4. Сформулюйте властивості повороту.

Усне тренування Обчисліть: 1) 81 + 16; 2) 92 + 42;

144 − 121; 122 – 112;

196 − 49; 142 – 72;

64 + 100; 82 – 102.

Розв’яжіть задачі 947'. На якому з малюнків 332, а – в, точка А перейшла в точку А′ унаслідок повороту навколо точки О на кут α? 948'. За допомогою транспортира побудуйте ∠МОN = 60°. На стороні ОМ кута позна чте точку Х. На стороні ON знайдіть точ ку Х′, у яку перейде точка Х внаслідок повороту навколо точки О на кут 60°. 949'. За клітинками побудуйте відрізок А′В′, у який переходить відрізок АВ при по вороті навколо точки О на кут 90° проти годинникової стрілки (мал. 333). 950°. Дано точки О і А. Побудуйте точку А′, у яку переходить точка А при повороті на вколо точки О: 1) на кут 50° за годинниковою стрілкою; 2) на кут 120° проти годинникової стрілки; 3) на кут 180° за годинниковою стрілкою.

Мал. 332

Мал. 333

951°. Дано відрізок АВ і точку О, що лежить на прямій АВ. Виконайте поворот відрізка АВ навколо точки О: 1) на кут 80° проти годинникової стрілки; 2) на кут 140° за годинниковою стрілкою; 3) на кут 90° за годинниковою стрілкою. 952°. Розв’яжіть задачу 951 за умови, що точка О не лежить на прямій АВ. 953°. Накресліть відрізок АВ. Виконайте поворот відрізка АВ: 1) навколо точки А на кут 150° за годинниковою стрілкою; 191

Розділ 5

2) навколо точки В на кут 60° проти годинникової стрілки; 3) навколо середини відрізка на кут 40° за годинниковою стрілкою. 954°. У яку фігуру перейде при повороті на деякий кут: 1) пряма, що проходить через центр повороту; 2) коло, центр якого збігається із центром повороту; 3) кут з вершиною в центрі повороту? 955°. У трикутнику АОВ АО = ОВ. Побудуйте трикутник, у який пере ходить трикутник АОВ при повороті навколо точки О: 1) на кут АОВ за годинниковою стрілкою; 2) на кут АОВ проти годинникової стрілки; 3) на кут 120° за годинниковою стрілкою. 956°. Побудуйте кут, у який переходить прямий кут MON при повороті навколо вершини О на кут 45°: 1) за годинниковою стрілкою; 2) проти годинникової стрілки. 957. Накресліть пряму a та позначте точку М, яка не лежить на прямій. Побудуйте пряму, у яку переходить пряма a при повороті навколо точки М: 1) на кут 90° за годинниковою стрілкою; 2) на кут 45° проти годинникової стрілки. 958. Виконайте поворот даного кола навколо точки А на кут 90°, якщо: 1) точка А лежить поза колом; 2) точка А лежить на колі. 959. Позначте точки Х і Х′. Побудуйте геометричне місце центрів по воротів, за яких точка Х переходить у точку Х′. 960. Дано два рівні кола. Знайдіть геометричне місце центрів поворо тів, за яких одне коло переходить в інше. 961. Побудуйте фігуру, у яку переходить трикутник АВС при повороті на кут 90° за годинниковою стрілкою навколо: 1) вершини С; 2) середини сторони АС; 3) точки О, що лежить поза трикутником. 962. Накресліть квадрат ABCD. Побудуйте квадрат, у який переходить квадрат ABCD при повороті за годинниковою стрілкою: 1) навколо вершини D на кут 135°; 2) навколо центра квадрата на кут 45°. 963. Доведіть, що квадрат при повороті навколо точки перетину його діагоналей на кут 90° переходить у себе. 192

Геометричні перетворення

964. Доведіть, що рівносторонній трикутник при повороті навколо точки перетину його висот на кут 120° переходить у себе. 965. Через центр правильного трикутника проведено дві прямі, кут між якими дорівнює 60°. Доведіть, що відрізки цих прямих, які містяться між сторонами трикутника, рівні між собою. 966. Через центр квадрата проведено дві взаємно перпендикулярні прямі. Доведіть, що відрізки прямих, які містяться всередині квадрата, — рівні. 967*. Дано два кола. Поворотом на кут 45° одне коло переводиться в інше. Побудуйте центр цього повороту. 968*. Дано два рівні відрізки АВ і А′В′. Побудуйте центр повороту О, за якого точка А переходить у точку А′, а точка В — у точку В′. Чи завжди можна знайти центр такого повороту? 969*. Нехай на сторонах АВ і ВС трикутника АВС побудовано квадрати ABPQ і BCMN. Квадрат ABPQ і трикутник АВС розміщені з різних боків відносно прямої АВ, а квадрат BCMN і трикутник АВС — з одного боку відносно прямої ВС. Доведіть, що відрізки PN i AC — рівні й перпендикулярні. 970*. При повороті навколо точки А на кут 60° кінець В відрізка ВС переходить у кінець С, а кінець С — у точку D. Доведіть, що точки A, B, C і D — вершини ромба. 971*. Виконайте поворот рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом завдовжки 1 см навколо вершини прямого кута на 45°. Знайдіть площу спільної частини даного трикутника і трикутни ка, який одержали при повороті.

Проявіть компетентність 972. Опишіть ситуацію математичною мовою: 1) подивившись на годинник, Андрій по бачив, що пройшло: а) чверть години; б) пів години; 2) розкрили складаний ніж; 3) шматок мотузки склали вдвічі. 973. Стрілки годинника показують 12 год. Який час показуватиме годинник, якщо хвилинна стрілка здійснить поворот: 1) на 60°; 2) на 120°; 3) на 150°?

193

Розділ 5

974. Потрібно виготовити розкладний столик так, щоб у закритому стані його кришка (стільниця) була розміщена, як показано на малюнку 334, у відкритому — як на малюнку 335. У яко му місці потрібно помістити шип, поворотом навколо якого кришка столу переходила б із положення, зображеного на ма люнку 334, у положення, зображене на малюнку 335? Під час розв’язування скористайтеся малюнком 336.

Мал. 334

Мал. 335

Мал. 336

§ 16. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДІБНОСТІ 1. Що таке перетворення подібності Ситуація. Учнівство 9-А класу вирішило прикрасити стіну шкільного коридору великим плакатом з емблемою школи. Є лише ескіз емблеми розміром 5 см × 5 см, а потрібно зробити зображення розміром 1 м × 1 м. Постала проблема: як збільшити малюнок, щоб емблема на ньому була подібна емблемі на ескізі. Якщо це зробити «на око», то форма може спотворитися. Вирішили, за аналогією з подібністю трикутників, знайти відношення між відповідними елементами малюнка на плакаті та ескізі. Ескіз емблеми має сторону 5 см, а її зображення на плакаті — 1 м = 100 см, тоді коефіцієнт подібності 100 = k = 20. Звідси, якщо на ескізі букви мали висоту 1 см, то на малюнку їх висота 5 має дорівнювати 1 × 20 = 20 (см); якщо проміжок між елементами ескізу становить 0,5 см, то на малюнку він буде дорівнювати 0,5 × 20 = 10 (см) і т. д. У такий спосіб вони створили малюнок на плакаті, подібний ескізу емблеми школи.

Як учні й учениці створили емблему на малюнку, що зберегла форму емблеми на ескізі? Скористалися подібністю фігур. 194

Геометричні перетворення

Запам’ятайте! Перетворення, що переводить фігуру F у фігуру F′, за якого відстані між відповідними точками змінюються в тому самому відношенні k > 0, називають перетворенням подібності, або подібністю (мал. 337). Це означає, що коли довільні точки Х і Y фігури F при перетворенні подібності перехо дять у точки Х′ і Y′ фігури F′, то Х′Y′ = k · XY, де k > 0. Число k називають коефіцієнтом подібності. У чому особливість перетворення в ситуації, розглянутій на початку параграфа? Розміри зображення змінилися, але форма залишилася тією самою.

Мал. 337

2. Властивості перетворення подібності Чи існує зв’язок між перетворенням подібності й переміщенням? Так. Справді, переміщення можна розглядати як перетворення подібнос ті з коефіцієнтом k = 1. Переміщення є окремим випадком перетворення подібності.

Запам’ятайте! Теорема (властивість перетворення подібності) При перетворенні подібності точки, що лежать на прямій, пере ходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення. Дано: перетворення, що є перетворенням подібності. Довести: 1) точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій; 2) зберігається порядок взаємного розміщення точок на прямій. 195

Розділ 5

Доведення. Нехай точки А, В і С лежать на одній прямій і точка В лежить між точками А і С (мал. 338). Тоді АС = АВ + ВС. Деяке перетворення подібності переводить точки А, В і С в точки А′, В′ і С′. За означенням перетворення подібності маємо: А′С′= k · АС = k · (AB + BC) = = k · AB + k · BC = A′B′ + B′C′. З рівності А′С′ = А′В′ + В′С′ випливає, що точки Мал. 338 А′, В′ і С′ лежать на одній прямій, а точка В′ лежить між точками А′ і С′. НАСЛІДОК. Перетворення подібності прямі переводить у прямі, промені — у промені, відрізки — у відрізки. Приймемо без доведення ще таку властивість: перетворення по дібності переводить кут у рівний йому кут. Властивості перетворення подібності подано в таблиці 31. Таблиця 31 Перетворення подібності

Властивості 1. Пряма переходить у пряму (а в а′), промінь — у промінь. 2. Відрізок переходить у відрізок (АВ в А′В′, ВС в В′С′, АС в А′С′). 3. Кут переходить у рівний йому кут (∠A′ =∠A, ∠B′ =∠B, ∠C′ =∠C).

3. Подібні фігури

Запам’ятайте! Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Якщо фігура F подібна фігурі F′, то записують F  F′ або (коли треба вказати коефіцієнт подіб k ності) F  F′. Подібні фігури добре відомі з практики. Напри клад, подібними є внутрішній і зовнішній бордюри клумби (мал. 339); скановані копії документа, які 196

Мал. 339

Геометричні перетворення

зберегли в різних, але пропорційних форматах; дві однакові географічні карти різного масштабу; те саме фото, яке роздивляємось на смартфоні й на планшеті тощо. Прикладами подібних геометричних фігур можуть бути будь-які два квадрати (мал. 340), два кола (мал. 341).

Мал. 340

Мал. 341

Із властивостей перетворення подібності випливає, що в подібних фігурах відповідні кути рівні, а відповідні відрізки — пропорційні. Зокрема, в подібних многокутниках АВС… Е і А′В′С′… Е′ (мал. 342): ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′,…, ∠E = ∠Е′ і

AB BC EA = = ... = . A ′B′ B′C′ E′A ′

Як пов’язані площі подібних фігур? Відповідь дає теорема.

Запам’ятайте! Теорема (про відношення площ подібних многокутників) Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності. Мал. 342

Дано: F i F′ — подібні многокутники з коефіцієн том подібності k (мал. 343).

Мал. 343

Довести:

SF ′ = k2 . SF 197

Розділ 5

Доведення. Розіб’ємо многокутник F на трикутники ∆1, ∆2,…, ∆n (мал. 343). Оскільки многокутники F i F′ подібні, то існує перетворення подібності, яке переводить многокутник F у многокутник F′, а трикут ники розбиття многокутника F — у трикутники ∆′1, ∆′2,…, ∆′n відповід ного розбиття многокутника F′. Площа многокутника F дорівнює сумі площ трикутників ∆1, ∆2,…, ∆n, а площа многокутника F′ дорівнює сумі площ трикутників ∆′1, ∆′2,…, ∆′n. Якщо коефіцієнт подібності дорівнює k, то сторони й висоти трикутників многокутника F′ у k разів більші за відповідні сторони й висоти трикутників многокутника F. 2 = S∆1′ k= S∆1 , S∆2′ k2 S∆= ,..., S∆n′ k2 S∆n . Звідси випливає: 2 Додавши ці рівності почленно, одержимо:

(

)

SF ′ = S∆1′ + S∆2′ + ... + S∆n′ = k2 S∆1 + S∆2 + ... + S∆n = k2 SF . Отже,

SF ′ = k2 . SF

Цей факт справджується для будь-яких фігур. Коефіцієнт подібності k дорівнює відношенню довжин відповідних лінійних елементів фігур F i F′. Площі подібних фігур відносяться як квадрати їхніх відповідних лінійних елементів. 4. Подібність у піраміді Якщо у гранях трикутної піраміди SАВС про ведемо відрізки А1В1, А1С1 і В1С1, паралельні відпо відним сторонам основи (мал. 344), то отримаємо пари подібних трикутників: ∆SАВ  ∆SА1В1, ∆SАС  ∆SА1С1, ∆SВС  ∆SВ1С1. Обґрунтуйте цей факт, спираючись на першу ознаку подібності трикутників. Крім того, отриманий у перерізі трикутник А1В1С1 є подібним трикутнику основи АВС, а також отримана піраміда SА1В1С1 подібна даній піраміді SАВС (ці властивості доведемо пізніше).

S A1

Ñ1 B1

B Мал. 344

Дізнайтеся більше Розглянемо особливий спосіб побудови подібних фігур (мал. 345, 346). Нехай F — дана фігура. Позначимо довільну точку О. Через кожну точку Х фігури F проведемо промінь ОХ і відкладемо на ньому відрізок ОХ′, що дорівнює k · OX. Одержимо шукану фігуру F′.

198

Геометричні перетворення

На малюнку 345 точки Х і Х′ лежать на одному промені ОХ, а на малюнку 346 — на доповняльних променях ОХ і ОХ′. Щоб розрізняти ці випадки, вважають, що в першому випадку k > 0, а в другому — k < 0. Фігури F і F′ називають гомотетичними.

Мал. 345

Мал. 346

Перетворення називається гомотетією, якщо воно переводить кожну точку Х фігури F у точку Х′ фігури F′ так, що OX′ = k OX , де k — будь-яке число, відмінне від нуля, О — фіксована точка, Х′ ∈ ОХ. Число k називають коефіцієнтом гомотетії, точку О — центром гомотетії. На малюнку 347 трикутник АВС при гомотетії з центром О та коефіцієнтом k = 2,2 переходить у трикутник А1В1С1, а при гомотетії з коефіцієнтом k = –2 й тим самим центром — у трикутник А2В2С2.

Мал. 347

Словничок Українська Англійська/ English

перетво рення подібності

similarity transforma tion

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

Ähnlich keitstransfor mation, f

transforma tion de simili tude

qr.orioncentr.com.ua/6G4aw

199

Розділ 5

Пригадайте головне 1. Що таке перетворення подібності? 2. Доведіть, що при перетворенні подібності точки, що лежать на прямій, переходять у точки, які також лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення. 3. У які фігури переходять прямі, промені, відрізки, кути під час перетворення подібності? 4. Які дві фігури називаються подібними? Наведіть приклади подібних фігур. 5. Сформулюйте теорему про відношення площ подібних многокутників.

Усне тренування Обчисліть: 1) 52 + 42 – 10; 2) 33 + 32 – 50;

23 + 42 – 4; 82 + 122 – 8; 92 + 32 + 10; 102 + 52 – 125.

Розв’яжіть задачі 975'. На якому з малюнків 348, а – б, зображено перетворення подібнос ті, що переводить трикутник АВС в трикутник А′В′С′?

Мал. 348

976'. Чи достатньо лише рівності відповідних кутів двох многокутників або лише пропорційності відповідних сторін, щоб ці многокутни ки були подібними? 977'. За якої умови дві подібні фігури — рівні? 978°. На малюнку 349 перетворення подібності переводить відрізок АВ у відрізок А′В′. За клітинками побудуйте точки, у які переходять точки С і D відрізка АВ при цьому перетворенні. 979°. На малюнку 350 перетворення подібності переводить відрізок OA у відрізок OA′. Скориставшись клітинками, знайдіть коефіцієнт подібності. 200

Геометричні перетворення

Мал. 349

Мал. 350

980°. Побудуйте дві подібні, але не рівні фігури. 981°. Чи будуть подібними: 1) два будь-які квадрати; 2) два будь-які прямокутники; 3) два будь-які кола? 982°. Чи будуть подібними: 1) два будь-які трикутники; 2) два будь-які правильні трикутники; 3) дві будь-які трапеції? 983°. Чи подібні рівнобедрені трикутники, в одному з яких кут між бічними сторонами дорівнює α, а в іншому — кут при основі дорівнює β, якщо: 1) α = 120°, β = 31°; 2) α = 90°, β = 45°? 984°. Чи подібні рівнобедрені трикутники, в одному з яких кут між біч ними сторонами дорівнює 60°, а в іншому — кут при основі дорів нює 59°? 985°. Чи подібні два ромби, якщо: 1) кут одного ромба дорівнює 45°, а кут іншого — 135°; 2) у кожного з них сторона дорівнює меншій діагоналі? 986°. Сторони одного прямокутника дорівнюють 12 см і 8 см, а сторони іншого прямокутника — 6 см і 9 см. Чи подібні ці прямокутники? Відповідь поясніть. 987°. Сторони одного чотирикутника дорівнюють 16 см, 24 см, 32 см і 40 см. Менша сторона подібного йому чотирикутника дорівнює 14 см. Знайдіть сторони другого чотирикутника. 988°. Карти одного району виготовлено в масштабах 1 : 25 000 і 1 : 100 000. Який коефіцієнт подібності цих карт? 201

Розділ 5

989°. Чому дорівнює відношення площ двох подібних многокутників, якщо коефі цієнт їх подібності дорівнює: 1) 0,5; 2) 2; 3) 5? 990°. Площі двох подібних многокутників дорівнюють 16 см2 і 32 см2. Знайдіть коефіцієнт подібності цих многокутників. 991°. Знайдіть відношення площ двох квадратів, якщо їхні сторони від носяться як: 1) 1 : 4; 2) 2 : 5; 3) m : n. 992°. Як відносяться сторони двох квадратів, якщо їхні площі відно сяться як: 1) 4 : 9; 2) 1 : 16; 3) m : n? 993°. Площі двох квадратів відносяться як 1 : 4. Знайдіть периметр дру гого квадрата, якщо периметр першого дорівнює: 1) 8 см; 2) 12 см; 3) 16 см. 994°. Відповідні сторони двох подібних многокутників дорівнюють 2 см і 4 см. Знайдіть площу більшого многокутника, якщо площа мен шого дорівнює: 1) 14 см2; 2) 25 см2; 3) 30 см2. 995°. У піраміді SАВС у грані SАВ проведено відрізок А1В1 || АВ. Сторони утвореного трикутника SА1В1 дорівнюють 7 см, 9 см, 12 см. Зна йдіть сторони трикутника SАВ, якщо його найменша сторона до рівнює: 1) 14 см; 2) 21 см. 996°. У грані SВС піраміди SАВС проведено відрізок В1С1 || ВС. Чи мо жуть сторони трикутників SВ1С1 і SВС дорівнювати: 1) 4 см, 5 см, 6 см і 8 см, 10 см, 11 см; 2) 7 см, 3 см, 5 см і 14 см, 6 см, 10 см? Відповідь поясніть. 997. Чи подібні трикутники АВС і AMN, якщо MN — середня лінія трикутника АВС? Відповідь поясніть. 998. У трикутниках АВС і KLM: ∠А = ∠K, ∠В = ∠L, АВ = c, ВС = c + 2, АС = c – 2, KL = nс. Знайдіть сторони трикутників, якщо: 1) с = 5 см, n = 3; 3 2) с = 6 см, n = . 4 999. У трикутниках KLM і АВС: ∠K = ∠А, ∠В = ∠L, KL = m, LM = = m + 2, KM = m – 2, АВ = nm. Знайдіть сторони трикутників, якщо m = 8 см, n = 2. 202

Геометричні перетворення

1000. Середня лінія трапеції ділить її на дві частини. Чи подібні ці час тини між собою? Чи подібна якась із цих частин даній трапеції? 1001. Кожну діагональ прямокутника поділено на три рівні частини й точки поділу послідовно сполучено відрізками. Чи подібний дано му прямокутнику утворений чотирикутник? 1002. У чотирикутнику ABCD на відрізках АВ, АС і AD позначено від повідні їм середини — K, L, M. Чи подібні чотирикутники ABCD i AKLM? 1003. Різниця периметрів двох квадратів дорівнює с, а різниця їхніх площ — d. Знайдіть площі квадратів, якщо: 1) с = 16 см, d = 56 см2; 2) с = 12 см, d = 105 см2. 1004. Ширина прямокутної рамки дорівнює с, а її площа — S. Знайдіть периметри зовнішнього та внутрішнього контуру рамки, якщо: 1) с = 2 см, S = 96 см2; 2) с = 3 см, S = 564 см2. 1005. Висота паралелограма, проведена до більшої сторони, утворює з меншою стороною кут 30°. Знайдіть площу подібного йому пара лелограма, у якого сторони дорівнюють: 1) 10 мм і 15 мм; 2) 20 мм і 25 мм. 1006. Паралелограм має гострий кут 30°. Знайдіть площу подібного йому паралелограма, у якого сторони дорівнюють: 1) 15 см і 10 см; 2) 25 см і 20 см. 1007. У рівнобедреному трикутнику, вписаному в коло, одна зі сторін лежить на діаметрі. Навколо цього кола описано рівнобедрений трикутник, подібний вписаному. Чи можна стверджувати, що площа вписаного трикутника вдвічі менша від площі описаного трикутника? 1008. У скільки разів площа квадрата, вписаного в коло, менша від пло щі квадрата, описаного навколо цього кола? 1009*. Пряма ділить трапецію на дві подібні трапеції. Порівняйте дов жину відрізка цієї прямої, що міститься між сторонами трапеції, з довжиною її середньої лінії. 1010*. Пряма, паралельна основам трапеції, ділить її на дві подібні тра пеції. У якому відношенні ця пряма ділить бічні сторони трапеції, якщо її основи відносяться як: 1) 1 : 4; 2) 2 : 3? 203

Розділ 5

1011*. Впишіть у даний трикутник квадрат, дві вершини якого лежать на одній стороні, а дві інші вершини — на двох інших сторонах трикутника. За малюнком 351 складіть план побудови.

Мал. 351

1012*. У трикутник АВС впишіть ромб із даним гострим кутом α так, щоб одна з його сторін лежала на основі АС трикутника, а дві його вершини — на бічних сторонах АВ і ВС трикутника.

Проявіть компетентність 1013. Коротке плече «журавля» колодязя має довжину 2 м. Коли кінець короткого плеча опустився на 0,4 м, кінець довгого піднявся на 0,9 м (мал. 352). Яка довжина довгого плеча?

Мал. 352

1014. На відстані 21 м одна від одної ростуть дві сосни. Висота першої сосни становить 39 м, а висота другої — 11 м. Знайдіть відстань між їхніми верхівками. Відповідь подайте в метрах. 1015. У давньому Китаї зародилася гра (за легендою, її придумав ки таєць Тан) — з певних геометричних фігур (танграмів), скла дали різні силуети. Танграми вирізали з чорного картону або випилювали з дерева, тому силуети виходили правдоподібни ми (мал. 353, 354). На малюнку 355 ви бачите квадрат АВСD, у якому проведено відрізки — лінії розрізу квадрата для одер жання танграмів. Точки K, М, L, G, I — середини відповідних відрізків.

204

Геометричні перетворення

Мал. 353

Мал. 354

Мал. 355

1. Форму яких геометричних фігур мають танграми: а) на малюнку 353; б) на малюнку 354? Відповідь обґрунтуйте. 2. Чи є серед танграмів подібні фігури: а) на малюнку 353; б) на малюнку 354? Відповідь обґрунтуйте. 3. Чи є серед танграмів подібні фігури з коефіцієнтом 1: а) на малюнку 353; б) на малюнку 354? Відповідь обґрунтуйте. 4. Якщо серед танграмів є подібні фігури, то який коефіцієнт їх подібності: а) на малюнку 353; б) на малюнку 354? Відповідь обґрунтуйте. 5. Скільки рівних і скільки подібних танграмів використали для складання: а) силуету на малюнку 353; б) силуету на малюнку 354; в) силуетів на обох малюнках разом? 6. Придумайте інший силует, який можна скласти із тангра мів. 1016. План земельної ділянки (мал. 356) у масштабі 1 : 200 виконано на аркуші 407 × 288 мм. Чи поміститься на аркуші 288 × 203 мм цей план у масштабі 1 : 300?

A1 B1

C A B

Мал. 356

205

Розділ 5

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 5 КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ 1. Яке геометричне перетворення називається переміщенням? 2. Назвіть властивості переміщення. 3. Які дві фігури називаються рівними? 4. Яке перетворення називають паралельним перенесенням? 5. Яке перетворення називають симетрією відносно даної точки; симетрією відносно даної прямої? 6. Яку фігуру називають центрально-симетричною; симетричною відносно даної прямої? 7. Що таке поворот? 8. Які дві фігури називаються подібними?

1°. О — точка перетину діагоналей прямокутника АВСD. Назвіть точ ку, симетричну точці А відносно точки О. А. С. Б. D. В. А. Г. В. 2°. АВСD — ромб. Назвіть точку, симетричну точці В відносно прямої АС. А. В. Б. D. В. А. Г. С. 3°. Дано коло із центром О й діаметром АВ. У яку фігуру перейде радіус ОА при повороті кола навколо точки О на кут АОВ за годин никовою стрілкою? А. Пряму АВ. В. Радіус ОВ. Б. Діаметр АВ. Г. Радіус ОА. 4. Дано правильний шестикутник АВCDEF із центром О. У яку фігу ру перейде діагональ АD при повороті шестикутника навколо точ ки О на кут АОВ проти годинникової стрілки? А. Діагональ FС. В. Діагональ ВF. Б. Діагональ АЕ. Г. Діагональ ВЕ. 5*. Квадрат АВCD із площею 16 см2 паралельно перенесено на вектор  2AB , а потім утворений прямокутник АВ1C1D, де В1C1 — образ сто рони ВС при паралельному перенесенні, повернуто навколо точки А на кут 90° проти годинникової стрілки (В2, C2 і D2 — образи точок В1, C1 і D при повороті). Чому дорівнює сума периметрів пря мокутників АВ1C1D і АВ2C2D2? А. 12 см. Б. 24 см. В. 32 см. Г. 64 см. 206

Розділ 6. Початкові відомості зі стереометрії У розділі дізнаєтесь: що вивчає стереометрія; які фігури вважають основними у просторі; про взаємне розміщення у просторі двох прямих, прямої і площини, двох площин; як знайти відстань від точки до площини; що таке многогранник та які властивості мають пряма призма і піраміда; про тіла обертання та властивості циліндра, конуса й кулі; як застосувати вивчені означення і властивості на практиці та в розв’язуванні задач

§ 17. Взаємне розміщення у просторі прямих, площин, прямої та площини 1. Що вивчають у стереометрії Ситуація. Урок геометрії в 9-А класі Оксана Миколаївна розпочала такими словами: «Ви знаєте, що в геометрії вивчають фігури на площині та у просторі. Починаючи з 7 класу, ви вивчали планіметрію, де дізналися про властивості фігур на площині. Тепер ви ознайомитеся з початковими відомостями зі стереометрії — розділу геометрії, у якому вивчають властивості фігур у просторі». Учителька запропонувала учнівству пригадати основні фігури й основні відношення на площині та за аналогією схарактеризувати їх для простору. Учні хутко взялись за роботу, здійснили пошук у мережі «Інтернет» і систематизували дані в таблиці (табл. 32).

Таблиця 32 У просторі точка, пряма і площина А, АВ або а, АВС або α (альфа)

На площині точка і пряма

Основні фігури

А АВ або а

Позначення

à A

A a

Зображення A

Ñ B

207

Розділ 6

Ма

Таблиця 32 (продовження) C У просторі

Основне з відношень

На площині a Мал. 1 Мал. 2 належати або лежати на Dу належати або лежати B

C Зображення

D A

b c

a b

Ма

a A Позначення A ∈ а, С ∉ а A ∈ a, B ∉ a Мал. 2 Площину зображають здебільшого у вигляді паралелограма b c і dпо Мал. 3 значають малими грецькими буквами a, b (бета), g (гама)…. C

Через одну точку в просторі можна провести безліч прямих a A (мал. 357) і безліч площин (мал. 358). b c

A a

a Ма

A Мал. 3

Мал. 357

Мал. 4

Мал. 358

A Скільки прямих можна провести через дві a точки у просторі? А скільки площин?

Поміркуймо. B

A Ма

C Через будь-які дві точки у просторі можна Мал. 5 провес A a такої властивості ти єдину пряму. Площина не має. Мал. 4 B O Подивіться на малюнок 359. Через точки А і В прохо дить єдина пряма а. Ця пряма є лінією перетину пло B щин a, b, g і d. M Ма Через будь-якуa пряму у просторі можна про- A вести безліч площин, а значить, через будь-які B дві точки у просторі можна провести безліч B площин. B Мал. 359 C Мал. 5 A O A 208 Мал. 6 C

Мал. 4

Початкові відомості зі стереометрії

a теодоліта Відомо, що штативи багатьох інструментів (фотоапарата, тощо) виготовляють у формі триноги. Завдяки цьому інструмент завжди стійкий. Стіл або табуретка не завжди стоять стійко. Ці спостереження B приводять до такої властивості площини.

Запам’ятайте!

Мал. 5

Властивість площини Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести єдину площину. Завдяки цій властивості площину можна позначати трьома її точками. Наприклад, на малюнку 360 площина ABC — це площина a.

Задача 1 Чи можна провести площину через дві прямі, що перетинаються?

Мал. 360

в точці C і A ∈ а, B ∈ b. За побудовою, точки A, B і C не лежать на одній прямій. Тому, за влас тивістю площини, через ці три точки проходить єдина площина a. У площині a лежать обидві прямі а і b. Отже, через дві прямі, що перетина 1 ються, можнаМал. провести площину.

B a

A C b

2. Взаємне розміщення двох прямих у просторі D

Мал. 361

c a прямі? b Як можуть розміщуватися у просторі дві Поміркуймо.

Подивіться на малюнок 362. Ви бачите, що прямі а і b перетинаються. Прямі а і с та b і с Мал. 2 не можуть перетнутися, скільки б їх не продо вжували.

b c

У просторі можливі два випадки, коли дві прямі не перетинаються: прямі b і с не перетинаються і лежать в d одній площині β — вони паралельні; прямі а і с не перетинаються і не лежать в одній площині — вони мимобіжні.

d c Комната - ФОТО

Мал. 362

c Мал. 3

Мал.

Розв’язання Нехай прямі а і b перетинаються

209 Мал. 9

Розділ 6

Запам’ятайте! Дві прямі, що не лежать в одній площині, називаються мимо біжними. 3. Взаємне розміщення прямої і площини Як можуть розміщуватися у просторі пряма і площина? Поміркуємо за малюнком 362. Можливі такі випадки розміщення прямої і площини (мал. 362): 1) пряма лежить у площині, наприклад: а ⊂ a, b ⊂ a, b ⊂ b, с ⊂ b, с ⊂ γ; d ⊂ b; 2) пряма не лежить у площині, наприклад: а ⊄ b, а ⊄ g, b ⊄ g, с ⊄ a, d ⊄ a, d ⊄ g. Якщо пряма не лежить у площині, то вона може перетинати площину або не перетинати її. Наприклад, на малюнку 362 пряма d перетинає площину a, а пряма с не перетинає цю площину.

Запам’ятайте! Пряму і площину, що не перетинаються, називають паралельними. 4. Перпендикуляр до площини Подивіться на малюнок 363. Пряма a перпендикулярна до прямих b і d, які лежать у площині β. Це означає, що пряма a перпендикулярна і до площини β. Щоб установити, чи перпендикулярна пряма до площини: 1) проведіть у площині дві прямі через точку перетину даної прямої з площиною; 2) з’ясуйте, чи перпендикулярна дана пряма до кожної з побудованих прямих. 210

d c

Мал. 363

Мал. 1

Запам’ятайте! a b

A Початкові відомості зіaстереометрії C b

d Перпендикуляром, проведеним з точки до площини, називаєть c a з’єднує b ся відрізокDпрямої, перпендикулярної до площини, який дану перетину перпендикулярної прямої і площини. d точку з точкою Мал. 8 Ця точка називається основою перпендикуляра.

C На малюнку 364 через точку А проведено пряму а перпендикулярно до прямих b і c, що лежать Мал. 2 у площині a і перетинаються в точці О. Тому відрізок АО — перпендикуляр до площини a, точка О — основа перпен Комната - ФОТО дикуляра. Перпендикуляр АО є найменшим з усіх відрізків, що сполу чають точку А з точками площини a (мал. 365). a Комната A b c d A a c A a A Мал.C9 O D b c B O Мал. 3 O b Мал. 364 Мал. 365 A За довжиною перпендикуляра визначають відстань від точки A до площини. На малюнку 365 довжина перпендикуляра АО дорівнює відстані A від точки А до площиниC a. D є похилими Відрізки АВ, АС і AD O (мал. 365) Мал. 10до площини a, а відрізки B ОВ, ОС і ОD — проєкціями цих похилих на площину a. C Через перпендикуляр АО і похилу АВ проходить єдина площина D Мал. 4 B O АОВ. M Тому у просторі перпендикуляр і похилі до площини мають такі самі властивості, як перпендикуляр і похилі до прямої у планіметрії. A B Задачаa2 Точка М не лежить у площині квадра M та АВСD (мал. 366). Його діагоналі АС і ВD перети B наються в точці О. Пряма МО перпендикулярна O до кожної B з діагоналей квадрата. МА = 10 см, Мал. 11 АО = 6 см. Яка точки М до площини C відстань від D Мал. 5 A квадрата? O B МО ^ АС і МО ^ ВD, Розв’язання За умовою, C D тому пряма МО перпендикулярна до площини Мал. 366 A

C D

B 211

Розділ 6

АВС, а МО — перпендикуляр, довжина якого — шукана відстань. Через перпендикуляр МО і похилу МА проходить площина МОА. У цій пло щині лежить DМОА, у якому: ∠МОА = 90°, МА = 10 см, АО = 6 см. За теоремою Піфагора, МА2 = МО2 + АО2. Звідси маємо: МО=

МА 2 − АО2=

102 − 62= 8 (см).

5. Взаємне розміщення площин Як можуть розміщуватися у про сторі дві площини?

d c

Поміркуймо. На малюнку 367 ви бачите, що площини a і b перетинаються. Лінією їх перетину є пря ма b. Площини a і g не перетинаються. Такі пло щини називають паралельними. Площини a і b Мал. 367 перетинаються під прямим кутом. Це — перпендикулярні площини. Випадки взаємного розміщення двох прямих, прямої і площини, двох площин наведено в таблиці 33. Таблиця 33 Фігури Дві прямі aіb

Взаємне розміщення перетинаються не перетинаються

перпендикулярні

a^b

не перпендикулярні

a∩b

паралельні

a || b

мимобіжні

a·b

пряма лежить у площині

Пряма a і площина a

пряма перетинає площину пряма не перетинає площину

Дві площини aіb

212

перетинаються не перетинаються

Запис

a⊂a

пряма перпендикулярна до площини

a^a

пряма не перпендикулярна до площини

a∩a

пряма паралельна площині

a || a

перпендикулярні

a^b

не перпендикулярні

a∩b

паралельні

a || b

Початкові відомості зі стереометрії

Дізнайтеся більше 1. Символ «·» для позначення мимобіжних прямих має сучасне походження. Його запозичено з нарисної геометрії. Цей символ відображає розміщення двох прямих, які не визначають жодної площини. Справді, якщо риску уявити горизонтальною прямою, а точку — прямою, яка перпендикулярна до площини аркуша, то стає очевидним, що через такі дві прямі не можна провести площину. 2. У вас могло виникнути запитання: Чому на малюнку 365 перпендикуляр AО зображено довшим відрізком, ніж похилу AС, адже, за властивістю перпендикуляра, AС > AО? У стереометрії зображення просторових фігур виконують за особливими правилами. При цьому деякі властивості фігур зберігаються, а деякі — ні (табл. 34). Таблиця 34 Властивості фігур, що зберігаються під час побудови їхніх зображень 1) належність фігури до свого класу фігур (точку зображають точкою, пряму — прямою, відрізок — відрізком, трикутник — трикутником тощо);

Властивості фігур, що не зберігаються під час побудови їхніх зображень 1) довжина відрізка; 2) міра кута (зокрема, прямий кут зображають довільним кутом); 3) перпендикулярність прямих;

2) належність точок прямій;

4) рівність (пропорційність) кутів;

3) порядок розміщення точок на прямій (внутрішню точку відрізка зображають внутрішньою точкою відрізка-зображення);

5) рівність (пропорційність) відрізків, які лежать на прямих, що перетинаються

4) паралельність прямих; 5) рівність (пропорційність) відрізків, що лежать на паралельних прямих або на одній прямій Спираючись на дані таблиці, спробуйте самостійно дати відповідь на поставлене запитання.

Словничок Українська Англійська/ English

стереометрія

Німецька/ Deutsch

stereometry Stereometrie, f

Французька/ Français

stéréométrie

qr.orioncentr.com.ua/Siy1c

213

Розділ 6

Пригадайте головне 1. Що вивчають у стереометрії? 2. Назвіть основні геометричні фігури у просторі. Як їх позначають? 3. Сформулюйте властивість площини. 4. Наведіть приклади паралельних прямих; мимобіжних прямих. 5. Як можуть взаємно розміщуватися пряма і площина? 6. Що називають перпендикуляром до площини? Наведіть приклад перпендикуляра і похилої до площини. 7. Як можуть взаємно розміщуватися дві площини?

Усне тренування 1. Запишіть у міліметрах: 5 см, 5 дм, 5 м, 5 км. 2. Запишіть у сантиметрах: 10 мм, 10 дм, 10 м, 10 км.

Розв’яжіть задачі 1017'. Прочитайте та поясніть запис: 1) A ∈ а, С ∉ а; 2) A ∈ a, B ∉ a; 3) AВ ⊂ a, BС ⊄ a. 1018'. Чи правильно, що через дві точки у просторі: 1) можна провести єдину площину; 2) можна провести безліч площин; 3) не можна провести жодної площини? 1019'. Чи правильно, що через пряму у просторі: 1) можна провести єди ну площину; 2) можна провести безліч площин; 3) не можна про вести жодної площини? 1020'. Чи правильно, що через три точки у просторі: 1) можна провести єдину площину; 2) можна провести безліч площин; 3) не можна провести жодної площини? 1021'. Чи правильно, що у просторі дві прямі, що не перетинаються, можуть бути: 1) тільки паралельними; 2) тільки мимобіжними; 3) або паралельними, або мимобіжними? 1022'. Чи правильно, що мимобіжні прямі можуть бути паралельними? 1023'. Чи можуть пряма і площина бути: 1) паралельними; 2) мимобіжними? 1024'. Чи правильно, що перпендикуляр — це: 1) площина; 2) промінь; 3) відрізок? 1025'. Чи правильно, що найкоротша відстань від точки до площини — це: 1) довжина похилої; 2) довжина перпендикуляра? 1026'. Прочитайте та поясніть запис: 1) a ^ b; 2) a ∩ b; 3) a || b. 214

C Початкові відомості зі стереометрії D Мал. 4 B O 1027°. Проведіть площину a. Позначте точки A і C, які лежать у площи ні a, і точку B, яка не лежить у цій площині. Проведіть прямі AC, AB, BC. Які із цих прямих перетинають площину a? a M 1028°. Проведіть площину a і позначте на ній точки A, B і C. Проведіть прямі AB, BC і AC. A B 1029°. НаBмалюнку 368 зображено площину a і прямі AB, AC, BD і CD. 1. Які A з точок A,Мал. B, C 5 і D лежать у площині a? O 2. Які з прямих лежать у площині a? A C і CD? 3. Чи перетинаються прямі AC і BD, AB і AC, AB 1030°. Чи можуть пряма і площина мати тільки дві спільні точки? Чому?

1031°. Скільки площин можна провести через три точки, які: 1) лежать на одній прямій; 2) не лежать на одній прямій? B B C 1032°. Скільки прямих, перпендикулярних до да ної прямої, можна провести у просторі че A A Мал. 6 рез точку, яка: 1) лежить на даній прямій; 2) не лежить на даній прямій? 10 можна x провести 1033°. Скільки рівних похилих з даної точки до площини?

Ма

D C Мал. 368

x 1034°. На малюнках 369 і 370 усі позначені точки лежать у площині B відрізка ABC. Знайдіть довжину 6 C x. 60° 13 Мал. A у площині K B ABC. 1035°. На малюнку 371 усі позначені точки лежать Знайдіть довжину відрізка x. A

Мал

C A 12 D

6 Мал. 369

60° A

Мал. 13 Мал. 370

Мал. 14 Мал. 371

A 12 D перпендикуляр AC 1036°. З точки C A до площини проведено і похилу AB. Заповніть таблицю 35. 15 17 x 4 8 x Мал. 15 M C B K 13 C 60° A K B Мал. 14

B 215

Розділ 6

Таблиця 35 AC

2 см

5 см

4 см

6 см

12 см

10 см 2 3 см

25 см 12 см

24 см

1037°. З точки M до площини проведено перпендикуляр MN і похилу MK. Знайдіть довжину проєкції похилої, якщо: 1) MN = 12 см, MK = 13 см; 2) MN = 9 см, MK = 15 см. 1038°. Зобразіть площини a і b, що перетинаються. Позначте точки, що лежать: 1) тільки у площині a; 2) тільки у площині b; 3) у площинах a і b. 1039°. Побудуйте площини a || b. Позначте точки, що лежать: 1) тільки у площині a; 2) тільки у площині b. Чи існує точка, що лежить і в площині a, і в площині b? 1040. Чи завжди можна провести площину через чотири довільні точки простору? 1041. Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести єдину площину. Доведіть. 1042. Чи лежать в одній площині всі прямі, що перетинають сторони даного трикутника? Відповідь поясніть. 1043. Відрізки AB і CD перетинаються. Чи лежать в одній площині прямі AC, BD, BC і AD? Відповідь поясніть. 1044. Прямі а і b перетинаються в точці A. Чи лежать в одній площині всі прямі, які перетинають дві дані прямі і не проходять через дану точку? Відповідь поясніть. 1045. Чи може пряма а бути паралельною кожній з мимобіжних прямих b і c? Відповідь поясніть. 1046. Прямі c і d перетинають паралельні прямі а і b. Чи можуть прямі c і d бути мимобіжними? Відповідь поясніть. 1047. На малюнках 372 і 373 площина ABC перпендикулярна до площи ни a і перетинає її по прямій BC. Знайдіть відстань від точки A до площини a. 1048. На малюнку 374 площина ABC перпендикулярна до площини a і перетинає її по прямій BC. Знайдіть відстань від точки A до площини a. 216

Мал. 15

13 Мал. 372

B Мал. 13 16

Мал. 373

Мал. 13 16C

Початкові відомості зі стереометрії

A 14

4 K

Мал. D17

Мал. 374

1049. OM — перпендикуляр до площини кола з центром O. Знайдіть діа A перпендикуляра — 12 см, а відстань від метр кола, якщо довжина D A точки M до точок кола дорівнює: 1) 13 см; 2) 15 см. 9 проведено перпендикуляр і по 1050. З деякої точки до даної площини 6 хилу. Кут 21 між 20 ними дорівнює j, а довжина перпендикуляра — d. Знайдіть похилу та її проєкцію, якщо: B C 1) d = 4 см, j = 45°; 2) d = 8 см, j = 30°. 3 Мал. 18 4 1051. З точки M до площини проведеноK рівні похилі MA, MB, MC і MD. 17бути: може Cчотирикутник Мал. ABCD 1) квадратом; 2) паралелогра D B Чи13 мом; 3) прямокутником? Відповідь поясніть. 1052. Площини a і b перетинаються по прямій c. Пряма а лежить у пло A щині a, пряма b — у площині b. Ці прямі перетинаються в точці A. Чи лежить точка A на прямій c? Відповідь поясніть. 1053. Площини a і b не перетинаються. Чи можуть в них лежати мимо 9 6біжні прямі? 1054*. Доведіть, що всі паралельні прямі, що перетинають дану пряму, B C лежать 3 в одній площині.Мал. 18 4 1055*. Прямі а і b перетинаються. Як розміщена пряма а відносно K прямої D c, якщо прямі c і b: 1) паралельні; 2) перетинаються? 1056*. Прямі а і b мимобіжні. Пряма c перетинає пряму а і пряму b. Чи перетинає прямі а і b пряма d, яка паралельна прямій c? Відповідь поясніть. 1057*. Прямі а і b мимобіжні. Яким може бути взаємне розміщення пря мих а і c, якщо прямі c і b: 1) паралельні; 2) перетинаються? 1058*. Відрізок не перетинає площину. Доведіть, що відстань від сере дини відрізка до площини дорівнює півсумі відстаней від його кінців до площини. 217

Розділ 6

1059*. Три площини мають спільну точку. Чи правильно, що ці площи ни мають спільну пряму? Скільки прямих можна отримати при попарному перетині цих площин? 1060*. Три площини попарно перетинаються по прямих а, b і c. Доведіть, що коли ці площини мають спільну точку A, то прямі а, b і c пере тинаються в точці A. 1061*. Площина g перетинає площини a і b по прямих а і b. Доведіть, що коли прямі а і b перетинаються, то точка їх перетину лежить на лінії перетину площин a і b. 1062*. Дано промені зі спільним початком. Ніякі три з них не лежать в одній площині. Скільки різних площин можна провести так, щоб у кожній площині лежало по два з даних променів, якщо всього променів: 1) три; 2) чотири; 3) n?

Проявіть компетентність 1063. Чому мотоцикл із коляскою — стійкий, а для закріплення мотоцикла без коляски потрібна додаткова опора? 1064. Щоб перевірити, чи лежать кінці ніжок стола в одній площині, тесля користується двома нитками. Як він це робить? Чи є до статньою така перевірка?

§ 18. Многогранники 1. Що таке многогранник Ситуація. Учнівство 9-А класу виконувало навчальний проєкт на тему «Просторові форми в стародавній архітектурі». Ігор зосередив свою увагу на піраміді Хеопса (мал. 375), а Марина — на Парфеноні в Афінах (мал. 376). Досліджуючи форму цих споруд, Ігор і Марина виявили в них спільне й відмінне, пригадали особливості просторових фігур, які вивчали раніше, — піраміди (мал. 377), прямокутного паралелепіпеда (мал. 378) і куба (мал. 379) — та зробили висновок, що всі такі просторові фігури можна зарахувати до одного класу геометричних фігур.

Мал. 375

218

Мал. 376

Початкові відомості зі стереометрії

Мал. 377

Мал. 378

Мал. 379

Чи правильний висновок зробили Ігор і Марина? Так. Усі розглянуті фігури (прямокутний паралелепіпед, куб, пірамі да), але й не тільки вони, належать до особливого класу просторових фігур — многогранників. Що є спільного в усіх многогранників? Поміркуймо. Поверхня многогранника складається з плоских многокутників, які називаються його гранями. Звідси й походить назва «многогранник». Будь-які дві сусідні грані многогранника мають спільний відрізок — ребро многогранника, а принаймні три попарно сусідні його грані схо дяться в одній точці — вершині многогранника. У старшій школі ви дізнаєтесь про види многогранників та їхні влас тивості. Зараз ви познайомитеся з двома різновидами многогранників — прямою призмою (мал. 378) і пірамідою (мал. 377). Що відрізняє призми і піраміди? Поміркуймо. Будь-яка призма має дві основи, які є рівними многокутниками, що лежать у паралельних площинах, а піраміда — одну основу. Бічними гранями прямої призми є прямокутники, а піраміди — три кутники. Бічні ребра прямої призми рівні й паралельні, а піраміди — мають спільну точку, що є вершиною піраміди. Наприклад, основами прямої призми АВСDEFА1В1С1D1E1F1 на ма люнку 382 є шестикутники АВСDEF і А1В1С1D1E1F1, а її бічними граня 219

Розділ 6

ми — прямокутники АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1С1, DEE1D1, EFF1E1, FАА1F1. Основою піраміди SАВСD на малюнку 383 є чотирикутник АВСD, а її бічними гранями — трикутники SАВ, SВС, SСD, SDА. Вершиною піра міди є точка S. D1 A1

D B

C B

Мал. 380

Мал. 381

S C1

F1 A1

B1 D

D C

F A

Мал. 382

Мал. 383

Залежно від того, який многокутник є основою, призму (піраміду) називають трикутною, чотирикутною чи n-кутною. Прямокутний па ралелепіпед (мал. 380) і куб (мал. 381) є різновидами прямої чотирикут ної призми. На малюнку 382 ви бачите шестикутну пряму призму, а на малюнку 383 — чотирикутну піраміду. 2. Площа поверхні призми і піраміди Що є спорідненим для призми й піраміди? Їхні поверхні складаються з многокутників. Бічну поверхню призми (піраміди) утворюють многокутники її біч них граней, а повну поверхню — усі її грані. 220

Початкові відомості зі стереометрії

Запам’ятайте! Площею бічної поверхні призми (піраміди) називається сума площ її бічних граней. Площею повної поверхні призми (піраміди) називається сума площ усіх її граней. Площу бічної поверхні і площу повної поверхні відповідно позна чають: Sбп і Sпп. Наведені означення підказують спосіб знаходження площ бічної та повної поверхонь призми (піраміди).

Задача Знайдіть площі бічної та повної поверхонь піраміди, основа якої — правильний трикутник зі стороною 6 см, а бічні ребра мають довжину по 5 см. S Розв’язання Нехай SАВС (мал. 384) — дана піра міда, у якій АВ = ВС = АС = 6 см, SА = SВ = SС = = 5 см. Бічні грані піраміди є рівними рівнобедре ними трикутниками, тому S= S= S∆SAC . ∆SAB ∆SBC Проведемо висоту SK бічної грані SАВ. Трикутник SKВ — прямокутний (∠K = 90°), тому SK = 4 см.

C A 1 1 2 6 S∆SAB = AB ⋅ SK = ⋅ 6 ⋅ 4 = 12 (см ). K 2 2 B Тоді Sбп = 3 · S∆SAB = 3 · 12 = 36 (см2). Мал. 384 В основі піраміди лежить правильний трикут АВ2 3 36 3 = = = 9 3 (см2). Отже, ник АВС зі стороною 6 см, тому S ∆ABC 4 4 дістанемо:

Sпп = Sбп + S∆ABC = 36 + 9 3 = 9(4 + 3) (см2). 3. Висота призми і піраміди

Запам’ятайте! Висотою призми називається перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї з основ призми до площини її іншої основи. У прямій призмі (мал. 385) кожне бічне ребро перпендикулярне до її основ. Звідси й назва — «пряма призма». Бічне ребро прямої призми можна вважати її висотою. На малюнку 386 ви бачите приклад похилої призми. Її бічне ребро не дорівнює висоті цієї призми. 221

Розділ 6

B1 C

F A

Мал. 385

Мал. 386

Запам’ятайте! Висотою піраміди називається перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до площини її основи. Бічні ребра піраміди не перпендикулярні до її основи, якщо це спеціально не зазначено. Тому висоту піраміди показують окремо. На малюнку 387 ви бачите трикутну піраміду SАВС, у якій проведено висоту SH.

4. Об’єм призми і піраміди

C A Кожний многогранник як геометричне тіло H M K має особливу властивість — він займає частину B простору. Якщо міру цієї частини простору вира Мал. 387 зити деяким числом, то отримаємо нову характе ристику тіла — геометричну величину «об’єм». Об’єми різних тіл можна порівнювати — одне тіло може займати більшу частину простору, ніж інше, або таку саму частину простору, або меншу частину простору. Якщо прийняти якесь тіло за мірку, а його об’єм — за одиницю ви мірювання об’ємів, то об’єм будь-якого тіла можна виразити додатним числом. У геометрії за мірку беруть куб, ребро якого має довжину, що дорівнює одиниці довжини. Об’єм такого куба приймають за одиницю вимірювання об’єму. З курсу математики 5 класу ви знаєте формули об’єму прямокутного паралелепіпеда з ребрами a, b і c: V = abc, і куба з ребром a: V = a3.

Як знайти об’єм прямої призми і піраміди? Проведемо дослід. 222

Початкові відомості зі стереометрії

Використаємо три посудини. Одна з них має форму прямокутного паралелепіпеда з ребрами a, b і c (мал. 388). Дві інші — форму прямої трикутної призми з висотою c і прямокутним трикутником з катетами a і b в основі (мал. 389). Насиплемо пісок у паралелепіпед, а потім переси племо його в обидві призми. Бачимо, що об’єм кожної з таких трикут них призм становить половину об’єму прямокутного паралелепіпеда. Одержали, що для обчислення об’єму даної трикутної призми можна 1 скористатися формулою: V = abc. 2

c c

a b

b a

Мал. 388

Мал. 389

Помітимо, що у формулі V = abc добуток ab — це площа основи пара 1 1 лелепіпеда, c — його висота; у формулі V = abc добуток ab — це пло 2 2 ща основи трикутної призми, c — її висота. Якщо площу основи позна чити Sосн, а висоту — H, то обидві формули можна записати так: V = Sосн · H.

Запам’ятайте! Об’єм призми дорівнює добутку площі її основи на висоту: V = Sосн · H. Продовжимо експеримент. Візьмемо посудину, що має форму чо тирикутної піраміди, у якої основа — прямокутник зі сторонами a і b, а висота дорівнює c. Пересипавши пісок із піраміди в призму з такою са мою основою і висотою, дістанемо, що об’єм піраміди становить третину об’єму призми.

Запам’ятайте! Об’єм піраміди дорівнює третині добутку площі її основи на висоту: = V

1 3

Sосн ⋅ H. 223

Розділ 6

Зі строгим доведенням формул об’єму ви ознайомитесь у старшій школі.

Дізнайтеся більше 1. З давніх часів особливими вважають п’ять многогранників: тетраедр (мал. 390), гексаедр (мал. 391), октаедр (мал. 392), додекаедр (мал. 393) та ікосаедр (мал. 394). Усі вони є правильними многогранниками. У такому многограннику всі грані є рівними правильними многокутниками і в кожній його вершині сходиться однакова кількість граней. У тетраедрі, октаедрі та ікосаедрі гранями є правильні трикутники, у гексаедрі (кубі) — квадрати, у додекаедрі — п’ятикутники. У кожній вершині тетраедра, гексаедра і додекаедра сходиться по три грані, в октаедра — по чотири, а в ікосаедра — по п’ять граней. Свої назви правильні многогранники дістали від сполучення двох слів. Перше з них відповідає кількості граней многогранника, а слово hedra означає «опора» (зараз говоримо «грань»). Отже, тетраедр — чотиригранник, гексаедр — шестигранник, октаедр — восьмигранник, додекаедр — дванадцятигранник, ікосаедр — двадцятигранник. Чотири перші види правильних многогранників було відкрито у VI ст. до н. е. науковою школою Піфагора. Три століття потому Евклід у своїх «Началах» показав, що правильних опуклих многогранників існує лише п’ять видів. Видатний мислитель античності Платон (428–348 р. до н. е.) — засновник філософської школи «Академія» — вважав правильні многогранники досконалими тілами. Він пов’язував їх з природними стихіями, використовував у своїх філософських роздумах, але не займався безпосередньо їх дослідженням. Із тих часів правильні многогранники мають назву Платонові тіла.

Мал. 390

Мал. 391

Мал. 392

Мал. 393

Мал. 394

2. Символ V для позначення об’єму тіла походить від латинської назви volumeni, що означає «об’єм». Символ S для позначення площі фігури походить від латинської назви superficils, що означає «поверхня».

Словничок Українська Англійська/ English

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

многогран ник

Polyeder, n

polyèdre

qr.orioncentr.com.ua/B9uiH

224

polyhedron

Початкові відомості зі стереометрії

Пригадайте головне 1. Поясніть, що таке пряма призма; піраміда. 2. Що є основами прямої призми? Її гранями? Ребрами? Вершинами? 3. Що є основою піраміди? Її гранями? Ребрами? Вершинами? 4. Яку призму називають трикутною, чотирикутною, n-кутною? А піраміду? 5. Поясніть, що таке бічна поверхня призми; піраміди. Що таке повна поверхня? 6. Як знайти площу бічної поверхні прямої призми; піраміди? Площу повної поверхні? 7. Сформулюйте означення висоти прямої призми; піраміди. 8. Запишіть формулу об’єму прямої призми; піраміди.

Усне тренування Обчисліть: 1) (3 + 4) : 10; (3 + 4) : 5; (32 + 42) : 102; (32 + 42) : 52; 2) (21 + 22) · 23; (21 + 22 + 23) · 24; (21 + 22 + 23 + 24) · 25.

Розв’яжіть задачі 1065'. За малюнками 395–397 з’ясуйте: 1) як називається даний многогранник; 2) скільки в ньому основ і бічних граней; 3) який многокутник лежить у його основі; 4) які многокутники є його бічними гранями. A1

A1 B1

D C

B1 C

C E

B Мал. 395

Мал. 396

A Мал. 397

1066'. Назвіть вершини і ребра многогранника (мал. 395–397). Скільки його граней сходиться у вершині: 1) А; 2) В; 3) С? 1067'. Чи правильно, що: 1) площею бічної поверхні прямої призми є многокутник; 2) площею повної поверхні піраміди є площа многокутника? 1068'. Сумі площ яких граней многогранника (мал. 395–397) дорівнює площа його бічної поверхні? А повної поверхні? Зробіть відповід ний запис. 225

Розділ 6

1069'. Чи можна вважати висотою даного многогранника (мал. 395–397) якесь його ребро? 1070'. Чи правильно, що: 1) об’єм прямої призми дорівнює добутку площ його основ; 2) об’єм прямої призми дорівнює добутку площі його основи на бічне ребро; 3) об’єм піраміди дорівнює добутку площі його основи на висоту; 4) об’єм піраміди дорівнює добутку третини площі його основи на висоту? 1071°. Побудуйте пряму призму: 1) трикутну; 2) чотирикутну; 6) шести кутну. 1072°. За даними на малюнках 398–400 знайдіть площі бічної і повної повер хонь прямої призми. D D11 A1

C1 B1

A A11

C C11 E1

B B11 66

C1 A1

A 3

C 3

Мал. 398

C C

D D 44 A 22 B B A

Мал. 399

9 C

F A

Мал. 400

1073°. Основою прямої призми є прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см, а бічне ребро дорівнює: 1) 5 см; 2) 10 см; 3) 2 см. Знайдіть площі її бічної і повної поверхонь. 1074°. Бічна поверхня куба дорівнює: 1) 16 см2; 2) 8 см2; 1) 4 см2. Яку довжину має його ребро? 1075°. Чому дорівнюють площі бічної і повної поверхонь куба з ребром: 1) 2 см; 2) 5 см; 3) 4 см? 1076°. Основа чотирикутної прямої призми — ромб з діагоналями 6 см і 8 см, а його бічні грані — рівні прямокутники, площі яких до рівнюють площі основи призми. Чому дорівнюють площі бічної і повної поверхонь призми? 1077°. Площа основи прямокутного паралелепіпеда дорівнює 240 см2. Знайдіть площу його бічних граней, якщо площа однієї з них ста новить 0,5 площі основи, а площа іншої — 0,25 площі основи. Чому дорівнюють площі бічної і повної поверхонь паралелепіпеда? 226

Початкові відомості зі стереометрії

1078°. За даними на малюнках 401–403 знайдіть площі бічної і повної поверхонь піраміди. S

S 25

17 C

A K

A Мал. 401

Мал. 402

Мал. 403

1079°. Основа піраміди — квадрат зі стороною а, а її бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники з площею S. Знайдіть площі бічної і пов ної поверхонь піраміди, якщо: 1) а = 3 см, S = 12 см2; 2) а = 4 см, S = 20 см2; 3) а = 6 см, S = 24 см2. 1080°. Основа прямої призми — правиль ний n-кутник зі стороною а. Висота призми дорівнює H. Знайдіть площі бічної і повної поверхонь призми та її об’єм. Заповніть таблицю 36. Таблиця 36 n

5 см

10 см

9 см

3 см

2 см

8 см

27 см

9 см

4 см

6 см

Sбп Sпп V 1081°. Основа прямої призми — правильний чотирикутник зі стороною 5 см, а її висота вдвічі більша за сторону основи. Знайдіть об’єм призми. 1082°. Основа піраміди — правильний n-кутник зі стороною 15 см. Висота піраміди дорівнює 20 см. Знайдіть об’єм піраміди, якщо: 1) n = 3; 2) n = 4; 3) n = 6. 1083°. Основа піраміди — правильний трикутник зі стороною 3 см. Висота піраміди дорівнює 12 см. Знайдіть об’єм піраміди. 227

Розділ 6

1084. Яку найменшу кількість граней (ребер, вершин) може мати: 1) пряма призма; 2) піраміда? 1085. Як зміниться площа повної поверхні прямокутного паралелепіпе да, якщо одне з його ребер: 1) збільшити у 3 рази; 3) збільшити на 50 %; 2) зменшити в 4 рази; 4) зменшити на 75 %? 1086. Як зміниться площа повної поверхні куба, якщо його ребро: 1) збільшити у 3 рази; 3) збільшити на 50 %; 2) зменшити в 4 рази; 4) зменшити на 75 %? 1087. У прямій трикутній призмі сторони основи а і b утворюють кут a, а бічне ребро дорівнює c. Знайдіть площі бічної і повної поверхонь та об’єм призми, якщо: 1) а = 6 см, b = 8 см, c = 5 см, a = 30°; 2) а = b = 10 см, c = 12 см, a = 60°. 1088. Знайдіть відношення об’ємів куба і прямокутного паралелепіпеда, якщо у них: 1) основи рівні, а висоти відносяться як 1 : 5; 2) висоти рівні, а сторони основ відносяться як 1 : 1 : 2. 1089. Усі грані трикутної піраміди є правильними трикутниками зі стороною а. Висота піраміди дорівнює H. Знайдіть площі бічної і повної поверхонь піраміди та її об’єм. Заповніть таблицю 37. Таблиця 37 а H

5 см 5

2 см 3

10 см 10

2 см 3

9 см 9

2 см 3

3 см 3

2 см 3

Sбп Sпп V 1090. Усі ребра чотирикутної піраміди мають довжину а. Її висоту мож а 2 на обчислити за формулою: H = . Чому дорівнюють площі її 2 бічної і повної поверхонь та об’єм, якщо: 1) а = 2 см; 2) а = 5 см? 1091*. Різниця периметра грані одного куба і периметра грані іншого куба дорівнює с, а різниця їхніх площ — d. Знайдіть площі бічної і повної поверхонь та об’єм даних кубів, якщо: 1) с = 16 см, d = 56 см2; 2) с = 12 см, d = 105 см2. 228

Початкові відомості зі стереометрії

1092*. Прямокутник зі сторонами 4 см і 17 см пряма а розбиває на два подібні прямокутники, площі яких відносяться як 1 : 3. На кож ному з прямокутників як на основі побудовано пряму призму з ви сотою 10 см. Знайдіть площі бічної і повної поверхонь та об’єм по будованих призм. 1093*. На сторонах рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом а побудовано квадрати. Їхні вершини з’єднано відрізками так, що утворився опуклий шестикутник. Він є основою прямої призми з висотою H. Знайдіть площі бічної і повної поверхонь та об’єм цієї призми. 1094*. Квадрат зі стороною а і прямокутник зі сторонами b і c мають рів ні периметри. Вони є основами двох пірамід з рівними висотами. Знайдіть об’єм кожної піраміди, якщо: 1) а = 8 см, b = 12 см; 2) а = 8 см, с = 10 см. Який із двох многогранників має більший об’єм? 1095*. Квадрат зі стороною а і прямокутник зі сторонами b і c мають рівні площі. Вони є основами двох пірамід з рівними висотами. Знайдіть об’єм кожної піраміди, якщо: 1) а = 6 см, b = 9 см; 2) а = 6 см, с = 2 см. Який із двох многогранників має менший об’єм?

Проявіть компетентність 1096. Один кубічний метр червоної цегли має масу 1650 кг. Яка маса 5 м3; 10 м3 такої цегли? Відшукайте відомості про розміри такої цегли та визначте кількість цеглин, що вміщується в 1 м3; 5 м3; 10 м3. 1097. Маса кубічного метра буряків дорівнює 650 кг. Вантажівка має кузов розмірами 3 × 2 × 1 м. Визначте масу буряків, вивезених нею з поля за: 1) два рейси; 2) чотири рейси; 3) 10 рейсів.

§ 19. Тіла обертання 1. Що таке тіло обертання Ситуація. На уроці геометрії в 9-А класі Юрій Петрович поставив учнівству запитання: «Чи будьяке геометричне тіло можна утворити обертанням плоскої фігури навколо деякої прямої?» Ольга, не вагаючись, відповіла: «Так». Але Дмитро заперечив: «Хіба можна в такий спосіб утворити многогранник?».

229

Розділ 6

Хто має рацію — Ольга чи Дмитро? Дмитро. Справді, не всі геометричні тіла можна утворити обертанням плоскої фігури навколо прямої. Зокрема, відомі вам многогранники так утворити не можна. Але в такий спосіб можна утворити циліндр (мал. 404), конус (мал. 405), кулю (мал. 406) та ін. Звідси їхня назва — «тіла обертання».

Мал. 404

Мал. 405

Мал. 406

Якщо обертати прямокутник навколо однієї з його сторін (мал. 407), то одержимо прямий круговий циліндр. Цю сторону прямокутника вва жають віссю циліндра, а протилежну їй сторону — твірною циліндра. Твірна циліндра перпендикулярна до його основ, тому її можна вважати висотою циліндра. Циліндр має дві основи — рівні круги радіусом R, що лежать у паралельних площинах. Якщо обертати прямокутний трикутник навколо його катета (мал. 408), то одержимо прямий круговий конус. Цей катет вважають віссю конуса, а гіпотенузу трикутника — твірною конуса. Основою конуса є круг радіусом R. Твірна конуса не перпендикулярна до його основи, тому не може бути його висотою. Висота конуса визначається за його віссю. Якщо обертати півкруг навколо його діаметра (мал. 409), то одержи мо кулю. Цей діаметр вважають віссю кулі. Для кулі твірну і висоту не виділяють.

Мал. 407

230

Мал. 408

Мал. 409

Початкові відомості зі стереометрії

2. Площа поверхні циліндра і конуса Бічну поверхню циліндра (конуса) утворює його твірна під час обертання. Повну поверхню циліндра утворюють його бічна поверхня і два круги основ. Повну поверхню конуса утворюють його бічна поверхня і круг основи. Як знайти площу поверхні циліндра і конуса? Проведемо дослід. Дослід. Візьмемо паперові макети циліндра й конуса. Розріжемо кожний із них уздовж твірної. Макет циліндра розріжемо ще й уздовж двох кіл основ, а макет конуса — уздовж кола його основи. Розгорнемо макети й розмістимо їх на площині. Одержали відповідно розгортку циліндра (мал. 410) і розгортку конуса (мал. 411). Проаналізуємо розгорт ки, а результати запишемо в таблиці 38.

Мал. 410

Мал. 411

Таблиця 38 Конус

Циліндр R Розгортка

H 2πR

2πR R

Бічна поверхня

Z l

прямокутник зі сторонами 2pR і H

R сектор круга радіусом l, довжина дуги сектора 2pR 231

Розділ 6

Таблиця 38 (продовження) Циліндр

Конус

Як знайти площу бічної поверхні

за формулою площі прямокутника

як частину площі круга, з пропорції: Довжина дуги Sсектора = Довжина кола Sкруга

Площа бічної поверхні

Sбп = 2pRH

Sбп = pRl

Площа повної поверхні

Sпп = 2pRH + 2 · pR2

Sпп = pRl + pR2

Запам’ятайте! Формули площі бічної поверхні тіл обертання ЦИЛІНДР Sбп = 2pRH

КОНУС Sбп = pRl

Площа повної поверхні циліндра (конуса) дорівнює сумі площ його бічної поверхні та двох основ (основи). 3. Площа сфери

Запам’ятайте! Поверхню кулі називають сферою. Сфера має з кулею той самий центр О і радіус R (мал. 412). Круг із центром О і радіусом R назива ють великим кругом кулі, а відповідне коло — великим колом сфери.

Сферу не можна розрізати й розгорнути так, щоб вона без вигинань усіма точками розмістилася на площині.

Отже, для знаходження формули площі сфери потрібний інший підхід, ніж для циліндра й кону са. З ним ви ознайомитесь у старших класах. А за раз скористаємося лише висновком.

Мал. 412

Площа сфери в чотири рази більша за площу великого круга відповідної кулі (мал. 413). 232

Початкові відомості зі стереометрії

Запам’ятайте!

4 R2

Формули площі великого круга кулі та сфери

Sкр = pR2 Sсф = 4pR2

4. Об’єм циліндра, конуса, кулі

Мал. 413

Як знайти об’єм тіл обертання? Проведемо досліди. Дослід 1. Об’єм циліндра бу демо порівнювати з об’ємом пря мої n-кутної призми (мал. 414), у якої висота дорівнює висоті ци ліндра H, а основа — правильний n-кутник, вписаний у коло радіусом R. При подальшому подвоєнні сто рін n-кутника його контур все біль ше наближатиметься до кола. Отже, Мал. 414 периметр многокутника все більше наближатиметься до довжини кола, площа многокутника — до площі круга (основи циліндра), а об’єм призми майже не відрізнятиметься від об’єму циліндра. Тому для обчислення об’єму циліндра можна скориста тися формулою: V = Sосн · H. Остаточно маємо: V = pR2H. Дослід 2. Об’єм конуса будемо порівнювати з об’ємом циліндра, що має з конусом таку саму висоту H і радіус основи R (мал. 415). У резуль таті пересипання піску із конуса в циліндр одержимо, що об’єм конуса становить третину об’єму циліндра. Отже, формулу об’єму конуса можна подати у вигляді: = V точно маємо: V=

1 3

Sосн ⋅ H . Оста

Мал. 415

1 πR2 H. 3 233

Розділ 6

Дослід 3. Формулу об’єму кулі радіусом R одержимо з формули об’єму відповідної півкулі. А її, своєю чергою, одержимо, порівнюючи півкулю з конусом, який має радіус основи R і висоту R. У результаті пересипання піску з конуса (мал. 416) в півкулю (мал. 417) одержимо, що об’єм пів кулі дорівнює подвоєному об’єму конуса. Отже, об’єм кулі (мал. 418) до4 рівнює об’єму чотирьох конусів і обчислюється за формулою: V= πR3. 3

R R V=

1 3 πR 3

Мал. 416

2 3 πR 3

Мал. 417

R V=

4 3 πR 3

Мал. 418

Запам’ятайте! Формули об’єму тіл обертання ЦИЛІНДР V = pR2H

КОНУС 1 V= πR2 H 3

КУЛЯ 4 V= πR3 3

Дізнайтеся більше Одним із найвідоміших українських геометрів є академік Олексій Васильович Погорєлов (1919–2002). Він народився в Корочі Белгородської обл., але більшу частину свого життя провів в Україні. Навчався у Харківському університеті, а потім і викладав у ньому; працював в Інституті математики та інших установах України. Йому належить розв’язання багатьох проблем сучасної геометрії. Зокрема, у 1959 р. він повністю розв’язав проблему нескінченно малих вигинань загальних опуклих поверхонь. А це має не лише теоретичне, а й велике практичне значення, бо і обшивка літака, і корпус корабля під час руху зазнають певних вигинань. За низку робіт О. В. Погорєлов здобув Міжнародну премію імені Лобачевського та інші почесні премії й нагороди. Більшості українських громадян він відомий як автор шкільних підручників з геометрії, за якими вивчали цей предмет у школі упродовж кількох десятиліть.

234

Початкові відомості зі стереометрії

Словничок Українська Англійська/ English

Німецька/ Deutsch

Французька/ Français

циліндр

cylinder

Zylinder, n

cylindre

конус

cone

Kegel, m

cône

куля

ball

Kugel, f

sphère

qr.orioncentr.com.ua/n643c

Пригадайте головне 1. Поясніть, що таке тіло обертання. 2. Обертанням якої плоскої фігури утворюється циліндр? Конус? Куля? 3. Що таке твірна, вісь, основа, висота циліндра? Конуса? 4. Виведіть формулу площі бічної поверхні циліндра; конуса. 5. Поясніть, як знайти площу повної поверхні циліндра; конуса. 6. Як обчислити площу сфери? 7. Запишіть формулу об’єму циліндра; конуса; кулі.

Усне тренування

Обчисліть: 1) 5,86 · 10 + 1,4; 0,128 · 100 – 2,8; 8,62 · 1000 – 120; 2) 3,14 · 1000 – 140; 0,79 · 100 + 11; 5,71 · 10 + 2,9.

Розв’яжіть задачі 1098'. За малюнками 419–421 з’ясуйте: 1) як називається дане тіло обертання; 2) обертанням якої фігури воно утворене; 3) що є віссю і твірною даного тіла; 4) якщо в нього є основа, то яка це фігура; 5) чи можна вважати твірну даного тіла його висотою; 6) чи можна розгорнути поверхню даного тіла на площину. B B

O O

O A

Мал. 419

Мал. 420

Мал. 421

235

Розділ 6

1099'. Чи правильно, що сфера є поверхнею: 1) циліндра; 2) конуса; 3) кулі? 1100'. У яку плоску фігуру розгортається бічна поверхня: 1) циліндра; 2) конуса? 1101'. Чи можна сферу розгорнути на площину? 1102°. Чи одержимо циліндр обертанням: 1) квадрата навколо його діагоналі; 2) паралелограма навколо його сторони; 3) прямокутної трапеції навколо її бічної сторони? 1103°. За даними на малюнках 419, 420 складіть вираз для обчислення: 1) площі бічної поверхні тіла обертання; 2) площі повної поверхні тіла обертання; 3) об’єму тіла обертання. 1104°. За даними на малюнках 422–424 знайдіть площу бічної поверхні, пло щу повної поверхні та об’єм циліндра з віссю OO1, якщо AO = 3 см.

10 3

O1 D

Мал. 422

Мал. 423

O Мал. 424

1105°. Накресліть розгортку циліндра з радіусом основи R і висотою h, якщо: 1) R = 1 см, h = 3 см; 2) R = 2 см, h = 4 см; 3) R = 3 см, h = 5 см. Чому дорівнює площа його бічної поверхні? Площа повної поверх ні? Який у нього об’єм? 1106°. Чому дорівнюють площа бічної поверхні, площа повної поверхні та об’єм циліндра з твірною завдовжки 10 см і площею основи: 1) 4p см2; 2) 12,56 см2; 3) 25p см2? 236

Початкові відомості зі стереометрії

1107°. Чи одержимо конус обертанням: 1) прямокутного трикутника навколо його гіпотенузи; 2) рівнобедреного трикутника навколо його бічної сторони; 3) правильного трикутника навколо його сто рони? 1108°. За даними на малюнках 425 і 426 знайдіть площі бічної і повної повер хонь конуса з віссю SO. 1109°. За даними на малюнку 427 знайдіть площі бічної і повної поверхонь кону са з віссю SO.

S S

S 5

3 O

A Мал. 425

Мал. 426

3 B

Мал. 427

1110°. Чому дорівнюють площа бічної поверхні, площа повної поверхні та об’єм конуса з радіусом основи R і висотою h, якщо: 1) R = 2 см, h = 5 см; 2) R = 3 см, h = 4 см; 3) R = 1 см, h = 6 см? 1111°. Знайдіть твірну конуса з висотою h і діаметром основи D, якщо: 1) h = 4 см, D = 6 см; 2) h = 12 см, D = 10 см; 3) h = 8 см, D = 12 см. Яка у цього конуса площа бічної поверхні? Площа повної поверх ні? Який у нього об’єм? 1112°. За даними на малюнку 421 складіть вираз для обчислення: 1) площі сфери; 2) об’єму кулі. 1113°. Знайдіть об’єм кулі та площу її сфери з радіусом: 1) 2 см; 2) 3 дм; 3) 4 см. 1114°. Знайдіть об’єм кулі та площу її сфери з радіусом 5 дм.

237

Розділ 6

1115°. Куля радіусом R має об’єм V, а її сфера — площу Sсф. Заповніть таблицю 39. Таблиця 39 R Sсф V

9 см

8 см 64p см2

49p см2 288p см3 36p см3

1116. Як зміняться площа бічної поверхні, площа повної поверхні та об’єм циліндра, якщо: 1) його висота збільшиться в n разів, а радіус кола основи не змі ниться; 2) радіус кола основи збільшиться в n разів, а твірна не зміниться. 1117. Прямокутник зі сторонами a і b обертається навколо меншої сторони. Чому дорівнюють площа бічної поверхні, площа повної поверхні та об’єм утвореного циліндра, якщо: 1) a + b = 16 см, a – b = 4 см; 2) a + b = 32 см, b – a = 8 см? 1118. Знайдіть твірну циліндра з площею основи 81p, якщо площа його бічної поверхні дорівнює: 1) 162p; 2) 126p. Чому дорівнюють пло ща повної поверхні та об’єм цього циліндра? 1119. З’ясуйте, чи є правильним твердження: «Із двох конусів біль шу площу бічної поверхні має той, у якому: 1) висота більша; 2) радіус основи більший; 3) висота більша, а радіус основи дорів нює радіусу основи іншого конуса». 1120. Прямокутний трикутник з катетами a і b обертається навколо більшого катета. Чому дорівнюють площа бічної поверхні, площа повної поверхні та об’єм утвореного конуса, якщо: 1) a + b = 31 см, a – b = 17 см; 2) a + b = 28 см, b – a = 4 см? 1121. Знайдіть висоту конуса з площею основи 144p, якщо площа його бічної поверхні дорівнює: 1) 156p; 2) 180p. Чому дорівнюють пло ща повної поверхні та об’єм цього конуса? 1122. Знайдіть відношення площ двох сфер з радіусами: 1) 200 мм і 300 мм; 2) 0,7 дм і 1,4 дм. 1123. Чому дорівнює відношення об’ємів двох куль з радіусами r1 і r2, якщо: 1) r1 + r2 = 17 см, r1 – r2 = 7 см; 2) r1 + r2 = 11 см, r2 – r1 = 5 см? 238

Початкові відомості зі стереометрії

1124*. Виразіть площу бічної поверхні, площу повної поверхні та об’єм циліндра: 1) через його висоту h і довжину кола основи C; 2) через його висоту h і площу основи S. 1125*. Два циліндри утворюються обертанням прямокутника зі сторо нами 3 і 5 навколо кожної з двох суміжних сторін, а третій циліндр — обертанням квадрата навколо своєї сторони. Периметр квадрата дорівнює периметру даного прямокутника. У трьох да них циліндрів порівняйте: 1) площу бічної поверхні; 2) площу повної поверхні; 3) об’єм. 1126*. Виразіть площу бічної поверхні, площу повної поверхні та об’єм конуса: 1) через його висоту h і довжину кола основи C; 2) через його твірну l і площу основи S. 1127*. Виразіть: 1) об’єм кулі V через площу її поверхні S; 2) площу сфе ри S через об’єм кулі V; 3) об’єм кулі V через довжину C її великого кола; 4) довжину C великого кола кулі через площу її поверхні S. 1128*. Різниця довжин великих кіл двох куль дорівнює с, а різниця їх ніх площ — d. Знайдіть площі сфер та об’єми даних куль, якщо: 1) с = 4p см, d = 16p см2; 2) с = 10p см, d = 45p см2.

Проявіть компетентність 1129. Із циліндричної колоди треба виготовити брус, що має форму прямокутного паралелепіпеда з найбільшою площею попереч ного перерізу. Який при цьому буде відсоток відходів? 1130. Як далеко бачить пілот з висоти: 1) 2 км; 2) 10 км? (Діаметр земної кулі приблизно дорівнює 12,7 тис. км.) 1131. Діаметр планети Меркурій приблизно дорівнює 5 тис. км, Венери — 12,4 тис. км, Землі — 12,7 тис. км, Марса — 6,8 тис. км. Яка площа поверхні цих планет?

239

Розділ 6

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 6 КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ 1. Назвіть основні фігури у просторі. Яку властивість має площина? 2. Опишіть взаємне розміщення у просторі двох прямих; прямої і площини; двох площин. 3. Що називається перпендикуляром, проведеним із точки до площини? Що таке похила до площини? 4. Поясніть, що таке пряма призма; піраміда. 5. Як знайти площі бічної і повної поверхонь прямої призми; піраміди? 6. Чому циліндр, конус і кулю вважають тілами обертання? 7. Як знайти площі бічної і повної поверхонь циліндра; конуса? 8. За якою формулою можна обчислити об’єм прямої призми; піраміди; циліндра; конуса? 9. Що таке сфера? Як обчислити її площу? 10. Яку формулу використовують для обчислення об’єму кулі?

1°. Основа прямої призми — квадрат зі стороною 2 см. Висота призми дорівнює 6 см. Чому дорівнює площа бічної поверхні призми? А. 12 см2. В. 48 см2. Б. 24 см2. Г. 72 см2. 2°. Який об’єм має трикутна піраміда, у якої площа основи дорівнює 6 см2, а висота — 4 см? А. 2 см3. В. 10 см3. Б. 8 см3. Г. 24 см3. 3°. Чому дорівнює площа сфери і об’єм кулі радіусом 3 см? А. 9p см2, 27p см3. В. 9p см2, 36p см3. Б. 12p см2, 4p см3. Г. 36p см2, 36p см3. 4. Циліндр і конус мають рівні основи радіусом 3 см і рівні висоти завдовжки 4 см. На скільки сантиметрів квадратних площа бічної поверхні циліндра більша за площу поверхні конуса? А. На 9p см2. В. На 27p см2. Б. На 12p см2. Г. На 36p см2. 5*. Точки A і B лежать у площині a на відстані 6 см одна від одної. Точка C не лежить у площині a і CA ^ a. Відстань між точками C і B на 2 см більша за відстань від точки C до площини a. На якій відстані від площини a розміщена точка C? А. 20 см. Б. 16 см. В. 10 см. Г. 8 см. 240

повторення вивченого Розв’яжіть задачі МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ 1132. Вершини трикутника АВС містяться в точках А(2; 1), В(1; 3) і С(5; 2). Знайдіть координати вершин рівного йому трикутника KLM, якщо відповідні вершини да них трикутників симетричні відносно: 1) осі абсцис; 2) осі ординат; 3) початку координат. 1133. За якого значення х довжина відрізка AB дорівнює 4, якщо A(2; 3), B(0; х)? 1134. Точка М ділить сторону АС трикутника АВС у відношенні 1 : 3. Знайдіть довжину відрізка ВМ, якщо вершини трикутника ма ють координати А(1; 5), В(2; –2) і С(5; 5). Скільки розв’язків має задача? 1135. Знайдіть площу трикутника з вершинами в точках (4; 2), (7; –2) і (1; 0). 1136. Коло радіусом 3 см дотикається до осей координат. Яка відстань від центра цього кола до точки, що симетрична центру відносно: 1) осі абсцис; 2) осі ординат; 3) початку координат? 1137. Пряму задано рівнянням y = 2х + 3. Яке рівняння має пряма, симетрична даній відносно: 1) осі абсцис; 2) осі ординат; 3) початку координат? 1138. Дві вершини трикутника ABC містяться в точках (0; –2) і (2; 0), а третя — лежить на прямій у = –х. Визначте координати точки С, якщо площа трикутника ABC дорівнює 8. 1139. Знайдіть координати точки перетину медіан трикутника з верши нами в точках (1; 0), (2; 3) і (3; 2). 1140. Два кола дотикаються зовні. Доведіть, що відрізок їхньої спіль ної зовнішньої дотичної є середнім пропорційним між діаметрами кіл. 241

Повторення вивченого

1141. (Задача Леонардо Пізанського, ХІІІ ст.). Дві башти на рівнині сто ять на відстані 60 ліктів одна від одної. Висота першої башти ста новить 50 ліктів, а висота другої — 40. Між баштами розміщена криниця, яка однаково віддалена від вершин обох башт. Як далеко розташована криниця від основи кожної башти? ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНІ

(

)

1142. За якого значення х вектори a 3x2 ;2 і b (1; x ) перпен дикулярні? 1143. Чи є колінеарними вектори: 1) a (1;3 ) і b ( −6; −18 ); 2) a (1; −1) і b ( 0;3 ) ? 1144. Виразіть вектори сторін паралелограма АВСD через вектори його діагоналей AC = a і BD = b. 1145. У паралелограмі АВСD точка K — середина відрізка ВС, точка О — точка перетину діагоналей. Виразіть вектори BD , CO, KD через вектори AB і AD. 1146. Одиничні вектори a і b утворюють кут 60°. Доведіть, що вектор 2b − a перпендикулярний до вектора a . 1147. Знайдіть кут між медіанами АР і ВМ трикутника АВС, у якому вершини мають координати: А (0; –4), С (0; 6), В (2; –2). 1148. Доведіть, що для катетів a і b та гіпотенузи c прямокутного три кутника справджується нерівність: a + b ≤ 2c. 1149. Сторону AB квадрата ABCD точки M і P ділять на три рівні частини. Прямі DР і CМ перетинаються в точці О. Знайдіть косинус ∠COD. 1150. У чотирикутнику АВСD середини сторін АВ і СD з’єднує відрізок BC + AD . Доведіть, що чотирикутник АВСD — трапеція. MN = 2 1151. Знайдіть геометричне місце кінців одиничних векторів, початки яких лежать на колі радіусом 1 і які колінеарні з даним вектором. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ 1152. У прямокутному трикутнику гіпоте нуза дорівнює c, а гострий кут — α. Знайдіть: 1) бісектрису прямого кута; 2) відрізки, на які бісектриса кута ділить гіпотенузу. 1153. У рівнобедреному трикутнику бісектриса кута при основі дорів нює l, а кут при вершині — α. Знайдіть бічну сторону трикутника. 242

Повторення вивченого

1154. Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює d й утворює з більшою основою кут α. Знайдіть більшу бічну сторону трапеції, якщо її гострий кут дорівнює β. 1155. AD — бісектриса трикутника ABC, AC = b, ∠A = α, ∠B = β. Знайдіть: 1) CD; 2) AD. 1156. Дві сторони трикутника дорівнюють 4 см і 6 см, а кут між ними — 60°. Знайдіть медіану, проведену до третьої сторони трикут ника. 1157. Основи трапеції дорівнюють 2 см і 5 см. Одна з бічних сторін дорів нює 3 см й утворює з більшою основою кут 60°. Знайдіть діагоналі трапеції. 1158. У паралелограмі сторона дорівнює a, діагональ — d, а кут між ними — α. Знайдіть площу паралелограма, якщо: 1) a = 3 3 см, d = 10 см, α = 60°; 2) a = 2 см, d = 8 см, α = 30°. 1159. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює a, бічна сторона — b. Знайдіть радіуси кіл, описаного навколо трикутника і вписано го в нього, якщо: 1) a = 16 см, b = 10 см; 2) a = 6 см, b = 5 см. ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ 1160. Знайдіть кут, центральний кут і зов нішній кут правильного дванадцятикутника. 1161. Скільки сторін має правильний многокутник, якщо: 1) його зовнішній кут дорівнює 24°; 2) його кут дорівнює 135°? 1162. Знайдіть радіуси кіл, описаного навколо правильного шестикут ника і вписаного в нього, якщо: 1) різниця їхніх радіусів дорівнює 6 см; 2) сума їхніх радіусів дорівнює 8 см. 1163. Побудуйте правильний шестикутник, якщо: 1) його більша діагональ дорівнює 8 см; 2) його менша діагональ дорівнює 6 см. 1164. Виразіть сторону a правильного вписаного многокутника через радіус R кола і сторону b правильного описаного многокутника з тією самою кількістю сторін. 1165. Периметр правильного трикутника дорівнює P. Знайдіть довжину кола, описаного навколо цього трикутника, якщо: 1) P = 5 3 см; 2) P = 12 см. 243

Повторення вивченого

1166. Знайдіть довжину кола, якщо довжина його дуги, що містить 45°, дорівнює 10 см. 1167. Навколо кола, довжина якого дорівнює C, описано ромб із гострим кутом α. Знайдіть площу ромба. 1168. Знайдіть діаметр круга, площа якого дорівнює: 1) сумі площ двох кругів радіусами m і n; 2) різниці площ двох кругів радіусами m і n. 1169. Знайдіть площу круга, якщо площа його сектора дорівнює 20 см2, а центральний кут, що відповідає цьому сектору, дорівнює 72°. ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ 1170. Переміщення переводить трикутник ABC в трикутник A′B′C′. Знайдіть: 1) периметр трикутника A′B′C′, якщо AB = 6 см, BC = 9 см, AC = 10 см; 2) кути трикутника A′B′C′, якщо ∠A = 30°, ∠B = 50°, ∠C = 20°. 1171. Вершина B прямокутного трикутника ABC при симетрії відносно середини гіпотенузи AC переходить у точку D. Доведіть, що чоти рикутник ABCD — прямокутник. 1172. Проведіть пряму a й позначте точку A, що не лежить на цій пря мій. За допомогою циркуля та лінійки побудуйте точку A′, симе тричну точці A відносно прямої a. 1173. Доведіть, що пряма, яка проходить через середини основ рівнобіч ної трапеції, є її віссю симетрії. 1174. Побудуйте трикутник, у який переходить трикутник ABC при повороті на 150° за годинниковою стрілкою навколо: 1) вершини A; 2) точки O, що лежить поза трикутником. 1175. При паралельному перенесенні відрізка AB точка A переходить у точку B, а точка B — у точку B′. Знайдіть довжину відрізка AB′, якщо AB = m. 1176. Доведіть, що сума основ трапеції менша від суми її діагоналей. 1177. Знайдіть середню лінію трапеції ABCD (AB || CD), якщо AE = 10 см (E — точка перетину продовження бічних сторін трапеції), AD = 4 см, AB = 10 см. 1178. Сторони чотирикутника дорівнюють 5 см, 7 см, 9 см і 11 см. Зна йдіть сторони подібного йому чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 128 см. 244

Повторення вивченого

1179. Площі двох квадратів відносяться як 1 : 9. Знайдіть сторону біль шого квадрата, якщо периметр меншого дорівнює m. Початкові відомості зі стереометрії 1180. Скільки пар паралельних ребер у прямій призмі, осно ва якої: 1) трикутник; 2) чотирикутник; 3) n-кутник? 1181. Скільки пар ребер куба лежать на мимобіжних прямих? А трикут ної піраміди? 1182. Будинок має форму прямокутного паралелепіпеда з довжиною 120 м і об’ємом 369 600 м3. Знайдіть висоту будинку над землею, якщо він заглиблений у землю на 15 м, а довжина будинку більша 5 за його ширину в 1 раза. 7 1183. Маса кубічного метра картоплі становить 670 кг. Картоплю заси пано в рівчак, який має форму прямої призми, що лежить на бічній грані. Його поперечний переріз має вигляд рівнобічної трапеції з основами 3 м і 4 м і висотою 1 м. Скільки рейсів треба зробити три тонній вантажівці, щоб перевезти картоплю, яка наповнює рівчак? 1184. Як зміниться об’єм піраміди, в основі якої лежить правильний n-кутник, якщо площу її основи збільшити у 3 рази? 1185. Циліндричне відро має внутрішній діаметр 25 см і висоту 40 см. Скільки літрів води воно вміщує? 1186. Купа піску має форму конуса, довжина кола основи якого стано вить 31,4 м, а твірна — 5,8 м. Скільки п’ятитонних вантажівок знадобиться для його перевезення? (Маса 1 м3 піску дорівнює 1,6 т.) 1187. Площа поверхні Місяця приблизно дорівнює 38 млн км2, що ста новить 0,075 площі поверхні Землі. Знайдіть відношення радіусів Місяця і Землі. 1188. Один з найбільших глобусів Землі діаметром 12,7 м був виготовле ний у 1889 р. для Паризької всесвітньої виставки. У якому масш табі цей глобус зображав Землю? Яка довжина екватора і меридіа на на цьому глобусі? 1189. Приблизно 70,8 % поверхні Землі покрито морською водою. Решту поверхні займають континенти й острови. Яка їх загальна площа, якщо вважати нашу планету ідеальною кулею з діаметром 12 742 км? 245

Для тих, хто хоче знати більше 1. МЕТОД КООРДИНАТ Ви вже знаєте, що властивості геометричних фігур можна досліджу вати засобами алгебри. Метод, який при цьому застосовують, назива ють методом координат. У § 3 методом координат ви розв’язували такі дві задачі: 1) знаючи геометричні властивості фігури, знаходили її рів няння; 2) знаючи рівняння фігури, характеризували її властивості. На практиці нерідко виникає потреба розв’язати обидві задачі разом — спо чатку за деякими властивостями фігури скласти її рівняння, а потім, до слідивши одержане рівняння, встановити нові властивості даної фігури.

Задача 1 Знайдіть довжини сторін рівнобедреного трикутника, вписа ного в коло радіусом 5 см, якщо центр цього кола віддалений від основи трикутника на 3 см.

Розв’язання Нехай АВС — даний рівнобедрений три кутник з основою АС (мал. 428), точка О — центр опи саного кола. Уведемо прямокутну декартову систему координат так, щоб її початок лежав у центрі кола, вісь ОY містила висоту, проведену до основи АС три кутника, а вісь ОХ проходила паралельно цій основі (мал. 429). Тоді дане коло задає рівняння х2 + y2 = 25, а вершини трикутника мають координати:

Мал. 428

А(–х0; –3), В(0; 5), С(х0; –3), де х0 > 0. Точка С лежить на даному колі, тому її координати задовольняють його рів няння: x02 + y2 = 25 . Звідси одержуємо: х0 = 4, А(–4; –3), С(4; –3). За координатами вершин трикутника знайдемо довжини його сторін: AB = BC =

( 4 − 0 ) + ( −3 − 5)= 2

Мал. 429

16 + 64= 4 5 (см), АС = 8 см.

Щоб застосувати метод координат: 1) побудуйте задану фігуру та введіть прямокутну декартову систему координат (для цього вкажіть розміщення початку координат й осей абсцис і ординат відносно даної фігури); 2) визначте координати точок даної фігури; 3) скористайтеся відомими формулами. 246

Для тих, хто хоче знати більше

Застосування методу координат дозволяє спростити доведення влас тивостей фігури. Розглянемо приклад.

Задача 2 Доведіть, що середина гіпотенузи прямокутного трикутника рівновіддалена від його вершин.

Розв’язання Нехай АВС — даний прямокутний три кутник із прямим кутом С (мал. 430). Позначимо дов жини його катетів малими літерами а і b, а середину гі потенузи — М. Введемо прямокутну декартову систему координат так, щоб її початок містився у вершині С трикутника, а його катети лежали на осях координат (мал. 431). Тоді вершини трикутника матимуть коорди нати: С(0; 0), В(а; 0), А(0; b). Точка М є серединою гіпо a b тенузи АВ, тому вона має координати: M  ;  . 2 2 Знайдемо довжини відрізків МС, МА і МВ: 2

a2 b 2 + , 4 4

MC =

a  b  0 − 2  + 0 − 2  =    

MA=

a  b  0 − 2  + b − 2  =    

Мал. 430

a  b a2 b 2  Мал. 431 MB=  a −  +  0 −  = + . 2  2 4 4  З одержаних рівностей випливає, що МС = МА = МВ. Отже, точка М — рівновіддалена від вершин трикутника АВС. Чи можна в розглянутій задачі одержати прості ші вирази для довжин відрізків? Так, якщо довжини катетів трикутника АВС позначити відповідно 2а і 2b (мал. 432). Якщо в розв’язуванні задачі потрібно використати координати середин відрізків, то можна застосувати прийом подвоєння числових значень довжин відрізків. Знаючи координати вершин трикутни ка А(х1; y1), В(х2; y2) і С (х3; y3), можна знайти його площу. Розглянемо формули, які для цього використовують. Мал. 432

247

Для тих, хто хоче знати більше

У прямокутній декартовій системі координат: 1 ( x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 ) ) . 2

= S

У косокутній системі координат з рівнозначними шкалами й кутом ϕ між осями: = S

sin ϕ ( x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 ) ) . 2 КОРОТКИЙ ЕКСКУРС В ІСТОРІЮ

Виникнення координат і системи координат має давню історію й пов’язане з астрономією та географією. Необхідність системи координат була зумовлена потребою визначати положення світил на небі й точок на поверхні Землі під час складання календаря, зіркових та географічних карт. На стіні однієї з похоронних камер Стародавнього Єгипту зображе ні сліди застосування ідеї прямокутних координат у вигляді квадратної сітки (палетки). Давньогрецького вченого Гіппарха (бл. 190–126 рр. до н. е.) вважають основоположником математичної картографії. Учений запропонував оперезати на мапі земну кулю паралелями й меридіанами та ввести географічні координати — широту і довготу, позначивши їх числами.

Розв’яжіть задачі 1190'. Чи правильно, що методом координат досліджують властивості геометричних фігур засобами алгебри? 1191'. Чи правильно, що методом координат розв’язують такі задачі: 1) знаючи геометричні властивості фігури, знаходять її рівняння; 2) знаючи рівняння фігури, знаходять її властивості; 3) спочатку за деякими властивостями фігури складають її рівнян ня, а потім, дослідивши одержане рівняння, встановлюють нові властивості даної фігури? 1192'. Чи правильно вказано порядок кроків для застосування методу координат: 1) а) визначити координати точок даної фігури; б) побудувати задану фігуру; в) увести прямокутну декартову систему координат (початок коор динат та осі абсцис і ординат) відносно даної фігури; г) скористатися відомими формулами; 2) а) побудувати задану фігуру; б) увести прямокутну декартову систему координат (початок коор динат та осі абсцис і ординат) відносно даної фігури; 248

Для тих, хто хоче знати більше

в) визначити координати точок даної фігури; г) скористатися відомими формулами? 1193°. Відносно прямокутного трикутника АВС з катетами 2 і 3 введено систему координат так, як показано на малюнках 433 і 434. Які координати мають вершини трикутника?

Мал. 433

Мал. 434

1194°. Які координати мають вершини трикутни ка АВС з катетами 2 і 3 на малюнку 435? 1195°. Чи правильно визначено координати вер шин рівнобедреного трикутника АВС у вве деній відносно нього системі координат: 1) А(–2; 0), В(0; 3), С(2; 0) (мал. 436); 2) А(–2; –1), В(0; 3), С(2; 0) (мал. 437)? Відповідь поясніть.

Мал. 436

Мал. 435

Мал. 437

1196°. Чи правильно визначено координати вершин рівнобедреного трикутника АВС у введеній відносно нього системі коорди нат (мал. 438): А(–2; 3), В(0; 0), С(2; 3)? Відповідь поясніть. 1197°. На малюнках 439 і 440 зображено чоти рикутник АВСD. Уведіть систему коорди нат так, щоб у ній вершини чотирикутни ка мали координати:

Мал. 438

249

Для тих, хто хоче знати більше

1) А(0; 0), В(0; 4), С(4; 4), D(4; 0) (мал. 439); 2) А(–2; 0), В(–2; 2), С(3; 2), D(3; 0) (мал. 440).

Мал. 440

Мал. 439

1198°. На малюнку 441 зображено чотирикутник АВСD. Уведіть систему координат так, щоб у ній вершини чотирикутника мали коорди нати: А(–2; 0), В(0; 3), С(2; 0), D(–3; 0). 1199°. У трикутнику ABC: ∠A = 90°, AB = 6 см, AC = 8 см. Уведіть прямокутну декартову сис тему координат так, як указано в таблиці 40, та заповніть її.

Мал. 441

Таблиця 40 Початок координат

Довжина одиничного відрізка

Додатна піввісь координат ОХ

ОY

містить катет точка А

1 см

АВ

АС

точка А

0,5 см

АВ

АС

точка А

2 см

АС

АВ

Координати вершин ∆ABC А

1200°. Діагоналі квадрата ABCD зі стороною 2 см перетинаються в точці M. Введіть прямокутну декартову систему координат з одинич ним відрізком 1 см так, щоб початок координат лежав у вказаній точці, а на додатних півосях OX і OY лежали вказані відрізки: 1) A, AB, AD; 2) B, BC, AB. Визначте координати вершин квадрата. 1201°. Діагоналі квадрата ABCD зі стороною 3 см перетинаються в точці Р. Введіть прямокутну декартову систему координат з одинич ним відрізком 1 см так, щоб початок координат лежав у точці Р, а на додатних півосях OX і OY лежали відрізки CР і РD відповідно. Визначте координати вершин квадрата. 250

Для тих, хто хоче знати більше

1202°. У прямокутному трикутнику АВС з катетами АВ і ВС знайдіть довжини медіан, якщо: 1) АВ = 3, ВС = 4; 2) АВ = 5, ВС = 12. 1203°. У прямокутному трикутнику АВС з катетами АВ = 7 і ВС = 24 зна йдіть довжини медіан. 1204°. У рівнобедреному трикутнику АВС до основи АВ проведено висо ту СН. Знайдіть довжину медіани, проведеної до бічної сторони, якщо: 1) АВ = 12, СН = 4; 2) АВ = 4, СН = 6. 16 проведено 3 висоту АН = 6. Знайдіть довжину медіани, проведеної до бічної сторони.

1205°. У рівнобедреному трикутнику АВС до основи BC =

1206°. Знайдіть відстань між серединами протилежних сторін ромба, якщо його діагоналі дорівнюють: 1) АС = 6, ВD = 8; 2) АС = 10, ВD = 24. 1207°. Діагоналі ромба дорівнюють 14 і 48. Знайдіть відстань між сере динами його протилежних сторін. 1208. Визначте координати вершин правильного шестикутника, якщо одна з координатних осей паралельна його стороні, а початок ко ординат міститься: 1) у точці перетину діагоналей шестикутника; 2) у вершині шестикутника. 1209. Якою залежністю пов’язані відповідні координати вершин двох квадратів, що мають спільну вершину в початку координат й одну спільну сторону? 1210. Чи існують подібні трикутники з відповідно пропорційними коор динатами? 1211. У прямокутному трикутнику АВС на гіпотенузі АВ взято точ ку М так, що АМ = 4 см. Знайдіть довжину відрізка СМ, якщо АС = 15 см, ВС = 20 см. 1212. Точка М є серединою відрізка АВ. Доведіть, що для будь-якої точ ки Т площини справджується рівність: ТА2 + ТВ2 = 2ТМ2 + 0,5 АВ2. 1213. Відстань між точками А і В дорівнює 4. Знайдіть геометричне місце точок М площини, для яких: 1) МА2 + МВ2 = 24; 2) МА2 – МВ2 = 4. 1214. Доведіть, що в прямокутнику сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів його сусідніх сторін. 251

Для тих, хто хоче знати більше

1215. Якщо чотирикутник АВСD — прямокутник, то для будь-якої точ ки М площини справджується рівність: МА2 + МС2 = МВ2 + МD2. Доведіть. 1216. Точка М лежить усередині квадрата АВСD, й відомо, що: 1) МА = 7, МВ = 13, МС = 17; 2) МА = 1, MB = 5 , МС = 3. Знайдіть довжину сторони й діагоналі квадрата. 1217. Центр кола радіусом R лежить у вершині прямого кута прямокут ного трикутника з катетами а і b. Чи перетинає коло гіпотенузу даного трикутника, якщо: 1) а = 5, b = 12, R = 4; 2) а = 20, b = 15, R = 12? 1218*. Доведіть, що сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює сумі половини квадрата третьої сторони трикутника та подвоєного квадрата медіани, проведеної до цієї сторони. 1219*. Доведіть, що сума квадратів сторін паралелограма дорівнює сумі квадратів його діагоналей. 1220*. Доведіть, що відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний основам і дорівнює піврізниці основ. 1221*. Точка А лежить на відстані 6 см від центра О кола радіусом 2 см. На прямій ОА знайдіть таку точку М, щоб довжина дотичної, проведеної із цієї точки до кола, дорівнювала відстані між точка ми М і А. 1222*. Доведіть, що сума квадратів відстаней від усіх вершин квадрата до прямої, що проходить через точку перетину його діагоналей, не залежить від вибору прямої. 1223*. Квадрат описано навколо кола радіусом R. Доведіть, що сума квадратів відстаней від будь-якої точки кола до вершин квадрата дорівнює 12R2. 1224*. Навколо правильного трикутника зі стороною а описано коло. Доведіть, що сума квадратів відстаней від будь-якої точки кола до вершин трикутника дорівнює 2а2. 1225*. Знайдіть геометричне місце точок, модуль різниці квадратів відстаней від яких до двох даних точок А і В дорівнює а2, де а — заданий відрізок. 1226*. Якщо координати вершин трикутника є парними числами, то число, що виражає його площу, є натуральним числом. Доведіть. 1227*. Якщо координати двох сусідніх вершин квадрата є цілими числа ми, то координати двох інших його вершин також є цілими числа ми. Доведіть. 252

Для тих, хто хоче знати більше

Проявіть компетентність 1228. Якщо середини двох сторін трикутника та їхня спільна верши на лежать у вузлах сітки, то середина третьої сторони також лежить у вузлі сітки. Доведіть. 1229. Якщо дві сусідні вершини квадрата лежать у вузлах сітки, то дві інші його вершини також лежать у вузлах сітки. Доведіть. 1230. Поясніть, як побудувати вершини квадрата у вузлах сітки, не будуючи його сторін. Розгляньте випадки, коли діагоналі ква драта: 1) лежать на лініях сітки; 2) не лежать на лініях сітки. 2. ВЕКТОРНИЙ МЕТОД Дії додавання векторів і множення вектора на число дозволяють будь-який вектор на площині розкласти за будь-якими двома неколіне арними векторами. Таку впорядковану пару неколінеарних векторів називають базисом площини. Наприклад, у трикутнику АВС (мал. 442) базис можна утворити з векторів AC і AB . Тоді для вектора, заданого медіаною АМ, одержимо розклад: 1 1 AC + AB. 2 2 Мал. 442 Якщо базис утворити з векторів AC і AM, то за цим базисом можна розкласти вектор AB. Для цього спочатку розкладемо за базисом вектор CM, потім вектор CB, а після цього — вектор AB. Отже, маємо: CM = AM − AC, CB = 2CM, = AM

(

)

AB = AC + CB = AC + 2CM = AC + 2 AM − AC = − AC + 2 AM. Зрозуміло, що розклад вектора AB за базисом AC і AM можна одержати й по-іншому. Поміркуйте над цим самостійно. Векторний метод можна застосовувати для доведення тверджень.

Задача 1

Доведіть, що середня лінія трикутника паралельна третій стороні й дорівнює її половині.

Розв’язання Нехай MN — середня лінія трикутника АВС (мал. 443). Доведемо, що MN || АС і MN =

1 AC. 2 253

Для тих, хто хоче знати більше

1. Уведемо вектори MN і AC . Тоді мовою век торів вимогу задачі можна записати так: 1 MN = AC. 2 2. Уведемо базис BC і BA та розкладемо за ним вектори MN і AC: AC = BC − BA (з ∆АВС), MN = BN − BM (з ∆MВN). Мал. 443 Оскільки точки M і N — середини сторін АВ 1 1 і ВС трикутника АВС, то BN = BC, BM = BA. 2 2 Підставивши одержані векторні рівності в розклад вектора MN , маємо:

(

)

1 1 1 1 MN = BC − BA = BC − BA . Отже, MN = AC. 2 2 2 2 3. З останньої векторної рівності випливає: 1) вектори MN і AC — колінеарні, тобто відрізки MN і АС пара лельні; 1 1 2) MN = AC , тобто MN = AC. 2 2 1. Щоб застосувати векторний метод до розв’язування задач, треба виконати три кроки: 1) сформулювати задачу мовою векторів, для чого спочатку ввести базис і допоміжні вектори, а потім скласти векторну рівність; 2) перетворити векторну рівність, скориставшись законами дій над векторами й відомими векторними рівностями; 3) описати знайдений результат мовою геометрії. 2. Встановивши колінеарність векторів та пропорційність їхніх довжин, можна довести, що: 1) прямі або відрізки паралельні; 2) деяка точка є серединою відрізка або ділить його в певному відношенні; 3) три точки лежать на одній прямій. 3. Скориставшись скалярним добутком векторів, можна знайти: 1) довжину відрізка (як квадратний корінь зі скалярного квадрата відповідного вектора); 2) градусну міру кута (за формулою косинуса кута та тригонометричними таблицями). 254

Для тих, хто хоче знати більше

Задача 2 Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорів нює сумі квадратів його сторін. Розв’язання Нехай ABCD — даний парале лограм (мал. 444). Введемо базис AB і AD, а також вектори AC і BD. Тоді мовою векторів вимогу задачі можна записати так: 2

AC + BD = 2 AB + 2 AD . Мал. 444

Розкладемо вектори AC і BD за базисом AB і AD та знайдемо їхні скалярні квадрати. Тоді одержимо: AC = AB + AD, 2

AC =

( AB + AD ) = AB + 2 AB ⋅ AD + AD , 2

BD = AB − AD,

BD =

( AB − AD ) = AB − 2 AB ⋅ AD + AD . 2

Додавши почленно рівності, що містять скалярні квадрати шуканих векторів, одержимо: 2

AC + BD = 2 AB + 2 AD . Оскільки скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його дов жини, то з останньої рівності маємо: AC2 + BD2 = 2 AB2 + 2 AD2 . КОРОТКИЙ ЕКСКУРС В ІСТОРІЮ У 1918 р. побачила світ книга «Простір, час, ма терія» видатного німецького математика Германа Вейля (1885–1955). Учений запропонував покласти в основу геометрії лише два поняття — «точка» і «вектор» — та чотири операції над ними. Ці опера ції задаються так: 1) будь-якій парі точок А і В ста виться у відповідність деякий вектор AB ; 2) будьяким векторам a і b ставиться у відповідність деякий вектор a + b — сума векторів; 3) будь-якому вектору a і дійсному числу k ставиться у відповід ність деякий вектор ka — добуток вектора на число; 4) будь-яким векто рам a і b ставиться у відповідність деяке число ab — скалярний добу ток векторів. Відомі вам властивості дій над векторами прийняті як 255

Для тих, хто хоче знати більше

аксіоми. Але як теореми доводяться твердження, котрі ви вивчали як аксіоми в шкільному курсі геометрії. Наприклад, аксіома про те, що че рез дві точки можна провести пряму і тільки одну. Побудована автором теорія широко застосовується в сучасній фізиці, кристалографії, хімії, економіці та інших науках. За роботи з геометрії та спеціального розділу алгебри — теорії груп — Г. Вейль у 1927 р. здобув Міжнародну премію імені Лобачевського.

Розв’яжіть задачі 1231°. Назвіть пари векторів (мал. 445, 446), які можна обрати за базис площини.

Мал. 445

Мал. 446

1232°. Чи утворюють базис вектори, які: 1) колінеарні; 3) неколінеарні? 2) рівні; 1233°. Яка з умов свідчить про паралельність прямих АВ і МР: 1) AB  MP; 4) AB = λ MP; 0; 5) AM = BP? 2) AB ⋅ MP = 3) AB = MP; 1234°. Чому вектори AB і CD на малюнках 447–449 не можна вважати базисом площини?

Мал. 447

Мал. 448

Мал. 449

1235°. Чи правильно, що точки А, В і С лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли AB = kBC ? Відповідь обґрунтуйте. 256

Для тих, хто хоче знати більше

1236°. Сформулюйте мовою векторів твердження: 1) прямі АВ і МР — паралельні; 2) прямі АВ і МР — перпендикулярні; 3) точки А, В і С лежать на одній прямій; 4) відрізки АВ і МР — рівні; 5) точка M — середина відрізка AB; 6) АM — медіана трикутника ABC; 7) MN — середня лінія трикутника ABC, що паралельна стороні AC; 8) з медіан трикутника можна скласти трикутник; 9) ABCD — паралелограм; 10) ABCD — трапеція з основами AD і ВС. 1237°. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в серединах сторін трапеції — паралелограм. 1238°. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в серединах сторін довільного чотирикутника — паралелограм. 1239°. Доведіть, що діагоналі квадрата перпендикулярні. 1240°. Доведіть, що діагоналі прямокутника рівні. 1241°. Доведіть теорему Піфагора. 1242°. Трикутник АВС переходить у трикутник АВ′С′ при перетворенні подібності з коефіцієнтом k = 3. Доведіть, що ВС || В′С′. 1243. Доведіть, що вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхні коор динати пропорційні. 1244. Координати суми двох векторів дорівнюють сумам відповідних координат даних векторів. Доведіть. 1245. У паралелограмі ABCD точка М — середина сторони AD, а N — се редина сторони BC. Доведіть, що BNDМ — паралелограм. 1246. На сторонах паралелограма АBCD відкладено, як показано на малюн ку 450, рівні відрізки АМ, DN, СР, ВK. Доведіть, що МNРK — парале лограм. 1247. Поза паралелограмом АBCD з гос трим кутом А побудовано рівносто ронні трикутники ABЕ і CDF. Дове діть, що AЕCF — паралелограм.

Мал. 450

1248. ABCD і ABЕF — паралелограми (мал. 451). Доведіть, що DF = СЕ і DF || CE. 257

Для тих, хто хоче знати більше

Мал. 451

Мал. 452

1249. ABCD — паралелограм (мал. 452), АМ = KC, BN = PD. Доведіть, що МР = NK і МР || NK. 1250. Медіану АО трикутника АВС продовжено на відрізок ОD = АО. Точку D сполучено з вершинами В і C трикутника. Доведіть, що СD = АВ і СD || АB. 1251. Доведіть, що діагоналі ромба взаємно перпендикулярні. 1252. Доведіть, що відрізок, який сполучає середини бічних сторін тра пеції, паралельний її основам і дорівнює їх півсумі. 1253. Доведіть, що відрізок, який сполучає середини діагоналей трапе ції, паралельний її основам і дорівнює їх піврізниці.

(

) ( 2

)

(

1254. Доведіть тотожність a + b + a − b = 2 a + b

). З’ясуйте її гео

метричний зміст. 1255*. Доведіть, що якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні, то суми квадратів протилежних сторін цього чотирикутника рівні між собою. 1256*. Доведіть, що точка перетину медіан трикутника ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника. 1257*. Доведіть, що три висоти трикутника перетинаються в одній точці. 1258*. Знайдіть залежність між сторонами трикутника АВС, якщо його медіани АА1 і ВВ1 перпендикулярні. 1259*. Правильний трикутник ABC зі стороною а вписано в коло. Точка М — деяка точка кола. Доведіть, що сума MA2 + MB2 + MC2 не залежить від вибору точки М. 1260*. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо MA2 + MB2 + MC2 = 3R2, де М — точка перетину медіан трикутника ABC, R — радіус описа ного навколо нього кола. 258

Для тих, хто хоче знати більше

1261*. Точки A, B, C, D, N, М — середини сторін опуклого шестикутни ка KFPHLG. Доведіть, що існує трикутник, сторони якого пара лельні й рівні відрізкам AB, CD, МN. 1262*. На стороні AD і діагоналі AС паралелограма АBCD взято точки 1 1 М і N так, що AM = AD і AN = AC . Доведіть, що точки В, М 5 6 і N лежать на одній прямій. 1263*. Доведіть нерівність

4a + 1 + 4b + 1 ≤ 12 за умови, що a + b = 1.

1264*. Розв’яжіть рівняння

x+y + x−y = 2 x.

Проявіть компетентність 1265. Тіло, маса якого дорівнює m, сповзає під дією сили тяжіння з похилої площини. Знайдіть модуль складової сили тяжіння, яка напрямлена вздовж похилої площини, якщо кут нахилу площини дорівнює β. 1266. Малюк тягне санки із силою 10 Н на відстань 20 м. Кут між на прямом сили і напрямом переміщення дорівнює 45°. Яку робо ту виконує малюк, перетягуючи санки. 1267. Троє учнів, намагаючись зрушити з місця вантаж, тягнуть його кожний у свою сторону з однаковою силою 100 Н. Які кути між напрямами їхніх сил, якщо вантаж не зрушив з місця? Як тре ба змінити ці напрями, щоб зрушити з місця вантаж? 1268. Населені пункти А і В розташовані на різних берегах річки, які можна вважати паралельними. У якому місці слід будувати міст MN через річку, щоб шлях AMNB був найкоротшим? 3. ФРАКТАЛИ У природі є об’єкти, для яких харак терний особливий вид подібності — самопо дібність. Самоподібні структури називають фракталами. Детальніше з ними можна ознайомитися, перейшовши за посиланням.

259

ПроєктИ Проєкт 1 «Застосування алгоритмів розв’язування трикутників на практиці» Актуальність проєкту. Трикутники трапляються всюди: у будів ництві, архітектурі, навігації, інженерії, комп’ютерній графіці. Для розв’язування практичних задач часто потрібно знаходити невідомі сторони чи кути трикутника, використовуючи певні алгоритми. Дослі дження цих алгоритмів і прикладів їх застосування допомагає зрозумі ти зв’язок між геометрією та реальним життям. 1. Мета проєкту Дослідити та продемонструвати можливості застосування алгорит мів розв’язування трикутників у практичних ситуаціях, пов’язаних з вимірюванням відстаней та кутів у навколишньому середовищі. 2. Завдання проєкту 1. Повторити та систематизувати знання про види трикутників, тео рему синусів, теорему косинусів, формули площі трикутників. 2. Скласти алгоритми розв’язування трикутників за різними ви хідними даними (за трьома сторонами, за двома сторонами й кутом між ними, за стороною і прилеглими до неї кутами, за двома сторонами і ку том, прилеглим до однієї з них). 3. Обрати об’єкти для вимірювань (наприклад, на шкільному подвір’ї, у парку, біля річки), провести необхідні вимірювання довжин сторін та кутів, оцінити похибку вимірювань та виконати необхідні обчислення за складеними алгоритмами. 4. Проаналізувати отримані результати, зробити висновки про їх ефективність та точність. 5. Підготувати презентацію про результати дослідження. 3. Обладнання та матеріали 1. Рулетка (завдовжки 20–50 м) або мірна стрічка. 2. Прилади для вимірювання кутів (теодоліт, смартфон з відповід ними додатками, компас для вимірювання горизонтальних кутів як різ ниці між двома азимутами, гірський компас, яким можна виміряти кут підйому, або самостійно виготовлений простий вимірювач горизонталь них кутів та кутів підйому на основі транспортира, аркуша картону та нитки з тягарцем). 3. Калькулятор (для обчислень значень тригонометричних функцій). 4. Олівець, блокнот (для записів). 5. Смартфон (для фіксації етапів роботи). 260

Проєкти

4. Приклади практичних завдань для дослідження Завдання 1. Визначення висоти об’єкта, основа якого доступна (на приклад, висоти шкільної будівлі або дерева). Завдання 2. Визначення висоти об’єкта, основа якого недоступна. Мета завдань: визначити висоту об’єкта, не вимірюючи її безпосе редньо. Завдання 3. Визначення відстані до недоступного пункту. Мета завдання: визначити відстань до недоступного пункту (напри клад, до пункту на протилежному березі річки). Завдання 4. Визначення відстані між двома недоступними об’єктами (якщо безпосереднє вимірювання неможливе). Мета завдання: знайти відстань між двома об’єктами, до яких неможливо підійти (наприклад, між двома деревами на різних берегах річки). 5. Етапи роботи над проєктом Етапи 1. Підготовчий

Зміст роботи Повторення теоретичного матеріалу. Складання алгоритмів розв’язування трикутників у вигляді схем-пам’яток. Вибір приладів для вимірювання відстаней та кутів (у разі потреби — виготовлення простого вимірювача кутів). Вибір об’єктів для дослідження та складання плану роботи. 2. Практичний Проведення вимірювань на місцевості. Фіксація результатів (записи, фотографії, ескізи). Виконання обчислень за отриманими даними. 3. Аналітичний Обробка даних, аналіз похибок. Підготовка презентації. Формулювання висновків. 4. Звітний Захист проєкту перед класом. Обговорення результатів. 6. Критерії оцінювання проєкту Глибина та якість теоретичної підготовки. Креативність та складність обраних практичних завдань. Точність та акуратність проведених вимірювань і обчислень. Аналіз отриманих результатів та похибок. Логічність виступу на захисті. Робота в команді. За виконання проєкту учень / учениця може отримати 1–12 балів. 261

Проєкти

Проєкт 2 «Коло і круг як засоби розв’язування задач практичного змісту» Актуальність проєкту. Коло і круг — це не лише абстрактні геоме тричні поняття, а й важливі інструменти для розв’язування реальних проблем. Унікальні властивості цих фігур — рівновіддаленість точок кола від його центра, максимальна площа при заданому периметрі, симе трія — роблять їх незамінними в архітектурі, будівництві, техніці та на віть у мистецтві. Тому властивості кола і круга є засобами розв’язування широкого кола практичних задач. 1. Мета проєкту Дослідити та продемонструвати, як властивості кола і круга можуть бути використані як ефективний засіб розв’язування прикладних задач з різних сфер діяльності. 2. Завдання проєкту 1. Систематизувати знання про основні елементи кола і круга, влас тивості та формули, пов’язані з колом і кругом. 2. Дібрати, скласти та класифікувати практичні задачі, де коло і круг є засобами для знаходження шуканих величин (довжини, висоти, площі, об’єму тощо). 3. Провести необхідні вимірювання, розрахунки, обчислення, що ілюструють процес розв’язування задачі. 4. З’ясувати, які саме властивості кола і круга роблять їх найбільш ефективним засобом у кожній конкретній задачі. 5. Зробити висновки про ефективність використання цих фігур у практичній діяльності. 6. Підготувати презентацію про результати дослідження. 3. Обладнання та матеріали 1. Лінійка, рулетка, циркуль, транспортир (для перевірки рівності кутів у колі). 2. Зошит (для запису вимірювань та розрахунків). 3. Калькулятор (для обчислень). 4. Комп’ютер або смартфон (для фіксації результатів). 5. Об’єкти круглої форми (тарілка, кришка, колесо, клумба тощо). 4. Приклади групування практичних завдань за сферами діяльності, де використовуються коло і круг 1. Будівництво та архітектура (розрахунок матеріалів для круглих басейнів, фонтанів, довжини паркану для круглих ділянок). 2. Транспорт (розрахунок довжини шляху за кількістю обертів коле са, визначення діаметра колеса за пройденою відстанню). 262

Проєкти

3. Дизайн та виробництво (розрахунок вартості матеріалу для круг лих виробів, визначення площі фарбування круглих поверхонь). 4. Географія та астрономія (розрахунок довжини паралелей та ме ридіанів, визначення відстаней між містами за колом великого круга). 5. Побут та життєдіяльність (визначення розмірів круглого столу для певної кількості людей, розмірів круглих дзеркал, розрахунок пло щі скатертин круглої форми, кількості матеріалу для виробів круглої форми). 5. Етапи роботи над проєктом Етапи 1. Підготовчий

Зміст роботи Складання плану роботи, розподіл обов’язків (у разі групового проєкту). Вибір об’єктів для дослідження з групуванням практичних завдань за сферами діяльності (пункт 4 проєкту). Знайомство з літературою, інтернет-ресурсами. 2. Дослідницький Теоретичний блок. Огляд властивостей кола і круга, які роблять їх корисними на практиці. Практичний блок. Пошук та групування задач практичного змісту, де коло і круг є засобами їх розв’язування. Розподіл серед учнів класу груп практичних завдань. Проведення, за потреби, вимірювань на місцевості. Фіксація результатів (записи, фотографії, ескізи). Виконання обчислень за отриманими даними. 3. Аналітичний Обробка отриманих даних, аналіз результатів розв’язування задач. Обговорення можливих похибок вимірювань та обчислень. Підготовка презентації. Формулювання висновків. 4. ЗвітноЗахист проєкту перед класом. презентаційний Обговорення результатів. 6. Критерії оцінювання проєкту Глибина та якість теоретичної підготовки. Різноманітність та практична значущість дібраних задач. Точність і коректність розрахунків та обґрунтованість висновків. Логіка та переконливість виступу на захисті. Робота в команді. За виконання проєкту учень / учениця може отримати 1–12 балів. 263

Додаток 1 ТАБЛИЦЯ СИНУСІВ І КОСИНУСІВ α 0° 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° 21° 22° 23° 24° 25° 26° 27° 28° 29° 30° 31° 32° 33° 34° 35° 36° 37° 38° 39° 40° 41° 42° 43° 44° 45° α 264

sin α 0,000 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,122 0,139 0,156 0,174 0,191 0,208 0,225 0,242 0,259 0,276 0,292 0,309 0,326 0,342 0,358 0,375 0,391 0,407 0,423 0,438 0,454 0,469 0,485 0,500 0,515 0,530 0,545 0,559 0,574 0,588 0,602 0,616 0,629 0,643 0,656 0,669 0,682 0,695 0,707 cos β

cos α 1,000 1,000 0,999 0,999 0,998 0,996 0,995 0,993 0,990 0,988 0,985 0,982 0,978 0,974 0,970 0,966 0,961 0,956 0,951 0,946 0,940 0,934 0,927 0,921 0,914 0,906 0,899 0,891 0,883 0,875 0,866 0,857 0,848 0,839 0,829 0,819 0,809 0,799 0,788 0,777 0,766 0,755 0,743 0,731 0,719 0,707 sin β

β 90° 89° 88° 87° 86° 85° 84° 83° 82° 81° 80° 79° 78° 77° 76° 75° 74° 73° 72° 71° 70° 69° 68° 67° 66° 65° 64° 63° 62° 61° 60° 59° 58° 57° 56° 55° 54° 53° 52° 51° 50° 49° 48° 47° 46° 45° β

Додаток 2 ТАБЛИЦЯ ТАНГЕНСІВ α 0° 1° 2° 3° 4°

tg α 0,000 0,017 0,035 0,062 0,070

5° 6° 7° 8° 9°

α 20° 21° 22° 23° 24°

tg α 0,364 0,384 0,404 0,424 0,445

0,087 0,105 0,123 0,141 0,158

25° 26° 27° 28° 29°

10° 11° 12° 13° 14°

0,176 0,194 0,213 0,231 0,249

15° 16° 17° 18° 19°

0,268 0,287 0,306 0,325 0,344

α 40° 41° 42° 43° 44°

tg α 0,839 0,869 0,900 0,933 0,966

0,466 0,488 0,510 0,532 0,554

45° 46° 47° 48° 49°

30° 31° 32° 33° 34°

0,577 0,601 0,625 0,649 0,675

35° 36° 37° 38° 39°

0,700 0,727 0,754 0,781 0,810

60° 61° 62° 63° 64°

tg α 1,73 1,80 1,88 1,96 2,05

80° 81° 82° 83° 84°

tg α 5,67 6,31 7,12 8,14 9,51

1,000 1,04 1,07 1,11 1,15

65° 66° 67° 68° 69°

2,14 2,25 2,36 2,48 2,60

85° 86° 87° 88° 89°

11,4 14,3 19,1 28,6 57,3

50° 51° 53° 53° 54°

1,19 1,23 1,28 1,33 1,38

70° 71° 72° 73° 74°

2,75 2,90 3,08 3,27 3,49

55° 56° 57° 58° 59°

1,43 1,48 1,54 1,60 1,66

75° 76° 77° 78° 79°

3,73 4,01 4,33 4,70 5,14

Додаток 3 ТАБЛИЦЯ КВАДРАТІВ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ ВІД 10 ДО 99 Десятки

Одиниці 0

100

121

144

169

196

225

256

589

324

361

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

900

961

1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444

1521

1600

1681 1764 1849 1936 2025

2500

2601

3600

2304

2401

2704

2809 2916 3025 3136 3249 3364

3481

3721

3844

3969 4096

4489

4624

4761

4900

5041

5184

5329 5476 5625 5776 5929

6084

6241

6400

6561 6724

6889

7056 7225 7396 7569 7744 7921

8100

8281

8649

8836

8649

4225

2116 2209 4356

9025 9216 9409 9604 9801 265

ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ Розділ 1. Узагальнення та систематизація вивченого У 8 класі Чотирикутники 1. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 2. 1) 36°, 72°, 108°, 144°; 2) 40°, 60°, 120°, 140°. 3. 135°, 45°, 135°, 45°. 4. Вказівка: скористайтесь ознакою паралельності пря мих. 5. 1) Ні; 2) так. 6. Вказівка: доведіть, що всі кути даного паралелограма — прямі. 7. 30°, 150°, 30°, 150°. 8. Вказівка: скористайтеся тим, що діагоналі ромба перпендикулярні й точкою перетину діляться навпіл. 9. Вказівка: обчис літь кути ромба. 10. 1) 28 см; 2) 56 см. 11. 1) 2 см; 2) 38 мм. 12. 1) 540°; 2) 1260°. 13. 1) 2 см2; 2) 4,5 см2. 14. 15 см. 15. 1) 96 см2; 2) 2,4 дм2. 16. 0,25. 17. 1) 39 см2; 2) 34 см2. 18. 1) 4 см; 2) 5 см. 19. 45°. 20. Вказівка: треба провісити пряму, яка перпендикулярна до середньої лінії трапеції і проходить через її середину.

Подібність трикутників 21. 1) 3 см; 2) 3,75 см. 22. Так. 23. Вказівка: скористайтеся ознакою подіб ності трикутників за двома кутами. 24. 12 см, 36 см. 25. 30 см, 45 см. 26. 27 см. 27. 1) 4 см; 2) 2 см. 28. 4,8 см. 29. 1) 18 см, 24 см, 36 см; 2) 6 см, 6 см, 9 см. 30. 22,5 см, 37,5 см.

Розв’язування прямокутних трикутників 31. 1) 5 см; 2) 8 м. 32. 12 см. 33. 1) 1,5 см; 2) 5 3 см. 34. 1) 5 см; 2) 5 см; 3) 24 см. 35. 1) 10 см; 2) 25 см. 36. 1) 2; 2) 2 − 1 . 37. 1) 2 см; 2) 4 см. 38. 2°. 39. ≈ 26°36′. 40. 90°.

Розділ 2. Координати і вектори на площині § 1. Декартові координати на площині 41. 1) Ні; 2) так; 3) так; 4) ні. 42. 1) Ні; 2) ні; 3) так; 4) ні; 5) ні; 6) так. 43. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 44. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 45. Мал. 14: А(3; 1), В(2; 3), С(–1; 2), D(–2; –1), Е(2; –2); Мал. 15: А(3; –1), В(2; –3), С(–1; –2), D(–2; 1), Е(2; 2). 46. Мал. 16: А(–3; 1), В(–2; 3), С(1; 2), D(2; –1), Е(–2; –2). 50. Точка A — II чв., точка B — IV чв., точка C — I чв., точка D — III чв., точка E — II чв. 51. Точка F — I чв., точка K — IV чв., точка L — III чв. 52. 1) 5; 2) 17; 3) 145 . 53. 5 5. 26 ; 2) R = 5, d = 10. 55. R = 2,5, d = 5. 56. 1) AB = 2, BC = 3 2, 54. 1) d = 26, R = 2 AC = 10; 2) AB = 25, BC = 11, AC = 30. 57. KL = 2 2, LM = 4, KM = 2 2. 58. A(1; 1), B(5; 1), M(3; 1) (мал. 17); A(2; 3), B(2; –1), M(2; 1) (мал. 18). 59. A(–1; –1), B(3; 1), M(1; 0) (мал. 19). 60. 1) (1; 0); 2) (3,5; 2,5). 61. (8; 12). 62. 1)(5; 7); 2)(–3; –4). 63. (12; 13). 64. 1) B(–5; –6); 2) O(0; 0); 3) A(–15; 19); 266

Відповіді та вказівки 4) O(3,5; –1); 5) B(–11; –7); 6) A(–3; 4). 65. 1) (1,5; 4,5), (4,5; 1,5), (0; 0), BM = 6 2; 5 2 . 66. (0,5; 1,5), (0,5; –1,5), (2; 0), 2 ОM = 3. 67. 1) (–0,5; 0,5); 2) (–2; 10). 68. (1,5; –0,5). 69. 1) (–2; –1); 2) (2; 1). 70. (2; –1). 71. 1) (3; 1) і (2; –1) або (–1; 3) і (–2; 1). 72. 1) AB = BC = 3 10; 2) AB = AC = 10. 73. MP = MT = 13. 74. Вказівка: скористайтеся теоремою Піфагора. 75. Вказівка: скористайтеся теоремою Піфагора. 76. 1) 2; 2) –3 або 3. 77. 4. 78. 1) (4; 0) і (0; 4); 2) (0; 0). 79. 1) 10, 10, 12; 2) 4 2, 2 5, 6. 80. 1) Може, в точках D і M; 2) може, в точці D. 81. 1) 50 кв. од.; 2) 18 кв. од. 82. 1) 34 кв. од.; 2) 84,5 кв. од. 83. 1) P(–4,5; 0), Q(–4; –2), T(–3,5; –4); 2) P(3; 0,5), Q(5; –2), 37 ; 2) 25, 17, 82. 85. Вказівка: скористайтеся влас T(7; –4,5). 84. 1) 3,5; 5; 2 тивістю діагоналей паралелограма. 86. 1) O(–1,5; –0,5), D(–6; –2); 2) O(–2; 10), 9 2 5 2 ; 2) . C(–2; 16). 87. 1) D(10; 1); 2) D(2; –1). 88. 1) (9; 5); 2) (2; –3). 89. 1) 2 2 90. 1) (3,5; 1); 2) (–1,5; 2,5). 91. 1) 135°; 2) 45°. 92. Вказівка: скористайтеся фор мулами координат середини відрізка. 93. 1) Ні; 2) так. 94. Вказівка: скористай теся властивістю паралелограма. 95. Так. 96. 1) a 2 — діагональ квадрата зі стороною 1 клітинка, a 5 — діагональ прямокутника зі сторонами 1 клітинка та 2 клітинки; 2) a 2 — діагональ квадрата зі стороною 2 клітинки, a 5 — діа 3 15 гональ прямокутника зі сторонами 2 клітинки та 4 клітинки. 97. На м. 2 98. Не завжди. 99. Не завжди. 2) (2,5; –1,5), (1; –1), (0,5; –2,5), BM =

§ 2. Синус, косинус і тангенс кутів від 0° до 180°. Основні тотожності 101. 1) Ні, так, так; 2) так, ні, так. 102. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 103. 1) Так; 2) ні; 3) ні. 104. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 105. 1) Ні; 2) так; 3) так; 4) ні; 5) так; 6) ні. 106. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так; 6) ні. 107. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) так; 5) так; 6) ні. 108. 1) Так; 2) ні; 3) ні; 4) так. 109. 2) ∠BOA = α, ∠COA = β, ∠DOA = γ; 1 3 3 3 1 2 3) sin α = , cos α = , tgα = , sin β = , cos β = , tgβ = 3, sin γ = , 2 2 3 2 2 2 2 2 2 cos γ = − , tgγ = −1. 110. 2) ∠KOA = α, ∠LOA = β; 3) sin α = , cos α = , 2 2 2 3 1 tg α = 1, sin β = , cos β = − , tgβ = − 3. 111. 2) а) 0, 1, 0; б) 0, 0. 112. 2) а) 1, 0, 2 2 –1. 114. «+», «+», «+». 115. «+», «–», «–». 117. 1) Тупим; 2) гострим; 3) тупим. 118. 1) Гострим; 2) тупим. 119. 1) 1; 2) 5; 3) 6. 120. 0. 121. 1) 0; 2) 1; 3) 0. 122. 1) 0; 2) –1 або 1. 123. 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 1; 5) –1; 6) –1; 7) –1; 8) –1. 124. 1) 1; 2) –1. 125. 1) 2; 2) 2cos2α; 3) 2sin2α; 4) –2sin2α; 5) cos2α; 6) sin2α; 7) –cos2α; 1 8) –sin2α; 9) –tg2α; 10) − 2 . 126. 1) 0; 2) 2sin2α; 3) –cos2α; 4) –sin2α. tg α 127. 1) sinα; 2) –tgα; 4) sinα; 5) 0; 6) 2cosα. 128. 1) –cosα; 2) cos α; 3) 0. 267

Відповіді та вказівки 129. sin 70°, sin 55°, sin 30°, sin 15°, sin 4°. 130. sin 89°, sin 88°, sin 87°. 131. –cos 75°, –cos 60°, –cos 58°, –cos 35°, –cos 20°. 132. –cos 87°, –cos 86°, –cos 86°. 133. 1) sin α; 2) –sin α; 3) 2sin α. 134. 0. 135. 1) Синус ні, косинус так; 2) так; 3) ні. 136. 1) Так; 2) так; 3) так. 137. Вказівка: розгляньте різновиди трикутників за їхніми кутами. 138. Вказівка: скористайтеся властивістю сторін і кутів трикутника. 139. 1) «+»; 2) «+». 140. «+». 141. 1) Гострий; 2) тупий. 142. Тупий. 143. 1) 1 ≤ sin α + 1 ≤ 2; 2) –0,5 ≤ cos α + 0,5 ≤ 1,5. 144. 0,2 ≤ sin α + 0,2 ≤ 1,2. 145. 1) «–»; 2) «–»; 3) «+». 146. 1) «–»; 2) «–». 147. «+». 148. 1) –3; 2) 32. 149. 16. 150. 1) 0; 2) не існує; 3) –0,75. 153. Якщо α = 90°. 154. 1) cos2α; 2) sin2α; 3) sin3α; 4) sin2α. 155. 1) 1; 2) sin2α. 158. 1) Ні; 5 2) так. 159. Так. 160. 1) 2; 2) 10; 3) 5. 161. 1) cоs α = 0,8, tg α = 0,75; 2) cos α = − , 13 12 4 12 12 8 tgα = − ; 3) cosα = 0,6, tgα = . 162. 1) sin α = , tgα = − ; 2) sin α = , 5 3 13 5 17 8 4 12 tgα = ; 3) sinα = 0,8, tgα = − . 163. 1) sinα = 0,6, cosα = 0,8; 2) sin α = , 15 3 13 5 11 60 2sin α cos α = ; 3) sin α = , cos α = . 164. 1) 3; 2) 2; 3) 1. 165. 1) ; 2) 2sin α; 13 61 61 1 + sin α 3) cos α + sin α. 166. 1. 169. Вказівка: розгляньте гострий і тупий кути. 170. Так. Наприклад: 1) 45°; 2) 135°. 171. Вказівка: використайте рівність прямокутних трикутників. 172. Вказівка: скористайтеся одиничним півколом та властивос тями синуса і косинуса того самого кута. 173. AC = cos α, BC = sin α, AD = cos2 α, BD = sin2 α, CD = sіn α · cos α. 174. 1) cosα – sinα; 2) 1; 3) 0,5 cos2α; 4) 2. 175. 1) 2; m2 − 1 1 3 . 178. 1) 1; 2) 0; 3) 0. 180. 120°. 2) 3; 3) –1. 176. 1) 1; 2) − ; 3) − . 177. 3 7 2 181. ≈ 4,8 км.

§ 3. Поняття рівняння фігури. Рівняння кола і прямої 182. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 183. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 184. 1) Ні; 2) так; 3) так; 4) ні. 185. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 186. 1) Так; 2) ні; 3) ні. 187. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 188. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 189. C(0; 0), R = 2 (мал. 44); C(1; 0), R = 2 (мал. 45). 190. C(1; 2), R = 2 (мал. 46). 193. 1) C(2; 1), R = 4; 2) C(1; 3), R = 3; 3) C(0; 3), R = 2; 4) C(–1; 0), R = 7. 194. 1) C(–3; 4), R = 5; 2) C(–4; 1), R = 5. 195. 1) Ні; 2) точка A — так, точки B, C, D — ні; 3) ні. 196. Точка Т — так, точка О — ні. 197. 1) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25; 2) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 5. 198. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 16. 199. 1) x2 + (y + 1)2 = 25; 2) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25; 3) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25; 4) (x + 2)2 + (y + 4)2 = 32; 5) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 32. 200. 1) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 18; 2) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 18. 201. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 18. 202. 1) Гострий; 2) тупий; 3) тупий; 4) гострий. 203. 1) Тупий; 2) гострий. 204. 1) У І і ІІІ координатних чвертях; 2) у ІІ і ІV координатних чвертях; 3) у ІІ і ІV координатних чвертях; 4) у І і ІІІ координатних чвертях. 205. 1) У ІІ і ІV координатних чвертях; 2) у І і ІІІ координатних чвертях. 206. 1) k = 1; 2) k = –2; 3) k = − 3; 4) k = 2. 207. 1) k = 3; 2) k = –3. 208. 1) y = 0; 2) x = 0; 3) y = x. 209. y = – x. 210. 1) Напри клад, A(3; 0) або A(–3; 0); 2) наприклад, B(0; 2) або B(0; –2); 3) наприклад, C(1; 1) або C(–1; –1). 211. 1) Наприклад, A(–3; 3) або A(3; –3). 212. 1) На мал. 47,

268

Відповіді та вказівки b = –1, k = 3; 2) на мал. 48, b = 1, k = –2. 213. b = –2, k = 1. 214. 1) y = 2, x = –1; 2) y = –2, x = –1; 3) y = 2, x = 4; 4) y = 2, x = –4; 5) y = –2, x = 4. 215. 1) P = 12, S = 9; 2) P = 32, S = 64. 216. P = 38, S = 78. 217. Мал. 50: A(1; 1), B(3; 2), пряма AB задається рівнянням 2); мал. 51: A(–1; 2), B(2; –2), пряма AB задається рів нянням 1). 218. A(–2; –1), B(2; 3), так. 219. 1) Наприклад, (4; 1) і (2; 3); 2) напри x +1 y − 2 клад, (0; 3) і (–2; 2). 220. Наприклад, (–1; 2) і (3; –4). 221. 1) = або 2 + 1 −1 − 2 x + 3 y −1 x −2 y +4 x + y – 1 = 0; 2) = або 3x + 5y + 4 = 0. 222. = або 2 + 3 −2 − 1 3 − 2 −1 + 4 3x – y – 10 = 0. 223. 1) AB: 3x + 2y = 0, BC: 3x + 4y – 6 = 0, AC: y + 3 = 0; 2) AB: 2x + y = 0, BC: 4x – 3y + 10 = 0, AC: 3x – y – 5 = 0; 224. MP: 2x + y + 1= 0, PT: 3x – y – 6 = 0, MT: x + y – 2 = 0. 225. 1) Ні; 2) так. 226. Ні. 227. 1) Точка A — так, точки B, C — ні; 2) точка B — так, точки A, C — ні. 228. 1) (x + 1)2 + + (y – 4)2 = 16; 2) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 16. 229. Вказівка: покажіть, що точки з аб сцисою –5 (або ординатою 5) не можуть належати даному колу. 230. 1) Пряма й коло перетинаються; 2) пряма дотикається до кола. 231. 1) B(–6; 2); 2) B(–2; –2). 232. 1) x2 + (y – 1)2 = 8 або x2 + (y – 5)2 = 8; 2) x2 + y2 = 13 або x2 + (y – 6)2 = 13. 233. Вказівка: покажіть, що діаметр даного кола більший за хорду АВ. 234. 1) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25; 2) (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25. 235. 1) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 або (x – 1)2 + (y + 1)2 = 1; 2) (x – 2,5)2 + (y – 2,5)2 = 6,25 або (x + 2,5)2 + (y – 2,5)2 = = 6,25. 236. 1) x2 + (y – 3)2 = 9 або (x – 6)2 + (y – 3)2 = 9; 2) x2 + (y – 3)2 = 9, або (x – 3)2 + (y + 3)2 = 36, або (x – 3)2 + (y – 9)2 = 36, або (x – 12)2 + (y – 15)2 = 225. 3 237. 1) y = x; 2) y = x. 238. y = 3x. 239. Вказівка: скористайтеся властивіс 3 тю кутового коефіцієнта прямої. 240. Вказівка: скористайтеся властивістю ку тового коефіцієнта прямої. 241. 1) y = 5x + 5; 2) y = –x + 5. 242. y = 3x + 2. 3 = y x − 2 3. 245. 1) y = 0, 3x + 2y – 243. 1) y = x + 3; 2) y = 3x + 2 3 + 1. 244. 3 – 6 = 0, 3x + 4y = 0; 2) 3x – y = 0, 2x + y – 10 = 0, 4x – 3y = 0. 246. 1) y – 2 = 0, x + y – 1 = 0, x– y – 1 = 0 або y – 2 = 0, x – y + 3 = 0, x+ y – 5 = 0; 2) y + 3 = 0, 3x − 3y + 2 3 − 9 = 0, 3x − 3y − 6 3 + 9 = 0 або y + 3 = 0, 3x + 3y + 3 3 + 6 = 0, 3x − 3y − 6 3 − 9 = 0. 247. y = x – a, y = x + a, y = –x – a, y = –x + a. 248. 1) 45° і 3 5 . 251. 1) D(–6; –1); 2) D(9; 6). 4 252. 1) (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25; 2) (x – 6)2 + (y – 8)2 = 100. 253. 1) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5; 45°; 2) 135° і 45°. 249. 1) 0,65; 2) 2,5. 250.

2) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25. 255. 1) 50 + 2 21 − 8 6,

18 + 12 2,

50 − 2 21 − 8 6,

18 − 12 2, 4 2; 2) 4 6, 2 21,

50 + 2 21 + 8 6,

50 − 2 21 + 8 6.

(

)

256. 1) (x – 12)2 + (y – 5)2 = 169; 2) (x – 4)2 + (y – 1,5)2 = 18,25. 257. 1) 2 3; −2; ,

( −2 3;−2;); 2) (2;2 3 ), (2;−2 3 ). 258. 1) R = 82, C(–4; 5); 2) R = 34, C(5; –3); 3) R = 2 6, C(2; –2); 4) R = 2, C(4; 0). 259. Вказівка: скористайтеся властивістю кутового коефіцієнта прямої. 260. Вказівка: див. задачу 259. b2 − a2 c1 − d1 261. = . 262. 1) пряма 2a1x + 2a2 y − a12 + a22 = 0; 2) пряма b1 − a1 d2 − c2

(

)

269

Відповіді та вказівки 0. 263. 1) y = R, y = –R; 2) x = R, (2b1 − 2a1 ) x + (2b2 − 2a2 ) y + ( a12 + a22 − b12 − b22 ) = x = –R. 264. yy0 + xx0 = R2. 265. 1)

b k2 + 1

; 2)

c a2 + b 2

. 266. 1)

y0 − b − kx0 k2 + 1

;

ax0 + by0 + c

. 267. 20. 268. Якщо уявити, що дані об’єкти містяться у верши a2 + b 2 нах трикутника, то ліхтар потрібно розмістити в центрі кола, описаного навко ло цього трикутника. 270. 2) 2 км. 2)

§ 4. Поняття вектора. Дії над векторами 271. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 272. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 273. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 274. 1) Ні; 2) так. 275. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 376. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 377. 1) Ні; 2) так. 378. 1) Так; 2) ні. 379. 1) Так; 2) ні. 380. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 381. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 382. 1) Ні; 2) так. 383. 1) Так; 2) так. 285. 1) DA, AO, DO, DC, OC, OB, BC, AB; 2) DA, DO, DB, DC . 288. 1) AB = 5 см; 2) AB = 3 мм; 3) AB = 0,027 дм. 289. CD = 3 см. 290. Одиничними є вектори: 1) c і n ; 2) a ; 3) d . 291. Так. Це вектори n і k . 293. 1) l і b ; c , m і k ; 2) l і b ; c і m ; 3) c і k ; m і k ; 4) l і b ; c і m ; 5) таких не зображено. 294. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 297. Ні. Ні. Так. 298. 1) Так; 2) так; 3) так; 4) ні; 5) ні. 399. 1) Ні; 2) ні. 300. Ні. 301. CD = BA = BC = DA = 4, MB = AM = 2. 302. AO = 3, AD = AB = 3 2, BO = 3. 303. AC (мал. 86); AC (мал. 87). 304. AC (мал. 88). 305. 1) Ні; 2) ні; 3) ні. 306. 1) AN; 2) AC ; 3) BN. 336. 1) PM; 2) AB. 309. 1) AC ; 2) 0 ; 3) 0 . 311. 1) AC ; 2) 0 ; 3) 0 . 312. 1) KA ; 2) BL ; 3) 0 . 313. 1) KM ; 2) LB . 316. а) BD = BC + BA; б) AC = BC − BA; в) CA = BA − BC. 317. а) = NL NM + NK; б) MK = NK − NM; в) KM = NM − NK. 320. 1) 1; 2) 3 ; 3) 2. 323. 1) 2; 2) 2; 1 1 3) 1. 324. Мал. 100: 1) k = –4, 2) k = − ; мал. 101: 1) k = , 2) k = 2; мал. 102: 4 2 1 1 1) k = –2, 2) k = − ; мал. 103: 1) k = , 2) k = 5. 328. 1) Протилежні; 2) протилеж 2 5 но напрямлені; 3) протилежно напрямлені. 329. 1) Протилежні; 2) протилежно напрямлені. 330. 1) 12; 2) 4. 332. 12. 333. 6. 334. 1) AB, BC, AM; 2) BA, BM, CM, MA. 336. Задача має два розв’язки. 337. 1) 2 см; 2) 4 см; 3) 2 3 см; 4) 2 см. 338. 12 пар. 340. Вказівка: розгляньте два випадки: точки А, В і С лежать на одній прямій, точки А, В і С не лежать на одній прямій. 341. 1) Ні; 2) так. 342. 1) = ; 2) >, якщо кут А — тупий; <, якщо кут А — гострий. 343. 1) 2; 2) 0. 344. 1) AC; 2) 4CD. 345. 1) 0; 2) 2a; 3) a. 346. –1. 347. Вектори a і b є колінеар ними. 348. 1) a ⊥ b; 2) a ↑↑ b . 350. Чотири розв’язки. 354. 1) Площину. 356. Вказівка: скористайтеся задачею 355. 357. Вказівка: скористайтеся зада чею 356. 358. Вказівка: скористайтеся задачею 356. 359. Вказівка: скористай теся задачею 356. 361. 1) Вказівка: CA = 2DB; 2) Вказівка: точка D — точка перетину медіан трикутника ABC. 366. Вказівка: точка M лежить на прямій AB 270

Відповіді та вказівки тоді і тільки тоді, коли BM і BA — колінеарні. 368. Паралельна — з північного сходу на південний захід або з південного заходу на північний схід.

§ 5. Координати вектора. Скалярний добуток векторів 371. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 372. 1) Ні; 2) так. 373. 1) Ні; 2) так. 374. 1) Ні; 2) так. 375. 1) Ні; 2) так. 377. 1) Скалярний добуток векторів a і b дорівнює добутку їх модулів і косинуса кута між ними. 378. 1) Ні; 2) так. 379. 1) Скалярний квадрат вектора a дорівнює квадрату його довжини. 380. 1) Так; 2) ні; 3) так. 381. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 382. Мал. 119: О(0; 0), А(2; 3); мал. 120: В(1; 1), С(3; 4). 383. Н(3; 3), Т(–1; 1). 384. 1) OA ( 2;3 ); 2) BC ( 2;3 ). 385. 1) HT ( −4; −2 ). 386. 1) 2)

c12 + c22 ; 3)

d12 + d22 . 387. 1)

p12 + p22 ; 2)

b12 + b22 ;

t12 + t22 . 388. 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так.

389. 1) Ні; 2) так. 390. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) так. 391. a , b , d , h , p , t . 392. 1) Так; 2) так. 393. 1) AB ( 3;0 ); 2) AB (5; −6 ); 3) AB ( 2; −10 ). 395. 1) AB (1; −4 ); 2) AB (5;5 ). 396. 1)

2 ; 2) 5; 3) 13. 397. 1)

104 ; 2) 3 2 ; 3) 2 5 . 398. 10.

399. 1) Так; 2) так. 400. Вказівка: обчисліть довжину вектора. 401. 1) ( 4;6 ) і

( −2; −2); 2) ( −1; −3) і ( −5;5); 3) ( 0;0 ) і ( −12; −4 ). 402. 1) (6;4 ) і ( −2; −2); 2) ( −3; −1) і (5; −5 ). 403. 1) ( 2; −2 ). 404. Ні. 405. 1) (5;20 ); 2) ( −3; −12 ); 3) ( 0,5;2 ); 4) ( −1; −4 ). 406. 1) ( 2; −1); 2) ( −8;4 ). 407. 1) ( −6;6 ); 2) ( −1,5;6 ); 3) ( −1;2,5 ). 408. 1) 5; 2) 15. 15 2 15 2 ; 2) − ; 2 2 3) 18; 4) –18; 5) 30; 6) –6; 7) –30; 8) 6. 413. 1) 3; 2) − 3. 414. 1) 4; 2) 9; 3) 25. 415. 1) 16; 2) 49. 416. 1) 45°; 2) 180°. 417. 30°. 418. 1) 4 3; 2) 2. 419. 4. 420. 1) 2; 2) 2 2; 3) 3; 4) 2 3. 421. 1) 3 ; 2) 2. 422. 1) –3; 2) –22; 3) –4; 4) –1. 423. 1) –3; 2) –22. 424. Вказівка: знайдіть скалярний добуток векторів. 425. 1) Вектори a і b — взаємно перпендикулярні; 2) скалярний добуток векто рів a і b дорівнює 0; 3) скалярний добуток векторів a і b дорівнює 0. 426. 1) Вектори p і q — взаємно перпендикулярні; 2) скалярний добуток векто 409. 4 10. 410. Мал. 124: 60°; мал. 125: 90°. 411. 120°. 412. 1)

рів p і q дорівнює 0; 3) скалярний добуток векторів p і q дорівнює 0. 427. 1) 90°; 2) 60°; 3) 90°; 4) 180°. 428. 1) 90°; 2) 60°. 429. ≈ 63°. 430. 90°. 431. 1) AD і DA; 2) AD і DA. 432. l = 2. 433. 1) ( 9;8 ); 2) ( 4; −13 ). 434. 1) l = 0; 2) λ =2 2. 435. 1) λ = ±4 2; λ = ±2. 437. 1) ( 3;4 ),

( −14; −33), ( −4; −19). 438.

34,

(2; −1), ( 8; −5); 2) (2; −8 ),

10. 439. AM ( −8;3 ). 440. Так. 442. 1) Кут між

векторами a і b — гострий; 2) кут між векторами a і b — тупий; 3) вектори a і b є співнапрямленими; 3) вектори a і b є протилежно напрямленими. 443. 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0; 5) 1; 6) –1. 444. 1) 7 і 19 ; 2) 5 і 3. 445. 1) 129, 7; 2) 13, 13. 446. 1) a + b = a − b = 5; 2) a + b = a − b = 13. 447. Вказівка: доведіть, що діагоналі AC і BD рівні та взаємно перпендикулярні. 448. Вказівка: пока жіть, що вектори DC і AB — колінеарні та що вектори AC і BD — неколіне 271

Відповіді та вказівки

(

)

арні. 451. 5. 452. 1) В(1; 2), С(3; 1), CA ( −2; −5 ). 453. b ( ±8; ±6 ). 454. 1) d − 5;2 5 . 456. 1) ≈ 77°. 457. 1) –60; 2) –19. 458. 60°. 459. 1) Прямим; 2) 0°; 3) не тупим; 4) не гострим. 460. Вказівка: скористайтеся означенням скалярного добутку. 461. 1) ≈ 53°; 2) 45°. 462. 45°. 463. ≈ 41°. 464. –1,5. 465. F ( −3;12 ). 467. 66.

РОЗДІЛ 3. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ § 6. Теорема синусів 469. 3). 470. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 471. 1) Ні; 2) так. 472. 1) Так; 2) ні. 473. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 474. 1) Ні; 2) ні; 3) так; 4) так. 476. 2) 12 см. 477. 1) 6 2 см; 2) 57°. 478. 1) 4 2 см; 2) 2 6 см. 479. ≈ 6 см. 480. 1) ≈ 26°; 2) ≈ 18°; 481. ≈ 28°. 3 2 482. 1) 3 см; 2) 3 см; 3) см. 483. 2 3 см. 484. 1) 8 см; 2) 8 2 см; 3) 8 3 см. 2 485. 2 см. 486. BC — найбільша, AC — найменша. 487. 1) AB — найбільша, AC — найменша; 2) AB — найбільша, AC — найменша; 3) BC — найбільша, AB — найменша. 488. 1) AC < BC; 2) AC > BC; 3) AC < BC. 489. ∠B — найбіль ший, ∠C — найменший. 490. 1) ∠B — найбільший, ∠A — найменший; 2) кути рівні; 3) ∠A — найбільший, ∠C — найменший. 491. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 492. a ≈ 7,1 см, c ≈ 9,7 см. 493. a ≈ 2 см, c ≈ 1,5 см. 494. 8 см. 495. 45° або 135°. α sin β 496. 1: 3 : 2. 497. b ≈ 5,2 см, c ≈ 7 см. 498. b ≈ 8,2 см, c ≈ 3 6 см. 499. , sin ( β + γ ) α sin γ . 500. 1) Так; 2) ні; 3) ні. 501. 1) ∠B ≈ 136°, ∠C ≈ 14°; 2) ∠B ≈ 103°, sin ( β + γ ) ∠C ≈ 32°. 502. 1) Основа; 2) основа; 3) бічна сторона. 503. 1) 3 2 см; 2) 4,8 см. 504. 6 см, ≈ 3,1 см, ≈ 4,4 см. 505. 1) 5 2 + 1 , 5 2 + 2 . 506. 4 2 − 1 , 4 2 − 2 .

(

) (

)

(

) (

)

507. Вказівка: продовжте медіану BM за точку M на відрізок MD = BM. Роз d sin α d sin β . гляньте ∆BCD. 508. BC > AC. 509. 1) 16,9 см; 2) 6,25 см. 510. , sin ( α + β ) sin ( α + β ) 511. Вказівка: застосуйте наслідок 2 з теореми синусів до ∆ABD або ∆BCD. 512. 1) ≈ 49° або ≈ 131°; 2) ≈ 109° або ≈ 27°. Вказівка: розгляньте два випадки. a2 − b2 tgαtgβ 4 3 513. 1) 2 2 см; 2) 4 см. 514. . см. 515. ≈ 27,8 см. 516. 2 ( tgα + tgβ ) 3 ac bc 517. ac = , bc = . 518. Вказівка: нехай BD — медіана ∆ABC. Застосуйте a+b a+b теорему синусів до ∆ABD і ∆BDC. 519. Вказівка: доведіть, що медіана CC1 про ходить через точку O, яка ділить медіану BB1 у відношенні 2 : 1. Застосуйте те орему синусів спочатку до ∆BCС1 і ∆ACС1, а потім — до трикутників BOС і B1OC. 520. Вказівка: застосуйте теорему синусів до ∆AKC і ∆BKD. 521. Вказівка: по будуйте допоміжний трикутник, сторонами якого є бічні сторони трапеції і різ ниця її основ. 522. Вказівка: побудуйте допоміжний трикутник, сторонами

(

)

якого є діагоналі трапеції і сума її основ. 523. 8 3 2 − 3 . 524.

272

)

21 см. 3

Відповіді та вказівки 525. Вказівка: застосуйте наслідок 1 з теореми синусів до ∆ABD і ∆DBC. 526. Вказівка: позначте кут між діагоналями через α. Виразіть кожну сторону чотирикутника через радіус описаного кола і кут, протилежний стороні. Потім скористайтеся властивістю сторін описаного чотирикутника. 527. ≈ 101,3 м.

§ 7. Теорема косинусів 528. 3). 529. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 530. 1) Так; 2) ні; 3) ні. 531. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 532. x2 = a2 + b2 – 2abcosα. 533. 5,6. 534. 1) b2 = a2 + c2 − ac 2 ; 2) b2 = a2 + c2 + ac 2 ; 2 2 3) b= a2 + c2 ; 4) c2 = a2 + b2 − ab ; 5) c2 = a2 + b2 + ab ; 6) c= a2 + b2 ; 7) a2 = b2 + 2 + c2 − bc 3 ; 8) a2 = b2 + c2 + bc 3 ; 9) a= b2 + c2 . 535. 1) 13 см; 2) 37 см; 3) 5 см; 4) ≈ 7,2 см; 5) ≈ 23 см; 6) ≈ 17 см. 536. 1) ≈ 3 см; 2) ≈ 5,6 см; 3) ≈ 4,5 см. a2 + c 2 − b 2 537. 1) ≈ 14,8 см; 2) 7 см. 538. ≈ 17 см. 539. cos B = . 540. α ≈ 105°. 2ac 83 5 13 541. α ≈ 29°. 542. 1) cos A = 0,65, cos B = , cos C = ; 2) cos A = , cos B = 0,5, 160 16 14 1 23 29 1 cos C = − ; 3) cos A = , cos B = , cos C = . 543. 1) ∠A ≈ 36°, ∠B ≈ 117°, 7 28 56 16 ∠C ≈ 26°; 2) ∠A ≈ 47°, ∠B ≈ 27°, ∠C ≈ 104°. 544. ≈ 44°, ≈ 57°, ≈ 79°. 545. 1) α < 90°; 2) α = 90°; 3) α > 90°. 546. 1) Тупокутний; 2) гострокутний; 3) прямокутний. 547. Вказівка: скористайтеся теоремою косинусів. 548. 1) 13 см; 2) ≈ 6,1 см. 549. a2 + b2 − 2ab cos α , a2 + b2 + 2ab cos α . 550. 1) ≈ 8,7 см і 14 см; 2) ≈ 7,5 см і ≈ 14,7 см; 3) ≈ 14,3 см і ≈ 8,2 см. 551. ≈ 6,08 см або ≈ 1,54 см. 552. 1) ≈ 5,7 см або ≈ 10,8 см; 2) ≈ 7,2 см і ≈ 13 см. 553. Якщо кут α збільшується від 0° до 90°, то значення cosα зменшуються, залишаючись додатними. Тоді довжина сторо ни a збільшується. При подальшому збільшенні кута α від 90° до 180° значення cosα зменшуються від 0 до –1. Тому довжина сторони a продовжує збільшувати ся. 554. 1) Якщо a2 < b2 + c2 , то 2bccosα > 0. Оскільки b > 0, c > 0, то cosα > 0, а отже, A — гострий кут. 555. 1) 90° 2) ≈ 117°; 3) ≈ 94°. 556. Вказівка: нехай ABCD — паралелограм. За теоремою косинусів знайдіть AC2 і BD2. 557. 15 см і 25 см. 558. 5 см, 10 см. 559. 6 см, 7 см. 560. ≈ 9,8 см і ≈ 12,2 см. 561. Вказівка: продовжте медіану AM = ma за точку M на відрізок MD = AM та обґрунтуйте, що чотирикутник ABCD — паралелограм. 562. 6,5 см. 563. 27 см. 564. ≈ 13 см. 565. R 2 + 3r 2 . 566. Вказівка: за теоремою косинусів із трикутників BOM і AOM знайдіть BM2 і AM2. Одержані рівності почленно додайте. 567. Вказівка: скористайтеся теоремою косинусів. 568. α ≈ 45°. 569. ≈ 339 м.

§ 8. Знаходження невідомих елементів трикутника a sin γ a2 + c 2 − b 2 (мал. 160); x = b2 + c2 − 2bc cos α (мал. 161); cos x = sin α 2ac (мал. 162). 572. c ≈ 1,6, α ≈ 112°, β ≈ 39° (мал. 163) α = 105°, a ≈ 2,1, b ≈ 2,9 (мал. 164). 573. 1) b ≈ 4,1, α ≈ 49°, γ ≈ 101°; 2) a ≈ 4,6, β ≈ 49°, γ ≈ 71°; 3) c ≈ 9,6, α ≈ 30°, β ≈ 45°. 574. 1) c ≈ 2,1, α ≈ 93°, β ≈ 42°; 2) a ≈ 6,1, β = 25°, γ ≈ 35°. 575. 1) b ≈ 2,1, c ≈ 2,9, α = 105°; 2) a ≈ 1,5, b ≈ 1,8, γ = 75°; 3) a ≈ 4,5, c ≈ 12,3, β = 50°. 576. 1) b ≈ 3,6, c ≈ 5,3, α = 102°; 2) a ≈ 4,7, b ≈ 8,5, γ = 30°. 577. 1) α ≈ 30°, β ≈ 94°, γ ≈ 56°; 2) α ≈ 36°, β ≈ 26°, γ ≈ 118°; 3) α ≈ 34°, β ≈ 102°, γ ≈ 44°. 571. x =

273

Відповіді та вказівки 578. 1) α ≈ 29°, β ≈ 47°, γ ≈ 104°; 2) α ≈ 47°, β ≈ 75°, γ ≈ 58°. 579. 1) b ≈ 4,8, d1 ≈ 4,3, ≈ 45°, ≈ 135°; 2) b ≈ 8,4, d1 ≈ 6,9, ≈ 55°, ≈ 125°; 3) b ≈ 2,8, d1 ≈ 6,4, ≈ 74°, ≈ 106°. 580. 1) c ≈ 17,8, β ≈ 32°, γ ≈ 108°; 2) b ≈ 55, α ≈ 103°, γ ≈ 32°; 3) a ≈ 7,8 α = 30°, β = 75°. 581. 1) b ≈ 46, β ≈ 130°, γ ≈ 20°; 2) c ≈ 21,7, β ≈ 36°, γ ≈ 79°. 582. 1) α ≈ 31°, β ≈ 24°, γ ≈ 125°; 2) α = 115°, b ≈ 1,9, c ≈ 1,7; 3) b ≈ 2,8, α ≈ 27°, γ ≈ 113°; 4) α ≈ 148°, β ≈ 12°, a ≈ 12,4. 583. 1) a ≈ 6,9, b ≈ 1,9, c ≈ 7,8, ∠C = 113°; 2) a ≈ 2, b ≈ 3, c ≈ 4, ∠C = 104°. 584. a ≈ 4,5, b ≈ 5,6, с ≈ 7,5, ∠А= 34°. 585. 1) b ≈ 24, ∠A ≈ 39°, ∠B ≈ 94°, ∠C ≈ 49°; 2) c = 14, ∠A ≈ 53°, ∠B ≈ 68°, ∠C ≈ 59°. 586. 1) ≈ 3,9 см, ≈ 8,6 см; 2) ≈ 3,7 см, ≈ 6,7 см. 587. 1) ≈ 4,8 см, ≈ 4,02 см, ≈ 6,2 см; 2) ≈ 3,8 см, ≈ 4,7 см,

(

)

2 . 590. 6,4 см, якщо 2 ∠C — гострий; 11,7 см, якщо ∠C — тупий. 591. ≈ 57,4 см, ≈ 67,7 см, ≈ 70,5 см. 592. 2Rsinα, 2Rsinβ, 2Rsin(α + β). 593. 9 см, 24 см, ≈ 23°, ≈ 97°. 594. ∠A ≈ 56°,

≈ 3,6 см. 588. 13 см, 14 см, 15 см. 589. a, a 1 + 2 , a 2 +

∠B ≈ 124°, ∠C ≈ 139°, ∠D ≈ 41°. 595.

(

)

2 3 a2 + b2 + ab 25 39 . см. 596. 3 39

b 2 . 598. ≈ 39,7 см, ≈ 42,4 см. Вказівка: з вершини меншої основи прове 2 діть пряму, паралельну бічній стороні. Знайдіть за теоремою синусів бічні сто a2 − b2 sin α sin β рони утвореного трикутника. 599. S = . Вказівка: з вершини 2sin ( α + β ) 597.

(

)

меншої основи проведіть пряму, паралельну бічній стороні. За теоремою сину a sin α sin α1 сів знайдіть сторону утвореного трикутника. 600. . sin ( α + β ) sin ( α1 + β1 ) 602. ≈ 51°. 604. ≈ 29 м. 605. ≈ 924,3 м. 606. AC =

a sin β sin β1 . 607. ≈ 162 м. sin ( α + β ) sin ( β − β1 )

§ 9. Формули площі трикутника 608. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) так; 5) так; 6) ні. 609. 6 кв. од. 610. 1) 15 см2; 2) 24 см2. 611. 56 см2. 612. 1) ≈ 1,9 см2; 2) ≈ 7,3 см2. 613. ≈ 17,7 см2. 614. 1) S ≈ 34,5 см2; 2) γ ≈ 37°; 3) b = 24 см; 4) a ≈ 3,7 см. 615. 1) 16 см; 2) 8 см. 616. 36 кв. од. 617. 1) 12 см2; 2) 90 см2. 618. 156 см2. 619. 1) 84 см2; 2) 24 см2. 7 3 620. 42 см2. 621. 1) 120 см2; 2) 8 5 см2. 622. 336 см2. 624. 1) R = см, 3 r = 3 см; 2) S = 6 см2, r = 1 см; 3) S = 12 см2, R = 3,125 см; 4) S = 24 см2, r = 2 см; 2 5) R = 8,125 см, r = 1,5 см. 625. 1) 13 см; 2) 16,25 см. 626. p ( p − a )( p − b )( p − c ). a 627. 1) ≈ 12,9 см, 12 см, 11,2 см; 2) 4,8 см, 4,8 см, 4 см; 3) 7 см, 24 см, 6,72 см. 628. 12 см, 5,6 см, 4,2 см. 629. 1) Так; 2) ні; 3) так. 630. Якщо кут α збільшуєть ся від 0° до 90°, то площа трикутника збільшується. При подальшому збільшен ні кута α від 90° до 180° площа трикутника зменшується. Площа трикутника є найбільшою, якщо α = 90°. 631. Вказівка: врахуйте, що діагональ паралелогра ма розбиває його на два трикутники з рівними площами. 632. 1) ≈ 5,6 см2; 2) ≈ 11,5 см2. 634. 1) ≈ 1,4 см2; 2) ≈ 29,8 см2. 635. Вказівка: врахуйте, що діагона лі паралелограма розбивають його на чотири трикутники з рівними площами. 274

Відповіді та вказівки 636. 1) ≈ 19,3 см2; 2) ≈ 41,1 см2. 637. Вказівка: нехай O — точка перетину діаго налей чотирикутника ABCD. Тоді площа цього чотирикутника дорівнює сумі площ трикутників ABO, BCO, CDO, ADO. 638. 1) 36 см2; 2) ≈ 21,1 см2. 639. 1) ≈ 19,1 см2; 2) ≈ 26,8 см2. 640. ≈ 14,9 см. 641. ≈ 16,03 см. 642. 84 см2. 643. 36 см, 51 см, 75 см. 644. 270 см2. 645. 12 см. 646. Вказівка: 1) скористайтеся a рівностями a = 2Rsinα, b = 2Rsinβ; 2) підставте у формулу (1) значення R = . sin α l2 sin α 647. . 648. Вказівка: нехай AD = l — бісектриса ∆ABC. 2sin ( α − 45° ) sin ( α + 45° ) 1 Знайдіть за формулою = S ab sin α площі трикутників ABC, ACD, ABD та ско 2 hh 2m2 sin α sin β ристайтеся рівністю SABC = SACD + SABD. 649. 650. S = 1 2 sin ( α + β ) 2sin α 1 S 651. 288 см2. 652. = ( ma + mb + mc )( ma + mb − mc )( ma + mc − mb )( mb + mc − ma ). 3 1 Вказівка: продовжте одну з медіан трикутника на відрізок, що дорівнює ме 3  1 1 1  1 1 1  1 1 1  1 1 1  S 1:  + +  + −  + −  + − . Вказівдіани. 653.=  ha hb hc  ha hb hc  ha hc hb  ha hc ha  aha bhb chc = = і скористайтеся 2 2 2 формулою Герона. 655. ≈ 1,9 кг. 656. AD = 400 м. S ка: виразіть сторони трикутника з рівності=

РОЗДІЛ 4. ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ. ДОВЖИНА КОЛА. ПЛОЩА КРУГА § 10. Правильні многокутники 657. На мал. 213. 658. 3) і 4). 659. 1) ОА і ОB; 2) ОМ; 3) ∠АОВ. 660. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 661. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 662. 1) Ні; 2) так. 663. 1) а) Так; б) ні; 2) а) так; б) ні; 3) а) ні; б) так. 664. 1) 20 см; 2) 32 см; 3) 40 см. 665. 80 см. 666. 1) 540°; 2) 900°; 3) 1440°. 667. 2520°. 668. 1) 108°; 2) 150°. 669. 160°. 670. 1) 8; 2) 12; 3) 9. 671. 1) 10; 2) 6. 672. 1) 18°; 2) 15°; 2) 40°. 673. 36°. 674. 1 (мал. 215); 1 (мал. 216). d 675. 2. 676. 1) 12 см; 2) 5 3 см; 3) 18 см. 677. 6 см. 678. 1) 4 см; 2) 8 см; 3) . 2 679. 1) 8 см; 2) 16 см; 3) 48 см. 680. 1 (мал. 218); 2 (мал. 219). 681. 1,5. 682. 1) 12 см; 2) 16 3 см; 3) 18 см. 683. 1) 2,5 см; 2) 3 см. 684. 1) 5 см; 2) 6 см; P 3) 8 см. 685. 1) 1,5 см; 2) 2 см; 3) . 686. Вказівка: порівняйте формули 8 a3 = R 3 і a3 = 2r 3. 687. 1) R = 2 см, r = 1 см, P = 6 3 см; 2) a = 12 см, r = 2 3 см, P = 36 см; 3) a = 36 см, R = 12 3 см, P = 108 см; 4) a = 3 3 см, R = 3 см, r = 1,5 см. 688. 1) 24 см; 2) 30 см; 3) 42 см. 689. 1) R = 3 2 см, r = 3 см, P = 24 см; 2) a = 16 см, r = 8 см, P = 64 см; 3) a = 20 см, R = 10 2 см, P = 80 см; 4) a = 4 см, R = 2 2 см, r = 2 см. 690. 1) 8 см; 2) 4 2 см. 691. 1) 1,5 см; 2) 9 см; 2 3 3) 15 см. 692. 1) 2 см; 2) 8 см; 3) см. 693. 1) На колі радіусом R позначаємо 3 275

Відповіді та вказівки довільну точку; 2) із даної точки на колі відмічаємо послідовно 5 точок розхи лом циркуля, що дорівнює R; 3) з’єднуємо точки й отримуємо шестикутник. 696. Вказівка: врахуйте, що сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу кола, описаного навколо нього. 699. Вказівка: спочатку накресліть коло даного радіуса. Через його центр проведіть перпендикулярні прямі. d 3 m 6 2a 3 a2 cм. 701. . 702. π . 703. π . 704. Вказівка: знайдіть суму 700. 3 2 3 12 180° ( n − 2 ) 360° . 705. 120°. 706. 1) 4; 2) 3. 707. 1) Так; 2) так. 708. Ні. 180° − і n n 709. 60°. 710. Вказівка: 1) спочатку доведіть рівність трикутників; 2) доведіть, що утворені чотирикутники є рівнобічними трапеціями; 3) знайдіть відповідні кути трикутника і скористайтеся ознакою рівнобедреного трикутника. 711. Вказівка: спочатку знайдіть зовнішній кут. 712. Вказівка: спочатку дове діть рівність трикутників. 713. 1) 6 см; 2) 2m 3. 714. 1) 4 см, 8 см; 2) n, 2n. 715. 1) 2 см, 2 2 см; 2) 1 см, 2 см. 716. 1) 6 2 + 3 , 3 3 + 2 3 ; 2) 10 2 + 3 ,

(

)

(

)

(

)

5 3 + 2 3 ; 3) 2m 2 + 3 , m 3 + 2 3 . 717. 1)

) (

)

(

)

6 см; 2) 3 6 см; 3)

P 6 . 9

a 3 . 719. 1) 30 см; 2) 34 см; 3) 2а. 720. 1) 14 см; 2) 12 см; 6 2a 2P 3 3 3 3) . 721. 1) 24 см; 2) 24 3 см; 3) . 722. 1) а = 3 см, R = 3 см, r = см; 3 3 2 d d d 3 . 723. 1) 10 см, 5 3 см; 2) а = 4 см, R = 4 см, r = 2 3 см; 3) a = , R = , r = 2 2 4 d 3 d , . 724. 1) 4 см, 2 3 см; 2) 16 см, 8 3 см; 3) a 3, 2a. 2) 12 см, 6 3 см; 3) 3 2 725. Вказівка: розгляньте два випадки. 1) 6 3 см або 3 3 см; 2) 6 см або 3 см; a 3 2a 3 або . 726. Правильного трикутника. 727. У правильному чотири 3) 3 3 кутнику. 728. Ні. 729. Вказівка: спочатку знайдіть радіус описаного кола. 730. Вказівка: спочатку знайдіть діагоналі. 731. Вказівка: доведіть рівність утворених трикутників. 732. Вказівка: доведіть, що в утвореному n-кутнику всі сторони рівні й усі кути рівні. 733. 60°. 734. Вказівка: переконайтеся, що всі кути восьмикутника дорівнюють по 135°, а кожна сторона дорівнює a 2 − 1 . 718. 1) 5 см; 2) 1 см; 3)

(

)

735. Вказівка: сполучіть дану точку з вершинами n-кутника і знайдіть площу n-кутника як суму площ утворених трикутників. 736. Вказівка: доведіть, що кожний кут утвореного трикутника дорівнює 60°. 737. 1) Якщо n < 6; 2) якщо a n = 6; 3) якщо n > 6. 738. 1) 2 3 + 2 3 ; 2) 4 3 + 2 3 . 739. 2+ 2 . 2 a 740. 2 + 3 . 741. Вказівка: поділіть восьмикутник на 8 рівних трикутників і 2 розгляньте один із них. 1) Скористайтеся теоремою косинусів; 2) скористайтеся теоремою Піфагора. 742. Вказівка: скористайтеся вказівкою до попередньої задачі. 743. Вказівка: спочатку доведіть, що сторона правильного вписаного трикутника ділить перпендикулярний до неї діаметр у відношенні 3 : 1.

(

276

)

(

)

(

)

Відповіді та вказівки 744. Вказівка: спочатку побудуйте допоміжний рівнобедрений трикутник АОВ з основою АВ, у якого ОС — висота, D ∈ ОС, AD = OD і DC = AB. ОА — радіус кола, описаного навколо восьмикутника. 745. Вказівка: скористайтеся вказів кою до попередньої задачі. 746. Вказівка: покажіть, що сума кутів многокутни ків, які мають спільну вершину, дорівнює 360°. 747. Вказівка: скористайтеся вказівкою до попередньої задачі. 748. ≈ 4,4 см. 749. 4,2 м, 2,3 м, 2,1 м.

§ 11. Довжина кола. Довжина дуги кола 750. 1) Ні; 2) ні 3) так. 751. 1) Ні; 2) ні 3) так. 752. 1) Ні; 2) ні 3) так. 754. 1) 10π см; 2) 20π см; 3) 24π см. 755. 1) 4π см; 2) 6π см; 3) 8π см. 756. 1) 2 см; 2) 7 см; 3) 1 см. 757. 1) D = 5 см, C = 5π см; 2) R = 10 см, C = 20π см; 3) R = 9,2 см, D = 18,4 см; 4) R = 4,8 см, C = 9,6π см; 5) D = 22 см, C = 22π см. 758. Вказівка: спочатку знайдіть радіус кола. 759. 1) Збільшиться на 10π; 2) зменшиться на 6π; 3) збільшиться у 2 рази. 760. 1) 6π см; 2) 12π см. 761. 1) 8π см; 2) 8 2π см. 762. 1) 13π см; 2) 25π см; 3) 20π см. 763. 1) 3π см; 2) 2 2π см; 3) 4 3π см. 764. 1) 10 3π см; 2) 20π см. 765. 1) π см; 2) 2π см; 3) 4π см. 766. 1) 2π см; 2) π см; 36 60 15π см; 2) 90 см; 3) 30°. 3) 3π см. 767. 1) см; 2) 108 см; 3) см. 768. 1) π π 4 769. 1) 80°; 2) 108°; 3) 80°. 770. 1) 8π см; 2) 12π см. 771. 1) 14,4π см; 2) 9,6π см. 772. 1) 6π см; 2) 24π см. 773. 1) 1,25 73π см; 2) 2,6 41π см. 774. 8 3 см; 2) 7 3 см. 775. 1) 6 см; 2) 1 см. 776. Вказівка: спочатку знайдіть радіус кола. 3l 777. 1) ≈ 14,7 см; 2) ≈ 1,5m. 778. 1) 3 см; 2) 5 см. 779. Периметри рівні. 780. 1) ; π aπ 2 aπ 2l 2 3l 3 2aπ 3 ; 3) ; 3) . 781. 1) ; 2) . 782. 2π(a + b) (мал. 243); aπ 2) 4 2π 3 9 π (мал. 244); 3) 2aπ (мал. 245). 783. 1) 16π см; 2) 2π см. 784. 1) 50π см; 2) 130π см. 1 785. Довжині даного кола. 786. ≈ 300 см. 787. 1 см. 788. Перше коло. 3 789. 1: 3. 790. 126. 791. 1) ≈ 40 004 км; 2) ≈ 80 см. 792. ≈ 126 м. 793. ≈ 5,7 м. 794. Вказівка: спочатку треба поміряти, скільки разів намотується ланцюг для відра на вал. 795. ≈ 40 076 км.

§ 12. Площа круга та його частин 796. 1) Ні; 2) ні 3) так. 797. 1) Ні; 2) ні 3) так. 799. 1) 16π см2; 2) 36π см2; 3) 81π см2. 800. 1) 25π см2; 2) 36π см2; 3) 64π см2. 801. 1) 5 см; 2) 3 см; 3) 6 см. 802. Вказівка: спочатку знайдіть радіус круга. 1) 2 см; 2) 4 см; 3) 7 см. 803. 1) C = 20π см, S = 100π см2; 2) R = 10 см, S = 100π см2; 3) R = 5 см, C = 10π см; 4) R = 1 см, S = π см2; 5) C = 6π см, S = 9π см2; 6) R = 6 см, S = 36π см2; 7) R = 3 см, C = 6π см. 804. 1) 4π см; 2) 2π см; 3) 18π см. 805. 1) Збільшиться в 9 разів; 2) змен π см2; 2) 9π см2; шиться в 4 рази; 3) збільшиться в 16 разів. 806. 2. 807. 1) 4 3) 16π см2. 808. 1) 4π см; 2) 16π см. 809. 1) 25π см2, 50π см2; 2) 49π см2, 98π см2; 3) 81π см2, 162π см2. 810. 1) 25π см2; 2) 169π см2; 3) 100π см2. 811. 1) 108π см2; 2) 144π см2. 812. 1) π см2; 2) 2π см2; 3) 10π см2. 813. 1) 18π см2; 2) 45π см2; R2 R2 R2 R2 π − 2 2 ; 3) 3) 72π см2. 814. 1) 4π − 3 3 . 815. 1) ( π − 3) ; 2) ( π − 2 ); 8 4 12 12

(

)

(

)

277

Відповіді та вказівки

(

)

R2 2π − 3 3 . 816. Вказівка: застосуйте формули D = 2R і C = 2πR. 817. Вка12 зівка: застосуйте формулу S = πR2. 818. Площа півкруга більша. 819. У 2 рази. 820. Площа описаного круга в чотири рази більша за площу вписаного круга. 821. 1) 10 см; 2) 12 см. 822. 1) 16π см2, 4π см2; 2) 4π см2, π см2. 823. 1) 8π см2, 4π см2; 2) 18π см2, 9π см2. 824. 1) 1 : 4; 2) 1 : 2; 3) 3 : 4. 825. S = π R2 − r 2 . R 2 . 828. 1) 160°; 2) 72°. 829. 1) ≈ 12,62 см; 826. 1) 60π см2; 2) 8π см2. 827. 2  3 3 2 2 2) ≈ 5,97 см. 831. R 2  π −  (мал. 255); R 3 3 − π (мал. 256) 832. R ( π − 2 )  4   Qπ 3 8S m2 π 9l 2 . 834. . 835. . (мал. 257); R 2 ( 4 − π ) (мал. 258) 833. . 836. 3 64π 4 π π  837. 3 : 2. 838. = S  3 −  R 2 . 839. а2. 840. 10 см. 841. 1) ≈ 644,6 см2; 2   2)

(

)

2) ≈ 1790,5 см2. 842. 0,75 мм. 843. 43,4 %. 844. ≈ 9,4 дм3.

РОЗДІЛ 5. ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ § 13. Переміщення. Паралельне перенесення 845. 1) Ні; 2) так. 846. 1) Ні; 2) так. 847. 1) Ні; 2) так. 848. 1) Ні; 2) ні; 3) так; 4) ні. 849. 1) Ні; 2) так. 850. Мал. 275, б. 851. Перетворення не є переміщенням, оскільки воно не зберігає відстані між точками. 852. 1) У точки Х′ і Y′; 2) у від різки СХ′ і Х′Y′; 3) так. 853. 1) Не існує; 2) існує. 854. Так. 855. 2) АВ = А′В′. 858. Так. 859. 1) Так; 2) ні. 862. Якщо АВ || СD або АВ і СD лежать на одній прямій. 865. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 866. 1) Так; 2) так. 867. 1) Не обов’язково. 868. 1) ВОD; 2) ВОС. 869. Не обов’язково. 870. Так. 871. Ні. Це можливо для рівнобедрених трикутників. 873. Вказівка: скористайтеся наслідком з теореми про властивість переміщення. 874. 1) Так; 2) так; 3) не завжди; 4) так. 875. 5 кв. од. (мал. 282); 2 3 3 − 2 кв. од. (мал. 283). 876. АВ || СD і АВ = СD або АВ = СD і від

(

)

різки АВ, СD лежать на одній прямій. 877. Безліч. 879. 4 см2. 880. Вказівка: виконайте паралельне перенесення бічної сторони АВ трапеції АВСD (ВС || АD) так, щоб точка В перейшла в точку С. Розгляньте утворений трикутник. 881. Вказівка: виконайте паралельне перенесення бічної сторони трапеції так, як показано на малюнку 284. 882. Вказівка: виконайте паралельне перенесен ня діагоналі трапеції так, як показано на малюнку 285. 883. 4 см. Вказівка: скористайтеся малюнком 284. 884. Вказівка: скористайтеся наслідком з теоре ми про властивість переміщення та задачею в тексті параграфа. 886. Вказівка: припустіть, що паралельні прямі а і b при переміщенні переходять у прямі а′ і b′, які перетинаються. Оскільки переміщення зберігає належність точок пря мій, то прямі а і b також перетиналися б. 887. Вказівка: скористайтеся малюн ком 284. 888. Вказівка: скористайтеся малюнком 285. 889. Вказівка: нехай у трикутнику АВС АМ і BN — рівні медіани. Паралельно перенесіть відрізок BN так, що точка N перейшла в точку M. ∆АМВ′ — рівнобедрений. Розгляньте три кутники АNВ і ВМА. 892. Вказівка: нехай AMNB — деякий шлях між селами А і В (мал. 289). Побудуйте точку А′, у яку переходить точка А при паралельно 278

Відповіді та вказівки му перенесенні, що переводить точку M в точку N. Знайдіть точку K перетину прямої А′B з берегом річки, який є ближчим до села В. Проведіть з точки K перпендикуляр до іншого берега річки.

§ 14. Симетрія відносно точки і прямої 893. 1) Ні; 2) так. 894. 1) Ні; 2) так. 895. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 896. 1) Ні; 2) так. 897. На мал. 314, б. 900. Вказівка: виміряйте побудований відрізок та визначте розміщення його середини. 901. Вказівка: побудуйте точки, си метричні вершинам трикутника. 902. 1) А′(–3; –5); 2) А′(3; –5); 3) А′(–5; –7). 903. 1) А′(–2; –2), В′(–6; –6); 2) А′(6; –2), В′(2; –6); 3) А′(2; 2), В′(–2; –2). 906. 1) С1, D1, D, С; 2) В1С1, D1С1. 907. 1) В1, А1, В, А; 2) DD1, АА1. 908. На мал. 316, в. 911. Вказівка: побудуйте серединний перпендикуляр до відрізка МN. 915. 1) Вказівка: побудуйте дві точки, симетричні центру кола та деякій точ ці кола. 916. 1) А′(–4; –5); 2) А′(4; 5). 917. 1) А′(2; –1), В′(4; –1); 2) А′(–3; 3), В′(3; –3); 3) А′(3; –2), В′(6; –4). 919. Вказівка: спочатку знайдіть точку, відносно якої точки B і C симетричні. 920. Вказівка: скористайтесь теоремою про влас тивість симетрії відносно точки. 921. Вказівка: скористайтесь ознакою: якщо діагоналі чотирикутника діляться точкою їх перетину навпіл, то такий чотири кутник — паралелограм. 922. 1) А′(–1; –2), С′(–7; –3), В′(–4; –6). 923. 1) Так; 2) ні; 3) так. 925. Вказівка: якщо чотирикутник АВСD має центр симетрії, то вершини А, В, С, D переходять відповідно у вершини С, D, А, В. Отже, його сторони АВ і ВС переходять відповідно у сторони СD і DА. Тому АВ || СD, ВС || DА. 926. Пряма, рівновіддалена від даних прямих. 927. Вказівка: спочатку побудуйте пряму l, відносно якої симетричні точки А і А′, а потім точки В′ і С′, симетричні В і С відносно прямої l. 928. Вказівка: проведіть пряму, перпен дикулярну до бісектриси кута. 930. Вказівка: скористайтесь тим, що лінія центрів є віссю симетрії кожного з даних кіл. 931. Вказівка: скористайтеся властивостями діагоналей ромба. 935. Трапеція — одну; прямокутник — дві, ромб — дві; квадрат — чотири. 937. Вказівка: побудуйте коло із центром О і радіусом ОА. Відкладіть від точки А три хорди, які дорівнюють ОА. Дістанете точ ку А′. 939. Вказівка: побудуйте пряму, симетричну прямій а відносно точки Р. 940. Вказівка: позначте на даній прямій дві довільні точки М і N. Тоді точка А′, симетрична точці А відносно даної прямої, є точкою перетину кіл із центрами М і N і радіусами МА і NА. 941. Вказівка: скориставшись властивостями осьо вої симетрії, обґрунтуйте рівність сторін трикутника. 942. Вказівка: побудуйте точку В 1, симетричну точці В відносно прямої l. Точка перетину прямих АВ1 і l — шукана точка N. 943. Вказівка: побудуйте точки М1 і М2, симетричні точці М відносно сторін деякого кута. Проведіть пряму М1М2 й позначте точки пере тину цієї прямої зі сторонами кута через Х і Y. ∆МХY — шуканий. 946. Вказівка: скористайтесь розв’язанням задачі 942.

§ 15. Поворот 947. На малюнку 332, в. 948. Вказівка: відкладіть відрізок ОN = ОM. 954. 1) У пряму; 3) у кут, рівний даному. 957. Вказівка: виконайте поворот двох будь-яких точок прямої навколо точки М на даний кут. 958. Вказівка: ви конайте поворот центра кола та деякої точки кола навколо точки А на даний кут. 959. Геометричне місце центрів поворотів — серединний перпендикуляр до відрізка ХХ′. 960. Геометричне місце центрів поворотів — серединний перпен 279

Відповіді та вказівки дикуляр до відрізка, що сполучає центри даних кіл. 964. Вказівка: покажіть, що відрізки, які сполучають точку перетину висот із вершинами трикутника, мають рівні довжини, а кути між ними становлять по 120°. 965. Вказівка: ви конайте поворот трикутника навколо центра на кут 120°. 966. Вказівка: вико найте поворот квадрата навколо центра на кут 90°. 967. Вказівка: на серединно му перпендикулярі до відрізка, який сполучає центри даних кіл, побудуйте точки, з яких цей відрізок видно під кутом 45°. 968. Центр повороту — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків АА′ і ВВ′. Центра повороту не існує, якщо АА′ || ВВ′ і АА′ ≠ ВВ′, або АА′ = ВВ′, а середини відрізків АА′ і ВВ′ не збігаються. 969. Вказівка: виконайте поворот трикутника навколо вершини 2 −1 В на кут 90°. 971. . 973. 1) 10 хвилин на 13-ту; 2) 20 хвилин на 13-ту. 2 974. Вказівка: знайдіть центр повороту, за якого прямокутник ABCD займе положення прямокутника A1B1C1D1 (мал. 336). Для цього знайдіть точку О пе ретину серединних перпендикулярів l1 i l2 до відрізків АА1, ВВ1. При повороті навколо точки О на кут 90° прямокутник ABCD займе положення A1B1C1D1.

§ 16. Перетворення подібності 975. На малюнку 348, б. 976. Ні. 977. k = 1. 979. k = 4. 981. 1) Так; 2) ні; 3) так. 982. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 983. 1) Ні; 2) так. 984. Ні. 985. 1) Так; 2) так. 8 6 986. Так, бо = . 987. 14 см, 21 см, 28 см, 35 см. 988. 1 : 4. 989. 1) 0,25; 2) 4; 12 9 3) 25. 990. 2. 991. 1) 1 : 16; 2) 4 : 25; 3) m2 : n2. 992. 1) 2 : 3; 2) 1 : 4; 3) m : n. 993. 1) 16 см; 2) 24 см; 3) 32 см. 994. 1) 56 см2; 2) 100 см2; 3) 120 см2. 995. 1) 18 см, 24 см; 2) 27 см, 36 см. 996. 1) Ні; 2) так. 997. Так, якщо MN || АВ, k = 0,5. В інших двох випадках — ні. 999. 8 см, 10 см, 6 см; 16 см, 20 см, 12 см. 1000. 1) Ні; 2) ні. 1001. Так. 1002. Так, k = 0,5. 1003. 1) 81 см2, 25 см2; 2) 361 см2, 256 см2. 1004. 1) 56 см, 40 см; 2) 200 см, 176 см. 1005. 1) 75 3 мм2; 2) 250 3 мм2. 1006. 1) 75 см2; 2) 250 см2. 1007. Ні. 1008. У 2 рази. 1009. Середня лінія має біль шу довжину. Вказівка: нехай ABCD — дана трапеція з основами BС і AD, точки N і М лежать відповідно на сторонах AB і CD. Трапеції NBCM та ANMD — по BC NM , звідси NM = BC ⋅ AD . Середня лінія трапеції дорівнює дібні. Тоді = NM AD 1 1 ( BC + AD ). Тоді BC ⋅ AD < ( BC + AD ). 1010. 1) 1 : 2; 2) 6 : 3. 1012. Вказів2 2 ка: побудуйте деякий ромб із кутом α, вершини якого лежать на сторонах AB і AC. Такий ромб подібний шуканому. 1013. 4,5 м. 1014. 35 м. 1016. Ні.

РОЗДІЛ 6. ПОЧАТКОВІ ВІДОМОСТІ ЗІ СТЕРЕОМЕТРІЇ § 17. Взаємне розміщення у просторі прямих, площин, прямої та площини 1019. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 1029. 1) A, B і D; 2) AC і СD; 3) ні, так, ні. 1030. Ні. 1032. 1) Безліч; 2) одну. 1035. 15. 1036. 1) 3 см; 2) 4 см; 3) 8 см; 4) 12 2 см; 5) 7 см. 1037. 1) 5 см; 2) 12 см. 1039. Не існує. 1051. 1) Так; 2) ні; 3) так. 280

Відповіді та вказівки

§ 18. Многогранники 1070. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) так. 1073. 1) 94 см2; 2) 164 см2; 3) 52 см2. 1074. 1) 2 см2; 2) 2 см2; 3) 1 см2. 1075. 1) 16 см2, 24 см2; 2) 100 см2, 150 см2; 3) 64 см2, 96 см2. 1076. 96 см2, 144 см2. 1077. 360 см2, 840 см2. 1079. 1) 48 см2, 240 + 25 3 см2, 57 см2; 2) 80 см2, 96 см2; 3) 96 см2, 132 см2. 1080. 1) 120 см2, 2 50 3 см3; 2) 240 см2, 240 + 50 3 см2, 200 3 см3, 3) 972 см2, 1134 см2, 2187 см3; 4) 108 см2, 126 см2, 81 см3; 5) 6 3 см2, 48 + 12 3 см2, 24 3 см3; 6) 72 см2, 72 + 12 3 см2, 36 3 см3. 1081. 250 см3. 1082. 1) 375 3 см3; 2) 1500 см3; 3) 2250 3 см3. 1083. 9 3 см3. 1084. 1) 5 граней, 9 ребер, 6 вершин; 2) 4 грані, 6 ребер, 4 вершини. 1086. 1) Збільшиться у 9 разів; 2) зменшиться у 16 разів; 3) збільшиться у 2,25 раза; 4) зменшиться у 16 разів. 1087. 1) 140 см2, 1 1 188 см2, 120 см3; 2) 480 см2, 480 + 200 3 см2, 600 3 см3. 1088. 1) ; 2) . 5 2 75 3 125 2 250 2 1089. 1) см2, 25 3 см2, см3; 2) 75 3 см2, 100 3 см2, см3; 4 4 3 243 3 243 2 27 3 9 2 3) см2, 81 3 см2, см3; 4) см2, 9 3 см2, см3. 4 4 4 4 4 3 125 3 1090. 1) 4 3 см2, 4 3 + 4 см2, см3; 2) 25 3 см2, 25 3 + 25 см2; см3. 2 6 1091. 1) 324 см2, 486 см2, 729 см3, 100 см2, 150 см2, 125 см3; 2) 1444 см2, 2166 см2, 6859 см3, 1024 см2, 1536 см2, 4096 см3. 1092. 100 см2, 108 см2, 40 см3; 400 см2, 528 см2, 640 см3. 1093. 2aH(1 + 2 + 5) , 2aH(1 + 2 + 5) + 12a2 , 6a2 H . 1094. Більший об’єм має многогранник, основою якого є квадрат. 1095. Много гранники мають однакові об’єми. 1097. 1) 7800 кг; 2) 15 600 кг; 3) 39 т.

§ 19. Тіла обертання 1099. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 1100. 1) Прямокутник; 2) сектор. 1101. Ні. 1102. 1) Ні; 2) ні; 3) ні. 1106. 1) 40p см2, 48p см2, 40p см3; 2) 32p см2, 37,12p см2, 25,6p см3; 3) 100p см2, 110p см2, 250p см3. 1107. 1) Ні; 2) ні; 3) ні. 20π см3; 2) 15p см2, 24p см2, 12p см3; 1110. 1) 2π 29 см2, 2π 29 + 2 см2, 3 3) π 37 см2, π 37 + 1 см2, 2p см3. 1111. 1) 5 см, 15p см2, 24p см2, 12p см3;

(

)

(

)

2) 13 см, 65p см , 90p см2, 100p см3; 3) 10 см, 60p см2, 96p см2, 96p см3. 256π см3; 3) 6 см, 144p см2; 4) 3 см, 36p см2; 1115. 1) 324p см2, 108p см3; 2) 4 см, 3 7 343π 2048π 32π см3; 6) 256p см2, см3. 1113. 1) 16p см2, см3; 2) 36p см2, 5) см, 2 6 3 3 256π 500π см3. 1114. 100p см2, см3. 1116. 1) Збільшиться в 36p см3; 3) 64p см2, 3 3 n разів, збільшиться в n разів; 2) збільшиться в n разів, збільшиться в n2 разів. 1117. 1) 120p см2, 320p см2, 600p см3; 2) 480p см2, 1280p см2, 4800p см3. 1118. 1) 9 см, 324p см2, 729p см3; 2) 7 см, 288p см2, 567p см3. 1119. 1) Ні; 2) ні; 3) ні. 1120. 1) 175p см2, 244p см2, 392p см3; 2) 240p см2, 384p см2, 768p см3. 2

281

Відповіді та вказівки

1121. 1) 5 см, 300p см2, 720p см3; 2) 9 см, 324p см2, 432p см3. 1122. 1)

4 1 ; 2) . 9 4

C2 C2 h 1728 27 , ; 2) 2h Sπ , 2h Sπ + 2S , ; 2) . 1124. 1) Ch , Ch + 2π 4π 125 512 SH . 1125. Найбільшу площу бічної поверхні має циліндр, який утворили обер танням квадрата навколо його сторони, найбільші площу повної поверхні і об’єм має циліндр, який утворили обертанням прямокутника навколо сторони 1123. 1)

C 2 C2 S 2 S C 2 C2 C2 C2 h h + 2 , h + 2 + ; 2) l πS , l πS + S , l − . , π 2 2 4π 12 3 4π 4π 3 S S C 1127. 1) ; 4) πS . 1128. 1) 100p см2, 36p см2, ; 2) 3 9πV 2 ; 3) 6 π 6π2 500π 1372π 32π см3, 36p см3; 2) 196p см2, 16p см2, см3, см3. 1129. ≈ 36,3 %. 3 3 3 1130. 1) ≈ 159,38 км; 2) ≈ 356,51 км. 1131. ≈ 78,5 тис. км2, ≈ 482,81 тис. км2, ≈ 506,45 тис. км2, ≈ 145,19 тис. км2.

3 см. 1126. 1)

ПОВТОРЕННЯ ВИВЧЕНОГО Метод координат на площині 1132. 1) K(2; –1), L(1; –3), M(5; –2); 2) K(–2; 1), L(–1; 3), M(–5; 2); 3) K(–2; –1), L(–1; –3), M(–5; –2). 1133. 3 − 2 3, 3 + 2 3. 1134. 7 або 53. Вказівка: розгляньте два випадки. 1135. 9 кв. од. 1136. 1) 6 см; 2) 6 см; 3) 6 2 см. 1137. 1) y = –2x – 3; 2) y = –2x + 3; 3) y = 2x – 3. 1138. C(5; –5).  5 1139.  2; . 1141. 22,5 ліктя і 37,5 ліктя.  3

Вектори на площині 2 a b a b 1142. х = 0, x = − . 1143. 1) Так; 2) ні. 1144. AB= − , BC= + . 3 2 2 2 2 AB AD = − 1145. BD = − AB + AD, CO . 1146. Вказівка: знайдіть скалярний 2 2 13 добуток векторів a і 2b − a. 1147. ≈ 43°. 1149. . 1151. Коло радіусом 1. 13

Розв’язування трикутників 3α   l sin  45° + c sin α cos α 2c sin α 2 cos α 4   ; 2) ; . 1153. 1152. 1) . sin ( α + 45° ) 2sin ( α + 45° ) 2sin ( α + 45° ) sin α α b sin d sin α 2 ; 2) b sin ( α + β ) . 1156. 19 см. 1157. 19 см, . 1155. 1) 1154. sin β α  α  sin  + β  sin  + β  2  2  19 см. 1158. 1) 45 см2; 2) 8 см2. 1159. 1) 282

25 8 см, см; 2) 3,125 см, 1,5 см. 3 3

Відповіді та вказівки

Правильні многокутники

(

)

(

)

1160. 150°, 30°, 30°. 1161. 1) 15; 2) 8. 1162. 1) 12 2 + 3 см, 6 3 2 + 3 см;

(

2) 16 2 − 3

) см, 8 3 (2 − 3 ) см. 1163. Вказівка: знайдіть радіус описаного

кола. 1164. a =

2bR 4 R 2 + b2

. 1165. 1)

10π 8π C2 см; 2) см. 1166. 80π см. 1167. 2 . 3 π sin α 3

1168. 1) 2 m2 + n2 ; 2) 2 m2 − n2 . 1169. 100 см2.

Геометричні перетворення 1170. 1) 25 см; 2) ∠A′ = 30°, ∠B′= 50°, ∠C′ = 20°. 1171. Вказівка: доведіть, що діагоналі чотирикутника діляться точкою перетину навпіл і вони рівні. 1175. 2 см. 1176. Вказівка: нехай ABCD — трапеція (AB || CD). Паралельно пе ренесіть одну з її діагоналей, наприклад BD, так, щоб вершина B перейшла у вершину C. 1177. 6 см або 4 см. 1178. 20 см, 28 см, 36 см і 44 см. 1179. 0,75m.

Початкові відомості зі стереометрії 1180. 2) 3. 1182. 29 м. 1184. Збільшиться у 3 рази. 1185. 6,25π л. 1186. 25. 1187. Приблизно 10 : 37. 1189. ≈ 149 млн км2.

ДЛЯ ТИХ, ХТО ХОЧЕ ЗНАТИ БІЛЬШЕ 1. Метод координат 1190. Так. 1191. 1) Так; 2) так; 3) так. 1192. 1) Ні; 2) так. 1193. A(0; 0), B(0; 3), C(2; 0) (мал. 433); A(–1; 0), B(–1; 3), C(1; 0) (мал. 434). 1194. A(1; 1), B(1; 4), C(3; 1). 1195. Так (мал. 436); ні (мал. 437). 1196. Ні. 1199. 1) A(0; 0), B(6; 0), C(0; 8); 2) A(0; 0), B(3; 0), C(0; 4); 3) A(0; 0), B(12; 0), C(0; 16). 1200. 1) A(0; 0), B(2; 0), C(2; 2); D(0; 2); 2) A(0; 2), B(0; 0), C(2; 0); D(2; 2);  3 2   3 2  3 2  ;0 ,  0; ;0 , 3) A − 2;0 , B 0; − 2 , C 2;0 , D 0; 2 . 1201.  − ,   2    2   2      3 2 73 601 2353 ; 2) 61, 6,5, . 1203. 193, 12,5, .  0; . 1202. 1) 13, 2,5, 2  2 2 2  1204. 1) 85, 2) 3 2. 1205. 5. 1206. 1) 5; 2) 13. 1207. 25. 1208. 1)(–a; 0),

(

) (

)

a 3 a  a a 3 a a 3 a a 3  a a 3 ; − ,  − ; ,  ; , (a; 0),  ; ,  − ;  або (0; –a),  2   2 2  2 2  2 2   2 2   2 a 3 a  a 3 a a 3 a ; , (0; a),  − ; , ; − ; 2) Вказівка: розгляньте 12 випадків.    2 2   2 2   2 2    1209. У даних квадратів дві вершини спільні. Якщо вони лежать на осі OY, то абсциси двох інших відповідних вершин квадратів є протилежними числами. Якщо ці спільні вершини лежать на осі OX, то ординати двох інших відповід них вершин квадратів є протилежними числами. 1210. Так. Наприклад, три кутник з вершинами в точках (1; 1), (2; 1), (1; 2) або (2; 2), (4; 2), (2; 4). Вказівка: щоб довести існування фігури, достатньо навести один приклад. 1211. 13 см. 1212. Вказівка: введіть прямокутну декартову систему координат так, щоб 283

Відповіді та вказівки один з кінців відрізка AB лежав у початку координат. 1213. 1) Коло із центром (2; 0) і радіусом 2 2; 2) пряма, що перпендикулярна до відрізка AB й ділить його у відношенні 5 : 2, рахуючи від точки A. 1214. Вказівка: введіть прямокут ну декартову систему координат так, щоб вершина прямокутника містилась у початку координат. 1215. Вказівка: введіть прямокутну декартову систему координат так, щоб вершина A містилась у початку координат. 1216. 1) a = 12 2, d = 24; 2) a = 2 2, d = 4. 1217. 1) Ні; 2) дотикається. 1218. Вказівка: введіть прямокутну декартову систему координат так, щоб сторона трикутника, до якої проводимо медіану, лежала на осі абсцис, а основа медіани — у початку коорди нат. 1219. Вказівка: введіть прямокутну декартову систему координат так, щоб одна з вершин паралелограма містилась у початку координат. 1220. Вказівка: введіть прямокутну декартову систему координат так, щоб одна з вершин тра пеції містилась у початку координат. 1221. Точка M розміщується на відстані 1 a2 + b 2 , де b — відстань між точками A і B. 3 від центра кола. 1225. Пряма x = 3 2b Вказівка: введіть прямокутну декартову систему координат так, щоб точка A містилась у початку координат, а точка B лежала на осі абсцис. 1226. Вказівка: введіть прямокутну декартову систему координат так, щоб одна з вершин міс тилась у початку координат, а одна зі сторін лежала на додатній півосі ОХ. 1228. Вказівка: введіть прямокутну декартову систему координат і визначте координати середини третьої сторони трикутника. 2. Векторний метод         1231. Наприклад, на малюнку 445: a і c , b і d , d і m , c і m та ін. 1232. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 1233. 1), 4). 1235. Так. 1236. 1) AB  MP; 2) AB ⋅ MP = 0; 5) AM = MB. 1239. Вказівка: нехай АBCD — квадрат. AC = AB + AD, BD = − AB + AD. Знайдіть скалярний добуток цих векторів. 1240. Вказівка: нехай ABCD — прямокутник. AC = AB + AD, BD = − AB + AD. Знайдіть скаляр ний квадрат цих векторів. 1241. Вказівка: нехай АBC — прямокутний трикут ник (∠В = 90°). AC = AB + BC. Піднесіть рівність до квадрата. 1244. Вказівка: введіть базис; розкладіть вектори за базисом; скористайтеся тим, що рівні век тори мають рівні координати. 1247. Вказівка: покажіть, що пари векторів AE і FC , AF і EC — колінеарні. 1248. Вказівка: покажіть, що DF = CE. 1249. Вказівка: покажіть, що MP = NK. 1254. Сума квадратів сторін паралело грама дорівнює сумі квадратів його діагоналей. 1259. Вказівка: Нехай О —     центр описаного кола. Введіть вектори OA = a, OB = b, OC = c, OM = m і пока жіть, що їх довжини дорівнюють радіусу кола R. Скористайтесь тим, що     a+b +c = o. 1260. Вказівка: скористайтеся фактом: для того щоб точка М була точкою перетину медіан трикутника АВС, необхідно й достатньо, щоб MA + MB + MC = 0. 1263. Вказівка: знайдіть скалярний добуток векторів a 4a + 1; 4b + 1 і c (1;1). 1264. х — будь-яке число, y = 0. 1266. 100 2.

(

1267. 120°.

284

)

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК Вектор 51

— кутовий прямої 37

— одиничний 52

конус 230

вектора довжина 52

координати вектора 71

— модуль 52

— точки 9

вектори колінеарні 52

куля 230

— протилежні 52

кута косинус 21

— протилежно напрямлені 52

— синус 21

— рівні 52

— тангенс 21

— співнапрямлені 52

кут між векторами 73

величина векторна 50

— повороту 188

— скалярна 50 відрізок напрямлений 50 вісь симетрії 179 властивість довжини кола 146 — паралельного перенесення 167 — переміщення 165 — перетворення подібності 195 — повороту 189 — кутів правильного многокутника 128

Многогранник 219 многогранника вершини 219 — грані 219 — ребра 219 многокутник правильний 128 многокутника центр 130 — центральний кут 130 множення векторів скалярне 73 Нуль-вектор 52

— симетрії відносно точки 177

Об’єм 222

— — — прямої 179

Паралельне перенесення 166

Добуток вектора на число 56

переміщення 164

— векторів скалярний 74

перетворення подібності 195

Коефіцієнт подібності 195

піраміда 219 285

Предметний покажчик

площина координатна 9

— синусів 88

поворот навколо точки 188

— про відношення площ подібних многокутників 197

подібність 195 правило паралелограма 54 — трикутника 54

— — відстань між двома точками із заданими координатами 9

призма 219

— — властивість правильного многокутника 129

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом 38

— — координати середини відрізка 11

— — загальне 39

— — рівняння кола 35

— —, що проходить через дві точки 39

тіло обертання 230

— фігури 35

точки, симетричні відносно даної точки 176

різниця векторів 55

— — — — прямої 178

розв’язати трикутник 106

Фігура центрально-симетрична 176

Сегмент круговий 156

фігури подібні 196

сектор круговий 155

— рівні 166

сектора дуга 155

—, симетричні відносно точки 176

симетрія відносно точки 176

— — — прямої 179

— — прямої 179

формула Герона 118

— осьова 179

— довжини дуги кола 147

— центральна 176

— — кола 146

система координат прямокутна декартова 8

— площі круга 154

скалярний квадрат вектора 74

— — сектора 156

сума векторів 54

формули площі трикутника 117, 118, 119

сфера 232

Центр повороту 188

Теорема косинусів 98

— симетрії 176

— Піфагора узагальнена 100

циліндр 230

286

ЗМІСТ Дорогі учні й учениці . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 РОЗДІЛ 1. Узагальнення та систематизація вивченого у 8 класі . . . . . . . . . . . . 5 Чотирикутники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Подібність трикутників. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Розв’язування прямокутних трикутників. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 РОЗДІЛ 2. Координати і вектори на площині . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 § 1. Декартові координати на площині . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 § 2. Синус, косинус і тангенс кутів від 0° до 180°. Основні тотожності . . . . . . . . . . . . 20 § 3. Поняття рівняння фігури. Рівняння кола і прямої . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 § 4. Поняття вектора. Дії над векторами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 § 5. Координати вектора. Скалярний добуток векторів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 РОЗДІЛ 3. Розв’язування трикутників. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 § 6. Теорема синусів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 § 7. Теорема косинусів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 § 8. Знаходження невідомих елементів трикутників. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 § 9. Формули площі трикутника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 РОЗДІЛ 4. Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга. . . . . . . . . 127 § 10. Правильні многокутники. Радіуси описаних і вписаних кіл. . . . . . . . . . . . . . . . 127 § 11. Довжина кола. Довжина дуги кола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 § 12. Площа круга та його частин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 РОЗДІЛ 5. Геометричні перетворення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 § 13. Переміщення. Паралельне перенесення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 § 14. Симетрія відносно точки і прямої. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 § 15. Поворот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 § 16. Перетворення подібності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 РОЗДІЛ 6. Початкові відомості зі стереометрії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 § 17. Взаємне розміщення у просторі прямих, площин, прямої та площини . . . . . 207 § 18. Многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 § 19. Тіла обертання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Перевірте, як засвоїли матеріал розділу 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Повторення вивченого. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Для тих, хто хоче знати більше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Проєкти. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Додатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Відповіді та вказівки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Предметний покажчик. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

287

Навчальне видання

Бурда Михайло Іванович Тарасенкова Ніна Анатоліївна

Геометрія Підручник для 9 класу закладів загальної середньої освіти Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Підручник відповідає Державним санітарним нормам і правилам «Гігієнічні вимоги до друкованої продукції для дітей»

Головна редакторка І. В. Красуцька Редакторка І. В. Луценко Головна художниця І. П. Медведовська Художня редакторка К. В. Берсенєва Технічний редактор Е. А. Авраменко Коректорка Ю. О. Твердохліб Малюнки О. В. Луценко Комп’ютерна графіка О. І. Дядика Презентації та інтерактивні вправи Л. М. Шабанової В оформленні підручника використано фото з вільних джерел мережі «Інтернет», фотобанку Shutterstock Бренди та ресурси зображуються лише з освітньою метою та не є закликом до їх купівлі / відвідування

Формат 70×100 1/16. Ум. друк. арк. 23,4 + 0,324 форзац. Обл.вид. арк. 19,06 + 0,55 форзац. Зам. № Тираж 27 524 пр.

ТОВ «Український освітянський видавничий центр “Оріон”» Свідоцтво «Про внесення суб’єкта видавничої справи до державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції» Серія ДК № 4918 від 17.06.2015 р. Адреса видавництва: 03061, м. Київ, вул. Миколи Шепелєва, 2 Віддруковано на ТОВ «Поліпрінт», вул. Лугова, 1-а, м. Київ, 04073, Україна. Свідоцтво суб’єкта видавничої справи серія ДК № 1250 від 27.02.2003.