Issuu

УДК 373.167.1:514 М52

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від 22.02.2021 № 243)

Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено

Мерзляк А. Г. Геометрія : підруч. для 8 кл. закладів заг. серед. освіти / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — 2-ге видання, переробл. — Х. : Гімназія, 2021. — 208 с. : іл. ISBN 978-966-474-275-4.

М52

УДК 373.167.1:514

ISBN 978-966-474-275-4

ВІД АВТОРІВ Любі восьмикласники та восьмикласниці!

У цьому навчальному році ви продовжуватиме вивчати геометрію. Сподіваємося, що ви встигли полюбити цю важливу і красиву науку, а отже, з інтересом будете опановувати нові знання. Ми маємо надію, що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте в руках. Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою. Текст підручника поділено на чотири параграфи, кожний з яких складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Вивчаючи його, особливу увагу звертайте на текст, який надруковано жирним шрифтом, жирним курсивом і курсивом; так у книзі виділено означення, правила та найважливіші математичні твердження. Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикладами розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як один із можливих зразків оформлення розв’язання. До кожного пункту дібрано задачі для самостійного розв’язування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і складні задачі (особливо ті, що позначено «зірочкою» (*)). Свої знання можна перевірити, розв’язуючи задачі в тестовій формі, розміщені в кінці кожного параграфа. Кожний пункт завершується рубрикою «Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте». До неї дібрано задачі, для розв’язування яких потрібні не спеціальні геометричні знання, а лише здоровий глузд, винахідливість і кмітливість. Ці задачі корисні, як вітаміни: вони розвивають «геометричний зір» та інтуїцію. Якщо після виконання домашніх завдань залишається вільний час і ви хочете дізнатися більше, то рекомендуємо звернутися до рубрики «Коли зроблено уроки». Матеріал, викладений там, непростий. Але тим цікавіше випробувати свої сили! Дерзайте! Бажаємо успіху!

Від авторів

Шановні колеги та колежанки! Ми дуже сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій та шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається. У книзі дібрано великий і різноманітний дидактичний матеріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв’язати неможливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зручніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні. Звертаємо увагу на те, що в підручнику наявні задачі на побудову. Вони не є обов’язковими для розгляду. Цей матеріал доцільно використовувати лише в тому разі, коли учні та учениці вже ознайомлені з відповідним розділом з курсу геометрії 7 класу. Блакитним кольором позначено номери задач, що рекомендовано для домашньої роботи, пурпуровим кольором — номери задач, що рекомендовано для розв’язування усно. Матеріал рубрики «Коли зроблено уроки» може бути використаний для організації роботи математичного гуртка та факультативних занять. Тож перетворімо разом шкільний курс геометрії в зрозумілий і привабливий предмет. Бажаємо творчого натхнення та терпіння.

��

УМОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ n° n• n•• n*



 

завдання, що відповідають початковому та середньому рівням навчальних досягнень; завдання, що відповідають достатньому рівню навчальних досягнень; завдання, що відповідають високому рівню навчальних досягнень; задачі для математичних гуртків і факультативів; ключові задачі, результат яких може бути використаний під час розв’язування інших задач; доведення теореми, що відповідає достатньому рівню навчальних досягнень; доведення теореми, що відповідає високому рівню навчальних досягнень; доведення теореми, не обов’язкове для вивчення; закінчення доведення теореми; закінчення розв’язання задачі;

рубрика «Коли зроблено уроки».

ЧОТИРИКУТНИКИ У цьому параграфі розглядається знайома вам геометрична фігура чотирикутник. Ви ознайомитеся з окремими видами чотирикутника: паралелограмом, прямокутником, ромбом, квадратом, трапецією, вивчите властивості цих фігур і дізнаєтеся про ознаки, за допомогою яких серед чотирикутників можна розпізнати зазначені фігури. Ви вивчите властивості відрізка, який сполучає середини сторін трикутника, і переконаєтеся в тому, що ці властивості можуть слугувати ключем до розв’язування цілого ряду задач. Як виміряти дугу кола? Навколо якого чотирикутника можна описати коло? У який чотирикутник можна вписати коло? Опанувавши матеріал цього параграфа, ви отримаєте відповіді й на ці запитання.

§ 1. Чотирикутники

1. Чотирикутник та його елементи

На рисунку 1 відрізки AB і BC мають тільки одну спільну точку B, яка є кінцем кожного з них. Такі відрізки називають сусідніми. На рисунку 2 кожні два відрізки є сусідніми.

C A Рис. 1

Рис. 2

Відрізки AB і CD на рисунку 3 не є сусідніми.

б Рис. 3

Розглянемо фігуру, яка складається із чотирьох точок A, B, C, D і чотирьох відрізків AB, BC, CD, DA таких, що ніякі два сусідніх відрізки не лежать на одній прямій і ніякі два несусідніх відрізки не мають спільних точок (рис. 4, а).

B C

б Рис. 4

1. Чотирикутник та його елементи

Фігура, утворена цими відрізками, обмежує частину площини, виділену на рисунку 4, б зеленим кольором. Цю частину площини разом з відрізками AB, BC, CD і DA називають чотирикутником. Точки A, B, C, D називають вершинами чотирикутника, а відрізки AB, BC, CD, DA — сторонами чотирикутника. На рисунку 5 зображено фігури, що складаються із чотирьох відрізків AB, BC, CD, DA та частини площини, яку вони обмежують. Проте ці фігури не є чотирикутниками. Поясніть чому.

D D

б Рис. 5

Сторони чотирикутника, які є сусідніми відрізками, називають сусідніми сторонами чотирикутника. Вершини, які є кінцями однієї сторони, називають сусідніми вершинами чотирикутника. Сторони, які не є сусідніми, називають протилежними сторонами чотирикутника. Несусідні вершини називають протилежними вершинами чотирикутника. На рисунку 6 зображено чотирикутник, P у якому, наприклад, сторони MQ і MN є су- M сідніми, а сторони NP і MQ — протилежними. N Вершини Q і P — сусідні, а вершини M і P — протилежні. Чотирикутник називають і позначають за його вершинами. Наприклад, на рисунку 4, б Q зображено чотирикутник ABCD, а на рисунку 6 — чотирикутник MNPQ. У позначенні Рис. 6 чотирикутника букви, що стоять поруч, відповідають сусіднім вершинам чотирикутника. Наприклад, чотирикутник, зображений на рисунку 6, можна позначити ще й так: PQMN, або MQPN, або NPQM тощо. Суму довжин усіх сторін чотирикутника називають периметром чотирикутника.

§ 1. Чотирикутники

B A

C D

C а

б Рис. 7

Відрізок, який сполучає протилежні вершини чотирикутника, називають діагоналлю. На рисунку 7 відрізки AC і BD — діагоналі чотирикутника ABCD. Кути ABC, BCD, CDA, DAB (рис. 8) називають кутами чотирикутника ABCD. У цьому чотирикутнику всі вони менші від розгорнутого кута. Такий чотирикутник називають опуклим. Однак існують чотирикутники, у яких не всі кути менші від розгорнутого. Наприклад, на рисунку 9 кут B чотирикутника ABCD більший за 180°. Такий чотирикутник називають неопуклим1. Кути ABC і ADC називають протилежними кутами чотирикутника ABCD (рис. 8, 9). Також протилежними є кути BAD і BCD.

Рис. 8

Рис. 9

Т е о р е м а 1.1. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Д о в е д е н н я.  Проведемо в чотирикутнику діагональ, яка розбиває його на два трикутники. Наприклад, на рисунку 10 це діагональ BD. Тоді сума кутів чотирикутника ABCD дорівнює сумі кутів трикутників ABD і CBD. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. 

Докладніше з поняттям «опуклість» ви ознайомитеся в п. 19.

1. Чотирикутник та його елементи

C B

C D

D а

б Рис. 10

Н а с л і д о к. У чотирикутнику тільки один із кутів може бути більшим за розгорнутий. Доведіть цю властивість самостійно.

З а д а ч а 1. Доведіть, що довжина будьякої сторони чотирикутника менша від суми довжин трьох інших його сторін. Р о з в ’я з а н н я. Розглянемо довільний чотирикутник ABCD (рис. 11). Покажемо, наприклад, що AB < AD + DC + CB. Проведемо діагональ AC. Застосовуючи нерівність трикутника для сторін AB і AC відповідно трикутників ABC і ADC, отримуємо нерівності: AB < AC + CB, AC < AD + DC. Звідси AB < AC + CB < AD + DC + CB. Отже, AB < AD + DC + CB. 

Рис. 11

З а д а ч а 2. Побудуйте чотирикутник за двома сусідніми сто ронами та чотирма кутами, кожний з яких менший від розгорнутого.1

Р о з в’я з а н н я. На рисунку 12 зображено чотирикутник ABCD, у якому відомо довжини сторін AB і BC, а також усі його кути. У трикутнику ABC відомо дві сторони AB і BC та кут B між ними. Отже, цей трикутник можна побудувати. Тепер можемо від променів AB і CB відкласти кути, які дорівнюють кутам чотирикутника при вершинах А і С.

Рис. 12 1

У підручнику задачі на побудову не є обов’язковими для розгляду.

§ 1. Чотирикутники

Проведений аналіз показує, як будувати шуканий чотирикутник. Будуємо трикутник за двома даними сторонами чотирикутника та кутом між ними. На рисунку 12 це трикутник ABC. Далі від променів AB і CB відкладаємо два відомих кути чотирикутника. Два побудованих промені перетинаються в точці D. Чотирикутник ABCD — шуканий. 

1. Поясніть, які відрізки називають сусідніми. 2. Поясніть, яку фігуру називають чотирикутником. 3. Які сторони чотирикутника називають сусідніми? протилежними? 4. Які вершини чотирикутника називають сусідніми? протилежними? 5. Як позначають чотирикутник? 6. Що називають периметром чотирикутника? 7. Що називають діагоналлю чотирикутника? 8. Який чотирикутник називають опуклим? 9. Сформулюйте теорему про суму кутів чотирикутника.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

1.° Накресліть чотирикутник, у якому: 1) три кути тупі; 2) кути при сусідніх вершинах прямі, а два інших не є прямими; 3) одна діагональ точкою перетину діагоналей ділиться навпіл, а друга не ділиться навпіл; 4) діагоналі перпендикулярні.

2.° Накресліть довільний чотирикутник, позначте його вершини буквами M, K, E, F. Укажіть пари його сусідніх сторін, протилежних сторін, протилежних вершин. Запишіть які-небудь три позначення цього чотирикутника.

3.° Накресліть чотирикутник, у якому: 1) три кути гострі; 2) два протилежних кути прямі, а два інших не є прямими; 3) діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

1. Чотирикутник та його елементи

ВПРАВИ 4.° Серед фігур, зображених на рисунку 13, укажіть чотирикутники.

Рис. 13

5.° Наведіть чотири яких-небудь позначення K чотирикутника, зображеного на рисунку 14. Укажіть: C 1) вершини чотирикутника; M 2) його сторони; A 3) пари сусідніх вершин; 4) пари протилежних вершин; Рис. 14 5) пари сусідніх сторін; 6) пари протилежних сторін; 7) діагоналі чотирикутника. 6.° Серед чотирикутників, зображених на рисунку 15, укажіть опуклі.

C B

D A

O P

R X

L N

Рис. 15

7.° Чому дорівнює четвертий кут чотирикутника, якщо три його кути дорівнюють 78°, 89° і 93°? 8.° Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони рівні між собою.

§ 1. Чотирикутники

9.° У чотирикутнику ABCD відомо, що ∠B = 150°, ∠A = ∠C = ∠D. Знайдіть невідомі кути чотирикутника. 10.° Один із кутів чотирикутника у 2 рази менший від другого кута, на 20° менший від третього та на 40° більший за четвертий. Знайдіть кути чотирикутника. 11.° Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3, 10 і 21. Чи є цей чотирикутник опуклим? 12.° Знайдіть кути чотирикутника, якщо три його кути пропорційні числам 4, 5 і 7, а четвертий кут дорівнює їхній півсумі. Чи є цей чотирикутник опуклим? 13.° Чи може чотирикутник мати: 1) три прямих кути й один гострий; 2) три прямих кути й один тупий; 3) чотири прямих кути; 4) чотири гострих кути; 5) два прямих і два тупих кути; 6) два прямих кути, один гострий та один тупий? У разі ствердної відповіді нарисуйте такий чотирикутник. 14.° Периметр чотирикутника дорівнює 63 см. Знайдіть його сто

2 рони, якщо друга сторона становить першої, третя — 50 % 3

другої, а четверта — 150 % першої. 15.° Знайдіть сторони чотирикутника, якщо одна з них на 2 см більша за другу, на 6 см менша від третьої, у 3 рази менша від четвертої, а периметр дорівнює 64 см. 16.° У чотирикутнику ABCD сторони AB і BC рівні, а діагональ BD утворює із цими сторонами рівні кути. Доведіть, що сторони CD і AD теж рівні. 17.° Діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, одна з його сторін дорівнює 6 см. Чому дорівнює протилежна їй сторона чотирикутника? 18.° У чотирикутнику MNKP відомо, що MN = NK, MP = PK, ∠M = 100°. Знайдіть кут K. 19.° У чотирикутнику ABCD діагональ AC утворює зі сторонами AB і AD рівні кути та зі сторонами CB і CD також рівні кути, AB = 8 см, BC = 10 см. Знайдіть периметр чотирикутника ABCD. 20.• У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 44°, ∠B = 56°. Бісектриси AK і BM трикутника перетинаються в точці O. Знайдіть кути чотирикутника: 1) MOKC; 2) AOBC. 21.• У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 36°, ∠B = 72°. Висоти AE і BF трикутника перетинаються в точці H. Знайдіть кути чотирикутника: 1) CFHE; 2) ACBH.

1. Чотирикутник та його елементи

22.• Знайдіть діагональ чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 80 см, а периметри трикутників, на які ця діагональ розбиває даний чотирикутник, дорівнюють 36 см і 64 см. 23.• Чи можуть сторони чотирикутника дорівнювати: 1) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 9 дм; 2) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 10 дм? 24.•• У чотирикутнику ABCD відомо, що ∠A = ∠C = 90°. Доведіть, що бісектриси двох інших кутів чотирикутника або паралельні, або лежать на одній прямій. 25.•• Доведіть, що коли бісектриси двох протилежних кутів опуклого чотирикутника паралельні або лежать на одній прямій, то два інших кути чотирикутника рівні. 26.•• Побудуйте чотирикутник за його сторонами та одним із кутів. 27.•• Побудуйте чотирикутник за трьома сторонами та двома діагоналями. 28.•• Побудуйте чотирикутник за його сторонами та однією з діагоналей. 29.* Побудуйте чотирикутник ABCD за кутами A і B, сторонами AB і BC та сумою сторін AD і CD.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 30. Пряма c перетинає кожну з прямих a і b (рис. 16). Укажіть пари різносторонніх і пари односторонніх кутів, які при цьому утворилися. Яке взаємне розміщення прямих a і b, якщо: 1) ∠1 = ∠4; 2) ∠1 = 20°, ∠3 = 170°?

c 1 3

2 4

b A

A Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

31. У чотирикутнику ABCD (рис. 17) ∠C = 110°, ∠D = 70°. Доведіть, що BC || AD. 32. У чотирикутнику ABCD відомо, що ∠A = ∠B = 90°, ∠C = 100°. Чи є паралельними прямі: 1) BC і AD; 2) AB і CD? 33. На рисунку 18 AD = BC, ∠ADB = ∠CBD. Доведіть, що AB = CD і AB || CD.

§ 1. Чотирикутники

34. Відрізок BK — бісектриса трикутника ABC. Пряма DK паралельна стороні AB і перетинає сторону BC у точці D, ∠BDK = 116°. Знайдіть кут BKD. Поновіть у пам’яті зміст пунктів 12, 13, 14 на с. 188, 189.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

35. Білу площину довільно забризкано чорною фарбою. Доведіть, що на площині знайдеться відрізок завдовжки 1 м, кінці якого зафарбовано одним кольором.

ДЕРЗАЙТЕ! Задачу 29 позначено «зірочкою» (*). Це означає, що вона належить до задач підвищеної складності. Хоча таких задач не буде на самостійних і контрольних роботах, їх у підручнику чимало. У вас може виникнути запитання: «Навіщо ж витрачати час і сили на складні задачі, якщо вони не є обов’язковими для розв’язування, а високу оцінку можна заробити й значно меншими зусиллями?» На нашу думку, найкращу відповідь на це запитання можна знайти в книзі «Математика й романтика» відомого українського геометра та педагога Миколи Івановича Кованцова. Він писав: «Любі друзі! Беріться за розв’язування складних математичних задач! І тих, які щойно поставлені, і тих, які вже багато десятиліть або століть не піддаються розв’язуванню. Вас спіткають страждання й розчарування, коли здаватиметься, що ви марно витратили роки на пошуки примари, яка від вас ухиляється. Усе може бути. Але ви будете сторицею винагороджені, коли одного чудового дня опинитеся перед тією завітною ціллю, до якої так довго й складно йшли. Не будьте байдужими, інакше на вас чекає духов на смерть». М. І. Кованцов майже 30 років очолював кафедру геометрії Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Його перу належить понад 200 наукових і науковопопулярних праць. Микола Іванович виховав десятки вчених, М. І. Кованцов які сьогодні працюють як в Україні, так і в багатьох країнах світу. (1924–1988)

2. Паралелограм. Властивості паралелограма

О з н а ч е н н я. П а р а л е л о г р а м о м називають чотирикутник, у якого кожні дві протилежні сторони паралельні. На рисунку 19 зображено паралелограм ABCD. За означенням паралелограма маємо: AB || CD, BC || AD. Розглянемо деякі властивості паралелограма. Т е о р е м а 2.1. Протилежні сторони паралелограма рівні. Д о в е д е н н я .  На рисунку 19 зображено паралелограм ABCD. Доведемо, що AB = CD і BC = AD. Проведемо діагональ AC. Доведемо, що трикутники ABC і CDA рівні (рис. 20). У цих трикутниках сторона AC — спільна, кути 1 і 2 рівні як різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній AC, кути 3 і 4 рівні як різносторонні при паралельних прямих AB і CD та січній AC. Отже, трикутники ABC і CDA рівні за другою ознакою рівності трикутників. Звідси AB = CD і BC = AD.  Т е о р е м а 2.2. Протилежні кути паралелограма рівні. Д о в е д е н н я .  На рисунку 19 зображено паралелограм ABCD. Доведемо, що ∠А = ∠C і ∠В = ∠D.

C 2

3 A

Рис. 19

Рис. 20

Під час доведення попередньої теореми було встановлено, що DABC = DCDA (рис. 20). Звідси ∠B = ∠D. З рівності кутів 1 і 2 та рівності кутів 3 і 4 випливає, що ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4. Отже, ∠BAD = ∠BCD.  Т е о р е м а 2.3. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. Д о в е д е н н я .  На рисунку 21 зобраB C жено паралелограм ABCD, діагоналі якого 2 3 O перетинаються в точці O. Доведемо, що AO = OC і BO = OD. 4 1 Розглянемо трикутники AOD і COB. A D Маємо: ∠1 і ∠2, ∠3 і ∠4 рівні як різносторонні при паралельних прямих AD і BC Рис. 21

§ 1. Чотирикутники

та січних AC і BD відповідно. З теореми 2.1 отримуємо: AD = BC. Отже, трикутники AOD і COB рівні за другою ознакою рівності трикутників. Звідси AO = OC, BO = OD.  О з н а ч е н н я. В и с о т о ю п а р а л е л о г р а м а називають перпендикуляр, опущений з будь-якої точки прямої, яка містить сторону паралелограма, на пряму, що містить протилежну сторону. На рисунку 22 кожний із відрізків AF, QE, BM, PN, CK є висотою паралелограма ABCD.

E D K

F Рис. 22

Із курсу геометрії 7 класу ви знаєте, що всі точки однієї з двох паралельних прямих рівновіддалені від другої прямої. Тому AF = QE і BM = PN = CK. Говорять, що висоти BM, CK, PN проведено до сторін BC і AD, а висоти AF, QE — до сторін AB і CD.

З а д а ч а 1. Доведіть, що прямі, які містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці. Р о з в ’я з а н н я. Через кожну вершину даного трикутника ABC проведемо пряму, паралельну протилежній стороні. Отримаємо трикутник A1B1C1 (рис. 23).

A B1

H A1

Рис. 23

2. Паралелограм. Властивості паралелограма

Із побудови випливає, що чотирикутники AC1BC і ABCB1 — паралелограми. Звідси AC1 = BC = AB1. Отже, точка A є серединою відрізка B1C1. Оскільки прямі B1C1 і BC паралельні, то висота AH трикутника ABC перпендикулярна до відрізка B1C1. Таким чином, пряма AH — серединний перпендикуляр сторони B1C1 трикутника A1B1C1. Аналогічно можна довести, що прямі, які містять дві інші висоти трикутника ABC, є серединними перпендикулярами сторін C1 A1 і A1B1 трикутника A1B1C1. Оскільки серединні перпендикуляри сторін трикутника перетинаються в одній точці, то твердження задачі доведено. 

З а д а ч а 2. Бісектриса тупого кута паралелограма ділить його сторону у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини гострого кута. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 60 см. Р о з в ’я з а н н я. Нехай бісектриса тупого B C кута B паралелограма ABCD (рис. 24) перетинає сторону AD у точці M. За умовою AM : MD = 2 : 1. Кути ABM і CBM рівні за умовою. A D M Кути CBM і AMB рівні як різносторонні при паралельних прямих BC і AD Рис. 24 та січній BM. Тоді ∠ABM = ∠AMB. Отже, трикутник BAM рівнобедрений, звідси AB = AM. Нехай MD = x см, тоді AB = AM = 2x см, AD = 3x см. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то його периметр дорівнює 2 (AB + AD). Ураховуючи, що за умовою периметр паралелограма дорівнює 60 см, отримуємо: 2 (2x + 3x) = 60; x = 6. Отже, AB = 12 см, AD = 18 см. В і д п о в і д ь: 12 см, 18 см. 

1. Який чотирикутник називають паралелограмом? 2. Яку властивість мають протилежні сторони паралелограма? 3. Яку властивість мають протилежні кути паралелограма? 4. Яку властивість мають діагоналі паралелограма? 5. Що називають висотою паралелограма?

§ 1. Чотирикутники

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

36.° На рисунку 25 зображено паралелограм ABCD. Зробіть такий рисунок у зошиті. Проведіть із точок B і M висоти паралелограма до сторони AD, а з точки K — висоту до сторони AB.

B B

B M

K A

Рис. 25

ВПРАВИ 37.° Дві паралельні прямі перетинають три інші паралельні прямі. Скільки при цьому утворилося паралелограмів? 38.° На рисунку 26 зображено паралелограми. Визначте, не виконуючи вимірювань, на яких рисунках величини кутів або довжини відрізків позначено неправильно (довжини відрізків наведено в сантиметрах).

6 25°

20° 6

42°

138°

56°

42° 138°

54°

6 30°

30°

7 ´

Рис. 26

2. Паралелограм. Властивості паралелограма

39.° Чи вистачить 40 см дроту, щоб виготовити з нього паралелограм зі сторонами: 1) 14 см і 8 см; 2) 16 см і 4 см; 3) 12 см і 6 см? 40.° Периметр паралелограма дорівнює 112 см. Знайдіть його сторони, якщо: 1) одна з них на 12 см менша від другої; 2) дві його сторони відносяться як 5 : 9. 41.° Знайдіть сторони паралелограма, якщо одна з них у 5 разів більша за другу, а периметр паралелограма дорівнює 96 см. 42.° У паралелограмі ABCD відомо, що AB = 6 см, AC = 10 см, BD = 8 см, O — точка перетину його діагоналей. Знайдіть периметр трикутника COD. 43.° Доведіть, що сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. 44.° Знайдіть кути паралелограма, якщо: 1) один із них дорівнює 70°; 1) сума двох його кутів дорівнює 100°; 2) різниця двох його кутів дорівнює 20°; 3) два його кути відносяться як 3 : 7. 45.° Знайдіть кути паралелограма, якщо один із них: 1) у 2 рази більший за другий; 2) на 24° менший від другого. 46.° У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 35°. Через довільну точку, яка належить стороні BC, проведено дві прямі, паралельні сторонам AB і AC трикутника. Визначте вид чотирикутника, що утворився, та знайдіть усі його кути. 47.° Знайдіть кути паралелограма ABCD (рис. 27), B C якщо ∠ABD = 68°, ∠ADB = 47°. 48.° У паралелограмі ABCD діагональ AC утворює зі стороною AB кут, який дорівнює 32°, A D ∠BCD = 56°. Знайдіть кути CAD і D. 49.° Бісектриси кутів A і B паралелограРис. 27 ма ABCD перетинаються в точці M. Визначте величину кута M трикутника ABM. 50.° Сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 10 см. Чи може одна з його діагоналей дорівнювати 16 см? 51.• Висота BK паралелограма ABCD ділить його сторону AD на відрізки AK і KD такі, що AK = 4 см, KD = 6 см. Знайдіть кути й периметр паралелограма, якщо ∠ABK = 30°. 52.• Один із кутів паралелограма дорівнює 45°. Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, дорівнює 3 см і ділить

§ 1. Чотирикутники

53.•

сторону паралелограма навпіл. Знайдіть цю сторону паралелограма та кути, які утворює діагональ, що сполучає вершини тупих кутів, зі сторонами паралелограма. У паралелограмі ABCD відомо, що ∠C = 30°, висота BH, проведена до сторони CD, дорівнює 7 см, а периметр паралелограма — 46 см. Знайдіть сторони паралелограма. Дано паралелограм ABCD і трикутник MKN. Чи можуть одночасно виконуватися рівності ∠A = ∠M, ∠B = ∠K, ∠C = ∠N? Доведіть, що вершини B і D паралелограма ABCD рівновіддалені від прямої AC. Доведіть, що будь-який відрізок, який проходить через точку перетину діагоналей паралелограма та кінці якого належать протилежним сторонам паралелограма, ділиться цією точкою навпіл. Периметр паралелограма ABCD дорівнює 24 см, ∠ABC = 160°, діагональ AC утворює зі стороною AD кут 10°. Знайдіть сторони паралелограма. Діагональ BD паралелограма ABCD утворює зі стороною AB кут 65°, ∠C = 50°, AB = 8 см. Знайдіть периметр паралелограма. Знайдіть кути паралелограма ABCD, якщо BD ^ AB і BD = AB. Діагональ паралелограма утворює з його сторонами кути 30° і 90°. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 36 см. Поза паралелограмом ABCD проведено пряму, паралельну його діагоналі BD. Ця пряма перетинає прямі AB, BC, CD і AD у точках E, M, F і K відповідно. Доведіть, що MK = EF. Паралельно діагоналі AC паралелограма ABCD проведено пряму, яка перетинає відрізки AB і BC у точках M і N, а прямі AD і CD у точках P і K відповідно. Доведіть, що PM = NK. Один із кутів, утворених при перетині бісектриси кута паралелограма з його стороною, дорівнює 24°. Знайдіть кути паралелограма. Бісектриса кута A паралелограма ABCD перетинає сторону BC у точці M. Знайдіть периметр даного паралелограма, якщо AB = 12 см, MC = 16 см. Бісектриса гострого кута паралелограма ділить його сторону у відношенні 3 : 5, рахуючи від вершини тупого кута. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 66 см. Бісектриса кута B паралелограма ABCD перетинає сторону CD у точці K так, що відрізок CK у 5 разів більший за відрізок KD. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 88 см.

54.•

55.• 56.•

57.• 58.•

��

59.• 60.•

61.•

62.•

63.•

64.•

65.•

66.•

2. Паралелограм. Властивості паралелограма

67.• У паралелограмі ABCD відомо, що AD = 12 см, AB = 3 см, бісектриси кутів B і C перетинають сторону AD у точках E і F відповідно. Знайдіть відрізок EF. 68.• Кут між висотою BH паралелограма ABCD і бісектрисою BM кута ABC дорівнює 24°. Знайдіть кути паралелограма. 69.• Доведіть, що кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює гострому куту паралелограма. 70.• Доведіть, що кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини гострого кута, дорівнює тупому куту паралелограма. 71.• Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 30°. Знайдіть периметр паралелограма, якщо його висоти дорівнюють 4 см і 6 см. 72.• Висоти паралелограма, проведені з вершини гострого кута, утворюють кут 150°, сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 18 см. Знайдіть висоти паралелограма. • 73. Через довільну точку основи рівнобедреного трикутника проведено прямі, паралельні його бічним сторонам. Доведіть, що периметр утвореного чотирикутника дорівнює сумі бічних сторін даного трикутника. 74.• Через кожну вершину трикутника ABC проведено пряму, паралельну протилежній стороні. Сума периметрів усіх утворених паралелограмів дорівнює 100 см. Знайдіть периметр трикутника ABC. 75.• Побудуйте паралелограм: 1) за двома сторонами та кутом між ними; 2) за двома діагоналями та стороною; 3) за стороною, діагоналлю та кутом між ними. 76.• Побудуйте паралелограм: 1) за двома сторонами та діагоналлю; 2) за двома діагоналями та кутом між ними. 77.•• Дано три точки, які не лежать на одній прямій. Побудуйте паралелограм, вершинами якого є дані точки. Скільки розв’язків має задача? 78.•• Точка перетину бісектрис двох сусідніх кутів паралелограма належить його стороні. Знайдіть відношення сусідніх сторін паралелограма. 79.•• На стороні BC паралелограма ABCD існує така точка M, що BM = MD = CD. Знайдіть кути паралелограма, якщо AD = BD.

§ 1. Чотирикутники

80.•• Побудуйте паралелограм: 1) за стороною, проведеною до неї висотою та діагоналлю; 2) за двома діагоналями та висотою; 3) за гострим кутом і двома висотами, проведеними до двох сусідніх сторін. 81.•• Побудуйте паралелограм: 1) за двома сторонами та висотою; 2) за діагоналлю та двома висотами, проведеними до двох сусідніх сторін. 82.* Із вершини B паралелограма ABCD опустили перпендикуляр BE на діагональ AC. Через точку A проведено пряму m, перпендикулярну до прямої AD, а через точку C — пряму n, перпендикулярну до прямої CD. Доведіть, що точка перетину прямих m і n належить прямій BE. 83.* Побудуйте паралелограм за стороною, сумою діагоналей та кутом між діагоналями. 84.* На сторонах AB і BC паралелограма ABCD поза ним побудовано рівносторонні трикутники ABM і BCK. Доведіть, що трикутник MKD рівносторонній. 85.* Через точку, яка належить куту, проведіть пряму так, щоб відрізок цієї прямої, що міститься всередині кута, даною точкою ділився б навпіл.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 86. Довжина відрізка AB дорівнює 24 см. Точка C належить прямій AB, причому BC = 5AC. На відрізку AB позначено точку D так, що AB = 4BD. Знайдіть відрізок CD. 87. Скільки існує нерівних між собою: 1) прямокутних трикутників зі стороною 5 см і кутом 45°; 2) рівнобедрених трикутників зі стороною 6 см і кутом 30°; 3) прямокутних трикутників зі стороною 7 см і кутом 60°? 88. Діагоналі AC і BD чотирикутника ABCD є діаметрами кола. Доведіть, що AB || CD.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

89. Чи можна квадрат розміром 10 × 10 клітинок розрізати на 25 фігур, що складаються із чотирьох клітинок і мають такий вигляд, як зображено на рисунку 28?

Рис. 28

3. Ознаки паралелограма

Означення паралелограма дає змогу серед чотирикутників розпізнавати паралелограми. Цій самій меті слугують такі три теореми, які називають ознаками паралелограма. Т е о р е м а 3.1 (об е р н е н а д о т е о р е м и 2.1). Якщо в чотирикутнику кожні дві протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.

Д о в е д е н н я.  На рисунку 29 зображено чотирикутник ABCD, у якому AB = CD і BC = AD. Доведемо, що чотирикутник ABCD — паралелограм.

B 2 A

1 3

4 2

D Рис. 29

D Рис. 30

Проведемо діагональ AC. Трикутники ABC і CDA рівні за третьою ознакою рівності трикутників. Звідси ∠1 = ∠3 і ∠2 = ∠4. Кути 1 і 3 є різносторонніми при прямих BC і AD та січній AC. Отже, BC || AD. Аналогічно з рівності ∠2 = ∠4 випливає, що AB || CD. Отже, у чотирикутнику ABCD кожні дві протилежні сторони паралельні, а тому цей чотирикутник — паралелограм. 

Т е о р е м а 3.2. Якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні та паралельні, то цей чотирикутник — паралелограм.

Д о в е д е н н я.  На рисунку 30 зображено чотирикутник ABCD, у якому BC = AD і BC || AD. Доведемо, що чотирикутник ABCD — паралелограм. Проведемо діагональ AC. У трикутниках ABC і CDA маємо: BC = AD за умовою, кути 1 і 2 рівні як різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній AC, а сторона AC — спільна. Отже, трикутники ABC і CDA рівні за першою ознакою рівності трикутників. Звідси AB = CD. Таким чином, у чотирикутнику ABCD кожні дві протилежні сторони рівні. Тому за теоремою 3.1 чотирикутник ABCD — паралелограм. 

§ 1. Чотирикутники

Т е о р е м а 3.3 (о б е р н е н а д о т е о р е м и 2.3) . Якщо в чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм. Д о в е д е н н я.  На рисунку 31 зобраC жено чотирикутник ABCD, у якому діаB 1 гоналі AC і BD перетинаються в точці O, O причому AO = OC і BO = OD. Доведемо, що чотирикутник ABCD — паралелограм. 2 Оскільки кути BOC і DOA рівні як A D вертикальні, AO = OC і BO = OD, то Рис. 31 трикутники BOC і DOA рівні за першою ознакою рівності трикутників. Звідси BC = AD і ∠1 = ∠2. Кути 1 і 2 є різносторонніми при прямих BC і AD та січній AC. Отже, BC || AD. Таким чином, у чотирикутнику ABCD дві протилежні сторони рівні й паралельні. За теоремою 3.2 чотирикутник ABCD — паралелограм.  Ви знаєте, що трикутник можна однозначно задати його сторонами, тобто задача побудови трикутника за трьома сторонами має єдиний розв’язок. Інша річ — паралелограм. На рисунку 32 зображено паралелограми ABCD, A1B1C1D1, A2B2C2D2, сторони яких рівні, тобто AB = A1B1 = A2 B2 і BC = B1C1 = B2C2. Проте очевидно, що самі паралелограми не є рівними. Сказане означає, що коли чотири рейки скріпити так, щоб утворився паралелограм, то отримана конструкція не буде жорсткою.

��

C2 D2

Рис. 32

Цю властивість паралелограма широко використовують на практиці. Завдяки його рухомості лампу можна встановлювати в зручне для роботи положення, а розсувну решітку — відсувати на потрібну відстань у дверному прорізі (рис. 33). На рисунку 34 зображено схему механізму, який є складовою парової машини. Зі збільшенням швидкості обертання осі кулі віддаляються від неї під дією відцентрової сили, тим самим піднімаючи заслінку, яка регулює кількість пари. Механізм названо паралелограмом Уатта на честь винахідника першої універсальної парової машини.

3. Ознаки паралелограма

Íåðóõîìà âåðøèíà Êóëÿ

Êóëÿ

Çàñë³íêà Â³ñü îáåðòàííÿ Рис. 33

Рис. 34

З а д а ч а. Доведіть, що коли в чотирикутнику кожні два протилежні кути рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Р о з в ’я з а н н я. На рисунку 35 зображено чотирикутник ABCD, у якому ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доведемо, що чотирикутник ABCD — паралелограм. За теоремою про суму кутів чотирикутB C ника ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Ураховуючи, що ∠A = ∠C, ∠B = ∠D, отримаємо: ∠A + ∠B = ∠C + ∠D = 180°. Оскільки кути A і B — односторонні A D кути при прямих AD і BC та січній AB, Рис. 35 а їхня сума дорівнює 180°, то BC || AD. Аналогічно доводимо, що AB || CD. Отже, чотирикутник ABCD — паралелограм. 

1. Які ознаки паралелограма ви знаєте? Сформулюйте їх. 2. Серед властивостей та ознак паралелограма вкажіть взаємно обернені теореми. 3. Яку властивість паралелограма широко використовують на практиці?

ВПРАВИ 90.° Доведіть, що коли сума кутів, прилеглих до будь-якої із сусідніх сторін чотирикутника, дорівнює 180°, то цей чотирикутник — паралелограм.

§ 1. Чотирикутники

C O

Рис. 36

Рис. 37

91.° Чотирикутники ABCD і AMKD — паралелограми (рис. 36). Доведіть, що чотирикутник BMKC — паралелограм. 92.° Відрізок AO — медіана трикутника ABD, відрізок BO — медіана трикутника ABC (рис. 37). Доведіть, що чотирикутник ABCD — паралелограм. 93.° На діагоналі AC паралелограма ABCD позначили точки M і K так, що AM = CK. Доведіть, що чотирикутник MBKD — паралелограм. 94.° Два кола мають спільний центр O (рис. 38). В одному з кіл проведено B діаметр AB, у другому — діаметр CD. C Доведіть, що чотирикутник ACBD — O паралелограм. 95.° Точки E і F — відповідно середини D сторін BC і AD паралелограма ABCD. A Доведіть, що чотирикутник AECF — паралелограм. 96.° На сторонах AB і CD паралелограРис. 38 ма ABCD відкладено рівні відрізки AM і CK. Доведіть, що чотирикутник MBKD — паралелограм. 97.° На сторонах паралелограма ABCD (рис. 39) відклали рівні відрізки AM, BK, CE і DF. Доведіть, що чотирикутник MKEF — паралелограм. 98.• У трикутнику ABC на продовженні медіани AM за точку M відклали відрізок MK, який дорівнює відрізку AM. Визначте вид чотирикутника ABKC. 99.• У чотирикутнику ABCD відомо, що AB || CD, ∠A = ∠C. Доведіть, що чотирикутник ABCD — паралелограм. 100.• Бісектриса кута A паралелограма ABCD перетинає сторону BC у точці M, а бісектриса кута C — сторону AD у точці K. Доведіть, що чотирикутник AMCK — паралелограм. 101.• На рисунку 40 чотирикутник ABCD — паралелограм, ∠BCP = = ∠DAE. Доведіть, що чотирикутник APCE — паралелограм.

3. Ознаки паралелограма

C E

M A

Рис. 39

Рис. 40

102.• На рисунку 41 чотирикутник ABCD — паралелограм, ∠BEC = = ∠DFA. Доведіть, що чотирикутник AECF — паралелограм. 103.• Із вершин B і D паралелограма ABCD проведено перпендикуляри BM і DK до діагоналі AC. Доведіть, що чотирикутник BKDM — паралелограм. 104.• Бісектриси кутів A і C паралелограC B ма ABCD перетинають його діагональ BD у точках E і F відповідно. E Доведіть, що чотирикутник AECF — F паралелограм. 105.•• Через середину O діагоналі NP пара- A D лелограма MNKP проведено пряму, яка перетинає сторони MN і KP Рис. 41 у точках A і B відповідно. Доведіть, що чотирикутник ANBP — паралелограм. 106.•• Через точку перетину діагоналей паралелограма CDEF проведено дві прямі, одна з яких перетинає сторони CD і EF у точках A і B відповідно, а друга — сторони DE і CF у точках M і K відповідно. Доведіть, що чотирикутник AMBK — паралелограм. 107.•• Точки M, N, K і P — середини сторін AB, BC, CD і AD паралелограма ABCD відповідно. Доведіть, що чотирикутник, вершинами якого є точки перетину прямих AN, BK, CP і DM, — паралелограм.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 108. Прямі, на яких лежать бісектриси AK і BM трикутника ABC, перетинаються під кутом 74°. Знайдіть кут C. 109. Кут, протилежний основі рівнобедреного трикутника, дорівнює 120°, а висота, проведена до бічної сторони, дорівнює 8 см. Знайдіть основу трикутника.

§ 1. Чотирикутники

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

110. Учитель запропонував учневі вирізати з листа картону розміром 8 × 8 клітинок вісім квадратів розміром 2 × 2 клітинки за умови не псувати клітинки, що залишилися. Потім виявилося, що потрібен ще один такий самий квадрат. Чи завжди можна це зробити із залишків листа?

НЕОБХІДНО І ДОСТАТНЬО

Із курсу геометрії 7 класу ви дізналися, що більшість теорем складається з двох частин: умови (те, що дано) і висновку (те, що треба довести). Якщо твердження, що виражає умову, позначити буквою A, а твердження, що виражає висновок, — буквою B, то формулювання теореми можна зобразити такою схемою: якщо A, то B. Наприклад, теорему 2.3 можна сформулювати так:

A якщо

чотирикутник є паралелограмом,

то

діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл

Тоді теорему 3.3, обернену до теореми 2.3, можна сформулювати так: A якщо

діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл,

то

чотирикутник є паралелограмом

Часто в повсякденному житті у своїх висловлюваннях ми користуємося словами «необхідно», «достатньо». Наведемо кілька прикладів. • Для того щоб уміти розв’язувати задачі, необхідно знати теореми. • Якщо ви на математичній олімпіаді правильно розв’язали всі запропоновані задачі, то цього достатньо для того, щоби посісти перше місце.

•

Необхідно і достатньо

Уживання слів «необхідно» і «достатньо» тісно пов’язане з тео ремами. Розглянемо теорему:

натуральне число кратне 10,

якщо

то

це число кратне 5

Умова A є достатньою для висновку B. Разом з тим подільність числа націло на 5 (твердження B) необхідна для подільності числа націло на 10 (твердження A). Наведемо ще один приклад:

два кути є вертикальними,

якщо

ці кути рівні

то

У цій теоремі твердження A є достатньою умовою для твердження B, тобто для того, щоб два кути були рівними, достатньо, щоб вони були вертикальними. У цій самій теоремі твердження B є необхідною умовою для твердження A, тобто для того, щоб два кути були вертикальними, необхідно, щоб вони були рівними. Зазначимо, що твердження B не є достатньою умовою для твердження A. Справді, якщо два кути рівні, то це зовсім не означає, що вони вертикальні. Отже, у будь-якій теоремі виду якщо A, то B твердження A є достатнім для твердження B, а твердження B — необхідним для твердження A. Якщо справедлива не тільки теорема якщо A, то B, але й обернена теорема якщо B, то A, то A є необхідною і достатньою умовою для B, а B — необхідною і достатньою умовою для A. Наприклад, теореми 3.3 і 2.3 є взаємно оберненими. Мовою «необхідно — достатньо» цей факт можна сформулювати так: для того щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно і достатньо, щоб його діагоналі точкою перетину ділилися навпіл. Наголосимо, що коли в теоремі є слова «необхідно» і «достатньо», то вона об’єднує дві теореми: пряму й обернену (прямою теоремою може бути будь-яка з двох теорем, тоді друга буде оберненою). Отже, доведення такої теореми має складатися з двох частин: доведень прямої та оберненої теорем. Теорему, яка об’єднує пряму та обернену теореми, називають критерієм.

§ 1. Чотирикутники

Іноді замість «необхідно і достатньо» говорять «тоді й тільки тоді». Наприклад, взаємно обернені теореми 2.1 і 3.1 можна об’єднати в такий критерій: чотирикутник є паралелограмом тоді й тільки тоді, коли кожні дві його протилежні сторони рівні.

Сформулюйте самостійно теорему 2.2 та ключову задачу з пункту 3 у вигляді теореми-критерію.

4. Прямокутник

Паралелограм — це чотирикутник, проте очевидно, що не кожний чотирикутник є паралелограмом. У цьому разі говорять, що паралелограм — це окремий вид чотирикутників. Рисунок 42 ілюструє цей факт. Існують також окремі види паралелограмів.

О з н а ч е н н я. П р я м о к у т н и к о м називають паралелограм, у якого всі кути прямі.

На рисунку 43 зображено прямокутник ABCD. З означення випливає, що прямокутник має всі властивості паралелограма. У прямокутнику: • протилежні сторони рівні; • діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Проте прямокутник має свої особливі властивості, яких не має паралелограм, відмінний від прямокутника. Так, з означення випливає, що всі кути прямокутника рівні. Ще одну властивість прямокутника встановлює така теорема.

•

Т е о р е м а 4.1. Діагоналі прямокутника рівні.

Д о в е д е н н я.  На рисунку 44 зображено прямокутник ABCD. Доведемо, що його діагоналі AC і BD рівні. У прямокутних трикутниках ABD і DCA катети AB і DC рівні, а катет AD спільний. Тому трикутники ABD і DCA рівні за двома катетами. Звідси BD = AC. 

×îòèðèêóòíèêè Ïàðàëåëîãðàìè Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

4. Прямокутник

Означення прямокутника дає змогу серед паралелограмів розпізнавати прямокутники. Цій самій меті слугують такі дві теореми, які називають ознаками прямокутника. Т е о р е м а 4.2. Якщо один із кутів паралелограма прямий, то цей паралелограм — прямокутник.

Доведіть цю теорему самостійно. Т е о р е м а 4.3. Якщо діагоналі паралелограма рівні, то цей паралелограм — прямокутник.

Д о в е д е н н я .  На рисунку 45 зображено паралелограм ABCD, діагоналі AC і BD якого рівні. Доведемо, що паралелограм ABCD — прямокутник. Розглянемо трикутники ABD і DCA. У них AB = CD, BD = AC, AD — спільна сторона. Отже, ці трикутники рівні за третьою ознакою рівності трикутників. Звідси ∠BAD = ∠CDA. Ці кути є односторонніми при паралельних прямих AB і DC та січній AD. Таким чином, ∠BAD + ∠CDA = 180°. Тоді ∠BAD = ∠CDA = 90°. Тому за теоремою 4.2 паралелограм ABCD — прямокутник. 

Рис. 45

1. Яку фігуру називають прямокутником? 2. Які властивості має прямокутник? 3. Яку особливу властивість мають діагоналі прямокутника? 4. За якими ознаками можна встановити, що паралелограм є прямокутником?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ 111.° Накресліть прямокутник. Користуючись лише лінійкою, знайдіть точку, яка рівновіддалена від його вершин.

ВПРАВИ 112.° Доведіть, що чотирикутник, усі кути якого прямі, є прямокутником.

§ 1. Чотирикутники

C 113.° Діагоналі прямокутника ABCD (рис. 46) B O перетинаються в точці O. Доведіть, що трикутники AOB і AOD рівнобедрені. 114.° Діагоналі прямокутника ABCD (рис. 46) A D перетинаються в точці O, ∠ABD = 64°. Рис. 46 Знайдіть кути COD і AOD. 115.° Діагоналі прямокутника ABCD (рис. 46) перетинаються в точці O, ∠ADB = 30°, BD = 10 см. Знайдіть периметр трикутника AOB. 116.° Кут між діагоналями прямокутника дорівнює 60°, а менша сторона прямокутника дорівнює 8 см. Знайдіть діагональ прямокутника. 117.• На діагоналі AC прямокутника ABCD відкладено рівні відрізки AM і CK (точка M лежить між точками A і K). Доведіть, що чотирикутник BKDM — паралелограм, відмінний від прямокутника. 118.• На продовженні діагоналі BD прямокутника ABCD за точку B позначили точку E, а на продовженні за точку D — точку F так, що BE = DF. Доведіть, що чотирикутник AECF — паралелограм, відмінний від прямокутника. 119.• Точка M — середина сторони BC прямокутника ABCD, MA ^ MD, периметр прямокутника дорівнює 36 см. Знайдіть сторони прямокутника. 120.• Периметр прямокутника ABCD дорівнює 30 см. Бісектриси кутів A і D перетинаються в точці M, яка належить стороні BC. Знайдіть сторони прямокутника. 121.• Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 55 см. Прямокутник ABCD побудовано так, що дві його вершини A і D належать гіпотенузі, а дві інші — катетам даного трикутника. Знайдіть сторони прямокутника, якщо AB : BC = 3 : 5. 122.• У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = BC = 6 см. Прямокутник CMKN побудовано так, що точка M належить катету AC, точка N — катету BC, а точка K — гіпотенузі AB. Знайдіть периметр прямокутника CMKN. 123.• Доведіть, що коли діагоналі паралелограма утворюють рівні кути з однією з його сторін, то цей паралелограм є прямокутником. 124.• Доведіть, що медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

4. Прямокутник

125.• Побудуйте прямокутник: 1) за двома сторонами; 2) за діагоналлю та кутом між діагоналлю та стороною. 126.• Побудуйте прямокутник: 1) за стороною та діагоналлю; 2) за діагоналлю та кутом між діагоналями. •• 127. Серединний перпендикуляр діагоналі AC прямокутника ABCD перетинає сторону BC у точці M так, що BM : MC = 1 : 2. Знайдіть кути, на які діагональ прямокутника ділить його кут. 128.•• У прямокутнику ABCD відомо, що ∠BCA : ∠DCA = 1 : 5, AC = 18 см. Знайдіть відстань від точки C до діагоналі BD. 129.•• Доведіть, що бісектриси кутів паралелограма, у якого сусідні сторони не рівні, перетинаючись, утворюють прямокутник. 130.•• Побудуйте прямокутник за стороною та кутом між діагоналями, який протилежний даній стороні. 131.* Побудуйте прямокутник: 1) за діагоналлю та різницею двох сторін; 2) за периметром і діагоналлю; 3) за периметром і кутом між діагоналями.

��

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 132. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 48°, відрізки AK і BM — його висоти. Знайдіть кут між прямими AK і BM. 133. На стороні AC трикутника ABC позначено точку D так, що ∠A = ∠CBD. Знайдіть кут ABC, якщо трикутники ABD і BCD мають ще одну пару рівних кутів. 134. Відрізок AD — бісектриса трикутника ABC. Через точку C проведено пряму, яка паралельна прямій AD і перетинає пряму AB у точці E. Визначте вид трикутника ACE.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

135. На площині позначено 1000 точок. Доведіть, що існує пряма, відносно якої у кожній півплощині лежать по 500 точок.

§ 1. Чотирикутники

5. Ромб

Ви вже знаєте, що прямокутник — це окремий вид паралело грама. Ознайомимося ще з одним видом паралелограма — ромбом.

О з н а ч е н н я. Р о м б о м називають паралелограм, у якого всі сторони рівні.

На рисунку 47 зображено ромб ABCD. З означення випливає, що ромб має всі A властивості паралелограма. У ромбі: D • протилежні кути рівні; Рис. 47 • діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Проте ромб має і свої особливі властивості. Т е о р е м а 5.1. Діагоналі ромба перпендикулярні та є бісектрисами його кутів. Д о в е д е н н я.  На рисунку 48 зображено ромб ABCD, діа гоналі якого перетинаються в точці O. Доведемо, що BD ^ AC і ∠ABO = ∠CBO. Оскільки за означенням ромба всі його B C сторони рівні, то трикутник ABC рівнобед рений (AB = BC). За властивістю діагоналей O паралелограма AO = OC. Тоді відрізок BO є медіаною трикутника ABC, а отже, і висо тою та бісектрисою цього трикутника. Таким A D чином, BD ^ AC і ∠ABO = ∠CBO.  Розпізнавати ромби серед паралелограмів Рис. 48 дають змогу не лише означення ромба, а й такі дві теореми, які називають ознаками ромба. Т е о р е м а 5.2. Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, то цей паралелограм — ромб. Т е о р е м а 5.3. Якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його кута, то цей паралелограм — ромб. Доведіть ці теореми самостійно.

•

1. Яку фігуру називають ромбом? 2. Які властивості має ромб? 3. Які особливі властивості мають діагоналі ромба? 4. За якими ознаками можна встановити, що паралелограм є ромбом?

5. Ромб

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

136.° Накресліть ромб зі стороною 5 см і кутом 40°. Проведіть дві висоти з вершини його гострого кута та дві висоти з вершини тупого кута.

ВПРАВИ 137.° Доведіть, що коли дві сусідні сторони паралелограма рівні, то він є ромбом. 138.° Доведіть, що чотирикутник, усі сторони якого рівні, є ромбом. 139.° Діагональ AC ромба ABCD (рис. 49) утворює зі A стороною AD кут 42°. Знайдіть усі кути ромба. 140.° У ромбі ABCD відомо, що ∠C = 140°, а діагоналі перетинаються в точці O. Знайдіть кути трикутB D ника AOB. 141.° Одна з діагоналей ромба дорівнює його стороні. Знайдіть кути ромба. C 142.° Знайдіть кути ромба, якщо його периметр дорівнює 24 см, а висота — 3 см. Рис. 49 143.° Знайдіть периметр ромба ABCD, якщо ∠A = 60°, BD = 9 см. 144.° Кут D ромба ABCD у 8 разів більший за кут CAD. Знайдіть кут BAD. 145.° Кути, які сторона ромба утворює з його діагоналями, відносяться як 2 : 7. Знайдіть кути ромба. 146.° Точки M і K — відповідно середини сторін AB і BC ромба ABCD. Доведіть, що MD = KD. 147.° Точки E і F — відповідно середини сторін BC і CD ромба ABCD. Доведіть, що ∠EAC = ∠FAC. 148.° Доведіть, що висоти ромба рівні. 149.• Висота ромба, проведена з вершини його тупого кута, ділить сторону ромба навпіл. Менша діагональ ромба дорівнює 4 см. Знайдіть кути та периметр ромба. 150.• Доведіть, що діагональ ромба ділить навпіл кут між висотами ромба, проведеними з тієї самої його вершини, що й діагональ. 151.• На сторонах AB і AD ромба ABCD відкладено рівні відрізки AE і AF відповідно. Доведіть, що ∠CEF = ∠CFE.

§ 1. Чотирикутники

152.• Відрізок AM — бісектриса трикутника ABC. Через точку M проведено пряму, яка паралельна стороні AC і перетинає сторону AB у точці K, та пряму, яка паралельна стороні AB і перетинає сторону AC у точці D. Доведіть, що AM ^ DK. 153.• Бісектриси кутів A і B паралелограма ABCD перетинають його сторони BC і AD у точках F і E відповідно. Визначте вид чотирикутника ABFE. 154.• У трикутнику ABC проведено серединний перпендикуляр його бісектриси BD, який перетинає сторони AB і BC у точках K і P відповідно. Визначте вид чотирикутника BKDP. 155.• Побудуйте ромб: 1) за стороною та кутом; 2) за двома діагоналями; 3) за висотою та кутом. 156.• Побудуйте ромб: 1) за стороною та діагоналлю; 2) за висотою та діагоналлю. 157.•• У прямокутнику ABCD відомо, що AD = 9 см, ∠BDA = 30°. На сторонах BC і AD позначено відповідно точки M і K так, що утворився ромб AMCK. Знайдіть сторону цього ромба. 158.•• Побудуйте ромб за діагоналлю та кутом, вершина якого належить цій діагоналі. 159.•• Побудуйте ромб за діагоналлю та протилежним їй кутом ромба. 160.* Побудуйте ромб: 1) за сумою діагоналей і кутом між діагоналлю та стороною; 2) за гострим кутом і різницею діагоналей; 3) за гострим кутом і сумою сторони та висоти; 4) за стороною та сумою діагоналей; 5) за тупим кутом і сумою діагоналей; 6) за стороною та різницею діагоналей. 161.* Дано точки M, N і K. Побудуйте ромб ABCD так, щоб точка M була серединою сторони AB, а точки N і K — основами висот, проведених з вершини B до сторони AD і з вершини D до сторони BC відповідно.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 162. На сторонах кута з вершиною в точці A відкладено рівні відрізки AB і AC. Через точки B і C проведено прямі, які пер

6. Квадрат

пендикулярні до сторін AB і AC відповідно та перетинаються в точці D. Доведіть, що промінь AD є бісектрисою кута BAC. 163. На продовженні сторони AC трикутника ABC за точку A позна� чили точку D таку, що AD = AB, а на продовженні цієї сторони за точку C — точку E таку, що CE = BC. Знайдіть кути та периметр трикутника ABC, якщо DE = 18 см, ∠BDA = 15°, ∠BEC = 36°.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ 164. На аркуші паперу в клітинку вибрали довільно 100 клітинок. Доведіть, що серед них можна знайти не менше ніж 25 клітинок, які не мають спільних точок.

6. Квадрат

О з н а ч е н н я. К в а д р а т о м називають прямокутник, у якого всі сторони рівні. На рисунку 50 зображено квадрат ABCD.

Квадрати

Прямокутники

D Рис. 50

Ромби

Рис. 51

З наведеного означення випливає, що квадрат — це ромб, у яко�� го всі кути рівні. Отже, квадрат є окремим видом і прямокутника, і ромба. Це ілюструє рисунок 51. Тому квадрат має всі властивості прямокутника та ромба. Звідси випливає, що: •• усі кути квадрата прямі; •• діагоналі квадрата рівні, перпендикулярні та є бісектрисами його кутів.

��

1. Яку фігуру називають квадратом? 2. Який ромб є квадратом? 3. Які властивості має квадрат?

§ 1. Чотирикутники

ВПРАВИ 165.° Доведіть, що коли один із кутів ромба прямий, то цей ромб є квадратом. 166.° Доведіть, що коли дві сусідні сторони прямокутника рівні, то цей прямокутник є квадратом. 167.° Діагональ BD квадрата ABCD дорівнює 5 см. Яка довжина діагоналі AC? Чому дорівнюють кути трикутника AOB, де O — точка перетину діагоналей квадрата? 168.° На стороні BC квадрата ABCD (рис. 52) позна- B K C чили точку K так, що ∠AKB = 74°. Знайдіть кут CAK. 169.° На стороні BC квадрата ABCD позначили точку K так, що AK = 2BK. Знайдіть кут KAD. A D 170.° Чи є правильним твердження: 1) будь-який квадрат є паралелограмом; Рис. 52 2) будь-який ромб є квадратом; 3) будь-який прямокутник є квадратом; 4) будь-який квадрат є прямокутником; 5) будь-який квадрат є ромбом; 6) якщо діагоналі чотирикутника рівні, то він є прямокутником; 7) якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні, то він є ромбом; 8) існує ромб, який є прямокутником; 9) існує квадрат, який не є ромбом; 10) якщо діагоналі чотирикутника не перпендикулярні, то він не є ромбом; 11) якщо діагоналі паралелограма не рівні, то він не є прямокутником; 12) якщо діагональ прямокутника ділить його кут навпіл, то цей прямокутник є квадратом? 171.• Через вершини квадрата проведено прямі, паралельні його діагоналям. Доведіть, що точки перетину цих прямих є вершинами квадрата. 172.• У прямокутному трикутнику через точку перетину бісектриси прямого кута та гіпотенузи проведено прямі, паралельні катетам. Доведіть, що чотирикутник, який утворився, є квадратом. 173.• Точки M, K, N, P є відповідно серединами сторін AB, BC, CD і AD квадрата ABCD. Доведіть, що чотирикутник MKNP — квадрат.

6. Квадрат

174.• У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = BC = 14 см. Дві сторони квадрата CDEF лежать на катетах трикутника ABC, а вершина E належить гіпотенузі AB. Знайдіть периметр квадрата CDEF. 175.• У квадраті ABCD позначено точку M так, що трикутник AMB рівносторонній. Доведіть, що трикутник CMD рівнобедрений. 176.• Доведіть, що коли діагоналі паралелограма рівні та перпендикулярні, то цей паралелограм є квадратом. 177.• Чотирикутники ABCD, DEFM, MNKL, LPOS, SQTV — квадрати (рис. 53). Знайдіть суму довжин тих сторін квадратів, які не лежать на прямій AV, якщо довжина відрізка AV дорівнює 16 см.

C N

M L F

D E

P Рис. 53

178.• Побудуйте квадрат за його стороною. 179.•• Доведіть, що точки перетину бісектрис кутів прямокутника, який не є квадратом, є вершинами квадрата. 180.•• Вершини M і K рівностороннього трикутника AMK належать сторонам BC і CD квадрата ABCD. Доведіть, що MK || BD. 181.•• Дано точки M і K. Побудуйте квадрат ABCD так, щоб точка M була серединою сторони AB, а точка K — серединою сторони BC. 182.* Через довільну точку, яка належить квадрату, проведено дві перпендикулярні прямі, кожна з яких перетинає дві протилежні сторони квадрата. Доведіть, що відрізки цих прямих, які належать квадрату, рівні. 183.* Побудуйте квадрат: 1) за сумою діагоналі та сторони; 2) за різницею діагоналі та сторони. 184.* У квадраті ABCD позначено точку O так, що ∠OAD = ∠ODA = 15°. Доведіть, що трикутник BOC рівносторонній.

§ 1. Чотирикутники

185.* На сторонах BC і CD квадрата ABCD позначено точки M і E так, що кути BAM і MAE рівні. Доведіть, що AE = BM + DE.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 186. На рисунку 54 AB || CD, AB = AE, CD = CE. Доведіть, що BE ^ DE.

B D A

Рис. 54

Рис. 55

187. На рисунку 55 EF || AD, BF = KF, CF = DF. Доведіть, що EF || BC.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

188. Розташуйте на площині вісім точок так, щоб на серединному перпендикулярі будь-якого відрізка з кінцями в цих точках лежало рівно дві із цих точок.

7. Середня лінія трикутника О з н а ч е н н я. С е р е д н ь о ю л і н і є ю т р и к у т н и к а називають відрізок, який сполучає середини двох його сторін. На рисунку 56 відрізки MN, NE, EM — середні лінії трикутника ABC. Т е о р е м а 7.1. Середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох його сторін, паралельна третій стороні та дорівнює її половині. Д о в е д е н н я. Нехай MN — середня лінія трикутника ABC

(рис. 57). Доведемо, що MN || AC і MN =

1 AC. 2

На прямій MN позначимо точку E так, що MN = NE (рис. 57). Сполучимо відрізком точки E і C. Оскільки точка N є серединою відрізка BC, то BN = NC. Кути 1 і 2 рівні як вертикальні. Отже,

7. Середня лінія трикутника

3 N

2 4

Рис. 56

Рис. 57

трикутники MBN і ECN рівні за першою ознакою рівності трикутників. Звідси MB = EC і ∠3 = ∠4. Ураховуючи, що AM = BM, отримаємо: EC = AM. Кути 3 і 4 є різносторонніми при прямих AB і EC та січній BC. Тоді AB || EC. Таким чином, у чотирикутнику AMEC сторони AM і EC паралельні та рівні. Отже, за теоремою 3.2 чотирикутник AMEC є паралелограмом. Звідси ME || AC, тобто MN || AC.

1 2

Також ME = AC. Оскільки MN = ME, то MN =

1 AC.  2

З а д а ч а. Доведіть, що середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма.

Р о з в’я з а н н я. У чотирикутнику ABCD точки M, N, K і P — середини сторін AB, BC, CD і AD відповідно (рис. 58). Відрізок MN — середня лінія трикутника ABC. За властивістю середньої лінії трикут-

ника MN || AC і MN =

1 AC. 2

Відрізок PK — середня лінія трикутника ADC. За властивістю середньої лінії трикут-

ника PK || AC, PK =

1 AC. 2

Рис. 58

Оскільки MN || AC і PK || AC, то MN || PK.

1 1 1 З рівностей MN = AC і PK = AC отримуємо: MN = PK = AC. 2 2 2

Отже, у чотирикутнику MNKP сторони MN і PK рівні та паралельні, тому чотирикутник MNKP — паралелограм. 

1. Що називають середньою лінією трикутника? 2. Скільки середніх ліній можна провести в трикутнику? 3. Які властивості має середня лінія трикутника?

§ 1. Чотирикутники

ВПРАВИ 189.° Чи є відрізок MK середньою лінією трикутника ABC (рис. 59)? 190.° Чи є відрізок EF середньою лінією трикутника MKP (рис. 60)?

Рис. 59

Рис. 60

Рис. 61

191.° Відрізки DE і DF — середні лінії трикутника ABC (рис. 61). Чи є відрізок EF середньою лінією цього трикутника? 192.° Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 8 см і 12 см. Знайдіть середні лінії цього трикутника. 193.° Точки M і K — середини сторін AB і AC трикутника ABC відповідно. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо периметр трикутника MAK дорівнює 17 см. 194.° Доведіть, що периметр трикутника, сторони якого є середніми лініями трикутника ABC, дорівнює половині периметра трикутника ABC. 195.° Визначте вид трикутника, у якому середні лінії рівні між собою. 196.° Доведіть, що середні лінії трикутника розбивають його на чотири рівних трикутники. 197.° Точки E і F — відповідно середини сторін AB і BC трикутника ABC. Знайдіть сторону AC, якщо вона на 7 см більша за відрізок EF. 198.° Доведіть, що середня лінія DE трикутника ABC (точки D і E належать сторонам AB і BC відповідно) та його медіана BM точкою перетину діляться навпіл. 199.° Доведіть, що висота AM трикутника ABC перпендикулярна до його середньої лінії, яка сполучає середини сторін AB і AC. 200.• Знайдіть кути трикутника, дві середні лінії якого рівні та перпендикулярні. 201.• Середня лінія рівнобедреного трикутника, паралельна основі, дорівнює 6 см. Знайдіть сторони даного трикутника, якщо його периметр дорівнює 46 см.

7. Середня лінія трикутника

202.• Сума діагоналей чотирикутника дорівнює 28 см. Знайдіть периметр чотирикутника, вершини якого є серединами сторін даного чотирикутника. 203.• Вершинами чотирикутника є середини сторін ромба з діагоналями 8 см і 14 см. Визначте вид чотирикутника та знайдіть його сторони. 204.• Вершинами чотирикутника є середини сторін прямокутника з діагоналлю 12 см. Визначте вид чотирикутника та знайдіть його сторони. 205.• Доведіть, що вершини трикутника рівновіддалені від прямої, на якій лежить його середня лінія. 206.•• На сторонах AB і BC трикутника позначено відповідно точки M і K так, що AM = 3BM, CK = 3BK. Доведіть, що MK || AC, і знайдіть відрізок MK, якщо AC = 16 см. 207.•• Кути BAD і BCE — зовнішні кути трикутника ABC. Із вершини B проведено перпендикуляри BM і BK до бісектрис кутів BAD і BCE відповідно. Знайдіть відрізок MK, якщо периметр трикутника ABC дорівнює 18 см. 208.•• Побудуйте трикутник за серединами трьох його сторін. 209.•• Побудуйте паралелограм за серединами трьох його сторін. 210.* Діагоналі опуклого чотирикутника ABCD перпендикулярні. Через середини сторін AB і AD проведено прямі, перпендикулярні відповідно до сторін DC і BC. Доведіть, що точка перетину проведених прямих належить прямій AC. 211.* Сторони AB і CD опуклого чотирикутника ABCD рівні. Через середини діагоналей AC і BD проведено пряму, яка перетинає сторони AB і CD у точках M і N відповідно. Доведіть, що ∠BMN = ∠CNM.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 212. До кола із центром O через точку C проведено дотичні CA і CB (A і B — точки дотику). Відрізок AD — діаметр кола. Доведіть, що BD || CO. 213. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, ∠B = 32°, AK — бісектриса трикутника. Через точку K проведено пряму, яка паралельна стороні AB і перетинає сторону AC у точці M. Знайдіть кут AKM. 214. Діагональ BD паралелограма ABCD є його висотою та дорівнює стороні BC. Знайдіть сторону CD паралелограма, якщо точка B віддалена від прямої CD на 4 см.

��

§ 1. Чотирикутники

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

215. П’ять точок належать рівносторонньому трикутнику, сторона якого дорівнює 1 см. Доведіть, що із цих точок можна вибрати дві, відстань між якими не більша за 0,5 см.

8. Трапеція

О з н а ч е н н я. Т р а п е ц і є ю називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. Кожний із чотирикутників, зображених на рисунку 62, є трапецією.

Îñíîâà

î íà

Á³÷íà ñòîðîíà

Á³

сòî ð÷íà

D E

Îñíîâà

Рис. 62

Рис. 63

Паралельні сторони трапеції називають основами, а непаралельні — бічними сторонами (рис. 63). У трапеції ABCD (BC || AD) кути A і D називають кутами при основі AD, а кути B і C — кутами при основі BC. О з н а ч е н н я. В и с о т о ю т р а п е ц і ї називають перпендикуляр, опущений з будь-якої точки прямої, яка містить одну з основ, на пряму, що містить другу основу. На рисунку 64 кожний із відрізків BM, EF, DK, PQ є висотою трапеції ABCD. Довжини цих відрізків дорівнюють відстані між паралельними прямими BC і AD. Тому BM = EF = DK = PQ. На рисунку 65 зображено трапецію ABCD, у якої бічні сторони AB і CD рівні. Таку трапецію називають рівнобічною або рівнобедреною.

E C

Рис. 64

D Рис. 65

8. Трапеція

Якщо бічна сторона трапеції є її висотою, то таку трапецію називають прямокутною (рис. 66).

Трапеція — це окремий вид чотирикутника. Зв’язок між чотирикутниками та їхніми окремими видами показано на рисунку 67.

D Рис. 66

×îòèðèêóòíèêè Ïàðàëåëîãðàìè Êâàäðàòè

Òðàïåö³¿ Ïðÿìîêóòíèêè

Ðîìáè

Рис. 67

О з н а ч е н н я. С е р е д н ь о ю л і н і є ю т р а п е ц і ї називають відрізок, який сполучає середини її бічних сторін. На рисунку 68 відрізок MN — середня лінія трапеції ABCD. Т е о р е м а 8.1. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює половині їхньої суми. Д о в е д е н н я. Нехай MN — середня лінія трапеції ABCD

(рис. 69). Доведемо, що MN || AD і MN

1 ( AD BC). 2

Проведемо пряму BN і точку її перетину з прямою AD позначимо буквою E.

B M A Рис. 68

N 2 4

D Рис. 69

§ 1. Чотирикутники

Оскільки точка N — середина відрізка CD, то CN = ND. Кути 1 і 2 рівні як вертикальні, а кути 3 і 4 рівні як різносторонні при паралельних прямих BC і AE та січній CD. Отже, трикутники BCN і EDN рівні за другою ознакою рівності трикутників. Звідси BC = DE і BN = NE. Тоді відрізок MN — середня лінія трикутника ABE. Із цього випливає, що MN || AE, тобто MN || AD, і MN =

1 = AE. Маємо: 2

1 1 1 AE ( AD DE) ( AD BC).  2 2 2

З а д а ч а (в л а с т и в о с т і р і в н о б і ч н о ї т р а п е ц і ї). Доведіть, що в рівнобічній трапеції: 1) кути при кожній основі рівні; 2) діагоналі рівні; 3) висота трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить основу трапеції на два відрізки, менший з яких дорівнює половині різниці основ, а більший — половині суми основ (середній лінії трапеції).

Р о з в’я з а н н я. Розглянемо рівнобічну трапецію ABCD (AB = CD). 1) Проведемо висоти BM і CK (рис. 70). Оскільки AB = CD і BM = CK, то прямокутні трикутники AMB і DKC рівні за катетом і гіпотенузою. Тоді ∠A = ∠D. Маємо: ∠A = ∠D, ∠A + ∠ABC = 180°, ∠D + ∠DCB = 180°. Отже, ∠ABC = ∠DCB.

Рис. 70

Рис. 71

2) Розглянемо трикутники ACD і DBA (рис. 71). Маємо: AB = CD, AD — спільна сторона, кути BAD і CDA рівні як кути при основі рівнобічної трапеції. Отже, трикутники ACD і DBA рівні за двома сторонами та кутом між ними. Тоді AC = BD. 3) У чотирикутнику BMKC (рис. 70) BM || CK, BC || MK, кут BMK прямий. Отже, цей чотирикутник є прямокутником. Звідси MK = BC.

8. Трапеція

З рівності трикутників AMB і DKC випливає, що AM = KD. Тоді AM MD = AD – AM = AD −

AD MK AD BC ; 2 2 AD − BC 2 AD AD BC AD + BC = = . 2 2 2

1. Який чотирикутник називають трапецією? 2. Які сторони трапеції називають основами? бічними сторонами? 3. Що називають висотою трапеції? 4. Які існують види трапецій? 5. Яку трапецію називають рівнобічною? 6. Яку трапецію називають прямокутною? 7. Що називають середньою лінією трапеції? 8. Сформулюйте теорему про властивості середньої лінії трапеції. 9. Сформулюйте властивості рівнобічної трапеції.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ 216.° Накресліть, використовуючи клітинки зошита, трапецію: 1) рівнобічну; 2) прямокутну; 3) яка не є ні прямокутною, ні рівнобічною; 4) у якої один із кутів при основі гострий, а другий кут при цій самій основі тупий. 217.° Перерисуйте в зошит рисунок 72, проведіть висоти трапеції, одним із кінців яких є відповідно точки B, M, K і D.

B M

M б

Рис. 72

§ 1. Чотирикутники

ВПРАВИ 218.° Знайдіть на рисунку 73 трапеції, укажіть їхні основи та бічні сторони.

B A

Рис. 73

219.° Чи є чотирикутник ABCD, зображений на рисунку 74, трапецією? У разі ствердної відповіді вкажіть основи та бічні сторони трапеції.

C 105° B

A A

60°

70°

Рис. 74

220.° Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 52 см, основи — 13 см і 21 см. Знайдіть бічну сторону трапеції. 221.° Периметр трапеції дорівнює 49 см, бічні сторони — 5,6 см і 7,8 см. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них на 7,4 см більша за другу. 222.° Доведіть, що сума кутів трапеції, прилеглих до її бічної сторони, дорівнює 180°. 223.° 1) Знайдіть кути A і C трапеції ABCD з основами AD і BC, якщо ∠B = 132°, ∠D = 24°. 2) Знайдіть кути трапеції ABCD, прилеглі до бічної сторони AB, якщо кут A менший від кута B на 38°.

8. Трапеція

224.° Знайдіть кути трапеції ABCD, прилеглі до бічної сторони CD, якщо ∠C : ∠D = 8 : 7. 225.° Один із кутів рівнобічної трапеції дорівнює 46°. Знайдіть решту її кутів. 226.° Знайдіть кути рівнобічної трапеції, якщо різниця її протилежних кутів дорівнює 20°. 227.° У рівнобічній трапеції кут між бічною стороною та висотою, проведеною з вершини тупого кута, дорівнює 23°. Знайдіть кути трапеції. 228.° Чи можуть у трапеції бути: 1) три прямих кути; 2) три гострих кути; 3) два протилежних кути тупими; 4) два протилежних кути прямими; 5) два протилежних кути рівними? 229.° Чи можуть: 1) основи трапеції бути рівними; 2) діагоналі трапеції точкою перетину ділитися навпіл? 230.° Доведіть, що коли кути при одній з основ трапеції рівні, то дана трапеція є рівнобічною. 231.° Доведіть, що сума протилежних кутів рівнобічної трапеції дорівнює 180°. Чи є правильним обернене твердження: якщо сума протилежних кутів трапеції дорівнює 180°, то дана трапеція є рівнобічною? 232.° Середня лінія рівностороннього трикутника зі стороною 6 см розбиває його на трикутник і чотирикутник. Визначте вид чотирикутника та знайдіть його периметр. 233.° Висота рівнобічної трапеції, проведена з кінця меншої основи, ділить більшу основу на відрізки завдовжки 6 см і 10 см. Знайдіть основи трапеції. 234.° Один із кутів рівнобічної трапеції дорівнює 60°, бічна сторона — 18 см, а сума основ — 50 см. Знайдіть основи трапеції. 235.° Основи прямокутної трапеції дорівнюють 10 см і 24 см, а один із кутів — 45°. Знайдіть меншу бічну сторону трапеції. 236.° Основи прямокутної трапеції дорівнюють 7 см і 15 см, а один із кутів — 60°. Знайдіть більшу бічну сторону трапеції. 237.° У трапеції ABCD відомо, що AB = CD, ∠BAC = 20°, ∠CAD = 50°. Знайдіть кути ACB і ACD. 238.° У трапеції ABCD відомо, що BC || AD, AB ^ AD, BC = CD, ∠ABD = 80°. Знайдіть кути трапеції.

§ 1. Чотирикутники

239.° У трапеції ABCD менша основа BC дорівнює 6 см. Через вершину B проведено пряму, яка паралельна стороні CD і перетинає сторону AD у точці M. Знайдіть периметр трапеції, якщо периметр трикутника ABM дорівнює 16 см. 240.° Через вершину C трапеції ABCD проведено пряму, яка паралельна бічній стороні AB і перетинає більшу основу AD у точці E. Знайдіть кути трапеції, якщо ∠D = 35°, ∠DCE = 65°. 241.° Основи трапеції дорівнюють 9 см і 15 см. Чому дорівнює її середня лінія? 242.° Середня лінія трапеції дорівнює 8 см, а одна з основ — 5 см. Знайдіть другу основу трапеції. 243.° Одна з основ трапеції на 8 см більша за другу, а середня лінія дорівнює 17 см. Знайдіть основи трапеції. 244.° Основи трапеції відносяться як 3 : 4, а середня лінія дорівнює 14 см. Знайдіть основи трапеції. C B 245.° Кожну з бічних сторін трапеції ABCD K P (рис. 75) поділено на чотири рівні часM F тини: AE = EF = FK = KB, DN = NM = E N = MP = PC. Знайдіть відрізки EN, FM і KP, якщо AD = 19 см, BC = 11 см. A D 246.° Висота прямокутної трапеції, проведена Рис. 75 з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки завдовжки 7 см і 5 см, рахуючи від вершини прямого кута. Знайдіть середню лінію трапеції. 247.° Середня лінія прямокутної трапеції дорівнює 9 см, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки, один з яких у 2 рази більший за другий, рахуючи від вершини прямого кута. Знайдіть основи трапеції. 248.• Діагоналі рівнобічної трапеції ABCD (AB = CD) перетинаються в точці O. Доведіть, що AO = OD і BO = OC. 249.• Висота рівнобічної трапеції дорівнює h, а бічну сторону видно з точки перетину діагоналей під кутом1 60°. Знайдіть діагональ трапеції. • 250. Основи рівнобічної трапеції відносяться як 2 : 5, а діагональ ділить тупий кут трапеції навпіл. Знайдіть сторони трапеції, якщо її периметр дорівнює 68 см.

1 Нехай дано відрізок AB і точку M поза прямою AB таку, що ∠AMB = = α. У такому випадку говорять, що відрізок AB видно з точки M під кутом α.

8. Трапеція

251.• У трапеції ABCD відомо, що AB = CD, AD = 24 см, ∠ADB = = ∠CDB, а периметр дорівнює 60 см. Знайдіть невідомі сторони трапеції. 252.• Сторони трапеції дорівнюють a, a, a і 2a. Знайдіть кути трапеції. 253.• У трапеції ABCD діагональ AC перпендикулярна до бічної сторони CD і є бісектрисою кута BAD, ∠D = 60°, периметр трапеції дорівнює 40 см. Знайдіть основи трапеції. 254.• Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони, а менша основа дорівнює бічній стороні. Знайдіть кути трапеції. 255.• За якої умови висота рівнобічної трапеції дорівнює половині різниці основ? • 256. Побудуйте рівнобічну трапецію за основою, бічною стороною та кутом між ними. 257.• Побудуйте прямокутну трапецію за основами та меншою бічною стороною. 258.• Побудуйте рівнобічну трапецію за основою, бічною стороною та діагоналлю. 259.• Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює 6 см, більша основа — 10 см. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо один з її кутів дорівнює 60°. 260.• Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює 14 см і утворює з основою кут 60°. Знайдіть середню лінію трапеції. 261.• Середня лінія трапеції ABCD розбиває її на дві трапеції, середні лінії яких дорівнюють 15 см і 19 см. Знайдіть основи трапеції ABCD. 262.•• Доведіть, що коли діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії трапеції. 263.•• Доведіть, що коли висота рівнобічної трапеції дорівнює її середній лінії, то діагоналі трапеції перпендикулярні. 264.•• Діагональ прямокутної трапеції розбиває її на два трикутники, один з яких є рівностороннім зі стороною a. Знайдіть середню лінію трапеції. 265.•• Діагональ рівнобічної трапеції розбиває її на два рівнобедрених трикутники. Знайдіть кути трапеції. 266.•• У трапеції ABCD (BC || AD) відомо, що AC ^ BD, ∠CAD = 30°, BD = 8 см. Знайдіть середню лінію трапеції. 267.•• Доведіть, що точка перетину бісектрис кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, належить прямій, яка містить її середню лінію.

§ 1. Чотирикутники

268.•• Побудуйте трапецію: 1) за основами та бічними сторонами; 2) за основою, висотою та діагоналями; 3) за різницею основ, бічними сторонами та діагоналлю. 269.•• Побудуйте рівнобічну трапецію за основою, висотою та бічною стороною. 270.•• Побудуйте трапецію: 1) за основами та діагоналями; 2) за бічними сторонами, середньою лінією та висотою; 3) за основою, прилеглим до неї кутом і бічними сторонами; 4) за бічними сторонами, висотою та однією з діагоналей. 271.* Через вершину B паралелограма ABCD проведено пряму, яка не має з паралелограмом інших спільних точок. Вершини A і C віддалені від цієї прямої на відстані a і b відповідно. Знай діть відстань від точки D до цієї прямої.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 272. У колі проведено діаметри AB і CD. Доведіть, що AC = BD і AC || BD. 273. У колі з центром O проведено діаметр AB і хорду AC. Доведіть, що ∠BOC = 2 ∠BAC. 274. Пряма AB дотикається до кола з центром O в точці C, AC = BC. Доведіть, що OA = OB. 275. Хорда AB кола з центром O перпендикулярна до радіуса OC і ділить його навпіл. Знайдіть: 1) кут AOB; 2) кут ACB. 276. Скільки спільних точок мають два кола з радіусами 6 см і 8 см, якщо відстань між їхніми центрами дорівнює: 1) 15 см; 2) 14 см; 3) 10 см; 4) 2 см?

Поновіть у пам’яті зміст пунктів 19–22 на с. 190–192.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

277. Многокутник розбито на трикутники, які пофарбовано в чорний та білий кольори так, що будь-які два трикутники, що мають спільну сторону, пофарбовано в різні кольори. Доведіть, що кількість чорних трикутників не більша за потроєну кількість білих трикутників.

9. Центральні та вписані кути

О з н а ч е н н я. Ц е н т р а л ь н и м к у т о м к о л а називають кут з вершиною в центрі кола. На рисунку 76 кут AOB — центральний. Сторони цього кута перетинають коло в точках A і B. Ці точки ділять коло на дві дуги, які виділено на рисунку 76 різним кольором. Точки A і B називають кінцями дуги, вони належать кожній з виділених дуг. Кожну із цих дуг можна позначити так: ∪AB (читають: «дуга AB»).

A M

Рис. 76

M E A

Рис. 77

M Рис. 78

Рис. 79

Але за записом ∪AB не можна розрізнити дуги на рисунку 76. Якщо на якійсь із двох дуг позначити точку (на рисунку 77 це точка M), то зрозуміло, що позначення ∪AMB відноситься до «синьої» дуги. Якщо на одній із двох дуг AB відмічено точку, то домовимося, що позначення ∪AB відноситься до дуги, якій ця точка не належить (на рисунку 77 це «зелена» дуга). Дуга AB належить центральному куту AOB (рис. 77). У цьому випадку говорять, що центральний кут AOB спирається на дугу AB. Кожна дуга кола, як і все коло, має градусну міру. Градусну міру всього кола вважають рівною 360°. Якщо центральний кут MON спирається на дугу MN (рис. 78), то градусну міру дуги MN вважають рівною градусній мірі кута MON і записують: ∪MN = ∠MON (читають: «градусна міра дуги MN дорівнює градусній мірі кута MON»). Градусну міру дуги MEN (рис. 78) вважають рівною 360° – ∠MON. На рисунку 79 зображено коло, у якому проведено два перпендикулярних діаметри AB і CD. Тоді ∪AMD = 90°, ∪ACD = 360° – – 90° = 270°, ∪ACB = ∪ADB = 180°. Кожну з дуг ACB і ADB називають півколом. На рисунку 79 півколами A є також дуги CAD і CBD. Про хорду, яка сполучає кінці дуги, говорять, що K хорда стягує дугу. На рисунку 80 хорда AB стягує B кожну з дуг AB і AKB. Будь-яка хорда стягує дві дуги, сума градусних Рис. 80 мір яких дорівнює 360°.

§ 1. Чотирикутники

О з н а ч е н н я. В п и с а н и м к у т о м к о л а називають кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинають коло. На рисунку 81 кут ABC — вписаний. Дуга AC належить цьому куту, а дуга ABC — не належить. У такому випадку говорять, що вписаний кут ABC спирається на дугу AC. Також можна сказати, що вписаний кут ABC спирається на хорду AC. Т е о р е м а 9.1. Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається. Д о в е д е н н я. На рисунку 81 кут ABC вписаний. Доведемо,

1 2

що ABC AC. Розглянемо три випадки розташування центра O кола відносно вписаного кута ABC. В и п а д о к 1. Центр O належить одній зі сторін кута, наприклад стороні BC (рис. 82). Проведемо радіус OA. Центральний кут AOC — зовнішній кут рівнобедреного трикутника ABO (сторони OA та OB рівні як радіуси). Тоді ∠AOC = ∠A + ∠B. Проте ∠A = ∠B. Звідси ∠ABC =

1 1 AOC AC. 2 2

O A

A C

K C

Рис. 81

Рис. 82

Рис. 83

В и п а д о к 2. Центр O належить куту, проте не належить жодній із його сторін (рис. 83). 1 Проведемо діаметр BK. Згідно з доведеним ABK AK, ∠KBC =

1 2

KC. Маємо: ∠ABC = ∠ABK + ∠KBC =

1 1 1 AK KC AKC. 2 2 2

В и п а д о к 3. Центр O не належить куту (рис. 84). Для третього випадку проведіть доведення самостійно.  Н а с л і д о к 1. Вписані кути, які спираються на одну й ту саму дугу, рівні (рис. 85). Н а с л і д о к 2. Вписаний кут, який спирається на діаметр (півколо), — прямий (рис. 86). Доведіть ці властивості самостійно.

9. Центральні та вписані кути

B O

C K Рис. 84

Рис. 85

Рис. 86

З а д а ч а 1 (вл а с т и в і с т ь к у т а м і ж д о т и ч н о ю т а х о рд о ю). Відрізок AB — хорда кола із центром O (рис. 87). Через

1 2

точку A проведено дотичну MN. Доведіть, що MAB AB

1 2

і NAB AKB.

Р о з в’я з а н н я. Проведемо діаметр AD (рис. 87). Тоді кут B дорівнює 90° як вписаний, що спирається на діаметр AD. У прямокутному трикутнику ABD ∠2 + ∠3 = 90°. Оскільки MN — дотична, то ∠DAM = 90°. Тоді ∠1 + ∠3 = 90°. Отримуємо, що ∠1 = ∠2.

1 Отже, MAB BDA AB. 2

Маємо: ∠NAB = 180° – ∠MAB = 180° –

AKB) = 180° – 180° +

1 1 ∪AB = 180° – (360 2 2

1 1 ∪AKB = ∪ AKB.  2 2

O 1

3 A

Рис. 87

Рис. 88

З а д а ч а 2. Побудуйте дотичну до даного кола, яка проходить через дану точку, що лежить поза колом. Р о з в’я з а н н я. На рисунку 88 зображено коло із центром O і точку M, яка лежить поза цим колом. Нехай X — така точка кола, що пряма MX є дотичною (рис. 88). Тоді кут MXO прямий. Отже, його можна розглядати як вписаний у коло з діаметром MO. Проведений аналіз показує, як провести побудову.

§ 1. Чотирикутники

Побудуємо відрізок MO та розділимо його навпіл (рис. 89). Нехай точка K — K його середина. Побудуємо коло радіуса KO M O із центром K. Позначимо точки перетину побудованого та даного кіл буквами E і F. F Тоді кожна з прямих ME і MF є шуканою дотичною. Рис. 89 Справді, кут MEO дорівнює 90° як вписаний кут, що спирається на діаметр MO. Відрізок OE — радіус даного кола. Тоді за ознакою дотичної пряма ME — шукана дотична. 

1. Який кут називають центральним кутом кола? 2. Як називають частини кола, на які ділять його дві точки? 3. Яким символом позначають дугу кола? 4. У якому випадку говорять, що центральний кут спирається на дугу? 5. Чому вважають рівною градусну міру кола? 6. Як пов’язані градусні міри центрального кута кола та дуги, на яку цей кут спирається? 7. Скільки дуг стягує кожна хорда? Чому дорівнює сума їхніх градусних мір? 8. Який кут називають вписаним кутом кола? 9. У якому випадку говорять, що вписаний кут спирається на дугу? 10. Чому дорівнює градусна міра вписаного кута? 11. Яку властивість мають вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу? 12. Яким є вписаний кут, що спирається на діаметр?

ВПРАВИ 278.° Чому дорівнює градусна міра центрального кута кола, який

спирається на дугу, що становить: 1)

1 2 кола; 4) кола? 2 9

1 1 кола; 2) кола; 6 10

279.° Знайдіть градусні міри двох дуг кола, на які його ділять дві точки, якщо градусна міра однієї з дуг на 80° більша за градусну міру другої. 280.° Знайдіть градусні міри двох дуг кола, на які його ділять дві точки, якщо градусні міри цих дуг відносяться як 7 : 11.

9. Центральні та вписані кути

281.° Знайдіть градусну міру дуги, яку описує кінець годинної стрілки: 1) за 2 год; 2) за 5 год; 3) за 8 год; 4) за 30 хв; 5) за 12 год.

282.° Які з кутів, зображених на рисунку 90, є вписаними? На яку дугу спирається кожний із вписаних кутів?

D T

N K

A P

F S

Рис. 90

Рис. 91

283.° На рисунку 91 зображено коло із центром O. Знайдіть: 1) кут BDC, якщо ∠BAC = 40°; 2) кут BEC, якщо ∠BOC = 70°; 3) дугу CE, якщо ∠CDE = 80°; 4) дугу DBA, якщо ∪DBA = 300°.

284.° Знайдіть помилки на рисунку 92.

120°

95° O

50° Точка O — центр кола

50°

80°

40°

Точка O — центр кола

г Рис. 92

§ 1. Чотирикутники

B O

A A

C Рис. 93

Рис. 94

Рис. 95

285.° Знайдіть вписаний кут, якщо градусна міра дуги, на яку він спирається, дорівнює: 1) 84°; 2) 110°; 3) 230°; 4) 340°. 286.° На рисунку 93 ∪AB = 74°, ∠ABC = 68°. Знайдіть дугу BC. 287.° На рисунку 93 ∪AB = 64°, ∪BC = 92°. Знайдіть кут ABC. 288.° Центральний кут AOC на 25° більший за вписаний кут ABC, що спирається на дугу AС (рис. 94). Знайдіть кути AOC і ABC. 289.° Кінці хорди AB ділять коло на дві дуги, градусні міри яких відносяться як 3 : 7. Під якими кутами видно цю хорду з точок M і K (рис. 95)? 290.° На рисунку 96 хорди AB і CD рівні. Доведіть, що ∪AMB = ∪CND. 291.° Доведіть, що коли дві дуги кола M рівні, то рівні й хорди, які їх стягують. D A 292.° Точки A, B і C ділять коло на три дуги N так, що ∪AB : ∪BC : ∪AC = 1 : 2 : 3. Знайдіть кути трикутника ABC. 293.° Вершини рівнобедреного трикутниРис. 96 ка ABC (AB = BC) ділять описане навколо нього коло на три дуги, причому ∪AB = 70°. Знайдіть кути трикутника ABC. 294.° Кінці діаметрів AC і BD кола послідовно сполучили так, що утворився чотирикутник ABCD. 1) Визначте вид чотирикутника ABCD. 2) Знайдіть дуги AB, BC, CD і AD, якщо ∠ABD = 80°. 295.° Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 32°. Знайдіть градусні міри дуг, на які вершини трикутника ділять коло, описане навколо нього, та радіус цього кола, якщо гіпотенуза даного трикутника дорівнює 12 см.

9. Центральні та вписані кути

296.• Доведіть, що коли вписаний кут є прямим, то він спирається на діаметр.

297.• Хорди AB і CD кола перетинаються в точці M (рис. 97).

1 Доведіть, що ∠AMC = (∪AC + ∪BD). 2

298.• Хорди AB і CD кола не перетинаються, а прямі AB і CD перетинаються в точці M (рис. 98). Доведіть, що ∠AMC =

1 = (∪AC – ∪BD). 2

M C

C Рис. 97

Рис. 98

Рис. 99

299.• Через точку A, яка лежить поза колом із центром O, проведено дві прямі, одна з яких дотикається до кола в точці B, а друга проходить через його центр (рис. 99). Відомо, що ∪BMC = 100°. Знайдіть кут BAC.

•

300. Бісектриса кута B трикутника ABC перетинає коло, описане навколо цього трикутника, у точці D. Знайдіть кути трикутника ADC, якщо ∠ABC = 80°.

301.• На дузі AC кола, описаного навколо рівностороннього трикутника ABC, позначено точку M так, що ∪AM = 2 ∪CM. Знайдіть кути трикутника AMC.

302.• Коло, побудоване на стороні AB трикутника ABC як на діаметрі, перетинає сторони AC і BC у точках M і K відповідно. Доведіть, що відрізки AK і BM — висоти трикутника ABC.

303.• Коло, побудоване на стороні AC трикутника ABC як на діаметрі, перетинає сторону AB у точці K так, що ∠ACK = ∠BCK. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

304.• Доведіть, що градусні міри дуг кола, які містяться між двома паралельними хордами, рівні. 305.• Вершини квадрата ABCD лежать на колі. На дузі AB позначено довільну точку M. Доведіть, що ∠AMD = ∠CMD = ∠CMB.

§ 1. Чотирикутники

306.• Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 56°. На бічній стороні трикутника як на діаметрі побудовано півколо, яке інші сторони трикутника ділять на три дуги. Знайдіть градусні міри утворених дуг. C 307.•• Як, користуючись лише косинцем, знайти центр даного кола? •• 308. Дано коло, у якому проведено діаметр AB, A B і позначено точку C поза колом (рис. 100). Як, користуючись лише лінійкою, провести через точку C пряму, що перпендикулярна Рис. 100 до прямої AB? •• 309. Два кола мають єдину спільну точку M. Через точку M проведено дві прямі, які перетинають дані кола. Точки їхнього перетину з колами, відмінні від точки M, сполучено хордами. Доведіть, що ці хорди паралельні. •• 310. До кола, описаного навколо трикутника ABC, проведено в точці B дотичну, яка перетинає пряму AC у точці D. Відрізок BM — бісектриса трикутника ABC. Доведіть, що BD = MD. 311.* Дано відрізок AB і кут . Знайдіть геометричне місце точок X таких, що ∠AXB = . 312.* Побудуйте трикутник за стороною, протилежним їй кутом і висотою, проведеною до даної сторони. * 313. Побудуйте трикутник за стороною, протилежним їй кутом і медіаною, проведеною до даної сторони. 314.* Побудуйте паралелограм за двома сторонами та кутом між діагоналями. * 315. Побудуйте паралелограм за кутом і двома діагоналями. 316.* У прямокутному трикутнику АВС на катеті АС як на діаметрі побудовано коло, що перетинає гіпотенузу АВ у точці Е. Через точку Е проведено дотичну до кола, яка перетинає катет СВ у точці D. Доведіть, що трикутник ВDE рівнобедрений. 317.* Дано відрізок AB. Знайдіть геометричне місце точок X таких, що трикутник AXB прямокутний. * 318. Бісектриса кута A трикутника ABC перетинає описане навколо нього коло в точці D. Точка O — центр вписаного кола трикутника ABC. Доведіть, що DO = DB = DC. 319.* Бісектриси кутів A, B і C трикутника ABC перетинають описане навколо нього коло в точках A1, B1 і C1 відповідно. Доведіть, що A1B1 ^ CC1.

9. Центральні та вписані кути

320.* На рисунку 101 зображено два кола із центрами O1 і O2. Побудуйте пряму l, яка дотикається до цих кіл так, O2 O1 що точки дотику лежать в одній півплощині відносно прямої O1O2 (таку пряму називають зовнішньою спільРис. 101 ною дотичною до двох даних кіл). 321.* Побудуйте трикутник: 1) за стороною, протилежним їй кутом і радіусом вписаного кола; 2) за стороною, протилежним їй кутом і медіаною, проведеною до другої сторони.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 322. Периметр трикутника ABC дорівнює 30 см. Точка дотику вписаного кола до сторони AB ділить її у відношенні 3 : 2, рахуючи від вершини A, а точка дотику до сторони BC віддалена від вершини С на 5 см. Знайдіть сторони трикутника. 323. До кола, вписаного в трикутник ABC, проведено три дотичні (рис. 102). ПеB риметри трикутників, які ці дотичні відтинають від даного трикутника, дорівнюють P1, P2 і P3. Знайдіть периметр трикутника ABC. 324. Установіть вид трикутника, у якого A C центр описаного кола належить меРис. 102 діані.

Поновіть у пам’яті зміст пункту 22 на с. 192.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

325. Клітинки квадрата розміром 100 × 100 клітинок розфарбовано в шаховому порядку. Квадрат розрізали на квадрати, сторони яких містять непарну кількість клітинок, і в кожному такому квадраті позначили центральну клітинку. Доведіть, що білих і чорних клітинок позначено порівну.

§ 1. Чотирикутники

ПЕРША ЗАДАЧА ПЕРШОЇ ВСЕУКРАЇНСЬКОЇ ОЛІМПІАДИ ЮНИХ МАТЕМАТИКІВ Сподіваємося, що задача 316 вам сподобалася і ви відчули радість успіху, розв’язавши її. Ця задача варта уваги ще й тому, що в 1961 р. саме її умовою починався текст першої Всеукраїнської олімпіади юних математиків. Узагалі, математичні олімпіади в Україні мають давню традицію. Перша міська олімпіада юних математиків відбулася в 1935 р. в Києві. З того часу минуло понад 80 років, і за ці роки математичні олімпіади стали для багатьох талановитих школярів і школярок першим кроком на шляху до наукової творчості. Сьогодні такі імена, як О. В. Погорєлов, С. Г. Крейн, М. О. Красносельський, В. Г. Дрінфельд, відомі в усьому науковому світі. Усі вони в різні роки були переможцями математичних олімпіад в Україні. Хочемо із задоволенням зазначити, що й зараз математичні олімпіади в Україні дуже популярні. Десятки тисяч школярів і школярок нашої країни на різних етапах беруть участь у цьому математичному змаганні. До організації та проведення олімпіад залучають наукову та освітянську спільноту. Саме завдяки ентузіазму та професіоналізму цієї спільноти команда України гідно представляє нашу країну на міжнародних математичних олімпіадах. Радимо й вам, любі восьмикласники та восьмикласниці, брати участь у математичних олімпіадах. Нижче ми наводимо текст першої Всеукраїнської олімпіади юних математиків. Випробуйте свої сили. 1. У прямокутному трикутнику АВС на катеті АС як на діаметрі побудовано коло, що перетинає гіпотенузу АВ у точці Е. Через точку Е проведено дотичну до кола, яка перетинає катет СВ у точці D. Доведіть, що трикутник ВDE рівнобедрений. 2. У площині розміщено n зубчастих коліс так, що перше зчеплене з другим, друге — із третім і т. д., а останнє — з першим. У яких випадках можуть рухатися колеса такої системи? 3. Обчисліть кути рівнобедреного трикутника, у якому центри вписаного й описаного кіл симетричні відносно прямої, що містить основу трикутника. n5 n3 n 4. Доведіть, що при кожному цілому n вираз також 120 24 30 набуває цілих значень. 5. Побудуйте трикутник за двома даними точками, що є основами висот, опущених на дві сторони цього трикутника, та прямою, на якій розміщено його третю сторону.

��

10. Описане та вписане кола чотирикутника

О з н а ч е н н я. Коло називають о п и с а н и м н а в к о л о ч о т и р ик у т н и к а, якщо воно проходить через усі його вершини. На рисунку 103 зображено коло, описане навколо чотирикутника ABCD. У цьому разі також говорять, що чотирикутник вписаний у коло. Т е о р е м а 10.1. Якщо чотирикутник є вписаним у коло, то сума його протилежних кутів дорівнює 180°. Д о в е д е н н я.  Нехай чотирикутник ABCD вписано в коло (рис. 103). Доведемо, що ∠A + ∠C = 180° і ∠B + ∠D = 180°.

1 2

Оскільки кути A і C є вписаними, то A BCD і C DAB.

Маємо: ∪BCD + ∪DAB = 360°. Тоді ∠A + ∠C = 180°. Аналогічно можна показати, що ∠B + ∠D = 180°.  Ви знаєте, що навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Проте не будь-який чотирикутник має таку властивість. Наприклад, неможливо описати коло навколо паралелограма, відмінного від прямокутника. Розпізнавати чотирикутники, навколо яких можна описати коло, дає змогу така теорема. Т е о р е м а 10.2 (об е р н е н а д о т е о р е м и 10.1). Якщо в чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180°, то навколо нього можна описати коло. Д о в е д е н н я. Розглянемо чотирикутник ABCD, у якому ∠A + ∠C = 180°. Доведемо, що навколо нього можна описати коло. Припустимо, що навколо цього чотирикутника не можна описати коло. Опишемо коло навколо трикутника ABD. За припущенням точка C не належить цьому колу. Тому можливі два випадки. В и п а д о к 1. Точка C лежить поза описаним колом трикутника ABD (рис. 104). Нехай сторона BC перетинає коло в точці C1. Чотирикутник ABC1D вписано в коло. Тоді за теоремою 10.1 отримуємо, що

C A

D Рис. 103

D Рис. 104

§ 1. Чотирикутники

A BC1D 180 . Але за умовою ∠A + ∠C = 180°. Звідси ∠BC1D = = ∠C. Проте ця рівність виконуватися не може, оскільки за властивістю зовнішнього кута трикутника ∠BC1D = ∠C + ∠CDC1. Отже, точка C не може лежати поза колом, описаним навколо трикутника ABD. В и п а д о к 2. Точка C лежить усередині описаного кола трикутника ABD (рис. 105). Міркуючи аналогічно, можна показати, що точка C не може лежати всередині розглядуваного кола. Переконайтеся в цьому самостійно. Таким чином, припустивши, що точка C не належить колу, описаному навколо трикутника ABD, ми отримали суперечність. 

b M

B C

C A

Рис. 105

C c P

A D

B b N

Рис. 106

K d D Рис. 107

Теорему 10.2 можна розглядати як ознаку належності чотирьох точок одному колу. Якщо чотирикутник вписано в коло, то існує точка, рівновіддалена від усіх його вершин (центр описаного кола). Щоб знайти цю точку, достатньо знайти точку перетину серединних перпендикулярів двох сусідніх сторін чотирикутника. О з н а ч е н н я. Коло називають в п и с а н и м у ч о т и р и к у т н и к, якщо воно дотикається до всіх його сторін. На рисунку 106 зображено коло, вписане в чотирикутник ABCD. У цьому разі також говорять, що чотирикутник описаний навколо кола. Т е о р е м а 10.3. Якщо чотирикутник є описаним навколо кола, то суми його протилежних сторін рівні. Д о в е д е н н я. Нехай чотирикутник ABCD описано навколо кола (рис. 107). Доведемо, що AB + CD = BC + AD. Точки M, N, P, K — точки дотику кола до сторін чотирикутника. Оскільки відрізки дотичних, проведених до кола через одну точку, рівні, то AK = AM, BM = BN, CN = CP, DP = DK. Нехай AK = a, BM = b, CN = c, DP = d. ��

10. Описане та вписане кола чотирикутника

Тоді AB + CD = a + b + c + d, BC + AD = b + c + a + d. Отже, AB + CD = BC + AD.  Ви знаєте, що в будь-який трикутник можна вписати коло. Проте не будь-який чотирикутник має цю властивість. Наприклад, неможливо вписати коло в прямокутник, відмінний від квадрата. Розпізнавати чотирикутники, у які можна вписати коло, дає змогу така теорема. Т е о р е м а 10.4. Якщо в опуклому чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати коло. Д о в е д е н н я. Розглянемо опуклий чотирикутник ABCD, у якому AB + CD = BC + AD. Доведемо, що в нього можна вписати коло. Нехай бісектриси кутів A і B перетинаC1 B C ються в точці O (рис. 108). Тоді точка O рівновіддалена від сторін AB, BC і AD. Отже, існує O коло із центром у точці O, яке дотикається до трьох цих сторін. Припустимо, що це коло не дотикається до A D1 D сторони CD. Тоді можливі два випадки. В и п а д о к 1. Сторона CD не має спільних Рис. 108 точок з побудованим колом. Проведемо дотичну C1D1 паралельно стороні CD (рис. 108). Чотирикутник ABC1D1 описано навколо кола. Тоді за теоремою 10.3 отримуємо, що AB + C1D1 = BC1 + AD1. (1) Проте за умовою AB + CD = BC + AD. (2) Віднімемо від рівності (2) рівність (1): CD – C1D1 = BC – BC1 + AD – AD1. Звідси маємо: CD – C1D1 = C1C + D1D; CD = C1C + D1D + C1D1. Ця рівність суперечить твердженню, доведеному в ключовій задачі п. 1. Отже, сторона CD повинна мати спільні точки з розглядуваним колом. В и п а д о к 2. Сторона CD має дві спільні точки з побудованим колом. Міркуючи аналогічно, можна показати, що сторона CD не може мати дві спільні точки з побудованим колом. Переконайтеся в цьому самостійно. Таким чином, припустивши, що побудоване коло не дотикається до сторони CD, ми отримали суперечність. 

§ 1. Чотирикутники

Якщо чотирикутник описано на�ко�о ко�а� то �сну� точка� р�� но дда ена д ус х його стор н (центр писаного ко а). Щоб знай ти цю точку достатньо знайти точку перетину б сектрис д ох су� с дн х кут цього чотирикутника. �� в��л��л�,�� і��є��,��ів

ві

ів

З а д а ч а (оз н а к а н а е ж н о с т ч о т и р ь о х т о ч о к о д н о м у к о у). Точки A M N B так що ∠AMB = ∠ANB причому α α точки M N ежать одн й п п ощин д� носно прямої AB. До ед ть що точки A M N B ежать на одному ко . A B 180°–α Р о з в’я з а н н я. Нехай ∠AMB = ∠ANB = a. На ко о трикутника AMB опишемо ко о C (рис. 109). Нехай C — до ьна точка ко а яка не на ежить дуз AMB. Тод чо� Рис. 109 тирикутник ACBM писано ко о. З дси ∠C = 180°– a. Ма мо: ∠C + ∠N = 180°. Отже за теоремою 10.2 на ко о чотирикутника ACBN можна описати ко о. Оск ьки на ко о трикутника ABC можна описати т ьки одне ко о то цьому ко у на ежать як точка M так точка N. 

і,

ів

іл

віл

ві

лі

ві

іл

1. Яке коло називають описаним навколо чотирикутника? 2. У якому випадку говорять, що чотирикутник вписаний у коло? 3. Яку властивість мають кути чотирикутника, вписаного в коло? 4. За якої умови навколо чотирикутника можна описати коло? 5. Яке коло називають вписаним у чотирикутник? 6. У якому випадку говорять, що чотирикутник описаний навколо кола? 7. Яку властивість мають сторони чотирикутника, описаного навколо кола? 8. За якої умови в чотирикутник можна вписати коло?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

326.° Накрес ть прямокутник з сторонами 2 см 3 см. Опиш ть на ко о нього ко о. 327.° Накрес ть до ьну р ноб чну трапец ю. Опиш ть на ко о неї ко о. 328.° Накрес ть р ноб чну трапец ю з б ьшою осно ою 6 см б чною стороною 4 см кутом 60°. Впиш ть у неї ко о.

лі

віл

ів

лі

ів

іл

10. Описане та вписане кола чотирикутника

329.° Накресліть довільний квадрат. Впишіть у нього коло й опишіть навколо нього коло.

ВПРАВИ 330.° Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD, якщо його кути A, B, C і D відповідно дорівнюють: 1) 90°, 90°, 80°, 100°; 3) 50°, 70°, 130°, 110°? 2) 90°, 80°, 90°, 100°; 331.° Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD, якщо його кути A, B, C і D відповідно пропорційні числам: 1) 3, 8, 11, 6; 2) 4, 5, 4, 2? 332.° Доведіть, що можна описати коло навколо: 1) будь-якого прямокутника; 2) будь-якої рівнобічної трапеції. 333.° Яка точка є центром кола, описаного навколо прямокутника? 334.° Чи можна описати коло навколо ромба, який не є квадратом? 335.° У прямокутнику ABCD відомо, що AB = 12 см, ∠CAD = 30°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо даного прямокутника. 336.° Чи можна вписати коло в чотирикутник ABCD, якщо його сторони AB, BC, CD, AD відповідно пропорційні числам: 1) 7, 8, 12, 11; 2) 7, 12, 8, 11? 337.° Сума двох протилежних сторін чотирикутника, описаного навколо кола, дорівнює 18 см. Знайдіть периметр даного чотирикутника. 338.° Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює 7 см. Чому дорівнює периметр даної трапеції, якщо в неї можна вписати коло? 339.° У чотирикутнику CDEF, у який можна вписати коло, CD = = 6 см, DE = 8 см, EF = 12 см. Знайдіть сторону CF. 340.° Доведіть, що в будь-який ромб можна вписати коло. Яка точка є центром кола, вписаного в ромб? 341.° Чи можна вписати коло в паралелограм, який не є ромбом? 342.° Під яким кутом видно бічну сторону трапеції із центра вписаного кола? 343.° Один із кутів ромба дорівнює 60°, а більша діагональ — 24 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в даний ромб. 344.• Доведіть, що коли в прямокутник можна вписати коло, то цей прямокутник є квадратом. 345.• Доведіть, що коли навколо ромба можна описати коло, то цей ромб є квадратом.

§ 1. Чотирикутники

346.• Сторона AD чотирикутника ABCD є діаметром кола, описаного навколо нього, ∠ABC = 108°, ∠BCD = 132°. Знайдіть кути BAD, ADC, CAD, BDA.

347.• Знайдіть кути чотирикутника MNKP, вписаного в коло, якщо ∠MKP = 58°, ∠MPN = 34°, ∠KMP = 16°.

348.• Рівнобічну трапецію вписано в коло, центр якого належить одній з основ. Кут між діагоналями трапеції, протилежний її бічній стороні, дорівнює 56°. Знайдіть кути трапеції.

349.• Висоти BM і CK гострокутного трикутника ABC перетинаються в точці H. Доведіть, що точки A, K, H і M лежать на одному колі.

350.• У прямокутну трапецію вписано коло. Точка дотику ділить більшу бічну сторону на відрізки завдовжки 8 см і 50 см. Знайдіть периметр даної трапеції, якщо радіус вписаного кола дорівнює 20 см.

351.• У прямокутну трапецію вписано коло. Точка дотику ділить більшу бічну сторону на відрізки завдовжки 3 см і 12 см. Знайдіть радіус вписаного кола, якщо периметр трапеції дорівнює 54 см.

••

352. Центр кола, описаного навколо трапеції, належить більшій основі, а бічна сторона дорівнює меншій основі. Знайдіть кути трапеції.

353.•• Діагональ трапеції, вписаної в коло, дорівнює d. Бічну сторону видно із центра описаного кола під кутом 120°. Знайдіть середню лінію трапеції.

354.•• Бічні сторони та менша основа рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см, а один з її кутів дорівнює 60°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо даної трапеції.

355.•• З довільної точки M катета AC прямокутного трикутника ABC опущено перпендикуляр MK на гіпотенузу AB. Доведіть, що ∠MKC = ∠MBC.

••

356. З довільної точки O, яка належить гострому куту A, але не належить його сторонам, опущено перпендикуляри OB і OC на його сторони. Доведіть, що ∠OAB = ∠OCB.

357.* Бісектриси BK і CM трикутника ABC перетинаються в точці O, ∠A = 60°. Знайдіть кут CMK.

358.* Бісектриси MA і KB трикутника MNK перетинаються в точці O, точки A, N, B і O лежать на одному колі. Знайдіть кут N.

10. Описане та вписане кола чотирикутника

C 359.* Поза прямокутним трикутником ABC на його гіпотенузі AB побудовано квадрат ABFD. A Доведіть, що ∠ACO = ∠OCB, де O — точка перетину діагоналей квадрата. 360.* Вершини A і B трикутника ABC із прямим P B кутом C ковзають по сторонах прямого кута з вершиною P (рис. 110). Доведіть, що точРис. 110 ка C при цьому переміщується по відрізку. 361.* З довільної точки M, яка належить куту з вершиною A, але не належить його сторонам, проведено перпендикуляри MP і MQ до сторін кута. Із точки A проведено перпендикуляр AK до відрізка PQ. Доведіть, що ∠PAK = ∠MAQ. 362.* У гострокутному трикутнику ABC відрізки CC1 і AA1 — висоти. Доведіть, що серединний перпендикуляр відрізка C1A1 проходить через середину сторони AC. 363.* На бічних сторонах трапеції, у яку можна вписати коло, як на діаметрах побудовано два кола. Доведіть, що ці кола мають одну спільну точку.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 364. Через середину діагоналі AC паралелограма ABCD проведено пряму, яка перетинає сторони BC і AD. Ця пряма перетинає прямі AB і CD у точках M і K відповідно. Визначте вид чотирикутника AMCK. 365. У трикутнику ABC відрізок AD — бісектриса. Через точку D проведено пряму, яка паралельна стороні AC і перетинає сторону AB у точці E. Через точку E проведено пряму, яка паралельна стороні BC і перетинає сторону AC у точці F. Доведіть, що AE = CF. 366. Висота BM ромба ABCD, опущена з вершини тупого кута на сторону AD, перетинає діагональ AC у точці K, ∠BKC = 64°. Знайдіть кут ABC.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

367. Чи можна квадрат розрізати на тисячокутник і 199 п’ятикутників?

§ 1. Чотирикутники

ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

1. Яким із наведених способів можна позначити чотирикутник, зображений на рисунку 111? А) MPQN; В) NPMQ; Г) QNPM. Б) QMNP;

Q 2. Які кути може мати чотирикутник? Рис. 111 А) Чотири тупих кути; Б) чотири гострих кути; В) два тупих і два прямих кути; Г) два прямих кути, один гострий кут і один тупий кут.

3. У чотирикутнику кожна сторона дорівнює одній і тій самій його діагоналі. Чому дорівнюють кути чотирикутника? А) 60°, 60°, 120°, 120°; Б) 60°, 120°, 90°, 90°; В) 90°, 90°, 90°, 90°; Г) 150°, 30°, 150°, 30°.

4. Бісектриса кута паралелограма ділить його сторону навпіл. Чому дорівнюють сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 30 см? А) 5 см, 10 см; В) 7 см, 8 см; Б) 6 см, 4 см; Г) 3 см, 12 см.

5. Чотирикутник є паралелограмом, якщо: А) у нього є дві пари рівних сторін; Б) у нього є дві пари рівних кутів; В) кожна діагональ ділить його на два рівних трикутники; Г) у нього три сторони рівні.

6. Яке з даних тверджень неправильне? А) Чотирикутник, який одночасно є і ромбом, і прямокутником, — квадрат; Б) паралелограм, у якого діагоналі рівні й перпендикулярні, — квадрат; В) паралелограм, у якого всі кути прямі й діагоналі рівні, — квадрат; Г) ромб, у якого діагоналі рівні, — квадрат.

Головне в параграфі 1

7. У трикутнику ABC точки M і N належать відповідно сторонам AB і BC. Відрізок MN є середньою лінією, якщо: А) MN || AC;

1 AC; 2 1 В) MN = AC, ∠BNM = ∠BAC; 2 1 Г) MN = AC, ∠BNM = ∠BCA. 2

Б) MN =

8. Яку з даних властивостей не може мати трапеція? А) Протилежні кути рівні; Б) діагоналі рівні та перпендикулярні; В) один із кутів при більшій основі більший за один із кутів при меншій основі; Г) середня лінія трапеції дорівнює її висоті.

9. Вписані кути одного кола рівні, якщо вони: А) спираються на одну хорду; Б) мають спільну вершину; В) спираються на одну дугу; Г) мають спільну сторону.

10. Навколо чотирикутника CDEF описано коло, ∠CDF = 80°, ∠DEC = 30°. Чому дорівнює кут DCF? А) 50°; В) 70°; Б) 110°; Г) 90°.

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 1

Сума кутів чотирикутника Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Паралелограм Паралелограмом називають чотирикутник, у якого кожні дві протилежні сторони паралельні.

Властивості паралелограма • Протилежні сторони паралелограма рівні. • Протилежні кути паралелограма рівні. • Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. •

•

§ 1. Чотирикутники

Висота паралелограма Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений з будь-якої точки прямої, яка містить сторону паралелограма, на пряму, що містить протилежну сторону.

Ознаки паралелограма • Якщо в чотирикутнику кожні дві протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. • Якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні та паралельні, то цей чотирикутник — паралелограм. • Якщо в чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм. •

•

Прямокутник Прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі.

Особлива властивість прямокутника Діагоналі прямокутника рівні. Ознаки прямокутника • Якщо один із кутів паралелограма прямий, то цей паралелограм — прямокутник. • Якщо діагоналі паралелограма рівні, то цей паралелограм — прямокутник. •

•

Ромб Ромбом називають паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Особлива властивість ромба Діагоналі ромба перпендикулярні та є бісектрисами його кутів.

Ознаки ромба • Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, то цей паралелограм — ромб. • Якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його кута, то цей паралелограм — ромб. •

•

Квадрат Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Середня лінія трикутника Середньою лінією трикутника називають відрізок, який сполучає середини двох його сторін.

Головне в параграфі 1

Властивість середньої лінії трикутника Середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох його сторін, паралельна третій стороні та дорівнює її половині. Трапеція Трапецією називають чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.

Висота трапеції Висотою трапеції називають перпендикуляр, опущений з будьякої точки прямої, яка містить одну з основ, на пряму, що містить другу основу.

Середня лінія трапеції Середньою лінією трапеції називають відрізок, який сполучає середини її бічних сторін. Властивість середньої лінії трапеції Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює половині їхньої суми.

Центральний кут кола Центральним кутом кола називають кут з вершиною в центрі кола.

Вписаний кут кола Вписаним кутом кола називають кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинають коло.

Градусна міра вписаного кута кола Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається. Властивості вписаних кутів • Вписані кути, які спираються на одну й ту саму дугу, рівні. • Вписаний кут, який спирається на діаметр (півколо), — прямий. •

•

Коло, описане навколо чотирикутника Коло називають описаним навколо чотирикутника, якщо воно проходить через усі його вершини. Властивість чотирикутника, вписаного в коло Якщо чотирикутник є вписаним у коло, то сума його протилежних кутів дорівнює 180°.

§ 1. Чотирикутники

Ознака чотирикутника, навколо якого можна описати коло Якщо в чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180°, то навколо нього можна описати коло.

Коло, вписане в чотирикутник Коло називають вписаним у чотирикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін.

Властивість кола, описаного навколо чотирикутника Якщо чотирикутник є описаним навколо кола, то суми його протилежних сторін рівні.

Ознака чотирикутника, у який можна вписати коло Якщо в опуклому чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати коло.

ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ Опанувавши матеріал цього параграфа, ви дізнаєтеся про властивості відрізків, які паралельні прямі відтинають на сторонах кута. Ви навчитеся серед трикутників знаходити такі, що мають однакову форму, але різні розміри. Ознайомитеся з властивістю хорд, які перетинаються, і властивістю дотичної і січної, проведених до кола через одну точку. ��

��

Дізнаєтеся, які трикутники називають поді�ними, і навчитеся засто�� совувати їхні властивості.

§ 2. Подібність трикутників

11. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки Т е о р е м а 11.1 (те о р е м а Ф а л е с а). Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій його стороні. Д о в е д е н н я. Нехай маємо кут AOB (рис. 112). Відомо, що OA1 = A1 A2 = A2 A3 = A3 A4 = ..., A1B1 || A2 B2 , A2 B2 || A3 B3, A3 B3 || A4 B4, ... . Доведемо, що OB1 = B1B2 = B2 B3 = B3 B4 = ... . Припустимо, що OB1 ≠ B1B2. Нехай O серединою відрізка OB2 є деяка точка C1. B1 Тоді відрізок A1C1 — середня лінія триA1 кутника A2OB2 . Звідси A1C1 || A2 B2. Отже, C1 B 2 через точку A1 проходять дві прямі, A2 паралельні прямій A2 B2, що супереC2 B3 чить аксіомі паралельності прямих. Ми A3 отримали суперечність. Таким чином, B4 OB1 = B1B2 . Припустимо, що B1B2 ≠ B2 B3. Нехай B A4 серединою відрізка B1B3 є деяка точка C2. A Тоді відрізок A2C2 — середня лінія траРис. 112 пеції A3 A1B1B3. Звідси A2C2 || A3 B3. Таким чином, через точку A2 проходять дві прямі, паралельні прямій A3 B3. Ми отримали суперечність. Отже, B1B2 = B2 B3. Аналогічно доводимо, що B2 B3 = B3 B4 і т. д.  О з н а ч е н н я. В і д н о ш е н н я м д в о х в і д р і з к і в називають відношення їхніх довжин, виражених в одних і тих самих одиницях виміру. Якщо, наприклад, AB = 8 см, CD = 6 см, то відношення відріз

8 AB 8 AB 4 ка AB до відрізка CD дорівнює . Записують: = , тобто = . 6 CD 6 CD 3

Фале́с Мілетський (бл. 625 — бл. 547 до н. е.)

Давньогрецький філософ, учений, купець і державний діяч. Походив з Мілета — порту в Малій Азії на узбережжі Егейського моря.

11. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки

Якщо

AB CD = , то говорять, що відрізки A1B1 C1D1

AB і CD пропорційні відповідно відрізкам A1B1 і C1D1. Аналогічно можна говорити про пропорційність більшої кількості відрізків. Наприклад,

якщо

AB CD MN = = , то говорять, що відрізA1B1 C1D1 M1N1

B N M

ки AB, CD, MN пропорційні відповідно відрізРис. 113 кам A1B1, C1D1, M1N1. Т е о р е м а 11.2 (те о р е м а п р о п р о п о р ц і й н і в і д р і з к и). Якщо паралельні прямі перетинають сторони кута, то відрізки, що утворилися на одній стороні кута, пропорційні відповідним відрізкам, що утворилися на другій стороні кута. Доведення цієї теореми виходить за рамки шкільного курсу геометрії. Ми наведемо доведення для окремого випадку. Нехай сторони кута MON перетнуто паралельними прямими AA1 і BB1 (рис. 113). Доведемо, що:

OA AB OA OB OB AB = ; 2) = ; 3) = . OA1 A1B1 OA1 OB1 OB1 A1B1

Доведемо першу з наведених рівностей (інші дві доводять аналогічно). Нехай для відрізків OA і AB існує такий відрізок завдовжки l, який укладається ціле число разів у кожному з них. Маємо: OA = ml, AB = nl, де m і n — деякі натуральні числа. Тоді відрізки OA і AB можна поділити відповідно на m і n рівних відрізків, кожний з яких дорівнює l. Через кінці отриманих відрізків проведемо прямі, паралельні прямій BB1 (рис. 114). За теоремою Фалеса ці прямі ділять відрізки OA1 і A1B1 відповідно на m і n рівних відрізків. Нехай кожний із цих відрізків дорівнює l1. Звідси OA1 = ml1, O A1B1 = nl1.

OA1 ml1 m OA ml m = = , = = . ЗвідAB nl n A1B1 nl1 n OA1 OA OA AB си = . Тоді = . AB A1B1 OA1 A1B1

Маємо:

A1 A

Чому ж наведені міркування не можна вважати повним доведенням теореми? Річ у тім, що не для будь-яких двох відрізків існує відрізок, що вміщається в кожному з них ціле число разів. Зокрема, для відрізків OA і AB

Рис. 114

§ 2. Подібність трикутників

такий відрізок може й не існувати. Доведення для цього випадку виходить за межі розглядуваного курсу. 

Якщо рисунок 113 доповнити прямою CC1, паралельною прямій BB1 (рис. 115), то, міркуючи

аналогічно, отримаємо, наприклад, що

AB BC = . A1B1 B1C1

Теорема 11.2 залишається справедливою, якщо замість сторін кута взяти дві будь-які прямі.

Рис. 115

Т е о р е м а 11.3. Усі три медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини трикутника.

Д о в е д е н н я. На рисунку 116 медіани AA1 і BB1 трикутника ABC перетинаються в точці M. Доведемо, що медіана CC1 також

проходить через точку M і

BM AM CM 2 = = = . MB1 MA1 MC1 1

Проведемо B1K || AA1. Оскільки AB1 = B1C, то за теоремою Фалеса A1K = KC, тобто

A1C 2 = . A1K 1

Оскільки BA1 = A1C, то

За теоремою про пропорційні відрізки

BA1 2 BM = = . MB1 A1K 1

BA1 2 = . A1K 1

Таким чином, медіана AA1, перетинаючи медіану BB1, ділить її у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини B. Аналогічно можна довести (зробіть це самостійно), що медіана СС1 також ділить медіану BB1 у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини B (рис. 117). А це означає, що всі три медіани трикутника ABC проходять через одну точку. Ми довели, що ця точка ділить медіану BB1 у відношенні 2 : 1. Аналогічно можна довести, що ця точка ділить у відношенні 2 : 1 також медіани AA1 і CC1. 

M A

K B1

Рис. 116

M B1 Рис. 117

11. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки

На рисунку 118 зображено трикутник ABC. Точка D належить стороні AC. У цьому разі говорять, що сторони AB і BC прилягають відповідно до відрізків AD і DC.

Т е о р е м а 11.4 (вл а с т и в і с т ь б і с е к т р и с и т р и к у т н и к а). Бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, пропорційні прилеглим до них сторонам. Д о в е д е н н я.

Рис. 118

На рисунку 119 відрізок BD — бісектриса три

AD DC кутника ABC. Доведемо, що = . AB BC

Через точку C проведемо пряму, паралельну прямій BD. Нехай проведена пряма перетинає пряму AB у точці E. Кути 1 і 2 рівні як різносторонні при паралельних прямих BD і CE та січній BC; кути 3 і 4 рівні як відповідні при паралельних прямих BD і CE та січній AE. Оскільки BD — бісектриса трикутника ABC, то ∠4 = ∠1. Звідси ∠2 = ∠3. Тоді трикутник CBE рівнобедрений з рівними

сторонами BC і BE. За теоремою про пропорційні відрізки

Оскільки BE = BC, то

AD DC = . AB BC

AD DC = . AB BE

З а д а ч а. Поділіть даний відрізок на три рівних відрізки. Р о з в ’ я з а н н я. Через кінець A даного відрізка AB проведемо промінь AC, який не належить прямій AB (рис. 120). Позначимо на промені AC довільну точку A1. Потім позначимо точки A2 і A3 так, щоб AA1 = A1 A2 = A2 A3. Проведемо відрізок A3 B. Через точки А1 і A2 проведемо прямі, паралельні прямій A3 B. Вони перетинатимуть відрізок AB у точках B1 і B2 відповідно. За теоремою Фалеса AB1 = B1B2 = B2 B. 

E 3

B 4

A2 A1

1 2

D Рис. 119

Рис. 120

§ 2. Подібність трикутників

1. Сформулюйте теорему Фалеса. 2. Що називають відношенням двох відрізків? 3. У якому випадку говорять, що відрізки AB і CD пропорційні відрізкам A1B1 і C1D1? 4. Сформулюйте теорему про пропорційні відрізки. 5. Сформулюйте теорему про перетин медіан трикутника. 6. Сформулюйте властивість бісектриси трикутника.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

368.° Накресліть довільний відрізок і поділіть його на п’ять рівних частин. 369.° Накресліть довільний відрізок і поділіть його на сім рівних частин. 370.° Накресліть довільний відрізок AB і побудуйте на ньому точку C таку, що AC : CB = 2 : 7. 371.° Накресліть довільний відрізок CD і побудуйте на ньому точку E таку, що CE : ED = 1 : 5.

ВПРАВИ 372.° На рисунку 121 OA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4, A1B1 || A2B2 || A3B3 || A4B4, OB1 = 3 см. Знайдіть відрізки B1B2, OB3, B1B4. 373.° На рисунку 122 AB = BC, EF = 5 см. Знайдіть відрізок ED. 374.° Знайдіть відношення відрізків AB і CD, якщо їхні довжини відповідно дорівнюють 12 см і 18 см. Чи зміниться це відношення, якщо довжини даних відрізків виразити в дециметрах? у міліметрах?

C B A

A1 O

B1 B2 B3 Рис. 121

Рис. 122

11. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки

16 A

Рис. 123

Рис. 124

375.° Чи пропорційні відрізки AB і CD відповідно відрізкам EF і MK, якщо: 1) AB = 16 см, CD = 6 см, EF = 24 см, MK = 9 см; 2) AB = 8 см, CD = 20 см, EF = 10 см, MK = 35 см? 376.° Серед відрізків AB, CD, EF, MK, PS виберіть чотири відрізки так, щоб два з них були пропорційними двом іншим відрізкам, якщо AB = 3 см, CD = 16 см, EF = 18 см, MK = 36 см, PS = 6 см. 377.° На рисунку 123 BD || CE, AB = 16 см, BC = 6 см, AD = 8 см. Знайдіть відрізок DE. 378.° На рисунку 124 A1B1 || A2B2 || A3B3, A1A2 = 9 см, A2A3 = 15 см, B1B2 = 6 см. Знайдіть відрізок B2B3. 379.° На рисунку 125 DE || AC, BE = 10 см, відрізок BD у два рази більший за відрізок AD. Знайдіть відрізок BC. 380.° Пряма, паралельна стороні BC трикутника ABC, перетинає його сторону AB у точці M, а сторону AC — у точці K, AM = 9 см, BM = 6 см, KC = 8 см. Знайдіть відрізок AK. 381.° Доведіть, що середня лінія трикутника ABC, паралельна стороні AC, ділить навпіл будь-який відрізок, який сполучає вершину B з довільною точкою сторони AC. 382.° Відстань від точки перетину діагоналей прямокутника до його більшої сторони дорівнює 7 см. Знайдіть довжину меншої сторони прямокутника. 383.° Висота рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. На якій відстані від сторін трикутника розташована точка перетину його бісектрис? B 384.° Медіана CD трикутника ABC дорівнює 9 см. Знайдіть відрізки CO і OD, де O — D E точка перетину медіан трикутника ABC. 385.° Відрізок BD є бісектрисою трикутника A C ABC, AB = 40 см, AD = 30 см, CD = 12 см. Знайдіть сторону BC. Рис. 125

§ 2. Подібність трикутників

386.° Відрізок AM — бісектриса трикутника ABC, AB = 48 см, AC = 32 см, BM = 18 см. Знайдіть сторону BC. 387.• Кінці відрізка, який не перетинає дану пряму, віддалені від цієї прямої на 8 см і 14 см. Знайдіть відстань від середини цього відрізка до даної прямої. 388.• Відстань від середини хорди BC до діаметра AC дорівнює 3 см, ∠BAC = 30°. Знайдіть хорду AB. • 389. Відрізок BM — висота ромба ABCD, проведена до сторони AD, ∠A = 45°, AM = 8 см. Знайдіть відстань від точки перетину діагоналей ромба до сторони AD. 390.• У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, AC = 8 см, AD — медіана, BE — висота, BE = 12 см. Із точки D опущено перпендикуляр DF на сторону AC. Знайдіть відрізок DF і кут ADF. 391.• Сторона AC трикутника ABC дорівнює 24 см. Сторону AB поділили на чотири рівних відрізки та через точки поділу провели прямі, паралельні стороні AC. Знайдіть відрізки цих прямих, які належать трикутнику. • 392. Основи трапеції дорівнюють 16 см і 28 см. Одну з бічних сторін поділили на три рівних відрізки та через точки поділу провели прямі, паралельні основам. Знайдіть відрізки цих прямих, які належать трапеції. • 393. Сторону DE трикутника DEF поділили на три рівних відрізки та через точки поділу провели прямі, паралельні стороні DF. Знайдіть відрізки цих прямих, які належать трикутнику DEF, якщо DF = 15 см. 394.• Доведіть, що середня лінія трапеції ділить її діагоналі навпіл. • 395. Середня лінія MK трапеції ABCD перетинає діагональ AC у точці E, ME = 4 см, EK = 6 см. Знайдіть основи трапеції. • 396. Діагоналі трапеції перетинають її середню лінію MK у точках E і F. Доведіть, що ME = KF. 397.• Основи трапеції дорівнюють 12 см E F і 22 см. Знайдіть відрізки, на які M K діагоналі трапеції ділять її середню лінію. • 398. На рисунку 126 AE || BF || CM || DK, D AB = 25 см, BC = 20 см, CD = 35 см, C B A EK = 48 см. Знайдіть відрізки EF, FM і MK. Рис. 126

11. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки

399.• Через точку D, позначену на стороні AC трикутника ABC, проведено пряму, яка паралельна стороні AB і перетинає сторону BC у точці E. Знайдіть відрізок BE, якщо AD : DC = 5 : 7, BC = 36 см. 400.• Точки M і K — середини сторін AB і AD паралелограма ABCD відповідно. Доведіть, що точка перетину прямих BK і DM належить діагоналі AC. 401.• Доведіть, що коли дві медіани трикутника рівні, то цей трикутник рівнобедрений. 402.• У трикутнику ABC (AB = BC) проведено медіану AM і висоту BH. Знайдіть висоту BH, якщо AM = 45 см, ∠CAM = 30°. • 403. Дано відрізок AB і точку O, яка не належить прямій AB. Побудуйте трикутник, для якого відрізок AB є стороною, а точка O — точкою перетину медіан. 404.• Відрізок BD — бісектриса трикутника ABC, AB = 28 см, BC = 20 см, AC = 36 см. Знайдіть відрізки AD і CD. 405.• У трикутник ABC вписано ромб CDEF так, що кут C у них спільний, а вершини D, E і F ромба належать відповідно сторонам AC, AB і BC трикутника. Знайдіть сторони AC і BC, якщо AE = 30 см, BE = 12 см, а периметр трикутника дорівнює 105 см. 406.• Сторони трикутника дорівнюють 39 см, 65 см і 80 см. Коло, центр якого належить більшій стороні трикутника, дотикається до двох інших його сторін. На які відрізки центр цього кола ділить сторону трикутника? 407.• Точка D — середина основи AC рівнобедреного трикутника ABC. На стороні AB позначили точку M так, що AM : MB = 2 : 7. У якому відношенні пряма BD ділить відрізок CM? 408.• У рівнобедреному трикутнику DEF провели висоту EC до його основи та на бічній стороні EF позначили точку A. Відрізки EC і DA перетинаються в точці O, причому AO : OD = 3 : 8. Знайдіть відношення EA : AF. • 409. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, дорівнює 42 см, а основа відноситься до бічної сторони як 6 : 11. Знайдіть радіус кола, вписаного в даний трикутник. 410.• Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 60 см, а центр вписаного кола ділить медіану, проведену до основи, у відношенні 12 : 5. Знайдіть основу трикутника. 411.•• На стороні BC трикутника ABC позначено точку M так, що BM : MC = 3 : 10. У якому відношенні відрізок AM ділить медіану BK трикутника ABC?

§ 2. Подібність трикутників

412.•• На стороні AB трикутника ABC позначено точку M так, що AM : MB = 4 : 3. У якому відношенні медіана BK: 1) ділить відрізок CM; 2) ділиться відрізком CM? 413.•• Доведіть, що відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний її основам і дорівнює половині їхньої різниці. 414.•• Дано відрізки a, b, c. Побудуйте відрізок x такий, що a : x = = b : c. 415.•• Через точку O, яка належить даному куту, проведіть відрізок, кінці якого належать сторонам даного кута та який ділиться точкою O: 1) навпіл; 2) у відношенні 2 : 3. 416.•• Побудуйте трикутник: 1) за стороною та кутами, які ця сторона утворює з медіанами, проведеними до двох інших сторін; 2) за двома медіанами та кутом між ними; 3) за висотою та медіаною, проведеними до однієї сторони, і кутом між цією стороною та медіаною, проведеною до іншої сторони; 4) за трьома медіанами. 417.•• Побудуйте трикутник: 1) за стороною та медіанами, проведеними до двох інших сторін; 2) за висотою, проведеною до однієї зі сторін, і меA діанами, проведеними до двох інших сторін. C1 418.•• На сторонах кута A позначено точки B1, B2,

AB1 AC1 C1, C2 так, що = (рис. 127). Доведіть, B1B2 C1C2

що B1C1 || B2C2. 419.* Бісектриса зовнішнього кута при вершині B трикутника ABC перетинає промінь AC у точці D. Доведіть, що AB : BC = AD : CD.

Рис. 127

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 420. Сторона квадрата ABCD дорівнює a. На дузі AC кола із центром B, радіус якого дорівнює a, позначено точку E таку, що ∠BEC = 75°. Знайдіть відрізок AE. 421. Діагональ трапеції перпендикулярна до її основ, тупий кут, прилеглий до більшої основи, дорівнює 120°, бічна сторона, прилегла до цього кута, — 12 см, а більша основа — 16 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

12. Подібні трикутники

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

422. Рівносторонній трикутник покрито п’ятьма меншими рівними між собою рівносторонніми трикутниками. Доведіть, що для покриття досить і чотирьох таких трикутників.

12. Подібні трикутники На рисунку 128 ви бачите зменшене зображення обкладинки підручника з геометрії. Узагалі, у повсякденному житті ви часто стикаєтеся з об’єктами, які мають однакову форму, але різні розміри (рис. 129).

��

Рис. 128

Рис. 129

Геометричні фігури, які мають однакову форму, називають подібними. Наприклад, подібними є будь-які два кола, два квадрати, два рівносторонніх трикутники (рис. 130). На рисунку 131 зображено трикутники ABC і A1B1C1, у яких рівні кути: A A1, B B1, C C1. Сторони AB і A1B1 лежать проти рівних кутів C і C1. Такі сторони називають відповідними. Відповідними також є сторони BC і B1C1, CA і C1 A1.

B1 A1

Рис. 130

C1 Рис. 131

§ 2. Подібність трикутників

О з н а ч е н н я. Два трикутники називають п о д і б н и м и, якщо їхні кути відповідно рівні та сторони одного трикутника пропорційні відповідним сторонам другого трикутника. Наприклад, на рисунку 132 зображено трикутники ABC і A1B1C1,

AB BC CA у яких A A1, B B1, C C1 і = = = 2. За ознаA1B1 B1C1 C1 A1

ченням ці трикутники подібні. Пишуть: DABC " DA1B1C1 (читають: «трикутник ABC подібний трикутнику A1B1C1»). Число 2, якому дорівнює відношення відповідних сторін, називають коефіцієнтом подібності. Говорять, що трикутник ABC подібний трикутнику A1B1C1 із коефіцієнтом подібності, який до

��

рівнює 2. Пишуть: DABC " DA1B1C1. Оскільки

A1B1 B1C1 C1 A1 1 = = = , то можна також сказати, що AB BC CA 2

трикутник A1B1C1 подібний трикутнику ABC із коефіцієнтом подіб 1

ності

1 . Пишуть: DA1B1C1 " DABC. 2 2

З означення рівних трикутників випливає, що будь-які два рівних трикутники подібні з коефіцієнтом подібності, який дорівнює 1. Якщо DABC " DA1B1C1 і DA1B1C1 " DA2B2C2, то DABC " DA2B2C2. Доведіть цю властивість самостійно. Л е м а 1 п р о п о д і б н і т р и к у т н и к и. Пряма, яка паралельна стороні трикутника та перетинає дві інших його сторони, відтинає від даного трикутника йому подібний. Д о в е д е н н я. На рисунку 133 зображено трикутник ABC, відрізок A1C1 паралельний стороні AC. Доведемо, що DA1BC1 " DABC. Кути A і A1, C і C1 рівні як відповідні при паралельних прямих A1C1 і AC та січних AB і CB відповідно. Отже, кути трикутників, що розглядаються, відповідно рівні.

B B1

A1 A

C Рис. 132

C1 C2

Рис. 133

Лемою називають допоміжну теорему, яку використовують для доведення інших теорем. 1

12. Подібні трикутники

Покажемо, що сторони BA і BC пропорційні відповідно сторонам BA1 і BC1. Із теореми про пропорційні відрізки (теорема 11.2) випливає,

що

BA BA1 BA BC = . Звідси = . BC BC1 BA1 BC1

BC AC = . За означенням чо BC1 AC2

Проведемо C1C2 || AB. Отримуємо:

тирикутник AA1C1C2 — паралелограм. Тоді AC2 = A1C1. Звідси

BC AC = . BC1 A1C1

Таким чином, ми довели, що

BA BC AC = = . BA1 BC1 A1C1

Отже, у трикутниках A1BC1 і ABC кути відповідно рівні та від повідні сторони пропорційні. Тому за означенням ці трикутники подібні.  З а д а ч а. Доведіть, що відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності. Р о з в’я з а н н я. Нехай трикутник A1B1C1 подібний трикутни

ку ABC із коефіцієнтом подібності k. Тоді

A1B1 B1C1 A1C1 = = = k, AB BC AC

звідки A1B1 = kæAB, B1C1 = kæBC, A1C1 = kæAC. Позначимо буквою P1 периметр трикутника A1B1C1, буквою P — периметр трикутника ABC. Маємо: P1 = A1B1 + B1C1 + A1C1 = kæAB + kæBC + kæAC = k (AB + BC +

+ AC) = kP, тобто

P1 = k.  P

1. Які два трикутники називають подібними? 2. Як знайти коефіцієнт подібності двох подібних трикутників? 3. Сформулюйте лему про подібні трикутники.

ВПРАВИ 423.° На рисунку 134 зображено подіб ні трикутники ABC і DEF, рівні кути яких позначено однаковою кількістю дужок. Які сторони цих трикутників пропорційні? Запи шіть відповідні рівності.

D B

C F A Рис. 134

§ 2. Подібність трикутників

424.° Чи подібні трикутники ABC і MNK, якщо ∠A = 40°, ∠B = 82°, ∠M = 40°, ∠K = 58°, AB = 2,4 см, BC = 2,1 см, AC = 3,9 см, MN = 3,2 см, NK = 2,8 см, MK = 5,2 см?

0,3

425.° Відомо, що DDEF " DMCP, причому стороні DE відповідає сторона MC, стороні DF — сторона MP, MC = 12 см, MP = = 8 см, EF = 4,5 см. Знайдіть невідомі сторони даних трикутників. 426.° Відомо, що DABC " DA1B1C1, причому ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 10 см, A1B1 = 9 см. Знайдіть сторони B1C1 і A1C1. 427.° Знайдіть кути трикутника A1B1C1, якщо DABC " DA1B1C1, причому стороні AB відповідає сторона A1B1, стороні BC — сторона B1C1, ∠A = 25°, ∠B = 70°. 428.° Сторони MK і DE, KT і EF — відповідні сторони подібних трикутників MKT і DEF, MK = 18 см, KT = 16 см, MT = 28 см, MK : DE = 4 : 5. Знайдіть сторони трикутника DEF. 429.° На рисунку 135 AB || CD. Знайдіть на цьоB му рисунку подібні трикутники. Запишіть пропорції, які починаються з відношення: D

AE CD AB 1) ; 2) ; 3) . CE AB AE

430.° Пряма, паралельна стороні AC трикутника ABC, перетинає сторону AB у точці D, Рис. 135 а сторону BC — у точці E. Знайдіть: 1) відрізок BD, якщо AB = 16 см, AC = 20 см, DE = 15 см; 2) відрізок AD, якщо AB = 28 см, BC = 63 см, BE = 27 см. 431.° У трикутнику ABC відомо, що AB = 6 см. Через точку M сторони AB проведено пряму, яка паралельна стороні BC і перетинає сторону AC у точці K. Знайдіть невідомі сторони трикутника ABC, якщо AM = 4 см, MK = 8 см, AK = 9 см. 432.° Знайдіть висоту вежі (рис. 136), якщо відстані від спостерігача до жердини та до вежі відповідно дорівнюють 1,5 м і 39 м, висота жердини — 3 м, а зріст спостерігача — 1,8 м.

Рис. 136

12. Подібні трикутники

433.° Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються в точці E. Знайдіть відрізок CE, якщо DE = 40 см, BC : AD = 4 : 5. 434.° Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються в точці M. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо більша основа AD дорівнює 42 см, AB = 9 см, BM = 54 см. 435.° Користуючись означенням подібних трикутників, доведіть, що будь-які два рівносторонніх трикутники подібні. 436.• Точки M і K — середини сторін CD і AD квадрата ABCD відповідно. Користуючись означенням подібних трикутників, доведіть, що DMDK " DBCD. 437.• Сторони трикутника відносяться як 5 : 4 : 7. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, у якого: 1) периметр дорівнює 64 см; 2) менша сторона дорівнює 24 см. 438.• Сторони даного трикутника дорівнюють 15 см, 25 см і 35 см. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, у якого: 1) периметр дорівнює 45 см; 2) різниця найбільшої і найменшої сторін становить 16 см. 439.• На рисунку 137 зображено трикутник ABC і вписаний у нього ромб BDEK. Знайдіть сторону ромба, якщо AB = 10 см, BC = 15 см.

Рис. 137

Рис. 138

440.• На рисунку 138 зображено прямокутний трикутник ABC (∠B = 90°) і вписаний у нього квадрат BMKN. Знайдіть відрізок CN, якщо BM = 6 см, AB = 10 см. 441.• Два кола із центрами O1 і O2 та радіусами 8 см і 12 см відповідно мають тільки одну спільну точку A (точка А лежить між точками O1 і O2). Їхня спільна зовнішня дотична перетинає пряму O1O2 у точці B. Знайдіть відстані від точки B до центрів даних кіл. 442.•• Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 48 см. Через середину висоти трикутника, опущеної на його основу, проведено пряму, паралельну бічній стороні. Знайдіть периметр трикутника, який ця пряма відтинає від даного.

§ 2. Подібність трикутників

443.•• У рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 12 см, а бічна сторона — 18 см, вписано коло. Знайдіть відстань між точками дотику цього кола до бічних сторін трикутника. * 444. У трикутнику ABC відомо, що AB = 8 см, BC = 12 см, ∠ABC = 120°, BD — бісектриса. Знайдіть відрізок BD.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 445. Сторона BC паралелограма ABCD у 2 раM зи більша за сторону AB. Бісектриси кутів A і B паралелограма перетинають B C пряму CD у точках M і K відповідно (рис. 139). Знайдіть сторони паралелоA D грама, якщо MK = 18 см. 446. Діагоналі прямокутника ABCD переK тинаються в точці O, кут AOD на 60° більший за кут AOB, AC = 24 см. Знай Рис. 139 діть периметр трикутника COD. 447. Коло, центр якого належить стороні AB трикутника ABC, проходить через точку B, дотикається до сторони AC у точці C і перетинає сторону AB у точці D, причому AD : BD = 1 : 2. Знайдіть кути: 1) трикутника ABC; 2) трикутника BCD.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

448. На площині позначили 25 точок так, що серед будь-яких трьох із них знайдуться дві точки, відстань між якими менша від одиниці. Доведіть, що існує коло одиничного радіуса, яке містить не менше ніж 13 даних точок.

13. Перша ознака подібності трикутників Якщо для трикутників ABC і A1B1C1 виконуються умови ∠A =

AB BC CA = ∠A1, B B1, C C1, = = , то за означенням ці A1B1 B1C1 C1 A1

трикутники подібні.

13. Перша ознака подібності трикутників

Чи можна за меншою кількістю умов визначати подібність трикутників? На це запитання відповідають ознаки подібності трикутників. Т е о р е м а 13.1 (пе р ш а о з н а к а п о д і б н о с т і т р и к у т н и к і в: з а д в о м а к у т а м и). Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні. Д о в е д е н н я. Розглянемо трикутники ABC і A1B1C1, у яких A A1, B B1. Доведемо, що DABC " DA1B1C1. Якщо AB = A1B1, то трикутники ABC і A1B1C1 рівні за другою ознакою рівності трикутників, а отже, ці трикутники подібні. Нехай, наприклад, AB > A1B1. Відкладемо на стороні BA відрізок BA2, який дорівнює стороні B1 A1. Через точку A2 проведемо пряму A2C2, паралельну стороні AC (рис. 140). Кути A і BA2C2 є відповідними при паралельних прямих A2C2 і AC та січній AA2. Звідси ∠A = ∠BA2C2. Але A A1. Отримуємо, що ∠A1 = ∠BA2C2. Таким чином, трикутники A2BC2 і A1B1C1 рівні за другою ознакою рівності трикутників. За лемою про подібні трикутники DA2BC2 " DABC. Отже, DABC " DA1B1C1. 

З а д а ч а 1. Середня лінія трапеції ABCD (BC || AD) дорівнює 24 см, а її діагоналі перетинаються в точці O. Знайдіть основи трапеції, якщо AO : OC = 5 : 3. Р о з в’я з а н н я. Розглянемо трикутники AOD і COB (рис. 141). Кути AOD і BOC рівні як вертикальні, кути CAD і ACB рівні як різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній AC. Отже, трикутники AOD і COB подібні за двома кутами.

Тоді

AD AO 5 = = . BC CO 3

B A2 A

C B1 A A1

C1 Рис. 140

Рис. 141

§ 2. Подібність трикутників

Нехай BC = 3x см, тоді AD = 5x см. Оскільки середня лінія трапеції дорівнює 24 см, то BC + AD = = 48 см. Маємо: 3x + 5x = 48. Звідси x = 6. Отже, BC = 18 см, AD = 30 см. В і д п о в і д ь: 18 см, 30 см. 

Задача 2 (в л а с т и в і с т ь х о р д, я к і п е р е т и н а ю т ь с я). Доведіть, що коли хорди AB і CD кола перетинаються в точці M, то AMæMB = DMæMC (рис. 142).

B C 3

M 4

M 2

Рис. 142

Рис. 143

Розв’язання. Розглянемо трикутники ACM і DBM. Кути 3 і 4 рівні як вертикальні, кути 1 і 2 рівні як вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу. Отже, трикутники ACM і DBM по

AM MC дібні за першою ознакою подібності трикутників. Тоді = . DM MB

Звідси AMæMB = DMæMC. 

З а д а ч а 3 (вл а с т и в і с т ь д о т и ч н о ї т а с і ч н о ї). Доведіть, що коли через точку A до кола проведено дотичну AM (M — точка дотику) і пряму (січну), яка перетинає коло в точках B і C (рис. 143), то AM 2 = ACæ AB. Р о з в’я з а н н я. Розглянемо трикутники AMB і ACM. У них кут A спільний. За властивістю кута між дотичною та хордою (див. клю

1 2

чову задачу 1 п. 9) AMB MB. Кут MCB вписаний. Він спи

1 2

рається на дугу MB, тому MCB MB. Звідси ∠AMB = ∠MCB.

Отже, трикутники AMB і ACM подібні за першою ознакою подіб

AM AB ності трикутників. Тоді = . Звідси AM 2 = ACæ AB.  AC AM

13. Перша ознака подібності трикутників

1. Сформулюйте першу ознаку подібності трикутників. 2. Сформулюйте властивість хорд, які перетинаються. 3. Сформулюйте властивість дотичної та січної, проведених до кола через одну точку.

ВПРАВИ 449.° На рисунку 144 ∠BAC = ∠BED. Чи подібні трикутники ABC і EDB? У разі ствердної відповіді вкажіть пари відповідних сторін.

B D

F E B

Рис. 144

Рис. 145

D Рис. 146

450.° На рисунку 145 DE ^ AB, BC ^ AD. Укажіть усі пари подіб них трикутників, які зображено на цьому рисунку. 451.° На рисунку 146 ∠ABC = ∠BDC. Які трикутники на цьому рисунку подібні? Запишіть рівність відношень їхніх відпо відних сторін. 452.° Укажіть пари подібних трикутників, зображених на рисун ку 147, знайдіть довжину відрізка x (розміри дано в санти метрах).

D B 5

E x

3 C

18 C

B а

б Рис. 147

21 E

§ 2. Подібність трикутників

B C 453.° У трикутниках ABC і A1B1C1 відомо, що ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, AB = 6 см, BC = 8 см, E A1B1 = 9 см, A1C1 = 18 см. Знайдіть невідомі сторони даних трикутників. A D F 454.° На стороні CD паралелограма ABCD (рис. 148) позначено точку E, прямі BE Рис. 148 і AD перетинаються в точці F, CE = 8 см, DE = 4 см, BE = 10 см, AD = 9 см. Знайдіть відрізки EF і FD. 455.° У трапеції ABCD (BC || AD) відомо, що AD = 20 см, BC = 15 см, O — точка перетину діагоналей, AO = 16 см. Знайдіть OC. 456.° Діагоналі трапеції ABCD з основами BC і AD перетинаються в точці O. Знайдіть основу AD, якщо BO : OD = 3 : 7, BC = 18 см. 457.° Чи подібні два прямокутних трикутники, якщо серед кутів одного з них є кут, який дорівнює 38°, а серед кутів другого — кут, який дорівнює 52°? 458.° Доведіть, що два рівнобедрених трикутники подібні, якщо кути, протилежні їхнім основам, рівні. 459.° Чи можна стверджувати, що два рівнобедрених трикутники подібні, якщо в них є: 1) по рівному гострому куту; 2) по прямому куту; 3) по рівному тупому куту? 460.° Кут між бічною стороною та основою одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту між бічною стороною та основою другого рівнобедреного трикутника. Бічна сторона та основа першого трикутника дорівнюють 18 см і 10 см відповідно, а основа другого — 8 см. Знайдіть бічну сторону другого трикутника. 461.° Із вершини прямого кута трикутника опущено висоту на гіпотенузу. Скільки подібних трикутників утворилося при цьому? 462.° Сторони паралелограма дорівнюють 20 см і 14 см, висота, проведена до більшої сторони, дорівнює 7 см. Знайдіть висоту паралелограма, проведену до меншої сторони. 463.• У трапеції ABCD з основами BC і AD діагоналі перетинаються в точці O, BO = 4 см, OD = 20 см, AC = 36 см. Знайдіть відрізки AO і OC. 464.• У трапеції ABCD (BC || AD) відомо, що AD = 18 см, BC = 14 см, AC = 24 см. Знайдіть відрізки, на які точка перетину діагоналей ділить діагональ AC. 465.• Доведіть, що в подібних трикутниках бісектриси, проведені з вершин відповідних кутів, відносяться як відповідні сторони.

13. Перша ознака подібності трикутників

B 466.• Доведіть, що в подібних трикутниках висоти, проведені з вершин відповідних кутів, відносяться як відповідні сторони. Основи BC і AD трапеції ABCD дорівнюC ють відповідно 28 см і 63 см, ∠ABC = M = ∠ACD. Знайдіть діагональ AC. K A На стороні AC трикутника ABC позначили точку D таку, що ∠ABD = ∠C, Рис. 149 AB = 20 см, BC = 28 см, AC = 40 см. Знай діть невідомі сторони трикутника ABD. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 20 см, а більший катет — 16 см. Знайдіть відрізки, на які серединний перпендикуляр гіпотенузи ділить більший катет. Поясніть за допомогою рисунка 149, як можна знайти ширину BM річки, використовуючи подібність трикутників. Зображення дерева, віддаленого на 60 м від об’єктива фотоапарата, має на плівці висоту 8 мм (рис. 150). Відстань від об’єктива до зображення дорівнює 40 мм. Яка висота дерева?

467.•

468.•

469.•

470.•

471.•

8 ìì

40 ìì

60 ì Рис. 150

472.• Знайдіть висоту дерева, якщо довжина його тіні дорівнює 8,4 м, а довжина тіні від вертикального стовпа заввишки 2 м у той самий час доби дорівнює 2,4 м (рис. 151).

2ì

2,4 ì

8,4 ì Рис. 151

§ 2. Подібність трикутників

473.• Чи може пряма перетинати дві сторони рівнобедреного трикутника, відтинаючи від нього трикутник, йому подібний, і не бути паралельною третій стороні? 474.• Хорди AB і CD кола перетинаються в точці M, AM = 6 см, BM = 14 см, CM = 12 см. Знайдіть відрізок DM. 475.• Хорди MK і NP кола перетинаються в точці F, MF = 9 см, KF = 12 см, а відрізок NF у 3 рази довший за відрізок PF. Знайдіть довжину хорди NP. 476.• Точка K ділить хорду AC кола навпіл, а хорду DE — на відрізки завдовжки 2 см і 32 см. Знайдіть довжину хорди AC. 477.•• Точка E ділить хорду CD кола на відрізки завдовжки 15 см і 16 см. Знайдіть радіус кола, якщо відстань від точки E до центра кола дорівнює 4 см. 478.•• Точка P ділить хорду MK кола на два відрізки завдовжки 8 см і 12 см. Знайдіть відстань від точки P до центра кола, якщо його радіус дорівнює 11 см. 479.•• Через точку A проведено до кола дотичну AM (M — точка дотику) і січну, яка перетинає коло в точках K і P (точка K лежить між точками A і P). Знайдіть відрізок KP, якщо AM = 12 см, AP = 18 см. 480.•• Через точку A, яка лежить поза колом, проведено дві прямі, одна з яких дотикається до кола в точці B, а друга перетинає коло в точках C і D (точка C лежить між точками A і D), AB = 18 см, AC : CD = 4 : 5. Знайдіть відрізок AD. 481.•• Через точку A, що лежить поза колом C (рис. 152), проведено дві прямі, одна B з яких перетинає коло в точках B і C (точка B лежить між точками A і C), A E D а друга — у точках D і E (точка D лежить між точками A і E). Рис. 152 1) Доведіть, що ABæAC = ADæAE. 2) Знайдіть відрізок AE, якщо AB = 18 см, BC = 12 см і AD : DE = 5 : 7. 482.•• У колі, радіус якого дорівнює 8 см, проведено хорду AB. На прямій AB поза відрізком AB позначили точку C таку, що AC : BC = 1 : 4. Знайдіть відстань від точки C до центра кола, якщо AB = 9 см. 483.•• У трикутник ABC вписано квадрат так, що дві його сусідні вершини належать стороні AC, а дві інші — сторонам AB і BC відповідно. Знайдіть сторону квадрата, якщо AC = a, а висота, проведена до сторони AC, дорівнює h.

Теорема Менелая

484.•• У трикутнику ABC відомо, що BC = 72 см, AD — висота, AD = 24 см. У даний трикутник вписано прямокутник MNKP так, що вершини M і P належать стороні BC, а вершини N і K — сторонам AB і AC відповідно. Знайдіть сторони прямокутника, якщо MP : MN = 9 : 5.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 485. Знайдіть кути паралелограма, якщо кут між його висотами, проведеними з однієї вершини, дорівнює: 1) 20°; 2) 130°. 486. Два кола із центрами O1 і O2, радіуси яких рівні, перетинаються в точках A і B. Відрізок O1O2 перетинає дані кола в точках C і D. Доведіть, що чотирикутник ACBD — ромб. 487. Один із кутів прямокутної трапеції дорівнює 135°, середня лінія — 21 см, а основи відносяться як 5 : 2. Знайдіть меншу бічну сторону трапеції.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

488. Як два рівних опуклих чотирикутники розрізати на частини, з яких можна скласти паралелограм?

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ Точки, які належать одній прямій, називають колінеарними. Дві точки колінеарні завжди. У цьому оповіданні ви дізнаєтеся про одну знамениту теорему, яка слугує критерієм колінеарності трьох точок. Ця теорема носить ім’я давньогрецького математика й астронома Менелая Александрійського (І–ІІ ст. н. е.).

Т е о р е м а М е н е л а я. На сторонах AB і BC трикутника ABC позначено відповідно точки C1 і A1, а на продовженні сторони AС — точку B1. Для того щоб точки A1, B1, C1 лежали на одній прямій, необхідно і достатньо, щоб виконувалася рівність

AC1 BA1 CB1 æ æ = 1. C1 B A1C B1 A

(*)

§ 2. Подібність трикутників

M C1

P C

C б

Рис. 153

Д о в е д е н н я. Спочатку доведемо необхідну умову колінеарності: якщо точки A1, B1, C1 лежать на одній прямій, то виконується рівність (*). Із вершин трикутника ABC опустимо перпендикуляри AM, BN і CP на пряму C1B1 (рис. 153, а). Оскільки ∠MC1A = ∠NC1B, то трикутники AMC1 і BNC1 подібні за першою ознакою подібності

AC1 AM = . Із подібності трикутників BNA1 C1B BN BA1 BN і CPA1 отримуємо: = . Із подібності трикутників B1CP A1C CP CB1 CP і B1 AM випливає рівність = . Перемноживши почленно ліві B1 A AM AC1 AM BA1 BN CB1 CP та праві частини пропорцій = , = , = , отриC1B BN A1C CP B1 A AM

трикутників. Звідси

AC1 BA1 CB1 AM BN CP æ æ = æ æ = 1. C1B A1C B1 A BN CP AM Тепер доведемо достатню умову колінеарності: якщо виконується рівність (*), то точки A1, B1, C1 лежать на одній прямій. Нехай пряма C1B1 перетинає сторону BC трикутника ABC у де якій точці A2 (рис. 153, б). Оскільки точки C1, A2, B1 лежать на одній муємо рівність

прямій, то з доведеного вище можна записати:

AC1 BA2 CB1 æ æ = 1. C1B A2C B1 A

Зіставляючи цю рівність з рівністю (*), доходимо висновку, що

BA1 BA2 = , тобто точки A2 і A1 ділять відрізок BC в одному й тому A1C A2C

самому відношенні, а отже, ці точки збігаються. Звідси випливає, що пряма C1B1 перетинає сторону BC у точці A1. 

A C1

Рис. 154

Зауважимо, що теорема залишається справедливою і тоді, коли точки A1, B1, C1 лежать не на сторонах трикутника ABC, а на їхніх продовженнях (рис. 154).

Теорема Менелая

ВПРАВИ 1. Спільні дотичні до трьох кіл перетинаються в точках A, B і C (рис. 155). Доведіть, що ці точки колінеарні. Вказівка. Застосуйте теорему Менелая до трикутника O1O2O3 та точок A, B, C, які лежать на продовженнях його сторін.

C B O3

O2 A

Рис. 155

2. Коло із центром O1 дотикається до двох кіл із центрами O2 і O3 у точках B і A відповідно (рис. 156). Доведіть, що точка C — точка перетину спільних дотичних до кіл із центрами O2 і O3 — належить прямій AB. 3. У точках A, B, C проведено дотичні до кола (рис. 157). Доведіть, що точки M, N і P колінеарні. Вказівка. Застосовуючи теорему Менелая до трикутника ABC, скористайтеся ключовою задачею 3 п. 13.

M O1 A C

Рис. 156

P C

B O2

Рис. 157

100

§ 2. Подібність трикутників

4. Пряма перетинає сторони AB, BC і продовження сторони AC трикутника ABC відповідно в точках D, E, F. Доведіть, що се редини відрізків DC, AE, BF лежать на одній прямій (цю пряму називають прямою Гаусса). Вказівка. Застосуйте теорему Менелая до трикутника, вершини якого є серединами сторін трикутника ABC.

Карл Фрідріх Гаусс (1777–1855) Видатний німецький математик, астроном, фізик, геодезист. У його творчості органічно поєднувалися дослідження з теоретичної та прикладної математики. Праці Гаусса справили значний вплив на подальший розвиток алгебри, теорії чисел, геометрії, теорії електрики та магнетизму.

ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ Т е о р е м а П т о л е м е я. Добуток діагоналей вписаного в коло чотирикутника дорівнює сумі добутків його протилежних сторін.

Д о в е д е н н я. На рисунку 158 зображено вписаний у коло чотири кутник ABCD. Доведемо, що ABæDC + BСæAD = BDæAC.

Клавдій Птолемей (бл. 100 — бл. 178) Давньогрецький математик і астроном. Автор геоцентричної моделі Всесвіту. Розробив математичну теорію руху планет, яка дає змогу обчислювати їхнє положення. Створив прообраз сучасної системи координат.

101

Теорема Птолемея

На діагоналі AC позначимо точку K так, що ∠1 = ∠2. Кути 3 і 4 рівні як вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу. Отже, трикутники ABK і DBC подібні за першою ознакою подіб ності трикутників (кути 3 і 4 рівні як вписані, що спираються на

AB AK = , тобто BD DC

одну й ту саму дугу). Звідси

ABæDC = BDæAK. (1) Оскільки ∠1 = ∠2, то ∠ABD = ∠KBC. Кути 5 і 6 рівні як вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу. Тому

BC KC = , тобто BD AD

DKBC " DABD. Звідси

BCæAD = BDæKC. Додавши рівності (1) і (2), отримаємо: ABæDC + BCæAD = BDæAK + BDæKC, тобто ABæDC + BCæAD = BD (AK + KC) = BDæAC. 

(2)

1 3

6 K

C D

G 5

4 D

Рис. 158

E Рис. 159

ВПРАВИ 1. Нехай M — довільна точка кола, описаного навколо рівностороннього трикутника ABC. Доведіть, що один із відрізків MA, MB, MC дорівнює сумі двох інших. 2. На колі позначено точки A, B, C, D так, що ∪AB = ∪BC = ∪CD. Доведіть, що AC 2 ABæ(BC AD). 3. На рисунку 159 зображено вписаний у коло семикутник

ABCDEFG, у якого всі сторони рівні. Доведіть, що

1 1 1 . AC AD AB

102

§ 2. Подібність трикутників

14. Друга та третя ознаки подібності трикутників Т е о р е м а 14.1 (др у г а о з н а к а п о д і б н о с т і т р и к у т н и к і в: з а д в о м а с т о р о н а м и т а к у т о м м і ж н и м и). Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.

Розглянемо трикутники ABC і A1B1C1, у яких

Д о в е д е н н я.

AB BC = = k і B B1. Доведемо, що DABC " DA1B1C1. A1B1 B1C1

Якщо k = 1, то AB = A1B1 і BC = B1C1, а отже, трикутники ABC і A1B1C1 рівні за першою ознакою рівності трикутників, тому ці трикутники подібні. Нехай, наприклад, k > 1, тобто AB > A1B1 і BC > B1C1. На сторонах BA і BC позначимо відповідно точки A2 і C2 так, що BA2 = A1B1

і BC2 = B1C1 (рис. 160). Тоді

AB BC = . BA2 BC2

Покажемо, що A2C2 || AC. Припустимо, що це не так. Тоді на стороні BC позначимо точку M таку, що A2 M || AC. Має-

M C

AB BC AB BC BC мо: = . Але = , тоді = BA2 BM BA2 BC2 BC2 BC = , тобто BC2 = BM. Отже, буквами M BM

і C2 позначено одну й ту саму точку. Тоді A2C2 || AC. За лемою про подібні трикутники отриРис. 160 муємо, що DABC " DA2BC2. Трикутники A2BC2 і A1B1C1 рівні за першою ознакою рівності трикутників. Звідси DABC " DA1B1C1.  Т е о р е м а 14.2 (тр е т я о з н а к а п о д і б н о с т і т р и к у т н и к і в: з а т р ь о м а с т о р о н а м и). Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Д о в е д е н н я.

Розглянемо трикутники ABC і A1B1C1, у яких

AB BC CA = = = k. Доведемо, що DABC " DA1B1C1. A1B1 B1C1 C1 A1

Якщо k = 1, то трикутники ABC і A1B1C1 рівні за третьою ознакою рівності трикутників, а отже, ці трикутники подібні.

103

14. Друга та третя ознаки подібності трикутників

Нехай, наприклад, k > 1. На сторонах BA і BC позначимо відповідно точки A2 і C2 такі, що BA2 = A1B1, BC2 = B1C1 (рис. 161).

Тоді

AB BC = = k. У трикутниках ABC і A2BC2 кут B спільний, BA2 BC2

прилеглі до нього сторони пропорційні. Отже, за другою ознакою подібності трикутників ці трикутники подібні, причому коефіцієнт подібності дорівнює k. Тоді

CA = k. Ураховуючи, що за умовою C2 A2

CA = k, отримуємо: A1C1 = A2C2. Отже, трикутники A2BC2 і A1B1C1 C1 A1

рівні за третьою ознакою рівності трикутників. З урахуванням того, що DABC " DA2BC2, отримуємо: DABC " DA1B1C1. 

B B A2

B1 C

A C1

A1 Рис. 161

Рис. 162

З а д а ч а. Доведіть, що відрізок, який сполучає основи двох висот гострокутного трикутника, відтинає трикутник, подібний даному. Р о з в’я з а н н я. На рисунку 162 відрізки AA1 і CC1 — висоти трикутника ABC. Доведемо, що DA1BC1 " DABC. У прямокутних трикутниках ABA1 і CBC1 гострий кут B спільний. Отже, трикутники ABA1 і CBC1 подібні за першою ознакою

подібності трикутників. Звідси

AB BA1 AB BC = . Тоді = . Кут B BC BC1 BA1 BC1

спільний для трикутників ABC і A1BC1. Отже, трикутники ABC і A1BC1 подібні за другою ознакою подібності трикутників. 

1. Сформулюйте другу ознаку подібності трикутників. 2. Сформулюйте третю ознаку подібності трикутників.

104

§ 2. Подібність трикутників

ВПРАВИ 489.° На одній стороні кута A відкладено відрізки AB і AD, а на другій — відрізки AC і AE. Чи подібні трикутники ABC і ADE, якщо AB = 4 см, AD = 20 см, AC = 10 см, AE = 8 см? 490.° На сторонах AB і AC трикутника ABC (рис. 163) позначили

відповідно точки D і E так, що AD =

4 4 AC, AE = AB. Знай 7 7

діть відрізок DE, якщо BC = 21 см. 491.° У трикутнику ABC відомо, що AB = 21 см, AC = 42 см, BC = 28 см (рис. 164). На продовженнях відрізків AB і BC за точку B відкладено відповідно відрізки BM і BK, BM = 8 см, BK = 6 см. Знайдіть відрізок KM. 492.° Відрізки AB і CD перетинаються в точці O (рис. 165), AO = 24 см, BO = 16 см, CO = 15 см, OD = 10 см, ∠ACO = 72°. Знайдіть кут BDO. 493.° На сторонах AC і BС трикутника ABC позначили відповідно точки M і K так, що CM = 15 см, CK = 12 см. Знайдіть відрізок MK, якщо AC = 20 см, BC = 25 см, AB = 30 см. 494.° Чи подібні трикутники ABC і A1B1C1, якщо: 1) AB = 6 см, BC = 10 см, AC = 14 см, A1B1 = 9 см, B1C1 = 15 см, A1C1 = 21 см; 2) AB = 1,3 см, BC = 2,5 см, AC = 3,2 см, A1B1 = 26 см, B1C1 = 50 см, A1C1 = 60 см? 495.° Чи подібні два трикутники, якщо сторони одного відносяться як 3 : 8 : 9, а сторони другого дорівнюють 24 см, 9 см, 27 см? 496.• У трикутниках ABC і A1B1C1 відомо, що ∠A = ∠A1, кожна зі сторін AB і AC становить 0,6 сторін A1B1 і A1C1 відповідно. Знайдіть сторони BC і B1C1, якщо їхня сума дорівнює 48 см. 497.• У трикутниках DEF і MKN відомо, що ∠E = ∠K, а кожна зі сторін DE і EF у 2,5 раза більша за сторони MK і KN відповідно. Знайдіть сторони DF і MN, якщо їхня різниця дорівнює 30 см.

B D A

B E

Рис. 163

C Рис. 164

A Рис. 165

105

14. Друга та третя ознаки подібності трикутників

498.• На сторонах AB і AC трикутника ABC позначили відповідно точки D і E так, що AD : DB = AE : EC = 3 : 5. Знайдіть відрізок DE, якщо BC = 16 см. 499.• З дерев’яних паличок виготовили три подібні різносторонні трикутники. У кожному з них більшу сторону пофарбували в блакитний колір, а меншу — у жовтий. З блакитних паличок склали один трикутник, а з жовтих — другий. Чи будуть ці трикутники подібні? 500.•• У трикутнику ABC відомо, що AC = a, AB = BC = b, AM і CK — бісектриси трикутника. Знайдіть відрізок MK. 501.•• У трикутнику ABC відомо, що AB = 8 см, BC = 12 см, AC = = 16 см. На стороні AC позначено точку D так, що CD = 9 см. Знайдіть відрізок BD. 502.* Із точки A проведено два промені AM і AN. На промені AM позначено точки H і B, а на промені AN — точки C і D так, що AHæAB = ACæAD. Доведіть, що точки H, B, C і D лежать на одному колі. 503.* На медіані BM трикутника ABC позначили точку K так, що ∠MKC = ∠BCM. Доведіть, що ∠AKM = ∠BAM. 504.* Відрізки AB і CD перетинаються в точA ці M. Відомо, що AMæMB = CMæMD. Доведіть, що точки A, B, C і D лежать C на одному колі. M 505.* На спільній хорді двох кіл, що перетинаються, позначили точку M і через D B неї провели хорди AB і CD (рис. 166). Доведіть, що ∠DAB = ∠BCD. Рис. 166

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 506. Периметр паралелограма ABCD дорівнює 46 см, ∠BAD = ∠ADB. Знайдіть сторони паралелограма, якщо периметр трикутника BCD дорівнює 32 см. 507. На діагоналі BD квадрата ABCD позначили точку E так, що DE = AD. Через точку E проведено пряму, яка перпендикулярна до прямої BD і перетинає сторону AB у точці F. Доведіть, що AF = FE = BE. 508. У трапеції ABCD відомо, що ∠B = 90°, ∠C = 150°, BC = 5 см. Знайдіть сторону CD, якщо висота трапеції, проведена з вершини C, розбиває дану трапецію на трикутник і квадрат.

Поновіть у пам’яті зміст пункту 7 на с. 186 і пункту 17 на с. 190.

106

§ 2. Подібність трикутників

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

509. На колі позначили 999 точок синім олівцем та одну точку червоним олівцем. Яких многокутників з вершинами в позначених точках більше: тих, що містять червону точку, чи тих, що її не містять?

ПРЯМА ЕЙЛЕРА Точка перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника — це центр кола, описаного навколо трикутника. Позначимо цю точку буквою O. Точка перетину бісектрис трикутника — це центр вписаного кола. Позначимо цю точку буквою J. Точку перетину прямих, які містять висоти трикутника, називають ортоцентром трикутника. Позначимо цю точку буквою H. Точку перетину медіан трикутника називають центроїдом трикутника. Позначимо цю точку буквою M. Точки O, J, H, M називають чудовими точками трикутника. Використання такого емоційного епітета цілком обґрунтовано. Адже цим точкам притаманна ціла низка красивих властивостей. Хіба не чудово вже те, що вони є в будь-якому трикутнику? Розглянемо одну з багатьох теорем про чудові точки трикутника.

Т е о р е м а. У будь-якому трикутнику центр описаного кола, центроїд і ортоцентр лежать на одній прямій.

Цю пряму називають прямою Ейлера. Д о в е д е н н я. Для рівнобедреного трикутника твердження, що доводиться, є очевидним.

Леонард Ейлер (1707–1783) Видатний математик, фізик, механік, астроном.

107

Пряма Ейлера

A A

H C

H M

O B

Рис. 167

Рис. 168

Якщо даний трикутник ABC прямокутний (∠C = 90°), то його ортоцентр — це точка C, центр описаного кола — середина гіпотенузи AB. Тоді зрозуміло, що всі три точки, про які йдеться в теоремі, належать медіані, проведеній до гіпотенузи. Доведемо теорему для гострокутного різностороннього трикутника.

Л е м а. Якщо H — ортоцентр трикутника ABC, OM1 — перпендикуляр, опущений із центра O описаного кола на сторону BC, то AH = 2OM1 (рис. 167). Д о в е д е н н я. Виконаємо додаткову побудову, уже знайому вам з розв’язання ключової задачі п. 2: через кожну вершину трикутника ABC проведемо пряму, паралельну протилежній стороні. Отримаємо трикутник A1B1C1 (рис. 167). У зазначеній ключовій задачі було показано, що ортоцентр H трикутника ABC є центром описаного кола трикутника A1B1C1. Для цього кола кут B1HC1 є центральним, а кут B1 A1C1 — вписаним. Оскільки обидва кути спираються на одну й ту саму дугу, то B1HC1 2 B1 A1C1. Кути BAC і B1A1C1 рівні як протилежні кути паралелограма ABA1C, тому ∠BOC = 2 ∠BAC = 2 ∠B1 A1C1 = ∠B1HC1. Оскільки B1C1 = 2BC, то рівнобедрені трикутники B1HC1 і COB подібні з коефіцієнтом подібності 2. Оскільки відрізки AH і OM1 — відповідні висоти подіб них трикутників, то AH = 2OM1.

Доведемо тепер основну теорему. Оскільки точка M1 — середина сторони BC, то відрізок AM1 — медіана трикутника ABC (рис. 168). Нехай M — точка перетину відрізків AM1 і HO. Оскільки AH || OM1, то ∠HAM = ∠OM1M. Кути AMH і M1MO рівні як вертикальні. Отже, трикутники HAM

108

§ 2. Подібність трикутників

і OM1M подібні за першою ознакою подібності трикутників. Звід

си

AM AH = = 2. Отже, точка M поділяє медіану AM1 у відноMM1 OM1

шенні 2 : 1, рахуючи від вершини A. Звідси точка M — центроїд трикутника ABC. Доведення для випадку тупокутного трикутника аналогічне.  Звернемо увагу на те, що ми не лише встановили факт належності точок O, M, H одній прямій, а й довели рівність HM = 2MO, яка є ще однією властивістю чудових точок трикутника.

ВПРАВИ 1. Дано дві точки, які лежать в одній півплощині відносно даної прямої. Побудуйте трикутник, одна зі сторін якого лежить на даній прямій, а центр описаного кола та ортоцентр є двома даними точками. 2. Побудуйте трикутник ABC за трьома даними точками: вершиною A, ортоцентром H і центром O описаного кола. 3. Бісектриса кута A гострокутного трикутника ABC перпендикулярна до прямої Ейлера цього трикутника. Доведіть, що ∠A = 60°. Вказівка. Доведіть, що HA = OA.

109

Завдання № 2 «Перевірте себе» в тестовій формі

ЗАВДАННЯ № 2 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

1. На рисунку 169 A1B1 || A2B2, A2B2 || A3B3,

1 A1A2 = A1A3. Звідси випливає, що: 2

А) A1A2 = B1B2; В) A1A3 = B1B3; Б) B1B3 = 2B2B3; Г) A1A2 = B2B3. 2. Якщо медіани AA1 і BB1 трикутника ABC перетинаються в точці M, то яка з даних рівностей є правильною для будь-якого трикутника ABC? А) AM : MB1 = BM : MA1;

Рис. 169

1 MB; 3 1 В) MA1 = AM; 2 1 Г) MB1 = BB1. 2

Б) MA1 =

3. На рисунку 170 A1C1 || AC. Тоді:

AC BA1 А) 1 1 = ; AC A1 A

Б)

BA1 CB = ; AB BC1

BC AC В) = ; BC1 A1C1

Г)

BA1 AC = . A1C1 AB

4. У трикутнику ABC відомо, що AB = 8 см, A C BC = 4 см, AC = 9 см. У якому відношенні Рис. 170 центр вписаного кола ділить бісектрису BB1, рахуючи від вершини B? А) 2 : 3; В) 4 : 3; Б) 2 : 1; Г) 3 : 4. 5. Через точку M сторони BC паралелограма ABCD проведено пряму, яка паралельна стороні CD. Ця пряма перетинає відрізки BD і AD у точках K і F відповідно. Відомо, що BM : FD = 2 : 1. Чому дорівнює відношення KD : BK? А) 2 : 1; В) 1 : 3; Б) 1 : 2; Г) 4 : 1. 6. У трикутнику ABC відомо, що AB = 14 см, BC = 21 см. На стороні AB на відстані 4 см від вершини A позначено точку D, через яку проведено пряму, паралельну стороні AC. Знайдіть відрізки, на які ця пряма ділить сторону BC. А) 12 см, 9 см; В) 15 см, 6 см; Б) 18 см, 3 см; Г) 14 см, 7 см.

110

§ 2. Подібність трикутників

7. Відрізок MN проведено через точку перетину діагоналей нерівнобедреної трапеції ABCD паралельно її основам (рис. 171). Скільки пар подібних трикутників зображено на рисунку? А) 4; Б) 6; В) 3; Г) 5.

A D

A Рис. 171

Рис. 172

8. Через вершини A і C нерівнобедреного трикутника ABC проведено коло, яке перетинає сторони BA і BC у точках E і D відповідно (рис. 172). Яка з даних рівностей є правильною?

А)

BC BA = ; BD BC

Б)

BE BD = ; BC BA

В)

DE BD = ; AC BC

Г)

BD BC = . DE AC

9. Хорда AB перетинає хорду CD у її середині та ділиться цією точкою на відрізки, які дорівнюють 4 см і 25 см. Знайдіть хорду CD. А) 10 см; В) 100 см; Б) 5 см; Г) 20 см. 10. У трикутнику ABC відомо, що AB = 10 см, BC = 4 см, CA = 8 см. На стороні AC позначено точку D таку, що AD = 6 см. Знайдіть відрізок BD. А) 5 см; В) 6 см; Б) 4 см; Г) 7 см.

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 2

Теорема Фалеса Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій його стороні.

Теорема про пропорційні відрізки Якщо паралельні прямі перетинають сторони кута, то відрізки, що утворилися на одній стороні кута, пропорційні відповідним відрізкам, що утворилися на другій стороні кута.

111

Головне в параграфі 2

Властивість медіан трикутника Усі три медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини трикутника.

Властивість бісектриси трикутника Бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, пропор ційні прилеглим до них сторонам.

Подібні трикутники Два трикутники називають подібними, якщо їхні кути відповідно рівні та сторони одного трикутника пропорційні відповідним сторонам другого трикутника. Лема про подібні трикутники Пряма, яка паралельна стороні трикутника та перетинає дві інших його сторони, відтинає від даного трикутника йому подібний. Перша ознака подібності трикутників: за двома кутами Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні. Друга ознака подібності трикутників: за двома сторонами та кутом між ними Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.

Третя ознака подібності трикутників: за трьома сторонами Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ У цьому параграфі ви ознайомитеся зі знаменитою теоремою Піфагора. Ви навчитеся за відомими сторонами та кутами прямокутного трикутника знаходити його невідомі сторони та кути.

113

15. Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику

На рисунку 173 відрізок CD — висота прямокутного трикутника ABC (∠ACB = 90°). Відрізки AD і DB називають проєкціями катетів AC і CB відповідно на гіпотенузу. Л е м а. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить трикутник на два подібних прямокутних трикутники, кожен з яких подібний даному трикутнику. Доведіть лему самостійно. Т е о р е м а 15.1. Квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проєкцій катетів на гіпотенузу. Квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи та проєкції цього катета на гіпотенузу. Д о в е д е н н я. На рисунку 173 відрізок CD — висота прямокутного трикутника ABC (∠ACB = 90°). Доведемо, що: CD 2 = ADæDB, AC 2 = ABæ AD, BC 2 = ABæDB.

CD BD = . Звідси CD 2 AD DB . AD CD AC AB Оскільки DABC " DACD, то = . Звідси AC 2 = ABæ AD. AD AC BC AB Оскільки DABC " DCBD, то = . Звідси BC 2 = ABæDB.  BD BC

Оскільки DCBD " DACD, то

Якщо довжини відрізків на рисунку 173 позначити так: AC = b, BC = a, AB = c, CD = hc, AD = bc, DB = ac, то доведені співвідношення набувають вигляду:

hc2 = ac bc, a2 = acc, b2 = bcc Ці рівності називають метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику.

П р и к л а д. Дано два відрізки, довжини яких дорівнюють a і b (рис. 174). Побудуйте третій відрізок, довжина якого дорівнює ab.

C a A

D Рис. 173

Рис. 174

114

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

Р о з в’я з а н н я. Розглянемо трикутник ADC (∠ADC = 90°), у якому відрізок DB є висотою (рис. 175). Маємо: DB = ABæBC. Якщо познаA C B чити AB = a, BC = b, то DB = ab. Проведений аналіз показує, як провести побудову. На довільній прямій позначимо точку A та Рис. 175 відкладемо послідовно відрізки AB і BC так, що AB = a, BC = b. Побудуємо коло з діаметром AC. Через точку B проведемо пряму, перпендикулярну до прямої AC (рис. 175). Нехай D — одна з точок перетину прямої та кола. Доведемо, що відрізок DB шуканий. Справді, ∠ADC = 90° як вписаний кут, що спирається на діаметр AC. Тоді за теоремою 15.1 DB2 = ABæBC, тобто DB = ab. 

1. Якою формулою пов’язані висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, і проєкції катетів на гіпотенузу? 2. Якою формулою пов’язані катет, гіпотенуза та проєкція цього катета на гіпотенузу?

ВПРАВИ 510.° Знайдіть висоту прямокутного трикутника, проведену з вершини прямого кута, якщо вона ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 2 см і 18 см. 511.° Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а його проєкція на гіпотенузу — 4 см. Знайдіть гіпотенузу. 512.° Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки завдовжки 5 см і 20 см. Знайдіть катети трикутника. 513.° Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює 48 см, а проєкція одного з катетів на гіпотенузу — 36 см. Знайдіть сторони даного трикутника. 514.• Знайдіть катети прямокутного трикутника, висота якого ділить гіпотенузу на відрізки, один з яких на 3 см менший від цієї висоти, а другий — на 4 см більший за висоту. 515.• Знайдіть менший катет прямокутного трикутника та його висоту, проведену до гіпотенузи, якщо більший катет менший

115

15. Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику

від гіпотенузи на 10 см і більший за свою проєкцію на гіпотенузу на 8 см. 516.• Перпендикуляр, опущений із точки перетину діагоналей ромба на його сторону, дорівнює 2 см і ділить цю сторону на відрізки, які відносяться як 1 : 4. Знайдіть діагоналі ромба. 517.• Перпендикуляр, опущений із точки кола на діаметр, ділить його на два відрізки, один з яких дорівнює 4 см. Знайдіть радіус кола, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 10 см. 518.• Знайдіть периметр рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 7 см і 25 см, а діагоналі перпендикулярні до бічних сторін. 519.•• Центр кола, описаного навколо рівнобічної трапеції, належить її більшій основі. Знайдіть радіус цього кола, якщо діагональ трапеції дорівнює 20 см, а проєкція діагоналі на більшу основу — 16 см. 520.•• Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони, яка дорівнює 12 см. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції, дорівнює 10 см. 521.•• Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, якщо її діагональ перпендикулярна до бічної сторони, а різниця квадратів основ дорівнює 25 см. 522.•• У прямокутну трапецію вписано коло. Точка дотику ділить більшу бічну сторону на відрізки завдовжки 8 см і 50 см. Знайдіть периметр трапеції. 523.•• У рівнобічну трапецію вписано коло. Точка дотику ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 3 см і 27 см. Знайдіть висоту трапеції. 524.•• Дано два відрізки, довжини яких дорівнюють a і b. Побудуй

��

те відрізок завдовжки

ab . 2

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 525. Периметр паралелограма більший за одну зі сторін на 35 см і більший за другу сторону на 28 см. Знайдіть сторони паралелограма. 526. На сторонах AB, BC, CD і AD квадрата ABCD позначили відповідно точки M, N, K і E так, що чотирикутник MNKE є прямокутником, сторони якого паралельні діагоналям

116

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

квадрата. Знайдіть периметр прямокутника MNKE, якщо діагональ квадрата ABCD дорівнює 7 см. 527. У коло вписано трапецію, діагональ якої ділить кут при більшій основі навпіл. Знайдіть дуги, на які ділять коло вершини трапеції, якщо один з її кутів дорівнює 74°.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

528. У вписаного в коло многокутника вибрали вершину та провели всі діагоналі, яким ця вершина належить. Доведіть, що серед трикутників, що утворилися, не більше ніж один є гострокутним.

16. Теорема Піфагора Т е о р е м а 16.1 (те о р е м а П і ф а г о р а). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Д о в е д е н н я.  На рисунку 176 зобраC жено прямокутний трикутник ABC (∠ACB = = 90°). Доведемо, що AB2 AC 2 BC 2. Проведемо висоту CD. Застосувавши теорему 15.1 для катетів AC і BC, отримуB A D ємо: AC 2 = ABæ AD і BC 2 = ABæDB. Додавши почленно ці рівності, отримаємо: AC 2 + Рис. 176 BC 2 ABæ AD ABæDB. 2 Далі маємо: AC + BC2 ABæ( AD DB) = AB2.  Якщо в прямокутному трикутнику довжини катетів дорівнюють a і b, а довжина гіпотенузи дорівнює c, то теорему Піфагора можна виразити такою рівністю:

c2 a 2 b2 Теорема Піфагора дає змогу за двома сторонами прямокутного трикутника знайти його третю сторону: c a 2 b2 ; a c2 b2 ; b c2 a 2 З рівності c2 a 2 b2 також випливає, що c2 > a 2 і c2 > b2, звідси c > a і c > b, тобто гіпотенуза більша за будь-який із катетів1.

Іншим способом цей факт було встановлено в курсі геометрії 7 класу.

117

16. Теорема Піфагора

Із курсу геометрії 7 класу вам знайомі такі поняття, як перпендикуляр, похила та проєкція похилої. Наприклад, на рисунку 176 із точки С до прямої АВ проведено перпендикуляр CD і похилі СА і СВ. Відрізки AD і DB є проєкціями відповідно похилих АС і СВ на пряму АВ. Із теореми 16.1 випливає, що коли з однієї точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, то похила більша за перпендикуляр.

1. Сформулюйте теорему Піфагора. 2. Запишіть теорему Піфагора, якщо катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b, а гіпотенуза дорівнює c. 3. Як за двома сторонами прямокутного трикутника знайти його третю сторону? 4. Яка зі сторін прямокутного трикутника є найбільшою?

ВПРАВИ 529.° Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють: 1) 3 см і 4 см; 2) 6 см і 9 см. 530.° Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза та другий катет відповідно дорівнюють: 1) 15 см і 12 см; 2) 7 см і 13 см. 531.° Нехай a і b — катети прямокутного трикутника, c — його гіпотенуза. Знайдіть невідому сторону трикутника, якщо: 1) a = 5 см, b = 12 см; 2) a = 1 см, c = 2 см; 3) b = 3 см, c = 90 см. 532.° Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 40 см. Чому дорівнює його діагональ? 533.° Одна зі сторін прямокутника дорівнює 7 см, а діагональ — 25 см. Знайдіть сусідню з даною сторону прямокутника. 534.° Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 29 см, а висота, проведена до основи, — 21 см. Чому дорівнює основа трикутника?

535.° Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює 35 см, а його основа — 24 см. Чому дорівнює бічна сторона трикутника?

118

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

536.° У колі, радіус якого дорівнює 10 см, проведено хорду зав довжки 16 см. Знайдіть відстань від центра кола до даної хорди. 537.° Знайдіть периметр ромба, діагоналі якого дорівнюють 24 см і 32 см. 538.° Сторона ромба дорівнює 26 см, а одна з діагоналей — 48 см. Знайдіть другу діагональ ромба. 539.° Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 21 см, а другий катет на 7 см менший від гіпотенузи. Знайдіть периметр трикутника. 540.° Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 26 см, а катети відносяться як 5 : 12. Знайдіть катети цього трикутника. • 541. Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а медіана, проведена до нього, — 5 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника. 542.• У трикутнику ABC відомо, що BC = 20 см, висота BD ділить сторону AC на відрізки AD = 5 см і CD = 16 см. Знайдіть сторону AB. • 543. У трикутнику ABC відомо, що AB = 17 см, BC = 9 см, кут C тупий, висота AD дорівнює 8 см. Знайдіть сторону AC. • 544. Знайдіть висоту рівностороннього трикутника зі стороною a. 545.• Знайдіть діагональ квадрата зі стороною a. 546.• Знайдіть сторону рівностороннього трикутника, висота якого дорівнює h. 547.• Знайдіть катети прямокутного рівнобедреного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює c. • 548. Знайдіть довжину невідомого відрізка x на рисунку 177 (розміри дано в сантиметрах). 549.• Знайдіть довжину невідомого відрізка x на рисунку 178 (розміри дано в сантиметрах).

1 2

1 x а

2 x

3 б Рис. 177

3 4

119

16. Теорема Піфагора

x 3

2 1

1 а

1 б

Рис. 178

550.• У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, дорівнює 8 см. Вона ділить бічну сторону на два відрізки, один з яких, прилеглий до вершини рівнобедреного трикутника, дорівнює 6 см. Знайдіть основу трикутника. 551.• Висота рівнобедреного трикутника, опущена на бічну сторону, ділить її на відрізки завдовжки 4 см і 16 см, рахуючи від вершини кута при основі. Знайдіть основу рівнобедреного трикутника. 552.• Основа рівнобедреного тупокутного трикутника дорівнює 24 см, а радіус кола, описаного навколо нього, — 13 см. Знайдіть бічну сторону трикутника. 553.• Висота рівнобедреного гострокутного трикутника, проведена до його основи, дорівнює 8 см, а радіус кола, описаного навколо нього, — 5 см. Знайдіть бічну сторону трикутника. 554.• Основа рівнобедреного трикутника на 2 см більша за бічну сторону. Знайдіть сторони трикутника, якщо висота, проведена до основи, дорівнює 8 см. 555.• Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 90 см, а висота, проведена до основи, — 15 см. Знайдіть сторони трикутника. 556.• Сторони тупокутного трикутника дорівнюють 29 см, 25 см і 6 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до меншої сторони. 557.• Сторони трикутника дорівнюють 36 см, 29 см і 25 см. Знай діть висоту трикутника, проведену до більшої сторони. • 558. Із точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких відносяться як 5 : 6, а проєкції цих похилих на пряму дорівнюють 7 см і 18 см. Знайдіть відстань від даної точки до цієї прямої. • 559. Із точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 15 см і 27 см. Сума довжин проєкцій цих похилих на пряму дорівнює 24 см. Знайдіть проєкцію кожної похилої.

120

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

560.• Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить один із його катетів на відрізки 2 см і 6 см. Знайдіть сторони трикутника. • 561. Знайдіть сторони паралелограма, діагоналі якого дорівнюють 16 см і 20 см, якщо одна з діагоналей перпендикулярна до його сторони. 562.• Знайдіть периметр прямокутного трикутника, якщо бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 30 см і 40 см. 563.• Знайдіть периметр прямокутного трикутника, якщо бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 24 см і 51 см. 564.• (Старовинна арабська задача.) На протилежних берегах річки ростуть одна проти одної дві пальми. Висота однієї з них дорівнює 30 ліктів, висота другої — 20 ліктів, а відстань між прикорнями пальм — 50 ліктів. На вершечку кожної пальми сидить птах. Раптом обидва птахи побачили рибу, яка з’явилася на поверхні води між пальмами. Вони злетіли з пальм одночасно і, рухаючись з однаковою швидкістю, одночасно схопили рибу. На якій відстані від прикорня вищої пальми з’явилася риба? 565.•• Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 12 см і 20 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута трапеції. Знайдіть цю діагональ. •• 566. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 18 см і 12 см, а діагональ є бісектрисою гострого кута трапеції. Знайдіть цю діагональ. •• 567. У колі по різні боки від його центра проведено дві паралельні хорди завдовжки 16 см і 32 см. Відстань між хордами дорівнює 16 см. Знайдіть радіус кола. •• 568. У колі по один бік від його центра проведено дві паралельні хорди завдовжки 48 см і 24 см. Відстань між хордами дорівнює 12 см. Знайдіть радіус кола. 569.•• Радіус кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, дорівнює 12 см, а відстань від вершини рівнобедреного трикутника до центра кола — 20 см. Знайдіть периметр даного трикутника. 570.•• Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить її більшу основу на відрізки завдовжки 20 см і 25 см, рахуючи від вершини прямого кута. Обчисліть периметр трапеції.

121

16. Теорема Піфагора

571.•• Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить її меншу основу на відрізки завдовжки 6 см і 3 см, рахуючи від вершини прямого кута. Обчисліть периметр трапеції. 572.•• Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 см і 24 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини меншого гострого кута. 573.•• Медіани AM і CK трикутника ABC перпендикулярні. Знайдіть сторони трикутника, якщо AM = 9 см і CK = 12 см. 574.•• У трикутнику ABC медіани BM і CK перпендикулярні та перетинаються в точці O. Знайдіть відрізок AO, якщо BM = 36 см і CK = 15 см. 575.•• (Задача Бхаскари1.) Над озером тихим, з півфута2 заввишки Підносилась лотоса квітка. І одного разу поривчастий вітер Відніс її раптом убік. Нема більше квітки над тою водою. Натрапив на неї рибалка завзятий В двох футах від місця, де та росла. Отож пропоную тобі запитання: Яка ж того озера тут глибина?

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 576. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AB = 13 см, BC = 5 см, AC = 12 см. Знайдіть відношення: 1) катета, прилеглого до кута A, і гіпотенузи; 2) катета, протилежного куту A, і гіпотенузи; 3) катета, прилеглого до кута B, і гіпотенузи; 4) катета, прилеглого до кута B, і каD тета, протилежного цьому куту. 10 C 577. На одній стороні кута A позначили 5 B точки B, C і D так, що AB = BC = 5 см, 5 CD = 10 см (рис. 179). Із точок B, C і D опущено перпендикуляри BE, CF A 4 E F M і DM на другу сторону кута A, причому Рис. 179 AE = 4 см. Знайдіть відношення катета, прилеглого до кута A, і гіпотенузи: 1) у трикутнику AEB; 3) у трикутнику AMD. 2) у трикутнику AFC;

Б х а́с к а р а (1114–1185) — індійський математик і астроном. 1 фут = 30,48 см.

122

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

578. У квадраті зі стороною 1 м довільно позначили 51 точку. Доведіть, що серед цих точок існують три, які можна накрити квадратом зі стороною 20 см.

ПІФАГОР Ви вивчили знамениту теорему, яка носить ім’я видатного давньогрецького вченого Піфагора. Дослідження стародавніх текстів свідчать, що твердження цієї теореми було відоме задовго до Піфагора. Чому ж її приписують Піфагорові? Скоріш за все тому, що саме Піфагор винайшов доведення цього твердження. Про життя Піфагора мало що відомо достовірно. Він народився на грецькому острові Самос. За Піфагор легендами, він багато подорожував, набуваючи (VI ст. до н. е.) знань і мудрощів. Після того як Піфагор оселився в грецькій колонії Кротон (на півдні Італії), навколо нього сформувалося численне коло відданих учнів та однодумців. Так виник піфагорійський союз (або кротонське братство). Вплив цього союзу був настільки значним, що навіть кілька століть по смерті Піфагора багато великих математиків Стародавнього світу називали себе піфагорійцями.

��

17. Тригонометричні функції гострого кута прямокутного трикутника

На рисунку 180 зображено прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°). Нагадаємо, що катет BC називають протилежним куту A, а катет AC — прилеглим до цього кута.

О з н а ч е н н я. С и н у с о м гострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до гіпотенузи. Синус кута A позначають так: sin A (читають: «синус А»). Для гострих кутів A і B прямокутного трикутника ABC маємо:

sin A =

BC AC , sin B = . AB AB

123

17. Тригонометричні функції гострого кута

α b

c β

Рис. 180

Рис. 181

45°

Рис. 182

Для прямокутного трикутника, зображеного на рисунку 181, a c

b c

можна записати: sin , sin . Розглянемо прямокутний рівнобедрений трикутник ABC (∠C = 90°), у якому AC = BC = a (рис. 182). Маємо: AB a 2 a 2 a 2.

BC a 1 2 , звідси sin A = = = . Бачимо, AB 2 a 2 2

За означенням sin A =

що синус гострого кута прямокутного рівнобедреного трикутника не залежить від розмірів трикутника, бо отримане значення синуса 1

однакове для всіх значень a. Оскільки ∠A = 45°, то sin 45

2 . 2

Цей запис не пов’язують із конкретним прямокутним рівнобедреним трикутником. Узагалі, якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострому куту другого прямокутного трикутника, то синуси цих кутів рівні. Справді, ці прямокутні трикутники є подібними за першою ознакою подібності трикутників. Тому відношення катета до гіпотенузи одного трикутника дорівнює відношенню відповідного катета до гіпотенузи другого трикутника. Наприклад, запис sin 17° можна віднести до всіх кутів, градусні міри яких дорівнюють 17°. Значення цього синуса можна обчислити один раз, вибравши довільний прямокутний трикутник з гострим кутом 17°. Отже, синус гострого кута залежить тільки від величини цього кута. О з н а ч е н н я. К о с и н у с о м гострого кута прямокутного трикутника називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Косинус кута A позначають так: cos A (читають: «косинус А»). Для гострих кутів A і B прямокутного трикутника ABC (рис. 180) можна записати: AC BC cos A = , cos B = .

124

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

Зазначимо, що катет прямокутного трикутника менший від його гіпотенузи, а тому синус і косинус гострого кута менші від 1.

О з н а ч е н н я. Т а н г е н с о м гострого кута прямокутного три кутника називають відношення протилежного катета до при леглого.

Тангенс кута A позначають так: tg A (читають: «тангенс А»). Для гострих кутів A і B прямокутного трикутника ABC (рис. 180) можна записати:

tg A =

BC AC , tg B = . AC BC

Для прямокутного трикутника, зображеного на рисунку 181, записують: b c a tg , tg β = b

a c b . a

cos , cos ,

Як було встановлено, синус кута залежить тільки від величини кута. Міркуючи аналогічно, можна дійти такого висновку: косинус і тангенс гострого кута залежать тільки від величини цього кута.

Узагалі, кожному гострому куту відповідає єдине число — значення синуса (косинуса, тангенса) цього кута. Тому залежність значення синуса (косинуса, тангенса) гострого кута від величини цього кута є функціональною. Функцію, яка відповідає цій залежності, називають тригонометричною. Так, y sin , y cos , y = tg α — тригонометричні функції, аргументами яких є гострі кути. З давніх часів люди складали таблиці наближених значень тригонометричних функцій з деяким кроком, один раз обчислюючи значення тригонометричних функцій для конкретного аргументу. Потім ці таблиці широко використовували в багатьох галузях науки й техніки. У наш час значення тригонометричних функцій гострих кутів зручно знаходити за допомогою мікрокалькулятора. Тангенс гострого кута можна виразити через синус і косинус цього самого кута. Розглянемо прямокутний трикутник (рис. 181). Запишемо: a

a sin α c a = = = tg α. cos α b b c

125

17. Тригонометричні функції гострого кута

Отже, одержуємо таку формулу: sin α , cos α

tg α

За теоремою Піфагора a 2 b2 c2. Обидві частини цієї рівності

() () a c

поділимо на c2. Маємо: b c

cos , отримаємо:

b c

a c

= 1. Ураховуючи, що sin ,

(sin )2 (cos )2 1.

Прийнято записувати: (sin )2 sin 2 , (cos )2 cos2 . Звідси маємо: sin 2 α cos 2 α 1 Цю формулу називають основною тригонометричною тотожністю. Зазначимо, що cos b = sin

a c

= , sin b = cos

b = 90° – , то одержуємо такі формули:

b = . Оскільки c

cos (90° – ) = sin sin (90° – ) = cos

2 . Знайдемо тепер cos 45° і tg 45°. 2

Ми вже знаємо, що sin 45

Маємо:

сos 45° = sin (90° – 45°) = sin 45

2 ; 2

2 sin 45° = 2 = 1. cos 45° 2 2

tg 45° =

Знайдемо синус, косинус і тангенс кутів 30° і 60°. Розглянемо прямокутний трикутник ABC, у якому ∠C = 90°, ∠A = 30° (рис. 183). Нехай BC = a. Тоді за властивістю катета, який лежить проти кута 30°, отримуємо, що AB = 2a. Із теореми Піфагора випливає, що AC2 = AB2 – BC2. Маємо: AC2 = 4a2 – a2 = 3a2; AC = a 3.

30° a 3 Рис. 183

a C

126

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

Звідси знаходимо: sin 30 cos 30 tg 30° =

a 1 , 2a 2

a 3 3 , 2a 2

a 1 3 = = . 3 a 3 3

Оскільки 60° = 90° – 30°, то отримуємо:

3 1 , cos 60 sin 30 , 2 2 3 sin 60° tg 60° = = 2 = 3. 1 cos 60° 2

sin 60 cos 30

Значення синуса, косинуса і тангенса для кутів 30°, 45° і 60° корисно запам’ятати.

30°

45°

60°

sin a

1 2

2 2

3 2

cos a

3 2

2 2

1 2

tg a

3 3

1. Що називають синусом гострого кута прямокутного трикутника? 2. Що називають косинусом гострого кута прямокутного трикутника? 3. Що називають тангенсом гострого кута прямокутного трикутника? 4. Від чого залежать синус, косинус і тангенс кута? 5. Як пов’язані між собою tg a, sin a і cos a? 6. Як пов’язані між собою sin a і cos a? 7. Чому дорівнює sin (90° – a)? cos (90° – a)? 8. Чому дорівнює sin 45°? cos 45°? tg 45°? 9. Чому дорівнює sin 30°? cos 30°? tg 30°? 10. Чому дорівнює sin 60°? cos 60°? tg 60°?

127

17. Тригонометричні функції гострого кута

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

579.• Побудуйте кут:

1) тангенс якого дорівнює 580.• Побудуйте кут:

4 ; 5

2) синус якого дорівнює

2 . 3

1) косинус якого дорівнює

1 ; 4

2) тангенс якого дорівнює

1 . 2

ВПРАВИ 581.° Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 8 см і 10 см. Знайдіть: 1) синус кута, який лежить проти меншого катета; 2) косинус кута, який прилягає до більшого катета; 3) тангенс кута, протилежного меншому катету. 582.° Катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 см і 2 см. Знайдіть: 1) тангенс кута, прилеглого до більшого катета; 2) синус кута, протилежного меншому катету; 3) косинус кута, прилеглого до більшого катета. 583.° Знайдіть значення виразу: 1) cos2 45° + tg2 60°; 2) 2 cos2 60° – sin2 30° + sin 60° tg 30°. 584.° Знайдіть значення виразу: 1) cos2 30° – sin2 45°; 2) 3 tg2 30° + 4 tg 45° + cos 30° tg 60°. 585.° У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, BC = 77 см, AB = 125 см. Знайдіть синуси гострих кутів трикутника. 586.° У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, BC = 41 см, AC = 20 см. Знайдіть косинуси гострих кутів трикутника.

1 3 4 • 588. Знайдіть cos b і tg b, якщо sin . 5

587.• Знайдіть sin

і tg , якщо cos .

589.• Синус гострого кута прямокутного трикутника дорівнює

3 . 3

Знайдіть синус, косинус і тангенс другого гострого кута цього трикутника. 590.• Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см, а бічна сторона — 13 см. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута між бічною стороною трикутника та висотою, проведеною до його основи.

128

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

591.• Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 17 см, а висота, проведена до основи, — 8 см. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута при основі трикутника. • 592. Знайдіть кути ромба, діагоналі якого дорівнюють 4 см і 4 3 см. • 593. Знайдіть кути між діагоналлю прямокутника та його сторонами, довжини яких дорівнюють 3 см і 3 см. • 594. У трапеції ABCD відомо, що AB = CD = 9 см, BC = 10 см, AD = 14 см. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута A трапеції. 595.• У прямокутній трапеції ABCD відомо, що BC || AD, ∠A = 90°, AB = 4 см, BC = 8 см, AD = 12 см. Знайдіть кути трапеції. • 596. Доведіть, що тангенси гострих кутів прямокутного трикутника є взаємно оберненими числами.

597.• Доведіть тотожність 1 + tg 2 α =

1 . cos2 α

598.• Знайдіть значення виразу: 1) sin2 18° + sin2 72°; 2) cos3 36° – sin3 54°. 599.•• Катети прямокутного трикутника дорівнюють 30 см і 40 см. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута між медіаною та висотою, проведеними до гіпотенузи. 600.•• У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, BD і AM — висоти трикутника, BD : AM = C = 3 : 1. Знайдіть cos C. E B 601.•• У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, A BD і CK — висоти трикутника, cos A =

3 = . Знайдіть відношення CK : BD. 7

602.* Доведіть, що кути ABC і DEF, зображені на рисунку 184, рівні.

Рис. 184

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 603. Бісектриси кутів A і B паралелограма ABCD перетинаються в точці M, AB = 6 см. Знайдіть радіус кола, яке проходить через точки A, B і M. 604. Хорди AB і BC кола перпендикулярні, а відстань між їхніми серединами дорівнює 12 см. Знайдіть радіус кола.

129

18. Розв’язування прямокутних трикутників

605. У трикутнику ABC відомо, що BK — висота, AM — бісектриса, BK = 26 см, AB : AC = 6 : 7. Із точки M опущено перпендикуляр MD на сторону AC. Знайдіть відрізок MD.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

606. Дано два круги, які не мають спільних точок. Чи існує точка, що не належить жодному з кругів, така, що будь-яка пряма, яка проходить через цю точку, перетинає хоча б один із цих кругів?

18. Розв’язування прямокутних трикутників

На рисунку 185 зображено прямокутний трикутник з гострими кутами і b, катети якого дорівнюють a і b, а гіпотенуза дорівнює c. За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника

a c

b c

sin , sin . Звідси a = c sin , b = c sin b.

Отже, катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на синус кута, протилежного цьому катету. За означенням косинуса гострого кута прямокут-

α c

b a ного трикутника cos , cos . Звідси b = c cos , c c

β a = c cos b. a Отже, катет прямокутного трикутника доРис. 185 рівнює добутку гіпотенузи на косинус кута, прилеглого до цього катета. За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутни

a b

b a

ка tg , tg . Звідси a = b tg , b = a tg b.

Отже, катет прямокутного трикутника дорівнює добутку другого катета на тангенс кута, протилежного першому катету. a b

Оскільки tg α = , то b =

a . tg α

Отже, катет прямокутного трикутника дорівнює частці від ділення другого катета на тангенс кута, прилеглого до першого катета.

130

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

З рівностей sin

a b a b і cos отримуємо: c і c . c c sin cos

Отже, гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює частці від ділення катета на синус протилежного йому кута; гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює частці від ділення катета на косинус прилеглого до нього кута. Розв’язати прямокутний трикутник означає знайти його сторони й кути за відомими сторонами та кутами. Наведені вище правила дають змогу розв’язувати прямокутний трикутник за однією стороною та одним гострим кутом. У задачах на розв’язування прямокутних трикутників, якщо не обумовлено інше, прийнято такі позначення (див. рис. 185): c — гіпотенуза, a і b — катети, і b — кути, протилежні катетам a і b відповідно. З а д а ч а 1. Розв’яжіть прямокутний трикутник за катетом і гострим кутом: a = 14 см, = 38°. (Значення тригонометричних функцій знайдіть за допомогою мікрокалькулятора та округліть їх до сотих. Значення довжин сторін округліть до десятих.) Р о з в’я з а н н я. Маємо: b = 90° – = 90° – 38° = 52°; b = a tg b = 14 tg 52° ≈ 14æ1,28 ≈ 17,9 (см);

a 14 14 22,6 (см). sin sin 38 0,62

В і д п о в і д ь: c ≈ 22,6 см, b ≈ 17,9 см, b = 52°.  Зазначимо, що цю задачу можна було розв’язати і в інший спосіб: наприклад, знайти гіпотенузу, використовуючи теорему Піфагора.

З а д а ч а 2. Розв’яжіть прямокутний трикутник за катетом і гіпотенузою: a = 26 см, c = 34 см.

Р о з в’я з а н н я. Маємо: sin

Обчислюємо кут Тоді b ≈ 40°.

a 26 0,7647... . c 34

за допомогою мікрокалькулятора:

≈ 50°.

b = c sin b ≈ 34 sin 40° ≈ 34æ0,643 ≈ ≈ 21,862 ≈ 21,9 (см). В і д п о в і д ь: b ≈ 21,9 см, ≈ 50°, b ≈ 40°. 

З а д а ч а 3. Висота AD трикутника ABC (рис. 186) ділить його сторону BC на відрізки BD і CD такі, що BD = 2 3 см, CD = 8 см. Знайдіть сторони AB і AC, якщо ∠B = 60°.

Рис. 186

131

18. Розв’язування прямокутних трикутників

Р о з в’я з а н н я. Із трикутника ADB (∠ADB = 90°) отримуємо:

AD = BD tg B = 2 3 tg 60° = 2 3æ 3 = 6 (см);

2 3 BD 1 2 3 : 4 3 (см). cos B cos 60 2

Із трикутника ADC (∠ADC = 90°) отримуємо:

AC AD 2 DC 2 62 82 10 (см). В і д п о в і д ь: 4 3 см, 10 см.  З а д а ч а 4. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює b, кут при основі дорівнює a. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник. B Р о з в’я з а н н я. У трикутнику ABC (рис. 187) AB = BC = b, ∠BAC = a. Проведемо висоту BD. Із трикутника ADB (∠ADB = 90°) отримуємо: AD = AB cos ∠BAD = b cos a. O Точка O — центр кола, вписаного в трикутA C D ник ABC. Отже, точка O належить висоті BD і бісектрисі AO кута BAC. Оскільки OD ^ AC, то Рис. 187 вписане коло дотикається до сторони AC у точці D. Таким чином, OD — радіус вписаного кола. Від

різок AO — бісектриса кута BAD, тому ∠OAD =

Із трикутника ADO (∠ADO = 90°) отримуємо:

В і д п о в і д ь: b cos a tg

a . 2

OD = AD tg ∠OAD = b cos a tg

1 a ∠BAD = . 2 2

a . 2

1. Як можна знайти катет прямокутного трикутника, якщо відомо гіпо� тенузу та кут, протилежний цьому катету? 2. Як можна знайти катет прямокутного трикутника, якщо відомо гіпо�� тенузу та кут, прилеглий до цього катета? 3. Як можна знайти катет прямокутного трикутника, якщо відомо дру�� гий катет і кут, протилежний шуканому катету? 4. Як можна знайти катет прямокутного трикутника, якщо відомо дру�� гий катет і кут, прилеглий до шуканого катета? 5. Як можна знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відомо катет і протилежний цьому катету кут? 6. Як можна знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відомо катет і прилеглий до цього катета кут? ��

��

132

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

ВПРАВИ 607.° У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°. Знайдіть сторону:

3 1) BC, якщо AB = 12 см, sin A = ; 4

2) AC, якщо AB = 21 см, cos A = 0,4; 3) AC, якщо BC = 4 см, tg A = 1,6;

7 9

4) AB, якщо BC = 14 см, cos B = ; 5) AB, якщо AC = 3,2 см, sin B = 0,16;

6) BC, якщо AC = 2,3 см, tg B =

1 . 2

608.° У трикутнику DEF відомо, що ∠E = 90°. Знайдіть сторону:

2 1) DE, якщо DF = 18 см, cos D = ; 9

2) DF, якщо EF = 3,5 см, cos F = 0,7;

11 . 12

3) EF, якщо DE = 2,4 см, tg D =

609.° У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 17 см,

8 а синус одного з гострих кутів — . Знайдіть катети три17

кутника. 610.° Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см, а косинус одного з гострих кутів — 0,8. Знайдіть катети трикутника. 611.° Катет прямокутного трикутника дорівнює 48 см, а тангенс

3 протилежного кута — 3 . Знайдіть другий катет і гіпотену7

зу трикутника. 612.° У прямокутному трикутнику один із катетів дорівнює 12 см, а тангенс прилеглого кута — 0,75. Знайдіть другий катет і гіпотенузу трикутника. 613.° Розв’яжіть прямокутний трикутник: 1) за гіпотенузою та гострим кутом: c = 28 см, = 48°; 2) за катетом і гострим кутом: a = 56 см, b = 74°; 3) за катетом і гіпотенузою: a = 5 см, c = 9 см; 4) за двома катетами: a = 3 см, b = 7 см. 614.° Розв’яжіть прямокутний трикутник за відомими елементами: 1) a = 34 см, = 55°; 3) b = 12 см, c = 13 см; 2) c = 16 см, b = 18°; 4) a = 4 см, b = 14 см.

133

18. Розв’язування прямокутних трикутників

615.° Використовуючи дані рисунка 188, знайдіть висоту ялинки. 616.° Якої довжини має бути пожежна драбина, щоб нею можна було піднятися 52° на дах будинку заввишки 9 м, якщо 1,6 ì ставити її під кутом 70° до поверхні 8ì землі? 617.° Проїхавши від старту прямолінійною Рис. 188 ділянкою шосе 300 м, велосипедист опинився в точці, розташованій на 11 м вище, ніж точка старту. Знайдіть тангенс кута підйому шосе на цій ділянці. 618.° Під яким кутом падає на землю сонячний промінь, якщо дов жина тіні від вертикальної жердини дорівнює довжині самої жердини? 619.• Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 120°, а висота, проведена до основи, — 3 3 см. Знайдіть сторони трикутника. 620.• Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 см і 12 см, а кут при основі — 45°. Знайдіть висоту та бічну сторону трапеції. • 621. Діагональ паралелограма перпендикулярна до його сторони й дорівнює a. Знайдіть сторони паралелограма, якщо один із його кутів дорівнює 30°. 622.• Сторона ромба дорівнює a, а один із його кутів — 60°. Знай діть діагоналі ромба. • 623. Траншея в перерізі має форму рівнобічної трапеції (рис. 189). Знайдіть кут, який утворюють стінки траншеї з її дном. 624.• Ширина насипу шосейної дороги в нижній його частині дорівнює 80 м (рис. 190), висота насипу — 5 м, а відкоси нахилені до горизонту під кутом 20°. Знайдіть ширину насипу у верхній його частині.

10 ì ?

6ì 4ì

Рис. 189

? 20°

5ì 80 ì Рис. 190

20°

134

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

625.• Висота BD трикутника ABC ділить сторону AC на відрізки AD і CD так, що AD = 12 см, CD = 4 см. Знайдіть сторону BC, якщо ∠A = 30°. • 626. Висота AF ділить сторону BC трикутника ABC на відрізки BF і CF. Знайдіть сторону AC, якщо CF = 13 см, ∠B = 60°, а сторона AB дорівнює 18 см. • 627. Із точки D, що лежить поза прямою n, проведено до цієї прямої похилі DK і DB, які утворюють з нею кути 45° і 60° відповідно. Знайдіть довжину проєкції похилої DK на пряму n, якщо DB = 10 3 см. • 628. Із точки M, що лежить поза прямою l, проведено до цієї прямої похилі MN і MK, які утворюють з нею кути 30° і 45° відповідно. Знайдіть похилу MK, якщо проєкція похилої MN на пряму l дорівнює 4 3 см. • 629. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює b, висота, проведена до бічної сторони, — h. Знайдіть основу трикутника. 630.• Висота, проведена з вершини прямого кута трикутника, дорівнює h, гострий кут — . Знайдіть сторони трикутника. 631.• Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює a. Кут між другим катетом і висотою, проведеною з вершини прямого кута, дорівнює j. Знайдіть невідомі сторони трикутника та проведену висоту. 632.• Більша діагональ ромба дорівнює d, а гострий кут — . Знай діть сторону та меншу діагональ ромба. • 633. Гострий кут ромба дорівнює , радіус вписаного кола — r. Знайдіть сторону та діагоналі ромба. •• 634. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони та утворює з основою трапеції кут 30°. Знайдіть висоту трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції, дорівнює R. •• 635. Одна зі сторін трикутника дорівнює a, прилеглі до неї кути — 45° і 60°. Знайдіть висоту трикутника, проведену до даної сторони. 636.•• Основи трапеції дорівнюють 7 см і 15 см, а кути при більшій основі — 30° і 60°. Знайдіть висоту та діагоналі трапеції.

135

18. Розв’язування прямокутних трикутників

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 637. Периметр паралелограма дорівнює 48 см. Бісектриса тупого кута ділить його сторону у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини гострого кута. Чи може менша сторона паралелограма дорівнювати 7 см? 638. Чотирикутник ABCD вписано в коло, ∠BAC = 52°, ∠DBC = 34°, ∠ADB = 17°. Знайдіть кути чотирикутника. 639. Відомо, що O — точка перетину діагоналей AC і BD трапеції ABCD (BC || AD). Знайдіть відрізки BO і OD, якщо AO : OC = 7 : 6 і BD = 39 см.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

640. Розріжте ромб на чотири чотирикутники так, щоб кожний із них був вписаним у коло й описаним навколо кола.

136

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

ЗАВДАННЯ № 3 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

1. Діаметр AB кола із центром O перпендикулярний до хорди CD (рис. 191). Яка з наведених рівностей є неправильною? А) AC2 = AMæAB; В) AD2 = MBæAB; Б) CM2 = AMæMB; Г) DM2 = AMæMB.

M O

2. На якому рисунку довжина відрізка x дорівнює 2a?

А)

Рис. 191

В)

x a

Б)

Г)

x a

3. Із теореми Піфагора випливає, що гіпотенуза: А) дорівнює сумі катетів; Б) дорівнює сумі квадратів катетів; В) більша за катет; Г) дорівнює квадрату суми катетів. 4. Довжина відрізка x на рисунку 192 дорівнює: А) 4; Б) 3; В) 5; Г) 3 2. 5. Бісектриса рівностороннього трикутника зі стороною a дорівнює:

А)

a 2 ; 2

Б)

a 2 ; 3

В)

a 3 ; 3

Г)

a 3 . 2

6. Радіус кола, описаного навколо квадрата зі стороною a, дорівнює:

А)

a ; 2

Б) a 2;

В)

a 2

;

Г) 2a.

Рис. 192

7. Висота рівнобедреного прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює a. Тоді його катет дорівнює:

А)

a 2 ; 2

Б) a 2;

В) 2a;

Г)

a . 2

137

Головне в параграфі 3

8. Нехай і b — гострі кути прямокутного нерівнобедреного трикутника. Яка з наведених рівностей є правильною? А) sin ætg = cos ; В) sin ætg b = sin b;

sin α = tg b; Б) cos α

Г) cos ætg b = sin b.

9. Нехай — гострий кут прямокутного трикутника. Яка з даних рівностей не може виконуватися?

1 3

А) sin ; Б) sin

В) sin

2 ; 4

Г) sin

3 ; 2 2 3

10. Довжина відрізка x на рисунку 193 дорівнює:

45° x

2 А) asin α; 2 a 2 Б) tg ; 2 a

a 2 В) cos α; 2

Г) a 2 tg .

Рис. 193

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 3

Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику Квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проєкцій катетів на гіпотенузу.

Квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи та проєкції цього катета на гіпотенузу. Теорема Піфагора У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Синус гострого кута прямокутного трикутника Синусом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до гіпотенузи. Косинус гострого кута прямокутного трикутника Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Тангенс гострого кута прямокутного трикутника Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до прилеглого.

138

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

Тригонометричні формули tg

sin cos

sin 2 cos2 1 — основна тригонометрична тотожність cos (90° – ) = sin sin (90° – ) = cos

Співвідношення між сторонами та значеннями тригонометричних функцій кутів у прямокутному трикутнику

• Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на синус кута, протилежного цьому катету. • Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на косинус кута, прилеглого до цього катета. • Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку другого катета на тангенс кута, протилежного першому катету. • Катет прямокутного трикутника дорівнює частці від ділення другого катета на тангенс кута, прилеглого до першого катета. • Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює частці від ділення катета на синус протилежного йому кута. • Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює частці від ділення катета на косинус прилеглого до нього кута. •

•

МНОГОКУТНИКИ. ПЛОЩА МНОГОКУТНИКА

§4

Вивчивши матеріал цього параграфа, ви дізнаєтеся про формулу, за допомогою якої можна знайти суму кутів опуклого многокутника.

Ви розширите свої уявлення про таку знайому вам величину, як площа. Ви навчитеся знаходити площу паралелограма, трикутника, трапеції.

140

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

19. Многокутники

Розглянемо фігуру, яка складається з точок A1, A2, A3, ..., An і відрізків A1A2, A2A3, ..., An–1An, An A1 таких, що жодні два сусідніх відрізки не лежать на одній прямій і ніякі два несусідніх відрізки не мають спільних точок (рис. 194).

A3 An

An–1

Рис. 194

Рис. 195

Фігура, утворена цими відрізками, обмежує частину площини, виділену на рисунку 195 зеленим кольором. Цю частину площини разом з відрізками A1A2, A2A3, ..., An–1An, An A1 називають многокутником. Точки A1, A2, A3, ..., An називають вершинами многокутника, а вказані вище відрізки — сторонами многокутника. Сторони, що є сусідніми відрізками, називають сусідніми сторонами многокутника. Вершини, які є кінцями однієї сторони, називають сусідніми вершинами многокутника. Дві сусідні сторони многокутника утворюють кут многокутника. Наприклад, на рисунку 196 , b, g, d є кутами многокутника, а j не є кутом многокутника. Многокутник називають за кількістю його кутів: трикутник, чотирикутник, п’ятикутник тощо. Многокутник позначають за його вершинами. Наприклад, на рисунку 197 зображено п’ятикутник ABCDE. У позначенні многокутника букви, які стоять поруч, відповідають сусіднім вершинам. Наприклад, п’ятикутник, зображений на рисунку 197, можна також позначити інакше: CDEAB, EABCD, EDCBA тощо.

ϕ δ

C D

β E Рис. 196

Рис. 197

141

19. Многокутники

A C F Рис. 198

Рис. 199

Периметром многокутника називають суму довжин усіх його сторін. Відрізок, який сполучає несусідні вершини многокутника, називають діагоналлю. Наприклад, на рисунку 198 відрізок AE — діагональ шестикутника ABCDEF. На рисунку 199 зображено многокутник, усі кути якого менші від розгорнутого. Такий многокутник називають опуклим. Із сказаного випливає, що будь-який трикутник є опуклим многокутником. Зауважимо, що многокутники, зображені на рисунках 196–198, не є опуклими. Опуклий многокутник має такі властивості: 1) опуклий многокутник розташований в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону (рис. 200); 2) опуклий многокутник, відмінний від трикутника, містить будь-яку свою діагональ (рис. 201). Якщо многокутник не є опуклим, то він таких властивостей не має (рис. 198, 202). Т е о р е м а 19.1. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180° (n – 2). Д о в е д е н н я. Для випадку n = 3 теорему було доведено в 7 класі (теорема 16.1).

Рис. 200

Рис. 201

Рис. 202

142

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

An–1 Рис. 203

Рис. 204

Рис. 205

Нехай n > 3. На рисунку 203 зображено опуклий n-кутник A1 A2 A3 ... An −1 An. Доведемо, що сума всіх його кутів дорівнює 180° (n – 2). Проведемо всі його діагоналі, які виходять із вершини A1. Ці діагоналі розбивають даний многокутник на (n – 2) трикутники. Сума всіх кутів цих трикутників дорівнює сумі кутів n-кутника. Оскільки сума кутів кожного трикутника дорівнює 180°, то шукана сума дорівнює 180° (n – 2).  Зазначимо, що наведена теорема є справедливою також для будь-якого многокутника, що не є опуклим.

О з н а ч е н н я. Коло називають о п и с а н и м н а в к о л о м н о г ок у т н и к а, якщо воно проходить через усі його вершини. На рисунку 204 зображено коло, описане навколо многокутника. У цьому разі також говорять, що многокутник вписаний у коло. Центр кола, описаного навколо многокутника, рівновіддалений від усіх його вершин. Отже, цей центр належить серединним перпендикулярам усіх сторін многокутника, вписаного в коло. Навколо многокутника можна описати коло, якщо існує точка, рівновіддалена від усіх його вершин. Отже, якщо серединні перпендикуляри всіх сторін многокутника перетинаються в одній точці, то навколо такого многокутника можна описати коло.

О з н а ч е н н я. Коло називають в п и с а н и м у м н о г о к у т н и к, якщо воно дотикається до всіх його сторін.

На рисунку 205 зображено коло, вписане в многокутник. У цьому разі також говорять, що многокутник описаний навколо кола. Центр кола, вписаного в многокутник, рівновіддалений від усіх його сторін. Отже, цей центр належить бісектрисам усіх кутів многокутника, описаного навколо кола.

143

19. Многокутники

1. Поясніть, яку фігуру називають многокутником. 2. Що називають периметром многокутника? 3. Що називають діагоналлю многокутника? 4. Який многокутник називають опуклим? 5. Як розташований опуклий многокутник відносно будь-якої прямої, що містить його сторону? 6. Чому дорівнює сума кутів опуклого n-кутника? 7. Яке коло називають описаним навколо многокутника? 8. Яка точка є центром кола, описаного навколо многокутника? 9. Яке коло називають вписаним у многокутник? 10. Яка точка є центром кола, вписаного в многокутник?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ 641.° Накресліть і позначте довільний опуклий семикутник, назвіть усі його вершини та сторони. Проведіть з однієї вершини всі діагоналі, назвіть їх. На скільки трикутників діагоналі розбили семикутник? 642.° Накресліть шестикутник, кожний кут якого дорівнює 120°, а кожна сторона — 4 см. Опишіть навколо цього шестикутника коло та впишіть у нього коло. 643.° Накресліть п’ятикутник, кожний кут якого дорівнює 108°, а кожна сторона — 3 см. Опишіть навколо цього п’ятикутника коло та впишіть у нього коло. 644.° Накресліть коло довільного радіуса, поділіть його на 8 рівних дуг. Використовуючи точки поділу, побудуйте восьмикутник, вписаний у коло. 645.° Накресліть коло довільного радіуса, поділіть його на 12 рівних дуг. Використовуючи точки поділу, побудуйте дванадцятикутник, вписаний у коло.

ВПРАВИ 646.° Знайдіть сторони п’ятикутника ABCDE, якщо сторона BC на 1 см більша за сторону AB, CD на 2 см більша за AB, DE на 3 см більша за AB, AE на 4 см більша за AB, а периметр п’ятикутника дорівнює 100 см.

144

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

647.° Знайдіть суму кутів опуклого: 1) п’ятикутника; 2) восьми кутника; 3) двадцятичотирьохкутника. 648.° Знайдіть суму кутів опуклого: 1) дев’ятикутника; 2) шістна дцятикутника. 649.° Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює: 1) 1800°; 2) 720°; 3) 1600°? 650.° Чи існує многокутник, кожний кут якого дорівнює: 1) 150°; 2) 100°? 651.• Під час знімання плану земельної ділянки, яка має форму п’ятикутника C (рис. 206), отримали такі величини кутів: ∠A = 116°, ∠B = 98°, ∠C = 124°, D B ∠D = 102°, ∠E = 130°. Чи правильно було виконано вимірювання? A E 652.• Знайдіть кути опуклого шестикутника, якщо вони відносяться як Рис. 206 3 : 3 : 4 : 4 : 5 : 5. 653.• Знайдіть кути опуклого семикутника, якщо вони відносяться як 6 : 7 : 8 : 9 : 9 : 10 : 11. 654.• Скільки діагоналей можна провести: 1) у дев’ятикутнику; 2) у двадцятикутнику; 3) у n-кутнику? 655.• В опуклому многокутнику 54 діагоналі. Знайдіть кількість його сторін і суму кутів. 656.• Доведіть, що коли всі сторони многокутника, вписаного в коло, рівні, то й усі його кути теж рівні. 657.• Доведіть, що коли всі кути многокутника, описаного навколо кола, рівні, то й усі його сторони теж рівні. 658.•• Усі сторони опуклого п’ятикутника рівні, а кути, прилеглі до однієї зі сторін, — прямі. Знайдіть решту кутів п’ятикутника. 659.•• Три кути опуклого многокутника дорівнюють по 100°, а решта — по 120°. Визначте вид многокутника. 660.•• Доведіть, що коли кути опуклого шестикутника рівні, то його сторони утворюють три пари паралельних сторін. 661.•• Доведіть, що коли кути опуклого п’ятикутника рівні, то він не має паралельних сторін.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 662. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою тупого кута й ділить середню лінію трапеції на відрізки завдовжки 7 см і 11 см. Знайдіть периметр трапеції.

145

20. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника

663. Медіана та висота прямокутного трикутника, проведені до гіпотенузи, дорівнюють відповідно 13 см і 12 см. Знайдіть периметр даного трикутника. 664. Бісектриса кута A трикутника ABC (∠C = 90°) ділить катет BC на відрізки завдовжки 6 см і 10 см. Знайдіть радіус кола, яке проходить через точку A, точку C і точку перетину даної бісектриси з катетом BC.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

665. На колі радіуса 1 позначили 1000 точок. Доведіть, що знай деться точка, яка належить даному колу, сума відстаней від якої до позначених точок більша за 1000.

20. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника

З такою величиною, як площа, ви часто стикаєтеся в повсякденному житті: площа квартири, площа дачної ділянки, площа поля тощо. Досвід підказує вам, що рівні земельні ділянки мають рівні площі; що площа квартири дорівнює сумі площ усіх її приміщень (кімнат, кухні, коридору тощо). Ви знаєте, що площі земельних ділянок вимірюють у сотках (арах) і гектарах; площі регіонів і держав — у квадратних кілометрах; площу квартири — у квадратних метрах. На цих практичних знаннях про площу будується означення площі многокутника. О з н а ч е н н я. П л о щ е ю м н о г о к у т н и к а називають додатну величину, яка має такі властивості: 1) рівні многокутники мають рівні площі; 2) якщо многокутник складено з кількох многокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників; 3) за одиницю виміру площі беруть одиничний квадрат, тобто квадрат зі стороною, яка дорівнює одиниці виміру довжини. Виміряти площу многокутника — це означає порівняти його площу з площею одиничного квадрата. У результаті отримують числове значення площі даного многокутника. Це число показує, у скільки разів площа даного многокутника відрізняється від площі одиничного квадрата.

��

146

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

1 q ÷àñòèí C p ÷àñòèí

B 1 n

1 n

Рис. 207

Рис. 208

Рис. 209

Наприклад, якщо клітинку вашого зошита прийняти за одиничний квадрат, то площа многокутника, зображеного на рисунку 207, дорівнюватиме 11 квадратним одиницям (коротко записують: 11 од.2). Зазвичай для знаходження площі використовують формули, тобто обчислюють площу многокутника за певними його відомими елементами (сторонами, діагоналями, висотами тощо). Деякі з них ви вже знаєте. Наприклад, ви неодноразово застосовували формулу S = ab, де S — площа прямокутника, a і b — довжини його сусідніх сторін. Для доведення цієї формули буде потрібною така лема.

Л е м а. Площа квадрата зі стороною од. �n — натуральn 1 не число) дорівнює 2 од.2. n Д о в е д е н н я. Розглянемо одиничний квадрат і поділимо його

�� (��

1 на n рівних квадратів зі стороною (рис. 208). n 2

З означення площі многокутника (властивість 1) випливає, що всі ці квадрати мають рівні площі. За властивістю 2 сума площ цих квадратів дорівнює площі одиничного квадрата, тобто 1 од.2. 1 Тому площа кожного маленького квадрата дорівнює 2 од.2.  n Т е о р е м а 20.1. Площа прямокутника дорівнює добутку дов жин його сусідніх сторін. Д о в е д е н н я. На рисунку 209 зображено прямокутник ABCD, довжини сусідніх сторін якого дорівнюють a і b: AB = a, BC = b. Доведемо, що площу S прямокутника обчислюють за формулою S = ab для випадку, коли a і b — раціональні числа.

147

20. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника

Числа a і b подамо у вигляді звичайних дробів з однаковими знаменниками:

p n

q n

a= , b= , де p, q, n — натуральні числа. Поділимо сторону AB на p рівних частин, а сторону BC — на q рівних частин. Через точки поділу проведемо прямі, паралельні сторонам прямокутника. Тоді прямокутник буде поділено

на pq рівних квадратів зі стороною

1 . n

Згідно з лемою площа кожного квадрата дорівнює

1 . З ознаn2

чення площі (властивість 2) випливає, що площа прямокутника дорівнює сумі площ усіх квадратів, тобто S

p q 1 1 1 1 2 ... 2 pqæ 2 æ ab. 2 n n n n n n pq äîäàíê³â

Розгляд випадку, коли хоча б одне із чисел a або b є ірраціональним, виходить за межі шкільного курсу геометрії.  О з н а ч е н н я. Многокутники, які мають рівні площі, називають р і в н о в е л и к и м и. З означення площі (властивість 1) випливає, що всі рівні фігури рівновеликі. Проте не всі фігури, які мають рівні площі, є рівними. Наприклад, на рисунку 210 зображено два многокутники, кожний з яких складається із семи одиничних квадратів. Ці Рис. 210 многокутники рівновеликі, але не рівні.

1. Що називають площею многокутника? 2. Що означає виміряти площу многокутника? 3. Що показує числове значення площі? 4. Чому дорівнює площа квадрата зі стороною

1 од., де n — натуральn

не число? 5. Чому дорівнює площа прямокутника? 6. Які многокутники називають рівновеликими? 7. Чи можна стверджувати, що коли дві фігури рівні, то вони рівновеликі? 8. Чи можна стверджувати, що коли дві фігури рівновеликі, то вони рівні?

148

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

ВПРАВИ 666.° Знайдіть сторони прямокутника, якщо одна з них на 5 см більша за другу, а площа прямокутника дорівнює 36 см2. 667.° Площа прямокутника дорівнює 270 см2, а його сторони відносяться як 5 : 6. Чому дорівнюють сторони прямокутника? 668.° Які з прямокутників, зображених на рисунку 211, рівновеликі?

á à

ã â ä ´ Рис. 211

669.° Квадрат зі стороною 12 см і прямокутник, одна зі сторін якого дорівнює 8 см, рівновеликі. Знайдіть периметр даного прямокутника. 670.° Знайдіть периметр квадрата, який рівновеликий прямокутнику зі сторонами 2 см і 32 см. 671.° Чи вистачить 5 т гороху, щоб засіяти ним поле, яке має форму прямокутника зі сторонами 500 м і 400 м, якщо на 1 га треба висіяти 260 кг гороху? 672.° Довжина стіни дорівнює 6 м, а висота — 3 м. Чи вистачить п’яти контейнерів кахлю, щоб обкласти ним цю стіну, якщо одна плитка має форму квадрата зі стороною 15 см, а в одному контейнері вміщуються 160 плиток? 673.° Витрати емалевої фарби на одношарове покриття становлять 180 г на 1 м2. Чи вистачить 3 кг емалі, щоби пофарбувати стіну завдовжки 6 м і заввишки 3 м? 674.° Тиск деякого газу в посудині становить 0,0015 Н/м2. З якою силою тисне цей газ на стінку посудини прямокутної форми розміром 35 × 24 см?

149

20. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника

675.° Границя міцності сталі деякої марки дорівнює 60 Н/мм2. При якому навантаженні розірветься стержень, поперечний переріз якого є прямокутником зі сторонами 20 мм і 10 мм? 676.• Діагональ прямокутника дорівнює d і утворює з однією зі сторін кут . Знайдіть площу прямокутника. 677.• Сторона прямокутника дорівнює 15 см і утворює з діагоналлю кут 30°. Знайдіть площу прямокутника. 678.• Знайдіть відношення площ двох квадратів, сторони яких відносяться як: 1) 3 : 4; 2) 2 : 5. 679.• Як відносяться сторони двох квадратів, якщо їхні площі відносяться як: 1) 25 : 36; 2) 3 : 49? 680.• Одна зі сторін прямокутника дорівнює 28 см. Як зміниться площа прямокутника, якщо сусідню його сторону зменшити на 5 см? 681.• Як зміниться площа прямокутника, якщо: 1) дві його протилежні сторони збільшити в 3 рази; 2) усі його сторони збільшити в 3 рази; 3) дві його протилежні сторони збільшити в 6 разів, а дві інші — зменшити в 3 рази? 682.• Як зміниться площа прямокутника, якщо: 1) дві його протилежні сторони зменшити в 4 рази, а дві інші — у 2 рази; 2) дві його протилежні сторони збільшити в 4 рази, а дві інші — зменшити в 4 рази? 683.• На продовженні сторони AD паралелограма ABCD за точку D позначено точку M так, що AD = MD. Доведіть, що паралелограм ABCD і трикутник ABM рівновеликі. 684.• Площа квадрата ABCD дорівнює 10 см2 (рис. 212). Чому дорівнює площа прямокутника BMKD? 685.• Доведіть, що коли точка E — середина відрізка AK (рис. 213), то трикутник AKD і прямокутник ABCD рівновеликі.

M B

K C B K

D Рис. 212

D Рис. 213

150

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

686.• У скільки разів площа квадрата, описаного навколо кола, більша за площу квадрата, вписаного в це коло? 687.• Площа прямокутного аркуша паперу, довжини сторін якого виражено цілими числами сантиметрів, дорівнює 12 см2. Скільки квадратів площею 4 см2 можна вирізати із цього аркуша? • 688. Площа прямокутного аркуша паперу, довжини сторін якого виражено цілими числами сантиметрів, дорівнює 18 см2. Скільки квадратів зі стороною 3 см можна вирізати із цього аркуша? 689.• Бісектриса кута прямокутника ділить його діагональ у відношенні 2 : 7. Знайдіть площу прямокутника, якщо його периметр дорівнює 108 см. 690.• Бісектриса кута прямокутника ділить його діагональ у відношенні 1 : 4. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 36 см2. * 691. Побудуйте квадрат, площа якого дорівнює сумі площ двох даних квадратів. 692.* Сторони прямокутника дорівнюють a і b. Побудуйте квадрат, площа якого дорівнює площі даного прямокутника.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 693. Серединний перпендикуляр діагоналі BD паралелограма ABCD перетинає сторони AB і CD. Продовження сторін AD і BC він перетинає в точках M і K відповідно. Визначте вид чотирикутника MBKD. 694. Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються в точці M. Знайдіть відрізок AM, якщо AB = 6 см і BC : AD = 3 : 4. 695. Знайдіть відстань від точки перетину діагоналей ромба до його сторони, якщо гострий кут ромба дорівнює 30°, а сторона — 8 см.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

696. Кожний із двох подібних трикутників розрізали на два трикутники так, що одна з отриманих частин одного трикутника подібна одній із частин другого трикутника. Чи можна стверджувати, що дві інші частини також подібні?

151

21. Площа паралелограма

21. Площа паралелограма Т е о р е м а 21.1. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони та висоти, яка проведена до цієї сторони. Д о в е д е н н я. На рисунку 214 зображено паралелограм ABCD, площа якого дорівнює S, і його висоту BM. Доведемо, що S = BCæBM. Проведемо висоту CN. Легко показати (зробіть це самостійно), що чотирикутник MBCN — прямокутник. Покажемо, що він рів новеликий даному паралелограму. Площа паралелограма дорівнює сумі площ трикутника ABM і трапеції MBCD. Площа прямокутника дорівнює сумі площ за значеної трапеції та трикутника DCN. Проте трикутники ABM і DCN рівні за гіпотенузою та гострим кутом (відрізки AB і CD рівні як протилежні сторони паралелограма, кути 1 і 2 рівні як відповідні при паралельних прямих AB і DC та січній AD). Отже, ці трикутники рівновеликі. Звідси випливає, що паралелограм ABCD і прямокутник MBCN рівновеликі. За теоремою 20.1 площа прямокутника дорівнює добутку дов жин сторін BC і BM. Тоді S = BCæBM, де S — площа паралело грама ABCD. Щоб завершити доведення, потрібно розглянути випадки, коли основа M висоти BM не належатиме стороні AD (рис. 215) або збігатиметься з вершиною D (рис. 216). І в цьому разі паралело грам ABCD і прямокутник MBCN будуть рівновеликими. Доведіть цей факт самостійно. 

C 2

Рис. 214

Рис. 215

D (M)

Рис. 216

Якщо позначити довжини сторони паралелограма та проведеної до неї висоти відповідно буквами a і h, то площу S паралелограма обчислюють за формулою

S = ah

1. Чому дорівнює площа паралелограма? 2. За якою формулою обчислюють площу паралелограма?

152

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

ВПРАВИ 697.° Знайдіть площу паралелограма, сторона якого дорівнює 14 см, а проведена до неї висота — 6 см. 698.° Обчисліть площу паралелограма, зображеного на рисунку 217 (розміри дано в сантиметрах).

5,2

3,6

4 а

б Рис. 217

699.° Які з паралелограмів, зображених на рисунку 218, рівновеликі?

á ã â ´

Рис. 218

700.° Площа паралелограма ABCD (рис. 219) дорівнює S. Чому дорівнює площа зафарбованої фігури? 701.° Площа паралелограма дорівнює 17 см2, а одна з його сторін — 3,4 см. Знайдіть висоту паралелограма, проведену до цієї сторони. 702.° Площа паралелограма дорівнює 40 см2, а висоти дорівнюють 5 см і 4 см. Знайдіть сторони цього паралелограма.

153

21. Площа паралелограма

C A

D ´

Рис. 219

703.° Заповніть таблицю, де a — довжина сторони паралелограма, h — довжина висоти, проведеної до цієї сторони, S — площа паралелограма:

6,2 см

7 см

16 дм 0,9 м 64 дм2

5,4 м2

704.• Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 15 см, а одна з висот дорівнює: 1) 6 см; 2) 12 см. Знайдіть другу висоту паралелограма. Скільки розв’язків у кожному випадку має задача? 705.• Знайдіть площу паралелограма, сторони якого дорівнюють 15 см і 25 см, а одна з діагоналей перпендикулярна до меншої сторони. 706.• Знайдіть площу паралелограма, діагоналі якого дорівнюють 26 см і 24 см, а одна з них перпендикулярна до сторони паралелограма. 707.• Діагональ паралелограма, яка дорівнює 18 см, перпендикулярна до однієї зі сторін і утворює кут 30° із другою стороною. Знайдіть площу паралелограма. 708.• Сторони паралелограма дорівнюють a і b, його гострий кут дорівнює . Знайдіть площу паралелограма.

154

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

709.• Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 60°. Знайдіть площу паралелограма, якщо його висоти дорівнюють 8 см і 12 см. 710.• Сторони паралелограма дорівнюють 14 см і 20 см, а кут між його висотами, проведеними з вершини тупого кута, — 45°. Знайдіть площу паралелограма. 711.• Знайдіть площу ромба, якщо його висота дорівнює 6 см, а більша діагональ — 10 см. 712.• Менша діагональ ромба дорівнює a, а один із кутів — 60°. Знайдіть площу ромба. 713.• Доведіть, що висоти паралелограма обернено пропорційні сторонам, до яких вони проведені. 714.• Сторони паралелограма дорівнюють 9 см і 12 см, а сума двох його нерівних висот дорівнює 14 см. Знайдіть площу паралелограма. 715.• Різниця двох сторін паралелограма дорівнює 12 см, а проведені до них висоти дорівнюють 15 см і 10 см. Знайдіть площу паралелограма. 716.•• Доведіть, що з усіх паралелограмів зі сторонами a і b найбільшу площу має прямокутник.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 717. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = 7 см, BC = 24 см, AM — бісектриса. Знайдіть синус, косинус і тангенс кутів BAC і AMC. 718. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC медіани AM і CK перетинаються в точці O. Доведіть, що трикутник AOC рівнобедрений, і знайдіть його бічні сторони, якщо AM = 21 см. 719. На медіані AM трикутника ABC позначено точку D так, що AD : DM = 1 : 3. Через точку D проведено пряму, паралельну стороні AC. У якому відношенні ця пряма ділить сторону BC, рахуючи від вершини C?

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

720. Доведіть, що в опуклому дев’ятикутнику знайдуться дві діагоналі, кут між якими менший від 7°.

155

22. Площа трикутника

Т е о р е м а 22.1. Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони та проведеної до неї висоти.

Д о в е д е н н я.  На рисунку 220 зображено трикутник ABC, площа якого дорівнює S,

1 і його висоту BM. Доведемо, що S = ACæBM. 2

C Через вершини B і C трикутника проведемо A M прямі, паралельні сторонам AC і AB відповідно Рис. 220 (рис. 220). Нехай ці прямі перетинаються в точці N. Чотирикутник ABNC — паралелограм за означенням. Трикутники ABC і NCB рівні (доведіть це самостійно). Отже, їхні площі також рівні. Тоді площа трикутника ABC дорівнює половині площі паралелограма ABNC. Висота BM трикутника ABC є також висотою паралелограма ABNC. Звідси

1 S = ACæBM.  2

Якщо скористатися позначеннями для висот і сторін трикутника ABC, то згідно з доведеною теоремою маємо:

1 2

S = aha = bhb = chc, де S — площа трикутника.

Н а с л і д о к. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів. Доведіть цю теорему самостійно. Задача. Доведіть, що площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей. Р о з в ’я з а н н я. На рисунку 221 зображено ромб ABCD, площа якого дорівнює S. Його діагоналі AC і BD перетинаються в точці O. Дове-

1 демо, що S = ACæBD. 2

Оскільки діагоналі ромба перпендикулярні, то відрізки АО і СО є висотами трикутників BAD і BCD відповідно. Тоді можна записати:

S = SBAD + SBCD =

D Рис. 221

1 1 BDæAO + BDæCO = 2 2

1 1 BD (AO + CO) = BDæAC.  2 2

156

§ 4. Многокутники. Площа многокутника 1. Як знайти площу трикутника, якщо відомо його сторону та висоту, проведену до неї? 2. Як знайти площу прямокутного трикутника, якщо відомо його катети?

ВПРАВИ 721.° Сторона трикутника дорівнює 12 см, а висота, проведена до неї, — 2,5 см. Знайдіть площу трикутника. 722.° Знайдіть площу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 10 см і 18 см. 723.° Які з трикутників, зображених на рисунку 222, рівновеликі?

Рис. 222

724.° Обчисліть площі трикутників, зображених на рисунку 223, якщо довжина сторони клітинки дорівнює одиниці довжини.

â Рис. 223

157

22. Площа трикутника

725.° Площа трикутника дорівнює 48 см2. Знайдіть сторону трикутника, якщо висота, проведена до цієї сторони, дорівнює 8 см. 726.° Відомо, що дві сторони трикутника дорівнюють 24 см і 9 см, а висота, проведена до більшої з відомих сторін, — 6 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до меншої з відомих сторін. 727.° Заповніть таблицю, де a — довжина сторони трикутника, h — довжина висоти, проведеної до неї, S — площа трикутника:

2,4 см

4 см

9 дм 5м 65 м2

81 дм2

728.° Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 24 см, а бічна сторона — 13 см. 729.° Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 61 см, а висота, проведена до основи, — 60 см. Знайдіть площу трикутника. 730.° Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а медіана, проведена до гіпотенузи, — 18,5 см. Знайдіть площу трикутника. 731.• Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо висота, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки завдовжки 3 см і 27 см. 732.• Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 8 см, а проєкція одного з катетів на гіпотенузу — 6 см. Знайдіть площу трикутника. 733.• Висота BD трикутника ABC ділить його сторону AC на відрізки AD і CD. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо BC = = 37 см, ∠A = 30°, CD = 5 см. 734.• Висота AM трикутника ABC ділить його сторону BC на відрізки BM і MC. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо AB = = 10 2 см, AC = 26 см, ∠B = 45°. • 735. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює b, а кут при основі дорівнює . 736.• Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює h, а кут при вершині дорівнює b. Знайдіть площу трикутника. 737.• Знайдіть площу рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює a.

158

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

738.• Знайдіть площу рівнобедреного прямокутного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює c. 739.• Знайдіть висоту прямокутного трикутника, проведену до гіпотенузи, якщо його катети дорівнюють 10 см і 24 см. 740.• Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на відрізки завдовжки 8 см і 12 см. Знайдіть площу трикутника. 741.• Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 54 см, а висота, проведена до основи, — 9 см. 742.• Основа рівнобедреного трикутника відноситься до його висоти, опущеної на основу, як 8 : 3, бічна сторона трикутника дорівнює 40 см. Знайдіть площу трикутника. 743.• Доведіть, що площа опуклого чотирикутника, діагоналі якого перпендикулярні, дорівнює половині їхнього добутку. • 744. Площа ромба дорівнює 120 см2, а його діагоналі відносяться як 5 : 12. Знайдіть периметр ромба. 745.• Знайдіть площу ромба, сторона якого дорівнює 25 см, а сума діагоналей — 62 см. 746.• Знайдіть площу ромба, сторона якого дорівнює 39 см, а різниця діагоналей — 42 см. 747.• Дано пряму l і паралельний їй відрізок AB. Доведіть, що всі трикутники AXB, де X — довільна точка прямої l, рівновеликі. 748.• Доведіть, що коли висота одного трикутника дорівнює висоті другого трикутника, то площі даних трикутників відносяться як їхні сторони, до яких проведено ці висоти. 749.• Доведіть, що медіана трикутника розбиває його на два рівновеликих трикутники. 750.• На стороні AC трикутника ABC позначено точку M так,

S AM m m що = . Доведіть, що ABM = . MC n SCBM n

751.• У трикутнику провели всі три медіани. Доведіть, що вони розбивають трикутник на шість рівновеликих трикутників. 752.• Через вершину B трикутника ABC проведіть дві прямі так, щоб вони розбили даний трикутник на три рівновеликих трикутники. 753.• Через вершину паралелограма проведіть прямі так, щоб вони розбили даний паралелограм: 1) на чотири рівновеликих многокутники; 2) п’ять рівновеликих многокутників. 754.• Через вершину ромба проведіть дві прямі так, щоб вони розбили даний ромб на три рівновеликих многокутники.

159

22. Площа трикутника

755.• Побудуйте трикутник, рівновеликий даному паралелограму. 756.• У трикутнику проведено три висоти. Доведіть, що до найбільшої сторони трикутника проведено найменшу висоту. 757.•• На стороні AC трикутника ABC позначено точку M так,

AM m що = . Нехай X — довільна внутрішня точка відрізMC n S m ка BM. Доведіть, що ABX = . SCBX n

758.•• Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на відрізки, один з яких на 14 см більший за другий. Знайдіть площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює 4 см. 759.•• У прямокутному трикутнику ABC до гіпотенузи AB проведено висоту CM. Площа трикутника ACM дорівнює 6 см2, а площа трикутника BCM — 54 см2. Знайдіть сторони трикутника ABC. 760.•• Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо бісектриса його гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 21 см і 35 см. 761.•• Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 2 см і 6 см. 762.•• Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить його висоту, проведену до основи, на відрізки, довжини яких дорівнюють 34 см і 16 см. Знайдіть площу даного трикутника. 763.•• У рівнобедрений трикутник вписано коло. Точка дотику ділить бічну сторону трикутника у відношенні 9 : 8, рахуючи від вершини рівнобедреного трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює 16 см. 764.* На продовженнях сторін AB, BC, AC рівностороннього трикутника ABC за точки B, C і A відповідно позначено точки D, E і F так, що BD = CE = AF = 2AB. Знайдіть площу трикутника DEF, якщо площа трикутника ABC дорівнює 1 см2. * 765. У трикутнику ABC позначено точку M так, що площі трикутників AMB, BMC і AMC рівні. Доведіть, що M — точка перетину медіан трикутника ABC. 766.* На стороні AC трикутника ABC позначено точку D. Проведіть через цю точку пряму так, щоб вона розбила даний трикутник на два рівновеликих многокутники. 767.* Доведіть, що сума відстаней від довільної точки рівностороннього трикутника до його сторін є сталою для даного трикутника.

160

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 768. У рівнобедреному трикутнику ABC (AB = BC) бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці M. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо ∠AMB = 117°. 769. У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 18 см і 12 см. Бічна сторона утворює з основою кут 30°. Знайдіть діагональ трапеції. 770. Центр кола, вписаного в рівнобічну трапецію, віддалений від кінців її бічної сторони на 12 см і 16 см. Знайдіть периметр трапеції.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

771. На площині дано n точок (n > 3), жодні три з яких не лежать на одній прямій. Доведіть, що існує трикутник з вершинами в даних точках, який не містить жодної з решти (n – 3) точок.

23. Площа трапеції

Т е о р е м а 23.1. Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ і висоти. Д о в е д е н н я. На рисунку 224 зображено M B C трапецію ABCD (AD || BC), площа якої дорівнює S. Відрізок CN — висота цієї трапеції.

Доведемо, що S =

1 (BC + AD)æCN. 2

A N D Проведемо діагональ AC і висоту AM трапеції. Відрізки АМ і СN є висотами трикутРис. 224 ників АВС і ACD відповідно. Маємо: 1 1 S S ABC S ACD = BCæAM + ADæCN =

1 1 1 BCæCN + ADæCN = (BC + AD)æCN.  2 2 2

Якщо позначити довжини основ трапеції та її висоти відповідно буквами a, b і h, то площу S трапеції обчислюють за формулою

a b æh 2

161

23. Площа трапеції

Н а с л і д о к. Площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії та висоти.

1. Сформулюйте теорему про площу трапеції. 2. За якою формулою обчислюють площу трапеції?

ВПРАВИ 772.° Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 7 см і 12 см, а висота — 6 см. 773.° Знайдіть площу трапеції, середня лінія якої дорівнює 18 см, а висота — 9 см. 774.° Площа трапеції дорівнює 96 см2, а її висота — 3 см. Знайдіть основи трапеції, якщо вони відносяться як 3 : 5. 775.° Площа трапеції дорівнює 45 см2, одна з основ — 8 см, а висота — 6 см. Знайдіть другу основу трапеції. 776.° Знайдіть площу рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 14 см і 16 см, а діагональ — 17 см. 1,2 777.° Чому дорівнює площа прямокутної трапеції, основи якої дорівнюють 9 см і 16 см, а більша бічна сторона — 65 см? 778.° Знайдіть площу рівнобічної трапеції, 0,8 основи якої дорівнюють 14 см і 32 см, а бічна сторона — 15 см. Рис. 225 779.° На рисунку 225 зображено поперечний переріз траншеї, який має форму трапеції. Обчисліть площу цього поперечного перерізу (розміри дано в метрах). 780.° Знайдіть площу трапеції, зображеної на рисунку 226 (розміри дано в сантиметрах).

1,5

40 45°

32 45°

60°

б Рис. 226

162

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

24 781.° Знайдіть площу трапеції, зображеної на 20 рисунку 227 (розміри дано в сантиме150° трах). 36 782.• У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й ділить середню ліРис. 227 нію трапеції на відрізки завдовжки 6 см і 12 см. Знайдіть площу трапеції. 783.• Основи прямокутної трапеції дорівнюють 9 см і 17 см, а діагональ є бісектрисою її тупого кута. Обчисліть площу трапеції. 784.• Точка перетину бісектрис гострих кутів при основі трапеції належить другій основі. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють 17 см і 25 см, а висота — 15 см. • 785. Точка перетину бісектрис тупих кутів при основі трапеції належить другій основі. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють 10 см і 17 см, а висота — 8 см. 786.• Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює 20 3 см і утворює з основою кут 60°. Знайдіть площу трапеції, якщо в неї можна вписати коло. 787.• Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 32 см і 50 см. Чому дорівнює площа даної трапеції, якщо в неї можна вписати коло? 788.• Менша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнює 8 см, а гострий кут — 45°. Знайдіть площу трапеції, якщо в неї можна вписати коло. 789.• Більша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнює 28 см, а гострий кут — 30°. Знайдіть площу трапеції, якщо в неї можна вписати коло. 790.• Доведіть, що пряма, яка проходить через середину середньої лінії трапеції та перетинає її основи, розбиває дану трапецію на два рівновеликих многокутники. 791.• Побудуйте рівновеликий даній трапеції: 1) паралелограм, відмінний від прямокутника; 2) прямокутник. 792.• Побудуйте трикутник, рівновеликий даній трапеції. 793.•• Знайдіть площу рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 24 см і 40 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони. 794.•• Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони, яка дорівнює 15 см. Знайдіть площу трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо неї, дорівнює 12,5 см. 795.•• Діагоналі трапеції перпендикулярні, одна з них дорівнює 48 см, а середня лінія трапеції — 25 см. Знайдіть площу трапеції.

163

23. Площа трапеції

796.•• Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута й перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює a. 797.•• У рівнобічну трапецію вписано коло. Одна з її бічних сторін точкою дотику ділиться на відрізки завдовжки 4 см і 9 см. Знайдіть площу трапеції. 798.•• У прямокутну трапецію вписано коло радіуса 12 см. Більша з бічних сторін точкою дотику ділиться на два відрізки, більший з яких дорівнює 16 см. Знайдіть площу трапеції. 799.•• Діагональ рівнобічної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 15 см і 12 см, а бічна сторона трапеції дорівнює її меншій основі. Знайдіть площу трапеції. 800.•• Більша діагональ прямокутної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 15 см і 9 см. Більша бічна сторона трапеції дорівнює її меншій основі. Знайдіть площу трапеції. •• 801. У трапеції ABCD відомо, що BC || AD, точка M — середина сторони AB. Знайдіть площу трикутника CMD, якщо площа даної трапеції дорівнює S.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 802. Периметр паралелограма ABCD дорівнює 50 см, а периметр трикутника ABD — 40 см. Знайдіть сторони паралелограма, якщо AD = BD. 803. Коло, побудоване на діагоналі AC ромба ABCD як на діаметрі, проходить через середину сторони AB. Знайдіть кути ромба. 804. На сторонах AB, BC і AC трикутника ABC позначили відповідно точки M, K і D так, що MK || AC, DK || AB, BK : KC = 3 : 2. Знайдіть периметр чотирикутника AMKD, якщо AC = 15 см, AB = 25 см.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

805. Чи можна квадрат зі стороною 1,5 см покрити трьома квадра тами зі стороною 1 см?

164

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

РІВНОСКЛАДЕНІ Й РІВНОВЕЛИКІ МНОГОКУТНИКИ

Якщо деякий многокутник можна розрізати на частини та скласти з них інший многокутник, то такі многокутники називають рівноскладеними. Наприклад, якщо прямокутник розрізати вздовж його діагоналі (рис. 228), то отримаємо два рівних прямокутних трикутники, з яких можна скласти рівнобедрений трикутник (рис. 229). Фігури на рисунках 228 і 229 — рівноскладені.

Рис. 228

Рис. 229

Очевидно, що рівноскладені многокутники є рівновеликими. Цей факт застосовують під час доведення теорем і розв’язування задач. Наприклад, доводячи теорему 21.1, ми фактично розрізали паралелограм на трикутник ABM і трапецію MBCD, з яких склали прямокутник MBCN (див. рис. 215). Якщо трикутник розрізати вздовж середньої лінії, то з отриманих трикутника та трапеції можна скласти паралелограм (рис. 230).

Рис. 230

Рис. 231

Легко встановити (зробіть це самостійно), що таке розрізання трикутника приводить до ще одного доведення теореми про площу трикутника (теорема 22.1). Цій самій меті слугує розрізання трикутника на частини, з яких можна скласти прямокутник (рис. 231). Евклід у своїй знаменитій книзі «Начала» формулює теорему Піфагора так: «Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах».

165

Рівноскладені й рівновеликі многокутники

Якщо показати, що можна розрізати квадрати, побудовані на катетах, на частини та скласти із цих частин квадрат зі стороною, яка дорівнює гіпотенузі, то тим самим буде доведено теорему Піфагора. На рисунку 232 показано один із можливих способів такого розрізання. Квадрати, побудовані на катетах, розрізано на частини, площі яких дорівнюють S1, S2, S3, S4. Із цих частин складено квадрат, побудований на гіпотенузі.

B C S3

Рис. 232

Рис. 233

З означення площі многокутника випливає, що рівноскладені многокутники є рівновеликими. Проте зовсім неочевидною є така теорема. Т е о р е м а. Будь-які два рівновеликих многокутники є рівноскладеними. Уперше цей факт довів у 1832 р. угорський математик Фаркаш Бояї. Трохи згодом німецький математик Пауль Гервін знайшов інше доведення. Тому цю теорему називають теоремою Бояї—Гервіна.

ВПРАВИ 1. Доведіть, що трапеція є рівноскладеною з паралелограмом, основа якого дорівнює середній лінії трапеції, а висота — висоті трапеції. 2. Доведіть, що площа трапеції дорівнює добутку бічної сторони та перпендикуляра, опущеного на пряму, яка містить цю сторону, із середини другої бічної сторони. 3. У чотирикутнику ABCD кути ABC і ADC прямі, а сторони AB і BC рівні (рис. 233). Відомо, що BH ^ AD і BH = 1. Знайдіть площу чотирикутника ABCD.

166

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

ТЕОРЕМА ЧЕВИ На сторонах BC, CA і AB трикутника ABC позначимо довільні точки A1, B1, C1 (рис. 234). Кожен із відрізків AA1, BB1, CC1 називають чевіаною трикутника ABC. Така назва пов’язана з ім’ям італійського інженера й математика Джованні Чеви (1648–1734), який відкрив дивовижну теорему.

B C1

C1 A1

Рис. 234

Рис. 235

Якщо точки A1, B1 і C1 узято так, що чевіани є бісектрисами, або медіанами, або висотами гострокутного трикутника, то ці чевіани перетинаються в одній точці. Якщо три прямі перетинаються в одній точці, то їх називають конкурентними. Теорема Чеви дає загальний критерій конкурентності трьох довільних чевіан.

Т е о р е м а. Для того щоб чевіани AA1, BB1 і CC1 трикутника ABC перетиналися в одній точці, необхідно і достатньо, щоб виконувалася рівність

AC1 BA1 CB1 æ æ = 1. C1 B A1C B1 A

(*)

Д о в е д е н н я. Доведемо спочатку необхідну умову конкурентності: якщо чевіани AA1, BB1 і CC1 перетинаються в одній точці, то виконується рівність (*). Скориставшися результатом ключової задачі 757, можна записати (рис. 235):

AC1 S ADC = , C1B SBDC

BA1 S ABD = , A1C S ADC

CB1 SBDC = . B1 A S ABD

Перемноживши записані рівності, отримаємо рівність (*).

167

Теорема Чеви

Доведемо тепер достатню умову конкурентності: якщо виконується рівність (*), то чевіани AA1, BB1 і CC1 перетинаються в одній точці. Нехай чевіани AA1 і BB1 перетинаються в точці D, а чевіана, яка проходить через вершину C і точку D, перетинає сторону AB у деякій точці C2. З доведеного вище можна записати:

AC2 BA1 CB1 æ æ = 1. C2 B A1C B1 A

Зіставляючи цю рівність з рівністю (*), доходимо висновку, що

AC1 AC2 = , тобто точки C1 і C2 ділять відрізок AB в одному й тому C1B C2 B

самому відношенні, а отже, ці точки збігаються. Таким чином, пряма CD перетинає сторону AB у точці C1. 

ВПРАВИ 1. Доведіть, що: 1) медіани трикутника конкурентні; 2) бісектриси трикутника конкурентні; 3) висоти гострокутного трикутника конкурентні. 2. Нехай A1, B1, C1 — точки дотику вписаного кола відповідно до сторін BC, AC, AB трикутника ABC. Доведіть, що чевіани AA1, BB1 і CC1 конкурентні. 3. Прямі AP, BP і CP перетинають сторони трикутника ABC у точках A1, B1 і C1 відповідно. Доведіть, що прямі, які проходять через середини сторін BC, CA і AB паралельно прямим AP, BP і CP відповідно, конкурентні.

Вказівка. Застосуйте теорему Чеви до трикутника, вершини якого є серединами сторін трикутника ABC.

168

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

ЗАВДАННЯ № 4 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

1. Скільки сторін в опуклому n-кутнику, якщо сума його кутів дорівнює 1260°? А) 7; Б) 9; В) 11; Г) 13.

2. В опуклому n-кутнику 14 діагоналей. Чому дорівнює сума його кутів? А) 1000°; Б) 800°; В) 900°; Г) 720°.

3. Як зміниться площа прямокутника, якщо кожну з його сторін зменшити в 10 разів? А) Зменшиться в 100 разів; Б) зменшиться у 20 разів; В) зменшиться в 10 разів; Г) зменшиться в 1000 разів.

4. Площа паралелограма дорівнює 80 см2, а одна з його сторін — 16 см. Якої довжини може бути сусідня сторона паралелограма? А) 2 см; Б) 3 см; В) 4 см; Г) 6 см.

5. На стороні BC паралелограма ABCD позначено точку M так, що BM : MC = 1 : 3. Чому дорівнює площа трикутника ABM, якщо площа паралелограма дорівнює S?

А)

S ; 8

Б)

S ; 4

В)

S ; 16

Г)

S . 2

6. На рисунку 236 площа кожного з маленьких квадратів дорівнює 4 см2. Чому дорівнює площа великого квадрата? А) 16 см2; Б) 20 см2; В) 32 см2; Г) 40 см2.

B A

Рис. 236

Рис. 237

169

Головне в параграфі 4

7. У коло радіуса 1 см вписано квадрат і рівносторонній трикутник. Чому дорівнює відношення площі даного трикутника до площі квадрата?

3 3 ; 4

А)

Б) 3 3;

В)

3 3 ; 2

Г)

3 3 . 8

8. Точки O1 і O2 — центри рівних кіл, які мають тільки одну спільну точку (рис. 237), BO2 ^ O1O2, AB = 10 см. Чому дорівнює площа трикутника ABO2? А) 10 см2; Б) 15 см2; В) 18 см2; Г) 20 см2. 9. Дано дві точки A і B. Геометричним місцем точок X таких, що площі трикутників AXB дорівнюють даному числу S, є: А) коло з діаметром AB; Б) серединний перпендикуляр відрізка AB; В) пряма, паралельна AB; Г) дві прямі, паралельні AB.

10. Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні та ділять її середню лінію на три рівні частини. Чому дорівнює площа трапеції, якщо її більша основа дорівнює 12 см? А) 50 см2; Б) 64 см2; В) 81 см2; Г) 144 см2.

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 4

Сума кутів опуклого n-кутника Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180° (n – 2).

Коло, описане навколо многокутника Коло називають описаним навколо многокутника, якщо воно проходить через усі його вершини. Коло, вписане в многокутник Коло називають вписаним у многокутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін.

Площа многокутника Площею многокутника називають додатну величину, яка має такі властивості: 1) рівні многокутники мають рівні площі; 2) якщо многокутник складено з кількох многокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників;

170

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

3) за одиницю виміру площі беруть одиничний квадрат, тобто квадрат зі стороною, яка дорівнює одиниці виміру довжини.

Площа прямокутника Площа прямокутника дорівнює добутку довжин його сусідніх сторін. Рівновеликі многокутники Многокутники, які мають рівні площі, називають рівновеликими. Площа паралелограма Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони та висоти, яка проведена до цієї сторони. Площа трикутника Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони та проведеної до неї висоти. Площа прямокутного трикутника Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів. Площа трапеції • Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ і висоти. • Площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії та висоти. •

•

171 ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ 8 КЛАСУ

1. Чотирикутники

806. Знайдіть периметр паралелограма, якщо бісектриса одного з його кутів ділить сторону паралелограма на відрізки зав довжки 9 см і 14 см. 807. Бісектриса кута BAD паралелограма ABCD перетинає сторону BC у точці M так, що BM : MC = 5 : 4. Знайдіть сторони паралелограма, якщо периметр трикутника BOC на 8 см більший за периметр трикутника COD, де O — точка перетину діагоналей паралелограма. 808. У паралелограмі ABCD відомо, що 2 ∠ADB = ∠A + ∠BDC. Знайдіть кут ADB. 809. У паралелограмі ABCD відомо, що AB = a, BC = b, a > b. Кола, вписані в трикутники ABD і CBD, дотикаються до діагоналі BD у точках M і K відповідно. Знайдіть відрізок MK. 810. Скільки різних паралелограмів можна скласти з двох рівних трикутників, якщо вони: 1) різносторонні; 2) рівнобедрені; 3) рівносторонні? 811. Чи є правильним твердження: 1) якщо діагоналі чотирикутника рівні, то цей чотирикутник — паралелограм; 2) якщо дві сторони чотирикутника паралельні й точка перетину діагоналей рівновіддалена від цих сторін, то цей чотирикутник — паралелограм; 3) якщо дві сторони чотирикутника паралельні, а дві інші — рівні, то цей чотирикутник — паралелограм; 4) якщо бісектриси двох протилежних кутів чотирикутника перпендикулярні до бісектриси його третього кута, то цей чотирикутник — паралелограм; 5) якщо діагональ чотирикутника розбиває його на два рівних трикутники, то цей чотирикутник — паралелограм; 6) якщо кожна діагональ чотирикутника розбиває його на два рівних трикутники, то цей чотирикутник — паралелограм; 7) якщо кожні дві протилежні вершини чотирикутника рівновіддалені від діагоналі, яка сполучає дві інші вершини, то цей чотирикутник — паралелограм? 812. Чи є правильним твердження: 1) якщо дві сторони чотирикутника паралельні, а одна з діагоналей розбиває чотирикутник на два рівних трикутники, то цей чотирикутник — паралелограм;

172

Вправи для повторення курсу геометрії 8 класу

2) якщо дві сторони чотирикутника паралельні, а точка перетину діагоналей ділить одну з них навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм; 3) якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні та діагоналі його рівні, то цей чотирикутник — паралелограм? Периметр ромба дорівнює 8 см, а його висота — 1 см. Знайдіть кути ромба. Кут при вершині B ромба ABCD дорівнює 40°, точки M і K — основи перпендикулярів, опущених із вершини A на сторони BC і CD відповідно. Знайдіть кути трикутника AMK. Перпендикуляр, опущений із вершини B прямокутника ABCD на діагональ AC, ділить кут ABC на два кути, величини яких відносяться як 1 : 3. Знайдіть кут між проведеним перпендикуляром і діагоналлю BD. Серединний перпендикуляр діагоналі прямокутника утворює з його більшою стороною кут 60°. Відрізок цієї прямої, який належить прямокутнику, дорівнює 12 см. Знайдіть більшу сторону прямокутника. На діагоналі AC ромба ABCD позначено точки M і K так, що AM = CK. Доведіть, що ∠ABM = ∠CBK. Периметр ромба на 42 см більший за сторону ромба. Знайдіть периметр ромба. Чи є правильним твердження: 1) якщо діагоналі чотирикутника рівні, то цей чотирикутник — прямокутник; 2) якщо діагоналі чотирикутника рівні та перпендикулярні, то цей чотирикутник — квадрат; 3) якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні та точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — квадрат; 4) якщо діагоналі чотирикутника рівні, перпендикулярні та точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — квадрат; 5) якщо три сторони чотирикутника рівні, а діагональ є бісектрисою одного з його кутів, то цей чотирикутник — ромб? У разі ствердної відповіді обґрунтуйте її, у разі заперечної — накресліть чотирикутник, який слугує контрприкладом. На сторонах AB, BC і AC трикутника ABC позначено точки D, F і E відповідно так, що BD = BF = DE = EF. Доведіть, що точка F належить бісектрисі кута BDE. Відстань від середини хорди AC кола до діаметра AB дорівнює 4 см. Знайдіть хорду BC, якщо ∠BAC = 30°.

813.

814.

815.

816.

817.

818.

819.

820.

821.

173

Вправи для повторення курсу геометрії 8 класу

822. Побудуйте паралелограм за його вершиною та серединами сторін, яким ця вершина не належить. 823. Бічна сторона AB і менша основа BC трапеції ABCD дорівнюють відповідно 16 см і 15 см. Який із відрізків перетинає бісектриса кута BAD — основу BC чи бічну сторону CD? 824. Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює більшій основі та утворює з нею кут 40°. Знайдіть кути трапеції. 825. Кут між двома січними, які проходять через точку поза колом, дорівнює 35°. Градусна міра більшої дуги кола, що міститься між сторонами цього кута, дорівнює 100°. Знайдіть градусну міру меншої дуги, яка міститься між сторонами даного кута. 826. Доведіть, що коли вершина кута лежить поза колом, а кут спирається на діаметр кола, то цей кут гострий. 827. Доведіть, що коли вершина кута лежить усередині кола, а кут спирається на діаметр кола, то цей кут тупий або розгорнутий. 828. Діагоналі чотирикутника ABCD, вписаного в коло, перпендикулярні, ∠ACB = 10°, ∠BDC = 70°. Знайдіть кути даного чотирикутника.

2. Подібність трикутників 829. Дві паралельні прямі перетинають одну зі сторін кута з вершиною M у точках A і C, а другу — відповідно в точках B і D. Знайдіть відрізки MA і MC, якщо MB : BD = 2 : 3 і MA + MC = 14 см. 830. Знайдіть відношення основ трапеції, якщо її діагоналі ділять середню лінію трапеції на три рівні частини. 831. На медіані BD трикутника ABC позначено точку M так, що BM : MD = 3 : 2. Пряма AM перетинає сторону BC у точці E. У якому відношенні точка E ділить сторону BC, рахуючи від вершини B? 832. Бісектриса кута A паралелограма ABCD перетинає діагональ BD і сторону BC у точках E і F відповідно, BE : ED = 2 : 7. Знайдіть відношення BF : FC. 833. Медіани AD і BM трикутника ABC перетинаються в точці O. Через точку O проведено пряму, яка паралельна стороні AC і перетинає сторону BC у точці K. Знайдіть відрізки BD, DK і KC, якщо BC = 18 см. 834. Бісектриса BD трикутника ABC ділить сторону AC на відрізки AD і DC, довжини яких відносяться як 3 : 5. Знайдіть сторони AB і BC, якщо їхня сума дорівнює 56 см.

174

Вправи для повторення курсу геометрії 8 класу

835. Радіус кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, становить

2 висоти, проведеної до основи трикутника. Знайдіть сторони 9

трикутника, якщо його периметр дорівнює 72 см. 836. Сторони трикутника дорівнюють 2,5 см, 4,5 см і 6 см. Знай діть сторони подібного йому трикутника, якщо його більша сторона дорівнює 24 см. 837. У трикутник ABC вписано ромб ADEF так, що кут A у них спільний, а вершина E належить стороні BC. Знайдіть сторону ромба, якщо AB = a, AC = b. 838. Периметр паралелограма дорівнює 72 см, а його висоти відносяться як 5 : 7. Знайдіть сторони паралелограма. 839. Дано три точки, які не лежать на одній прямій. Проведіть пряму, рівновіддалену від цих точок. Скільки розв’язків має задача? 840. Пряма MB перетинає коло в точках A і B (точка A лежить між точками M і B), а пряма MD — у точках C і D (точка C лежить між точками M і D). Знайдіть відрізок AB, якщо AB = MC, MA = 20 см, CD = 11 см. 841. Пряма AB дотикається до кола в точці B, а пряма AC перетинає коло в точках C і D (точка D лежить між точками A і C). Знайдіть відрізок CD, якщо AB = 6 см, AC = 9 см. 842. Хорди AB і CD кола перетинаються в точці M, CM = 4 см, DM = 6 см, відрізок AM на 2 см більший за відрізок BM. Знайдіть хорду AB. 843. На одній стороні кута з вершиною в точці A позначили точки B і C, а на другій — точки D і E, причому AB = 10 см, AC = 18 см, AD : AE = 5 : 9. Знайдіть відрізок CE, якщо BD = 20 см.

3. Розв’язування прямокутних трикутників 844. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 10 см, а відстань між серединою гіпотенузи та основою висоти трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює 6 см. Знайдіть периметр даного трикутника. 845. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 15 см, а висота, проведена до основи, на 6 см менша від основи. Знайдіть основу трикутника. 846. Із точки K, що лежить поза прямою a, проведено до цієї прямої похилі KA і KB, які утворюють з нею кути 45° і 30° відповідно. Знайдіть проєкцію похилої KB на пряму a, якщо KA = 8 6 см.

175

Вправи для повторення курсу геометрії 8 класу

847. Перпендикуляр, проведений із точки перетину діагоналей ромба до його сторони, ділить її на відрізки завдовжки 4 см і 25 см. Знайдіть діагоналі ромба. 848. Коло, центр якого належить гіпотенузі прямокутного трикутника, дотикається до більшого катета й проходить через вершину протилежного гострого кута. Знайдіть радіус кола, якщо катети дорівнюють 5 см і 12 см. 849. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знай діть відстань від вершини меншого гострого кута трикутника до центра вписаного кола. 850. Перпендикуляр, опущений із точки кола на його діаметр, ділить діаметр на два відрізки, один з яких на 27 см більший за другий. Знайдіть діаметр кола, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 18 см.

4. Многокутники. Площа многокутника 851. Площа паралелограма ABCD дорівнює S. Знайдіть площу зафарбованої фігури (рис. 238).

D б

Рис. 238

852. Знайдіть площу паралелограма ABCD, якщо BD ^ AD, BD = = 16 см, ∠A = 45°. 853. Знайдіть площу квадрата, діагональ якого дорівнює d. 854. Знайдіть площу рівностороннього трикутника, якщо радіус описаного навколо нього кола дорівнює R. 855. Катет прямокутного трикутника дорівнює b, а протилежний йому кут дорівнює b. Знайдіть площу трикутника. 856. Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює , а гіпотенуза дорівнює c. Знайдіть площу трикутника. 857. Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 15 см, а висота — 3 3 см. Знайдіть площу трапеції, якщо один з її кутів дорівнює 150°.

176

Вправи для повторення курсу геометрії 8 класу

858. Діагоналі рівнобічної трапеції є бісектрисами її гострих кутів і точкою перетину діляться у відношенні 5 : 13. Знайдіть площу трапеції, якщо її висота дорівнює 90 см. 859. Площа рівнобічної трапеції дорівнює 36 2 см2, а гострий кут — 45°. Знайдіть висоту трапеції, якщо в неї можна вписати коло. 860. Розгадайте кросворд.

6 7 8

9 10

11 12 13

14 15

16 17

19 20

22 23

По горизонталі: 5. Давньогрецький учений. 7. Один із видів паралелограма. 8. Кут, вершиною якого є центр кола. 9. Чотирикутник, у якого тільки одна пара паралельних сторін. 11. Відношення катета, протилежного гострому куту прямокутного трикутника, до гіпотенузи. 14. Геометрична фігура. 16. Трикутники, кути яких рівні, а сторони пропорційні.

Вправи для повторення курсу геометрії 8 класу

177

18. Відношення катета, прилеглого до гострого кута прямокутного трикутника, до гіпотенузи. 19. Многокутники, які мають рівні площі. 20. Давньогрецький математик. 22. Прямокутник, у якого всі сторони рівні. 23. Сума сторін многокутника. 24. Одна із частин кола, на які ділять його дві точки.

По вертикалі: 1. Відношення катета, протилежного гострому куту прямокутного трикутника, до прилеглого катета. 2. Вид чотирикутника. 3. Сторона прямокутного трикутника. 4. Кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинають це коло. 6. Пряма, яка проходить через точку кола та перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку. 10. Сторона прямокутного трикутника, квадрат якої дорівнює сумі квадратів двох інших сторін. 12. Паралелограм, у якого всі сторони рівні. 13. Твердження, правильність якого встановлюють за допомогою доведення. 15. Величина. 17. Хорда кола, яка проходить через його центр. 21. Допоміжна теорема.

178

ДРУЖИМО З КОМП’ЮТЕРОМ У 7 класі ви вже користувалися комп’ютером під час вивчення геометрії. У 8 класі ви вивчатимете більш складні геометричні фігури, а отже, зможете вдосконалити свої вміння, опанувавши складніші інструменти графічних пакетів. Нагадаємо, що, крім завдань, наведених у цьому розділі, ви зможете застосовувати різноманітні програми, призначені спеціально для засвоєння шкільного курсу геометрії. Ви можете звертатися до глобальної мережі Інтернет для пошуку цих програм та іншої потрібної вам інформації. У цьому розділі наведено завдання, які ви зможете виконувати за допомогою комп’ютера в міру вивчення відповідних тем. Більшість із них — завдання на побудову геометричних фігур, для яких ви застосовуватимете певний графічний редактор. Крім цих завдань, ви можете виконувати завдання з рубрики «Практичні завдання» та розв’язувати задачі на побудову не лише в зошиті, а й за допомогою комп’ютера. У 7 класі ви дізналися, що в геометрії побудови проводять за допомогою лінійки та циркуля. Тому вам потрібно знайти серед інструментів графічного редактора ті, що виконують функції лінійки та циркуля.

1. Чотирикутник та його елементи 1. Побудуйте чотирикутники, що ілюструватимуть теоретичні відомості цього параграфа.

2. Паралелограм. Властивості паралелограма 2. Визначте, якими властивостями паралелограма треба скористатися, щоби правильно зобразити цю фігуру. Які інструменти графічного редактора треба для цього застосувати? Нарисуйте паралелограм і побудуйте дві його висоти, що виходять з однієї вершини. Який інструмент ви використаєте, щоб опустити висоту на задану сторону?

3. Ознаки паралелограма 3. Уявіть собі, що зображено чотирикутник. У який спосіб ви можете перевірити, чи є він паралелограмом? Якими інструментами графічного редактора можна для цього скористатися?

4. Прямокутник 4. Знайдіть у графічному редакторі засіб, що дає змогу швидко будувати різні прямокутники.

5. Ромб 5. Яка властивість ромба дає змогу швидко й правильно побудувати ромб?

179

Дружимо з комп’ютером

6. Побудуйте два перпендикулярних відрізки, що перетинаються. Уявіть собі, що вони є діагоналями чотирикутника, і побудуйте цей чотирикутник. Чи обов’язково ви отримаєте ромб? Якою умовою треба доповнити це завдання, щоб отриманий чотирикутник неодмінно виявився ромбом?

6. Квадрат 7. Знайдіть у графічному редакторі засіб, який дає змогу швидко будувати різні квадрати.

7. Середня лінія трикутника 8. Який інструмент графічного редактора ви використаєте, щоб знайти середину відрізка? 9. Нарисуйте довільний чотирикутник. Виконайте побудову, яка проілюструє ключову задачу п. 7. Як ви перевірите, що відрізки, які сполучають середини сторін даного чотирикутника, утворили паралелограм?

8. Трапеція 10. Побудуйте трапецію. Якими інструментами графічного редактора ви скористаєтеся, щоб забезпечити паралельність сторін трапеції? щоби побудувати рівнобічну трапецію? щоби побудувати прямокутну трапецію?

9. Центральні та вписані кути 11. Нарисуйте коло та побудуйте кілька вписаних кутів, які спираються на одну й ту саму дугу. Користуючись інструментами графічного редактора, визначте їхні градусні міри. 12. Нарисуйте коло, побудуйте центральний і вписаний кути, які спираються на одну й ту саму дугу. Перевірте, як співвідносяться величини цих кутів.

10. Описане та вписане кола чотирикутника 13. Знайдіть оптимальний спосіб побудови рисунків, на яких мають бути зображені коло, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники. Яка властивість дотичної до кола дає змогу правильно зобразити описаний чотирикутник?

11. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки 14. Побудуйте рисунки, що ілюструють теорему Фалеса та теорему про пропорційні відрізки. Вимірте довжини потрібних відрізків і перевірте, чи виконуються для них твердження цих теорем. Наскільки точно можна виміряти відрізки засобами графічного редактора, яким ви користуєтеся?

180

Дружимо з комп’ютером

15. Уявіть собі, що у вашому графічному редакторі немає інструмента, який дає змогу будувати паралельні прямі. Як ви можете побудувати паралельні прямі, спираючись на теорему Фалеса?

12. Подібні трикутники 16. Опануйте інструменти графічного редактора, які дають змогу зображати фігури, що мають однакову форму, але різні розміри. Побудуйте за допомогою цих інструментів подібні трикутники. 17. Побудуйте графічну ілюстрацію до леми про подібні трикутники. Користуючись зазначеними інструментами, покажіть, що зображені трикутники справді є подібними.

13. Перша ознака подібності трикутників 18. Побудуйте два відрізки різної довжини. Уявіть собі, що це відповідні сторони подібних трикутників. Узявши перший із цих відрізків як сторону, побудуйте довільний трикутник. Побудуйте подібний йому трикутник, узявши другий відрізок як його сторону; застосуйте для цього першу ознаку подібності трикутників.

14. Друга та третя ознаки подібності трикутників 19. Придумайте самостійно та виконайте завдання, яке дало б змогу за допомогою комп’ютера продемонструвати другу та третю ознаки подібності трикутників.

15. Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику 20. Побудуйте прямокутний трикутник та опустіть висоту на гіпотенузу. Переконайтеся, що виконується лема п. 15.

16. Теорема Піфагора 21. Часто теорему Піфагора ілюструють, побудувавши квадрати на сторонах прямокутного трикутника. Багато поколінь школярів і школярок називають цей рисунок «Піфагорові штани» й формулюють теорему в жартівливій формі: «Піфагорові штани на всі сторони рівні». Побудуйте цей рисунок. 22. Чи є в графічному редакторі інструмент для розрізання фігури на частини, якими надалі можна оперувати окремо? 23. Розрізавши на частини квадрати, побудовані на катетах, можна скласти із цих частин квадрат, побудований на гіпотенузі. Для довільного трикутника пошук таких частин — задача непроста. А ось для рівнобедреного трикутника знайти такий спосіб розрізання досить легко. Які це частини? Побудуйте рівнобед рений прямокутний трикутник. Створіть такий набір фігур,

Дружимо з комп’ютером

181

щоб, переміщуючи їх, можна було скласти або квадрат, побудований на гіпотенузі, або два квадрати, побудовані на катетах. 17. Тригонометричні функції гострого кута прямокутного трикутника 24. Опануйте інструменти калькулятора, які дають змогу знаходити тригонометричні функції гострого кута трикутника. 25. Знайдіть інструменти для знаходження тригонометричних функцій у мові програмування, яку ви вивчаєте.

18. Розв’язування прямокутних трикутників 26. Під час розв’язування задач цього пункту користуйтеся калькулятором для обчислень.

19. Многокутники 27. Сформулюйте який-небудь набір властивостей многокутника (кількість сторін, опуклість, вписаний у коло, описаний навколо кола тощо). Побудуйте многокутник, що має цей набір властивостей. Якими інструментами графічного редактора треба скористатися, щоб забезпечити виконання заданих властивостей?

20. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника 28. Побудуйте квадрат і візьміть його за одиничний. Скопіюйте його кілька разів. З отриманих одиничних квадратів складіть кілька різних рівновеликих прямокутників.

21. Площа паралелограма 29. Створіть набір фігур, за допомогою яких можна проілюструвати доведення теореми про площу паралелограма. Якою властиві стю площі многокутника ми при цьому користуємося? 30. Теорема 21.1 є справедливою незалежно від того, яку зі сторін паралелограма з опущеною на неї висотою вибрати для обчислення площі. Створіть набір фігур, за допомогою яких можна проілюструвати це твердження.

22. Площа трикутника 31. Створіть набори фігур, за допомогою яких можна проілюструвати доведення тверджень теоретичної частини цього параграфа.

23. Площа трапеції 32. Побудуйте довільну трапецію. Розріжте її на частини так, щоби показати, що формула для обчислення площі трапеції є правильною.

182 ПРОЄКТНА РОБОТА Ця рубрика адресована передусім тим, хто бажає навчитися самостійно набувати знань, творчо мислити, формувати, висловлювати та відстоювати свою точку зору, висувати гіпотези, знаходити найбільш раціональні та нестандартні рішення. Першим кроком, який може допомогти в досягненні цих цілей, є участь у проєктній роботі. Проєкт — це самостійне дослідження за вибраною темою, яке можна виконувати як індивідуально, так і в групі.

Дамо кілька порад щодо організації роботи над проєктом та оформлення результатів дослідження. 1. Під час вибору теми потрібно враховувати її актуальність, наявність джерел інформації в літературі та інтернет-ресурсів. При цьому дуже важливе ваше бажання проявити себе дослідником у роботі саме над вибраною темою. 2. Роботу починають зі складання попереднього плану, у якому викладають задум та етапи реалізації задуманого. Після ознайомлення з основними джерелами інформації складають остаточний план за допомогою керівника проєкту. 3. Важливо чітко сформулювати цілі дослідження. Їх можна запи сати, наприклад, у такий спосіб: вивчити, описати, проаналізувати, довести, порівняти тощо. 4. Роботу завершують підбиттям підсумків дослідження, роблять висновки, накреслюють перспективи подальшого вивчення теми. 5. Приблизний обсяг роботи — 10–15 сторінок. Додатково можна додати ілюстративний матеріал. 6. Робота може бути оформлена у вигляді реферату, доповіді, комп’ютерної презентації. Нижче наведено рекомендований список тем, які можна вибрати для проєктної роботи. 1. Фалес Мілетський — видатний геометр, будівельник, астроном 2. Піфагор і його знаменита теорема 3. Аксіоматичний метод у геометрії 4. Геометрія на клітчастому аркуші 5. Граф як геометрична модель логічної задачі 6. Чудові точки трикутника 7. Властивості зовнівписаного кола 8. Метод допоміжного кола 9. Рівновеликі та рівноскладені фігури

183

ВІДОМОСТІ З КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ 7 КЛАСУ

Найпростіші геометричні фігури та їхні властивості

1. Точки та прямі

9 Основна властивість прямої. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну. 9 Дві прямі, які мають спільну точку, називають такими, що перетинаються. 9 Будь-які дві прямі, що перетинаються, мають тільки одну спільну точку.

2. Відрізок і його довжина

9 Точки A і B прямої a (рис. 248) обмежують частину прямої, яку разом з точками A і B називають відрізком, а точки A і B — кінцями цього відрізка. A

Рис. 248

Рис. 249

9 Два відрізки називають рівними, якщо їх можна сумістити накладанням.

9 Рівні відрізки мають рівні довжини, і навпаки, якщо дов жини відрізків рівні, то рівні й самі відрізки. 9 Основна властивість довжини відрізка. Якщо точка C є внутрішньою точкою відрізка AB, то відрізок AB дорівнює сумі відрізків AC і CB, тобто AB = AC + CB. 9 Відстанню між точками A і B називають довжину відрізка AB. Якщо точки A і B збігаються, то вважають, що відстань між ними дорівнює нулю.

3. Промінь. Кут

9 Точка O прямої AB (рис. 249) розбиває пряму на дві частини, кожну з яких разом з точкою O називають променем або півпрямою. Точку O називають початком променя. 9 Два промені, які мають спільний початок і лежать на одній прямій, називають доповняльними.

184

Відомості з курсу геометрії 7 класу

9 Два промені OA та OB, що мають спільний початок (рис. 250), розбивають площину на дві частини, кожну з яких разом із променями OA та OB називають кутом. Промені OA та OB називають сторонами кута, а точку O — вершиною кута. 9

A A C O B

Рис. 250

B Рис. 251

9 Кут, сторонами якого є доповняльні промені, називають розгорнутим. 9

9 Два кути називають рівними, якщо їх можна сумістити накладанням. 9

9 Бісектрисою кута називають промінь з початком у вершині кута, який ділить цей кут на два рівних кути. 9

4. Вимірювання кутів

9 Кожний кут має певну величину (градусну міру). 9

9 Кут, градусна міра якого дорівнює 90°, називають прямим. Кут, градусна міра якого менша від 90°, називають гострим. Кут, градусна міра якого більша за 90°, але менша від 180°, називають тупим. 9

9 Рівні кути мають рівні величини, і навпаки, якщо величини кутів рівні, то рівні й самі кути. 9

9 Основна властивість величини кута. Якщо промінь OC ділить кут AOB на два кути AOC і COB (рис. 251), то ∠AOB = = ∠AOC + ∠COB. 9

5. Суміжні та вертикальні кути

9 Два кути називають суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а дві інші є доповняльними променями. 9

9 Сума суміжних кутів дорівнює 180°. 9

185

Відомості з курсу геометрії 7 класу

9 Два кути називають вертикальними, якщо сторони одного кута є доповняльними променями сторін другого. 9

9 Вертикальні кути рівні. 9

6. Перпендикулярні прямі. Серединний перпендикуляр

9 Дві прямі називають перпендикулярними, якщо при їхньому перетині утворився прямий кут. 9

9 Неперпендикулярні прямі при перетині утворюють пару рівних гострих кутів і пару рівних тупих кутів. Величину гострого кута називають кутом між неперпендикулярними прямими. 9

9 Якщо прямі перпендикулярні, то вважають, що кут між ними дорівнює 90°. 9

9 Два відрізки називають перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих. 9

9 На рисунку 252 зображено пряму a та перпендикулярний до неї відрізок AB, кінець B якого належить прямій a. У такому випадку говорять, що з точки A на пряму a опущено перпендикуляр AB. Точку B називають основою перпендикуляра AB. 9

Рис. 252

Рис. 253

9 Довжину перпендикуляра AB називають відстанню від точки A до прямої a. Якщо точка A належить прямій a, то вважають, що відстань від точки A до прямої a дорівнює нулю. 9

9 Опустимо з точки A на пряму a перпендикуляр AB (рис. 253). Нехай X — довільна точка прямої a, відмінна від точки B. Відрізок AX називають похилою, проведеною з точки A до прямої a. 9

9 Через дану точку проходить тільки одна пряма, перпендикулярна до даної. 9

186

Відомості з курсу геометрії 7 класу

9 Пряму, яка перпендикулярна до відрізка та проходить через його середину, називають серединним перпендикуляром відрізка. 9 Кожна точка серединного перпендикуляра відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. 9 Якщо точка рівновіддалена від кінців відрізка, то вона належить серединному перпендикуляру цього відрізка. 9

��

Трикутники 7. Трикутник і його елементи. Рівні трикутники

9 Три точки A, B і C, які не лежать на одній прямій, сполучено відрізками (рис. 254). Утворена фігура обмежує частину площини, яку разом з відрізками AB, BC B і CA називають трикутником. Точки A, B, C називають вершинами, а відрізки AB, BC, CA — сторонами трикутника. A C Трикутник називають і позначають за його вершинами. Рис. 254 9 У трикутнику ABC кут B називають кутом, протилежним стороні AC, а кути A і C — кутами, прилеглими до сторони AC. 9 Периметром трикутника називають суму довжин усіх його сторін. 9 Трикутник називають гострокутним, якщо всі його кути гострі; прямокутним, якщо один із його кутів прямий; тупокутним, якщо один із його кутів тупий. 9 Сторону прямокутного трикутника, протилежну прямому куту, називають гіпотенузою, а сторони, прилеглі до прямого кута, — катетами. 9 Нерівність трикутника. Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін. 9 Два трикутники називають рівними, якщо їх можна сумістити накладанням. Ті пари сторін і кутів, які суміщаються при накладанні рівних трикутників, називають відповідними сторонами й відповідними кутами. 9 У трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути. 9 У трикутнику проти рівних кутів лежать рівні сторони. 9 У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки, проти більшого кута лежить більша сторона. 9

187

Відомості з курсу геометрії 7 класу

8. Висота, медіана, бісектриса трикутника

9 Перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, яка містить протилежну сторону, називають висотою трикутника. 9 Відрізок, який сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони, називають медіаною трикутника. 9 Відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони, називають бісектрисою трикутника. 9

9. Ознаки рівності трикутників

9 Перша ознака рівності трикутників: за двома сторонами та кутом між ними. Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам та куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні. 9 Друга ознака рівності трикутників: за стороною та двома прилеглими до неї кутами. Якщо сторона та два прилеглих до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні та двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні. 9 Третя ознака рівності трикутників: за трьома сторонами. Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні. 9

10. Рівнобедрений трикутник та його властивості. Рівносторонній трикутник

9 Трикутник, у якого дві сторони рівні, називають рівнобедреним. 9 Рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а третю сторону — основою рівнобедреного трикутника. 9 Вершиною рівнобедреного трикутника називають спільну точку його бічних сторін. 9 У рівнобедреному трикутнику: 1) кути при основі рівні; 2) бісектриса трикутника, проведена до його основи, є медіаною та висотою трикутника. 9 Трикутник, у якого всі сторони рівні, називають рівностороннім. 9

188

Відомості з курсу геометрії 7 класу

9 У рівносторонньому трикутнику: 1) усі кути рівні; 2) бісектриса, висота й медіана, проведені з однієї вершини, збігаються. 9

11. Ознаки рівнобедреного трикутника

9 Якщо в трикутнику два кути рівні, то цей трикутник рівнобедрений. 9 Якщо медіана трикутника є його висотою, то цей трикутник рівнобедрений. 9 Якщо бісектриса трикутника є його висотою, то цей трикутник рівнобедрений. 9 Якщо медіана трикутника є його бісектрисою, то цей трикутник рівнобедрений. 9

Паралельні прямі. Сума кутів трикутника 12. Паралельні прямі 9 Дві прямі називають паралельними, якщо вони не перетинаються. 9 Основна властивість паралельних прямих (аксіома паралельності прямих). Через точку, яка не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній. 9 Дві прямі, які перпендикулярні до третьої прямої, паралельні. 9 Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні. 9 Відстанню між двома паралельними прямими називають відстань від будь-якої точки однієї з прямих до другої прямої. 9

13. Ознаки паралельності двох прямих 9 Якщо дві прямі a і b перетнути третьою прямою c, то утвориться вісім кутів (рис. 255). Пряму c називають січною прямих a і b. Кути 3 і 6, 4 і 5 називають односторонніми. Кути 3 і 5, 4 і 6 називають різносторонніми. Кути 6 і 2, 5 і 1, 3 і 7, 4 і 8 називають відповідними. 9

2 1 3 4 6 5 7 8 Рис. 255

Відомості з курсу геометрії 7 класу

189

9 Якщо різносторонні кути, утворені при перетині двох прямих січною, рівні, то прямі паралельні. 9

9 Якщо сума односторонніх кутів, утворених при перетині двох прямих січною, дорівнює 180°, то прямі паралельні. 9

9 Якщо відповідні кути, утворені при перетині двох прямих січною, рівні, то прямі паралельні. 9

14. Властивості паралельних прямих

9 Якщо дві паралельні прямі перетинаються січною, то: • кути, які утворюють пару різносторонніх кутів, рівні; • кути, які утворюють пару відповідних кутів, рівні; • сума кутів, які утворюють пару односторонніх кутів, дорівнює 180°. 9

•

9 Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої. 9

15. Сума кутів трикутника. Зовнішній кут трикутника

9 Сума кутів трикутника дорівнює 180°. 9

9 Серед кутів трикутника принаймні два кути гострі. 9

9 Зовнішнім кутом трикутника називають кут, суміжний із кутом цього трикутника. 9

9 Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним. 9

9 Зовнішній кут трикутника більший за кожний із кутів трикутника, не суміжних з ним. 9

16. Ознаки рівності прямокутних трикутників

9 Ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою та катетом. Якщо гіпотенуза та катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та катету другого, то такі трикутники рівні. 9

9 Ознака рівності прямокутних трикутників за двома катетами. Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катетам другого, то такі трикутники рівні. 9

9 Ознака рівності прямокутних трикутників за катетом і прилеглим гострим кутом. Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету й прилеглому до нього гострому куту другого, то такі трикутники рівні. 9

190

Відомості з курсу геометрії 7 класу

9 Ознака рівності прямокутних трикутників за катетом і протилежним гострим кутом. Якщо катет і протилежний йому гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету й протилежному йому гострому куту другого, то такі трикутники рівні. 9 Ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою та гострим кутом. Якщо гіпотенуза та гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та гострому куту другого, то такі трикутники рівні. 9

17. Властивості прямокутного трикутника

9 У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за катет. 9 Катет, який лежить проти кута, величина якого дорівнює 30°, дорівнює половині гіпотенузи. 9 Якщо катет дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°. 9

Коло та круг 18. Геометричне місце точок

9 Геометричним місцем точок (ГМТ) називають множину всіх точок, які мають певну властивість. 9

9 Серединний перпендикуляр відрізка є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців цього відрізка. 9

9 Бісектриса кута є геометричним місцем точок, які належать куту й рівновіддалені від його сторін. 9

19. Коло та круг, їхні елементи

9 Колом називають геометричне місце точок, відстані від яких до заданої точки дорівнюють даному додатному числу. Задану точку називають центром кола. 9 Будь-який відрізок, що сполучає точку кола з його центром, називають радіусом кола. 9 Відрізок, який сполучає дві точки кола, називають хордою кола. Хорду, яка проходить через центр кола, називають діаметром. 9

191

Відомості з курсу геометрії 7 класу

9 Діаметр кола вдвічі більший за його радіус. 9

9 Кругом називають геометричне місце точок, відстані від яких до заданої точки не більші за дане додатне число. Задану точку називають центром круга. Радіус кола, яке обмежує круг, називають радіусом круга. Якщо X — довільна точка круга із центром O та радіусом R, то OX m R. Коло, яке обмежує круг, йому належить. 9

9 Хорда й діаметр круга — це хорда й діаметр кола, яке обме жує круг. 9

20. Властивості кола 9 Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду навпіл. 9

9 Діаметр кола, який ділить хорду, відмінну від діаметра, нав піл, перпендикулярний до цієї хорди. 9

21. Взаємне розміщення прямої та кола. Дотична до кола 9 Пряма та коло можуть не мати спільних точок, мати дві спільні точки або мати одну спільну точку. 9

9 Пряму, яка має з колом тільки одну спільну точку, називають дотичною до кола. 9

9 Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. 9

9 Якщо пряма, яка проходить через точку кола, перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, то ця пряма є дотичною до даного кола. 9

9 Якщо відстань від центра кола до деякої прямої дорівнює радіусу кола, то ця пряма є дотичною до даного кола. 9

9 Якщо через дану точку до кола проведено дві дотичні, то відрізки дотичних, які сполучають дану точку з точками дотику, рівні. 9

192

Відомості з курсу геометрії 7 класу

22. Описане та вписане кола трикутника 9 Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі його вершини. На рисунку 256 зображено коло, описане навколо трикутника. У цьому разі також говорять, що трикутник вписаний у коло. 9

B N

M O

Рис. 256

Рис. 257

9 Центр описаного кола трикутника рівновіддалений від усіх його вершин. 9 Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Центр кола, описаного навколо трикутника, — це точка перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника. 9 Серединні перпендикуляри сторін трикутника перетинаються в одній точці. 9 Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін. На рисунку 257 зображено коло, вписане в трикутник. У цьому разі також говорять, що трикутник описаний навколо кола. 9 Центр вписаного кола трикутника рівновіддалений від усіх його сторін. 9 У будь-який трикутник можна вписати коло. Центр кола, вписаного в трикутник, — це точка перетину бісектрис трикутника. 9

9 Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці. 9 Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, обчислю9

a b c ють за формулою r , де r — радіус вписаного кола, 2

a і b — катети, c — гіпотенуза.

193 ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ВПРАВ

§ 1. Чотирикутники 1. Чотирикутник та його елементи

14. 18 см, 12 см, 6 см, 27 см. 15. 10 см, 8 см, 16 см, 30 см. 20. 1) 72°, 130°, 78°, 80°; 2) 22°, 230°, 28°, 80°. 22. 10 см. 26. Вказівка. Побудуйте трикутник за двома сусідніми сторонами чотирикутника та відомим кутом між ними. Третя сторона цього трикутника є діагоналлю шуканого чотирикутника. 29. Вказівка. Побудуйте трикутник ABC за двома сторонами AB і BC та кутом B між ними. У трикутнику ACD відомо сторону AC, прилеглий кут CAD (∠CAD = ∠BAD – ∠BAC) і суму сторін AD і CD. Побудову трикутника за стороною, прилеглим кутом і сумою двох інших його сторін було розглянуто в курсі геометрії 7 класу. 34. 32°. 2. Паралелограм. Властивості паралелограма

49. 90°. 53. 9 см, 14 см. 57. AB = BC = CD = AD = 6 см. 58. 32 см. 59. 45°, 135°. 60. 6 см, 12 см. 64. 80 см. 65. 9 см, 24 см. 66. 20 см, 24 см. 67. 6 см. 68. 48°, 132°. 71. 40 см. 72. 5 см, 9 см. 74. 25 см. 77. 3. 78. 2 : 1. 79. 72°, 108°. 82. Вказівка. Шукана точка є точкою перетину висот трикутника ABC. 84. Вказівка. Доведіть, що DMAD = DDKC = DMBK. 85. Вказівка. Побудуйте паралелограм, одна вершина якого збігається з вершиною даного кута, дві інші вершини лежать на сторонах кута, а точка перетину діагоналей паралелограма збігається з даною точкою. 86. 24 см або 14 см. 3. Ознаки паралелограма

108. 32°. 109. 16 см. 4. Прямокутник

119. 6 см, 12 см. 120. 5 см, 10 см. 121. 15 см, 25 см. 122. 12 см. 124. Вказівка. Нехай CM — медіана прямокутного трикутника ABC, проведена до гіпотенузи AB (рис. 239). На продовженні відрізка CM за точку M відкладіть відрізок MD, який дорівнює CM. Визначте вид чотирикутника ACBD і скористайтеся властивостями

194

Відповіді та вказівки до вправ

D C M

M A

A Рис. 239

Рис. 240

чотирикутників такого виду. 127. 30°, 60°. Вказівка. Покажіть, що в прямокутному трикутнику ABM гіпотенуза AM у 2 рази більша за катет BM. 128. 4,5 см. 131. 1) Вказівка. Задача зводиться до побудови прямокутного трикутника за гіпотенузою та різницею катетів. На рисунку 240 зображено прямокутний трикутник ACB, у якому відомо гіпотенузу AB і різницю катетів. На катеті BC позначено точку M так, що CM = AC. Тоді BM = BC – AC. Звідси ∠AMB = 135°. Отже, можна побудувати трикутник AMB за сторонами AB і MB та кутом AMB. 132. 48°. 133. 90°. 134. Трикутник ACE рівнобедрений.

5. Ромб 157. 6 см. 160. 1) Вказівка. Задача зводиться до побудови прямокутного трикутника за сумою катетів і гострим кутом. На рисунку 241 зображено прямокутний трикутник ABC, у якому відомо кут A та суму катетів AC і CB. Тоді AM = AC + CB, ∠CMB = 45°. Трикутник AMB можна побудувати за стороною AM і двома прилеглими кутами. 161. Вказівка. Середина відрізка NK — точка O є точкою перетину діагоналей ромба. Тоді пряма MO паралельна сторонам BC і AD. Довжина відрізка MO дорівнює половині сторони ромба. 163. 30°, 72°, 78°; 18 см.

Рис. 241

6. Квадрат 174. 28 см. 177. 48 см. 180. Вказівка. Доведіть, що AC ^ MK. 181. Вказівка. Побудуйте рівнобедрений прямокутний трикутник з гіпотенузою MK. 182. Вказівка. Побудуйте два прямокутних трикутники, у кожному з яких один катет дорівнює стороні квадрата,

195

Відповіді та вказівки до вправ

а гіпотенузи є даними відрізками. Доведіть рівність цих трикутників. 184. Вказівка. Побудуйте рівносторонній трикутник BO1C так, щоб точка O1 належала квадрату. Покажіть, що ∠O1AD = ∠O1DA = 15°. Звідси випливає, що точки O і O1 збігаються. 185. Вказівка. На продовженні відрізка CD за точку D позначте точку M1 так, щоб DM1 = BM. Доведіть, що ∠EAM1 = ∠EM1A.

6. Середня лінія трикутника 202. 28 см. 206. MK = 4 см. Вказівка. Проведіть середню лінію трикутника ABC. 207. 9 см. Вказівка. Розгляньте трикутник, для якого відрізок MK є середньою лінією. 210. Вказівка. Нехай точки M, K і F — середини відрізків AB, AD і AC відповідно. Визначте, яким прямим належать висоти трикутника MKF. 211. Вказівка. Нехай точки E, F і K — середини відрізків AC, BC і BD відповідно. Доведіть, що трикутник EFK рівнобедрений. 213. 37°. 214. 8 см.

8. Трапеція 234. 16 см, 34 см. 236. 16 см. 237. 50°, 60°. 239. 28 см. 247. 7,2 см, 10,8 см. 249. 2h. 250. 8 см, 20 см, 20 см, 20 см. 251. 12 см, 12 см, 12 см. 252. 60°, 120°. 253. 8 см, 16 см. 254. 60°, 120°. 255. Якщо гострий кут трапеції дорівнює 45°. 260. 7 см. 261. 13 см, 21 см.

3a 264. . 265. 72°, 108°. 266. 8 см. Вказівка. Проведіть через верши4

ну C пряму, паралельну прямій BD. Нехай E — точка перетину проведеної прямої з прямою AD. Розгляньте трикутник ACE. 267. Вказівка. Точка перетину бісектрис — вершина прямокутного трикутника, гіпотенузою якого є бічна сторона трапеції. Розгляньте медіану цього трикутника, проведену до гіпотенузи, і доведіть, що вона паралельна основам трапеції. 268. 1) Вказівка. Через одну з вершин меншої основи проведіть пряму, паралельну бічній стороні трапеції. Задачу зведено до побудови трикутника за трьома сторонами; 2) Вказівка. Через одну з вершин меншої основи проведіть пряму, паралельну діагоналі трапеції. Задачу зведено до побудови трикутника за двома сторонами та висотою, проведеною до третьої сторони. 271. a + b. Вказівка. Нехай O — точка перетину діагоналей паралелограма. Проведіть перпендикуляри AM, OK і CE до прямої, яка проходить через точку B, і покажіть, що

a b OK . 275. 1) 120°; 2) 120°. 2

196

Відповіді та вказівки до вправ

9. Центральні та вписані кути 297. Вказівка. Проведіть хорду BC і скористайтеся тим, що кут AMC — зовнішній кут трикутника BMC. 298. Вказівка. Проведіть хорду BC і скористайтеся тим, що кут ABC — зовнішній кут трикутника BMC. 299. 10°. 300. 40°, 40°, 100°. 301. 120°, 20°, 40°. 306. 56°, 56°, 68°. 308. Вказівка. Опустіть із вершин A і B висоти трикутника ABC. 309. Вказівка. Через спільну точку кіл проведіть їхню спільну дотичну. Скориставшися ключовою задачею п. 9, доведіть, що розглядувані хорди паралельні спільній дотичній. 310. Вказівка. ∠MBD = ∠MBC + ∠CBD = ∠MBA + ∠BAC = ∠BMD. 311. Шукане ГМТ — дві дуги, зображені на рисунку 242, за винятком точок A і B. Вказівка. Проведіть два промені AC і BC так,

��

α що ∠BAC = ∠ABC = 90° – . Нехай ці промені перетинаються 2

в точці C. Очевидно, що ∠ACB = . Опишіть коло навколо трикутника ABC. Виконавши аналогічну побудову в іншій півплощині відносно прямої AB, отримайте трикутник ABC1, навколо якого теж опишіть коло. Дуги ACB і AC1B, за винятком точок A і B, є шуканим ГМТ. 313. Вказівка. Скористайтеся результатами задачі 311. 314. Вказівка. Нехай O — точка перетину діагоналей паралелограма ABCD, точка M — середина сторони AD (рис. 243).

Тоді OM =

1 AB. Трикутник AOD можна побудувати (див. зада2

чу 313). 316. Вказівка. Скористайтеся ключовою задачею 1 п. 9. 317. Шукане ГМТ виділено на рисунку 244 синім кольором.

B A

C O

B A

Рис. 242

Рис. 243

Рис. 244

197

Відповіді та вказівки до вправ

A B

O 2

D Рис. 245

Рис. 246

318. Вказівка. ∠DCB = ∠DAB = ∠1 (рис. 245). Тоді ∠OCD = ∠1 + ∠2, ∠COD = ∠1 + ∠ACO. Проте ∠ACO = ∠2. Отже, ∠OCD = ∠COD. 319. Вказівка. Нехай відрізки AA1 і CC1 перетинаються в точці M. Обчисліть кут C1MB1, скориставшися результатами задачі 297. 320. Вказівка. Побудуйте коло із центром у точці O1 і радіусом, який дорівнює різниці радіусів даних кіл. Проведіть через точку O2 дотичну до побудованого кола. 321. 1) Вказівка. Нехай точка O — центр вписаного кола трикутника ABC, у якому відомо кут B і сто

1 рону AC. Доведіть, що ∠AOC = 90° + ∠B. У трикутнику AOC відо2

мо сторону AC, кут AOC і висоту, проведену з вершини O (радіус вписаного кола). Далі див. задачу 312; 2) Вказівка. На рисунку 246 зображено трикутник ABC, у якому відомо сторону AC, кут B і медіану, проведену до сторони BC. Проведіть середню лінію MN трикутника ABC. Тоді ∠NMC = ∠B. Побудуйте ГМТ точок X таких, що ∠NXC = ∠B. 322. 9 см, 10 см, 11 см. 323. P1 + P2 + P3. 324. Прямокутний або рівнобедрений.

10. Описане та вписане кола чотирикутника 342. 90°. 343. 6 см. 347. 88°, 74°, 92°, 106°. 348. 62°, 118°.

d 350. 196 см. 351. 6 см. 352. 60°, 120°. 353. . Вказівка. Доведіть, 2

що кут між діагоналлю та більшою основою трапеції дорівнює 60°. Далі скористайтеся ключовою задачею п. 8. 354. 6 см. Вказівка. Доведіть, що центр кола, описаного навколо трапеції, є серединою більшої основи. 355. Вказівка. Опишіть коло навколо чотирикутника CMKB. 357. 30°. Вказівка. Доведіть, що навколо чотирикутника AMOK можна описати коло, і скористайтеся тим, що бісектриси трикутника перетинаються в одній точці. 358. 60°. Вказівка.

198

Відповіді та вказівки до вправ

Позначивши ∠N = , виразіть через кут AOB. 359. Вказівка. Доведіть, що навколо чотирикутника ACBO можна описати коло. 360. Вказівка. Доведіть, що кут CPB не змінює своєї величини. 361. Вказівка. Скористайтеся тим, що в прямокутних трикутниках APK і AMQ гострі кути APQ і AMQ рівні. 362. Вказівка. Точки A, C, A1 і C1 лежать на колі з діаметром AC. Скористайтеся тим, що серединний перпендикуляр хорди проходить через центр кола. 363. Вказівка. Доведіть, що середня лінія даної трапеції дорівнює сумі радіусів побудованих кіл. 366. 128°.

§ 2. Подібність трикутників

11. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки 386. 30 см. 388. 12 см. 389. 4 см. 390. 6 см, 45°. 392. 20 см, 24 см. 393. 5 см, 10 см. 395. 8 см, 12 см. 397. 6 см, 5 см, 6 см. 398. 15 см, 12 см, 21 см. 399. 15 см. 402. 45 см. 404. 21 см, 15 см. 405. 45 см, 18 см. 406. 30 см, 50 см. 407. 7 : 9. 408. 3 : 5. 409. 9 см. 410. 50 см. 411. 3 : 5. Вказівка. Проведіть через точку K пряму, паралельну прямій AM. 412. 1) 3 : 7. Вказівка. Проведіть через точку M пряму, паралельну прямій BK; 2) 2 : 3. Вказівка. Проведіть через точку K пряму, паралельну прямій CM. 413. Вказівка. Скористайтеся тим, що середня лінія трапеції ділить діагональ навпіл. 415. 2) Вказівка. Нехай дано кут ABC. Проведіть пряму OK, паралельну променю BC (точка K належить стороні AB). На промені KA позначте точку M таку, що MK : KB = 2 : 3. 416. 3) Вказівка. Побудуйте прямокутний трикутник BDK, у якому катет BD дорівнює даній висоті, а гіпотенуза BK — даній медіані. За даним кутом і кутом BKD знайдіть кут між двома медіанами трикутника; 4) Вказівка. Нехай ABC — шуканий трикутник, медіани AA1, BB1 і CC1 якого перетинаються в точці M. На промені MB1 позначте точку F так, щоб MB1 = B1F. Трикутник MCF можна побудувати за трьома сторонами. 417. 2) Вказівка. Нехай ABC — шуканий трикутник, медіани AA1 і CC1 якого перетинаються в точці M. Трикутник AMC можна побудувати за двома сторонами та висотою, проведеною до третьої сторони. 419. Вказівка. Проведіть через точку C пряму, паралельну прямій BD. Нехай проведена пряма перетинає сторону AB у точці E. Доведіть, що BC = BE, і скористайтеся теоремою про пропорційні відрізки. 420. a. 421. 11 см.

199

Відповіді та вказівки до вправ

12. Подібні трикутники 432. 33 м. 439. 6 см. 440. 9 см. 441. 40 см, 60 см. 442. 36 см. 443. 8 см. 444. 4,8 см. Вказівка. Через вершину A проведіть пряму, паралельну прямій BD. 445. 6 см, 12 см. 446. 36 см. 447. 1) 30°, 30°, 120°; 2) 30°, 60°, 90°.

13. Перша ознака подібності трикутників 463. 6 см, 30 см. 464. 10,5 см, 13,5 см. 467. 42 см. 468. 10 см, 14 см. 469. 12,5 см, 3,5 см. 471. 12 м. 475. 24 см. 476. 16 см. 477. 16 см. 478. 5 см. Вказівка. Проведіть через точку P діаметр кола та скористайтеся ключовою задачею 2 п. 13. 479. 10 см. 480. 27 см.

ah 481. 2) 36 см. 482. 10 см. 483. . 484. 27 см, 15 см. 485. 1) 20°, a+h

160°; 2) 50°, 130°. 487. 18 см.

14. Друга та третя ознаки подібності трикутників ab . Вказівка. a+b b Доведіть, що DKBM " DABC із коефіцієнтом подібності . a+b

496. 18 см, 30 см. 497. 50 см, 20 см. 498. 6 см. 500.

501. 6 см. Вказівка. Доведіть, що DABC " DBDC. 502. Вказівка. Доведіть, що DAHC " DABD за другою ознакою подібності трикутників. Звідси ∠ACH = ∠ABD. 503. Вказівка. Доведіть, що з подіб ності трикутників BMC і CMK випливає подібність трикутників ABM і KAM. 505. Вказівка. Нехай кола перетинаються в точках E і F. Для двох пар хорд AB і EF, CD і EF застосуйте ключову задачу 2 п. 13. 506. 9 см, 14 см. 508. 10 см.

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників

15. Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику

514. 15 см, 20 см. 515. 30 см, 24 см. 516. 2 5 см, 4 5 см. 517. 14,5 см. 518. 62 см. 519. 12,5 см. 520. 12,8 см. 521. 2,5 см. 522. 196 см. Вказівка. Доведіть, що кінці бічної сторони трапеції та центр вписаного кола є вершинами прямокутного трикутника. 523. 18 см. 525. 7 см, 14 см. 526. 14 см. 527. 74°, 74°, 74°, 138°.

200

Відповіді та вказівки до вправ

16. Теорема Піфагора 542. 13 см. 543. 10 см. 544.

a 3 2h c . 545. a 2. 546. . 547. . 2 3 2

548. а) 6 см; б) 3 см; в) 4 2 см. 549. а) 2 см; б) 1 см. 550. 4 5 см. 551. 4 10 см. 552. 4 13 см. 553. 4 5 см. 554. 10 см, 10 см, 12 см. 555. 40 см, 25 см, 25 см. 556. 20 см. 557. 20 см. 558. 24 см. 559. 1,5 см, 22,5 см. 560. 8 см, 6 см, 10 см. 561. 6 см, 2 73 см. 562. 168 см. 563. 200 см. 564. 20 ліктів. 565. 8 10 см. Вказівка. Доведіть, що бічна сторона трапеції дорівнює її більшій основі. 566. 12 3 см. 567. 2 65 см. 568. 12 5 см. 569. 128 см. Вказівка. Скористайтеся властивістю бісектриси кута трикутника та знайдіть відношення бічної сторони до половини основи. 570. 162 см. 571. 54 см. 572. 8 10 см. 573. 10 см, 4 13 см,

3 2 73 см. 574. 26 см. 575. 3 фута. 4

17. Тригонометричні функції гострого кута прямокутного трикутника

1 595. 45°, 135°. 598. 1) 1; 2) 0. 599. 0,28; 0,96; 7 . 600. . Вказівка. 24

6 AC AM 1 З подібності трикутників AMC і BDC випливає, що == = . BC BD 3 6 KC BD 601. . Вказівка. Скористайтеся тим, що = . 602. Вказівка. 7 AC AB

Із точки F опустіть перпендикуляр на відрізок ED. Знайдіть тангенси кутів E і B. 603. 3 см. 604. 12 см. 605. 14 см.

18. Розв’язування прямокутних трикутників 618. 45°. 621. 2a, a 3. 622. a, a 3. 625. 8 см. 626. 16 см. 627. 15 см.

628. 4 2 см. 629.

cos

h h h . 630. , , . 631. a tg j, b sin α cos α sin α cos α

d a , d tg α . 633. 2r , 2r , 2r . 634. R 3 . , a sin j. 632. α α α cos j 2 sin α 2 2 cos sin cos

a (3 − 3 ) 635. . 636. 2 3 см, 2

93 см,

181 см. 638. ∠A = 86°,

∠B = 111°, ∠C = 94°, ∠D = 69°. 639. 18 см, 21 см.

201

Відповіді та вказівки до вправ

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

19. Многокутники

M C

654. 3)

n (n − 3) . 2

655. 12 сторін, 1800°.

658. 150°, 60°, 150°. 659. П’ятикутник. 660. Вказівка. Нехай ABCDEF — шестикутник, кожний кут якого дорівнює 120°. Якщо провести січну MN (рис. 247), то сума кутів п’ятикутника ABMNF дорівнюватиме 540°. Тоді сума кутів BMN і FNM дорівнює 180°. 662. 80 см. 663. (26 + 10 13 ) см. 664. 3 5 см.

Рис. 247

20. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника 674. 0,000126 Н. 675. 12 000 Н. 676. d2 sin cos . 677. 75 3 см2. 686. У 2 рази. 687. Жодного, або два, або три. 688. Жодного або два. 689. 504 см2. 690. 30 см. 691. Вказівка. Побудуйте прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють сторонам даних квадратів. 692. Вказівка. Сторона шуканого квадрата x = ab. 694. 24 см. 695. 2 см.

21. Площа паралелограма 704. 1) Два розв’язки: 4 см і 9 см; 2) один розв’язок: 8 см. 705. 300 см2. 706. 120 см2. 707. 108 3 см2. 708. ab sin .

709. 64 3 см2. 710. 140 2 см2. 711. 37,5 см2. 712.

715. 360 см . 719. 1 : 7.

. 714. 72 см2.

22. Площа трикутника 200 см2. 733. 11 3 см2. 734. 170 см2. 735. b2 sin cos . 3 b a2 3 c2 120 736. h2 tg . 737. . 738. . 739. см. 740. 96 см2. 741. 108 см2. 2 4 4 13

732.

742. 768 см2. 744. 52 см. 745. 336 см2. 746. 1080 см2. 757. Вказівка. Урахуйте, що трикутники ABX і AXM мають спільну висоту. Таку саму властивість мають і трикутники CBX і CXM. 758. 120 см2. 759. 20 см, 6 10 см, 2 10 см. 760. 1176 см2. 761. 9,6 см2.

4000 762. см2. Вказівка. Скориставшися властивістю бісектриси 3

202

Відповіді та вказівки до вправ

трикутника, знайдіть відношення бічної сторони та половини основи трикутника. 763.

4000 см2. 764. 19 см2. Вказівка. Скористайтеся 3

результатами задач 750 і 757. 765. Вказівка. Проведіть прямі AM, BM і CM та скористайтеся результатами задачі 757. 766. Вказівка. Проведіть медіану AM. Нехай N — точка на стороні BC така, що AN || DM. Доведіть, що пряма DN — шукана. 768. 78°, 78°, 24°.

769. 2 57 см. 770. 80 см.

23. Площа трапеції 782. 108 3 см2. 783. 195 см2. 784. 840 см2. 785. 132 см2. 786. 600 3 см2. 787. 1640 см2. 788. (32 + 32 2) см2. 789. 294 см2. 793. 512 см2. 794. 192 см2. 795. 336 см2. Вказівка. У даній трапеції ABCD (BC || AD) через вершину C проведіть пряму CF, паралельну діагоналі BD (точка F належить AD), і розгляньте трикут

ник ACF. 796.

. Вказівка. Доведіть, що кут при більшій

основі трапеції дорівнює 60°. 797. 156 см2. Вказівка. Нехай O — центр кола, вписаного в трапецію ABCD (BC || AD). Доведіть, що трикутник AOB є прямокутним, і знайдіть його висоту, проведену з вершини O. 798. 588 см2. 799. 2187 см2. Вказівка. Доведіть, що діагональ даної трапеції є бісектрисою кута при основі. Далі скорис

тайтеся властивістю бісектриси трикутника. 800. 936 см2. 801.

S . 2

Вказівка. Проведіть середню лінію MN трапеції. Доведіть, що висоти трикутників MCN і MND, проведені з вершин C і D, дорівнюють половині висоти трапеції. 802. 15 см, 10 см. 803. 60°, 120°. 804. 38 см.

Вправи для повторення курсу геометрії 8 класу 806. 64 см або 74 см. 807. 10 см, 18 см. 808. 60°. 809. a – b. 811. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) так; 5) ні; 6) так; 7) так. Вказівка. Доведіть, що точкою перетину діагоналі діляться навпіл. 812. 1) Так; 2) так; 3) ні. 813. 30°, 150°. 814. 40°, 70°, 70°. 815. 45°. 816. 18 см.

16 3 818. 56 см. 821. см. 823. CD. 824. 70°, 110°. 825. 30°. 828. 80°, 3

100°, 150°, 30°. 829. 4 см, 10 см. 830. 1 : 2. 831. 3 : 4. 832. 2 : 5. 833. 9 см, 3 см, 6 см. 834. 21 см, 35 см. 835. 28 см, 28 см, 16 см.

837.

ab . 838. 21 см, 15 см. 840. 25 см. 841. 5 см. 842. 10 см. a+b

203

Відповіді до завдань «Перевірте себе» в тестовій формі

843. 36 см. 844. (12 5 + 20) см. 845. 18 см. 846. 24 см. 847. 4 29 см,

10 29 см. 848.

65 S 3S см. 849. 2 10 см. 850. 45 см. 851. а) ; б) . 18 2 8

852. 256 см2. 853.

1 2 3R 2 3 b2 1 d . 854. . 855. . 856. c2 sin α cos α. 2 4 2tgb 2

857. 72 3 см2. 858. 24 300 см2. 859. 6 см.

ВІДПОВІДІ ДО ЗАВДАНЬ «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

Номер завдання

1 2 3 4

Б Б В Б

Г В Б В

А В В А

А В Б Г

Номер задачі 5 6 7 В Б Г А

В В В Г

Г Г Б Г

А Б В Б

В Г Г Г

В А Б В

204 ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК

Вершини многокутника 140 — — сусідні 140 — чотирикутника 7 — — протилежні 7 — — сусідні 7 Висота паралелограма 16 — трапеції 44 Відношення двох відрізків 76 Властивість бісектриси трикутника 79 Властивості квадрата 37 — кутів, вписаних у коло 54 — опуклого многокутника 141 — паралелограма 15 — прямокутника 30 — рівнобічної трапеції 46 — ромба 34 Градусна міра дуги кола

Діагональ многокутника — чотирикутника 8 Дуга кола 53

141

Квадрат 37 Кінець дуги 53 Коефіцієнт подібності 86 Коло, вписане в многокутник 142 —, — в чотирикутник 64 —, описане навколо многокутника 142 —, — — чотирикутника 63 Косинус гострого кута прямокутного трикутника 123 Кут, вписаний у коло 54 — кола центральний 53 — многокутника 140 — чотирикутника 8

Кути при основі трапеції

Лема про подібні трикутники 86 Метричні співвідношення в мокутному трикутнику Многокутник 140 —, вписаний у коло 142 — неопуклий 141 —, описаний навколо кола — опуклий 141 Многокутники рівновеликі

��

Бічна сторона трапеції

пря113

142 147

Ознаки паралелограма 23 — подібності трикутників 91, 102 — прямокутника 31 — ромба 34 Основа трапеції 44 Основна тригонометрична тотожність 125 Паралелограм 15 Периметр многокутника 141 — чотирикутника 7 Перпендикуляр 117 Півколо 53 Площа многокутника 145 — паралелограма 151 — прямокутника 146 — прямокутного трикутника 155 — трапеції 160 — трикутника 155 Подібні трикутники 85 Похила 117 Проєкція катета на гіпотенузу 113 Проєкція похилої 117 Прямокутник 30 Ромб

Предметний покажчик

Середня лінія трапеції 45 — — трикутника 40 Синус гострого кута прямокутного трикутника 122 Сторони відповідні 85 — многокутника 140 — — сусідні 140 — чотирикутника 7 — — протилежні 7 — — сусідні 7 Сума кутів опуклого n-кутника 141 — — чотирикутника 8 Сусідні відрізки 6

205

Тангенс гострого кута прямокутного трикутника 123 Теорема Піфагора 116 — про пропорційні відрізки 77 — Фалеса 76 Трапеція 44 — прямокутна 45 — рівнобічна 44 Тригонометричні функції 124 Чотирикутник 7 —, вписаний у коло 63 — неопуклий 8 —, описаний навколо кола — опуклий 8

206 ЗМІСТ

Від авторів ......................................................................... 3 Умовні позначення .............................................................. 4 .

§ 1. Чотирикутники ............................................................. 5 .

1. Чотирикутник та його елементи ............................... 6  Дерзайте! ............................................................14 2. Паралелограм. Властивості паралелограма ............... 15 3. Ознаки паралелограма ............................................23 Необхідно і достатньо ..........................................28  4. Прямокутник ........................................................ 30 5. Ромб .....................................................................34 6. Квадрат ................................................................ 37 7. Середня лінія трикутника .......................................40 8. Трапеція................................................................44 9. Центральні та вписані кути .................................... 53  Перша задача першої Всеукраїнської олімпіади юних математиків ...................................62 10. Описане та вписане кола чотирикутника ................. 63 Завдання № 1 «Перевірте себе» в тестовій формі .............. 70 Головне в параграфі 1 ........................................................ 71 .

§ 2. Подібність трикутників ................................................ 75

11. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки ........................... 76 12. Подібні трикутники ................................................85 13. Перша ознака подібності трикутників ..................... 90  Теорема Менелая................................................ 97 Теорема Птолемея ............................................. 100  14. Друга та третя ознаки подібності трикутників......... 102 Пряма Ейлера ................................................... 106  Завдання № 2 «Перевірте себе» в тестовій формі .............. 109 Головне в параграфі 2 ....................................................... 110 .

15. Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику.................................. 113 16. Теорема Піфагора ................................................. 116  Піфагор ............................................................ 122

§ 3. Розв’язування прямокутних трикутників ...................... 112

207

Зміст

17. Тригонометричні функції гострого кута прямокутного трикутника ..................................... 122 18. Розв’язування прямокутних трикутників ............... 129 Завдання № 3 «Перевірте себе» в тестовій формі .............. 136 Головне в параграфі 3 ....................................................... 137

§ 4. Многокутники. Площа многокутника ........................... 139

19. Многокутники ..................................................... 140 20. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника ........................................... 145 21. Площа паралелограма ........................................... 151 22. Площа трикутника ............................................... 155 23. Площа трапеції .................................................... 160 Рівноскладені й рівновеликі многокутники.......... 164   Теорема Чеви .................................................... 166 Завдання № 4 «Перевірте себе» в тестовій формі .............. 168 Головне в параграфі 4 ....................................................... 169

Вправи для повторення курсу геометрії 8 класу ................... 171 .

Дружимо з комп’ютером ................................................... 178

Проєктна робота ............................................................... 182 Відомості з курсу геометрії 7 класу .................................... 183 .

Відповіді та вказівки до вправ .......................................... 193 Відповіді до завдань «Перевірте себе» в тестовій формі ..... 203 Предметний покажчик ..................................................... 204 .

Навчальне видання

МЕРЗЛЯК Аркадій Григорович ПОЛОНСЬКИЙ Віталій Борисович ЯКІР Михайло Семенович

ГЕОМЕТРІЯ Підручник для 8 класу закладів загальної середньої освіти 2-ге видання, перероблене

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено Підручник відповідає Державним санітарним нормам і правилам «Гігієнічні вимоги до друкованої продукції для дітей»

Відповідальна за випуск Г. Ф. Висоцька Редактор Т. Є. Цента Обкладинка Д. В. Висоцький Макет, художнє оформлення, комп’ютерна обробка ілюстрацій Д. В. Висоцький Технічний редактор О. В. Гулькевич Комп’ютерна верстка C. І. Северин Коректор А. Ю. Вєнза Формат 60 90/16. Ум. друк. арк. 13,00. Обл.-вид. арк. 12,28. Тираж 211 039 прим. Вид. № 48. Зам. № 89

Õàðê³â

ТОВ ТО «Гімназія», вул. Восьмого Березня, 31, м. 61052 Тел.: (057) 719-17-26, (057) 719-46-80, факс: (057) 758-83-93 E-mail: contаct@gymnasia.com.ua, www.gymnasia.com.ua Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 644 від 25.10.2001 Надруковано в друкарні ПП «Модем», вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052 Тел. (057) 758-15-80 Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ХК № 91 від 25.12.2003