1 by Орко

УДК 514:37.016(075.3) Г35 Авторський колектив: Алла Єршова, Вадим Голобородько, Олександр Крижановський, Сергій Єршов

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від 22.02.2021 № 243)

Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено

Ілюстрації художника Володимира Хорошенка

Геометрія : підруч. для 8 кл. закл. загал. серед. осві ти / [А. П. Єршова, В. В. Голобородько, О. Ф. Крижа новський, С. В. Єршов.] — 2 ге вид., перероб. — Харків. : Вид во «Ранок», 2021. — 256 с. : іл.

Г35

ISBN 978 617 09 6978 1 УДК 514:37.016(075.3)

Інтернет-підтримка

ISBN 978 617 09 6978 1

© Єршова А. П., Голобородько В. В., Крижановський О. Ф., Єршов С. В., 2016 © Єршова А. П., Голобородько В. В., Крижановський О. Ф., Єршов С. В., перероблення, 2021 © Хорошенко В. Д., ілюстрації, 2016 © ТОВ Видавництво «Ранок», 2021

Любі друзі!

У світі геометрії ви вже не почуваєте себе чужинцями: у сьомому класі ви познайомилися з багатьма важливими етапами її розвитку, почали оволодівати її мовою та опановувати її закони. Але геометрію недарма вважають дивовижною наукою: щоразу нова й непередбачу вана, вона відкриває свої найкоштовніші скарби лише тому, хто про йнявся її духом і прагне не зупинятися на досягнутому. У шкільному курсі геометрії можна умовно виділити декілька напрямів. На початковому етапі переважає «геометрія доведень» — ви вперше зустрілися з поняттям доведення, оволоділи його методами й логікою, навчилися отримувати з одних тверджень інші, обґрунто вувати свої висновки. Протягом цього навчального року чільне міс це буде відведене «геометрії обчислень». Чимало теорем, які ви будете вивчати, містять формули, що дозволяють отримати нові числові ха рактеристики геометричних фігур. Найважливішою із цих теорем є знаменита теорема Піфагора, зустріч із якою чекає на вас саме у восьмому класі. Однак вивчення геометрії не вичерпується лише обчисленнями. Завдяки цьому підручнику ви дослідите нові геометричні фігури, по глибите свої знання з логіки, набудете досвіду розв’язування задач оригінальними методами, дізнаєтеся про життя й здобутки визначних учених минулого. Майже в кожному параграфі вам запропоновано до вести математичне твердження або навести приклад, провести анало гію, тобто самостійно рушити до нових знань. Сподіваємося, що кож ний крок на шляху пізнання додасть вам упевненості у власних силах і наблизить до нових обріїв науки.

Як користуватися підручником

Підручник має чотири розділи, кожний із яких складається з па раграфів, а параграфи — з пунктів. У тексті міститься як теоретичний матеріал, так і приклади розв’язування задач. Найважливіші поняття й факти виділено блакитним кольором. Вправи і задачі, подані в підручнику, поділяються на декілька груп. Усні вправи допоможуть вам зрозуміти, наскільки успішно ви засвоїли теоретичний матеріал. Ці вправи не обов’язково виконувати подумки — для їх розв’язування ви можете виконати рисунки та про вести необхідні міркування в чернетці. Після усних можна переходити до графічних вправ, які виконуються в зошиті або на комп’ютері. Далі йдуть письмові вправи. Спочатку перевірте свої знання, виконуючи задачі рівня А. Складнішими є задачі рівня Б. І нарешті, якщо ви до бре опанували матеріал і бажаєте виявити свої творчі здібності, на вас чекають задачі рівня В. Значки і біля номерів вправ означають, що ці вправи на розсуд вчителя можуть бути використані відповідно для роботи в парах і групах. Після кожного параграфа в рубриці «Повторення» зазначено, які саме поняття й факти слід пригадати для успішного вивчення на ступного матеріалу (поряд, зокрема, зазначено відповідні параграфи в підручнику «Геометрія» для 7 класу закладів загальної середньої освіти авторів А. П. Єршової, В. В. Голобородька, О. Ф. Крижановсько го), і наведено відповідні задачі, що підготують вас до сприйняття на ступної теми. Для самостійної роботи вдома призначені задачі, номери яких позначено значком . Наприкінці кожного розділу подано контрольні запитання й типові задачі для контрольних робіт, завдяки яким ви зможете краще підготуватися до тематичного оцінювання. Звернувшись до інтернетпідтримки підручника, ви зможете пройти онлайнтестування і самостійно перевірити рівень ваших знань. Додат кові задачі до розділів допоможуть вам узагальнити вивчене, а задачі підвищеної складності відкриють нові грані геометрії та красу нестан дартного мислення. Про можливість скористатися матеріалами сайта вам нагадуватиме значок . Підсумкові огляди наприкінці кожного розділу послугують сво єрідним геометричним компасом і допоможуть орієнтуватись у вивче ному матеріалі. Додатки, наведені в кінці підручника, поглиблять ваші знання з окремих вивчених тем, а історичні довідки до розділів та матеріали рубрики «Видатні математики України» познайомлять із деякими цікавими фактами щодо розвитку геометрії та з діяльністю відомих учених.

Розділ І Чотирикутники

§ 1. Чотирикутник і його елементи § 2. Паралелограм і його властивості § 3. Ознаки паралелограма § 4. Види паралелограмів § 5. Трапеція § 6. Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції § 7. Вписані кути § 8. Вписані й описані чотирикутники § 9. Застосування властивостей чотирикутників. Властивість медіани трикутника

У величезному саду геометрії кожен може дібрати собі букет до смаку. Давид Гільберт

Вивчаючи геометрію в сьомому класі, ви познайоми лися з основними властивостями трикутників. Курс гео метрії восьмого класу починається з розгляду більш склад них фігур — чотирикутників. Але це не означає, що вже вивчену і, мабуть, призабуту за літо тему «Трикутники» не слід згадувати. Навпаки, цей матеріал варто повторити ще навіть до того, як ви прийдете на перший урок геоме трії у восьмому класі. Адже саме властивості трикутни ків є тим ключем, який відмикає двері у світ геометрії. Окремі види чотирикутників уже відомі вам із курсу математики 5–6 класів. Найбільш уважні й спостережливі могли помітити, що особливе місце серед чотирикутників посідають ті, які мають паралельні сторони. Саме тому вже найближчим часом вам стануть у пригоді властивості й ознаки паралельних прямих, доведені в сьомому класі,— цей матеріал також варто пригадати. Серед теорем, які розглядатимуться в цьому розділі, особливу роль відіграє теорема Фалеса — одна з найдав ніших теорем геометрії. З її допомогою ми згодом продов жимо рух шляхом пізнання нових таємниць геометричних фігур.

§1

Чотирикутник і його елементи

1.1. Означення чотирикутника Із чотирикутником ви вже знайомилися на уро ках математики. Дамо строге означення цієї фігури. Означення Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що їх послідовно сполучають. дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки — сторонами чотирикутника. При цьому жодні три вершини не лежать на одній прямій, а жодні дві сторони не перетинаються. На рис. 1 зображений чотирикутник із вершина ми A , B, C і D та сторонами AB, BC , CD та AD. Кажуть, що дві вершини чотирикутника є сусідніми вершинами, якщо вони сполучені однією стороною; вершини, які не є сусідніми, називають протилежними вершинами. Аналогічно сторони чо тирикутника, які мають спільну вершину, є сусід німи сторонами, а сторони, які не мають спільних точок,— протилежними сторонами. На рис. 1 сторони AB і CD — сусідні для сторони BC , а сторона AD — протилежна BC ; вершини B і D — сусідні з вер шиною A , а вершина C — протилежна вершині A . Чотирикутник позначають, послідовно вказую чи всі його вершини, причому букви, що стоять поряд, мають позначати сусідні вершини. Наприклад, чоти рикутник на рис. 1 можна позначити ABCD, BCDA або CBAD, але не можна позначати ABDC або BDCA .

Рис. 1. Чотирикут ник ABCD

Означення діагоналлю чотирикутника називається відрізок, що сполучає дві протилежні вершини. 7

розділ і. Чотирикутники R P S T Рис. 2. Відрізки PS і RT — діа гоналі чотирикут ника PRST

У чотирикутнику PRST (рис. 2) діагоналями є відрізки PS і RT . Зазначимо, що будьякий чотирикутник має діагональ, яка ділить його на два трикутники. Означення Периметром чотирикутника називається сума довжин усіх його сторін. Периметр чотирикутника (як і трикутника) позначають буквою P : PABCD = AB + BC + CD + AD .

1.2. Опуклі чотирикутники. Сума кутів чотирикутника

C D

A E

M E

K M

K б Рис. 3. Опуклий (а) і неопуклий (б) чотирикутники

Будьякий чотирикутник обмежує скінчен ну частину площини, яку називають внутрішньою областю цього чотирикутника (на рис. 3, а, б її за фарбовано). На рис. 3 зображено два чотирикутники і про ведено прямі, на яких лежать сторони цих чоти рикутників. У чотирикутнику ABCD ці прямі не проходять через внутрішню область — такий чо тирикутник є опуклим (рис. 3, а). У чотирикутни ку EFKM прямі EM і KM проходять через вну трішню область — цей чотирикутник є неопуклим (рис. 3, б). Означення Чотирикутник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону. Дійсно, чотирикутник ABCD на рис. 3, а ле жить по один бік від будьякої з прямих AB, BC , CD або AD. У шкільному курсі геометрії ми будемо розглядати лише опуклі чотирикутники (якщо інше не обумовлено окремо).

§ 1. Чотирикутник і його елементи

Спробуйте накреслити два чотирикутники, діа гоналі одного з яких перетинаються, а другого — ні. кутом (внутрішнім кутом) опуклого чотирикутника ABCD при вершині A називають кут BAD. Кут, суміжний із внутрішнім кутом чотирикут ника при даній вершині, називають зовнішнім кутом чотирикутника при даній вершині. Кути, вершини яких є сусідніми, називають сусідніми кутами, а кути, вершини яких протилеж ні,— протилежними кутами чотирикутника. Теорема (про суму кутів чотирикутника) Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Доведення1  У даному чотирикутнику ABCD проведемо діагональ, яка ділить його на два трикутники (рис. 4). Оскільки ∠ BAD = ∠1 + ∠ 2 , ∠ BCD = ∠ 3 + ∠ 4 , то су ма кутів чотирикутника ABCD дорівнює сумі всіх кутів трикутників ABC і ADC, тобто дорівнює 360°. Теорему доведено. 

C 3 4

D 1 2

A Рис. 4. Сума кутів чотирикутника до рівнює сумі кутів двох трикутників

задача кути чотирикутника ABCD , сусідні з кутом C, рівні, а протилежний кут удвічі більший за кут C. знайдіть кут C, якщо ∠B = 60° . Розв’язання кутами, сусідніми з C , є кути B і D, а кутом, проти лежним до C, — кут A. за умовою задачі ∠B = ∠D = 60 . оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360 °, то ∠A + ∠C = 360 −2 ⋅ 60 = 240 . якщо градусна міра кута C дорівнює x, то градусна міра кута A за умовою дорівнює 2x. звідси маємо: x + 2 x = 240 ; 3 x = 240 ; x = 80. отже, ∠C = 80 °. Відповідь: 80°. 1

Зазначимо, що ця теорема і її доведення справджуються також і для неопуклих чотирикутників (див. задачу 29).

розділ і. Чотирикутники

Запитання і задачі Усні вправи 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

Скільки сусідніх вершин має вершина чотирикутника? Скільки про тилежних? Назвіть сусідні й протилежні вершини для вершини B чотирикутника ABCD . Скільки сусідніх сторін має сторона чотирикутника? Скільки про тилежних? Назвіть сусідні й протилежні сторони для сторони AD чотирикутника ABCD . Відрізок, який сполучає дві вершини чотирикутника, не є його діа гоналлю. Чи можуть ці вершини бути протилежними? Вершинами чотирикутника є точки K, L, M, N. а) Відомо, що KM і ML — сторони чотирикутника. Назвіть його діагоналі. б) Відомо, що KL — діагональ чотирикутника. Назвіть вершини, сусідні з вершиною K . в) Даний чотирикутник можна назвати KMLN. Чи можна його на звати MLKN ? Чи існує чотирикутник ABCD , у якому AB = 9 см, BC = 12 см, AC = 21 см? Відповідь обґрунтуйте. Чи можуть усі кути опуклого чотирикутника бути гострими; тупи ми; прямими? Чи може опуклий чотирикутник мати три гострі кути; три тупі кути; два прямі кути; три прямі кути і один непрямий? Чи можуть кути трикутника дорівнювати трьом кутам із чотирьох кутів чотирикутника? Відповідь обґрунтуйте.

Графічні вправи 9.

Накресліть опуклий чотирикутник з вершинами A , B, C і D . а) Дайте назву отриманому чотирикутнику; проведіть його діагоналі. б) Виміряйте три кути чотирикутника. Користуючись відповідною теоремою, знайдіть градусну міру четвертого кута. Перевірте отри маний результат вимірюванням.

§ 1. Чотирикутник і його елементи

10. Проведіть дві паралельні прямі. Позначте на одній із них точки A і D , а на другій — точки B і C так, щоб у разі послідовного спо лучення цих точок утворився чотирикутник ABCD . а) Чи є побудований чотирикутник опуклим? Чому? б) Виміряйте зовнішні кути чотирикутника ABCD (по одному при кожній вершині) і обчисліть їх суму. Aa

Письмові вправи Рівень А

11. Знайдіть периметр чотирикутника, якщо його найменша сторона до 12. 13. 14. 15. 16.

рівнює 5 см, а кожна наступна сторона на 2 см більша за попередню. Периметр чотирикутника дорівнює 20 см. Знайдіть сторони чотири кутника, якщо одна з них складає 40 % периметра, а три інші рівні. Два кути чотирикутника дорівнюють 80° і 100°, а два інші кути ма ють рівні градусні міри. Знайдіть найбільший кут чотирикутника. Знайдіть кути чотирикутника ABCD , якщо ∠ A = ∠ B , ∠ C = ∠ D , а сума кутів A і B дорівнює 160°. Якщо три кути чотирикутника є тупими, то четвертий кут — гострий. Доведіть. Якщо сума трьох кутів чотирикутника дорівнює 270°, то дві сторони чотирикутника перпендикулярні. Доведіть.

Рівень Б 17. Визначте, чи може чотирикутник ABCD бути опуклим, якщо: а) точки A і D лежать по різні боки від прямої BC ; б) пряма AB перетинає пряму CD ; в) пряма AB перетинає відрізок CD . Виконайте рисунки. 18. Знайдіть сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 3 дм, а одна сторона менша за кожну з трьох інших на 2 см, 3 см і 5 см відповідно. 19. Сторони чотирикутника відносяться як 3 : 4 : 5 : 6. Знайдіть пери метр чотирикутника, якщо сума його найбільшої і найменшої сторін дорівнює 18 см. 11

розділ і. Чотирикутники

20. Знайдіть кути чотирикутника, якщо один із них удвічі менший за другий, на 20° менший за третій і на 40° менший за четвертий.

21. Знайдіть найменший кут чотирикутника, якщо суми його кутів, узя тих по три, дорівнюють 240°, 260° і 280°.

22. Якщо один із кутів опуклого чотирикутника є гострим, то в цьому чотирикутнику обов’язково є тупий кут. Доведіть. 23. Один із кутів опуклого чотирикутника дорівнює сумі двох інших кутів. Доведіть, що даний кут є тупим.

Рівень В 24. Периметри чотирикутників ABCD і ABCD1 рівні. Чи може один із 25. 26. 27. 28. 29.

цих чотирикутників бути опуклим, а інший — неопуклим? Відпо відь підтвердьте рисунком. Периметр чотирикутника ABCD дорівнює 23 дм. Знайдіть довжи ну діагоналі AC , якщо периметр трикутника ABC дорівнює 15 дм, а периметр трикутника ADC дорівнює 22 дм. У чотирикутнику три кути рівні, а четвертий кут менший за їхню суму на 240°. Знайдіть кути чотирикутника. Доведіть, що діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються. Доведіть, що будьякий відрізок із кінцями на сторонах опуклого чотирикутника лежить у внутрішній області цього чотирикутника. У неопуклому чотирикутнику ABCD градусною мірою кута при вершині B вважають градусну міру α кута ABC , якщо хоча б одна з внутрішніх точок відрізків СD або AD лежить у внутрішній об ласті кута ABC (рис. 5, а), або (360° − α) , якщо жодна внутрішня точка відрізків CD та AD не лежить у внутрішній області кута ABC (рис. 5, б). Доведіть, що сума кутів неопуклого чотирикутника дорівнює 360°. α

Bα

C а

б Рис. 5

§ 1. Чотирикутник і його елементи

Повторення перед вивченням § 2 Теоретичний матеріал • трикутник і його елементи; • ознаки рівності трикутників; • властивості й ознаки паралельних прямих.

7 клас, § 7, 8, 10 7 клас, § 13–15

Задачі 1

30. Відомо, що KMN = NPK (рис. 6).

а) Доведіть, що MK  NP . б) Знайдіть кут P , якщо ∠ M = 65°.

31. На рис. 6 MK = PN , ∠ MKN = ∠ PNK . а) Доведіть, що MN  KP . б) Знайдіть MN , якщо KP = 14 см.

K Рис. 6

Нагадаємо, що запис ABC = A1 B1C1 означає рівність відповідних сторін і кутів, тобто AB = A1 B1, BC = B1C1, AC = A1C1, ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, ∠ C = ∠ C1.

§2

Паралелограм і його властивості

— Паралелограм ів сл их ьк ец від гр — той, «паралелос» що йде поряд, паралельний, лінія і «грамма» —

2.1. Означення паралелограма Розглянемо на площині дві паралельні прямі, які перетинаються двома іншими паралельними пря мими (рис. 7). У результаті такого перетину утворюєть ся чотирикутник, який має спеціальну назву — паралелограм. означення Паралелограмом називається чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.

На рис. 7 зображено паралелограм ABCD , у якому AB  CD , AD  BC .

Рис. 7. Паралело грам ABCD

задача на рис. 8 KLM = MNK . доведіть, що чотирикутник KLMN — паралелограм. Розв’язання L

M 2

1 K

N Рис. 8

з рівності трикутників KLM і MNK випливає рівність кутів: ∠1 = ∠ 2 і ∠ 3 = ∠ 4 . кути 1 і 2 є внутрішніми різносторонніми при прямих KL і MN та січній KM. аналогічно кути 3 і 4 є внутрішніми різносторонніми при прямих LM і KN та січній KM. за ознакою паралельності прямих маємо: KL MN і LM KN . отже, у чотирикутнику KLMN протилежні сторони попарно паралельні, тобто KLMN — паралелограм за означенням.

§ 2. Паралелограм і його властивості

Як і в трикутнику, у паралелограмі можна про вести висоти (рис. 9). Означення

Висотою паралелограма називається перпендикуляр, проведений з точки однієї сторони до прямої, що містить протилежну сторону. Очевидно, що до однієї сторони паралелограма можна провести безліч висот (рис. 9, а),— усі вони будуть рівні як відстані між паралельними прямими. А з однієї вершини паралелограма можна провести дві висоти до різних сторін (рис. 9, б). Часто, кажучи «висота паралелограма», мають на увазі її довжину. Пригадайте, скільки висот можна провести до однієї сторони трикутника; з однієї вершини три кутника.

б Рис. 9. Висоти паралелограма

2.2. Властивості паралелограма Безпосередньо з означення паралелограма ви пливає, що будьякі два його сусідні кути є внутріш німи односторонніми при паралельних прямих, які містять протилежні сторони. Це означає, що сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Доведемо ще кілька важливих властивостей сторін, кутів і діагоналей паралелограма. Теорема (властивості паралелограма) У паралелограмі: 1) протилежні сторони рівні; 2) протилежні кути рівні; 3) діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Властивості 1 і 2 ілюструє рис. 10, а, а вла стивість 3 — рис. 10, б. Доведення  Проведемо в паралелограмі ABCD діаго наль AC (рис. 11) і розглянемо трикутники ABC

б Рис. 10. Властивості паралелограма

розділ і. Чотирикутники B 4 2 A

Рис. 11. Діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники

4 1

C O 2

Рис. 12. При перетині діагоналей паралело грама утворюються рівні трикутники

і CDA . У них сторона AC — спільна, ∠ 1 = ∠ 3 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AC , ∠ 2 = ∠ 4 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і CD та січній AC . Отже, ABC = CDA за другою ознакою рівності трикутників. Звідси, зокрема, ви пливає, що AB = CD , AD = BC і ∠ B = ∠ D . А оскільки ∠1 + ∠ 2 = ∠ 3 + ∠ 4 , то ∠ BAD = ∠ BCD . Отже, властивості 1 і 2 доведено. Для доведення властивості 3 проведемо в парале лограмі ABCD діагоналі AC і BD , які перетинають ся в точці O (рис. 12). Розглянемо трикутники AOD і COB . У них AD = BC за доведеним, ∠ 1 = ∠ 3 як внутрішні різно сторонні при паралельних прямих AD і BC та січ ній AC , ∠ 2 = ∠ 4 як внутрішні різносторонні при па ралельних прямих AD і BC та січній BD . Отже, AOD = COB за другою ознакою. Звідси випли ває, що AO = CO і BO = DO , тобто точка O є середи ною кожної з діагоналей AC і BD . Теорему доведено повністю. 

задача Сума двох кутів паралелограма дорівнює 200°. знайдіть кути паралелограма. Розв’язання нехай дано паралелограм ABCD. оскільки сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°, то дані кути можуть бути лише протилежними. нехай ∠ B + ∠ D = 200° . тоді за властивістю ку тів паралелограма ∠ B = ∠ D = 200° : 2 = 100° . отже, ∠ A = ∠ C = 180° − 100° = 80° . Відповідь: 80° і 100°.

§ 2. Паралелограм і його властивості

задача У паралелограмі ABCD бісектриса кута A ділить сторону BC навпіл. знайдіть периметр паралелограма, якщо AB = 6 см. Розв’язання нехай у паралелограмі ABCD бісектриса кута A перетинає сторону BC в точці E, BE = EC (рис. 13). зазначимо, що ∠1 = ∠ 2, оскільки AE — бісектриса кута BAD, а ∠1 = ∠ 3 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AE. звідси ∠ 2 = ∠ 3, тобто за ознакою рівнобедреного трикутника трикутник ABE — рівнобедрений з основою AE, отже, BE = AB = 6 см. за умовою BE = EC , тобто BC = 12 см. отже, оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то PABCD = 2 ⋅ (6 + 12) = 36 (см).

B 2 A

C D

Рис. 13

Відповідь: 36 см.

Запитання і задачі Усні вправи 32. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Назвіть: а) сторону, паралельну стороні BC ; б) сторону, яка дорівнює стороні CD ; в) кут, який дорівнює куту A . 33. Чи правильно, що будьякий паралелограм має: а) два кути, сума яких дорівнює 180°; б) два гострі і два тупі кути? 34. У паралелограмі ABCD ∠B < ∠C. Порівняйте кути A і D . 35. У паралелограмі ABCD AB + CD > AD + BC . Порівняйте сторони BC і CD . 17

розділ і. Чотирикутники

36. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O (див. рис. 12). Назвіть: а) відрізок, який є медіаною трикутника ACD ; б) трикутник, медіаною якого є відрізок AO .

Графічні вправи 37. Проведіть дві паралельні прямі. Позначте на одній із них точки A і D та проведіть через ці точки дві інші паралельні прямі, які пере тинають другу пряму в точках B і C відповідно. а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом. б) Виміряйте кут A паралелограма ABCD . Користуючись власти востями паралелограма, знайдіть градусні міри інших його кутів. Перевірте отримані результати вимірюванням. в) Проведіть діагональ AC і позначте її середину — точку O . За допомогою лінійки перевірте, чи належить ця точка відрізку BD . 38. Накресліть трикутник ABD. Проведіть через вершини B і D прямі, паралельні сторонам AD і AB відповідно. Позначте точку C — точ ку перетину цих прямих. а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом. б) Проведіть дві висоти паралелограма з вершини B. Чи рівні вони? в) Виміряйте сторони AD та AB і знайдіть периметр паралелограма. Якою властивістю паралелограма ви скористалися? Aa

Письмові вправи Рівень А

39. Накресліть у зошиті трикутник і проведіть через кожну його верши ну пряму, паралельну протилежній стороні. Скільки паралелограмів утворилося на рисунку? Скільки спільних вершин мають будьякі два утворені паралелограми? 40. Три паралельні прямі перетинаються з двома іншими паралельними прямими. Скільки паралелограмів утворилося? 41. Знайдіть периметр паралелограма ABCD , якщо сторона AD дорів нює 12 см і становить 18

2 3

сторони AB.

§ 2. Паралелограм і його властивості

42. Периметр паралелограма дорівнює 24 см. Знайдіть сторони парале

43.

44.

45. 46. 47.

лограма, якщо: а) одна з них на 2 см більша за іншу; б) одна з них утричі менша за іншу; в) сума трьох його сторін дорівнює 17 см. Знайдіть кути паралелограма, якщо: а) один із них дорівнює 110°; б) один із них на 70° менший від іншого; в) сума двох його кутів дорівнює 90°; г) діагональ утворює з його сторонами кути 30° і 45°. Знайдіть кути паралелограма, якщо: а) один із них є прямим; б) градусні міри двох його кутів відносяться як 2 : 7; в) різниця двох його кутів дорівнює 40°; г) сума трьох його кутів дорівнює 330°. Точка перетину діагоналей паралелограма віддалена від двох його вершин на 5 см і 8 см. Знайдіть довжини діагоналей паралелограма. У чотирикутнику ABCD AB  CD, ∠ ADB = ∠ CBD. Доведіть за озна ченням, що ABCD — паралелограм. У чотирикутнику VXYZ VX  YZ , ∠ V + ∠ X = 180°. Доведіть за озна ченням, що VXYZ — паралелограм.

Рівень Б 48. На площині дано три точки, які не лежать на одній прямій. Побу 49. 50. 51. 52.

дуйте паралелограм, трьома вершинами якого є дані точки. Скільки розв’язків має задача? Скільки різних паралелограмів можна утворити з двох рівних різно сторонніх трикутників, прикладаючи їх один до одного? Периметр паралелограма ABCD дорівнює 14 дм, а периметр трикут ника ABC — 10 дм. Знайдіть довжину діагоналі AC . Сума трьох сторін паралелограма дорівнює 15 м, а сума трьох інших його сторін — 18 м. Знайдіть периметр паралелограма. Знайдіть кути паралелограма, якщо: а) бісектриса одного з його кутів перетинає сторону під кутом 35°; б) висота паралелограма утворює з однією з його сторін кут 42°. 19

розділ і. Чотирикутники

53. Знайдіть кути паралелограма, якщо:

54.

55. 56 57.

58.

а) усі його сторони рівні, а діагональ утворює з однією зі сторін кут 25°; б) висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, ділить даний кут у відношенні 1 : 3. Бісектриса кута D паралелограма ABCD ділить сторону BC у відношенні 1 : 4, починаючи від точки B. Знайдіть периметр пара лелограма, якщо BC = 15 см. Скільки розв’язків має задача? Відпо відь обґрунтуйте. Бісектриса кута паралелограма ділить його сторону на відрізки завдовжки 5 см і 6 см. Знайдіть периметр паралелограма. Скільки розв’язків має задача? (опорна). Будь-який відрізок з кінцями на протилежних сторонах паралелограма, який проходить через точку перетину його діагоналей, ділиться цією точкою навпіл. Доведіть. З вершин тупих кутів B і D пара B N C лелограма ABCD проведено перпен K дикуляри BA1 і DC1 до сторін AD і BC відповідно. Доведіть, що чотири M D кутник A1 BC1 D — паралелограм. P A За даними рис. 14 доведіть, що чоти Рис. 14 рикутник ABCD — паралелограм.

Рівень В

59. Через точку, яка належить стороні рівностороннього трикутника,

60. 61. 62. 63

проведено прямі, паралельні двом іншим його сторонам. Визначте периметр утвореного паралелограма, якщо периметр трикутника до рівнює 18 см. У паралелограмі ABCD бісектриси кутів A і D ділять сторону BC на відрізки завдовжки 5 см, 3 см і 5 см. Знайдіть периметр парале лограма. Скільки розв’язків має задача? Знайдіть кути паралелограма, якщо його діагональ перпендикулярна до однієї зі сторін і дорівнює половині іншої сторони. Знайдіть кути паралелограма, який ділиться діагоналлю на два рів нобедрені прямокутні трикутники (розгляньте два випадки). (опорна). Бісектриси двох сусідніх кутів паралелограма перпендикулярні, а бісектриси двох протилежних кутів паралельні або лежать на одній прямій. Доведіть.

§ 2. Паралелограм і його властивості

64 (опорна). Кут між висотами паралелограма, проведеними з однієї вершини, дорівнює куту паралелограма при сусідній вершині. Доведіть. 65. Якщо діагональ ділить чотирикутник на два рівні трикутники, то такий чотирикутник є паралелограмом. Чи є правильним це твер дження? Відповідь обґрунтуйте. 66. Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, то всі його сторони рівні. Доведіть. Сформулюйте й доведіть обернене твердження.

Повторення перед вивченням § 3 Теоретичний матеріал • ознаки рівності трикутників; • властивості й ознаки паралельності прямих; • поняття про властивості й ознаки.

7 клас, § 8, 10, 13 7 клас, § 14, 15

Задачі

67. Доведіть, що пряма, яка проходить через середини бічних сторін рів нобедреного трикутника, паралельна його основі.

68. У чотирикутнику ABCD AB = CD . Які співвідношення необхід но додати до умови, щоб за даними задачі довести, що чотирикут ник ABCD — паралелограм? Висловіть припущення.

§3

Ознаки паралелограма Для того щоб скористатися властивостями па ралелограма, у багатьох випадках потрібно спочатку переконатися, що даний чотирикутник дійсно є па ралелограмом. Це можна довести або за означенням (див. задачу в п. 2.1), або за ознаками — умовами, які гарантують, що даний чотирикутник — парале лограм. Доведемо ознаки паралелограма, які найчас тіше застосовуються на практиці. Теорема (ознаки паралелограма) 1) якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні й рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. 2) якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. 3) якщо діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм.

4 1

Рис. 15. Якщо в чотирикутнику ABCD AD  BC і AD = BC, то ABCD — паралелограм

Доведення  1) Нехай у чотирикутнику ABCD AD  BC і AD = BC (рис. 15). Проведемо діагональ AC і роз глянемо трикутники ABC і CDA . Вони мають спіль ну сторону AC, AD = BC за умовою, ∠ 1 = ∠ 2 як вну трішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AC . Отже, ABC = CDA за пер шою ознакою рівності трикутників. Із рівності цих трикутників випливає рівність кутів 3 і 4. Але ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих AB і CD та січній AC . Тоді за ознакою паралельності прямих AB  CD . Таким чином, у чотирикутни ку ABCD протилежні сторони попарно пара лельні, звідки випливає, що ABCD — паралелограм за означенням.

§ 3. ознаки паралелограма

2) Нехай у чотирикутнику ABCD AB = CD і AD = BC (рис. 16). Знову проведемо діагональ AC і розглянемо трикутники ABC і CDA . У цьому ви падку вони рівні за третьою ознакою: сторона AC — спільна, AB = CD і AD = BC за умовою. З рівно сті трикутників випливає рівність кутів 1 і 2, які є внутрішніми різносторонніми при прямих AD і BC та січній AC. За ознакою паралельності пря мих AD  BC . Отже, в чотирикутнику ABCD сторони AD і BC паралельні й рівні, і за щойно доведеною ознакою 1 ABCD — паралелограм. 3) Нехай у чотирикутнику ABCD діагона лі перетинаються в точці O , AO = CO і BO = DO (рис. 17). Розглянемо трикутники AOB і COD . Ці трикутники рівні за першою ознакою: ∠1 = ∠ 2 як вертикальні, а AO = CO і BO = DO за умовою. Отже, рівні і відповідні сторони і кути цих трикутників: AB = CD і ∠ 3 = ∠ 4. Тоді AB  CD , і ABCD — па ралелограм за ознакою 1. Теорему доведено повністю. 

Рис. 16. Якщо в чоти рикутнику ABCD AB = CD і AD = BC, то ABCD — парале лограм B

C 1

4 2

Рис. 17. Якщо в чоти рикутнику ABCD AO = CO і BO = DO , то ABCD — парале лограм

задача У паралелограмі ABCD точки M і N — середини сторін AB і CD відповідно (рис. 18). доведіть, що чотирикутник MBND — паралелограм. B

Розв’язання Розглянемо чотирикутник MBND. Сторони MB і ND паралельні, оскільки лежать на прямих, що містять протилежні сторони паралелограма ABCD. крім того, MB = ND як половини рівних сторін AB і CD паралелограма ABCD. таким чином, у чотирикутнику MBND дві сторони паралельні й рівні. отже, чотирикутник MBND — паралелограм.

D Рис. 18

розділ і. Чотирикутники

Спробуйте самостійно знайти способи розв’я зання цієї задачі, які ґрунтуються на застосуванні інших ознак або означення паралелограма. Кожна з ознак паралелограма вказує на певну особливість, наявності якої в чотирикутнику достат ньо для того, щоб стверджувати, що він є паралелогра мом. Узагалі в математиці ознаки інакше називають достатніми умовами. Наприклад, перпендикулярність двох прямих третій — достатня умова паралельності даних двох прямих. На відміну від ознак, властивості паралело грама вказують на ту особливість, яку обов’язково має будьякий паралелограм. Властивості інакше називають необхідними умовами. Пояснимо таку на зву прикладом: рівність двох кутів необхідна для того, щоб кути були вертикальними, адже якщо цієї рівності немає, вертикальними такі кути бути не можуть. У випадку правильності теореми «Якщо А, то В» твердження А є достатньою умовою для твер дження В, а твердження В — необхідною умовою для твердження А. Схематично це можна подати так: Якщо А, то В А — достатня умова для В В — необхідна умова для А Отже, необхідні умови (властивості) паралело грама випливають з того, що даний чотирикутник — паралелограм; з достатніх умов (ознак) випливає те, що даний чотирикутник — паралелограм. Порівнюючи властивості й ознаки парале лограма, неважко помітити, що одна й та сама умова (наприклад, попарна рівність протилежних сторін) є і властивістю, і ознакою паралелограма. 24

§ 3. ознаки паралелограма

У такому випадку кажуть, що умова є необхідною і достатньою. Необхідну і достатню умову інакше називають критерієм. Наприклад, рівність двох кутів трикутника — критерій рівнобедреного три кутника. Чимало прикладів необхідних і достатніх умов можна знайти в інших науках і в повсяк денному житті. Усі ми знаємо, що повітря — необ хідна умова для життя людини, але не достат ня (людині для життя потрібно ще багато чого, зокрема їжа). Виграш у лотерею — достатня умо ва для матеріального збагачення людини, але не необхідна, адже покращити своє фінансове стано вище можна і в інший спосіб. Спробуйте самостійно знайти декілька при кладів необхідних і достатніх умов.

Запитання і задачі Усні вправи 69. Діагоналі чотирикутника DEFK перетинаються в точці O , причому

DO = OF , EO = OK . Назвіть паралельні сторони чотирикутника і по ясніть, чому вони паралельні. 70. У чотирикутнику KLMN KL  MN і KL = MN . Назвіть рівні кути чотирикутника і поясніть, чому вони рівні. 71. У чотирикутнику PRSQ PR = SQ , PQ = RS . Знайдіть суму кутів R і S. 72. У чотирикутнику ABCD AB  CD . Яке співвідношення між сторо нами чотирикутника необхідно додати до умови задачі, щоб довести, що ABCD — паралелограм? Наведіть усі можливі варіанти відпо віді. 25

розділ і. Чотирикутники

73. У чотирикутнику ABCD ∠ A = 30°, ∠ C = 50°. Чи може цей чоти рикутник бути паралелограмом? Яка особливість паралелограма (властивість або ознака) використовується для розв’язування ці єї задачі? 74. Поставте замість крапок слова «необхідно», «достатньо» або «необ хідно і достатньо», щоб отримане твердження було правильним: а) для того щоб чотирикутник був пара лелограмом, …, щоб його діагоналі точкою необхідно перетину ділилися навпіл; і достатньо б) для того щоб два кути були суміжни достат ми, …, щоб їхня сума дорівнювала 180°; ньо в) для того щоб прямі AB і CD були па необ ралельними, …, щоб чотирикутник ABCD хідно був паралелограмом.

Графічні вправи 75. Проведіть дві паралельні прямі. Відкладіть на одній із них відрі зок AD, а на другій прямій — відрізок BC, що дорівнює AD, так, щоб відрізки AB і CD не перетиналися. Побудуйте відрізки AB і CD . а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом. б) Позначте точку M таку, щоб чотирикутник ABMC був парале лограмом. Чи лежать точки M , C і D на одній прямій? 76. Накресліть трикутник ABC і проведіть його медіану BO. На проме ні BO побудуйте відрізок OD , що дорівнює BO. Сполучіть точку D з точками A і C. а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом. б) Позначте точку M так, щоб чотирикутник ABDM був пара лелограмом. Чи лежать точки M , C і D на одній прямій? Aa

Письмові вправи Рівень А

77. Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці O . Чи

є цей чотирикутник паралелограмом, якщо AO = 4 см, OC = 40 мм, BD = 1,2 дм, OD = 6 см? Відповідь обґрунтуйте.

§ 3. ознаки паралелограма

78. За даними рис. 19 доведіть, що чотирикутник ABCD — паралело грам. B

б Рис. 19

79. За даними рис. 20 доведіть, що чотирикутник ABCD — парале лограм. B

C O

O A

AOB = COD

б Рис. 20

80. У чотирикутнику ABCD сторони AB і CD паралельні. Знайдіть периметр чотирикутника, якщо AB = CD =9 см, AD = 4 см.

81. У чотирикутнику ABCD AB = CD , AD = BC . Знайдіть кути чотири кутника, якщо кут A втричі більший за кут B.

82. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O. Точки B1

і D1 — середини відрізків BO і DO відповідно. Доведіть, що чотири кутник AB1CD1 — паралелограм.

83. Доведіть, що відрізок, який сполучає середини протилежних сторін паралелограма, ділить даний паралелограм на два чотирикутники, які також є паралелограмами. 27

розділ і. Чотирикутники

Рівень Б 84. У технічному кресленні використовують механічну рейсшину (рис. 21). Поясніть, як за допомогою цього приладу побудувати чо тири вершини паралелограма. 85. Поясніть, чому вісь CD , на якій кріпиться лампа (рис. 22), завжди лишається вертикальною. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C B

D A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Рис. 21

Рис. 22

86. За даними рис. 23 доведіть, що чотирикутник ABCD — парале лограм. C

E F

AECF — паралелограм

б Рис. 23

§ 3. ознаки паралелограма

87. За даними рис. 24 доведіть, що чотирикутник ABCD — парале лограм. B

E B

D F

AECF — паралелограм

б Рис. 24

88. У паралелограмі ABCD бісектриси кутів B і D перетинають діа гональ AC в точках E і F відповідно. Доведіть, що чотирикут ник BEDF — паралелограм.

89. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O . Доведіть, що середини відрізків AO , BO, CO і DO є вершинами іншого па ралелограма.

Рівень В 90. На рис. 25 чотирикутник KLMN є паралелограмом. Доведіть, що чотирикутник ABCD теж є паралелограмом.

B K

M C

N а

N б

Рис. 25

розділ і. Чотирикутники

91. За даними рис. 26 доведіть, що чотирикутник ABCD — пара лелограм. E B

D A

A K

D N

KLMN — паралелограм

AECF — паралелограм а

б Рис. 26

92 (опорна). Якщо в чотирикутнику протилежні кути попарно рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Доведіть. 93. Усередині даного кута A позначено точку O . Побудуйте відрізок з кінцями на сторонах кута, серединою якого є точка O . 94. Точка M міститься всередині кута A , вершина якого недосяжна (рис. 27). Побудуйте промінь з початком у точці M, спрямований на точку A . M

Рис. 27

Повторення перед вивченням § 4 Теоретичний матеріал • рівнобедрений трикутник; • прямокутний трикутник.

7 клас, § 11, 17

Задачі

95. Висоти трикутника ABC, проведені з вершин A і B, перетинаються в точці O , причому AO = BO . Доведіть, що трикутник ABC рівно бедрений. 96. Прямокутні трикутники ABC і DCB мають спільний катет BC , а гіпотенузи AC і BD паралельні. Доведіть, що ABC = DCB .

§4

Види паралелограмів

4.1. Прямокутник Означення Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі. На рис. 28 зображено прямокутник ABCD . Оскільки прямокутник є окремим випадком парале лограма, він має всі властивості паралелограма: про тилежні сторони прямокутника паралельні й рівні, протилежні кути рівні, діагоналі точкою перетину діляться навпіл і т. д. Однак прямокутник має деякі особливі властивості. Доведемо одну з них.

Рис. 28. Прямокут ник ABCD

Теорема (властивість прямокутника) діагоналі прямокутника рівні. Доведення  Нехай дано прямокутник ABCD з діа гоналями AC і BD (рис. 29). Трикутники BAD і CDA прямокутні й рівні за двома катетами ( AD спільний, AB = CD як протилежні сторони прямокутника). Звідси випливає рівність гіпотенуз цих трикутників, тобто AC = BD , що й треба було довести.  Справджується також обернене твердження (ознака прямокутника):

Рис. 29. Якщо ABCD — прямокут ник, то AC = BD

якщо діагоналі паралелограма рівні, то цей паралелограм є прямокутником. Доведіть це твердження самостійно. Таким чином, можна стверджувати, що рівність діагоналей паралелограма — необхідна й достатня умови прямокутника. 31

розділ і. Чотирикутники

опорна задача якщо всі кути чотирикутника прямі, то цей чотирикутник — прямокутник. доведіть. Розв’язання нехай у чотирикутнику ABCD ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90 ° (див. рис. 28). кути A і B є внутрішніми односто∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90 ронніми при прямих AD і BC та січній AB. оскільки сума цих кутів становить 180 °, то за ознакою паралельності прямих AD BC . аналогічно доводимо паралельність сторін AB і CD. отже, за означенням паралелограма ABCD — паралелограм. а оскільки всі кути цього паралелограма прямі, то ABCD — прямокутник за означенням. B

4.2. Ромб C

Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Рис. 30. Ромб ABCD

Означення

На рис. 30 зображено ромб ABCD . Він має всі властивості паралелограма, а також деякі додат кові властивості, які ми зараз доведемо. Теорема (властивості ромба)

діагоналі ромба перпендикулярні й ділять його кути навпіл. Ці властивості ромба відображено на рис. 31.

D Рис. 31. Властивості

Доведення  Нехай діагоналі ромба ABCD перетинають ся в точці O (рис. 32). Оскільки сторони ромба рівні, то трикутник ABC рівнобедрений з основою AC ,

§ 4. Види паралелограмів

а за властивістю діагоналей паралелограма точ ка O — середина AC. Отже, відрізок BO — медіана рівнобедреного трикутника, яка водночас є його ви сотою і бісектрисою. Це означає, що BD ⊥ AC , тобто діагоналі ромба перпендикулярні, і ∠ ABD = ∠ CBD, тобто BD — бісектриса кута ABC . Аналогічно доводимо, що діагоналі ромба є бі сектрисами й інших його кутів. Теорему доведено. 

опорна задача (ознака ромба) якщо всі сторони чотирикутника рівні, то цей чотирикутник — ромб. доведіть. Розв’язання очевидно, що в чотирикутнику, усі сторони якого рівні, попарно рівними є і протилежні сторони. отже, за ознакою паралелограма такий чотирикутник — паралелограм, а за означенням ромба, паралелограм, у якого всі сторони рівні, є ромбом.

D Рис. 32. До доведен ня властивостей ромба

Ромб — від гр ецького «ромбос» — бубон (у стародавні часи цей ударний музичний інструмент м ав форму ромба)

Розв’язуючи задачі після параграфа, ви доведе те інші ознаки прямокутника і ромба.

4.3. Квадрат На рис. 33 зображено ще один вид паралелогра ма — квадрат. Означення квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні. Інакше можна сказати, що квадрат — це пря мокутник, який є ромбом. Дійсно, оскільки квадрат

Рис. 33. Квадрат

розділ і. Чотирикутники

квадрат — о від латинськог тири чо — о» др «ква

є прямокутником і ромбом і, звісно ж, паралелогра мом, то він має такі властивості: 1) усі сторони квадрата рівні, а протилежні сторо ни паралельні; 2) усі кути квадрата прямі; 3) діагоналі квадрата рівні, перпендикулярні, ділять кути квадрата навпіл і діляться точкою перетину навпіл.

4.4. Зв’язок між окремими видами паралелограмів. Рівносильні твердження За означеннями довільного паралелограма і йо го окремих видів ми можемо схематично зобразити зв’язок між ними (рис. 34). Паралелограми Прямокут Квад Ромби рати ники

Рис. 34. Діаграма «Види паралелограмів»

На схемі подано множини паралелограмів, пря мокутників і ромбів. Такий спосіб наочного подання множин називають діаграмами Ейлера — Венна. Діаграма Ейлера — Венна для паралелограмів де монструє, що множини прямокутників і ромбів є ча стинами (підмножинами) множини паралелограмів, а множина квадратів — спільною частиною (пере різом) множин прямокутників і ромбів. Діаграми Ейлера — Венна часто застосовують для підтверджен ня або перевірки правильності логічних міркувань. 34

§ 4. Види паралелограмів

Підсумовуючи матеріал цього параграфа, звернемо також увагу на те, що можна було б дати й інше означення квадра та: квадратом називається ромб із прямими кутами. Справді, обидва наведених означення описують одну й ту саму фігуру. Такі означення називають рівносильними. Узагалі два твер дження називаються рівносильними, якщо вони або обидва справджуються, або обидва не справджуються. Наприклад, рівносильними є твердження «У трикутнику дві сторони рівні» і «У трикутнику два кути рівні», адже обидва вони правильні, якщо розглядається рівнобедрений трикутник, і обидва хибні, якщо йдеться про різносторонній трикутник. Рівносильність двох тверджень також означає, що будь яке з них є необхідною і достатньою умовою для іншого. Справді, розглянемо рівносильні твердження «Діагоналі пара лелограма рівні» і «Паралелограм має прямі кути». З того, що діагоналі паралелограма рівні, випливає, що він є прямокут ником, тобто має прямі кути, і навпаки: паралелограм із пря мими кутами є прямокутником, тобто має рівні діагоналі. На цьому прикладі легко відстежити логічні кроки переходу від ознак фігури до її означення і згодом — до властивостей. Такий перехід досить часто доводиться робити в процесі розв’язування задач. Самостійно наведіть приклади рівносильних тверджень.

розділ і. Чотирикутники

Запитання і задачі Усні вправи 97. Назвіть види паралелограмів, у яких:

98.

99. 100. 101. 102. 103.

а) усі кути рівні; б) усі сторони рівні; в) діагоналі рівні; г) діагоналі перпендикулярні. Діагоналі ромба ABCD перетинаються в точці O (див. рис. 31). На звіть: а) бісектрису трикутника ABD; б) висоту трикутника ABC ; в) медіану трикутника BCD. У прямокутнику ABCD AB = 8 см, BC = 5 см. Знайдіть: а) відстань від точки C до сторони AD; б) відстань між прямими AB і CD . Діагоналі квадрата ABCD перетинаються в точці O . Назвіть усі рівні трикутники, які утворюються при перетині діагоналей. Ви значте їх вид. Чи може діагональ прямокутника дорівнювати його стороні? Чи може діагональ ромба дорівнювати його стороні? Чи може прямокутник бути ромбом? У якому випадку? Наведіть контрприклади, які спростовують наведені хибні твер дження: а) чотирикутник, який має два прямі кути,— прямокутник; б) чотирикутник із перпендикулярними діагоналями — ромб; в) чотирикутник із рівними діагоналями — прямокутник; г) чотирикутник, діагоналі якого перпендикулярні й рівні,— квадрат.

Графічні вправи 104. Накресліть дві перпендикулярні прямі, які перетинаються в точ ці O. На одній із прямих відкладіть по різні боки від точки O рівні відрізки OA і OC, а на другій прямій — рівні відрізки OB і OD . Сполучіть точки A , B, C і D . 36

§ 4. Види паралелограмів

а) Виміряйте сторони чотирикутника ABCD і визначте його вид. б) Виміряйте кут A чотирикутника ABCD . Користуючись вла стивостями цього чотирикутника, знайдіть градусні міри інших його кутів. Перевірте отримані результати вимірюванням. в) Виміряйте кути ADB і CDB . Виділіть кольором усі пари рівних кутів між діагоналями і сторонами чотирикутника. 105. Накресліть прямокутний трикутник ABD з гіпотенузою BD . Про ведіть через вершини B і D прямі, паралельні сторонам AD і AB відповідно. Позначте точку C — точку перетину цих прямих. а) Виміряйте сторони чотирикутника ABCD і визначте його вид. б) Проведіть діагональ AC . Виміряйте і порівняйте довжини діа гоналей чотирикутника. в) Позначте на прямих BC і AD точки C1 і D1 так, щоб чотири кутник ABC1 D1 був квадратом. Aa

Письмові вправи Рівень А

106. Знайдіть периметр прямокутника ABCD , якщо AC = 15 см, а пе 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113.

риметр трикутника ABC дорівнює 36 см. Знайдіть сторони прямокутника, периметр якого дорівнює 36 см, а одна сторона вдвічі більша за іншу. У прямокутнику ABCD ∠ BAC = 65°. Знайдіть кут між діагоналя ми прямокутника. Діагоналі прямокутника перетинаються під кутом 80°. Знайдіть кути, на які діагональ ділить кут прямокутника. Діагоналі прямокутника ABCD перетинаються в точці O, причому ∠ COD = 60°, CD = 8 см. Знайдіть довжину діагоналі. Знайдіть кути ромба, якщо: а) один із них на 120° більший за інший; б) одна з його діагоналей дорівнює стороні. Знайдіть кути ромба, якщо: а) сума двох із них дорівнює 220°; б) діагональ утворює з однією з його сторін кут 25°. Периметр квадрата дорівнює 40 м. Знайдіть відстань від точки пере тину діагоналей квадрата до його сторони. 37

розділ і. Чотирикутники

114. Відстань між протилежними сторонами квадрата дорівнює 5 см. 115 116

Знайдіть периметр квадрата. (опорна). Якщо один із кутів паралелограма прямий, то цей паралелограм є прямокутником. Доведіть. (опорна). Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то цей паралелограм є ромбом. Доведіть.

Рівень Б

117. Точка перетину діагоналей прямокутника віддалена від двох його сторін на 3 см і 4 см. Знайдіть периметр прямокутника.

118. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону завдовжки 12 см 119. 120. 121.

122. 123. 124.

125.

навпіл. Знайдіть периметр прямокутника. З точки кола проведено дві перпендикулярні хорди, віддалені від центра кола на 3 см і 5 см. Знайдіть довжини цих хорд. Знайдіть кути ромба, якщо: а) кути, утворені його стороною з діагоналями, відносяться як 1 : 4; б) висота ромба вдвічі менша за сторону. Знайдіть кути ромба, якщо: а) висота, проведена з вершини тупого кута, відтинає від ромба рівнобедрений трикутник; б) висота, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону ромба навпіл. З вершини кута ромба, що дорівнює 120°, проведено діагональ завдовжки 6 см. Знайдіть периметр ромба. Діагональ квадрата дорівнює 18 м, а його сто рона є діагоналлю іншого квадрата. Знайдіть периметр меншого квадрата. У рівнобедрений прямокутний трикутник впи Рис. 35 сано квадрат так, що дві його вершини лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах (рис. 35). Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо сторона квадрата дорівнює 2 см. У рівнобедрений прямокутний трикутник впи сано квадрат так, що прямий кут є спільним для обох фігур (рис. 36). Знайдіть периметр ква Рис. 36 драта, якщо катет трикутника дорівнює 4 см.

§ 4. Види паралелограмів

126 (опорна). Паралелограм із перпендикулярними діагоналями є ромбом. Доведіть.

127 (опорна). Якщо діагональ паралелограма лежить на бісектрисі його кута, то цей паралелограм — ромб. Доведіть.

128. Відрізки AC і BD — діаметри кола. Доведіть, що чотирикут ник ABCD — прямокутник.

Рівень В 129. Серединний перпендикуляр до діагоналі прямокутника ділить його сторону у відношенні 2 : 1. Знайдіть кути, на які діагональ ділить кут прямокутника.

130. Серединний перпендикуляр до діагоналі прямокутника перетинає його сторону під кутом, що дорівнює куту між діагоналями. Зна йдіть цей кут.

131. Доведіть, що всі висоти ромба рівні. Сформулюйте і доведіть обер нене твердження.

132. З точки перетину діагоналей ромба проведено перпендикуляри до його сторін. Доведіть, що основи цих перпендикулярів є вершинами прямокутника.

133. Якщо діагоналі чотирикутника лежать на бісектрисах його кутів, то цей чотирикутник — ромб. Доведіть.

134. Доведіть, що бісектриси кутів паралелограма, який не є ромбом, перетинаючись, утворюють прямокутник.

135. Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, який не є квадратом, перетинаючись, утворюють квадрат.

Повторення перед вивченням § 5 Теоретичний матеріал • рівнобедрений трикутник;

7 клас, § 11, 17, 20

• прямокутний трикутник; • задачі на побудову. 39

розділ і. Чотирикутники

Задачі

136. Пряма, паралельна основі AC рівнобедреного трикутника ABC, перетинає бічні сторони AB і BC в точках D і E відповідно. а) Доведіть, що AE = CD . б) Знайдіть кути чотирикутника ADEC , якщо ∠ B = 80° .

137. У чотирикутнику ABCD сторони AD і BC паралельні, а сторо ни AB і CD рівні. Чи обов’язково цей чотирикутник є паралело грамом? Наведіть контрприклад.

Онлайн-тренування для підготовки до контрольної роботи № 1

1. 2. 3. 4.

5. 6.

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 1 Висота паралелограма ділить тупий кут на два кути, різниця яких дорівнює 20°. Знайдіть кути паралелограма. Сума довжин двох сторін паралелограма дорівнює 48 см, а пери метр — 88 см. Знайдіть сторони паралелограма. За даними рис. 37 доведіть, що чоти C B рикутник ABCD — паралелограм. Бісектриса кута паралелограма в результаті перетину з його сто роною утворює кути, градусні міри A M D N яких відносяться як 1 : 3. Визначте Рис. 37 вид паралелограма. Доведіть, що ромб є квадратом, якщо його діагоналі утворюють з однією стороною рівні кути. Серединний перпендикуляр до діагоналі прямокутника ділить його сторону на частини, одна з яких дорівнює меншій стороні прямокут ника. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника.

§5

Трапеція

5.1. Означення трапеції Як відомо, будьякий паралелограм має дві па ри паралельних сторін. Розглянемо тепер чотирикут ник, який має лише одну пару паралельних сторін. Означення трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. Паралельні сторони трапеції називають її основами, а непаралельні сторони — бічними сторонами. На рис. 38 у трапеції ABCD сторони AD і BC є основами, а AB і CD — бічними сторонами. Кути, прилеглі до однієї бічної сторони, є вну трішніми односторонніми при паралельних прямих, на яких лежать основи трапеції, та січній, на якій лежить бічна сторона. Звідси за теоремою про вла стивість кутів, утворених при перетині паралель них прямих січною, випливає, що сума кутів тра пеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°. На рис. 38 ∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D = 180° .

трапеція — ві д грецького «трапезо с» — маленький ст іл. Спільнокорен евим є слово «трапе за»

Рис. 38. Трапеція ABCD

Означення Висотою трапеції називається перпендикуляр, проведений з точки однієї основи до прямої, яка містить іншу основу. Очевидно, що в трапеції можна провести без ліч висот (рис. 39),— усі вони рівні як відстані між паралельними прямими. Найчастіше під час розв’язування задач висоти проводять із вершин кутів при меншій основі тра пеції.

Рис. 39. Висоти трапеції

розділ і. Чотирикутники

5.2. Окремі види трапецій

Як серед трикутників та паралелограмів, так і серед трапецій виділяються окремі види, які мають додаткові властивості. Означення

Прямокутною трапецією називається трапеція, у якій одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. A

Рис. 40. Прямокутна трапеція ABCD

На рис. 40 зображена прямокутна трапе ція ABCD. Вона має два прямі кути при меншій бічній стороні AB. Ця сторона водночас є й висотою трапеції. Означення

Рівнобічною трапецією називається трапеція, у якій бічні сторони рівні.

Рис. 41. Рівнобічна трапеція ABCD

На рис. 41 зображена рівнобічна трапеція ABCD з бічними сторонами AB і CD . Іноді рівно бічну трапецію також називають рівнобедреною. Рівнобічна трапеція, як і рівнобедрений три кутник, має рівні кути при основі. Доведемо це в на ступній теоремі. Теорема (властивість рівнобічної трапеції)

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні.

Рис. 42. Висоти, проведені з вершин тупих кутів, від тинають від рівно бічної трапеції рівні трикутники

Доведення  Нехай ABCD — дана трапеція, AD  BC , AB = CD . Перед початком доведення зазначимо, що цією теоремою стверджується рівність кутів при кожній із двох основ трапеції, тобто необхідно довести, що ∠ A = ∠ D і ∠ B = ∠ C. Проведемо висоти BB1 і CC1 з вершин ту пих кутів і розглянемо прямокутні трикутни ки ABB1 і DCC1 (рис. 42). У них AB = CD як бічні

§ 5. Трапеція

сторони рівнобічної трапеції, BB1 = CC1 як відста ні між паралельними прямими AD і BC . Отже, ABB1 = DCC1 за гіпотенузою і катетом. Звідси випливає, що ∠ A = ∠ D . Кути трапеції B і C також рівні, оскільки вони доповнюють рівні кути A і D до 180°. Теорему доведено.  Справджується також обернене твердження (ознака рівнобічної трапеції) якщо в трапеції кути при основі рівні, то така трапеція є рівнобічною. Доведіть цей факт самостійно.

задача Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони. знайдіть кути трапеції. B

Розв’язання нехай дано рівнобічну трапецію ABCD , у якій AD BC , AB = BC = CD , BD ⊥ AB (рис. 43). за умовою задачі трикутник BCD рівнобедрений з основою BD, тобто ∠1 = ∠ 2; з іншого боку, ∠1 = ∠ 3 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній BD. нехай градусна міра кута 1 дорівнює x, тоді в даній трапеції ∠A = ∠D = 2 x °, ∠B = ∠C = x°++90 90°. оскільки сума кутів, прилеглих до бічної сторони, становить 180°, маємо: 2x + x + 90 = 180; 3x = 90; x = 30. отже, ∠A = ∠D = 60 °, ∠B = ∠C = 120 °. Відповідь: 60° і 120°.

C 2

D Рис. 43

розділ і. Чотирикутники

5.3. Побудова паралелограмів і трапецій Задачі на побудову паралелограмів і трапе цій часто розв’язують методом допоміжного три кутника. Нагадаємо, що для цього необхідно ви ділити в шуканій фігурі трикутник, який можна побудувати за наявними даними. Побудувавши його, отримуємо дві або три вершини шуканого чотирикутника, а решту вершин знаходимо за да ними задачі. задача Побудуйте паралелограм за двома діагоналями і кутом між ними.

аналіз нехай паралелограм ABCD побудовано (рис. 44). трикутник

O A

D Рис. 44

Розв’язання нехай d1 і d2 — дані діагоналі паралелограма, α — кут між ними.

AOB можна побудувати за двома сторонами і кутом між ними  d1 d2  , ∠AOB = α .  AO = , BO = 2 2   таким чином, ми отримаємо вершини A і B шуканого паралелограма. Вершини C і D можна одержати, «подвоївши» відрізки AO і BO. Побудова 1. Розділимо відрізки d1 і d2 навпіл. 2. Побудуємо трикутник AOB за двома сторонами і кутом між ними. 3. на променях AO і BO відкладемо відрізки OC = AO і OD = BO . 4. Послідовно сполучимо точки B, C, D і A.

§ 5. Трапеція

доведення Чотирикутник ABCD — паралелограм, оскільки за побудовою його діагоналі AC і BD точкою перетину діляться навпіл. У цьому паралелограмі ∠AOB = α (за побудовою), AC =

d1 2

⋅ 2 = d1 , BD =

d2 2

⋅ 2 = d2 .

дослідження задача має єдиний розв’язок за будь-яких значень d1 , d2 і α .

У деяких випадках для побудови допоміжного трикутника на рисункуескізі необхідно провести до даткові лінії. задача Побудуйте трапецію за чотирма сторонами. Розв’язання нехай a і b ( a < b ) — основи шуканої трапеції, c і d — її бічні сторони. аналіз нехай шукану трапецію ABCD побудовано (рис. 45). Проведемо через вершину C пряму CE, паралельну AB. тоді ABCE — паралелограм за означенням, отже, CE = AB = c . крім того, AE = BC = a , отже, ED = b − a . допоміжний трикутник ECD можна побудувати за трьома сторонами. Після цього для отримання вершин A і B треба відкласти на промені DE і на промені з початком C, паралельному DE, відрізки завдовжки a. Побудова 1. Побудуємо відрізок b − a . 2. Побудуємо трикутник ECD за трьома сторонами ( EC = c , CD = d , ED = b − a ) . 3. Побудуємо промінь, який проходить через точку C і паралельний DE. При цьому побудований промінь і промінь DE мають лежати по один бік від прямої CD.

B a c A

b–a D

Рис. 45

розділ і. Чотирикутники

4. на промені DE від точки E відкладемо відрізок EA = a , на промені з початком C — відрізок CB = a . 5. Сполучимо точки A і B. доведення за побудовою BC AD , BC = AE = a , отже, ABCE — паралелограм за ознакою. звідси AB = CE = c . крім того, AD = a + b − a = b , CD = d . отже, ABCD — шукана трапеція. дослідження задача має єдиний розв’язок, якщо числа b − a , c і d задовольняють теорему про нерівність трикутника.

Запитання і задачі Усні вправи 138. Чи можуть основи трапеції дорівнювати одна одній? Чому? 139. Чи можуть бути рівними: 140. 141. 142. 143. 144.

а) сусідні кути трапеції; б) протилежні кути трапеції? Чи обов’язково кути трапеції, прилеглі до більшої основи, є гостри ми? Наведіть приклади. Чи може рівнобічна трапеція бути прямокутною? Чи може висота трапеції бути більшою за бічну сторону; дорівнюва ти бічній стороні? Діагоналі трапеції ABCD ( AD  BC ) перетинаються в точці O . а) Чи може трикутник AOD дорівнювати трикутнику BOC ? б) Чи може трикутник AOB дорівнювати трикутнику DOC? Чи може точка перетину діагоналей трапеції бути серединою кож ної з них; однієї з них?

Графічні вправи 145. Накресліть паралелограм ABCD і проведіть у ньому висоту CH так, щоб утворилася трапеція ABCH . а) Визначте вид трапеції ABCH. б) Чи є висотою трапеції будьяка висота паралелограма? Наведіть контрприклад. 46

§ 5. Трапеція

146. Накресліть рівнобедрений трикутник AMD з основою AD. Познач те на стороні AM точку B і проведіть через неї пряму, паралель ну AD. Позначте точку C — точку перетину цієї прямої зі сторо ною MD. а) Визначте вид трапеції ABCD . б) Проведіть діагоналі трапеції. Виміряйте і порівняйте їх дов жини. Aa

Письмові вправи Рівень А

147. Знайдіть невідомі кути:

148.

149. 150. 151.

а) трапеції ABCD з основами AD і BC , якщо ∠ A = 40° , ∠ D = 50°; б) рівнобічної трапеції, один із кутів якої дорівнює 58°; в) прямокутної трапеції, найбільший кут якої утричі більший за найменший кут. Знайдіть невідомі кути: а) рівнобічної трапеції, у якій висота, проведена з вершини тупого кута, утворює з бічною стороною кут 22°; б) прямокутної трапеції, яку діагональ, проведена з вершини тупого кута, ділить на два рівнобедрені прямокутні трикутники. У рівнобічній трапеції висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки завдовжки 6 см і 30 см. Знайдіть меншу основу трапеції. Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 10 см. Знайдіть більшу основу трапеції, якщо висота, проведена з вершини тупого кута, ділить її на відрізки, один із яких дорівнює 3 см. Доведіть, що сума протилежних кутів рівнобічної трапеції дорів нює 180°.

Рівень Б 152. Знайдіть кути: а) рівнобічної трапеції, якщо різниця двох її протилежних кутів дорівнює 80°; б) прямокутної трапеції, у якій діагональ є бісектрисою тупого кута й утворює з меншою бічною стороною кут 35°. 47

розділ і. Чотирикутники

153. Знайдіть кути:

154.

155.

156. 157. 158. 159.

160.

а) прямокутної трапеції, якщо відношення найбільшого і наймен шого з них дорівнює 3 : 2; б) рівнобічної трапеції, менша основа якої дорівнює бічній стороні і вдвічі менша за більшу основу. У трапеції ABCD через вершину B проведено B C пряму BK , паралельну стороні CD (рис. 46). а) Доведіть, що KBCD — паралелограм. б) Знайдіть периметр трапеції, якщо BC = 4 см, P ABK = 11 см. A K D У рівнобічній трапеції середина більшої основи сполучена з вершинами меншої осно Рис. 46 ви. При цьому утворилися три рівносторонні трикутники. Знайдіть: а) кути трапеції; б) периметр трапеції, якщо периметр одного трикутника дорів нює 12 м. Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її гострий кут, який дорівнює 60°. Знайдіть периметр трапеції, якщо її менша основа дорівнює 15 см. Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її тупий кут. Знайдіть периметр трапеції, якщо її основи дорівнюють 5 см і 10 см. Доведіть, що бісектриси кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, перпендикулярні. Побудуйте: а) паралелограм за двома сторонами й діагоналлю; б) ромб за стороною і діагоналлю; в) рівнобічну трапецію за більшою основою, бічною стороною і го стрим кутом. Побудуйте: а) ромб за кутом і діагоналлю, протилежною цьому куту; б) прямокутник за діагоналлю і кутом між діагоналями; в) прямокутну трапецію за меншою основою, більшою бічною сто роною і більшою діагоналлю.

Рівень В

161. Діагональ ділить рівнобічну трапецію на два рівнобедрені трикут ники. Знайдіть кути трапеції. 48

§ 5. Трапеція

162. Довжини бічних сторін трапеції дорівнюють 2a, а довжини основ — 163 164 165.

166.

7a і 9a. Знайдіть кути трапеції. (опорна). Діагоналі рівнобічної трапеції рівні, і навпаки: якщо діагоналі трапеції рівні, то вона рівнобічна. Доведіть. (опорна). Діагоналі рівнобічної трапеції утворюють з її основою рівні кути, і навпаки: якщо діагоналі трапеції утворюють з її основою рівні кути, то трапеція рівнобічна. Доведіть. Побудуйте: а) паралелограм за стороною, діагоналлю і кутом, протилежним цій діагоналі; б) ромб за висотою і діагоналлю; в) трапецію за основами і діагоналями. Побудуйте: а) прямокутник за діагоналлю й пе риметром; б) ромб за висотою і гострим кутом; в) рівнобічну трапецію за різни цею основ, бічною стороною і діа гоналлю.

Повторення перед вивченням § 6 Теоретичний матеріал • ознаки паралельних прямих;

7 клас, § 14, 15

• властивості паралельних прямих.

Задачі

167. Точки D , E і F — середини сторін AB, BC і AC рівностороннього трикутника ABC відповідно. Доведіть, що чотирикутник ADEF — ромб. Назвіть інші ромби, трьома вершинами яких є точки D , E і F. 168. Відрізки AD і CE — рівні висоти трикутника ABC . Доведіть, що трикутник DBE рівнобедрений. 49

Видатні математики України Погорєлов олексій Васильович (1919–2002) У 80х роках минулого століття Американське математичне товариство випустило серію книжок під загальною назвою «Видатні математики ХХ століття». Під номером 4 вийшов том із монографією харківсько го вченого Олексія Васильовича Погорєлова. На обкла динці видання під його фотографією в стислій анотації вчений був названий «найбільшим геометром ХХ сто ліття». Справді, головною справою життя Олексія Васильовича була гео метрія. Його праці охоплюють найширший діапазон: від підручників для школярів і студентів до робіт із надскладних питань теоретичної та прикладної математики, розрахованих на вузьке коло фахівців. Шкільний підручник з геометрії Погорєлова можна сміливо на звати революційним, адже в ньому була започаткована стисла і про зора система аксіом. З того часу аксіоматичний підхід у вивченні гео метрії — невід’ємна складова розвитку наукового мислення школярів. Підручник Олексія Васильовича зі шкільної геометрії витримав більш ніж 20 видань! Олексій Васильович Погорєлов, пройшовши шлях від переможця міської математичної олімпіади для школярів до академіка Академії наук України, ще за життя був визнаний генієм. Але він був надзви чайно скромною людиною. Як згадують його сучасники, він ніколи ні за яких обставин не демонстрував свою перевагу над іншими. Майже все своє життя вчений працював у Харкові, керував кафедрою гео метрії в Харківському державному університеті та відділом геометрії у фізикотехнічному інституті низьких температур. У пам’ять про ака деміка О. В. Погорєлова на будівлях цих всесвітньовідомих наукових центрів встановлено меморіальні дошки. Одній з аудиторій матема тичного факультету Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна присвоєно ім’я Олексія Васильовича Погорєлова.

§6

Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції

6.1. Теорема Фалеса Для подальшого вивчення властивостей трапе ції доведемо важливу теорему. Теорема (Фале’са) Паралельні прямі, які перетинають сторони кута і відтинають на одній із них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і на іншій стороні. Доведення  Нехай A1 , A2 , A3 — точки перетину паралельних прямих з однією зі сторін даного ку та, а B1 , B2 , B3 — відповідні точки перетину цих прямих з іншою стороною кута. Доведемо, що коли A1 A2 = A2 A3 , то B1 B2 = B2 B3 (рис. 47). Проведемо через точку B2 пряму CD , пара лельну A1 A3 (рис. 48). Чотирикутники A2 A1CB2 і A3 A2 B2 D — паралелограми за означенням. Тоді A1 A2 = CB2 , A2 A3 = B2 D, а оскільки A1 A2 = A2 A3 , то CB2 = B2 D . Розглянемо трикутники B1 B2 C і B3 B2 D . У них CB2 = B2 D за доведеним, ∠1 = ∠ 2 як вер тикальні, а ∠ 3 = ∠ 4 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих A1 B1 і A3 B3 та січній CD . Отже, B1B2C = B3 B2 D за другою ознакою, звідки B1 B2 = B2 B3 .

B1 B2

A3 Рис. 47. Теорема Фалеса

A1 A2

B1 1 2 4

Теорему доведено.  Зазначимо, що в умові даної теореми замість сторін кута можна розглядати дві довільні прямі, тому теорема Фалеса може формулюватись і так:

Рис. 48. До доведення теореми Фалеса

розділ і. Чотирикутники

паралельні прямі, які перетинають дві дані прямі і відтинають на одній із них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і на іншій прямій.

задача Поділіть даний відрізок на n рівних частин.

C2 C1 A B1

Рис. 49. Поділ відрізка на рівні частини

Розв’язання Розв’яжемо задачу для n = 3, тобто поділимо даний відрізок AB на три рівні частини (рис. 49). для цього проведемо з точки A довільний промінь, не доповняльний до променя AB , і відкладемо на ньому рівні відрізки AC1 , C1C2 і C2 C3 . Проведемо пряму C3 B і паралельні їй прямі через точки C1 і C2 . за теоремою Фалеса ці прямі ділять відрізок AB на три рівні частини. аналогічно можна поділити довільний відрізок на будьяку кількість рівних частин.

Подумайте, як може застосувати теорему Фале са у своїй практичній діяльності архітектор. B E

D A

6.2. Середня лінія трикутника C

Теорема Фалеса допомагає дослідити ще одну визначну лінію в трикутнику. Означення Середньою лінією трикутника називається відрізок, що сполучає середини двох його сторін.

б Рис. 50. Середня лінія трикутника

На рис. 50, а відрізок DE — середня лінія три кутника ABC . У будьякому трикутнику можна про вести три середні лінії (рис. 50, б).

§ 6. Теорема Фалеса. середні лінії трикутника і трапеції

Теорема (властивість середньої лінії трикутника) Середня лінія трикутника паралельна одній із його сторін і дорівнює половині цієї сторони. Доведення  Нехай DE— середня лінія трикутника ABC (рис. 51). Доведемо спочатку, що DE  AC . Проведемо через точку D пряму, паралельну AC . За теоремою Фалеса вона перетне відрізок BC в його середині, тобто міститиме відрізок DE . Отже, DE  AC . Проведемо тепер середню лінію EF . За щой но доведеним вона буде паралельна стороні AB. Чотирикутник ADEF з попарно паралельними сто ронами за означенням є паралелограмом, звідки DE = AF . А оскільки точка F — середина AC , то DE =

1 2

B E

D A

Рис. 51. До доведення властивості середньої лінії трикутника

AC .

Теорему доведено. 

опорна задача (теорема Варіньйона) Середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма. доведіть. Розв’язання нехай точки K, L, M, N — середини сторін чотирикутника ABCD (рис. 52). Проведемо діагональ BD. Відрізки KN і ML — середні лінії трикутників ABD і CBD відповідно. за властивістю середньої лінії трикутника вони паралельні стороні BD і дорівнюють ї ї половині, тобто паралельні й рівні між собою. тоді за ознакою паралелограма чотирикутник KLMN — паралелограм.

B K A

C M

Рис. 52. Середини сторін чотирикутни ка ABCD — верши ни паралелограма

розділ і. Чотирикутники B

6.3. Середня лінія трапеції

Означення Середньою лінією трапеції називається відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції.

Рис. 53. Середня лінія трапеції

На рис. 53 відрізок EF — середня лінія трапе ції ABCD . Теорема (властивість середньої лінії трапеції) Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

B E

Доведення  Нехай EF — середня лінія трапеції ABCD з основами AD і BC (рис. 54). Проведемо пряму BF і позначимо точку G — точку перетину прямих BF і AD . Розглянемо трикутники BFC і GFD . У них FC = FD , оскільки F — середина CD , ∠ 1 = ∠ 2 як вертикальні, а ∠ 3 = ∠ 4 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній CD . От же, BFC = GFD за другою ознакою, звідки BF = FG . Тоді за означенням EF — середня лінія трикутника ABG . За властивістю середньої лінії три кутника EF  AG , тому EF  AD і EF  BC . Крім то го, з доведеної рівності трикутників випливає, що BC = DG , звідки AG = AD + DG = AD + BC . За вла

C 1

F 2 4

Рис. 54. До доведення властивості серед ньої лінії трапеції

стивістю середньої лінії трикутника EF = EF =

1 2

AG =

1 2

( AD + BC ). Теорему доведено.

1 2

AG =



задача Через точки, які ділять бічну сторону трапеції на три рівні частини, проведено прямі, паралельні основам трапеції. знайдіть довжини відрізків цих прямих, що містяться всередині трапеції, якщо її основи дорівнюють 2 м і 5 м.

1 2

( AD +

§ 6. Теорема Фалеса. середні лінії трикутника і трапеції

Розв’язання нехай у трапеції ABCD AD BC , AA1 = A1A2 = A2 B (рис. 55). за теоремою Фалеса паралельні прямі, що проходять через точки A1 і A2 , відтинають на бічній стороні CD рівні відрізки, тобто DD1 = D1D2 = D2 C . тоді за означенням A1D1 — середня лінія трапеції AA2 D2 D , A2 D2 — середня лінія трапеції A1BCD1 . нехай A1D1 = x м, A2 D2 = y м. за властивістю середньої лінії трапеції маємо систему: y +5   x = 2 , 2 x − y = 5,  x = 4 ,     y = x + 2 ; 2 y − x = 2;  y = 3.  2 Відповідь: 3 м і 4 м.

B A2

2 C y

D2 D1 D

Рис. 55

Запитання і задачі Усні вправи 169. Відрізок DE — середня лінія трикутника ABC (рис. 50, а). 170. 171. 172. 173. 174. 175.

а) Визначте вид чотирикутника ADEC . б) Назвіть медіану трикутника, що виходить із вершини A . Чи може середня лінія трикутника бути перпендикулярною до його сторони; до двох його сторін? Чи можуть середні лінії трикутника дорівнювати 3 см, 4 см і 10 см? Чому? У трикутнику ABC проведено середню лінію DE, паралельну сто роні AC . У якому відношенні пряма DE ділить медіану BM ; висоту BH ? Середини основ трапеції сполучені відрізком. Чи є він середньою лінією трапеції? Чи може середня лінія трапеції бути меншою за обидві її основи; дорівнювати одній з основ? Чи може середня лінія трапеції проходити через точку перетину діагоналей? Чому? 55

розділ і. Чотирикутники

Графічні вправи 176. Накресліть трикутник ABC. Позначте на стороні AB точки A1 , A2

і A3 так, щоб вони ділили відрізок AB на чотири рівні частини. Проведіть через ці точки прямі, паралельні стороні AC , і позначте точки їх перетину зі стороною BC C1, C2 і C3 відповідно. а) Виміряйте і порівняйте довжини відрізків, на які точки C1, C2 і C3 ділять сторону BC . б) Виділіть червоним кольором середню лінію трикутника ABC . в) Виділіть синім кольором середню лінію трапеції AA2 C2 C . 177. Накресліть трикутник ABC. Позначте точки D , E і F — середини сторін AB, BC і AC відповідно. Сполучіть позначені точки. а) Визначте вид чотирикутника ADEF . б) Визначте вид чотирикутника ADEC . в) Назвіть усі трикутники, що дорівнюють трикутнику DEF . За пишіть відповідні рівності. Aa

Письмові вправи Рівень А

178. За даними рисунка 56 знайдіть x, якщо a  b .

a 8

б Рис. 56

179. Через середину D сторони AB трикутника ABC проведено пряму, яка паралельна AC і перетинає сторону BC в точці E. Знайдіть BC , якщо BE = 8 см. 180. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 16 см і 20 см. Знайдіть сто рони трикутника, вершинами якого є середини сторін даного три кутника. 56

§ 6. Теорема Фалеса. середні лінії трикутника і трапеції

181. Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює 3,5 см. Знай 182. 183. 184. 185.

186.

187. 188.

діть периметр трикутника. Доведіть, що середні лінії трикутника ділять його на чотири рівні трикутники. Середня лінія трикутника відтинає від нього трапецію з бічними сторонами 3 м і 4 м і меншою основою 5 м. Знайдіть периметр три кутника. Діагоналі чотирикутника дорівнюють 18 см і 22 см. Знайдіть пе риметр паралелограма, вершинами якого є середини сторін даного чотирикутника. Знайдіть: а) середню лінію трапеції з основами 8 см і 12 см; б) основи трапеції, у якій діагональ ділить середню лінію на від різки завдовжки 3 см і 4 см. Знайдіть: а) середню лінію рівнобічної трапеції із бічною стороною 5 см і пе риметром 26 см; б) основи трапеції, якщо одна з них більша за іншу на 6 см, а се редня лінія трапеції дорівнює 5 см. Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямокутника. Доведіть, що середини сторін прямокутника є вершинами ромба.

Рівень Б 189. Пряма, яка паралельна основі рівнобедреного трикутника і прохо дить через середину бічної сторони, відтинає від даного трикутника трапецію. Знайдіть її периметр, якщо периметр даного трикутника дорівнює 26 см, а основа відноситься до бічної сторони як 5 : 4. 190. Середні лінії трикутника відносяться як 4 : 5 : 6. Знайдіть сторони трикутника, як що його периметр дорівнює 60 см. C A 191. Прямолінійна траса ділить навпіл від стань між будинками A і B та відстань між будинками B і C. Доведіть, що ці три будинки рівновіддалені від цієї траси. 192. Доведіть, що середини сторін рівнобічної B трапеції є вершинами ромба. 57

розділ і. Чотирикутники

193. Як побудувати трикутник, якщо задано сере дини його сторін?

194. Як розрізати трикутник на дві частини так, щоб із них можна було скласти паралелограм?

195. Прямокутна трапеція ділиться діагоналлю на рівносторонній трикутник зі стороною a і прямокутний трикутник. Знайдіть середню лінію трапеції. 196. Кінці діаметра кола віддалені від дотичної до цього кола на 14 см і 20 см. Знайдіть діаметр кола. 197. Точки A і B лежать по один бік від прямої l і віддалені від неї на 7 см і 11 см відповідно. Знайдіть відстань від середини відрізка AB до прямої l. 198. Бічну сторону рівнобедреного трикутника поділено на чотири рівні частини. Через точки поділу проведено прямі, паралельні основі трикутника. Знайдіть відрізки цих прямих, що містяться всередині трикутника, якщо його основа дорівнює 12 см.

Рівень В

199. Точки M і N — середини сторін BC і AD паралелограма ABCD . Доведіть, що прямі AM і CN ділять діагональ BD на три рівні частини. 200. Поділіть даний відрізок у відношенні 3 : 2. 201. Доведіть, що відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний основам трапеції і дорівнює їх піврізниці. Розв’яжіть задачу 197 за умови, що точки A і B лежать по різні боки від пря мої l. B C 202. Середина бічної сторони рівнобічної тра пеції з основами a і b (a < b ) сполучена M N з основою її висоти (рис. 57). Доведіть, що: а) HD =

b−a 2

б) AH = MN = 58

; a+b 2

H Рис. 57

§ 6. Теорема Фалеса. середні лінії трикутника і трапеції

203. У рівнобічній трапеції діагональ завдовж ки 4 см утворює з основою кут 60°. Знайдіть середню лінію трапеції. 204. а) У трикутнику ABC кожну з бічних сто рін AB і BC розділено на m рівних частин (рис. 58). Доведіть, що відрізки, які сполу чають відповідні точки поділу, паралельні між собою і паралельні стороні AC . б) Сформулюйте і доведіть аналогічне твер дження для трапеції. в) Сформулюйте твердження, обернене до теореми Фалеса, і спростуйте його за до помогою контрприкладу.

A Рис. 58

Повторення перед вивченням § 7 Теоретичний матеріал • • • •

зовнішній кут трикутника; коло; коло, описане навколо трикутника; геометричне місце точок.

7 клас, § 19, 22 7 клас, п. 16.3, 23.1

Задачі 205. Через вершину рівностороннього трикутника, вписаного в коло, проведено пряму, паралельну його стороні. Доведіть, що ця пряма є дотичною до кола. 206. Зовнішній кут рівнобедреного трикутника дорівнює 80°. Знайдіть кути трикутника.

§7

Вписані кути 7.1. Градусна міра дуги

a α 360 °– α Рис. 59. Кути на площині

У сьомому класі вивчення властивостей три кутників завершувалося розглядом описаного і впи саного кіл. Але перед тим як розглянути описане і вписане кола для чотирикутника, нам необхідно зупинитися на додаткових властивостях кутів. До цього часу розглядалися лише кути, гра дусна міра яких не перевищувала 180°. Розширимо поняття кута, ввівши до розгляду разом із самим кутом частини, на які він ділить площину. На рис. 59 кут (ab ) ділить площину на дві ча стини, кожна з яких називається плоским кутом. Їхні градусні міри дорівнюють α і (360° − α) . Застосуємо поняття плоского кута для означен ня центрального кута в колі. Означення центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною в центрі кола. На рис. 60, а, б сторони кута з вершиною в цен трі кола O перетинають дане коло в точках A і B. При цьому утворюються дві дуги, одна з яких мен ша від півкола (на ній позначена проміжна точка L , рис. 60, а), а інша — більша за півколо (на ній позна чена проміжна точка M, рис. 60, б). Для того щоб уточнити, який з двох плоских кутів зі сторонами OA і OB ми розглядаємо як цен тральний, ми будемо вказувати дугу кола, яка від повідає даному центральному куту (тобто міститься всередині нього).

§ 7. Вписані кути

На рис. 60, а центральному куту AOB , позначе ному дужкою, відповідає дуга ALB, а на рис. 60, б — дуга AMB . У випадку, коли промені OA і OB доповняльні, відповідна дуга ANB є півколом (рис. 60, в).

O B

A а

Означення

градусною мірою дуги кола називається градусна міра відповідного центрального кута. Градусну міру дуги, як і саму дугу, коротко позначають так: ∪ ALB (або ∪ AB). Наприклад, на рис. 60, в ∪ ANB = 180° , тобто градусна міра пів кола становить 180°. Очевидно, що градусна міра дуги всього кола становить 360°. Кінці хорди AB ділять коло на дві дуги — ALB і AMB (рис. 60, г). Кажуть, що ці дуги стягу ються хордою AB.

O B

7.2. Вписаний кут Означення

Вписаним кутом називається кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло. На рис. 61 зображено вписаний кут ABC . Його вершина B лежить на колі, а сторони перетинають коло в точках A і C. Дуга AC (на рисунку вона ви ділена) лежить усередині цього кута. У такому ви падку кажуть, що вписаний кут ABC спирається на дугу AC. Теорема (про вписаний кут) Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

B L

Рис. 60. Центральний кут і дуга кола B O A

Рис. 61. Вписаний кут ABC

розділ і. Чотирикутники B

Доведення

 Нехай у колі з центром O вписаний кут ABC спирається на дугу AC . Доведемо, що

1 2

∠ ABC =

O C D

∠ ABC =

A в Рис. 62. Вимірю вання вписаного кута ABC

∪ AC . Розглянемо три випадки розмі

1 2

∠ AOC =

1 2

∪ AC .

2) Нехай центр кола лежить усереди ні кута ABC (рис. 62, б). Промінь BO ді лить кут ABC на два кути. За щойно доведе ним

щення центра кола відносно даного вписаного кута (рис. 62, а–в). 1) Нехай центр кола лежить на одній зі сто рін даного кута (рис. 62, а). У цьому випадку цен тральний кут AOC є зовнішнім кутом при верши ні O рівнобедреного трикутника AOB . За теоремою про зовнішній кут трикутника ∠ AOC = ∠ 1 + ∠ 2 . А оскільки кути 1 і 2 рівні як кути при основі рів нобедреного трикутника, то ∠ AOC = 2∠ ABC , тобто

C а

∠ ABD =

∠ ABC =

1 2

∪ AD ,

(∪ AD + ∪DC ) =

∠ DBC = 1 2

1 2

∪ DC ,

отже,

∪ AC .

3) Аналогічно у випадку, коли центр кола лежить поза вписаним кутом (рис. 62, в), ∠ ABC =

1 2

(∪DC − ∪ AD) =

1 2

∪ AC .

Теорему доведено.  Щойно доведену теорему можна сформулювати інакше. Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, який спирається на ту саму дугу. 62

§ 7. Вписані кути

задача на рис. 63 відрізок AC — діаметр кола. знайдіть кут BDC , якщо ∠BCA = 50°. Розв’язання для того щоб знайти кут BDC , необхідно знайти градусну міру дуги BC , на яку він спирається. але безпосередньо з даних задачі ми можемо знайти лише градусну міру дуги AB , на яку спирається кут BCA : з теореми про вписаний кут ∪ AB = 2∠BCA = 100 °. зазначимо, що дуги AB і BC разом складають півколо, тобто ∪ AB + ∪BC = 180° , отже, ∪BC = 180° − 100° = 80° . то1 ді за теоремою про вписаний кут ∠BDC = ∪ BC = 40° .

B C

D O A Рис. 63

Відповідь: 40°.

7.3. Наслідки з теореми про вписаний кут За кількістю і значущістю наслідків теорема про вписаний кут є однією з «найбагатших» геоме тричних теорем. Сформулюємо найважливіші з цих наслідків. Наслідок 1 Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні. Справді, за теоремою про вписаний кут градус на міра кожного з вписаних кутів на рис. 64 дорів нює половині дуги AB. Наслідок 2

Рис. 64. Вписані ку ти, що спираються на дугу AB , рівні

Вписаний кут, що спирається на півколо, — прямий, і навпаки: будь-який прямий вписаний кут спирається на півколо. 63

розділ і. Чотирикутники B O

Справді, оскільки градусна міра півкола дорів нює 180°, то кут ABC , що спирається на півколо, дорівнює 90° (рис. 65). Обґрунтуйте обернене твер дження самостійно. Наслідок 3

Рис. 65. Вписаний кут, що спирається на півколо,— прямий B

б Рис. 66. Прямокутний трикутник ABC вписаний у коло

B C D

O A Рис. 67

Перше з наведених тверджень випливає з на слідку 2. Якщо у трикутнику ABC кут ABC прямий (рис. 66, а), то дуга AC , на яку спирається цей кут, є півколом. Тоді гіпотенуза AC — діаметр описаного кола, тобто її середина — центр кола. Твердження про довжину медіани випливає з рівності радіусів: BO = AO = CO =

центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

1 2

AC .

Відзначимо ще один цікавий факт: медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотену зи, ділить даний трикутник на два рівнобедрені трикутники зі спільною бічною стороною. Із цього, зокрема, випливає, що кути, на які медіана ділить прямий кут, дорівнюють гострим кутам трикутника (рис. 66, б). Як приклад застосування наслідків з теореми про вписаний кут розглянемо інше розв’язання тієї самої задачі, яку ми щойно розглянули в п. 7.2. задача знайдіть кут BDC , якщо ∠BCA = 50° (див. рис. 63). Розв’язання Проведемо хорду AB (рис. 67). оскільки вписаний кут ABC спирається на півколо, то за наслідком 2 ∠ABC = 90°. отже, трикутник ABC прямокутний, ∠BCA = 50° ,

§ 7. Вписані кути

тоді ∠BAC = 40° . за наслідком 1 кути BAC і BDC рівні, оскільки обидва вони спираються на дугу BC . отже, ∠BDC = ∠BAC = 40° . Відповідь: 40°.

Запитання і задачі Усні вправи 207. Визначте, чи є вписаний у коло кут ABC гострим, прямим або

208. 209.

210. 211. 212.

213.

тупим, якщо: а) дуга ABC цього кола менша за півколо; б) дуга ABC цього кола більша за півколо; в) дуга ABC цього кола дорівнює півколу. Сторона вписаного кута проходить через центр кола (див. рис. 62, а). Чи може да ний кут бути тупим; прямим? Три футболісти пробивають штрафні уда ри по воротах із точок A , B і C, які ле жать на колі (рис. 68). У кого з них кут C обстрілу воріт найбільший? A Чи можуть два вписані кути дорівнювати один одному, якщо вони не спираються B на одну дугу? Чи можуть вписані кути ABC і AB1C не дорівнювати один одному? Наведіть Рис. 68 приклад. Чи може: а) кут, сторони якого перетинають коло в кінцях діаметра, бути гострим; б) кут із вершиною на колі, сторони якого перетинають коло в кін цях діаметра, бути гострим? Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10. Чи може висота, проведена до неї, дорівнювати 6? Відповідь обґрунтуйте. 65

розділ і. Чотирикутники

Графічні вправи 214. Накресліть коло із центром у точці O і позначте на ньому точки A , B і C. а) Виділіть двома кольорами два кути, утворені променями OA і OC. б) Яким кольором виділено кут, що вдвічі більший за кут ABC ? в) Позначте на колі точку D так, щоб вписані кути ABC і ADC були рівні. 215. Накресліть коло із центром O і проведіть його діаметр AB. а) Позначте на колі точку C і виміряйте кут ACB . Поясніть отри маний результат. б) Накресліть і виділіть червоним кольором центральний кут, який удвічі більший за кут ABC . Aa

Письмові вправи Рівень А

216. У колі побудовано центральний кут. Знайдіть градусні міри утворе них дуг, якщо: а) одна з них більша за іншу на 120°; б) вони відносяться як 2 : 7. 217. Знайдіть градусну міру дуги, яка складає: а) чверть кола;

б) третину кола;

в)

5 18

кола.

218. За даними рис. 69 знайдіть градусну міру кута x (точка O — центр кола). x O

140

150 O

x а

б Рис. 69

§ 7. Вписані кути

219. За даними рис. 70 знайдіть кут x (точка O — центр кола). 50 O

°O

x x а

60 в

б Рис. 70

220. На колі позначено точки A , B, C і D . Знайдіть кут ABC, якщо ∠ ADC = α . Скільки розв’язків має задача?

221. На колі позначено точки A , B і C, причому хорда AC дорівнює радіусу кола. Знайдіть кут ABC . Скільки розв’язків має задача? 222. Трикутник ABC вписаний у коло, центр якого лежить на відріз ку AB. Знайдіть: а) кут B, якщо ∠ A = 65°; б) медіану, проведену з вершини C, якщо AB = 12 см. 223. Відрізок AC — діаметр кола із центром O , а точка B лежить на цьому колі. Знайдіть: а) кут між хордами BA і BC ; б) відрізок AC , якщо BO = 5 см. 224. Доведіть, що бісектриса вписаного кута ділить навпіл дугу, на яку він спирається.

Рівень Б

225. За даними рис. 71 знайдіть кут x (точка O — центр кола).

25 x

Рис. 71

розділ і. Чотирикутники

226. За даними рис. 72 знайдіть кут x (точка O — центр кола).

45 x

x 70

Рис. 72

°O б

227. Хорда AC ділить коло на дві дуги, градусні мі ри яких відносяться як 11 : 7. Знайдіть кут ABC, якщо точка B лежить на більшій дузі. 228. Знайдіть кути вписаного трикутника, якщо йо го вершини ділять коло на три дуги, градусні міри яких відносяться як 3 : 4 : 5. 229. Сторона рівнобедреного трикутника, вписаного в коло, стягує дугу в 100°. Знайдіть кути три кутника. Скільки розв’язків має задача? 230 (опорна). Кут між хордою і дотичною до кола, проведеною через кінець хорди, вимірюється половиною дуги, яка лежить усередині цього кута. Доведіть.

231 (опорна). а) Дуги кола, які містяться між двома паралельними хордами, рівні. Доведіть. б) Якщо дві дуги кола рівні, то рівні й хорди, які їх стягують. Доведіть. Користуючись рисунком, сформулюйте і доведіть обернене твердження. 232. Хорда кола стягує дугу 100°. Знайдіть кут між дотичними, прове деними через кінці цієї хорди. 233. На колі позначено точки A , B і C, причому AC — діаметр кола, ∠ BCA = 60°, BC = 4 см. Знайдіть радіус кола. 234. Знайдіть менший катет прямокутного трикутника, якщо його меді ана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 9 см і утворює з гіпотенузою кут 60°. 68

§ 7. Вписані кути

Рівень В 235 (опорна). Центр кола, описаного навколо гострокутного трикут236 237 238. 239. 240. 241. 242.

ника, лежить усередині трикутника, а центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника,— поза трикутником. Доведіть. (опорна). Кут із вершиною всередині кола вимірюється півсумою дуг, одна з яких міститься між сторонами цього кута, а інша — між їх продовженнями. Доведіть. (опорна). Кут між двома січними, які перетинаються зовні кола, вимірюється піврізницею більшої і меншої дуг, які містяться між його сторонами. Доведіть. Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотенузою і висотою, про веденою до гіпотенузи. Побудуйте трикутник за стороною, протилежним кутом і висотою, проведеною з вершини цього кута. Знайдіть геометричне місце вершин прямих кутів, сторони яких проходять через кінці відрізка AB. Знайдіть геометричне місце точок, із яких даний відрізок AB видно під заданим кутом α . Точка A лежить поза даним колом із центром O . Побудуйте до тичну до даного кола, яка проходить через точку A .

Повторення перед вивченням § 8 Теоретичний матеріал • описане і вписане кола; • властивість відрізків дотичних; • теорема про бісектрису кута.

7 клас, § 23 7 клас, п. 21.3, 22.2

Задачі

243. У рівнобедрений трикутник із кутом при основі 40° вписано ко ло. Знайдіть кут між радіусами, проведеними в точки дотику кола з бічними сторонами трикутника. 244. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, якщо точка дотику вписаного кола ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 8 см і 9 см, починаючи від основи. 69

§8

Вписані й описані чотирикутники 8.1. Вписані чотирикутники Означення Чотирикутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі.

B C O A D Рис. 73. Чотирикут ник ABCD вписано в коло

Чотирикутник ABCD на рис. 73 є вписаним у коло. Інакше кажуть, що коло описане навколо чо тирикутника. Як відомо, навколо будьякого трикутника можна описати коло. Для чотирикутника це можна зробити не завжди. Доведемо властивість і ознаку вписаного чотирикутника. Теорема (властивість вписаного чотирикутника) Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°. Доведення  Нехай чотирикут ник ABCD вписаний у коло (рис. 73). За теоремою про вписаний кут ∠A=

1 2

∪ BCD , ∠ C =

Отже, ∠ A + ∠ C =

1 2

∪ DAB .

(∪BCD + ∪DAB) =

1 2

⋅ 360° = 180°.

Аналогічно доводимо, що ∠ B + ∠ D = 180°. Теорему доведено.  Теорема (ознака вписаного чотирикутника) якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180°, то навколо нього можна описати коло. 70

§ 8. Вписані й описані чотирикутники

Доведення  Нехай у чотирикутнику ABCD ∠ B + ∠ D = 180 B + ∠ D = 180°. Опишемо коло навколо трикутника ABC і доведемо від супротивного, що вершина D не мо же лежати ні всередині цього кола, ні поза ним. Не хай точка D лежить усередині кола, а точка E — точка перетину променя AD з дугою AC (рис. 74). Тоді чотирикутник ABCE — вписаний. За умовою ∠ B + ∠ D = 180°, а за щойно доведеною властивіс тю вписаного чотирикутника ∠ B + ∠ E = 180 °, тоб то ∠ D = ∠ E . Але кут D чотирикутника ABCD — зовнішній кут трикутника CDE , і за теоремою про зовнішній кут трикутника він має бути більшим за кут E. Отже, ми отримали суперечність, тобто точ ка D не може лежати всередині кола. Аналогічно можна довести, що точка D не може лежати поза колом (зробіть це самостійно). Тоді точка D лежить на колі, тобто навколо чотирикутника ABCD можна описати коло. Теорему доведено. 

C O

Рис. 74. До доведен ня від супротивного ознаки вписаного чотирикутника

Наслідок 1 навколо будь-якого прямокутника можна описати коло. якщо паралелограм вписаний у коло, то він є прямокутником.

Рис. 75. Прямокут ник, вписаний у коло

Прямокутник, вписаний у коло, зображено на рис. 75. Центр описаного кола є точкою перетину діа гоналей прямокутника (див. задачу 255). Наслідок 2 навколо рівнобічної трапеції можна описати коло. якщо трапеція вписана в коло, то вона рівнобічна. Рівнобічна трапеція, вписана в коло, зображена на рис. 76. Приклади розв’язування задач про вписані чо тирикутники подано в п. 8.4.

Рис. 76. Рівнобічна трапеція, вписана в коло

розділ і. Чотирикутники

8.2. Описані чотирикутники Означення Чотирикутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола.

L c B b b O K a A a N d

C c M d D

Чотирикутник ABCD на рис. 77 є описаним навколо кола. Інакше кажуть, що коло вписане в чо тирикутник. Виявляється, що не в будьякий чотирикутник можна вписати коло. Доведемо відповідні властивість і ознаку. Теорема (властивість описаного чотирикутника) В описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.

Доведення  Нехай сторони чотирикутника ABCD до тикаються до вписаного кола в точках K, L, M та N (рис. 77). За властивістю відрізків дотич них AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN . З урахуванням позначень на рисунку AB + CD = a + b + c AB + CD = a + b + c + d = AD + BC . Теорему доведено. 

Рис. 77. Чотирикут ник ABCD описано навколо кола

Теорема (ознака описаного чотирикутника) якщо в чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати коло. Доведення  Нехай у чотирикутнику ABCD з найменшою стороною AB AB + CD = AD + BC . Оскільки за теоре мою про бісектрису кута точка O (точка перетину бі сектрис кутів A і B) рівновіддалена від сторін AB, BC і AD, то можна побудувати коло із центром O , яке дотикається до цих трьох сторін (рис. 78, а). Доведемо від супротивного, що це коло дотикається також до сторони CD. 72

§ 8. Вписані й описані чотирикутники

Припустимо, що це не так. Тоді пряма CD або не має спільних точок із колом, або є січною кола. Розглянемо перший випадок (рис. 78, б). Проведемо через точку C дотичну до кола, яка перетинає сто рону AD в точці D1 . Тоді за властивістю описаного чотирикутника ABCD1 BC + AD1 = AB + CD1 . Але за умовою BC + AD = AB + CD . Віднімаючи від другої рівності першу, маємо: AD − AD1 = CD − CD1 , тобто DD1 = CD − CD1 , що суперечить нерівності трикутни ка для трикутника CD1 D . Таким чином, наше припущення хибне. Ана логічно можна довести, що пряма CD не може бу ти січною кола (зробіть це самостійно). Отже, ко ло дотикається до сторони CD , тобто чотирикут ник ABCD описаний. Теорему доведено.  Зауваження. Нагадаємо, що в даних теоремах розглядаються лише опуклі чотирикутники. Наслідок У будь-який ромб можна вписати коло. якщо в паралелограм вписано коло, то він є ромбом. Ромб, описаний навколо кола, зображено на рис. 79. Центр вписаного кола є точкою перетину діа гоналей ромба (див. задачу 265, а).

C B O

A а

D1 D

б Рис. 78. До доведення ознаки описаного чотирикутника

O Рис. 79. Ромб, описа ний навколо кола

задача У рівнобічну трапецію з бічною стороною 6 см вписано коло. знайдіть середню лінію трапеції. Розв’язання нехай ABCD — дана рівнобічна трапеція з основами AD і BC . за властивістю описаного чотирикутника AB + CD = AD + BC = 12 см. Середня лінія трапеції дорівнює AD + BC 2

, тобто 6 см.

Відповідь: 6 см.

Розділ І. Чотирикутники

грецьСофізм — від — кого «софізма» , рт вигадка, виве головоломка

8.3. Геометричні софізми Багатьом із вас, мабуть, відома давньогрецька байка про Ахіллеса, який ніяк не може наздогнати черепаху. Історія математики знає чимало прикладів того, як хибні твердження і помилкові результати видавалися за правильні, а їх спростування ставало поштовхом до справжніх математичних відкриттів. Отже, навіть помилки й невдачі можуть стати математикам у пригоді. Ці помилки залишилися в підручниках і посібниках у вигляді софізмів — свідомо хибних тверджень, доведення яких, на перший погляд, здаються правильними, але насправді такими не є. Пошук і аналіз помилок, які містяться в цих доведеннях, часто викривають причини неузгоджень у розв’язаннях інших задач. Тому в процесі навчання геометрії софізми інколи є навіть більш повчальними й корисними, ніж «безпомилкові» задачі й доведення. Розглянемо приклад геометричного софізму, пов’язаного зі вписаними чотирикутниками. Кол о має дв а це н т р и.

B F

O1 O2 D Рис. 80

«Доведення» Позначимо на сторонах довільного кута B точки A і C та проведемо через ці точки перпендикуляри до сторін BA і BC відповідно (рис. 80). Ці перпендикуляри мають перетинатися (адже якби вони були паралельні, то паралельними були б і сторони даного кута — обґрунтуйте це самостійно). Позначимо точку перетину перпендикулярів D. Через точки A, D і C, які не лежать на одній прямій, проведемо коло (це можна зробити, оскільки коло, описане навколо трикутника ADC, існує і є єдиним). Позначимо точки E і F — точки перетину цього кола зі сторонами кута B. Прямі кути EAD і FCD є вписаними в коло. Отже, за наслідком з теореми

§ 8. Вписані й описані чотирикутники

про вписані кути відрізки DE і DF є діаметрами ко ла, які мають спільний кінець D, але не збігаються. Тоді їх середини O1 і O2 є двома різними центрами одного кола, тобто коло має два центри. Помилка цього «доведення» полягає в непра вильності побудов на рис. 80. У чотирикутнику ABCD ∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 180 , тобто він є вписаним у коло. Це означає, що в ході побудов коло, проведе не через точки А, D і C, обов’язково пройде через точ ку B. У такому разі відрізки DE і DF збігатимуться з відрізком DB, середина якого і є єдиним центром побудованого кола. Серед задач до цього і наступних параграфів ви знайдете інші приклади геометричних софізмів і зможете самостійно потренуватися в їх спросту ванні. Сподіваємось, що досвід, якого ви при цьому набудете, допоможе уникнути подібних помилок під час подальшого розв’язування задач.

8.4. Чотирикутник і коло в задачах. Метод допоміжного кола У ході розв’язування задач про кола і чотири кутники іноді доцільно використовувати спеціальні підходи. Один із них полягає в розгляді вписаного три кутника, вершини якого є вершинами даного вписа ного чотирикутника. задача знайдіть периметр рівнобічної трапеції, діагональ якої перпендикулярна до бічної сторони й утворює з основою кут 30°, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції, дорівнює 8 см.

розділ і. Чотирикутники

Рис. 81

Розв’язання нехай дано вписану трапецію ABCD , AD BC , BD ⊥ AB , ∠ADB = 30 ° (рис. 81). зауважимо, що коло, описане навколо трапеції, є водночас описаним навколо прямокутного трикутника ABD , отже, його центром є середина гіпотенузи AD . тоді AD = 2= R 16 см. із трикутника ABD AB = 8 см як катет, протилежний до кута 30°. оскільки в прямокутному трикутнику ABD ∠A = 60 , то кути при більшій основі трапеції дорівнюють 60°. ∠ADB = ∠CBD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній BD . отже, у трикутнику BCD два кути рівні, тобто він є рівнобедреним з основою BD , звідки BC = CD = AB = 8 см. тоді PABCD = 16 + 8 + 8 + 8 = 40 (см). Відповідь: 40 см.

Особливо цікавим і нестандартним є застосу вання кола (як описаного, так і вписаного) під час розв’язування задач, в умовах яких коло не зга дується. задача із точки D, яка лежить на катеті BC прямокутного трикутника ABC, проведено перпендикуляр DE до гіпотенузи AB (рис. 82). доведіть, що ∠DCE = ∠DAE .

A E C

D Рис. 82

Розв’язання У чотирикутнику ACDE ∠ACD + ∠AED = 180 , отже, навколо нього можна описати коло. У цьому колі вписані кути DCE і DAE спиратимуться на одну й ту саму дугу, і за наслідком з теореми про вписаний кут ∠DCE = ∠DAE .

Метод розв’язування задач за допомогою додат кової побудови описаного або вписаного кола назива ють методом допоміжного кола. 76

§ 8. Вписані й описані чотирикутники

Запитання і задачі Усні вправи 245. У який прямокутник можна вписати коло? Навколо якого ромба можна описати коло?

246. Чи можна описати коло навколо чотирикутни

ка, який має лише один прямий кут; лише два прямі кути?

247. Чи можна описати коло навколо прямокутної трапеції?

248. Трапеція ABCD

( AD  BC )

описана навколо кола (рис. 83). Як побудувати точку M , щоб трикутник AMD був описаний навколо того самого кола?

A Рис. 83

249. У трапеції три сторони рівні. Чи можна в та ку трапецію вписати коло? Чи можна навколо такої трапеції описати коло?

Графічні вправи 250. Накресліть коло із центром O і позначте на ньому точки A , B, C і D так, щоб при їх послідовному сполученні утворився впи саний чотирикутник ABCD . Виміряйте кути A і B цього чотири кутника. Користуючись властивостями вписаного чотирикутника, обчисліть градусні міри кутів C і D . Перевірте отримані результати вимірюванням.

251. Накресліть коло із центром O і проведіть до нього чотири дотичні так, щоб при їх попарному перетині утворився описаний чотири кутник ABCD . Виміряйте довжини сторін AB, BC і CD цього чотирикутника. Користуючись властивостями описаного чотири кутника, обчисліть довжину сторони AD. Перевірте отриманий ре зультат вимірюванням. 77

розділ і. Чотирикутники

Письмові вправи Рівень А

252. Визначте, чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD , 253.

254.

255 256. 257. 258.

259. 260.

якщо кути A, B, C і D дорівнюють відповідно: а) 90°, 90°, 20°, 160°; б) 5°, 120°, 175°, 60°. Знайдіть невідомі кути: а) вписаного чотирикутника, якщо два його кути дорівню ють 46° і 125°; б) вписаної трапеції, якщо один із її кутів дорівнює 80°; в) вписаного чотирикутника, діагоналі якого точкою перетину ді ляться навпіл. Знайдіть невідомі кути: а) вписаного чотирикутника ABCD , якщо кути A і C рівні, а кут D дорівнює 50°; б) вписаної трапеції, якщо сума двох із них дорівнює 230°. (опорна). Центр кола, описаного навколо прямокутника, є точкою перетину його діагоналей. Доведіть. Із точки C, що лежить усередині гострого кута A , проведено пер пендикуляри CB і CD до сторін кута. Доведіть, що навколо чотири кутника ABCD можна описати коло. В опуклому чотирикутнику ABCD ∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D . Доведіть, що навколо цього чотирикутника можна описати коло. Знайдіть периметр: а) описаного чотирикутника, три послідовні сторони якого дорів нюють 7 см, 9 см і 8 см; б) описаної трапеції, бічні сторони якої дорівнюють 3 см і 11 см. Рівнобічна трапеція описана навколо кола. Знайдіть: а) бічну сторону трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 7 см; б) середню лінію трапеції, якщо її периметр дорівнює 16 см. Радіус кола, вписаного у квадрат, дорівнює 3 см. Знайдіть периметр квадрата.

Рівень Б

261. Чотирикутник ABCD вписаний у коло, центр якого лежить на

стороні AD . Знайдіть кути чотирикутника, якщо ∠ ACB = 20° , ∠ DBC = 10° .

§ 8. Вписані й описані чотирикутники

262. Знайдіть кути трапеції, якщо центр кола, описаного навколо неї, лежить на більшій основі, а кут між діагоналями дорівнює 70°. 263. У трикутнику ABC висоти AA1 і CC1 перетинаються в точці D . Доведіть, що точки A1 , B, C1, D лежать на одному колі. 264. Якщо бісектриси кутів чотирикутника, перетинаючись, утворюють чотирикутник, то навколо утвореного чотирикутника можна описа ти коло. Доведіть.

265 (опорна).

266. 267. 268. 269. 270.

271.

а) Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину його діагоналей, а радіус кола дорівнює половині висоти ромба. Доведіть. б) Радіус кола, вписаного в трапецію, дорівнює половині її висоти. Доведіть. Рівнобедрені трикутники ABC і ADC мають спільну основу AC (точки B і D лежать по різні боки від прямої AC ). Доведіть, що в чотирикутник ABCD можна вписати коло. Сторони чотирикутника дорівнюють 4 м, 9 м, 8 м і 5 м. Назвіть па ри протилежних сторін цього чотирикутника, якщо в нього можна вписати коло. Діагональ ромба, що виходить із вершини кута 60°, дорівнює 24 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в ромб. Знайдіть середню лінію прямокутної трапеції, у якій більша бічна сторона дорівнює 10 см, а радіус вписаного кола дорівнює 3 см. Середня лінія рівнобедреного трикутника, паралельна основі, ділить даний трикутник на трапецію і трикутник із периметром 24 см. Основа даного трикутника дорівнює 12 см. Доведіть, що в отриману трапецію можна вписати коло. Із точки A , що лежить поза колом із центром O , проведено дотич ні AB і AC до цього кола ( B і C — точки дотику). Доведіть, що в чотирикутник ABOC можна вписати коло.

Рівень В 272 (опорна). Якщо трапеція ABCD ( AD  BC ) описана навколо кола із центром O, то: а) точка O — точка перетину бісектрис кутів трапеції; б) трикутники AOB і COD прямокутні. Доведіть.

розділ і. Чотирикутники

273. Якщо сторону чотирикутника, що сполучає дві його вершини, вид но з двох інших вершин під рівними кутами, то навколо цього чо тирикутника можна описати коло. Доведіть. 274. З вершини тупого кута ромба ABCD проведено висоти BM і BN, причому відрізок MN вдвічі менший за діагональ BD . Знайдіть кути ромба. 275. На гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC поза трикутни ком побудовано квадрат ABDE , діагоналі якого перетинаються в точці K . Знайдіть кут ACK . 276. Знайдіть помилку в «доведенні» геометричного софізму: зовнішній кут трикутника дорівнює внутрішньому куту, не суміж ному з ним.

«доведення » Розглянемо чотирикутник ABCD , у якому ∠B + ∠D = 180 ∠B + ∠D = 180 (рис. 84). Через точки A, B і C проведемо коло, яке C перетне сторони AD і CD в деяких точках E і F. Сполучивши точки E і C, отримуємо чотирикутник ABCE, вписаний F у дане коло. за властивістю вписаного чотирикутника D E ∠B + ∠E = 180 . але за умовою ∠B + ∠D = 180 , отже, ∠D = ∠E . це означає, що кут CEA, який є зовнішнім кутом Рис. 84 трикутника CDE , дорівнює внутрішньому куту CDE цього трикутника, тобто зовнішній кут трикутника дорівнює внутрішньому куту, не суміжному з ним.

277. Знайдіть помилку в «доведенні» геометричного софізму: у колі хорда, яка не проходить через центр, дорівнює діаметру.

O D

E Рис. 85

«доведення » нехай AB — діаметр кола із центром O (рис. 85). Проведемо через точку A довільну хорду AC і позначимо її середину — точку D. Проведемо через точки B і D хорду BE і сполучимо точки E і C. У трикутниках ADB і CDE кути при вершині D рівні як вертикальні, ∠BAD = ∠CED як вписані кути, що

§ 8. Вписані й описані чотирикутники

спираються на одну й ту саму дугу BC, а AD = CD за побудовою. отже, ці трикутники рівні за стороною і двома кутами, звідки AB = EC , тобто діаметр кола дорівнює хорді, яка не проходить через центр кола.

278. Побудуйте ромб за діагоналлю і радіусом вписаного кола. 279. Побудуйте рівнобічну трапецію за бічною стороною і радіусом впи саного кола.

Повторення перед вивченням § 9 Теоретичний матеріал • медіана, бісектриса і висота трикутника; • описане і вписане кола трикутника.

7 клас, § 12, 23

Задачі

280. Один із кутів трикутника дорівнює 60°. Під яким кутом перетина ються бісектриси двох інших його кутів? 281. Один із кутів трикутника дорівнює 60°. Під яким кутом перети наються висоти, проведені до сторін цього кута?

§9

Застосування властивостей чотирикутників. Властивість медіани трикутника У сьомому класі під час вивчення вписано го й описаного кіл трикутника розглядалися дві його визначні точки — точка перетину бісектрис (інакше її називають інцентром трикутника) і точ ка перетину серединних перпендикулярів до сторін. Розглянемо ще дві визначні точки трикутника. Теорема (властивість медіан трикутника) Медіани трикутника перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника.

B E

O K

D M

Рис. 86. Медіани трикутника пере тинаються в одній точці

Доведення  Нехай у трикутнику ABC проведено ме діани AD , BF і CE (рис. 86). Доведемо, що во ни перетинаються в деякій точці O , причому AO : OD = BO : OF = CO : OE = 2 : 1. Нехай O — точка перетину медіан AD і CE , точки K і M — середини відрізків AO і CO відповід но. Відрізок ED — середня лінія трикутника ABC , і за властивістю середньої лінії трикутника ED  AC , ED =

1 2

AC . Крім того, KM — середня лінія трикут

ника AOC , і за тією самою властивістю KM  AC , KM =

1 2

AC . Отже, у чотирикутнику KEDM дві сто

рони паралельні й рівні. Таким чином, KEDM — паралелограм, і його діагоналі KD і EM точкою перетину діляться навпіл. Отже, AK = KO = OD , CM = MO = OE , тобто точка O ділить медіани AD і CE у відношенні 2 : 1. 82

§ 9. застосування властивостей чотирикутників. Властивість медіани трикутника

Аналогічно доводимо, що і третя медіана BF точкою перетину з кожною з медіан AD і CE ділить ся у відношенні 2 : 1. А оскільки така точка поділу для кожної з медіан єдина, то всі три медіани пере тинаються в одній точці.  Точку перетину медіан трикутника інакше на зивають центроїдом, або центром мас трикутника. У доречності такої назви можна переконатися, про вівши експеримент: виріжте з картону довільний трикутник, проведіть у ньому медіани і спробуйте втримати трикутник у рівновазі, поклавши його на голку або гострий олівець у точці перетину медіан (рис. 87).

Рис. 87. Точка перетину медіан — центр мас трикут ника

задача якщо в трикутнику дві медіани рівні, то він рівнобедрений. доведіть. Розв’язання нехай у трикутнику ABC медіани AD і CE рівні і перетинаються в точці O (рис. 88). Розглянемо трикутники AOE і COD. оскільки точка O ділить кожну з рівних медіан AD і CE у відношенні 2 : 1, то AO = CO , EO = DO . крім того, ∠AOE = ∠COD як вертикальні. отже, AOE = COD за першою ознакою. звідси випливає, що AE = CD . але за означенням медіани ці відрізки — половини сторін AB і CB. отже, AB = CB , тобто трикутник ABC рівнобедрений.

C Рис. 88

розділ і. Чотирикутники

Додаткову побудову паралелограма, використа ну під час доведення властивості медіан трикутника, можна також застосувати, досліджуючи висоти три кутника.

C1 E A

D C

F B1

Рис. 89. Висоти трикутника ABC перетинаються в одній точці

опорна задача (про точку перетину висот трикутника) Висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці. доведіть. Розв’язання нехай AD, BF і CE — висоти трикутника ABC (рис. 89). Провівши через вершини трикутника прямі, паралельні протилежним сторонам, одержимо трикутник A1B1C1, сторони якого перпендикулярні до висот трикутника ABC. за побудовою чотирикутники C1BCA і B1ABC — паралелограми, звідки C1A = BC і BC = AB1. отже, точка A — середина відрізка B1C1. аналогічно доводимо, що B — середина A1C1 і C — середина A1B1. таким чином, висоти AD, BF і CE лежать на серединних перпендикулярах до сторін трикутника A1B1C1, які перетинаються в одній точці за наслідком з теореми про коло, описане навколо трикутника.

Точку перетину висот (або їх продовжень) інак ше називають ортоцентром трикутника. Таким чином, визначними точками трикут ника є: • точка перетину бісектрис — центр кола, вписа ного в трикутник; • точка перетину серединних перпендикулярів до сторін — центр кола, описаного навколо трикут ника; • точка перетину медіан — ділить кожну з медіан у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини три кутника; • точка перетину висот (або їх продовжень). 84

§ 9. застосування властивостей чотирикутників. Властивість медіани трикутника

Запитання і задачі Усні вправи 282. Які з визначних точок трикутника можуть лежати поза трикут ником? 283. Чи може ортоцентр трикутника збігатися з його вершиною? 284. Як розміщені визначні точки в рівносторонньому трикутнику?

Графічні вправи 285. Накресліть трикутник ABC , проведіть його медіани AD і CE. По значте точку O — точку їх перетину. а) Виміряйте довжини відрізків AO , OD і CO. Користуючись тео ремою про точку перетину медіан трикутника, обчисліть наближе но довжину відрізка OE. Перевірте отриманий результат вимірю ванням. б) Проведіть промінь BO і позначте точку F , у якій він перетинає сторону AC. У якому відношенні ця точка ділить сторону AC? 286. Накресліть трикутник ABC , проведіть його висоти AD і CE. По значте точку O — точку перетину цих висот (або їх продовжень). Проведіть промінь BO. Під яким кутом він перетинає пряму AC ? Чому? Aa

Письмові вправи Рівень А

287. Точка перетину медіан ділить одну з них на два відрізки. Довжина одного із цих відрізків дорівнює 2 см. Знайдіть довжину цієї медіани. 288. Точка перетину медіан ділить одну з них на два відрізки. Більший із них коротший, ніж зазначена медіана, на 5 см. Знайдіть довжину цієї медіани. 289. Точка перетину медіан трикутника ділить одну з медіан на відрізки, різниця яких становить 3 см. Знайдіть довжину цієї медіани.

Рівень Б

290. Точка H — ортоцентр трикутника ABC. Доведіть, що точка A — ортоцентр трикутника HBC . 85

розділ і. Чотирикутники

291. Точки D, E, F — середини сторін трикутника ABC. Доведіть, що точка перетину медіан трикутника DEF збігається з точкою пере тину медіан трикутника ABC. 292. Дано паралелограм ABCD. Доведіть, що точки перетину медіан трикутників ABC і CDA лежать на діагоналі BD і ділять її на три рівні частини.

Рівень В 293. Відстань від центра кола, описаного навколо рівнобедреного трикут ника, до його основи дорівнює 3 см, а радіус цього кола дорівнює 6 см. Знайдіть довжини відрізків, на які точка перетину медіан ді лить медіану, проведену до основи. 294. Побудуйте трикутник за трьома медіанами. 295. Центр кола, описаного навколо трикутника, є ортоцентром трикут ника, утвореного середніми лініями даного трикутника. Доведіть.

Повторення перед вивченням § 10 Теоретичний матеріал • пропорції; • рівність трикутників; • теорема Фалеса.

6 клас 7 клас, § 7 8 клас, § 6

Задачі 296. У прямокутному трикутнику ABC ( ∠B = 90°) через середину кате

та AB проведено пряму, паралельну медіані BM. Знайдіть довжи ни відрізків, на які ця пряма ділить гіпотенузу, якщо BM = 6 см. 297. Знайдіть x із пропорції: а) 5, 4 : x = 2,7 : 7,2 ; б) 86

x +1 144

25 60

§ 9. застосування властивостей чотирикутників. Властивість медіани трикутника

Онлайн-тренування для підготовки до контрольної роботи № 2 Задачі для підготовки до контрольної роботи № 2 1. 2. 3.

5. 6.

У рівнобічній трапеції протилежні кути відносяться як 2 : 7. Знайдіть кути тра пеції. За рис. 90 знайдіть AB1, якщо B1C1  B2C2 , AC1 = C1C2 , AB2 = 12 см. Середня лінія відтинає від даного три кутника трикутник, периметр якого до рівнює 17 см. Знайдіть периметри даного трикутника і трикутника, утвореного йо го середніми лініями. У рівнобічній трапеції з кутом 45° від різки, що сполучають середину більшої основи з вершинами тупих кутів, пер пендикулярні до бічних сторін. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її менша основа дорівнює 4 см. За даними рис. 91 знайдіть кут x. У рівнобічну трапецію вписано коло, яке ділить бічну сторону на відрізки у від ношенні 9 : 16. Знайдіть довжини цих відрізків, якщо середня лінія трапеції дорівнює 50 см.

B2 B1 A

Рис. 90

50 x

Рис. 91

Підсумки Підсумко ий огляд розділу I в

Чоти ик тник р

пуклий чотирикутник

еопуклий чотирикутник

Теорема про суму кутів чотирикутника α

Сума кутів чотирикутника дорів нює 360°: α + β + γ + δ = 360

β δ

Па алелог а р

Паралелограмом називається чотири кутник, протилежні сторони якого по парно паралельні Властивості паралелограма

знаки паралелограма

Якщо дві протилеж ні сторони чотири кутника паралельні й рівні, то цей чоти рикутник — парале лограм Протилеж ні сторони паралело грама рівні 88

Якщо протилежні сторони чотирикут ника попарно рівні, то цей чотирикут ник — паралелограм

Підсумки

знаки паралелограма

Властивості паралелограма

Діагоналі па ралелограма точкою пере тину ділять ся навпіл

Якщо діагоналі чо тирикутника точкою перетину діляться навпіл, то цей чоти рикутник — парале лограм

Види а алелог а і

Протилежні кути парале лограма рівні

Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, то цей чотирикутник — па ралелограм

Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі

Ромбом називається паралелограм, у якого всі сто рони рівні

Властивість прямокутника

Діагоналі прямо кутника рівні

Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні знака прямокутника Якщо всі кути чотири кутника рівні, то цей чотирикутник є прямо кутником 89

озділ . Чотирикутники

Властивості ромба

знака ромба

Діагоналі ромба перпендикулярні і ділять його ку ти навпіл

Якщо всі сторони чоти рикутника рівні, то цей чотирикутник є ромбом

Властивості квадрата

Усі сторони квадрата рівні, а протилежні сторони паралельні

Усі кути квадрата прямі

Діагоналі квадрата рівні, перпендикулярні, ділять кути ква драта навпіл і точкою перетину діляться навпіл

а еція п

Основа

а чн а Бі рон о ст

ст Біч ор на он а

Тр

Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сто рони паралельні, а дві інші непаралельні

Прямокутною трапецією називається трапеція, у якій одна з бічних сторін перпендикулярна до основ 90

Підсумки

Рівнобічною (рівнобедреною) трапецією називається тра пеція, у якій бічні сторони рівні знака рівнобічної трапеції

Властивість рівнобічної трапеції

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні

Якщо в трапеції кути при основі рівні, то така трапеція рівнобічна

еорема Фалеса

Паралельні прямі, які перетинають сторони кута і від тинають на одній із них рівні відрізки, відтинають рів ні відрізки і на іншій стороні

Се едні лінії т ик тника і т а еції Середньою лінією трапеції називаєть ся відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції

Властивість середньої лінії трикутника

Властивість середньої лінії трапеції

Середня лінія трикутника пара лельна одній із його сторін і дорів нює половині цієї сторони

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі

Середньою лінією трикутника нази вається відрізок, що сполучає се редини двох його сторін

озділ . Чотирикутники

Ку

ти

колі

Центральним кутом у колі називається плос кий кут із вершиною в центрі кола

Градусною мірою дуги кола називається гра дусна міра відповідного центрального кута Вписаним кутом називається кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетина ють це коло. Теорема про вписаний кут Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається аслідки з теореми про вписаний кут

Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні

Вписаний кут, що спирається на півколо, прямий, і навпаки: будь який прямий впи саний кут спирається на півколо -

Центром кола, описаного навколо прямокут ного трикутника, є середина гіпотенузи. Медіана прямокутного трикутника, прове дена з вершини прямого кута, дорівнює по ловині гіпотенузи 92

Підсумки

В и ані оти ик тники B C A

Чотирикутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі

Властивість вписаного чотирикутника

B C

знака вписаного чотирикутника

Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорів нює 180°, то навколо нього можна описати коло

Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°

∠ A + ∠C = = ∠B + ∠D = = 180°

Якщо трапеція вписана в коло, то вона рівнобічна

Навколо рівнобічної трапе ції можна описати коло

Навколо будь якого прямо кутника можна описати коло

и ані оти ик тники с

Оп

Якщо паралелограм вписа ний у коло, то він є прямо кутником

Чотирикутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола

озділ . Чотирикутники

Властивість описаного чотирикутника В описаному чотирикут нику суми протилежних сторін рівні

знака описаного чотирикутника

Якщо в опуклому чотири кутнику суми протилеж них сторін рівні, то в нього можна вписати коло

a+c = b+d

Якщо в паралелограм вписано коло, то він є ромбом

У будь який ромб можна вписати коло -

Визна ні то ки т ик тника ч

очка перетину медіан (центр мас)

очка перетину висот або їх продовжень (ортоцентр)

очка перетину бісектрис (інцентр) — центр вписа ного кола

очка перетину серединних перпендикулярів — центр описаного кола Т

Властивість медіан трикутника Медіани трикутника перетинаються в одній точці й ді ляться нею у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника

Властивість висот трикутника Висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці 94

Підсумки

Контрольні запитання до розділу I

3. 4.

5. 6. 7.

Накресліть опуклий чотирикутник ABCD. Назвіть його сторони і діагоналі. Сформулюйте теорему про суму кутів опуклого чотири кутника. Дайте означення паралелограма. Сформулюйте і доведіть властивості паралелограма. Сформулюйте і доведіть ознаки паралелограма. Дайте означення прямокутника. Сформулюйте і доведіть властивість прямокутника. Дайте означення ромба. Сформулюйте і доведіть властивості ромба. Дайте означення квадрата. Назвіть властивості квадрата. Дайте означення трапеції. Назвіть окремі види трапецій, які вам відомі. Які властивості вони мають? Сформулюйте теорему Фалеса. Дайте означення середньої лінії трикутника. Сформулюйте власти вість середньої лінії трикутника. Дайте означення середньої лінії трапеції. Сформулюйте властивість середньої лінії трапеції. Дайте означення центрального кута в колі. Як пов’язана градусна міра дуги кола з градусною мірою відповідного центрального кута? Дайте означення вписаного кута. Сформулюйте теорему про вписа ний кут. Сформулюйте наслідки з теореми про вписаний кут. Дайте означення чотирикутника, вписаного в коло. Сформулюйте властивість і ознаку вписаного чотирикутника. Дайте означення чотирикутника, описаного навколо кола. Сформу люйте властивість і ознаку описаного чотирикутника.

10.

8. 9.

11.

12.

13. 14.

15.

Додаткові задачі до розділу I

298. Якщо в опуклому чотирикутнику не всі кути рівні, то хоча б один

із них гострий. Доведіть. 299. Знайдіть кути паралелограма, якщо один із них дорівнює сумі двох інших. Чи може такий паралелограм бути ромбом; квадратом? 95

розділ і. Чотирикутники

300. Діагональ квадрата ABCD дорівнює 7 см. Пряма, яка проходить через точку A перпендикулярно до діагоналі AC , перетинає пря мі BC і CD в точках E і F . Знайдіть EF .

301. Знайдіть кути трикутника, якщо дві його середні лінії перпендикулярні й рівні.

302. Дитячий майданчик має форму чоти рикутника. Доведіть, що прямоліній ні доріжки, що сполучають середини протилежних сторін майданчика, при перетині діляться навпіл.

303. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 8 см і 12 см, а тупий кут трапеції втричі більший за гострий. Знайдіть висоту трапеції.

304. Пряма, що проходить через вершину тупого кута трапеції, ділить її на ромб і рівносторонній трикутник. Знайдіть середню лінію трапе ції, якщо її периметр дорівнює 60 см.

305. У трикутнику ABC висота BH ділить сторону AC на відріз ки AH = 2 см, HC = 6 см. Відрізок AM — медіана трикутни ка ABC , відрізок MD — висота трикутника AMC . Знайдіть відрізки AD і DC.

306. Дано трапецію, яка є вписаною в коло й описаною навколо кола. Знайдіть: а) кути трапеції, якщо сума трьох із них дорівнює 300°; б) сторони трапеції, якщо її периметр дорівнює 16 см.

307. За рис. 92 доведіть: а) властивість середньої лінії трапе ції ABCD ( AD  BC ) ; б) якщо в чотирикутнику ABCD від різок, що сполучає середини сторін AB і CD , дорівнює півсумі сторін AD і BC , то ABCD — трапеція або паралелограм.

308. Якщо діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, то її висота дорівнює півсумі основ. Доведіть. 96

B E

C M

F D

A Рис. 92

Підсумки

Задачі підвищеної складності 309. Пряма проходить через вершину B паралелограма ABCD . Вер

310. 311.

312. 313.

314. 315. 316. 317.

шини A і C віддалені від цієї прямої на відстані a і c відповід но. Знайдіть відстань від точки D до даної прямої. Розгляньте два випадки. Точки M і N — середини сторін BC і CD паралелограма ABCD. Доведіть, що точка перетину прямих BN і DM лежить на діаго налі AC . Діагоналі опуклого чотирикутника ABCD перпендикулярні. Через середини сторін AB і AD проведено прямі, перпендикулярні до протилежних сторін CD і BC відповідно. Доведіть, що точка пере тину цих прямих належить прямій AC . Доведіть, що бісектриси кутів при бічній стороні трапеції перетина ються на її середній лінії. Через точку площини проведено три прямі так, що кут між будь якими двома з них дорівнює 60°. Доведіть, що основи перпенди кулярів, проведених із будьякої точки площини до цих прямих, є вершинами рівностороннього трикутника. Відрізки AB і AC — відрізки дотичних до кола, проведених з точ ки A . Доведіть, що центр кола, вписаного в трикутник ABC , лежить на даному колі. Знайдіть кути рівнобічної трапеції, у якій бічна сторона дорівнює меншій основі, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Дано гострокутний трикутник ABC і точку M таку, що BM ⊥ AB , CM ⊥ AC . Доведіть, що точка M лежить на колі, описаному на вколо трикутника ABC . Якщо сума кутів при основі трапеції дорівнює 90°, то відрізок, що сполучає середини основ трапеції, дорівнює їх піврізниці. а) Доведіть дане твердження. б) Сформулюйте і доведіть обернене твердження.

озділ . Чотирикутники

Іс

то и на до ідка р

Переважна більшість теоретичних положень, пов’язаних із чоти рикутником, була відома ще в Давній Греції. Наприклад, у роботах Ев кліда згадується паралелограм під назвою «паралельнолінійна площа». Більшість властивостей чотирикутників були встановлені на практиці й тільки згодом доведені теоретично. Одним із творців ідеї геометричного доведення визнано давньогрецького вченого Фалеса Мілетського (бл. 625–547 рр. до н. е.). Його вважали першим се ред славетних «семи мудреців» Еллади. Механік і астроном, філософ і громадський діяч, Фалес зна чно збагатив тогочасну науку. Саме він познайомив греків із досягненнями єгиптян у геометрії та астро номії. За свідченням історика Геродота, Фалес пе редбачив затемнення Сонця, що сталося 28 травня 585 р. до н. е. Він дав перші уявлення про електрику і магнетизм. Досягнення Фалеса в геометрії не ви Фалес Мілетський черпуються теоремою, що має його ім’я. Стверджують, що Фалес відкрив теорему про вертикальні кути, довів рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника, обґрунту вав, що кут, який спирається на півколо, прямий, і першим описав коло навколо прямокутного трикутника.

У молоді роки Фалес побував у Єгипті. За леген дою, він здивував єгипетських жерців, виміряв ши висоту піраміди Хеопса за допомогою подібно сті трикутників (про неї — у наступному розділі). 98

Підсумки

Фалесові приписують і доведення другої ознаки рівності трикут ників, на основі якої він створив далекомір для визначення відстані до кораблів на морі. Вивчаючи визначні точки трикутника, неможливо не згадати імена ще кількох учених. Теорему про перетин висот трикутника довів у XV столітті німецький математик Регіомонтан (1436–1476) — на його честь цю тео рему іноді називають задачею Регіомонтана.

леонард ейлер

Видатний учений леонард ейлер (1707–1783), який установив зв’язок між визначними точками трикутника, був унікальною історичною постаттю свого часу. Геометрія і механіка, оптика і баліс тика, астрономія і теорія музики, математична фізика і суднобудування — ось далеко не повний перелік галузей, які він збагатив своїми відкрит тями. Перу Ейлера належать понад 800 наукових праць, причому, за статистичними підрахунками, він робив у середньому один винахід за тиждень! Людина надзвичайної широти інтересів, Ейлер був академіком Берлінської і СанктПетербурзької академій наук і істотно вплинув на розвиток світо вої науки. Недарма французький математик П. Ла плас, розмірковуючи про вчених свого покоління, стверджував, що Ейлер — «учитель усіх нас».

Серед українських математиків вагомий вне сок у дослідження властивостей чотирикутни ків зробив Михайло Васильович остроградський (1801–1862). Цей видатний учений, який навчався в Харківському університеті, здобув світове визнання завдяки роботам з математичної фізики, математич ного аналізу, аналітичної механіки. Талановитий пе дагог і методист, Остроградський створив «Підручник з елементарної геометрії», який, зокрема, містив низ ку цікавих і складних задач на побудову вписаних і описаних чотирикутників і обчислення їхніх площ. М. В. остроградський 99

Видатні математики України боголюбов Микола Миколайович (1909–1992) Чи можна стати видатним ученим, отримавши освіту в сільській школі? Можливо, хтось із вас замис лювався над цим питанням. Звісно, що не всі можуть стати всесвітньовідомими науковцями. Тому ми має мо пишатися тими, кому це вдалося, як, наприклад, М. М. Боголюбову. Отримавши початкову освіту вдома, Мико ла Боголюбов з 1919 по 1921 р. навчався у Велико кручанській семирічній школі на Полтавщині — єдиному навчальному закладі, який він закінчив. Після закінчення школи Микола самостійно вивчав фізику і математику. У 1921 р. родина Боголюбових переїхала до Києва, і з 14 років Микола вже брав участь у семінарі кафедри математичної фізики Київсько го університету. У 15річному віці Боголюбов написав першу наукову працю, а наступного року був прийнятий одразу до аспірантури Ака демії наук України. Після її закінчення він отримав ступінь доктора математичних наук (у 20 років!). З 1936 р. Микола Миколайович — професор Київського університету, у 1940 р. був направлений до Чер нівців для організації кафедр на фізикоматематичному факультеті Чернівецького держуніверситету. У 1948 р. Боголюбова обирають академіком Академії наук України. Не розділяючи у своїх наукових інтересах математику, механі ку та фізику, Микола Миколайович сприяв їх спільному розвитку. У 1966 р. М. М. Боголюбов став першим директором створеного ним Інституту теоретичної фізики Академії наук України в Києві. Боголю бов був членом багатьох іноземних академій наук — Болгарії, Німеч чини, Польщі, США та ін. Науковець отримав численні міжнародні нагороди, якот: Хейнеманівська премія (1966 р.), медаль Макса Планка (1973 р.), медаль Поля Дірака (1992 р.). Меморіальні дошки на честь М. М. Боголюбова встановлено на будівлях університетів у Києві та Чернівцях, пам’ятник видатному вченому відкрито в селі Велика Круча. У 1992 р. Національна акаде мія наук України заснувала Премію імені М. М. Боголюбова, на честь ученого названо малу планету «22616 Боголюбов». 100

Розділ ІI Подібність трикутників. Теорема Піфагора

§ 10. Подібні трикутники § 11. Ознаки подібності трикутників § 12. Співвідношення між сторонами прямокутного трикутника § 13. Теорема Піфагора та наслідки з неї § 14. Застосування подібності трикутників. Властивість бісектриси трикутника

Геометрія має два скарби: один із них — це теорема Піфагора, а другий — по діл відрізка в середньому і крайньому відношенні… Перший можна порівняти з мірою золота, а другий більше нагадує коштовний камінь. Йоганн Кеплер

У цьому розділі ви розпочнете знайомство з подіб ністю фігур. Відношення подібності є однією з найважливі ших характеристик евклідової геометрії. Вияви подібності часто зустрічаються і в повсякденному житті. Наприклад, авіамоделі літаків подібні до реальних машин, а репродук ції класичних картин подібні до оригіналів. В основі теорії подібності лежить узагальнена теоре ма Фалеса. Завдяки властивостям подібних трикутників встановлюється чимало важливих геометричних співвід ношень. Зокрема, за допомогою подібності буде доведено славетну теорему Піфагора. Щоправда, таке доведення не є класичним, адже за часів Піфагора деякі геометричні факти, які ми будемо розглядати, ще не були відкриті. Але сьогодні навіть звичайний школяр може оволодіти знання ми, невідомими великому Піфагорові.

102

§ 10

Подібні трикутники

10.1. Узагальнена теорема Фалеса Пригадаємо деякі поняття, пов’язані з діленням і пропорціями, які знадобляться для подальших мір кувань. Відношенням відрізків завдовжки a і b називається a

частка їх довжин, тобто число

Інакше кажучи, відношення

a b

вказує, скільки

разів відрізок b і його частини укладаються у від різку a. Дійсно, якщо відрізок b взяти за одиницю вимірювання, то це відношення дорівнюватиме дов жині відрізка a. Відрізки завдовжки a і c пропорційні відрізкам завдовжки b і d, якщо

a b

Наприклад, відрізки завдовжки 8 см і 12 см пропор ційні відрізкам завдовжки 10 см і 15 см, оскільки 8 10

12 15

= 0, 8 .

Сформулюємо узагальнену теорему Фалеса для нерівних відрізків, які відтинаються паралельними прямими на сторонах кута. Теорема (про пропорційні відрізки) Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на сторонах цього кута пропорційні відрізки:

AB BC

AB1 B1 C1

, або

a b

c d

Твердження теореми ілюструє рис. 93. Наве демо міркування, на яких ґрунтується доведення цієї теореми. Відношення

AB BC

вказує, скільки разів

aB c

b C B1

Рис. 93. Паралельні прямі відтинають на сторонах кута пропорційні відрізки

103

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

відрізок BC укладається у відрізку AB, а відношен ня

AB1

— скільки разів відрізок B1C1 укладається

B1 C1

у відрізку AB1. Теорема Фалеса встановлює відпо відність між процесами вимірювання відрізків AB і AB1 . Справді, прямі, паралельні BB1 , «переводять» рівні відрізки на одній стороні кута в рівні відрізки на іншій стороні: відрізок AB «переходить» у від різок AB1 , десята частина відрізка AB — у десяту частину відрізка AB1 і т. д. Тому, якщо відрізок BC укладається у відрізку AB n разів, то відрізок B1C1 укладається у відрізку AB1 також n разів. Повне доведення цієї теореми подано в До датку 1. Зауваження. Оскільки тобто

a+b b

c+d d

a b

c d

, то

+1 =

c d

+1 ,

, і висновок даної теореми можна

записати у вигляді

AC AB

AC1 AB1

. На таку рівність ми

також будемо посилатися як на теорему про пропор ційні відрізки. задача дано відрізки a, b, c. Побудуйте відрізок x =

a O c C x D Рис. 94

Розв’язання Побудуємо довільний нерозгорнутий кут O і відкладемо на одній його стороні відрізки OA = a і AB = b , а на іншій стороні — відрізок OC = c (рис. 94). Проведемо пряму AC і пряму, яка паралельна AC, проходить через точку B і перетинає другу сторону кута в точці D. за теоремою про пропорційні відрізки CD =

104

AB ⋅ OC OA

b⋅c a

OA AB

OC CD

. отже, відрізок CD — шуканий.

, звідки

§ 10. Подібні трикутники

Зазначимо, що в задачі величина x є четвертим членом пропорції a : b = c : x . Тому побудований від різок називають четвертим пропорційним відрізком.

10.2. Означення подібних трикутників Рівні фігури можна уявити як фігури, що мають однакову форму й однакові розміри. Але в повсяк денному житті часто зустрічаються речі, які мають однакову форму, але різні розміри: наприклад, чайне блюдце і тарілка, однакові моделі взуття різних роз мірів тощо (наведіть інші приклади самі). У геометрії фігури однакової форми прийнято називати подібни ми. Наприклад, подібними один до одного є будьякі два квадрати, будьякі два кола. Введемо спочатку поняття подібних трикутників. Означення два трикутники називаються подібними, якщо кути одного з них відповідно дорівнюють кутам іншого і відповідні сторони цих трикутників пропорційні. На рис. 95 зображено подібні трикутни ки ABC і A1 B1C1 . Подібність цих трикутників ко ротко позначають так: ABC A1 B1C1 . У цьому записі, як і в записі рівності трикутників, назви трикутників будемо впорядковувати так, щоб вер шини рівних кутів зазначались у порядку відповід ності. Це означає: якщо ABC A1 B1C1 , то ∠ A = ∠ A1 , ∠ B = ∠ B1 , ∠ C = ∠ C1 ,

AB A1 B1

BC B1 C1

AC A1 C1

C B1

= k.

Число k , що дорівнює відношенню відповідних сторін подібних трикутників, називають коефіцієнтом подібності. Очевидно, що два рівні трикутники є подібними з коефіцієнтом подібності 1.

Рис. 95. Подібні трикутники

105

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Опорна задача Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності. доведіть. Розв’язання нехай ABC A1B1C1 з коефіцієнтом подібності k. це означає, що

A1B1

B1C1

A1C1

= k , тобто AB = kA1B1 ,

BC = kB1C1 , AC = kA1C1. Маємо: PABC PA B C

1 1 1

kA1B1 + kB1C1 + kA1C1 A1B1 + B1C1 + A1C1

k PA B C

1 1 1

PA B C

=k.

1 1 1

Зазначимо також, що відношення відповідних лінійних елементів (медіан, бісектрис, висот тощо) подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності. Доведіть це самостійно.

Запитання і задачі Усні вправи 318. Відомо, що ABC KMN . Назвіть відповідно рівні кути цих трикутників.

319. Трикутник ABC і трикутник з вершинами D , E, F подібні, при чому

AB EF

BC FD

AC ED

. Закінчіть запис ABC … .

320. Чи рівні будьякі два подібні трикутники? Чи подібні будьякі два рівні трикутники? Назвіть відповідний коефіцієнт подібності.

321. Чи можуть бути подібними прямокутний і тупокутний трикутники? 322. Два трикутники подібні з коефіцієнтом 0,25. У скільки разів сторо ни одного трикутника більші за відповідні сторони іншого? 106

§ 10. Подібні трикутники

Графічні вправи 323. Накресліть трикутник ABC . Позначте на стороні AB точку D так,

щоб AD : DB = 2 : 1 . Проведіть через точку D пряму, паралельну стороні AC , і позначте точку E — точку перетину цієї прямої зі стороною BC. Виміряйте відрізок BE та обчисліть довжину відрізка EC за теоремою про пропорційні відрізки. Перевірте отри маний результат вимірюванням. 324. Накресліть трикутник ABC і проведіть у ньому середню лінію DE, паралельну AC. Назвіть подібні трикутники, які утворилися на ри сунку.

Письмові вправи Рівень А

326. 327. 328.

329.

довжки a і b пропорційними відрізкам c і d, якщо: а) a = 8 см, b = 24 см, c = 4 см, d = 12 см; б) a = 9 см, b = 14 см, c = 7 см, d = 18 см. На рис. 96 ABC A1 B1C1. За даними рисунка знайдіть x і y. На рис. 97 ABC A1 B1C1. За даними рисунка знайдіть x і y. Пряма KM паралельна стороні AC трикутника ABC (рис. 98). Знайдіть відрізок MC , якщо: а) AK = 2 см, KB = 6 см, BM = 9 см; б) AK : KB = 2 : 3, BC = 10 см. Пряма KM паралельна сторо ні AC трикутника ABC (рис. 98). Знай діть відрізок AB, якщо AK = 6 см, BM : MC = 4 : 3.

325. Визначте, чи є відрізки зав x

Рис. 96 B 16

B1 x

C A1

12 y

Рис. 97 B K

C Рис. 98

107

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

330. Відомо, що ABC DEF . Знайдіть: 331. 332.

333. 334. 335.

а) кут C, якщо ∠ A = 45° , ∠ E = 110° ; б) кут F , якщо ∠ B = 80° , ∠ A = ∠ C. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо в подібному йому трикутнику різниця найбільшого і найменшого кутів дорів нює 70°. Сторони трикутника дорівнюють 2,5 см, 4 см і 5 см. Знайдіть сто рони трикутника, подібного даному, якщо: а) його периметр дорівнює 46 см; б) його найменша сторона дорівнює найбільшій стороні даного три кутника. Сторони трикутника дорівнюють 16 см, 12 см і 10 см. Знайдіть пери метр трикутника, подібного даному, якщо його найбільша сторона дорівнює 8 см. Доведіть за означенням, що будьякі два рівносторонні трикутники подібні. Доведіть від супротивного, що тупокутний і рівносторонній трикут ники не можуть бути подібними.

Рівень Б 336. Пряма MN паралельна основам трапе

ції ABCD (рис. 99). Знайдіть: а) сторону CD , якщо AM : AB = 4 : 5, CN = 3 см; б) сторону AB, якщо AM : ND = 3 : 2, CN = 2 см, AM = 9 см. 337. Пряма MN паралельна основам трапе ції ABCD (рис. 99). Знайдіть сторону AB , якщо AM − MB = 1 см, CN : CD = 3 : 7. 338. За даними рис. 100 знайдіть x, якщо a  b . 3 a 4 b

x+1

x а

108

Рис. 100

A Рис. 99

15 a 20

C N

§ 10. Подібні трикутники

339. Відомо, що ABC DEF , причому ∠ D = 70° , ∠ B = 55° . Дове

діть, що AB = AC . 340. Відомо, що ABC KMN, причому ∠ A + ∠ M = 90° . Доведіть, що AB — найбільша сторона трикутника ABC . 341. Доведіть, що трикутник з вершинами в серединах сторін даного трикутника подібний даному. Чому дорівнює коефіцієнт подібності? і від 342. У трикутнику ABC точки D і E — середини сторін AB ABC повідно. Доведіть, що ABC DBE , і знайдіть коефіцієнт по дібності.

Рівень В

343. Кожен із двох нерівних, але подібних трикутників має сторони зав довжки 12 см і 18 см. Знайдіть невідомі сторони цих трикутників.

344. Трикутники зі сторонами a, b, c і b, c, d подібні. Доведіть, що кое фіцієнт подібності не може дорівнювати 2. 345. Знайдіть помилку в «доведенні» геометричного софізму: відрізки паралельних прямих, що містяться між сторонами кута, рівні. «доведення» нехай AB і CD — відрізки паралельних прямих, які перетинають сторони кута O (рис. 101). за теоремою про пропорційні відрізки

AO CO

BO DO

, або AO ⋅ DO = BO ⋅ CO . Помножимо обидві

частини цієї рівності на відмінну від нуля різницю AB − CD : AO ⋅ DO ⋅ ( AB − CD ) = BO ⋅ CO ⋅ ( AB − CD ) , AO ⋅ DO ⋅ AB − AO ⋅ DO ⋅ CD = BO ⋅ CO ⋅ AB − BO ⋅ CO ⋅ CD .

Рис. 101

109

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Перенесемо перший член правої частини рівності ліворуч, а другий член лівої частини — праворуч: AO ⋅ DO ⋅ AB − BO ⋅ CO ⋅ AB = AO ⋅ DO ⋅ CD − BO ⋅ CO ⋅ CD , або ( AO ⋅ DO − BO ⋅ CO ) ⋅ AB = ( AO ⋅ DO − BO ⋅ CO ) ⋅ CD . Розділивши обидві частини останньої рівності на вираз у дужках, маємо AB = CD , тобто відрізки паралельних прямих, що містяться між сторонами кута, рівні.

( AD  BC ) на два подібні трикутники ABC і ACD. Знайдіть AC, якщо BC = 4 см, AD = 9 см.

346. Діагональ AC ділить трапецію ABCD 347. Діагональ AC трапеції ABCD

( AD  BC )

дорівнює стороні CD і ділить трапецію на два подібні трикутники ABC і ACD. Знайдіть периметр трапеції, якщо AB = 9 см, CD = 12 см.

Повторення перед вивченням § 11 Теоретичний матеріал • ознаки рівності трикутників; • трапеція.

7 клас, § 8, 10, 13 8 клас, § 5

Задачі 348. Через вершину трикутника проведено пряму, яка ділить даний три кутник на два рівні трикутники. Визначте вид даного трикутника. Чи може така пряма розділити трикутник на два нерівні, але по дібні трикутники? Висловіть припущення. 349. Діаметр AC перетинає хорду BD в точці K , яка ділить хорду нав піл. Доведіть рівність трикутників ABC і ADC . Чи можуть хор ди AB і CD бути паралельними, якщо точка K не є центром кола?

110

§ 11

Ознаки подібності трикутників

11.1. Подібність трикутників за двома кутами Для встановлення подібності двох трикутників, як і для встановлення їх рівності (пригадайте озна ки рівності трикутників), не обов’язково перевіряти всі співвідношення сторін і кутів згідно з означен ням — достатньо перевірити лише деякі з них. Які саме? Відповідь на це запитання дають три ознаки подібності трикутників. Теорема (ознака подібності трикутників за двома кутами) якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні. Доведення  Нехай дано трикутники ABC і A1 B1C1 , у яких ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1 (рис. 102). Доведемо по дібність цих трикутників. Із теореми про суму ку тів трикутника вочевидь випливає, що ∠ C = ∠ C1 . Відкладемо на промені AB відрізок AB2 , що дорів нює A1 B1 , і проведемо пряму B2 C2 , паралельну BC . Тоді ∠ ABC = ∠ AB2C2 як відповідні кути при пара лельних прямих, тому AB2 C2 = A1 B1C1 за другою ознакою, звідки AC2 = A1C1 . За теоремою про пропор ційні відрізки

AB AB2

логічно доводимо, що

, отже,

AC2 AB

A1 B1

BC B1 C1

AB A1 B1

AC A1 C1

. Ана

. Таким чином, за

A B1 A1

Рис. 102. До доведен ня подібності три кутників за двома кутами

означенням подібних трикутників ABC A1 B1C1 . Теорему доведено.  111

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

задача точка перетину діагоналей трапеції ділить одну з них на відрізки завдовжки 4 см і 7 см. Менша основа трапеції дорівнює 8 см. знайдіть середню лінію трапеції. B

C O D

A Рис. 103

Розв’язання нехай у трапеції ABCD ( AD BC ) діагоналі перетинаються в точці O, BC = 8 см (рис. 103). Розглянемо трикутники AOD і COB. У них кути при вершині O рівні як вертикальні, ∠CAD = ∠BCA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AC. отже, AOD COB за двома кутами. звідси випливає, що

BC AD

BO DO

. оскіль-

ки за умовою BC < AD , то BO < OD , отже, BO = 4 см, OD = 7 см. тоді AD =

BC ⋅ DO BO

8 ⋅7 4

= 14 (см).

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ, тобто 8 + 14 2

= 11 (см). Відповідь: 11 см.

11.2. Подібність трикутників за двома сторонами і кутом між ними Теорема (ознака подібності трикутників за двома сторонами і кутом між ними) якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні. 112

§ 11. ознаки подібності трикутників

Доведення  Нехай дано трикутники ABC і A1 B1C1 , у яких ∠ A = ∠ A1 ,

AB A1 B1

AC A1 C1

(рис. 104). Доведемо

подібність цих трикутників. Відкладемо на проме ні AB відрізок AB2 , що дорівнює A1 B1 , і проведемо пряму B2 C2 , паралельну BC . Тоді ∠ ABC = ∠ AB2C2 як відповідні кути при пара лельних прямих, тому AB2C2 ABC за двома кутами. Звідси а оскільки AB2 = A1 B1 і

AB A1 B1

AC A1 C1

AB AB2

AC AC2

, то A1C1 = AC2 .

Тоді AB2 C2 = A1 B1C1 за першою ознакою рівно сті трикутників, отже, ∠ A1B1C1 = ∠ ABC = ∠ AB2C2 , ABC A1 B1C1 за двома кутами. Теорему до ведено. 

B B2 A

C2 B1 C1

Рис. 104. До доведен ня подібності три кутників за двома сторонами і кутом між ними

задача Пряма, яка перетинає сторони BA і BC трикутника ABC, ділить кожну з них у відношенні m : n , починаючи від вершини B. доведіть, що ця пряма паралельна стороні AC. Розв’язання нехай пряма k перетинає сторони BA і BC трикутника ABC в точках A1 і C1 відповідно (рис. 105). оскільки за умовою BA1

BC1

A1 A

C1C

задачі =

, то

BA1 BA

BC1 BC

m m+n

. тоді трикутники

ABC і A1BC1 подібні за двома сторонами і кутом між ними. із подібності трикутників випливає, що ∠BA1C1 = ∠BAC . але ці кути є відповідними при прямих k і AC та січній AB. отже, k AC за ознакою паралельності прямих.

B k A1

C Рис. 105

113

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

11.3. Подібність трикутників за трьома сторонами Теорема (ознака подібності трикутників за трьома сторонами) якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники подібні. B2

Доведення  Нехай у трикутниках ABC і A1 B1C1

A B1 A1

Рис. 106. До доведен ня подібності три кутників за трьома сторонами

A1 B1

BC B1 C1

AC A1 C1

(рис. 106). Доведемо подібність

цих трикутників. Як і в попередніх теоремах, від кладемо на промені AB відрізок AB2 , що дорів нює A1 B1 , і проведемо пряму B2 C2 , паралель ну BC . Тоді ∠ ABC = ∠ AB2C2 як відповідні кути при паралельних прямих, тому AB2C2 ABC за двома кутами. Звідси ки AB2 = A1 B1 , то AB A1 B1

BC B1 C1

AB A1 B1

AB AB2

= BC

B2 C2

BC B2 C2

AC AC2

, а оскіль

. Враховуючи, що

, маємо B2 C2 = B1C1 . Аналогічно доводи

мо, що AC2 = A1C1 . Тоді AB2 C2 = A1 B1C1 за тре тьою ознакою рівності трикутників, отже, ∠ A = ∠ A1 , ∠ A1B1C1 = ∠ ABC = ∠ AB2C2 , ABC A1 B1C1 за двома кутами. Теорему доведено.  Отже, для доведення всіх трьох ознак подібно сті трикутників використано один і той самий підхід, а доведення кожної з ознак подібності спирається на певну ознаку рівності трикутників. У ході доведення ознак подібності трикутни ків ми показали також, що пряма, яка паралельна стороні трикутника і перетинає дві інші сторони, від тинає від даного трикутника подібний. 114

§ 11. ознаки подібності трикутників

Запитання і задачі Усні вправи 350. У трикутниках ABC і A1 B1C1

AB A1 B1

BC B1 C1

= k . Яку рівність необхід

но додати до умови, щоб можна було довести подібність цих трикут ників? Назвіть усі можливі варіанти відповіді.

351. Дано трикутники ABC і KMN , у яких

AB KN

BC MN

AC MK

. Назвіть

кут трикутника KMN , що дорівнює куту C. Чому ці кути рівні?

352. Дано трикутники ABC і KMN, у яких

AB BC

MN NK

і ∠B = ∠N .

Назвіть кут трикутника ABC , що дорівнює куту M . Чому ці ку ти рівні? 353. Чи можуть бути подібними: а) прямокутний і рівнобедрений трикутники; б) прямокутний і рівносторонній трикутники; в) трикутник із кутом 50° і трикутник із кутом 100°; г) трикутник із кутом 60° і трикутник із кутом 120°? 354. Чи подібні рівнобедрені трикутники, якщо вони мають: а) по рівному гострому куту; б) по рівному тупому куту? 355. Два подібні трикутники мають спільний кут. Чи обов’язково їхні сторони, протилежні цьому куту, паралельні? Наведіть контрпри клад.

Графічні вправи 356. Накресліть трапецію і проведіть її діагоналі. а) Виділіть кольором подібні трикутники, які утворилися на ри сунку. За якою ознакою можна довести їх подібність? б) Виміряйте довжини відрізків однієї діагоналі, на які вона ді литься точкою перетину діагоналей. Виміряйте довжину однієї з основ трапеції та обчисліть довжину другої основи, користу ючись подібністю трикутників. Перевірте отриманий результат вимірюванням. 115

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

357. Накресліть трикутник і проведіть пряму, яка паралельна одній із його сторін і перетинає дві інші сторони. а) Виділіть кольором подібні трикутники, які утворилися на рисун ку. За якою ознакою можна довести їх подібність? б) Виміряйте кути, під якими дана пряма перетинає сторони три кутника, і знайдіть усі кути даного трикутника.

Письмові вправи

Рівень А

358. На рис. 107 знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність. B C

6 D

A 3 2D 4 B E

B D

б Рис. 107

359. За даними рис. 108 доведіть подібність трикутників ABC і A1 B1C1 . B

50°

C а

45o C

B1 15

4 C в

Рис. 108

116

5 45o

A1 б

§ 11. ознаки подібності трикутників

360. Визначте відстань на місцевості від точ

361.

362. 363. 364. 365.

366. 367.

ки A до недосяжної точки B (рис. 109), E D якщо CA = 60 м, CB = 90 м, CD = 20 м, CE = 30 м, DE = 40 м. Здійсніть необ A B хідні доведення. Продовження бічних сторін AB і CD Рис. 109 трапеції ABCD перетинаються в точ ці O. а) Доведіть, що AOD BOC. б) Знайдіть AD, якщо BC = 4 см, OB = 6 см, OA = 9 см. Діагоналі трапеції ABCD ( AD  BC ) перетинаються в точці O . а) Доведіть, що AOD COB. б) Знайдіть BC , якщо AD = 16 см, AO : OC = 4 : 3. Визначте, чи подібні трикутники зі сторонами: а) 3, 4, 6 і 9, 15, 18; б) 2, 3, 3 і 8, 12, 12. Два рівнобедрені трикутники мають рівні кути при основах. Осно ва одного трикутника дорівнює 8 см, а бічна сторона 6 см. Знайдіть периметр другого трикутника, якщо його основа дорівнює 4 см. Два рівнобедрені трикутники мають рівні кути, протилежні осно вам. Периметри цих трикутників дорівнюють відповідно 15 см і 10 см. Знайдіть сторони другого трикутника, якщо бічна сторона першого трикутника дорівнює 6 см. Доведіть, що будьякі два рівнобедрені прямокутні трикутники подібні. Доведіть, що відношення відповідних середніх ліній подібних три кутників дорівнює коефіцієнту подібності.

Рівень Б

368. На рис. 110 знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність. B B B E

6 C

A а

15 9

C б Рис. 110

A 8

C 10

D в

117

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

369. На рис. 111 знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність. B

C 6

12 A

D а

B 8

D б

27 в

12 D

Рис. 111

370. У трикутник ABC вписано ромб AKLM 371. 372. 373.

374. 375. 376.

377.

118

L (рис. 112). Знайдіть периметр ромба, якщо K BK = 4 см, MC = 9 см. C A Діагоналі трапеції точкою перетину ділять M ся у відношенні 3 : 7. Знайдіть основи тра Рис. 112 пеції, якщо її середня лінія дорівнює 10 см. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC кут B дорів нює 36°, AD — бісектриса трикутника. Доведіть, що ABC CAD. На одній стороні нерозгорнутого кута O відкладено відрізки OA = 9 см і OB = 12 см, а на іншій стороні — відрізки OC = 6 см і OD = 18 см. Чи подібні трикутники OAC і OBD ? Чи подібні три кутники OBC і ODA ? Доведіть, що відношення відповідних медіан подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності. Доведіть, що відношення відповідних бісектрис подібних трикутни ків дорівнює коефіцієнту подібності. Через вершину найбільшого кута різностороннього трикутника необхідно провести пряму, яка відтинає від даного трикутника по дібний трикутник. Скількома способами це можна зробити? Як змі ниться відповідь, якщо в умові задачі розглянути іншу вершину трикутника? Проведіть дослідження. Через точку на стороні довільного трикутника необхідно провести пряму, яка відтинає від даного трикутника подібний трикутник. Скількома способами це можна зробити? Як зміниться відповідь, якщо в умові задачі замість довільного трикутника розглянути пря мокутний? Проведіть дослідження.

§ 11. ознаки подібності трикутників

Рівень В

378. Відрізок із кінцями на бічних сторонах трапеції паралельний її 379.

380 381. 382.

383.

основам і проходить через точку перетину діагоналей. Знайдіть до вжину цього відрізка, якщо основи трапеції дорівнюють a і b. У трапеції через точку, яка ділить бічну сторону у відношенні m : n , починаючи від меншої основи, проведено пряму, паралельну осно вам. Знайдіть довжину відрізка цієї прямої, що міститься всередині трапеції, якщо її основи дорівнюють a і b (a < b ) . (опорна). Пряма, яка проходить через точку перетину діагоналей трапеції і точку перетину продовжень її бічних сторін, ділить основи трапеції навпіл. Доведіть. Відрізок MN має кінці на сторонах AB і AC трикутника ABC і па ралельний стороні BC. Доведіть, що медіана трикутника, проведена з вершини A , ділить цей відрізок навпіл. Через деяку вершину рівнобедреного трикутника проведено пряму, яка ділить даний трикутник на два нерівні рівнобедрені трикутни ки, один із яких подібний до даного. Знайдіть кути трикутника. Скільки розв’язків має задача? Через точку всередині довільного трикутника необхідно провести пряму, яка відтинає від даного трикутника подібний трикутник. Скількома способами це можна зробити? Проведіть дослідження. Узагальніть у вигляді дослідження результати розв’язування за дач 376, 377, 382 і 383.

Повторення перед вивченням § 12 Теоретичний матеріал • перпендикуляр до прямої; • прямокутний трикутник.

7 клас, § 9, 17

Задачі

384. У прямокутному трикутнику кут між медіаною і висотою, проведе ними до гіпотенузи, дорівнює 20°. Знайдіть гострі кути трикутника. 385. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і радіусом описаного кола. 119

§ 12

Співвідношення між сторонами прямокутного трикутника Ознаки подібності прямокутних трикутни ків є наслідками з відповідних ознак подібності до вільних трикутників. Найбільш важливою ознакою подібності прямокутних трикутників є така. якщо два прямокутні трикутники мають по рівному гострому куту, то такі трикутники подібні. Дійсно, оскільки в прямокутному трикутнику один кут прямий, ця ознака випливає з ознаки подіб ності трикутників за двома кутами. Інші ознаки подібності прямокутних трикутни ків сформулюйте й доведіть самостійно (задачі 395, 413). задача У трикутнику ABC з гострим кутом B проведено висоти AA1 і CC1 (рис. 113). доведіть, що A1BC1 ABC . Розв’язання Розглянемо прямокутні трикутники ABA1 і CBC1 . Вони мають спільний гострий кут B, отже, подібні. із цього випливає, що відповідні катети і гіпотенузи цих трикутників

B C1

A1 C

A Рис. 113

120

пропорційні, тобто

BA1 BC1

BA BC

Розглянемо тепер трикутники A1BC1 і ABC . Вони також мають спільний кут B, а за щойно доведеним сторони, прилеглі до цього кута, пропорційні. отже, A1BC1 ABC за двома пропорційними сторонами і кутом між ними.

§ 12. співвідношення між сторонами прямокутного трикутника

Подібність прямокутних трикутників дозволяє встановити низку співвідношень між сторонами цих трикутників та їхніми частинами (такі співвідношен ня називають метричними). Спочатку введемо декіль ка допоміжних понять. C

Відрізок x називається середнім пропорційним між відрізками a і b, якщо

a x

x b

, тобто x2 = ab.

У прямокутному трикутнику ABC з катетами BC = a і AC = b та гіпотенузою AB = c проведемо ви соту CD і позначимо її hc (рис. 114). Відрізки AD і DB, на які ця висота ділить гіпотенузу, називають проєкціями катетів на гіпотенузу. Проєкції катетів a і b на гіпотенузу c позначають ac і bc відповідно.

A bc D

a ac

Рис. 114. Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику

опорна задача (про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику) У прямокутному трикутнику: 1) висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проєкціями катетів на гіпотенузу:

hc 2 = ac ⋅ bc ; 2) катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і його проєкцією на гіпотенузу:

a2 = c ⋅ ac і b2 = c ⋅ bc ; 3) висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу:

hc = доведіть.

ab c

121

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Розв’язання за ознакою подібності прямокутних трикутників ACD ABC (ці трикутники мають спільний гострий кут A), CBD ABC (ці трикутники мають спільний гострий кут C) і ACD CBD (гострі кути цих трикутників дорівнюють гострим кутам трикутника ABC). із подібності трикутників CBD і ACD маємо: ac

або

hc bc

ac a

a c

, звідки hc 2 = ac ⋅ bc .

із подібності трикутників CBD і ABC маємо: або

BD BC

, звідки a2 = c ⋅ ac .

аналогічно з подібності трикутників ACD і ABC отримаємо b2 = c ⋅ bc . і нарешті, з подібності трикутників ACD і ABC маємо: CD AC

BC AB

, або

hc b

a c

, звідки hc =

ab c

Зверніть увагу: висота прямокутного трикут ника ділить його на два подібні трикутники, кожен із яких подібний даному трикутнику. Серед усіх ви дів трикутників таку властивість має лише прямо кутний. задача знайдіть периметр прямокутного трикутника, у якому катет дорівнює 15 см, а його проєкція на гіпотенузу дорівнює 9 см.

C A

D Рис. 115

122

Розв’язання нехай у трикутнику ABC ∠ C = 90° , CD ⊥ AB , AC = 15 см, AD = 9 см (рис. 115).

§ 12. співвідношення між сторонами прямокутного трикутника

за метричним співвідношенням у трикутнику ABC AC 2 = AB ⋅ AD , тобто 152 = 9 AB , звідки AB = 25 см, тоді DB = AB − AD = 16 см. за співвідношенням BC 2 = AB ⋅ BD маємо: BC 2 = 25 ⋅16 = 400 , звідки BC = 20 (см). отже, PABC = 15 + 20 + 25 = 60 (см). Відповідь: 60 см.

Запитання і задачі Усні вправи 386. Чи подібні два прямокутні трикутники,

387. 388.

389. 390.

якщо: а) вони мають спільний кут; б) вони мають спільний гострий кут; в) один із них має кут 20°, а інший — кут 70°; г) один із них має кут 50°, а катет дру гого вдвічі менший за гіпотенузу? Чи може висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, бути меншою за кожну з проєкцій катетів на гіпотенузу; дорівнюва ти проєкції катета на гіпотенузу? Відрізки ac і bc — проєкції катетів a і b прямокутного трикутника на гіпотенузу. Порівняйте: а) a і b, якщо ac < bc ; б) ac і bc , якщо a > b . Чи можуть бути подібними нерівні прямокутні трикутники зі спіль ною гіпотенузою; зі спільним катетом? ab Для побудови четвертого пропорційного відрізка x = учень запро c понував побудувати прямокутний трикутник із катетами a і b та гіпотенузою c і провести в ньому висоту hc , яка дорівнюватиме x. Інший учень стверджує, що цей спосіб є хибним. Хто з учнів пра вий? 123

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Графічні вправи 391. Накресліть прямокутний трикутник і проведіть його висоту з вер шини прямого кута. Виділіть кольором проєкції катетів на гіпоте нузу і виміряйте їх довжини. Користуючись метричними співвідно шеннями, обчисліть наближено: а) довжину проведеної висоти; б) довжини катетів. Перевірте отримані результати вимірюванням. 392. Накресліть прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою AB. По значте на катеті AC точку M і проведіть до гіпотенузи перпендику ляр MN. Із точки N проведіть до катета AC перпендикуляр NK. Назвіть три трикутники, подібні трикутнику ABC, і запишіть їх подібність. Aa

Письмові вправи

Рівень А 393. На рис. 116 знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність. B

M M

K A

ABCD — паралелограм а

б Рис. 116

124

Усі задачі параграфів 12–14 можуть бути розв’язані без застосування формули коренів квадратного рівняння. Відповідні задачі, які розв’язуються за допомо гою квадратних рівнянь, подаються наприкінці розділу, у рубриці «Додаткові задачі».

§ 12. співвідношення між сторонами прямокутного трикутника

394. На рис. 117 знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність. B

ABCD — прямокутник а

б Рис. 117

395. Сформулюйте і доведіть ознаку подіб 396.

397.

398.

399. 400.

D ності прямокутних трикутників за дво ма катетами. B Спостерігач, що перебуває в точці A , A бачить кінець жердини B і верхню точ E C ку вежі D , причому точки A , B і D розміщені на одній прямій (рис. 118). Рис. 118 Визначте висоту вежі, якщо BC = 4 м, AC = 6 м, AE = 90 м. Висота дерева дорівнює 9,2 м, а дов жина тіні людини, зріст якої 1,8 м, до рівнює 2,7 м. Знайдіть довжину тіні де рева. У прямокутному трикутнику ABC (∠ C = 90°) проведено висоту CD (див. рис. 114). Знайдіть: а) CD , якщо AD = 4 см, DB = 25 см; б) AC і BC , якщо AB = 50 см, AD = 18 см. Знайдіть периметр прямокутного трикутника, висота якого ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4,5 см і 8 см. Доведіть, що відношення відповідних висот подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності.

125

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Рівень Б

401. У прямокутний трикутник вписано квадрат

B (рис. 119). а) Знайдіть на рисунку подібні трикутники і доведіть їх подібність. б) Знайдіть сторону квадрата, якщо BK = 9 см, L K MC = 4 см. 402. Два кола з радіусами 4 см і 6 см дотикаються A M C зовні. Їх спільна дотична, яка не проходить че рез точку дотику кіл, перетинає лінію центрів Рис. 119 у точці A . Знайдіть відстані від точки A до центрів кіл. 403. Відрізки BK і BM — висоти паралелограма ABCD , проведені з вершини кута B до сторін AD і CD відповідно. Знайдіть BK, якщо BM = 4 см, AD : CD = 2 : 3. 404. Доведіть, що проєкції катетів на гіпотенузу прямокутного трикут

ника відносяться як квадрати катетів:

ac bc

a b

405. За даними рис. 114 подайте ac та bc через a, b і с. 406. Висота прямокутного трикутника дорівнює 24 см і ділить гіпотену зу у відношенні 9 : 16. Знайдіть катети трикутника. 407. Точка C ділить діаметр кола AB на відрізки AC = 10 см і CB = 8 см. Відрізок CD — перпендикуляр до AB. Визначте розміщення точ ки D відносно даного кола, якщо CD = 9 см.

408. Перпендикуляр, проведений із середини основи рівнобедреного три кутника до бічної сторони, ділить її на відрізки завдовжки 2,25 см і 4 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до бічної сторони.

409. Точка дотику кола, вписаного в ромб, ділить сторону ромба на від різки завдовжки 20 см і 5 см. Знайдіть висоту ромба.

Рівень В 410. Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону у відношенні 1 : 7. У якому відношенні ця висота ділить діагональ паралелограма? 126

§ 12. співвідношення між сторонами прямокутного трикутника

411. У паралелограмі ABCD перпендикуляр AK , проведений до діа гоналі BD , перетинає сторону BC в точці M . Знайдіть BM : MC , якщо BK : KD = 3 : 7. Чи зміниться відповідь, якщо K — довільна точка відрізка BD ? 412. Відрізки AM і AN — висоти паралелограма ABCD , проведені до сторін BC і CD відповідно. Доведіть, що MAN ABC. 413. Сформулюйте і доведіть ознаку подібності прямокутних трикутни ків за гіпотенузою і катетом.

Повторення перед вивченням § 13 Теоретичний матеріал • прямокутний трикутник; • співвідношення між сторонами трикутника.

7 клас, § 17, 18

Задачі 414. Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу у відношен ні 1 : 4. У скільки разів ця висота менша за гіпотенузу? 415. Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 36°. Знайдіть кути, під якими катети видно із центра описаного кола.

127

§ 13

Теорема Піфагора та наслідки з неї 13.1. Теорема Піфагора Сформулюємо і доведемо одну з найважливіших теорем геометрії — теорему Піфагора. Теорема (Піфагора) У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: c2 = a 2 + b2 .

Доведення b h a  Згідно з доведеними метричними спів c bc ac відношеннями, у прямокутному трикутнику з ка тетами a і b та гіпотенузою c (рис. 120) a2 = c ⋅ ac , c b2 = c ⋅ bc . Додаючи ці рівності почленно, маємо: a2 + b2 = c ⋅ ac + c Рис. 120. До доведення2 2 2 теореми Піфагора a + b = c ⋅ ac + c ⋅ bc = c ⋅ (ac + bc ) = c . Теорему доведено.  Співвідношення між катетами і гіпотенузою прямокутного трикутника було відоме ще задовго до Піфагора. Але саме Піфагорові вдалося довести йо го, спираючись на поняття площі (до цього доведен ня ми повернемось у наступному розділі). Усього ж нині відомо понад 150 способів доведення теореми Піфагора. З деякими з них ви зможете ознайоми тися в § 18. Доведення, яке ми розглянули, є по су ті алгебраїчним. Власне, важливість теореми Пі фагора полягає, зокрема, у тому, що вона знач но розширює можливості застосування алгебри в геометрії. За її допомогою можна знайти будь яку сторону прямокутного трикутника, знаючи дві 128

§ 13. Теорема Піфагора та наслідки з неї

інші сторони. Наприклад, якщо a = 5 , b = 12 , то c = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 13 . Якщо c = 17 , b = 15 , то a = 172 − 152 = (17 + 15)(17 − 15) = 32 ⋅ 2 = 64 = 8

= 32 ⋅ 2 = 64 = 8 . Теорема Піфагора дозволяє використовувати для розв’язування геометричних задач й інші алге браїчні прийоми, наприклад складання рівнянь.

задача Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 20 см і 21 см. знайдіть висоту трикутника, проведену до найбільшої сторони. Розв’язання нехай BH — висота трикутника ABC, у якому AB = 13 см, BC = 20 см, AC = 21 см (рис. 121). оскільки AC — найбільша сторона трикутника, то точка H лежить на цій стороні (доведіть це самостійно). Приймемо довжину відрізка AH за x см, тоді HC = (21− x ) см. за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника ABH маємо: BH 2 = AB 2 − AH 2 , тобто BH 2 = 132 − x 2 , а з прямокутного трикутника BCH маємо: 2 BH 2 = BC 2 − CH 2 , тобто BH 2 = 202 − ( 21− x ) . Прирівнюючи два вирази для BH 2 , маємо: 2 169 − x 2 = 400 − ( 21− x ) ; 169 − x 2 = 400 − 441+ 42 x − x 2 ; 42 x = 210 ; x = 5. таким чином, AH = 5 см. тоді з трикутника ABH за теоремою Піфагора BH = 132 − 52 = 12 (см).

B 20

13 A x H

21–x

Рис. 121

Відповідь: 12 см.

129

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

13.2. Теорема, обернена до теореми Піфагора Не менш важливою, ніж теорема Піфагора, є обернена теорема. Цю теорему можна розглядати як ознаку прямокутного трикутника. Теорема (обернена до теореми Піфагора)

C а A1

C1 б

Рис. 122. До дове дення теореми, оберненої до теореми Піфагора

130

якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник є прямокутним: якщо AC2 + BC2 = AB2 , то ∠ C = 90° . Доведення  Нехай у трикутнику ABC (рис. 122, а) 2 2 AC + BC = AB2 . Доведемо, що кут C прямий. Роз глянемо прямокутний трикутник A1 B1C1 з прямим кутом C1, у якому A1C1 = AC , B1C1 = BC (рис. 122, б). За теоремою Піфагора A1 B12 = A1C12 + B1C12 , а з ура хуванням рівностей двох сторін розглядуваних три кутників A1 B12 = AC2 + BC2 = AB2 , тобто A1 B1 = AB . Тоді A1 B1C1 = ABC за трьома сторонами, звідки ∠ C = ∠ C1 = 90°.  З доведеної теореми, зокрема, випливає, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним: 32 + 42 = 52 . Про це знали ще давні єгиптяни: для побудови прямих кутів на місцевості вони ділили мотузку на 12 рівних частин, зв’язували її кінці, а потім за допомогою кілків натягували її так, щоб одержати прямокутний трикутник. Саме тому прямо кутні трикутники зі сторонами, пропорційними чис лам 3, 4 і 5, називають єгипетськими трикутниками. Узагалі, трійки натуральних чисел a, b, c, для яких справджується рівність a2 + b2 = c2 , прийнято назива ти піфагоровими трійками, а трикутники, довжини сторін яких є піфагоровими трійками, — піфагоро вими трикутниками. Спробуйте самостійно скласти декілька піфагорових трійок чисел (допоможе в цьо му розв’язання задачі 443).

§ 13. Теорема Піфагора та наслідки з неї

13.3. Перпендикуляр і похила Нехай точка A не лежить на прямій a, AB — перпендикуляр до цієї прямої (рис. 123). Будьякий відрізок, який сполучає точку A з точкою пря мої a і не збігається з перпендикуляром, називають похилою до прямої a. На рис. 123 відрізок AC — по хила до прямої a , точка C — основа похилої. При цьому відрізок BC прямої a, обмежений основами перпендикуляра і похилої, називають проєкцією похилої AC на дану пряму. Поняття похилої та її проєкції взаємопов’язані з поняттям перпендикуляра до прямої: неможливо вказати проєкцію даної похилої, не побудувавши пер пендикуляра. Очевидно, що перпендикуляр і похила, проведені з однієї точки, разом із проєкцією похилої утворюють прямокутний трикутник, у якому похила є гіпотенузою. Сформулюємо властивості перпендикуляра, похилих і проєкцій. нехай з однієї точки до прямої проведено перпендикуляр і похилі. тоді: 1) будь-яка похила більша за перпендикуляр і більша за свою проєкцію на дану пряму (рис. 124, а); 2) рівні похилі мають рівні проєкції, і навпаки: якщо проєкції двох похилих рівні, то рівні й самі похилі (рис. 124, б); 3) більша похила має більшу проєкцію, і навпаки: з двох похилих більша та, яка має більшу проєкцію (рис. 124, в). Усі ці властивості випливають з теореми Пі фагора (самостійно поясніть чому). Але деякі з них можна також отримати і з інших властивостей пря мокутного трикутника.

Рис. 123. Перпенди куляр і похила

Проєкція — ві д латинського «проєк ціо» — кидання впер ед

b а

б a

b c

d в

Рис. 124. Властивості похилих

131

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Запитання і задачі Усні вправи 416. Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника удвічі більший за квадрат катета. Чому дорівнюють гострі кути трикутника?

417. Яку градусну міру має найбільший кут трикутника зі сторонами 6, 8 і 10? Чому?

418. Сторони паралелограма дорівнюють 3 см і 4 см, а діагональ 5 см. 419. 420. 421. 422.

Визначте вид паралелограма. У трикутнику ABC ∠ A = 90°. Назвіть: а) похилу до прямої AB, проведену з точки C; б) проєкцію похилої BC на пряму AC . Відрізки a1 і a2 — проєкції похилих l1 і l2 , проведених з однієї точки до однієї прямої. Порівняйте: а) l1 і l2 , якщо a1 < a2 ; б) a1 і a2 , якщо l1 = l2 . Дві похилі до однієї прямої мають рівні проєкції. Чи обов’язково ці похилі рівні? Скільки рівних похилих до даної прямої можна провести з точки, яка не лежить на цій прямій?

Графічні вправи 423. Накресліть прямокутний трикутник із катетами 3 см і 4 см. Об числіть за теоремою Піфагора довжину його гіпотенузи. Перевірте отриманий результат вимірюванням. 424. Побудуйте трикутник зі сторонами 2,5 см, 6 см і 6,5 см. Виміряйте найбільший кут трикутника. Обґрунтуйте отриманий результат за допомогою теореми, оберненої до теореми Піфагора. Aa

Письмові вправи Рівень А

425. У прямокутному трикутнику з катетами a і b та гіпотенузою c знайдіть: а) c, якщо a = 7 , b = 24; б) b, якщо a = 17 , c = 9; 132

в) a, якщо b = 3 3 , c = 6.

§ 13. Теорема Піфагора та наслідки з неї

426. З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу. Знайдіть дов

427. 428.

429. 430. 431. 432. 433. 434. 435.

жину: а) похилої, якщо її проєкція дорівнює 9 см, а перпендикуляр має довжину 40 см; б) перпендикуляра, якщо похила та її проєкція дорівнюють відпо відно 29 см і 20 см. У прямокутнику знайдіть: а) діагональ, якщо сторони дорівнюють 10 см і 24 см; б) периметр, якщо діагональ дорівнює 10 см, а одна зі сторін 6 см. У рівнобедреному прямокутному трикутнику знайдіть: а) гіпотенузу, якщо катет дорівнює: 4 см; 2 2 см; a см; б) катет, якщо гіпотенуза дорівнює: 10 см; 2 см; c см. У квадраті знайдіть: а) діагональ, якщо сторона дорівнює a; б) сторону, якщо діагональ дорівнює d. Визначте, чи є прямокутним трикутник зі сторонами: а) 4, 5, 6; б) 5, 12, 13; в) 2, 7 , 13 ; г) 6, 8, 10 . Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 16 см і 20 см. Який кут утворює з найменшою стороною бісектриса найбільшого кута? Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см. Знайдіть пери метр трикутника, якщо його бісектриса, проведена до основи, до рівнює 6 см. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см, а бічна сторо на — 13 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до основи. Діагоналі паралелограма дорівнюють 16 см і 30 см, а сторона — 17 см. Доведіть, що цей паралелограм є ромбом. Знайдіть периметр ромба з діагоналями 10 м і 2 11 м.

Рівень Б

436. Дві сторони прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Зна йдіть довжину третьої сторони. Скільки розв’язків має задача? 437. У прямокутному трикутнику знайдіть невідомі сторони, якщо: а) катети відносяться як 3 : 4, а гіпотенуза дорівнює 45 см; б) висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12 см, а проєкція одного з катетів на гіпотенузу має довжину 16 см. 133

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

438. У прямокутному трикутнику знайдіть невідомі сторони, якщо: а) катет і гіпотенуза відносяться як 12 : 13, а другий катет дорів нює 10 см; б) проєкції катетів на гіпотенузу дорівнюють 18 см і 32 см. 439. У рівносторонньому трикутнику знайдіть: а) висоту, якщо сторона дорівнює: 6 см; 2 3 см; a см;

440. 441. 442. 443. 444. 445.

446.

447. 448.

134

б) сторону, якщо висота дорівнює: 1 см; 3 3 см; h см. Знайдіть висоту ромба, яка виходить з вершини тупого кута, якщо вона ділить сторону на відрізки завдовжки 6 см і 4 см, починаючи від вершини гострого кута. Висота рівнобедреного трикутника ділить бічну сторону на відріз ки завдовжки 1 см і 12 см, починаючи від основи. Знайдіть основу трикутника. Сторони трикутника дорівнюють 15 см, 20 см і 25 см. Знайдіть ме діану і висоту, проведені до найбільшої сторони. Якщо m і n — натуральні числа, то числа 2mn , m2 − n2 і m2 + n2 складають піфагорову трійку. Доведіть. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 см і 18 см, а висота 12 см. Знайдіть периметр трапеції. Чи можна вписати в неї коло? Висота однієї сосни дорівнює 21 м, ін шої — 28 м. Відстань між основами цих сосен становить 24 м, а їхні стовбури вер тикальні. Знайдіть відстань між верхів ками сосен. З точки до прямої проведено перпен дикуляр завдовжки 8 см і дві похилі з довжинами 10 см і 17 см. Знайдіть від стань між основами похилих. Скільки розв’язків має задача? Знайдіть висоту, проведену до найбільшої сторони трикутника зі сторонами: а) 15, 41 і 52; б) 10, 17 і 21. З точки до прямої проведено перпендикуляр і дві похилі, різниця довжин яких складає 8 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, як що проєкції похилих дорівнюють 8 см і 20 см.

§ 13. Теорема Піфагора та наслідки з неї

449. Точка кола віддалена від кінців діаметра на 15 см і 20 см. Знайдіть відстань від даної точки до діаметра. 450. На колі позначено точки А, В і С так, що АВ = 9 см, ВС = 40 см, АС = 41 см. Знайдіть радіус кола.

Рівень В

451. Два кола з радіусами 4 см і 9 см дотикаються зовні. Знайдіть від 452. 453. 454. 455. 456.

стань між точками дотику спільної дотичної до цих кіл. Два кола дотикаються зовні. Відстані від точки дотику A цих кіл до точок B і C дотику даних кіл з їх спільною зовнішньою дотич ною дорівнюють відповідно 5 см і 12 см. Знайдіть BC . Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні і дорівнюють 1 м і 3 м. Знайдіть середню лінію трапеції. Медіана і висота, проведені до гіпотенузи прямокутного трикут ника, дорівнюють відповідно 25 см і 24 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник. Доведіть, що квадрат висоти рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює добутку її основ. Якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні, то суми квадра тів довжин його протилежних сторін рівні. Доведіть. Сформулюйте і доведіть обернене твердження.

Повторення перед вивченням § 14 Теоретичний матеріал • дотична до кола; • геометричні місця точок.

7 клас, § 20, 22

Задачі

457. На катеті AB прямокутного трикутника ABC (∠ A = 90°) позначено

точку K . Відрізок KM — перпендикуляр до гіпотенузи BC , при чому KM = AK . Доведіть, що CK — бісектриса трикутника ABC . 458. У гострокутному трикутнику ABC AB > BC , BD — висота трикут ника. Порівняйте довжини відрізків AD і DC. Чи зміниться відпо відь, якщо BD — бісектриса трикутника? Висловіть припущення. 135

§ 14

Застосування подібності трикутників. Властивість бісектриси трикутника 14.1. Властивість бісектриси трикутника

Теорема (властивість бісектриси трикутника) b

a A

a1 D

бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим до них сторонам. За позначеннями рис. 125 це означає, що

Рис. 125. Властивість бісектриси трикут ника

a1 b1

AD DC

AB BC

У випадку, коли AB = BC , твердження теореми очевидне, оскільки бісектриса BD водночас є медіа ною. Розглянемо випадок, коли AB ≠ BC . Проведемо перпендикуляри AE і CF до пря мої BD (рис. 126). Прямокутні трикутники ADE і CDF подібні, оскільки їх гострі кути при верши ні D рівні як вертикальні. Із подібності цих трикут

E D F

Доведення  Нехай BD — бісектриса трикутника ABC . Доведемо, що

Рис. 126. До доведен ня властивості бісек триси трикутника

ників маємо:

AE CF

AD DC

. З іншого боку, прямокутні

трикутники ABE і CBF також подібні, оскільки мають рівні гострі кути при вершині B. Звідси ви пливає, що

AB BC

AE CF

. Порівнюючи цю рівність із по

передньою, отримуємо:

AD DC

AB BC

, що й треба було

довести.  Запропонуйте спосіб побудови бісектриси три кутника на основі її властивості. 136

§ 14. застосування подібності трикутників. Властивість бісектриси трикутника

задача знайдіть периметр прямокутного трикутника, якщо його бісектриса ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 15 см і 20 см. Розв’язання нехай BD — бісектриса прямокутного трикутника ABC з гіпотенузою AC, AD = 15 см, DC = 20 см (рис. 127). за властивістю бісектриси трикутника

AD DC

AB BC

, тобто

AB= : BC 15 = : 20 3 : 4. тоді, якщо AB = 3 x см, то BC = 4 x см, і за теоремою Піфагора маємо:

Рис. 127

(3 x )2 + ( 4 x )2 = 352 ; 25 x 2 = 352 ; 5 x = 35 ; x =7. отже, AB = 21 см, BC = 28 см, AC = 35 см, тоді PABC = 84 см. Відповідь: 84 см.

Подібність трикутників зручно використову вати, досліджуючи метричні співвідношення в колі. Для знаходження рівних кутів доцільно засто совувати властивості вписаних чотирикутників, по дані в § 8. опорна задача (про пропорційність відрізків хорд)

добутки відрізків хорд, що перетинаються, рівні. доведіть. за позначеннями рис. 128 це означає, що AM ⋅ BM = CM ⋅ DM . Розв’язання нехай хорди AB і CD перетинаються в точці M. Проведемо хорди AC і BD. трикутники ACM і DBM подібні за двома кутами: ∠ C = ∠ B як вписані кути, що спираються на

B M

Рис. 128. До доведення пропорційності відрізків хорд

137

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

ту саму дугу, а кути при вершині M рівні як вертикальні. з подібності трикутників випливає, що AM ⋅ BM = CM ⋅ DM .

AM DM

CM BM

, тобто

опорна задача (про пропорційність відрізків січної і дотичної)

добуток січної на її зовнішню частину дорівнює квадрату відрізка дотичної, проведеної з тієї самої точки. доведіть. за позначеннями рис. 129 це означає, що CB ⋅ CA = CD2 .

C A

B Рис. 129. До доведен ня пропорційності відрізків січної і дотичної

Розв’язання нехай з точки C до кола проведено січну, яка перетинає коло в точках A і B, та дотичну CD (D — точка дотику). Проведемо хорди AD і BD. трикутники BCD і DCA подібні за двома кутами: вони мають спільний кут C, а кути CBD і CDA обидва вимірюються половиною дуги AD (див. опорну задачу 230). отже, з подібності трикутників маємо тобто CB ⋅ CA = CD2 .

P C A D

CB CD

CD CA

З розглянутої задачі випливає, що добуток од нієї січної на її зовнішню частину дорівнює добутку іншої січної на її зовнішню частину, якщо ці січні проведені з однієї точки поза колом. За позначеннями рис. 130 це означає, що PA ⋅ PB = PC ⋅ PD .

B Рис. 130. Пропорцій ність відрізків січних

138

14.2. Метод подібності Подібність трикутників дає ключ до розв’язання задач на доведення та обчислення, які містять спів відношення між добутками деяких відрізків. Для цього відповідні рівності перетворюють на пропорції, завдяки яким можна довести подібність відповідних трикутників.

§ 14. застосування подібності трикутників. Властивість бісектриси трикутника

задача діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці О, АО · ВО = СО · DO. доведіть, що BC AD . B

Розв’язання BO DO = . Перепишемо дану рівність у вигляді пропорції CO

елементи цієї пропорції є відповідними сторонами трикутників BOC і DOA (рис. 131). оскільки ∠ BOC = ∠ DOA як вертикальні, то ці трикутники подібні за двома пропорційними сторонами й кутом між ними, тому ∠ CBO = ∠ ADO . але кути CBO і ADO внутрішні різносторонні при прямих CB і AD та січній BD. отже, за ознакою паралельності прямих BC AD .

D Рис. 131

Подібність трикутників може використовува тись не тільки як інструмент геометричних доведень чи обчислень, але й як засіб для розв’язування за дач на побудову. Метод подібності для розв’язування задач на побудову полягає в побудові допоміжної фігури, подібної шуканій. задача Побудуйте трикутник за двома кутами і бісектрисою, проведеною з вершини третього кута. Розв’язання аналіз звернемо увагу на те, що два дані кути (нехай вони дорівнюють α і β ) визначають форму шуканого трикутника, а довжина даної бісектриси (нехай вона дорівнює l) — його розміри. При цьому шуканий трикутник буде подібним будьякому трикутнику з кутами α і β . звідси випливає план побудови: будуємо спочатку довільний трикутник з кутами α і β , проводимо в ньому бісектрису та, користуючись подібністю трикутників, будуємо шуканий трикутник (рис. 132).

139

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

1. 2. 3. 4.

С A1 A

B1 D Рис. 132

Побудова Побудуємо трикутник A 1B 1C , у якому ∠A 1= α , ∠B 1= β. Побудуємо бісектрису кута C. Відкладемо на побудованій бісектрисі відрізок CD = l. Проведемо через точку D пряму, паралельну A 1B 1 . нехай A і B — точки її перетину зі сторонами кута C. трикутник ABC є шуканим.

доведення оскільки за побудовою AB A 1B 1, то ∠A = ∠A 1, ∠B = ∠B 1 як відповідні кути при паралельних прямих. отже, у трикутнику ABC CD — бісектриса і CD = l за побудовою, ∠A = α , ∠B = β . дослідження задача має єдиний розв’язок за умови α + β < 180° і жодного, якщо α + β 180° .

Отже, під час розв’язування задач на побудо ву методом подібності варто дотримуватись такого плану. 1. Виділити з умов задачі ті, що визначають форму шуканої фігури. 2. Побудувати за цими даними фігуру, подібну шу каній. 3. Використовуючи умови задачі, які визначають розміри шуканої фігури, побудувати цю фігуру. Серед задач на побудову, пов’язаних із подібні стю, однією з найбільш цікавих є задача поділу від різка на дві частини так, щоб одна з них була се реднім пропорційним між другою частиною і всім відрізком. Такий поділ відрізка називають поділом у середньому і крайньому відношенні, або золотим перерізом. Докладніше про такий поділ ви можете дізнатися в Додатку 2. 140

§ 14. застосування подібності трикутників. Властивість бісектриси трикутника

Запитання і задачі Усні вправи 459. Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону у відношенні 1 : 2. Чи можуть кути, прилеглі до цієї сторони, бути рівними? Чому? 460. Чи може бісектриса рівнобедреного трикутника ділити бічну сторону у відношенні 2 : 1, починаючи від основи? Якій теоремі це суперечить?

Графічні вправи 461. Накресліть трикутник ABC і проведіть його бісектрису BD . Вимі ряйте відрізки AB, AD і DC. За допомогою властивості бісектриси трикутника обчисліть довжину сторони BC . Перевірте отриманий результат вимірюванням. 462. Побудуйте трикутник ABC зі сторонами AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Позначте на стороні BC точку D так, щоб BD = 3 см. Сполучіть точки A і D . Виміряйте кути BAD і CAD. Обґрунтуйте отриманий результат. Aa

Письмові вправи Рівень А

463. Відрізок BD — бісектриса трикутника ABC . Знайдіть: 464. 465. 466. 467.

а) AB, якщо BC = 8 см, AD = 3 см, DC = 2 см; б) AD і DC, якщо AB = 9 см, BC = 6 см, AC = 10 см. Бісектриса рівнобедреного трикутника ділить бічну сторону на від різки завдовжки 2 см і 4 см, починаючи від основи трикутника. Знайдіть основу трикутника. Відрізок BD — бісектриса трикутника ABC . Знайдіть сторони три кутника, якщо AD = 8 см, DC = 12 см, а периметр трикутника до рівнює 45 см. Бісектриса прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки, різниця яких дорівнює 5 см. Знайдіть сторони трикутника, якщо відношення катетів дорівнює 3 : 4. Бісектриса прямокутного трикутника ділить його катет на відрізки завдовжки 4 см і 5 см. Знайдіть периметр трикутника. 141

розділ іI. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Рівень Б

468. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить ви

469. 470. 471. 472. 473.

соту, проведену до основи, на відрізки завдовжки 16,5 см і 27,5 см. Знайдіть відрізки, на які ця бісектриса ділить бічну сторону три кутника. Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи як 5 : 6. Бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи, на відрізки, різниця яких дорівнює 4 см. Знайдіть периметр трикутника. У результаті перетину двох хорд одна з них ділиться на відрізки завдовжки 6 см і 16 см, а друга — у відношенні 3 : 2. Знайдіть до вжину другої хорди. У результаті перетину хорди з діаметром кола хорда ділиться на відрізки завдовжки 3 см і 4 см, а діаметр — у відношенні 1 : 3. Зна йдіть радіус кола. Січна, проведена з точки A , перетинає коло в точках B і C, при чому AB = 4 см, BC = 5 см. Знайдіть довжину відрізка дотичної, проведеної до кола з точки A . З точки поза колом, віддаленої від центра кола на 39 см, проведено дотичну до кола. Знайдіть радіус кола, якщо відрізок дотичної до рівнює 36 см.

Рівень В

474. Катет прямокутного трикутника дорівнює 18 см. Точка на цьому 475.

476. 477. 478.

142

катеті віддалена від гіпотенузи й іншого катета на 8 см. Знайдіть периметр трикутника. Точка на катеті прямокутного трикутника рівновіддалена від друго го катета й гіпотенузи. Перпендикуляр, проведений із даної точки до гіпотенузи трикутника, ділить її на відрізки 3 см і 12 см. Зна йдіть периметр трикутника. У трикутнику ABC для висоти CD і відрізків AD і BD, на які вона ділить сторону АВ, виконується співвідношення CD2 = AD · BD. До ведіть, що кут ACB прямий. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою АC до сторони BС про ведено висоту АD. Доведіть, що 2DС · BC = AC2. Побудуйте трикутник: а) за двома кутами і висотою, проведеною з вершини третього кута; б) за кутом, бісектрисою цього кута і відношенням сторін, які утво рюють даний кут.

§ 14. застосування подібності трикутників. Властивість бісектриси трикутника

479. Побудуйте трикутник за двома кутами і бісектрисою, проведеною з вершини меншого з них.

Повторення перед вивченням § 15 Теоретичний матеріал • означення трикутника; • сума кутів трикутника; • чотирикутник і його елементи.

7 клас, § 7, 16 8 клас, § 1

Задачі 480. Доведіть, що периметр паралелограма більший за суму довжин його діагоналей.

481. Два кути трикутника дорівнюють 10° і 70°. Знайдіть кут між висо тою і бісектрисою, проведеними з вершини третього кута.

Онлайн-тренування для підготовки до контрольної роботи № 3 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 3 За рис. 133 доведіть подібність трикутни A B ків ABE і DCE, якщо AB  CD . Периметр прямокутника дорівнює 34 см, E C D а одна зі сторін — 5 см. Знайдіть діагональ прямокутника. Рис. 133 Сторони трикутника пропорційні числам 21, 20 і 29. Доведіть, що даний трикутник пря мокутний. Із точки до прямої проведено перпендикуляр і дві похилі завдовж ки 17 см і 10 см. Проєкції похилих відносяться як 2 : 5. Знайдіть довжину перпендикуляра. У прямокутному трикутнику бісектриса ділить гіпотенузу на відріз ки 15 см і 20 см. На які відрізки ділить гіпотенузу висота трикут ника? У колі проведено дві рівні хорди, що перетинаються. Доведіть, що відрізки першої хорди відповідно дорівнюють відрізкам другої хорди. 143

Підсумки Підсумко ий огляд розділу I в

ео е а р

пр

Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на сторо нах цього кута пропорційні відрізки:

о о ційні ід ізки

a b

Подібні ть т ик тникі с

B1 x A

kx CA 1

c d

Два трикутники називаються подіб ними, якщо кути одного з них від повідно дорівнюють кутам іншого і відповідні сторони цих трикутни ків пропорційні

kz C1

знаки одібно ті т ик тникі За двома кутами

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам ін шого трикутника, то такі трикутники подібні

За двома сторонами і кутом між ними x

Якщо дві сторони одного трикутни ка пропорційні двом сторонам іншо го трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні

За трьома сторонами x

z y

144

kz ky

Якщо три сторони одного трикутни ка пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники подібні

Підсумки

Ознака подібності прямокутних трикутників

т ик тник р

му

я ок тно м

ідношення

вв

сп

Мет и ні

пр

Якщо два прямокутні трикутники мають по рівному гострому куту, то такі трикутники подібні

Висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між про єкціями катетів на гіпотенузу: hc2 = ac ⋅ bc a

Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і його проєкцією на гі потенузу: a2 = c ⋅ ac і b2 = c ⋅ bc

Висота, проведена до гіпотенузи, до рівнює добутку катетів, поділеному ab c

ео е а Пі аго а та на лідки з неї р

на гіпотенузу: hc =

Теорема Піфагора

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотену зи дорівнює сумі квадратів катетів:

c2 = a 2 + b 2

Теорема, обернена до теореми Піфагора A

Якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник є прямокутним: якщо AC2 + BC2 = AB2 , то ∠ C = 90° 145

озділ I. Подібність трикутників. Теорема Піфагора І

Пе

ла хи По

Перпендикуляр

рп

ендик ля і о ила у

Нехай з однієї точки до прямої проведено пер пендикуляр і похилі. Тоді: • будь яка похила більша за перпендикуляр і більша за свою проєкцію на дану пряму

Проєкція похилої

• рівні похилі мають рівні проєкції, і навпа ки: якщо проєкції двох похилих рівні, то рівні й самі похилі

• більша похила має більшу проєкцію, і на впаки: з двох похилих більша та, яка має біль шу проєкцію

Вла ти і ть бі ект и и т ик тника с

Бісектриса трикутника ділить протилежну сто рону на відрізки, пропорційні прилеглим до них сторонам: a1

146

a b

ідношення

вв

Мет и ні

сп

Підсумки

колі

B D

Добутки відрізків хорд, що перетинаються, рівні:

AM ⋅ BM = CM ⋅ DM

Добуток січної на її зовнішню частину дорівнює квадрату відрізка дотичної, проведеної з тієї са мої точки:

CB ⋅ CA = CD2

P C A D B

Добуток однієї січної на її зовнішню частину дорівнює добутку іншої січної на її зовнішню частину, якщо ці січні проведені з однієї точки поза колом: PA ⋅ PB = PC ⋅ PD

147

озділ I. Подібність трикутників. Теорема Піфагора І

Контрольні запитання до розділу II

1. 2. 3. 4.

Сформулюйте теорему про пропорційні відрізки. Дайте означення подібних трикутників. Сформулюйте ознаку подібності трикутників за двома кутами. Сформулюйте ознаку подібності трикутників за двома сторонами й кутом між ними. 5. Сформулюйте ознаку подібності трикутників за трьома сторонами. 6. Сформулюйте метричні співвідношення у прямокутному трикутнику. 7. Сформулюйте і доведіть теорему Піфагора. 8. Сформулюйте теорему, обернену до теореми Піфагора. 9. Сформулюйте властивості перпендикуляра та похилих, проведених з однієї точки до прямої. 10. Сформулюйте властивість бісектриси трикутника.

Додаткові задачі до розділу II

482. Катет прямокутного трикутника дорівнює 6, а проєкція іншого ка

483.

тета на гіпотенузу дорівнює 5. Знайдіть гіпотенузу трикутника. Периметр прямокутника дорівнює 46 см, а діагональ — 17 см. Зна йдіть сторони прямокутника. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника з периметром 16 см, якщо медіана, проведена до основи, дорівнює 4 см. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 25 см. Знайдіть катети трикутника, якщо висота, проведена до гіпотенузи, дорів нює 12 см. Периметр трикутника дорівнює 27 см. Обчисліть його сторони, як що бісектриса ділить одну з них на відрізки завдовжки 4 см і 5 см. Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 1 м, а різниця основ скла дає 14 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в трапецію. Катет прямокутного трикутника дорівнює 32 см. Точка, що лежить на цьому катеті, віддалена від кінців гіпотенузи на 25 см. Знайдіть периметр трикутника.

484.

485.

486.

487.

488.

148

Підсумки

10 см

489. Квітка водяної лілії виступає над поверх нею озера на 10 см. Якщо квітку потягну ти убік, то вона торкнеться поверхні води на відстані 50 см від початкового положен ня. Знайдіть глибину озера в даному місці. 490. Користуючись рис. 134, а, б, доведіть тео рему про точку перетину медіан трикутни ка ще двома способами.

50 см

B B

A1 C1 A

б Рис. 134

491. На рис. 135 відрізок BD — бісектриса трикутника ABC, CM  BD . Користуючись цим рисунком і теоремою про пропорційні відрізки, доведіть властивість бісектриси трикутника. 492. На рис. 136 CM — бісектриса зовнішнього кута трикутника ABC , BD  CM . Користуючись цим рисунком і теоремою про пропорційні відрізки, доведіть, що AM : BM = AC : BC . M B C D A

D Рис. 135

Рис. 136

493. Побудуйте трикутник за кутом, медіаною, проведеною з його вер шини, і відношенням сторін, прилеглих до даного кута. 149

Задачі підвищеної складності

озділ I. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

494. У трикутнику АВС на сторонах ВС і АС позначено точки А1 і В1

відповідно. Відрізки АА1 і ВВ1 перетинаються в точці О. Знайдіть: а) АО : А1О, якщо АВ1 : В1С = 2 : 1, ВА1 = А1С; б) ВА1 : А1С, якщо АО : ОА1 = 4 : 1, АВ1 : В1С = 2 : 1; в) ВА1 : А1С і АВ1 : В1С, якщо АО : ОА1 = 4 : 1, ВО : ОВ1 = 7 : 8.

495. У трикутнику ABC медіана AM ділить висоту BH у відношенні

3 : 1, починаючи від вершини B. У якому відношенні ця висота ді лить цю медіану?

496. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 12 см. Середини кожної з основ сполучені з кінцями іншої основи. Знайдіть відстань між точками перетину проведених відрізків.

497. У рівносторонній трикутник вписано квадрат таким чином, що дві його вершини лежать на одній стороні трикутника, а дві інші — на двох інших сторонах трикутника. Знайдіть відношення периметрів трикутника і квадрата.

498. Основи трапеції дорівнюють a і b (a < b) . Через точку перетину

продовжень бічних сторін проведено пряму, паралельну основам. Знайдіть довжину відрізка цієї прямої, що міститься між продо вженнями діагоналей.

499. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см, а бічна сторо на — 54 см. До бічних сторін проведено висоти. Знайдіть довжину відрізка, кінцями якого є основи цих висот.

500. Доведіть, що квадрат найменшої медіани прямокутного трикутника в 5 разів менший за суму квадратів двох інших медіан.

501. Три кола з радіусами 1, 2 і 3 дотикаються одне до одного зовні. Знайдіть радіус кола, яке проходить через центри цих кіл, і радіус кола, яке проходить через точки їх дотику.

502. Усередині прямокутника ABCD позначено точку M , причому MA = a , MB = b , MC = c . Знайдіть MD.

503. Знайдіть геометричне місце точок, сума квадратів відстаней від

яких до даних точок A і B є сталою, якщо точки А і В належать цій множині. 150

Підсумки

504 (теорема Птолемея). Добуток діагоналей вписаного чотирикут ника дорівнює сумі добутків двох пар його протилежних сторін: d1 ⋅ d2 = ac + bd (рис. 137). Доведіть. a

b d2

Рис. 137

505 (опорна). Квадрат бісектриси трикутника дорівнює різниці між добутком бічних сторін і добутком відрізків, на які ця бісектриса ділить основу: lc2 = ab − mn (рис. 138). Доведіть.

Рис. 138

151

то и на до ідка р

Іс

152

Теорії подібності трикутників присвячений шостий розділ «Начал» Евкліда. Цікаво, що, наприклад, у гео метрії Лобачевського не існує подібних трикутників, які не були б рівними. Виявляється, що аксіома паралельних прямих в евклідовій геометрії рівносильна припущенню про існування подібних, але не рівних трикутників. Центральне місце в евклідовій геометрії посідає те орема Піфагора. Піфагор Самоський (бл. 580–500 рр. до н. е.) тривалий час прожив у Єгипті й Вавилоні, потім осе лився в місті Кротон (грецькій колонії на півдні Італії) і заснував так званий піфагорійський союз. Вважаєть вклід ся, що саме від піфагорійців іде слово «математика» (грецьке «матема» означає «наука», «пізнання»). Властивості трикутника зі сторонами 3, 4 і 5 бу ли відомі давнім єгиптянам і китайським ученим. Піфагор почав дослі джувати інші прямокутні трикутники із цілочисельними сторонами. Розглянувши рівнобедрений прямокутний трикутник з одиничними

озділ I. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Підсумки

катетами, він побачив, що довжина його гіпотенузи не виражається цілим числом — так було відкрито ірраціо нальні числа. Згодом Піфагору вдалося довести, що сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі — саме так виглядала теорема Піфагора в класичному формулюванні. За легендою, на честь сво го відкриття він приніс богам у жертву сто биків. Сьогодні достеменно невідомо, які з відкриттів піфагорійців належать самому Піфагорові, а які — йо го учням. Узагалі, школа Піфагора існувала достатньо закрито й відокремлено від громади. Це породило не нависть до піфагорійців, і школу було розгромлено, а сам Піфагор мусив утекти і в дорозі був убитий. Піс ля смерті Піфагора його учні розбрелися по всій Греції і стали поширювати його вчення, яке дійшло й до на ших днів.

Піфагор

Піфагорійський союз був одночасно і філософською школою, і науковим товариством, і релігійним братством, і навіть по літичною партією. Дослідження піфагорійців охоплювали й арифметику, і філософію, і музику, і астрономію. 153

Видатні математики України глушков Віктор Михайлович (1923–1982) Інформаційні технології (скорочено ІТ, вимов ляється англійською «айті») — це все, що пов’язане з опрацюванням, зберіганням та передаванням ін формації. Хто сьогодні не чув про ІТ? Навіть малюки вже легко справляються з мобільними телефонами, ноутбуками, планшетами, щоб подивитись улюбле ний мультфільм. Але не всі замислюються над тим, що, заходячи в інтернет і дивлячись новини, прогноз погоди, електронну пошту, інтерактивний урок тощо, вони мають справу з ІТ. І майже ніхто, крім фахівців, не знає, що видатний учений Віктор Михайлович Глушков є одним з основоположників ІТ, творцем багатопроцесорних макроконвеєрних суперкомп’ютерів, організатором Інституту кібернетики Академії наук України, генієм, що випередив час. Віктор Михайлович був серйозним науковцемалгебраїстом, тому до створення кібернетики ставився саме з наукових позицій. Він чітко усвідомлював, що тільки на підґрунті науки комп’ютери стануть дійсно великим надбанням людства. Недарма ж для написання статті про кібер нетику в американській енциклопедії «Британіка» (1973 р.) було запро шено саме віцепрезидента Української академії наук Глушкова. Віктор Михайлович опублікував понад 800 друкованих робіт, і перша у світі «Енциклопедія кібернетики» вийшла саме за його редакцією в 1974 р. У своїй останній пророчій роботі «Основи безпаперової інформа тики» вчений передбачав: «Уже недалекий той день, коли зникнуть звичайні книги, газети, журнали. Натомість кожна людина буде носи ти із собою «електронний» блокнот, що є комбінацією плоского дисплея з мініатюрним радіопередавачем». Це було понад тридцять років тому! Великий український вчений Б. Є. Патон сказав, що ім’я акаде міка Глушкова невіддільне від створення в нашій країні кібернетичної індустрії. Тому природно, що на честь академіка Глушкова названий один з найкрасивіших проспектів Києва. Завдяки IT всі, кого зацікавила надзвичайна біографія міжна родно визнаного піонера комп’ютеризації, зможуть знайти додаткову інформацію про В. М. Глушкова в мережі інтернет. 154

Розділ ІІІ Многокутники. Площі многокутників

§ 15. Многокутник і його елементи § 16. Площа многокутника. Площі прямокутника й паралелограма § 17. Площі трикутника, ромба і трапеції § 18. Застосування площ

Математика, відокремлюючи лінію від пло щі і площу від тіла, стверджує, що реальне лише тіло, а лінія і площа — абстракції. Олександр Герцен

До цього часу в теоремах і задачах ми розглядали лише числові характеристики окремих елементів геометричних фігур — довжини сторін, градусні міри кутів тощо. На відміну від них площа характеризує фігуру в цілому, тобто залежить як від її форми, так і від розмірів. У повсякденному житті людина має справу з площами кож ного дня — вимірює помешкання і присадибні ділянки, лісові ма сиви і сільськогосподарські угіддя тощо. Обчисленням площ ви займалися на уроках математики в молодших класах. Проте дати строге з наукової точки зору означення площі не така вже й проста річ, і відповідна математична теорія була створена значно пізніше від багатьох відомих теорем. У цьому розділі ми узагальнимо відомості про многокутники та їх площі. Завдяки цьому ваш математичний багаж поповнить ся чималою кількістю нових формул, які необхідно знати і вміти застосовувати. Щодо цього дамо таку пораду: засвоїти будьяку формулу значно простіше, якщо зрозуміти і запам’ятати спосіб її отримання. Більш того, відкриємо вам маленьку професійну та ємницю: іноді навіть фахівціматематики не запам’ятовують певні формули, а виводять їх подумки в разі необхідності. І буде дуже добре, якщо такої математичної ерудиції вдасться набути й вам.

156

§ 15

Многокутник і його елементи

Розглянемо фігуру, яка складається з відріз ків A1 A2 , A2 A3 , …, An −1 An , An A1 . Відрізки розмі щені так, що жодні два сусідні відрізки (тобто ті, які мають спільний кінець), не лежать на одній пря мій, а несусідні відрізки не мають спільних точок (рис. 139, а). Така фігура називається многокутником. Точки A1 , A2 , …, An називають вершинами многокутника, а відрізки A1 A2 , A2 A3 , …, An −1 An , An A1 — сторонами многокутника. Залежно від кількості вершин многокутник називають трикутником, чотирикутником, п’яти кутником тощо. Многокутник, який має n вершин (а отже, n сторін), називають nкутником. Многокутник позначають за його вершинами. При цьому букви, що стоять у назві многокутника поруч, мають позначати вершини, які належать одній стороні (сусідні вершини). Наприклад, п’ятикутник на рис. 139, б можна позначити ABCDE або DCBAE, але не можна позначати ABDEC.

A1 An а B C A

D E б

Рис. 139. Много кутники

Означення Периметром многокутника називається сума довжин усіх його сторін. діагоналлю многокутника називається відрізок, що сполучає дві несусідні вершини. Наприклад, на рис. 139, б відрізки AC і AD є діа гоналями п’ятикутника ABCDE, що виходять з вер шини A. Периметр цього многокутника обчислюється за формулою PABCDE = AB + BC + CD + DE + AE . 157

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

Будьякий многокутник ділить площину на дві частини. Одна з них (на рисунку 139, а її зафарбова но) є внутрішньою областю многокутника. Фігуру, що складається з многокутника і його внутрішньої об ласті, називають плоским многокутником, або, у дея ких випадках, просто многокутником.

Означення б Рис. 140. Опуклий (а) і неопуклий (б) многокутники B2 B1 Bn

Bn–1

Рис. 141. Внутрішній і зовнішні кути мно гокутника

Многокутник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від будь-якої прямої, яка містить його сторону. На рис. 140, а зображено опуклий многокут ник, а на рис. 140, б — неопуклий. Далі ми будемо розглядати лише опуклі многокутники. Розглянемо опуклий многокутник B1B2...Bn (рис. 141). Кути B1B2 B3 , B2 B3 B4 , …, Bn−1Bn B1 , Bn B1B2 (на рисунку їх зафарбовано) називають кутами (внутрішніми кутами) многокутника B1B2...Bn . Зокрема, кут даного многокутника при вершині B1Bна рисун 2 B3 ку позначено однією дужкою. Кути, суміжні з даним внутрішнім кутом, є зовнішніми кутами многокутника B1B2...Bn при вершині B1B(на 2 B3рисунку їх позначено двома дужками). Будьякий внутрішній кут опуклого многокут ника менший за 180°. Означення

Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі. Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола.

б Рис. 142. Вписаний (а) і описаний (б) много кутники

158

На рис. 142, а зображено вписаний многокут ник, а на рис. 142, б — описаний. Наведіть приклад многокутника, який обов’яз ково буде опуклим.

§ 15. многокутник і його елементи

Як ви знаєте, сума кутів трикутника дорів нює 180°, а сума кутів чотирикутника — 360°. Неважко передбачити, що сума кутів опуклого мно гокутника має залежати від кількості його сторін.

опорна задача (про суму кутів опуклого n-кутника)

Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180° (n − 2) . доведіть. Розв’язання нехай дано опуклий n-кутник A1A2 ... An (рис. 143). Позначимо всередині нього довільну точку O і сполучимо її з вершинами A1, A2, A3, …, An. При цьому утворюється n трикутників. звернемо увагу на те, що сума кутів даного многокутника дорівнює сумі всіх кутів цих трикутників, окрім кутів при вершині O. оскільки сума кутів A1OA2, A2OA3, ..., AnOA1 цих трикутників при вершині O складає 360°, то шукана сума кутів многокутника дорівнює 180°⋅ n − 360° , тобто 180° ( n − 2 ) .

An–1

A2 A1

Рис. 143. До доведен ня теореми про суму кутів опуклого n кутника

опорна задача доведіть, що сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°. Розв’язання оскільки зовнішній кут многокутника за означенням є суміжним із відповідним внутрішнім кутом, то сума цих двох кутів дорівнює 180°. таким чином, сума всіх внутрішніх і зовнішніх кутів дорівнює 180°⋅ n . щоб отримати суму зовнішніх кутів, віднімемо від цієї суми суму внутрішніх кутів: 180°⋅ n − 180° ( n − 2 ) = 360° .

159

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

Запитання і задачі Усні вправи 506. Скільки діагоналей виходить з однієї вершини семикутника? 507. Чи може діагональ шестикутника ділити його: а) на два трикутники; б) на два чотирикутники; в) на трикутник і п’ятикутник? 508. Діагональ відтинає від п’ятикутника чотирикутник. Який вид має частина, що лишилася? 509. Чи може опуклий п’ятикутник мати чотири гострі кути; чотири прямі кути; чотири тупі кути? 510. Чи можуть чотири кути опуклого п’ятикутника дорівнювати відпо відно чотирьом кутам опуклого чотирикутника?

Графічні вправи 511. Накресліть опуклий п’ятикутник. а) Проведіть усі діагоналі п’ятикутника. Скільки діагоналей ви ходить з однієї вершини? б) Яка фігура утворилася при попарному перетині діагоналей? в) Виміряйте кути п’ятикутника та обчисліть їх суму. Перевірте отриманий результат, користуючись відповідною теоремою. 512. Накресліть опуклий шестикутник. а) Проведіть червоним кольором діаго наль, яка ділить цей шестикутник на два чотирикутники. Скільки існує таких діа гоналей? б) Проведіть синім кольором діаго наль, яка ділить цей шестикутник на трикутник і п’ятикутник. Установіть залежність між кількістю кутів опук лого многокутника і сумарною кількі стю кутів многокутників, на які він ділиться діагоналлю. 160

§ 15. многокутник і його елементи

Письмові вправи Рівень А

513. Знайдіть суму кутів опуклого: 514.

515. 516. 517.

а) шестикутника; б) дванадцятикутника. Визначте кількість сторін опуклого многокутника, сума кутів якого дорівнює: а) 540°; б) 900°; в) 1260°. Усі кути опуклого восьмикутника рівні. Знайдіть їх градусну міру. Два кути опуклого п’ятикутника прямі, а решта три рівні. Знайдіть їх градусну міру. П’ять кутів опуклого шестикутника дорівнюють 120°. Доведіть, що в цьому шестикутнику всі кути рівні.

Рівень Б

518. Визначте, чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорів

519. 520. 521.

522.

нює: а) 1620°; б) 1350°; в) 1980°. У разі ствердної відповіді вкажіть кількість його сторін. Діагональ ділить опуклий многокутник на п’ятикутник і чо тирикутник. Визначте вид даного многокутника і знайдіть суму його кутів. Три кути опуклого многокутника дорівнюють 80°, а решта — по 160°. Визначте кількість сторін многокутника. Визначте кількість сторін опуклого многокутника, кожен кут якого дорівнює: а) 60°; б) 108°; в) 120°. Усі кути опуклого многокутника прямі. Доведіть, що він є прямо кутником. 161

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

Рівень В

523. Визначте кількість діагоналей nкутника. 524. Доведіть, що опуклий многокутник не може мати більш ніж три гострі кути. 525. У рівносторонньому п’ятикутнику кути при одній стороні прямі. Знайдіть решту кутів. 526 (опорна). Довжина будь-якої сторони многокутника менша за суму довжин решти сторін. Доведіть. 527. Периметр опуклого многокутника дорівнює 20 см. Чи може його діагональ дорівнювати 10 см? Відповідь обґрунтуйте.

Повторення перед вивченням § 16 Теоретичний матеріал • площі прямокутника і квадрата; • паралелограм і його види.

5 клас 8 клас, § 2–4

Задачі

528. Через середину сторони AB паралелограма ABCD проведено пряму, перпендикулярну до прямої BC. Доведіть рівність трикутників, утво рених цією прямою, відрізками сторони AB та прямими BC і AD. 529. Доведіть, що сума висот паралелограма, проведених з однієї верши ни, не більша, ніж його півпериметр.

162

§ 16

Площа многокутника. Площі прямокутника й паралелограма

16.1. Поняття площі многокутника Поняття площі добре зрозуміле на рівні по всякденного досвіду: ми вимірюємо площу спортив ного майданчика або садової ділянки, розрахову ємо за площею кількість шпалер або килимового покриття для ремонту кімнати і т. д. Спробуємо надати уявленням про площу певної математичної строгості. Домовимось, що під площею многокутника ми будемо розуміти площу його внутрішньої області. Як і у випадку вимірювання довжин відрізків, ви мірювання площ ґрунтується на порівнянні даної фігури з фігурою, площу якої прийнято за одиницю вимірювання. За одиницю вимірювання площ бе руть площу квадрата, сторона якого дорівнює оди ниці вимірювання відрізків. Наприклад, якщо за одиницю вимірювання відрізків прийнято 1 мм, 1 см або 1 м, то за оди ницю вимірювання площ беруть площу квадрата зі стороною 1 мм, 1 см або 1 м. Площа такого ква драта називається квадратним міліметром (мм2), квадратним сантиметром (см2) або квадратним ме тром (м2) відповідно. З курсу математики вам ві домі й інші одиниці площі: ар (площа квадрата зі стороною 10 м), гектар (площа квадрата зі стороною 100 м) тощо. При обраній одиниці вимірювання площа кож ного многокутника виражається додатним числом, яке показує, скільки разів одиниця вимірювання 163

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

Рис. 144. Вимірювання площі за допомогою палетки

площі та її частини укладаються в даному много кутнику. Зазвичай площа позначається буквою S . Для визначення наближеного значення площі можна використовувати палетку — прозору плів ку з квадратною сіткою (рис. 144). Наклавши її на фігуру, площу визначають звичайним підрахунком кількості одиничних квадратів, які вмістилися в цій фігурі. Однак на практиці застосовувати та кий спосіб незручно. Тому для визначення площі многокутника зазвичай вимірюють лише деякі пов’язані з ним відрізки, а потім обчислюють пло щу за відповідними формулами. Виведення цих формул ґрунтується на властивостях площ, які ми зараз розглянемо. Перш за все зазначимо, що коли два много кутники рівні, то одиниця вимірювання площі та її частини укладаються в кожному з них однакову кіль кість разів, тобто має місце така властивість. 1. Рівні многокутники мають рівні площі.

S2 S3

Рис. 145. Площа многокутника дорівнює сумі площ його частин

164

Далі, нехай многокутник складається з декіль кох частин — інших многокутників, які не мають спільних внутрішніх точок (рис. 145). Якщо ці ча стини мають площі S1, S2 , S3 , то площа всього мно гокутника дорівнює їх сумі: S = S1 + S2 + S3 . У цьому полягає друга властивість площ. 2. якщо многокутник складений із кількох многокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників. Третя властивість площ пов’язана з одиницею їх вимірювання. 3. Площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці площі.

§ 16. Площа многокутника. Площі прямокутника й паралелограма

Три щойно наведені властивості називають аксіомами площ. отже, площа многокутника — це додатна величина, числове значення якої задовольняє аксіоми площ. Із цього, зокрема, випливає, що кожний много кутник має певну площу, яка однозначно визначаєть ся в заданих одиницях вимірювання. Означення

дві фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні площі. Очевидно, що за першою аксіомою площ будьякі два рівні многокутники рівновеликі. Однак не будьякі два рівновеликі многокутники є рівними. Якщо розглянути два рівні прямокутні три кутники (рис. 146, а), то, прикладаючи їх рівними сторонами один до одного, можна отримати рівно бедрений трикутник (рис. 146, б), паралелограм (рис. 146, в), прямокутник (рис. 146, г) або чо тирикутник із попарно рівними сусідніми сторо нами — дельтоїд (рис. 146, д). Усі ці фігури рів носкладені, тобто складені з одних і тих самих многокутників. За другою аксіомою площ усі утворені та ким способом фігури мають рівні площі. Отже, будьякі рівноскладені многокутники рівновеликі. Цікаво, що має місце й обернене твердження (тео рема Больяї — Гервіна): будьякі два рівновеликі многокутники рівноскладені (наводимо цей факт без доведення).

д Рис. 146. Рівноскладені многокутники

165

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

16.2. Площа прямокутника Найпростішою фігурою з точки зору обчислен ня площі є прямокутник. Теорема (формула площі прямокутника) Площа прямокутника дорівнює добутку його сусідніх сторін: S = ab, де a і b — сторони прямокутника. 1

a а

b a б Рис. 147. До обґрун тування формули площі прямокут ника

Наведемо міркування, на яких ґрунтується до ведення цієї теореми. Спочатку необхідно розглянути прямокутник зі сторонами 1 і a . Оскільки у відрізку a одини ця вимірювання довжини укладається a разів, то в цьому прямокутнику одиниця вимірювання пло щі (одиничний квадрат) укладатиметься також a разів (рис. 147, а), тобто площа цього прямокутника дорівнює a. У загальному випадку для прямокутника зі сторонами a і b розмірковуємо так: оскільки у від різку b одиниця вимірювання довжини укладається b разів, то прямокутник зі сторонами 1 і a укла датиметься в даному прямокутнику також b ра зів (рис. 147, б). Тоді одиниця вимірювання площі укладається в даному прямокутнику ab разів, тобто площа прямокутника дорівнює ab . Повне доведення цієї теореми подається в До датку 1. Наслідок (формула площі квадрата) Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони: S = a2, де a — сторона квадрата.

166

§ 16. Площа многокутника. Площі прямокутника й паралелограма

16.3. Площа паралелограма За допомогою формули площі прямокутника можна довести формулу площі для довільного пара лелограма. Теорема (формула площі паралелограма) Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони: S = aha, де a — сторона паралелограма, ha — проведена до неї висота. Доведення  Нехай ABCD — даний паралелограм, який не є прямокутником (рис. 148). Проведемо його висоти BH та CF і доведемо, що SABCD = AD ⋅ BH . Чотирикутник ABCF є прямокутною трапецією, пло щу якої можна обчислити двома способами — як су му площ паралелограма ABCD і трикутника DCF або як суму площ прямокутника HBCF і трикут ника ABH : SABCF = SABCD + SDCF = SHBCF + SABH . Три кутники ABH і DCF рівні за гіпотенузою і катетом (AB = DC як протилежні сторони паралелограма, BH = CF як відстані між паралельними прямими). Отже, ці трикутники мають рівні площі. Тоді площі паралелограма ABCD і прямокутника HBCF також рівні, тобто SABCD = BC ⋅ BH = AD ⋅ BH. Теорему доведено. 

Рис. 148. До доведен ня формули площі паралелограма

задача Площа паралелограма дорівнює 36 см2, а довжини його висот 3 см і 4 см. знайдіть периметр паралелограма.

167

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

ha a

Розв’язання нехай дано паралелограм із площею S = 36 см 2 і висотами ha = 3 см і h b = 4 см (рис. 149). оскільb

ки S = a ⋅ h a = b ⋅ h b , то a = а b=

Рис. 149

S hb

, тобто= a 36 = : 3 12 (см),

, тобто = b 36 = : 4 9 (см). отже, периметр парале-

лограма дорівнює (12 + 9 ) ⋅ 2 = 42 (см). Відповідь: 42 см.

Розв’язуючи наведену задачу, неважко помітити цікаву закономірність: чим більша сторона паралело грама, тим менша проведена до неї висота. До обґрун тування цього факту ми повернемось у § 18.

Запитання і задачі Усні вправи 530. Площі двох многокутників рівні. Чи означає це, що самі многокут 531. 532. 533.

534. 168

ники також рівні? Два прямокутники мають рівні периметри. Чи є вони рівнове ликими? Через середини двох протилежних сторін паралелограма проведено пряму. В якому відношенні вона ділить площу паралелограма? Визначте, які з поданих тверджень правильні: а) якщо діагоналі двох квадратів рівні, то ці квадрати рівновеликі; б) два рівновеликі прямокутники рівні; в) два рівновеликі квадрати рівні. Сторона квадрата дорівнює меншій стороні прямокутника. Яка із цих фігур має більшу площу?

§ 16. Площа многокутника. Площі прямокутника й паралелограма

Графічні вправи 535. Накресліть паралелограм, який не є прямокутником. а) Проведіть із вершини тупого кута меншу висоту паралелограма. Виміряйте цю висоту і сторону, до якої вона проведена, та обчисліть площу паралелограма. б) Розріжте паралелограм по висоті. Які фігури ви отримали? в) Прикладіть отримані фігури одну до одної так, щоб утворився прямокутник. Чи дорівнює площа прямокутника площі паралело грама? 536. На папері в клітинку накресліть паралелограм. а) Підрахуйте приблизну кількість клітинок, які містяться всере дині паралелограма. Обчисліть площу однієї клітинки і знайдіть наближене значення площі паралелограма. б) Проведіть необхідні вимірювання та обчисліть площу паралело грама за відповідною формулою. Порівняйте отримані результати. Aa

Письмові вправи Рівень А

537. Накресліть прямокутник ABCD і побудуйте паралелограм AB1C1 D , рівновеликий даному прямокутнику.

538. Виріжте з паперу два рівні рівнобедрені трикутники і складіть з них: а) ромб; б) паралелограм, відмінний від ромба. Порівняйте площі складених фігур. 539. Знайдіть площу прямокутника ABCD , якщо: а) AB = 9 см, BC = 4 см; б) AB : BC = 5 : 7, PABCD = 48 см; в) AD = 12 см, AC = 13 см. 540. Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 25 см. Знайдіть периметр квадрата, рівновеликого даному прямокутнику.

541. Діагональ квадрата дорівнює 12 2 м. Знайдіть площу квадрата. 169

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

542. Площа квадрата дорівнює 32 см2. Знайдіть його периметр. 543. Площа прямокутника дорівнює 128 см2. Знайдіть сторони прямо 544.

545. 546. 547.

кутника, якщо одна з них удвічі більша за іншу. У паралелограмі зі стороною a , проведеною до неї висотою ha і площею S знайдіть: а) S, якщо a = 10 см, ha = 6 см; б) a, якщо S = 48 см2, ha = 4 см; в) ha , якщо S = 120 см2, a = 24 см. Діагональ паралелограма дорівнює 15 см і перпендикулярна до його сторони. Знайдіть площу паралелограма, якщо інша його сторона дорівнює 17 см. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 16 см. Знайдіть його висоти, якщо площа паралелограма дорівнює 96 см2. Сторона паралелограма і проведена до неї висота дорівнюють відпо відно 16 см і 9 см. Знайдіть сторону квадрата, рівновеликого даному паралелограму.

Рівень Б

548. Частину стіни, яка має форму пря

мокутника розмірами 2,25 × 1,8 м, необхідно покрити кахлями. Скільки плиток для цього знадобиться, якщо плитка має форму квадрата зі сторо ною 15 см? 549. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону на відрізки завдовжки 3 см і 4 см. Знайдіть площу прямокутника. Скільки розв’язків має задача? 550. Сторони прямокутника відносяться як 5 : 12. Знайдіть площу пря мокутника, якщо його діагональ дорівнює 26 см. 551. Знайдіть площу паралелограма, якщо: а) його периметр дорівнює 42 см, а довжини висот становлять 6 см і 8 см; б) його сторона дорівнює 5 см, а висота, проведена з вершини ту пого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 6 см; в) його сторони дорівнюють 8 см і 10 см, а гострий кут — 30°. 170

§ 16. Площа многокутника. Площі прямокутника й паралелограма

552. Знайдіть площу паралелограма, якщо:

553. 554. 555. 556. 557.

а) його діагональ перпендикулярна до сторони, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 9 см; б) його сторони дорівнюють 4 2 см і 8 см, а гострий кут — 45°. Площа і периметр ромба дорівнюють відповідно 24 см2 і 24 см. Знай діть висоту ромба. Діагоналі ромба дорівнюють 16 см і 30 см. Знайдіть площу чотири кутника, вершинами якого є середини сторін цього ромба. Висота ромба з тупим кутом 150° дорівнює 5 см. Знайдіть площу ромба. На діагоналі квадрата як на стороні побудовано інший квадрат. До ведіть, що його площа вдвічі більша за площу даного квадрата. Точка, що лежить на діагоналі квадрата, віддалена від двох його сторін на 180 см і 2,2 м. Знайдіть площу квадрата.

Рівень В

558. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 16 см, а одна з висот — 15 см. Знайдіть площу паралелограма.

559. Знайдіть площу паралелограма, якщо його висоти, проведені з од нієї вершини, дорівнюють 12 см і 16 см, а кут між ними — 30°.

560. Знайдіть помилку в «доведенні» геометричного софізму: 64 см2 = 65 см2 .

«доведення» Розріжемо квадрат зі стороною 8 см так, як показано на рис. 150, а. Перекладаючи отримані частини в іншому порядку (рис. 150, б), отримаємо прямокутник зі сторонами 13 см і 5 см. квадрат і прямокутник є рівноскладеними, тобто мають бути рівновеликими. але очевидно, що площа квадрата дорівнює 64 см2, а площа прямокутника — 65 см2, тобто 64 см2 = 65 см2. 3 3

5 5

б Рис. 150

171

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

561. Діагональ ромба ділить його висоту, проведену з вершини, на від різки завдовжки 13 см і 5 см. Знайдіть площу ромба.

562. Знайдіть площу ромба, якщо його висота і менша діагональ дорів нюють відповідно 12 см і 13 см.

Повторення перед вивченням § 17 Теоретичний матеріал • відстань між паралельними прямими; • трапеція.

7 клас, § 15 8 клас, § 5

Задачі

563. У рівнобічній трапеції бісектриса тупого кута паралельна бічній стороні. Знайдіть кути трапеції. На які многокутники ця бісектриса ділить трапецію? 564. У паралелограмі ABCD діагональ BD є висотою, ∠ A = 45° , AD = 4 см. Знайдіть площі трикутників ABC і BCD.

172

§ 17

Площі трикутника, ромба і трапеції

17.1. Площа трикутника Теорема (формула площі трикутника) Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони: S=

1 2

a ⋅ ha ,

де a — сторона трикутника, ha — проведена до неї висота. Доведення  Нехай BH — висота трикутника ABC (рис. 151). Доведемо, що SABC =

1 2

AC ⋅ BH .

Проведемо через вершини B і C прямі, пара C A H лельні сторонам трикутника, і позначимо точку їх перетину D . Таким чином, ми «добудували» три кутник ABC до паралелограма ABDC , у якому Рис. 151. До доведен ня формули площі відрізок BH також є висотою, проведеною до сто трикутника рони AC . За формулою площі паралелограма SABDC = AC ⋅ BH SABDC = AC ⋅ BH . Трикутники ABC і DCB рівні за трьо ма сторонами (у них сторона BC спільна, AB = DC і AC = DB як протилежні сторони паралелограма). Ці трикутники мають рівні площі. Тоді площа три кутника ABC становить половину площі паралело грама ABDC , тобто SABC = й треба було довести. 

1 2

SABDC =

1 2

AC ⋅ BH , що

173

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

Наслідок 1 (теорема про площу прямокутного трикутника) Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів: S=

1 2

ab ,

де a і b — катети прямокутного трикутника. Справді, у прямокутному трикутнику висота, проведена до катета, збігається з іншим катетом. Наслідок 2 (теорема про площу ромба) Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей: S=

1 2

d1d2 ,

де d1 і d2 — діагоналі ромба. Справді, діагоналі ділять ромб на чотири рів ні прямокутні трикутники з катетами

d1 2 d2 2

1 2

d1 і

1 2

(рис. 152). Користуючись попереднім наслідком, маємо: 1 1

2 2

S = 4 ⋅ ⋅ d1 ⋅ d2 =

d1d2 .

Наслідок 3 (теорема про площу рівностороннього трикутника) Рис. 152. До обчис лення площі ромба

Площа рівностороннього трикутника зі стороною a обчислюється за формулою: S=

3 4

Обґрунтуйте цей наслідок самостійно. 174

§ 17. Площі трикутника, ромба і трапеції

Опорна задача Медіана ділить трикутник на два рівновеликі трикутники. доведіть. Розв’язання нехай BM — медіана трикутника ABC (рис. 153). Проведемо висоту BH трикутника ABC. цей відрізок буде водночас висотою трикутника ABM, проведеною до сторони AM, і висотою трикутника MBC, проведеною до сторони MC. Враховуючи рівність відрізків AM і MC, маємо: S ABM =

1 2

AM ⋅ BH =

1 2

Рис. 153

MC ⋅ BH = SMBC .

Ця задача має цікаві узагальнення: 1)

якщо висоти двох трикутників рівні, то відно шення площ трикутників дорівнює відношен ню їх основ;

якщо основи двох трикутників рівні, то відно шення площ трикутників дорівнює відношен ню їх висот. Доведіть ці твердження самостійно.

17.2. Площа трапеції Часто для обчислення площі певного много кутника його розбивають на декілька трикутників і знаходять шукану площу як суму площ цих три кутників. Саме такий підхід можна застосувати для виведення формули площі трапеції. Теорема (формула площі трапеції) Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту: S=

a+b 2

⋅h,

де a і b — основи трапеції, h — висота трапеції. 175

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

Доведення H

Рис. 154. До доведен ня формули площі трапеції

 Нехай дано трапецію ABCD з основа ми AD =і aBC =таb висотою h. Діагональ AC ділить її на два трикутники ABC і ACD (рис. 154). Проведе мо висоти AH і CF цих трикутників. Обидві вони є висотами трапеції, тобто дорівнюють h. Маємо: SABCD = SACD + SABC = =

AD + BC 2

⋅h =

a+b 2

1 2

AD ⋅ h +

1 2

BC ⋅ h =

⋅ h.

Теорему доведено.  Наслідок Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту.

17.3. Розв’язування задач на обчислення площ Розв’язування задач на обчислення площ многокутників найчастіше зводиться до пошуку величин окремих елементів розглядуваних фігур і подальшого застосування відповідних формул площ. У багатьох задачах поряд із суто геометрични ми прийомами розв’язування (додаткові побудови, застосування рівності фігур тощо) використовують ся і методи алгебри (складання рівнянь або систем рівнянь на основі метричних співвідношень між еле ментами фігури). У ході розв’язування особливу увагу слід звер тати на те, чи однозначно дані задачі визначають взаємне розміщення елементів фігури. 176

§ 17. Площі трикутника, ромба і трапеції

задача знайдіть площу трапеції, у якій одна з основ дорівнює 24 см, висота 12 см, а бічні сторони 13 см і 20 см. Розв’язання нехай BH і CF — висоти даної трапеції, проведені з кінців основи BC до іншої основи. нехай BC = 24 см, BH = CF = =12 см. найпростіше добудувати трапецію ABCD так, щоб точки H і F лежали на основі AD. але цей варіант — лише один із можливих, адже умова задачі не вказує, чи належать точки H і F відрізку AD. оскільки з точки поза даною прямою можна провести до цієї прямої дві рівні похилі заданої довжини, то кожну з бічних сторін трапеції можна побудувати двома способами (рис. 155, а–г): = AB A= 13 см, 1B CD = CD =1 20 см. отже, дану трапецію за умовою задачі можна побудувати чотирма різними способами. за побудовою чотирикутник HBCF є прямокутником, звідки HF = BC = 24 см. далі розглянемо чотири випадки. 1) для трапеції ABCD (рис. 155, а): з трикутника ABH за тео ремою Піфагора AH = 5 см, аналогічно з трикутника DCF маємо: DF = 16 см; тоді AD = AH + HF + FD = 45 см,

S ABCD =

24 + 45 2

⋅12 = 414 (см2).

2) для трапеції A 1BCD (рис. 155, б): з трикутника A 1BH за теоремою Піфагора A 1H = 5 см, аналогічно з трикутника DCF маємо: DF = 16 см; тоді A 1D = HF + FD − A 1H = 35 см, S ABCD =

24 + 35 2

B B B

C C

A AH H A H

F F а

B B B

H HA A1 H 1A1 B B B

F F б

D D D

⋅12 = 354 (см2).

3) для трапеції ABCD1 (рис. 155, в): з трикутника ABH за теоремою Піфагора AH = 5 см, аналогічно з трикутника D1CF маємо: D1F = 16 см; тоді AD 1= AH + HF − D 1F = 13

HF − D 1F = 13 см, S ABCD =

24 + 13 2

⋅12 = 222 (см2).

A AH H D D11 F F A H D F 1 в CC B B B C Рис. 155. Див. також с. 178 H D11 F HA A1 D F H 1A1 D F 1

177

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників A H

D1 F

4) для трапеції A1BCD1 (рис. 155, г): з трикутника A1BH за теоремою Піфагора A1H = 5 см, аналогічно з трикутника D1CF маємо: D1F = 16 см; тоді A1D1 = HF − A1H − D1F = 3 см, тобто точки H, A1 , B1 , F розміщені на прямій у вказаному порядку.

H A1 D1 F

S ABCD =

г Рис. 155. Закінчення

24 + 3 2

⋅12 = 162 (см2).

Відповідь: 414 см2 або 354 см2, або 222 см2, або 162 см2.

Щойно розглянута задача наочно демонструє одну з причин, із яких у процесі розв’язування гео метричної задачі може виникати багатоваріантність. Але навіть якщо такої ситуації не виникає, взаєм не розміщення елементів фігур потребує обґрун тування. задача основи трапеції дорівнюють 10 см і 35 см, а бічні сторони — 15 см і 20 см. знайдіть площу трапеції.

B 10 C 20

15 A

x H 10 F 25–x Рис. 156

178

Перш за все зазначимо, що розв’язування даної задачі фактично зводиться до знаходження висоти тра пеції. Отже, нехай дано трапецію ABCD , AD  BC , AB = 15 см, BC = 10 см, CD = 20 см, AD = 35 см. Природно було б провести, як у попередній за дачі, висоти BH і CF (рис. 156) і скласти рівнян ня на підставі теореми Піфагора, застосованої до трикутників ABH і DCF : 152 − x2 = 202 − (25 − x)2 . Таке розв’язання дозволить отримати правильну відповідь, але не буде повним, адже належність точок H і F відрізку AD треба обґрунтовувати. Спробуйте зробити це самостійно. Розглянемо ціка вий спосіб розв’язання даної задачі із застосуван ням іншої додаткової побудови.

§ 17. Площі трикутника, ромба і трапеції

Розв’язання Проведемо через вершину C пряму CE, паралельну AB (рис. 157). оскільки за побудовою ABCE — паралелограм, то CE = AB = 15 см, AE = BC = 10 см, отже, ED = 35 − 10 = 25 = 25 (см). Сторони трикутника ECD пропорційні числам 3, 4, 5, отже, за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, він є прямокутним з гіпотенузою ED. за формулою h =

ab c

зна-

B 10 C 15

A 10 E

ходимо висоту цього трикутника, яка водночас є висотою трапеції: h =

15 ⋅ 20 25

= 12(см). отже, S =

10 + 35 2

15 25

Рис. 157

⋅12 = 270 (см ). 2

Відповідь: 270 см2.

Як бачимо, цей спосіб набагато раціональні ший, зокрема з точки зору обчислень. Розглянемо ще одну задачу, для розв’язання якої використовується додаткова побудова. задача діагоналі трапеції дорівнюють 30 см і 40 см і перетинаються під прямим кутом. знайдіть площу трапеції.

Спробуємо розв’язати цю задачу суто геометрич ними методами. Основна складність полягає в тому, що дані відрізки не є сторонами одного трикутника. Спробуємо «виправити» цю ситуацію. B

Розв’язання нехай дано трапецію ABCD , у якій AD BC , AC ⊥ BD , AC = 30 см, BD = 40 см. Проведемо через вершину C пряму CF, паралельну діагоналі BD (рис. 158). зрозуміло, що за побудовою кут ACF

Рис. 158

179

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

буде прямим, тобто трикутник ACF прямокутний із гіпотенузою AF. з іншого боку, DBCF — паралелограм, звідки DF = BC , CF = BD = 40 см. звернемо увагу на те, що трикутники ABC і DCF рівновеликі, оскільки DF = BC , а висоти, проведені до цих сторін, є висотами трапеції. таким чином, S ABCD = S ACD + S ABC = S ACD + SDCF = S ACF , тобто шукана площа трапеції дорівнює площі трикутника ACF, яка дорівнює півдобутку його катетів: S =

30 ⋅ 40 2

= 600 (см2). Відповідь: 600 см2.

Запитання і задачі Усні вправи 565. Площа трикутника ABC дорівнює S. Чому дорівнює площа парале 566.

567. 568.

569.

180

лограма ABCD , три вершини якого збігаються з вершинами даного трикутника? За якою формулою доцільно обчислювати площу прямокутного три кутника, якщо відомі: а) довжини гіпотенузи і проведеної до неї висоти; б) довжини двох катетів? Два рівновеликі трикутники мають рівні висоти. Чи означає це, що основи цих трикутників також рівні? Дві рівновеликі трапеції мають рівні висоти. Чи означає це, що основи цих трапецій також від повідно рівні? Чи може діагональ трапеції ді лити її на два рівновеликі три кутники? Відповідь обґрунтуйте.

§ 17. Площі трикутника, ромба і трапеції

Графічні вправи 570. Накресліть гострокутний трикутник і проведіть у ньому висоту. Проведіть необхідні вимірювання та обчисліть: а) площу цього трикутника; б) площі трикутників, на які цей трикутник ділиться висотою. 571. Накресліть трапецію і проведіть у ній діагональ. Проведіть необхід ні вимірювання та обчисліть: а) площу цієї трапеції; б) площі трикутників, на які ця трапеція ділиться діагоналлю.

Письмові вправи

Рівень А

572. За даними рис. 159 знайдіть площу трикутника ABC . A B B

4 A

C 10 а

6 б Рис. 159

4 в

573. Знайдіть площу: а) рівнобедреного трикутника з основою 10 см і бічною стороною 13 см; б) трикутника ABC , у якому AB = 17 см, а висота BH ділить сто рону AC на відрізки AH = 8 см і HC = 2 см. 574. Знайдіть площу: а) прямокутного трикутника з гіпотенузою 20 см і катетом 12 см; б) гострокутного трикутника ABC з висотою AH = 4 см, якщо BH = 2 см, ∠ C = 45°. 575. Площа трикутника дорівнює 150 см2. Знайдіть периметр трикутни ка, якщо його висоти дорівнюють 15 см, 12 см і 20 см. 181

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

576. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його площа дорівнює 20 см2, а висота, проведена з вершини прямого кута, — 4 см. 577. На рис. 160, а дано одиничний квадрат. Знайдіть площу заштри хованої фігури. 578. На рис. 160, б дано одиничний квадрат. Знайдіть площу заштрихо ваної фігури.

l а

Рис. 160

579. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 8 м і 20 м. 580. Знайдіть діагоналі ромба, якщо одна з них удвічі більша за другу, 581. 582. 583. 584. 585.

а площа ромба дорівнює 64 см2. Точка D — середина висоти BH трикутника ABC . Доведіть, що площа трикутника ADC становить половину площі трикутни ка ABC . Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O . Дове діть, що трикутники AOB і AOD рівновеликі. Знайдіть площу трапеції, якщо: а) її основи дорівнюють 4 см і 10 см, а висота 6 см; б) висота трапеції та її середня лінія дорівнюють 8 см. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 см і 16 см, а гострі ку ти 45°. Знайдіть площу трапеції. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а більша біч на сторона — 5 см. Знайдіть площу трапеції.

Рівень Б

586. Знайдіть площу:

а) трикутника ABC з висотою BH , якщо AB = 13 см, BC = 15 см, BH = 12 см, а точка H лежить на відрізку AC ;

182

§ 17. Площі трикутника, ромба і трапеції

587.

588. 589. 590.

б) прямокутного трикутника, гіпотенуза якого ділиться висотою на відрізки завдовжки 9 см і 4 см; в) рівностороннього трикутника з висотою 2 3 см. Знайдіть площу: а) рівнобедреного трикутника з периметром 16 см і висотою зав довжки 4 см, проведеною до основи; б) прямокутного трикутника з гіпотенузою 20 см і відношенням катетів 3 : 4. Бісектриса прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 15 см і 20 см. Знайдіть площу трикутника. На рис. 161 площа зафарбованого трикутника дорівнює S. За дани ми рисунка подайте через S площу заштрихованої фігури. На рис. 162 площа зафарбованого трикутника дорівнює S. За дани ми рисунка подайте через S площу заштрихованої фігури. S

S Рис. 161

Рис. 162

591. Площа ромба дорівнює 24 см2, а одна з його діагоналей — 8 см. Знайдіть периметр ромба.

592. Знайдіть площу ромба з периметром 24 см і тупим кутом 150°. 593. Доведіть, що медіани трикутника, перетинаючись, ділять даний трикутник на шість рівновеликих трикутників. 594. Через вершину A трикутника ABC проведено пряму, паралельну стороні BC . Доведіть, що всі трикутники з основою BC і вершиною на даній прямій рівновеликі. 595. Доведіть, що діагоналі ділять паралелограм на чотири рівновеликі трикутники. 596. Знайдіть площу: а) рівнобічної трапеції з основами 15 см і 39 см, у якій діагональ перпендикулярна до бічної сторони; б) прямокутної трапеції з бічними сторонами 12 см і 13 см, діаго наль якої є бісектрисою гострого кута. 183

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

597. Знайдіть площу рівнобічної трапеції з основами 14 см і 50 см та діа гоналлю 40 см.

Рівень В 598. Побудуйте трикутник, рівновеликий даній трапеції. 599. Побудуйте паралелограм, рівновеликий даному трикутнику. 600. Площа опуклого чотирикутника з перпендикулярними діагоналями дорівнює половині добутку діагоналей. Доведіть. 601. Через вершину A паралелограма ABCD проведіть дві прямі, які ділять паралелограм на три рівновеликі частини. 602. У трикутнику ABC медіани AA1 , BB1 і CC1 перетинаються в точ ці O . Визначте, яку частину площі трикутника ABC складає: а) площа трикутника AOC ; б) площа чотирикутника BA1OC1 . 603. За даними рис. 163 знайдіть площу: а) заштрихованої фігури (рис. 163, а), якщо ABCD — паралело грам; б) трикутника ABC (рис. 163, б). B B

C S

б Рис. 163

604. Знайдіть площу рівнобічної трапеції з бічною стороною 10 см, опи саної навколо кола з радіусом 4 см. 605. Бічні сторони і висота трапеції дорівнюють відповідно 25 см, 30 см і 24 см. Знайдіть площу трапеції, якщо бісектриси її тупих кутів перетинаються на більшій основі.

184

§ 17. Площі трикутника, ромба і трапеції

Повторення перед вивченням § 18 Теоретичний матеріал • середня лінія трикутника;

8 клас, § 6, п. 6.2

• подібність трикутників.

8 клас, § 10, 11

Задачі

606. Точки D, E, F — середини сторін AB, BC і AC трикутника ABC відповідно. Користуючись рівністю трикутників, доведіть, що пло ща трикутника DBE складає третину площі трапеції ADEC . 607. У трапеції ABCD основи BC і AD дорівнюють 2 см і 8 см відпо відно. Діагоналі трапеції перетинаються в точці O . Знайдіть від ношення: а) б)

CO AC OD BD

; ;

в) відрізків, на які точка O ділить висоту трапеції; г) площ трикутників BOC і AOD (висловіть припущення).

185

§ 18

Застосування площ 18.1. Відношення площ подібних трикутників Теорема (про відношення площ подібних трикутників)

B1 A1

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Доведення  Нехай ABC A1B1C1 з коефіцієнтом k ,

Рис. 164. До доведен ня теореми про від ношення площ подіб них трикутників

тобто

A1 B1

B1 C1

AC A1 C1

= k. Доведемо, що

SABC SA1 B1C1

= k2 .

Проведемо в даних трикутниках висоти BH і B1 H1 (рис. 164). Прямокутні трикутники ABH і A1 B1 H1 подібні, оскільки ∠ A = ∠ A1. Це означає, що

BH B1 H1

A1 B1

= k , тобто BH = kB1 H1 . Враховуючи,

що AC = kA1C1 , маємо: SABC SA1 B1C1

0, 5 AC ⋅ BH 0, 5 A1 C1 ⋅ B1 H1

0, 5 ⋅ kA1 C1 ⋅ kB1 H1 0, 5 A1 C1 ⋅ B1 H1

= k2 . 

задача Середня лінія відтинає від даного трикутника трикутник із площею 8 см2. знайдіть площу даного трикутника. B A1

C1 C

A Рис. 165

Розв’язання нехай A 1C 1 — середня лінія трикутника ABC , паралельна стороні AC (рис. 165), S A1BC1 = 8 см2. трикутники ABC і A 1BC 1 подібні за двома сторонами і кутом між ними, приAB

чому = A 1B

186

BC 1

A 1C 1

= 2.

§ 18. застосування площ

тоді за доведеною теоремою S ABC = 4 S A1BC1 , звідки S ABC = 4 ⋅ 8 = 32 (см2).

S ABC S A1BC1

= 4 , тобто

Відповідь: 32 см2.

Самостійно зробіть висновок про відношення площ фігур, на які ділить трикутник середня лінія.

18.2. Метод площ Поняття площі та формули її обчислення мо жуть застосовуватися навіть у тих задачах, в умо вах яких про площу не йдеться. Розглянемо такий приклад. задача Сторони паралелограма дорівнюють 16 см і 12 см. Висота паралелограма, проведена до більшої сторони, дорівнює 3 см. знайдіть висоту, проведену до меншої сторони. Розв’язання нехай дано паралелограм зі сторонами a = 16 см і b = 12 см, до яких проведено висоти ha = 3 см і h b , довжину якої необхідно знайти (рис. 166). за формулою площі паралелограма S = a ⋅ h a = b ⋅ h b , звідки h b = таким чином, h b =

16 ⋅ 3 12

S b

a ⋅ ha b

= 4 (см).

a Рис. 166

Відповідь: 4 см.

У ході розв’язування цієї задачі площа пара лелограма визначалася двома різними способами. Оскільки площа многокутника незалежно від спо собу її обчислення визначається однозначно, то отри мані вирази прирівнювалися, завдяки чому вдалося 187

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

пов’язати відомі величини із шуканою. Такий метод, заснований на використанні площі як допоміжної ве личини, називається методом допоміжної площі, або просто методом площ. Зазначимо, що з формул площі пара лелограма S = a ⋅ ha = b ⋅ hb і площі трикутника S=

1 2

a ⋅ ha =

1 2

b ⋅ hb =

1 2

c ⋅ hc випливає важливе твер

дження: у паралелограмі (трикутнику) більшою є ви сота, проведена до меншої сторони, меншою — висо та, проведена до більшої сторони. Метод площ використовується як у задачах на обчислення, так і для доведення тверджень. задача Сума відстаней від точки, взятої всередині рівностороннього трикутника, до його сторін не залежить від вибору точки і дорівнює висоті трикутника. доведіть.

B D

M A

F Рис. 167

Розв’язання нехай точка M лежить усередині рівностороннього трикутника ABC зі стороною a, MD, ME і MF — відстані від даної точки до сторін трикутника (рис. 167). Сполучимо точку M з вершинами трикутника. Площа трикутника ABC дорівнює сумі площ трикутників AMB, BMC і AMC, у яких відрізки MD, ME і MF є висотами. Маємо: 1 2

a⋅h = 1 2

1 2

a ⋅ MD +

1 2

a ⋅ ME +

1 2

a ⋅ MF =

a ( MD + ME + MF ) .

звідси MD + ME + MF = h , тобто сума розглядуваних відстаней дорівнює висоті трикутника і не залежить від вибору точки M.

188

§ 18. застосування площ

Існують інші доведення теореми Піфагора. Історично виникнення і доведення теореми Пі фагора пов’язані з обчисленням площ. Тому в класич ному формулюванні цієї теореми йдеться не про ква драти сторін прямокутного трикутника, а про площі відповідних фігур.

c a

Теорема Піфагора (класичне формулювання) Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.

Рис. 168. «Піфагорові штани»

Рис. 168, який наочно втілює це формулюван ня, став своєрідним символом геометрії і серед гім назистів позаминулого століття отримав назву «Пі фагорові штани». Доведемо теорему Піфагора за допомогою площ. Доведення  Нехай дано прямокутний трикутник із катетами a і b та гіпотенузою c (рис. 169, а). Добудуємо його до квадрата зі стороною a + b так, як показано на рис. 169, б. Площа цього квадрата 2 дорівнює (a + b ) . Побудований квадрат складається з чотирьох рівних прямокутних трикутників із пло щею

1 2

ab і чотирикутника зі сторонами завдовж

ки c , який є квадратом (доведіть це самостійно). Отже, маємо: 1

S = (a + b ) = 4 ⋅ ab + c2 ; 2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 ,

b a а

b c

б Рис. 169. До доведен ня теореми Піфа гора за допомогою площ (див. також с. 190)

тобто a2 + b2 = c2 . Теорему доведено.  189

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

На рис. 169, в, г показано інші способи доведен ня теореми Піфагора за допомогою площ. У трактатах індійського математика ХІІ ст. Бхаскарі один із них супроводжувався лише одним словом: «Дивись!» За галом же нині відомо понад 150 різних способів дове дення цієї славетної теореми. Але кожен із вас може винайти і власний спосіб.

b a

b c

S b2

c2 = 4 ⋅ ab + (b − a ) 2

b S c

b c

c S

S a

c S a

4S + a + b = 4 S + c 2 2

a 1

Рис. 169. Закінчення

Запитання і задачі Усні вправи 608. Визначте, як зміниться площа трикутника, якщо кожну його сто рону: а) збільшити в 4 рази; в) зменшити в n разів. б) зменшити в 3 рази; 609. Визначте, як треба змінити кожну сторону трикутника, щоб його площа: а) зменшилася у 25 разів; в) збільшилася в n2 разів. б) збільшилася в 49 разів; 610. Відношення площ двох трикутників дорівнює 4. Чи означає це, що ці трикутники подібні з коефіцієнтом 2? 611. У трикутнику зі сторонами a, b і c проведено висоти до цих сто рін ha , hb і hc відповідно. Порівняйте: а) сторони трикутника, якщо ha < hb < hc ; б) висоти трикутника, якщо c < a < b ; в) сторони a і c, якщо a < b , hb > hc . 190

§ 18. застосування площ

Графічні вправи 612. Накресліть прямокутний трикутник і проведіть у ньому середню лінію, паралельну одному з катетів. а) Виміряйте катети даного трикутника та обчисліть його площу. б) Користуючись теоремою про площі подібних трикутників, обчисліть площу трикутника, який відтинається від даного середньою лінією. в) Обчисліть площу трикутника, що відтинається від даного се редньою лінією, вимірявши його гіпотенузу і висоту. Порівняйте отримані результати. 613. Накресліть довільний трикутник і проведіть його висоти. Виміряйте сторони й висоти трикутника та обчисліть його площу трьома спо собами. Порівняйте отримані результати. Aa

Письмові вправи Рівень А

614. Відомо, що ABC A1 B1C1, причому 615. 616.

617. 618. 619. 620. 621.

AB A1 B1

= 3 . Знайдіть:

а) SABC , якщо SA1B1C1 = 9 см2; б) SA1B1C1 , якщо SABC = 9 см2. Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 2 см і 6 см. Зна йдіть відношення їх площ. Відомо, що ABC A1 B1C1. Знайдіть: а) сторону A1 B1 , якщо SABC = 24 см2, SA1B1C1 = 6 см2, AB = 8 см; б) площу трикутника ABC , якщо BC = 2 см, B1C1 = 6 см, SA1B1C1 = 18 см2. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть площу трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутни ка. Знайдіть площу трикутника, якщо трикутник, утворений середніми лініями даного трикутника, має площу 5 см2. Висоти трикутника дорівнюють 21 см, 28 см і 60 см. Знайдіть пери метр трикутника, якщо його найбільша сторона дорівнює 1 м. Дві сторони трикутника дорівнюють 12 см і 18 см. Знайдіть висо ту, проведену до меншої з них, якщо висота, проведена до більшої сторони, дорівнює 4 см. Висоти паралелограма дорівнюють 6 см і 4 см, а менша сторона — 8 см. Знайдіть периметр паралелограма. 191

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

622. Користуючись методом площ, доведіть, що в рівнобедреному трикут нику висоти, проведені до бічних сторін, рівні.

623. Доведіть методом площ, що трикутник із рівними висотами є рівно стороннім.

Рівень Б

624. Два трикутники подібні з коефіцієнтом 3, причому площа одного 625. 626. 627. 628. 629. 630. 631. 632.

з них на 24 см2 більша за площу іншого. Знайдіть площі цих три кутників. Площі двох подібних трикутників дорівнюють 75 м2 і 300 м2. Пери метр першого трикутника дорівнює 54 м. Знайдіть периметр друго го трикутника. Відповідні сторони двох подібних трикутників відносяться як 2 : 3. Площа другого трикутника дорівнює 81 см2. Знайдіть площу першого трикутника. На плані земельна ділянка має форму трикут ника з площею 2,5 см2. Знайдіть площу ділян ки, якщо масштаб плану 1 : 1000. Периметр паралелограма дорівнює 56 см. Зна йдіть сторони паралелограма, якщо його висо ти дорівнюють 6 см і 8 см. Діагоналі ромба дорівнюють 30 см і 40 см. Користуючись методом площ, знайдіть висоту ромба. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо вони відносяться як 3 : 4, а висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12 см. Доведіть методом площ, що паралелограм із рівними висотами є ромбом. Доведіть методом площ метричне співвідношення у прямокутному трикутнику: hc =

Рівень В

ab c

633. Пряма, паралельна стороні трикутника, ділить його на дві частини, які є рівновеликими фігурами. У якому відношенні ця пряма ді лить дві інші сторони трикутника? 634. Побудуйте пряму, паралельну стороні трикутника, яка ділить пло щу трикутника у відношенні 9 : 16. 192

§ 18. застосування площ

635. Доведіть, що сторони трикутника обернено пропорційні його висо там: a : b : c =

1 ha

1 hb

1 hc

636. Сума відстаней від точки основи рівнобедреного трикутника до його бічних сторін не залежить від вибору точки. Доведіть.

Повторення перед вивченням § 19 Теоретичний матеріал • прямокутний трикутник; • подібність прямокутних трикутників.

7 клас, § 17 8 клас, § 12

Задачі

637. У прямокутному трикутнику ABC ∠ A = 30 °, BM — медіана, про ведена до гіпотенузи. Доведіть, що трикутник MBC рівносторонній.

638. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, у якому бічна сторона дорівнює 12,6 см, а медіана, проведена до основи,— 6,3 см.

Онлайн-тренування для підготовки до контрольної роботи № 4 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 4 Визначте кількість сторін опуклого многокутника, сума кутів якого дорівнює 1080°. Площа квадрата дорівнює 144 см2. Знайдіть площу прямокутника, ширина якого менша за сторону квадрата на 2 см, а довжина більша за сторону квадрата вдвічі. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона відноситься до основи як 5 : 6. Знайдіть площу трикутника, якщо висота, проведена до основи, дорівнює 8 см. Знайдіть кути ромба, якщо його висота дорівнює 5 см, а площа — 50 см2. Висоти даного паралелограма дорівнюють 15 см і 18 см. Знайдіть ви соти рівновеликого паралелограма, сторони якого втричі більші за відповідні сторони даного паралелограма. Доведіть, що площа рівнобічної трапеції з бічною стороною c і радіу сом вписаного кола r обчислюється за формулою S = 2cr . 193

Підсумки Підсумко ий огляд розділу I в

ІІ

Многок тник у

Многокутник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від будь якої прямої, яка містить його сторону

Сума кутів многокутника Сума кутів опуклого n кутника до рівнює 180° (n − 2) . -

Сума зовнішніх кутів опуклого n кутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360° . -

1 n

∠1 + ∠ 2 + ... + ∠ n = 180°(n − 2) Вписаний многокутник Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини ле жать на цьому колі

194

∠1 + ∠ 2 + ... + ∠ n = 360° О

писаний многокутник

Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола

ногок тників у

Площі

Підсумки

Аксіоми площ Рівні многокутники мають рівні площі.

2. Я кщо многокутник складений із кількох многокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників. 3. П лоща квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці довжини, до рівнює одиниці площі. Дві фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні площі Фігура

Формула площі

Прямокутник

S = ab , де a і b — сторони прямокутника

вадрат

S = a2 , де a — сторона квадрата

Паралелограм ha a

S = aha , де a — сторона паралелограма, ha — проведена до неї висота

195

озділ

ІІІ

ногокутники. Площі многокутників

Фігура

Формула площі

рикутник

S= ha

Прямокутний трикутник

1 2

a ⋅ ha ,

де a — сторона трикутника, ha — проведена до неї висота

1 2

ab ,

де a і b — катети прямокутного три кутника

b a

Рівносторонній трикутник S=

3 4

де a — сторона трикутника a

Ромб S=

d1 d2

1 2

d1d2 ,

де d1 і d2 — діагоналі ромба

рапеція

a h b

a+b 2

⋅h,

де a і b — основи трапеції, h — висота трапеції

Теорема про відношення площ подібних трикутників Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності 196

Підсумки

Контрольні запитання до розділу IІІ 1. Дайте означення многокутника. Який многокутник називається 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

опуклим? Дайте означення описаного многокутника, вписаного многокутника. Назвіть аксіоми площ. За якими формулами обчислюються площі прямокутника і квадрата? Запишіть формулу площі паралелограма. Запишіть формулу площі трикутника. Запишіть формули площ пря мокутного трикутника, рівностороннього трикутника. Запишіть формулу площі ромба. Запишіть формулу площі трапеції. Сформулюйте теорему про відношення площ подібних трикутників.

Додаткові задачі до розділу IІІ 639. Доведіть, що серед усіх паралелограмів із 640. 641. 642. 643.

644 645.

даними сторонами найбільшу площу має прямокутник. Паралелограм і трикутник рівновеликі й мають спільну сторону. Порівняйте їхні висоти, проведені до цієї сторони. Через вершину трикутника проведіть дві Рис. 170 прямі, які ділять трикутник на три рівно великі частини. Користуючись рис. 170, доведіть методом площ властивість бісек триси трикутника. Основи трапеції відносяться як 2 : 3, а її площа дорівнює 50 см2. Знайдіть площі: а) двох трикутників, на які дана трапеція ділиться діагоналлю; б) чотирьох трикутників, на які дана трапеція ділиться діагоналями. (опорна). Діагоналі ділять трапецію на чотири трикутники, два з яких рівновеликі, а площі двох інших відносяться як квадрати основ. Доведіть. Якщо діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці O , причому SAOB = SCOD , то ABCD — паралелограм або трапеція. До ведіть. 197

розділ ііі. многокутники. Площі многокутників

646. Дві сторони трикутника дорівнюють 25 см і 40 см, а висота, про ведена до третьої сторони, дорівнює 24 см. Знайдіть площу трикут ника. Скільки розв’язків має задача? 647. Дано трикутник ABC . Побудуйте: а) рівнобедрений трикутник з основою AB, рівновеликий трикут нику ABC ; б) прямокутний трикутник з гіпотенузою AB, рівновеликий три кутнику ABC. У якому випадку це зробити неможливо? 648. Розріжте трапецію з двома гострими кутами при більшій основі на три частини, з яких можна скласти прямокутник.

Задачі підвищеної складності 649. Висоти трикутника дорівнюють 12, 15 і 20. Доведіть, що цей три 650. 651. 652. 653.

654. 655. 656. 657. 658.

198

кутник прямокутний. Доведіть, що площа прямокутного трикутника дорівнює добутку відрізків, на які точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу. Доведіть, що для трикутника зі сторонами a, b і c та площею S справджується нерівність S < ( ab + bc + ac ) : 6 . Обчисліть площу трикутника за двома взаємно перпендикулярними медіанами ma і mb . Доведіть, що: а) площа описаної прямокутної трапеції дорівнює добутку її основ; б) висота описаної рівнобічної трапеції є середнім пропорційним її основ. Доведіть, що для чотирикутника зі сторонами a , b , c , d і пло щею S справджується нерівність S ( ab + cd ) : 2. Сторони трикутника DEF дорівнюють медіанам трикутника ABC . Доведіть, що SDEF : SABC = 3 : 4 . У трапеції ABCD з основами AD і BC діагоналі перетинаються в точці O . Знайдіть площу трапеції, якщо SBOC = S1 , SAOD = S2 . Доведіть, що площа трапеції ABCD дорівнює добутку бічної сторо ни AB на перпендикуляр, проведений із середини M другої бічної сторони CD до прямої AB. Усередині трикутника ABC обрано точку M так, що трикутни ки AMB, BMC і AMC рівновеликі. Доведіть, що M — точка пе ретину медіан трикутника ABC .

Видатні математики України ляпунов олександр Михайлович (1857–1918) Олександр Михайлович Ляпунов — всесвітньовідомий математик і механік кінця ХІХ — початку ХХ століть, академік Паризь кої, Петербурзької та інших академій наук. Становлення його наукового шляху пройшло під впливом видатного вченого Пафнутія Львовича Чебишова. Діяльність Олександра Ляпунова була тісно пов’язана з Імператорським Харківським університе том і Харківським технологічним інститутом, у стінах яких проявився ще один його визначний талант — талант педагога. Блискучий лектор, що розкрив перед своїми слухачами гори зонти науки, О. М. Ляпунов здобув виняткову повагу студентів. Голов ним гаслом його лекцій була бездоганна строгість доведень, головною умовою успішного навчання — організація самостійної діяльності студентів, а головною вадою в освіті він вважав механічне заучування, яке призводить до притуплення інтересу до науки. І в наш стрімкий час розуміння цих поглядів допоможе вам у вивченні геометрії — на уки строгих доведень і логічних викладок, науки, яка розвиває само стійну діяльність і дає радість відкриття. У 1918 р. Ляпунов із родиною переїхав до Одеси і почав чита ти лекції в університеті. Не витримавши раптової смерті дружини, Олександр Михайлович того ж року трагічно пішов із життя. Одесити встановили Ляпунову обеліск у пам’ять навіть такого нетривалого пе ребування великого математика в їхньому місті. На честь Олександра Ляпунова названо аудиторію Харківсько го національного університету імені В. Н. Каразіна та одну з вулиць Харкова, а в 2007 р., до 150річчя з дня народження вченого, було ви пущено ювілейну монету «Олександр Ляпунов» номіналом у 2 гривні.

199

озділ

ІІІ

ногокутники. Площі многокутників

Іс

то и на до ідка р

Обчислення площ многокутників є першою серед тих практич них задач, яким геометрія як наука завдячує своєю появою. Однак не завжди уявлення про вимірювання площ було таким, яким воно є сьогодні. Наприклад, стародавні єгиптяни брали за площу будь якого трикутника половину добутку двох його сторін. Так само вимірювали площу трикутника і в Давній Русі. Для площі чотирикутника, який не є квадратом, у Вавилоні використовували формулу добутку півсум його протилежних сторін. У середні віки для обчислення площі трикутника зі стороною і проведеною до неї висотою, які виражаються цілим числом n ,

брали суму членів натурального ряду від 1 до n , тобто число

200

n (n + 1) 2

Підсумки

До речі, у той час знали і правильну формулу площі цього трикутника

. Її обґрунтував середньовічний

рхімед

математик ерберт, який у Х столітті навіть певний час посідав престол римського папи під іменем Силь вестра ІІ. Давні вавилоняни ще чотири тисячі років то му вміли правильно обчислювати площу квадра та, прямокутника, трапеції. Чимало формул площ і об’ємів, з якими ви познайомитеся в старших кла сах, відкрив знаменитий грецький учений рхімед (бл. 287–212 рр. до н. е.). І все це при тому, що в давні часи навіть не було алгебраїчної символіки!

Сьогодні, володіючи значно ширшими мож ливостями застосування алгебри в геометрії, у багатьох задачах ми маємо змогу дати значно простіші й зрозуміліші розв’язання, ніж це було можливо в давнину.

201

Видатні математики України крейн Марк григорович (1907–1989) Індекс цитувань — ключовий показник, що широко використовується в усьому світі для оцін ки роботи вчених. Марк Григорович Крейн є одним з десяти найбільш цитованих математиків світу! Його біографія виняткова, а динаміка розвит ку його математичного генія вражає. Судіть самі: маленький киянин уже з 13 років почав відвідува ти лекції професора Делоне, а в 14 закінчив школу й опанував основи вищої математики. У 15 став вільним слухачем старших курсів фізикоматема тичного факультету Київського інституту народної освіти. Після доповіді про свої дослідження Марк у 17 років вступив до аспірантури, хоча ще не мав ви щої освіти. У ті ж 17 написав першу наукову статтю, у 18 отримав премію на конкурсі наукових робіт, ще через рік цю роботу було надруковано. У 26 став професором, а у 32 — доктором фізикоматематичних наук та членомкорес пондентом Української академії наук. Родина Марка мала шестеро дітей, тому, напевно, і дозріло у юнака бажання стати на ноги самостійно. У пошуках романтики він приїхав до Одеси з твердим рішенням стати акробатом у цирку. Але все змінила зустріч з видатним ученим М. Г. Чеботарьовим, який зумів переконати його стати математиком. Цирк, можливо, і втратив, але математика виграла точно. Майже все своє життя Марк Григорович працював в Україні — в Одесі, Києві, Харкові. Незважаючи на численні життєві проблеми, Крейн створив понад 250 робіт із найрізноманітніших галузей математики, підготував більш ніж 60 кандидатів та докторів наук. Усі роботи Марка Григоровича перекла дені за кордоном. З великою пошаною про дослідження «одеського вченого» відгукувався, зокрема, один із творців кібернетики Норберт Вінер. Тільки пе релік нових понять, введених і досліджених уперше в працях Крейна, займає майже половину сторінки журналу «Успіхи математичних наук», виданого до 60річного ювілею вченого. Творчість Марка Григоровича Крейна є однією з вершин математики ХХ століття. 202

Розділ ІV Розв’язування прямокутних трикутників

§ 19. Тригонометричні функції гострого кута § 20. Обчислення значень тригонометричних функцій § 21. Розв’язування прямокутних трикутників

Заняття геометрією непомітно приводить люд ський розум до винаходів. Дені Дідро

Із цього розділу ви дізнаєтеся, як розв’язувати пря мокутні трикутники, тобто знаходити їх невідомі сторони й кути за відомими. Необхідні для цього теоретичні знан ня можна взяти з розділу математики, спорідненого як з геометрією, так і з алгеброю,— з тригонометрії. Власне, саме слово «тригонометрія» в перекладі з грецької означає «вимірювання трикутників». Тому відношення сторін пря мокутного трикутника, з якими ви познайомитесь далі, отримали назву тригонометричних функцій. Співвідношення, які будуть застосовуватися в цьому розділі, повною мірою можна вважати проявом подібно сті трикутників. Узагалі, подібність трикутників, теорема Піфагора і площа — це ті три кити, на яких тримається геометрія многокутника. Саме встановлення взаємозв’язків між цими теоретичними фактами і становить основний зміст курсу геометрії у восьмому класі.

204

§ 19

Тригонометричні функції гострого кута

19.1. Синус, косинус і тангенс Як уже було доведено, усі прямокутні трикут ники, які мають по рівному гострому куту, подібні. Властивість подібності зумовлює не тільки рівність відношень пропорційних сторін цих трикутників, але й рівність відношень між катетами і гіпотену зою кожного із цих трикутників. Саме ці відношення і будуть предметом подальшого розгляду. Нехай дано прямокутний трикутник із катета ми a і b, гіпотенузою c і гострим кутом α (рис. 171). Означення

a b

Рис. 171. До означень тригонометричних функцій кута α

Синусом гострого кута α прямокутного трикутника (позначається sin α ) називається відношення протилежного катета до гіпотенузи: sin α =

a c

косинусом гострого кута α прямокутного трикутника (позначається cosα ) називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи: cosα =

b c

тангенсом гострого кута α прямокутного трикутника (позначається tg α ) називається відношення протилежного катета до прилеглого: tg α =

a b

Синус — латинський переклад арабського слова «джайб» — пазуха, виріз сукні. Це слово, у свою чергу, походить від індійського «джива» — тятива лука, хорда. саме так синус називали в давньоіндійських математичних трактатах.

. 205

розділ іV. розв’язування прямокутних трикутників

косинус — від латині ського «компліментар синус» — додатковий синус. і тангенс — у переклад чоти з латинської «д ний».

ctg α =

b a

A(A 1)

Рис. 172. Значення тригонометричних функцій кута A залежать лише від величини кута А

Оскільки катет прямокутного трикутника мен ший за гіпотенузу, то синус і косинус гострого кута менші за одиницю. Покажемо, що значення тригонометрич них функцій залежать лише від величини ку та. Нехай прямокутні трикутники ABC і A1 B1C1 мають рівні гострі кути A і A1 (рис. 172). Ці трикутники подібні, звідки

окрім синуса, косинуса і тангенса, розглядають також котангенс гострого кута α прямокутного трикутника (позначається ctg α ), який дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного:

AB A1 B1

за основною властивістю пропорції,

BC AB

BC B1 C1 B1 C1 A1 B1

, або, . Пра

ва й ліва частини цієї рівності за означенням дорів нюють синусам гострих кутів A і A1 відповідно. Маємо: sin A =

BC AB

B1 C1 A1 B1

= sin A1 ,

тобто синус кута A не залежить від вибору три кутника. Аналогічні міркування можна провести і для інших тригонометричних функцій (зробіть це самостійно). Таким чином, тригонометричні функ ції гострого кута залежать тільки від величини кута. Справджується ще один важливий факт: як що значення якоїсь тригонометричної функції для гострих кутів A і A1 рівні, то ∠ A = ∠ A1 . Інак ше кажучи, кожному значенню тригонометричної функції відповідає єдиний гострий кут. 206

§ 19. Тригонометричні функції гострого кута

задача знайдіть синус, косинус і тангенс найменшого кута єгипетського трикутника. Розв’язання нехай у трикутнику ABC ∠C = 90 °, AB = 5 , BC = 3 , AC = 4 (рис. 173). оскільки в трикутнику найменший кут лежить проти найменшої сторони, то кут A — найменший кут трикутника ABC. за означенням sinA = sin A=

= 0 , 6; cos A =

тобто tg A=

, тобто cos A=

BC AB

, тобто

= 0 , 8 ; tgA =

B 5

3 C

Рис. 173

= 0 , 75.

Відповідь: 0,6; 0,8; 0,75.

19.2. Тригонометричні тотожності Виведемо співвідношення (тотожності), що пе редають залежність між тригонометричними функ ціями одного кута. Теорема (основна тригонометрична тотожність) для будь-якого гострого кута α sin2 α + cos2 α = 1. Доведення  За означенням синуса і косинуса гострого ку та прямокутного трикутника (див. рис. 171) маємо: 2

a +b  a  b sin α + cos α =   +   = .  c  c c За теоремою Піфагора чисельник цього дробу дорівнює c2 , тобто sin2 α + cos2 α = 1.  2

207

розділ іV. розв’язування прямокутних трикутників

Наслідок для будь-якого гострого кута1 α sin α = 1 − cos2 α , cos α = 1 − sin2 α . Доведемо ще кілька тригонометричних тотож ностей. Безпосередньо з означень синуса і косинуса ма ємо:

sin α cos α

a c

b c

a c

⋅

c b

a b

= tg α , тобто tg α =

Аналогічно доводиться, що ctg α =

cos α sin α

sin α cos α

Звідси випливає, що tg α ⋅ ctg α = 1.

задача знайдіть косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника, синус якого дорівнює 0,8. Розв’язання нехай для гострого кута α sin α = 0 , 8. тоді cos α = 1− sin2 α , тобто cos α = 1− 0 , 82 = 0 , 36 = 0, 6 cos α = 1− 0 , 82 = 0 , 36 = 0 , 6 . оскільки tg α =

sin α cos α

, то tg α =

0, 8 0, 6

4 3

. Відповідь: 0,6;

208

4 3

Нагадаємо, що за означенням тригонометричні функції гострого кута є додатними числами.

§ 19. Тригонометричні функції гострого кута

Запитання і задачі Усні вправи 659. За рис. 174 визначте, яка тригонометрична

функція кута K виражається дробом: а)

KN KM

;

б)

MN KN

;

в)

MN KM

660. У прямокутному трикутнику KMN (рис. 174)

KN > MN . Який із гострих кутів трикут M N ника має більший синус; більший косинус; більший тангенс? Рис. 174 661. Чи може синус гострого кута прямокутного трикутника дорівнювати 0,99; 2 ; 5 − 2 ? 662. Чи може добуток синуса і косинуса одного кута дорівнювати одини ці? А добуток тангенса і котангенса? 663. Чи може тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівню вати 2 ; 0,01; 100?

Графічні вправи 664. Накресліть гострий кут. Позначте на одній стороні кута дві точки і проведіть із них перпендикуляри до іншої сторони кута. а) Виміряйте сторони утворених прямокутних трикутників і обчис літь двома способами синус побудованого кута. Порівняйте отрима ні результати. б) Обчисліть косинус побудованого кута двома способами — за озна ченням і за основною тригонометричною тотожністю. Порівняйте отримані результати. 665. Накресліть гострий кут. Позначте на різних сторонах кута дві точки і проведіть із них перпендикуляри до іншої сторони кута. а) Виміряйте сторони утворених прямокутних трикутників і обчисліть двома способами синус і косинус побудованого кута. Порівняйте отримані результати. б) Обчисліть тангенс побудованого кута двома способами — за озна ченням і за відповідною тригонометричною тотожністю. Порівняйте отримані результати. 209

розділ іV. розв’язування прямокутних трикутників

Письмові вправи Рівень А

666. Накресліть за допомогою транспортира прямокутний трикутник з гострим кутом 40°. Виміряйте його сторони та обчисліть синус, косинус і тангенс цього кута. 667. Побудуйте прямокутний трикутник ABC, у якому: а) tg A =

5 6

б) sin A =

;

2 3

668. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 8 см і 15 см. Обчис літь синус, косинус і тангенс найменшого кута трикутника. 669. Визначте, чи можуть синус і косинус одного кута відповідно дорів нювати: а)

1 2

;

б)

1 3

3 4

670. Знайдіть: а) sin α , якщо cosα = б) cosα , якщо sinα =

12 13 1 2

;

в) tg α , якщо sinα =

;

671. Знайдіть tg α, якщо: а) sinα =

4 5

;

б) cosα =

2 3

672. Спростіть вирази: а) 1 − cos2 α;

в) 1 + sin2 α + cos2 α .

б) tg α ⋅ cos α ;

673. Спростіть вирази: а) 1 − sin2 α ; б) 210

tg α sin α

;

в)

sin α cos α 2

cos α

15 17

§ 19. Тригонометричні функції гострого кута

Рівень Б

674. Побудуйте кут 75°. За допомогою додаткових побудов і вимірювань знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс цього кута.

675. Побудуйте гострий кут α , якщо: 5

а) sinα =

б) cosα =

;

3 4

676. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорів нює 5 см, а довжина основи 24 см. Знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс кута при основі трикутника. 677. Визначте, чи можуть тангенс і котангенс одного кута відповідно дорівнювати: а) 0,4 і 2,5; в) 5 + 2 і 5 − 2 . б) 1,1 і 0,9; 678 (опорна). Доведіть, що 1+ tg 2 α =

1 cos α 2

і 1 + ctg 2 α =

1 sin α 2

679. Знайдіть значення тригонометричних функцій гострого кута A , якщо: 3

а) sin A =

в) tg A = 2.

;

б) cos A = 0,28;

680. Знайдіть: а) ctg α , якщо sin α = 0,5;

б) tg α, якщо cosα =

2 2

681. Спростіть вирази: а)

(1 − sin α)(1 + sin α) 2

sin α

;

в) tg α ctg α − cos2 α .

б) cos α − cos α sin2 α ;

682. Спростіть вирази: а)

cos α ctg α

;

в) cos2 α + tg2 α cos2 α .

б) sin α cos α ctg α + sin2 α ; 211

розділ іV. розв’язування прямокутних трикутників

Рівень В

683. Доведіть, що для будьякого гострого кута A tg A > sin A . 684. Доведіть, що для будьякого гострого кута A cos A < ctg A . 685. Спростіть вирази: sin α

а)

cos α − cos α 3

;

в)

1 + tg α 2

1 + ctg α

б) tg2 α(1 − sin α)(1 + sin α) ;

686. Спростіть вирази: а) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; б) в)

1 sin α

− cos α ctg α ;

tg α ctg α 2

cos α

− tg2 α .

Повторення перед вивченням § 20 Теоретичний матеріал • нерівність трикутника; • теорема Піфагора.

Задачі

7 клас, § 18 8 клас, § 13

687. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 120°. Зна йдіть бічну сторону трикутника, якщо медіана, проведена до осно ви, менша за неї на 8 см. 688. Катет прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а медіана, про ведена до іншого катета, дорівнює 13 см. Знайдіть площу цього трикутника.

212

§ 20

Обчислення значень тригонометричних функцій

20.1. Формули доповнення Тригонометричні тотожності, які ми розгляну ли, встановлюють взаємозв’язок між різними триго нометричними функціями одного кута. Спробуємо встановити зв’язок між функціями двох гострих ку тів прямокутного трикутника. Теорема (формули доповнення) для будь-якого гострого кута α sin(90ο − α) = cos α , cos(90ο − α ) = sin α . Доведення  Розглянемо прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою AB (рис. 175). Якщо ∠ A = α , то ∠ B = 90ο − α. Подавши синуси і косинуси гострих кутів трикутника, маємо: sin B = sin A =

AC AB BC AB

, cos A = , cos B =

AC AB BC AB

B 90°– α

Рис. 175. До дове дення формул допов нення

, тобто sin(90ο − α) = cos α , , тобто cos(90ο − α) = sin α .

Теорему доведено.  Наслідок для будь-якого гострого кута α tg (90ο − α) = ctg α , ctg (90ο − α) = tg α . Зауважимо, що назва «формули доповнення», як і назва «косинус», у якій префікс «ко» означає «додатковий», пояснюється тим, що косинус є сину сом кута, який доповнює даний кут до 90°. Аналогіч но пояснюється і назва «котангенс». 213

розділ іV. розв’язування прямокутних трикутників

20.2. Значення тригонометричних функцій кутів 30 °, 45°, 60° Обчислимо значення тригонометричних функцій кута 30°. Для цього в рівносторонньо му трикутнику ABC зі стороною a проведемо висоту BD , яка є також бісектрисою і медіаною (рис. 176). У трикутнику ABD ∠ D = 90°, ∠ B = 30°, a

AB = a , AD =

Маємо: A a

a _ 2

a 3 2

30°

C Рис. 176. До обчис лення тригономет ричних функцій кута 30°

, і за теоремою Піфагора BD =

sin 30 =

cos 30 =

tg 30 =

AB AB AD BD

ctg 30 =

a 3

BD AD

:a = ;

a 3

:a =

a 3 2

= a 2

3 2 1 3

; =

3 3

;

= 3.

За допомогою формул доповнення отримуємо значення тригонометричних функцій кута 60°: sin 60 = sin(90 −30) = cos 30 = cos 60 = cos(90 −30) = sin 30 =

;

2 1 2

;

tg 60 = tg(90 −30) = ctg 30 = 3 ; ctg 60 = ctg(90 −30) = tg 30 =

3 3

Для обчислення значень тригонометричних функцій кута 45° розглянемо рівнобедрений прямо кутний трикутник ABC з катетами AC = BC = a (рис. 177). За теоремою Піфагора AB = a 2 . Маємо: 214

§ 20. обчислення значень тригонометричних функцій BC = sin45 = AB

AC cos45 = = AB

a a 2 a a 2

2 2

= =

2 2 2 2

;

BC a tg45 = = = 1; AC

45°

AC a ctg45 = = = 1. BC

a 2

;

Подамо значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60° у вигляді таблиці. Функція sin α cosα tg α ctg α

Рис. 177. До обчис лення тригономе тричних функцій кута 45°

30°

кут α 45°

60°

2 3 2 3 3

2 2

2 1

3 3

Значення тригонометричних функцій інших кутів можна обчислити за допомогою калькулятора або спеціальних таблиць (див. Додаток 3).

Запитання і задачі Усні вправи 689. У прямокутному трикутнику ABC з гіпотенузою AB sin B = a . Чо

му дорівнює косинус кута A ? 690. Чи можуть синус і косинус гострого кута прямокутного трикутника дорівнювати один одному? У якому випадку? 691. У прямокутному трикутнику ABC з гіпотенузою AB tg A > tg B . Чи може один із цих тангенсів дорівнювати одиниці? 692. Кути α і β — гострі кути прямокутного трикутника. Знайдіть до буток tg α ⋅ tg β .

215

розділ іV. розв’язування прямокутних трикутників

Графічні вправи 693. Накресліть прямокутний трикутник. а) Виміряйте катет і гіпотенузу трикутника та обчисліть їх відно шення. б) Виділіть червоним кольором кут, синус якого знайдено, і синім кольором — кут, косинус якого знайдено. 694. Накресліть рівносторонній трикутник і проведіть його висоту. Про ведіть необхідні вимірювання та обчисліть значення тригономе тричних функцій кутів 30° і 60°. Порівняйте отримані результати з табличними. Aa

Письмові вправи Рівень А

695. Знайдіть гострий кут x, якщо: 696. 697. 698.

699.

700.

701.

а) sin x = cos 36; в) tg x = 3 ;  г) cos x = sin x . б) cos x = sin 82 ; Знайдіть гострий кут x, якщо: а) cos x = sin 50; б) sin x = 0,5; в) tg x = 1. Користуючись калькулятором або таблицями, знайдіть sin 80°, sin 32°, cos 18°, cos 54°, tg 65°, tg 10°. Обчисліть: а) sin 30 + tg 45; в) 2 sin 45 − cos 60. б) cos 30 ⋅ tg 60; Обчисліть: а) 3 cos 30 − cos 60; в) sin 60 ⋅ tg 30. б) cos 45 ⋅ sin 45; Кути A і B — гострі кути прямокутного трикутника. Знайдіть: а) sin B і cos B, якщо cos A = 0,6; б) cos A і tg A , якщо sin B = 0,5. Знайдіть: а) cosα і sin α , якщо sin(90 −α) = 0,8; б) tg(90 −α), якщо sin α =

216

2 2

§ 20. обчислення значень тригонометричних функцій

Рівень Б

702. Знайдіть гострий кут x, якщо:

а) tg x = ctg 22; б) cos(90 − x) = 0,5. 703. Знайдіть гострий кут x, якщо: а) ctg x = tg 14; б) tg x = ctg x . 704. Кути A і B — гострі кути прямокутного трикутника. Знайдіть: а) tg A , якщо sin B =

1 5

;

в) sin2 A + sin2 B .

б) sin B , якщо ctg A = 3 ; 705. Знайдіть: а) sin α , cosα і tg α, якщо tg (90ο − α) =

1 3

;

б) cos2 α + cos2 (90 −α). 706. Сума косинусів гострих кутів прямокутного трикутника дорів нює b . Знайдіть суму синусів цих кутів.

Рівень В

707 (опорна). Зі збільшенням гострого кута синус і тангенс цього кута зростають, а косинус і котангенс спадають. Доведіть.

708. Порівняйте: а) sin 23° і cos 65°;

б) tg 36° і ctg 64°.

709. Обчисліть значення виразу tg15 ⋅ tg 30 ⋅ tg 45 ⋅ tg 60 ⋅ tg75. 710. Доведіть, що tg1 ⋅ tg 2 ⋅... ⋅ tg 88 ⋅ tg 89 = 1.

Повторення перед вивченням § 21 Теоретичний матеріал

7 клас, § 17

• прямокутний трикутник; • тригонометричні функції гострого кута.

8 клас, § 19

Задачі

711. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до бічної сторони, до рівнює 6 см. Знайдіть площу трикутника, якщо кут при його основі дорівнює 75°. 712. Знайдіть площу рівнобедреного прямокутного трикутника, наймен ша висота якого дорівнює a. 217

§ 21

Розв’язування прямокутних трикутників 21.1. Знаходження невідомих сторін прямокутного трикутника

B β

a C

c α b

Рис. 178. Співвідно шення між сторона ми й кутами прямо кутного трикутника

Нехай дано прямокутний трикутник із катета ми a і b , гіпотенузою c і гострими кутами α і β (рис. 178). Знаючи градусну міру кута α і довжину будь якої зі сторін трикутника, ми маємо змогу знайти обидві інші його сторони. Правила знаходження не відомих сторін прямокутного трикутника безпосеред ньо випливають з означень тригонометричних функ цій і можуть бути узагальнені у вигляді довідкової таблиці.

шукана сторона

Спосіб знаходження

Протилежний катет

Катет, протилежний до кута α , до рівнює: • добутку гіпотенузи на sin α ; • добутку прилеглого катета на tg α

Прилеглий катет

218

a = c sin α a = btgα

Катет, прилеглий до кута α , до рівнює: • добутку гіпотенузи на cosα ;

b = c cosα

• відношенню протилежного кате

та до tgα

Гіпотенуза

Формула

Гіпотенуза дорівнює: • відношенню протилежного кате та до sin α ; • відношенню прилеглого катета до cosα

c= c=

tg α a sin α b cos α

§ 21. розв’язування прямокутних трикутників

Зауважимо, що для знаходження невідомих сторін прямокутного трикутника можна викори стовувати і ctg α (відповідні правила і формули отри майте самостійно). Запам’ятовувати зміст довідкової таблиці не обо в’язково. Для знаходження невідомої сторони прямо кутного трикутника можна діяти за таким планом. 1. Вибрати формулу означення тієї тригонометрич ної функції даного кута, яка пов’язує шукану сторону з відомою (цей етап можна виконувати усно). 2. Виразити із цієї формули шукану сторону. 3. Здійснити необхідні обчислення. задача У прямокутному трикутнику з гіпотенузою 12 м знайдіть катет, прилеглий до кута 60°. Розв’язання нехай у прямокутному трикутнику α = 60 , c = 12 м. знайдемо катет b. оскільки cosα =

b c

B a C

, то b = c cosα , тобто

= b 12 = cos 60 6 (м).

c α b

[Рис. 178]

Відповідь: 6 м.

21.2. Приклади розв’язування прямокутних трикутників Розв’язати трикутник — це означає знайти йо го невідомі сторони й кути за відомими сторонами й кутами. Прямокутний трикутник можна розв’язати за стороною і гострим кутом або за двома сторона ми. Розглянемо приклади конкретних задач на роз в’язування прямокутних трикутників, користуючись 219

розділ іV. розв’язування прямокутних трикутників

позначеннями рис. 178. При цьому домовимось округ ляти значення тригонометричних функцій до тисяч них, довжини сторін до сотих, а градусні міри кутів до одиниць. задача 1 Розв’яжіть прямокутний трикутник за гіпотенузою c = 10 і гострим кутом α = 50 .

B a

c α

[Рис. 178]

Розв’язання оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то β = 90 − 50 = 40 . оскільки sinα =

a c

, то a = c sinα, тобто

a = 10 sin50 ≈ 10 ⋅ 0 , 766 = 7, 66 . оскільки cosα =

b c

, то b = c cosα , тобто

b = 10 cos 50 ≈ 10 ⋅ 0 , 643 = 6 , 43 .

задача 2 Розв’яжіть прямокутний трикутник за катетом a = 6 і гострим кутом β = 22 .

B a

c α b [Рис. 178]

Розв’язання оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то α = 90 − 22 = 68 . оскільки cosβ = c=

6 cos 22

≈

6 0 , 927

оскільки tgβ =

a c

, то c =

cosβ

, тобто

≈ 6 , 47 . b a

, то b = a tgβ, тобто

b = 6 tg22 ≈ 6 ⋅ 0 , 404 ≈ 2, 42 .

220

§ 21. розв’язування прямокутних трикутників

задача 3 Розв’яжіть прямокутний трикутник за гіпотенузою c = 13 і катетом a = 5. B

Розв’язання за теоремою Піфагора b = c 2 − a2 , тобто

b = 13 − 5 = 12 . 2

оскільки sinα =

a c

, то sin α =

5 13

≈ 0 , 385 , звідки α ≈ 23 .

b [Рис. 178]

оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то β ≈ 90 − 23 = 67 .

задача 4 Розв’яжіть прямокутний трикутник за катетами a = 8 і b = 15 . Розв’язання за теоремою Піфагора c = a + b , тобто 2

c = 82 + 152 = 17 . оскільки tgα =

B a C

a b

, то tg α =

8 15

≈ 0 , 533, звідки α ≈ 28 .

c α b

[Рис. 178]

оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то β ≈ 90 − 28 = 62 .

Окремі кроки розв’язування задач 1–4 можна здійснювати іншими способами. Але слід зауважити, що у випадку, коли одна з двох сторін трикутника знайдена наближено, для більш точного знаходжен ня третьої сторони доречно застосовувати означення тригонометричних функцій. 221

розділ іV. розв’язування прямокутних трикутників

21.3. Прикладні задачі Розглянемо приклади застосування розв’я зування трикутників у практичних задачах. задача знайдіть висоту ліхтарного стовпа (рис. 179). Розв’язання на певній відстані від ліхтарного стовпа оберемо точку A і виміряємо кут BAC . оскільки у прямокутному трикутнику ABC

.A .

E Рис. 179

tgA =

BC AC

, то BC = AC tgA.

для визначення висоти ліхтарного стовпа необхідно додати до BC висоту AD приладу, за допомогою якого вимірювали кут. отже, BE = AC tg A + AD .

задача насип шосейної дороги (рис. 180) має форму рівнобічної трапеції. ширина насипу у верхній частині становить 60 м, у нижній частині — 68 м. знайдіть висоту насипу, якщо кути нахилу укосів до горизонту дорівнюють 60°. B

A H

F D

Рис. 180

Розв’язання Розглянемо рівнобічну трапецію ABCD , у якій AD BC , AD = 68 м, BC = 60 м, ∠A = ∠D = 60 . Проведемо висоти BH і CF . оскільки BC = HF і AH = FD (доведіть це самостійно), то AH = FD = (68 − 60 ) : 2 = 4 (м). У трикутнику ABH ∠H = 90 °, ∠A = 60 °, AH = 4 м. оскільки tgA =

BH AH

, то BH = AH tg A , тобто

BH = 4 tg 60 = 4 3 ≈ 6 , 93 (м). Відповідь: ≈ 6,93 м.

222

§ 21. розв’язування прямокутних трикутників K

Запитання і задачі

Усні вправи 713. Чи можна розв’язати прямокутний трикут ник за двома сторонами; за двома кутами? 714. У прямокутному трикутнику KMN відомі катет MN і кут K (рис. 181). Виразіть через них другий катет і гіпотенузу трикутника. 715. Користуючись рис. 181, визначте, які з на ведених тверджень правильні: а) KN =

MN sin α

a Рис. 181

; б) MK = KN sin α; в) KN = MNtgα; г) MN =

KM ctgα

Графічні вправи 716. Накресліть прямокутний трикутник і виміряйте в ньому гіпоте нузу і гострий кут. Розв’яжіть цей трикутник. Перевірте отримані результати вимірюванням. 717. Накресліть прямокутний трикутник і виміряйте його катети. Розв’яжіть цей трикутник. Перевірте отримані результати вимірю ванням. Aa

Письмові вправи Рівень А

718. У прямокутному трикутнику катет завдовжки 7 см є прилеглим до кута 60°. Знайдіть гіпотенузу трикутника. 719. Знайдіть довжину траси київського фунікулера, якщо різниця висот між нижньою і верхньою станціями дорів нює 75 м, а синус кута нахилу траси до горизонту становить

720. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 8 см, а один із катетів — 4 2 см. Знайдіть гострі кути трикутника. 721. Розв’яжіть прямокутний трикутник1 за гіпотенузою і гострим кутом: а) c= 8, α = 30°; б) c= 10, α = 42°. 1

У задачах 721–726 використовуються позначення рис. 178.

223

розділ іV. розв’язування прямокутних трикутників

722. Розв’яжіть прямокутний трикутник за катетом і гострим кутом: 723. 724. 725. 726. 727.

а) a = 2, β = 45°; б) a = 4, α = 18°. Розв’яжіть прямокутний трикутник, якщо: а) c= 12, α = 28°; б) a = 8, β = 40°. Розв’яжіть прямокутний трикутник за гіпотенузою і катетом: а) c = 9 2 , a = 9; б) c = 25, a = 24. Розв’яжіть прямокутний трикутник за двома катетами: а) a = 6 3 , b = 6; б) a = 9, b = 40 . Розв’яжіть прямокутний трикутник, якщо: а) a = 6, c = 10 ; б) a = 5, b = 11 . Відрізок BD — висота прямокутного трикутника ABC , проведена до гіпотенузи. Доведіть, що AD tg A = DC tg C .

728. Відрізок BD — висота прямокутного трикутника ABC , проведена до гіпотенузи. Доведіть, що

BD sin A

= AC cos A .

Рівень Б 729. Діагональ прямокутника дорівнює 10, а кут між діагоналями 40°. Знайдіть сторони прямокутника.

730. Синус кута при основі рівнобедреного трикутника дорівнює

8 17

а висота, проведена до основи,— 16 см. Знайдіть основу трикутника. 731. Діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 24 см. Знайдіть кути ромба. 732. Відрізок BD — висота прямокутного трикутника ABC , проведена до гіпотенузи. Розв’яжіть трикутник ABC , якщо: а) BD = 4 3 , ∠DBC = 60; б) AD = 9, ∠C = 10.

733. Відрізок BD — висота прямокутного трикутника ABC , проведена

до гіпотенузи. Розв’яжіть трикутник ABC , якщо BD = 3, DC = 4. 734. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 8 і 12, а тупий кут 110°. Знайдіть бічні сторони трапеції. 735. У рівнобічній трапеції кут при основі дорівнює 135°, менша основа і бічна сторона — відповідно 8 і 10. Знайдіть середню лінію трапеції. 736. Тінь від стовпа заввишки 11 м становить 4,4 м. Виразіть у градусах висоту Сонця над горизонтом.

224

§ 21. розв’язування прямокутних трикутників

737. Неподалік від австралійського міста Катумба розташована найкрутіша (за ухилом траси) гірська залізниця Katoomba Scenic Railway. Її довжина становить 415 м, а висота підйо му — 321 м. Знайдіть кут ухилу траси.

Рівень В

738. Розв’яжіть прямокутний трикутник за сумою катетів m і гострим кутом α .

739. Розв’яжіть прямокутний трикутник за різницею

гострих кутів ϕ і гіпотенузою c. 740. Висота прямокутного трикутника ділить гіпо тенузу у відношенні 1 : 3. Знайдіть гострі кути A трикутника. B D 741. На рис. 182 показано спосіб вимірювання висоти Рис. 182 предмета, основа якого недосяжна. Знайдіть цю висоту, якщо AB = d , ∠ CAD = α , ∠ CBD = β. 742. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 30 і 40. Знайдіть кут між медіаною і висотою, проведеними до гіпотенузи.

Онлайн-тренування для підготовки до контрольної роботи № 5 Задачі для підготовки до контрольної роботи № 5 1.

Знайдіть sin A і tg A , якщо cos A = 2

cos α

2 2

Спростіть вираз

3. 4.

Обчисліть 2 sin 60° + 4 cos 60° − ctg30° − 2tg45° . У прямокутному трикутнику катет завдовжки 18 см є протилежним до кута 60°. Знайдіть другий катет і гіпотенузу трикутника. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 74 см, а синус од

ного з кутів

(1 − sin α)(1 + sin α)

. Знайдіть периметр трикутника.

Більша бічна сторона описаної прямокутної трапеції дорівнює c , а гострий кут дорівнює α. Доведіть, що середня лінія трапеції до рівнює

c (1 + sin α ) 2

. 225

Підсумки Підсумко ий огляд розділу IV в

игоно ет и ні нкції го т ого к та я ок тного т ик тника осинус ангенс отангенс

Тр

пр

Синус

фу

Косинусом гострого кута α називається від ношення при леглого катета до гіпотенузи:

c α

Тангенсом гострого кута α називається від ношення проти лежного катета до прилеглого:

tg α =

cosα =

Синусом гострого кута α називається від ношення проти лежного катета до гіпотенузи: sin α =

a b

Котангенсом гострого кута α називається від ношення прилег лого катета до протилежного:

ctg α = a b

ригонометричні тотожності

sin α

sin2 α + cos2 α = 1

tg α =

tg α ⋅ ctg α = 1

ctg α =

cos α cos α sin α

Формули доповнення sin(90 −α) = cos α cos(90 −α) = sin α tg(90 −α) = ctg α ctg(90 −α) = tg α

начення тригонометричних функцій деяких кутів 30° 45° 60°

α sin α cosα tg α ctg α 226

1 2 3

2 1

b a

адача

Умова

я ок тни т ик тникі м

ання

ув

Роз ’яз

пр

Підсумки

Схема розв’язування

Відомі гіпотенуза та гострий кут

Дано: АВ = с, ∠ A = α , ∠ C = 90 . Знайти: ∠ B , АС, ВС.

Відомі катет і гострий кут

С B

1. ∠ B = 90 − α

Дано: ВС = a, ∠ B = β, ∠ C = 90 . Знайти: ∠ A ,=АС, α AB.

1. ∠ A = 90 − β

Дано: ВС = a, АВ = с, ∠ C = 90 . Знайти: αB. АС, ∠ A ,= ∠

Дано: ВС = a, AС = b, ∠ C = 90 . Знайти: αB. АВ, ∠ A ,= ∠

С B

Відомі два катети

Дано: ВС = a, ∠ A = α , ∠ C = 90 . Знайти: ∠ B , АB, AС.

2. AB = 3. AC =

a sin α a tg α

B β

Відомі гіпотенуза та катет

1. ∠ B = 90 − α 2. AC = c cosα 3. BC = c sinα

2. AB =

a cosβ

3. AC = a tgβ

1. AC = c2 − a2 2. sin A =

a c

3. ∠ B = 90 − ∠ A

1. AB = a2 + b2 2. tg A =

a b

3. ∠ B = 90 − ∠ A 227

озділ V. озв’язування прямокутних трикутників

Контрольні запитання до розділу IV

Дайте означення синуса, косинуса і тангенса гострого кута прямо кутного трикутника. Сформулюйте основну тригонометричну тотожність. Сформулюйте формули доповнення. Назвіть значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°. Опишіть розв’язування прямокутного трикутника: а) за гіпотенузою і гострим кутом; б) за катетом і гострим кутом; в) за гіпотенузою і катетом; г) за двома катетами.

2. 3. 4. 5.

Додаткові задачі до розділу IV

743. Сторони паралелограма дорівнюють 4 2 см і 8 см, а гострий кут 45°.

744. 745.

Знайдіть висоти і площу паралелограма. Радіус кола, вписаного в ромб із гострим кутом α, дорівнює r . Знай діть сторону і площу ромба. Сторона трикутника дорівнює 10, а прилеглі до неї кути 30° і 45°. Знайдіть інші сторони трикутника. Якщо два прямокутні трикутники мають рівні гіпотенузи, то синуси їх гострих ку тів пропорційні протилежним катетам, а косинуси гострих кутів — прилеглим катетам. Доведіть. Бісектриса, проведена з вершини гострого кута α прямокутного трикутника, дорів нює l. Знайдіть гіпотенузу трикутника. Ескалатор харківського метрополітену має сходинки завширшки 40 см і заввиш ки 30 см. Визначте кут нахилу сходів. За 700 м від точки відриву літака від землі розташовані дерева заввишки 24 м. Під яким кутом має підійматися літак, щоб не зачепити дерев?

746.

747.

748.

749.

228

Підсумки

Задачі підвищеної складності 750. Доведіть, що катети прямокутного трикутника і висота, проведена до гіпотенузи, пов’язані співвідношенням

1 hc

1 a

1 b

751. У рівнобедреному трикутнику косинус кута при вершині дорів 752. 753. 754. 755.

нює a. Знайдіть тангенс кута між основою і висотою, проведеною до бічної сторони. У трикутнику ABC AB = BC , а висота AE удвічі менша за висо ту BD . Знайдіть косинус кута при основі трикутника. Два кола, відстань між центрами яких дорівнює d, дотикаються зовні. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо кут між їх спільними зов нішніми дотичними дорівнює 2α . Знайдіть sin75° . Відрізки BB1 і CC1 — висоти гострокутного трикутника ABC , у якому ∠ A = α . Знайдіть площу трикутника AB1C1 , якщо площа трикутника ABC дорівнює S.

229

озділ V. озв’язування прямокутних трикутників

Іс

то и на до ідка р

Необхідність розв’язування трикутників ви никла під час розгляду багатьох практичних задач у зв’язку з потребами географії, астрономії, навігації. Тому елементи тригонометрії з’явилися ще в Давньо му Вавилоні, де астрономія набула значного розвит ку. У роботі грецького вченого Птолемея «Альмагест» (ІІ ст. н. е.), де викладено античну систему світу, міс тяться елементи сферичної тригонометрії. Синус і косинус як допоміжні величини використовували індійські математики у V ст.,

Птолемей

У Давній Греції замість синуса кута α розглядали довжину хорди, яка відповідає центральному куту 2α . Дійсно, якщо радіус кола дорівнює одиниці, то sin α вимірюється половиною такої хорди (перевірте це са мостійно). Перші тригонометричні таблиці були скла дені іппархом у ІІ столітті н. е.

230

Підсумки

а тангенс і котангенс уперше з’явилися в роботах арабського математика Х ст. бу-аль-Вефи. Як окремий розділ математики тригонометрія виділилась у творах перського вченого асреддіна усі (1201–1274), а першим із європейців систематичне ви кладення тригонометрії подав німецький математик і механік оганн Мюллер (1436—1476), більш відомий під псевдонімом Регіомонтан. Сучасної форми викладення і сучасної символі ки тригонометрія набула завдяки еонардові йлеру у XVIIІ ст.

Регіомонтан

Окрім відомих вам чотирьох тригонометричних функцій іноді розглядаються ще дві:  

секанс  sec α =

1     і косеканс  cosec α = . cos α sin α  1

231

Видатні математики України астряб олександр Матвійович (1879–1962) Зараз існує велике розмаїття посібників зі шкільної математики, зокрема книжок на допо могу вчителеві. Але так було не завжди. Завдяки Олександру Матвійовичу Астрябу в Україні почала розвиватись нова галузь педагогічної науки, саме йому належить почесне звання засновника української школи методики викладання математики. Разом з колективом однодумців він розробив основи методики викладання курсів арифметики, геометрії, тригонометрії, що базувалися на під вищенні теоретичного рівня викладання й водночас на зв’язку теорії з практикою. За досягнення в розробленні актуальних питань методи ки математики О. М. Астрябу було присвоєно звання професора. Коло наукових інтересів ученого було надзвичайно широким. Він створив цілу низку посібників з математики, які свого часу бу ли одними з найпоширеніших. Його перу належить підручник «Наочна геометрія», який був настільки популярним, що видавався накладами від трьохсот тисяч до півмільйона примірників, витримав 13 перевидань, був перекладений польською, німецькою, татарською, болгарською, єврейською мовами. Був період, коли Олександр Матві йович сконцентрував свою увагу на питаннях поглибленого вивчення геометрії, створив низку цікавих книжок із цієї теми, у тому числі надзвичайно корисну й актуальну «Методику розв’язання задач на побудову в середній школі». Астряб був блискучим викладачем, читав лекції для вчителів, вів уроки для учнів, брав участь у проведенні олімпіад. Олександр Матвійович організував і очолив першу в Україні кафедру елементар ної математики і методики математики (1947 р.) у Київському держав ному педагогічному інституті ім. О. М. Горького (нині Національний педагогічний університет ім. М. П. Драгоманова). І це далеко не весь перелік етапів натхненної праці визначного педагогареформатора родом з Полтавщини, заслуженого діяча науки України Олександра Матвійовича Астряба. 232

Видатні математики України гнєденко борис Володимирович (1915–1995) Неможливо уявити наукові дослідження та розвиток сучасної техніки без програмування. Цей предмет вивчають і в школі, і на університет ській лаві. Можливо, хтось із вас теж бажає обра ти в майбутньому професію програміста. Єдність таких різних, на перший погляд, речей, як тео ретична математика та створення комп’ютерних програм, цікаво відбилась у біографії видатного вченого Б. В. Гнєденка. Ще на початку наукової діяльності він прийшов до переконання, що повно цінне творче життя математика пов’язане з широким використанням математичних методів у розв’язанні завдань практики і водночас — у розвитку самих цих методів. Тому цілком природно, що молодий учений захопився теорією ймовірностей. У 1945 р. вже відомого вченого, доктора фізикоматематичних наук Б. В. Гнєденка було обрано членомкореспондентом Академії наук України та направлено до Львова, де він сприяв відновленню високого рівня математики у Львівському університеті після війни. У 1949 р. він закінчив писати свій підручник з теорії ймовірностей, який нині є класикою математичної науки. У другій половині 50х років ХХ століття Борис Володимирович очолив у Києві Інститут математики при Академії наук України та ке рував роботою з організації Обчислювального центру. Одночасно Гнє денко створив курс програмування для електронних обчислювальних машин, який почав читати студентам Київського університету — май бутнім співробітникам Обчислювального центру. Друкований варіант цього курсу став першим у країні підручником з програмування. Са ме до цього періоду належить початок розробки Б. В. Гнєденком двох нових напрямів прикладних наукових досліджень — теорії масового обслуговування та питань використання математичних методів у су часній медицині. Загальна кількість опублікованих наукових праць Бориса Володимировича наближається до тисячі. Своєю особистістю, науковою, педагогічною та організаційною роботою Б. В. Гнєденко яв ляє приклад плідного єднання теорії та практики. 233

Тематика повідомлень, рефератів і проєктів о розділу Дельтоїд і його властивості. Побудова опуклих чотирикутників. Фалес Мілетський і давньогрецька наука. Леонард Ейлер — унікальна постать світової науки. Геометричні місця точок, пов’язані з колом. Точки Ейлера. Коло дев’яти точок. Теорема Феєрбаха. Додаткові відомості про вписані й описані чотирикутники. Теорема Сімсона. Особливі види трикутників (ортоцентричний, педальний, різнице вий, трикутник Наполеона). Д

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

о розділу Піфагор Самоський — учений, філософ, громадський діяч. Архімед і його здобутки в геометрії. Задачі про арбелос. Пропорційні відрізки в трапеції. Теореми Чеви і Менелая та їх наслідки. Золотий переріз в архітектурі й мистецтві. Прикладне застосування подібності трикутників. Пропорційний циркуль. Д

1. 2. 3. 4. 5. 6.

ІІ

о розділу Як вимірювали в давнину? (З історії вимірювання площ.) Способи доведення теореми Піфагора. Ділення площ і перетворення рівновеликих фігур. Метод площ у геометричних доведеннях і задачах. Площі і рівноскладені фігури в математичних головоломках. Д

1. 2. 3. 4. 5.

о розділу V З історії розвитку тригонометрії. Тригонометричні тотожності в трикутнику. Геометричні нерівності, пов’язані з тригонометрією. Застосування тригонометричних функцій під час розв’язування прикладних задач. Д

1. 2. 3. 4.

ІІІ

Рекомендовані джерела інформації 234

Додатки додаток 1. Узагальнена теорема Фалеса та площа прямокутника Під час доведення деяких геометричних теорем використовується процедура поділу відрізка на певну кількість рівних частин. Це до зволяє дати числові оцінки у вигляді нерівностей і за допомогою них отримати суперечність. У курсі геометрії 8 класу такий підхід доцільно застосувати для доведення двох наведених нижче теорем. Теорема (узагальнена теорема Фалеса) Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на сторонах цього кута пропорційні відрізки. Доведення  За даними рис. 183 доведемо три формули: 1)

AC AB

AC1 AB1

;

AB BC

AB1 B1 C1

;

BC CD

B1 C1 C1 D1

Доведемо спочатку формулу 1. Нехай відрізок AC можна поділити на n рів них відрізків так, що одна з точок поділу збігається з точкою B, причому на відрізку AB лежить m то чок поділу. Тоді, провівши через точки поділу прямі, па ралельні CC1 , за теоремою Фалеса отримаємо поділ відрізків AC1 і AB1 відповідно на n та m рівних відрізків. Отже,

AC AB

n m

AC1 AB1

x A

y B1 c C 1 d

Рис. 183. Узагальнена теорема Фалеса

, що й треба довести.

Якщо описаний поділ відрізка AC неможли вий, то доведемо формулу 1 від супротивного. Нехай AC AB

≠

AC1 AB1

, тобто AB ≠ AC ⋅

AB1 AC1

Розглянемо випадок, коли AB > AC ⋅ ший випадок розгляньте самостійно).

AB1 AC1

(ін

235

додатки

P A

Відкладемо на відрізку AB відрізок

AP = AC ⋅ Y B1

AB1 AC1

< AB (рис. 184).

Розіб’ємо відрізок AC на таку кількість рівних відрізків1, щоб одна з точок поділу X потрапила на відрі зок PB . Проведемо через точки поділу прямі, паралель ні CC1 . Нехай пряма, яка проходить через точку X , перетинає промінь AC1 в точці Y . Тоді за доведеним

Рис. 184. До доведення узагальненої теореми Фалеса

AC1

. Ураховуючи, що в цій пропорції AX > AP AP

і AY < AB1 , маємо:

AB1

, тобто AP < AC ⋅

AC1

Ця нерівність суперечить вибору довжини відріз ка AP. Отже, формулу 1 доведено повністю. Доведемо формули 2 та 3. Користуючись по значеннями рис. 183, за формулою 1 маємо: a+x

c+y

a+b+x

та

a+x

c+d+y c+y

. Розділивши в кож

ній із цих рівностей чисельник на знаменник, отри маємо: 1 + b

тобто

a+x

a x

d a

⋅

a+x x

c d

та

⋅ a b

c+y y

c d

, або

x a b

, тобто

c y

; 1+

b a+x

= 1+

d c+y

c+y

Звідси a

= 1+

b a+x c d

c y

d c+y

, тобто

a b

⋅

. Таким чином, доведено, що

a+x

x a

, тобто формули 2 та 3 справджуються.

Теорему доведено повністю.  З курсу математики 5 класу відомо, що площа прямокутника дорівнює добутку двох його сусідніх сторін. Так, на рис. 185 дано прямокутник 3 × 5 , Рис. 185. Прямокут ник 3×5

236

Достатньо, щоб довжина кожного із цих відрізків була не більшою, ніж

1 2

PB .

c d

⋅

c+y y

додаток 1

який ділиться на 15 квадратів із площею 1. Отже, за аксіомами площі його площа дорівнює 15 кв. од., тобто 3 × 5 кв. од. У такий спосіб легко знайти площу прямокутника, у якого довжини сторін виражені будьякими цілими числами. Але справдження цієї формули за умови, що довжини сторін прямокутника не є цілими числа ми, — зовсім не очевидна теорема. Доведемо її. Теорема (формула площі прямокутника)

Площа прямокутника дорівнює добутку його сусідніх сторін: S = ab , де a і b — сторони прямокутника.

B3 B B21

Доведення  Доведемо спочатку, що площі прямокутни ків з одним рівним виміром відносяться як довжини інших вимірів. Нехай прямокутники ABCD та AB1C1 D мають спільну сторону AD (рис. 186, а). Розіб’ємо сторону AB на n рівних частин. Нехай на відрізку AB1 лежить m точок поді лу, причому точка поділу B2 має номер m, а точ ка B3 — номер m +1. Тоді AB2 AB1 AB3, звід ки m n

m n

AB AB1

AB1 AB

m n

1 n

m +1 n

AB , тобто

m n

AB1 AB

m +1 n

A B

L K

C3 C C21

а b

D C

Q R 1 P T

a M N

Тепер проведемо через точки поділу прямі, пара лельні AD. Вони розділять прямокутник ABCD на n рівних прямокутників (тобто таких, які суміщають ся накладанням). Очевидно, що прямокутник AB2 C2 D міститься всередині прямокутника AB1C1 D , а прямо кутник AB3 C3 D містить прямокутник AB1C1 D .

Рис. 186. До доведення формули площі пря мокутника

Отже, SAB2C2 D SAB1C1D SAB3C3 D. 237

одатки

Маємо:

m n

SAB C D 1

SABCD

⋅ SABCD SAB1C1D

n m 1 n

m +1

⋅ SABCD ,

SAB C D 1

SABCD

m +1 n

Порівнюючи вирази для шення містяться між

m n

AB1 AB 1 n

SAB C D

та

SABCD

, бачимо, що обидва ці відно

, тобто відрізняються не більше, ніж на

1 n

( n — натуральне число). Доведемо від супротивного, що ці відношення рівні. Дійсно, якщо це не так, тобто ке натуральне число1 n , що

1 n

SAB C D 1

SABCD

−

< δ, тобто δ =

AB1

= δ > 0 , то знайдеться та

SAB C D 1

SABCD

−

AB1 AB

1 n

< δ . Отримана

суперечність доводить, що площі прямокутників з одним рівним виміром відносяться як довжини інших вимірів. Розглянемо тепер прямокутники ABCD зі сторонами a і b; KLMN зі сторонами b і 1 та квадрат PQRT зі стороною 1 (рис. 186, б).

Тоді за доведеним

SKLMN SPQRT

b 1

SABCD SKLMN

a 1

. Оскільки SPQRT = 1 кв. од., то,

перемноживши отримані відношення, маємо SABCD = ab . Теорему доведено.  одаток 2. олотий переріз Із давніх давен люди намагалися пізнати світ через пошук гармонії й до сконалості. Одним із питань, яким переймалися ще давні греки, було знахо дження найкращого співвідношення нерівних частин одного цілого. Таким від часів Піфагора вважали гармонійний поділ, унаслідок якого менша частина відноситься до більшої, як більша частина відноситься до всього цілого. Такий поділ відрізка на частини описано в ІІ книзі «Начал» Евкліда і названо поді лом у середньому та крайньому відношенні. Д

Оберемо n >

238

1 1 1 1 , наприклад n =   + 1 , де   — ціла частина дробу . δ δ δ δ

додаток 2

Розглянемо поділ відрізка AB точкою C , AC

при якому

(рис. 187). Нехай довжина від

різка AB дорівнює a , а довжина відрізка CB до рівнює x . Тоді 2

a−x x

x a

, тобто x + ax − a = 0 , 2

x −1 ± 5 x x . Оскільки відно  a  + a − 1 = 0 . Звідси a = 2   шення довжин відрізків є додатним числом, то

5 2

x a

5 −1

A a–x C

a Рис. 187. Поділ відріз ка AB у крайньому та середньому від ношенні

≈ 0,6 .

Отже, якщо довжина даного відрізка дорів нює 1, то в разі поділу в крайньому та середньо му відношенні його більша частина приблизно дорівнює 0,6. Отримане число позначають грецькою буквою ϕ. Крім того, часто розглядають і відношення Φ=

1 ϕ

a x

5 +1 2

≈ 1,6 . Зазначимо, що Ф — перша

буква імені давньогрецького скульптора Фідія, який часто використовував такий поділ у своєму мистецтві (зокрема, у славетній статуї Зевса Олімпійського, яку вважали одним із семи чудес світу). В епоху Відродження (ХV–ХVІІ ст.) інтерес до гармонійного поділу надзвичайно зріс. Видатний учений і митець Леонардо да Вінчі (1452–1519) на звав такий поділ золотим перерізом, а його сучас ник і співвітчизник, італійський монахматематик Лука Пачолі (1445–1514) — божественною пропор цією. Золотий переріз і близькі до нього пропорцій ні відношення складали основу композиційної побудови багатьох витворів світового мистецтва, зокрема архітектури античності й Відродження. Одна з найвеличніших споруд Давньої Еллади — Парфенон в Афінах (V ст. до н. е.) — містить у собі золоті пропорції (зокрема, відношення висоти і до вжини цієї споруди дорівнює ϕ). Отже, дамо означення золотого перерізу. 239

додатки

Означення золотим перерізом називається такий поділ величини на дві нерівні частини, при якому менша частина відноситься до більшої, як більша частина відноситься до всього цілого.

a 2

O a 2

x C a–xB

Рис. 188. Побудова золотого перерізу відрізка

Інакше кажучи, золотий переріз — це поділ ве личини у відношенні ϕ (або Ф). Побудувати золотий переріз відрізка зада ної довжини a за допомогою циркуля і лінійки до сить просто: для цього достатньо побудувати пря мокутний трикутник із катетами a та

і провести

дві дуги з вершин гострих кутів так, як показано на рис. 188. За теоремою про пропорційність відрізків січної та дотичної AB2 = AE ⋅ AD . Тоді AD − AB AB

лотого перерізу. Отже,

AE AB

AB AD

AB = 2 OD = ED = a , то

Оскільки за побудовою AE = AD − AB і

AB AD

= ϕ за означенням зо

AC AB

= ϕ.

Переконатися в правильності побудови також можна за допомогою теореми Піфагора (зробіть це са мостійно.) Із золотим перерізом пов’язують геометричні фігури, при побудові яких використовуються відно шення ϕ і Ф. Розглянемо деякі з них. Рівнобедрений трикутник називається зо лотим, якщо дві його сторони відносяться в золо тому перерізі. Доведемо, що трикутник із кутами 36°, 72°, 72° (рис. 189, а) є золотим. Дійсно, нехай у трикутнику ABC ∠ A = ∠ C = 72° , ∠ B = 36° , AK — бісектриса. Тоді ∠ KAC = 36° , ∠ AKC = 72°, ABC CAK за двома кутами. 240

додаток 2

Отже,

AB AC

AC KC

AC BC − BK

AC AB − AC

= Ф, тобто трикутник ABC — золо

тий. І навпаки: якщо в рівнобедреному трикутнику A1 B1C1

A1 B1 A1 C1

C1 B1

= Ф,

A1 C1

то такий трикутник подібний до трикутника ABC, тобто має кути 36°, 72°, 72°. Пропонуємо самостійно переконатися, що золотим є також трикутник із ку тами 36°, 36°, 108° (рис. 189, б) і інших золотих трикутників не існує. Золоті трикутники пов’язані з правильним п’ятикутником (тобто опук лим п’ятикутником, що має рівні сторони й рівні кути). У правильному п’ятикутнику: 1) діагональ відноситься до сторони в золотому перерізі; 2) точка перетину діагоналей ділить кожну з них у золотому перерізі; 3) діагональ ділить іншу на два відрізки, один із яких ділиться в золотому перерізі ще однією діагоналлю. Згідно з позначеннями рис. 190 це означає, що =Ф=

5 +1 2

CE CD

CE CN

CN CM

=Ф=

. Для доведення цих властивостей достатньо помітити, що в пра

вильному п’ятикутнику всі кути дорівнюють

360° 5

= 108°, отже, трикутни

ки CDE, CMD, MDN є золотими. Детальні доведення пропонуємо провести самостійно. B 36°

C B

108° 72°

36° 36°

72°

36°

72°

N C

36°

б Рис. 189. Золоті трикутники

72° 108°

36°

Рис. 190. Правильний п’ятикутник

241

5 +1 2

додатки

а B

O б C

Рис. 191. Побудова золотого прямокут ника b b

б Рис. 192. Побудова золотої спіралі

242

Діагоналі правильного п’ятикутника утворюють зірку, яка в давнину вважалася символом досконалості й мала містичний зміст. Піфагорійці називали її пен таграмою та обрали символом своєї наукової школи. У наші дні п’ятикутна зірка — найпоширеніша гео метрична фігура на прапорах і гербах багатьох держав (наведіть відповідні приклади з історії та географії). Прямокутник називається золотим, якщо його сторони відносяться в золотому перерізі. Для побу дови золотого прямокутника довільний квадрат пе регинаємо навпіл (рис. 191, а), проводимо діагональ одного з отриманих прямокутників (рис. 191, б) і радіусом, що дорівнює цій діагоналі, проводимо дугу кола із центром O (рис. 191, в). Отриманий прямокутник ABCD — золотий (переконайтеся в цьому самостійно). Якщо від золотого прямокутника відрізати ква драт зі стороною, що дорівнює меншій стороні пря мокутника, то прямокутник, що залишиться, також буде золотим. Дійсно, на рис. 192, а маємо

a b

=Ф,

тоді a − b = bФ − b = b (Ф − 1) = bϕ . Необмежено продов жуючи цей процес (рис. 192, б), можна отримати так звані квадрати, що обертаються, і весь даний прямо кутник буде складений із таких квадратів. Через протилежні вершини квадратів проходить так звана зо лота спіраль, яка часто зустріча ється в природі. Наприклад, за принципом золотої спіралі розмі щується насіння в соняшнику; за золотою спіраллю закручені мушлі равликів, роги архарів, павутиння окремих видів павуків і навіть наша Сонячна система, як і деякі інші галактики.

одаток 3

Зазначимо також, що золотий переріз має чимало алгебраїчних влас 2

тивостей. Відношення ϕ наближено може бути виражене дробами

, …, де 2, 3, 5, 8, 13, … — так звані числа Фібоначчі1. Наведемо без дове

дення дві алгебраїчні формули, пов’язані з числами ϕ і Ф: ;

2) Ф = 1 + 1 + 1 + ... .

1) ϕ =

1 ...

радуси

Числа Фібоначчі — це натуральні числа ряду 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …, у якому кожне наступне число, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх.

радуси 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76

cosα ctg α tg α sin α 45° α 90° 45° α 90° 45° α 90° 45° α 90°

радуси

1,000 1,000 0,999 0,999 0,998 0,996 0,995 0,993 0,990 0,988 0,985 0,982 0,978 0,974 0,970

— 57,290 28,636 19,081 14,301 11,430 9,514 8,144 7,115 6,314 5,671 5,145 4,705 4,331 4,011

0,000 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,123 0,141 0,158 0,176 0,194 0,213 0,231 0,249

0,000 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,122 0,139 0,156 0,174 0,191 0,208 0,225 0,242

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

cosα 0° α 45°

ctg α 0° α 45°

tg α 0° α 45°

sin α 0° α 45°

радуси

одаток 3. аблиця значень тригонометричних функцій

Золотий переріз, золоті многокутники і золота спіраль є математичним відображенням ідеальних співвідношень у природі. Недарма великий німець кий поет Йоганн Вольфганг Ґете вважав їх математичними символами життя і духовного розвитку.

243

одатки

sin α 0° α 45°

tg α 0° α 45°

ctg α 0° α 45°

cosα 0° α 45°

15 16 17 18 19

0,259 0,276 0,292 0,309 0,326

0,268 0,287 0,306 0,335 0,344

3,732 3,487 3,271 3,078 2,904

0,966 0,961 0,956 0,951 0,946

75 74 73 72 71

20 21 22 23 24

0,342 0,358 0,375 0,391 0,407

0,364 0,384 0,404 0,424 0,445

2,747 2,605 2,475 2,356 2,246

0,940 0,934 0,927 0,921 0,914

70 69 68 67 66

25 26 27 28 29

0,423 0,438 0,454 0,469 0,485

0,466 0,488 0,510 0,532 0,554

2,145 2,050 1,963 1,881 1,804

0,906 0,899 0,891 0,883 0,875

65 64 63 62 61

30 31 32 33 34

0,500 0,515 0,530 0,545 0,559

0,577 0,601 0,625 0,649 0,675

1,732 1,664 1,600 1,540 1,483

0,866 0,857 0,848 0,839 0,829

60 59 58 57 56

35 36 37 38 39

0,574 0,588 0,602 0,616 0,629

0,700 0,727 0,754 0,781 0,810

1,428 1,376 1,327 1,280 1,235

0,819 0,809 0,799 0,788 0,777

55 54 53 52 51

40 41 42 43 44

0,643 0,656 0,669 0,682 0,695

0,839 0,869 0,900 0,933 0,966

1,192 1,150 1,111 1,072 1,036

0,766 0,755 0,743 0,731 0,719

50 49 48 47 46

0,707

1,000

0,707

радуси

cosα ctg α tg α sin α 45° α 90° 45° α 90° 45° α 90° 45° α 90°

244

радуси

одаток 3

Значення тригонометричних функцій гострих кутів можна наближено визначати за допомогою спеціальних таблиць. Одну з таких таблиць подано вище. Таблицю складено з урахуванням формул доповнення. У двох крайніх стовпчиках вказано градусні міри кутів (у лівому — від 0° до 45°, у право му — від 45° до 90°). Між цими стовпчиками містяться чотири стовпчики значень тригонометричних функцій: 1 й — синуси кутів від 0° до 45° (або косинуси кутів від 45° до 90°); 2 й — тангенси кутів від 0° до 45° (або котангенси кутів від 45° до 90°); 3 й — котангенси кутів від 0° до 45° (або тангенси кутів від 45° до 90°); 4 й — косинуси кутів від 0° до 45° (або синуси кутів від 45° до 90°). Розглянемо кілька прикладів застосування даної таблиці. 1) Визначимо sin 25°. Оскільки 0° 25° 45°, знайдемо в крайньому ліво му стовпчику значення 25 і розглянемо відповідний рядок першого стовпчика значень. Куту 25° у ньому відповідає число 0,423. Отже, sin 25° ≈ 0,423. 2) Визначимо sin 72°. Оскільки 45° 72° 90°, знайдемо в крайньому пра вому стовпчику значення 72 і розглянемо відповідний рядок четвертого стовп чика значень. Куту 72° у ньому відповідає число 0,951. Отже, sin 72° ≈ 0,951. 3) Визначимо кут, синус якого дорівнює 0,839. Для цього в першому або четвертому стовпчику значень знайдемо число 0,839. Воно міститься в четвертому стовпчику, тобто шуканий кут більший за 45° і менший за 90°. У відповідному рядку правого стовпчика значень знаходимо число 57. Отже, шуканий кут наближено дорівнює 57°. 4) Визначимо cos 14°. Оскільки 0° 14° 45°, знайдемо в крайньому ліво му стовпчику значення 14 і розглянемо відповідний рядок четвертого стовп чика значень. Куту 14° у ньому відповідає число 0,970. Отже, cos 14° ≈ 0,970. 5) Визначимо кут, тангенс якого дорівнює 0,7. Для цього в другому або третьому стовпчику значень знайдемо число 0,700. Воно міститься в другому стовпчику, тобто шуканий кут менший за 45°. У відповідному рядку лівого стовпчика значень знаходимо число 35. Отже, шуканий кут наближено до рівнює 35°. З більшою точністю значення тригонометричних функцій можна визна чати за «Чотиризначними математичними таблицями» В. М. Брадіса або за допомогою калькулятора.

245

Відповіді та вказівки Розділ I. Чотирикутники 11. 32 см. 12. 8 см, 4 см, 4 см, 4 см. 13. 100°. 14. 80°, 80°, 100°, 100°. 17. а) Ні; б) так; в) ні. 18. 5 см, 7 см, 8 см, 10 см. 19. 36 см. 20. 60°, 120°, 80°, 100°. 21. 60°. 25. 7 дм. 26. 100°, 100°, 100°, 60°. 41. 60 см. 42. а) 5 см і 7 см; б) 3 см і 9 см; в) 5 см і 7 см. 43. а) 110° і 70°; б) 55° і 125°; в) 45° і 135°; г) 75° і 105°. 44. а) Усі по 90°; б) 40° і 140°; в) 70° і 110°; г) 30° і 150°. 45. 10 см і 16 см. 48. Три. 49. Три. 50. 3 дм. 51. 22 м. 52. а) 70° і 110°; б) 48° і 132°. 53. а) 50° і 130°; б) 60° і 120°. 54. 54 см. 55. 32 см або 34 см. 59. 12 см. 60. 42 см або 36 см. 61. 30° і 150°. 62. 45° і 135° або всі по 90°. 65. Ні. 80. 26 см. 81. 45° і 135°. 92. Вказівка. Скористайтеся рівністю 2α + 2β = 360° , де α і β — су сідні кути чотирикутника. 93. Вказівка. На промені AO побудуйте відрі зок OC = AO і проведіть через точку C прямі, паралельні сторонам кута. 94. Вказівка. Проведіть прямі MB і MC , паралельні сторонам кута ( B і C — точки перетину цих прямих зі сторонами). Промінь MA пройде че рез середину відрізка BC . 106. 42 см. 107. 6 см, 12 см. 108. 50°. 109. 40°, 50°. 110. 16 см. 111. а) 30°, 150°; б) 60°, 120°. 112. а) 70°, 110°; б) 50°, 130°. 113. 5 м. 114. 20 см. 117. 28 см. 118. 36 см. 119. 6 см, 10 см. 120. а) 36°, 144°; б) 30°, 150°. 121. а) 45°, 135°; б) 60°, 120°. 122. 24 см. 123. 36 м. 124. 6 см. 125. 8 см. 129. 30°, 60°. 130. 60°. 131. Вказівка. Доведіть окремо рівність ви сот, проведених до протилежних сторін, і висот, проведених до сусідніх сторін. 136. б) 50°, 130°. 143. а) Ні; б) так. 144. Ні; ні. 147. а) ∠C = 130 °, ∠B = 140 °; б) 58°, 122°, 122°; в) 90°, 90°, 135°, 45°. 148. а) 68° і 112°; б) 90°, 90°, 135°, 45°. 149. 24 см. 150. 16 см. 152. а) 50° і 130°; б) 90°, 90°, 110°, 70°. 153. а) 90°, 90°, 108°, 72°; б) 60° і 120°. 154. б) 19 см. 155. а) 60° і 120°; б) 20 м. 156. 75 см. 157. 35 см. 161. 72° і 108°. 162. 60° і 120°. 178. а) 4; б) 8. 179. 16 см. 180. 6 см, 8 см і 10 см. 181. 21 см. 183. 24 см. 184. 40 см. 185. а) 10 см; б) 6 см і 8 см. 186. а) 8 см; б) 2 см і 8 см. 189. 23 см. 190. 16 см, 20 см і 24 см. 193. Сполучити середини сторін відрізками і провести через вершини отри маного трикутника прямі, паралельні його сторонам. 194. Лінія розрізу є середньою лінією трикутника. 195. 0,75a . 196. 34 см. 197. 9 см. 198. 9 см, 6 см, 3 см. 201. 2 см. 202. Вказівка. Доведіть, що AMNH — паралелограм.

246

Відповіді та вказівки

203. 2 см. 206. 40°, 40° і 100°. 213. Ні. Висота не більша за медіа ну, проведену до гіпотенузи. 216. а) 120°, 240°; б) 80°, 280°. 217. а) 90°; б) 120°; в) 100°. 218. а) 70°; б) 40°; в) 210°. 219. а) 40°; б) 50°; в) 150°. 220. α або 180° − α . 221. 30° або 150°. 222. а) 25°; б) 6 см. 223. а) 90°; б) 10 см. 225. а) 55°; б) 120°. 226. а) 120°; б) 55°. 227. 70°. 228. 45°, 60°, 75°. 229. 50°, 50°, 80°, або 50°, 65°, 65°, або 25°, 25°, 130°. 232. 80°. 233. 4 см. 234. 9 см. 240. Коло з діаметром AB без точок A і B . 241. Рис. 193. 242. Вказівка. Точка дотику належить колу з діаметром AO . 243. 80°. 244. 50 см. 248. Продовжити бічні сторони до перетину. 249. Ні; так. 252. а) Ні; б) так. 253. а) 134°, 55°; б) 100°, 80°, 100°; в) усі по 90°. 254. а) 90°, 130°, 90°; б) 115° і 65°. 258. а) 30 см; б) 28 см. 259. а) 7 см; б) 4 см. 260. 24 см. 261. 70°, 100°, 110°, 80°. 262. 55° і 125°. 267. 4 м і 9 м, 8 м і 5 м. 268. 6 см. 269. 8 см. 274. 30° і 150°. Вказівка. Опишіть коло нав коло чотирикутника BMDN . 275. 45°. Вказівка. Опишіть коло навко ло чотирикутника ACBK . 276. Вказівка. Спростування аналогічне прикла ду, поданому в п. 8.3. 277. Вказівка. Трикутники ADB і CDE не рівні, оскільки ознаки рівності трикутників за стороною і двома кутами не існує. 280. 60°. 281. 60°. 289. 9 см. 293. 6 см і 3 см або 2 см і 1 см. 294. Вказівка. На рис. 194 трикутник ABC шуканий, трикутник AOD допоміжний, AOCD — паралелограм. 296. 3 см і 9 см. 297. а) 14,4; б) 59. 299. 60° і 120°. B α B

Рис. 193

D Рис. 194

300. 14 см. 301. 90°, 45°, 45°. 303. 4 см. 304. 18 см. 305. 5 см і 3 см. 306. а) 60°, 120°; б) 2 см, 6 см, 4 см, 4 см. 307. б) Вказівка. Про ведіть через точку M середні лінії трикутників ABC і ACD ; доведіть за нерівністю трикутника, що точки E , F і M лежать на одній пря мій. 309. a + c або a − c . 310. Вказівка. Медіани трикутника BCD пере тинаються в одній точці. 311. Вказівка. Висоти трикутника з вершинами 247

Відповіді та вказівки

у серединах відрізків AB , AC і AD перетинаються в одній точці. 312. Вказівка. Дані бісектриси при перетині утворюють прямокутний трикутник, у якому відрізок середньої лінії є медіаною. 313. Вказівка. Доведіть, що вершини шуканого трикутника і точка перетину даних прямих лежать на одному колі. 314. Вказівка. Скористайтеся опорною задачею про кут між дотичною і хордою (§ 7, № 230). 315. 60° і 120°. 316. Вказівка. Доведіть, що чотирикутник ABMC вписаний.

Розділ I. Подібність трикутників. еорема Піфагора І

325. а) Так; б) ні. 326. 6; 12. 327. 15; 9. 328. а) 3 см; б) 4 см. 329. 14 см. 330. а) 25°; б) 50°. 331. 20°, 70°. 332. а) 10 см, 16 см, 20 см; б) 5 см, 8 см, 10 см. 333. 19 см. 336. а) 15 см; б) 12 см. 337. 7 см. 338. а) 16; б) 3. 343. 8 см і 27 см. 345. Вказівка. На останньому кроці доведення виконано ділен ня на нуль. 346. 6 см. 347. 46 см. 348. Рівнобедрений. 349. Ні. 360. 120 м. 361. б) 6 см. 362. б) 12 см. 364. 10 см. 365. 4 см, 4 см, 2 см. 370. 24 см. 371. 6 см і 14 см. 373. Ні; так. 378.

2ab

. 379.

a+b

an + bm m+n

. 382. 36°,

72°, 72° або 36°, 36°, 108°. 384. 35° і 55°. 390. Другий. Трикутник зі сторо нами a, b, c може не бути прямокутним або не існувати взагалі. 396. 60 м. 397. 13,8 м. 398. а) 10 см; б) 30 см і 40 см. 399. 30 см. 401. б) 6 см. 402. 20 см і 30 см. 403. 6 см. 405. ac =

, bc =

. 406. 30 см і 40 см.

407. Лежить поза колом. 408. 6 см. 409. 20 см. 410. 1 : 8 або 7 : 8. 411. 3 : 4. 413. Вказівка. Скористайтесь додатковою побудовою, яка застосовується для доведення відповідної ознаки рівності прямокутних трикутників. 414. У 2,5 разу. 415. 72°, 108°. 426. а) 41 см; б) 21 см. 427. а) 26 см; б) 28 см. 431. 45°. 432. 36 см.

433. 12 см. 435. 24 м. 436. 10 см або 2 7 см. 437. а) 27 см і 36 см; б) 15 см, 20 см, 25 см. 438. а) 24 см і 26 см; б) 30 см, 40 см, 50 см. 440. 8 см. 441. 26 см. 442. 12,5 см і 12 см. 444. 52 см; так. 445. 25 м. 446. 9 см або 21 см. 447. а) 9; б) 8. 448. 15 см. 449. 12 см. 450. 20,5 см. Вказівка. Дове діть, що трикутник АВС прямокутний. 451. 12 см. 452. 13 см. Вказівка. Доведіть, що трикутник ABC прямокутний. 453. 1 м. Вказівка. Про ведіть через вершину трапеції пряму, паралельну діагоналі. 454. 10 см. 456. Вказівка. Для доведення оберненого твердження проведіть із двох про тилежних вершин чотирикутника перпендикуляри до діагоналі і доведіть, що їх основи збігаються. 463. а) 12 см; б) 6 см і 4 см. 464. 3 см. 465. 10 см,

248

Відповіді та вказівки

15 см, 20 см. 466. 21 см, 28 см, 35 см. 467. 36 см. 468. 25 см і 30 см. 469. 64 см. 470. 20 см. 471. 4 см. 472. 6 см. 473. 15 см. 474. 72 см. Вказівка. Доведіть, що дана точка лежить на бісектрисі трикутника. 475. 36 см або

(18 + 6 6 ) см. Вказівка. Доведіть, що дана точка лежить на бісектрисі трикут

497.

2 3 +3 4

2ab

. 498.

b−a

ника. 476. Вказівка. Доведіть подібність трикутників ACD і CBD. 477. Вказівка. Проведіть висоту ВH і доведіть подібність трикутників CAD i CBH. 481. 30°. 482. 9. 483. 8 см і 15 см. 484. 5 см, 5 см, 6 см. 485. 15 см і 20 см. 486. 8 см, 9 см, 10 см. 487. 12 см. 488. 96 см. 489. 1,2 м. 494. а) 4 : 1; б) 1 : 1; в) 1 : 2; 4 : 3. 496. 4 см. . 499. 28 см. Вказівка. Доведіть подібність прямо

кутних трикутників, які відтинаються від даного трикутника висотами. 501. 2,5 і 1. Вказівка. Центри даних кіл є вершинами прямо a2 + c2 − b2 . Вказівка. Проведіть че

кутного трикутника. 502.

рез точку M прямі, паралельні сторонам прямокутника. 503. Коло з діаметром AB. 504. Розв’язання. У чотирикутнику ABCD AB = a , BC = b , CD = c , AD = d , BD = d1 , AC = d2 (рис. 195). Побудуємо три кутник ABE , подібний до трикутника DBC ( ∠1 = ∠ 2 за побудовою, ∠ 3 = ∠ 4 як вписані кути, що спираються на одну дугу), з подібності ма ємо:

a AE

d1 c

, тобто d1 ⋅ AE = ac . Аналогічно з подібності трикутни b

ків CBE і DBA маємо

, тобто d1 ⋅ CE = bd . Додамо отримані рівно

сті: d1 ⋅ AE + d1 ⋅ CE = ac + bd , тобто d1 ⋅ d2 = ac + bd , що й треба було довести. 505. Розв’язання. Проведемо в трикутнику ABC бісектрису CL і позначимо BC = a , AC = b , BL = m , AL = n , CL = lc (рис. 196). B A

d2 F

E d

Рис. 195

C b

1 2

a C B

m L n

b A

Рис. 196

249

Відповіді та вказівки

Опишемо коло навколо даного трикутника і продовжимо бісектрису CL до перетину з колом у точці D . За теоремою про пропорційність хорд маємо BL ⋅ AL = CL ⋅ DL або m ⋅ n = lc ⋅ (CD − lc ) . З подібності трикутників BCL і DCA ( ∠1 = ∠ 2 за означенням бісектриси, ∠ 3 = ∠ 4 як вписані кути, що спираються на одну дугу) маємо:

BC CL

CD AC

або

a lc

CD b

, тобто CD =

ab lc

. Підставимо це

 ab  значення в рівність m ⋅ n = la ⋅ (CD − la ) : m ⋅ n = lc ⋅  − lc  або lc2 = ab − mn , що  l  й треба було довести. c

Розділ I. Многокутники. Площі многокутників ІІ

513. а) 720°; б) 1800°. 514. а) 5; б) 7; в) 9. 515. 135°. 516. 120°. 518. а) 11; б) ні; в) 13. 519. Семикутник; 900°. 520. 6. 521. а) 3; б) 5; в) 6. 523.

n ( n − 3) 2

525. 150°, 60°, 150°. 526. Вказівка. Скористайтесь нерівністю трикутника. 527. Ні. Вказівка. Скористайтесь нерівністю трикутника. 539. а) 36 см2; б) 140 см2; в) 60 см2. 540. 60 см. 541. 144 м2. 542. 16 2 см. 543. 8 см і 16 см. 544. а) 60 см2; б) 12 см; в) 5 см. 545. 120 см2. 546. 8 см і 6 см. 547. 12 см. 548. 180. 549. 21 см2 або 28 см2. 550. 240 см2. 551. а) 72 см2; б) 30 см2; в) 40 см2. 552. а) 78 см2; б) 32 см2. 553. 4 см. 554. 120 см2. 555. 50 см2. 557. 16 м2. Вказівка. Доведіть, що сума даних відстаней дорівнює стороні квадрата. 558. 180 см2. 559. 384 см2. Вказівка. Даний кут дорівнює гострому куту паралело грама. 560. Вказівка. Розгляньте відношення катетів прямокутних три кутників ABE і DCE та доведіть, що ці трикутники не є подібними, тобто точка C не лежить на прямій BE . 561. 351 см2. 562. 202,8 см2. 563. 60° і 120°; паралелограм і рівносторонній трикутник. 564. 8 см2. 572. а) 20; б) 24; в) 4 3 . 573. а) 60 см 2 ; б) 75 см 2 . 574. а) 96 см2; б) 12 см2. 575. 60 см. 576. 10 см. 577. 1 − a l . 578.

1 2

579. 80 м2. 580. 8 см і 16 см. 583. а) 42 см2; б) 64 см2. 584. 48 см2. 585. 24 см2. 586. а) 84 см 2; б) 39 см 2; в) 4 3 см 2 . 587. а) 12 см 2; б) 96 см 2 . 588. 294 см2. 589. 2S . 590. S . 591. 20 см. 592. 18 см2. 596. а) 486 см2; б) 186 см2. 597. 768 см2. 601. Вказівка. Шукані прямі ділять сторони BC і CD у відношенні 1 : 2, починаючи від вершини C . 602. а)

250

; б)

1 3

Відповіді та вказівки

. 616. а) 4 см; б) 2 см2. 617. 6 см2.

в) 1 : 4. 614. а) 81 см2; б) 1 см2. 615.

603. а) S1 + S2 + S3 + S4 ; б) 7S . 604. 80 см2. 605. 1020 см2. 607. а) 1 : 5; б) 4 : 5; 9

618. 20 см2. 619. 210 см. 620. 6 см. 621. 40 см. 624. 27 см2 і 3 см2. 625. 108 м. 626. 36 см2. 627. 250 м2. 628. 12 см і 16 см. 629. 24 см. 630. 15 см і 20 см. 633. 1 : 2 − 1 . 634. Шукана пряма ділить сторони трикутника у відношенні 3 : 2 або 4 : 1, починаючи від вершини, протилежної паралельній їй стороні. 638. 30°, 30°, 120°. 640. Висота трикутника вдвічі більша. 643. а) 20 см2, 30 см2; б) 8 см2, 12 см2, 18 см2, 12 см2. 646. 468 см2 або 300 см2. 647. б) Якщо

)

(

висота, проведена до AB , більша за

AB . 648. Вказівка. Розрізи мають про

ходити через середини бічних сторін перпендикулярно до основ. 649. Вказівка. Застосуйте метод площ і обернену теорему Піфагора. 651. Вказівка. Площа трикутника не перевищує половини добутку двох його сторін. 652. 654. Див. вказівку до задачі 651. 656.

(

S1 + S2

площі трикутників AOB і COD дорівнюють що SAMB =

1 2

2 3

ma mb .

) . Вказівка. Доведіть, що 2

S1S2 . 657. Вказівка. Доведіть,

SABCD .

Розділ IV. Розв’язування прямокутних трикутників 668.

8 17

15 17

8 15

. 670. а)

5 13

; б)

; в)

б) sin α ; в) 2. 673. а) cos α ; б)

в) sin A =

1 2

, tg A = 3 , ctg A =

, cos A =

1 5

. 671. а)

4 3

; б)

; в) tg α . 676.

5 2 5 13

; б) sin A = 0, 96, tg A =

. 672. а) sin2 α ; 12 13 24

679. а) cos A =

cos α

3 1

, ctg A = . 680. а) 2

5 12

, 2,4.

, ctg A =

7 24

;

3 ; б) 1. 681. а) ctg2 α ; б) cos3 α ;

в) sin2 α . 682. а) sin α ; б) 1; в) 1. 685. а) tg α ; б) sin2 α ; в) tg2 α . 686. а) 2; б) sin α ; в) 1. 687. 16 см. 688. 60 см 2 . 695. а) 54°; б) 8°; в) 60°; г) 45°. 696. а) 40°; б) 30°; в) 45°. 698. а) 1,5; б) 1,5; в) 0,5. 699. а) 1; б) 0,5; в) 0,5. 700. а) 0,6 і 0,8; б) 0,5 і 3 . 701. а) 0,8 і 0,6; б) 1. 702. а) 68°; б) 30°. 251

Відповіді та вказівки 3

703. а) 76°; б) 45°. 704. а) 2; б)

; в) 1. 705. а)

, 3; б) 1. 706. b .

709. 1. 711. 36 см2. 712. a2 . 718. 14 см. 719. 222 м. 720. 45°, 45°. 721. а) β = 60°, a = 4 , b = 4 3 ; б) β = 48°, a ≈ 6,69 , b ≈ 7, 43 . 722. а) α = 45°, b = 2 , c = 2 2 ; б) β = 72°, c ≈ 12, 94 , b ≈ 12,31 . 723. а) β = 62°, a ≈ 5,63 , b ≈ 10,6 ; б) α = 50°, c ≈ 10, 44 , b ≈ 6,71 . 724. а) b = 9 , α = β = 45°; б) b = 7 , α ≈ 74°, β ≈ 16°. 725. а) c = 12 , α = 60°, β = 30°; б) c = 41 , α ≈ 13°,  β ≈ 77°. 726. а) b = 8 , α ≈ 37°, β ≈ 53°; б) c = 6 , α ≈ 56°, β ≈ 34°. 729. ≈ 9,40 і ≈ 3,42. 730. 60 см. 731. ≈ 45° і ≈ 135°. 732. а) AB = 8 , BC = 8 3 , AC = 16 , ∠ A = 60°, ∠C = 30°; б) BC ≈ 293, 94 , AB ≈ 51, 83 , AC ≈ 298, 48 ,  733. AB = 3,75 , BC = 5 , AC = 6,25 , ∠ A ≈ 53 , ∠ C ≈ 37 . 734. ≈ 10,99 ∠ A = 80°.

і ≈ 11,70. 735. 8 + 5 2 . 736. ≈ 68°. 737. ≈ 51°. 738. a =

m sin α + cos α

m 1 + ctg α

, b=

m 1 + tg α

, β = 90 −α . Вказівка. Виразіть дві сторони трикутника че

ϕ ϕ ϕ  рез третю сторону і кут α. 739. α = 45 − , β = 45 + , a = c sin  45 −  , 2 2 2  ϕ d  b = c sin  45 +  . 740. 30° і 60°. 741. . 742. ≈ 16°. 743. 4 см, 2 ctg α − ctg β 

4 2 см, 32 см 2 . 744.

sin α

. Вказівка. Проведіть висоту h

і скористайтесь тим, що h = 2r . 745. 5 2

(

)

3 − 1 , 10

(

)

3 − 1 . Вказівка. l cos

Проведіть висоту до даної сторони і складіть рівняння. 747. 749. Не менш ніж 2°. 751.

1− a

1+ a

трикутників ACE і BCD . 753.

1 2

. 752.

1 4

2 cos α

. 748. ≈ 37°.

. Вказівка. Доведіть подібність

d(1 + sin α) ,

1 2

d(1 − sin α) . 754.

(

2 1+ 3 4

Вказівка. Побудуйте трикутник із кутами 75°, 45° і 60° та проведіть його найменшу висоту. 755. S cos2 α . Вказівка. Доведіть, що трикутники ABC і AB1C1 подібні з коефіцієнтом cosα .

252

Предметний покажчик

Б Бічні сторони трапеції 41

Квадрат 33 Коефіцієнт подібності 105

Паралелограм 14 Периметр многокутника 157 — чотирикутника 8 Площа — квадрата 166 — многокутника 163, 165

Діагональ многокутника 157 — чотирикутника 7

Ознака подібності трикутників — — — за двома кутами 111 — — — за двома сторонами і кутом між ними 112 — — — за трьома сторонами 114 — прямокутника 31 — рівнобічної трапеції 43 Ознаки паралелограма 22 Основи трапеції 41 Основна тригонометрична тотожність 207

Г Градусна міра дуги кола 61

Многокутник 157 — вписаний у коло 158 — описаний навколо кола 158 — плоский 158

Вершини многокутника 157 — чотирикутника 7 Висота паралелограма 15 — трапеції 41 Відношення відрізків 103 — площ подібних трикутників 186 Властивість бісектриси трикутника 136 — медіан трикутника 82 — прямокутника 31 — рівнобічної трапеції 42 — середньої лінії трапеції 54 — середньої лінії трикутника 53 Властивості квадрата 34 — паралелограма 15 — перпендикуляра, похилих і проєкцій 131 — ромба 32 Внутрішня область многокутника 158 — — чотирикутника 8

Аксіоми площ 164–165

Косинус гострого кута прямокутного трикутника 205 Котангенс гострого кута прямокутного трикутника 206 Кут внутрішній опуклого многокутника 158 — вписаний 61 — зовнішній опуклого многокутника 158 — внутрішній опуклого чотирикутника 9 — центральний 60

253

Предметний покажчик

— паралелограма 167 — прямокутника 166 — ромба 174 — трапеції 175 — трикутника 173 — — прямокутного 174 — — рівностороннього 174 Подібні трикутники 105 Похила 131 Проєкція похилої 131 Пропорційні відрізки 103 Прямокутник 31

Р Рівновеликі фігури 165 Рівносильні твердження 35 Розв’язування прямокутних трикутників 218 Ромб 32

С Середня лінія трапеції 54 — — трикутника 52 Синус гострого кута прямокутного трикутника 205 Сторони многокутника 157 — чотирикутника 7

254

Т Тангенс гострого кута прямокутного трикутника 205 Теорема, обернена до теореми Піфагора 130 — Піфагора 128, 189 — Фалеса 51 Точка перетину бісектрис трикутника 84 — — висот трикутника 84 — — медіан трикутника 82 — — серединних перпенди кулярів до сторін трикутника 84 Трапеція 41 — прямокутна 42 — рівнобічна 42

Ч Чотирикутник 7 — вписаний у коло 70 — описаний навколо кола 72 — опуклий 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ІІІ

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Розділ . Чотирикутники § 1. Чотирикутник і його елементи § 2. Паралелограм і його властивості § 3. Ознаки паралелограма § 4. Види паралелограмів § 5. Трапеція Видатні математики України. Погорєлов Олексій Васильович § 6. Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції § 7. Вписані кути § 8. Вписані й описані чотирикутники § 9. Застосування властивостей чотирикутників. Властивість медіани трикутника Підсумки Видатні математики України. Боголюбов Микола Миколайович Розділ I. Подібність трикутників. еорема Піфагора § 10. Подібні трикутники § 11. Ознаки подібності трикутників § 12. Співвідношення між сторонами прямокутного трикутника § 13. Теорема Піфагора та наслідки з неї § 14. Застосування подібності трикутників. Властивість бісектриси трикутника Підсумки Видатні математики України. Глушков Віктор Михайлович Розділ . Многокутники. Площі многокутників § 15. Многокутник і його елементи § 16. Площа многокутника. Площі прямокутника й паралелограма § 17. Площі трикутника, ромба і трапеції § 18. Застосування площ Підсумки Видатні математики України. Ляпунов Олександр Михайлович Видатні математики України. Крейн Марк Григорович Розділ V. Розв’язування прямокутних трикутників § 19. Тригонометричні функції гострого кута § 20. Обчислення значень тригонометричних функцій § 21. Розв’язування прямокутних трикутників Підсумки Видатні математики України. Астряб Олександр Матвійович Видатні математики України. Гнєденко Борис Володимирович Тематика повідомлень, рефератів і проєктів одатки Додаток 1. Узагальнена теорема Фалеса та площа прямокутника Додаток 2. Золотий переріз Додаток 3. Таблиця значень тригонометричних функцій Відповіді та вказівки Предметний покажчик

Зміст 7 14 22 31 41 50 51 60 70

82 88 100

103 111 120 128 136 144 154

157 163 173 186 194 199 202

205 213 218 226 232 233 234

235 238 243 246 253

Відомості про користування підручником Стан підручника

Навчаль ний рік

Прізвище та ім’я учня / учениці

№ з/п

на початку року

в кінці року

1 2 3 4 5

ко

олобород

ршова

Навчальне видання Є Алла Петрівна Г ь Вадим Володимирович КРИЖАНОВС КИЙ Олександр Феліксович ЄРШОВ Сергій Володимирович і

«Геометр я» Підручник для 8 класу закладів загальної середньої освіти 2-ге видання, перероблене Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено Підручник відповідає Державним санітарним нормам і правилам «Гігієнічні вимоги до друкованої продукції для дітей»

Редактори С. В. Русінова, О. В. Костіна. Художнє оформлення В. І. Труфена. Технічний редактор С. О. Петрачков. Комп’ютерна верстка С. В. Яшиша. Коректор Н. О. Красна

Підписано до друку 27.05. 2021 р. Формат 70×90/16. Папір офсетний. Гарнітура Шкільна. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 18,72. Обл. вид. арк. 17,2. Наклад 41 205 пр. Зам. № 3706 2021.

Підручник надруковано на папері українського виробництва

Надруковано у друкарні ТОВ «ТРІАДА-ПАК», пров. Сімферопольський, 6, Харків 61052. Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 5340 від 15.05.2017. Тел. +38 (057) 712-20-00. Е-mail: sale@triada.kharkov.ua

ТОВ Видавництво «Ранок», вул. Кібальчича, 27, к. 135, Харків, 61071. Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 5215 від 22.09.2016. Адреса редакції: вул. Космічна, 21а, Харків, 61165. E mail: office@ranok.com.ua. Тел. (057) 719 48 65, тел./факс (057) 719 58 67.