1 by Орко

М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова, І. М. Богатирьова, О. М. Коломієць, З. О. Сердюк

ГЕОМЕТРІЯ 11 Профільний рівень

М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова, І. М. Богатирьова, О. М. Коломієць, З. О. Сердюк

Ïіäðó÷íèê äëÿ 11 êëàñó çàêëàäіâ çàãàëüíîї ñåðåäíüîї îñâіòè

Ïðîôіëüíèé ðіâåíü

Êèїâ 2019

3 УДК

ЗМІСТ

Б91

ДОРОГІ ДРУЗІ!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 РОЗДІЛ 1. МНОГОГРАННИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 § 1. Многогранні кути . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 § 2. Многогранник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 § 3. Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 § 4. Паралелепіпед . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 § 5. Піраміда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 § 6. Правильні многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 Перевірте, як засвоїли матеріал Контрольні запитання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 Тестові завдання до розділу 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 РОЗДІЛ 2. ТІЛА ОБЕРТАННЯ § 7. Тіла й поверхні обертання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Циліндр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 10. Вписані й описані призми та піраміди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 11. Куля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12. Описані та вписані кулі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Перевірте, як засвоїли матеріал Контрольні запитання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Тестові завдання до розділу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . РОЗДІЛ 3. ОБ’ЄМИ МНОГОГРАННИКІВ § 13. Поняття про об’єм тіла. Об’єм прямокутного паралелепіпеда § 14. Об’єм призми § 15. Об’єм піраміди Перевірте, як засвоїли матеріал Контрольні запитання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Тестові завдання до розділу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Бурда М. І. Б91 Геометрія. Профільний рівень : підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закл. / М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова, І. М. Богатирьова, О. М. Коломієць, З. О. Сердюк, 2019. — К. : УОВЦ «Оріон», 2019. — 224 с. : іл. ISBN

РОЗДІЛ 4. ОБ’ЄМИ ТА ПЛОЩІ ПОВЕРХОНЬ ТІЛ ОБЕРТАННЯ § 16. Об’єми циліндра та конуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 17. Площі бічної і повної поверхонь циліндра та конуса . . . . . . . . . . . . . § 18. Об’єм і площа поверхні кулі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Перевірте, як засвоїли матеріал Контрольні запитання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Тестові завдання до розділу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

УДК

ISBN

Готуємось до ЗНО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Відповіді та вказівки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметний покажчик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Додатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Дорогі друзі! Ви продовжуєте вивчати стереометрію — розділ геометрії про властивості фігур у просторі. У 10 класі ви ознайомилися із взаємним розміщенням прямих і площин у просторі, дізналися про координати, вектори та геометричні перетворення у просторі. Тепер ви розширите й поглибите свої знання зі стереометрії. Дізнаєтесь про властивості многогранників і тіл обертання, як знаходити їх об’єми та площі поверхонь. Виробите вміння застосовувати вивчені поняття, властивості й ознаки під час розв’язування задач та на практиці. Як успішно вивчати геометрію за підручником? Увесь матеріал поділено на чотири розділи, а розділи — на параграфи. У кожному параграфі є теоретичний матеріал і задачі. Вивчаючи теорію, особливу увагу звертайте на текст, біля якого є позначка «флешка». Це — найважливіші означення і властивості геометричних фігур. Їх потрібно зрозуміти, запам’ятати й уміти застосовувати під час розв’язування задач. Інші важливі відомості надруковано жирним шрифтом. Курсивом виділено терміни (наукові назви) понять. Перевірити, як засвоєно матеріал параграфа, повторити його допоможуть запитання рубрики «Пригадайте головне», які є після кожного параграфа. А після кожного розділу вміщено контрольні запитання й тестові завдання, за якими можна перевірити, як засвоєно тему. Ознайомтеся з порадами до розв’язування задач, із розв’язаною типовою задачею. Задачі підручника мають чотири рівні складності. Номери задач початкового рівня складності позначено штрихом (′). Це підготовчі вправи для тих, хто не впевнений, що добре зрозумів теоретичний матеріал. Номери з кружечком ( ° ) позначають задачі середнього рівня складності. Усім треба вміти їх розв’язувати, щоб мати змогу вивчати геометрію далі. Номери задач достатнього рівня складності не мають позначок біля номера. Навчившись розв’язувати їх, ви зможете впевнено демонструвати достатній рівень навчальних досягнень. Зірочкою (*) позначено задачі високого рівня складності. Якщо не зможете відразу їх розв’язати, не засмучуйтесь, а виявіть терпіння й наполегливість. Радість від розв’язання складної задачі буде вам нагородою.

Розв’язавши задачі, виділені жирним шрифтом, запам’ятайте їх формулювання. Ці геометричні твердження можна застосовувати до розв’язування інших задач. Скориставшись рубрикою «Дізнайтеся більше», ви зможете поглибити свої знання, розширити кругозір. У підручнику використано спеціальні позначки (піктограми). Вони допоможуть краще зорієнтуватися в навчальному матеріалі.

Поміркуйте

Типова задача

Зверніть увагу

Домашнє завдання

Як записати/ прочитати

Запам’ятайте

Бажаємо вам успіхів у пізнанні нового та задоволення від навчання!

Розділ 1

У розділі дізнаєтесь: що таке многогранний кут; про многогранник, його різновиди й властивості; якими бувають призми, паралелепіпеди та піраміди; що таке правильний многогранник та які його властивості; як застосувати вивчені означення й властивості на практиці та в розв’язуванні задач

9 секцій старовинної китайської парасольки. Відповідно, на даху будинку бачимо чотири плоскі кути: ASB, BSC, CSD і DSA, а на парасольці — більше двадцяти плоских кутів: ASB, BSC, CSD,… NSA. Дах має чотири ребра: SA, SB, SC і SD, а парасолька — більш ніж двадцять ребер: SA, SB, SC,… SN. Властивості цих та аналогічних їм конструкцій у геометрії вивчають за допомогою фігури «многогранний кут».

§ 1. МНОГОГРАННІ КУТИ 1. ЩО ТАКЕ МНОГОГРАННИЙ КУТ Подивіться на малюнки 1.1–1.3. Ви бачите, що площини двох стін і стелі кімнати (мал. 1.1) сходяться в одній точці S. Прямі SA, SB і SC перетину цих площин не лежать в одній площині. У кожній із площин утворився відповідний плоский кут: ASB, BSC, CSA. Попарно спільні сторони цих кутів SA, SB і SC утворюють своєрідні ребра конструкції. Розглянемо інші приклади. На малюнку 1.2 у спільній точці S сходяться площини чотирьох схилів даху будинку, а на малюнку 1.3 — більш ніж двадцять площин

Многогранним М н кутом називається фігура, утворена кількома плоскилоскими к кутам и, причокутами зі спільною вершиною й попарно спільними сторонами, му ко кожні три послідовні спільні сторони не лежать в одній площині. Плоскі кути многогранного кута також називають його гранями, їх спільні сторони — ребрами, а спільну вершину — вершиною многогранного кута. На малюнку 1.4 ви бачите чотиригранний кут з вершиною S, гранями ASB, BSC, CSD, DSA та ребрами SA, SB, SC, SD. Елементами многогранного кута є його плоскі кути при вершині, а також двогранні кути при його ребрах. S S D

α ϕ

C A

D A

Мал. 1.4

Мал. 1.1

D A

Мал. 1.5

Коротко говоримо: чотиригранний кут з вершиною S або многогранний кут SABCD. Про многогранний кут з n гранями говоримо: n-гранний кут. Многогранні кути можуть бути опуклими (як на мал. 1.4) і неопуклими (мал. 1.5). Ми вивчатимемо лише опуклі многогранні кути. Чи є двогранний кут многогранним кутом? Ні, оскільки двогранний кут не задовольняє означення многогранного кута.

В опу опуклого многогранного кута сума всіх плоских кутів менша енша від 360 360° 360°.

Мал. 1.2

S N A B

Мал. 1.3

2. ТРИГРАННИЙ КУТ Найменша кількість граней у многогранного кута — три. Такий кут називають тригранним кутом. На малюнку 1.6 ви бачите тригранний кут SABC. Про взаємне розміщення його плоских і двогранних кутів можна, наприклад, сказати: плоский кут ASB лежить проти двогранного кута з ребром SC, і навпаки.

B Мал. 1.6

11 D1

∆ SBC — рівнобедрений з кутом при вершині 60°, тому він є рівностороннім і BC = a 2 . За наслідком з теореми косинусів одержимо:

(

2 2 AB2 + AC2 − BC2 a + a − a 2 cos A = = 2 ⋅ AB ⋅ AC 2⋅a⋅a

B1 C

D B

Мал. 1.7

D A

Мал. 1.8

Тригранні й многогранні кути є елементами відомих вам многогранників. При кожній вершині куба (мал. 1.7) і прямокутного паралелепіпеда (мал. 1.8) відповідні площини граней утворюють тригранний кут. Серед пірамід така властивість притаманна лише трикутній піраміді (мал. 1.9). В n-кутній піраміді, де n > 3 (мал. 1.10), лише при вершинах основи утворюються тригранні кути, а при вершині піраміди — n-гранний кут. Сформулюємо основні властивості тригранних кутів.

= 0.

Отже, ∠ BAC = 90°. Чи можна вважати кути ABC і ACB трикутника ABC лінійними кутами двогранних кутів при ребрах SB і SC тригранного кута SABC на малюнку 1.11? Ні, оскільки площина трикутника ABC не перпендикулярна до прямих SB і SC.

)

Мал. 1.9

Лінійні кути двогранних кутів при ребрах тригранного кута не можуть уть л лежати в одній площині, оскільки жодна площина не може бути одночасно перпендикулярною до трьох прямих, що перетинаються.

A B C Мал. 1.10

3. ТЕОРЕМИ ПРО ТРИГРАННІ КУТИ Ви знаєте, що в трикутнику існують залежності між його сторонами й кутами, зокрема теорема косинусів і теорема синусів. Чи існує залежність між мірою двогранних кутів тригранного кута та його плоских кутів? Відповідь дають наступні теореми. ТЕОРЕМА 1

Властивості тригранних кутів. В и двох 1. Кожний плоский кут тригранного кута менший від суми інш його плоских кутів. інших 2 Кожен плоский кут тригранного кута більший за різницю ю двох 2. інших його плоских кутів. Задача 1. У тригранного кута з вершиною S два плоскі кути дорівнюють по 45°, а третій — 60° (мал. 1.11). Чому дорівнює його двогранний кут, що лежить проти найбільшого плоского кута? Розв’язання. На спільному ребрі рівних плоских кутів даного тригранного кута позначимо точку A і проведемо через неї площину, перпендикулярну до ребра SA. Позначимо B і C точки її перетину з двома іншими ребрами даного S тригранного кута. Тоді ∠ ASB = ∠ ASC = 45°, 60 ∠ BSC = 60°. Треба знайти ∠ BAC. Для цьо° C 45° го знайдемо сторони ∆ ABC і скористаємося теоремою косинусів. Сторони AB і AC можемо знайти з трикутників SAB і SAC, а сторону BC — з трикутника SBC. ∆ SAB = = ∆ SAC за катетом SA і гострим кутом 45°, A B звідки AB = AC, SB = SC. Нехай SA = a, тоді AB = AC = a, SB = SC = a 2 . Мал. 1.11

(косинусів для тригранного кута). Якщо α, β, γ — плоскі кути тригранного кута і ∠С — двогранний кут, що лежить проти кута γ, то cosγ = cosα cosβ + sinα sin β cosС. Дано: α, β, γ — плоскі кути тригранного кута (мал. 1.12), ∠С — двогранний кут, що лежить проти кута γ. Довести: cosγ = cosα cosβ + sinα sinβ cosС. Доведення. Розглянемо випадок, коли кути α і β — гострі. На ребрі c візьмемо довільну точку C, відмінну від точки S. Через точку C проведемо у гранях Sac і Sbc перпендикуляри CA і CB до ребра с, де точки A і B — точки перетину цих перпендикулярів з променями a і b. Тоді α = ∠CSB, β = ∠CSA, γ = ∠ASB. Звідси ∠ACB — лінійний кут двогранного кута при ребрі c. Позначимо довжину відрізка SC через n, тоді з пряn мокутних трикутників SCA і SCB маємо: SA = , cos β SB =

n , CA = ntgβ, CB = ntgα. cos α

S α

β γ C B

c a

Мал. 1.12

13 Застосуємо теорему косинусів для трикутників SAB і CAB: n2 n2 2n2 + − ⋅ cos γ ; AB2 = SA2 + SB2 – 2SA ⋅ SB ⋅ cosγ, AB2 = cos2 β cos2 α cos α cos β

AB2 = CA2 + CB2 – 2CA ⋅CB ⋅ cosC, AB2 =n2tg2α + n2tg2β – 2 n2tgαtgβ ⋅ cosC. Прирівняємо праві частини обох рівностей: n2 n2 2n2 + − ⋅ cos γ = n2 tg2 α + n2 tg2β − 2n2 tgαtgβ cos C . 2 2 cos β cos α cos α cos β Виконавши елементарні тригонометричні перетворення, одержимо: cosγ = cosα cosβ + sinα sin β cosС. Інші випадки, коли кути α і β: обидва тупі; обидва прямі; один гострий, а інший прямий; один тупий, а інший гострий, — розгляньте самостійно. НАСЛІДОК 1 (формула трьох косинусів для тригранного кута). Якщо у тригранного кута ∠С = 90°, то cosγ = cosα cosβ (мал. 1.12). Твердження безпосередньо випливає з доведеної теореми. НАСЛІДОК 2. Якщо у тригранного кута α + β + γ = 180°, то cosА + cosВ + cosС = 1. Справді, рівність одержимо, якщо виразимо cosА, cosВ і cosС із співвідношення теореми косинусів для тригранних кутів та врахуємо, що, наприклад, γ = 180° – (α + β). (синусів для тригранного кута). Якщо α, β, γ — плоскі кути тригранного кута, а ∠A, ∠B, ∠С —

sin α sin β sin γ = = . sin A sin B sin C

Дано: α, β, γ — плоскі кути тригранного кута ; ∠A, ∠B, ∠С — протилежні їм двогранні кути (мал. 1.13). sin α sinβ sin γ = = Довести: . sin A sin B sin C Доведення. За теоремою косинусів для тригранного кута: cosα = cosβ cosγ + sinβ sinγ cosA. cosα − cosβ cosγ Звідси cos A = , sinβ sin γ

( cosα − cosβcosγ )

C B α

sin2 β sin2 γ

γ A Мал. 1.13

cos2 A =

sin2 α sin2 β sin2 γ

(1− cos β )(1− cos γ ) − ( cos α − cosβ cos γ ) 2

sin2 α sin2 β sin2 γ . 1− cos2 β − cos2 γ − cos2 α + 2cos α cos β cos γ

Аналогічно отримуємо: sin2 β sin2 α sin2 β sin2 γ = , sin2 B 1− cos2 α − cos2 β − cos2 γ + 2cos α cos β cos γ sin2 γ sin2 α sin2 β sin2 γ = . 2 2 sin C 1− cos α − cos2 β − cos2 γ + 2cos α cos β cos γ sin2 α sin2 β sin2 γ = = . sin2 A sin2 B sin2 C Ураховуючи міри кутів α, β, γ, ∠A, ∠B, ∠С, одержимо: sin α sinβ sin γ = = . sin A sin B sin C Тому

Два Д ва т тригранні кути називаються рівними, якщо в них відповідно дповідно рівн п рівні плоскі кути та відповідно рівні двогранні кути.

ТЕОРЕМА 2

протилежні їм двогранні кути, то

Далі розглянемо відношення sin2 α sin2 α sin2 α sin2 β sin2 γ = = = 2 2 sin A 1− cos A sin2 β sin2 γ − ( cos α − cos β cos γ )2

Для встановлення рівності тригранних кутів, як і для трикутників на площині, використовують ознаки рівності тригранних кутів. Задача 2 (ознака рівності тригранних кутів). Якщо два плоскі кути і двогранний кут між ними одного тригранного кута відповідно дорівнюють двом плоским кутам і двогранному куту між ними другого тригранного кута, то такі тригранні кути рівні. Доведіть. Розв’язання. Розглянемо два тригранні кути з вершинами S1 і S2 та ребрами S1A1, C1 S1B1, S1C1 і S2A2, S2B2, S2C2 відповідно (мал. 1.14). За умовою задачі, ∠A1S1B1 = B1 =∠A2S2B2, ∠A1S1C1 = ∠A2S2C2, двогранний кут з ребром S1A1 дорівнює двогранному S1 куту з ребром S2A2. Виконаємо переміщенA1 ня, при якому вершина S1 першого тригранC2 ного кута переходить у вершину S2 другого тригранного кута, ребро S1A1 переходить B2 у ребро S2A2, грані A1S1B1 і A1S1C1 переходять у грані A2S2B2 і A2S2C2 відповідно. S2 Тоді, оскільки ∠A1S1B1=∠A2S2B2 і ∠A1S1C1 = A2 = ∠A2S2C2, то ребра S1B1 і S1C1 перейдуть у ребра S2B2 і S2C2 відповідно. Звідси отриМал. 1.14 муємо, що дані тригранні кути рівні.

15 3. Мар’ям Мірзахані (1977–2017) іранська жінка-математик. У 2014 р. стала першою науковицею та першою представницею Ірану, яка удостоїлась медалі Філдса за працю над поясненням симетрії викривлених поверхонь. До тематики її досліджень належать простір Тайхмюллера, геометрія Лобачевського, ергодична теорія та симплектична геометрія.

Дізнайтеся більше 1. Доведемо твердження про те, що в опуклого тригранного кута сума всіх плоских кутів менша від 360°. Доведення. Розглянемо довільний тригранний кут з вершиною S і плоскими кутами α, β і γ. З вершини S цього тригранного кута проведемо промінь с′, доповняльний до c (мал. 1.15). Для тригранного кута, утвореного променями a, b і с′, застосуємо властивість тригранного кута про те, що кожний його плоский кут менший від суми двох інших плоских кутів, отримаємо: γ < (180° – α) + (180° – β). Звідси α + β + γ < 360°. 2. Доведемо аналогічне твердження для випадку довільного многогранного кута: в опуклого многогранного кута сума всіх плоских кутів менша від 360°. Д о в е д е н н я. Розглянемо довільний опуклий многогранний кут з вершиною S і проведемо площину, яка перетинає всі його ребра в деяких точках M1, M2,… Mn (мал. 1.16). Очевидно, що многокутник M1M2…Mn — опуклий. Тоді маємо: ∠M1SM2 + ∠M2SM3 +… + ∠MnSM1 = = (180° – ∠SM1M2 – ∠SM2M1) + + (180° – ∠SM2M3 – ∠SM3M2) +… + + (180° – ∠SMnM1 – ∠SM1Mn) = = 180° ⋅ n – (∠SM1Mn + ∠SM1M2) – – (∠SM2M1 + ∠SM2M3) –… – (∠SMnMn–1 + ∠SMnM1). Але, за властивістю тригранного кута, сума двох його плоских кутів більша за третій плоский кут. Тому ∠SM1Mn + ∠SM1M2 < ∠MnM1M2, ∠SM2M1 + ∠SM2M3 < ∠M1M2M3, …, ∠SMnMn–1 + ∠SMnM1 < ∠Mn–1MnM1. Звідси ∠M1SM2 + ∠M2SM3 +… + ∠MnSM1 < 180° ⋅ n – (∠MnM1M2 + + ∠M1M2M3 +… + ∠Mn–1MnM1) = 180° ⋅ n – 180° ⋅ (n – 2) = 360°.

Прочитайте та прослухайте в Інтернеті, як вимовляються ці слова. Українська Англійська Німецька Французька Тригранний Triangular Facettenreicher Angle кут angle Winkel triangulaire Многогранний Multifaceted Dreieckiger Angle aux кут angle Winkel multiples facettes

Пригадайте головне 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Дайте означення многогранному куту. Що таке плоский кут многогранного кута? Якою має бути сума всіх плоских кутів многогранного кута? Дайте означення тригранному куту. Сформулюйте властивості тригранних кутів. Сформулюйте й доведіть теорему косинусів для тригранного кута. Сформулюйте й доведіть теорему синусів для тригранного кута. Які тригранні кути називаються рівними? Наведіть приклад ознаки рівності тригранних кутів.

Розв’яжіть задачі 1'. Скільки тригранних кутів має: 1) трикутна піраміда; 2) чотирикут-

Словничок

на піраміда; 3) паралелепіпед? 2'. Скільки ребер та двогранних кутів має многогранний кут, у якого:

1) 5 граней; 2) 10 граней; 3) n граней? S αβ

3'. Скільки площин симетрії може мати тригранний кут?

4'. ABCDA1B1C1D1 — куб. Назвіть усі його тригранні кути та визначте

градусні міри відповідних їм плоских кутів.

c1 a Мал. 1.15

M1 Мал. 1.16

Для одержання наочних динамічних зображень геометричних фір мо гур можна скористатися комп’ютерними програмами, наприклад, GeoGebra: https://www.geogebra.org/geometry

17 5°. Чи існує тригранний кут з такими плоскими кутами: 6°. 7°.

8°.

9°.

10°. 11°.

12°.

13°. 1

14°.

1) 25°, 35° і 70°; 2) 60°, 70° і 80°; 3) 110°, 155° і 160°? Чи існує чотиригранний кут з такими плоскими кутами: 1) 40°, 70°, 100° і 150°; 2) 30°, 40°, 70° і 150°; 3) 120°, 50°, 50° і 60°? Чи можуть утворити тригранний кут три плоскі кути зі спільною вершиною, які мають градусну міру: 1) 160°, 113° і 137°; 2) 60°, 110° і 177°; 3) 10°, 13° і 38°? У яких межах може лежати плоский кут тригранного кута, якщо два інші плоскі кути дорівнюють: 1) 20° і 90°; 2) 30° і 120°; 3) 170° і 190°? З точки поза площиною до площини проведено дві похилі, одна з яких утворює з площиною кут α, а інша — кут β. Укажіть найбільше та найменше з можливих значень кута між цими похилими, якщо: 1) α = 70°, β = 15°; 2) α = 90°, β = 20°; 3) α = 75°, β = 23°. Як побудувати тригранний кут, який рівний даному тригранному куту? У тригранного кута α, β, γ — його плоскі кути, ∠С — двогранний кут, що лежить проти кута γ. Знайдіть ∠С, якщо: 1) α = 30°, β = 60°, γ = 45°; 2) α = 60°, β = 90°, γ = 45°; 3) α = 50°, β = 40°, γ = 35°. У тригранного кута α, β, γ — його плоскі кути, ∠A — двогранний кут, що лежить проти кута α. Знайдіть α, якщо: 1) ∠A = 60°, β = 60°, γ = 30°; 2) ∠A = 60°, β = 45°, γ = 60°; 3) ∠A = 20°, β = 40°, γ = 55°. У тригранного кута α, β, γ — його плоскі кути, ∠A — двогранний кут, що лежить проти кута α. Знайдіть γ, якщо: 1) ∠A = 30°, α = 30°, β = 90°; 2) ∠A = 90°, α = 30°, β = 60°; 3) ∠A = 60°, α = 90°, β = 30°. У тригранному куті α, β, γ — його плоскі кути, ∠B — двогранний кут, що лежить проти кута β. Заповніть таблицю 1. Таблиця 1 α 30° 35° 75° β 45° 45° 50° γ 45° 40° 60° ∠B 55° 60° 35°

15. У тригранного кута з вершиною S плоскі кути дорівнюють α, α і β.

Через точку A спільного ребра рівних плоских кутів проведено площину ABC, перпендикулярну до цього ребра, де точки B і C — точки

перетину цієї площини з іншими ребрами тригранного кута. Знайдіть довжину відрізка BC, якщо: 1) α = 45°, β = 90°, SA = 5 см; 2) α = 60°, β = 45°, SA = 6 см; 3) α = 30°, β = 60°, SA = 4 2 см. 16. У тригранного кута з вершиною S плоскі кути дорівнюють α, β і β.

Через точку K спільного ребра рівних плоских кутів проведено площину KMN, перпендикулярну до цього ребра, де M і N — точки перетину цієї площини з іншими ребрами тригранного кута. Знайдіть довжину відрізка SK, якщо: 1) α = 45°, β = 90°, MN = 3 см; 2) α = 60°, β = 45°, MN = 8 см; 3) α = 30°, β = 60°, MN = 4 2 см. 17. У тригранного кута з вершиною S через точку B спільного ребра

рівних плоских кутів, які дорівнюють по α, проведено площину ABC, перпендикулярну до цього ребра, де A і C — точки перетину цієї площини з іншими ребрами тригранного кута. Знайдіть невідомий плоский кут тригранного кута, якщо: 1) α = 45°, AC = 3 2 см, AB = 3 см;

2) α = 30°, AC = 6 2 см, AB = 3 см; 3) α = 60°, AC = 6 см, AB = 3 3 см. 18. У тригранного кута з вершиною S через точку С спільного ребра рівних плоских кутів, які дорівнюють по α, проведено площину ABC, перпендикулярну до цього ребра, де A і C — точки перетину цієї площини з іншими ребрами тригранного кута. Двогранний кут при ребрі SC дорівнює β. Знайдіть довжину відрізка AB, якщо: 1) α = 45°, β = 90°, SC = 4 2 см; 2) α = 30°, β = 60°, SC = 7 2 см; 3) α = 30°, β = 30°, SC = 4 3 см. 19. Кожний із плоских кутів тригранного кута дорівнює 60°. Від вершини цього тригранного кута на одному з ребер відкладено відрізок завдовжки 3 см, а з кінця цього відрізка проведено перпендикуляр до протилежної грані. Знайдіть довжину перпендикуляра. 20. У тригранному куті всі плоскі кути прямі. Усередині цього тригранного кута з його вершини B3 проведено відрізок (мал. 1.17), проекції якого B на ребра відповідно дорівнюють 2 см, 3 см і 6 см. Знайдіть довжину цього відрізка. 21. У тригранному куті всі плоскі кути прямі. Усередині цього тригранного кута дано точку, відстаB2 A ні від якої до його граней відповідно дорівнюють 1 см, 2 см і 2 см. Знайдіть відстань від даної B1 точки до вершини даного тригранного кута. Мал. 1.17

19 22. У тригранному куті два плоских кути дорівнюють по 60°, а третій — 2

32. Доведіть, що якщо в правильній чотирикутній піраміді плоский

прямий. Знайдіть кут між площиною прямого кута і протилежним ребром. 23. У тригранному куті ребра взаємно перпендикулярні. З вершини S цього кута всередині нього проведено відрізок SA. З кінця A цього відрізка до кожного з ребер проведено перпендикуляри довжиною a. Знайдіть відстань від точки A до граней тригранного кута, якщо: 1) a = 5 см; 2) a = 6 2 см;

кут при вершині дорівнює 60°, то протилежні бічні ребра взаємно перпендикулярні. Знайдіть двогранні кути тригранного кута, якщо всі його плоскі кути дорівнюють по 60°. Знайдіть двогранний кут тригранного кута, якщо два інших його двогранних кута дорівнюють по 135°, а їх спільний плоский кут — прямий. Якщо плоский кут і прилеглі до нього двогранні кути одного тригранного кута відповідно дорівнюють плоскому куту і прилеглим до нього двогранним кутам другого тригранного кута, то такі тригранні кути рівні. Доведіть. Якщо двогранні кути одного тригранного кута відповідно дорівнюють двогранним кутам другого тригранного кута, то такі тригранні кути рівні. Доведіть. Якщо плоскі кути одного тригранного кута відповідно дорівнюють плоским кутам другого тригранного кута, то такі тригранні кути рівні. Доведіть. У тригранного кута з вершиною D два плоских кути ADB і ADC дорівнюють по 60°, а третій кут BDC — прямий. Доведіть, що площина BAC, яка відтинає від ребер даного тригранного кута три рівні відрізки DA, DB, DC, перпендикулярна до площини прямого кута. Знайдіть геометричне місце точок, які лежать усередині тригранного кута й рівновіддалені від: 1) площин усіх трьох граней тригранного кута; 2) усіх трьох ребер тригранного кута. Якщо тригранний кут має два рівні гострі плоскі кути, то площина, яка проходить через їх спільне ребро перпендикулярно до протилежної грані, перетинає її по бісектрисі третього плоского кута. Доведіть. Знайдіть плоскі кути тригранного кута, якщо його двогранні кути дорівнюють 60°, 120° і 90°. Усередині тригранного кута, плоскі кути якого 90°, 90° і 60°, дано точку, відстані від якої до граней дорівнюють 10 см, 13 см і 12 см. Знайдіть відстань від цієї точки до вершини тригранного кута. Через кожне ребро тригранного кута, у якого жодне з ребер не перпендикулярне до протилежної грані, проведено площину, перпендикулярну до протилежної грані. Доведіть, що всі ці площини мають спільну пряму. Один із плоских кутів чотиригранного кута дорівнює 168°, а інші відносяться, як 7 : 8 : 10. Визначте невідомі кути даного чотиригранного кута, якщо відомо, що вони виражені в градусах цілими числами.

3) a = 2 6 см. 2 24. У тригранному куті ребра взаємно перпендикулярні. З вершини S цього кута всередині нього проведено відрізок SA. З кінця A цього відрізка до кожного з ребер проведено перпендикуляри, довжини яких дорівнюють a, b, c. Знайдіть довжину цього відрізка, якщо: 1) a = 5 см, b = 10 см, c = 10 см; 2) a = 1 см, b = 2 6 см, c = 2 6 см; 25.

26. 27. 28.

29.

30.

31. 3

3) a = 2 см, b = 6 см, c = 2 6 см. (Друга теорема косинусів для тригранного кута). Якщо ∠A, ∠B, ∠C — двогранні кути тригранного кута, γ — плоский кут тригранного кута, що лежить проти ∠C, то cosС = – cosА cosВ + sinА sin В cosγ. Якщо α, β, γ — плоскі кути тригранного кута, а ∠A, ∠B, ∠С — протилежні їм двогранні кути, і А + В + С = 360°, то cosα + cosβ + cosγ = 1. Якщо α, β — плоскі кути тригранного кута, а ∠A, ∠B — протилежні їм двогранні кути, і А + В = 180°, то α + β = 180°. У тригранному куті ∠A, ∠B, ∠C — його двогранні кути, а α — плоский кут, що лежить проти ∠A. Знайдіть ∠A, якщо: 1) ∠B = 30° ∠C = 60°, α = 60°; 2) ∠B = 45° ∠C = 60°, α = 30°; 3) ∠B = 45° ∠C = 30°, α = 30°. У тригранному куті α, β — два його плоскі кути, а ∠A, ∠B — протилежні їм двогранні кути. Чи існує такий тригранний кут, у якого: 1) ∠A = 30°, ∠B = 150°, ∠C = 60°, α = 60°, β= 120°, γ = 60°; 2) ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 120°, α = 50°, β= 130°, γ = 50°; 3) ∠A = 20°, ∠B = 140°, ∠C = 160°, α = 40°, β= 110°, γ = 140°? У тригранного кута α, β, γ — його плоскі кути, а ∠A, ∠B, ∠С — протилежні їм двогранні кути, і А + В + С = 360°. Чи існує такий тригранний кут, у якого: 1) α = 30°, β = 60°, γ = 60°; 2) α = 90°, β = 60°, γ = 60°; 3) α = 30°, β = 40°, γ = 50°? Плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди дорівнює 60°. Знайдіть двогранний кут при ребрі основи.

33. 34. 3

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41*. 4 42*.

43*.

44*.

21 45*. Доведіть, що чотиригранний кут можна перетнути площиною так,

щоб у перерізі утворився паралелограм. 46 *. Доведіть, що сума двогранних кутів чотиригранного кута більша за 360°. 47*. Один із плоских кутів шестигранного кута дорівнює 160°, а інші відносяться, як 2 : 3 : 5 : 7 : 9. Визначте невідомі кути даного шестигранного кута, якщо відомо, що їх градусні міри є цілими числами.

Проявіть компетентність 48. Наведіть приклади з довкілля, які ілюструють многогранні кути. 49. Як за допомогою кутника з’ясувати, що меблі зібрано правильно

і двері не перекосило? 5 50. Дах будинку має форму чотиригранного кута (мал. 1.18). У нього протилежні плоскі кути рівні й дорівнюють 50° і 70°, а довжина кожного ребра — 4 м. Черепицю, якою обшивають дах будинку, кріплять на обрешітку — каркас із дерев’яних дощок (мал. 1.19). Дошки беруть розміром 30 × 100 мм у перерізі. Відстань між дошками в обрешітці становить 30 см. 1) Якої довжини мають бути найдовші дошки кожної частини даху? 2) Скільки дощок потрібно для обрешітки даху? 3) Оцініть вартість обрешітки даху. Необхідні дані знайдіть у мережі Інтернет.

§ 2. МНОГОГРАННИКИ 1. МНОГОГРАННИК ТА ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ Ви вже знаєте, що таке многогранник і його поверхня, що призма (мал. 2.1) і піраміда (мал. 2.2) є різновидами многогранників. На практиці вам траплялися такі предмети, як контейнер (мал. 2.3) і цеглина (мал. 2.4). Обидва вони мають форму прямокутного паралелепіпеда (мал. 2.5). Кожний із цих предметів розбиває простір на дві частини — ту, що міститься всередині предмета, і ту, що розміщується ззовні нього. Яку б точку всередині контейнера ви не взяли, вона не є точкою контейнера, а кожна точка всередині цеглини є точкою цеглини. Загалом, контейнер дає приклад многогранної поверхні, а цеглина — многогранного тіла. Для геометрії ці випадки є принципово різними. Многогранником М ног називається геометричне тіло, поверхня ня якого склада скла складається з плоских многокутників.

A Мал. 1.18

Мал. 2.1

Мал. 2.2

D1 A1

C1 B1

Мал. 1.19

D A Мал. 2.3

Мал. 2.4

B Мал. 2.5

23 Плоскі многокутники, що утворюють поB3 B2 верхню многогранника, називають гранями, їхні сторони — ребрами, а вершини — верB4 B1 шинами многогранника (мал. 2.6). Його A4 A3 поверхня розбиває простір на дві області — внутрішню та зовнішню область мноK гогранника. Точки, що лежать у внутрішC ній області многогранника, називають його A2 A 5 внутрішніми точками (наприклад, точка K на мал. 2.6). Точки многогранника, що не є A1 внутрішніми його точками, називають точками поверхні многогранника (наприклад, Мал. 2.6 точки В1 і С на мал. 2.6). Многогранник позначають назвами його вершин, наприклад, А1А2А3А4А5В1В2В3В4 (мал. 2.6), або АВСDА1В1С1D1 (мал. 2.1), або SАВС (мал. 2.2).

Дві грані многогранника, що мають спільне ребро, утворюють двогранний кут при даному ребрі многогранника, а три й більше граней, що сходяться в одній вершині, — многогранний кут при даній вершині многогранника. На малюнку 2.9 ви бачите, що в многогранника А1А2А3А4А5А6 є: 12 ребер, тому він має 12 двогранних кутів; 6 вершин, тому в нього 6 многогранних кутів, з яких 4 тригранні (при вершинах А2, А3, А4 і А5) і 2 чотиригранні (при вершинах А1 і А6).

A1 A5 A2 A4

A3 A6 Мал. 2.9

2. ПЕРЕРІЗ МНОГОГРАННИКА Площина, П лощ пло площ площиною.

що

перетинає

многогранник,

називається

січною

Яка найменша кількість граней у многогранника? Чотири (мал. 2.2).

Вершини, що є кінцями одного ребра, називають сусідніми вершинами многогранника, два ребра, що мають спільну вершину, — сусідніми ребрами многогранника, а дві грані, що мають спільне ребро, — суміжними гранями многогранника. Відрізок, що з’єднує дві вершини многогранника, які не лежать в одній грані, називають діагоналлю многогранника (наприклад, відрізок А1С на мал. 2.7). Якщо дві вершини лежать в одній грані, але не є сусідніми, тоді відрізок, що їх з’єднує, називають діагоналлю грані многогранника (наприклад, відрізок АС на мал. 2.7). На малюнку 2.8 ви бачите многогранники F1 і F2. У чому їх відмінність?

Жодна із площин, які містять грані многогранника F1, не розбиває його на частини. Він лежить з одного боку від будь-якої із цих площин. Такий многогранник називають опуклим. Многогранник F2 розбивається на частини площиною α. Він лежить з різних боків від цієї площини. Тому цей многогранник не є опуклим. Надалі ми розглядатимемо лише опуклі многогранники.

Січну площину можна задати або трьома точками, що не лежать на одній прямій, або прямою і точкою, що не належить їй, або двома прямими, що перетинаються, або двома паралельними прямими. У результаті перетину многогранника січною площиною утворюється переріз многогранника. Ви знаєте, що це — плоский многокутник, сторонами якого є відрізки, по яких січна площина перетинає грані многогранника. Сторони перерізу лежать у гранях многогранника, а вершини — на ребрах многогранника. На малюнку 2.10 ви бачите чотирикутник KLMN, що є перерізом многогранника А1А2А3А4А5А6 січною площиною α. Якщо січна площина проходить через діагональ многогранника, тоді цей переріз називають діагональним перерізом многогранника (мал. 2.11). Оскільки дві площини не можуть перетинатися більше ніж по одній рямій то в грані многогранника не може бути більше одного прямій, відрізка перетину із січною площиною.

N F1

Мал. 2.7

A8 A4

K A2

A2 Мал. 2.8

Мал. 2.10

Мал. 2.11

25 3. ПЛОЩА ПОВЕРХНІ МНОГОГРАННИКА Площею П лощ поверхні многогранника називається сума площ усіх його граней. граней гран

4. ТЕОРЕМА ЕЙЛЕРА Позначимо в многограннику кількість його вершин В, кількість граней Г, а кількість ребер — Р. Тоді має місце теорема. ТЕОРЕМА (Теорема Ейлера).

Площу поверхні многогранника позначають: Sпов.

У будь-якому опуклому многограннику В + Г – Р = 2.

Наведене означення підказує спосіб знаходження площі поверхні многогранника. Задача 1. У многогранника АВСА1В1С1 (мал. 2.12) грані АВС і А1В1С1 — подібні A1 правильні трикутники з коефіцієнтом подібності k = 2, а інші грані — рівні рівнобедрені трапеції з гострим кутом 60°, B1 основи яких лежать у площинах АВС і А1В1С1. Знайдіть площу поверхні многоA гранника, якщо АВ = 8 см. M Розв’язання. За умовою, грань АВС 60° даного многогранника — правильний трикутник зі стороною 8 см. Тому B 82 3 S∆ABC = = 16 3 (см2 ) . 4 Мал. 2.12 Оскільки трикутники АВС і А1В1С1 — подібні з коефіцієнтом k = 2, то: S∆ABC = k2 = 22 = 4 . S∆A1B1C1

C 8

Звідси: S∆ABC 16 3 = = 4 3 (см2 ) . 4 4 Оскільки інші грані даного многогранника — рівні трапеції, то достатньо знайти площу, наприклад, грані АВВ1А1, за її основами АВ і А1В1 та висотою А1М: AB + A1B1 8+4 8−4 SABB1 A1 = ⋅ A1M = ⋅ ⋅ tg60° = 12 3 (см2 ) . 2 2 2 Отже, площа поверхні даного многогранника дорівнює: S∆A1B1C1 =

Дано: довільний опуклий многогранник, у якого В — кількість його вершин, Г — кількість граней, Р — кількість ребер. Довести: В + Г – Р = 2. Доведення. Видалимо умовно одну з граней многогранника. У результаті дістанемо деяку многогранну поверхню F, яка має таку само кількість ребер і вершин, що й даний многогранник, але число її граней дорівнює Г – 1. Розгорнемо умовно цю многогранну поверхню F на площині (мал. 2.13). Вона складається з Г – 1 многокутників. Позначимо Г – 1 = Г1. Кількість вершин усіх цих многокутників дорівнює В, а кількість сторін — Р. Якщо провести діагональ у будь-якому із цих многокутників, то кількість вершин не зміниться, а кількість многокутників і кількість сторін збільшиться на 1. Тому загалом різниця кількості многокутників і кількості сторін не зміниться (мал. 2.14). Розгортка поверхні F утворює так звану «трикутну сітку», в якої різниця кількості сторін трикутників і суми кількості трикутників та їх вершин дорівнює В + Г1 – Р. Вилучатимемо із сітки по одному «крайньому» трикутнику. При цьому число В + Г1 – Р не зміниться, оскільки відкидаються один трикутник, одна вершина та два ребра (або один трикутник й одне ребро). У результаті дістанемо один трикутник, для якого В + Г1 – Р = 3 + 1 – 3 = 1. Тоді В + Г – Р = 2.

Sпов = S∆ABC + S∆A1B1C1 + 3SABB1 A1 = 16 3 + 4 3 + 3 ⋅12 3 = 56 3 (см2 ) . Мал. 2.13

Щоб знайти площу поверхні многогранника, знайдіть площі всіх його ого гр граней і отримані значення додайте.

Мал. 2.14

27 C1

B1 B1

C1 A1

B A

Доведення. Нехай S1, S2, S3,… Sn — площі граней многогранника F, S′1, S′2, S′3,… S′n — площі відповідних граней многогранника F′. Тоді S = S1 + S2 + S3 +… + Sn, S′ = S′1 + S′2 + S′3 +… + S′n. Оскільки відповідні грані подібних многогранників — подібні многокутники, то їх площі S d2 відносяться, як квадрати довжин відповідних ребер. Тому 1 = 12 , S1′ d1′

A D

A Мал. 2.15

B A C

C Мал. 2.16

S d2 S2 d22 S3 d32 = 2, = 2 ,…, n = n2 . S2′ d2′ S3′ d3′ Sn′ dn′ За умовою задачі

S S1 S2 S3 = = = ... = n = k2 . S1′ S2′ S3′ Sn′

5. ПОДІБНІ МНОГОГРАННИКИ Два Д ва м многогранники називаються подібними, якщо вони суміщаютьміщаються п пере перетворенням подібності. На малюнку 2.15 ви бачите два подібні куби — АВСDА1В1С1D1 та А′В′С′D′А1′В1′С1′D1′. У них: тригранні кути при відповідних вершинах рівні; двогранні кути при відповідних ребрах однаково розміщені та рівні; відповідні бічні грані й основи — подібні квадрати (ABCD A′B′C′D′, А1В1С1D1 А1′В1′С1′D1′, АВB1A1 А′В′B1′A1′ тощо). На малюнку 2.16 — дві подібні правильні трикутні піраміди — SАВC та S′А′В′C′. У них: тригранні кути при відповідних вершинах рівні; двогранні кути при відповідних ребрах однаково розміщені та рівні; відповідні бічні гра∆A′B′C′, ∆SАВ ∆SА′В′, ні й основи — подібні трикутники (∆ABC ∆SВC ∆SВ′C′, ∆SAC ∆SA′C′). Число, яке дорівнює відношенню відповідних сторін подібних многогранників, називають коефіцієнтом їх подібності. У подібних многогранників: 1) відповідні многогранні кути рівні; 2) в відповідні двогранні кути рівні й однаково розміщені; 3 3) відповідні ребра пропорційні; 4) відповідні грані є подібними многокутниками.

d d1 d2 d3 = = = ... = n = k , тому d1′ d2′ d3′ dn′

2 2 2 2 Звідси S1 = k S1′ , S2 = k S2′ , S3 = k S3′ ,…, Sn = k Sn′ .

Тоді

S S1 + S2 + S3 + ... + Sn k2 S1′ + k2 S2′ + k2 S3′ + ... + k2 Sn′ = = = S′ S1′ + S2′ + S3′ + ... + Sn′ S1′ + S2′ + S3′ + ... + Sn′

k2 ( S1′ + S2′ + S3′ + ... + Sn′ ) = = k2 . S1′ + S2′ + S3′ + ... + Sn′ З а д а ч а 2. Куби АВСDА1В1С1D1 та А′В′С′D′А1′В1′С1′D1′ — подібні 2 з коефіцієнтом подібності k = . Знайдіть ребро куба АВСDА1В1С1D1, 3 якщо площа повної поверхні куба А′В′С′D′А1′В1′С1′D1′ дорівнює 24 см2. Розв’язання. Нехай ребро куба А′В′С′D′А1′В1′С1′D1′ дорівнює a′. Площа повної поверхні цього куба дорівнює шести площам квадратів з ребром a′: S′пп = 6 ⋅ S′кв = 6a′2. Звідси 6a′2 = 24 (см2), a′2 = 4 см2, a′ = 2 см. Тоді 2 2 4 a = a′ = ⋅ 2 = (см). 3 3 3

Дізнайтеся більше ТЕОРЕМА

(про відношення площ поверхонь подібних многогранників).

Площі поверхонь подібних многогранників відносяться, як квадрати довжин відповідних ребер. Дано: Многогранники F F′ з коефіцієнтом подібності k, di і di′ — довжини двох будь-яких відповідних ребер, S — площа поверхні многогранника F, S′ — площа поверхні многогранника F′. S d2 = Довести: . S′ d ′2

1. Поняття многогранника відоме здавна. У Стародавній Греції його називали poluedron — той, що має багато опор. Нинішній термін уперше трапляється в перекладі «Начал» Евкліда, зробленому П. І. Суворовим і В. М. Нікітіним. У книзі «Евклідових стихій осьм книг», виданої в СанктПетербурзі в 1784 та 1789 рр., автори намагалися перекласти російською мовою всі терміни, які використовував Евклід. Вони також пропонували окремі слов’янські назви замість давньогрецьких чи латинських, щоб досягти більшої наочності термінології й зрозумілості змісту.

29 2. Символ S для позначення площі фігури походить від латинської назви superficils, що означає «поверхня». 3. Вам уже траплялося поняття «розгортка многогранника». Розгортку многогранника одержимо, якщо його поверхню «розріжемо» вздовж ребер і «розгорнемо» на площину. На малюнку 2.17 зображено розгортку куба. У вас могло виникнути запитання: Чи будьяка сукупність многокутників є розгорткою мноМал. 2.17 гогранника? Поміркуємо. Нехай дано кілька многокутників, які задовольняють такі умови: 1) кожна сторона кожного многокутника відповідає тільки одній стороні іншого многокутника (назвемо ці сторони тотожними), отже, тотожні сторони мають бути рівними; 2) від кожного многокутника до будь-якого наступного можна перейти, проходячи через многокутники, які мають тотожні сторони. Лише та сукупність многокутників є розгорткою, яка задовольняє умови 1) і 2). 4. Співвідношення В + Г – Р = 2 уперше виявив Рене Декарт у 1620 р. Леонард Ейлер, займаючись дослідженням опуклих многогранників, перевідкрив цю формулу та опублікував її в 1752 р. У роботі Ейлера цю формулу записано так: S + H = A + 2, де S — число вершин, H — число граней, A — число ребер опуклого тривимірного многогранника. Число В + Г – Р називають ейлеровою характеристикою многогранника. У 1899 р. Жуль Анрі Пуанкаре узагальнив співвідношення для випадку n −1

n-вимірного многогранника:

∑ ( −1) i =0

Ai = 1+ ( −1)

n −1

9. Як знайти площу поверхні многогранника? 10. Сформулюйте й доведіть теорему Ейлера. 11. Які многогранники називаються подібними? 12. Сформулюйте й доведіть теорему про відношення площ поверхонь подібних многогранників.

Розв’яжіть задачі 51'. За малюнками 2.18–2.20 з’ясуйте:

1) як називається даний многогранник; 2) скільки в нього основ; 3) скільки в нього бічних граней; 4) які многокутники лежать у його основах; 5) які многокутники є його бічними гранями. 52'. Назвіть вершини та ребра многогранника (мал. 2.18–2.20). Які його грані: 1) сходяться у вершині: а) А; б) В; в) С; 2) мають спільне ребро: а) AB; б) AC; в) BC? 53'. За малюнками 2.18–2.20 з’ясуйте: 1) скільки двогранних кутів має даний многогранник; 2) скільки многогранних кутів має даний многогранник, назвіть їх. 54'. За малюнками 2.21–2.23 з’ясуйте: 1) яка площина перетинає даний многогранник; 2) по яких відрізках січна площина перетинає його грані; 3) який многокутник утворився в перерізі.

, де Ai — число

i-вимірних граней n-вимірного многогранника. C1

Словничок Прочитайте та прослухайте в Інтернеті, як вимовляються ці слова. Українська Англійська Німецька Французька Многогранник Рolyhedron Polyeder Polyèdre

D1 A

Поясніть, що таке многогранник. Що таке грані многогранника; його вершини; його ребра? Що таке сусідні вершини многогранника; сусідні ребра; суміжні грані? Що таке діагональ многогранника; діагональ грані многогранника? Який многогранник називається опуклим? Поясніть, що таке січна площина многогранника. Як її можна задати? Поясніть, що таке переріз многогранника. Що таке діагональний переріз многогранника? 8. Поясніть, що таке площа поверхні многогранника.

A D

Мал. 2.18

Пригадайте головне 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Мал. 2.19

B1 A1 N

C Мал. 2.20

A1 P

B C B

A D Мал. 2.21

C Мал. 2.22

Мал. 2.23

31 55'. В одного прямокутного паралелепіпеда сторони основи дорівнюють a

56'. 5

57°.

58°. 5

59°.

60°. 61°. 6

62°.

і b, а в іншого — c і d. Чи будуть подібними ці паралелепіпеди, якщо: 1) a = 3 см, b = 5 см, c = 6 см, d = 10 см; 2) a = 4 см, b = 6 см, c = 12 см, d = 12 см; 3) a = 8 см, b = 16 см, c = 6 см, d = 12 см? Площі поверхонь двох подібних кубів дорівнюють S1 і S2. Знайдіть їх коефіцієнт подібності, якщо: 3) S1 = 16 см2; S2 = 36 см2. 1) S1 = 4 см2; S2 = 9 см2; 2 2 2) S1 = 25 см ; S2 = 9 см ; Дано призму ABCA1B1C1 (мал. 2.24). Назвіть площини, кожна з яких проходить через: 1) три вершини многогранника; 2) ребро й вершину многогранника; 3) два ребра многогранника, що мають спільну точку. Дано многогранник SABCD (мал. 2.25). Назвіть площини, кожна з яких проходить через: 1) три вершини цього многогранника; 2) ребро й вершину цього многогранника; 3) два ребра цього многогранника, що перетинаються. Січна площина многогранника — трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і кутом між ними — 45°. Знайдіть площу січної площини многогранника. Січна площина многогранника — прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см. Знайдіть діагональ січної площини многогранника. Січна площина многогранника — прямокутний трикутник з гіпотенузою 8 см та гострим кутом 60°. Знайдіть радіус вписаного в цей трикутник кола. Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють S1, S2, S3. Знайдіть площу його повної поверхні, якщо: 1) S1 = 5 см2, S2 = 13 см2, S3 = 21 см2; 2) S1 = 14 см2, S2 = 23 см2, S3 = 31 см2; 3) S1 = 15 см2, S2 = 16см2, S3 = 24 см2.

63°. Скільки діагональних перерізів можна провести у:

1) кубі; 2) паралелепіпеді? 64°. Накресліть: 1) прямокутний паралелепіпед АВСDА1В1С1D1; 2) куб АВСDА1В1С1D1. Проведіть січну площину через: а) вершини А, С, D1; б) вершини В1, D1, С; в) ребра ВС і А1D1; г) ребра АА1 і СС1. Які многокутники дістали в перерізі? Для одержання наочних динамічних зображень геометричних фігур р мо можна скористатися комп’ютерними програмами, наприклад, GeoGebra: https://www.geogebra.org/geometry 65°. Куби АВСDА1В1С1D1 та А′В′С′D′А1′В1′С1′D1′ — подібні з коефіцієн-

том подібності k =

66°. 6

67°.

68. A1

C1 69. 6 B

C Мал. 2.24

C Мал. 2.25

3 . Знайдіть діагональ основи другого куба, якщо 4

ребро першого з них дорівнює 2 2 см. АВСDА1В1С1D1 та А′В′С′D′А1′В1′С1′D1′ — подібні прямокутні пара1 лелепіпеди з коефіцієнтом подібності k = . Знайдіть площу повної 2 поверхні першого з них, якщо ребра другого дорівнюють: 1) 4 см, 5 см, 8 см; 2) 2 см, 6 см, 10 см; 3) 3 см, 8 см, 12 см. АВСDА1В1С1D1 та А′В′С′D′А1′В1′С1′D1′ — подібні прямокутні паралелепіпеди. Знайдіть площі повної поверхні обох паралелепіпедів, якщо найбільше ребро другого паралелепіпеда дорівнює 18 см, а ребра першого дорівнюють: 1) 2 см, 3 см, 6 см; 2) 4 см, 7 см, 9 см; 3) 5 см, 13 см, 24 см. У кубі АВСDА1В1С1D1 з ребром a см проведено січну площину через ребра AВ та С1D1. Знайдіть площу даного перерізу, якщо: 1) a = 2 см; 2) a = 4 см; 3) a = 8 см. У кубі АВСDА1В1С1D1 з ребром a см проведено січну площину через вершини A і B та середини ребер DD1та CC1. Знайдіть площу даного перерізу, якщо: 1) a = 2 см; 2) a = 4 см; 3) a = 8 см.

33 70. У кубі АВСDА1В1С1D1 з площею основи S проведено січну площину

71.

72. 7

73.

74.

75.

76.

через середини ребер AВ, ВC та A1B1та B1C1. Знайдіть площу даного перерізу, якщо: 1) S = 16 см2; 2) S = 36 см2; 3) S = 8 см2. У многогранника бічні грані — рівнобедрені трикутники з бічною стороною 5 см та гострим кутом при вершині — 30°, основа — квадрат. Знайдіть площу бічної поверхні многогранника. У многогранника бічні грані — два прямокутники зі сторонами 10 см і 4 2 см та два прямокутники зі сторонами 10 см і 6 см, основи — також прямокутники. Знайдіть площу діагонального перерізу даного многогранника. Накресліть: 1) прямокутний паралелепіпед; 2) куб. Через діагональ бічної грані та вершину верхньої основи, яка не збігається з жодним кінцем цієї діагоналі, проведіть січну площину так, щоб у перерізі одержати: а) трикутник; б) чотирикутник. Паралелепіпеди АВСDА1В1С1D1 та А′В′С′D′А1′В1′С1′D1′ — подібні з 5 коефіцієнтом подібності k = . Площі трьох граней першого з них 3 відносяться, як 3 : 4 : 5, а площа його повної поверхні дорівнює 48 см2. Знайдіть площі граней другого паралелепіпеда. Многогранники АВСА1В1С1 та А′В′С′А1′В1′С1′ — подібні. У них бічні грані — прямокутники, у яких сторони відносяться, як 1 : 3, а основи — правильні трикутники. Площа повної поверхні першого з них дорівнює 64 см2, а другого — 48 см2. Знайдіть ребра обох многогранників. Многогранники АВСА1В1С1 та А′В′С′А1′В1′С1′ — подібні з коефіці2 єнтом подібності k = . У многогранника АВСА1В1С1 бічні грані — 3

рівні паралелограми зі сторонами 6 см і 4 2 см та гострим кутом 45°, а основа — правильний трикутник зі стороною 6 см. Знайдіть площу поверхні многогранника А′В′С′А1′В1′С1′. 77*. Визначте площу поверхні куба за даною площею S його діагонального перерізу. 78 *. На трьох бічних ребрах прямокутного паралелепіпеда розміщено по дві точки. Скільки можна провести площин, кожна з яких проходить принаймні через три з даних точок? 79 *. Знайдіть усі плоскі кути граней чотиригранного кута при одній з 7 вершин многогранника, якщо два з них відносяться, як 1 : 7, а інші два дорівнюють 80° і 170°. Усі бічні грані — рівнобедрені трикутники. Кути виражені цілими числами.

80*. α, β, γ — плоскі кути тригранного кута при одній з вершин много-

4 2 π . 3 Сума двох плоских кутів тригранного кута при одній з вершин многогранника дорівнює 180°. Доведіть, що спільне ребро цих плоских кутів перпендикулярне бісектрисі третього плоского кута. Доведіть, що в будь-якому многограннику число граней з непарним числом сторін є парним. Чи може многогранник мати 11 плоских кутів? Гранями опуклого многогранника є трикутники. Скільки він має вершин (В) і граней (Г), якщо кількість його ребер (Р) дорівнює: 1) Р = 12; 2) Р = 15? Які многогранники одержимо? Многогранник має п’ять граней. Скільки може бути в нього вершин і ребер? У кожній вершині опуклого многогранника сходяться три ребра. Скільки він має вершин (В) і граней (Г), якщо кількість його ребер (Р) дорівнює: 1) Р = 12; 2) Р = 15? Назвіть вид отриманого многогранника. гранника. Доведіть, що αβ + βγ + γα <

81*.

82*. 83*. 84*.

85*. 8 86*.

Проявіть компетентність 87. Наведіть приклади многогранників на предметах довкілля. 8 88. Побудуйте розгортку: 1) куба; 2) трикутної призми. 8 89. Виготовте паперові макети: 1) прямої чотирикутної призми; 2) пря8

мої шестикутної призми. 90. Які потрібно зробити виміри, щоб розрахувати кількість покрівельного матеріалу для садової альтанки із чотирисхилим дахом (мал. 2.26), якщо кути нахилу всіх схилів — однакові?

Мал. 2.26

Призмою П риз називається многогранник, у якого дві грані — рівні n n-кутн ку ней — n-кутники з відповідно паралельними сторонами, а решта n граней паралелограми.

§ 3. ПРИЗМА Подивіться на малюнок 3.1. Ви бачите надзвичайну пам’ятку природи — базальтові стовпи, що мають форму різноманітних призм. Вони розміщуються на Рівненщині, де проходить західний схил Українського кристалічного щита. Призми нерідко трапляються в природі, їх часто використовують в архітектурі, на виробництві, у побуті (мал. 3.2).

Призму позначають назвами її вершин, наприклад, А1А2…АnВ1В2…Вn (мал. 3.3) або АВ…NА1В1…N1 (мал. 3.4). Рівні n-кутники А1А2…Аn і В1В2…Вn називають основами призми, а паралелограми А1А2В2В1,…, АnА1В1Вn — бічними гранями призми. Відрізки А1А2,…, АnА1 називають ребрами основ призми, а відрізки А1В1,…, АnВn — бічними ребрами призми. Залежно від того, який многокутник лежить в основі, призму називають трикутною, чотирикутною чи n-кутною. На малюнках 3.3 і 3.4 ви бачите п’ятикутні призми. Чи є елементами призми двогранні та многогранні кути? Так, оскільки призма є многогранником.

Мал. 3.1

Мал. 3.2

У цьому параграфі ви дізнаєтеся про різновиди призм та їхні геометричні властивості.

1. ПРИЗМА ТА ЇЇ ЕЛЕМЕНТИ Ви вже знаєте, що призма — один з видів многогранників. Своєю чергою, призми теж поділяють на види. У попередніх класах ви ознайомилися з прямою призмою та її елементами — основами, бічними гранями, ребрами, висотою (мал. 3.3). Знаєте, що таке бічна й повна поверхня прямої призми та як їх обчислювати. Крім прямих призм, до цього виду многогранників належать і похилі призми (мал. 3.4). Обидва види призм мають як спільні, загальні для всіх призм властивості, так й особливі властивості, якими володіють лише призми певного виду. Вивчення призм розпочнемо з їх загальних властивостей.

У n-кутної призми 3n ребер і 2n вершин, тому в неї 3n двогранних кутів і 2n тригранних кутів, оскільки кожний многогранний кут призми є тригранним. Відрізок, що з’єднує дві вершини призми, які не лежать в одній грані, називають діагоналлю призми (наприклад, відрізок А1С на малюнку 3.5). Якщо дві вершини лежать в одній грані, але не є сусідніми, тоді відрізок, що їх з’єднує, називають діагоналлю грані призми (наприклад, відрізок АС на малюнку 3.5). Якщо січна площина проходить через діагональ призми, то утворений переріз називають діагональним перерізом призми (наприклад, переріз АА1С1С на малюнку 3.5). Чи можна стверджувати, що діагональний переріз призми є паралелограмом? Так. Це твердження є справедливим для всіх n-кутних призм, якщо n > 3.

Перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї з основ призми до площини другої основи, називають висотою призми (наприклад, відрізок O1Н на малюнках 3.6 і 3.7). З означень призми та її елементів випливають її властивості. C1

B1 D

C A

An A1 Мал. 3.3

M H

N A Мал. 3.4

A Мал. 3.5

B Мал. 3.6

K Мал. 3.7

Властивості призми. ики 1. Основи призми — рівні многокутники ами, з відповідно паралельними сторонами, щ х. що лежать у паралельних площинах. 2. Б Бічні ребра призми паралельні й рівні. 3. Б грами. Бічні грані призми — паралелограми. 4. Будь-який діагональний переріз п ) призми є паралелограмом (мал. 3.5). 5. Перерізом призми площиною, паралельною основам, є многокутник, що дорівнює многокутникам основ (мал. 3.8).

C1 A1 B1 K A

Формула Ф орм площі повної поверхні прямої призми: Sпп = Росн ⋅ Н + 2 Sосн, де Росн — периметр основи, Sосн — площа основи, Н — висота призми.

M C

L B

Пряму призму, основами якої є правильні многокутники, називають правильною призмою. На малюнку 3.10 ви бачите правильну трикутну призму. Правильна призма має всі властивості прямої призми. Її особлива властивість полягає в тому, що всі бічні грані правильної призми — рівні прямокутники. Доведіть цю властивість самостійно.

Мал. 3.8

2. БІЧНА ТА ПОВНА ПОВЕРХНІ ПРЯМОЇ ПРИЗМИ Бічну поверхню призми утворюють многокутники її бічних граней, а повну поверхню — усі її грані. Площею П лощ бічної поверхні призми називається сума площ її бічних граней гран граней. Площею повної поверхні призми називається сума площ усіх її граней. Площу бічної і повної поверхні призми відповідно позначають: Sбп і Sпп. Наведені означення підказують спосіб знаходження площ бічної та повної поверхонь призми. Ви знаєте, що призма може бути прямою та похилою. На малюнках 3.4, 3.5 і 3.7 ви бачите приклади похилої призми. Її бічне ребро не перпендикулярне до основ і не дорівнює висоті цієї призми. B3 У прямої призми (мал. 3.3, 3.6, 3.8) кожB4 не бічне ребро перпендикулярне до її основ. B 5 Звідси й назва — «пряма призма». Пряма призма має всі властивості призми, а таB2 B6 B1 кож особливу властивість: її бічні грані — прямокутники, у яких дві протилежні сторони A4 є бічними ребрами призми, а дві інші — ребраA3 ми основ призми. Крім того, будь-який її діаA5 гональний переріз є прямокутником (мал. 3.9). A6 A2 Для обчислення площ бічної і повної поA1 верхонь прямої призми зручно користуватися Мал. 3.9 відповідними формулами. Виведіть їх самостійно. Формула Ф о площі бічної поверхні прямої призми: Sбп = Росн ⋅ Н, д Росн — периметр основи, Н — висота призми. де

C1 D1

B1 A1

B1 C

C B

Мал. 3.10

Мал. 3.11

Задача 1. Площа основи правильної чотирикутної призми дорівнює 144 см2, а висота — 14 см. Знайдіть діагональ призми. Р о з в’ я з а н н я. Нехай АВСDА1В1С1D1 (мал. 3.11) — дана призма. Оскільки її основа — квадрат, то AB = 144 = 12 (см2). Діагональ квадрата AC = AB 2 = 12 2 . З прямокутного трикутника АВС дістанемо: А1С = АС2 + АА12 = 288 + 196 = 484 = 22 (см2).

У правильної n-кутної призми: осно 1) основою є: — правильний трикутник, якщо n = 3; — квадрат, якщо n = 4; — правильний п’ятикутник, якщо n = 5 тощо; 2) бічне ребро є висотою.

39 3. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИЙ ПЕРЕРІЗ ПРИЗМИ. БІЧНА ПОВЕРХНЯ ПОХИЛОЇ ПРИЗМИ.

Оскільки бічні ребра призми паралельні, то перпендикулярний переріз призми є перпендикулярним до всіх її бічних ребер. У прямої призми перпендикулярний переріз є паралельним площинам основ призми. ТЕОРЕМА (про бічну поверхню похилої призми). Бічна поверхня похилої призми дорівнює добутку довжини бічного ребра і периметра перпендикулярного перерізу. Дано: АВС…NА1В1С1… N1 (мал. 3.12) — n-кутна призма, А2В2С2…N2 — її перпендикулярний переріз, його периметр P. Довести: Sбп = P ⋅ АA1. Доведення. Бічні грані даної призми є паралелограмами. Розглянемо один з них, наприклад, паралелограм АВB1A1. У ньому одна зі сторін перпендикулярного перерізу А2B2 буде висотою, проведеною до сторони АA1. Тоді площа цього паралелограма S1 = А2B2 ⋅ АA1. Аналогічно можна знайти площі всіх бічних граней призми: S2 = B2C2 ⋅ BB1,…, Sn = N2A2 ⋅ АA1. B1 За означенням площа бічної поверхні A C1 1 дорівнює сумі площ всіх її бічних граней, тобто Sбп = S1 + S2 +… + Sn = А2B2 ⋅ АA1 + N1 A2 + B2C2 ⋅ BB1 +… + N2A2 ⋅ АA1. Але АA1 = B2 = BB1 = CC1 =… = NN1, P = А2B2 + B2C2 + N2 +… + N2A2, тому Sбп = S1 + S2 +… + Sn = C2 B = А2B2 ⋅ АA1 + B2C2 ⋅ BB1 +… + N2A2 ⋅ АA1 = A = (А2B2 + B2C2 +… + N2A2) ⋅ АA1 = P ⋅ АA1. C N

Очевидно, що теорема про бічну поверхню Мал. 3.12 похилої призми є правильною і для прямої призми. Зокрема перпендикулярним перерізом прямої призми є будь-який переріз цієї призми площиною, паралельною площинам її основ. Якщо деякий многокутник є перпендикулярним перерізом призми, то йог його внутрішні кути є лінійними кутами двогранних кутів при відповідних бічних ребрах. У прямої призми лінійними кутами двогранних кутів при бічних ребрах є безпосередньо кути основи.

Дізнайтеся більше 1. Термін «призма» походить від грецького слова prisma, що означає «розпилений». Призми широко використовуються в оптиці. Оптичний прилад, який називають оптичною призмою, виготовляють із прозорого матеріалу (наприклад, оптичного скла) у формі призми, яка має плоскі поліровані грані, через які входить і виходить світло. Світло в такій призмі заломлюється так, як Мал. 3.13 показано на малюнку 3.13. Один з видів оптичної призми — призма F Порро (мал. 3.14). Названа іменем її винахідника, італійського інженера та оптика — Ігнаціо Порро (1795–1875). Використовується в оптичних приладах для зміни орієнтації F зображення (перевертання). В основі такої призми лежить рівнобедрений прямокутний трикутник. Зображення при проходженні через призму віддзеркалюється відносно площини симетрії, перпендикулярної основі. Напрям променів змінюється на 180°. Мал. 3.14 Призми Порро часто використовують парами (так звані подвійні призми Порро). Друга призма цієї пари, що повернута на 90° відносно першої, встановлюється так, щоб промінь потрапляв у неї після виходу з першої призми (мал. 3.15). Подвійна призма Порро часто використовується в біноклях для перевертання зображення, збільшення відстані між об’єктивом та окуляром. 2. Призматоїдом називається многогранник, у якого дві грані (основи призматоїда) лежать у паралельних площинах, а інші грані — трикутники або трапеції, причому в трикутників одна сторона, а в трапецій обидві основи є сторонами основи призматоїда. На малюнках 3.16 і 3.17 зображено два види призматоїдів: антипризма та клин. F

Перпендикулярним П ерп перерізом призми називається перерізз призми площи пло площиною, перпендикулярною до її бічного ребра.

Мал. 3.15

Мал. 3.16

41 3. Пентапризма (мал. 3.18) — загальна назва оптичних систем, які слугують для повороту осі світлового потоку на 90° і подовження шляху його слідування за рахунок двох і більше відображень від дзеркальних поверхонь за мінімальних зовнішніх розмірів оптичної системи. У видошукачах дзеркальних фотоапаратів застосовується так звана пентапризма з «дахом» (мал. 3.19). «Дах» — це дві грані призми, розміщені під кутом 90°, при парному відображенні від яких зображення дзеркально не розвертається. Пентапризма з дахом перетворює зворотне зображення на матовому склі в пряме, не дзеркальне, яке можна далі розглядати через окуляр.

Розв’яжіть задачі 91'. На якому з малюнків 3.20–3.22 зображено призму? Яка із цих

призм пряма, а яка — похила? 92'. На якому з малюнків 3.23–3.26 зображено: 1) трикутну призму; 2) чотирикутну призму? 93'. На малюнку 3.27 зображено пряму чотирикутну призму ABCDA1B1C1D1. Назвіть: 1) висоту призми; 2) діагональ призми; 3) діагональ грані ABB1A1 призми; 4) діагональний переріз призми. A1

B1 A1

Мал. 3.18

Мал. 3.17

Мал. 3.19

Словничок

A C

Мал. 3.20

1. Що таке призма; основи та бічні грані призми; ребра основ та бічні ребра призми? 2. Яку призму називають трикутною, чотирикутною, n-кутною; прямою; похилою? 3. Що таке діагональ призми; діагональ грані призми; діагональний переріз призми; висота призми? 4. Сформулюйте властивості призми. 5. Поясніть, що таке бічна поверхня призми, її повна поверхня. 6. Як знайти площу бічної поверхні прямої призми; площу її повної поверхні? 7. Поясніть, що таке правильна призма. 8. Поясніть, що таке перпендикулярний переріз призми. 9. Як знайти площу бічної поверхні похилої призми; площу її повної поверхні?

Мал. 3.21

Прочитайте та прослухайте в Інтернеті, як вимовляються ці слова. Українська Англійська Німецька Французька Пряма призма Direct prism Direktes Prisma Prisme direct Geneigtes Prisma Похила призма Inclined prism abfallendes Prisme en pente Prisma Бічна поверхня The side surface Die Seitenfläche La surface призми of the prism des Prismas latérale du prisme

Пригадайте головне

Мал. 3.23

Мал. 3.22

Мал. 3.24

A Мал. 3.26

Мал. 3.25

D Мал. 3.27

43 94'. Дано пряму трикутну призму ABCA1B1C1. Назвіть площини, кожна

106°. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює 1

з яких проходить через: 1) три вершини призми; 2) ребро та вершину призми; 3) два ребра призми, що мають спільну точку. 95'. Чи може бути похилою призма, у якої всі бічні грані — квадрати? 9 96'. Скільки діагоналей можна провести: 9 1) у трикутній призмі; 2) чотирикутній призмі; 3) шестикутній призмі; 4) n-кутній призмі? 97'. Чи існує призма, у якій тільки одне бічне ребро перпендикулярне до площини основи? 98'. Чи правильно, що перпендикулярний переріз похилої призми 9 паралельний до площин її основ? 99°. Яку найменшу кількість граней (ребер, вершин) може мати пряма призма? 100°. Чи є правильною пряма призма, якщо в її основі лежить: 1) квадрат; 2) ромб; 3) трапеція? Відповідь поясніть. 101°. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами a і b, а висота призми — h. Знайдіть бічну й повну поверхні призми, якщо: 1) a = 3 см, b = 4 см, h = 5 см; 2) a = 6 см, b = 8 см, h = 2,5 см; 3) a = 2 3 см, b = 2 см, h = 8 см.

S, а бічне ребро дорівнює h. Знайдіть ребро основи призми, якщо: 1) S = 16 см2, h = 4 см; 2) S = 18 см2, h = 3 см; 3) S = 54 см2, h = 6 см. 107°. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює S, а повної поверхні — Q. Знайдіть ребро основи призми, якщо: 1) S = 24 см2, Q = 56 см2; 2) S = 12 см2, Q = 30 см2; 3) S = 15 см2, Q = 65 см2. 108°. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює S, а діагональ основи дорівнює d. Знайдіть бічне ребро призми, якщо: 1) S = 24 см2, d = 3 2 см; 2) S = 48 см2, d = 6 2 см; 3) S = 16 2 см2, d = 4 см. 109°. Побудуйте розгортку правильної n-кутної призми зі стороною основи a і висотою H, якщо: 1) n = 3, a = 4 см, H = 5 см; 2) n = 4, a = 3 см, H = 5 см; 3) n = 6, a = H = 4 см.

Для одержання наочних динамічних зображень геометричних фігур р мо можна скористатися комп’ютерними програмами, наприклад, GeoGebra: https://www.geogebra.org/geometry

111°. У похилої призми бічне ребро a, а перпендикулярний переріз —

102°. Основою прямої призми є прямокутник зі сторонами 5 см і 8 см, 1

а бічне ребро дорівнює: 1) 6 см; 2) 12 см; 3) 2 2 см. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь призми. 103°. Площа бічної поверхні правильної трикутної призми дорівнює S, а бічне ребро дорівнює c. Знайдіть ребро основи призми, якщо: 1) S = 16 3 см2, c = 4 см; 2) S = 3 см2, c = 1 см; 3) S = 64 3 см2, c = 3 см. 104°. Площа основи правильної трикутної призми дорівнює S, а висо1 та — h. Знайдіть площу бічної поверхні призми, якщо: 1) S = 4 3 см2, h = 2 см; 2) S = 9 3 см2, h = 3 см; 3) S = 16 3 см2, h = 6 см. 105°. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює a, висота призми — h. Знайдіть бічну й повну поверхні призми, якщо: 1) a = 2 см, h = 5 см; 2) a = 6 см, h = 10 см; 3) a = 2 3 см, h = 15 см.

110°. У похилої призми бічне ребро a, а перпендикулярний переріз — 1

квадрат, площа якого S. Знайдіть площу поверхні даної призми, якщо: 1) a = 4 см, S = 9 см2; 2) a = 6 см, S = 16 см2; 3) a = 3 3 см, S = 27 см2. прямокутник, у якого сторони відносяться, як 1 : 3, а діагональ d. Знайдіть площу поверхні даної призми, якщо: 1) a = 4 см, d = 2 5 см; 2) a = 3 см, d = 3 10 см; 3) a = 2 3 см, d = 2 15 см. 112°. У похилої призми бічне ребро a, а перпендикулярний переріз — рівнобічна трапеція з основами b і c та висотою h. Знайдіть площу поверхні даної призми, якщо: 1) a = 3 см, b = 3 см, c = 9 см, h = 4 см; 2) a = 5 см, b = 4 см, c = 14 см, h = 12 см; 3) a = 3 3 см, b = 3 2 см, c = 7 2 см, h = 2 см. 113°. Відстані між прямими, які містять бічні ребра похилої трикутної

призми дорівнюють a, b, c, а бічне ребро — h. Знайдіть площу бічної поверхні призми, якщо: 1) a = 8 см, b = 12,5 см, c = 19,5 см, h = 20 см; 2) a = 15 см, b = 14 см, c = 13 см, h = 10 см; 3) a = 3 3 см, b = 6 3 см, c = 7 3 см, h = 5 3 см.

45 114. Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з основою a 1

і висотою, проведеною до цієї основи — b, висота призми — h. Знайдіть бічну й повну поверхні призми, якщо: 1) a = 6 см, b = 4 см, h = 10 см; 2) a = 10 см, b = 12 см, h = 16 см; 3) a = 4 3 см, b = 2 см, h = 15 см. 115. У прямої трикутної призми сторони основи b і c утворюють кут α, а

бічне ребро дорівнює d. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь призми, якщо: 1) b = 2 см, c = 4 см, d = 10 см, α = 30°; 2) b = c = 12 см, d = 16 см, α = 60°; 3) b = 2 2 см, c = 3 см, d = 8 см, α = 45°. 116. Основою прямої призми є трикутник зі сторонами a, b і c, а бічне 1

ребро дорівнює h. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь призми, якщо: 1) a = 13 см, b = 14 см, c = 15 см, h = 4 см; 2) a = 4 см, b = 13 см, c = 15 см, h = 6 см; 3) a = 7 см, b = 15 см, c = 20 см, h = 8 см. 117. В основі прямої призми лежить правильний n-кутник зі стороною а. Висота призми дорівнює h. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь призми. Заповніть таблицю 2. Таблиця 2 N 3 3 4 4 6 6 А 4 см 6 см 3 см 4 см 2 см 3 см H 6 см 10 см 18 см 12 см 3 см 4 см Sбп Sпп 118. Основа прямої призми — ромб, сторона якого дорівнює b, гострий

кут — β. Через більшу діагональ основи й середину однієї сторони другої основи проведено переріз, який утворює з площиною основи кут γ. Знайдіть площу перерізу, якщо: 1) b = 2 см, β = 60°, γ = 30°; 2) b = 10 см, β = 30°, γ = 60°; 3) b = 4 2 см, β = 60°, γ = 45°.

119. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція з основами a і b та 1

висотою с, висота призми — h. Знайдіть бічну й повну поверхні призми, якщо: 1) a = 10 см, b = 8 см, c = 10 см, h = 15 см; 2) a = 2 см, b = 1,5 см, c = 1 см, h = 10 см; 3) a = 5 см, b = 6 см, c = 5 см, h = 12 см. 120. Діагональ основи правильної чотирикутної призми дорівнює d, а висота призми — h. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь

призми, якщо: 1) d = 4 2 см, h = 5 см; 2) d = 9 2 см, h = 5 см; 3) d = 8 см, h = 4 2 см. 121. У правильній чотирикутній призмі сторона основи дорівнює a; переріз, проведений через діагональ основи й протилежну вершину іншої основи, перетинає бічні грані по відрізках, кут між якими — α. Знайдіть площу бічної поверхні призми, якщо: 1) a = 2 см, α = 30°; 2) a = 4 см, α = 60°; 3) a = 8 см, α = 60°. 122. У правильній чотирикутній призмі через середини двох суміжних 1 сторін основи проведено площину, яка перетинає три бічних ребра й нахилена до площини основи під кутом α. Сторона основи — a. Знайдіть площу отриманого перерізу, якщо: 1) a = 6 см, α = 60°; 2) a = 4 2 см, α = 45°; 3) a = 12 см, α = 30°. 123. Площа основи правильної шестикутної призми дорівнює 54 3 см2,

а висота — 5 см. Знайдіть найбільшу діагональ призми. 124. Чи залежить кількість вершин (ребер, граней) у призми від того, що в її основі лежить правильний многокутник? 1 125. Виведіть формулу для обчислення кількості: 1) вершин n-кутної призми; 2) ребер n-кутної призми; 3) граней n-кутної призми. 126. Побудуйте розгортку призми, основа якої — квадрат зі стороною 5 см, а всі бічні грані — ромби з гострим кутом 60°. 127. Основою прямої призми є трикутник зі стороною a та прилеглими до неї кутами α, β, а бічне ребро дорівнює c. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь призми, якщо: 1) a = 6 см, с = 4 см, α= 70°, β = 60°; 2) a = 8 см, с = 5 см, α= 65°, β = 55°; 3) a = 2 см, с = 3 см, α= 45°, β = 75°. 128. Основою призми є квадрат зі стороною a. Одна з бічних граней та1 кож квадрат, а інша — ромб із гострим кутом 60°. Знайдіть повну поверхню призми. 129. Основа похилої призми — правильний трикутник зі стороною 3 см. Одна з бічних граней — квадрат, а спільне ребро двох інших бічних граней нахилене до площини основи під кутом 30°. Знайдіть повну поверхню призми. 130*. Діагоналі правильної шестикутної призми дорівнюють 7 см і 8см. Знайдіть висоту призми. 131*. Прямокутник зі сторонами 8 см і 34 см пряма m розбиває на два подібних прямокутники, площі яких відносяться, як 1 : 3. На кожному з прямокутників як на основі побудовано пряму призму висотою 8 см. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь побудованих призм. 132*. На сторонах прямокутного трикутника з катетами а і b побудова1 но квадрати. Їх вершини з’єднано відрізками так, що утворився опуклий шестикутник. Він є основою прямої призми з висотою h. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь цієї призми.

47 133*. У правильній трикутній призмі кут між діагоналлю бічної грані й

іншою бічною гранню дорівнює α. Знайдіть висоту та бічну поверхню призми, якщо ребро основи дорівнює a. 134*. Діагональ бічної грані правильної трикутної призми утворює з іншою бічною граню кут 30°. Знайдіть висоту призми, якщо сторона основи дорівнює 3 2 см.

§ 4. ПАРАЛЕЛЕПІПЕД

135*. Основа похилої призми — правильний трикутник зі стороною a, а

довжина бічного ребра b. Одне з бічних ребер утворює з прилеглими сторонами основи кути по 45°. Знайдіть бічну поверхню призми.

Проявіть компетентність 136. Наведіть приклади з довкілля, що ілюструють пряму призму. 1 137. Які призми та які їх властивості використовують під час ремонту 1

квартири? 138. Для кращого зберігання овочі складають у бурти. Перпендикулярний розріз такого бурта зображено на малюнку 3.28, розміри вказано в метрах. Визначте площу, яку потрібно вкрити шаром соломи, якщо довжина бурта — 15 м. 139. Під час розвантаження торфу викопують траншею, перпендикулярний розріз якого зображено на малюнку 3.29, розміри вказано в метрах. Дно і стіни траншеї обшивають дошками. Знайдіть площу укріплення траншеї, довжина якої 120 м. 140. Намалюйте розгортку правильної восьмикутної призми, сторона 1 основи якої дорівнює 5 см, а висота призми — 16 см.

1,0

0,4

и ух

ил

2,0 Мал. 3.28

7,0 30°

Мал. 4.1

Мал. 4.2

Мал. 4.3

Мал. 4.4

Паралелепіпедом П ара називається призма, основами якої є паралело лелог лелограми. З означення випливає, що в паралелепіпеда: 1) бічні грані — паралелограми, оскільки цей многогранник є призмою; 2) основи — паралелограми (за означенням). Ви знаєте, що прямокутник — окремий вид паралелограма. Тому можливі такі види паралелепіпеда: — похилий паралелепіпед (мал. 4.5), у нього бічні грані — паралелограми, які не є прямокутниками, основи — паралелограми; — прямий паралелепіпед (мал. 4.6), у нього бічні грані — прямокутники, основи — паралелограми;

ух

1. ПАРАЛЕЛЕПІПЕД, ЙОГО ВИДИ Подивіться на малюнки 4.1–4.4. Ви бачите кристали кухонної солі (мал. 4.1) та ісландського шпату (мал. 4.2), що мають природну форму паралелепіпеда. Нас оточують різноманітні предмети (мал. 4.3) й споруди (мал. 4.4), що мають таку само геометричну форму. Узагалі, форма паралелепіпеда є найпоширенішою серед рукотворних об’єктів. Паралелепіпед належить до окремого виду призм. У попередніх класах ви ознайомилися з прямокутним паралелепіпедом і кубом, який є різновидом прямокутного паралелепіпеда. Проте ці многогранники не вичерпують усіх видів паралелепіпедів.

30°

1,5

основа

основа Мал. 3.29

Мал. 4.5

Мал. 4.6

Паралелепіпеди Прямі

основа Мал. 4.7

Прямокутні

Похилі

Не прямокутні Мал. 4.8

— прямокутний паралелепіпед (мал. 4.7), у нього бічні грані — прямокутники, основи — прямокутники. Зв’язок між паралелепіпедами різних видів показано на малюнку 4.8. Оскільки прямий паралелепіпед є різновидом прямої призми, то він має всі її властивості. Особлива його властивість полягає в тому, що в ньому протилежні грані рівні й паралельні. Доведіть цю властивість самостійно.

D1 A1

Чи кожний прямий паралелепіпед є правильною чотирикутною призмою? Ні, лише той, у якого основи — квадрати. C1 Прямокутний паралелепіпед (мал. 4.9) —

один з найбільш відомих вам многогранників. У ньому: 6 граней, які є прямокутниками, 12 ребер, 8 вершин, 12 двогранних кутів, кожD C ний з яких є прямим, 8 тригранних кутів, у кожного з яких усі три плоских кути є прямими, 4 діагоналі, 6 діагональних перерізів. Три ребра B зі спільною вершиною можуть мати різну доМал. 4.9 вжину. Наприклад, на малюнку 1.4.5 — це два сусідні ребра основи АВ, АD і бічне ребро АА1. Такі ребра (і їх довжини) називають вимірами прямокутного паралелепіпеда. B1

2. ВЛАСТИВОСТІ ДІАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЕЛЕПІПЕДА ТЕОРЕМА

(про квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда).

У ньому: ∠ АВС = 90°, АВ = a, ВС = АD = b, отже, за теоремою Піфагора, АС2 = a2 + b2 (2). З рівностей (1) і (2) одержимо: d2 = a2 + b2 + c2.

Задача

Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямокутний паралелепіпед (мал. 4.10), АВ = a, АD = b, АА1 = c, А1С = d. Довести: d2 = a2 + b2 + c2. Доведення. Трикутник А1АС — прямокутний із прямим кутом А, оскільки ребро А1А даного паралелепіпеда перпендикулярне до площини його основи. Тому, за теоремою Піфагора, d2 = АС2 + c2 (1). Основа даного паралелепіпеда — прямокутник, тому трикутник АВС — прямокутний.

d c b

У прямокутному паралелепіпеді АВСDА1В1С1D1 (мал. 4.11) АD : АВ : А1А = 3 : 4 : 12, а діагональ на 1 см довша за його висоту А1А. Яка довжина діагоналі паралелепіпеда? Розв’язання. За умовою, виміри даного паралелепіпеда відносяться, як 3 : 4 : 12. Введемо коефіцієнт пропорційності k > 0. Тоді АВ = 4k см, АD = 3k см, А1А = 12k см, А1С = 12k + 1 (см). За теоремою про квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда, А1С2 = АВ2 + АD2 + А1А2. Одержали рівняння відносно k: (12k + 1) 2 = (4k)2 + (3k)2 + (12k)2. Це рівняння зводиться до квадратного рівняння 1 25k2 – 24k – 1 = 0, яке має два корені: 1 і − . 25

Мал. 4.10

D1 C1 A1 B1

12 k

D C A

Оскільки k > 0, то k = 1. Отже, А1С = 12 ⋅ 1 + 1 = 13 (см).

Прямокутний паралелепіпед, який має три рівні виміри, називають кубом (мал. 4.12). З означення випливає, що всі грані куба — квадрати. Оскільки куб — окремий вид прямокутного паралелепіпеда, то він має всі його властивості. Особливі властивості куба сформулюйте самостійно.

Якщо в ході розв’язування геометричної задачі одержали ержа квадратне рівняння, то його корені необхідно дослідити.

НАСЛІДОК. У прямокутному паралелепіпеді усі діагоналі рівні. Твердження безпосередньо випливає з доведеної теореми.

ТЕОРЕМА Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Мал. 4.11

D1 A1

B1 C

A Мал. 4.12

(про точку перетину діагоналей паралелепіпеда).

Усі чотири діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й діляться цією точкою навпіл. Дано: АВСDА1В1С1D1 — паралелепіпед (мал. 4.13), АC1, BD1, B1D і А1С — його діагоналі. Довести: Діагоналі АC1, BD1, B1D і А1С перетинаються в точці O; точка O — середина діагоналей АC1, BD1, B1D і А1С.

51 Доведення. Діагоналі АC1 і BD1 параB1 C1 лелепіпеда та діагоналі граней АD1 і BC1 утворюють чотирикутник АBC1D1. У ньоA1 D1 го АB = DC, D1C1 = DC, тому АB = D1C1. Оскільки АB і D1C1 відповідно паралельні ребру DC, то, за ознакою паралельносO ті прямих, вони паралельні між собою. Отже, чотирикутник АBC1D1 — паралеB C лограм. У нього АC1 і BD1 — діагоналі. За властивістю діагоналей паралелограма, A D вони перетинаються в точці O й діляться Мал. 4.13 цією точкою навпіл. Для діагоналей АC1 і B1D паралелепіпеда побудуємо чотирикутник АDC1B1. Він також є паралелограмом. Дані діагоналі АC1 і B1D в цьому паралелограмі є його діагоналями, тому вони перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Оскільки серединою діагоналі АC1 є точка O, то вона є і точкою перетину діагоналей АC1 і B1D. Міркуючи аналогічно, одержимо, що діагоналі B1D і А1C перетинаються і в точці перетину діляться навпіл, а точкою їх перетину є також точка O. Отже, всі чотири діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці O і діляться цією точкою навпіл. НАСЛІДОК 1. Протилежні грані паралелепіпеда рівні й паралельні. Справді, основи паралелепіпеда АВСDА1В1С1D1 рівні й паралельні за означенням. Його бічні грані, наприклад, АА1D1D і ВВ1С1C, — паралелограми (за властивістю паралелепіпеда), тому AA1 ⎪⎢ BB1, AD ⎪⎢ BC і, за ознакою паралельності площин, АА1D1D ⎪⎢ ВВ1С1C. Далі, AA1 = BB1 = = CC1 = DD1 як бічні ребра, AB = CD = A1B1 = C1D1 як сторони основ, тому паралелограми АА1D1D і ВВ1С1C — рівні. НАСЛІДОК 2. Середина діагоналі паралелепіпеда є його центром

симетрії. Справді, при центральній симетрії відносно точки O — середини діагоналі BD1 паралелепіпеда АВСDА1В1С1D1, точка B переходить у точку D1, точка A — у точку С1, відрізок AB переходить у відрізок С1D1. Аналогічно, відрізок CD переходить у відрізок A1B1. Поверхня паралелепіпеда відображається на себе. Внутрішня область також відображається на себе. Отже, при симетрії з центром в точці O паралелепіпед відображається на себе, а точка O — центр симетрії даного паралелепіпеда.

3. СИМЕТРІЯ В ПАРАЛЕЛЕПІПЕДІ Згідно з наслідком 2 з теореми про точку перетину діагоналей паралелепіпеда, будь-який паралелепіпед має центр симетрії — точку перетину його діагоналей. Про осі та площини симетрії паралелепіпеда так однозначно сказати не можна. У довільного паралелепіпеда осей і площин симетрії немає. Проте прямий паралелепіпед (не прямокутний) завжди має вісь симе-

Мал. 4.14

Мал. 4.15

трії — пряму, яка проходить через центри симетрії його основ, і площину симетрії, яка проходить через середини його бічних ребер. Якщо у прямого паралелепіпеда основами є ромби (не квадрати), то він має ще дві площини та дві осі симетрії (мал. 4.14–4.15). Чи має прямокутний паралелепіпед центри, осі, площини симетрії? Так. Дослідіть це самостійно. Чи має куб центри, осі, площини симетрії? Так.

1. Центром симетрії куба є точка перетину його діагоналей. 2. Куб має дев’ять площин симетрії: а) шість діагональних площин; б) три площини, що проходять через середини кожної четвірки його паралельних ребер перпендикулярно до них. 3. Куб має 13 осей симетрії.

Дізнайтеся більше 1. Термін «паралелепіпед» походить від грецьких слів parallox — паралельний та epipedon — площина. Термін «куб» (cubox) теж античного походження. Таку назву мала гральна кістка з вирізаними на ній вічками. Її виготовляли з баранячого суглоба, який міг падати на чотири грані, але після обточування — на шість граней. 2. Теорему про квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда іноді називають просторовою теоремою Піфагора. У стереометрії є декілька аналогів теореми Піфагора. Частіше за все, це теорема, яку ви вивчили. Іноді — це формула відстані між двома точками в просторі, заданих у прямокутній декартовій системі координат. Існує ще й такий аналог: якщо через кінці ребер прямокутного паралелепіпеда, що сходяться в одній вершині, проведено площину, то квадрат площі отриманого перерізу дорівнює сумі квадратів площ трикутників, які відтинає січна площина від його граней, що сходяться в цій вершині. Ще один аналог — теорема французького математика Ж.-П. де Гуа, який жив у XVIII ст.

53 Теорема де Гуа. У трикутній піраміді ABCD, у якої три кути при вершині D (∠ADB, ∠BDC і ∠CDA) — прямі, квадрат площі грані, що лежить проти вершини D, дорівнює сумі квадратів площ граней, прилеглих до цього кута. Тобто S2ABC = S2ABD + S2BDC + S2ADC. 3. Поворот навколо деякої прямої на кут 180° називають симетрією відносно прямої (або поворотною симетрією). 360° Якщо поворотом навколо деякої прямої на кут , де n — натуn ральне число, n ≥ 2 , фігура суміщається сама із собою, то така пряма називається віссю симетрії n-го порядку цієї фігури. Композиція повороту навколо прямої та симетрії відносно площини, перпендикулярної до цієї прямої, називається дзеркальним поворотом (або дзеркальною симетрією). У куба: а) шість осей симетрії другого порядку — прямі, які з’єднують середини протилежних ребер куба; б) чотири осі симетрії третього порядку — діагоналі куба. в) три осі симетрії четвертого порядку, які з’єднують точки перетину діагоналей протилежних граней куба;

Словничок Прочитайте та прослухайте в Інтернеті, як вимовляються ці слова. Українська Англійська Німецька Французька Паралелепіпед Parallelepiped Parallelepiped Parallélépipède Куб Cube Würfel Cube

Пригадайте головне 1. 2. 3. 4. 5.

Поясніть, що таке паралелепіпед. Що є основами паралелепіпеда; його гранями? Який паралелепіпед називається похилим; прямим; прямокутним? Що називають вимірами прямокутного паралелепіпеда? Сформулюйте й доведіть теорему про квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда. 6. Сформулюйте й доведіть теорему про точку перетину діагоналей паралелепіпеда.

Розв’яжіть задачі 141'. На якому з малюнків 4.16–4.18 зображено паралелепіпед? 142'. За малюнком 4.19 назвіть: 1) основи паралелепіпеда; 2) бічні грані

паралелепіпеда; 3) діагоналі паралелепіпеда; 3) діагональний переріз паралелепіпеда.

Мал. 4.16

Мал. 4.17

Мал. 4.18

143'. На які многогранники розіб’ється паралеле-

B1 піпед, у якого проведено діагональний переріз? O1 144'. Скільки граней непрямокутного паралеле1 піпеда можуть мати форму прямокутника? D1 A1 145'. Скільки діагоналей похилого паралелепіO 2 B педа можуть бути рівними? 146'. Чи правильно, що паралелепіпед прямий, O якщо дві його діагоналі рівні? 147'. Чи може діагональний переріз прямокутA D ного паралелепіпеда бути квадратом? Мал. 4.19 1 148'. Чи може існувати паралелепіпед, у якого: 1) тільки одна грань є ромбом; 2) усі кути кожної грані — гострі? 149°. Основа прямого паралелепіпеда — паралелограм зі сторонами a і b та гострим кутом α, бічне ребро дорівнює c. Знайдіть його повну поверхню, якщо: 1) a = 3 см, b = 4 см, c = 5 см, α = 30°; 2) a = 3 см, b = 2 3 см, c = 8 см, α = 60°;

3) a = 5 2 см, b = 6 см, c = 12 см, α = 45°. Для одержання наочних динамічних зображень геометричних фігур р мо можна скористатися комп’ютерними програмами, наприклад, GeoGebra: https://www.geogebra.org/geometry 150°. Основа прямого паралелепіпеда — ромб зі стороною a й гострим ку-

том α, бічне ребро дорівнює c. Знайдіть його повну поверхню, якщо: 1) a = 3 см, c = 5 см, α = 30°; 2) a = 4 см, c = 6 см, α = 45°; 3) a = 5 3 см, c = 10 см, α = 60°.

151°. Основа прямого паралелепіпеда — ромб із діагоналями d1 і d2, 1

а бічне ребро — h. Знайдіть його бічну й повну поверхні якщо: 1) d1 = 6 см, d2 = 8 см, h = 5 см; 2) d1 = 10 см, d2 = 24 см, h = 8 см; 3) d1 = 48 см, d2 = 20 см, h = 10 см.

55 152°. У прямокутному паралелепіпеді виміри дорівнюють a, b, c. Знайдіть

164. У прямокутному паралелепіпеді діагональ дорівнює d, а його вимі-

його діагональ, якщо: 1) a = 3 см, b = 4 см, c = 5 см;

ри відносяться, як 1 : 3 : 5. Знайдіть його бічне ребро, якщо: 1) d = 2 35 см; 2) d = 5 7 см; 3) d = 7 5 см.

2) a = 6 см, b = 8 см, c = 5 см; 3) a = 4 3 см, b = 4 6 см, c = 5 см. 153°. У прямокутному паралелепіпеді діагональ дорівнює d, а сторони основи — a і b. Знайдіть його бічне ребро, якщо: 1) a = 3 см, b = 4 см, d = 10 см; 2) a = 5 см, b = 5 см, d = 5 3 см;

165. Площа основи прямокутного паралелепіпеда дорівнює 240 см2. 1

3) a = 4 3 см, b = 4 6 см, d = 13 см. 154°. Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють a, b, c. Знайдіть 1 його бічну поверхню, якщо: 1) a = 5 см, b = 6 см, c = 4 см; 2) a = 8 см, b = 10 см, c = 2,5 см; 3) a = 4 3 см, b = 6 3 см, c = 12 см.

166.

155°. У кубі з однієї вершини проведено дві діагоналі бічних граней.

168.

Визначте кут між ними. 156°. Ребро куба дорівнює a. Знайдіть його діагональ, якщо: 1) a = 3 см; 2) a = 8 см; 3) a = 6 2 см.

167.

169. 1

157°. Бічна поверхня куба дорівнює: 1) 4 см2; 2) 36 см2; 1) 8 см2. Яку до1

вжину має його ребро? 158°. Знайдіть повну поверхню куба, якщо його діагональ дорівнює d. 1 159°. Знайдіть повну поверхню куба, якщо площа його діагонального 1 перерізу дорівнює S. 160°. Відстані між бічними гранями похилого паралелепіпеда відносяться, як 3 : 25 : 26, а площа перпендикулярного перерізу дорівнює 144 см2. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда. 161. Основа прямого паралелепіпеда — паралелограм зі сторонами a і b та гострим кутом α. Площа повної поверхні паралелепіпеда дорівнює S. Знайдіть його бічне ребро, якщо: 1) S = 18 см2, a = 3 см, b = 2 см, α = 30°; 2) S = 188 см2, a = 6 см, b = 10 см, α = 30°; 3) S = 63 см2, a = 5 см, b = 3 см, α = 30°. 162. Основа прямого паралелепіпеда — паралелограм зі сторонами a і b 1 та гострим кутом α. Менша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут β. Знайдіть його діагоналі, якщо: 1) a = 5 см, b = 8 см, α = 60°, β = 60°; 2) a = 4 см, b = 12 см, α = 60°, β = 45°; 3) a = 12 см, b = 8 см, α = 60°, β = 30°. 163. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 21 см і 22 см, а бічне ребро — 20 см. Знайдіть площі діагональних перерізів паралелепіпеда, якщо його діагоналі відносяться, як 5 : 9.

170.

171. 172. 173. 1

174.

175.

Знайдіть площу його бічних граней, якщо площа однієї з них стано1 1 вить площі основи, а площа другої — площі основи. Чому 2 4 дорівнюють площі бічної та повної поверхонь паралелепіпеда? Кути, утворені діагоналлю прямокутного паралелепіпеда з його ребрами, дорівнюють α, β, γ. Доведіть, що cos2α + cos2β + cos2γ = 1. Як зміниться площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда, якщо кожну з його сторін: 1) збільшити у 2 рази; 3) збільшити на 25 %; 2) зменшити в 3 рази; 4) зменшити на 50 %? Накресліть: 1) прямокутний паралелепіпед; 2) куб. Через діагональ нижньої основи та вершину верхньої основи проведіть січну площину так, щоб у перерізі дістати: а) трикутник; б) чотирикутник. Як зміниться площа повної поверхні куба, якщо його сторону: 1) збільшити в 4 рази; 3) збільшити на 50 %; 2) зменшити у 2 рази; 4) зменшити на 75 %? У кубі АВСDА1В1С1D1 задано точку: 1) P на ребрі BB1; 2) Q на ребрі BC. Площини яких граней куба перетинає пряма, що лежить у площині грані куба і проходить через дану точку та одну з вершин куба? Скільки таких прямих можна провести? Ребро куба дорівнює a. Знайдіть відстань від вершини куба до його діагоналі. Доведіть, що сума квадратів площ діагональних перерізів паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів площ його бічних граней. Сума всіх ребер паралелепіпеда дорівнює 120 см. Знайдіть довжину трьох ребер, які виходять з однієї вершини, якщо їх довжини відносяться, як 4 : 5 : 6. Основа прямого паралелепіпеда — ромб зі стороною a, діагоналі паралелепіпеда утворюють з площиною основи кути α і β. Знайдіть висоту паралелепіпеда, якщо: 1) a = 3 см, α = 30°, β = 45°; 2) a = 6 см, α = 60°, β = 45°; 3) a = 12 см, α = 60°, β = 60°. У прямому паралелепіпеді сторони основи дорівнюють a і b, більша діагональ основи — d. Більша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут α. Знайдіть площі діагональних перерізів паралелепіпеда, якщо: 1) a = 17 см, b = 18 см, d = 25 см, α = 45°; 2) a = 12 см, b = 16 см, d = 15 см, α = 30°; 3) a = 6 см, b = 8 см, d = 10 см, α = 60°.

176.. Ос Основа прямого паралелепіпеда — ромб зі стороною a, діагоналі па-

ралелепіпеда утворюють із площиною основи кути α і β. Знайдіть кути ромба, якщо: 1) a = 3 см, α = 30°, β = 45°; 2) a = 6 см, α = 60°, β = 45°; 3) a = 12 см, α = 30°, β = 60°. 177. У прямому паралелепіпеді висота дорівнює 20 см, сторони основи — 17 см і 28 см. Площа перерізу, проведеного через дві більші сторони основ, дорівнює 700 см2. Знайдіть діагоналі паралелепіпеда. 178. Площі двох граней прямокутного паралелепіпеда відносяться, як 2 : 5. Діагоналі цих граней дорівнюють 10 см і 17 см. Знайдіть площу поверхні паралелепіпеда. 179. Периметри трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 34 см, 40 см, 58 см. Знайдіть діагональ паралелепіпеда. 180. Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює 6240 см2, а його виміри відносяться, як 12 : 16 : 21. Знайдіть діагональ паралелепіпеда. 181. Периметри трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівню1 ють 32 см, 40 см і 48 см. Знайдіть площу поверхні паралелепіпеда. 182. Переріз куба — правильний многокутник. Доведіть, що цим многокутником може бути лише трикутник, чотирикутник або шестикутник. 183. У кубі проведено два діагональних перерізи. Доведіть, що пряма їх перетину перпендикулярна до двох граней куба. 184*. На трьох бічних ребрах прямокутного паралелепіпеда розміщено 1 по дві точки. Скільки можна провести площин, кожна з яких проходить принаймні через три з даних точок? 185*. ABCDA1B1C1D1 — прямокутний паралелепіпед. Доведіть, що переріз AB1C1 — гострокутний трикутник. 186*. Доведіть, що квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда до1 2 2 2 рівнює ( d1 + d2 + d3 ) , де d1, d2, d3 — діагоналі граней, що вихо2 дять з однієї вершини. 187*. Знайдіть діагональ прямокутного паралелепіпеда, якщо діагоналі його граней дорівнюють 11 см, 19 см, 20 см. 188*. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює d1, діагональ 1 бічної грані — d2, діагональ основи — d3. Знайдіть площу основи паралелепіпеда. 189*. Різниця периметра грані одного куба й периметра грані другого куба дорівнює с, а різниця їх площ — d. Знайдіть площі бічної та повної поверхонь, якщо: 1) с = 16 см, d = 56 см2; 2) с = 12 см, d = 105 см2. 190*. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Назвіть площини, кожна з яких проходить принаймні через три вершини куба.

191*. На трьох бічних ребрах куба ABCDA1B1C1D1 позначте по точці,

кожна з яких ділить ребро у відношенні 2 : 5. На одному ребрі це відношення рахуйте від вершини верхньої основи куба, а на двох інших — від вершини нижньої основи. Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через дані точки. Скільки розв’язків має задача? 192*. Чи може переріз куба площиною бути правильним шестикутни1 ком? Відповідь поясніть. 193*. У паралелепіпеді довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини, дорівнюють a, b, c. Ребра a і b взаємно перпендикулярні, а ребро c утворює з кожним із них кут α. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда. 194*. У прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з бічними гранями кути 30° і 45°. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда. 195*. У прямокутному паралелепіпеді довжина діагоналі дорівнює d. Яку найбільшу площу поверхні може мати такий паралелепіпед? 1 196*. У прямокутному паралелепіпеді сума довжин всіх ребер дорівнює 48 см. Яку найбільшу площу поверхні може мати такий паралелепіпед? 197*. Доведіть, що відстань між мимобіжними діагоналями двох суміжних граней куба втричі менша від довжини діагоналі куба. 198*. Через діагональ куба з ребром a паралельно одній з діагоналей основи проведено площину. Побудуйте переріз куба цієї площиною та знайдіть його площу. 199*. Доведіть, що переріз паралелепіпеда площиною не може бути правильним п’ятикутником. 200*. Основою похилого паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 є ромб ABCD, у якого ∠BAD = 60°. Бічні ребра паралелепіпеда нахилені до площини основи під кутом 60°, а площина AA1C1C перпендикулярна до площини основи. Доведіть, що площі перерізів BB1D1D і AA1C1C відносяться, як 2 : 3. 201*. Через вершини A1, B, D паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 проведено площину. Доведіть, що трикутник, отриманий у перерізі паралелепіпеда цією площиною, перетинається діагоналлю паралелепіпеда AC1 у точці перетину медіан.

Проявіть компетентність 202. Будинок, довжина якого 37,5 м, ширина 10,5 м, висота 12,8 м,

потрібно поштукатурити ззовні. У будинку чотири під’їзди, вхідні двері яких мають розміри 1,8 × 2,4 м, та 66 вікон розмірами 1,6 × 2,25 м. Скільки тон цементного розчину знадобиться для штукатурення будинку, якщо для 1 м2 штукатурки використовують 20 кг розчину?

59 203. Скільки проволоки потрібно взяти для виготовлення каркасної

§ 5. ПІРАМІДА Подивіться на малюнки 5.1 і 5.2. Ви бачите природні та рукотворні об’єкти, що мають форму піраміди.

1,5

моделі прямокутного паралелепіпеда з вимірами 12 см, 8 см, 5 см? На обрізки відходить 3 % проволоки. 204. На малюнку 4.20 вказано розміри перпендикулярного перерізу тунелю в метрах. Визначте площу гідроізоляції ділянки тунелю завдовжки 300 м. 205. На малюнку 4.21 зображено план двокімнатної квартири (розміри 2 вказано в метрах). Визначте площу стін, які потрібно пофарбувати, якщо висота кімнат 2,5 м, дверей — 2 м, а вікон — 1,5 м.

1,0 4,5

6,2

1,5

1,0

Мал. 4.20

Мал. 5.1

1. ПІРАМІДА ТА ЇЇ ЕЛЕМЕНТИ Піраміда (мал. 5.3), як і призма, — один з видів многогранників. Ви вже знаєте, що є спільного й відмінного в піраміди й призми; як формулюється означення призми. Спробуйте самостійно дати означення піраміді та порівняйте його з наведеним у підручнику. Пірамідою П іра називається многогранник, к, у якого одна гр грань — довільний n-кутник, а решта n граней — трикутники, що мають спільну вершину.

Мал. 4.21

Грань, що є довільним n-кутником, називають основою піраміди, а грані, що є трикутниками, — бічними гранями піраміди. Спільна вершина бічних граней називається вершиною піраміди, а інші її вершини — вершинами основи. Піраміду позначають назвами її вершин, першою записуючи назву вершини піраміди, наприклад, SА1А2 … Аn (мал. 5.4) або SАВ … N (мал. 5.5). Відрізки А1А2,… АnА1 (мал. 5.4) називають ребрами основ піраміди, а відрізки SА1, SА2,… SАn — бічними ребрами піраміди. Залежно від того, який многокутник лежить в основі, піраміду називають трикутною, чотирикутною чи n-кутною. На малюнку 5.6 ви бачите п’ятикутну піраміду.

Мал. 5.3

An A1 Мал. 5.4

60 S

A N

N A

B Мал. 5.5

A Мал. 5.6

Особливою є трикутна піраміда. У неї будь-яку грань можна вважати основою. Тоді, дотримуючись традиції першою називати вершину піраміди, треба лише відповідно змінити порядок назв вершин піраміди. Наприклад, якщо піраміді на малюнку 5.7 дати назву SАВС, тоді її основою треба вважати трикутник АВС, а вершиною — вершину S. Якщо цій піраміді дати назву АВСS, тоді її основою треба вважати трикутник ВСS, а вершиною — вершину А. Чи є елементами піраміди двогранні та многогранні кути? Так, оскільки піраміда є многогранником.

Мал. 5.7

S M

An A3 A1

A2 Мал. 5.8

S У n-кутної піраміди 2n ребер, тому в неї 2n двогранних кутів (мал. 5.8). У вершині n-кутної піраміди сходяться n бічних граней, тому при ній утворюється n-гранний C кут. При вершинах основи n-кутної піраміди D утворюється n тригранних кутів. Якщо піраміда трикутна, тоді всі її многогранні кути є тригранними (мал. 5.7). Відрізок, який з’єднує дві несусідні верB A шини основи n-кутної піраміди, називається діагоналлю основи піраміди (наприклад, відМал. 5.9 різок АС на малюнку 5.9). На відміну від призми, у піраміди немає діагоналей. Але в піраміді, як і в призмі, можна побудувати діагональний переріз. Він проходить через два несусідніх бічних ребра піраміди й відповідну діагональ основи. Кожний діагональний переріз піраміди є трикутником (наприклад, трикутник SАС на малюнку 5.9). Чи є правильним твердження: «У кожній піраміді можна побудувати діагональний переріз»? Ні. Наприклад, у трикутної піраміди будь-яка пара бічних ребер є сусідніми й у її основі не можна провести жодної діагоналі. Тому діагональний переріз побудувати не можна.