matematika
az alapiskola 9. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 4. osztálya számára 1. rész
Slovenské pedagogické nakladateľstvo
A kilencedikes matematika-tankönyv olyan tananyagot tartalmaz, amelynek segítségével elmélyítheted és kiegészítheted alapiskolai matematikai ismereteidet. Az előző tanévek során a tanulási módszereknek, a magyarázatoknak és az ismeretek számonkérésének sokféle változatával találkozhattál. Ebben a tankönyvben meg szeretnénk mutatni, hogy olykor a felfedezés örömével járhat és érdekes is lehet a matematikai szabályok és törvényszerűségek megismerése. Sok olyan feladatot, problémát és gyakorlatot is kínálunk, amelyek nem csupán „gondolkodás nélküli” számolásra, hanem az összefüggések mélyebb átgondolására, a matematikai ismeretek újszerű megközelítésére késztetnek, és olykor arra ösztönöznek, hogy a látszólag össze nem függő gondolatok közt is összefüggéseket keress. Időnként arra szólítunk fel, hogy néhány feladatot osztálytársaddal vagy egy kisebb csoportban közösen oldjatok meg. Olyan feladatokkal is találkozhatsz, amelyekhez általad jól ismert tárgyakat kell megvizsgálnod vagy megmérned, pedig eddig még fel sem merült benned, hogy ezek matematikai tulajdonságain is elgondolkodj. Hisszük, hogy – úgy, ahogy az alapiskolai éveid során korábban is – a tankönyv ebben az évfolyamban is hasznos segítőtársként segít majd tájékozódni a matematikai ismeretek mély tengerében. Sok sikert kívánunk a tanulmányaidhoz.
A szerzők
A tankönyvben előforduló szimbólumok jelentése:
– megoldott példa
– megoldott probléma
– Jegyezd meg! – összefoglalás vagy tétel/tanulság
– feladat – megjegyzés – kísérlet ––––––
Szerzők – Autori © doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD., prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc., Ivan Teplička
Lektorálták – Lektorovali: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc., Ing. Mgr. Martin Hriňák, Mgr. Tamara Hykeš, Mgr. Judit Hykeš
Fordító – Prekladateľ: RNDr. Horváth Géza
Illusztrálta – Ilustrovala: akademická maliarka Táňa Žitňanová
Grafikai elrendezés és borítóterv – Grafický dizajn a návrh obálky © SPN – Mladé letá, s. r. o.
Ministerstvo školstva, výskumu, vývoja a mládeže Slovenskej republiky schválilo pod č. 2026/6542:4-A3510 edukačnú publikáciu Matematika az alapiskola 9. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 4. osztálya számára 1. rész (Matematika pre 9. ročník ZŠ a 4. ročník GOŠ s VJM, 1. časť). Doložka nadobúda účinnosť 2. januára 2026 a má platnosť do 31. augusta 2034.
Első kiadás, 2026 – Prvé vydanie, 2026
Všetky práva vyhradené. Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv.
Zodpovedná redaktorka RNDr. Judita Hollá
Technická redaktorka Ivana Bronišová
Vyšlo vo vydavateľstve Slovenské pedagogické nakladateľstvo – Mladé letá, s. r. o., Sasinkova 5, 811 08 Bratislava
Vytlačila Nikara, Krupina
ISBN 978-80-1004502-0
1.3.
2.1.
2.2.
2.6. Pitagorasz tétele
2.7.
3.1. Egyenletek és egyenlőtlenségek
3.2. Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek ...................................................................................63
3.3. Az elsőfokú egyenletek megoldása
3.4. Elsőfokú egyenletekkel megoldható szöveges feladatok
3.5. Egyenletes mozgásra vonatkozó szöveges feladatok ............................................................84
3.6. Együttes munkavégzésre vonatkozó szöveges feladatok ......................................................88
3.7. Egyenlőtlenségek ..................................................................................................................91
3.8. Egyismeretlenes elsőfokú egyenlőtlenségek .........................................................................95
3.9. Elsőfokú egyenlőtlenségekkel megoldható szöveges feladatok ..........................................104
3.10. Egyenletek a nevezőben szereplő ismeretlennel .................................................................107
3.11. Az ismeretlen kifejezése a képletből .................................................................................111 3. TUDÁSPRÓBA
1. HATVÁNYOK,
1.1. Négyzetre emelés és köbre emelés
Hatványokkal már korábban is találkoztunk anélkül, hogy megneveztük volna ezt a fogalmat. Például az a oldalú négyzet területét a T = a · a, az r sugarú körlap területét a T = π · r r, az a élű kocka térfogatát
pedig a V = a · a · a képlettel számítottuk ki. Hamarosan megtudhatod, hogy ezekben a kifejezésekben valójában hatványok szerepelnek.
PÉLDA
Számítsd ki a 12 cm oldalú négyzet területét!
MEGOLDÁS
Vázlatrajzot készítünk, majd így számolunk:
a = 12 cm
T = ... cm2
T = a a
T = 12 cm . 12 cm
T = 144 cm2
a = 12 cm
Felelet: A négyzet területe 144 cm2.
JEGYEZD MEG!
Két egyenlő tényező szorzatát
a = 12 cm
A négyzet területét a T = 12 cm · 12 cm képlettel számítottuk ki, amit egyszerűbben így írhatunk le:
T = 12 cm . 12 cm = 122 cm2 = 144 cm2.
így írjuk: 3 3 = 32 így olvassuk: három a négyzeten
0,7 . 0,7 = 0,72 nulla egész hét tized a négyzeten . =
2 három nyolcad a négyzeten
Bármely a szám a · a szorzatát a2 alakban is leírhatjuk, és az a szám második hatványának (négyzetének) nevezzük, tehát a2 = a · a.
A műveletet négyzetre emelésnek nevezzük. (A fordító megjegyzése.)
FELADAT
kitevő (exponens) a2 hatványalap
Írd le második hatvány alakjában a következő szorzatokat: 9 9; 0,5 0,5; (–7) (–7); !
FELADAT
Írd le hatvánnyal az alábbi képletekben szereplő szorzatokat!
a) T = a · a b) T = π · r · r c) V = a · a · b d) F = 6 · a · a
FELADAT
Írd fel szorzatalakban: 32;
FELADAT
2 ; (–1,8)2!
Másold át a füzetedbe a táblázatot, és írd be a természetes számok négyzetét! x 1234567891011121314151617181920 x2 14400
PÉLDA
Számítsd ki! a)
MEGOLDÁS
FELADAT
Számítsd ki! a)
1. PROBLÉMA
Hasonlítsd össze a (–2)2 kifejezés értékét a –22 kifejezés értékével!
MEGOLDÁS
A (–2)2 hatvány szorzat alakban írva: (–2)2 = (–2) · (–2) = 4.
A –22 kifejezést így is értelmezhetjük: –(22), ahol a hatványozást korábban kell elvégezni, mint meghatározni az ellentett értéket. Ezért –22 = –(22) = –4.
Felelet: A (–2)2 és a –22 kifejezések értéke nem egyenlő. Ezt így írjuk le: (–2)2 –22.
FELADAT
Igazold példákkal az 1. probléma megoldásában megfogalmazott állítást!
FELADAT
Számítsd ki! a) 12 és (–1)2 b) 32 és (–3)2 c) 132 és (–13)2
Bármely a számra igaz, hogy a2 = (–a)2
Bármely pozitív és negatív szám második hatványa (négyzete) pozitív szám.
2. PROBLÉMA
Állapítsd meg, hogy egyenlő-e a (7 · 3)2 értéke a 72 · 32 értékével!
MEGOLDÁS
Az első kifejezés értéke: (7 . 3)2 = 212 = 441
A második kifejezés értéke: 72 32 = 49 9 = 441
Felelet: A két kifejezés értéke egyenlő.
az eredmények egyenlők
3. PROBLÉMA
Igazold, hogy bármely két a, b számra igaz: (a b)2 = a2 b2!
MEGOLDÁS
Az (a . b)2 hatvány szorzat alakban írva: (a . b) . (a . b). Elvégezzük a szorzást: (a . b)2 = (a . b) . (a . b) = a . b . a . b = a . a . b . b = a2 . b2 .
A szorzás elvégzése után kapott szorzat: a2 . b2 .
Felelet: Az (a b)2 egyenlő az a2 b2 kifejezéssel.
4. PROBLÉMA
Állapítsd meg, hogy egyenlő-e az
MEGOLDÁS
Levezetés: –
25 22 4
2 kifejezés értéke az –– kifejezés értékével! 552 22 2
2 = 2,52 = 6,25 az eredmények egyenlők = = 6,25
Felelet: A két kifejezés értéke egyenlő.
Bármely a, b számra teljesül, hogy ( a b)2 = a2 b2
Szavakkal: Két szám szorzatának négyzete egyenlő a két szám négyzetének szorzatával.
Bármely a, b számra teljesül, hogy
2 = –– , ha b 0.
Szavakkal: Egy – nullától különböző nevezőjű – törtet úgy emelünk négyzetre, hogy számlálójának négyzetét törjük nevezőjének négyzetével. a2 a b2 b
5. PROBLÉMA
Állapítsd meg, hogy egyenlő-e a (7 + 3)2 kifejezés a 72 + 32 kifejezéssel!
MEGOLDÁS Így számolunk: (7 + 3)2 = 102 = 100 72 + 32 = 49 + 9 = 58
100 58, tehát az eredmények nem egyenlők, azaz (7 + 3)2 72 + 32
Felelet: A (7 + 3)2 értéke nem egyenlő a 72 + 32 kifejezés értékével.
MEGJEGYZÉS
Két szám összegének négyzetéről kijelenthetjük: Ha a 0, b 0, akkor (a + b)2 a2 + b2 5 2
FELADAT
Számítsd ki! a) (8 9)2
(12 . 14)2
FELADAT
Írj az x változó helyébe alkalmas számot! a) (4 12) x = 4 x 122 b) 52 x 2 = (5 7)2
FIGYELD MEG!
102 = 100 0,12 = 0,01 1002 = 10 000 0,012 = 0,000 1 10002 = 1 000 000 0,0012 = 0,000 001 a nullák száma megkétszereződik a tizedesjegyek száma megkétszereződik
FELADAT
Számítsd ki! a) 10 0002 c) 1 000 0002 e) 0,000 012 b) 100 0002 d) 0,000 12 f) 0,000 0012
PÉLDA
Számítsd ki! a) 302 b) 17002 c) 0,42 d) 0,082
MEGOLDÁS
a) 302 = (3 10)2 = 32 102 = 9 100 = 900
b) 17002 = (17 . 100)2 = 172 . 1002 = 289 . 10 000 = 2 890 000
c) 0,42 = (4 . 0,1)2 = 42 . 0,12 = 16 . 0,01 = 0,16
d) 0,082 = (8 . 0,01)2 = 82 . 0,012 = 64 . 0,000 1 = 0,006 4
FELADAT
Számítsd ki! a) 602 b) (–2500)2 c) 0,112 d) 1,12
FIGYELD
FELADAT
Hogyan lehet egyszerűen kiszámítani egy 5-re végződő természetes szám négyzetét?
FELADAT
Számítsd ki fejben: 352; 752; 1052; 4,52; 8,52!
FELADAT
Számítsd ki! a) 22 + 32 + 42 c) 42 – 0,82 e) 62 – (–0,6)2 b) 52 + 72 – 62 d) 62 – 0,62 f) 3,52 + 6,52
FELADAT
Számítsd ki! a) (–7)2 – 72 c) –(–3)2 – 32 e) 3,52 + (–3,5)2 b) (–7)2 + 72 d) –(–3)2 – (–3)2 f) –3,52 – (–3,5)2
FELADAT
Számítsd ki!
PÉLDA
Számítsd ki zsebszámológéppel! a) 892 b) 0,2562
MEGOLDÁS
a) Billentyűk Kijelző Magyarázat Készenléti állapot. Beírjuk a hatványalapot.
Az eredmény: 892 = 7921
b) Billentyűk Kijelző Magyarázat Készenléti állapot.
Az eredmény: 0,2562 = 0,065 536 y j jz
Beírjuk a hatványalapot.
FELADAT
Számítsd ki zsebszámológéppel! a) 1982 b) 5392 c) 0,4592 d) 28,072
6. PROBLÉMA (kiegészítő tananyag)
Számítsd ki zsebszámológép nélkül és a 43 · 43 szorzás elvégzése nélkül a 43 négyzetét!
MEGOLDÁS
Így próbálkozunk:
43 = 40 + 3
A 40-et 40 és 3 összegére bontjuk.
432 = (40 + 3)2
402 = 1600 32 = 9 1609 + ? 1849
Mindkét összeadandót négyzetre emeljük.
A kapott hatványokat összeadjuk.
Az ellenőrzés során kiderül, hogy 43 · 43 = 1849.
Hol tévedtünk?
té
A taná
A tanár úr siet segítségünkre a következő magyarázattal: 432 = (40 + 3)2
2 . 40 . 3
402 + 240 + 32 1600 + 240 + 9 = 1849
PÉLDA (kiegészítő tananyag)
Számítsd ki a hatványalap összegre bontásával! a) 672 b) 5032
MEGOLDÁS
a) 672 = (60 + 7)2 = 602 + 2 60 7 + 72 = 3600 + 840 + 49 = 4489
b) 5032 = (500 + 3)2 = 5002 + 2 . 500 . 3 + 32 = 250 000 + 3000 + 9 = 253 009
7. PROBLÉMA (kiegészítő tananyag)
Próbáld meg levezetni a két szám összegének négyzetére vonatkozó algebrai azonosságot!
MEGOLDÁS Vázlatrajzot készítünk: Ha az egyik számot a-val, a másikat b-vel jelöljük, akkor összegük a + b. Az adott számok összegének négyzete (a + b)2, ami az a + b oldalú négyzet területe.
Az ábra alapján: (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Felelet: Bármely a, b 0 számra igaz, hogy (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
MEGJEGYZÉS
A fenti azonosság akkor is igaz, ha az a, b számok valamelyike negatív.
PÉLDA (kiegészítő tananyag)
Számítsd ki a hatványalap két szám különbségére bontásával! a) 692 b) 872
MEGOLDÁS
a) 692 = (70 – 1)2 = 702 + 2 70 (–1) + (–1)2 = 4900 – 140 + 1 = 4761
Ellenőrzés zsebszámológéppel: 692 = 4761
b) 872 = (90 – 3)2 = 902 + 2 . 90 . (–3) + (–3)2 = 8100 – 540 + 9 = 7569
Ellenőrzés zsebszámológéppel: 872 = 7569