9789152366387 by Smakprov Media AB

matematik

Niclas Larson

Daniel Dufåker

Attila Szabo

Roger Fermsjö

nivå

2b/2c vux

Innehåll

1 Räta linjer och ekvationssystem 6

1.1 Räta linjens ekvation 8

1.2 Ekvationssystem 17 Historia, Uppslaget, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 37

2 Algebra och andragradsekvationer 46

2.1 Algebraiska uttryck 48

2.2 Enkla andragradsekvationer 60

2.3 Fullständiga andragradsekvationer 66

Programmering, Historia, Uppslaget, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 84

3 Andragradsfunktioner 94

3.1 Andragradsfunktioner 96

3.2 Andragradsfunktioner och grafritande hjälpmedel 125 Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 136

4

Geometri och bevis 148

4.1 Matematisk bevisföring 150 4.2 Klassiska satser om trianglar 175 4.3 Klassiska satser om cirkeln 191

Programmering, Historia, Uppslaget, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 201

5 Logaritmer

Exponentialekvationer

Logaritmlagar

Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 248

och bearbeta data

Statistiska samband

Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest

Matematik Origo nivå 2b/2c vux

Matematik Origo är en serie matematikböcker för gymnasiet som gör det lätt att arbeta med problemlösning, resonemang och förståelse. Till Matematik Origo nivå 2b/2c vux hör en elevbok, en Lärarguide, kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter samt appen Alva. De olika komponenterna ger möjlighet att planera, variera och genomföra undervisningen utifrån elevernas behov.

Elevboken består av sex kapitel och lyfter särskilt fram matematikens relevans. Här finns tydliga genomgångar på ett lättillgängligt språk och varierade uppgiftstyper på tre nivåer.

I appen Alva får dina elever hjälp när de ska jobba på egen hand efter lektionerna. Där finns förklarande matematikfilmer samt ledtrådar och lösningar till vissa uppgifter.

Lärarguiden följer elevboken uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till din undervisning.

Prov, Övningsblad och Aktiviteter är ett kopieringsmaterial med prov, övningsblad och aktiviteter till varje kapitel i elevboken. Materialet säljs som nedladdningsbara pdf:er.

Prov, övningsblad och aktiviteter

Logaritmer

Eleverna har tidigare löst exponentialekvationer grafiskt. I det här kapitlet visar vi hur man kan genomföra en algebraisk lösning med hjälp av logaritmer. Logaritmer var tidigare ett viktigt beräkningsverktyg, men den uppgiften har i dag tagits över av digitala verktyg. Numera används logaritmer förutom vid lösning av exponentialekvationer också i logaritmiska skalor som richterskalan och pH-skalan. Det får eleverna se exempel på i slutet av kapitlet.

Kommentarer till kapitlets innehåll

I delkapitel 5.1 Exponentialekvationer repeterar vi begreppet exponentialfunktion och grafisk lösning av exponentialekvationer och potensekvationer. Dessa moment har behandlats relativt utförligt redan i Matematik nivå 1c, men eftersom de är viktiga för att kunna tillgodogöra sig innehållet i delkapitlet har vi valt att repetera dem. Vi introducerar också tiologaritmer med hjälp av kurvan y = 10x och visar hur den kan användas för att lösa exponentialekvationer algebraiskt. Flera av uppgifterna kräver god förståelse för potenslagarna i kombination med begreppet tiologaritm.

I delkapitel 5.2 Logaritmlagar introducerar vi räknereglerna för logaritmer, även kallade logaritmlagarna. Logaritmlagarna förekommer i det centrala innehållet i sammanhanget lösning av exponentialekvationer. Kapitlet avslutas med tillämpningar där exempelvis exponentialfunktioner och logaritmiska skalor används som modeller för att beskriva verkliga förlopp.

Delkapitel

5.1 Exponentialekvationer

5.2 Logaritmlagar

Förkunskaper

Exponentialfunktioner

Likheter och skillnader mellan exponential- och potensekvationer. Begreppet logaritm. Hantering av räkneregler för logaritmer i samband med lösning av exponentialekvationer. Metoder för att lösa exponentialekvationer. Begreppet logaritm. Motivering och hantering av räkneregler för logaritmer. Metoder för att lösa exponentialekvationer.

Centralt innehåll

Potenser

På 1600-talet började man att använda så kallade logaritmer för att underlätta komplicerade beräkningar. Med hjälp av logaritmer kan man skriva om multiplikationer till additioner. Det var en stor fördel att komplicerade multiplikationer kunde beräknas med addition, som är betydligt enklare att hantera. Med dagens datorer och andra digitala hjälpmedel är avancerade beräkningar enkla att utföra. Logaritmer används dock fortfarande flitigt, till exempel för att lösa exponentialekvationer. Exponentialekvationer är en typ av ekvationer som man möter i både naturvetenskapliga och samhällsvetenskapliga sammanhang, bland annat när man arbetar med matematiska modeller som beskriver radioaktivt sönderfall, hur ett kapital växer med ränta på ränta eller förändringen av en population.

När du är klar med kapitlet ska du kunna lösa exponentialekvationer grafiskt och med hjälp av logaritmer lösa potensekvationer och särskilja dem från exponentialekvationer definiera tiologaritmen för ett tal skriva ett positivt tal som en potens med basen tio använda logaritmlagarna vid förenklingar och vid ekvationslösning använda logaritmer i tillämpningar

Multiplikationstabell

Tabellen här nedanför kan man använda för att utföra multiplikationer. Om du till exempel vill beräkna produkten 4 ∙ 32 gör du så här:

1. Leta reda på talen 4 och 32 i den undre raden i tabellen.

2. Addera talen som står direkt ovanför. Du får 2 + 5 = 7.

3. Leta upp talet 7 på den övre raden. Rakt under står talet 128, som är produkten av 4 och 32. 123456789 248163264 128256512

Använd metoden för att beräkna produkterna 8 ∙ 32 och 2 ∙ 64. Hur hänger talen i de två raderna ihop? Förklara hur tabellen skulle kunna utvidgas med fler tal för att kunna utföra ytterligare multiplikationer. Förklara varför metoden fungerar.

Introduktionsproblem

Introduktionsproblemet Multiplikationstabell passar utmärkt som en introduktion av logaritmer, inte minst för att det förklarar varför logaritmer blev ett sådant användbart verktyg för beräkningar långt in på 1900-talet. Problemet kan även användas för att motivera den första logaritmlagen, som säger att logaritmen av en produkt är summan av logaritmerna för faktorerna.

Svar till Multiplikationstabell

Vi adderar de tal som står direkt ovanför 8 och 32 i tabellen: 3 + 5 = 8. Rakt under 8 i tabellens övre rad står 256, vilket innebär att 8 ∙ 32 = 256. På samma sätt beräknas produkten 2 ∙ 64 genom att först addera talen 1 + 6 = 7 och sedan läsa av att 7 i den övre raden motsvarar talet 128.

I den undre raden anges potenser med basen två, vars exponenter är talen i den övre raden. Tabellen kan utvidgas genom att man fyller på med 0, −1, −2, … respektive 10, 11, 12 osv. i den övre raden och motsvarande 2-potenser i den undre:

20 =1, 2−1 = 1 2 , 2−2 = 1 4 , … respektive

210 = 1 024, 211 = 2 048, 212 = 4 096.

Att metoden fungerar är en konsekvens av regeln för multiplikation av potenser med samma bas: 2a ∙ 2b = 2a + b. Den ger att produkten 2a ∙ 2b kan beräknas genom att addera exponenterna och sedan läsa av vilket tal med basen 2 som har exponenten a + b

Tiologaritmer

Vi har valt att förklara begreppet tiologaritm med hjälp av kurvan y = 10x. Vår förhoppning är att detta angreppssätt ska ge eleverna en grundläggande förståelse för att alla positiva tal kan skrivas som potenser med basen tio.

Det kan vara bra för eleverna att arbeta en del med kurvan till y = 10x innan definitionen av tiologaritm presenteras. Låt dem med hjälp av kurvan t.ex. försöka finna den exponent som 10 ska upphöjas till för att ge 100, 8, 1 3 , 1 10 , 0 eller kanske −1. På så sätt kommer eleverna

sannolikt själva att reflektera över vilka tal som är möjliga att skriva som tiopotenser. Låt eleverna först gissa vad svaret ska bli. Det övar deras taluppfattning. Efter denna inledande övning kan elevernas insikter formaliseras i definitionen av tiologaritmer. Vi visar hur detta kan göras i Lektionsstart här i Lärarguiden.

Viktiga begrepp

tiologaritm, tiologaritmen av ett tal a betecknas lg a och är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få a, dvs. 10lg a = a

Språkbruk

Ordet logaritm är sammansatt av de grekiska orden lógos, som betyder förhållande, och arithmós, som betyder tal. Det var den skotske matematikern John Napier som myntade begreppet. Han härledde logaritmerna som förhållanden mellan sträckor, vilket förklarar benämningen.

Det är lätt att slarva med språkbruket och säga logaritm i stället för tiologaritm. Eftersom de elever som ska läsa Matematik fortsättning nivå 1c ska jobba med logaritmer i basen e, så är det bra att vara noga med språkbruket.

Att tänka på

För vissa elever kan det vara lättare att definiera begreppet tiologaritm med hjälp av sambandet 10lg a = a än med ekvivalensen y = 10x ⇔ x = lg y. Likheten 10lg a = a förstärker det faktum att lg a är ett tal som inte behöver beräknas eller uttryckas på något annat sätt innan det sätts in i exponenten. Det är också ett enkelt sätt att formulera att tiologaritmen av ett tal a är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få a

ordboken

logaritm kommer från två grekiska ord, lógos som betyder förhållande och arithmós som betyder antal.

Tiologaritmer

I figuren till höger har vi ritat grafen till exponentialfunktionen f(x) = 10x Vi ser att om värdet av x ökar, så ökar funktionsvärdet, och om värdet av x minskar, så kommer funktionsvärdet närmare och närmare 0. Funktionen verkar alltså anta alla positiva värden precis en gång. Att exponentialfunktionen f(x) = 10x har den egenskapen innebär att vi kan skriva alla positiva tal som en potens med basen 10.

Du känner säkert redan till några tal som kan skrivas som en potens med basen 10. Tre exempel är

1 = 100 1 000 = 103 0,01 = 10−2

Men med hjälp av figuren kan vi skriva även andra tal, t.ex. 8 och 40, som potenser med basen 10. Vi avläser att 8 ≈ 100,9 och 40 ≈ 101,6

Tiologaritm Den exponent som vi ska upphöja 10 till för att få talet 8 är alltså ett tal nära 0,9. Den exponenten kallas för tiologaritmen för 8. Vi skriver lg 8 ≈ 0,9 Eftersom 100,9 ≈ 8

På samma sätt är tiologaritmen för 100 lika med 2, eftersom 102 = 100. lg 100 = 2 Eftersom 102 = 100

Allmänt gäller att tiologaritmen för ett positivt tal y betecknas lg y och är den exponent som 10 ska upphöjas till för att man ska få y 10lg y = y lg y är den exponent som 10 ska upphöjas till för att man ska få y

Definition av tiologaritm

Tiologaritmen för ett positivt tal y betecknas lg y och är exponenten när talet skrivs som en potens med basen 10. y = 10x ⇔ x = lg y (y > 0)

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 222

Att tänka på

När man definierar tiologaritmer säger man exempelvis att lg 3 är det tal som 10 ska upphöjas till för att ge talet 3. Tiologaritmen av 3 är alltså lösningen till ekvationen 10x = 3. Men det är inte säkert att eleverna tycker att det är självklart att det finns ett tal x sådant att 10x = 3. Hittills i sin skolgång har eleverna främst mött exponenter som är heltal och endast undantagsvis exponenter som är rationella tal skrivna i bråkform. Mycket sällan eller aldrig har de stött på exponenter skrivna i decimalform eller exponenter som är irrationella tal. För att troliggöra för eleverna att det faktiskt finns ett tal x sådant att t.ex. 10x = 3 kan man hänvisa till kurvan y = 10x. Tycker eleverna att detta är för abstrakt kan de lösa ekvationen genom att testa sig fram med ett digitalt verktyg.

Definitionen på föregående sida innebär att man med hjälp av tiologaritmer kan skriva alla positiva tal som en potens med basen 10. Vi upphöjer bara 10 till tiologaritmen av det önskade talet. Till exempel har vi att

12 = 10lg 12 lg 12 ≈ 1,079

15 079 = 10lg 15 079

lg 15 079 ≈ 4,178. Det är rimligt att lg 15 079 är lite mer än 4, eftersom 104 = 10 000.

Definitionen innebär också att tiologaritmen av en tiopotens är lika med exponenten i tiopotensen.

lg 10a = a Jämför: lg 103 = lg 1 000 = 3

Att alla positiva tal kan skrivas som en potens med basen 10 kommer vi att utnyttja i nästa avsnitt när vi ska lösa exponentialekvationer.

Med ditt digitala hjälpmedel Vill man bestämma ett närmevärde till tiologaritmen av 15 i GeoGebra, så skriver man lg(15) i inmatningsfältet och trycker på Retur.

Man kan också välja knappen log10 på GeoGebras tangentbord under fliken f(x)

Exempel: Bestäm utan digitalt hjälpmedel.

a) lg 100 000 b) lg 10 c) lg 1

d) lg 1 10 000 e) 10lg 3 f) lg100,5

Lösning: a) Tiologaritmen till 100 000 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 100 000. Den exponenten är 5 eftersom 105 = 100 000.

lg 100 000 = lg 105 = 5

b) lg 10 = lg 101 = 1

c) lg 1 = lg 100 = 0

d) lg 1 10 000 = = lg 10−4 = −4

e) 10lg 3 = 3

f) lg 100,5 = 0,5

Lektionsstart

lg 10 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 10. Den exponenten är 1 eftersom 101 = 10.

lg 1 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få talet 1. Den exponenten är 0 eftersom 100 = 1.

lg 1 10 000 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få talet 1 10 000

lg 3 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få talet 3.

lg 100,5 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att man ska få talet 100,5, alltså 0,5.

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 223

Innan du introducerar begreppet tiologaritm kan det vara lärorikt för eleverna att bekanta sig med kurvan y = 10x , till exempel genom att besvara följande frågor.

Rita grafen till y = 10x med ett digitalt verktyg. Försök sedan med hjälp av grafen att bestämma den exponent som 10 ska upphöjas till för att ge

a) 100 b) 50 c) 8

d) 1 3 e) 1 10

Utvidga gärna uppgiften till att låta eleverna fundera på om det finns någon exponent som 10 kan upphöjas till för att ge resultatet 0 eller −1. Utifrån elevernas svar kan du sedan introducera begreppet tiologaritm.

Exempel

Lös följande ekvationer utan digitalt verktyg.

a) 2x = 25 b) 3x = 34 c) 4x = 64

d) 10x = 10 000 e) 7x = 55

f) Vilken eller vilka ekvationer tyckte du var svårast att lösa? Varför var den eller de svåra att lösa?

Lösning/Kommentar

Om baserna är lika, så är också exponenterna lika.

a) 2x = 25

x = 5

b) 3x = 34

x = 4

c) 4x = 64

4x = 43 Vi skriver om till samma bas

x = 3

d) 10x = 10 000

10x = 104 x = 4

e) 7x = 55 Vi skriver om till samma bas

( 10lg 7 )x = 10lg 55

10 x · lg 7 = 10lg 55

x · lg 7 = lg 55

x = lg 55 lg 7

Exemplet fungerar bra som en lektionsstart. Förhoppningsvis upplevde eleverna att de fyra första ekvationerna var enkla att lösa, men att den sista var mer utmanande. Hemligheten är att båda leden i de fyra första ekvationerna kan skrivas om med samma bas. Detta ger idén att vi skulle kunna lösa alla exponentialekvationer om vi bara kunde skriva om alla tal som en potens med en och samma bas. Det kan vi göra med hjälp av tiologaritmer.

Logaritmer i andra baser

En mer direkt lösning till exemplets deluppgift e) är

x = log7 55, dvs. x är lika med sjulogaritmen av 55 eller det tal som 7 ska upphöjas till för att resultatet ska vara 55. Miniräknare har oftast inte haft en funktion för att räkna ut närmevärden till t.ex. sjulogaritmer, vilket kan vara en förklaring till att logaritmer med andra baser än 10 och e har undvikits. Men både WolframAlpha och GeoGebra kan beräkna närmevärden till t.ex. sjulogaritmer. I GeoGebra kan du i algebrafältet skriva in log(7, 55) och få närmevärdet 2,059. Det betyder alltså att 72,059 ≈ 55.

Bestäm

a) lg 1 b) lg 104 c) lg 0,001

d) lg √10 e) lg 1 107 f) lg 12

g) 10lg 12 h) 10lg 0,5 i) 10lg (−7)

Lösning/Kommentar

a) lg 1 = 0

b) lg 104 = 4

c) lg 0,001 = −3

d) lg √10 = 1 2

e) lg 1 107 = −7

Eftersom 100 = 1 så är 0 den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 1.

Eftersom 4 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 104

Eftersom 0,001 = 10−3 så är −3 den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 0,001.

Eftersom √10 = 10 1 2 så är 1 2 den exponent som 10 ska upphöjas till för att få √10

Eftersom 1 107 = 10−7 så är −7 den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 1 107

f) lg 12 ≈ 1,079 Vi bestämmer ett närmevärde med ett digitalt hjälpmedel.

g) 10lg 12 = 12

h) 10lg 0,5 = 0,5

Eftersom lg 12 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 12.

Eftersom lg 0,5 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 0,5.

i) 10lg (−7) är inte definierat. lg (−7) är inte definierat, eftersom det inte finns någon exponent som 10 kan upphöjas till för att ge ett negativt tal.

I deluppgift f) blir eleverna varse att inte alla logaritmer enkelt kan bestämmas utan tillgång till digitalt hjälpmedel. Kontrastera gärna deluppgifterna e) och i) mot varandra.

Det är viktigt att eleverna förstår att värdet av en tiologaritm kan vara negativt, men att tiologaritmer inte är definierade för negativa tal.

Aktivitet

Logaritmmemory

Övningsblad

Tiopotenser

Tiologaritmer 1

Tiologaritmer 2

Exempel: Skriv följande tal som en potens med basen 10. a) 10 000 b) 7 c) 22 000 d) −17

Lösning: a) 10 000 = 104 Tiologaritmen för 10 000 är 4

b) 7 = 10lg 7

c) 22 000 = 10lg 22 000

Tiologaritmen för 7 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att man ska få 7. (lg 7 ≈ 0,845)

Tiologaritmen för 22 000 är den exponent som 10

upphöjas till för att man ska få

d) Det finns inte något tal som man kan upphöja 10 till för att få −17. lg (−17) är alltså inte definierad.

Tiologaritmen är definierad endast för positiva tal

Lös uppgifterna utan digitalt hjälpmedel, om inte annat anges.

Nivå 1

5124 a) Vilken exponent ska man upphöja 10 till för att få talet 100?

b) Bestäm lg 100.

c) Vilken exponent ska man upphöja 10 till för att talet 1 000?

d) Bestäm lg 1 000.

e) Vilken exponent ska man upphöja 10 till för att få talet 108?

f) Bestäm lg 108

5125 Skriv som en potens med basen 10.

a) 100 000 b) 1 000 000

c) 0,001 d) 1

5126 Bestäm

a) lg 100 000 b) lg 1 000 000

c) lg 0,001 d) lg 1

5127 Bestäm

a) lg 10 000 b) lg 0,01

c) lg 0,1 d) lg 1088

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 224

Att tänka på

5128 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt

a) det tal man ska upphöja 10 till för att få 200

500 1 000 y = 10x

b) det tal man ska upphöja 10 till för att få 500 c) det tal man ska upphöja 10 till för att få 800 y x 1 2 3

5129 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt

100 y = 10x

a) lg 10 b) lg 20 c) lg 60 y x 1 2

För att förstå logaritmer är det viktigt att kunna betrakta uttryck som 103 och lg 8 som tal och inte endast som operationer som ska utföras. Elever som bara ser 103 som en uppmaning att beräkna produkten 10 ∙ 10 ∙ 10 kommer att ha svårt att genomföra de tankesteg som krävs för att bestämma lg 1 000. Att kunna betrakta lg 8 som ett tal med en viss egenskap, utan att explicit beräkna dess värde, är också nödvändigt för att kunna förstå och använda uttryck av formen 10lg 8. Arbeta gärna genomgående med muntliga beskrivningar och betona att lg 8 är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 8. Ibland kan eleverna också behöva påminnas om att lg 8 är ett tal som många andra. Det kan göras genom att låta dem ta fram ett närmevärde med hjälp av ett digitalt verktyg.

5130 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt

1 2 y = 10x

a) lg 0,6 b) lg 1,4 c) lg 0,4 y x 0,5 −0,5

d) Kontrollera dina svar i deluppgifterna a)−c) med ett digitalt hjälpmedel.

5131 Bestäm

a) 10lg 5 b) 10lg 12

c) 10lg 10 d) 10lg (−2)

5132 Skriv som en potens med basen 10. Svara exakt.

a) 20 b) 7

c) 78 d) 20 000

5133 Använd tiologaritmer och skriv talen som en potens med basen 10. Ange exponenten både exakt och med ett närmevärde.

a) 3 b) 13

c) 0,7 d) 5 000

5134 a) Förklara med ord vad lg 6 är för tal.

b) Gissa ungefär hur stort lg 6 är.

c) Kontrollera din gissning i b) genom att beräkna värdet med ett digitalt hjälpmedel.

5135 Tiologaritmen av ett tal är 3. Vilket är talet?

5136 Lös följande exponentialekvationer med hjälp av figuren.

a) 10x = 2 b) 10x = 1,6 c) 4 ∙ 10x = 3,2 d) −0,4 = 10x y x 0,5 −0,5

= 10x

5137 a) Lös exponentialekvationen 10x = 7 med grafritande hjälpmedel. Svara med tre decimalers noggrannhet.

b) Ange lg 7 med tre decimalers noggrannhet.

5138 Beräkna utan digitalt verktyg.

a) 10lg 64 10lg 2 + lg 10

b) 2 ∙ 10lg 13 + lg 100

c) 10lg 7,2 − lg 10−7,2 + lg 1

Nivå 2

5139 Ordna talen i storleksordning med det minsta först.

lg 98 10lg 2,1 2 lg 982 2,2

5140 Mellan vilka två på varandra följande heltal ligger lg 33 000?

5141 Förklara varför lg (−5) inte är definierat.

5142 Lös ekvationen lg 10x − 2 = 5.

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 225

Exempel

Ordna följande tal i storleksordning. Börja med det minsta talet.

lg 1042,2 42 10lg 41,1 lg 42,2 lg 41,1

Lösning/Kommentar

Från definitionen av tiologaritmer vet vi att

lg 1042,2 = 42,2

10lg 41,1 = 41,1

Vi vet också att lg 10 = 1 och att lg 100 = 2. Eftersom logartimfunktionen är strängt växande, så gäller att lg 41,1 måste vara mindre än lg 42,2 och de måste båda vara större än 1 och mindre än 2. Vi ordnar talen i storleksordning.

Svar: lg 41,1 lg 42,2 10lg 41,1 42 lg 1042,2

Problemlösningsuppgift

a) Lös ekvationen och svara exakt.

100x = 101 + lg 50

b) I vilket av följande intervall A–F finns lösningen till ekvationen 100x = 101 + lg 50 ? Motivera ditt svar.

A −1 ≤ x < −0,5

B −0,5 ≤ x < 0

C 0 ≤ x < 0,5

D 0,5 ≤ x < 1

E 1 ≤ x < 1,5

F 1,5 ≤ x < 2

Lösning/Kommentar

a) 100x = 101 + lg 50

102x = 101 + lg 50

Om två potenser med samma bas är lika, måste exponenterna vara lika. Det ger:

2x = 1 + lg 50

x = 1 + lg 50 2

Svar: x = 1 + lg 50 2

b) Vi vet att lg 10 = 1 och lg 100 = 2. Eftersom logaritmfunktionen är växande måste lg 50 därför ligga någonstans mellan 1 och 2. Det innebär i sin tur att värdet av x = 1 + lg 50 2 måste ligga mellan 1 + 1 2 = 1 och 1 + 2 2 = 1,5. Vi kan alltså säga att ekvationens lösning måste ligga någonstans mellan 1 och 1,5, dvs. i intervallet E 1 ≤ x < 1,5.

Svar: Lösningen till ekvationen kommer att ligga i intervall E 1 ≤ x < 1,5.

Logaritmer av negativa tal

Någon elev undrar kanske om det är möjligt att definiera logaritmer även för negativa tal. Det är möjligt, men dessa får då ickereella värden. Till exempel är ln (−1) = ln eiπ = iπ. Generellt ges logaritmen av ett negativt tal −a av: ln (−a) = ln (a ∙ (−1)) = ln a + ln (−1) = = ln a + iπ, där a > 0.

Ma2b vt 2016)

Kommentarer till uppgifterna

Flera av uppgifterna kräver god förståelse för potenslagarna i kombination med begreppet tiologaritm, se t.ex. uppgifterna 5143, 5148, 5149, 5151 och 5152. I övriga uppgifter ingår att kunna avgöra när ett uttryck är definierat (5146), kunna lösa ekvationer (5150) och även kunna hantera en logaritmisk skala (5147). Det senare är vanligt i diagram då värdena spänner över flera tiopotenser.

Ledtrådar till uppgifterna

5147 Notera att skalan på yaxeln är logaritmisk, dvs. för varje skalstreck ökar värdet med en faktor 10 i stället för med ett bestämt värde.

5148 Förenkla först med potenslagarna.

5149 Sätt in värdena för a och b i logaritmuttrycket och använd potenslagarna.

5151 Använd potenslagarna för att skriva om uttrycken.

5153 d) Använd resultatet i deluppgift c). Skriv om uttrycket med potenslagarna.

Problemlösningsuppgift

Beräkna 10 3 ∙ lg 27 9 utan att använda ett digitalt hjälpmedel.

Lösning/Kommentar

10 3 ∙ lg 27 9 = 10 lg 27 3 = ( 10lg 27 ) 1 3 = 27 1 3 = 3

Att tänka på

Vi har sett att elever som korrekt kan ange värdet av lg 100 och lg 0,001 ibland felaktigt skriver lg 102 = 100 respektive lg 10−3 = 0,001. Det kan ha att göra med att eleverna är osäkra på logaritmbegreppet eller att de ser 102 och 10−3 som en uppmaning om att potensen ska beräknas. Genom att medvetet variera frågor och uppgifter kan dessa feltyper förhoppningsvis motverkas.

Exituppgift

a) Skriv talet 14 som en potens med basen tio.

b) Bestäm lg 0,01.

Svar:

a) 14 = 10lg 14

b) lg 0,01 = lg 10−2 = −2

5143 Bestäm värdet av

a) lg 10 1 3 b) lg √10 c) lg 10 √10 d) lg (10 ∙ √10 )

5144 Beräkna 10 x om lg x = 0. (np Ma2b och Ma2c vt 2015)

5145 a) Ge exempel på ett tal som har en positiv tiologaritm.

b) Ge exempel på ett tal som har en negativ tiologaritm.

c) Förklara när tiologaritmen för ett tal är positiv och när den är negativ.

5146 För vilka värden på x är följande uttryck definierade?

a) lg x b) lg (x + 3) c) lg (x + 3)2

5147 Diagrammet visar smittsamheten och dödligheten hos några virussjukdomar. Dödligheten på y-axeln anges i logaritmisk skala.

Dödlighet (% av de smittade, logaritmisk skala)

Spanska sjukan

5148 Bestäm värdet av a) lg (100 ∙ √10 ) b) lg (1 000 ∙ 3√10 ) c) lg 10 1 4 100

5149 Beräkna lg ab utan digitalt verktyg om a = 10 5 2 och b = 10 2 3

5150 Lös ekvationen lg (x − 1) = −1. Nivå 3

5151 Bestäm värdet av a) 10lg 5 + lg 9

b) 10lg 30 − lg 3 c) 103 lg 2

5152 Bestäm värdet av a) 10 lg 9 2 b) 10 lg 125 3

c) 10lg 1 + 3 lg 4 − lg 2

Den skuggade ytan anger uppskattade värden för Covid 19. Covid 19 Svininﬂuensa

Säsongsinﬂuensa Polio Ebola Fågelinﬂuensa

Mers Förkylning Vattkoppor Smittkoppor Sars

Mässling

0 5 10 15

Smittsamhet (genomsnittligt antal smittade per sjuk person)

a) Bestäm dödligheten hos säsongsinfluensa.

b) Hur många gånger dödligare är ebola jämfört med säsongsinfluensa?

c) Boysan och Anneli studerar diagrammet.

– Mässling verkar vara en riktigt farlig sjukdom, säger Boysan. – Jag tycker att fågelinfluensa verkar vara mycket farligare, säger Anneli. Hur kan de ha tänkt? Vem av dem har rätt?

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 226

5153 Figuren visar grafen till funktionen f(x) = lg x y x 12345678

0,4 0,6 0,8 1 Använd grafen för att bestämma ett närmevärde till a) lg 2 b) det tal man ska upphöja 10 till för att få 4 c) 100,7 d) 101,4

Att lösa exponentialekvationer

Exponentialekvationer och tiologaritmer

Tidigare har vi löst exponentialekvationer grafiskt. I det här avsnittet visar vi hur man kan lösa exponentialekvationer exakt. Vi utgår från följande

exempel:

2x = 16

Ekvationen kan lösas genom att man skriver talet 16 i högerledet som en potens med basen 2.

2x = 24 vi utnyttjar att 16 = 24

Både vänsterled och högerled är nu en potens med basen 2. För att likheten ska gälla måste exponenterna vara lika. Det ger lösningen

x = 4

När vi här ovanför löste ekvationen 2x = 16 utnyttjade vi att vi kunde skriva

båda leden med samma bas och sedan jämföra exponenterna. Vi kan utnyttja samma idé för att lösa andra exponentialekvationer, till exempel

2x = 5

Här är det inte lika enkelt att skriva om det högra ledet till en potens med basen 2. Men med hjälp av tiologaritmer kan vi skriva talen 2 och 5 som potenser med basen 10.

2x = 5

(10lg 2)x = 10lg 5 2 = 10lg 2 och 5 = 10lg 5

10x lg 2 = 10lg 5 I vL har vi använt potenslagen (10a)b = 10ab

För att likheten ska gälla måste exponenterna vara lika, alltså x · lg 2 = lg 5 Dividera båda led med lg 2

x = lg 5 lg 2 ≈ 2,32 lg 5 lg 2 är det exakta värdet

Eftersom alla positiva tal kan skrivas som en potens med basen 10, kan vi lösa alla exponentialekvationer i formen ax = b, genom att skriva om ekvationernas båda led till potenser med basen 10, så länge a och b är positiva tal.

Logaritmtabeller Förr i tiden använde man sig av tabeller när man ville bestämma ett närmevärde till en logaritm. Den första logaritmtabellen konstruerades i början av 1600-talet av den skotske matematikern John Napier. I dag har räknare och datorer ersatt logaritmtabellerna. Här intill har vi lagt in en del av en logaritmtabell. Det inringade talet ger decimaldelen till närmevärdet av lg 17,2.

LOGARITMER u 5.1 ExPOnEnTIALEKvATIOnER 227

Att

tänka på

Det kan vara viktigt att påpeka för eleverna att man vid förenkling av potenser som (10lg 6)x vanligtvis skriver exponenten i formen x ∙ lg 6 eftersom uttrycket lg 6 ∙ x lätt kan misstas för att betyda detsamma som lg 6x.

Övningsblad

Potens- och exponentialekvationer

Exponentialekvationer och tiologaritmer

I detta avsnitt introducerar vi algebraisk lösning av exponentialekvationer med ett exempel där båda leden enkelt kan skrivas om med samma bas. På detta sätt framträder idén bakom införandet av logaritmer. För att exemplet ska vara övertygande är det viktigt att eleverna förstår att likheten 2x = 24 måste innebära att x = 4. Denna slutsats kräver insikt om vad en potens är. När eleverna går vidare och löser allmänna exponentialekvationer med hjälp av tiologaritmer är det viktigt att de på samma sätt förstår varför exponenterna måste vara lika och att vi inte magiskt stryker eller förkortar basen 10.

Exempel

Lös ekvationerna. Svara exakt.

a) 10x = 17 b) 7x = 0,004

c) lg x = 3 d) lg a = −0,5

Lösning/Kommentar

a) 10x = 17

x = lg 17

b) 7x = 0,004

(10lg 7)x = 10lg 0,004

10x ∙ lg 7 = 10lg 0,004

x ∙ lg 7 = lg 0,004

x = lg 0,004 lg 7

c) lg x = 3

x = 103 = 1 000

d) lg a = −0,5

a = 10−0,5 = 1 100,5 = 1 √10

Enligt definitionen av tiologaritm

Vi skriver båda led med basen 10

Exponenterna måste vara lika

Enligt definitionen av tiologaritm

Deluppgifterna c) och d) kan också lösas genom att upphöja båda led med 10 som bas.

Innan man påbörjar ekvationslösningen kan man låta eleverna uppskatta lösningen till ekvationerna. De kan t.ex. försöka ange om svaret är positivt eller negativt, större eller mindre än 1 osv. Det är ett bra sätt att öva elevernas taluppfattning.

I deluppgift b) kan det vara frestande att felaktigt förenkla lg 0,004 lg 7 till 0,004 7 eller till lg 0,004 7 . Påminn eleverna om att lg 0,004 och lg 7 är tal.

Kommentarer till uppgifterna

I uppgift 5213 ska likheten 2(lg 20 − lg 5) = lg 2 + lg 8 visas. Om eleverna är ovana vid denna typ av uppgift kan det vara bra att visa hur man går till väga.

Flera av uppgifterna i detta avsnitt kan vara lite utmanande för eleverna, eftersom det många gånger kräver att man kan mer än bara logaritmlagarna. Ett exempel på en sådan uppgift är 5218 som innefattar att lösa ekvationssystem men också kräver hantering av logaritmlagarna och en förståelse för vad lösningen till det här ekvationssystemet består av.

En del av uppgifterna är sådana som eleverna kanske inte direkt ser någon uppenbar lösningsmetod till. Eleven kan då behöva prova olika angreppssätt och lösningsmetoder. Uppgifterna 5217 och 5221 är exempel på den typen av uppgifter.

Ledtrådar till uppgifterna

5217 Skriv om 64 som en potens med basen 4. Använd sedan en logaritmlag för att beräkna närmevärdet.

5218 Sätt lg x = a och lg y = b. Lös ekvationssystemet för a och b. Bestäm sedan lg x och lg y.

5219 Använd logaritmlagarna.

5221 Skriv om så att 10VL = 10HL. Använd sedan potenslagarna.

Exituppgift

Beräkna utan hjälp av digitalt verktyg

a) lg 20 + lg 5

b) lg 50 − lg 5

c) lg 125 + 3 lg 2

Svar:

a) lg 20 + lg 5 = lg (20 ∙ 5) = lg 100 = 2

b) lg 50 − lg 5 = lg 50 5 = lg 10 = 1

c) lg 125 + 3 lg 2 = lg 125 + lg 23 = lg 125 + lg 8 = = lg (125 ∙ 8) = lg 1 000 = 3

5207 Eva köper en båt för 220 000 kr. Båten minskar i värde med 8 % per år. Efter hur lång tid är den värd 180 000 kr?

5208 Funktionen N(t) = 14 050 ∙ 1,02t anger folkmängden på en ögrupp. N är antalet invånare t år efter år 2020. Efter hur många år har folkmängden fördubblats?

Nivå 2

5209 Förenkla så långt som möjligt

a) lg a3 − lg a

b) lg xy − lg x lg xy

c) (8 lg x)(lg x + lg y) lg xy

5210 Lös ekvationerna med hjälp av logaritmlagarna och svara exakt.

a) lg x = lg 3 + lg 4

b) 3 lg x = lg 24 − lg 3

c) lg 5 = lg 10 − lg 2x

5211 Lös ekvationerna och svara exakt.

a) lg x = lg 2 + 2 lg 6

b) lg x = 2 lg 4 − 3 lg 2

5212 Lise och Erik löser ekvationen 3 5x = 12 korrekt, men på två olika sätt.

Lise: x = lg 4 lg 5

Erik: x = lg 12 − lg 3 lg 5

Ge förslag på hur Lise och Erik kan ha kommit fram till sina lösningar.

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 234

5213 Visa att 2(lg 20 − lg 5) = lg 2 + lg 8

5214 Lös ekvationerna a) 3 ∙ 5x = 4 ∙ 3x b) 2 ∙ 1,025x = 3 ∙ 1,015x

5215 Förenkla så långt som möjligt a) 2 lg b − 0,5 lg b2 b) lg a 2 ∙ lg √a lg a 2

5216 Lös ekvationerna exakt. a) lg 4 + 2 lg x = lg 90 b) lg 2 + lg (x − 8) = lg 18 − lg x Nivå 3

5217 Värdet av lg 4 är ungefär 0,602. Bestäm utan att använda digitialt hjälpmedel ett närmevärde till lg 64.

5218 Lös ekvationssystemet { lg x3 − lg y−2 = 13 lg x + lg y = 5 (np Ma2c vt 2013)

5219 Lös ekvationerna och svara exakt. a) 2 lg (1 + x) = lg 4 b) lg (2 + x) + lg (2 − x) = lg 3 c) 2 lg x = lg 3x

5220 Lös ut x ur ekvationerna a) a + lg x = b b) c − b = lg x a d c) 3x − a = 6(3x − b)

5221 Bestäm ett exakt värde för x3 om lg x 3 5 = 2. (np Ma2b ht 2013)

Exponentialfunktioner

Tillämpningar av logaritmer

Exponentialfunktioner används för att beskriva förlopp där något kontinuerligt ökar eller minskar med lika många procent. Det kan till exempel handla om att beskriva hur ett kapital växer med ränta på ränta eller hur en population i ett land förändras med tiden.

Logaritmiska mått Det finns även gott om tillämpningar av logaritmer. Ibland kan nämligen en storhet anta värden som spänner över flera tiopotenser. Tal som skiljer sig så mycket åt i storlek kan vara svåra att jämföra. I dessa fall är det ibland lättare att jämföra talens tiologaritmer, genom att ta hjälp av så kallade logaritmiska mått Ett exempel är Richterskalan, som beskriver den frigjorda energin vid en jordbävning. Andra exempel är pH-värdet, som beskriver surhetsgraden hos en lösning, och decibelskalan som mäter ljudstyrka.

Exempel: En lösnings pH-värde är ett logaritmiskt mått på en lösnings surhet.

Lösningens pH-värde definieras som det negativa värdet av tiologaritmen för koncentrationen av vätejoner [H+] mätt i enheten mol/dm3

pH = −lg [H+]

En neutral lösning är varken sur eller basisk och har pH-värdet 7. Bestäm koncentrationen av vätejoner i en neutral lösning.

Lösning: Eftersom pH-värdet för en neutral lösning är 7, kan vi beräkna koncentrationen av vätejoner med hjälp av ekvationen

7 = −lg [H+]

lg [H+] = −7 lg y = x ger y = 10

[H+] = 10−7

Du kan även tänka att du tar 10 upphöjt till respektive led

Svar: Koncentrationen av vätejoner i en neutral lösning är 10−7 mol/dm3

2b 5

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 235

Tillämpningar av logaritmer

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva t.ex. radioaktivt sönderfall, populationstillväxt och ekonomiska förlopp. I det här avsnittet får eleverna bekanta sig med flera av dessa modeller. De får också se exempel på hur logaritmer kommer till användning i logaritmiska skalor, som richterskalan och pH-skalan.

Logaritmiska skalor

Gemensamt för de logaritmiska skalorna är att de identifierar väldigt stora eller väldigt små värden med motsvarande tiologaritm. På det sättet kan man ersätta ett stort spann av tal till en mer behändig skala av mindre tal.

x 0,0001 0,0010,010,11101001 00010 000 lg x −4−3−2−101234

I fallet med pH ersätts t.ex. vätejonkoncentrationen 0,008 mol/dm3 med talet 2,1 (som är −lg 0,008), och i fallet med richterskalan ersätts ett seismiskt moment motsvarande 2,5 ∙ 1030 (dyn ∙ cm) med värdet 9,6. Det motsvarar magnituden hos en av historiens mest kraftfulla jordbävningar (Chile, 1960).

Tips

Inom statistik förekommer det att man använder logaritmisk skala på axlarna i diagram. Sådana diagram kan vara svåra att tolka och det kan leda till att man drar felaktiga slutsatser. I aktiviteten Logaritmer i diagram i kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter får eleverna skapa och tolka ett sådant diagram.

Aktivitet

Logaritmer i diagram

Radioaktivt sönderfall

Logaritmer och exponentiella samband

Exempel

År 2000 enades man i FN om de så kallade Millenniemålen. Ett av målen var att minska barnadödligheten, och som ett delmål ville man minska barnadödligheten med två tredjedelar mellan år 1990 och år 2015. Mellan år 1990 och år 2012 minskade barnadödligheten från 12,4 miljoner till 6,6 miljoner barn.

a) Vilket år kommer delmålet att nås om vi antar att barnadödligheten kommer att minska exponentiellt och i samma takt som mellan åren 1990 och 2012?

b) Vilket år kommer delmålet att nås om vi antar att barnadödligheten kommer att minska linjärt i samma takt som mellan åren 1990 och 2012?

Lösning/Kommentar

a) Vi vill beskriva barnadödligheten med en exponentiell modell, B(t) = Cat , där B(t) är barnadödligheten i miljoner t år efter 1990.

B(0) = 12,4 ger C = 12,4 B(0) = Ca0 = C ∙ 1 = C

B(22) = 6,6 ger 6,6 = 12,4 ∙ a22

a = ± ( 6,6 12,4 ) 1 22 ≈ ±0,9717

B(t) = 12,4 ∙ 0,9717t

Vi bortser från den negativa roten eftersom en förändringsfaktor alltid är positiv.

Enligt delmålet ska barnadödligheten minska till 12,4 ∙ 1 3 ≈ 4,13 miljoner.

Vi får ekvationen 12,4 ∙ 0,9717t = 12,4 ∙ 1 3 0,9717t = 1 3

t ∙ lg 0,9717 = lg 1 3 Logaritmlag 3

t = lg 1 3 lg 0,9717 ≈ 38,3 39 år efter 1990

Svar: Enligt den exponentiella modellen kommer delmålet att nås år 2029.

b) Vi vill beskriva barnadödligheten med en linjär modell,

B(t) = kt + m, där B(t) är barnadödligheten i miljoner t år efter 1990.

B(0) = 12,4 ger m = 12,4

Barndödligheten har minskat med 12,4 − 6,6 22 ≈ 0,2636 miljoner per år, vilket ger k = −0,2636.

B(t) = −0,2636t + 12,4

B(t) = 12,4 3 ger ekvationen 12,4 3 = −0,2636t + 12,4

som har lösningen t ≈ 31,4

Svar: Enligt den linjära modellen skulle delmålet ha nåtts år 2021.

Exempel: Efter många års ökning har Japans folkmängd börjat minska, bland annat på grund av lågt barnafödande. Enligt en befolkningsprognos kommer Japans folkmängd att minska från 125 miljoner människor år 2020 till 70 miljoner människor år 2060.

Hur länge dröjer det tills Japans folkmängd blir 40 miljoner, om folkmängden fortsätter att minska i samma takt?

Lösning: Vi antar att den årliga förändringsfaktorn är a. Det ger ekvationen

125a40 = 70 a40 = 70 125

a = ± ( 70 125 ) 1 40

2060 − 2020 = 40. På 40 år minskar folkmängden från 125 miljoner till 70 miljoner.

c) Vad betyder talet 0,85 i modellen? 2b

En förändringsfaktor kan inte vara negativ, så den negativa roten saknar betydelse i det här sammanhanget

a ≈ 0,9856 Med digitalt hjälpmedel

1 − 0,9856 ≈ 0,0144

Befolkningsminskningen är alltså 1,44 % per år. Om vi låter x vara antalet år efter år 2020, så kan vi ställa upp ekvationen

125 ∙ 0,9856x = 40

På x år minskar folkmängden från 125 miljoner till 40 miljoner

0,9856x = 40 125 vi logaritmerar båda led

lg 0,9856x = lg 40 125

x lg 0,9856 = lg 0,32

vi använder tredje logaritmlagen i vL: lg Ap = p lg A

x = lg 0,32 lg 0,9856 ≈ 79

Svar: Räknat från år 2020, kommer det att dröja ca 79 år innan Japans folkmängd har minskat till 40 miljoner.

Nivå 1

5222 För barn mellan 5 år och 13 år kan sambandet mellan vikten y kg och längden x m beskrivas med modellen y = 2,4 ∙ 100,8x

a) Hur mycket väger ett barn som är 1,20 m enligt modellen?

b) Vilken längd har ett barn som väger 32 kg?

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 236

5223 Folkmängden i en småstad kan enligt en enkel modell beskrivas med sambandet N(t) = 37 800 ∙ 0,85t där N(t) är folkmängden i staden t år efter år 2020.

a) Bestäm N(0) och tolka ditt svar.

b) Lös ekvationen N(t) = 30 000 och tolka ditt svar.

5224 Marcus köper en bil för 130 000 kr. Värdeminskningen förväntas bli 16 % per år. Hur länge dröjer det tills bilens värde har sjunkit till 50 000 kr?

5225 En räntefond utlovar minst 3 % i årlig avkastning. Frida har placerat 100 000 kr i fonden och har som mål att värdet ska öka till 250 000 kr på 35 år.

a) Visa att Fridas mål uppfylls om räntefonden håller vad den lovar.

b) Vilket är det minsta belopp som Frida hade kunnat placera för att värdet ska öka till 250 000 kr med den utlovade avkastningen?

5226 Ett företag har som mål att höja värdet av sin export från 400 miljoner till 1 000 miljoner kronor på 8 år. Med hur många procent ska exporten i genomsnitt höjas varje år?

5227 En lösnings pH-värde bestäms av formeln pH = −lg [H+]

där [H+] är koncentrationen av vätejoner i mol/dm3

a) Beräkna pH-värdet om vätejonkoncentrationen är 0,0015 mol/dm3.

b) Bestäm vätejonkoncentrationen om pH-värdet är 7,5.

5228 Ljudnivån L mätt i enheten decibel (dB) definieras som L = 10 lg I I0 där I är ljudintensiteten och I0 = 10−12 W/m2 är en konstant.

a) Hur stor är ljudnivån vid den så kallade hörbarhetsgränsen, då ljudintensiteten är 10−12 W/m2?

b) Örats smärtgräns ligger vid en ljudintensitet på ca 1 W/m2. Hur stor är ljudnivån vid smärtgränsen?

5229 Arean hos löven på ett träd växer under en period exponentiellt med 3,5 % per dygn.

a) En dag är arean 5,0 m2. Beräkna arean 14 dygn senare.

b) Bestäm ett funktionsuttryck som beskriver hur lövens area förändras med tiden.

c) Hur lång tid tar det för lövens area att växa till 10 m2?

5230 I början av år 1900 uppgick Sveriges folkmängd till 5,1 miljoner och i början av år 2020 till 10,3 miljoner.

a) Med hur många procent per år har folkmängden ökat i genomsnitt mellan år 1900 och år 2020?

b) Hur många människor kommer det att finnas i Sverige år 2050 om vi antar att folkmängden kommer att öka i samma takt?

5231 I ekvationen 160 000 0,95x = 50 000 betecknar x tiden i år.

a) Formulera ett problem som kan lösas med hjälp av denna ekvation.

b) Lös ekvationen och ge ett svar på det problem du formulerat.

(np MaC vt 1996)

Nivå 2

5232 År 1960 fanns det uppskattningsvis 20 000 gråsälar i Östersjön. På grund av höga halter av miljögifter minskade sedan antalet sälar kraftigt. Minskningen var exponentiell och år 1980 fanns endast 2 000 gråsälar kvar.

a) Vilken var den genomsnittliga årliga procentuella minskningen av antalet gråsälar mellan åren 1960 och 1980?

Efter 1980 har sälstammen delvis återhämtat sig. Uppskattningsvis fanns det år 2002 12 000 gråsälar i Östersjön. Enligt en prognos från Naturvårdsverket kommer antalet gråsälar att öka exponentiellt med 6,5 % per år under de närmaste åren.

b) Vilket år kommer antalet gråsälar återigen att vara 20 000 om prognosen håller?

(np MaC vt 2002)

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 237

Problemlösningsuppgift

En jordbävnings magnitud (styrka) anges med richterskalan. Magnituden M bestäms enligt

M = 2 3 (lg E − K)

där E är den frigjorda energin och K är en korrektionskonstant som beror på avståndet till jordbävningens epicentrum. Visa att jordbävningen i Japan år 2011 med en magnitud på 9,1 frigjorde ungefär tre gånger så mycket energi som jordbävningen utanför Kamtjatkahalvön år 2025 med en magnitud på 8,8.

Lösning/Kommentar

Vi kallar magnituden utanför Kamtjatka för M1 och magnituden i Japan för M2. Detta ger

M2 − M1 = 2 3 (lg E2 − K) − 2 3 (lg E1 − K) = = 2 3 (lg E2 − lg E1) = 2 3 lg E2 E1

M2 − M1 = 0,3 ger 2 3 lg E2 E1 = 0,3 lg E2 E1 = 0,45

100,45

Kommentarer till uppgifterna

I uppgift 5227 och 5228 får eleverna arbeta med pH-skalan och den logaritmiska skalan för ljudnivå. Uppgifterna visar två exempel på matematikens användbarhet och tränar elevernas relevansförmåga. I uppgiften Konserten på sidan 249 i elevboken får eleverna arbeta mer med skalan för ljudnivå.

Uppgifterna i det här avsnittet kan vara ganska krävande eftersom eleverna måste ha tillgodogjort sig logaritmer, exponentialfunktioner, exponentialekvationer, potensfunktioner och potensekvationer. De måste dessutom känna igen situationer där dessa kan användas som modeller, vilket kan vara utmanande.

Richterskalan

Richterskalan är en skala som mäter storleken (magnituden) hos jordbävningar. Skalan har namngivits efter den amerikanske seismologen Charles Richter (1900–1985) som utvecklade den första versionen av skalan år 1935. Sedan dess har flera justeringar av skalan gjorts, både av Richter själv och av andra. I dag används främst den skala som kallas momentmagnitudskalan. Den beräknar magnituden utifrån det som kallas det seismiska momentet, som kan beräknas via avläsningar från seismografer. Sambandet mellan det seismiska momentet M0, som mäts i enheten N · m, och jordbävningens magnitud på momentmagnitudskalan Mw ges av formeln

Mw = 2 3 lg M0 − 10,7 Mw blir här dimensionslös, dvs. saknar enhet.

I uppgift 5243 och i problemlösningsuppgiften på s. 237 här i Lärarguiden bestämmer vi magnituden med en annan formel, som bygger på att förhållandena mellan de seismiska energierna som frigörs vid två olika jordbävningar är kända.

Logaritmer i andra baser

Att arbeta med logaritmer i andra baser kan vara ett sätt att befästa logaritmbegreppet. Vi har märkt att variationen av baser kan göra att en del elever för första gången inser att en logaritm motsvarar en exponent. För elever som ska läsa Matematik fortsättning nivå 1b kan det vara en fördel att ha sett logaritmer i andra baser än tio eftersom de där kommer att arbeta med basen e och den naturliga logaritmen. Ett övningsblad med logaritmer i andra baser finns i kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter.

Övningsblad

Logaritmer i andra baser

Aktivitet

Logaritmalias

5233 En sjö håller på att växa igen. Sjöns area minskar exponentiellt. Vattenytan mätte 12 km2 år 1980 och 8,0 km2 år 2020.

a) Med hur många procent minskar arean av vattenytan varje år?

b) Bestäm ett funktionsuttryck A(t) som visar hur arean av vattenytan minskar med antalet år från 1980.

c) Hur stor bör arean vara år 2030 enligt modellen?

d) Vilket år är vattenytans area 4,0 km2 om den fortsätter att minska på samma sätt?

e) Vilken är definitionsmängden och värdemängden för funktionen A?

5234 Folkmängden i en stad följer den matematiska modellen N = N0 ∙ 100,006t där t är antal år efter år 2020. Efter hur många år har folkmängden ökat med 20 %?

5235 Minna sätter in x kr på ett bankkonto med räntesatsen p %. Pengarna finns på kontot i t år. Ställ upp ett uttryck för kapitalet K kr efter t år.

5236 En fabrik måste minska sina utsläpp i sjöar och vattendrag med sammanlagt 20 % under de följande fyra åren.

a) Hur stor bör den årliga utsläppsminskningen vara i procent, om man eftersträvar en lika stor relativ minskning under vart och ett av åren?

b) Anta att samma årliga reduktionsmål tilllämpas även efter fyraårsperioden. Hur många år kommer det att ta innan utsläppen minskat till mindre än hälften av de ursprungliga?

(Finländsk studentexamen, 2006)

5237 Oljeproduktionen i ett land minskar med 7 % per år. Hur länge dröjer det tills oljeproduktionen halverats om minskningen fortsätter på samma sätt?

5238 Jordbävningen vid Salomonöarna år 2007 gav upphov till en tsunami. Jordbävningen hade magnituden 8 på Richterskalan. Magnituden M beräknas med formeln

M = 2 3 (lg E − 4,4) där E är den frigjorda energin i joule. Hur mycket energi frigjordes i jordbävningen vid Salomonöarna?

5239 Magnituden M är ett mått på hur starkt en stjärna lyser och kan beräknas med hjälp av formeln M − 5 = a − 5 lg r 3 1016 där r är avståndet i meter från jorden till stjärnan och a en konstant för en specifik stjärna, se tabell nedan.

Stjärnans namn Mar Solen 4,80−26,71,50 ∙ 1011 Sirius A −1,468,16 ∙ 1016 Proxima Centauri15,511,1

a) Beräkna magnituden M för stjärnan Sirius A. b) Beräkna avståndet r till stjärnan Proxima Centauri. (np Ma2c vt 2015)

Begreppet magnitud används med lite olika betydelse i olika vetenskapliga områden

Kommentarer till uppgifterna

I uppgifterna 5238 och 5243 får eleverna bestämma styrkan på jordbävningars magnitud enligt den så kallade richterskalan. I uppgift 5239 beräknas ljusstyrkan, eller magnituden, för en stjärna. Richterskalan och magnituden för en stjärna är ytterligare exempel på logaritmiska skalor och visar på matematikens användbarhet.

5240 Antalet isbjörnar i Baffin Bay har under de senaste 30 åren minskat med 30 %. I dag uppskattas antalet isbjörnar i området till 2 100 st. Anta att minskningen fortsätter i samma takt och beskriv isbjörnsbeståndet i Baffin Bay från i dag med en

a) exponentiell modell

b) linjär modell

c) Hur länge dröjer det enligt respektive modell innan isbjörnarna i Baffin Bay är utrotade?

Nivå 3

5241 Med kol-14 metoden kan man bestämma hur gammalt ett arkeologiskt fynd är. Metoden bygger på att mängden kol-14 är konstant i allt levande och när organismen dör och inga atomer av kol-14 tillförs, så sönderfaller de kol-14-atomer som då finns i den. Halveringstiden för kol-14 är 5 730 år. Halten kol-14 är 1,2 ∙ 10−6 ppm i levande organismer. Hur gammalt är ett arkeologiskt fynd som innehåller 1,0 ∙ 10−7 ppm kol-14?

5242 I en sjö uppmättes vid ett tillfälle pH-värdet till 6. Tre år senare visade nya mätningar att sjön hade försurats och pH-värdet uppmättes till 4,5. Hur många gånger högre var vätejonkoncentrationen vid den andra mätningen?

5243 En jordbävnings magnitud (styrka) anges med Richterskalan. Magnituden M bestäms enligt

M = 2 3 (lg E − K) där E är den frigjorda energin och K är en korrektionskonstant som beror på avståndet till jordbävningens epicentrum. Visa att cirka 32 gånger mer energi frigörs för varje ökning med 1 på Richterskalan.

Resonemang och begrepp 2b 5

Förklara varför lg AB = lg A + lg B endast gäller för positiva tal A och B

Rita graferna till y = lg x och y = lg 10 x. Beskriv likheter och skillnader mellan de två graferna och förklara varför graferna ser ut som de gör.

Förklara hur man med logaritmers hjälp kan göra om beräkningar så att multiplikation och division blir till addition och subtraktion.

Är det möjligt att definiera logaritmer i andra baser än tio?

Ledtrådar till uppgifterna

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 239

5239 b) Lös ut r från den givna formeln och använd tabellvärdena.

5241 Att halveringstiden för kol-14 är 5 730 år innebär att mängden kol-14 har halverats efter 5 730 år. Minskningen är exponentiell. Använd det för att ställa upp en ekvation.

5242 Notera att pH-värdet definieras med hjälp av logaritmen av vätejonkoncentrationen. Se exemplet på sidan 235.

5243 Lös ut E från den givna formeln och visa att en ökning med 1 i magnitud motsvarar att kvoten mellan energierna är ungefär lika med 32.

Svar till Resonemang och begrepp

Logaritmer är bara definierade för positiva tal A och B, eftersom ingen potens av 10 är ett negativt tal. Alltså är inte högerledet i sambandet lg AB = lg A + lg B definierat om något av talen A och B är negativt.

Grafen till y = lg 10x kommer att ligga exakt 1 enhet ovanför kurvan y = lg x, eftersom lg 10x kan skrivas om till lg 10 + lg x = 1 + lg x med hjälp av logaritmlagarna. Se graferna i figuren här nedanför.

= lg 10x

Vi konstruerar en tabell där ena raden består av positiva heltal 1–8 och raden under består av t.ex. 3 upphöjt till respektive heltal på raden ovanför.

12345678 1927812437292 1876 561

Vill man t.ex. beräkna 243 ∙ 27, så skriver man först om det till 35 ∙ 33. Sedan kan man i stället beräkna 5 + 3 = 8 och läsa av resultatet som står rakt under talet 8 i den övre raden. Man får att 35 ∙ 33 = 6 561. Om man vill beräkna 2 187 9 så kan man läsa av exponenten som står rakt ovanför respektive tal. Vi får då 37 32 , och nu kan man i stället beräkna 7 – 2 = 5 och läsa av resultatet som står rakt under talet 5 i övre raden, dvs. 2 187 9 = 243. Att dessa metoder fungerar följer direkt av potenslagarna 3a ∙ 3b = 3a + b respektive 3a 3b = 3a – b. Basen 3 kan bytas ut mot en annan godtycklig bas.

Ja, det är möjligt att definiera logaritmer i många andra baser förutom tio så länge basen är ett positivt tal. Vi kan exempelvis definiera logaritmer i basen 2. Då gäller t.ex. att log2 8 = 3 eftersom 23 = 8.

Tillämpningar av logaritmer

Logaritmiska skalor

x 0,0001 0,0010,010,11101001 00010 000 lg x −4−3−2−101234

Tips

Aktivitet

Logaritmer i diagram

Radioaktivt sönderfall

Logaritmer och exponentiella samband

2c 5

Exponentialfunktioner

Tillämpningar av logaritmer

Exempel: En lösnings pH-värde är ett logaritmiskt mått på en lösnings surhet. Lösningens pH-värde definieras som det negativa värdet av tiologaritmen för koncentrationen av vätejoner [H+] mätt i enheten mol/dm3

pH = −lg [H+]

En neutral lösning är varken sur eller basisk och har pH-värdet 7. Bestäm koncentrationen av vätejoner i en neutral lösning.

Lösning: Eftersom pH-värdet för en neutral lösning är 7, kan vi beräkna koncentrationen av vätejoner med hjälp av ekvationen

7 = −lg [H+]

lg [H+] = −7 lg y = x ger y = 10

[H+] = 10−7

Du kan även tänka att du tar 10 upphöjt till respektive led

Svar: Koncentrationen av vätejoner i en neutral lösning är 10−7 mol/dm3

Nivå 1

Exempel: Efter många års ökning har Japans folkmängd börjat minska, bland annat på grund av lågt barnafödande. Enligt en befolkningsprognos kommer

Japans folkmängd att minska från 125 miljoner människor år 2020 till 70 miljoner människor år 2060.

Hur länge dröjer det tills Japans folkmängd blir 40 miljoner, om folkmängden fortsätter att minska i samma takt?

Lösning: Vi antar att den årliga förändringsfaktorn är a. Det ger ekvationen

125a40 = 70

a40 = 70 125

a = ± ( 70 125 ) 1 40

2060 − 2020 = 40. På 40 år minskar folkmängden från 125 miljoner till 70 miljoner.

En förändringsfaktor kan inte vara negativ, så den negativa roten saknar betydelse i det här sammanhanget

a ≈ 0,9856 Med digitalt hjälpmedel

Befolkningsminskningen är alltså 1,44 % per år. Om vi låter x vara antalet år efter år 2020, så kan vi ställa upp ekvationen

125 ∙ 0,9856x = 40

0,9856x = 40 125 vi logaritmerar båda led

lg 0,9856x = lg 40 125

x ∙ lg 0,9856 = lg 0,32

x = lg 0,32 lg 0,9856 ≈ 79

På x år minskar folkmängden från 125 miljoner till 40 miljoner vi använder tredje logaritmlagen i vL: lg Ap = p lg A

Svar: Räknat från år 2020, kommer det att dröja ca 79 år innan Japans folkmängd har minskat till 40 miljoner.

5244 För barn mellan 5 år och 13 år kan sambandet mellan vikten y kg och längden x m beskrivas med modellen y = 2,4 ∙ 100,8x

a) Hur mycket väger ett barn som är 1,20 m enligt modellen?

b) Vilken längd har ett barn som väger 32 kg?

5245 Tillväxten hos en bakteriepopulation i ett laboratorium beskrivs av N(t) = 2 500 ∙ 1,03t där N(t) är antalet bakterier efter t timmar.

a) Hur många bakterier fanns det från början?

b) Med hur många procent ökar antalet bakterier varje timme?

c) Hur lång tid tar det tills antalet bakterier är 5 000?

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 241

Exempel

a) Vilket år kommer delmålet att nås om vi antar att barnadödligheten kommer att minska exponentiellt och i samma takt som mellan åren 1990 och 2012?

b) Vilket år kommer delmålet att nås om vi antar att barnadödligheten kommer att minska linjärt i samma takt som mellan åren 1990 och 2012?

Lösning/Kommentar

a) Vi vill beskriva barnadödligheten med en exponentiell modell, B(t) = Cat , där B(t) är barnadödligheten i miljoner t år efter 1990.

B(0) = 12,4 ger C = 12,4 B(0) = Ca0 = C ∙ 1 = C

B(22) = 6,6 ger 6,6 = 12,4 ∙ a22

a = ± ( 6,6 12,4 ) 1 22 ≈ ±0,9717 Vi bortser från den negativa roten eftersom en förändringsfaktor alltid är positiv.

B(t) = 12,4 ∙ 0,9717t

Enligt delmålet ska barnadödligheten minska till 12,4 ∙ 1 3 ≈ 4,13 miljoner.

Vi får ekvationen 12,4 ∙ 0,9717t = 12,4 ∙ 1 3

0,9717t = 1 3

t ∙ lg 0,9717 = lg 1 3 Logaritmlag 3

t = lg 1 3 lg 0,9717 ≈ 38,3 39 år efter 1990

Svar: Enligt den exponentiella modellen kommer delmålet att nås år 2029.

b) Vi vill beskriva barnadödligheten med en linjär modell, B(t) = kt + m, där B(t) är barnadödligheten i miljoner t år efter 1990.

B(0) = 12,4 ger m = 12,4

Barndödligheten har minskat med 12,4 − 6,6 22 ≈ 0,2636 miljoner per år, vilket ger

k = −0,2636.

B(t) = −0,2636t + 12,4

B(t) = 12,4 3 ger ekvationen 12,4 3 = −0,2636t + 12,4

som har lösningen t ≈ 31,4

Svar: Enligt den linjära modellen skulle delmålet ha nåtts år 2021.

Problemlösningsuppgift

En jordbävnings magnitud (styrka) anges med richterskalan. Magnituden M bestäms enligt

M = 2 3 (lg E − K)

Lösning/Kommentar

Vi kallar magnituden utanför Kamtjatka för M1 och magnituden i Japan för M2. Detta ger

M2 − M1 = 2 3 (lg E2 − K) − 2 3 (lg E1 − K) = = 2 3 (lg E2 − lg E1) = 2 3 lg E2 E1

M2 − M1 = 0,3 ger

2 3 lg E2 E1 = 0,3

lg E2 E1 = 0,45

E1 = 100,45

E2 E1 ≈ 3 v.s.v.

5246 Marcus köper en bil för 130 000 kr. Värdeminskningen förväntas bli 16 % per år. Hur länge dröjer det tills bilens värde har sjunkit till 50 000 kr?

5247 En räntefond utlovar minst 3 % i årlig avkastning. Frida har placerat 100 000 kr i fonden och har som mål att värdet ska öka till 250 000 kr på 35 år.

a) Visa att Fridas mål uppfylls om räntefonden håller vad den lovar.

b) Vilket är det minsta belopp som Frida hade kunnat placera för att värdet ska öka till 250 000 kr med den utlovade avkastningen?

5248 Ett företag har som mål att höja värdet av sin export från 400 miljoner till 1 000 miljoner kronor på 8 år. Med hur många procent ska exporten i genomsnitt höjas varje år?

5249 En lösnings pH-värde bestäms av formeln

pH = −lg [H+] där [H+] är koncentrationen av vätejoner i mol/dm3

a) Beräkna pH-värdet om vätejonkoncentrationen är 0,0015 mol/dm3.

b) Bestäm vätejonkoncentrationen om pH-värdet är 7,5.

5250 Ljudnivån L mätt i enheten decibel (dB) definieras som L = 10 lg I I0 där I är ljudintensiteten och I0 = 10−12 W/m2

är en konstant.

a) Hur stor är ljudnivån vid den så kallade hörbarhetsgränsen, då ljudintensiteten är 10−12 W/m2?

b) Örats smärtgräns ligger vid en ljudintensitet på ca 1 W/m2. Hur stor är ljudnivån vid smärtgränsen?

5251 Arean hos löven på ett träd växer under en period exponentiellt med 3,5 % per dygn.

a) En dag är arean 5,0 m2. Beräkna arean 14 dygn senare.

b) Bestäm ett funktionsuttryck som beskriver hur lövens area förändras med tiden.

c) Hur lång tid tar det för lövens area att växa till 10 m2?

5252 Ett radioaktivt preparat har halveringstiden T1/2 = 5,0 år och sönderfaller enligt formeln

y = y0 · 0,5t/T1/2

a) Om man från början har 50 g av preparatet, hur lång tid tar det tills det återstår 25 g?

b) Om det fanns 50 g från början, hur mycket återstår efter 10 år?

c) Hur lång tid tar det tills endast 2,0 g återstår av preparatet om man från början hade 50 g?

5253 I ekvationen 160 000 0,95x = 50 000 betecknar x tiden i år.

a) Formulera ett problem som kan lösas med hjälp av denna ekvation.

b) Lös ekvationen och ge ett svar på det problem du formulerat.

(np MaC vt 1996)

5254 År 1960 fanns det uppskattningsvis 20 000 gråsälar i Östersjön. På grund av höga halter av miljögifter minskade sedan antalet sälar kraftigt. Minskningen var exponentiell och år 1980 fanns endast 2 000 gråsälar kvar.

a) Vilken var den genomsnittliga årliga procentuella minskningen av antalet gråsälar mellan åren 1960 och 1980?

b) Vilket år kommer antalet gråsälar återigen att vara 20 000 om prognosen håller? (np MaC vt 2002)

5255 En sjö håller på att växa igen. Sjöns area minskar exponentiellt. Vattenytan mätte 12 km2 år 1980 och 8,0 km2 år 2020.

a) Med hur många procent minskar arean av vattenytan varje år?

b) Bestäm ett funktionsuttryck A(t) som visar hur arean av vattenytan minskar med antalet år från 1980.

c) Hur stor bör arean vara år 2030 enligt modellen?

d) Vilket år är vattenytans area 4,0 km2 om den fortsätter att minska på samma sätt?

e) Vilken är definitionsmängden och värdemängden för funktionen A?

5256 Folkmängden i en stad följer den matematiska modellen N = N0 ∙ 100,006 där t är antal år efter år 2020. Efter hur många år har folkmängden ökat med 20 %?

5257 En radioaktiv isotop med massan 250 g sönderfaller så att det återstår 25 g av isotopen efter 100 år. Bestäm isotopens halveringstid.

5258 En fabrik måste minska sina utsläpp i sjöar och vattendrag med sammanlagt 20 % under de följande fyra åren.

a) Hur stor bör den årliga utsläppsminskningen vara i procent, om man eftersträvar en lika stor relativ minskning under vart och ett av åren?

b) Anta att samma årliga reduktionsmål tilllämpas även efter fyraårsperioden. Hur många år kommer det att ta innan utsläppen minskat till mindre än hälften av de ursprungliga?

(Finländsk studentexamen, 2006)

5259 Oljeproduktionen i ett land minskar med 7 % per år. Hur länge dröjer det tills oljeproduktionen halverats om minskningen fortsätter på samma sätt?

5260 Jordbävningen vid Salomonöarna år 2007 hade magnituden 8 på Richterskalan. Magnituden M beräknas med formeln

M = 2 3 (lg E − 4,4)

där E är den frigjorda energin i joule. Hur mycket energi frigjordes i jordbävningen vid Salomonöarna?

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 243

Kommentarer till uppgifterna

I uppgift 5249 och 5250 får eleverna arbeta med pH-skalan och den logaritmiska skalan för ljudnivå. Uppgifterna visar två exempel på matematikens användbarhet och tränar elevernas relevansförmåga. I uppgiften Konserten på sidan 249 i elevboken får eleverna arbeta mer med skalan för ljudnivå.

I uppgifterna 5260 och 5265 får eleverna bestämma styrkan på jordbävningars magnitud enligt den så kallade Richterskalan. I uppgift 5261 beräknas ljusstyrkan, eller magnituden, för en stjärna. Richterskalan och magnituden för en stjärna är ytterligare exempel på logaritmiska skalor och visar på matematikens användbarhet.

Ledtrådar till uppgifterna

5261 b) Lös ut r från den givna formeln och använd tabellvärdena.

5263 Att halveringstiden för kol-14 är 5 730 år innebär att mängden kol-14 har halverats efter 5 730 år. Minskningen är exponentiell. Använd det för att ställa upp en ekvation.

5264 Notera att pH-värdet definieras med hjälp av logaritmen av vätejonkoncentrationen. Se exemplet på sidan 240.

5265 Lös ut E från den givna formeln och visa att en ökning med 1 i magnitud motsvarar att kvoten mellan energierna är ungefär lika med 32.

Richterskalan

Mw = 2 3 lg M0 − 10,7 Mw blir här dimensionslös, dvs. saknar enhet.

I uppgift 5265 och i problemlösningsuppgiften på s. 242 här i Lärarguiden bestämmer vi magnituden med en annan formel, som bygger på att förhållandena mellan de seismiska energierna som frigörs vid två olika jordbävningar är kända.

Logaritmer i andra baser

Att arbeta med logaritmer i andra baser kan vara ett sätt att befästa logaritmbegreppet. Vi har märkt att variationen av baser kan göra att en del elever för första gången inser att en logaritm motsvarar en exponent. För elever som ska läsa Matematik fortsättning nivå 1c kan det vara en fördel att ha sett logaritmer i andra baser än tio eftersom de där kommer att arbeta med basen e och den naturliga logaritmen. Ett övningsblad med logaritmer i andra baser finns i kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter.

Övningsblad

Logaritmer i andra baser

Aktivitet

Logaritmalias

5261 Magnituden M är ett mått på hur starkt en stjärna lyser och kan beräknas med hjälp av formeln

M − 5 = a − 5 lg r 3 ∙ 1016 där r är avståndet i meter från jorden till stjärnan och a en konstant för en specifik stjärna, se tabell nedan.

Stjärnans namn Mar

Solen 4,80−26,71,50 ∙ 1011

Sirius A −1,468,16 ∙ 1016

Proxima Centauri15,511,1

a) Beräkna magnituden M för stjärnan Sirius A.

b) Beräkna avståndet r till stjärnan Proxima Centauri. (np Ma2c vt 2015)

Begreppet magnitud används med lite olika betydelse i olika vetenskapliga områden

Antalet isbjörnar i Baffin Bay har under de senaste 30 åren minskat med 30 %. I dag uppskattas antalet isbjörnar i området till 2 100 st. Anta att minskningen fortsätter i samma takt och beskriv isbjörnsbeståndet i Baffin Bay från i dag med en a) exponentiell modell b) linjär modell c) Hur länge dröjer det enligt respektive modell innan isbjörnarna i Baffin Bay är utrotade?

Nivå 3

5263 Med kol-14 metoden kan man bestämma hur gammalt ett arkeologiskt fynd är. Metoden bygger på att mängden kol-14 är konstant i allt levande och när organismen dör och inga atomer av kol-14 tillförs, så sönderfaller de kol-14-atomer som då finns i den. Halveringstiden för kol-14 är 5 730 år. Halten kol-14 är 1,2 ∙ 10−6 ppm i levande organismer. Hur gammalt är ett arkeologiskt fynd som innehåller 1,0 ∙ 10−7 ppm kol-14?

5264 I en sjö uppmättes vid ett tillfälle pH-värdet till 6. Tre år senare visade nya mätningar att sjön hade försurats och pH-värdet uppmättes till 4,5. Hur många gånger högre var vätejonkoncentrationen vid den andra mätningen?

5265 En jordbävnings magnitud (styrka) anges med Richterskalan. Magnituden M bestäms enligt M = 2 3 (lg E − K)

där E är den frigjorda energin och K är en korrektionskonstant som beror på avståndet till jordbävningens epicentrum. Visa att cirka 32 gånger mer energi frigörs för varje ökning med 1 på Richterskalan.

Logaritmer med andra baser

Vi har tidigare visat att man med hjälp av tiologaritmer kan skriva alla positiva tal som en potens med basen 10. Till exempel kan talet 7 skrivas som 10lg 7

Men det är ingenting som säger att man måste ha just talet 10 som bas. Vi kan definiera logaritmer för vilken positiv bas som helst. Vill vi exempelvis skriva talet 7 som en potens med basen 2, så kallar vi den sökta exponenten för tvålogaritmen för 7 och betecknar den log2 7. Enligt denna definition har vi alltså att

7 = 2log2 7 Tvålogaritmen till 7 är det tal vi ska upphöja 2 till för att få talet 7

I figuren här intill har vi ritat grafen till y = 2x och y = 10x. Ur den blå grafen kan vi avläsa att

7 ≈ 22,8

dvs. log2 7 ≈ 2,8. Vi ser också tydligt att log2 7 inte har samma värde som lg 7. Från den röda grafen kan vi avläsa att 7 ≈ 100,85, dvs. lg 7 ≈ 0,85.

7 ≈ 22,8 ⇔ log2 7 ≈ 2,8

7 ≈ 100,85 ⇔ lg 7 ≈ 0,85

Eftersom värdemängden för y = 2x är alla positiva tal, så kan vi skriva alla positiva tal som en potens med basen 2. Enligt samma resonemang kan vi definiera logaritmer även för andra baser än 10 och 2.

Definition av logaritmer c-logaritmen till ett positivt tal y betecknas logc y och är exponenten när talet y skrivs som en potens med basen c y = cx ⇔ x = logc y där y och c är positiva tal samt c ≠ 1

Den här definitionen omfattar även tiologaritmen. Men eftersom den är en av de mest använda logaritmerna, har den fått den egna beteckningen lg y i stället för den lite krångligare allmänna beteckningen log10 y

Logaritmlagar Logaritmlagarna gäller för alla baser, även om vi tidigare har härlett dem endast för basen 10. För basen 2 gäller till exempel att log2 12 = log2 (4 ∙ 3) = log2 4 + log2 3 och att

log2 12 − log2 3 = log2 12 3 = log2 4

Övningsblad

Logaritmer i andra baser

Logaritmer med andra baser

I det centrala innehållet för Matematik nivå 2c anges att undervisningen ska behandla begreppet logaritm samt motivering och hantering av räkneregler för logaritmer. Vi har tolkat detta som att logaritmer i andra baser än tio bör behandlas inom ramen för Matematik nivå 2c. Det är förmodligen en fördel att eleverna har bekantat sig med logaritmer i någon annan bas än tio innan de stöter på den naturliga logaritmen i Matematik fortsättning nivå 1c. Avsnittet är ett utmärkt sätt att repetera och fördjupa logaritmbegreppet och få eleverna att förstå att man kan definiera logaritmer i vilken bas som helst. Vi har märkt att variationen av baser kan leda till att vissa elever för första gången inser att en logaritm motsvarar en exponent.

Viktiga begrepp

logaritm, c-logaritmen till ett positivt tal y betecknas logc y och är exponenten när talet y skrivs som en potens med basen c y = cx ⇔ x = logc y, där y och c är positiva tal och c ≠ 1.

Att

tänka på

Det är viktigt att eleverna förstår att notationen log2 3 inte är tre separata enheter utan representerar ett tal.

Tips

Introducera gärna logaritmer i andra baser med konkreta exempel som utgår från kända potenser, t.ex.

Om 25 = 32, så är log2 32 = 5

Om 72 = 49, så är log7 49 = 2.

Exempel

Bestäm utan att använda räknare

a) log2 64 b) log3 81

c) log7 1 49 d) log5 1

Lösning/Kommentar

a) log2 64 = 6 Eftersom 64 = 26

b) log3 81 = 4 Eftersom 81 = 34

c) log7 1 49 = −2

d) log5 1 = 0

Eftersom 1 49 7−2

Eftersom 1 = 50

I deluppgift d) kan man uppmärksamma att logc 1 = 0 för alla möjliga baser c.

Resonemangsuppgift

Vilket tal är störst

a) log2 28 eller lg 128

b) log0,5 3 eller log0,5 5

Lösning/Kommentar

a) Eftersom 24 = 16 och 25 = 32 så är

4 < log2 28 < 5. Eftersom 102 = 100 och

103 = 1 000 så är 2 < lg 128 < 3.

Svar: log2 28 är störst

b) Eftersom 0,5−1 = ( 1 2 )−1 = 2 och 0,5−2 = ( 1 2 )−2 = 22 = 4, så är −2 < log0,5 3 < −1, och eftersom

0,5−3 = ( 1 2 )−3 = 23 = 8, så är −3 < log 0,5 5 < −2.

Svar: log 0,5 3 är störst.

Det här är en uppgift som med fördel kan genomföras i par. Då får eleverna formulera och motivera sina slutsatser för varandra. Deluppgift b) lämpar sig för de elever som behöver en ordentlig utmaning. Svaret förvånar nog många elever eftersom log 0,5 3 > log 0,5 5 trots att 3 < 5.

Aktivitet

Logaritmalias

Tips

Om man vill bestämma värdet av en logaritm med någon annan bas än 10 kan man använda sig av formeln

logc a = lg a lg c . Formeln kan med fördel härledas.

Härledningen kan göras på följande sätt:

Om c x = a så är x = logc a

Löser vi i stället ekvationen c x = a med hjälp av tiologaritmer får vi:

lg c x = lg a som ger x lg c = lg a x = lg a lg c dvs. logc a = lg a lg c

2c 5

Logaritmlagarna

1. logc AB = logc A + logc B

2. logc A B = logc A − logc B

3. logc Ap = p ∙ logc A där A B > 0 och p kan vara vilket reellt tal som helst

Exempel: Bestäm utan att använda digitalt hjälpmedel. a) log2 8 b) log3 81

Lösning: a) log2 8 är det tal som 2 ska upphöjas till för att få talet 8. Eftersom 23 = 8 så är log2 8 = 3. Enligt definitionen

Svar: log2 8 = 3 b) log3 81 är det tal som 3 ska upphöjas till för att få talet 81. Eftersom 34 = 81 så är log3 81 = 4. Enligt definitionen

Svar: log3 81 = 4

Exempel: Bestäm utan att använda digitalt verktyg. a) 3log3 4 b) 8log8 27

Lösning: a) 3log3 4= 4 b) 8log8 27 = 27

Exempel. Lös ekvationen 3x = 5.

Lösning: Den här ekvationen kan vi lösa algebraiskt på olika sätt.

Metod 1 – Använd logaritm med basen 3 3x = 5 x = log3 5

Metod 2 – Med logaritmlagarna

Det går även att skriva om båda led till basen 10

3x = 5 Logaritmera båda led lg 3x = lg 5 Eftersom 3 = 5 så är också lg 3 = lg 5

x lg 3 = lg 5 Enligt tredje logaritmlagen: lg Ap = p lg A

x = lg 5 lg 3 ≈ 1,5 log3 4 är den exponent som 3 ska upphöjas till för att få talet 4 log8 27 är den exponent som 8 ska upphöjas till för att få talet 27 Det här är en exakt lösning. vissa digitala verktyg (t.ex. GeoGebra) kan även ge log3 5 ≈ 1,5.

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 246

Nivå 1

Lös följande uppgifter utan att använda digitalt hjälpmedel.

5266 a) Skriv 27 som en potens med basen 3. b) Bestäm log3 27.

5267 a) Skriv 64 som en potens med basen 2 b) Bestäm log2 64.

5268 Skriv 28 561 som en potens med basen 13 om du vet att log13 28 561 = 4.

5269 Bestäm

a) log3 9 b) log4 64 c) log7 49 d) log2 32

5270 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt värdet av a) lg 3 b) log3 3 c) log2 3 d) log3 5 y x 1 2 2 4 6 8 10 y = 10x

5271 Skriv talen som en potens med basen 3. a) 20 b) 7 c) 20 000

5272 Bestäm om möjligt a) 2log2 5 b) 3log3 (−2) c) 5log5 4 d) 8log8 12

Nivå 2

5273 Lös ekvationen 7x = 343 på två olika sätt. Ta hjälp av exemplet på föregående sida.

5274 Visa att log3 AB = log3 A + log3 B, dvs. visa att den första logaritmlagen gäller för logaritmer med basen 3.

5275 Visa att log2 A B = log2 A − log2 B, dvs. visa att den andra logaritmlagen gäller för logaritmer med basen 2.

Nivå 3

5276 Lös ekvationerna a) log2 64 = x ∙ log8 64 b) x ∙ log3 9 = log4 16 log2 16

5277 Visa att

a) loga x = lg x lg a

b) loga b ∙ logb a = 1

5278 Visa att om a > 0, så gäller att

a = x√b ⇔ loga b = x

Resonemang och begrepp

Förklara varför lg AB = lg A + lg B endast gäller för positiva tal A och B

Rita graferna till y = lg x och y = lg 10 x. Beskriv likheter och skillnader mellan de två graferna och förklara varför graferna ser ut som de gör.

Förklara hur man med logaritmers hjälp kan göra om beräkningar så att multiplikation och division blir till addition och subtraktion.

Går det att definiera logaritmer med en bas som inte är ett heltal?

LOGARITMER u 5.2 LOGARITMLAGAR 247

Kommentarer till uppgifterna

Uppgifterna på Nivå 1 fokuserar på definitionen av logaritmer med olika baser. De är valda så att de ska vara relativt enkla när man väl förstått betydelsen av definitionen y = cx ⇔ x = logc y. I uppgift 5273 får eleverna lösa en enkel exponentialekvation på två olika sätt. På det sättet befästs metoderna i kapitlet. I 5274 och 5275 får eleverna själva härleda logaritmlagarna för andra baser än 10. De kan då vara hjälpta av motsvarande härledningar för basen 10 på sidan 231 i elevboken.

Ledtrådar till uppgifterna

5272 Ta hjälp av det andra exemplet på sidan 246.

5274 Skriv om A och b enligt det andra exemplet på sidan 246. Använd sedan potensreglerna.

5276 Skriv om logaritmerna enligt logaritmlag 3 och förenkla.

5277 a) Sätt y = loga x. Vad blir då x?

5278 Använd att x√b = b 1 x

Svar till Resonemang och begrepp

Tiologaritmer är bara definierade för positiva tal A och B, eftersom ingen potens av 10 är ett negativt tal. Alltså är inte högerledet i sambandet lg AB = lg A + lg B definierat om något av talen A och B är negativt.

= lg 10x

Vi konstruerar en tabell där ena raden består av positiva heltal 1–8 och raden under består av t.ex. 3 upphöjt till respektive heltal på raden ovanför.

12345678 1927812437292 1876 561

Att dessa metoder fungerar följer direkt av potenslagarna 3a ∙ 3b = 3a + b respektive 3a 3b = 3a – b. Basen 3 kan bytas ut mot en annan godtycklig bas.

Ja, det går att definiera logaritmer för andra baser än heltalsbaser, till exempel 0,3-logaritmer.

Uppslaget

Svar till Undersök

Poängräkning i sjukamp

Ur tabellen får vi a = 0,188807, b = 210 och c = 1,41.

Med M = 699 får vi poängen:

P = 0,188807(699 − 210)1,41 ≈ 1 169

Svar: Deltagaren får 1 169 poäng.

Ur tabellen får vi a = 15,9803 och b = 3,8.

M = 48 och P = 822 ger ekvationen

822 = 15,9803(48 − 3,8)c 822

15,9803 = 44,2c

c = lg 822 15,9803 lg 44,2 ≈ 1,04

Svar: Värdet av konstanten c är 1,04.

Carolina Klüft hade behövt ta 7 009 − 6 047 = = 962 poäng i sista grenen. Med a = 0,11193, b = 254 och c = 1,88 får vi ekvationen

962 = 0,11193(254 − M)1,88 962

0,11193 = (254 − M)1,88 ( 962 0,11193 ) 1 1,88 = 254 − M

M = 254 − ( 962 0,11193 ) 1 1,88 ≈ 130

Svar: Hon hade behövt springa på ca 2 minuter och 10 sekunder eller snabbare.

Ju snabbare man springer i löpgrenarna, desto högre poäng ska man få. I hopp- och kastgrenar är det i stället så att du ska få mer poäng ju högre det uppmätta resultatet är. Därför behövs två olika formler, en som avtar med värdet på M och en som växer med värdet på M.

Rätt eller fel?

I en exponentialfunktion är den oberoende variabeln i exponenten.

En exponentiell modell beskriver ett förlopp där något minskar eller ökar med samma antal hela tiden.

Tiologaritmer är definierade bara för positiva tal.

1 2 3 4 5 6 7 8

Om lg x = A, så är lg 10x = A + 1.

Undersök

Poängräkning i sjukamp I sjukamp tävlar deltagarna i olika grenar. För att kunna summera resultaten från dessa grenar räknas resultatet i varje gren om till poäng. Internationella friidrottsförbundet (IAAF) har bestämt de två formler som används för poängberäkning.

För löpgrenar används:

Poäng = a ∙ (b − M)c För kast- och hoppgrenar används: Poäng = a ∙ (M − b)c

Förklaring:

M = Uppmätt resultat (löpning i sekunder, hopp i centimeter, kast i meter)

a b c = konstanter, se tabellen (b är det sämsta resultat som ger poäng)

u Det svenska rekordet i längdhopp för damer är 699 cm. Hur många poäng får en deltagare om hon hoppar så långt i en sjukamp?

Tiologaritmen för ett tal a, lg a är alltid större än noll.

I en potensekvation är den obekanta i exponenten.

Logaritmlagen lg AB = lg A + lg B gäller även då både A och B är mindre än noll.

Man kan lösa potensekvationer med hjälp av logaritmer.

u värdet på konstanten c för spjutkastning har fallit bort i tabellen. Bestäm c om du vet att ett kast på 48 meter ger 822 poäng.

u vid OS i Aten 2004 hade Carolina Klüft 6 047 poäng inför sista grenen som var 800 meter. vilken tid hade hon behövt springa på för att slå det då gällande europarekordet på 7 009 poäng?

u varför används två olika formler? (np MaC vt 2005)

Gren Konstanter a bc

200 m 4,9908742,51,81

800 m 0,111932541,88

100 m häck9,2307626,71,835

Höjdhopp1,84523751,348

Längdhopp0,1888072101,41

Kula 56,02111,51,05

Spjut 15,98033,8

Svar till Rätt eller fel?

1 Rätt. En exponentialfunktion skrivs y = Cax, där x är den oberoende variabeln.

2 Fel. Exponentiella modeller beskriver förlopp där något ökar eller minskar med lika många procent hela tiden (inte med samma antal).

3 Rätt. Det finns ingen potens av 10 som har ett negativt värde.

4 Rätt. Enligt första logaritmlagen gäller att lg AB = lg A + lg B, vilket i det här fallet ger lg 10x = lg x + lg 10 = A + 1.

5 Fel. Till exempel så är lg 0,1 = −1 eftersom 0,1 = 1 10 = 10−1.

6 Fel. En potensekvation skrivs Cxa = b, där x är den obekanta.

7 Fel. Om både A och B är mindre än noll så är inte lg A och lg B definierade. Det beror på att det inte finns någon potens av 10 som har ett negativt värde.

8 Rätt (och fel). Det går att lösa potensekvationer med logaritmer, men det är omständligt. Det är framförallt exponentialekvationer man löser med hjälp av logaritmer.

Problemlösning och modellering

Konserten

Eva och Per ska gå på en konsert.

– Spelar dom högt, undrar Eva oroligt.

– nja, det är förbjudet att ha en ljudnivå som är högre än 115 decibel. Jag vet inte hur noga man är med att följa de reglerna på rockkonserter. Jag har hört att man på vissa ställen har ljudblockerare som helt enkelt stänger av strömmen när ljudet blir för starkt.

– Hur mycket är 115 dB? Jag vill inte ha ont i huvudet i en vecka efteråt.

– Smärtgränsen, dvs. när det börjar göra ont i öronen, ligger vid 130 dB.

– Oj, det är ju jättenära 115 dB!

– Jag har hört att en ökning på 3 dB innebär en fördubbling av ljudintensiteten. Den högsta uppmätta ljudnivån under ett musikevenemang var under en konsert med Dire Straits 1992. Då uppmättes 134 dB.

– Tur att vi inte var där, då hade vi kanske haft tinnitus nu. Du vet när det ringer i öronen hela tiden.

– vi kan ju ta öronproppar med oss för säkerhets skull.

– Bra idé! Jag vill ju inte missa konserten.

Ljudnivån, L dB, beräknas enligt nedanstående formel där I är ljudintensiteten i W/m2 och

I0 = 10−12 W/m2 är ljudintensiteten hos det svagaste ljud örat anses kunna uppfatta.

L = 10 ∙ lg I 0

Ungefärliga decibelvärden för olika ljud

0 dBdet svagaste ljud örat kan uppfatta

10 dBen andning på 3 m avstånd

20 dBen viskning

60 dB normalt samtal

90 dBgräsklippare

115 dBkonsert eller motorsåg på 1 m avstånd

130 dBsmärtgräns

190 dB trumhinnan kan spricka

u vilken ljudnivå har en viskning som har ljudintensiteten 10−9 W/m2?

u vilken ljudintensitet är det i en industrilokal där ljudnivån är 75 dB?

u Hur många gånger högre ljudintensitet har smärtgränsen jämfört med den högst tillåtna ljudnivån vid en konsert?

u Per säger att en fördubbling av ljudintensiteten innebär en höjning av ljudnivån med 3 dB. Undersök om detta är sant. välj flera olika intensiteter.

u visa med hjälp av logaritmlagarna att Pers påstående alltid stämmer.

Enheten bel

Ljudstyrka mäts vanligtvis i enheten decibel (dB), som är en tiondels bel (B). Enheten är uppkallad efter uppfinnaren och vetenskapsmannen Alexander Graham Bell.

Fechners lag

Under 1800-talet undersökte Gustav Theodor Fechner hur våra sinnen reagerar på intryck. Han fann att vår upplevelse av ljud är proportionell mot logaritmen av ljudets intensitet. Detta överensstämmer med den logaritmiska skalan för ljudnivå: L = 10 ∙ lg I I0 . Att vår upplevelse av styrkan hos ljud är logaritmisk möjliggör att vi kan uppfatta en bred skala av ljudintensiteter. Det innebär också att vi uppfattar en relativ förändring av ljudintensiteten som en absolut höjning av ljudnivån. Vi uppfattar alltså förhållanden mellan ljudintensiteter som skillnader i ljudnivå (jfr logaritmlag 2).

Det blir eleverna varse i punkt 4 i uppgiften Konserten, där en fördubbling av ljudintensiteten motsvarar en absolut höjning av den upplevda ljudnivån med 3 dB.

Svar till Problemlösning och modellering

Konserten

L = 10 lg 10−9 10−12 = 10 lg 103 = 10 ∙ 3 = 30 dB

75 = 10 lg I 10−12 ger 7,5 = lg I − lg 10−12

7,5 = lg I − (−12) medför lg I = 7,5 − 12 = −4,5

I = 10−4,5 W/m2 ≈ 3,2 ∙ 10−5 W/m2

Ekvationen 115 = 10 lg I 10−12 har lösningen

I = 10−0,5 W/m2 ≈ 0,3 W/m2

Ekvationen 130 = 10 lg I 10−12 har lösningen

I = 10 W/m2

10−0,5 = 101,5 ≈ 32

Svar: Intensiteten är ca 32 gånger högre vid smärtgränsen jämfört med vid den högsta tillåtna ljudnivån vid konsert.

I = 10−10 ger L = 20 dB och I = 2 ∙ 10−10 ger L = 23 dB

I = 10−2 ger L = 100 dB och I = 2 ∙ 10−2 ger L = 103 dB

En fördubbling av ljudintensiteten ger i båda dessa exempel en ökning av ljudnivån med 3 dB.

Vid ljudintensiteten I = a är ljudnivån

L1 = 10 ∙ lg a 10−12

Fördubblar vi ljudintensiteten blir ljudnivån

L2 = 10 ∙ lg 2a 10−12

Skillnaden i ljudnivå ges av:

L2 − L1 = 10 ∙ lg 2a 10−12 − 10 ∙ lg a 10−12 =

= 10 ( lg 2a 10−12 − lg a 10−12 ) = 10 lg ( 2a 10−12 / a 10−12 ) = = 10 ∙ lg 2 ≈ 3 dB

Kommentar: Uppgiften kan utvidgas till att låta eleverna visa att formeln för ljudnivå kan skrivas:

L = 120 + 10 ∙ lg I

LOGARITMER  UPPSLAGET 249

Vi avläser i den första kolumnen på rad 3 värdet 0792 (som motsvarar 12) och på rad 7 i samma kolumn värdet 2041 (som motsvarar 16). Vi adderar dem och får 2833. Talet 2833 hittar vi i den tredje kolumnen på rad 10 (som motsvarar 19) och vi avläser att det motsvarar talet 19,2. Eftersom 10 ∙ 10 = 100 och 20 ∙ 20 = 400 kan vi sluta oss till att vårt svar ska ligga någonstans däremellan och att decimalkommat därför ska flyttas ett steg åt höger. Svaret blir 192.

Att beräkningen fungerar kan vi motivera på följande vis: lg 12 ≈ 1,0792 och lg 16 ≈ 1,2041.

Alltså är lg (12 ∙ 16) = lg 12 + lg 16 ≈ 1,0792 + 1,2041 = = 2,2833.

12 ∙ 16 är då 10lg (12 ∙ 16) = 102,2833 = 101 + 1,2833 = = 101 ∙ 101,2833 = 10 ∙ 19,2 = 192.

Vi beräknar 4 ∙ 1,3 med hjälp av räknestickan och multiplicerar sedan resultatet med 10. 1:an på skala C är redan placerad över 1,3 på skala D, så vi för (i tanken) slidern till 4:an på skala C och avläser 5,2 nedanför 4:an.

Vi multiplicerar svaret med 10 och får 10 ∙ 5,2 = 52.

För att beräkna 18 ∙ 13 börjar vi med att utföra beräkningen 1,8 ∙ 1,3 med hjälp av räknestickan. Eftersom 1:an på skala C redan är placerad över 1,3 på skala D, så för vi slidern till 1,8 på skala C och avläser 2,34 nedanför 1,8. Detta är produkten av 1,8 och 1,3. Multiplicerar vi resultatet med 100 får vi 2,34 ∙ 100 = 234.

Detta är produkten av 18 och 13 eftersom 18 ∙ 13 = = 1,8 ∙ 10 ∙ 1,3 ∙ 10 = 1,8

1,3 ∙ 100.

Från logaritmtabell till räknesticka

Räkneproblem

Det var inte lätt att utföra komplicerade beräkningar före 1600-talet. Om matematiker, astronomer eller fysiker behövde multiplicera stora tal med varandra, så fick de lägga ner massor av tid på det. Därför var det en fullkomlig revolution när John Napier (1550−1617) och Henry Briggs (1561−1630) i början av 1600-talet introducerade logaritmtabeller. Det innebar kanske ett lika stort framsteg för matematiken som datorernas intåg. Den franske astronomen och matematikern Pierre Simon de Laplace (1748−1827) påstod till exempel att logaritmtabellernas förenkling av beräkningarna fördubblade en astronoms livslängd.

John Napier

John Napier var en skotsk matematiker, fysiker, astronom och astrolog. Hans fullständiga namn var John Napier of Merchiston och han kallades ofta för ”Marvellous Merchiston” av sin beundrande omvärld. Han delade sin tid mellan vetenskapliga och teologiska studier. Teologin var ofta uppblandad med magi och tro på allehanda ockulta företeelser. Han använde sin matematiska begåvning till att beräkna tiden för världens undergång, som han förutspådde till antingen år 1688 eller år 1700. Han var av många ansedd som en trollkarl, och en av de många historierna om honom handlar om att han med hjälp av en tupp lyckades avslöja en tjuv bland sina tjänare. Han stängde in tjänarna, en åt gången, i en kammare med en tupp. Tjänarna hade blivit tillsagda att stryka tuppen över ryggen varvid tuppen skulle kunna tala om för Napier om tjänaren var skyldig eller inte. Det hela lyckades och tjuven blev avslöjad. Inte med hjälp av magi den här gången, utan det hade gått till så att Napier hade behandlat tuppen med kol och alla tjänarna hade svarta händer utom den som var skyldig, eftersom han av rädsla att bli avslöjad inte hade strukit tuppen över ryggen.

John Napier (1550−1617)

”Napiers bones” var ett räknehjälpmedel konstruerat av John Napier.

Skala D

Slider Skala C

Beräkna 12 ∙ 16 med hjälp av logaritmtabellen.

Logaritmtabeller

Napiers bok Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, vars svenska titel närmast skulle vara En beskrivning av en underbar tabell av logaritmer, publicerades år 1614 och innehöll bl.a. 90 sidor med logaritmtabeller. Ett av problemen med tabellerna var att Napier inte definierade logaritmen på samma sätt som vi har gjort. Det var inte förrän man räknade om logaritmtabellerna till tiologaritmer som logaritmer fick sitt stora genomslag. Med en logaritmtabell kan man utföra svåra multiplikationer och divisioner med hjälp av addition och subtraktion. Vi ska beräkna 13,3 21,2 med hjälp av logaritmtabellen här till vänster. Logaritmen för talet 13,3 är 1,1239. Observera att tabellen ger decimalerna. Heltalsdelen får man själv lista ut.

Enligt logaritmlagarna är lg (13,3 ∙ 21,2) = lg 13,3 + lg 21,2. Vi letar reda på motsvarande värden i logaritmtabellen och adderar dem: 1239 + 3263 = 4502. Vi hittar värdet 4502 i logaritmtabellen och avläser resultatet till 282. Var decimaltecknet ska placeras måsta man sedan tänka ut. Eftersom 13,3 ∙ 21,2 ≈ 13 20 = 260, så bör produkten vara just 282. På samma sätt kan vi beräkna 19 ∙ 1,11 som 2788 + 0453 = 3241. Vi hittar värdet 3243 (som är det värde som ligger närmast 3241) och avläser och tolkar svaret till 21,1 (med räknaren 19 ∙ 1,11 = 21,09).

Räknestickan

Använd bilden av räknestickan och beräkna 4 ∙ 13 och 18 ∙ 13. Tänk på att du själv måste placera decimalkommat rätt. ?

På internet kan du hitta räknestickor att öva på.

Räknestickan kan ses som en utveckling av logaritmtabellerna. Den bestod av logaritmiska skalor som kunde röras i förhållande till varandra. En föregångare var antagligen engelsmannen William Gunthers ”line of numbers”. Han konstruerade ett antal trälinjaler med logaritmiska skalor som kunde förskjutas i förhållande till varandra och därmed utföra multiplikationer och divisioner. Den första verkliga räknestickan brukar dock anses vara konstruerad av den engelske prästen och matematikern William Oughtred år 1622. Ständiga förbättringar ledde sedan fram till det verktyg som kom att vara centralt inom matematiken i över 300 år, ända in på 1970-talet då miniräknarna tog över. När vi utför multiplikationen 2 ∙ 1,3 med hjälp av räknestickan, så börjar vi med att sätta 1:an på skala C över 1,3 på skala D och sedan föra slidern till 2:an på skala C. Resultatet 2,6 kan avläsas under 2:an.

Räknestickan

En räknesticka består av en avlång rektangel indelad horisontellt i tre delar. På varje del är en logaritmisk skala ingraverad. Om man avläser graveringen från 1 till 2,1 på stickan så är den biten av stickan lg 2,1 enheter lång. Avläser man från 1 till 1,6 på stickan så är den lg 1,6 enheter lång. Vill man beräkna produkten 2,1 ∙ 1,6 använder man den rörliga delen av stickan för att placera de två sträckorna efter varandra. På så sätt skapar man en sträcka som är lg 2,1 + lg 1,6 enheter lång. På räknestickan kan man avläsa detta till 3,36. Det betyder att den sammanlagda sträckan är lg 3,36 enheter lång, dvs. lg 2,1 + lg 1,6 = = lg 3,36. Första logaritmlagen ger lg (2,1 ∙ 1,6) = lg 3,36 och vi kan därför dra slutsatsen att 2,1 ∙ 1,6 = 3,36.

Vill man i stället beräkna 210 ∙ 160 utnyttjar man att 210 ∙ 160 = 2,1 ∙ 100 ∙ 1,6 ∙ 100 och multiplicerar resultatet från beräkningen 2,1 ∙ 1,6 med 10 000.

Tankekarta

Logaritmer

Exponentialfunktioner

f x = Ca där a > 0

upprepade procentuella förändringar med konstant förändringsfaktor

Potensekvationer

ekvationer i formen xn = a den obekanta är bas i en potens grafisk lösning algebraisk lösning: x a1/ = n√a där n ≥ 2 är ett heltal. Om n är jämnt är även x = − n√a en lösning.

Tillämpningar

populationsförändringar logaritmiska mått

Logaritmer i andra baser y = cx ⇔ x = logc y

Exponentialekvationer

ekvationer i formen ax = b den obekanta exponenten grafisk lösning algebraisk lösning med hjälp av logaritmer

Tiologaritmer

y = 10x ⇔ x = lg y (y > 0) tal skrivna som en potens med basen 10: y = 10lg y

Logaritmlagarna

1. lg AB = lg A + lg B 2. lg A B = lg A − lg B 3. lg Ap = p ∙ lg A där A > 0, B > 0 och p kan vara vilket tal som helst

Nivå 1

1 Bestäm utan att använda digitalt hjälpmedel.

a) lg 10 000 b) 10lg 0,1 c) lg 1

2 Bestäm vinkeln x a) b) 2x x

3 Lös ekvationerna utan att använda digitalt hjälpmedel.

a) 10x = 100 b) x2 = 100

4 Är månghörningarna likformiga? Motivera ditt svar. 52° 47° 123° 12 18 32 138° 52°47° 16 6 9 (cm)

5 Använd tiologaritmer och skriv talen som en potens med basen 10. Ange exponenten både exakt och med ett närmevärde.

a) 5 b) 19

c) 0,4 d) 7 000

6 För en andragradsfunktion f gäller att f(x) = x2 − 2x − 3.

a) Lös ekvationen f(x) = 0.

b) Ange funktionens nollställen.

c) Bestäm symmetrilinjens ekvation. d) Ange koordinaterna för funktionens extrempunkt och ange extrempunktens karaktär.

7 Hur många lösningar finns det till var och en av ekvationerna

a) x13 = 81

b) x14 = 81

c) x15 − 81 = 0

8 Är triangeln i figuren rätvinklig? Motivera ditt svar. 22 45 51 (cm)

9 Beräkna utan att använda digitalt hjälpmedel. a) 23 b) (23)3 c) 3√ ( 23 )

10 Lös ekvationerna. a) 10x = 121 b) 17 = 2 · 10x c) 103x = 3 728

11 Lös följande ekvationer och svara exakt. a) 8x = 22 b) x8 = 22 c) 8x = 22

12 Trianglarna i figuren är likformiga. Bestäm sidan x 10 16 (cm) 18 x

13 Lös ekvationerna a) 3x = 7 b) 8 = 3 · 4x c) 5 + 2 · 3x = 14

14 Lös ekvationerna algebraiskt. Svara exakt. a) x2 − 7 = 0 b) ( x 1 4 ) ( x + 2 3 ) = 0 c) x2 − 2x − 22 = 14

15 Annas aktier är värda 5 000 kr. De minskar i värde under en arbetsvecka

Arbetsförslag

Ett bra sätt att repetera viktiga begrepp och synliggöra vanliga missuppfattningar är att kontrastera olika begrepp och metoder från tankekartan mot varandra. Låt t.ex. eleverna beskriva skillnaderna mellan

 potensekvationer och exponentialekvationer

 en grafisk och en algebraisk lösning

 att lösa en exponentialekvation genom att skriva om båda led med basen 10 och att lösa ekvationen genom att använda logaritmlag 3

Begreppsloop

Ett annat sätt att repetera viktiga begrepp om logaritmer och deras egenskaper är att göra en så kallad begreppsloop. I kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter finns en begreppsloop till kapitlet. Där finns också en aktivitet där eleverna får ta ställning till om påståenden är sanna eller falska och motivera sina svar.

Aktivitet

Begreppsloop – Logaritmer

Sant eller falskt

16 Förenkla √x x + √x5 x2

17 Avgör om det ska stå ⇒ eller ⇔ mellan följande utsagor. Motivera ditt svar. R > r A1 > A2 R A1 r A2

18 I början av år 2017 köpte Ylvali andelar i en aktiefond till ett värde av 2 000 kr. Fyra år senare hade värdet minskat till 1 640 kr. Beräkna den genomsnittliga procentuella värdeminskningen per år för hennes fondandelar.

19 Koordinatsystemet visar en rät linje L och en punkt P som ligger på linjen.

y P L x 2 2

a) Ange ekvationen för den räta linjen L

b) Ange ekvationen för en annan rät linje så att den tillsammans med linjen L bildar ett ekvationssystem som har sin lösning i punkten P (np Ma2b och Ma2c vt 2015)

20 Lös ekvationerna med hjälp av logaritmlagarna.

Svara exakt.

a) lg x = lg 8 + lg 2

b) 3 lg x = lg 16 − lg 2

c) lg x − 1 = lg 2

21 Förenkla

a) x2 + 49 − (x − 7)2

b) ( x + 1 4 ) 2 ( x 2 + 1 16 )

c) (x + 52)(x − 52) + 522

22 Lös ekvationerna

a) 5 31,2x = 2

b) 2 − 42x = 1

c) 9 121,35x − 4 = 23

23 För en andragradsfunktion f gäller att

f(x) = (x − 3)(x + 6).

a) Ange symmetrilinjens ekvation.

b) För vilket värde på x har grafen till funktionen en minimipunkt.

24 Arean som täcks av vattenväxter i en sjö mellan den 1 juni och 1 september kan beskrivas med modellen A(t) = 45 1,03 där A(t) m2 är arean t dagar efter den 1 juni.

a) Hur stor area täcks enligt modellen av vattenväxter den 1 juni?

b) Hur stor area täcks den 1 juli?

c) Hur lång tid tar det innan 100 m2 täcks av vattenväxter?

25 Beskriv en verklig situation där något a) ökar exponentiellt b) minskar exponentiellt

26 Ge ett förslag på vad funktionen y = 20 000 0,97x kan beskriva.

27 Stefan köper aktier för 10 000 kr. Det går dåligt på börsen, så Stefans aktier minskar i värde med i genomsnitt 5 % varje månad. Hur lång tid tar det innan värdet på aktierna har halverats?

Nivå 2

28 Bestäm längden av alla sidorna i trianglarna. a) 6,0 x 2 (cm)

b) (cm) √ 3 x 10,0 √ 2 x

29 Folkmängden i Umeå har från den 31 december år 2015 till den 31 december år 2020 ökat med 7,8 %. Hur stor genomsnittlig procentuell ökning per år motsvarar det?

30 För en andragradsfunktion gäller att funktionen har ett nollställe för x = −3 och att den antar sitt minsta värde för x = 1. Ange funktionens andra nollställe.

31 I figuren är linjerna K och L parallella och vinkeln v = 72°. Bestäm vinkeln u och motivera hur du kan veta hur stor vinkeln är.

K u v L

32 Punkten (a 5) ligger lika långt från punkten (4, 2) som från (2, 3). Bestäm talet a.

33 Värdet av Pers pengar V kr växer på banken under t år enligt modellen V(t) = 2 500 100,015t a) Hur stor är räntesatsen? b) Hur länge tar det innan värdet av Pers pengar har fördubblats?

34 Vi har funktionerna f(x) = x2 − 4 och g(x) = x − 2. a) Bestäm g(3) b) Bestäm f(g(3)) c) Bestäm f(g(x)).

35 En person tar 4,0 mg av ett läkemedel. Läkemedlet tas upp av kroppen och mängden minskar exponentiellt med tiden. Efter 12 timmar återstår halva mängden. Hur lång tid efter det att personen tagit läkemedlet återstår det 0,1 mg?

36 Lös ekvationerna a) (x + 7)(x − 7) = 6x + 34 b) (x + 5)2 − 2(x + 5) = 0

37 Beräkna utan att använda digitalt hjälpmedel. a) 16 3 b) 27 4 c) lg 1 √10 d) lg 400 − lg 4

38 Undersök om det är möjligt att sätta ut implikationstecken eller ekvivalenstecken mellan följande utsagor. a) x2 = 9 x = 3 b) man är hungrig man äter maten i skolans matsal

Övningsblad

Repetitionsuppgifter Kapitel 5

Blandade uppgifter

39 Visa att om B = 2A så är lg A B = −lg 2.

40 Förenkla

a) (x + √ 7 )2 − (x √ 7 )2

b) b(x + √a )(x − √a ) x2 a

41 År 1900 var koldioxidhalten i atmosfären 280 ppm. År 2000 hade koldioxidhalten stigit till 370 ppm.

a) Anta att förändringen var exponentiell. Med hur många procent ökade koldioxidhalten per år i genomsnitt under perioden?

b) Mellan 2010 och 2020 ökade koldioxidhalten med ca 6,5 %. Hur lång tid tar det med denna exponentiella ökningstakt för koldioxidhalten att öka med lika många procent som mellan 1900 och 2000?

42 Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.

År 1900 fanns det ungefär 239 000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär 2 300. Anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden. Bestäm vilket år det för första gången kommer att vara färre än 200 blåvalar om minskningen fortsätter i samma takt. (np Ma2b vt 2015)

45 Varje plats på jorden kan positionsbestämmas med longitud och latitud. Med koordinaternas hjälp kan man därmed bestämma avståndet mellan två platser. I nord-sydlig riktning motsvarar en breddgrad alltid ca 11 mil. I öst-västlig riktning varierar det med latituden, men där London och Paris ligger motsvarar en längdgrad ca 7,1 mil. Bestäm avståndet mellan de två städerna.

London Paris Lat: 51,51 Lat: 48,86 Long: −0,13 Long: 2,35

43 Bestäm de värden på x där graferna till andragradsfunktionen f(x) = 3x2 − 4x − 29 och linjen g(x) = 2x + 16 skär varandra. (np Ma2b och Ma2c vt 2013)

44 Är lg 9 större eller mindre än 1? Motivera ditt svar. (np MaC vt 2005)

46 Bestäm funktionsuttrycket för exponentialfunktionen y = f(x) som är ritad i figuren. y x 1 1 y = f x

47 Lös ekvationssystemet algebraiskt. Svara exakt. { lg x + lg y = 12 2 lg x − lg y = 6

48 Antalet huggormar h på en skärgårdsö antas växa med antalet år x enligt sambandet h = 650 · 1,03x. Antalet sorkar s på samma ö antas i stället minska enligt s = 12 000 · 0,93x När kan man enligt sambanden förvänta sig att antalet huggormar och antalet sorkar är lika?

Nivå 3

49 Thales från Miletos var en grekisk matematiker

som levde för 2 600 år sedan. Han formulerade en sats med följande innebörd: Varje triangel som är inskriven i en cirkel har en rät vinkel om en av triangelns sidor är diameter i cirkeln. Triangeln ABC är inskriven i en cirkel på ett sådant sätt. Sidan AC är en diameter i cirkeln. Punkten M är mittpunkt på sträckan AC. I figuren är även sträckan BM inritad.

x x B M A C

a) Förklara varför de två vinklarna markerade med x är lika stora.

b) Visa, utan att använda randvinkelsatsen, att Thales sats är korrekt. (np Ma2b och Ma2c vt 2012)

50 För vilka värden på det reella talet a har ekvationen x2 + ax + a = 0 a) två rötter b) en dubbelrot c) ingen rot

51 Sveriges befolkning var 5,14 miljoner år 1900 och 8,86 miljoner år 2000. Hur många bodde i Sverige då Karl XII dog år 1718 om befolkningsökningen har varit exponentiell sedan dess?

52 Sträckorna AD och BD är bisektriser i triangeln ABC Bestäm vinkeln ADB A D B C 50°

53 Halten av kol-14 i en levande organism ligger på en stabil nivå. När organismen dör minskar halten exponentiellt med tiden. Halveringstiden för kol-14 är ca 5 730 år. Ett arkeologiskt fynd innehåller 15 % av den halt av kol-14 som levande organiskt material innehåller. Hur gammalt är fyndet?

Del 1 Utan digitalt hjälpmedel

1 Bestäm a) lg 100 b) 10lg 14 c) lg 10−3

2 Skriv som en potens med basen 10. a) 4 b) 0,02 c) 1

3 Lös ekvationerna och svara exakt.

a) 2 = 10x b) x3 = 10 c) 2x = 3

4 Bestäm med hjälp av figuren så noggrant som möjligt a) lg 4 b) lg 0,4

5 Ordna följande tal i storleksordning med det minsta talet först. 1,01 lg 10 0 lg 0,1 lg 0,99

6 Lös följande ekvationer. a) 2 lg x − lg x = 3 b) lg x + lg 3 = lg (x + 3) c) lg x = −lg 2

Del 2 Med digitalt hjälpmedel

9 Ange med tre decimalers noggrannhet ett närmevärde till a) lg 3 b) lg 0,003

10 Klara vill skriva talet 37 som en potens med basen 10. Hjälp Klara att bestämma ett närmevärde till exponenten med två värdesiffror.

11 Lös ekvationerna. Svara med tre värdesiffror. a) 10 = 0,7 b) 22 = 5

12 Alpha har satt in 10 000 kr på ett konto. Han har låtit pengarna växa med ränta på ränta i 15 år. Det har till slut gett honom 14 272 kr på kontot. Hur stor har räntesatsen varit i genomsnitt?

13 Enligt en matematisk modell halveras priset på hårddiskar för datorer var fjortonde månad. En hårddisk på 26 MB kostade 35 000 kr i januari 1980. a) Vad skulle hårddisken ha kostat 40 år senare enligt modellen? b) Hur lång tid skulle det ta för en hårddisk som i dag kostar 3 200 kr att kosta mindre än 10 kr enligt modellen?

Svar: Ekvationen har lösningen x = 100. Kalle tycker sedan att det är konstigt att ekvationen inte har två lösningar eftersom ”x är i kvadrat”. Visa genom prövning att ekvationen har rötterna x = −100 och x = 100. Lös ekvationen på ett sådant sätt att du får med båda rötterna. Förklara varför Kalles lösning blir fel. Kapiteltest

7 Elina har satt in 60 000 kr på ett konto med räntesatsen 2 %. Efter t år fanns det 73 140 kr på kontot. Du kan bestämma t med hjälp av en ekvation. Teckna den ekvationen.

8 I tabellen hittar du närmevärden av tiologaritmen för positiva heltal upp till 9. x 123456789

lg x 00,300,480,600,700,780,850,900,95

Bestäm med hjälp av tabellen ett närmevärde till a) lg 800 b) lg 0,75 c) lg 64 y x 1 −1 2 1 5 4 3 y = 10x

Facit till Kapiteltest

1 a) 2 b) 14 c) −3

2 a) 10lg 4 b) 10lg 0,02 c) 100

3 a) x = lg 2

b) x = 3√10

c) x = lg 3 lg 2

4 a) 0,6 b) −0,4

5 lg 0,1 lg 0,99 0 lg 10 1,01

6 a) x = 1 000

b) x = 3 2

c) x = 1 2

7 60 000 · 1,02t = 73 140

8 a) lg 800 = lg (8 · 100) = lg 8 + lg 100 ≈ 0,90 + 2 = 2,90

b) lg 0,75 = lg 3 4 = lg 3 − lg 4 ≈ 0,48 − 0,60 = −0,12

c) lg 64 = lg 82 = 2 lg 8 ≈ 2 · 0,90 = 1,80

9 a) lg 3 ≈ 0,477

b) lg 0,003 ≈ −2,523

10 Vi vet att 37 = 10lg 37, så det tal Klara söker är lg 37 ≈ 1,6.

11 a) x ≈ −0,155 b) x ≈ 1,16

12 2,4 %

13 a) 1,7 · 10−6 kr (alltså i princip 0 kr)

b) Ca 9,7 år

14 Ställ upp en ekvation och bestäm a) räntesatsen på ett bankkonto där kapitalet på kontot fördubblas på 20 år b) efter hur många år värdet på ett bankkonto fördubblas om räntesatsen är 3 %

15 Kalle löser ekvationen lg x2 = 4 så här: lg x2 = 4 2 lg x = 4 lg x = 2 x = 102 = 100

14 a) Vi löser ekvationen a20 = 2 där a är förändringsfaktorn och får a ≈ ±1,035 vilket ger en årlig ränta på ca 3,5 %.

b) Vi löser ekvationen 1,03t = 2 och får att t ≈ 23,4 år.

15  x = −100 ger VL = lg (−100)2 = lg 10 000 = 4 = HL

x = 100 ger VL = lg 1002 = lg 10 000 = 4 = HL

Alltså är x = −100 och x = 100 rötter till ekvationen.

 lg x2 = 4

x2 = 104

x = ±100

 När Kalle flyttar ner 2:an i exponenten med hjälp av den tredje logaritmlagen, så förutsätter han att x är ett positivt tal. Det behöver det inte vara i det här fallet, eftersom det kvadreras innan man tar logaritmen av det.

Prov

Prov 3 Kapitel 5 och 6

Lösningar

Här följer lösningarna till Nivå 3-uppgifterna och Kapiteltesten i elevboken Matematik Origo nivå 2b/2c. Vi presenterar för det mesta en lösning till varje uppgift. Inte sällan finns det flera möjliga lösningar som är lika bra – eller kanske till och med bättre. Utrymmet tvingar oss att skriva kortfattat. I många fall finns liknande uppgifter lösta i läroboken. De lösningarna innehåller som regel fler steg och är dessutom mer utförligt kommenterade. Lösningar till Uppslaget och Historia finner du på motsvarande uppslag i Lärarguiden.

I Lärarguiden finns även förslag på svar till diskussionsfrågorna i Resonemang och begrepp

Innehåll

1 Räta linjer och

2 Algebra och

3 Andragradsfunktioner

1 Räta linjer och ekvationssystem

1.1 Räta linjens ekvation

1119 Den räta linjen har riktningskoefficienten k och går genom punkten med koordinaterna (x1, y1). Vi väljer en godtycklig punkt på linjen (x, y) och tecknar följande uttryck för riktningskoefficienten

k = y − y1

x − x1

Vi multiplicerar sedan båda leden med (x − x1) och får

k(x − x1) = (y − y1) v.s.v.

1137 Den gemensamma lösningen till ekvationerna ges av koordinaterna (x, y) i den punkt där linjerna skär varandra. För att kunna rita linjerna i ett koordinatsystem, skriver vi ekvationerna i k-form.

2x + y = 7

y = −2x + 7

3x + 2y = 12

2y = −3x + 12

y = −1,5x + 6

Vi ritar linjerna i ett koordinatsystem och bestämmer koordinaterna för skärningspunkten.

y x y = −1,5x + 6 y = −2x + 7 1 1

Svar: x = 2 och y = 3 är den gemensamma lösningen till ekvationerna.

1138 a) Linjen x = a går genom alla punkter (a, y) där y kan vara vilket värde som helst. På samma sätt går linjen y = b igenom alla punkter (x, b) där x kan anta vilket värde som helst. Det innebär att deras skärningspunkt måste vara punkten där x = a och y = b, dvs. punkten med koordinaterna (a, b).

b) Vi vet att linjen går genom punkterna (a, b) och (0, 0). Det ger

k = y1 − y2 x1 − x2 = b − 0 a − 0 = b a

Eftersom linjen går igenom origo är dess m-värde 0.

Linjens ekvation i k-form är alltså y = b a x. Vi skriver ekvationen i allmän form:

y = b a x

ay = bx bx − ay = 0

Svar: bx − ay = 0

1139 Linjen L1 går genom punkterna (a, b) och origo och har därmed riktningskoefficienten

k1 = b − 0 a − 0 = b a

Linjen L2 går genom punkterna (b, −a) och origo och har därmed riktningskoefficienten

k2 = a − 0 b − 0 = − a b

Det ger

k1 ∙ k2 = b a ∙ ( − a b ) = − a ∙ b a ∙ b = −1 v.s.v.

1140 a) För t = 0 är x = 0 och y = 0 + 1 = 1. Sätter vi in det i linjens ekvation y = x + 1 får vi

VL = 1 = 0 + 1 = HL. Punkten (0, 1) ligger alltså på linjen.

Provar vi i stället t = 4 får vi koordinaterna x = 4 och y = 4 + 1 = 5. Den punkten ligger också på linjen eftersom insättning i linjens ekvation ger

VL = 5 = 4 + 1 = HL.

b) Vi börjar med att lösa ut t från x = t + 2. Det ger

t = x − 2. Insättning i y = t − 1 ger:

y = t − 1

y = (x − 2) − 1

y = x − 3 som i allmän form kan skrivas x − y − 3 = 0.

c) Vi börjar med att ansätta en parameter: x = t

Insättning i ekvationen ger t + y − 10 = 0. Löser vi ut y från ekvationen får vi: y = 10 − t. Alltså är ekvationen i parameterform

{ x = t y = 10 − t

1.2 Ekvationssystem

1220 Vi börjar med att skriva ekvationerna i k-form:

{ 3y = ax + 3

2y = 3x + b

{ y = a 3 x + 1

y = 3 2 x + b 2

Ekvationssystemet har oändligt många lösningar när linjerna är sammanfallande, dvs. när ekvationerna är identiska. Det ger

a 3 = 3 2 , dvs. a = 9 2 och

b 2 = 1, dvs. b = 2

Svar: a = 9 2 och b = 2

nivå 2b/2c vux

Lärarguiden till Matematik Origo nivå 2b/2c vux följer elevboken uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till din undervisning.

Här finns bland annat extra exempel

didaktiska tips och kommentarer förslag på hur du kan inleda och avsluta lektionen lösningar till flera av elevbokens uppgifter

Till Matematik Origo nivå 2b/2c vux finns även en elevbok samt kopieringsmaterialet Prov, övningsblad och aktiviteter..