praštevil
2.2 Sestavljeno število kot zmnožek praštevil
A VN CA LO IČI DE AZL R
NA A V IC LO Lbomo Znali IČ E D sestavljeno Æ število AZ Rzapisati kot zmnožek
Iz 60 kock pa lahko sestavita različne kvadre. Ker so v zmnožku več kot tri praštevila, kvader ni enolično določen.
Rok in prijatelj Jure sta imela 105 enotskih kock. Želela sta porabiti vse kocke in iz njih sestaviti kvader tako, da bi bile njegova dolžina, širina in višina večje od enotske kocke. Na podoben način sta sestavila še kvader iz 30 in iz 70 kock.
60 30 15 5 1
2 2 3 5
2
2 15
60 = 2 · 2 · 3 · 5 60 = 22 · 3 · 5
Kako naj na podoben način sestavita kvader iz 60 enotskih kock?
60 = 15 ∙ 2 ∙ 2
Po razmišljanju sta ugotovila, da lahko za posamezne dimenzije uporabita le 3, 5 in 7 kock, saj je 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7. Sestavila sta kvader z dolžino 7 kock, širino 5 kock in višino 3 kocke. Pri sestavljanju drugih dveh kvadrov sta ugotovila, da ima kvader, ki vsebuje 30 kock, za posamezne dimenzije 2, 3 in 5 kock ter da ima kvader, ki vsebuje 70 kock, za posamezne dimenzije 2, 5 in 7 kock.
4 2
10
5
5
2
3
3
6
60 = 3 ∙ 10 ∙ 2
60 = 3 ∙ 5 ∙ 4
60 = 6 ∙ 5 ∙ 2
Nekoč so praštevila določali ročno, danes pa to počnemo z računalniki. Največje januarja 2019 znano praštevilo je 282589993 – 1. Na spletu (www.mersenne.org) preveri, katero je danes največje znano praštevilo.
Zapomnim si 7
3
2
Ker dobimo v zmnožku tri različna praštevila, je kvader enolično določen.
40
Rešimo skupaj Zgled 1
Sestavljeno število najlažje zapišemo kot zmnožek praštevil tako, da ga večkrat zaporedoma delimo s praštevilom. Običajno najprej poskusimo z manjšimi praštevili: 2, 3, 5 ... Postopek ponavljamo toliko časa, da dobimo količnik 1. 30 2 15 3 5 5 1
Zapišemo z zmnožkom 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5.
Izberi poljubno število kock in ugotovi, v katerih primerih: • kvadra na tak način ne moreš sestaviti, • lahko kvader sestaviš samo na en način, • lahko sestaviš kvadre različnih dimenzij.
5
Število 105 smo zapisali kot zmnožek praštevil 3, 5 in 7. Število 30 smo zapisali kot zmnožek praštevil 2, 3 in 5. Število 70 smo zapisali kot zmnožek praštevil 2, 5 in 7.
30 : 2 = 15 15 : 3 = 5 krajši 5 : 5 = 1 zapis
7
2
3
5
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 70 = 2 ∙ 5 ∙ 7
5
Če ne upoštevamo vrstni red množencev lahko sesatavljeno število zapišemo kot zmnožek praštevil na en sam način.
Lahko pa množence poiščemo tudi z drevesnim prikazom:
N A R AV N A Š T E V I L A I N Š T E V I LO 0
Število 360 zapišimo kot zmnožek praštevil. z zapisom zmnožkov
z deljenjem
z drevesnim prikazom
360 = 2 · 180 360 = 2 · 2 · 90 360 = 2 · 2 · 2 · 45 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 15 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1
360 9 40 3 3 5 8 4 2 2 2
360 = 23 · 32 · 5 30 2 15 3 5
Zgled 2
Utemeljimo, kateri primer prikazuje zapis števila 114 kot zmnožek praštevil. a) 109 + 5 b) 2 ∙ 3 ∙ 19 c) 2 ∙ 57
✕ ✓ ✕
Prikazana je vsota in ne zmnožek dveh praštevil. Zapisan je zmnožek samih praštevil. Število 57 ni praštevilo.
N A R AV N A Š T E V I L A I N Š T E V I LO 0
41