2.1 Praštevila in sestavljena števila
deliteljev Æ prepoznati praštevila in sestavljena števila
Rešimo skupaj Zgled 1
Oblikovalka nakita bo izdelovala verižice iz perlic enake barve. Na voljo ima komplet, ki vsebuje 15 rumenih, 16 roza in 17 zelenih perlic. Perlice posamezne barve bo razdelila v enake skupine. Pri katerem številu perlic lahko oblikovalka naredi največ različnih verižic?
Samostojno razišči števila do 100 in med njimi poišči praštevila in sestavljena števila.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Eratostenovo rešeto Eratosten iz Kirene je našel postopek, po katerem je našel vsa praštevila do nekega vnaprej izbranega števila. Njegov postopek imenujemo Eratostenovo rešeto.
Bistvo postopka je v tem, da po vrsti izločamo vse večkratnike posameznih praštevil (2, 3, 5, 7 …), razen praštevila samega. Izločimo tudi število 1, ki ni praštevilo niti sestavljeno število. Tako na situ ostanejo samo praštevila.
Praštevila do števila 500 2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97 101 103 107 109 113
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
število 1 1 Ima natanko en delitelj, to je število 1.
D5 = {1, 5} D10 = {1, 2, 5, 10}
Praštevila so 2, 3, 5 in 7, ker imajo natanko dva delitelja.
Utrdim novo znanje
1 Preriši in dopolni preglednico. Število Število deliteljev Praštevilo (da/ne)
29
33
37
45
47
NARAVNA ŠTEVILA praštevila 2, 3, 5, 7, 11 … Imajo natanko dva delitelja: število 1 in samega sebe.
3 Zapiši množici deliteljev števila 15 in števila 20. 4 Utemelji, zakaj število 60 ni praštevilo. *5 a) Ali lahko zapišeš vsa soda praštevila? Koliko jih je? b) Med katerima dvema prašteviloma ni nobenega drugega naravnega števila? c) Razišči, ali med prvimi stotimi naravnimi števili obstajajo števila, katerih predhodnik in naslednik sta praštevilo. č) Zapiši po dve praštevili, ki se razlikujeta za 4, 6, 8 oziroma 10. *6 Razišči pravilnost izjav. Napačne izjave smiselno popravi s trdilnimi stavki. a) Praštevila so števila, ki nimajo deliteljev. b) Sestavljenih števil je neskončno mnogo. c) Sestavljeno število je naravno število, ki ima vsaj tri delitelje. č) Vsa praštevila so liha. d) Vsa liha naravna števila so praštevila. e) Število 1 je najmanjše praštevilo. **7 Nadaljuj zaporedje števil 4, 9, 25, 49, 121 … z naslednjimi šestimi členi zaporedja. Zapiši pravilo zaporedja.
**8 Razišči:
a) vsote števk posameznih dvomestnih praštevil. Kaj opaziš? b) vse primere, za katere drži trditev: "Če sešteješ dve praštevili, dobiš praštevilo." (Izbiraj praštevila med 1 in 100.)
Zapomnim si
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
D4 = {1, 2, 4} D9 = {1, 3, 9}
b) Zapiši najmanjše trimestno praštevilo.
Števila, ki imajo natanko dva delitelja, imenujemo praštevila; števila, ki imajo več kot dva delitelja, pa sestavljena števila.
2
D3 = {1, 3} D8 = {1, 2, 4, 8}
2 a) Zapiši največje dvomestno praštevilo.
Oblikovalka ima pri šestnajstih perlicah največ možnosti za različne razporeditve, saj ima število 16 med izbranimi števili največ deliteljev. Najmanj možnosti različnih razporeditev je pri 17 perlicah, saj ima število 17 le dva delitelja. D15 = {1, 3, 5, 15} D16 = {1, 2, 4, 8, 16} D17 = {1, 17}
1
D2 = {1, 2} D1 = {1} D6 = {1, 2, 3, 6} D7 = {1, 7}
Zapišimo množice deliteljev za števila od 1 do 10 in ugotovimo, katera izmed njih so praštevila.
17 perlic
16 perlic
15 perlic
A VN CA LO IČI DE AZL R
NA A V IC LO Lbomo Znali IČ E D razvrstiti Æ naravna AZ Rštevila glede na število
sestavljena števila 4, 6, 8, 9, 10 … Imajo več kot dva delitelja.
**9 Če je n praštevilo in n > 3, potem sta njegov predhodnik (n – 1) in njegov naslednik (n + 1) sestavljeni števili. Dokaži trditev. Ali velja trditev tudi za n = 2 in n = 3?
467 479 487 491 499
38
N A R AV N A Š T E V I L A I N Š T E V I LO 0
N A R AV N A Š T E V I L A I N Š T E V I LO 0
39