Aritmetično sredino, modus in mediano imenujemo merila za sredino ali srednje vrednosti. Smiselno jih je iskati pri večjem številu podatkov. Ker ima vsaka med njimi določene pomanjkljivosti, bi bilo najbolje vedno izračunati vse tri. Aritmetična sredina je zelo občutljiva za ekstremne vrednosti, računamo jo le za številske podatke. Modusa v nekaterih nizih podatkov ne moremo poiskati, v nekaterih pa je lahko tudi več modusov. Modus lahko poiščemo tudi za opisne podatke. Mediana je najmanj občutljiva za ekstremne vrednosti.
Rešimo skupaj Zgled 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 11. 12. 13.
Krvni tlak (mm Hg) 122 98 160 122 107 158 165 132 85
88 122 95 162
Mediano prikažimo še na stolpčnem diagramu.
160 140 120 100
60 40 20 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
c) Med danimi podatki sta dva sredinska podatka, zato izračunajmo njuno aritmetično sredino. 1,4 1,6 1,6 1,8 2,0 2,0 2,2 2,2 (1,8 + 2) : 2 = 1,9 Mediana danih podatkov je 1,9 metra.
Iz diagrama lahko preberemo tudi razpršenost podatkov, ki je lahko majna ali velika. majhna razpršenost
č) Izračunajmo aritmetično sredino. Uporabimo žepno računalo. x = (0,8 + 2,4 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,9 + 2,9 + 3,0) : 9 = 22,8 : 9 2,5 Povprečna dolžina skoka je bila 2,5 metra. Zaradi dolžine 0,8 m je aritmetična sredina skoka precej manjša – pomaknjena v levo. Če bi imeli le osem podatkov (brez podatka 0,8), bi bila aritmetična sredina 2,75, torej precej bolj na sredini. Podatek 0,8 se močno razlikuje od preostalih podatkov in precej vpliva na aritmetično sredino.
velika razpršenost
Srednje vrednosti lahko izračunamo tudi z različnimi računalniškimi programi. V Excelu uporabimo ukaze Average, Mode in Median. Seveda moramo označiti, za katere podatke želimo izračunati srednje vrednosti. V našem primeru so to podatki v celicah (B1:F3).
Najpogostejša vrednost (modus) je zavajajoča, saj je največkrat izmerjeni tlak normalen (122 enot), nekatere meritve pa pokažejo izrazito visoke in izrazito nizke vrednosti. Prav tako zavaja tudi aritmetična sredina, saj je povprečje visokih in nizkih vrednosti krvnih tlakov normalen krvni tlak (124 enot). Sredinski podatek (mediana) pa sploh ne pove kaj dosti o nihanju krvnega tlaka. Sama srednja vrednost nabora podatkov včasih težko povzame značilnosti celega nabora.
Zapomnim si Aritmetična sredina, modus in mediana so srednje vrednosti podatkov.
292
S TAT I S T I K A
2,2
b) Med podatki, ki so urejeni po velikosti, poiščemo sredinski podatek. 0,8 2,4 2,7 2,7 2,7 2,7 2,9 2,9 3,0 Mediana dolžin skokov je 2,7 metra. Med devetimi podatki je sredinski peti podatek. Štirje skoki so bili enaki ali krajši od 2,7 metra, štirje skoki pa so bili enaki ali daljši od 2,7 metra.
80
0
2,2
Med podatki poiščemo tistega, ki se največkrat pojavi. 0,8 2,4 2,7 2,7 2,7 2,7 2,9 2,9 3,0 Največ učencev je skočilo 2,7 metra, torej je modus enak 2,7. Podatek ima največjo frekvenco – pojavi se štirikrat.
180
mediana
Fantje so skakali v daljavo in zapisovali svoje dosežke v metrih: 2,7 0,8 2,9 2,7 3,0 2,7 2,9 2,7 2,4. a) Katero daljavo je skočilo največ učencev? b) Kolikšna je mediana dolžin skokov? c) Izračunajmo mediano za skoke: 1,4 1,6 1,6 1,8 2,0 2,0 č) Kolikšna je povprečna dolžina skoka?
a) Najprej podatke uredimo po velikosti. Podatke lahko vnesemo tudi v elektronsko preglednico in jih z enostavnim ukazom uredimo po velikosti. Uporabimo gumb Razvrsti in filtriraj in nato Razvrščanje po meri. Izberemo vrstico ali stolpec, v katerega smo vpisali podatke, ter se nato odločimo ali urejamo od največjega do najmanjšega ali obratno.
Merila za sredino povedo tipično ali osrednjo vrednost podatkov. Včasih je takšna informacija premalo natančna. Poglejmo si to na primeru bolnika, ki si je trinajst zaporednih dni meril krvni tlak. Dan
A VN CA LO IČI DE AZL R
NA A V C LO LIČI E D AZ R
Zgled 2
Špela je metala kocko, Rok pa je zapisoval in po velikosti uredil število padlih pik. a) 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6 b) 1, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6 c) 1, 2, 3, 4, 5, 6 Špela in Rok sta si ogledala zapiske in modrovala: Modus je lahko eden, lahko sta dva ali več, ali pa modusa sploh ni. Ali je njuna trditev pravilna? DA, trditev je pravilna. a) Modus je natanko en – to je 2. Podatek 2 se pojavi trikrat. b) Modusa sta dva, saj se podatka 3 in 5 pojavita po trikrat. c) Modusa ni, saj se vsi podatki pojavijo enako pogosto – po enkrat. S TAT I S T I K A
293