Iz podatkov v preglednici narišimo graf: narišemo koordinatne osi, jih označimo in za vsak par vrednosti spremenljivk narišemo točko.
Špelina babica je na podboj vrat štirikrat v letu zarisala telesne višine svojih vnukov. Špeli je prigovarjala: bolj kot si visoka, bolj si pametna. Špela se je zamislila, saj je v njenem razredu učenec, ki največ zna, po telesni višini najmanjši. Vrata in podboj je bilo potrebno prebarvati. Ker babica ni hotela izgubiti dragocenih podatkov o višini svojih vnukov, jih je prenesla v preglednico. dec. mar. junij sept. dec.
Mesec
Tel. višina [cm]
82
Tel. višina 142 [cm]
90
92
94
dec. mar. junij sept. dec. 148
148
150
150
Ali sta telesna višina in inteligentnost v medsebojni odvisnosti? Bi znal na podlagi podatkov v preglednici narisati graf? Višina podboja je vseskozi enaka, njena vrednost se ne spreminja, zato rečemo, da je konstantna. Višina posameznega vnuka se spreminja (ker nihče od vnukov ni starejši od 14 let), dokler otrok raste, se njena vrednost veča, zato rečemo, da je spremenljiva. Veliko vrednosti konstantnih količin že poznamo: razdalje med kraji so zapisane na obcestnih tablah, veliko konstant pa je zapisanih v raznih priročnikih. Hitrost svetlobe v vakuumu je približno 300 000 km/s. Višina Triglava je 2864 m. Posebej zanimive za proučevanje so veličine, ki spreminjajo svoje vrednosti. Babica je spremljala spreminjanje vrednosti telesne višine posameznega vnuka v dovolj velikih časovnih razmikih, da je zaznala večanje telesne višine. Telesna višina posameznega vnuka in čas sta med seboj odvisni spremenljivki, ker spremembi ene spremenljivke sledi sprememba druge spremenljivke. Gostota snovi je odvisna od temperature. Temperatura Gostota Snov [°C] [kg/m3] Aluminij 660 2380 900 2320 1100 2260 Bizmut 300 10 030 600 9660 962 9200
Pogosto so medsebojno odvisne fizikalne spremenljivke, npr. čas in pot pri premem gibanju, hitrost in pot pri enakomerno pospešenem gibanju … Tudi veličine iz geometrije so v medsebojni odvisnosti: • obseg lika je odvisen od dolžine stranic tega lika, • površina kocke je odvisna od velikosti roba kocke, • ploščina romba je odvisna od dolžine stranice in višine … Telesna višina ne vpliva na inteligentnost, zato ti dve spremenljivki nista odvisni. Če se spremeni telesna višina človeka, ni nujno, da se spremeni inteligentnost človeka.
Konstante so veličine, ki imajo stalno (konstantno) vrednost. Spremenljivke so količine, ki lahko zavzamejo kakršnokoli vrednost iz predpisane množice. Pare spremenljivk delimo v dve skupini: • medsebojno odvisni spremenljivki se spreminjata v odvisnosti druga od druge, • medsebojno neodvisni spremenljivki se ne spreminjata v odvisnosti druga od druge. FUNKCIJA
140
80
130
dec
mar
jun sept dec Mesec
dec mar
jun sept dec Mesec
Iz babičinih zapiskov lahko preberemo veliko podatkov. Poglejmo nekatere. Špela je pri šestih letih ob vsaki meritvi nekoliko zrasla. V enem letu je zrasla za 12 cm. Špela je pri trinajstih letih rasla počasneje, zato se njena telesna višina ob nekaterih meritvah ni spreminjala. V enem letu je zrasla za 8 cm. Telesna višina otroka in čas meritve sta med seboj odvisni spremenljivki. Čas meritve je neodvisna spremenljivka, saj si je babica sama izmislila, kdaj bo meritve opravljala. Telesna višina otroka je odvisna spremenljivka; če bi si babica izbrala druge mesece meritve, bi dobila druge podatke za telesne višine posameznega vnuka. Pri medsebojno odvisnih spremenljivkah je z izbiro prve spremenljivke natančno določena tudi vrednost druge spremenljivke. Velja tudi obratno.
Neodvisna spremenljivka (čas) lahko zavzame samo vrednosti od decembra do decembra naslednjega leta, ko je babica spremljala rast vnukov. Pri določeni vrednosti neodvisne spremenljivke pa ima lahko odvisna spremenljivka samo eno vrednost. Tako Špela v nekem trenutku ne more biti hkrati visoka 140 cm in 150 cm.
Zapomnim si Medsebojno odvisnost spremenljivk prikažemo na več načinov: s predpisom, enačbo, preglednico, puščičnim prikazom, točkovnim prikazom (grafom ali diagramom). V dvojici medsebojno odvisnih spremenljivk je ena neodvisna spremenljivka (vrednosti si izbiramo), druga pa odvisna spremenljivka (vrednosti izračunamo).
Rešimo skupaj Zgled 1
Zapomnim si
270
90
Špela, 13 let
Špela, 13 let
Mesec
87
Telesna višina [cm] 150
Babica je medsebojno odvisni spremenljivki ponazorila s preglednico, mi smo jih z grafom, lahko pa jih ponazorimo tudi z enačbo ali diagramom.
…
Miha, 6 let
Miha, 6 let
Telesna višina [cm] 100
…
in spremenljivke Æ prepoznati medsebojno odvisni spremenljivki Æ zapisati odvisno in neodvisno spremenljivko Æ odvisnost med spremenljivkama prikazati s preglednico, s puščičnim prikazom in točkovnim prikazom (grafom)
10.2 Medsebojna odvisnost
A VN CA LO IČI DE AZL R
NA A V IC LO Lbomo Znali IČ E D veličine Æ deliti AZ Rna konstante
Ugotovimo, ali so dani pari spremenljivk medsebojno odvisni. a) Prevožena razdalja in porabljeno gorivo. b) Dolžina stranice trikotnika in obseg trikotnika. c) Število prodanih izdelkov in zaslužek. č) Barva avtomobila in največja dosežena hitrost avtomobila. d) Dan v tednu in vreme. e) Masa štruce kruha in njena cena. f ) Število pleskarjev in čas, v katerem prepleskajo stanovanje. g) Število in kvadrat tega števila. a) odvisni b) odvisni c) odvisni č) neodvisni d) neodvisni e) odvisni f ) odvisni g) odvisni FUNKCIJA
271