Znali bomo
Æ razložiti, kateri enačbi sta ekvivalentni
Æ rešiti enačbo s preoblikovanjem v ekvivalentno enačbo
Æ razlikovati med enačbami z različnim številom rešitev
9.4 Enačbe
Miha na eno stran tehtnice postavi 5 enakih škatlic bombonov in še 4 bombone, na drugo stran pa 3 škatlice bombonov in še 10 bombonov Tehtnica je v ravnovesju
Svoji sestri je postavil uganko, da brez odpiranja škatlic ugotovi, koliko bombonov je v eni škatlici?
Naj bo x število bombonov v škatlici, x [ ℕ
Ravnovesje na tehtnici napišemo kot enakost izraza na levi in izraza na desni strani:
5x + 4 = 3x + 10
Enakost dveh izrazov, kjer vsaj v enem členu nastopa neznanka x, imenujemo enačba Rešitev enačbe je vrednost neznanke x, pri kateri sta leva in desna stran enačbe enaki
Pri reševanju enačbe si pomagamo tako, da naredimo enake spremembe na obeh straneh in tako ohranimo ravnovesje S tem se rešitev enačbe ne spremeni Enačbi, ki imata enako rešite, imenujemo ekvivalentni enačbi
1. korak – odstranimo 3 škatlice z obeh strani
Na levi strani je bilo 5 škatlic, na desni 3
Če z obeh strani odstranimo 3 škatlice, ostaneta:
• levo: 2 škatlici in 4 bomboni
• desno: 10 bombonov
Dobimo: 2x + 4 = 10
2. korak – odstranimo 4 bombone z obeh strani
Ker je na levi še 4 bombone, jih odstranimo
z obeh strani
• levo: ostaneta 2 škatlici
• desno: 6 bombonov
Dobimo: 2x = 6
3. korak – razdelimo na dve enaki skupini
Če 6 bombonov enakomerno razdelimo
na 2 škatlici, dobimo: x = 3
V eni škatlici so 3 bomboni
Enačba je kot tehtnica Kar naredimo na eni strani, moramo narediti tudi na drugi, da ostane ravnovesje
Ko člen 3x prenesemo na drugo stran enačbe, se spremeni predznak Zakaj?
Ker odštevamo 3x na obeh straneh
Na tehtnici to pomeni, da z obeh strani odstranimo 3 škatlice
Ko prenesemo 4 na desno stran, se predznak prav tako spremeni Zakaj?
Ker odštevamo 4 na obeh straneh
Na tehtnici to pomeni, da z obeh strani odstranimo 4 bombone
Povezava s tehtnico
• Odštevanje člena pomeni, da ga z obeh strani “odstranimo”
• Prištevanje člena pomeni, da ga na obeh straneh “dodamo”
Pri prenosu člena čez enačaj se predznak člena spremeni Prenos ni čarovnija –
je le krajši zapis za isto operacijo na obeh straneh
Zapomnim si
Enačbe rešujemo tako, da jih postopoma preoblikujemo v preprostejše enačbe z enako rešitvijo
Enačbi, ki imata enko rešitev, sta ekvivalentni enačbi
Pri preoblikovanju lahko na obeh straneh enačbe prištejemo ali odštejemo isto število ali člen Prav tako lahko obe strani enačbe množimo ali delimo z istim neničelnim številom
Rešimo skupaj
Zgled 1 Reši enačbo in rešitev preveri s preizkusom a) 4x + 6 =
Preizkus naredimo tako, da v levo in desno stran začetne enačbe namesto neznanke x vstavimo izračunano rešitev Če sta leva in desna stran enaki, potem je rešitev pravilna
V obeh primerih sta vrednosti leve in desne strani enačbe enaki, kar potrjuje pravilnost rešitve