Æ rešiti enačbo s preoblikovanjem v ekvivalentno enačbo Æ razlikovati med enačbami z različnim številom rešitev
9.4 Enačbe
Enačba je kot tehtnica. Kar naredimo na eni strani, moramo narediti tudi na drugi, da ostane ravnovesje.
Miha na eno stran tehtnice postavi 5 enakih škatlic bombonov in še 4 bombone, na drugo stran pa 3 škatlice bombonov in še 10 bombonov. Tehtnica je v ravnovesju. Svoji sestri je postavil uganko, da brez odpiranja škatlic ugotovi, koliko bombonov je v eni škatlici?
? ?
? ?
? ?
5x + 4
5x + 4 = 3x + 10
?
3x + 10
Pri reševanju enačbe si pomagamo tako, da naredimo enake spremembe na obeh straneh in tako ohranimo ravnovesje. S tem se rešitev enačbe ne spremeni. Enačbi, ki imata enako rešite, imenujemo ekvivalentni enačbi.
2. korak – odstranimo 4 bombone z obeh strani Ker je na levi še 4 bombone, jih odstranimo z obeh strani. • levo: ostaneta 2 škatlici • desno: 6 bombonov Dobimo: 2x = 6 3. korak – razdelimo na dve enaki skupini Če 6 bombonov enakomerno razdelimo na 2 škatlici, dobimo: x = 3 V eni škatlici so 3 bomboni.
254
ALGEBRSKI IZRAZI IN ENAČBE
5x − 3x + 4 = 3x − 3x + 10 / − 3x 2x + 4 = 10
2x = 6 x = 6:2 x=3
?
Enakost dveh izrazov, kjer vsaj v enem členu nastopa neznanka x, imenujemo enačba. Rešitev enačbe je vrednost neznanke x, pri kateri sta leva in desna stran enačbe enaki.
1. korak – odstranimo 3 škatlice z obeh strani Na levi strani je bilo 5 škatlic, na desni 3. Če z obeh strani odstranimo 3 škatlice, ostaneta: • levo: 2 škatlici in 4 bomboni • desno: 10 bombonov Dobimo: 2x + 4 = 10
5x + 4 = 3x + 10
2x + 4 − 4 = 10 − 4 / − 4 Ko prenesemo 4 na desno stran, se predznak prav tako spremeni. Zakaj? Ker odštevamo 4 na obeh straneh. Na tehtnici to pomeni, da z obeh strani odstranimo 4 bombone.
Naj bo x število bombonov v škatlici, x [ N. Ravnovesje na tehtnici napišemo kot enakost izraza na levi in izraza na desni strani:
Ko člen 3x prenesemo na drugo stran enačbe, se spremeni predznak. Zakaj? Ker odštevamo 3x na obeh straneh. Na tehtnici to pomeni, da z obeh strani odstranimo 3 škatlice.
A VN CA LO IČI DE AZL R
NA A V IC LO Lbomo Znali IČ E D razložiti, Æ kateri enačbi AZ Rsta ekvivalentni
Povezava s tehtnico • Odštevanje člena pomeni, da ga z obeh strani “odstranimo”. • Prištevanje člena pomeni, da ga na obeh straneh “dodamo”. Pri prenosu člena čez enačaj se predznak člena spremeni. Prenos ni čarovnija – je le krajši zapis za isto operacijo na obeh straneh.
Zapomnim si Enačbe rešujemo tako, da jih postopoma preoblikujemo v preprostejše enačbe z enako rešitvijo. Enačbi, ki imata enko rešitev, sta ekvivalentni enačbi.
? ?
? ?
? ?
?
?
Pri preoblikovanju lahko na obeh straneh enačbe prištejemo ali odštejemo isto število ali člen. Prav tako lahko obe strani enačbe množimo ali delimo z istim neničelnim številom.
Rešimo skupaj Zgled 1 ?
?
Reši enačbo in rešitev preveri s preizkusom. a) 4x + 6 = 18 b) 3x + 5 = x – 7
a) 4x + 6 = 18 b) 3x + 5 = x – 7 4x = 18 – 6 3x – x = –7 – 5 4x = 12 /:4 2x = –12 /: 2 x = 3 x = –6 5 = {3} 5 = {–6} ?
?
Preizkus naredimo tako, da v levo in desno stran začetne enačbe namesto neznanke x vstavimo izračunano rešitev. Če sta leva in desna stran enaki, potem je rešitev pravilna. a) L: 4x + 6 = 4 · 3 + 6 = 12 + 6 = 18 b) L: 3x + 5 = 3 · (–6) + 5 = –18 + 5 = –13 D: 18 D: x – 7 = –6 – 7 = –13 V obeh primerih sta vrednosti leve in desne strani enačbe enaki, kar potrjuje pravilnost rešitve.
ALGEBRSKI IZRAZI IN ENAČBE
255