Æ povedati, kolikšna je vsota notranjih in zunanjih kotov štirikotnika Æ izračunati neznano velikost kota Æ načrtati štirikotnik
8.1 Štirikotnik
D
Vsota dvojic notranjih in zunanjih kotov v vseh štirih ogliščih štirikotnika je torej 4 · 180° = 720°. Če od te vsote odštejemo vsoto notranjih kotov, ki je 360°, ugotovimo, da je vsota zunanjih kotov poljubnega štirikotnika 360°.
Rok je našel štiri različne letvice in jih na vogalih spojil z žeblji. Dobil je model lika, letvice predstavljajo stranice, žeblji pa oglišča lika. Ker stranice niso bile močno pritrjene, je Rok odrezal še dve dodatni letvici in ju pritrdil med nasprotna oglišča.
C
c
d1 d
A VN CA LO IČI DE AZL R
NA A V IC LO Lbomo Znali IČ E D prepoznati Æ štirikotnik AZ Rter ga opisati
g
g1
d b
a1 A
a b a
a1 + b1 + g1 + d1 = 360°
b1 B
Kako se Rokov štirikotnik razlikuje od pravokotnika ali kvadrata? Kaj predstavljata dodatni letvici? Zapomnim si Rok je iz štirih letvic naredil model lika s štirimi stranicami in štirimi oglišči. Tak lik imenujemo štirikotnik. Pravokotnik in kvadrat sta posebna primera štirikotnikov, ki smo ju spoznali že v nižjih razredih, in se razlikujeta od Rokovega štirikotnika, saj imata nekatere stranice enako dolge, koti pa so vsi enaki in merijo 90°. Dodatni letvici, ki ju je Rok pritrdil med nasprotna oglišča, predstavljata diagonali štirikotnika. DOGOVOR označevanje diagonal C f D
D d1
B
g1 C
c
d e A
Oglišča A, B, C in D so točke, v katerih se stikata daljici. Stranice a, b, c in d so daljice med sosednjimi oglišči. Nosilke stranic so premice, na katerih ležijo stranice. Koti a, b, g in d so notranji koti štirikotnika. Sokoti notranjim kotom (a1, b1, g1 in d1) so zunanji koti štirikotnika. Nasprotni oglišči povezujeta diagonali štirikotnika e in f.
g
d e
e = AC, f = BD
b
f A a
1
a
b a
b1 B
Štirikotnik je ravninski lik, ki ima štiri stranice, štiri oglišča in štiri notranje kote. Vsota notranjih kotov štirikotnika je 360°, prav tako je vsota zunanjih kotov (po enega pri vsakem oglišču) je 360°.
Načrtovanje štirikotnikov Pred načrtovanjem narišemo skico, ki mora biti dovolj velika. Na skici označimo oglišča, stranice in kote. Diagonali narišemo, če sta med danimi podatki. Na skici označimo znane podatke. Nato pripravimo načrt načrtovanja, ki ga napišemo po korakih. Pri načrtovanju štirikotnikov nam bo pomagalo znanje, ki smo ga pridobili pri načrtovanju trikotnikov. Za načrtovanje poljubnega trikotnika potrebujemo 3 podatke, za načrtovanje štirikotnika pa zadošča 5 neodvisnih podatkov.
D
Pravilo za kote v štirikotniku najlažje poiščemo tako, da štirikotnik razdelimo na dva trikotnika, za katera pa vemo, da imata vsoto notranjih kotov 180°. Če seštejemo vsoto notranjih kotov obeh trikotnikov, dobimo:
D
a2 A
132°
a a1 b B
a1 + b + g1 + a2 + g2 + d = 360° a1 + a2 + b + g1 + g2 + d = 360° a
g
b
f
d
a A
b a
Neznana kota sta notranja kota v ogliščih A in C, običajno označena kot kota a in g. S pomočjo zunanjega kota v oglišču C lahko izračunamo pripadajoči notranji kot, če upoštevamo, da je vsota notranjega in zunanjega kota 180°. g = 180° – 72° g = 108°
C 72° g
g g1
ABC: a1 + b + g1 = 180° ACD: a2 + g2 + d = 180°
g2
d
Izračunajmo velikost neznanih notranjih kotov v štirikotniku.
C
d
D
C
g
Rešimo skupaj Zgled 1
Koti v štirikotniku
c
A
a
54°
B
Kot a v oglišču A izračunamo z upoštevanjem lastnosti, da je vsota notranjih kotov 360°. a = 360° – (b + g + d) a = 360° – 294° a = 66°
a + b + g + d = 360°
212
ŠTIRIKOTNIKI
ŠTIRIKOTNIKI
213
B