krožnice Æ trikotniku včrtati krožnico
6.6 Simetrale kotov in trikotniku včrtana krožnica
Rešimo skupaj Zgled 1
Kako je Špela določila središče takšnega kroga?
** Zgled 2
C
sa
sb b
a
SV rV
A
N
sg
c
Če torej narišemo simetrale vseh treh notranjih kotov trikotnika, dobimo središče največjega možnega kroga B znotraj trikotnika.
Zapomnim si Središče trikotniku včrtane krožnice je ena od znamenitih točk trikotnika.
Središče trikotniku včrtane krožnice SV je točka, ki je enako oddaljena od vseh treh stranic trikotnika in je presečišče simetral vseh treh notranjih kotov trikotnika. Polmer trikotniku včrtane krožnice rV je najkrajša razdalja med točko SV in poljubno stranico trikotnika.
C
A
sβ
a
b
sα
SV rV c
sγ
N
B
Načrtajmo trikotnik s podatki c = 5 cm, a = 30° in rV = 1 cm.
a) Narišemo skico in na njej označimo dane podatke (narišemo tudi polmer včrtane krožnice). b) Potek načrtovanja: C 1. narišemo stranico c in označimo oglišči A in B; g b a 2. v oglišču A odmerimo kot a = 30°; rv rv rv b 3. načrtamo simetralo kota a; a B c 4. v notranjosti trikotnika poiščemo točke, ki so od stranice c oddaljene za 1 cm (ležijo na vzporednici k stranici c); 5. točka, v kateri se sekata simetrala kota in vzporednica, je SV; 6. narišemo nosilko daljice SVB, ki je simetrala kota b (zato narišemo daljico SVB); 7. narišemo kot b ter v presečišču kraka kota a in kraka kota b označimo oglišče C. C a
Ugotovimo, da se vse tri simetrale kotov sekajo v eni točki. Ta točka je enako oddaljena od vseh treh stranic trikotnika in je središče trikotniku včrtane krožnice. Označimo jo SV. Razdalja od točke SV do stranice je polmer krožnice, ki jo trikotniku včrtamo. To je polmer trikotniku včrtane krožnice (rV). Ker je najkrajša razdalja točke od premice na premico pravokotna, je tudi rV pravokoten na stranico trikotnika. Trikotniku včrtana krožnica se dotika vseh treh stranic trikotnika.
Narišimo poljuben topokotni trikotnik in mu včrtajmo krožnico. 1. Narišemo poljuben trikotnik, ki ima en kot večji od 90°. 2. Načrtamo simetrale vseh treh notranjih kotov. 3. Označimo točko, v kateri se simetrale sekajo – SV. 4. Načrtamo pravokotnico iz SV na eno od stranic in presečišče označimo z N. |SVN| = rV – to je polmer včrtane krožnice. 5. Narišemo krožnico s središčem v SV A in polmerom rV.
Za šolsko zabavo je bilo potrebno izdelati okraske. Učenci so dobili pisan odpadni papir trikotnih oblik. Špela je želela iz vsakega trikotnika izrezati največji možni krog, torej takšnega, ki se dotika vseh robov trikotnega papirja.
Središče trikotniku včrtane krožnice je točka, ki je enako oddaljena od vseh treh stranic trikotnika. Vse točke, ki so enako oddaljene od dveh krakov kota, ležijo na simetrali kota. Če poiščemo simetrale vseh treh kotov, dobimo točko, ki je enako oddaljena od vseh treh stranic trikotnika.
A VN CA LO IČI DE AZL R
NA A V C LO LIČIbomo Znali E DÆ Zpoiskati središče RA trikotniku včrtane
sα
sα
b
sα
SV α
A
α
c
B A
c
SV
α B A
c
β B
Utrdim novo znanje
1 Načrtaj poljuben trikotnik (ostrokotni, pravokotni in topokotni) in mu včrtaj krožnico. Izmeri dolžino polmera trikotniku včrtane krožnice in jo zapiši.
2 Načrtaj trikotnik ABC in mu včrtaj krožnico.
a) a = 5 cm, b = 3 cm, c = 6 cm b) a = 4 cm, b = 3 cm, g = 100° * c) c = 5 cm, vc = 3 cm, a = 70° č) b = 4 cm, a = 60°, g = 80°
*3 V Ribnici Opekarska in Podgorska cesta tvorita trikotnik. Kako bi poiskali točko, ki je od ulic enako oddaljena?
180
TRIKOTNIKI
TRIKOTNIKI
181