Znali bomo
Æ poljuben lik prezrcaliti
čez točko
Æ našteti lastnosti zrcaljenja čez točko
Æ liku označiti središče simetrije
1.3 Zrcaljenje čez točko
Sedmošolci so se v šoli v naravi igrali remi Ker so pri matematiki ravno obravnavali zrcaljenje, so jim bile igralne karte še posebej zanimive Nikakor niso našli osi zrcaljenja, ugotovili pa so, da je karta po obratu za 180° videti popolnoma enako
Kakšna preslikava je uporabljena na igralnih kartah za remi?
Pri podobah na igralnih kartah res ne gre za zrcaljenje čez premico Karto pri obratu za 180° zavrtimo okrog točke, ki leži na preseku diagonal igralne karte
Vsi liki, ki sestavljajo podobo na igralni karti, so namreč preslikani čez eno samo točko Taka preslikava se imenuje zrcaljenje čez točko
Zrcaljenje točke čez točko
Skozi točki T in O narišemo premico
S šestilom odmerimo razdaljo |OT| in jo nanesemo na premico na drugi strani točke O
Na nasprotni strani točke O na premici označimo točko T' v presečišču loka in premice
T'
Točko T imenujemo original ali prvotna točka, točko O imenujemo središče zrcaljenja, točko T' pa zrcalna slika Točki T in T' sta na različnih straneh točke O
Velja IOTI = IOT'I
Zapis s simboli: ZO: T T'
Zapomnim si
zrcalna slika original T O T' Zrcaljenje čez točko O je preslikava, ki točko T preslika v točko T'. Točki O in T ležita na isti premici in točka O razpolavlja daljico TT'.
središče zrcaljenja
Velja |OT'| = |OT|
Zrcaljenje daljice čez točko
Zrcaljenje premice čez točko
Daljico AB zrcalimo čez točko S tako, da prezrcalimo krajišči daljice A in B Zrcalna slika daljice AB je daljica, ki jo omejujeta točki A' in B' |AB| = |A'B'| ZS: AB A'B'
Premico t zrcalimo čez točko S tako, da si najprej na premici t izberemo dve poljubni točki (na primer A in B) in ju čez točko S prezrcalimo v točki A' in B'. Zrcalna slika premice t je premica t', ki poteka skozi točki A' in B'
ZS: t t'
Zrcaljenje lika čez točko
Zrcaljenje kota čez točko
Trikotnik ABC zrcalimo čez točko T tako, da čez točko prezrcalimo oglišča trikotnika in jih nato povežemo Zrcalna slika trikotnika
ABC je trikotnik A'B'C'. Trikotnika ABC in A'B'C' sta skladna in enako orientirana
ZT: ABC A'B'C'
Kot a zrcalimo čez točko S tako, da čez točko prezrcalimo vrh kota ter dve točki, ki ležita vsaka na svojem kraku kota Zrcalna slika kota a je kot a ' Kota sta skladna
Če bi čez točko zrcalili vse točke na daljici AB bi vse prezrcaljene točke ležale na daljici z ogliščema A' in B'. Zato je dovolj, da prezrcalimo le krajišči daljice in ju nato povežemo.
Lastnosti zrcaljenja čez točko
– točke preslika v točke, premice v premice, daljice v daljice, kote v kote, like v like; – edina negibna točka je središče zrcaljenja;
– ohranja dolžine daljic;
– ohranja velikosti kotov;
– ohranja orientacijo;
– ohranja vzporednost in pravokotnost
S programi za dinamično geometrijo lahko preučujemo lastnosti zrcaljenja čez točko.
• Nariši daljico AB in jo prezrcali čez točko S Spreminjaj lego in dolžino daljice AB in opazuj prezrcaljeno daljico A'B'.
• Nariši poljuben lik in ga zrcali čez točko. Kaj lahko poveš o skladnosti in orientaciji originala ter prezrcaljene slike?