Æ našteti lastnosti zrcaljenja čez točko Æ liku označiti središče simetrije
1.3 Zrcaljenje čez točko
Zrcaljenje daljice čez točko B'
Sedmošolci so se v šoli v naravi igrali remi. Ker so pri matematiki ravno obravnavali zrcaljenje, so jim bile igralne karte še posebej zanimive. Nikakor niso našli osi zrcaljenja, ugotovili pa so, da je karta po obratu za 180° videti popolnoma enako.
Daljico AB zrcalimo čez točko S tako, da prezrcalimo krajišči daljice A in B. Zrcalna slika daljice AB je daljica, ki jo omejujeta točki A' in B'. |AB| = |A'B'| ZS: AB A'B'
A' S
A
Kakšna preslikava je uporabljena na igralnih kartah za remi?
B
Zrcaljenje premice čez točko B
A
t
Pri podobah na igralnih kartah res ne gre za zrcaljenje čez premico. Karto pri obratu za 180° zavrtimo okrog točke, ki leži na preseku diagonal igralne karte. Vsi liki, ki sestavljajo podobo na igralni karti, so namreč preslikani čez eno samo točko. Taka preslikava se imenuje zrcaljenje čez točko.
Premico t zrcalimo čez točko S tako, da si najprej na premici t izberemo dve poljubni točki (na primer A in B) in ju čez točko S prezrcalimo v točki A' in B'. Zrcalna slika premice t je premica t', ki poteka skozi točki A' in B'. ZS: t t'
S A'
B'
t'
Zrcaljenje točke čez točko Skozi točki T in O narišemo premico.
Zrcaljenje lika čez točko
T
B'
C' T C
T
ZT: ABC
B
T
a
V
A
Točko T imenujemo original ali prvotna točka, točko O imenujemo središče zrcaljenja, točko T' pa zrcalna slika. Točki T in T' sta na različnih straneh točke O. Velja IOTI = IOT'I. Zapis s simboli: ZO: T T'
Zapomnim si
O
središče zrcaljenja
T'
zrcalna slika
P R E S L I K AV E
A'B'C'
Zrcaljenje čez točko O je preslikava, ki točko T preslika v točko T'. Točki O in T ležita na isti premici in točka O razpolavlja daljico TT'. Velja |OT'| = |OT|.
T
A' V'
a' B'
Kot a zrcalimo čez točko S tako, da čez točko prezrcalimo vrh kota ter dve točki, ki ležita vsaka na svojem kraku kota. Zrcalna slika kota a je kot a'. Kota sta skladna. a a' ZT: a a'
Zapomnim si Lastnosti zrcaljenja čez točko
B'
A'
S programi za dinamično geometrijo lahko preučujemo lastnosti zrcaljenja čez točko.
A' S
S
– točke preslika v točke, premice v premice, A daljice v daljice, kote v kote, like v like; – edina negibna točka je središče zrcaljenja; – ohranja dolžine daljic; – ohranja velikosti kotov; – ohranja orientacijo; – ohranja vzporednost in pravokotnost.
A
B B'
a'
+
C
C'
S
+ A
16
B
A
Zrcaljenje kota čez točko
T'
T
S
B
A
O
original
A'
B'
+
O
Na nasprotni strani točke O na premici označimo točko T' v presečišču loka in premice.
Če bi čez točko zrcalili vse točke na daljici AB, bi vse prezrcaljene točke ležale na daljici z ogliščema A' in B'. Zato je dovolj, da prezrcalimo le krajišči daljice in ju nato povežemo.
Trikotnik ABC zrcalimo čez točko T tako, da čez točko prezrcalimo oglišča trikotnika in jih nato povežemo. Zrcalna slika trikotnika ABC je trikotnik A'B'C'. Trikotnika ABC in A'B'C' sta skladna in enako orientirana.
A'
+
O
S šestilom odmerimo razdaljo |OT| in jo nanesemo na premico na drugi strani točke O.
A VN CA LO IČI DE AZL R
NA A V IC LO Lbomo Znali IČ E D poljuben Æ lik prezrcaliti AZ Rčez točko
a
B
A'
• Nariši daljico AB in jo prezrcali čez točko S. Spreminjaj lego in dolžino daljice AB in opazuj prezrcaljeno daljico A'B'. • Nariši poljuben lik in ga zrcali čez točko. Kaj lahko poveš o skladnosti in orientaciji originala ter prezrcaljene slike? P R E S L I K AV E
17