KAKO RAZISKUJEM PRI MATEMATIKI 1. IZZIV – Razumem nalogo. Najprej s svojimi besedami povem, kaj razumem iz naloge, in zapišem svoja prva opažanja. Vprašam se: Kaj že vem? Kaj opazim? Katere podatke imam? Kaj se spreminja in kaj ostaja enako? Kaj naloga zahteva od mene?
2. VPRAŠANJE – Kaj želim raziskati? Iz svojih opažanj oblikujem raziskovalna vprašanja. Vprašam se: Kaj je zanimivo ali nenavadno in lahko raziščem? Kaj lahko primerjam, spreminjam, izračunam ali izmerim? Katere povezave ali zakonitosti lahko odkrijem? Ali lahko odkrijem kakšno splošno pravilo?
3. RAZISKOVANJE – Kako bom raziskoval/-a? Najprej oblikujem domnevo – kaj mislim, da bom odkril/-a. Nato načrtujem, kako bom to preveril/-a. Pri raziskovanju zbiram in urejam podatke, računam in merim, rišem skice, preglednice in grafe, primerjam različne primere in iščem povezave in pravila. Uporabim lahko tudi digitalna orodja. Vprašam se: Kako lahko podatke uredim, da bodo povezave bolj vidne? Katere primere moram preveriti?
4. UGOTOVITVE – Kaj sem odkril/-a? Svoje ugotovitve zapišem in odgovorim na raziskovalna vprašanja. Vprašam se: Kaj sem ugotovil/-a? Ali sem odgovoril/-a na raziskovalna vprašanja? Ali lahko svojo ugotovitev zapišem kot pravilo? Ali jo lahko posplošim? Ali se ujema z mojo začetno domnevo? Pomagam si lahko z začetki stavkov: Ugotovil/-a sem, da … Opazil/-a sem, da … Ko se … spremeni, se … Med … in … obstaja povezava … Za vse raziskane primere velja …
5. UTEMELJITEV – Zakaj to velja? Svojo ugotovitev razložim in utemeljim. Vprašam se: Zakaj moja ugotovitev velja? Ali lahko njeno pravilnost pokažem z računom, skico, tabelo ali grafom? Ali ugotovitev velja tudi za nove primere? Pomagam si lahko z začetki stavkov: Ugotovitev velja zato, ker … To lahko pokažem z … Ker velja …, lahko sklepam, da …
6. PREDSTAVITEV Raziskavo lahko predstavim s plakatom, ali napisanim poročilom. Pri predstavitvi pokažem svojo raziskovalno pot: • Izziv: Kaj sem raziskoval/-a? • Vprašanja: Kaj sem želel/-a ugotoviti? • Raziskovanje: Kako sem raziskoval/-a? • Ugotovitve: Kaj sem odkril/-a? • Utemeljitev: Zakaj moje ugotovitve veljajo? Uporabim tabele, grafe, skice, izračune in druge prikaze, ki pomagajo razumeti raziskavo.
250
SPIRALA - MATEMATIČNO RAZISKOVANJE 1. IZZIV Spirala se začne z 1 v sredini. Števila naraščajo po 1 in se ovijajo okoli središča v vedno večje kvadratne obroče: 1 · 1, 3 · 3, 5 · 5, 7 · 7 ... Opazim, da se na diagonalah se pojavljajo zanimiva zaporedja. Na eni diagonali so 1, 5, 17, 37 ..., na drugi so 1, 3, 13, 31 ... Opazim zanimivo lego kvadratov lihih števil 1, 9, 25 in 49. Kvadratni obroči imajo stranice z dolžinami: 3, 5 in 7.
37 36 35 34 33 32 31 38 17 16 15 14 13 30 39 18
5
4
3
12 29
40 19
6
1
2
11 28
41 20
7
8
9
10 27
42 21 22 23 24 25 26 43 44 45 46 47 48 49
2. VPRAŠANJE Odločim se za glavno raziskovalno vprašanje - katera so vogalna števila v kvadratnem obroču spirale. 3. RAZISKOVANJE Vogalna števila so števila v ogliščih kvadrata, ki jih najdemo v spirali. 37 36 35 34 33 32 31 38 17 16 15 14 13 30 39 18
5
4
3
12 29
40 19
6
1
2
11 28
41 20
7
8
9
10 27
42 21 22 23 24 25 26 43 44 45 46 47 48 49
Dolžina stranice Vogalna števila Pravilo zaporedja
3
5
7
3, 5, 7, 9
13, 17, 21, 25
31, 37, 43, 49
Vsak naslednji člen je za 2 večji od prejšnjega.
Vsak naslednji člen je za 4 večji od prejšnjega.
Vsak naslednji člen je za 6 večji od prejšnjega.
4. UGOTOVITVE Za stranico dolžine n (n je liho število) velja, da je največje vogalno število enako n2, vsako naslednje vogalno število pa je za (n – 1) manjše od prejšnjega. To bi pomenilo, če imamo dolžino stranice 9, je največje vogalno število 81, vsak predhodni člen je za 8 manjši. Vogalna števila so torej 81, 73, 65, 57. 5. UTEMELJITEV n = 9, zato je največji vogal 92 = 81 in 9 – 1 = 8.
65 64 63 62 61 60 59 58 57 66 37 36 35 34 33 32 31 56
Vogalna števila so: 81 81 – 8 = 73 81 – 16 = 65 81 – 24 = 57 Z računom in skico sem pokazal, da moja ugotovitev velja.
67 38 17 16 15 14 13 30 55 68 39 18
5
4
3
12 29 54
69 40 19
6
1
2
11 28 53
70 41 20
7
8
9
10 27 52
71 42 21 22 23 24 25 26 51 72 43 44 45 46 47 48 49 50 73 74 75 76 77 78 79 80 81
6. PREDSTAVITEV Do predstavitve lahko dostopaš na povezavi.
251