10 ENAČBE IN NEENAČBE
13. Hana je od svojega brata starejša 4 leta. Skupaj sta stara 26 let. Koliko je star vsak od njiju? 14. Lan je star 15 let, Ada pa 5 let. Koliko bo stara Ada, ko bo Lan star 75 let?
NEENAČBA
15. Mati, oče in sin so skupaj stari 84 let. Oče je 7 let starejši od matere, mati pa je stara trikrat toliko kot sin. Ali obstaja možnost, da je mati stara 36 let?
leva stran neenačbe desna stran neenačbe 3∙x+2<8 neenačaj
16. Dolžina pravokotnika je 7 cm večja od širine. Njegov obseg meri 34 cm. Kolikšni sta dolžina in širina pravokotnika?
leva stran neenačbe ima manjšo vrednost kot desna stran neenačbe
17. Daljica je razdeljena na tri dele. Drugi del je 3 cm daljši od prvega, tretji pa 5 cm krajši od drugega. Celotna daljica meri 25 cm. Koliko meri vsak del daljice?
Vrste neenačajev: < … je manj kot … ≤ … je manj ali enako kot …
Enačbo, ki ima neznanko prve stopnje (x ima stopnjo 1), imenujemo linearna enačba. Za množico rešitev linearne enačbe obstaja natanko ena od naslednjih možnosti: • enačba ima eno rešitev, • enačba nima rešitve (nerešljiva enačba), • enačbo reši vsako število iz osnovne množice (identična enačba). Rešeni primer A. Rešimo enačbo in zapišimo njeno množico rešitev; 8 = ℤ. a) 5x – 6 = 9 / + 6 5x – 6 + 6 = 9 + 6 5x = 15 / : 5 5 15 5∙x= 5
x=3
5 = {3}
b)
3x – 6 = 3x + 5 / – 3x –6 = 5
5 = {} Enačba nima rešitve.
Enačba ima natanko eno rešitev.
c)
2x + 7 = 56 : 8 + 2x 2x + 7 = 7 + 2x / –2x 2x – 2x + 7 = 7 + 2x – 2x 7=7
vsaj 3, najmanj 3, 3 ali več kot 3 x≥3
x x x
tehtnica ni v ravnovesju
največ 3, 3 ali manj kot 3 x≤3
> … je več kot … ≥ … je več ali enako kot …
več kot 3 x>3 manj kot 3 x<3
Rešeni primeri A. Rešimo neenačbo in zapišimo množico rešitev. a) 8 = ℕ0 b) 8 = ℕ0 y > –2 u ≤ –2
Število rešitev neenačbe je odvisno tudi od osnovne množice.
5 = {0, 1, 2 …} Neskončno mnogo rešitev. 5 = { } Nima rešitve. c) 8 = ℤ– č) 8 = ℤ x ≥ –3 z < 2
5 = {–3, –2, –1} 5 = {–2, –1, 0, 1 …} Tri rešitve. Neskončno mnogo rešitev.
B.
Rešimo neenačbo in zapišimo množico rešitev. Pomagajmo si s številsko premico. a) 8 = ℤ b) 8 = ℕ0 3x ≤ 6 –4z > –8
5=8 Vsako število iz osnovne množice 8 reši enačbo. Enačba je identična.
10
Reševanje neenačb in množica rešitev
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3
c) 8 = ℤ 2y > –7
–1 0 1 2 3 4 5
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
5 = {… –1, 0, 1, 2} 5 = {0, 1} 5 = {–3, –2, –1, 0, 1 …} Neskončno mnogo rešitev. Dve rešitvi. Neskončno mnogo rešitev. 18. Lija in Niko sta reševala enačbo 2x – 4 = x – 4. Lija je trdila, da ima enačba samo eno rešitev, Niko pa je trdil, da vsako število reši to enačbo. Kdo ima prav? Utemelji svojo odločitev. 19. Reši enačbe; 8 = ℤ. Katere enačbe so identične? (A) 8y + 6 = 7y + 9 (B) 2z – 3 = z – 3 + z
214
(C) 18 : 6 + x = x – 3 (Č) 5x – 1 = –5x – 1
C.
Za katere vrednosti neznanke x ∈ ℕ0, velja: a) 1 < x < 5
To je zapis dveh neenačb. Rešitve morajo zadoščati obema neenačbama. (D) 3v – 2v – 1 = –8 + v + 7 (E) 2a – 5 = 2a + 5
1<x<5 1 < x in x < 5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
5 = {2, 3, 4} Množico rešitev tvorijo naravna števila med številoma 1 in 5.
215