8 ŠTIRIKOTNIKI
D
A
Vsota velikosti notranjih kotov štirikotnika je 360°.
Vsota velikosti zunanjih kotov štirikotnika je 360°.
α + β + γ + δ = 360°
α1 + β1 + γ1 + δ1 = 360°
δ
α1 α2
γ1
C γ2 β
B
α = α1 + α2 γ = γ1 + γ2 △ACD … α1 + γ1 + δ = 180° △ABC … α2 + β + γ2 = 180°
Štirikotnik z diagonalo razdelimo na dva trikotnika. Vsota velikosti notranjih kotov štirikotnika je enaka vsoti velikosti notranjih kotov obeh trikotnikov. α1 + γ1 + δ + α2 + β + γ2 = = 180° + 180° = = 360° Upoštevamo, da je α1 + α2 = α in γ1 + γ2 = γ. α + β + γ + δ = 360°
D
δ1 δ
α1 α
A
C
β1
γ γ 1 β β1
B
Najprej izpišemo podatke in zapišemo, kaj moramo izračunati. Pri računanju velikosti neznanih kotov v štirikotniku si pomagamo s skico.
Štirikotnik α = 76° δ = 114° γ1 = 123° γ=? β=? δ1 = ?
α + β + γ + δ = 360° α + α1 = 180° β + β1 = 180° γ + γ1 = 180° δ + δ1 = 180°
Vsota velikosti vseh štirih parov notranjega in zunanjega kota je enaka 4 · 180° = 720°. (α + α1) + (β + β1) + (γ + γ1) + (δ + δ1) = 720° α + β + γ + δ + α1 + β1 + γ1 + δ1 = 720° 360° + α1 + β1 + γ1 + δ1 = 720° α1 + β1 + γ1 + δ1 = 720° – 360° α1 + β1 + γ1 + δ1 = 360°
Skica:
γ + γ1 = 180° γ + 123° = 180° γ = 180° – 123° γ = 57°
1.
α + β + γ + δ = 360° 76° + β + 57° + 114° = 360° 247° + β = 360° β = 360° – 247° β = 113°
C γ γ1
D δ1 δ
β
α A
δ + δ1 = 180° 114° + δ1 = 180° δ1 = 180° – 114° δ1 = 66°
B
Izračunaj velikosti neznanih kotov v štirikotnikih na skicah. a) D
Rešena primera
c)
C
D 63° δ
98°
126°
A. Izračunajmo velikosti označenih kotov štirikotnika ABCD na skici. D 93° C
γ 97° 53° A
164
β
B
a) Izračunajmo velikost kota γ. Kot γ je sovršni kot kotu 97°. Sovršna kota sta skladna, zato velja γ = 97°.
b) Izračunajmo velikost kota β. Uporabimo zvezo o vsoti notranjih kotov štirikotnika. α + β + γ + δ = 360° 53° + β + 97° + 93° = 360° 243° + β = 360° β = 360°– 243° β = 117°
8
B. Izračunajmo neznane velikosti kotov v štirikotniku ABCD, če zanj velja: α = 76°, δ = 114° in γ1 = 123°.
A
α
A 63°
α
B
D b)
A
2.
66°
108°
58°
B
δ
C
č)
D 128°
C 104°
C γ 70°
α1 69° A B
β
B
Izračunaj neznane velikosti kotov β, α1, β1, γ1 in δ1 v štirikotniku ABCD, če zanj velja: α = 60°, γ = 124° in δ = 73°.
165