1
Ulomek smo najprej krajšali s 4, nato pa še enkrat s 4. Seveda bi lahko že na začetku opazili, da sta števec in imenovalec deljiva s 16 in bi nalogo rešili v enem koraku.
1
6
1
5
3
5
3
5
1
5
1
a) 5 in 2 b) 7 in 3 c) 3 8 in 2 4 č) – 7 in 1000
V okrajšanem ulomku sta števec in imenovalec tuji števili.
1 1 < 5 2
6 1 > 7 3
3 8 >2 4
– 7 < 1000
V enostavnih primerih (kot so primeri a, b, c in č) lahko na pamet ocenimo, kateri ulomek je večji oziroma manjši.
1218
2
Okrajšajmo ulomek 2639 .
3
d) 5 in 7 2
Pri krajšanju velikih števil poiščemo največji skupni delitelj števca in imenovalca z Evklidovim algoritmom.
2 14 3 15 = 7 = 35 5 35
IČI
Tako je D(1218, 2639) = 203 in z njim okrajšamo ulomek.
Ker imata ulomka enak imenovalec, ju lahko primerjamo glede na velikost števca. 14
a
c
a
c
RA
Množica racionalnih števil je urejena z relacijo »biti manjši« oz. »biti večji«. a c Za ulomka b in d (b, d ∈ ℕ) velja natanko ena od treh možnosti:
NA
• prvi ulomek je večji od drugega b > d natanko tedaj, ko je ad > bc, • drugi ulomek je večji od prvega b < d natanko tedaj, ko je ad < bc,
LO V
a c • ulomka sta enaka b = d natanko tedaj, ko je ad = bc.
Na številski premici je slika večjega racionalnega števila desno, slika manjšega pa levo. Slike pozitivnih racionalnih števil so desno od koordinatnega izhodišča, slike negativnih racionalnih števil pa levo.
Zgled 11
Pri množenju neenakosti z negativnim številom se znak neenakosti obrne.
7
19
7
19
Primerjajmo po velikosti ulomka 10 in 28 ter še ulomka – 10 in – 28 .
7 7 ∙ 14 98 = = 10 10 ∙ 14 140 19 19 ∙ 5 95 = = 28 28 ∙ 5 140 98 95 7 19 7 19 Ker je 140 > 140 , je 10 > 28 , za negativna ulomka pa velja – 10 < – 28 .
Zgled 12
Izračunajmo iskani vrednosti. 3
a) 7 od 84 3
5
b) 6 od x je 15 5
= 7 · 84 = 6 · x = 15 =
3 ∙ 84 5∙x = 6 = 15 7
= 36 5x = 90 x = 18
Relacija je tranzitivna.
a c e a e c e < in f < 0, potem b ∙ f > d ∙ f b d
3
Skupni imenovalec obeh ulomkov je 22 ∙ 5 ∙ 7. Prvi ulomek razširimo s 14, drugega pa s 5:
a c c e a e < in d < f , potem b < f b d
Pri množenju neenakosti s pozitivnim številom se znak neenakosti ohranja.
2
Imenovalca razstavimo na prafaktorje: 10 = 2 ∙ 5, 28 = 22 ∙ 7.
Če na obeh straneh neenakosti prištejemo isto število, se neenakost ohrani (monotonost vsote).
a c e a e c e < in f > 0, potem b ∙ f < d ∙ f b d
c
ZL
a
DE
a c a e c e < , potem b + f < d + f b d
3
Do enakega spoznanja bi prišli po pravilu: b < d ⇔ ad < bc. 5 < 7 , ker je 2 ∙ 7 < 5 ∙ 3 oziroma 14 < 15.
Lastnosti relacije urejenosti
Za relacijo »biti manjši« in za relacijo »biti večji« veljajo naslednje lastnosti:
2
NA
Urejenost racionalnih števil
15
Ker je 35 < 35 , je 5 < 7 .
ZL
1218 6 ∙ 203 6 = = 2639 13 ∙ 203 13
IČI
1218 = 6 ∙ 203 + 0
CA
CA
2639 = 2 ∙ 1218 + 203
3
Za ulomka 5 in 7 nam vsakdanja izkušnja ni dovolj in si pomagamo z matematičnim znanjem. Ulomka razširimo na skupni imenovalec. Ker sta 5 in 7 tuji števili, je njun najmanjši skupni večkratnik 5 ∙ 7 = 35.
RA
Zgled 9
99
Primerjajmo ulomka med seboj.
LO V
Zgled 8
Zgled 10
32 Okrajšajmo ulomek 48 . 32 : 4 8 : 4 2 = = 48 : 4 12 : 4 3
DE
98
Zgled 13
Erika in Fiona si razdelita nagrado v znesku 195 € v razmerju 7 : 6. Koliko dobi Erika in koliko Fiona, če je Fiona zaslužila manjši znesek? 7
7
7 ∙ 195 = 105. 13
6
6
6 ∙ 195 = 90, kar bi dobili tudi kot razliko 13
Erika dobi 13 od 195 €, kar znaša 13 ∙ 195 = Fiona dobi 13 od 195 €, kar znaša 13 ∙ 195 = 195 € – 105 € = 90 €.