Ulomki
Spoznali boste: Ű množico racionalnih števil,
Ulomek je sestavljen iz števca, ulomkove črte in imenovalca. Imenovalec je naravno število in pove, na koliko delov smo razdelili celoto, števec pa je celo število in pove, koliko teh delov smo izbrali.
V množici celih števil ℤ lahko neomejeno seštevamo, odštevamo in množimo, rezultat je vedno celo število. Pri deljenju dveh celih števil pa v splošnem ni več tako.
Ű lastnosti ulomkov,
Za ulomke veljajo naslednje trditve:
Ű kdaj sta dva ulomka ekvivalentna.
• Vsako celo število a lahko zapišemo z ulomkom: a = 1 .
LO V
Bibi praznuje rojstni dan skupaj z očetom, mamo, dedkom, babico, dvema bratoma in prijateljico Doro. Mamica ji je spekla torto. Ko je Bibi upihnila vseh 15 svečk, je z nožem prerezala torto na pol, nato vsako polovico na pol in nato še enkrat na pol. Koliko delov je dobila? Dobila je 8 enakih delov. Če torto razdelimo na 8 enakih delov, dobimo 8 osmin.
RA
ZL
}
Množica racionalnih števil je razširitev množice celih števil.
100 ℕ 2 1 0
2 3
–2
ℤ
–45
5
–7
ℕ⊂ℤ⊂ℚ
Zgled 3
3 16
ℚ
NA
:
{a
ℚ = b ; a ∈ ℤ, b ∈ ℕ
količnik kvocient
a a:b= b
a ∈ ℤ, b ∈ ℕ
Zgled 2
Ekvivalentna ulomka sta različna zapisa za isto racionalno število. Množico vseh racionalnih števil označimo s ℚ.
LO V
ulomkova črta imenovalec
c
IČI
IČI
ZL
RA
števec
delitelj divizor
a
Ulomka b in d predstavljata isto racionalno število (sta ekvivalentna) a c = ⇔ ad = bc b d
NA
a b
deljenec dividend
a
• Ulomek 0 nima pomena, saj vemo, da ne smemo deliti z nič.
natanko takrat, ko je ad = bc.
Ker pri deljenju celega števila s celim številom ne dobimo vedno spet celega števila (operacija ni notranja), množico celih števil razširimo na množico racionalnih števil. Ta zapišemo z ulomki. V naslednjem razdelku bomo pokazali, da je rezultat pri seštevanju, odštevanju, množenju in deljenju ulomkov tudi ulomek (operacije so notranje). Pri deljenju je še omejitev – delitelj mora biti različen od nič. To pomeni, da bi bil problem iz zgleda rešljiv, če bi babica rezala bombone; kar pa običajno ne počnemo.
0
• Vrednost ulomka b (b ≠ 0) je nič.
2
8
Določimo neznanko x tako, da bosta ulomka 7 in x ekvivalentna. 2 8 = 7 x
2x = 7 ∙ 8 2x = 56
DE
Da, če je a večkratnik števila b, in ne, če ni.
Zapišimo potrebni in zadostni pogoj. Zmnožimo. Izračunamo.
x = 28
1
1
1
2∙ 4 = 2
1 7 + =1 8 8
95
a
CA
K babici Mici priteče b njenih vnukov in jo prosi za bonbone. Babica odpre omaro, v kateri ima vedno shranjeno kakšno dobroto, in iz vrečke potegne a bonbonov. Ali babica Mici lahko razdeli otrokom bonbone tako, da jih bodo dobili vsi enako?
CA
Zgled 1
DE
94
Če ima ulomek pozitiven števec, je pozitiven, če ima negativen števec, je negativen.
Križno množenje a c = ⇔ ad = bc b d
Če sta dva ulomka enaka, števec enega ulomka množimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo isto celo število.