92
93
4 Racionalna števila
Pisarji pri delu (relief iz egipčanske grobnice)
Egipčanski ulomki
1 2
2 3
3 4
1 6
Predstavljeno je število 1333 331.
1 10
1 249
CA
n
IČI
ZL
Drugi znani in še nekoliko starejši je Moskovski papirus, ki je imenovan po zdajšnji lokaciji. Nahaja se v zbirki Puškinovega državnega muzeja lepih umetnosti v Moskvi. Vladimir Golemiščev ga je leta 1892 ali 1893 kupil v Tebah. Besedilo je bilo zapisano v trinajsti egipčanski dinastiji leta 1850 pr. Kr. Iz zapisov so egiptologi spoznali, da so stari Egipčani znali računati ploščino trikotnika. Pitagorovega izreka niso poznali, koristili pa so vrv s 3 + 4 + 5 vozli, ki omogoča konstrukcijo pravokotnega trikotnika. Matematični simboli so v Moskovskem in v Rhindovem papirusu enaki.
RA
Vse znanje o egipčanski matematiki izhaja iz že omenjenega Rhindovega ali Ahmesovega papirusa, ki je shranjen v Britanskem muzeju v Londonu. Škotski arheolog in starinar Alexander Henry Rhind je namreč ta papirusov zvitek leta 1858 kupil v Luksorju v Egiptu. Zvitek je približno pol metra širok in 5,5 m dolg. Več pomembnih delov je manjkalo. K sreči so jih leta 1922 našli v ameriških arhivih v New Yorku, kjer so jih poznali kot znamenite zdravniške papiruse. Na papirusu so matematične tabele za računanje ploščin raznih likov, postopki za delo z ulomki, elementarna zaporedja, linearne enačbe, geometrijski problemi in obširni podatki o merjenjih. Znano je, da so Egipčani veliko pozornosti posvečali geometiji. Redna velika
NA
Egipčani so poznali več postopkov za take razdelitve ulomkov. Za nekatere ulomke so imeli kar tablice in pri računanju z njimi so bili zelo spretni.
n
V Rhindovem papirusu najdemo tudi prve znane simbole za matematične operacije. Plus so , ki hodi naprej, označevali s parom nog , ki hodi nazaj, rezultat minus s parom nog operacije so označevali z najstarejšim znanim , neznanko pa z . znakom za enačaj
a 1 1 = + ab – 1 b b(ab – 1)
LO V
)
razlitja Nila so vsako leto izbrisala meje zemljiških posestev in določiti jih je bilo treba vedno znova. Tudi gradnja veličastnih svetišč in piramid je zahtevala veliko znanja s področja geometrije.
1 1 1 = + n n + 1 (n + 1)n 2 1 1 1 1 = + + + n n 2n 3n 6n n 1 1 = + pq p(p + q) q(p + q)
Rhindov papirus
DE
CA
IČI
NA
DE
LO V
Opazimo, da je bila osnova v egipčanskem številskem sistemu 10. Torej so uporabljali desetiški (dekadni) številski sistem, kakršnega poznamo tudi danes.
(
2 1 1 2 1 1 = + 99 = 66 + 198 7 4 28 2 1 1 1 = + + 97 56 679 776
RA
Število 1 so pisali z vertikalno črto (kot palica). Z znakom podkve so zapisali število 10. Ovita vrvica je predstavljala število 100, lotosov cvet 1000, ukrivljen palec 10 000, kuščar 100 000, človek z dvignjenima rokama pa 1000 000.
Posebno zanimivo so stari Egipčani pisali ulomke. Pri nobeni drugi civilizaciji ne najdemo ničesar podobnega. Ulomke s števcem ena so pisali tako, da so nad vrednostjo imenovalca narisali odprta usta. Samo za nekatere ulomke 14 , 12 , 23 in 34 so imeli posebne znake. Ulomke, pri katerih števec ni bil ena, so redno podajali kot vsoto ulomkov s števcem ena. Tako so na Rhidnovem papirusu (1650 pr. Kr.) zapisani ulomki:
ZL
V egipčanskih zapisih, starih več kot 5500 let, so našli numerični sistem, ki je omogočal zapisovanje poljubno velikih števil. Egipčani so uporabljali štiri različne materiale, na katere so zapisovali hieroglife. Eden od teh je bil kamen, ki so ga dobivali iz kamnolomov ob reki Nil. Drugi je bil papirus, ki so ga izdelovali iz stebel papirusovega trsja. Zadnja dva materiala sta bila les in kosi gline. Pisanju so posvečali veliko skrb in hieroglife so zapisovali z veliko vestnostjo.
V današnji moderni pisavi bi bile te formule videti takole:
Del Moskovskega papirusa (dolžine 5,5 m in širine od 3,8 cm do 7,6 cm), ki prikazuje postopek za računanje prostornine prisekane piramide.
Vrv s 3 + 4 + 5 vozli.