Zapišimo najbolj enostaven izraz, ki deli vse tri izraze in najbolj enostaven izraz, ki je deljiv z vsemi tremi izrazi: a3 + 8, a2 + 4a + 4 in a2 – 7a – 18. Izraze najprej razstavimo: a3 + 8 = (a + 2)(a2 – 2a + 4)
ZL
Na oba načina dobimo enak rezultat, vendar je drugi način hitrejši.
IČI
• Po formuli: 60 = 22 · 3 · 5; zato je τ(60) = (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 12
τ(n) = (m1 + 1)(m2 + 1) · … · (mk + 1), če je n = ρ1m1 · ρ2m2 · … · ρkmk; pi so praštevila, mi pa potence teh praštevil v praštevilskem razcepu števila n. τ je grška črka, ki jo preberemo tau.
Pravi delitelji števila so delitelji, ki so manjši od danega števila.
• σ(35) = 1 + 5 + 7 = 13 < 35
Vsoto pravih deliteljev števila n označimo s σ(n).
RA
Izračunajmo vsoto pravih deliteljev za števila 35, 60 in 28. Ali je katero izmed teh števil popolno? • σ(60) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 10 + 12 + 15 + 20 + 30 = 108 > 60
σ je grška črka, ki jo preberemo sigma.
V zadnjem primeru je vsota pravih deliteljev enaka prvotnemu številu, zato je 28 popolno število.
Število je popolno, če je vsota pravih deliteljev enaka prvotnemu številu.
Zgled 8
LO V
NA
• σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Video razlaga posebnih števil
Preverimo, ali sta števili 220 in 284 prijateljski. 220 2 284 2 110 2 142 2 55 5 71 71 11 11 1 1
Števili a in b sta prijateljski števili, če je vsota pravih deliteljev števila a enaka številu b in obratno, če je vsota pravih deliteljev števila b enaka številu a.
• Število 220 = 22 · 5 · 11 ima 12 deliteljev, njihova vsota je enaka: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. • Število 284 = 22 · 71 ima 6 deliteljev, njihova vsota je enaka: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Iz tega sledi, da sta števili 220 in 284 prijateljski.
Zgodba pravi, da so nekoč Pitagoro vprašali, kako bi opisal pravega prijatelja. Slavni matematik in filozof naj bi odgovoril: »Prijatelj je kot drugi jaz, kot število 220 številu 284.« Drugi prijateljski par (17 296, 18 416) je leta 1636 našel francoski matematik Pierre de Fermat. Do danes so našli že več kot 4300 parov prijateljskih števil.
379. Dana števila zapišite kot produkt praštevil in za posamezne pare števil zapišite največji skupni delitelj. a) 15, 24 b) 21, 26 c) 36, 56 č) 136, 204 d) 126, 144 e) 119, 209 f) 1242, 1224 g) 1512, 1656 380. Zapišite najmanjših osem skupnih deliteljev števil 180 in 450.
386. Z Evklidovim algoritmom poiščite največji skupni delitelj števil 6636 in 5124. Nato zapišite vse njune skupne delitelje. 387. Računsko utemeljite, ali sta števili 25 321 in 53 124 tuji.
CA
• Z naštevanjem: delitelji so 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 – skupaj jih je 12.
Število deliteljev lahko izračunamo po formuli:
CA
Zapišimo število deliteljev števila 60.
378. Naj bo k poljubno naravno število. Izpišite pravilne trditve. A: Števili k in k + 1 sta vedno tuji. B: Števili 2k in 2(k + 1) sta tuji. C: Števili 2k – 1 in 2k + 1 sta tuji. Č: Praštevilo in sestavljeno število sta vedno tuji.
388. Dana števila zapišite kot produkt praštevil in za posamezne pare števil zapišite najmanjši skupni večkratnik. a) 18, 27 b) 33, 42 c) 91, 145 č) 104, 156 d) 54, 90 e) 124, 174 f) 576, 864 g) 493, 703
IČI
2
ZL
2
RA
2
v(a + 8, a + 4a + 4, a – 7a – 18) = (a + 2) · (a – 2a + 4) · (a – 9)
Zgled 7
385. Z Evklidovim algoritmom poiščite največji skupni delitelj danih parov števil. a) 96, 78 b) 18, 86 c) 135, 111 č) 237, 431 d) 357, 453 e) 1749, 2552
NA
Sledi: D(a3 + 8, a2 + 4a + 4, a2 – 7a – 18) = a + 2
Zgled 6
376. Zapišite vse delitelje števila 72 in prvih deset večkratnikov števila 12.
381. Zapišite največjih pet skupnih deliteljev števil 72 in 108.
LO V
a2 – 7a – 18 = (a – 9)(a + 2) 2
Naloge
377. Zapišite v in D najmanjšega praštevila in najmanjšega sestavljenega števila.
a2 + 4a + 4 = (a + 2)2
3
85
382. Dani sta števili 630 in 2025. a) Zapišite ju kot produkt praštevil. b) Zapišite njun največji skupni delitelj. c) S katerimi večkratniki števila 45 je deljivo število 2025?
DE
Zgled 5
DE
84
383. Zapišite največji skupni delitelj števil 1680 in 2700 ter štiri njune največje skupne delitelje. 384. Dana števila zapišite kot produkt praštevil in nato zapišite njihov največji skupni delitelj. a) 120, 168, 192 b) 432, 648, 288 c) 148, 333, 444 č) 162, 252, 423, 630
389. Za dane pare števil zapišite največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik. a) 76, 44 b) 153, 68 c) 59, 413 č) 369, 551 d) 448, 378 e) 4350, 9450
390. Zapišite naravna števila a, b, c in d (d < 50). a) D(24, 28) = a b) v(24, 28) = b c) v(24, c) = 96 č) D(24, d) = 12 Zapišite vse možnosti. 391. Dana števila zapišite kot produkt praštevil in za posamezne trojice števil zapišite največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik. a) 28, 32, 52 b) 112, 120, 144 c) 336, 560, 1080 č) 450, 1155, 1470