Zgled 6
Liha naravna števila so n = 2k – 1; k ∈ ℕ.
Ű osnovni izrek o deljenju naravnih števil.
• n2 = (2k – 1)2 = 4k2 – 4k + 1 = 4(k2 – k) + 1 Sledi, da trditev velja pri deljenju s 4. • n2 = 4(k2 – k) + 1 = 4(k – 1)k + 1 Vemo, da je produkt dveh zaporednih naravnih števil (torej (k – 1)k) deljiv z 2, zato je produkt 4(k – 1)k deljiv z 8 in trditev velja pri deljenju z 8.
Če dve naravni števili a in b (a > b) nista v relaciji deljivosti, se deljenje števila a s številom b ne izide. V takem primeru pri deljenju dobimo ostanek, ki je manjši od delitelja.
Zgled 7
Števili 20 in 5 sta v relaciji deljivosti, ker je 20 = 4 · 5, števili 21 in 5 pa ne, ker pri deljenju 21 s 5 ostane 1 oz. 21 = 4 · 5 + 1.
LO V
Pri deljenju nekega števila n s 13 dobimo kvocient 7 in ostanek 8. Katero število smo delili? Zapišimo osnovni izrek o deljenju: n = k · m + r in uporabimo podatke: n = 7 · 13 + 8 = 99.
b4 = 5 · 7 · 23 = 805
b8 = 7 · 23 = 161
IČI
b7 = 5 · 23 = 115
RA
Napišimo vse možne ostanke, če z 8 delimo sodo število n, ki je kvadrat nekega števila. • Če je k sodo število: n = (2k)2 = (2 · 2m)2 = 16m2; ostanek pri deljenju z 8 je 0. • Če je k liho število: n = (2k)2 = (2(2m – 1))2 = (16m2 – 16m + 4) = 8(2m2 – 2m) + 4; ostanek pri deljenju števila n z 8 je v tem primeru 4.
Naloge
DE
Očitno je teh števil neskončno mnogo, prvih nekaj pa je 2, 7, 12, 17, 22 … Janez je ob 7.00 odšel v hribe na daljšo turo in se vrnil čez 84 h. Ob kateri uri je prišel domov in koliko dni ga ni bilo? 84 = 3 · 24 + 12 Domov je prišel ob 19.00, zdoma je bil 3 dni in pol. Zgled 5
b3 = 5 · 5 · 23 = 575
354. Števila 15, 21, 37, 64, 95 delite s številom 5. Zapišite račune v obliki osnovnega izreka o deljenju naravnih števil.
Zapišimo vsa naravna števila, ki pri deljenju s 5 dajo ostanek 2. Spet si pomagamo z osnovnim izrekom o deljenju: n = 5 · m + 2; m ∈ ℕ0.
Zgled 4
b6 = 5 · 7 = 35
Če je n = m2 sodo, je tudi m sodo število. m zapišemo kot 2k, kjer je k sodo ali liho število.
Števili 68 in 17 sta v relaciji deljivosti, ker se deljenje števila 68 s številom 17 izide. Dobimo kvocient 4 in ni ostanka oziroma 68 = 4 · 17 + 0.
Zgled 3
b2 = 5 · 5 · 7 = 175
NA
RA
Zgled 8
NA
Števili 52 in 15 nista v relaciji deljivosti, zato ker pri deljenju števila 52 s 15 dobimo kvocient 3 in ostanek 7 oz. 52 = 3 · 15 + 7.
Zgled 2
b5 = 5 · 5 = 25
Po osnovnem izreku o deljenju naravnih števil mora veljati b > r, zato posamezni prafaktorji 5, 7 in 23 ne morejo biti iskani delitelji. Vseh deliteljev je tako osem; b1–b8.
Poglejmo, ali sta dani števili v relaciji deljivosti:
b) 68 in 17
b1 = 5 · 5 · 7 · 23 = 4025
ZL
IČI
ZL
a = k · b + r; 0 ≤ r < b; a, b ∈ ℕ; k, r ∈ ℕ0
a) 52 in 15
CA
Od tod dobimo k · b = 4025 in število 4025 zapišemo kot produkt prafaktorjev. 4025 = 5 · 5 · 7 · 23. Vse iskane delitelje bomo dobili s kombiniranjem teh prafaktorjev:
Če naravno število a delimo z naravnim številom b, dobimo dve enolično določeni naravni števili: prvo je kvocient ali količnik k, drugo pa ostanek r, ki je nenegativen in manjši od delitelja b.
Zgled 1
Izračunajmo, koliko je takih deliteljev števila 4049, da je ostanek pri deljenju enak 24. Najprej napišemo osnovni izrek o deljenju s podatki iz naloge: 4049 = k · b + 24.
CA
Osnovni izrek o deljenju naravnih števil
Pokažimo, da je ostanek pri deljenju kvadrata lihega naravnega števila s 4 ali z 8 enak 1.
LO V
Osnovni izrek o deljenju
Spoznali boste:
DE
78
Matic sedi na vrtljivem stolu in je obrnjen proti vzhodu. Urša ga zavrti v nasprotni smeri vrtenja urnih kazalcev za 1350°. V katero smer je zdaj obrnjen Matic? 1350 = 3 · 360 + 270 Matic je obrnjen proti jugu, saj ga je Urša zavrtela za 3 polne obrate in še 3 obrata. 4
355. Katere ostanke lahko dobimo pri deljenju naravnega števila n s številom 4? Video razlaga naloge
356. Zapišite po osnovnem izreku o deljenju in iskano število tudi izračunajte: Če število n delimo s 6, dobimo kvocient 4 in ostanek 3.
357. Zapišite prvih 5 naravnih števil, ki dajo pri deljenju s 7 ostanek 4. 358. V množici celih števil na dva različna načina zapišite množici: a) večkratnikov števila 5, b) vseh celih števil, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 1. 359. Zapišite praštevila v določeni obliki, za k ∈ ℤ+. a) 13, 73, 229, 501 v obliki 4k + 1 b) 183, 283, 463, 523 v obliki 4k + 3 c) 7, 427, 199, 187 v obliki 6k + 1 č) 11, 119, 197, 257 v obliki 6k + 5
79