T2: Število 74 ima štiri delitelje (1, 2, 37, 74), število 92 ima šest deliteljev (1, 2, 4, 23, 46, 92), prav tako število 98 (1, 2, 7, 14, 49, 98).
LO V
332. Zapišite vse delitelje števil. a) 30 b) 57 c) 61 č) 108 d) 282 e) 283
NA
331. Zapišite praštevilski razcep. a) 72 b) 116 c) 765 č) 1485 d) 3240 e) 35 010
RA
Naloge
ZL
Odgovor: Iskano število je 74.
DE
333. Naj bo A množica vseh deliteljev števila 30 in B množica vseh praštevil, ki so manjša od 30. Zapišite elemente množic A , B, A ∩ B in A ∪ B 334. Preverite, ali je mogoče število 2025 zapisati kot vsoto dveh praštevil. 335. Vsota lihega in sodega praštevila je p1 + p2 = 7531. Izračunajte produkt p1 · p2. 336. Zapišite najmanjša števila, ki so deljiva z: a) 2 in 7, b) 2, 3 in 5, c) 3, 5 in 12, č) 12, 15 in 18.
337. S katerimi potencami števila 2 so deljiva števila: 24, 160, 384, 5120? 338. S katerimi večkratniki števila 3 so deljiva števila: 42, 45, 144, 162? 339. Kateri večkratniki števila 9 so delitelji števila 504? 340. S števkami 1, 3, 5, 7 in 9 zapišite vsa trimestna števila, ki so: a) deljiva s 5, b) deljiva z 9, c) deljiva s 3 in ne z 9. Vsaka števka se v posameznem številu lahko pojavi največ enkrat.
345. Pokažite, da je za vsako naravno število n > 2 izraz 3n3 + 3n2 – 18n sestavljeno število, in zapišite vse njegove delitelje. 346. Dan je izraz 4a – (2 – a)2 – (3 – a)(a + 6). a) Pokažite, da je za poljubno naravno število a, ki je večje od 2, vrednost izraza večkratnik števila 11. b) Za katera naravna števila a je vrednost izraza sestavljeno število? c) Za katero naravno število a je vrednost izraza praštevilo?
CA
344. Zapišite vse izraze, ki delijo dane izraze. b) 4a2b a) 3x2 č) x2 – 11x – 42 c) a2 + 7a + 10 2 e) 27y2 – 3x2 d) 20 + 21u + u
351. Slavni švicarski matematik Euler je znan po formuli p(n) = n2 + n + 41, s katero lahko izračunamo 40 zaporednih praštevil za n ∈ {0, 1, 2, 3, …, 39}. Zapišite nekaj od teh praštevil in ugotovite, zakaj pri n = 40 ne dobimo praštevila.
IČI
IČI
T4: Vsota števk je dvomestno praštevilo le pri številih 74, 92 in 98.
350. Pokažite, da je vsota treh potenc števila 2, katerih eksponenti so zaporedna liha naravna števila, deljiva z 21.
ZL
CA
T6: Opustimo vsa števila, kjer ena od števk ni popoln kvadrat. Tako ostanejo 14, 34, 74, 92 in 98.
349. Preverite, katera od števil 2010, 2011, …, 2029 so praštevila.
RA
T3: Izločiti moramo vse števke, pri katerih število ba ni praštevilo, torej vse sode vrednosti števke a in števko 0 pri b. Tako ostanejo kandidati za iskano število števke a ∈ {1, 3, 5, 7, 9} in b ∈ {2, 4, 6, 8}. Med njimi izberemo vsa praštevila: 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89 in števki zapišemo v obratnem vrstnem redu: 32, 92, 14, 34, 74, 16, 76, 38 in 98.
343. Namizni prt ima dimenzije a · b v cm2. Število a je najmanjše 3-mestno praštevilo, b pa največje dvomestno praštevilo. Izračunajte, koliko kvadratnih centimetrov blaga je potrebno kupiti, če števili zaokrožimo navzgor na najbližje desetice.
NA
T1: Število je sodo, zato izločimo vsa števila z lihim b. Ostanejo števke a ∈{1, 2, 3, …, 9} in b ∈ {0, 2, 4, 6, 8}.
348. Dan je izraz (n – 4)(n + 5) – (n – 4)2 + 9. a) Poenostavite dani izraz. b) Ali je za vsako naravno število n vrednost izraza večkratnik števila 9? c) Pokažite, da je za poljubno liho celo število vrednost izraza deljiva z 18.
342. Širina š in dolžina d bazena sta faktorja števila 408, širina je praštevilo, večje od 10. Izračunajte dolžino in širino bazena.
LO V
Ker je iskano število manjše od 100 (T5), bomo dobili rešitev v obliki ab, kjer velja a ∈ {1, 2, 3, …, 9} in b ∈ {0, 1, 2, …, 9}. V zaporednih korakih bomo ožili možnosti za posamezne števke in tako prišli do iskanega števila.
347. Dan je izraz (2n – 1)2 – (3 – n)(2n + 4) – 1. a) Pokažite, da je za poljubno število n ∈ ℕ vrednost izraza večkratnik števila 6. b) Za katera števila n ∈ ℕ je vrednost izraza sestavljeno število? c) Za n = 100 izračunajte, koliko deliteljev ima vrednost izraza.
352. V programu GeoGebra faktorizirajte števila 111 111 111 111, 222 222 222 222, …, 999 999 999 999. Uporabite ukaz PraštevilskiRazcep(n). 353. Francoski matematik Fermat je postavil n trditev, da so vsa števila oblike 22 + 1 praštevila. Pokažite, da to velja za n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, za n = 5 pa ne.
DE
76
341. Knjiga ima 435 strani. Ester prebere vsak dan enako število strani. Število prebranih strani je praštevilo, večje od 20. Izračunajte, koliko dni bo potrebovala za branje. Enična števila
77