310. Naj bosta m in n (m > n) naravni števili, ki se razlikujeta za 2. Pokažite, da je razlika kvadratov teh dveh števil deljiva s 4.
322. Števila 100 111(2), 101 010(2) in 1 100 101 100(2) zapišite v desetiškem sestavu.
IČI
ZL
323. Števili 1333(5) in 1415(8) zapišite v desetiškem sestavu. 324. Izračunajte 347(8) + 132(4) – 415(6) = X(5).
RA
311. Pokažite, da je število n3 – 3n2 + 2n deljivo s 6 za n > 3.
NA
312. Če je vsota treh zaporednih naravnih števil liho število, pokažite, da je produkt teh treh števil deljiv s 24.
LO V
313. Pokažite, da je razlika dveh dvomestnih števil, ki imata zamenjan vrstni red števk, deljiva z 9. 314. Dan je izraz: (1 – 2a)2 – (a + 1)(2a – 1) – 1. a) Poenostavite izraz. b) Pokažite, da je za poljubno liho naravno število a vrednost izraza sodo število.
315. Pokažite, da je za poljubno naravno število n vrednost izraza (1 + n)3 + (3n + 5)(n + 1) deljiva s 6. 316. Zapišite v desetiškem sestavu. b) 11010(2) c) 110101(2) a) 1011(2) č) 11100011(2) d) 1110110100(2) e) 1102(5) f) 2015(6) g) 3352(6) 317. Zapišite v dvojiškem sestavu. a) 23 b) 77 c) 90 č) 167 d) 245 e) 1001
325. Vzemite poljubno trimestno število abc in dokažite, da je število abcabc deljivo z 11, 13, 77, 91, 143 in 1001. 326. Zapišite vsa dvomestna števila z lastnostjo: če med njuni števki vrinemo ničlo, dobimo trimestno število, ki je devetkratnik prvotnega dvomestnega števila. 327. Zapišite dvomestno število, ki je petkratnik vsote svojih števk.
CA
321. Zapišite število 3589 v številskem sestavu z osnovo 2, 5 in 8.
Tabela praštevil do 1000
330. Izračunajte števki a in b dvomestnega števila ab, da je ab – ba = 72. Dodatne naloge
Ű osnovni izrek aritmetike.
V tem učbeniku bomo množico vseh praštevil označevali s ℙ.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 501, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 V poudarjenem tisku so napisana števila, iz katerih dobimo praštevilske dvojčke. To so pari zaporednih praštevil.
Zgled 1
Zapišimo, ali so dana števila praštevila ali sestavljena števila. a) 431 je praštevilo (najdemo ga v tabeli). b) 2500 = 2 · 1250 = 2 · 5 · 250 = 2 · 25 · 50 = 502; 2500 je sestavljeno število.
328. Zapišite dvomestno število, ki je dvakratnik produkta svojih števk. 329. Zapišite 4-mestno število, ki ima enaki prvi dve števki in enaki zadnji dve števki in je popoln kvadrat.
Ű da je praštevil neskončno,
IČI
309. Katera od števil 231, 336, 1001, 19 481 in 253 957 so deljiva z 11?
Vsa naravna števila lahko glede na število deliteljev razdelimo na tri skupine. • V prvi skupini je število 1, ker ima le en delitelj – samega sebe. • V drugi skupini so števila, ki imajo natanko dva delitelja: 1 in samega sebe – to so praštevila. Prvo in najmanjše praštevilo je 2 in je edino sodo praštevilo. • V tretji skupini so števila, ki imajo več kot dva delitelja – to so sestavljena števila.
Ű kaj so praštevila in kaj sestavljena števila,
ZL
320. Števila 59, 187 in 870 zapišite v dvojiškem sestavu.
73
RA
308. Izračunajte neznani števki a in b, če veste, da je število 5a89b deljivo z 72.
Spoznali boste:
NA
319. Pozanimajte se, katere vse številske sestave se uporablja v današnjem času in katere številske sestave se je uporabljalo v preteklosti.
LO V
307. Janezku je zadnji dve števki 5-mestnega števila 372xy počečkal bratec, da nista vidni. Kateri števki sta to, če je Janezkovo število deljivo s 3, 4 in 5.
Praštevila in sestavljena števila
DE
318. Števili 10111(2) in 1111011(2) zapišite v osmiškem sestavu.
CA
306. Zapišite vse vrednosti števk a in b, da bo število 4a1235b deljivo s 36.
DE
72
c) 1999 je praštevilo.
č) 2025 = 452 = 34 · 52; 2025 je sestavljeno število. Zgled 2
Zapišimo praštevilska koledarska leta od leta 2025 dalje. To so leta 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2089, 2099 …
Števila Ni = 2 · 3 · 5 ·…· pi + 1, kjer so pi po velikosti zapisana praštevila, so praštevila za i = 1, 2, …, 5; za i = 6, 7, 8 pa sestavljena števila. Doslej matematikom še ni uspelo ugotoviti, ali je med števili Ni = 2 · 3 · 5 ·…· pi + 1; i ∈ ℕ, neskončno mnogo praštevil, prav tako tudi ne, ali je med njimi neskončno mnogo sestavljenih števil. N1 = 2 + 1 = 3 N2 = 2 · 3 + 1 = 7 N3 = 2 · 3 · 5 + 1 = 31 N4 = 2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211 N5 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 = 2311 N6 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = = 30 031 = 59 · 509 N7 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 + 1 = = 510 511 = 19 · 97 · 277 N8 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 + 1 = = 9 699 691 = 347 · 27 953