RA
Po trditvi iz prejšnjega podpoglavja je število N deljivo z 2, ker so vsi seštevanci v vsoti deljivi z 2; ni pa deljivo s 5, ker so le prvi trije členi deljivi s 5, zadnji pa ne.
NA
Kriterija za deljivost števila N z 2 oz. s 5 sta zelo podobna. Ker so vse potence števila 10 deljive z 2 in s 5, je odločilna enica števila N.
Ű kriterij deljivosti s številom 11, Ű številske sestave.
Število N z a0 enicami, a1 deseticami, a2 stoticami in a3 tisočicami zapišemo takole: N = a3a2a1a0 = = a3 · 103 + a2 · 102 + a1 · 101 + a0
Število je deljivo z 2 (s 5), če je enica števila deljiva z 2 (s 5).
Ker so vse potence števila 1000 deljive z 8, je odločilen tromestni konec števila N. Število N = a4a3a2a1a0 je deljivo z 8, če je število M = a2a1a0 deljivo z 8.
LO V
LO V
N = a5a4a3a2a1a0 deljivo z 11, če (a5 + a3 + a1) – (a4 + a2 + a0) deljivo z 11. Dokaz: N = a5a4a3a2a1a0 = = a5 · 105 + a4 · 104 + a3 · 103 + a2 · 102 + a1 · 101 + a0 = = (105 + 1)a5 – a5 + (104 – 1)a4 + a4 +(103 + 1)a3 – a3 +(102 – 1)a2 + a2 +(101 + 1)a1 – a1 + a0 = = 9091 · 11 a5 – a5 + 909 · 11 a4 + a4 +91 · 11 a3 – a3 + 9 · 11 a2 + a2 + 11 a1 – a1 + a0 = = 11 · (9091a5 + 909a4 +91a3 + 9a2) – (a5 – a4 + a3 – a2 + a1 – a0) = = 11k – (a5 – a4 + a3 – a2 + a1 – a0)
DE
Kriterija za deljivost s 3 in z 9 sta bolj zapletena. Vzemimo neko petmestno naravno število: N = a4a3a2a1a0 = a4 · 104 + a3 · 103 + a2 · 102 + a1 · 101 + a0 Potence števila 10 zapišemo kot vsote 9 + 1, 99 + 1, 999 + 1 … in tako dobimo število N, zapisano v dveh delih:
Število je deljivo s 3 (z 9), če je s 3 (z 9) deljiva vsota njegovih števk.
Število N = a4a3a2a1a0 je deljivo s 4, če je število M = a1a0 deljivo s 4.
Število je deljivo z 11, če je razlika vsote enic, stotic, desettisočic … in vsote desetic, tisočic, stotisočic … deljiva z 11:
Število je deljivo z 10, če je enica števila enaka 0.
Izraz v prvem oklepaju je očitno deljiv z 9 (in s tem tudi s 3), zato je število N deljivo z 9 oz. s 3, če je tudi drugi del števila N (torej vsota njegovih števk) deljiv z 9 oz. s 3.
Ker so vse potence števila 100 deljive s 4, je odločilen dvomestni konec števila N.
Zapišimo še kriterij za deljivost s številom 11.
Podobno sklepamo pri deljenju z 10.
N = (9999a4 + 999a3 + 99a2 + 9a1) + (a4 + a3 + a2 + a1 + a0)
Zdaj lahko odgovorimo tudi na začetno vprašanje, kako je z deljivostjo števila M. Deljivo je z 2 in s 5, ker je enica enaka 0, deljivo je s 3, ker je vsota cifer enaka 96, in ni deljivo z 9, ker 9 ne deli 96, je pa deljivo s 6, ker je deljivo z 2 in s 3.
CA
Ű kriterij deljivosti s številoma 4 in 25,
Število N = 7194 je deljivo s 6, saj je deljivo z 2 in s 3.
IČI
IČI
ZL
N = 7194 = 7 · 103 + 1 · 102 + 9 · 101 + 4
Ű kriterij deljivosti s številom 6,
Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in s 3 hkrati oz. če je zadnja števka sodo število in vsota vseh števk deljiva s 3.
ZL
Ű kriterij deljivosti s številoma 8 in 125,
Ű kriterij deljivosti s številom 3 in 9,
Do kriterija za deljenje naravnega števila s številom šest je lahko priti.
RA
Za primer vzemimo štirimestno število N = 7194. Sestavljeno je iz sedmih tisočic, ene stotice, devetih desetic in štirih enic, kar lahko zapišemo:
Ű kriterij deljivosti s številoma 2 in 5,
Število N = 7194 je deljivo s 3, ker je 7 + 1 + 9 + 4 = 21; 21 pa je deljivo s 3; ni pa deljivo z 9, ker 21 ni deljivo z 9.
NA
V prejšnjem podpoglavju smo iskali delitelje števila 24 in jih našteli 8. Vprašanje, s katerim od števil 2, 3, 4, 5, 6, 9 in 10 je deljivo število M = 5380 278 112 930 987 368 510, kaže, da bo z deljenjem precej dela, saj si ne moremo pomagati z običajnim žepnim računalom, ker je število preveliko. Nalogo pa lahko opravimo brez velikega napora, če poznamo pravila oz. kriterije za deljenje s posameznimi omenjenimi števili. Za izpeljavo teh pravil moramo število zapisati po potencah števila 10 oz. v desetiškem številskem sestavu.
Ű kriterij deljivosti s številom 10,
CA
Kriteriji deljivosti
Spoznali boste:
DE
68
Zgled 1 Preiskujte številske sestave Preiskujte številske sestave 2
V številu N = 37056a določimo števko a tako, da bo deljivo s 6. Deljivost z 2: a = 0, 2, 4, 6 ali 8. Deljivost s 3: 3 + 7 + 5 + 6 + a = 21 + a = 3k, torej a = 0, 3, 6 ali 9. Če je a enako 0 ali 6, je zadoščeno obema pogojema, torej je iskano število 370 560 ali 370 566.
69