Pokažimo, da je vsota 33n + 2 + 5 · 23n + 1 deljiva z 19 za vsako naravno število n. Vsoto najprej preoblikujemo tako, da bosta eksponenta pri obeh potencah enaka:
CA
33n + 2 + 5 · 23n + 1 = 32 · 33n + 5 · 2 · 23n = 9 · 27n + 10 · 8n = 9 · 27n + 19 · 8n – 9 · 8n = = 19 · 8n + 9(27n – 8n) = 19 · 8n + 9 · (27 – 8) · (27n – 1 + … + 8n – 1) = 19k
IČI
19
272. Naj bo U = {n ∈ ℕ; n ≤ 40} univerzalna množica in A = {n ∈ ℕ; 8|n} ter B = {n ∈ ℕ; (4|n) ⋀ (6|n)} njeni podmnožici. Zapišite elemente množic A, B, A ∩ B in potenčno množico množice B.
RA
269. Zapišite vse delitelje danih števil. a) 6 b) 16 c) 37 č) 48 d) 120 e) 345 f) 324 g) 286 h) 1001 i) 7692
ZL
Naloge
Video razlaga zgleda
LO V
NA
270. Recept za pripravo testa za pico iz 1 kg moke Manitoba je: za kvasni pripravek zmešajte 250 mL mrzle vode, 100 g moke, 7 g suhega kvasa in polovico žličke sladkorja (2 g). Pustite počivati 10 minut in nato v pripravek dodajte 4 dcL vode ter preostanek moke in počasi mešajte. Med mešanjem dodajte še 21 g soli. Ko je testo dobro premešano in pregneteno, ga pustite počivati. Čez nekaj ur iz pripravljenega testa naredite 12 enakih hlebčkov. Izračunajte, kolikšna je skupna masa testa in koliko masa posameznega hlebčka. Rezultata zapišite v gramih. 271. Naj bo U = {n ∈ ℕ; n < 24} univerzalna množica in A = {n ∈ ℕ; 4|n} ter B = {n ∈ ℕ; n|4} njeni podmnožici. Zapišite elemente množic A, B, A ∩ B, A, ∪ B in B – A.
273. Naj bo U = {n ∈ ℕ; n ≤ 28} univerzalna množica in A = {n ∈ ℕ; 5|n} ter B = {n ∈ ℕ; (4|n) ⋁ (7|n)} njeni podmnožici. Zapišite elemente množic A, B, A ∩ B, A ∪ B B. in A\B 274. Naj bo U = {n ∈ ℕ; n ≤ 200} univerzalna množica in A = {n ∈ ℕ; 15|n} ter B = {n ∈ ℕ; 12|n} njeni podmnožici. Koliko elementov imajo množice A, B, A ∩ B in A ∪ B?
275. Koliko je vseh naravnih števil n ≤ 300, ki so deljiva z vsaj enim od števil 4 ali 5? Odgovor utemeljite. 276. Koliko je vseh naravnih števil n ≤ 1000, ki so deljiva: a) z vsaj enim od števil 8 ali 10, b) z natanko enim od števil 8 in 10? Odgovor računsko utemeljite.
279. Preverite, ali dane izjave veljajo. a) 6|(74 + 4 · 73 + 76) b) 5|(67 + 64 + 3 · 65) c) 4|(3n + 2 + 5 · 3n + 1 – 2 · 3n); za vsak n ∈ ℕ. č) 11|(5n – 4 · 5n + 1 – 5n + 2); za vsak n ∈ ℕ. 280. Razstavite in zapišite vse delitelje izrazov. b) 5x2 – 20x + 15 a) 4x2 + 24x 2 č) 5u3 – 25u2 c) 3y – 12y + 27 d) x3 + 3x2 – 4x – 12 e) 8a6 – 7a3 – 1 281. Pokažite, da velja. a) (n + 1)|(n2 – 1) b) (a + 4)|(a2 + 6a + 8) c) (n – 3)|(n2 + 4n – 21) č) (a – 6)|(a2 – 12a + 36) d) (u + 1)|(u2 + 14u + 13) e) (x – 5)|(x2 + x – 30) f) (1 + m)|(m2 – m – 2) g) (z – 9)|(z2 – 81) h) (u – 8)|(u2 + u – 72)
CA
Zgled 8
285. Pokažite spodnji trditvi. a) Vsota potenc z osnovo 5, ki imajo za eksponente poljubna tri zaporedna naravna števila, je deljiva z 31. b) Vsota potenc z osnovo 2, ki imajo za eksponente poljubna tri zaporedna liha naravna števila, je deljiva z 21.
278. Pokažite, da velja: a) 5|(75 – 73 – 4 · 74), b) 11|(614 + 3 · 613 + 612).
286. Pokažite, da velja. a) Če naravno število n deli števili a, b ∈ ℕ, potem n deli število a2 + 4b. b) Če je naravno število a večkratnik števila 18 in število 15 deli število b, potem je število a + 3b večkratnik števila 9. c) Za liho število n je število n2 – 1 deljivo z 8.
IČI
S k je označen drugi faktor, ki je tudi celo število. Iz zapisa vidimo, da je razlika res deljiva s 17.
ZL
17
RA
81n – 1 – 64n – 1 = (81 – 64)(81n – 2 + 81n – 3 · 64 + … + 81 · 64n – 3 + 64n – 2) = 17k
NA
Spomnimo se formule za razliko n-tih potenc an – bn.
67
284. Pokažite, da velja: a) 10|(37 + 4 · 33 · 35 + 93) b) 7|(369 + 617) c) 7|(22000 + 2 · 4999 + 8666)
277. Koliko je vseh naravnih števil n ≤ 1000, ki so deljiva: a) z vsaj enim od števil 4 ali 6, b) z vsaj enim od števil 4, 5 ali 6? Odgovor utemeljite.
LO V
Pokažimo, da 17 deli razliko potenc 81n – 1 – 64n – 1, za naravno število n, ki je večje od 2.
282. Preverite, ali velja. a) (u + 3v)|(u2 – 2uv – 15v2) b) (xy – 3)|(x2y2 – 9) c) (2a2 – 3)|(4a4 – 12a2 + 9) č) (2 + a)|(a3 + 8) d) (u – 5)|(u3 – 125) e) (4a2 + 2ab + b2)|(8a3 + b3) f) (x + 6)|(x3 – x2 – 36x + 36) g) (a + 3)|(3a4b2 + 9a3b2 + 9a2b2 + 27ab2) h) (x + 1)|(x3 – 3x + 2)
DE
Zgled 7
DE
66
283. Pokažite dane izjave. b) 99|(100n – 1) a) 7|(32n + 2 – 2n + 1) č) 17|(52n + 4 – 23n + 6) c) 11|(233 + 311)
287. Pokažite, da velja. a) Za poljubno naravno število a je vrednost izraza (a + 3)2 – 2(a – 5)(a + 1) + a(a + 1) – 1 večkratnik števila 3. b) Za poljubni celi števili x in y je vrednost izraza (2x – y)3 – 3x(x2 – 2y) + (y – x)(5x2 + y2) + + xy(y + x) večkratnik števila 6. c) Za poljubno naravno število u je vrednost izraza (u + 7)(7 – u) – 3(3 – u)(u + 5) večkratnik števila 4.
288. Preverite ali velja: če število 5 deli število a in je število b deljivo z 10, potem je število a + 2b deljivo s 25. 289. Za katero najmanjše liho naravno število n je izraz n3 + n2 popoln kvadrat?
Številski križanki