65
Relacija deljivosti
Spoznali boste:
Trditve:
Ű kdaj je število a deljivo s številom b,
1. Število m je delitelj samega sebe in vseh svojih večkratnikov.
V življenju moramo dano naravno število velikokrat razdeliti na določeno število enakih delov. Včasih gre, včasih pa ne.
Ű lastnosti relacije deljivosti.
je delitelj
Pri deljenju poljubnega naravnega števila a z naravnim številom b imamo dve možnosti: ali je ali pa ni a deljivo z b oz. se deljenje izide ali pa ne. Zgled 1
Zgled 2
Zgled 3
kar sledi iz b = k1a, a = k2b; b = (k1k2)b; k1, k2 ∈ ℕ, od koder dobimo k1k2 = 1 in zato k1 = k2 = 1
Izraz razstavimo: x3 – 8 = (x – 2)(x2 + 2x + 4). Razstavljanje je enolično, zato dani izraz res ni deljiv z x + 8. Zgled 4
S pisnim deljenjem preverimo, ali sta po dve števili v relaciji deljivosti: 234 in 35, 1458 in 243, 3243 in 69. 35 ne deli 234 1458 = 6 · 243 3243 = 47 · 69 V relaciji deljivosti sta druga dva para števil.
Zgled 5
Preverimo veljavnost relacij deljivosti: 335 907 in 783, 167 485 in 9852, 496 984 in 21 608. 335 907 = 429 · 783 9852 ne deli 167 485 496 984 = 23 · 21 608
• tranzitivnost: če a|b in b|c, potem a|c, ker je b = k1a, c = k2b; c = (k1k2)a in zato a|c
Relacija s temi tremi lastnostmi je relacija delne urejenosti, zato relacija deljivosti delno ureja množico ℕ.
Pokažimo, da izraz x3 – 8 ni deljiv z x + 8.
DE
LO V
• antisimetričnost: če a|b in b|a, potem je a = b,
Ali je izraz x4 – 29x2 + 100 deljiv z x + 5?
Da, ker je x4 – 29x2 + 100 = (x2 – 25)(x2 – 4) = (x – 5)(x + 5)(x – 2)(x + 2).
• refleksivnost: a|a, ker je a = 1 · a
Napišimo vse delitelje števila 24.
24 = 8 · 3 = 23 · 3 Delitelji so 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Če b deli a, potem sta števili b in a v relaciji deljivosti, kar s simboli zapišemo: b|a, če in samo če a = k · b. Lastnosti relacije deljivosti:
CA IČI
4
ZL
16
RA
je večkratnik
Dokaz: d|n, zato n = k1d; k1 ∈ ℕ d|m, zato m = k2d; k2 ∈ ℕ n ± m = k1d ± k2d = (k1 ± k2)d = kd; k ∈ ℕ torej d|(n ± m)
NA
NA
Naravno število b je delitelj naravnega števila a, če obstaja naravno število k, da velja a = k · b. a – deljenec a : b = k natanko takrat, ko je a = k · b. b – delitelj k – kvocient
3. Če d deli naravni števili n in m, potem d deli tudi vsoto in razliko števil n in m.
LO V
CA IČI
RA
ZL
Deljivost števila je tesno povezana s pojmom večkratnika. Če je namreč a večkratnik števila b, potem je b delitelj števila a. V prvem primeru je 16 večkratnik števil 1, 2, 4, 8 in 16 – to pa so ravno delitelji števila 16. Podobno je tudi v drugih dveh primerih: število 17 ima dva delitelja, število 1 pa le enega.
2. 1 je delitelj vsakega naravnega števila. Dokaz: 1|n, ker je n = 1 · n
Tako lahko npr. 16 razdelimo na 1-krat po 16, 2-krat po 8, 4-krat po 4, 8-krat po 2 ali 16-krat po 1; 17 pa le na 1-krat po 17 ali na 17-krat po 1; števila 1 pa niti ne moremo razdeliti. 16 = 1 · 16 = 2 · 8 = 4 · 4 = 8 · 2 = 16 · 1 17 = 1 · 17 = 17 · 1 1=1·1
Dokaz: m|m, ker je m = 1 · m m|km, ker je km = k · m
DE
64
V relaciji deljivosti sta prvi in tretji par števil. Zgled 6
Število m deli števili b in c. Pokažimo, da m deli tudi število 3b + 5c. m|b, zato je b = k1m; k1 ∈ ℕ m|c, zato je c = k2m; k2 ∈ ℕ 3b + 5c = 3k1m + 5k2m = (3k1 + 5k2)m, iz česar sledi m|(3b + 5c).