52 2
vsota kvadratov
2
a – b = (a – b)(a + b)
razlika kvadratov
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
vsota kubov
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
razlika kubov
ab + ac = a(b + c)
a) a7 – 1 = a7 – 17 = (a – 1)(a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1) b) a5 + 32b5 = a5 + (2b)5 = (a + 2b)(a4 – 2a3b + 4a2b2 – 8ab3 + 16b4) c) x6 – 64y6 1. način: po formuli za razcep razlike potenc: x6 – (2y)6 = (x – 2y)(x5 + 2x4y + 4x3y2 + 8x2y3 + 16xy4 + 32y5) =
izpostavljanje skupnega faktorja
= (x – 2y)(x4(x + 2y) + 4x2y2(x + 2y) + 16y4(x + 2y)) = = (x – 2y)((x + 2y)(x4 + 4x2y2 + 16y4)) =
an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + an – 4b3 + … + abn – 2 + bn – 1); velja za vsak naravni eksponent;
= (x – 2y)(x + 2y)((x4 + 8x2y2+ 16y4) – 4x2y2) =
a2n + 1 + b2n + 1 = (a + b)(a2n – a2n – 1b + a2n – 2b2 – a2n – 3b3 + … – ab2n – 1 + b2n); velja le za lihe naravne eksponente. Vsote potenc s sodim eksponentom se ne da razstaviti.
= (x – 2y)(x + 2y) (x2 + 4y2 – 2xy) (x2 + 4y2 + 2xy)
CA
Dobro je poznati tudi splošno formulo za razliko in vsoto n-tih potenc:
3
3
2
2
3
3
3
NA
a) (3u + v) = 27u + 27u v + 9uv + v 2
2
LO V
Razstavimo.
1 1 1 2 1
3
b) (2m – 5n) = 8m – 60m n + 150mn – 125n Zgled 5
1
a) 16a2 – 81 = (4a – 9)(4a + 9)
b) x3 + 64y3 = (x + 4y)(x2 – 4xy + 16y2)
1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
DE
Razčlenimo.
(2b + 1)(4b2 – 2b + 1) = 8b3 – 4b2 + 2b + 4b2 – 2b + 1 = 8b3 + 1 Do rezultata bi lahko hitreje prišli z upoštevanjem pravila za vsoto kubov. Zgled 7
Izpostavimo skupni faktor. a) 3a + 6a2 = 3a(1 + 2a) b) ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (a + b)(c + d) c) 2x2 – 2xz + xy – yz = 2x(x – z) + y(x – z) = (x – z)(2x + y) č) x2y – 2x2 – 25y + 50 = y(x2 – 25) – 2(x2 – 25) = (x2 – 25)(y – 2) = (x – 5)(x + 5)(y – 2) d) 2(x – y) + 3x2(y – x) = 2(x – y) – 3x2(x – y) = (x – y)(2 – 3x2)
ZL
x6 – 64y6 = (x3)2 – (8y3)2 = (x3 – 8y3)(x3 + 8y3) = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)(x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2) Vidimo, da se lahko primera lotimo na različne načine in da je od tega odvisna tudi dolžina reševanja. V zadnjem zgledu je bilo najmanj dela pri 3. načinu. V nekaterih primerih lahko v obliki produkta zapišemo tudi kvadratni tričlenik spremenljivke x:
Poznali so ga že japonski in kitajski matematiki.
c) 1 – u3v3 = 13 – (uv)3 = (1 – uv)(1 + uv + u2v2) Zgled 6
3. način: z razliko kvadratov:
RA
Kubirajmo.
Koeficiente zaporednih izračunanih potenc dvočlenika lahko zapišemo v številsko shemo, ki ji rečemo Pascalov trikotnik.
NA
Zgled 4
x6 – 64y6 = (x2)3 – (4y2)3 = (x2 – 4y2)(x4 + 4x2y2 + 16y4) = … nadaljujemo s 4. vrstico 1. načina
LO V
b) (x – 2y)2 = x2 – 4xy + 4y2
RA
a) (2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2
2. način: z razliko kubov:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) Tej formuli rečemo tudi Viètovo pravilo.
Zgled 9
DE
Kvadrirajmo.
IČI
= (x – 2y)(x + 2y) ((x2 + 4y2)2 – (2xy)2) =
IČI
ZL
Zgled 3
53
Razcepimo z uporabo formule za vsoto oziroma razliko n-tih potenc.
CA
a2 + b2 = se ne da razstaviti
Zgled 8
Razčlenimo z uporabo Viètovega pravila. a) x2 + 5x + 6 = (x +2)(x + 3), ker je 5 = 2 + 3 in 6 = 2 · 3 b) x2 – 11x + 18 = (x –2)(x – 9), ker je –11 = (–2) + (–9) in 18 = (–2) · (–9) c) m2 + 7m – 8 = (m + 8)(m – 1), ker je 7 = 8 + (–1) in –8 = 8 · (–1) č) a4 + a2 – 20 = (a2 + 5)(a2 – 4) = (a2 + 5)(a – 2)(a + 2), ker je 1 = 5 + (–4) in –20 = 5 · (–4)
FRANÇOIS VIÈTE (1540–1603) Bil je eden najpomembnejših francoskih matematikov 16. stoletja. Kot diplomat in strokovnjak za šifriranje in dešifriranje tajnih sporočil je bil v službi dveh francoskih kraljev: Henrika III. in Henrika IV. V algebro je uvedel zapisovanje neznanih količin s črkami in ta način utemeljil v knjigi In artem analiticam isagoge leta 1591.