ZL
198. V mreži poiščite vsa tri, štiri in petmestna števila, ki so potence števila 2 ali 3. Iščite navpično, vodoravno in po diagonalah. 1 2 8 1 4 6 5 2 9
RA
193. Poenostavite (n, m ∈ ℕ). a) 2m + 1 + 3 · 2m – 2m + 2 b) 30 · 6n – 6n + 3 – 6n + 1 c) 2 · 5m + 1 + 5m + 2 – 5m č) (–3)2m + 1 – (–3)3 · (–3)2m + (–3)2(m + 2) d) (–5)2m + 1 – (–5m)2 + 2 · 25m
IČI
LO V
NA
194. Preverite, ali veljajo enakosti. a) 8m – 3 · 23m – (2m)3 = –3 · 23m b) (–a)n + 1 · (–a)2n · (–a)n = –a4n + 1 c) (3 · 23 – 14)2 – (–5)3 + (–3)1 · 3 · (–5)2 = 0 č) 25n + 5n = (5n)2 + 5n = 5n · (52 + 1) = 26 · 5n
195. Piramidne igre so z zakonom prepovedane, pa se kljub temu občasno pojavijo. Ena izmed njih so verižna pisma. V prvem krogu začetnik igre pošlje 10 pisem različnim prejemnikom, v drugem krogu vsak prejemnik pisma pošlje 10 pisem različnim prejemnikom, v naslednjem krogu vsak prejemnik zopet pošlje 10 pisem itd. Koliko pisem je bilo poslanih v drugem krogu te igre, koliko v tretjem in koliko v četrtem? Rezultat primerjajte s številom prebivalcev Slovenije. Koliko pisem naj bi bilo poslanih v 10. krogu? Rezultat primerjajte s številom prebivalcev celega sveta.
5 2 0 6 6 2 9 1 8
9 2 9 5 9 7 0 3 4
4 2 6 5 0 3 4 9 0
8 1 1 2 4 6 9 7 2
3 7 4 8 5 0 8 2 4
199. Katero število je večje: 10
6 3 2 5 7 5 1 2 7 100
1 6 3 1 3 2 7 6 8
4 6 0 3 3 8 6 9 1
Vse večkratnike števila a dobimo tako, da število a zapored pomnožimo z vsemi celimi števili:
Ű razstavljanje razlike kvadratov,
{… –5a, –4a, –3a, –2a, –a, 0, a, 2a, 3a, 4a, 5a …} = {ka; k, a ∈ ℤ}
Ű razstavljanje vsote ali razlike kubov,
Število k je koeficient števila oziroma spremenljivke a.
200. V običajnem kozarcu vode je približno 10 000 000 000 000 000 000 000 000 molekul. Zapišite to število kot potenco števila 10.
1. Če so v izrazu oklepaji, najprej izvedemo operacije v oklepajih (odpravimo oklepaje).
Zapis, sestavljen iz števil ali enočlenikov, med katerimi so smiselno postavljeni znaki za računske operacije (lahko pa tudi oklepaji), je algebrski izraz ali na kratko izraz.
Zgled 1
2. Potem množimo (delimo). 3. Na koncu dobljene člene seštejemo (odštejemo).
Grafični prikaz
tako da se držimo osnovnih računskih zakonov in naštetih pravil. (1 – 2 · 3) – 5 · 8(–4 + 6 · 2) + 1 = (1 – 6) – 40(–4 + 12) + 1 = –5 – 40 · 8 + 1 = –5 – 320 + 1 = –324 Zgled 2
Naj bo N = 2a – 3b + 7c in a = 2, b = –1, c = 5. Izračunajmo vrednost števila N. N = 2a – 3b + 7c = 2 · 2 – 3 · (–1) + 7 · 5 = 4 + 3 + 35 = 42
Računanje z algebrskimi izrazi je v glavnem dveh vrst:
V izrazu pa lahko nastopa tudi ena ali več spremenljivk. V tem primeru lahko izraz le poenostavimo. Številsko vrednost izraza pa dobimo le, če najprej vsaki od spremenljivk priredimo številsko vrednost.
1. Razširjanje izrazov: izračunavanje potenc dvo- ali veččlenikov, izračunavanje vrednosti izraza … 2. Razstavljanje (zapis izraza kot produkt več faktorjev), Viètovo pravilo, izpostavljanje skupnega faktorja … Najpomembnejši izrazi so: kvadrat in kub dvočlenika, razlika kvadratov in vsota ter razlika kubov, zato se jih bomo dobro naučili na pamet. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2
2
2
(a – b) = a – 2ab + b
Dodatne naloge
Ű izpostavljanje skupnega faktorja.
Izrazu (1 – 2 · 3) – 5 · 8(–4 + 6 · 2) + 1 izračunajmo številsko vrednost,
10
ali 100 ?
Ű kub vsote in razlike,
CA
192. Če je x y z = 162 in x y z = 48, koliko je xyz?
Ű kvadrat vsote in razlike,
IČI
3 2
51
Ű kaj je algebrski izraz,
ZL
2 3 4
CA
191. Primerjajte dani števili po velikosti. b) 533 in 1222 a) 430 in 820
k sumandov
Spoznali boste:
RA
197. Leta 1225 je Fibonacci v knjigi Liber quadrorum objavil znamenito enakost, ki so jo pred njim poznali že kitajski matematiki: »Produkt dveh števil, ki sta vsoti kvadratov, je enak tudi vsoti dveh kvadratov.« (a2 + b2)(c2 + d 2) = (ac ± bd)2 + (ad ± bc)2 Uporabite to formulo za zapis števila 481 kot vsoto dveh kvadratov.
190. Izraz 6 · 8n + 1 + 4n · 2n + 4 zapišite kot potenco z osnovo 8.
k·a=a+a+…+a
Večkratnik ali tudi k-kratnik števila a je vsota k enakih sumandov a:
NA
189. Izračunajte 299 – 298.
Večkratniki in izrazi
LO V
196. Število moževih let je popolni kvadrat, njegova žena ima produkt števk moževih let in je manj kot 15 let mlajša od njega, starost njune hčere je vsota števk maminih let. Ugotovite starost posameznega člana družine. Preverite števila 36, 49, 64 in 81.
DE
188. Izračunajte tako, da izpostavite skupni faktor. a) 82 + 5 · 83 – 2 · 84 b) 7 · 63 + 18 · 62 + 5 · 64 c) 9n + 1 – 2 · 9n + 2 + 9n
DE
50
kvadrat vsote kvadrat razlike
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 kub vsote (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
kub razlike
Preiskovanje kvadrata dvočlenika