155. Za katera naravna števila n je vrednost izraza 5n – 3 manjša od 27?
CA
146. Zapišite množico vseh naravnih števil, ki so manjša od 9, ter iskano množico predstavite na številski premici.
LO V
150. Zapišite največjih pet celih števil, ki so manjša ali enaka –2. Uredite jih od večjega k manjšemu. 151. Zapišite množico vseh celih števil, ki so od 0 oddaljena največ za 6, ter iskano množico predstavite na številski premici. 152. Naj bo A množica naravnih števil, ki so manjša od 10, B pa množica celih števil, ki so večja od –7 in manjša od 5. a) Dani množici zapišite s simboli. b) Na dva različna načina zapišite unijo in presek množic A in B. c) Zapišite elemente množic A – B in B – A.
osnova
160. Dve konkurenčni podjetji ponujata izvedbo celotne fasade. Prvo podjetje naredi fasado po ceni 40 € za kvadratni meter, drugo podjetje pa posebej zaračuna 840 € za postavitev, uporabo in odstranitev delovnega odra in nato 34 € za kvadratni meter fasade. a) Izračunajte, koliko bi stala izdelava 115 m2 fasade pri prvem podjetju in koliko pri drugem podjetju. b) Izračunajte, do katere kvadrature fasade je ugodnejša prva ponudba? Nalogo rešite tako, da zapišete neenačbo in jo rešite.
Zanimivosti in uganke
a
a2
a3
IČI
Pravila za računanje:
an · am = an + m Dve potenci z isto osnovo zmnožimo tako, da osnovo ohranimo, eksponenta pa seštejemo. Dokaz: an · am = (a · a · … · a) · (a · a · … · a) = an + m n faktorjev
159. Pokažite, da je za cela števila x, za katera je 3(x – 2) > 6, vrednost izraza 3(x – 4) nenegativno število.
eksponent
m faktorjev
(an)m = an · m Potenco potenciramo tako, da osnovo ohranimo, eksponenta pa zmnožimo.
NA
149. Zapišite najmanjših pet celih števil, ki so večja od –6.
Potenco an preberemo »a na n«.
Dokaz: (an)m = (a · a · … · a) · (a · a · … · a) · … · (a · a · … · a) = an · m n faktorjev
n faktorjev
n faktorjev
LO V
158. Za katera cela števila x ima izraz 3x – 5(x + 2) večjo vrednost od izraza 4 – (12 + x)?
RA
NA
148. Zapišite elemente množice negativnih celih števil x, ki so večja od –7. Množico števil opišite tudi z znaki neenakosti in jo predstavite na številski premici.
an
n faktorjev
m · n faktorjev
(ab)n = an · bn Produkt števil potenciramo tako, da potenciramo posamezne faktorje in jih potem zmnožimo.
DE
ZL
157. Za katera cela števila a ima izraz –3(a – 3) – (–4a) vrednost vsaj 10?
Ű pravila za računanje s potencami.
potenca
an = a · a · … · a
156. Za katera cela števila x je izraz 4x – 7 največ 5?
IČI
147. Zapišite elemente množic A = {n ∈ ℕ; n < 8} in B = {n ∈ ℤ; –4 ≤ n < 1} ter ju predstavite na številski premici. Ali sta množici A in B disjunktni? Odgovor utemeljite.
Ű kaj je potenca,
Potenca an s celo osnovo a in naravnim eksponentom n je produkt n enakih faktorjev a.
CA
154. Katera cela števila x ustrezajo neenakostim? a) x – 3 > 0 b) x – 2 < 0 c) 4 ≥ – x č) x + 6 > 0 d) 5 ≤ –2 – x e) 3 < 4 – x f) 2 – x > 5 g) –9 < x – 2
Potence z naravnimi eksponenti
47
Spoznali boste:
ZL
153. Zapišite množici A = {n ∈ ℕ; 4n + 1 < 14} in B = {n ∈ ℕ; n2– 2n = 8} tako, da naštejete njune elemente.
RA
145. Dopolnite izjave o številih. a) Tri zaporedna soda cela števila od najmanjšega do največjega so 2n … b) Tri zaporedna liha cela števila od največjega do najmanjšega so 2n + 1 … c) Če je 4n + 1 srednje izmed treh celih števil, ki so urejena od najmanjšega do največjega, potem sta ostali dve … č) Razlika dveh števil je 5. Če je manjše število enako x – 2, je drugo …
DE
46
Dokaz: (ab)n = ab · ab · … · ab = (a · a · … · a) · (b · b · … · b) = anbn n faktorjev
n faktorjev
n faktorjev
Za naravne eksponente velja tudi:
SIMBOLI ZA POTENCE Starogrški matematik Diofant iz Aleksandrije (200–284) je prvi uporabil simbole za pisanje potenc, vendar je prišel le do eksponenta 6 (kubu–kubos). Šele Luca Pacioli (1445–1517) je konec 15. stoletja v knjigi Suma označil potence tako, da so lahko imele poljubno velik eksponent. Podobne oznake iz istega obdobja so se ohranile tudi v Dresdenskem kodeksu (1480) in Dunajskem rokopisu (1500). Ime eksponent je v prakso vpeljal nemški matematik Michael Stifel (1487–1567). numero
n.0
x0
cosa
co.
x1
censo
ce.
x2
cubo
cu.
x3
(–a)2n = a2n
velja za sode eksponente
censo de censo
ce.ce.
x4
(–a)2n + 1 = –a2n + 1
velja za lihe eksponente
…
…
…