Za relacijo »biti manjši« (in podobno tudi za relacijo »biti večji«) veljajo lastnosti: 1. Če je a < b, potem je a + c < b + c. Če na obeh straneh neenakosti prištejemo isto število, se neenakost ohrani (monotonost vsote).
9 − ((−2) · 5 − (−3)(−4))(2 − 5) = 9 − (−10 − 12)(−3) = −57
Zgled 2
(1 + 2 − 3 − 4)(5 − 6 −7 − 8 − 9) = −4(−25) = 100
Načrt predvideva, da bo raketa izstreljena natančno ob 9.16, kar pomeni ob t = 0. Čas merimo v minutah.
ZL
Zgled 3
2. Če je a < b in b < c, potem je a < c. Če je a manjše od b in b manjše od c, pomeni, da je a manjše od c. Tej lastnosti rečemo tranzitivnost.
IČI
Zgled 1
CA
CA
Za množenje in seštevanje velja vseh pet računskih zakonov: komutativnost seštevanja, asociativnost seštevanja, komutativnost množenja, asociativnost množenja in distributivnost.
Ura je 9.06, 9.15 in 9.21.
RA
a) Koliko je ura ob t = –10, t = –1 in t = +5?
b) Kolikšna je vrednost t ob 9.00 in ob 9.30?
NA
Vrednosti t sta –16 in 14.
Urejenost naravnih in celih števil
LO V
Številska množica je urejena, če lahko po velikosti primerjamo njena poljubna elementa. V množici celih števil lahko za poljubni števili ugotovimo, ali sta enaki, ali je katero od njiju večje oz. manjše. Za poljubni števili a in b iz množice ℤ velja namreč natanko ena od možnosti: a > b, a < b ali a = b. a > b, če in samo če je a – b > 0. Slika števila a leži na številski premici na desni strani slike števila b. a < b, če in samo če je a – b < 0. Slika števila a leži na številski premici na levi strani slike števila b. a = b, če in samo če je a – b = 0. Sliki števil a in b sovpadata. Z odnosom med dvema številoma oz. z relacijo »biti večji« oz. »biti manjši« je množica ℤ linearno urejena. S tem je urejena tudi množica ℕ, ki je njena podmnožica.
Računanje z neperjevimi kostmi
IČI
(–a)(–b)(–c) = –(abc) Produkt liho mnogih negativnih faktorjev je negativno število.
3. Če je a < b in c > 0, potem je a · c < b · c. Pri množenju neenakosti s pozitivnim številom se znak neenakosti ohrani.
ZL
I7
Slovenski tolar je bil med letoma 1991 in 2007 uradna denarna enota v Republiki Sloveniji. Zaradi različne nominalne vrednosti so bili bankovci »urejeni« tudi po velikosti.
x je vsaj 5 oziroma x je najmanj 5 pomeni x je 5 ali več; x ≥ 5. x je kvečjemu 5 oziroma x je največ 5 pomeni x je 5 ali manj; x ≤ 5.
4. Če je a < b in c < 0, potem je a · c > b · c. Pri množenju neenakosti z negativnim številom se znak neenakosti obrne.
RA
(–a)b = –(ab) Produkt pozitivnega in negativnega števila je negativno število.
Rečemo lahko, da so v množici ℤ pozitivna tista števila, ki so večja od 0 in njihove slike ležijo desno od izhodišča, negativna pa so števila, ki so manjša od 0. Njihove slike ležijo levo od izhodišča. Tako je vsako pozitivno celo število (vsako naravno število) večje od katerega koli negativnega celega števila.
V množici naravnih in celih števil je definirana tudi relacija »biti manjši ali enak« oz. »biti večji ali enak«. a ≤ b, če in samo če je a – b ≤ 0. a ≥ b, če in samo če je a – b ≥ 0.
NA
I6
41
LO V
(–a)(–b) = ab Produkt sodo mnogih negativnih števil je pozitivno število.
Za relacijo »biti manjši ali enak« (in podobno za relacijo »biti večji ali enak«) veljajo lastnosti: 1. a ≤ a
refleksivnost
DE
I5
DE
40
2. a ≤ b in b ≤ a, potem je a = b
antisimetričnost
3. a ≤ b in b ≤ c, potem je a ≤ c
tranzitivnost
Relacija »biti manjši ali enak« je relacija delne urejenosti in zaradi veljavnosti vseh treh lastnosti množico ℤ delno ureja. Zgled 4
Pozitivna in negativna števila Pozitivno število a zapišemo z a > 0, negativno število a zapišemo z a < 0.
Zapišimo s simboli. a) Število dni v koledarskem mesecu: 28 ≤ n ≤ 31; n ∈ ℕ. b) Višina vseh slovenskih gora: v ≤ 2864 m; v ∈ ℕ. c) Število dijakov v posameznih razredih na slovenskih šolah je omejeno z normativom: 19 ≤ k ≤ 30; k ∈ ℕ.