(–a) + (–b) = –(a + b) Vsota nasprotnih vrednosti je nasprotna vrednost vsote.
LO V
Vsota dveh pozitivnih števil je pozitivno število, vsota dveh negativnih števil je negativno število. Privzemimo, da sta a in b naravni števili. Vsota pozitivnega števila a in negativnega števila –b je pozitivno število, če je a > b, in je negativno število, če je a < b. A1 a + 0 = a za vsak a ∈ ℤ Število 0 je nevtralni element pri seštevanju. A2 a + (–a) = 0 za vsak a ∈ ℤ Vsota celega števila in njemu nasprotnega števila je 0.
Dokaz: a + (–a) = 0 b + (–b) = 0 a+0=a 0+0=0 a + (–a) + b + (–b) = 0 a + b + (–a) + (–b) = 0 (a + b) + [(–a) + (–b)] = 0 (a + b) + [–(a + b)] = 0 (–a) + (–b) = –(a + b)
Ű osnovne računske zakone, Ű relaciji »biti manjši«, »biti večji«.
2. Odštevanje
IČI
Množica ℤ je števno neskončna, po moči je enaka svoji podmnožici ℕ. Ta navidezni nesmisel se pojavi zato, ker za neskončne množice ne veljajo zakonitosti, ki smo jih vajeni pri računanju s končnimi količinami.
ZL
Razlika a – b dveh pozitivnih števil a in b je pozitivno število, če je a > b, in negativno število, če je a < b.
0 1 2 1 – (–2) = 3
ℤ+ = ℕ Množica pozitivnih celih števil je enaka množici naravnih števil.
3
4
5
Razlika dveh negativnih števil (–a) – (–b) je pozitivno število, če je a < b, in negativno število, če je a > b.
+2 2
3
4
5
Iz vseh treh trditev sledi:
0
1 +(–3)
0 1 2 5 + (–3) = 2
3
4
5 +(–5)
–1 0 1 4 + (–5) = –1
2
3
Odštevanje v ℤ je prištevanje nasprotne vrednosti. a – b = a + (–b)
+(–2) –4 –3 –2 –1 (–1) + (–2) = –3
–2 0 1 3–2=1
2
3
4
5
–5 –1 0 1 4 – 5 = –1
2
3
4
0
1
Razlika pozitivnega števila a in negativnega števila –b je pozitivno število. –(–2)
0 1 1+2=3
39
RA
Moč množice celih števil
Uporaba A2. Uporaba A2. Uporaba A1. Uporaba A1 za a = 0. Ničli smo nadomestili z levo stranjo enakosti iz 1. in 2. vrstice. Komutativnost seštevanja. Asociativnost seštevanja. Uporaba A2. Sledi iz primerjave zgradbe zadnjih dveh vrstic.
CA
Ű računanje v množici celih števil,
Z A so označeni aksiomi − trditve, ki jih ne dokazujemo, z I pa izreki − trditve, ki jim moramo dokazati veljavnost. Privzeto je, da sta a in b pozitivni števili.
1. Seštevanje
I2
NA
NA
Ű lastnosti množice celih števil,
LO V
CA
RA
ZL
IČI
Da bi rešili te in druge podobne zadrege, množico naravnih števil razširimo do množice celih števil. Razširimo jo tako, da vse točke na številski premici, ki predstavljajo naravna števila, prezrcalimo preko izhodišča. Točka, ki jo dobimo z zrcaljenjem točke, ki predstavlja število n, je slika števila –n. Število –n je nasprotna vrednost števila n. Naravnim številom zdaj rečemo pozitivna cela števila, prezrcaljenim slikam naravnih števil ustrezajo slike negativnih celih števil, izhodišče pa je slika celega števila nič, ki ga označimo z 0. Množici števil, ki ustreza tako dobljeni množici točk na številski premici, rečemo množica celih števil in jo označimo z ℤ. Množica ℤ je torej unija negativnih celih števil, števila 0 in pozitivnih celih števil.
Računanje v množici ℤ
–(–a) = a za vsak a ∈ ℤ Nasprotna vrednost nasprotne vrednosti je prvotna vrednost.
Ű množico celih števil,
To, da lahko odštejemo le manjše število od večjega, je povsem logično: otrok lahko poje le toliko bonbonov, kot jih ima, porabimo lahko le zasluženi denar, še star slovenski pregovor je v tem duhu: »V postelji se lahko stegneš le toliko, kolikor dolgo imaš odejo.« V resnici pa je življenje pestrejše, saj obstajajo posojila in se lahko zadolžimo, pozimi temperatura pogosto pade pod ničlo, gladina Mrtvega morja leži niže kot gladina Sredozemskega morja nekaj kilometrov stran.
ℤ = ℤ+ ∪ {0} ∪ ℤ–
I1
3. Množenje
DE
Cela števila
Spoznali boste:
DE
38
–(–3) –4 –3 –2 –1 (–4) – (–3) = –1
–(–5) –1 0 1 2 (–1) – (–5) = 4
A3 1 · a = a za vsak a ∈ ℤ Število 1 je nevtralni element za množenje. I3
(–1) · a = –a Pri množenju celega števila a z (–1) dobimo nasprotno število –a.
I4
0 · a = 0 za vsak a ∈ ℤ Rezultat množenja z 0 je 0.
4
Dokaz: a+0=a 0+0=0 0 · a = (0 + 0) · a 0·a=0·a+0·a 0·a+0=0·a 0·a=0
Uporaba A1. Uporaba A1 pri a = 0. Uporabimo prejšnjo vrstico. Distributivnost. Uporaba A1 za 0 · a. Sledi iz primerjave zadnjih dveh vrstic.
3
4