33
Naravna števila
Spoznali boste:
Za množenje in seštevanje v ℕ veljajo osnovni računski zakoni:
Ű množico naravnih števil,
Naravna števila so števila, s katerimi štejemo. Šteti začnemo z 1, zato je 1 prvo in najmanjše naravno število. Vsako naravno število n ima neposrednega naslednika n + 1, zato največjega naravnega števila ni. Naravnih števil je neskončno mnogo.
Ű lastnosti množice naravnih števil,
1. a + b = b + a Komutativnost seštevanja (zakon o zamenjavi sumandov) – vsota ni odvisna od vrstnega reda sumandov.
Ű računanje v množici naravnih števil.
Čeprav število nič ni element množice naravnih števil, včasih zapišemo množico ℕ0 = ℕ ∪ {0}, ki poleg vseh naravnih števil vsebuje tudi število nič.
Če je n ∈ ℕ, je tudi n + 1 ∈ ℕ
RA
O
E 1
2
3
1
5
LO V
NA
Naravna števila lahko upodobimo kot točke na številski premici. Običajna premica postane številska premica, če na njej izberemo točki O (izhodišče) in E, ki sta oddaljeni za enoto. Točka E je slika naravnega števila 1, slike vseh naslednjih naravnih števil pa so točke, ki si sledijo v oddaljenosti ene enote na desno. 6
7
8
O
E
enota
Z naravnimi števili lahko računamo. Osnovni operaciji v ℕ sta seštevanje in množenje. S seštevanjem dveh naravnih števil a in b dobimo novo naravno število: vsoto a + b, z množenjem teh dveh števil pa novo naravno število: produkt a · b. seštevanec sumand seštevanec sumand
+
vsota summa
množenec faktor
• množenec faktor
zmnožek produkt
V sodobni matematiki so naravna števila formalno definirana z aksiomi. Eden najbolj znanih načinov formalizacije naravnih števil so Peanovi aksiomi, ki jih je oblikoval italijanski matematik Giuseppe Peano leta 1889. Peanovi aksiomi opisujejo naravna števila kot zaporedje, ki se začne z 1 (ali 0, odvisno od dogovora), kjer je vsako naslednje število določeno s funkcijo naslednika. 1. Vsako naravno število ima svojega naslednika. 2. Število 1 je naravno število, ki ni naslednik nobenega naravnega števila. 3. Različni naravni števili imata različna naslednika. 4. Če neka trditev velja za število 1 in če iz predpostavke, da velja za naravno število n dokažemo, da velja tudi za n + 1, potem trditev velja za vsa naravna števila.
IČI
ZL
Množica naravnih števil je unija sodih in lihih števil: ℕ = S ∪ L
Seštevamo in odštevamo lahko poljubni naravni števili, odštejemo pa lahko le manjše število od večjega.
RA
ℕ5 = {1, 2, 3, 4, 5 …}
Razlika števil a in b (pri čemer je a večje od b) je naravno število a – b, ki ga moramo prišteti številu b, da dobimo število a: b + (a – b) = a. zmanjševanec minuend odštevanec subtrahend Zgled 1
–
razlika diferenca
Izračunajmo.
NA
ℕ0 = ℕ ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, 4 …}
Grafični prikaz računskih zakonov
LO V
ℕ = {1, 2, 3, 4 …}
5. (a + b) · c = a · c + b · c Distributivnost (zakon o razčlenjevanju) povezuje seštevanje in množenje. Če ta zakon beremo z desne proti levi, mu rečemo pravilo izpostavljanja skupnega faktorja: a · c + b · c = (a + b) · c.
DE
IČI
ZL
Liha števila L = {1, 3, 5, 7 …} = {2n – 1; n ∈ ℕ}
3. a · b = b · a Komutativnost množenja (zakon o zamenjavi faktorjev) – produkt ni odvisen od vrstnega reda faktorjev. 4. (a · b) · c = a · (b · c) Asociativnost množenja (zakon o poljubnem združevanju faktorjev) – produkt ni odvisen od združevanja po dva faktorja.
Nekatere podmnožice naravnih števil so tako pomembne, da imajo svoja imena: Soda števila S = {2, 4, 6, 8 …} = {2n; n ∈ ℕ}
2. (a + b) + c = a + (b + c) Asociativnost seštevanja (zakon o poljubnem združevanju sumandov) – vsota ni odvisna od združevanja po dva sumanda.
CA
1∈ℕ
CA
Množica naravnih števil: ℕ = {1, 2, 3, 4 …}
DE
32
a) 75 · 3 + 12 + 16 · 5 = 225 + 12 + 80 = 237 + 80 = 317 b) 2 + 7 · 3(2 + 4(3 + 2 · 2(5 + 7 · 8))) = 2 + 7 · 3(2 + 4(3 + 4 · 61)) = 2 + 7 · 3(2 + 4 · 247) = = 2 + 21 · 990 = 20 792 c) (12 + 5) · 7 = 12 · 7 + 5 · 7 = 84 + 35 = 119 ali (12 + 5) · 7 = 17 · 7 = 119 č) 123 – 45 – 67 + 89 = 78 – 67 + 89 = 11 + 89 = 100 d) 98 – 7 – 6 – 5 – 4 + 3 + 21 = 91 – 6 – 5 – 4 + 24 = 85 – 5 – 4 + 24 = 80 – 4 + 24 = = 76 + 24 = 100