IČI
x y + = 1; m, n ≠ 0 m n
RA
ZL
Števili m in n ne smeta biti enaki 0, zato v tej obliki ne moremo zapisati premic, ki gredo skozi izhodišče ali so vzporedne z eno od koordinatnih osi. Zapišimo enačbo premice y = 2x – 3 v odsekovni obliki. Ordinatno os seka pri n = –3, abscisno os pa v ničli: 3
NA
0 = 2x – 3 ⇒ x = 2 3
3
Abscisno os seka pri 2 , torej je m = 2 .
ax + by + c = 0; a, b, c, ∈ ℝ; a in b ne smeta biti hkrati enaka 0
CA
Dobimo odsekovno obliko enačbe:
Potrebujemo torej zapis, s katerim bomo lahko zapisali vse premice – tiste, ki so grafi linearne funkcije, in tudi tiste, ki to niso. Tej obliki zapisa rečemo implicitna oblika enačbe premice:
Ponavadi celo enačbo pomnožimo s takim številom, da so a, b in c cela števila in je a pozitiven.
IČI
CA
n y = m (x – m) y 1 = – m (x – m) n
Izpeljava: Premica p naj gre skozi točki A(x1, y1) in B(x2, y2). Poljubna točka T(x, y) leži na tej premici, če je ploščina trikotnika ABC enaka 0. x2 – x1 y2 – y1 x – x1 333y – y1 = 0 Označimo x2 – x1 = b in y2 – y1 = –a.
b – x1 y1 –a =0 x – x1 y – y1 b(y – y1) + a(x – x1) = 0 ax + by + (–ax1 – by1) = 0 Namesto konstantne vrednosti –ax1 – by1 pišemo c in izpeljava je končana.
Zgled 7
LO V
y Odsekovna enačba je: x + –3 = 1 3
y
Odpravimo še dvojni ulomek: 3 – 3 = 1 Zgled 6
x=3
3
0x + 1y + 2 = 0
2
Premico y = – 5 x + 7 zapišimo v implicitni obliki. 3
2
Enačbo premice pomnožimo z najmanjšim skupnim večkratnikom ulomkov 5 in 7 ; to je število 35. Dobimo 35y = –21x + 10 oz. 21x + 35y – 10 = 0. n
y = n 2 + 1 = 2 ∙ x + n; 2 = k n
Iz zadnje enačbe dobimo 2 = 3 oz. n = 6 in končno obliko enačbe: x y + = 1. –2 6
y+2=0
1x + 0y – 3 = 0 Zgled 8
Izrazimo y:
(x ) n
y = –2
x–3=0
Zapišimo odsekovno enačbo premice, ki ima smerni koeficient 3 in seka abscisno os pri x = –2. x y + = 1; m n x y + = 1; –2 n
Zapišimo enačbi premic na sliki.
Premici sta vzporedni abscisni in ordinatni osi in nimata eksplicitne niti odsekovne oblike enačbe. Imata pa implicitno enačbo:
2
2x
Implicitus v lat. pomeni prikrit, vključen, ne določno izražen; v implicitni enačbi je y vključen v enačbo, iz implicitne enačbe ne moremo ničesar neposredno razbrati.
ZL
y2 – y1 (x – x1) x2 – x1
Premice, ki so vzporedne abscisni osi, so grafi konstantne funkcije, vzporednice z ordinatno osjo pa niso grafi nobene funkcije, saj bi se v tem primeru x preslikal v celotno realno os. Zato teh premic ne moremo zapisati v eksplicitni obliki (iz prejšnjega razdelka pa vemo, da tudi v odsekovni obliki ne).
RA
y – y1 =
Odsekovni enačbi premice pravimo tudi segmentna enačba (lat. segmentum odsek). Ta oblika enačbe zelo poenostavi risanje premic.
Formulo preuredimo in delimo z n:
Zgled 5
Eksplicitna enačba premice, ki gre skozi točki A(x1, y1) in B(x2, y2):
NA
n–0
y – 0 = 0 – m (x – m)
Implicitna (nerazvita) oblika enačbe premice
LO V
Predpostavimo, da premica seka koordinatni osi v točkah M(m, 0) in N(0, n); m, n ≠ 0. Očitno je m ničla, n pa začetna vrednost. Uporabimo formulo za zapis premice skozi dve dani točki:
251
DE
Odsekovna (segmentna) oblika enačbe premice
DE
250