241
Cena izposoje DVD-filma v izposojevalnici je 7 evrov za prvi film in 4 evre za vsakega naslednjega. Napišimo matematični model izposoje.
Število ur 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Cena izposoje je funkcija števila izposojenih filmov c(x) = 4x + n, kjer moramo še določiti vrednost števila n. Ker je cena za prvi izposojeni film 7 evrov, velja c(1) = 4 + n = 7 in iz enačbe dobimo n = 3. Tako se cenovna funkcija glasi c(x) = 4x + 3. Vrednost neodvisne spremenljivke x, pri kateri je vrednost linearne funkcije enaka 0, se imenuje ničla linearne funkcije. To je točka na grafu, kjer premica seka abscisno os.
Kako se glasi linearna funkcija z ničlo x = 2, katere graf je vzporeden premici y = –2x + 1? Diferenčni količnik k iskane linearne funkcije je –2. Kot prej uporabimo znane podatke:
LO V
f(2) = –2 ∙ 2 + n = 0
Iz enačbe dobimo n = 4 in iskano linearno funkcijo f(x) = –2x + 4. Zgled 13
Študije presnavljanja alkohola ugotavljajo, da se po zaužitju odstotek alkohola v krvi strmo dvigne, potem pa počasi linearno pada. Ko je oseba popila dva kozarca vina, je merilec pokazal 0,032 % alkohola v krvi. Po dveh urah je odstotek padel na 0,024. Izračunajte, koliko alkohola je imela oseba v krvi po petih urah in po koliko urah v krvi teoretično ni več alkohola, ter zapišite model spreminjanja odstotka alkohola s časom.
CA
IČI
ZL
Linearna funkcija, pri kateri je k = 0, je konstantna funkcija. Njena vrednost s spreminjanjem neodvisne spremenljivke x ostaja enaka, zato je njen graf premica, vzporedna z abscisno osjo.
Zgled 14
RA
IČI ZL
RA
V splošen zapis linearne funkcije f(x) = kx + n vstavimo znane vrednosti: f(4) = k ∙ 4 + n. 3 Ker je 4 ničla, je f(4) = 0. Iz tega dobimo linearno enačbo 4k + 3 = 0 z rešitvijo k = – 4 . 3 Iskana funkcija je f(x) = – 4 x + 3.
NA
Zgled 12
Zapišimo linearno funkcijo, ki ima začetno vrednost n = 3 in ničlo x = 4.
c(t) = –0,004 ∙ t + 0,032
Avto pri vključevanju na avtocesto prvih 10 sekund enakomerno pridobiva hitrost od 0 do 80 km/h, potem 5 sekund vozi z isto hitrostjo in nato spet 10 sekund enakomerno pospešuje do 130 km/h. Tako vozi 5 sekund, nato pa zaradi prometnega znaka »predor« v 10 sekundah enakomerno zmanjša hitrost na 80 km/h. Predor prevozi v 5 sekundah. Narišimo graf hitrosti v odvisnosti od časa.
NA
n
Ničla: x0 = – k ; k ≠ 0
LO V
Pogoj: f(x0) = 0; kx0 + n = 0
Zgled 11
Iz tabele preberemo, da je po petih urah v krvi še 0,012 % alkohola, da je začetna vrednost funkcije 0,032 in da bi teoretično do 0 % alkohola v krvi prišli po 8 urah. Oboje bi lahko izračunali tudi iz enačbe odvisnosti koncentracije alkohola v krvi od časa:
CA
f(x) = kx + n
Odstotek alkohola 0,032 0,028 0,024 0,020 0,016 0,012 0,008 0,004 0,000
DE
Zgled 10
DE
240
v(t) =
8t; 0 ≤ t < 10 80; 10 ≤ t < 15 5t + 5; 15 ≤ t < 25 130; 25 ≤ t < 30 –5t + 280; 30 ≤ t < 40 80; 40 ≤ t < 45
Ker vemo, da je spreminjanje odstotka alkohola linearno, lahko iz dveh podatkov dobimo diferenčni količnik: k=
0,024 – 0,032 –0,008 = 2 = –0,004 2
S tem podatkom lahko do konca izpolnimo tabelo.
Funkcija, katere graf smo narisali, ima na različnih delih definicijskega območja različne predpise, kar je na grafu označeno z različnimi barvami (prvih 10 sekund je smerni koeficient premice k1 = 8, potem je naslednjih 5 sekund funkcija konstantna, potem spet narašča s koeficientom k2 = 5, naslednjih 5 sekund je funkcija spet konstantna, potem je 10 sekund padajoča s k3 = –5 in zadnjih 5 sekund je spet konstantna).