Vrednost funkcije pri x = 0 se imenuje začetna vrednost. Ime je prišlo iz fizike, kjer je neodvisna spremenljivka pogosto čas, in preden začnemo meriti čas, uro štoparico nastavimo na nič.
Spremembo v matematiki označimo z grško veliko črko delta Δ. Δy Potem diferenčni količnik lahko zapišemo: k = Δx . Izpeljava: Ker je diferenčni količnik pri linearni funkciji povsod enak, si lahko izberemo katera koli dva originala in izračunamo njuni sliki: Če linearna funkcija f(x) = kx + n original x1 preslika v y1, original x2 pa v y2, potem je y1 = kx1 + n y2 = kx2 + n
f(0) = k ∙ 0 + n = n V točki T(0, n) premica (graf linearne funkcije) seka ordinatno os.
Odštejmo prvo enačbo od druge in izrazimo k: y2 – y1 = kx2 – kx1 y2 – y1 = k(x2 – x1) y2 – y1 x2 – x1
Zgled 4
CA
Narišimo graf funkcije f(x) = 2x – 3.
Premica, ki je graf te funkcije, bo ordinatno os sekala pri –3 (začetna vrednost). Najprej narišemo točko (0, –3). Potem se od te točke premaknemo za 1 v desno in spremenimo y za k = 2.
RA
RA
Točke A, B in T so lahko oglišča trikotnika, in ko izračunamo njegovo ploščino x –x y –y x – x k(x2 – x1) = 0, p(△ABT) = 1 (±1) 2 1 2 1 = 2 1 2 x – x1 3y3 – y1 x – x1 33k(x – x1)
NA Pri enakomernem gibanju je pot premo sorazmerna s časom gibanja.
LO V
Zgled 5
Narišimo graf funkcije f(x) = –
1 x + 2. 2
Premica, ki je graf te funkcije, bo ordinatno os sekala pri 2 (začetna vrednost). Najprej narišemo točko (0, 2). Potem se od te točke premaknemo za 1 v desno in spremenimo y 1 za k = – 2 .
DE
LO V
NA
ugotovimo, da je enaka 0. Torej so točke A, B in poljubna točka T kolinearne – ležijo na isti premici.
Začetna vrednost linearne funkcije f(x) = kx + n je enaka n, zato bo premica, ki je graf linearne funkcije, sekala ordinatno os v točki (0, n). Diferenčni količnik k pa določa naklon premice, zato ga imenujemo tudi smerni koeficient premice.
IČI
Pri pozitivnem k se vrednost funkcije poveča, pri negativnem k pa se njena vrednost zmanjša.
ZL
IČI
Dokaz: Na premici p izberimo dve določeni točki A(x1, y1) in B(x2, y2), s T(x, y) pa označimo poljubno točko na njej. Ker je funkcija dana s predpisom f(x) = kx + n, velja: za ordinato točke A: y1 = kx1 + n za ordinato točke B: y2 = kx2 + n za ordinato poljubne točke T: y = kx + n
ZL
• Graf linearne funkcije f(x) = kx + n je premica z enačbo y = kx + n; k, n ∈ ℝ.
Dokaz: f(x) = kx + n f(x + 1) = k(x + 1) + n = kx + k + n = f(x) + k
CA
k=
• Če se vrednost neodvisne spremenljivke x poveča za 1, se vrednost linearne funkcije f spremeni za k.
DE
236
Ker je premica natanko določena z dvema točkama, bo za risanje grafa dovolj izbrati dva originala in izračunati njuni sliki. Poglejmo, kam funkcija f(x) = kx + n preslika originala 0 in 1: x = 0: f(0) = k ∙ 0 + n = n Na grafu leži točka (0, n). x = 1: f(1) = k ∙ 1 + n = k + n Na grafu leži točka (1, n + k)
Različne strmine predstavljajo različne hitrosti.
Na grafu se lahko prepričamo, da bi se lahko od začetne vrednosti premaknili za dve enoti v desno in za eno enoto navzdol.
237