234
Ali gre za linearno funkcijo V(t) = k ∙ t + n? Začetno vrednost že poznamo n = 6,72.
Ta predpis funkcije lahko zapišemo tudi v obliki, s katero smo definirali linearno funkcijo:
Če vrednosti iz tabele zapišemo kot urejene pare (t, V(t)): (20, 4˙32), …, (40, 1˙92), (50, 0˙72), …, (53, 0˙36), (55, 0˙12) in nekaj teh parov vstavimo v enačbo V(t) = k ∙ t + 6˙72, dobimo za k vedno isto vrednost.
c(n) = 0,20 ∙ n + 5 Diferenčni količnik je enak 0,20, začetna vrednost pa 5. Odvisna spremenljivka n predstavlja število naročenih fotografij in lahko zavzame katero koli naravno število, zato je definicijsko območje te funkcije množica ℕ. Njen graf je sestavljen iz točk – graf je diskretna množica točk. Ker vrednost plačila narašča s številom fotografij, je funkcija naraščajoča. Začetna vrednost funkcije c je 5 oz. vrednost naročenega CD-ja in skupinske fotografije brez dodatnih izdelanih fotografij.
V(t) – 6,72 t 4,32 – 6,72 k= = –0,12 20 1,92 – 6,72 = –0,12 k= 40
k=
Graf nam lepo prikaže opisane lastnosti.
V(t) = –0,12 t + 6,72
CA
CA
Očitno se k ne spreminja in predstavlja zmogljivost črpalke. Negativno vrednost ima zato, ker se količina vode v kleti zmanjšuje. Dogajanje torej lahko zapišemo z linearno funkcijo:
6
24
sprememba y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
5
5,20
5,40
5,60
5,80
6
6,20
6,40
6,60
6,80
…
Očitno je cena odvisna od števila dodatno naročenih fotografij oz. je funkcija števila fotografij:
LO V
V tretjem zgledu je diferenčni količnik enak 0,2 in pomeni: če naročimo eno fotografijo več, se cena spremeni za 0,2 €, če naročimo 2 fotografiji več, se cena spremeni za 0,4 €, če naročimo 3 fotografije več, se cena spremeni za 0,6 €. 0,2
0,4
DE
LO V
DE
Začnimo s preprosto tabelo odvisnosti.
c(n) = 5 + n ∙ 0,20
RA
ZL
NA
3
k = 3 = 1 = 2 = 8 = sprememba x
Fotografsko podjetje P & P si je s svojo ponudbo pridobilo naročilo za fotografiranje maturantskega plesa. Dijaki dobijo CD in skupinsko fotografijo za 5 evrov, za vsako nadaljnjo izdelano fotografijo pa plačajo 20 centov. Pokažimo, kako lahko z dosedanjim matematičnim znanjem opišemo ponudbo podjetja.
Število dodatnih fotografij Cena kompleta [€]
V prvem zgledu so vsako sekundo v bazen pritekli 3 litri vode. Ko se čas spremeni za 1 sekundo, se količina vode spremeni za 3 litre, po 2 sekundah se količina vode spremeni za 6 litrov. Če se čas spremni za 8 sekund, se količina vode spremeni za 24 litrov.
NA
RA
ZL
Kaj nam pove diferenčni količnik? Diferenčni količnik nam pove, za koliko se spremeni vrednost neodvisne spremenljivke y glede na spremembo odvisne spremenljivke x. Pri linearni funkciji je diferenčni količnik ves čas enak, je konstanten.
Graf je sestavljen iz točk, kar pa ne ustreza dejanskemu poteku črpanja, saj črpalka deluje ves čas. Zato je pravilen graf funkcije V(t) = –0,12 t + 6,72 graf, ki proces prikazuje tudi v vmesnih točkah. Nastane zvezen graf, ki je del premice na časovnem intervalu [0, 56].
Zgled 3
IČI
IČI
Čas črpanja smo na začetku merili v intervalih po 10 minut, proti koncu pa na minuto. Narišimo spreminjanje količine vode z grafom.
0,6
sprememba y
k = 0,2 = 1 = 2 = 3 = sprememba x Ker je pri linearni funkciji diferenčni količnik ves čas enak, si lahko izberemo katerakoli originala x in njuni sliki y. Pogledamo, za koliko se je spremenila vrednost ene in druge spremenljivke in zapišemo kvocient: k=
f(x2) – f(x1) y2 – y1 = x –x x2 – x1 2 1
235